工程电磁场数值方法编程实验3-数值积分方法-PPT文档资料

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电磁场数值积分

特征：
面向电磁场工程数学、物理概念与工程观点的有机结合；计算机辅助分析、设计（仿真研究）与工程应用技术知识、能力的综合。
任务：
面向电磁场工程分析、设计的需要培养具有分析与解决工程电磁场问题的能力、有初步编程和应用工程软件包能力的、理论联系实际、有再学习、再创造潜能的高层次的专门人才（高素质的创新型人才）。

电磁场学科与电磁场工程电磁场学科
研究宏观电磁现象和电磁过程的基本规律、分析计算方法，并面向电气工程、电气信息学科的工程科学技术电磁场工程应用的重要技术基础学科。
电磁场工程
基点：电磁场的有效控制和利用理解近代科学技术成果、发展并实现新的科学技术成果——— 电磁场理论及其应用不仅是日趋发展的电工、电子和信息工程科学技术的重要基础，而且也是旁及军事、生态、医疗、地质、航天等众多领域新工程科学技术的生长点。
例如：* 浦东国际机场磁悬浮线（EMS型磁浮列车）；日本山梨磁悬浮试验线（EDS型磁浮列车）
时速: 430km/h 磁浮线里程：33km，全程运时 8 min
上海磁悬浮列车（EMS型）
上海磁悬浮列车（EMS型）横断面视图
关键技术——
悬浮、驱动和导向电磁系统
长定子同步直线电机系统
长定子
导向电磁铁
）离散的数学模型（代数方程组）代数方程组解法
（数据处理）
离散解（数值解）
（后处理）
结果的检验、实验比较和校核
待求各物理量和电磁参解答, 图形显示等
飞机对电磁脉冲的响应
FDTD网格空间中F-111飞机模型
F-111腹部一点上脉冲引发的电流计算值与实测结果的比较

D
C

工程电磁场分析的数理基础培训课件PPT(共 42张)

j
,
2 t 2
2 ，波动方程为

( 2

k
2
)
H B E

0
其中 k 为波数， k 2 ，为波长。
H的导出方程：
• 对于线性、均匀且各向同性媒质，设场域中无自由电荷，则由式（1-1）取旋度，并以：J=gE
EH

2

t

2 t 2
HEB

0
理想介质（ 0 ）中的波动方程：

2

2 t 2
HEB

0
正弦稳态时变场中的波动方程：
采用时间相位因子 e jt ，则 t
1.5 场向量的微分方程-波动方程
• MAXWELL微分方程组，在数学上
– 多重耦合、 – 多变量、 – 求解困难.
• 一般先导出由单个场向量所给定的解耦的微分方程。
– 由MAXWELL方程组导出由场向量H、B、E、D 或J所满足的偏微分方程。

无源区域（ J＝0, 0 ）的一般化齐次波动方程：
它们自动满足MAXWELL方程组中（1-3）和（1-2）。
• 但须知，引入位函数表示场量B和E，含有任意性的成分。
– 因为如果令
– 则可给出同样的B和E。
• 位函数按照式（1-37）和（1-38）的变换，称为规范变换，而保持B和E不变性，则称为规范不变性。
• 由于存在这一规范不变性，所以对应于一组B和E的值，可以有无穷多组A和j的取值，即位函数不是唯一的。

矢量磁位 A : B A

《数值积分方法》课件

数值积分的分类
按方法分类
可分为直接法和间接法。直接法如蒙特卡洛方法，间接法如梯形法则、辛普森法则等。
按精确度分类
可分为低阶和高阶方法。低阶方法如梯形法则，高阶方法如复合梯形法则、复合辛普森法则等。
按使用范围分类
可分为有限区间上的数值积分和无限区间上的数值积分。
02
直接法
矩形法
总结词：简单直观
在金融建模中的应用
期权定价模型
数值积分方法可以用于求解期权定价模型，从而为金融衍生品定价提供依据。例如，二叉树模型和蒙特卡洛模拟等。
利率衍生品定价
在利率衍生品定价中，数值积分方法可以用于求解利率期限结构模型，例如LIBOR市场模型等。
风险管理
通过数值积分方法，可以对金融风险进行量化评估和管理。例如，计算VaR（风险价值）和CVaR（条件风险价值）等指标，以评估投资组合的风险暴露程度。
自适应插值控制法
总结词
自适应插值控制法是一种通过插值技术来提高数值积分精度的控制方法。
详细描述
在数值积分过程中，自适应插值控制法利用插值技术对积分函数进行逼近，以提高数值积分的精度。这种方法能够根据积分区间和积分函数的特性，自动选择合适的插值方法，以获得更高的积分精度。同时，自适应插值控制法还能够有效地处理复杂积分函数和
80%
算法设计与实现
数值积分方法的设计与实现是计算数学的重要研究内容，推动了科学计算的发展。
数值积分的概念
定义
数值积分是对函数在某个区间上的定积分进行数值逼近的方法。
思想
通过选取适当的积分点和权函数，将定积分的计算转化为数值逼近问题。
近似公式
常用的数值积分公式有梯形公式、辛普森公式、复合梯形公式、复合辛普森公式等。

