高中数学高考复习 综合提升36
2021版江苏高考数学一轮复习课后限时集训：36 等比数列及其前n项和 Word版含解析
等比数列及其前n项和建议用时：45分钟一、选择题1．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于()A．－24B．0C．12D．24A[由x,3x＋3,6x＋6成等比数列，知(3x＋3)2＝x·(6x＋6)，解得x＝－3或x ＝－1(舍去)．所以此等比数列的前三项为－3，－6，－12.故第四项为－24，选A.]2．(2019·日照一模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 3＝52，且a 2＋a 4＝54，则S na n＝( )A ．4n －1B ．4n －1C ．2n －1D ．2n －1 D [设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q 2)＝52a 1q (1＋q 2)＝54，解得⎩⎨⎧a 1＝2q ＝12，3．(2019·湖南湘东五校联考)已知在等比数列{a n }中，a 3＝7，前三项之和S 3＝21，则公比q 的值是( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或12C[当q ＝1时，a 3＝7，S 3＝21，符合题意；当q ≠1时，⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝7，a 1(1－q 3)1－q＝21，得q ＝－12.综上，q 的值是1或－12，故选C.]4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝32n －1＋r ，则r 的值为( ) A.13 B ．－13 C.19D ．－19B [当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋r ， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝32n －1－32n －3＝32n －3(32－1)＝8·32n －3＝8·32n －2·3－1＝83·9n －1， 所以3＋r ＝83， 即r ＝－13，故选B.]5．(2019·鄂尔多斯模拟)中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”．其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则该人第五天走的路程为( )A ．6里B ．12里C ．24里D ．48里B [记每天走的路程里数为{a n }，由题意知{a n }是公比为12的等比数列，由S 6＝378，得S 6＝a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，∴a 5＝192×124＝12(里)．故选B.]二、填空题6．已知1，a 1，a 2,4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1＋a 2b 2的值 ．52 [由题意得a 1＋a 2＝5，b 22＝4，又b 2与第一项的符号相同，所以b 2＝2.所以a 1＋a 2b 2＝52.]7．在14与78之间插入n 个数组成等比数列，若各项之和为778，则此数列的项数为 ．5 [设此等比数列为{a m }，公比为q ，则该数列共有n ＋2项．∵14≠78，∴q ≠1.由等比数列的前n项和公式，得778＝14－78q1－q，解得q＝－12，8．各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S n＝2，S3n＝14，则S4n＝.30[由题意知公比大于0，由等比数列性质知S n，S2n－S n，S3n－S2n，S4n－S3n，…仍为等比数列．设S2n＝x，则2，x－2,14－x成等比数列．由(x－2)2＝2×(14－x)，解得x＝6或x＝－4(舍去)．∴S n，S2n－S n，S3n－S2n，S4n－S3n，…是首项为2，公比为2的等比数列．又∵S3n＝14，∴S4n＝14＋2×23＝30.]三、解答题9．(2019·全国卷Ⅱ)已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2＋16.(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n＝log2a n，求数列{b n}的前n项和．[解](1)设{a n}的公比为q，由题设得2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0.解得q＝－2(舍去)或q＝4.因此{a n}的通项公式为a n＝2×4n－1＝22n－1.(2)由(1)得b n＝(2n－1)log22＝2n－1，因此数列{b n}的前n项和为1＋3＋…＋2n－1＝n2.10．(2019·舟山模拟)已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧12a n ，n 为偶数，a n ＋1，n 为奇数，a 4＝52，若b n ＝a 2n －1－1(b n ≠0)．(1)求a 1；(2)求证：{b n }是等比数列；(3)若数列{a n }的前n 项和为S n ，求S 2n . [解](1)因为a 4＝52，a n ＋1＝⎩⎨⎧12a n ，n 为偶数，a n ＋1，n 为奇数，所以a 3＝a 4－1＝32， 由a 3＝12a 2，得a 2＝3， 所以a 1＝a 2－1＝2.(2)证明：当n ≥2时，b n b n －1＝a 2n －1－1a 2n －3－1＝12a 2n －2－1a 2n －2－2＝12，当n ＝1时，b 2b 1＝a 3－1a 1－1＝12满足上式，故数列{b n }是首项为1，公比为12的等比数列．所以a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝2－12n －1＋n ，又a 2＝a 1＋1，a 4＝a 3＋1，……，a 2n ＝a 2n －1＋1， 所以S 2n ＝2(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋n ＝4－12n －2＋3n .1．(2019·浙大附中模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n＋1＝pS n＋q(n∈N*，p≠－1)，则“a1＝q”是“{a n}为等比数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件C[因为a n＋1＝pS n＋q，所以当n≥2时，a n＝pS n－1＋q，两式相减得a n＋1－a n＝pa n，即当n≥2时，a n＋1a n＝1＋p.当n＝1时，a2＝pa1＋q.所以当a1＝q时，a2a1＝1＋p，满足上式，故数列{a n}为等比数列，所以是充分条件；当{a n}为等比数列时，有a2＝pa1＋q＝(1＋p)a1，解得a1＝q，所以是必要条件，从而选C.] 2．设{a n}是公比为q的等比数列，|q|＞1，令b n＝a n＋1(n＝1,2，…)，若数列{b n}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则q等于()A．－12 B.12C．－32 D.32C[{b n}有连续四项在{－53，－23,19,37,82}中且b n＝a n＋1，即a n＝b n－1，则{a n}有连续四项在{－54，－24,18,36,81}中．∵{a n}是等比数列，等比数列中有负数项，∴q ＜0，且负数项为相隔两项，又∵|q |＞1，∴等比数列各项的绝对值递增．按绝对值由小到大的顺序排列上述数值18，－24,36，－54,81，相邻两项相除－2418＝－43，36－24＝－32，－5436＝－32，81－54＝－32，则可得－24,36，－54,81是{a n }中连续的四项．∴q ＝－32.]3．(2016·全国卷Ⅰ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为 ．64 [设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝q (a 1＋a 3)＝5，知q ＝12.又a 1＋a 1q 2＝10，∴a 1＝8.4．已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)． (1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．