考研线性代数冲刺练
考研数学三(线性代数)模拟试卷120(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）模拟试卷120(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A，B，A＋B，A－1＋B－1皆为可逆矩阵，则(A－1＋B－1)－1等于( )．A．A＋BB．A－1＋B－1C．A(A＋B)－1BD．(A＋B)－1正确答案：C解析：A(A＋B)－1B(A－1＋B－1)＝[(A＋B)A－1]－1(BA－1＋E)＝(BA－1＋E)－1(BA－1＋E)＝E，选(C)．知识模块：线性代数2．设则m，n可取( )．A．m＝3，n＝2B．m＝3，n＝5C．m＝2，n＝3D．m＝2，n＝2正确答案：B解析：P1mAP2n＝经过了A的第1，2两行对调与第1，3两列对调，P1＝＝E13，且Eij2＝E，P1mAP2n＝P1AP2，则m＝3，n＝5，选(B)．知识模块：线性代数3．设A＝(α1，α2，…，αm)，其中α1，α2，…，αm是n维列向量，若对于任意不全为零的常数k1，k2，…，km，皆有k1α1＋k2α2＋…＋kmαm ≠0，则( )．A．m＞nB．m＝nC．存在m阶可逆阵P，使得AP＝D．若AB＝O，则B＝O正确答案：D解析：因为对任意不全为零的常数k1，k2，…，km，有k1α1＋k2α2＋…＋kmαm≠0，所以向量组α1，α2，…，αm线性无关，即方程组AX＝0只有零解，故若AB＝O，则B＝O，选(D)．知识模块：线性代数4．设α1，α2，…，αM与β1，β2，…，βs为两个n维向量组，且r(α1，α2，…，αm)＝r(β1，β2，…，βs)＝r，则( )．A．两个向量组等价B．r(α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βs)＝r．C．若向量组α1，α1…，αm可由向量组β1，β2，…，βs线性表示，则两向量组等价D．两向量组构成的矩阵等价正确答案：C解析：不妨设向量组α1，α2，…，αm的极大线性无关组为α1，α2，…，αr，向量组β1，β2，…，βs的极大线性无关组为β1，β2，…，βr，若α1，α2，…，αm可由β1，β2，…，βs线性表示，则α1，α2，…，αr，也可由β1，β2，…，βαr，线性表示，若β1，β2，…，βr，不可由α1，α2，…，αr，线性表示，则β1，β2，…，βs也不可由α1，α2，…，αm线性表示，所以两向量组秩不等，矛盾，选(C)．知识模块：线性代数5．设A为m×n阶矩阵，则方程组AX＝b有唯一解的充分必要条件是( )．A．r(A)＝mB．r(A)＝nC．A为可逆矩阵D．r(A)＝n且b可由A的列向量组线性表示正确答案：D解析：方程组AX＝b有解的充分必要条件是b可由矩阵A的列向量组线性表示，在方程组AX＝b有解的情形下，其有唯一解的充分必要条件是r(A)＝n，选(D)．知识模块：线性代数6．设A为n阶矩阵，下列结论正确的是( )．A．矩阵A的秩与矩阵A的非零特征值的个数相等B．若A～B，则矩阵A与矩阵B相似于同一对角阵C．若r(A)＝r＜n，则A经过有限次初等行变换可化为D．若矩阵A可对角化，则A的秩与其非零特征值的个数相等正确答案：D解析：(A)不对，如A＝，A的两个特征值都是0，但r(A)＝1；(B)不对，因为A～B不一定保证A，B可以对角化；(C)不对，如A＝，A经过有限次行变换化为，经过行变换不能化为；因为A可以对角化，所以存在可逆矩阵P，使得P －1AP＝，于是r(A)＝，故选(D)．知识模块：线性代数填空题7．设A为n阶矩阵，且｜A｜＝a≠0，则｜(kA)*｜＝______．正确答案：kn(n－1)an－1解析：因为(kA)*＝kn－1A*，且｜A*｜＝｜A｜n－1，所以｜(kA)*｜＝｜kn－1A*｜＝kn(n－1)｜A｜n－1＝kn(n－1)an－1．知识模块：线性代数8．设A＝，B≠O为三阶矩阵，且BA＝O，则r(B)＝______．正确答案：1解析：BA＝Or(A)＋r(B)≤3，因为r(A)≥2，所以r(B)≤1，又因为B≠O，所以r(B)＝1．知识模块：线性代数9．设三阶矩阵A的特征值为λ1＝－1，λ2＝，λ3＝其对应的特征向量为α1，α2，α3，令P＝(2α3,－3α1，－α2)，则P－1(A－1＋2E)P＝______．正确答案：解析：P－1(A－1＋2E)P－1A－1P＋2E，而P－1A－1P＝，所以P－1(A－1＋2E)P＝知识模块：线性代数10．设A＝有三个线性无关的特征向量，则a＝______．正确答案：0解析：由｜λE－A｜＝0得A的特征值为λ1＝－2，λ2＝λ3＝6．因为A 有三个线性无关的特征向量，所以A可以对角化，从而r(6E－A)＝1，解得a＝0．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
新东方在线考研数学_线性代数(09冲刺)
2009年研究生入学考试数学一模拟试题（一）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。
（1）设，，则当时，是的(A) 等价无穷小量。
(B) 同阶但非等价无穷小量。
(C) 高阶无穷小量。
(D) 低阶无穷小量。
[ ] （2）设具有一阶连续导数，，则是在处可导的(A) 必要但非充分条件。
(B) 充分但非必要条件。
(C) 充分且必要条件。
(D) 既非充分也非必要条件。
[ ]（3）设有直线L：及平面：，则直线L(A) 平行于π。
(B) 在π上。
(C) 垂直于π。
(D) 与π斜交。
[ ]（4）(A) 。
(B) 。
(C) 。
(D) 。
[ ]（5）已知向量组α1=(a2,1,a),α2=(3a-2,1,2a-1),α3=(1,1,1),r(α1,α2,α3)=2,则a=.(A)-1. (B)1或1/2. (C) 1/2. (D) 1. [ ]（6）设A,B,C,D都是n阶矩阵,满足ABCBD=E,则(A) DABC= CBDA. (B) (BCB)-1=AD .(C) ABC=BD. (D) A-1B-1C-1B-1D-1=E. [ ]（7）假设随机变量X和Y独立同分布，记U=X-Y，V=X+Y，则随机变量U与V [ ] （A）独立（B）不独立（C）相关（D）不相关（8）随机变量X服从U (-1，1)分布，为随机变量Y的分布函数，为的联合分布函数。
已知＝，＝，则＝[ ]A. B. C. D.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分。
把答案填在题中横线上。
（9）设p>1则＝__________________________。
（10）设，则＝__________________________。
（11）微分方程的通解为__________________________。
（12）设方程确定，则＝__________________________。
2020考研数学之线性代数第四章线性方程组基础与强化训练题（含答案,强..
考研数学之线性代数第四章线性方程组基础与强化训练题（含答案，强烈推荐）习题部分一．填空（每题2分）１．设方程组22112122x x kx x kx x 有非零解，则k。
2．线性方程组960654032321321321x x x x x x x x x 有非零解，则。
3．方程组211111111321x x x aa a有无穷多解，则a。
4．非齐次线性方程组b AX（A 为m n 矩阵）有惟一解的的充分必要条件是____________。
5．设A 是n 阶方阵,21,是齐次线性方程组O AX 的两个不同的解向量,则A。
6．设A 为三阶方阵，秩2A r ，321,,是线性方程组b b AX 的解，已知10131321,，则线性方程组b AX 的通解为。
7．三元线性方程组b AX的系数矩阵的秩2A r ，已知该方程组的两个解分别为1111，1112，则b AX 的全部解可表为。
8．设1686493436227521a A，欲使线性齐次方程组O AX 的基础解系有两个解向量，则a =。
9．当a时，线性方程组233321321321321x ax x ax x x x x x 无解。
10．方程组321011032x x x =0的基础解系所含向量个数是___ ______。
11．若5元线性方程组b AX的基础解系中含有2个线性无关的解向量，则Ar 。
12．设线性方程组414343232121a x x a x x a x x a x x 有解，则4321a ,a ,a ,a 应满足条件。
13．设齐次线性方程组为021nx x x ，则它的基础解系中所包含的向量个数为。
14．设21,是非齐次线性方程组b AX 的解向量，则21是方程组的解向量．15．设s,,,21为非齐次线性方程组b AX 的一组解，如果ssc c c 2211也是该方程组的一个解，则sc c c 21。
16．设矩阵1111110A ，则齐次线性方程组O X A E 的一个基础解系为。
(张宇)线性代数冲刺讲义(张宇)
式;(2) a11 0 .计算行列式 A . 解 由 aij Aij A A AA AA A E A A A 0 或 A 1 .又
T * T *
2 2 2 A a11 A11 a12 A12 a13 A13 a11 a12 a13 0 A 1.
)
你会继续证明下去吗？
【例 1】设 A 是 m n 矩阵, B 是 n m 矩阵,则线性方程组 ( AB) x 0 ( (A)当 n m 时仅有零解. (C)当 m n 时仅有零解. 解 (B)当 n m 时必有非零解. (D)当 m n 时必有非零解.
r ( AB) min{r ( A), r ( B)} n ,又 AB 为 m 阶方阵.选(D).