工程电磁场PPT

28
29
±800kV换流阀屏蔽罩表面电场计算
状态1—边界元结果
状态1—有限元结果
有限元比边界元结果大4% 左右
P30
30
波导电磁场场分布
31
32
33
34
表4 时变电场和磁场的公众暴露导出限值(rms值)
频率范围 <1Hz 1Hz -8Hz 8Hz -25Hz 0.025kHz-0.8kHz 0.8kHz -3kHz 3kHz -150kHz 0.15MHz -1MHz 1MHz -23MHz 23MHz -2500MHz 2.5GHz -10GHz 10GHz -300GHz
工程电磁场PPT
2024年2月9日星期五
2
教育部电子信息与电气学科教学指导委员会基础课教学指导分委员会
《电磁场》课程教学基本要求
定律，法拉第定律。
5
麦克斯韦的贡献：位移电流假设和理论总结
赫兹的贡献：位移电流假设验证，电磁波
6
电磁场理论的建立
0.21/f1/2 0.044
0.028f1/2 0.088
35
36
数学工具：矢量分析与场论
基本原理：
静电场的基本原理
恒定电场的基本原理
恒定磁场的基本原理
时变电磁场的基本原理
分析计算方法：镜像法、分离变量有限元法
专题讨论：电磁场的能量电磁波电路参数计算
电磁场的工程应用
实验：仿真实验实物实验
Coil:
Radius 1.0 cm Wire 0.89 mm
Copper Ball: Diameter 1 cm Mass 4.66 g
Ref: W.Brisley & B. S. Thornton: Brit. J. Appl. Phys., v.14, p.682, 1962

工程电磁场数值方法编程实验3-数值积分方法_OK

数 n 2k，其复合辛普生求积公式为
n
I
i 1
xi1 g (x)dx h n1
xi
6 i0
f (xi ) 4 f (xi h / 2) f (xi1)
8
辛普生求积公式
计算二重积分时，数值积分的处理是将二重积分分解
为两个单积分，每个积分使用辛普生求积公式，即在
第一重积分内采用辛普生求积公式，公式中每产生一
• 编写轴对称线圈的矢量位计算计算函数
33
p ij
2
zp zij
2
zp zij
2
E
K
Bz
m i1
mz j 1
0 Jd d z 2
p ij
1
2
zp zij
2
2 ij
2 p
p ij
2
zp zij
2
zp zij
2
E
K
ij R1 i 1/ 2 d
zij
1h
2
j 1/ 2dz 32
编程实践四
d e
令 2 , d 2d , cos 2sin2 1
Ap
a0I
/2 0
2sin2 1 d z2 (a )2 4a sin2
令k 2
z2
4a
(a
)2
Ap
0 I k
a
1
1 2
k2
K
E
第一、二类完全椭圆积分
23
轴对称磁场
向量磁位Ap计算出来后，可计算磁感应强度
个固定某变量值x，在另一重积分也用辛普生求积公
式计算。
S
b
dx
y2 (x) f (x, y)dy
a

