11-3任意项级数的审敛法-文档资料

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河海大学理学院《高等数学》11-3函数项级数

n0
高等数学（下）
2.收敛点与收敛域:
如果 x0 I ,数项级数 un ( x0 )收敛,
n1
则称 x0为级数 un ( x)的收敛点,否则称为发散点.
n1
函数项级数 un( x)的所有收敛点的全体称为收敛域,
n1
所有发散点的全体称为发散域.
高等数学（下）
3.和函数:
在收敛域上,函数项级数的和是 x的函数 s( x),
高等数学（下）
Abel 定理的推广
(1)如果级数 an( x x0 )n 在 x x1( x1 x0 ) 处收敛,则 n0
对一切满足不等式 x x0 x1 x0 的点 x，该级数绝对
收敛;
(2)如果级数 an( x x0 )n 在 x x1 处发散,则对一 n0
切满足不等式 x x0 x1 x0 的点 x，该级数都发
第三节幂级数
高等数学（下）
河海大学理学院
一、函数项级数的概念
1.定义:
设u1( x), u2( x), ,un( x), 是定义在 I R上的
函数,则 un( x) u1( x) u2 ( x) un( x)
n1
称为定义在区间 I 上的(函数项)无穷级数.
例如级数 xn 1 x x2 ,
称 s( x)为函数项级数的和函数.
s( x) u1( x) u2( x) un( x)
函数项级数的部分和 sn ( x),
lim
n
sn
(
x)
s(
x)
余项 rn ( x) s( x) sn ( x)
lim
n
rn
(
x)
0
( x 在收敛域上)
注意函数项级数在某点 x 的收敛问题, 实质上是数项级数的收敛问题.

无穷级数-任意项级数审敛法

∞
n =1
∑ v n 发散
∞
2 条件收敛性 n 递减、趋于零分析需判定 un = n + 10
n 令 x un = ( x > 0) = f (n), f ( x ) = n + 10 x + 10
1 Q f ′( x ) = 2 x ( x + 10 ) ( x + 10 )2 x
o
10 x = 2 x ( x + 10)2
2 关系
n =1
∑ un 发散 ∑ un 发散（一般地）
n =1
n =1 ∞
∑ un 收敛 ∑ un收敛 √
n =1 ∞理设任意项级数 ∑ un满足
n =1
∞
un + 1 lim = ρ>1 n → ∞ un
∞ ∞ n =1 n =1
(或 lim
n
n→ ∞
un = ρ > 1)
2 + (1)n 反例：对于 ∑ (1)n1 ， n 2 n =1
2 + (1)n un = >0 n 2
虽然 {un }不单调，事实上，
3 2 u2k1 = 2k1 = < u2k = 2k , 2k 2 2 2 3 1 u2k = 2k > u2k+1 = 2k+1 2 2
∞
1
2 + (1)n un = 2n
n1 ∞
2. 证明 ∑
∞
∞
sin nα n
4
n=1
绝对收敛 . 绝对收敛 .
n→ ∞
3. 证明 ∑ (1)
n=1
n2 n e
n
4. 设un ≠ 0 (n = 1, 2, 3,L), 且 lim n = 1,

级数审敛法

∞
un+1 ( x ) n 1 1 + = ⋅ (n → ∞) → un ( x ) n + 1 1 + x 1+ x
1 (1) 当 < 1, ⇒ 1 + x > 1, 1+ x
即 x > 0或x < −2时,
原级数绝对收敛. 原级数绝对收敛
1 ( 2) 当 > 1, ⇒ 1 + x < 1, 1+ x
在收敛域上, 在收敛域上,函数项级数的和是 x 的函数 s( x ) , 为函数项级数的和函数和函数. 称 s( x ) 为函数项级数的和函数.
s( x ) = u1 ( x ) + u2 ( x ) + L + un ( x ) + L (定义域是定义域是?) 定义域是
函数项级数的部分和 s n ( x ), 余项 rn ( x ) = s( x ) − sn ( x )
则级数
(D) 收敛性根据条件不能确定. ∴ (B) 错 ;
第三节幂级数
一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算
一、函数项级数的一般概念
1.定义: 1.定义: 定义
设 u1 ( x ), u2 ( x ),L , un ( x ),L是定义在 I ⊆ R 上的函数,则∑ un ( x ) = u1 ( x ) + u2 ( x ) + L + un ( x ) + L 函数,
lim a 2 n+1
n→ ∞
un+1 3 = lim an 不存在. = , ∴ lim n→ ∞ u n→ ∞ 2 n
例4
∞