[解](1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)． ∵a 1＝5，a 2＝5， ∴a 2＋2a 1＝15， ∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n a n ＋2a n －1＝3(n ≥2)，∴数列{a n＋1＋2a n}是以15为首项，3为公比的等比数列．(2)由(1)得a n＋1＋2a n＝15×3n－1＝5×3n，则a n＋1＝－2a n＋5×3n，∴a n＋1－3n＋1＝－2(a n－3n)．又∵a1－3＝2，∴a n－3n≠0，∴{a n－3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列．∴a n－3n＝2×(－2)n－1，即a n＝2×(－2)n－1＋3n.1.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有 1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为22，则其最小正方形的边长为．132 [由题意，得正方形的边长构成以22为首项，以22为公比的等比数列，现已知共得到1 023个正方形，则有1＋2＋…＋2n －1＝1 023，∴n ＝10，∴最小正方形的边长为22×⎝ ⎛⎭⎪⎫229＝132.]2．已知数列{a n }满足a 1＝35，a n ＋1＝3a n2a n ＋1，n ∈N *.(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n－1为等比数列；(2)是否存在互不相等的正整数m ，s ，t ，使m ，s ，t 成等差数列，且a m －1，a s －1，a t －1成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m ，s ，t ；如果不存在，请说明理由．[解](1)证明：因为a n ＋1＝3a n 2a n ＋1，所以1a n ＋1＝13a n ＋23，所以1a n ＋1－1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1.因为a 1＝35，则1a 1－1＝23.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是首项为23，公比为13的等比数列． (2)由(1)知，1a n－1＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n-1＝23n ，所以a n ＝3n3n ＋2.假设存在互不相等的正整数m ，s ，t 满足条件， 则有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋t ＝2s ，(a s －1)2＝(a m －1)(a t －1).由a n ＝3n3n ＋2与(a s －1)2＝(a m －1)(a t －1)，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3s 3s＋2－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3m 3m ＋2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫3t3t ＋2－1. 即3m ＋t ＋2×3m ＋2×3t ＝32s ＋4×3s . 因为m ＋t ＝2s ，所以3m ＋3t ＝2×3s . 因为3m ＋3t ≥23m ＋t ＝2×3s ，当且仅当m ＝t 时等号成立，这与m ，s ，t 互不相等矛盾．所以不存在互不相等的正整数m ，s ，t 满足条件．。
两角和、差及倍角公式-高考数学复习
π
＋
4
sin β，则（
）
A. tan（α－β）＝1
B. tan（α＋β）＝1
C. tan（α－β）＝－1
D. tan（α＋β）＝－1
目录
高中总复习·数学
解析：由题意得 sin α cos β＋ sin β cos α＋ cos α cos β－ sin α sin β
＝2 2 ×
2
（
2
cos α－ sin α）·sin β，整理，得 sin α·cos β－ sin β
cos α＋ cos α·cos β＋ sin α sin β＝0，即 sin （α－β）＋ cos （α－
β）＝0，所以tan（α－β）＝－1，故选C.
目录
高中总复习·数学
2π
（2）（2024·济宁一模）若α＋β＝ ，则
两角和、差及倍角公式
目录
C O N T E N T S
1
2
考点 分类突破
课时 跟踪检测
课堂演练
考点 分类突破
精选考点 典例研析 技法重悟通
PART
1
目录
高中总复习·数学
公式的直接应用
【例1】 （1）（2021·全国乙卷6题） cos
解析：因为
cos
2 5π ＝
12
5π
cos ＝
12
cos
2 π
【例4】 （2024·舟山模拟）若 cos
＝（
解析：
π
4
（θ＋ ）＝ ，则
6
5
sin
π
（2θ－ ）
6
）
法一
π
（2θ＋ ）＝－
3
sin
【优化探究】高考数学 36 简单的三角恒等变换提素能高效训练 新人教A版 理
"【优化探究】2015高考数学 3-6 简单的三角恒等变换提素能高效训练 新人教A 版 理 "[A 组 基础演练·能力提升]一、选择题1．已知sin α＝－2425，则tan α2等于( )A ．－34B ．－43C ．－34或－43D.34或43解析：由sin α＝2tanα21＋tan2α2得tan α2＝－34或－43.答案：C2．已知cos α－sin α＝2，α∈(－π，0)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22 C.22D ．1 解析：∵cos α－sin α＝2(22cos α－22sin α)＝2cos(α＋π4)＝2，∴cos(α＋π4)＝1.∵α∈(－π，0)，∴－3π4<α＋π4<π4，∴α＋π4＝0，α＝－π4，∴tan α＝－1，选A.答案：A3．函数f(x)＝sin x ·(cos x －sin x)的最小正周期是( ) A.π4 B.π2 C ．πD ．2π解析：∵f(x)＝sin x ·(cos x －sin x)＝sin xcos x －sin 2x ＝12(sin 2x ＋cos 2x)－12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－12，∴最小正周期T ＝2π2＝π.故选C. 答案：C4．(2014年郑州模拟)函数f(x)＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x ⎝⎛⎭⎫π4≤x ≤π2的最大值为( )A ．2B ．3C ．2＋ 3D ．2－ 3解析：依题意，f (x)＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1，当π4≤x ≤π2时，π6≤2x －π3≤2π3，12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，此时f(x)的最大值是3，选B.答案：B5．(2014年嘉兴一模)2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是( )A.12B.32C. 3D. 2 解析：原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°sin 70°＝2(cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°)－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.答案：C6．(2014年六盘水模拟)已知cos α＝13，cos(α ＋β)＝－13，且α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos(α－β)的值等于( )A ．－12 B.12 C ．－13 D.2327解析：∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴2α∈(0，π)．∵cos α＝13，∴cos 2α＝2cos 2α－1＝－79，∴sin 2α＝1－cos 22α＝429，而α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)∴sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝223，∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)] ＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－79×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋429×223＝2327.