电磁场数值分析PPT模板

附录Ⅴ计算带电导板的电荷密度及电容的矩量法程序
附录Ⅴ计算带电导板的电荷密度及电容的矩量法程序
附录Ⅵ计算棒形电极对地电场的模拟电荷法程序
附录Ⅵ计算棒形电极对地电场的模拟电荷法程序
感谢聆听
程组的求解
第二篇有限元法
第五章非线性场中的有限元法
参考文献
第二篇有限元法
第六章时变场中的有限元法
01
§ 6- 1正弦时变场的基 02
§6-2正弦时变场边值
本方程及其定解条件
问题的等价变分问题
03 § 6 - 3 波导场的有限 04 § 6 - 4 二维涡流场的
元方程
有限元方程
05 §6 - 5 示例
射场中的矩量法
求解
第三篇矩量法、模拟电荷法
第七章矩量法
§7-13整域基和分域基的转换
§7-14示例
参考文献
第三篇矩量法、模拟电荷法
第八章模拟电荷法
§8-1概述
§8-6模拟
01
§8-2模拟
电荷-有限元法 06
电荷法
02
§ 8 - 5 模 05 拟电荷法应用举例
04
§8-4计算示
03 § 8 - 3 常用模拟电荷
2020 电磁场数值分析
演讲人 202X-11-11
目录
目录
序
序
导言
导言
第一篇有限差分法
第一篇有限差分法
第一章有限差分法
A
§1-1概述
D §1-4差分方程组的求
解
B
§1-2差分运算的基本概念
E §1-5场域边界条件与不同媒质分界面处边界条件离散化的差分
格式

第二讲工程电磁场中的数值积分法

k 0
n
(4)
其系数 Ak l k ( x)dx 时，则称求积公式为插值 a 求积公式。
设插值求积公式的余项为 R( f ) ,由插值余项定理得
R( f ) f ( x) P( x)dx
b a
b
a
f ( ) ( x)dx (n 1)!
( n 1)
其中 a, b 当f(x)是次数不高于n的多项式时，有 f ( n1) ( x) 0 R( f ) =0,求积公式(4)能成为准确的等式。由于闭区间[a,b]上的连续函数可用多项式逼近，所以一个
经常遇到以下三种情况：
(1) 被积函数f(x)并不一定能够找到用初等函数的有限形式表示的原函数F(x)，例如：

例如函数
1
0
1 sin x x2 dx和 e dx 0 x
Newton-Leibnitz公式就无能为力了
(2) 还有被积函数f(x)的原函数能用初等函数表示，但表达式太复杂。
f ( x) x 2 2 x 2 3
ab ) 2
的加权平均值
作为平均高度f()的近
似值而获得的一种数值积分方法。（2）先用某个简单函数 (x) 近似逼近f(x), 用 (x) 代替原被积函数f(x)，即 b f ( x)dx b ( x)dx
a a
以此构造数值算法。从数值计算的角度考虑,函数 (x) 应对f(x)有充分的逼近程度,并且容易计算其积分。由于多项式能很好地逼近连续函数,且又容易计算积分,因此将 (x) 选取为插值多项式, 这样f(x)的积分就可以用其插值多项式的积分来近似代替
是准确的，而对于次数为m+1的多项式是不准确的，则称该求积公式具有m次代数精度（简称代数精度）由定义可知，若求积公式（4.）的代数精度

工程电磁场数值分析(基本理论)

∇⋅D = ρ
4. 电磁场中的位函数
恒定磁场的标量位在无电流区域引进磁标量位
∇⋅B = 0
∇×H = J + ∂D ∂t
∇×E = −
∂Β ∂t
∇× H = 0
H = −∇ϕm
∇ ϕm = 0
2
如果存在电流，可以将 H 分解为：H = H s + H m 其中
∇ × Hs = J
∇ × Hm = 0
∇×E = −
∂Β ∂t
∇⋅D = 0
∇⋅B = 0
∇ × H = J = σ E + Js
∂A ∇ × ∇ × A + µσ ( + ∇ϕ ) = µ J s ∂t
∂Β ∇× E = − ∂t
Js是外加电流密度。
∂A ∇ ⋅ ( + ∇ϕ ) = 0 ∂t
∂A ∇(∇ ⋅ A) − ∇ A + µσ ( + ∇ϕ ) = µ J s ∂t
E = −∇ϕ
∇× E = 0
ρ ∇ ϕ=− ε
2
除一些特殊的情况（如气体放电等领域）外，静电场中的电荷通常并不以ρ的形式存在于空间中，而是以面电荷的方式存在于不同媒质的交界面上，而且通常是难以测量的，因此并不以显式出现在方程中。所以通常求解的是拉普拉斯方程。作为产生电场的源的“电荷”隐含在边界条件中。
∇⋅D = ρ
4. 电磁场中的位函数
恒定磁场、矢量磁位
∇⋅B = 0
∇×H = J + ∂D ∂t
∇×E = −
∂Β ∂t
∇⋅B = 0
B = ∇× A
∇× H = J
∇⋅ A = 0
∇2 A = −µ J