任意项级数审敛法共29页文档

55、为中华之崛起而读书。 ——周恩来
谢谢！
51、天下之事常成于困约，而败于奢靡。——陆游 52、的事业，需要决心，能力，组织和责任感。 ——易卜生 54、唯书籍不朽。——乔特
任意项级数审敛法
11、获得的成功越大，就越令人高兴。野心是使人勤奋的原因，节制使人枯萎。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树，先有根茎，再有枝叶，尔后花实，好好劳动，不要想太多，那样只会使人胆孝懒惰，因为不实践，甚至不接触社会，难道你是野人。(名言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但常看常新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福。我爱自己，我用清洁与节制来珍惜我的身体，我用智慧和知识充实我的头脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。农夫不会播下一粒玉米，如果他不曾希望它长成种籽；单身汉不会娶妻，如果他不曾希望有小孩；商人或手艺人不会工作，如果他不曾希望因此而有收益。-- 马钉路德。

数项级数及审敛法(IV)

在工程中的应用
结构分析
在土木工程和机械工程中，数项级数被用来描述结构的振动和稳定性。
信号处理
在电子工程和通信工程中，数项级数被用来处理和分析信号。
控制理论
在控制工程中，我们使用数项级数来描述系统的动态行为和稳定性。
05
数项级数的收敛与发散
收敛的定义与性质
收敛的定义
如果数项级数$sum_{n=1}^{infty} a_n$的极限存在，则称该级数收敛。
缺点
需要找到合适的比较对象，对于一些特殊类型的级数可能难以找到合适的比较对象。
几何审敛法
定义
几何审敛法是通过观察级数的一般项的公比来判断级数的收敛性。
优点
简单易行，适用于某些特定类型的级数。
应用范围
适用于一般项的公比在0和1之间的级数，如 $a_n = r^n$，其中$r$为常数且$0 < r < 1$。
如果 $0 leq a_n leq b_n$ 对所有 $n$ 都成立，且 $sum_{n=0}^{infty} b_n$ 收敛，则 $sum_{n=0}^{infty} a_n$ 也收敛。
数项级数的分类
几何级数
每一项都是前一项的常数倍，表示为 $a_n = r^n$，其中 $r < 1$。
算术级数
数项级数是微积分学的基础，它为微积分中的概念和定理提供了严密的数学基础。
在物理中的应用
波动和振动
在物理中，数项级数被用来描述波动和振动的现象，如弦的振动、波动方程等。
热传导
在研究热传导问题时，我们常常使用傅里叶级数来描述温度在不同空间位置的分布。
电磁学
在电磁学中，我们使用数项级数来描述电磁波的传播和分布。

11.3任意项级数及其审敛法一、交错级数审敛法

二、用比较审敛法或极限审敛法判别下列级数的收敛
性:
1、1 1 2 1 3 1 n ；
1 22 1 32
1 n2
2、
1
n1 1 a n
(a 0) .
三、用比值审敛法判别下列级数的收敛性:
1、 3
32
33
3n
；2、
2n n!.
1 2 2 22 3 23
n 2n
n1 nn
四、用根值审敛法判别下列级数的收敛性:
u n n
二、1、发散；
2、发散.
三、1、发散；
2、收敛.
四、1、收敛；
2、收敛.
五、1、发散；
2、收敛；
a 1,收敛; 3、0 a 1,收敛； 3、条件收敛.
rn un1. 例1（P272 例11.3.1）
三、任意项级数及其审敛法
定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
定理若 un 收敛,则 un 收敛.
n1
n1
定义:若 un 收敛, 则称 un 为绝对收敛;
n1
n1
若 un 发散,而 un 收敛, 则称 un 为条件收敛.
n1
法 4.充要条件
5.比较法
6.比值法
4.绝对收敛
5.交错级数 (莱布尼茨定理)
7.根值法
练习题
一、填空题:
1、 p 级数当_______时收敛,当_______时发散；
2、若正项级数 un 的后项与前项之比值的根等于 , n1 则当________时级数收敛；________时级数发散；
____________时级数可能收敛也可能发散 .
n1
n1
定理若 un 收敛,则 un 收敛.