答案：D 二、填空题7．(2014年东营模拟)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1＝________. 解析：∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且2sin 2α－sin αcos α－3cos 2α＝0，则(2sin α－3cos α)(sin α＋cos α)＝0，即2sin α＝3cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝213，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1＝22(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)2＋(－sin 2α＋cos 2α) ＝268. 答案：2688．函数f(x)＝sin x ·cos x －3cos 2x 的值域为________．解析：∵f(x)＝sin x ·cos x －3cos 2x ＝12sin 2x －32(1＋cos 2x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32，∴y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－32，1－32. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－32，1－32 9．已知tan ⎝⎛⎭⎫α－π12＝2，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π3的值为________．解析：∵tan ⎝⎛⎭⎫α－π12＝2，∴tan ⎝⎛⎭⎫α－π3＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫α－π12－π4＝2－11＋2×1＝13. 答案：13三、解答题10．(2014年北京东城模拟)已知函数f(x)＝2－(3sin x －cos x)2.(1)求f ⎝⎛⎭⎫π4的值和f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上的最大值和最小值．解析：(1)因为f(x)＝2－(3sin x －cos x)2＝2－(3sin 2x ＋cos 2x －23sin xcos x) ＝1－2sin 2x ＋3sin 2x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，所以f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π4＋π6＝2sin 2π3＝3，所以f(x)的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3时，2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，所以当x ＝－π6时，函数取得最小值f ⎝⎛⎭⎫－π6＝－1，当x ＝π6时，函数取得最大值f ⎝⎛⎭⎫π6＝2.11．(2014年合肥模拟)已知函数f(x)＝msin x ＋2m －1cos x. (1)若m ＝2，f(a)＝3，求cos a ；(2)若f(x)的最小值为－2，求f(x)在⎣⎡⎦⎤－π，π6上的值域．解析：(1)由m ＝2，得f(a)＝2sin a ＋3cos a ＝3， 又sin 2a ＋cos 2a ＝1，∴cos a ＝－17或cos a ＝1.(2)f(x)＝msin x ＋2m －1cos x ＝m 2＋2m －1sin(x ＋φ)≤m 2＋2m －1(tan φ＝2m －1m)， ∴m 2＋2m －1＝2，∴m ＝1或m ＝－3(舍)， ∴f(x)＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4.∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π，π6，∴x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，5π12，∴sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，2＋64，∴f(x)在⎣⎡⎦⎤－π，π6上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，1＋32.12．(能力提升)(2014年深圳调研)已知函数f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6＋π3(0≤x ≤5)，点A ，B 分别是函数y ＝f(x)图象上的最高点和最低点．(1)求点A ，B 的坐标以及OA →·OB →的值；(2)设点A ，B 分别在角α，β的终边上，求tan(α－2β)的值． 解析：(1)∵0≤x ≤5，∴π3≤πx 6＋π3≤7π6，∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6＋π3≤1. 当πx 6＋π3＝π2，即x ＝1时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6＋π3＝1，f(x)取得最大值2； 当πx 6＋π3＝7π6，即x ＝5时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6＋π3＝－12，f(x)取得最小值－1. 因此，点A ，B 的坐标分别是A(1,2)，B(5，－1)． ∴OA →·OB →＝1×5＋2×(－1)＝3.(2)∵点A(1,2)，B(5，－1)分别在角α，β的终边上， ∴tan α＝2，tan β＝－15，∵tan 2β＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－151－⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝－512，∴tan(α－2β)＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5121＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－512＝292.[B 组 因材施教·备选练习]1．函数f(x)＝6cos x －2sin x 取得最大值时，x 的可能取值是( ) A ．－π B ．－π2C ．－π6D ．2π解析：∵f(x)＝6cos x －2sin x＝22⎝⎛⎭⎪⎫32cos x －12sin x ＝22cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，∴当x ＋π6＝2k π时，其中k ∈Z ，f(x)取最大值，即x ＝2k π－π6时，f(x)有最大值22，∴结合各选项知x 的可能取值是－π6，选C.答案：C2．函数y ＝sin xsin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋sin 2π3·cos 2x 的最大值和最小正周期分别为( )A ．1，πB ．2,2π C.2，2πD.1＋32，π 解析：y ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，故选A.答案：A3．(2014年荆州模拟)已知x 0，x 0＋π2是函数f(x)＝cos 2⎝⎛⎭⎫ωx －π6－sin 2ωx(ω>0)的两个相邻的零点．(1)求f ⎝⎛⎭⎫π12的值；(2)若对∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，0，都有|f(x)－m|≤1，求实数m 的取值范围． 解析：(1)f(x)＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2ωx －π32－1－cos 2ωx2＝12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3＋cos 2ωx ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2ωx ＋32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝32sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3.