因此有
*
AG | A || B | En * * ,所以应有 G | B | A , H | A | B BH | A || B | E n | B | A* 0 ，选择（D）. | A | B* 0 A1 C 1 O
* 1
于是 C
（A）
| A | A*
0
G 0 A 0 * | C | , G 、 H 是 n 阶方阵 | A || B | ，设 C 0 H 0 B 0 A 0 G 0 AG CC * 0 B 0 H 0 BH 0 | A || B | En | A || B | E2 n 0 | A | B | En
ab b a a 2 b 2 ab b 2 a2 a ， c2 c1 a b ba 2 2 a b
n n
ab a 2 b 2 ab b a b ba 2 2 a b
考研数学三线性代数(向量)模拟试卷3(题后含答案及解析)
考研数学三线性代数（向量）模拟试卷3(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．现有四个向量组①(1，2，3)T，(3，一l，5)T，(0，4，一2)T，(1，3，0)T；②(a，l，b，0，0)T，(c，0，d，2，0)T，(e，0，f,0，3)T；③(a，l，2，3)T，(b，1，2，3)T，(c，3，4，5)T，(d，0，0，0)T；④(1，0，3，1)T，(一1，3，0，一2)T，(2，1，7，2)T，(4，2，14，5)T。
则下列结论正确的是( ) A．线性相关的向量组为①④；线性无关的向量组为②③。
B．线性相关的向量组为③④；线性无关的向量组为①②。
C．线性相关的向量组为①②；线性无关的向量组为③④。
D．线性相关的向量组为①③④；线性无关的向量组为②。
正确答案：D解析：向量组①是四个三维向量，从而线性相关，可排除B。
由于(1，0，0)T，(0，2，0)T，(0，0，3)T线性无关，添上两个分量就可得向量组②，故向量组②线性无关。
所以应排除C。
向量组③中前两个向量之差与最后一个向量对应分量成比例，于是α1，α2，α4线性相关，那么添加α3后，向量组③必线性相关。
应排除A。
由排除法，本题应选D。
知识模块：向量2．设α1，α2，…，αs均为n维向量，下列结论中不正确的是( )A．若对于任意一组不全为零的数k1，k2，…，ks，都有k1α1+k2α2+…+ksαs≠0，则α1，α2，…，αs线性无关。
B．若α1，α2，…，αs线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1，k2，…，ks，都有k1α1+k2α2+…+ksαs=0。
C．α1，α2，…，αs线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s。
D．α1，α2，…，αs线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关。
正确答案：B解析：对于选项A，因为齐次线性方程组x1α1+x2α2+…+xsαs=0只有零解，故α1，α2，…，αs线性无关，A选项正确。
考研数学三线性代数(线性方程组)模拟试卷1(题后含答案及解析)
考研数学三线性代数（线性方程组）模拟试卷1(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．某五元齐次线性方程组的系数矩阵经初等变换，化为，则自由变量可取为(1)x4，x5 (2)x3，x5 (3)x1，x5 (4)x2，x3那么正确的共有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个正确答案：B解析：因为系数矩阵的秩r(A)=3，有n-r(A)=5-3=2，故应当有2个自由变量．由于去掉x4，x5两列之后，所剩三阶矩阵为，因为其秩与r(A)不相等，故x4，x5不是自由变量．同理，x4，x5不能是自由变量．而x1，x5与x2，x3均可以是自由变量，因为行列式都不为0．所以应选B．知识模块：线性方程组2．已知α1，α2，α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解，那么下列向量α1-α2，α1+α2-2α3，(α2-α1)，α1-3α2+2α3中能导出方程组Ax=0解的向量共有( )A．4个．B．3个．C．2个．D．1个．正确答案：A解析：由Aαi=b(i=1，2，3)有A(α1-α2)=Aα1-Aα2=b-b=0，A(α1+α2-2α3)=Aα1+Aα2-2Aα3=b+b-2b=0，A(α1-3α2+2α3)=Aα1-3Aα2+2Aα3=b-3b+2b=0，那么，α1-α2，α1+α2-2α3，(α2-α1)，α1-3α2+2α3均是齐次方程组Ax=0的解．所以应选A．知识模块：线性方程组3．已知α1=(1，1，-1)T，α2=(1，2，0)T是齐次方程组Ax=0的基础解系，那么下列向量中Ax=0的解向量是( )A．(1，-1，3)TB．(2，1，-3)TC．(2，2，-5)TD．(2，-2，6)T正确答案：B解析：如果A选项是Ax=0的解，则D选项必是Ax=0的解．因此选项A、D均不是Ax=0的解．由于α1，α2是Ax=0的基础解系，那么α1，α2可表示Ax=0的任何一个解η，亦即方程组x，α1+x2α2=η必有解，因为可见第二个方程组无解，即(2，2，-5)T不能由α1，α2线性表示．所以应选B．知识模块：线性方程组4．设n元齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A的秩为r，则Ax=0有非零解的充分必要条件是( )A．r=nB．r≥n．C．r＜n．D．r＞n．正确答案：C解析：将矩阵A按列分块，A=(α1，α2，…，αn)，则Ax=0的向量形式为x1a1+x2a2+…+xnan=0，而Ax=0有非零解甘α1，α2，…，αn线性相关r(α1，α2，…，αn)＜nr(A)＜n．所以应选C．知识模块：线性方程组5．已知4阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为四维列向量，其中α1，α2线性无关，若α1+2α2-α3=β，α1+α2+α3+α4=β，2α1+3α2+α3+2α4=β，k1，k2为任意常数，那么Ax=β的通解为( ) A．B．C．D．正确答案：B解析：由α1+2α2-α3=β知即γ1=(1，2，-1，0)T是Ax=β的解．同理γ2=(1，1，1，1)T，γ3=(2，3，1，2)T也均是Ax=β的解，那么η1=γ1-γ2=(0，1，-2，-1)T，η2=γ3-γ2=(1，2，0，1)T是导出组Ax=0的解，并且它们线性无关．于是Ax=0至少有两个线性无关的解向量，有n-r(A)≥2，即r(A)≤2，又因为α1，α2线性无关，有r(A)=r(α1，α2，α3，α4)≥2．所以必有r(A)=2，从而n-r(A)=2，因此η1，η2就是Ax=0的基础解系，根据解的结构，所以应选B．知识模块：线性方程组6．已知β1，β2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，α1，α2是对应的齐次线性方程Ax=0的基础解系，k1，k2为任意常数，则方程组Ax=b 的通解是( )A．B．C．D．正确答案：B解析：对于A、C选项，因为所以选项A、C中不含有非齐次线性方程组Ax=b的特解，故均不正确．对于选项D，虽然(β1-β2)是齐次线性方程组Ax=0的解，但它与α1不一定线性无关，故D也不正确，所以应选B．事实上，对于选项B，由于α1，(α1-α2)与α1，α2等价(显然它们能够互相线性表示)，故α1，(α1-α2)也是齐次线性方程组的一组基础解系，而由可知，是齐次线性方程组Ax=b的一个特解，由非齐次线性方程组的通解结构定理知，B选项正确. 知识模块：线性方程组7．三元一次方程组，所代表的三个平面的位置关系为( )A．B．C．D．正确答案：C解析：设方程组的系数矩阵为A，对增广矩阵A作初等行变换，有因为r(A)=2，而r(A)=3，方程组无解，即三个平面没有公共交点．又因平面的法向量n1=(1，2，1)，n2=(2，3，1)，n3=(1，-1，-2)互不平行．所以三个平面两两相交，围成一个三棱柱．所以应选C．知识模块：线性方程组8．设A是m×n矩阵，Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是( )A．若Ax=0仅有零解，则Ax=b有唯一解．B．若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多个解．C．若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0仅有零解．D．若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0有非零解．正确答案：D解析：因为不论齐次线性方程组Ax=0的解的情况如何，即r(A)=n或r(A)＜n，以此均不能推得r(A)=r(A：b)，所以选项A、B均不正确．而由Ax=b有无穷多个解可知，r(A)=r(A：b)＜b．根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件可知，此时Ax=0必有非零解．所以应选D．知识模块：线性方程组填空题9．设A为3×3矩阵，且方程组Ax=0的基础解系含有两个解向量，则r(A)=_____正确答案：1解析：由线性方程组的基础解系所含解向量的个数与系数矩阵的秩的和等于未知数的个数，且本题系数矩阵为3×3阶，因此r(A)=n-r=3-2=1．知识模块：线性方程组10．设A是一个五阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若η1，η2是齐次线性方程组Ax=0的两个线性无关的解，则r(A*)=_______正确答案：0解析：η1，η2是齐次线性方程组Ax=0的两个线性无关的解．因此由方程组的基础解系所含解向量的个数与系数矩阵秩的关系，因此有n-r(A)≥2，即r(A)≤3．又因为A是五阶矩阵，而r(A)≤3，因此｜A｜4阶子式一定全部为0，因此代数余子式Aij恒为零，即A*=O，所以r(A*)=0．知识模块：线性方程组11．设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组Ax=0，如果矩阵A中的每行元素的和均为0，且r(A)=n-1，则方程组的通解是______正确答案：k(1，1，…，1)T，k是任意常数．解析：由题干可知r(A)=n-1，则线性方程组Ax=0的基础解系由1个解向量组成，即任意的一个非零解都可以成为基础解系．又已知矩阵每行的元素之和都为0，因此有Ai1+Ai2+…+Ain=1×Ai1+1×Ai2+…+1×Ain=0，故(1，1，…，1)T满足每一个方程，是Ax=0的解，所以通解为k(1，1，…，1)T，k 是任意常数．知识模块：线性方程组12．方程组有非零解，则k=_______正确答案：-1解析：一个齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是方程组的系数矩阵对应的行列式等于零，即=12(K+1)=0，因此得k=-1．知识模块：线性方程组13．设A=，A*是A的伴随矩阵，则A*x=0的通解是_____正确答案：k1(1，2，-1)T+k2(1，0，1)T解析：A是一个3阶矩阵，由已知得｜A｜=0，且r(A)=2，因此r(A*)=1，那么可知n-r(A*)=3-1=2，因此A*x=0有两个基础解系，其通解形式为k1η1+k2η2．又因为A*A=｜A｜E=0，因此矩阵A的列向量是A*x=0的解，故通解是k1(1，2，-1)T+k2(1，0，1)T 知识模块：线性方程组14．已知方程组总有解，则λ应满足的条件是______正确答案：解析：对于任意的b1，b2，b3，方程组有解的充分必要条件是系数矩阵A 的秩为3，即｜A｜≠0，由可知λ≠1且λ≠知识模块：线性方程组解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研专项练习 线性代数--习 题集