第三节任意项级数及其审敛法

n =1
∞
n +1
2 发散 n!
n2
2、绝对收敛级数的性质、定理3 绝对收敛的级数不因改变项的位置而改变它的和。定理绝对收敛的级数不因改变项的位置而改变它的和。（即绝对收敛级数具有可交换性）即绝对收敛级数具有可交换性）定理4 绝对收敛的两级数的柯西积也绝对收敛。柯西积也绝对收敛定理绝对收敛的两级数的柯西积也绝对收敛。
作为和s的近似值，其误差 sn s ≤ un +1.
见教材P257）证明（见教材）
交错级数∑ ( 1)
n =1 ∞ n 1
un中un单调递减趋于0，则交错级数收敛。
1 例1 判别交错级数 ∑ ( 1) 的敛散性 n n =1
n
∞
解因为交错级数满足如下条件
1 1 un = > = un +1 n n +1
n =1
∞
n +1
2 n!
n +1
n2
解
因为 ( 1)
2 2 = n! n!
n2
n2
而 lim
2
( n +1)2
n →∞
2
n2
( n + 1)! = lim
n!
2n 2 n 2 = +∞ n →∞ n + 1
n →∞
所以 lim un = +∞
n →∞
即 lim un ≠ 0
所以级数 ∑ ( 1)
lim un = 0
n →∞
1 所以交错级数∑ ( 1) 收敛. n n =1
n
∞
1 也收敛。相似易判别交错级数 ∑ ( 1) 2 也收敛。 n n =1 引入绝对收敛与条件收敛

《数项级数判敛法》课件

了解正项级数和任意项级数的判别法，掌握它们的应用。
二、比较判别法
1
2.1 大比较判别法
学习使用大比较判别法判断级数的收敛
2.2 小比较判别法
2
性。
学习使用小比较判别法判断级数的收敛
性。
3
2.3 拉比尔（Raabe）判别法
深入了解拉比尔判别法，掌握其应用和特点。
三、极限判别法
1 3.1 根值判别法
《数项级数判敛法》PPT 课件
在这个PPT课件中，我们将深入介绍数项级数的判敛法。通过精心设计的布局和丰富细节，让您轻松愉快地学习这个重要的数学概念。
一、级数的概念和性质
1.1 级数的定义
了解级数的基本概念，掌握其定义和表示方法。
1.2 级数的收敛与发散
学习如何判断级数是收敛还是发散。
1.3 正项级数和任意项级数的判别法
4.3 绝对收敛性的性质
掌握绝对收敛级数的性质和重要定理。
五、条件收敛性
5.1 条件收敛性的概念
了解条件收敛性的概念，与绝对收敛性进行比较。
5.2 条件收敛性的判别法
学习使用条件收敛性判别法判断级数的收敛性。
5.3 条件收敛性的性质
掌握条件收敛级数的性质和重要定理。
六、应用举例
1
6.1 洛朗级数
学习使用根值判别法判断级数的收敛性。
2 3.2 比值判别法
了解比值判别法的原理和应用，掌握其使用技巧。
3 3.3 种类判别法
探讨种类判别法的实用性，学习如何判断级数的收敛性。
四、绝对收敛性
4.1 绝对收敛性的概念
了解绝对收敛性的定义和性质。
4.2 绝对收敛性的判别法
学习使用绝对收敛性判别法判断级数的收敛性。

10-3 任意项级数敛散性(完整)

又
un un+1 = ( n + 1 1 = n+1+ ( = ( n+1+
即
∴
收敛. ( 1)n+1 ( n + 1 n ) 收敛 ∑
n =1
∞
n ) ( n + 2 n + 1) 1 n n+ 2+ n+1 n + 2 n) >0 n )( n + 2 + n + 1) un ≥ un+1
′ 类似地, 类似地,对 ∑ vn也同样构造 p′ , qn , n
∑ vn . 的重排, 且∑ p′ 和∑ q′ 分别是 ∑ pn和∑ qn的重排, n n
前面已证收敛的正项级数重排后和不变, 前面已证收敛的正项级数重排后和不变,
′ ′ 可得 ∑ pn ∑ qn =
′ ∑ vn = ∑ pn ∑ q′n = ∑ pn ∑ qn = ∑ un = s.
即un > un+1
n 又 lim un = lim =0 n→ ∞ n→ ∞ n 1
故收敛
例讨论级数
∑1 ( 1) n=
=
∞
n+1
( n + 1 n) 的敛散性. 的敛散性.
1 = 0. 解 ∵ lim un = lim( n + 1 n ) = lim n→ ∞ n→ ∞ n→ ∞ n+1+ n
所以原级数收敛. 所以原级数收敛
注意 1.满足莱布尼兹定理条件的级数称为莱布尼兹 1.满足莱布尼兹定理条件的级数称为莱布尼兹型级数. 型级数.如
∑ ( 1)
n =1
∞
n 1
1 n

任意项级数敛散性完整共43页文档

44、卓越的人一大优点是：在不利与艰难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育；而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔

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n
n
n
证 1º 先证部分和数列S2n单调增加且有上界.
S ( u u ) ( u u ) ( u u ) 2 n 1 2 n 2 n 1 2 3 4
S ( u u ) S 0 un 递减 2 n 2 2 n 1 2 n 2 n 2 + ( u u ) S u ( u u ) ( u u ) u2n u1 2 n 2 2 n 1 2 n 1 2 3 4 5
第十一章
第三节
任意项级数的审敛法
一、交错级数及其审敛法
二、绝对收敛与条件收敛
一、交错级数及其审敛法
交错级数 : 1. 定义 n 1 （ u ） u u u ( 1 ) u n 0 12 3 n
定理11.6 (莱布尼茨审敛法)
若交错级数满足:
1 ) u u ( n 1 , 2 , ) ; n n 1
2 ) lim u 0 , n
, 则 (1)n1un 收敛 , 且其和 Su 1
n1

n
称满足条件 1), 2)的级数为莱布尼茨交错级数
其余项满足 r u n n 1.
S S , lim S S 证明思路： lim lim S S 2 n 2 n 1 n
n 1 ( 1 ) u u 0 )发散 ; 2 {u } 不单调 n n( n
n 1

n 2 ( 1 ) n 1 反例：对于 ( 1 ) ， n 2 n 1

2(1)n u >0 n n 2
事实上，虽然 {u 不单调， n}
3 u 2 k < u2k 2k , 2k 1 2k 1 2 2 2 1 3 u2k 2k > u 2k 1 2k 2 1 2
例如：
n1

(1)n1
1 np
1 ( 1 ) 收敛 , p ；条件收敛, 0 p1 n n 1 1 1 收敛 p 但 n p 发散 . n 1 n 绝对收敛, p1. n1

2. 定理 (绝对收敛与收敛的关系)
定理11.7 若级数 u n 绝对收敛，则该级数必收敛. n1 1 u 证设 n 收敛 , 令vn ( u n u n) 2 n1 则 0 v n un , 由比较审敛法知 v n 收敛,
1 绝对收敛性
1 n ( n 1 ) v u n n 10 n 10 n
1 而发散 , n10 n 1

n1
vn 发散
知级数收敛， 1 且 r u n n 1 p n 1
由莱布尼茨审敛法
注 1º取p1 ,得收敛级数
n 1

1n1
n
1 1 n 11 1 1 n 2 3

和为 ln 2 , 即
ln 2 (第五节) n n 1 绝对值级数 1 n 11 . 2º ( 1 ) 收敛 , 但发散 n n1n n 1
{ S } 单调增加且有上界 2 n
lim S S u 2 n 1
n
S S 2º 再证 lim 2 n 1
n
S lim ( S u ) lim S 又 lim 2n1 2 n 2 n 1 2 n S
n
n
n
lim S S , n
n
故级数收敛于S, 且 S u1,
Sn的余项 :
r S S ( u u ) n n n 1 n 2
r u u n n 1 n 2 仍为莱布尼茨
u n 1.
交错级数
注
1º 莱布尼茨定理中的条件(1)可换成：
u u n N ) n 1 n(
1
2
2( 1 )n u n n 2
n 2 ( 1 ) 1n 1 收敛 n 1 1 但 ( 1 ) [( ) n] n 2 2 2 n 1 n 1
3 {u 单调增加 n}

lim u 0 ) ( 1 ) u u 0 )发散 ; ( n n( n
n1

由收敛级数的基本性质，而 u u 2 v , n n n
n1
u n u n 2 v n 收敛.
n1n 1Fra bibliotek

? 注 un收敛 un绝对收敛

n1
un , 2 vn
均收敛
n1

n1
n1
sin n ! 例2 级数绝对收敛还是发散？条件收敛、 n 2 n 1
1 sin n ! 1 解 u , 而 2收敛 , n 2 2 n n n1n

n 1

sin n ! n
2
收敛
即 2 绝对收敛 . n 1n
sin n !
( 1)n n 的敛散性. 例3 判定交错级数 n 10 n 1

解
n n u ， v ( 1 ) u n n n n 10
n 1 n 1

n
证明交错级数： 1 1 n 11 n 1 1 1 ( 1 ) 1 ) ( p p p 2 3 n np n 1 常数 p 0 ). 收敛，并估计其余项 rn ( 例1
1 解因un p 0 ( n ), 需证un递减趋于零 n 1 1 u 且 un p n 1 p n1 n
与 u u n n敛散性的关系？
n 1
1
n 1
问题:
n 1
二、绝对收敛与条件收敛
1. 定义
（1） u n 绝对收敛：若 u n 收敛；
（ 2） u n 条件收敛: 若
n1

n1
n1
u n 收敛，但

n1

n1
u n 发散.
n 1