由题意可知，f(x)的最小正周期T ＝π，∴2π|2ω|＝π，又∵ω>0，∴ω＝1，∴f(x)＝32sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.∴f ⎝⎛⎭⎫π12＝32sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋π3＝32sin π2＝32. (2)|f(x)－m|≤1，即f(x)－1≤m ≤f(x)＋1，∵对∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，0，都有|f(x)－m|≤1，∴m ≥f(x)max －1且m ≤f(x)min ＋1， ∵－7π12≤x ≤0，∴－5π6≤2x ＋π3≤π3，∴－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤32，∴－32≤32sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤34，即f(x)max ＝34，f(x)min ＝－32，∴－14≤m ≤1－32.故m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，1－32.。
2022年高考数学(人教A版)一轮复习课时分层提升练 三十六 6.3基本不等式 Word版含解析
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课时分层提升练 三十六基本不等式(25分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2021·郑州模拟)设a>0,b>0.若a+b=1,则1a +1b的最小值是 ( )A.2B.14C.4D.8【解析】选C.由题意1a +1b=a +b a+a +b b=2+b a +a b≥2+2√b a×a b=4,当且仅当b a =a b,即a=b=12时,取等号,所以最小值为4.2.(2021·济宁模拟)若x>2,则函数y=x 2−4x+8x−2的最小值为 ( )A.5B.4C.8D.6 【解析】选B.y=x 2−4x+8x−2=(x−2)2+4x−2=(x-2)+4x−2≥2√(x −2)·4x−2=4,当且仅当x-2=4x−2,即x=4时,等号成立.3.(2021·无锡模拟)设a,b,c 均为正数,且满足1a +4b =1,则使a+b>c 恒成立的c 的取值范围为 ( )A.(0,2)B.(2,+∞)C.(0,9)D.(9,+∞)【解析】选C.依题意a+b=(a+b)(1a+4b)=5+b a +4a b≥9,当且仅当{ba =4a b,1a+4b=1,即a=3,b=6时等号成立,所以使a+b>c 恒成立的c 的取值范围为(0,9). 4.设a>0,若关于x 的不等式x+a x−1≥5在(1,+∞)上恒成立,则a 的最小值为 ( )A.16B.9C.4D.2 【解析】选C.x+a x−1=(x-1)+ax−1+1≥2√(x −1)×a (x−1)+1=2√a +1≥5.所以2√a ≥4,√a ≥2,a ≥4.5.若两个正实数x,y 满足1x +4y=1,且不等式x+y4<m 2-3m 有解,则实数m 的取值范围是( )A.(-1,4)B.(-∞,-1)∪(4,+∞)C.(-4,1)D.(-∞,0)∪(3,+∞)【解析】选B.由题可知,1=1x +4y ≥2√4xy=√xy ,即√x y ≥4,于是有m 2-3m>x+y4≥√x y ≥4,故m 2-3m>4,化简得(m+1)(m-4)>0,即实数m 的取值范围为(-∞,-1)∪(4,+∞). 6.(2021·贵阳模拟)若4x +4y =1,则x+y 的取值范围为 ( ) A.[0,1] B.[-1,0] C.[-1,+∞) D.(-∞,-1]【解析】选D.由于1=4x +4y ≥2√4x ·4y =2x+y+1,即x+y+1≤0得x+y ≤-1.7.圆x 2+y 2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0(a,b ∈R)对称,则ab 的取值范围 是 ( )A.(−∞,14] B.(0,14]C.(−14,0) D.(−∞,14)【解题提示】圆关于直线对称,则圆心在直线上,利用此条件可解. 【解析】选A.由已知得圆心坐标为(-1,2), 故-2a-2b+2=0,即a+b=1, 故ab ≤(a +b 2)2=14.二、填空题(每小题5分,共15分) 8.(2021·东营模拟)设x,y ∈N,且xy=24,则1x 2+y 2的最大值为 .【解析】由于1x 2+y2=1x 2+242x 2≤2√x 2×2x2=148, 当且仅当x 2=242x 2,即x=√24时等号成立, 而x,y ∈N,故当x=4,y=6或x=6,y=4时,1x 2+y 2取得最大值152.答案:1529.要制作一个容积为4m 3,高为1m 的无盖长方体容器,已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是(单位:元).【解析】由容器体积为4,高为1可知,容器的底面积为4.设底面长为x,则宽为4x ,总造价为W.由题意,W=(2·x ·1+2·4x ·1)·10+4×20=20(x +4x)+80≥20×2√4+80=160,当且仅当x=4x,即x=2时取“=”.答案:16010.(2021·茂名模拟)已知函数y=a 2x-4+1(a>0且a ≠1)的图象过定点A,且点A 在直线x m +yn =1(m,n>0)上,则m+n 的最小值为 .【解析】由已知,函数y=a 2x-4+1的图象过定点A(2,2),且点A 在直线x m +yn=1上,所以2m +2n =1,所以m+n=(m+n)(2m+2n)=4+2n m+2m n≥4+2√4=8,当且仅当{2nm =2m n,2m+2n=1,即m=n=4时取等号, 所以m+n 的最小值为8. 答案:8 三、解答题11.(10分)某单位建筑一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房,由于地理位置的限制,房子侧面的长度x 不得超过5米.房屋正面的造价为400元/平方米,房屋侧面的造价为150元/平方米,屋顶和地面的造价费用合计为5800元,假如墙高为3米,且不计房屋背面的费用,当侧面的长度为多少时,总造价最低?【解析】由题意可得,总造价 y=3(2x ·150+12x×400)+5800=900(x +16x)+5800(0<x ≤5),则y=900(x +16x)+5800≥900×2√x ·16x +5800=13000(元),当且仅当x=16x,即x=4时取等号.故当侧面的长度为4米时,总造价最低.(20分钟 35分)1.(5分)(2021·舟山模拟)已知x>0,y>0且x+2y+2xy=8,则x+2y 的最小值 为 ( )A.2B.2√2C.4D.8 【解析】选C.由已知8=x+2y+2xy ≤(x+2y)+(x +2y 2)2,整理得(x+2y)2+4(x+2y)-32≥0,解得x+2y ≥4或x+2y ≤-8(舍去). 2.(5分)(2021·江门模拟)y=x 2+2x−1(x>1)的最小值为 ( )A.2√3+2B.2√3-2C.2√3D.2【解析】选A.由于x>1,所以x-1>0,y=x 2+2x−1=(x−1)2+2(x−1)+3x−1=(x-1)+2+3x−1≥2√(x −1)·3x−1+2=2√3+2,当且仅当x-1=3x−1时取等号.3.(12分)为响应国家扩大内需的政策,某厂家拟在2022年进行促销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用t(t ≥0)万元满足x=4-k 2t+1(k 为常数).假如不搞促销活动,那么该产品的年销量只能是1万件.已知2022年生产该产品的固定投入为6万元,每生产1万件该产品需要再投入12万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分).(1)将该厂家2022年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数. (2)该厂家2022年的年促销费用投入多少万元时,厂家利润最大? 【解析】(1)由题意有1=4-k1,得k=3,故x=4-32t+1.故y=1.5×6+12xx×x-(6+12x)-t=3+6x-t=3+6(4−32t+1)-t=27-182t+1-t(t ≥0).