《工程电磁场实验》课件

实验数据处理方法需改进
现有的数据处理方法较为繁琐，未来可以尝试采用更高效的数据处理软件或算法，提高数据处理效率。
实验内容需进一步丰富
目前实验内容相对单一，未来可以增加更多种类的电磁场实验，以丰富实验内容。
实验拓展与展望
1 2
探索更多应用领域
电磁场实验不仅在工程领域有应用，还可以拓展到生物医学、环保等领域，未来可以尝试在其他领域应用电磁场实验。
《工程电磁场实验》 ppt课件
目录
• 实验课程介绍 • 电磁场基本理论 • 实验操作与演示 • 实验数据处理与分析 • 实验总结与思考
01
实验课程介绍
实验课程目标
01
掌握电磁场的基本原理和实验技能
02
培养学生对电磁场现象的观察、分析和解决问题的能力
03
提高学生的实践能力和创新思维
实验课程内容与安排
描述了磁场在不同介质交界处的行为，包括磁场的切向分量和法向分量。
03
实验操作与演示
电场与电通密度实验
总结词
01
了解电场与电通密度之间的关系
实验目的
02
通过测量电场强度和电通密度，探究它们之间的关系，加深对
电场理论的理解。
实验原理
03
利用高斯定理计算电通密度，通过测量电场强度分布来验证电
通密度与电场强度的关系。
电磁场基本实验
包括电场、磁场和电磁波的测量和观察
电磁场应用实验
涉及电磁场在通信、雷达、电子对抗等领域的应用
综合性实验
结合理论知识和实验技能，进行综合性实验设计和操作
实验课程要求
01 实验前充分准备，了解实验目的、原理和步骤
02 严格遵守实验室安全规定，注意实验操作安全

工程电磁场数值分析(有限元法)

使用适当的数值方法求解离散方程组，得到场函数的近似解。
04
有限元法在工程电磁场中的应用
静电场问题
总结词
有限元法在静电场问题中应用广泛，能够准确模拟和预测静电场的分布和特性。
详细描述
静电场问题是指电荷在静止状态下产生的电场，有限元法通过将连续的静电场离散化为有限个单元，对每个单元进行数学建模和求解，能够得到精确的解。这种方法在电力设备设计、电磁兼容性分析等领域具有重要应用。
单元分析
对每个单元进行数学建模，包括建立单元的平衡方程、边界条件和连接条件等。
整体分析
将所有单元的平衡方程和连接条件组合起来，形成整体的代数方程组。
求解代数方程组
通过求解代数方程组得到离散点的场量值。
有限元法的优势和局限性
02
01
03
优势可以处理复杂的几何形状和边界条件。可以处理非线性问题和时变问题。
传统解析方法难以解决复杂电磁场问题，需要采用数值分析方法进行求解。
有限元法的概述
有限元法是一种基于离散化的数值分析方法，它将连续的求解域离散为有限个小的单元，通过求解这些单元的近似解来逼近原问题的解。
有限元法具有适应性强、精度高、计算量小等优点，广泛应用于工程电磁场问题的数值分析。
02
静磁场问题
总结词
有限元法在静磁场问题中同样适用，能够有效地解决磁场分布、磁力线走向等问题。
详细描述
静磁场问题是指恒定磁场，不随时间变化的磁场问题。有限元法通过将磁场离散化为有限个磁偶极子，对每个磁偶极子进行数学建模和求解，能够得到静磁场的分布和特性。这种方法在电机设计、磁力泵设计等领域具有重要应用。
有限元法的基本步骤
01