第一章行列式一. 填空题1. 四阶行列式中带有负号且包含a12和a21的项为______.2. 排列i1i2…i n可经______次对换后变为排列i n i n－1…i2i1.3. 在五阶行列式中=______.4. 在函数中, x3的系数是______.5. 设a, b为实数, 则当a = ______, 且b = ______时, .6. 在n阶行列式D = |a ij|中, 当i < j时a ij = 0 (i, j =1, 2, …, n), 则D = ______.7. 设A为3×3矩阵, |A| =－2, 把A按行分块为, 其中A j (j= 1, 2, 3)是A的第j 行, 则行列式______.二．计算证明题1. 设2. 计算元素为a ij = | i－j|的n阶行列式.3. 计算n阶行列式(n 2).4. 证明:奇数阶反对称矩阵的行列式为零.5. 试证: 如果n次多项式对n+ 1个不同的x值都是零, 则此多项式恒等于零. (提示: 用范德蒙行列式证明)6. 设第二章矩阵一. 填空题1. 设1, 2, 3, , 均为4维向量, A = [1, 2, 3, ], B = [1, 2, 3, ], 且|A| = 2, |B| = 3, 则|A－3B| = ______.2. 若对任意n×1矩阵X, 均有AX = 0, 则A = ______.3. 设A为m阶方阵, 存在非零的m×n矩阵B, 使AB= 0的充分必要条件是______.4. 设A为n阶矩阵, 存在两个不相等的n阶矩阵B, C, 使AB = AC的充分条件是______.5. = ______.6. 设矩阵= ______.7. 设n阶矩阵A满足= ______.8. 设=______.9. 设10. 设矩阵, 则A的逆矩阵= ______.二. 单项选择题1. 设A、B为同阶可逆矩阵, 则(A) AB = BA (B) 存在可逆矩阵P, 使(C) 存在可逆矩阵C, 使 (D) 存在可逆矩阵P和Q, 使2. 设A、B都是n阶可逆矩阵, 则等于(A) (B) (C) (D)3. 设A、B都是n阶方阵, 下面结论正确的是(A) 若A、B均可逆, 则A + B可逆. (B) 若A、B均可逆, 则AB可逆.(C) 若A + B可逆, 则A－B可逆. (D) 若A + B可逆, 则A, B均可逆.4. 设n维向量, 矩阵, 其中E为n阶单位矩阵, 则AB =(A) 0 (B) －E (C) E (D)5. 设, , , 设有P2P1A = B, 则P2 =(A) (B) (C) (D)6. 设A为n阶可逆矩阵, 则(－A)*等于(A) －A* (B) A* (C) (－1)n A* (D) (－1)n－1A*7. 设n阶矩阵A非奇异(n 2), A*是A的伴随矩阵, 则(A) (B)(C) (D)8. 设A为m×n矩阵, C是n阶可逆矩阵, 矩阵A的秩为r1, 矩阵B = AC的秩为r,则(A) r > r1 (B) r < r1 (C) r = r1 (D) r与r1的关系依C而定9. 设A、B都是n阶非零矩阵, 且AB = 0, 则A和B的秩(A) 必有一个等于零 (B) 都小于n (C) 一个小于n, 一个等于n (D) 都等于n三. 计算证明题1. 设, . 求: i. AB－BA ii. A2－B2 iii. B T A T2. 求下列矩阵的逆矩阵i.ii.iii.iv.3. 已知三阶矩阵A满足. 其中, , . 试求矩阵A.4. k取什么值时, 可逆, 并求其逆.5. 设A是n阶方阵, 且有自然数m, 使(E + A)m = 0, 则A可逆.6. 设B为可逆矩阵, A是与B同阶方阵, 且满足A2 + AB + B2 = 0, 证明A和A + B都是可逆矩阵.7. 若A, B都是n阶方阵, 且E + AB可逆, 则E + BA也可逆, 且8. 设A, B都是n阶方阵, 已知|B| 0, A－E可逆, 且(A－E)－1 = (B－E)T, 求证A 可逆.9. 设A, B, A + B为n阶正交矩阵, 试证: (A + B)－1 = A－1 + B－1.10. 设A, B都是n阶方阵, 试证明: .11. 设A为主对角线元素均为零的四阶实对称可逆矩阵, E为四阶单位矩阵i. 试计算|E +AB|, 并指出A中元素满足什么条件时, E + AB可逆;ii. 当E + AB可逆时, 试证明(E + AB)－1A为对称矩阵.12. 设, 求A n.13. A是n阶方阵, 满足A m = E, 其中m是正整数, E为n阶单位矩阵. 今将A中n2个元素a ij用其代数余子式A ij代替, 得到的矩阵记为A0. 证明.14. 设矩阵i. 证明: n 3时, (E为三阶单位矩阵) ii. 求A100.15. 当时, A6 = E. 求A11.16. 已知A, B是n阶方阵, 且满足A2 = A, B2 = B, 与(A－B)2 = A + B, 试证: AB = BA = 0.第三章向量一. 填空题1. 设, 则k = ______时, 1, 2, 3, 4线性相关.2. 设, 则t = ______时, 1, 2, 3, 4线性相关.3. 当k = ______时, 向量 = (1, k, 5)能由向量线性表示.4. 已知, 则秩(1, 2, 3, 4) = ______.5. 设, 则秩(A) = ______.7. 已知向量, 且秩(1, 2, 3, 4) = 2, 则t = ______.二. 单项选择题1. 设向量组1, 2, 3线性无关, 则下列向量组线性相关的是(A) 1 + 2, 2 + 3, 3 + 1 (B) 1, 1 + 2, 1+ 2 + 3(C) 1－2, 2－3, 3－1 (D) 1 + 2, 22 + 3, 33 + 12. 设矩阵A m×n的秩为R(A) = m < n, E m为m阶单位矩阵, 下列结论正确的是(A) A的任意m个列向量必线性无关 (B) A的任意一个m阶子式不等于零(C) 若矩阵B满足BA = 0, 则B = 0 (D) A通过行初等变换, 必可以化为(E m,0)的形式3. 设向量组 (I): ;设向量组 (II): , 则(A) (I)相关(II)相关 (B) (I)无关(II)无关(C) (II)无关(I)无关 (B) (I)无关 (II)无关4. 设, 1, 2线性相关, , 2, 3线性无关, 则(A) 1, 2, 3线性相关 (B) 1, 2, 3线性无关(C) 1可用, 2, 3线性表示 (D) 可用1, 2线性表示5. 设A, B是n阶方阵, 且秩(A) = 秩(B), 则(A) 秩(A－B) = 0 (B) 秩(A + B) = 2秩(A)(C) 秩(A－B) = 2秩(A) (D) 秩(A + B) 秩(A) + 秩(B)三. 计算证明题1. 设有三维向量, ,, 问k取何值时i. 可由1, 2, 3线性表示, 且表达式唯一;ii. 可由1, 2, 3线性表示, 但表达式不唯一;iii. 不能由1, 2, 3线性表示.2. 设向量组1, 2, 3线性相关, 向量组2, 3, 4线性无关, 问i. 1能否由2, 3线性表出? 证明你的结论;ii. 4能否由1, 2, 3线性表出? 证明你的结论3. 已知m个向量1, 2, …m线性相关, 但其中任意m－1个都线性无关, 证明:i. 如果存在等式k11 +k22 + … + k mm = 0则这些系数k1, k2, …k m或者全为零, 或者全不为零;ii. 如果存在两个等式k11 +k22 + … + k mm = 0l11 +l22 + … + l mm = 0其中l1 0, 则.4. 设向量组1, 2, 3线性无关, 问常数a, b, c满足什么条件a1－2, b2－3, c3－1线性相关.5. 设A是n阶矩阵, 若存在正整数k, 使线性方程组A k x = 0有解向量, 且A k－1 0, 证明: 向量组, A, , A k－1是线性无关的.6. 求下列向量组的一个极大线性无关组, 并把其余向量用极大线性无关组线性表示.i. .ii.7. 已知三阶矩阵, 讨论秩(A)的情形.8. 设三阶矩阵A满足A2 = E(E为单位矩阵), 但A E, 试证明 (秩(A－E)－1) (秩(A + E)－1) = 09. 设A为n阶方阵, 且A2 = A, 证明: 若A的秩为r, 则A－E的秩为n－r, 其中E 是n阶单位矩阵.10. 设A为n阶方阵, 证明: 如果A2 = E, 则秩(A + E) + 秩(A－E) = n.第四章线性方程组一. 填空题1. 在齐次线性方程组A m×n x = 0中, 若秩(A) = k且1, 2, …, r是它的一个基础解系, 则r = _____; 当k = ______时, 此方程组只有零解.2. 若n元线性方程组有解, 且其系数矩阵的秩为r, 则当______时, 方程组有唯一解; 当______时, 方程组有无穷多解.3. 齐次线性方程组只有零解, 则k应满足的条件是______.4. 设A为四阶方阵, 且秩(A) = 2, 则齐次线性方程组A*x = 0(A*是A的伴随矩阵)的基础解系所包含的解向量的个数为______.5. 设, 则A x = 0的通解为______.6. 设1, 2, …s是非齐次线性方程组A x = b的解, 若C11 + C22 + … + C ss也是A x = b的一个解, 则C1 + C2 + … + C s = ______.7. 方程组A x = 0以为其基础解系,则该方程的系数矩阵为___.8. 设A x = b, 其中, 则使方程组有解的所有b是______.9. 设A, B为三阶方阵, 其中, , 且已知存在三阶方阵X, 使得, 则k = ___________.二. 单项选择题1. 要使1 = (1, 0, 1)T, 2 = (－2, 0, 1)T都是线性方程组的解, 只要系数矩阵A 为(A) (B) (C) (D)2. 设的基础解系, 则该方程组的基础解系还可以表成(A) 的一个等阶向量组 (B) 的一个等秩向量组(C) (C)3. n阶矩阵A可逆的充分必要条件是(A) 任一行向量都是非零向量 (B) 任一列向量都是非零向量(C) 有解 (D) 当时, , 其中4. 设n元齐次线性方程组的系数矩阵A的秩为r, 则有非零解的充分必要条件是( A ) ( B ) ( C ) ( D )5. 设矩阵, 矩阵, 则线性方程组( A ) 当时仅有零解. ( B ) 当时必有非零解.( C ) 当时仅有零解. ( D ) 当时必有非零解.6. 设n阶矩阵A的伴随矩阵, 若是非齐次线性方程组的互不相等的解, 则对应的齐次线性方程组的基础解系( A ) 不存在 ( B ) 仅含一个非零解向量( C ) 含有二个线性无关解向量 ( D ) 含有三个线性无关解向量三. 计算证明题1. 求方程组的通解, 并求满足方程组及条件的全部解.2. 设有线性方程组, 问m, k为何值时, 方程组有惟一解? 有无穷多组解? 有无穷多组解时, 求出一般解.3. 问为何值时, 线性方程组有解, 并求出解的一般形式.4. 已知, , 及.i. a, b 为何值时, 不能表示成的线性组合.ii. a, b 为何值时, 有的惟一线性表示, 并写出该表示式.5. 知方程组与同解, 试确定a, b, c.6. 已知下列非齐次线性方程组( I )、( II )( I ) ( II )i. 求解方程组( I ), 用其导出组的基础解系表示通解;ii. 当方程组( II )中的参数m, n, t为何值时, 方程组( I )与( II )同解.7. 设A是m×n矩阵, R是m×n矩阵, x = , B是m×m矩阵, 求证: 若B可逆且BA 的行向量都是方程组的解, 则A的每个行向量也都是该方程组的解.8. A是n阶矩阵, 且A 0. 证明:存在一个n阶非零矩阵B, 使AB = 0的充分必要条件是.9. 假设A是m×n阶矩阵,若对任意n维向量x, 都有, 则A = 0.10. 假设. 如果是方程组的一个解, 试求的通解.11. 假设. 如果矩阵方程有解, 但解不惟一, 试确定参数a.第五章特征值和特征向量一. 填空题1. 设A是n阶方阵, 为A的伴随矩阵, |A| = 5, 则方阵的特征值是______, 特征向量是______.2. 三阶方阵A的特征值为1, －1, 2, 则的特征值为_______.3. 设且A的特征值为2和1(二重), 那么B的特征值为_______.4. 已知矩阵相似, 则x = _____, y = ______.5. 设A, B为n阶方阵, 且, 则AB与BA相似, 这是因为存在可逆矩阵P = ______, 使得.二. 单项选择题1. 零为矩阵A的特征值是A为不可逆的(A) 充分条件 (B) 必要条件 (C)充要条件 (D) 非充分、非必要条件2. 设是矩阵A的两个不同的特征值, 是A的分别属于的特征向量, 则(A) 对任意, 都是A的特征向量.(B) 存在常数, 是A的特征向量.(C) 当时, 不可能是A的特征向量.(D) 存在惟一的一组常数, 使是A的特征向量.3. 设是n阶矩阵A的特征值, 且齐次线性方程组的基础解系为, 则A的属于的全部特征向量是(A) (B)(C) (为任意常数) (D) (为不全为零的任意常数)4. 设是矩阵A的两个不同的特征值, 是A的分别属于的特征向量, 则有是(A) 线性相关 (B) 线性无关 (C) 对应分量成比例 (D) 可能有零向量5. 与n阶单位矩阵E相似的矩阵是(A) 数量矩阵 (B) 对角矩阵D (主对角元素不为1)(C) 单位矩阵E (D) 任意n阶矩阵A6. 是n阶方阵, 且, 则(A) 的特征矩阵相同 (B) 的特征方程相同(C) 相似于同一个对角阵 (D) 存在正交矩阵T, 使得三. 计算证明题1. 设是矩阵的特征值, 求: i. t的值; ii. 对应于的所有特征向量.2. 求n阶矩阵的特征值与特征向量.3. 假定n阶矩阵A的任意一行中, n个元素的和都是a, 试证是A的特征值,且(1, 1, …, 1)T是对应于的特征向量, 又问此时的每行元素之和为多少?4. 设均是n阶方阵, 且, 证明有公共的特征向量.5. 设三阶矩阵A满足, 其中列向量, ,, 试求矩阵A.6. 设矩阵A与B相似, 其中, ,i. 求x和y的值; ii. 求可逆矩阵P, 使得.7. 设矩阵, 矩阵, 其中k为实数, E为单位矩阵, 求对角矩阵, 使得B与相似,并求k为何值时, B为正定矩阵.8. 设n阶矩阵A的特征值为1, 2, …, n, 试求.12. 设是方阵A的两个不同的特征值, 是A的对应于的线性无关的特征向量, 是A的对应于的线性无关的特征向量, 证明,线性无关.9. 某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计, 然后将熟练工支援其它生产部门, 其缺额由招收新的非熟练工补齐. 新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟练工, 设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为和, 记成向量 i. 求与的关系式并写出矩阵形式: = A;ii. 验证, 是A的两个线形无关的特征向量, 并求出相应的特征值;iii. 当 = 时, 求.第六章二次型一. 填空题1. 二次型的矩阵是______.2. 矩阵对应的二次型是________.3. 当_______时, 实二次型是正定的.4. 设A是实对称可逆矩阵, 则将化为的线性变换为______.5. 设n阶实对称矩阵A的特征值分别为1, 2, …, n, 则当t ______ 时, 是正定的.二. 单项选择题1. 设均为n阶方阵, , 且, 当( )时,(A) 秩(A) = 秩(B) (B) (C) (D) 且2. 下列矩阵为正定的是(A) (B) (C) (D)3. 设均为n阶正定矩阵, 则( )是正定矩阵.(A) (B) (C) (D)三．计算证明题1. 用配方法将下列二次型化为标准形2. 用正交变换将下列实二次型化为标准形i.ii.3. 设A为n阶实对称矩阵, 且满足, 证明A是正定矩阵.4. 设实对称矩阵A的特征值全大于a, 实对称矩阵B的特征值全大于b, 证明A + B的特征值全大于a + b.5. 设A为n阶实对称矩阵, 证明: 秩(A) = n的充分必要条件为存在一个n阶实矩阵B, 使是正定矩阵.。
李永乐线性代数冲刺笔记(打印版)
1
(III)由 A 2 ＝β α1 －2α2 ＋α3－α4＝β， 1
1
那么 B＝[α3，α2，α1，β＋α4]＝[α3，α2，α1，α1－2α2＋α3－α4] r(B)＝4.