(2)由(1)知:y=27-182t+1-t=27.5-[9t+12+(t +12)].由于9t+12+(t +12)≥2×√9t+12(t +12)=6,当且仅当9t+12=t+12,即t=2.5时等号成立.故y=27-182t+1-t=27.5-[9t+12+(t +12)]≤27.5-6=21.5.所以当年促销费用投入2.5万元时,厂家利润最大. 【加固训练】某车间分批生产某种产品,每批的生产预备费用为800元.若每批生产x 件,则平均仓储时间为x8天,且每件产品每天的仓储费用为1元,为使平均到每件产品的生产预备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品 件. 【解析】记平均到每件产品的生产预备费用与仓储费用之和为f(x), 则f(x)=800+x8×x×1x=800x+x 8≥2√800x×x8=20,当且仅当800x=x8,即x=80(x>0)时,等号成立.故每批应生产产品80件,可使f(x)最小. 答案:804.(13分)已知不等式x 2-5ax+b>0的解集为{x|x>4或x<1}. (1)求实数a,b 的值. (2)若0<x<1,f(x)=ax +b 1−x,求f(x)的最小值.【解题提示】(1)由三个二次的关系可得{4+1=5a,4×1=b,解方程组可得.(2)由(1)知f(x)=1x +41−x=(1x+41−x)[x+(1-x)]=5+1−x x+4x1−x,由基本不等式可得.【解析】(1)由题意可得{4+1=5a,4×1=b,解得{a =1,b =4,所以实数a,b 的值分别为1,4. (2)由(1)知f(x)=1x +41−x,由于0<x<1,所以0<1-x<1, 所以1x >0,41−x>0,所以f(x)=1x +41−x=(1x+41−x)[x+(1-x)]=5+1−x x+4x1−x ≥5+2√1−xx·4x1−x=9,当且仅当1−xx=4x 1−x,即x=13时,等号成立.所以f(x)的最小值为9.关闭Word 文档返回原板块。
高中数学破题36大招(详例精编)
目录目录 (1)第1关：极值点偏移问题--对数不等式法 (2)第2关：参数范围问题—常见解题6法 (6)第3关：数列求和问题—解题策略8法 (9)第4关：绝对值不等式解法问题—7大类型 (13)第5关：三角函数最值问题—解题9法 (19)第6关：求轨迹方程问题—6大常用方法 (24)第7关：参数方程与极坐标问题—“考点”面面看 (37)第8关：均值不等式问题—拼凑8法 (43)第9关：不等式恒成立问题—8种解法探析 (49)第10关：圆锥曲线最值问题—5大方面 (55)第11关：排列组合应用问题—解题21法 (59)第12关：几何概型问题—5类重要题型 (66)第13关：直线中的对称问题—4类对称题型 (69)第14关：利用导数证明不等式问题—4大解题技巧 (71)第15关：函数中易混问题—11对 (76)第16关：三项展开式问题—破解“四法” (82)第17关：由递推关系求数列通项问题—“不动点”法 (83)第18关：类比推理问题—高考命题新亮点 (87)第19关：函数定义域问题—知识大盘点 (93)第20关：求函数值域问题—7类题型16种方法 (100)第21关：求函数解析式问题—7种求法 (121)第22关：解答立体几何问题—5大数学思想方法 (124)第23关：数列通项公式—常见9种求法 (129)第24关：导数应用问题—9种错解剖析 (141)第25关：三角函数与平面向量综合问题—6种类型 (144)第26关：概率题错解分类剖析—7大类型 (150)第27关：抽象函数问题—分类解析 (153)第28关：三次函数专题—全解全析 (157)第29关：二次函数在闭区间上的最值问题—大盘点 (169)第30关：解析几何与向量综合问题—知识点大扫描 (178)第31关：平面向量与三角形四心知识的交汇 (179)第32关：数学解题的“灵魂变奏曲”—转化思想 (183)第33关：函数零点问题—求解策略 (194)第34关：求离心率取值范围—常见6法 (199)第35关：高考数学选择题—解题策略 (202)第36关：高考数学填空题—解题策略 (211)第1关：极值点偏移问题--对数不等式法我们熟知平均值不等式：即“调和平均数”小于等于“几何平均数”小于等于“算术平均值”小于等于“平方平均值”等号成立的条件是.我们还可以引入另一个平均值：对数平均值：那么上述平均值不等式可变为：对数平均值不等式，以下简单给出证明：不妨设，设，则原不等式变为：以下只要证明上述函数不等式即可.以下我们来看看对数不等式的作用.题目1：（2015长春四模题）已知函数有两个零点，则下列说法错误的是A. B. C. D.有极小值点，且【答案】C【解析】函数导函数：有极值点，而极值，，A正确.有两个零点：，，即：①②①-②得：根据对数平均值不等式：，而，B正确，C错误而①+②得：，即D成立.题目2：（2011辽宁理）已知函数.若函数的图像与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明：【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：设，，，则，①②①-②得：，化简得：③而根据对数平均值不等式：③等式代换到上述不等式④根据：（由③得出）∴④式变为：∵，∴，∴在函数单减区间中，即：题目3：(2010天津理)已知函数.如果，且.证明：.【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：设，则，，两边取对数①②①-②得：根据对数平均值不等式题目4：（2014江苏南通市二模）设函数，其图象与轴交于两点，且.证明：（为函数的导函数）.【解析】根据题意：，移项取对数得：①②①-②得：，即：根据对数平均值不等式：，①+②得：根据均值不等式：∵函数在单调递减∴题目5：已知函数与直线交于两点. 求证：【解析】由，，可得：①，②①-②得：③①+②得：④根据对数平均值不等式利用③④式可得：由题于与交于不同两点，易得出则∴上式简化为:∴第2关：参数范围问题—常见解题6法求解参数的取值范围是一类常见题型．近年来在各地的模拟试题以及高考试题中更是屡屡出现．学生遇到这类问题，较难找到解题的切入点和突破口，下面介绍几种解决这类问题的策略和方法．一、确定“主元”思想常量与变量是相对的，一般地，可把已知范围的那个看作自变量，另一个看作常量．例1.对于满足0的一切实数，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，求x的取值范围．分析：习惯上把x当作自变量，记函数y= x2+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当p时y>0恒成立，求x的范围．解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这是相当复杂的．若把x与p两个量互换一下角色，即p视为变量，x为常量，则上述问题可转化为在[0,4]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题．解：设f(p)=(x-1)p+x2-4x+3，当x=1时显然不满足题意．由题设知当0时f(p)>0恒成立，∴f(0)>0,f(4)>0即x2-4x+3>0且x2-1>0，解得x>3或x<-1．∴x的取值范围为x>3或x<-1．二、分离变量对于一些含参数的不等式问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行分离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。
高中数学总复习：二项分布、超几何分布与正态分布
协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参
加比赛.
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高中总复习·数学（提升版）
（1）设 A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手
来自同一个协会”，求事件 A 发生的概率；
22 32 ＋32 32
−
（ X ）＝ ·（1－ ）· .
−1
3. 对于正态分布 X ～ N （μ，σ2）， E （ X ）＝μ， D （ x ）＝σ2.
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高中总复习·数学（提升版）
1. 已知一盒子中有棋子10粒，其中7粒黑子，3粒白子.任意取出2粒，
若 X 表示取得白子的个数，则 X 的均值 E （ X ）＝
64
3
得 p ＝ ，则事件 A 恰好发生一次的概率为 31
4
×
3
3
9
2
×（1－ ） ＝ .
4
4
64