电磁场的数值方法

2020/8/9
8
工程电磁场
即 u 是方程的精确解。
一般情况下余量不为零。
只能放松约束，强制余量的加权积分为零。
即
2020/8/9
wi Rd 0
（ i 1,2, , n ）
9
工程电磁场
式中 wi 为权函数， w1, w2 , , wk , 为权函数序列，
权函数之间要求线性无关。权函数的不同选择导致不同的近似方法。
Ni • d Ni ( )d Nid
（ i 1,2, , n ）
2020/8/9
25
工程电磁场
7 有限元法与边界元法
2020/8/9
26
工程电磁场
7.2 有限元法
2020/8/9
27
工程电磁场
2．单元网格划分
在二维情况下，单元可以是三角形和四边形。具体要求是，三角形顶点连着顶点，三角形的三条边长尽量接近或三个内角尽量接近。图示三角形的三个顶点，
n
N j j
j 1
2020/8/9
23
工程电磁场
代入伽辽金加权余量方程的如下方程组
Ni (2)d Nid
（ i 1,2, , n ）
对上式应用格林公式，得
Ni • d Ni n d Nid
（ i 1,2, , n ）
2020/8/9
24
工程电磁场
代入第二、三类边界条件得
2020/8/9
33
工程电磁场
i xi yi
j xj yj
1
k 1
xk xi
yk yi
1 xj yj
1 xk yk
1 2
(aii
aj
j
ak k

电磁场数值计算方法_工程电磁场讲义

6
FEM相比其它数值方法的优点在于： ——理论基础成熟； ——计算格式规范统一，利于编程； ——适应性高，适合各种复杂形状的区域； ——求解精度高；
7
由于这些优异的特性，在短短几十年时间里， FEM成为了绝大多数物理和工程问题中(机械、航空、汽车、船舶、土木、海洋工程、电气电子、压力容器等)应用最广泛的一种计算机辅助分析方法。在电磁分析领域，除了FEM以外，也有其它有效的数值方法，例如：矩量法(MOM)、边界元法(BEM)、时域有限差分法(FDTD)等等。
整素个区可域以被先分针为对许每多一单个元单，元系分K数ij 别矩进阵行的计任算意，一然个后元将各单元的积分结果相加得到整体系数矩阵。若用m 表示单元的个数，则的计算过程可写成：
m
m
Kij
e NiN jd Kiej
e1
e1
Kiej
e
NieN
e j
d
式中上标e表示对应于某个单元的量； e表示对应于某个单元的子区域，Kiej为局部系数矩阵中的元素。
K
e
Kiei
K
e ji
Kiej
K
e jj
fie
fie
f
e j
其中矩阵元素 K位iej 于整体系数矩阵中的第i 行和第j 列，并与其他单元对该整体系数矩阵元素的贡献相加。矩阵元素fie位于整体激励矩阵的第i 行并
与其他单元对该整体激励矩阵元素的贡献相加。
28
K1
K111 K211
有限元法的理论基础 ——一维有限元法
18
一、回顾
1、有限元计算的方法
加权余量法中的迦辽金法和变分法中的里海－里兹法。
2、有限元法的处理思想

数值积分方法课件

热力学分析
通过数值积分方法，可以对物体的传热过程进行精确分析。
在金融计算中的应用
01
股票价格预测
数值积分方法可以用于预测股票价格的变动趋势，为投资决策提供支持。
02
03
风险管理
精算学
在金融风险管理中，数值积分方法可以用于评估投资组合的风险水平。
在精算学中，数值积分方法可以用于计算生命保险、养老保险等保险产品的精算现值。
THANKS
感谢观看
按照被积函数的特征分类
可以分为有理函数的积分、无理函数的积分、超越函数的积分等。
02
常见数值积分方法
矩形法
总结词
简单、易理解、精度低
详细描述
矩形法是一种简单的数值积分方法，其基本思想是将积分区间划分为一系列小的矩形，然后用每个小矩形的面积近似代替该区域的积分。该方法易于理解和实现，但精度较低。
分。
Gauss-Legendre积分法
03
精度高，计算量较大，适用于求解具有特定形状的积
分。
适用范围与场景
梯形法则
适用于简单的一维函数不定积分，如常数函数、三角函数等。
Simpson法则
适用于具有对称性的积分，如奇函数或偶函数的积分。
Gauss-Legendre积分法
适用于求解具有特定形状的积分，如圆环域、球域等。
常见的数值积分公式包括梯形法则、辛普森法则、高斯积分等。
数值积分的重要性
解决实际问题
数值积分被广泛应用于各种实际问题中，如物理学、工程学、经济学等。
理论计算基础
数值积分也是许多理论计算的基础，如微分方程、偏微分方程的求解等。
数值积分的分类
按照所使用的数值方法分类