- 2 - / 11
从而 n－r(B)＝2.源自5因为[α3，α2，α1，α1 －2α2＋α3－α4] 3 ＝α1－3α2＋5α3 1
β＝α＋l1η1＋l2η2＋…＋lt ηt
β＝(1－l1 －l2 －…－lt)α＋l1η1＋l2η2＋…＋lt ηt
- 1 - / 10
即 β 可由 α，α＋η1，α＋η2，…，α＋ηt 表出.
【评注】 本题考查向量小组的线性相关的证明和线性表出的证明.考查了方程组基础解系的
概念：
设有向量小组 η1，η2，…，ηt 满足： (1) Aηi ＝ 0（i =1，…，t），即 ηi 是 Ax ＝ 0 的解. (2) Ax ＝ 0 的任意一个解都可以由 η1，η2，…，ηt 表出. (3) η1，η2，…，ηt 线性无关. 那么称 η1，η2，…，ηt 为 Ax ＝ 0 的基础解系. 也就是说若 η1，η2，…，ηt 是 Ax ＝ 0 的基础解系，那么 η1，η2，…，ηt 必满足上
设 k0α＋k1 (α＋η1)＋k2(α＋η2)＋…＋ kT(α＋ηt)＝0
(1)
即 （k0＋k1＋k2＋…＋kT）α＋k1η1＋k2η2＋…＋kT ηt＝0
(2)
由 Aα＝b， Aηi＝0（i＝1，…，t），用 A 左乘（2），有
(k0＋k1＋k2＋…＋kt)Aα＋k1Aη1＋k2Aη2＋…＋ktAηt＝0
即 (k0 ＋k1＋k2 ＋…＋kt)b＝0
又 b≠0，有 k0＋k1＋k2＋…＋kT＝0
考研数学一(线性代数)模拟试卷96(题后含答案及解析)
考研数学一（线性代数）模拟试卷96(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A是三阶矩阵，B是四阶矩阵，且｜A｜=2，｜B｜=6，则为( )．A．24B．一24C．48D．－48正确答案：D解析：=－48，选(D)．知识模块：线性代数2．设n维行向量α=，A=E－αTα，B=E＋2αTα，则AB为( )．A．OB．－EC．ED．E+αTα正确答案：C解析：由ααT=，得AB=(E－αTα)(E+2αTα)=E，选(C)．知识模块：线性代数3．设A为n阶矩阵，且｜A｜=0，则A( )．A．必有一列元素全为零B．必有两行元素对应成比例C．必有一列是其余列向量的线性组合D．任一列都是其余列向量的线性组合正确答案：C解析：因为｜A｜=0，所以r(A)＜n，从而A的n个列向量线性相关，于是其列向量中至少有一个向量可由其余向量线性表示，选(C)．知识模块：线性代数4．设α1，α2，α3，α4为四维非零列向量组，令A=(α1，α2，α3，α4)，AX=0的通解为X=k(0，一1，3，0)T，则A*X=0的基础解系为( ) A．α1，α3B．α2，α3，α4C．α1，α2，α4D．α3，α4正确答案：C解析：因为AX=0的基础解系只含一个线性无关的解向量，所以r(A)=3，于是r(A*)=1，因为A*A=｜A｜E=O，所以，α1，α2，α3，α4为A*X=0的一组解，又因为一α2+3α3=0，所以α2，α3线性相关，从而α1，α2，α4线性无关，即为A*X=0的一个基础解系，应选(C)．知识模块：线性代数5．设三阶矩阵A的特征值为λ1=－1，λ2=0，λ3=1，则下列结论不正确的是( )．A．矩阵A不可逆B．矩阵A的迹为零C．特征值一1，1对应的特征向量正交D．方程组AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量正确答案：C解析：由λ1=一1，λ2=0，λ3=1得｜A｜=0，则r(A)＜3，即A不可逆，(A)正确；又λ1+λ2+λ3=tr(A)=0，所以(B)正确；因为A的三个特征值都为单值，所以A的非零特征值的个数与矩阵A的秩相等，即r(A)=2，从而AX=0的基础解系仅含有一个线性无关的解向量，(D)是正确的；(C)不对，因为只有实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，一般矩阵不一定有此性质，选(C)．知识模块：线性代数6．设，则m，n可取( )．A．m=3，n=2B．m=3，n=5C．m=2，n=3D．m=2，n=2正确答案：B解析：P1mAP2n=经过了A的第1，2两行对调与第1，3两列对调，P1==E13，且Eij2=E，P1mAP2=P1AP2，则m=3，n=5，即选(B)．知识模块：线性代数7．若向量组α1，α2，α3，α4线性相关，且向量α4不可由向量组α1，α2，α3线性表示，则下列结论正确的是( )．A．α1，α2，α3线性无关B．α1，α2，α3线性相关C．α1，α2，α4线性无关D．α1，α2，α4线性相关正确答案：B解析：若α1，α2，α3线性无关，因为α4不可由α1，α2，α3线性表示，所以α1，α2，α3，α4线性无关，矛盾，故α1，α2，α3线性相关，选(B)．知识模块：线性代数8．设A为n阶矩阵，下列结论正确的是( )．A．矩阵A的秩与矩阵A的非零特征值的个数相等B．若A～B，则矩阵A与矩阵B相似于同一对角阵C．若r(A)=r＜n，则A经过有限次初等行变换可化为D．若矩阵A可对角化，则A的秩与其非零特征值的个数相等正确答案：D解析：(A)不对，如A=，A的两个特征值都是0，但r(A)=1；(B)不对，因为A～B不一定保证A，B可以对角化；知识模块：线性代数填空题9．若矩阵A=，B是三阶非零矩阵，满足AB=0，则t=________．正确答案：1解析：由AB=O得r(A)+r(B)≤3，因为r(B)≥1，所以r(A)≤2．又因为矩阵A有两行不成比例，所以r(A)≤2，于是r(A)=2．知识模块：线性代数10．设向量组α1，α2，α3线性无关，且α1+aα2+4α3，2α1+α2一α3，α2+α3线性相关，则a=_______．正确答案：5解析：(α1+aα2+4α3，2α1+α2一α3，α2+α3)=(α1，α2，α3)，因为α1，α2，α3线性无关，而α1+aα2+4α3，2α1+α2一α3，α2+α3线性相关，所以=0，解得a=5．知识模块：线性代数11．设二次型2x12+x22+x32+2x1x2+ax2x3的秩为2，则a=_______．正确答案：解析：该二次型的矩阵为A=，因为该二次型的秩为2，所以｜A｜=0，解得a=±．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三线性代数(矩阵)模拟试卷2(题后含答案及解析)
考研数学三线性代数（矩阵）模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．已知A=，A*是A的伴随矩阵，若r(A*)=1．则a=( )A．3B．2C．1D．1或3正确答案：D解析：A是四阶矩阵，那么由伴随矩阵秩的公式所以a=1或a=3时，均有r(A*)=1．因此应选D 知识模块：矩阵2．设A为n阶方阵，且A的行列式｜A｜=a≠0A*是A的伴随矩阵，则｜A*｜等于( )A．aB．C．an-1D．an正确答案：C解析：对AA*=｜A｜E两边取行列式，得｜A｜｜A*｜=｜｜A｜E｜=｜A｜n 由｜A｜=a≠0，可得｜A*｜=｜A｜=an-1．所以应选C．知识模块：矩阵3．设A和B都是n阶矩阵，则必有( )A．｜A+B｜=｜A｜+｜B｜B．AB=BAC．｜AB｜=｜BA｜D．(A+B)-1=A-1+B-1正确答案：C解析：因为｜AB｜=｜A｜｜B｜=｜B｜A｜=BA｜，所以C正确．对于选项A，取B=-A，则｜A+｜B=0，而｜A｜+｜B｜不一定必为零，故A错误．对于选项B，由矩阵乘法不满足交换律知，B不正确．对于选项D，因(A+B)(A-1+B-1)≠E，故D也不正确．所以应选C．知识模块：矩阵4．设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC=E，其中E是n阶单位阵，则必有( )A．ACB=EB．CBA=EC．BAC=ED．BCA=E正确答案：D解析：由题设ABC=E，可知A(BC)=E或(AB)C=E，即A与BC以及Aj5}与C均互为逆矩阵，从而有(BC)A=BCA=E或C(AB)=CAB=E，比较四个选项，所以应选D．知识模块：矩阵5．设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B=AC 的秩为r1，则( )A．r＞r1B．r＜r1C．r=r1D．r与r1的关系依C而定正确答案：C解析：因为B=AC=EAC，其中E为m阶单位矩阵，而E与C均可逆，由矩阵的等价定义可知，矩阵B与A等价，从而r(B)=r(A)．所以应选C．知识模块：矩阵6．设三阶矩阵A=，若A的伴随矩阵的秩等于1，则必有( )A．a=b或a+2b=0．B．a=b或a+2b≠0．C．a≠b且a+2b=0．D．a≠b或a+2b≠0．正确答案：C解析：根据矩阵A与其伴随矩阵A*秩的关系可知，r(A)=2，即A为降秩矩阵，从而故有a+2b=0或a=b．但当a=b时，r(A)=1．故必有a≠b且a+2b=0，所以应选C．知识模块：矩阵7．设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B，再把B的第2列加到第3列得C，则满足AQ=C的可逆矩阵Q为( )A．B．C．D．正确答案：D解析：由题设，有知识模块：矩阵8．已知矩阵A=，那么下列矩阵中与矩阵A相似的矩阵个数为( )A．1．B．2．C．3．D．4．正确答案：C解析：二阶矩阵A有两个不同的特征值1和3，因此A～A=，那么只要和矩阵A有相同的特征值，它就一定和A相似，也就一定与A相似．(1)和(2)分别是上三角和下三角矩阵，且特征值是1和3，所以它们均与A相似，对于(3)和(4)，由可见(4)亦与A相似，而(3)与A不相似．所以应选C．知识模块：矩阵填空题9．设A=，则其逆矩阵A-1=________正确答案：解析：对已知矩阵和单位矩阵同时作初等变换，即知识模块：矩阵10．设A=，且r(A)=2，则k=_______正确答案：-2解析：对A作初等变换，因此r(A)=2时，故k=-2．知识模块：矩阵11．设A=，B是3阶非零矩阵，且AB=O，则a=________正确答案：解析：因为AB=0，则有r(A)+r(B)≤3，又已知矩阵B≠O，因此r(B)≥1，那么r(A)＜3，则行列式｜A｜=0．而知识模块：矩阵12．已知n阶矩阵A=，则r(A2-A)=______正确答案：1解析：根据A2-A=A(A-E)，已知矩阵A=，A是可逆矩阵，因此r(A2-A)=r(A-E)，而r(A-E)=1，所以r(A2-A)=1．知识模块：矩阵13．设n阶矩阵A满足A2=A，E为n阶单位阵，则r(A)+r(A-E)=_______正确答案：n解析：由已知A2=A，则有A(A-E)=A2-A=A-A=O，所以r(A)+r(A-E)≤n 又r(A-E)=r(E-A)，则r(A)+r(A-E)=r(A)+r(E-A)≥r(A+E-A)=r(E)=n，因此r(A)+r(A-E)=n．知识模块：矩阵14．已知A=，矩阵X满足A*X=A-1+2X，其中A*是A的伴随矩阵，则X=______正确答案：解析：左乘矩阵A，并把等式AA*=｜A｜E代入已知矩阵方程，得｜X｜X=E+2AX，移项可得(｜A｜E-2A)X=E，因此X=(｜A｜E-2A)-1已知｜A｜=4，所以知识模块：矩阵15．