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高中总复习·数学（提升版）
4. 某产品有5件正品和3件次品混在了一起（产品外观上看不出有任何
区别），现从这8件产品中随机抽取3件，则取出的3件产品中恰有1
件是次品的概率为
15
28
.
解析：设取出的3件产品中次品的件数为 X ，3件产品中恰好有一件
1
位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是 .
2
5
则质点 P 移动五次后位于点（2，3）的概率是 16 .
解析：由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移
动五次后位于点（2，3），所以质点 P 必须向右移动两次，向上移
高考数学总复习 提素能高效题组训练 36 文 新人教A版
《优化探究》2014高考数学总复习（人教A 文）提素能高效题组训练：3-6[命题报告·教师用书独具]1.sin 20°cos 20°cos 50°＝( )A ．2 B.22C. 2D.12解析：sin 20°cos 20°cos 50°＝12sin 40°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12，选D.答案：D2．(2013年上饶四校联考)已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝12，则cos 2α的值为( )A.74 B ．－74C ．±74D ．－14解析：将sin α＋cos α＝12两边平方，得1＋sin 2α＝14，∴sin 2α＝－34，∴sin α>0，cos α<0，可知π2<α<π.又sin α>|cos α|，∴π2<α<3π4，即π<2α<3π2，∴cos 2α＝－74，故选B. 答案：B3．若1＋cos 2αsin 2α＝12，则tan 2α等于( )A.54 B ．－54C.43D ．－43解析：1＋cos 2αsin 2α＝2cos 2α2sin αcos α＝cos αsin α＝12，∴tan α＝2，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝41－4＝－43，故选D. 答案：D4．(2013年北京朝阳模拟)已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a解析：f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，因为函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上单调递增，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，而c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin 2π3＝2sin π3＝f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，所以c <a <b .答案：B5．(2012年高考湖南卷)函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为( )A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 解析：将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式后求解．∵f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin x －cos x cos π6＋sin x sin π6＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6(x ∈R )， ∴f (x )的值域为[－3，3]． 答案：B 二、填空题6．计算：tan 12°－34cos 212°－2sin 12°＝________. 解析：原式＝sin 12°－3cos 12°2sin 12°cos 12° cos 24°＝2sin 12°－60°12sin 48°＝－4.答案：－47．设函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )是f (x )的导数，若f (x )＝2f ′(x )，则sin 2x －sin 2xcos 2x ＝________.解析：f ′(x )＝cos x －sin x ，由f (x )＝2f ′(x )得sin x ＋cos x ＝2cos x －2sin x ，∴cos x ＝3sin x ，于是sin 2x －sin 2x cos 2x ＝sin 2x －2sin x cos xcos 2x ＝sin 2x －6sin 2x 9sin 2x ＝－59. 答案：－598．(2012年高考大纲全国卷)当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x <2π)取得最大值时，x ＝________.解析：利用正弦函数的性质求解． ∵y ＝sin x －3cos x (0≤x <2π)，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3(0≤x <2π)．由0≤x <2π知，－π3≤x －π3<5π3，∴当y 取得最大值时，x －π3＝π2，即x ＝56π.答案：56π9．(2013年北京海淀模拟)若tan α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝________. 解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－sin 2α＝－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝－2tan α1＋tan 2α＝－2×121＋14＝－45.答案：－45三、解答题10．(2012年高考四川卷)已知函数f (x )＝cos 2x 2－sin x 2·cos x 2－12. (1)求函数f (x )的最小正周期和值域； (2)若f (α)＝3210，求sin 2α的值．解析：(1)由已知，f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12＝12(1＋cos x )－12sin x －12 ＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以f (x )的最小正周期为2π，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22. (2)由(1)知，f (α)＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝3210，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35.所以sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝－cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－1825＝725.11．(2012年高考重庆卷)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0，－π<φ≤π)在x ＝π6处取得最大值2，其图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2.(1)求f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝6cos 4x －sin 2x －1f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域．解析：(1)由题设条件知f (x )的周期T ＝π，即2πω＝π，解得ω＝2.因为f (x )在x ＝π6处取得最大值2，所以A ＝2.从而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，所以π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z .又由－π<φ≤π，得φ＝π6.