数值积分方法在工程问题中的应用

数值积分方法在工程问题中的应用在工程领域中，我们常常需要对各种物理量进行精确的计算和分析。

数值积分方法作为一种重要的数学工具，在解决工程问题中发挥着关键作用。

它能够帮助我们处理那些难以通过解析方法求解的积分问题，为工程设计、优化和性能评估提供有力支持。

数值积分方法的基本思想是将积分区间分割成若干个小的子区间，然后在每个子区间上用简单的函数来近似原函数，并对这些近似函数进行求和或加权求和，从而得到积分的近似值。

常见的数值积分方法包括矩形法、梯形法、辛普森法等。

矩形法是一种简单直观的数值积分方法。

它将积分区间等分成若干个子区间，然后在每个子区间上用矩形的面积来近似函数的积分值。

矩形的高度可以取子区间左端点、右端点或中点处的函数值。

虽然矩形法计算简单，但精度相对较低，通常只适用于对精度要求不高的情况。

梯形法在矩形法的基础上进行了改进。

它将每个子区间上的函数近似为梯形，通过计算梯形的面积来逼近积分值。

梯形法的精度比矩形法有所提高，特别是当函数的变化较为平缓时，效果较好。

辛普森法则是一种精度更高的数值积分方法。

它将积分区间等分成偶数个子区间，然后用二次抛物线来拟合函数，通过计算抛物线所围成的面积来近似积分值。

辛普森法的精度通常比矩形法和梯形法都要高，但计算过程相对复杂一些。

在工程实际中，数值积分方法有着广泛的应用。

例如，在结构力学中，我们需要计算结构的变形、内力和应力等。

这些计算往往涉及到对复杂函数的积分。

通过数值积分方法，我们可以对结构的受力情况进行准确的分析，从而为结构的设计和优化提供依据。

在热传递问题中，温度分布的计算通常需要求解热传导方程，这也涉及到积分运算。

数值积分方法可以帮助我们快速有效地计算温度场，从而为热交换器、散热器等设备的设计提供帮助。

在流体力学中，流量、压力损失等参数的计算也离不开数值积分。

例如，在管道流动中，要计算沿程阻力损失，就需要对摩擦系数与管道长度的乘积进行积分。

数值积分方法能够准确地给出这些参数的数值解，为管道系统的设计和优化提供支持。

电磁场数值分析课件

湖北工业大学研究生考试答题纸考试科目工程电磁场数值计算研究生姓名陈天丽学号120130104任课教师邹玲教授学院、专业电气与电子工程学院成绩二0一四年6 月19日《工程电磁场数值计算》课程学习总结这一学期的工程电磁场数值计算学完了，在老师的教导下以及与同学的课堂交流中我学习了很多很多东西，接下来我将从以下七个方面来总结以下这一学期我们学习的东西。

1.高斯消元法 1.1高斯消元法概念高斯消除法是求解线性代数方程组最古老的方法之一。

它不仅容易在计算机上实现，同时，又是构造其他方法的基础。

基本思想：按序逐次消去未知量，把原来的方程化为等价的三角形方程组，或者说，用矩阵行的初等变换将系数矩阵A 约化为简单三角形矩阵；然后按相反方向顺序向上回代求解方程组。