已知α1=(1，0，0)T，α2=(1，2，-1)T，α3=(-1，1，0)T，且Aα1=(2，1)T，Aα2=(-1，1)T，Aα3=(3，-4)T，则A=_____正确答案：解析：利用分块矩阵，得A[α1，α2，α3]=[Aα1，Aα2，Aα3]=，那么知识模块：矩阵16．设A、B均为3阶矩阵，E是3阶单位矩阵，已知AB=2A+3B，A=，则(B-2E)-1=________正确答案：解析：利用已知条件AB=2A+3B，通过移、添加项构造出B-2E，于是有AB-2A-3B+6E=6E，则有(A-3E)(B-2E)=6E．从而知识模块：矩阵17．设A=，且A，B，X满足(E-B-1A)tBtX=E，则X-1=_______正确答案：解析：由(E-B-1A)TBTX=E，得[B(E-B-1A)]TX=E，即(BE-BB-1A)TX=E，也就是(B-A)TX=E，因此X-1=(B-A)T= 知识模块：矩阵18．设矩阵A与B=相似，则r(A)+r(A-2E)=_______正确答案：3解析：矩阵A与B相似，则A-2E与B-2E相似，结合已知条件，并根据相似矩阵的性质，则有r(A)+r(A-2E)=r(B)+r(B-2E)=2+1=3 知识模块：矩阵19．设A是一个n阶矩阵，且A2-2A-8E=O，则r(4E-A)+r(2E+A)=__________正确答案：n解析：根据已知A2-2A-8E=O，可得(4E-A)(2E+A)=O，根据矩阵秩的性质可知r(4E-A)+r(2E+A)≤n，同时r(4E-A)+r(2E+A)≥r[(4E-A)+(2E+A)]=r(6E)=n，因此r(4E-A)+r(2E+A)=n．知识模块：矩阵20．设3阶方阵A，B满足关系式A-1BA=6A+BA，且A=则B=______正确答案：解析：由题设可知，A可逆，已知A-1BA=6A+BA，在该等式的两端右乘A-1，则有A-1B=6E+B，在该等式两端左乘A，可得B=6A+AB，则有(E-A)B=6A，即B=6(E-A)-1A，且知识模块：矩阵解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学冲刺题
考研数学冲刺题数学作为考研的一门必考科目，对于很多考生来说是一个难啃的骨头。
尤其是在备考的冲刺阶段，很多考生会遇到各种各样的难题，导致备考心态受到影响。
因此，考研数学冲刺题的重要性就显得格外突出。
在考研数学的冲刺阶段，考生需要有一个清晰的备考计划和复习重点。
首先，考生要对各个知识点的考点有一个清晰的掌握，要做到心中有数。
其次，考生要重点攻克一些难点和考研数学中比较常考的题型，比如线性代数中的矩阵、概率论中的概率分布等。
在冲刺阶段，考生需要有针对性地进行复习，做到“短兵相接”，力求在有限的时间内将重点知识点复习到位。
在做考研数学冲刺题时，考生要注重练习和巩固，尤其是要多做一些模拟题和历年考研真题，这样可以让考生更好地了解考试的难度和考点，帮助考生熟悉考试的题型和命题规律。
同时，考生要多总结归纳，将自己做过的题目进行分类整理，找出解题的规律和技巧，以便在考试中能够更加游刃有余地应对各种题目。
此外，考生在冲刺阶段还要注重时间的控制和应试技巧的培养。
在考研数学考试中，时间是非常宝贵的，考生要做到快速准确地解题，避免在某一道题上花费过多的时间而影响到后面的做题进度。
考生可以通过刷题的方式来提高解题的速度和准确性，逐渐培养出解题的直觉和技巧。
另外，考生在考试中要注意审题和命题的细节，避免在一些细节上犯错误，影响到整体的解题过程。
总的来说，考研数学的冲刺阶段是考生最后的冲刺阶段，考生要在这个阶段做到心中有数，有的放矢，有针对性地进行复习和练习，注重时间的控制和应试技巧的培养，最终在考试中取得好的成绩。
希望考生们在考研数学的冲刺阶段能够顺利，取得优异的成绩，实现考研的梦想。
考研数学三(线性代数)模拟试卷34(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）模拟试卷34(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A是n阶矩阵，α是n维列向量，且秩=秩(A)，则线性方程组A．AX=α必有无穷多解B．AX=α必有惟一解C．仅有零解D．必有非零解正确答案：D解析：方程组=0是λ+1元齐次线性方程组，由条件，其系数矩阵的秩=An ×m的秩≤n＜n+1，故该λ+1元齐次线性方程组必有非零解。
于是知(D)正确。
知识模块：线性代数2．设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则线性方程组(AB)x=0A．当n＞m时仅有零解B．当n＞m时必有非零解C．当m＞n时仅有零解D．当m＞n时必有非零解正确答案：D解析：注意AB为m阶方阵，方程组(AB)x=0有非零解(只有零解)r(AB)＜m(r(AB)=m)。
当m＞n时，有r(AB)≤r(A)≤n＜m故当m＞n时，方程组(AB)x=0必有非零解。
可以举例说明备选项(A)、(B)都不对。
故只有(D)正确。
知识模块：线性代数3．设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠0，若ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是非齐次线性方程组Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系A．不存在B．仅含一个非零解向量C．含有两个线性无关的解向量D．含有三个线性无关的解向量正确答案：B解析：由A*≠0知A*至少有一个元素Aij=(一1)i+jMij≠0，故A的余子式Mij≠0，而Mij为A的n—1阶子式，故r(A)≥n一1，又由Ax=b有解且不唯一知r(A)＜n，故r(A)=n一1，因此，Ax=0的基础解系所含向量个数为n一r(A)=n 一(n一1)=1，只有(B)正确。
知识模块：线性代数4．设A为4×3矩阵，η1，η2，η3是非齐次线性方程组Ax=β的3个线性无关的解，k1，k2为任意常数，则Ax=β的通解为A．B．C．D．正确答案：C解析：首先，由是Ax=β的一个特解；其次，由解的性质或直接验证，知η2一η1及η3一η1均为方程组Ax=0的解，再次，由η1，η2，η3线性无关，利用线性无关的定义，或由[η2一η1，η3一η1]=[η1，η2，η3]及矩阵的秩为2，知向量组η2一η1，η3一η1线性无关，因此，方程组Ax=0至少有2个线性无关的解，但它不可能有3个线性无关的解(否则，3一r(A)=3，这与A η1=β≠0矛盾)，于是η2一η1，η3一η1可作为Ax=0的基础解系，Ax=0的通解为k1(η2一η1)+k2(η3一η1)，再由非齐次线性方程组解的结构定理即知只有选项(C)正确。
考研数学三(线性代数)模拟试卷40(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）模拟试卷40(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设二次型f(x1，x2，x3)在正交变换x=Py下的标准形为2y12+y22一y32，其中P=(e1，e3，e3)。
若Q一(e1，-e3，e3)，则f(x1，x2，x3)在正交变换x=Qy 下的标准形为A．2y12一y22+y32B．2y12+y22一y32C．2y12一y22一y32D．2y12+y22+y32正确答案：A解析：本题考查用正交变换化二次型成标准形的问题，这本质上是实对称矩阵的正交相似对角化问题，计算上主要是求n阶实对称矩阵的n个两两正交的单位特征向量。
设二次型的矩阵为A，则由题意知矩阵P的列向量e1，e2，e3是矩阵A的标准正交的特征向量，对应的特征值依次是2，1，一1．即有Ae1=2e1，Ae2=2e2，Ae3=2e3从而有AQ=A(e1，一e3，e2)=(Ae1，一Ae3，Ae2)=(2e1，一(一e3)，e2)矩阵Q的列向量e1，一e3，e2仍是A的标准正交的特征向量，对应的特征值依次是2，一1，1．矩阵Q是正交矩阵，有Q-1=QT，上式两端左乘Q-1，得从而知，在正交变换x=Py下的标准形为f=2y12一y22+y32。
于是选(A)。
知识模块：线性代数2．二次型f(x1，x2，x3)一2x12+x22一4x32一4x1x2—2x2x3的标准形是A．2y12一y22一3y32B．一2y12一y22一3y32C．2y12+y22D．2y12+y22+3y32正确答案：A解析：f即不正定(因f(0，0，1)=一4＜0)，也不负定(因f(1，0，0)=2＞0)，故(B)、(D)都不对；又f的秩=矩阵的秩=3，故(C)不对，只有(A)正确。
或用配方法：f=2(1-a2)2一x22一4x32一22a2=2(1-a2)2一(1+a2)2一3x32一2y12一y22一3y32，其中所作满秩线性变换为知识模块：线性代数3．则A与BA．合同且相似B．合同但不相似C．不合同但相似D．不合同且不相似正确答案：A解析：A的特征值为4，0，0，0，A为实对称矩阵，故存在正交矩阵P，使P-1AP=PTAP=B，即A与B既合同又相似。
考研数学三(线性代数)模拟试卷21(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）模拟试卷21(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．( )A．-3B．-1C．0D．3正确答案：A解析：知识模块：线性代数2．设A，B是n阶方阵，AB=O，B≠O，则必有( )A．(A+B)2=A2+B2B．|B|≠0C．|B*|=0D．|A*|=0正确答案：D解析：AB=O，不一定有BA=O，故AB=O，不一定有BA=O，故(A)(A+B)2=A2+B2，不成立；B≠O，|B|可以为零，也可以不为零，|B*|也可以为零，可以不为零，故(B)，(C)不成立；B≠O，AB=O，AX=0有非零解，故|A|=0，从而|A*|=|A|N-1=0．知识模块：线性代数3．设其中A可逆，则B-1等于( )A．A-1P1P2B．P1A-1P2C．P1P2A-1D．P2A-1p1正确答案：C解析：因B=AP2P1，B-1=(AP2P1)-1=P1-1P2-1A-1=P2P2A-1．知识模块：线性代数4．设则( )A．存在αij(i，j=1，2，3)使得β1，β2，β3线性无关B．不存在αij(i，j=1，2，3)使得β1，β2，β3线性相关C．存在bij(i，j=1，2，3)使得β1，β2，β3线性无关D．不存在bij(i，j=1，2，3)使得β1，β2，β3线性相关正确答案：C解析：由知向量组α1，α2，α3线性相关，α2，α3，α4线性无关．因α1，α2，α3线性相关，故(A)，(B)不成立，因α2，α3，α4线性无关，故(C)成立，(D)显然不成立．知识模块：线性代数5．