故f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)g (x )＝6cos 4x －sin 2x －12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝6cos 4x ＋cos 2x －22cos 2x＝2cos 2x －13cos 2x ＋222cos 2x －1＝32cos 2x ＋1⎝⎛⎭⎪⎫cos 2x ≠12.因cos 2x ∈[0,1]，且cos 2x ≠12，故g (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，74∪⎝ ⎛⎦⎥⎤74，52. 12．(能力提升)已知函数f (x )＝cos 2ωx －3sin ωx ·cos ωx (ω>0)的最小正周期是π. (1)求函数f (x )的单调递增区间和对称中心；(2)若A 为锐角三角形ABC 的内角，求f (A )的取值范围． 解析：(1)依题意，得f (x )＝1＋cos 2ωx 2－32sin 2ωx＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3＋12，∵T ＝2π2ω＝π，∴ω＝1.∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋12， 由－π＋2k π≤2x ＋π3≤2k π，k ∈Z ，得－2π3＋k π≤x ≤－π6＋k π，k ∈Z . ∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3＋k π，－π6＋k π，k ∈Z . 令2x ＋π3＝π2＋k π，∴x ＝π12＋k π2，k ∈Z .∴对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋k π2，12，k ∈Z . (2)依题意，得0<A <π2，∴π3<2A ＋π3<4π3，⎝⎭32∴－12≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＋12<1， ∴f (A )的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1. [因材施教·学生备选练习]1．(2013年烟台模拟)已知函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x .(1)求f (x )的周期和单调递增区间； (2)若关于x 的方程f (x )－m ＝2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上有解，求实数m 的取值范围． 解析：(1)f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －3cos 2x＝1＋sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，∴周期T ＝π.由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2解得，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∴f (x )的值域为[2,3]．而f (x )＝m ＋2，∴m ＋2∈[2,3]，即m ∈[0,1]． 2．已知f (x )＝cos x (cos x －3)＋sin x (sin x －3)， (1)若x ∈[2π，3π]，求f (x )的单调递增区间；(2)若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4且f (x )＝－1，求tan 2x 的值．解析：(1)由已知得，f (x )＝cos 2x －3cos x ＋sin 2x －3sin x＝1－3(cos x ＋sin x )⎝⎭4由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )．又∵x ∈[2π，3π]， ∴函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤9π4，3π.(2)由(1)知f (x )＝1－32sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－1.∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝23.∴cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝59. ∴sin 2x ＝－59.∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2.∴cos 2x ＝－1－sin 22x ＝－2149.∴tan 2x ＝sin 2x cos 2x ＝51428.。
高中数学高考复习 综合提升40
综合提升40满分：78分时间：60分钟一、填空题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．将答案填在答题卡上．1．设集合{}17M x x =-≤≤，{}121S x k x k =+≤≤-．若M S =∅，则实数k 的取值范围是________． 2．函数()f x ________． 3．下列四个命题中，真命题的个数为________． （1）若两平面有三个公共点，则这两个平面重合； （2）两条直线可以确定一个平面； （3）若M α∈，M β∈，l αβ=，则M l ∈；（4）空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内． 4．函数sin 2sin 23y x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的最小正周期是________．5．在等差数列{}n a 中，已知2811a a +=，则3113a a +的值为________．6．三棱锥P ABC -中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则12V V =________． 7．若函数()e 2x f x x a =--在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是________．8．某地区共有10万户居民，该地区城市与农村住户之比为4:6，根据分层抽样方法，调查了该地区1000户居民冰箱拥有情况，调查结果如下表所示，估计该地区农村住户中无冰箱的总户数约为________万户．9．在ABC △中，A 为动点，B ，C 为定点，,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,02C ⎛⎫⎪⎝⎭，且满足1sin sin sin 2C B A -=，则动点A 的轨迹方程为________．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M ：()()()22310x a y a a -++-=>，点N 为圆M 上任意一点．若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为________．二、解答题：本大题共2小题，每小题14分，共28分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．11．要制作一个如图所示的框架（单位：m ），要求所围成的总面积为19.52m ，其中四边形ABCD 是一个矩形，四边形EFCD 是一个等腰梯形，梯形高12h AB =，3tan 4FED ∠=，设AB x =m ，BC y =m ． （1）求y 关于x 的函数关系式；（2）如何设计x ，y 的长度，才能使所用材料最少？12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点()32,2M ，离心率e 为223． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点M 作两条直线与椭圆C 分别交于相异两点A ，B ，2F 是椭圆的右焦点．若直线MA 过坐标原点O ，求2MAF △的外接圆方程．。
2020版江苏高考数学一轮复习教程：随堂巩固训练36含答案解析
x－y＋ 2≥ 0，
9. 已知实数 x，y 满足不等式组 x＋y－ 4≥ 0， 若使得目标函数 z＝ y－ax 取得最大值的唯一最优解是 (1，3)，
2x－y－ 5≤ 0， 则实数 a 的取值范围为 __(1，＋∞ )__．
解析： 作出不等式组表示的平面区域，将 z＝ y－ ax 化为 y＝ax＋ z， z 为直线的截距，由图可知若使 取得最大值的唯一最优解是 B(1 ， 3)，必有 a>1.