一．下面以一个例子来说明高斯消除法的计算过程。

123123123234 6 (1)352 5 (2)433032 (3)x x x x x x x x x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩ 将上述方程写成矩阵形式23463525433032⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（1）以第一行为基底，消元：12121132*==k k k 131311422*===k k k （2）第二行减去第一行乘以12*k21211112332()02**=+∙=+⨯-=k k k k222212123153()22**=+∙=+⨯-=k k k k23231312324()42**=+∙=+⨯-=-k k k k221312356()42**=+∙=+⨯-=-p p k k（3）同理，第三行减去第一行乘以13*k31311113442()02**=+∙=+⨯-=k k k k32321213433()32**=+∙=+⨯-=-k k k k333313134304()222**=+∙=+⨯-=k k k k331334326()202**=+∙=+⨯-=p p k p变形后矩阵变为234600.544032220⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦（4）同理，以第二行为基地，消元：232322360.5*-===-k k k 323212233(3)0.5()00.5**=+∙=--⨯-=k k k k 33331313322(4)()20.5**=+∙=--⨯-=-k k k k331323320(4)()40.5**=+∙=--⨯-=-p p k k再次变形后的矩阵为234600.544004﹣﹣﹣2﹣⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的方程为1232340 (1)++=x x x 230.54 4 (2)-=-x x 32 4 (3)-=-x解得3212813x x x ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩二.有限元的方程组的求解方法归纳：13121110112223202122001020300n n n n n n n n n k k p k k p k k k k p k k k k ϕϕϕ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦高斯法如下：以第一行为基底消元：11ij ijp p k *=1111j jk k k *=第二行减去第一行乘12k *第n 0行减去第一行乘01n k *同理有如下通式111111ii i i i p p p k p p k k **=-∙=-∙111111j ij ij j jij i k k k k kk k k **=-∙=-∙1.2列主元消除法一．基本实例二．基本思想给出增广矩阵111211,1212222,112,1a ，b =n n n n n n nnn n a a a a a a a A aa a a +++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦用增广矩阵表示方程组，在增广矩阵上进行计算，其计算步骤是：（1）选1,111a max i i i na ≤≤=，交换第1行和第1i ，然后进行消元得，()()()()()()()()()()()()()()111111121n 1,1111111212222,11111n12,1a ，b =n n n n nn n n a a a a a a a A a a a a +++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2）选()21,1i22a max i i n a ≤≤=，交换第2行和第2i ，然后进行消元，得()()22，b A ⎡⎤⎣⎦依次类推，每次消元前都要换行取最大的列元素为主元三.列主元消去法技巧和注意在消元过程中适当选取主元素是十分必要的。

工程电磁场数值分析概述解读PPT学习教案

• 主要缺点：适用的范围非常有限，仅有极少数的问题可以直接求解。
• 解析法主要用于理论分析，获取简单、但具有典型意义问题的解答，建立概念，得到定性理解。
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数值法（离散法）：
• 数值法的基本思想是，把求解的场域划分成许多细小的网格（剖分），网格与网格之间通过网格边边界和节点连结在一起。以节点上的场量值（或位函数值）为待求未知量，根据函数满足的微分方程确定节点未知场量之间的关系，这种关系用代数方程来描述。每个未知量建立一个代数方程，所有的代数方程联立得到代数方程组，求解得到节点上的函数值。只要节点足够密，这些节点上的函数值就能很好的反映场的分布（离散解）。
定量
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积分法分离变量法镜像法、电轴法微分方程法
保角变换法
••••
有限差分法有限元法边界元法矩量法模拟电荷法
••••
数学模拟法物理模拟法
••••
解析法：求解偏微分方程的经典方法
• 分离变量法、格林函数法、积分变换法等。 • 主要优点：解是精确的；具有一定的普适性，当问题中的某些参数变化时不必重新求解；具有明确的解析表达式，能够反映参数之间的依赖关系；解连续可微。
各种新型电磁装置的设计都离不开场的分析。
新型电机包括其控制，完全是个场的问题。没有场的概念，
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是不可能的。——马志源
电磁兼容问题、集成电路设计、
回旋加速器磁铁的三维有限元分析
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1. 为什么要做电磁场的分析
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2. 电磁场分析所要解决的问题
作业：
1. 翻一翻电磁场理论基础方面的书，熟悉有关的数学符号，特别是“三度”（梯度、散度、旋度）的概念；

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ba 1 ba ba a f (x)dx 2 1 f ( 2 t 2 )dt n ba ba B A tk ) k f( 2 2 k 1 ba B 其中 2
b

高斯求积公式

对于多重积分，可以化重积分为多次积分的方法，与前面辛普生的多重积分相似，每一重积分采用相同或不同的高斯积分点
b

为得到求积的精度，将积分区间细分 k 次，得到分段数 n 2 k ，其复合辛普生求积公式为
n 1 h I g ( x ) d x f ( x )4 f ( x h / 2 ) f ( x ) i i i 1 f () b 2( fa h ) 2 2
h T f( x ) f(x n k) k 1 k 0 2
n 1
梯形求积公式