已知β1，β2是AX=b的两个不同的解，α1，α2是相应的齐次方程组AX=0的基础解系，k1，k2是任意常数，则AX=b的通解址( ) A．B．C．D．正确答案：B解析：(A)，(C)中没有非齐次特解，(D)中两个齐次解α1与β1一β2是否线性无关未知，而(B)中因α1，α2是基础解系，故α1，α1一α2仍是基础解系，仍是特解．知识模块：线性代数6．已知ξ1，ξ2是方程(λA)X=0的两个不同的解向量，则下列向量中必是A的对应于特征值λ的特征向量的是( )A．ξ1B．ξ2C．ξ1-ξ2D．ξ1+ξ2正确答案：C解析：因考ξ1≠ξ2，故ξ1=ξ2≠0，且仍有关系A(ξ1一ξ2)=λξ1一λξ2=λ(ξ1一ξ2)，故ξ1～ξ2是特征向量．而(A)ξ1，(B)ξ2，(D)ξ1+ξ2均有可能是零向量而不能成为A的特征向量．知识模块：线性代数填空题7．正确答案：(x2-y2)(b2-c2)解析：=(x2-y2)(b2-c2)．知识模块：线性代数8．已知A2一2A+E=O，则(A+E)-1________．正确答案：解析：A2一2A+E=O，(A+E)(A一3E)=一4E，知识模块：线性代数9．设A是5阶方阵，且A2=O，则r(A*)=________ ．正确答案：0解析：因A2=AA=O，r(A)+r(A)≤5，r(A)≤2，从而A*=O，r(A*)=0．知识模块：线性代数10．设，B是3阶非零矩阵，且AB=0，则Ax=0的通解是________．正确答案：k[一1，1，0]T，k为任意常数解析：由于A为4×3矩阵，AB=O，且B≠O，我们得知r(A)＜3，对A作变换由r(A)＜3，有a=1．当a=1时，求得Ax=0的基础解系为[一1，1，0]T，因此通解为k[一1，1，0]T，k为任意常数．知识模块：线性代数11．设A是3阶矩阵，ξ1，ξ2，ξ3是三个线性无关的3维列向量，满足Aξi=ξi，i=1，2，3，则A=______．正确答案：E解析：因Aξ1=ξ1，Aξ2=ξ2，Aξ3=ξ3，合并成矩阵形式有[Aξ1，Aξ2，Aξ3]：A[ξ1，ξ2，ξ3]=[ξ1，ξ2，ξ3]，ξ1，ξ2，ξ3线性无关，[ξ1，ξ2，ξ3]是可逆阵，故A=[ξ1，ξ2，ξ3][ξ1，ξ2，ξ3]-1=E．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(线性代数)模拟试卷44(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）模拟试卷44(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设72阶方阵A、B、C满足关系式ABC=E，其中E为n阶单位矩阵，则必有【】A．ACB=EB．CBA=EC．BAC=ED．BCA=E正确答案：应选D由题设条件A(BC)=E，知A与BC互为逆矩阵，=>BCA=E．涉及知识点：线性代数2．设则必有【】A．AP1P2=BB．AP2P1=BC．P1P2A=BD．P2P1A=B正确答案：应选C 注意依次对A施行下列两种初等行变换，即得矩阵B：先将A的第1行加到第3行，再将所得矩阵的1、2两行互换，两次初等行变换所对应的初等方阵依次为P2、P1，故有B=P1P2A．涉及知识点：线性代数3．设A、B、A+B、A-1+B-1均为n阶可逆阵。
则(A-1+B-1)-1=【】A．A-1+B-1B．A+BC．A(A+B)-1BD．(A+B)-1正确答案：应选 C 由(A-1+B-1)[A(A+B)-1B]=(E+B-1A)(A+B)-1B=B-1(B+A)(A+B)-1B=B-1B=E，或A(A+B)-1B=[B-1(A+B)A-1]-1=(B-1AA-1+B-1BA-1)-1=(B-1+A-1)-1=(A-1+B-1)-1即知只有(C)正确．涉及知识点：线性代数填空题4．设a=(1，0，一1)T，矩阵A=aaT，n为正整数，a为常数，则∣aE一An∣= _______．正确答案：An=(aaT)(aaT)…(aaT)=a(aTa)…(aTa)aT=a2n-1aT=∣aE—An∣=a2(a一2n)．涉及知识点：线性代数5．设a为3维列向量，aT是a的转置，若，则aTa=_______．正确答案：设，aTa=a21+a22+a23=1+1+1=3．涉及知识点：线性代数6．设3阶方阵A、B满足A2B—A—B=E．其中E为3阶单位矩阵，若，则∣B∣=_______正确答案：(A2—E)B=A+E，=>(A+E)(A—E)B=A+E，因A+E可逆，两端左乘(A+E)-1，得(A—E)B=E，两端取行列式，得∣A—E∣∣B∣=1，因∣A—E∣=2，得涉及知识点：线性代数7．设A、B均为3阶矩阵，E是3阶矩阵，已知AB=2A+B，，则(A—E)-1=_______．正确答案：(A—E)B一2A=0，(A—E)B一2(A—E)=2E，(A—E)(B一2E)=2E，(A—E) 涉及知识点：线性代数8．设矩阵，已知矩阵A相似于B，则秩(A一2E)与秩(A—E)之和等于_______．正确答案：由条件知存在可逆矩阵P，使p-1AP=B，=>p-1(A一2E)P=P-1AP 一2E=B一2E，即A一2E与B一2E相似，故有r(A一2E)=r(B一2E)=，同理得r(A—E)=r(B—E)=，故r(A一2E)+r(A—E)=3+1=4．涉及知识点：线性代数9．设矩阵，矩阵B满足ABA*=2BA*+E，其中A*为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则∣B∣=_______正确答案：由于A*A=∣A∣E一3E，用A右乘题设方程两端，得3AB=6B+A，=>3(A一2E)B=A，两端取行列式，得27∣A一2E∣∣B∣=∣A∣，因∣A一2E∣=1，∣A∣=3，得涉及知识点：线性代数10．设，B=p-1AP，其中P为三阶可逆矩阵，则B2004一2A2=_______．正确答案：由于，A4=(A2)2=E，A2004=(A4)501=E501=E，故B2004一2A2=P-1A2004P一2A2=E一2A2= 涉及知识点：线性代数11．设A=(aij)3×3是实正交矩阵，且a11=1，b=(1，0，0)T，则线性方程组Ax=b的解是_______．正确答案：由于正交矩阵的行(列)向量组均为正交单位向量组，故，又A-1=AT，故方程组Ax=b的解为x=A-1b=ATb= 涉及知识点：线性代数12．设a1，a2，a3均为3维列向量，记矩阵A=(a1,a2,a3)，B=(a1+a2+a3，a1+2a2+4a3，a1+3a2+9a3)如果∣A∣=1，则∣B∣=_______．正确答案：利用矩阵乘法，可将B写为两端取行列式，得∣B∣=∣A ∣涉及知识点：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(线性代数)模拟试卷7(题后含答案及解析)
考研数学二（线性代数）模拟试卷7(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A为二阶矩阵，且A的每行元素之和为4，且｜E+A｜=0，则｜2E+A2｜为( )．A．0B．54C．-2D．-24正确答案：B解析：因为A的每行元素之和为4，所以A有特征值4，又｜E+A｜=0，所以A有特征值-1，于是2E+A2的特征值为18，3，于是｜2E+A2｜=54，选(B) 知识模块：线性代数部分2．设A为m×n阶矩阵，B为n×m阶矩阵，且m>n，令r(AB)=r，则( )．A．r>mB．r=mC．r<mD．r≥m正确答案：C解析：显然AB为m阶矩阵，r(A)≤n，r(B)≤n，而r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤n<m，所以选(C) 知识模块：线性代数部分3．设n维列向量组α1，α2，…，αm(m0(因为C可逆，所以当X≠0时，CX≠0)，于是CTAC为正定矩阵，同样用定义法可证A-1+B-1与A*+B*都是正定矩阵，选(D) 知识模块：线性代数部分5．下列说法正确的是( )．A．任一个二次型的标准形是唯一的B．若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同C．若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型D．二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的正确答案：D解析：(A)不对，如f=x1x2，令，则f=y12-y22；若令，则f=y12-9y22；(B)不对，两个二次型标准形相同只能说明两个二次型正、负惯性指数相同，不能得到其对应的矩阵的特征值相同；(C)不对，若一个二次型标准形系数没有负数，只能说明其负惯性指数为0，不能保证其正惯性指数为n；选(D)，因为二次型的规范形由其正、负惯性指数决定，故其规范形唯一．知识模块：线性代数部分填空题6．设A=，则(A+3E)-1(A2-9E)=_______．正确答案：解析：(A+3E)-1(A2-9E)=(A+3E)-1(A+3E)(A-3E)=A-3E= 知识模块：线性代数部分7．设A=，则A-1=_______．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分8．设A=，B为三阶非零矩阵，且AB=0，则r(A)=_______．正确答案：2解析：因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤3，又因为B≠O，所以r(B)≥1，从而有r(A)≤2，显然A有两行不成比例，故r(A)≥2，于是r(A)=2．知识模块：线性代数部分9．设向量组α1，α2，α3线性无关，且α1+aα2+4α3，2a1+α2-α3，α2+α3线性相关，则a=_______正确答案：5解析：(α1+aα2+4α3，2a1+α2-α3，α2+α3)=(α1，α2，α3)因为α1，α2，α3线性无关，而α1+aα2+4α3，2α1+α2-α3，α2+α3线性相关，所以，解得a=5．知识模块：线性代数部分10．设方程组无解，则a=_______．正确答案：-1解析：因为方程组无解，所以r(A))≤3，于是r(A)r(A)=r()=2，因为r(A)≠r()，所以方程组无解，于是a=-1．知识模块：线性代数部分11．设A为n阶可逆矩阵，若A有特征值λ0，则(A*)2+3A*+2E有特征值_______．正确答案：解析：因为A可逆，所以λ0≠0，A*对应的特征值为，于是(A*)2+3A*+2E 对应的特征值为知识模块：线性代数部分12．设的特征向量，则a=_______，b=_______．正确答案：2，3解析：由Aα=λα得解得λ=5，a=2，b=3．知识模块：线性代数部分13．设，则α1，α2，α3经过施密特正交规范化后的向量组为_______正确答案：解析：令β1=，β3=α3，正交规范化的向量组为知识模块：线性代数部分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(线性代数)模拟试卷25(题后含答案及解析)