如果精度不够，再各子区间平分，得2n=2k+1
1 1 b an T f( x ) 2 n T n k 1 /2 2 2 n k 0

当满足
T T 2n n

辛普生求积公式
如用二次插值多项式－－抛物线g(x)所围成的曲边梯形面积近似代替y=f(x)围成的曲边梯形面积

1 a b I fx ( ) d x b a fafb ( ) ( )4 f ( ) a 6 2
I( f )

a n
( x ) f ( x ) dx
k
In ( f )

A
k 1
f ( xk )
k 1 ,2 , n ) 为高斯积分点。 ( x ) 称为积求积节点 x k( 分区间[a,b]上的权函数，不同的权函数选取，不同的高斯型求积公式，其中 ( x) 1 是最常用的权函数。

) x ()x f(xd gxd
a a
b
b

数值积分实质函数 g(x) 不同的构造函数，产生不同的数值求积公式。为提高数值积分精度，常将积分空间分成 n 等份，在每个小区间上采用相应的求积公式计算，称为复合的数值求积公式。

) x f(xd
x y ) d x d y B B A A f ( xy , ) f(,
x 2y 2 x 1 y 1 12 i j i 1j 1
nnn 123
n 1n 2
i
j
( x ,,) y z d x d y d zB B B A A A f ( x , y , z ) f

数值积分实质数值积分实质上是一种近似的求积方法，即通过构造被积函数的某种线性组合的逼近函数来近似求其积分值。 b f( xd )x F ( b ) F ( a ) ，当被如函数f(x)的定积分 a 积函数f(x)的原函数F(x)无法用初等函数表达，则可以用另一个具有足够逼近精度的简单函数g(x) 来近似替代函数f(x)，函数g(x)的构造通常取f(x) 的代数插值函数或样条函数。

高斯求积公式

当给定权函数 ( x) 1，可假定积分区间为[-1,1], 利用正交多项式来确定求积点（高斯积分点）时，该正交多项式为勒让德多项式，这样积分点为 n次勒让德多项式的n个零点，由此得到相应的求积 x k 1 ,2 , n ) 公式的权系数 A k(
k

辛普生求积公式

计算二重积分时，数值积分的处理是将二重积分分解为两个单积分，每个积分使用辛普生求积公式，即在第一重积分内采用辛普生求积公式，公式中每产生一个固定某变量值 x，在另一重积分也用辛普生求积公式计算。
S x d
a
b
y x ) 2(
y (x ) 1
y2 ( x ) y1 ( x )
第3章数值积分法
工程电磁场数值方法编程实验－数值积分法电子科技大学赖生建

主要内容
概述二．数值积分三．基于场量积分公式的数值积分法四．基于场源离散化的数值积分法五．编程实践
一．

3.1 概述

数值积分法是数值计算方法应用中的基本内容之一。在电磁场分析计算中，对于无限大、均匀各向同性的媒质，当已知场源分布求场分布时，基于库仑定律或比奥－沙伐定律均可以导出关于场量、位函数的积分表达式。可以计算场分布以及有关电磁参数、能量和力等积分量。它是多种电磁场数值计算方法(等参数有限元法、边界元法和模拟电荷法)数值解的必要基础。

1
1
f (x )d x Af x k ( k)
k 1
n
上式为高斯－勒让德求积公式。高斯积分点与权系数的值参考表。

高斯求积点
参考高斯积分表

高斯求积公式

对于一般区间 [a,b]，利用积分变量代换，转换为 [-1,1]积分区间。
ba ba x t 2 2
f( x ,yd )y
f ( x, y )dy
分解为两个单积分
g ( x)
b
S g ( x)dx
a
高斯求积公式

高斯求积法，在积分区间，选择某些积分点（设为n 个积分点），计算出函数在这些积分点上的数值，然后用相应的权系数乘以这些函数值，并求和。在相同数量积分点的选取条件下，高斯积分的精度最佳。 b
b a i 1
n
x i 1
x i
gxd ()x

3.2

梯形求积公式
梯形求积是一种直观的近似方法，由边界上近似直线围成的梯形面积近似代替原来曲边梯形面积。
1 T b a a ) f( b ) f( 1 2

上面误差较大，为得到求积的精度，可将积分区间细分k 次，得到分段数 n 2 k ，其梯形积分公式为