考研数学二（线性代数）模拟试卷25(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A为4阶矩阵，其秩r(A)=3，那么r((A*)*)为( )A．0B．1C．2D．3正确答案：A解析：由于(A*)*=｜A｜n一2A，由于A不满秩，故｜A｜=0．于是(A*)*=O，r((A*)*)=0，故应选(A)．知识模块：线性代数2．设则必有( )A．AP1P2=BB．AP2P1=BC．P1P2A=BD．P2P1A=B正确答案：C解析：B由A第一行加到第3行(P2左乘A)再将第一，二行对换(再P1左乘P2A)得到，故(C)成立．知识模块：线性代数3．设其中A可逆，则B等于( )A．A一1P1P2B．P1A一1P2C．P1P2A一1D．P2A一1P1正确答案：C解析：因B=AP2P1，B*=(AP2P1)*=P*P*A*=P1P2A*．知识模块：线性代数4．A是n阶矩阵，则( )A．(一2)n｜A｜nB．(4｜A｜)nC．(一2)2n｜A*｜nD．｜4A｜n正确答案：B解析：=(一2)2n｜A*｜｜A｜=4n｜A｜n=(4｜A｜)n．知识模块：线性代数5．A是n阶矩阵，则= ( )A．(一2)n｜A*｜nB．2n｜A*｜nC．(一2)n｜A｜n一1D．2n｜A｜n一1正确答案：D解析：=(一1)n｜A*｜｜一2I｜=2n｜A*｜=2n｜A｜n一1．知识模块：线性代数6．设A=，则(P一1)2016A(Q2011)一1= ( )A．B．C．D．正确答案：B解析：易知P2=E，故P一1=P，进一步有(P一1)2016=P2016=(P2)1008=E．由于右乘初等矩阵等于作相应的初等列变换，故计算结果应为将A第2列的2 011倍加到第1列，计算可知应选(B)．知识模块：线性代数7．已知α1，α2，α3，α4为3维非零列向量，则下列结论：①如果α4不能由α1，α2，α3，线性表出，则α1，α2，α3线性相关；②如果α1，α2，α3线性相关，α2，α3，α4线性相关，则α1，α2，α4也线性相关；③如果r(α1，α1+α2，α2+α3)=r(α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4)，则α4可以由α1，α2，α3线性表出．其中正确结论的个数为( ) A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：如果α1，α2，α3线性无关，由于α1，α2，α3，α4为4个3维向量，故α1，α2，α3，α4线性相关，则α4必能由α1，α2，α3线性表出，可知①是正确的．令α1=，则α1，α2，α3性相关，α2，α3，α4线性相关，但α1，α2，α4线性无关．可知②是错误的．由[α1，α1+α2，α2+α3]→[α1，α2，α2+α3]→[α1，α2，α3]，[α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4]→[α4，α1，α2，α3]→[α1，α2，α3，α4]，可知r(α1，α1+α2，α2+α3)=r(α1，α2，α3)，r(α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4)=r(α1，α2，α3，α4)，故当r(α1，α1 +α2，α2+α3)=r(α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4)时，也有r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，α4)，因此α4可以由α1，α2，α3线性表出．可知③是正确的．故选(C)．知识模块：线性代数8．设α1，α2，α3均为线性方程组Ax=b的解，下列向量中α1一α2，α1一2α2+α3，(α1一α3)，α1+3α2一4α3，是导出组Ax=0的解向量的个数为( )A．4B．3C．2D．1正确答案：A解析：由Aα1=Aα2=Aα3=b可知A(α1一α2)=Aα1一Aα2=b一b=0，A(α1—2α2+α3)=Aα1—2Aα2+Aα3=b—2b+b=0，(b一b)=0，A(α1+3α2一4α3)=Aα1+3Aα2—4Aα3=b+3b—4b=0，因此这4个向量都是Ax=0的解，故选(A)．知识模块：线性代数9．设A是秩为n一1的n阶矩阵，α1，α2是方程组Ax=0的两个不同的解向量，则Ax=0的通解必定是( )A．α1+α2B．kα1C．k(α1+α2)D．k(α1一α2)正确答案：D解析：因为通解中必有任意常数，显见(A)不正确．由n一r(A)=1知Ax=0的基础解系由一个非零向量构成．α1，α1+α2与α1一α2中哪一个一定是非零向量呢? 已知条件只是说α1，a：是两个不同的解，那么α1可以是零解，因而kα1可能不是通解．如果α1=一α2≠0，则α1，α2是两个不同的解，但α1+α2=0，即两个不同的解不能保证α1+α2≠0．因此要排除(B)，(C)．由于α1≠α2，必有α1一α2≠0．可见(D)正确．知识模块：线性代数填空题10．设A是n阶矩阵，｜A｜=5，则｜(2A)*｜=____________．正确答案：．5n一1解析：(2A)(2A)*=｜2A｜E，(2A)*=｜2A｜(2A)一1，｜(2A)*｜=｜｜2A｜(2A)一1｜=｜2n｜A｜．A一1｜=｜2n一1．5A一1｜=(2n一1．5)n｜A一1｜=．5n一1 知识模块：线性代数11．设A=，则(A*)一1=____________．正确答案：解析：(A*)一1= 知识模块：线性代数12．设A=，则(A一1)*=____________．正确答案：解析：知识模块：线性代数13．设A=，B=(E+A)一1(E一A)，则(E+B)一1=____________．正确答案：解析：E+B=E+(E+A)一1(E一A)=(E+A)一1(E+A+E一A)=(E+A)一12E，故知识模块：线性代数14．已知A，B均是三阶矩阵，将A中第3行的一2倍加到第2行得矩阵A1，将B中第1列和第2列对换得到B1，又A1B1=，则AB=____________．正确答案：解析：知识模块：线性代数15．设B=，则B一1=____________．正确答案：解析：知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(线性代数)模拟试卷80(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）模拟试卷80(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．下列矩阵中，正定矩阵是A．B．C．D．正确答案：C解析：正定的必要条件aii＞0，可排除(A)、(D)．(B)中△2=0与顺序主子式全大于0相矛盾，排除(B)．故应选(C)．知识模块：线性代数2．矩阵合同于A．B．C．D．正确答案：B解析：由矩阵A的特征多项式知矩阵A的特征值为1，3，一2．即二次型正惯性指数p=2，负惯性指数q=1．故应选(B)．知识模块：线性代数3．设则A与BA．合同且相似．B．合同但不相似．C．不合同但相似．D．不合同也不相似．正确答案：A解析：由｜λE—A｜=λ3一3λ2，知矩阵A的特征值为3，0，0．又因A 是实对称矩阵，A必能相似对角化，所以A～B．因为A，B有相同的特征值，从而有相同的正、负惯性指数，所以A≌B．故应选(A)．知识模块：线性代数4．设A，B均为n阶实对称矩阵，则A与B合同的充要条件是A．A，B有相同的特征值．B．A，B有相同的秩．C．A，B有相同的行列式．D．A，B有相同的正负惯性指数．正确答案：D解析：(A)是充分条件．特征值一样→有相同的正、负惯性指数→合同．但不是必要条件．例如，特征值不同，但A≌B．(B)是必要条件．由CTAC=B，C可逆→r(A)=r(B)，但不是充分条件．例如虽r(A)=r(B)，但正负惯性指数不同．故A与曰不合同．(C)既不必要也不充分．例如行列式不同但合同，又如虽行列式相同但不合同．故应选(D)．知识模块：线性代数5．二次型xTAx正定的充要条件是A．负惯性指数为零．B．存在可逆矩阵P，使P-1AP=E．C．A的特征值全大于零．D．存在n阶矩阵C，使A=CTC．正确答案：C解析：(A)是正定的必要条件．若f(x1，x2，x3)=x12+5x32，虽q=0，但f 不正定．(B)是充分条件．正定并不要求特征值全为1．虽不和单位矩阵E相似，但二次型xTAx正定．(D)中没有矩阵C可逆的条件，也就推导不出A与E合同，例如，则xTAx不正定．故应选(C)．知识模块：线性代数填空题6．二次型f(x1，x2，x3)=(a1x1+a2x2+a3x3)2的矩阵是__________．正确答案：解析：f(x1，x2，x3) =a12x12+a22x22+a32x32+2a1a2x1x2+2a1a3x1x3+2a2a3x2x3，二次型矩阵知识模块：线性代数7．二次型f(x1，x2，x3)=x22+2x1x3的负惯性指数q=__________．正确答案：q=1解析：令故(I)是坐标变换，那么经此变换二次型化为f=y22+2(y1+y3)(y1一y3)=2y12+y22一2y32．所以负惯性指数q=1．知识模块：线性代数8．若二次型2x12+x22+x32+2x1x2+2tx2x3的秩为2，则t=__________．正确答案：解析：r(f)=2，即r(A)=2．因｜A｜中有2阶子式，由知识模块：线性代数9．已知二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+cx32+2ax1x2+2x1x3经正交变换化为标准形y12+2y32，则a=_______。
李永乐.线性代数冲刺笔记(打印版)
【解】而由r(A)＝2知r(A*)＝1，所以通解由n－r(B)＝3－1＝2个解向量构成.
又|A|＝0，得A*A＝A A*＝|A|E＝0 A的列向量是A*x＝0解.
【解】由r(A)＝3知Ax＝0的通解由n－r(B)＝4－3＝1个解向量构成.从而
3(α1＋α2)－2(α2＋2α3)是Ax＝0的解，即[－1，0， 1，2]T
(α2＋2α3)－(α1＋α2)是Ax＝b的解，即[1，1， 1，1]T
从而，[1，1，1，1]T＋k[－1，0， 1，2]T是Ax＝b的通解，其中k为任意常数.
【分析】从AB＝0要得想到两方面的信息：(I) r(A)＋r(B)≤n(II)B的列向量均是Ax＝0的解.
}
【解】由AB＝0 r(A)＋r(B)≤3.
因为A≠0，B≠0知1≤r(A)≤2，1≤r(A)≤2
当k≠9时，r(B)＝2，从而r(A)＝1，此时极大无关组为α1.由AB＝0得
(k－9)α3＝0
（或用秩）
#
∵η1，η2，…，ηt线性无关，α是Ax＝b的解 α不能由η1，η2，…，ηt线性表出.
x1η1＋x2η2＋…＋xtηt＝α无解 r(η1，η2，…，ηt)≠r(η1，η2，…，ηt，α)
∵r(η1，η2，…，ηt)＝t r(η1，η2，…，ηT，α)＝t＋1
r(α，α＋η1，α＋η2，…，α＋ηt)＝t＋1 α，α＋η1，α＋η2，…，α＋ηt线性无关.
由i知132230从而32112234????????????01320用观察法取另一个向量使得它与2310t线性无关即32112234???????????????11210所以bx的通解是5310tk12310tk21211t其中k1k2为任意常数
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线性代数冲刺练习一、单项选择题1. 设A 为n 阶矩阵（2≥n ），且O A =3，则必有（A ） O A = （B ） 若A 为实对称矩阵，则O A = （C ） A 有非零特征值 （D ） A 可对角化 2. 设A 为m n ⨯实矩阵，且n r =)(A ，现有命题：（1） 0)det(≠T AA （2） TAA 必与n 阶单位矩阵等价 （3） TAA 必与一对角阵相似 （4） T AA 必与n 阶单位矩阵合同 上述命题中，错误的个数为：（A ） 3 （B ） 2 （C ） 1 （D ） 03. 设矩阵),,,(4321ααααA =，经初等行变换可化为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛110021103111，则必有（A ） 3214αααα++= （B ） 321423αααα++=（C ） 4321,,,αααα线性无关 （D ） 4321,,,αααα线性相关，但无法给出其关系 4. 4321,,,αααα是线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++254304322321321321x x x x x x x x x 的4个不同的解向量，则向量组342312,,αααααα---的秩等于（A ） 3 （B ） 2 （C ） 1 （D ） 无法确定 5. 设有线性方程组βAX =，A 是53⨯矩阵，且A 的行向量组线性无关，则下列命题中错误的是（A ） 对任意3维列向量β，βAX =有无穷多解 （B ） 0X A =T只有零解 （C ） 0AX A =T 有非零解（D ） 对任意5维列向量β，βX A =T有唯一解 6. 设α为3维实非零列向量，TααA =，则A 一定（A ） 没有特征值为零 （B ） 有零特征值为单特征值 （C ） 有零特征值为二重特征值 （D ） 只有零特征值 7. 设βα,分别是矩阵A 的属于特征值λ和μ的特征向量，则（A ） 若α与β线性相关，则μλ≠ （B ） 若α与β线性无关，则μλ≠（C ） 若α与β线性相关，则μλ= （D ） 若α与β线性无关，则μλ=8．设有矩阵,500520002,502010203,503020012,302210003⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Z Y X W 那么与对角阵相似的矩阵是(A) Y X W ,, (B) Z Y W ,, (C) Z X , (D) Y W ,9．已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100011011A ，那么下列矩阵110300121110,020,252001000121-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭中，与A 合同．．的矩阵个数共有 （A ）0 B ）1 （C ）2 （D ）310. 实二次型32212322213212442),,(x x x x x x x x x x f ---+=的标准形为 （A ） 23222132y y y -- （B ） 23222132y y y --- （C ） 22212y y +- （D ） 23222132y y y ++ 二、填空题1．已知E βα,)0,1,2(,)3,2,1(T T ==是3阶单位矩阵，T αβE A +=,则=-1A.2. 已知5阶矩阵A ，其秩1)(>A r ，且O A =2，则=)(A r .3. 设4维行向量321,,ααα线性无关，321,,βββ均为4维非零列向量，且)3,2,1(=j j β与)3,2,1(=i i α均正交，则向量组321,,βββ的秩为 .4. 若3阶奇异矩阵A 满足：0|2|,0||=-=-A E A E ，E 为3阶单位矩阵，则=-|3|A E.5. 实二次型232231221321)()2()2(),,(x x x x x x x x x f -+-+-=的规范型是 .6. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=222222222a a a A 是正定矩阵，则a 的取值范围是 . 三、解答题1. 已知),,,(4321ααααA =是4阶矩阵，若方程组βAX =的通解是(1,2,2,1)(1,2,4,0)T T k +-，设),,,(4123αβαααB -=，求方程组21ααBX -=的通解.2. 线性方程组（i ） ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-++=-++003320242143214321ax x x x x x x x x x x （ii ）⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++=-++0200425332143214321x bx x x x x x x x x x 已知（i ）与（ii ）有非零公共解，求b a ,的值及全部非零公共解.3. 设有矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=23202000110101baA 问常数b a ,取何值时，A 能与对角矩阵相似？ 此时，求可逆矩阵P ，使AP P 1-为对角矩阵Λ，并给出Λ.4. 设n 阶矩阵A 满足)2(2≥=n E A ，E 为n 阶单位矩阵，已知矩阵E A +的秩,)(r r =+E A n r <≤1，（I ） 矩阵A 是否可对角化，为什么？ （II ） 求行列式|3|E A +的值.5. 设有3元实二次型323121232221321222)(),,(x x x x x x x x x x x x f -++++=μ，记T T y y y x x x ),,(,),,(321321==Y X（I ） 求正交矩阵P ，令PY X =，将二次型f 化为标准形；（II ） μ取何值时，二次型为正定的？此时，求可逆矩阵C ，令CY X =，将二次型f 化为规范形.6. 已知实对称矩阵正定的充分必要条件是其特征值全为正数（I ） 证明：n 阶实对称矩阵A 正定的充分必要条件是A 与单位矩阵合同，即有可逆矩阵C ，使C C A T=；（II ） 设B A ,均为n 阶正定矩阵，证明：AB 的特征值均为正数； （III ） 举例说明正定矩阵的乘积未必是正定矩阵.（Ⅳ）设B A ,均为n 阶正定矩阵，则方程0||=-B A λ的根λ必为正数.7. （Ⅰ）若已知B A ,为同阶正定矩阵，λ与μ是不同时为零的非负常数，问B A μλ+是否为正定矩阵，为什么？（Ⅱ）设B A ,为同阶实对称矩阵，A 的特征值全大于B ,a 的特征值全大于b （b a ,为常数），问：B A +的特征值是否全大于b a +，为什么？8. （Ⅰ）证明：n 阶实矩阵A 为反对称矩阵的充分必要条件是对任意n 维实列向量α，均有0=A ααT;（Ⅱ）证明：对于n 阶实反对称矩阵A ，当实数0t ≠时， E A t +必可逆，其中E 为n 阶单位矩阵.9. （Ⅰ）设A 为正交矩阵，证明：若A 有实特征值λ，则||1λ=；（Ⅱ）设A 为实对称矩阵，若A 所有特征值的绝对值都为1，证明A 为正交矩阵。
参考答案或提示一、选择题1．选（B ）.“直接法”：因O A =3，故A 的特征值全为0，若A 为实对称，则A 可对角化，即有P ，使O ΛAP P ==-1，于是O P P ΛA ==-1。
“特排法”：取⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000100010A ，则O A =3，而（A ），（C ），（D ）均不对。
2．选（D ）.因T T T AA AA =)(，故③正确；又因A 行满秩，则TA 列满秩，则对任意非零实n 维列向量X ，0X A ≠T ，于是0)()(>=X A X A X AA X T T T T T ，即TAA 为正定矩阵，故④、②、①均正确.3．选（A ）.因对矩阵A 作初等行变换不改变A 的列向量组的线性关系。
4．选（C ）.因已知方程组有无穷多解，而系数矩阵的秩易得为2，未知量个数为3，故导出组的基础解系含一个非零解。
5.选（D ）.因TA 列满秩，则（B ）正确；又3),()(3≤≤=βA A r r ，则53)(),(=<==n r r A βA ，故（A ）正确；又A A T 为5阶矩阵，而3)()(=≤A A A r r T ，故（C ）正确.6.选（C ）.“直接法”：显然O A ≠,则1)()(1=≤≤αA r r ，于是1)(=A r 。
又A ααααA ===T T T T )(,故A 可对角化，设其相似对角阵为Λ，则1)()(==A Λr r ，即Λ的主对角元（即A 的特征值）有两个零元。
“特排法”：取T )0,0,1(=α,则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==000000001TααA ，(D)(B),(A),均不对.7．选(C).已知正确命题：矩阵A 的不同特征值对应的特征向量必线性无关，故其逆否命题亦真。
8.选（B ）.因W 有三个不同特征值3,1,5,故W 可对角化，则（C ）不对；又Y 为实对称，Y 也可对角化；又X 的特征值为2，2，5，而2)2(=-X E r ，即属于2λ=，只有一个线性无关的特征向量，X 不能对角化；Z 的特征值为2,2,5,而1)2(=-Z E r ，故Z 可对角化.9.选（D ）.两实对称矩阵A 与B 合同⇔A 与B 正负特征值个数分别对应相同⇔二次型AX X T与BX X T有相同的正、负惯性指数，可求各矩阵的特征值或按下面的配方解决：2222121232221)(2x x x x x x x x T ++=+++=AX X 2322121232221)(2100011011x x x x x x x x T +-=-++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--X X331212322214245120252121xx x x x x x x x T +++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛X X3223222322323212145)2()2()2(2x x x x x x x x x x x x ++++-++++= 222321)2(x x x x +++=222123023x x T +=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛X X 10．选（A ）.“特排法”：因(0,0,1)40,f =-<则（D ）不对；又(1,0,0)20,f =>则（B ）不对；又3)(=A r ，则（C ）不对.“直接法”：①利用拉格朗日配方法；②利用正交变换（较繁琐！）.二、填空题1.直接算出A ，再求1-A 工作量略大，实际上：因TT T T T T T T T αβE αβαβαβE αβαβαβE αβE αβE AA A 6)(22))((2+=++=++=++==E A 56-=，即 E A A 562-=，则)5(51)6(511T αβE A E A -=-=-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-536034013511A2.因O A A =⋅，则5)()(≤+A A r r ，于是25)(1≤<A r ，故2)(=A r . 3.记矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321αααA ，则3)(=A r ，于是方程组0AX =的基础解系含134)(=-=-A r n 个线性无关解向量，又依题意)3,2,1(=j j β均为0AX =的非零解，故1),,(1321≤≤βββr ，即填1.4．依题意知A 的所有特征值为10,1,2，于是A E 3-的特征值为11,2,2--，故1)21()2(1)3det (=-⨯-⨯=-A E .5.先求f 的矩阵A ，再求A 的特征值为0，6，6，故其规范形为2212y y +（或2223y y +或2213y y +）；或先利用拉格朗日配方法化f 为标准形，再得规范形. 6.因B E +=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a a A 222222222000000，而B B ,1)(=r 的特征值为-6，0，0，则A 的特征值为a a a ,,6-，故填6a >.三、解答题 1.依题意αααβααααA =+-=+++=321432142,22,3)(r .因)22,,,(321123ααααααB ++=，且321,,ααα线性相关，知2)(=B r 又210110ααB -=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-，则(0,1,1,0)T -是21ααBX -=的一个解，又由0αααB =+-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-123240124，0αααB =+-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-321421042 知(4,2,1,0),(2,4,0,1)T T --是0BX =的两个线性无关的解，故所求通解为12(0,1,1,0)(4,2,1,0)(2,4,0,1).T T T k k -+-+-2．因0AX =与0BX =有非零公共解0X B A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇔有非零解4=<⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇔n r B A ，易知2,3,(0,2,3,1)T a b =-=-为0X B A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛的一个基础解系，故0AX =与0BX =的所有非零公共解为(0,2,3,1)T k -（k 为任意非零常数）.3．易得222)2()1(11)2(||--=----=-λλλλλλa A ，则A 的特征值为12341, 2.λλλλ====A 可对角化⇔2)2(,2)(=-=-A E A E r r ，而对A E -作初等行变换知，0a =，b 任意时，2)(=-A E r ；当0a =时，对A E -2作初等行变换知，当1b =时，2)2(=-A E r 故当0,1a b ==时，A 可与对角矩阵相似，接下来易求得P ，使)2,2,1,1diag(1==-ΛAP P .4.（I ）因OA E A E =+-))((,则n r r ≤++-)()(A E A E ,又E A E A E 2)()(=++-,则nr r r =≥++-)2()()(E A E A E 于是n r r =++-)()(A E A E .又已知n r r <=+≤)(1A E ，则n r n r <-=-≤)(1A E .所以，A 有特征值-1，属于它有n r -个线性无关的特征向量，A 有特征值1，属于它有()n n r r --=个线性无关的特征向量，故A 可对角化.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，r n r r n +-=⋅=+242|3|E A .5．（Ⅰ）f 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=μμμ111111A ，求得A 的特征值为11, 2.λλμλμ23==+=-由0X A E =-+])1[(μ易得属于特征值λ1的两个正交的特征向量：12(2,1,1),(0,1,1);T T ξξ==-由0X A E =--])2[(μ得属于3λ的特征向量3(1,1,1).T ξ=-令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3322111,1,1ξξξξξξP ，则P 为正交矩阵，且当PY X =时，得f 的标准形： Y Y ΛAPY P Y AX X ===T T T f 222123()(()y y y μμμ=+1++1)+-2 （Ⅱ）由(Ⅰ)知,当μ>2时,f 正定,取⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++⋅=2100011011μμμP C ,则C 可逆,当CY X =时,得f 的规范形为232221y y y f T T T ++===ACY C Y AX X .6.(Ⅰ)充分性：利用定义易证AX X T正定；必要性：若A 正定，则其特征值2,,,nλλλ1 全为正数，且有正交矩阵Q ，使⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==n T λλλ21ΛAQ Q ,于是TQ Q ΛA =,令),,diag(~1n λλ =Λ，则ΛΛΛ=~~,于是T Q ΛΛQ A ~~=,取T Q ΛC ~=，则C 可逆，且C C A T =.（Ⅱ）因B A ,均为n 阶正定矩阵，则由（Ⅰ）知，存在可逆矩阵21,C C ，使2211,C C B C C A T T ==，于是22112122211)(C C C C C C C C C C AB TT T T -==,即AB 与T T 2112C C C C 相似，而)()(21212112T T T T T C C C C C C C C ⋅=,于是又由（I ）知TT 2112C C C C 为正定矩阵，故AB 的特征值全为正数.（Ⅲ）显然矩阵3113⎛⎫ ⎪⎝⎭及2113⎛⎫ ⎪⎝⎭均为正定矩阵，而3121761313510⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭不是对称的，当然不是正定矩阵。