4x＋ y＋ 10≥ 0，
解析： 设 O→M ·O→P＝ (2，1) ·(x ，y) ＝ 2x＋ y＝ t，作出可行域， 可得当直线
2x＋y＝ t 经过点
A(4
，1)
时，
(O→M
→ ·OP)
max
＝2× 4＋ 1＝ 9.
|x＋ y|≤ 1，
6. 已知实数 x， y 满足
则 z＝ |3x＋4y － 5|的最大值为 __9__．
3. 设实数 x， y 满足不等式组
x－y－2≤0， x＋2y－ 4≥ 0， 则 yx的最大值为 __32__．
2y－3≤ 0，
解析： y表示的是点 (x ， y) 与原点连线所在直线的斜率，作出可行域，可知当直线过点 x
Hale Waihona Puke 3 1， 2时，y有最大值 x
3 .
2
y≤x， 4. 已知变量 x， y 满足约束条件 x＋ y≥ 2， 则 z＝ x2＋ y2 的最大值为 __18__．
随堂巩固训练 (36)
2x＋y≥ 4， 1. 设实数 x， y 满足不等式组 x－ y≥－ 1，则 z＝ x＋ y 的最小值是 __2__．
x－ 2y≤ 2， 解析： 当直线 z＝x＋ y 经过点 (2， 0)时， z 取得最小值 2.
新课改瘦专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测三十六数列求和含解析2021学年
课时跟踪检测 (三十六 ) 数列求和1．(2021·河北 "五个一名校联盟〞模拟)数列{a n }满足：a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2 ,n ∈N *) ,a 1＝1 ,a 2＝2 ,S n 为数列{a n }的前n 项和 ,那么S 2 018＝( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选A ∵a n ＋1＝a n －a n －1 ,a 1＝1 ,a 2＝2 ,∴a 3＝1 ,a 4＝－1 ,a 5＝－2 ,a 6＝－1 ,a 7＝1 ,a 8＝2 ,… ,故数列{a n }是周期为6的周期数列 ,且每连续6项的和为0 ,故S 2 018＝336×0＋a 2 017＋a 2 018＝a 1＋a 2＝3.应选A.2．在数列{a n }中 ,假设a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1 ,那么数列{a n }的前12项和等于( ) A ．76 B ．78 C ．80D ．82解析：选B 由a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1 ,得a n ＋2＋(－1)n ＋1a n ＋1＝2n ＋1 ,得a n ＋2＋a n ＝(－1)n(2n －1)＋(2n ＋1) ,取n ＝1,5,9及n ＝2,6,10 ,结果相加可得S 12＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 11＋a 12＝78.应选B.3．(2021·开封调研)数列{a n }满足a 1＝1 ,a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *) ,那么S 2 018等于( ) A ．22 018－1B ．3×21 009－3 C ．3×21 009－1D ．3×21 008－2解析：选B ∵a 1＝1 ,a 2＝2a 1＝2 ,又a n ＋2·a n ＋1a n ＋1·a n ＝2n ＋12n ＝2 ,∴a n ＋2a n＝2.∴a 1 ,a 3 ,a 5 ,…成等比数列；a 2 ,a 4 ,a 6 ,…成等比数列 ,∴S 2 018＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 2 017＋a 2 018＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 018)＝1－21 0091－2＋21－21 0091－2＝3×21 009－3.应选B.4．数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －3⎝ ⎛⎭⎪⎫15n,那么其前20项和为( )A ．380－35⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1519B ．400－25⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1520C ．420－34⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1520D ．440－45⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1520解析：选C 令数列{a n }的前n 项和为S n ,那么S 20＝a 1＋a 2＋…＋a 20＝2(1＋2＋…＋20)－3⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋152＋…＋1520＝2×20×20＋12－3×15⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15201－15＝420－34⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1520.5．1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2＝( )A.n n ＋12B ．－n n ＋12C ．(－1)n ＋1n n ＋12D ．以上均不正确解析：选C 当n 为偶数时 ,1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2＝－3－7－…－(2n －1)＝－n23＋2n －12＝－n n ＋12；当n 为奇数时 ,1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2＝－3－7－…－[2(n －1)－1]＋n 2＝－n －12[3＋2n －1－1]2＋n 2＝n n ＋12.综上可得 ,原式＝(－1)n ＋1n n ＋12.6．(2021·郑州质量预测)数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1＝1 ,a 2＝2 ,且a n ＋2－2a n ＋1＋a n＝0(n ∈N *) ,记T n ＝1S 1＋1S 2＋…＋1S n(n ∈N *) ,那么T 2 018＝( )A.4 0342 018 B ．2 0172 018 C.4 0362 019D ．2 0182 019解析：选C 由a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0(n ∈N *) ,可得a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1 ,所以数列{a n }为等差数列 ,公差d ＝a 2－a 1＝2－1＝1 ,通项公式a n ＝a 1＋(n －1)×d ＝1＋n －1＝n ,那么其前n 项和S n ＝n a 1＋a n2＝n n ＋12,所以1S n＝2n n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ,T n ＝1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝2( 1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1 ,故T 2 018＝2×2 0182 018＋1＝4 0362 019 ,应选C.7．数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ＋1 ,那么数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫4a n a n ＋1的前n 项和T n ＝________. 解析：∵数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ＋1 ,∴S n －1＝n 2－n ＋1(n ≥2) ,两式作差得到a n＝2n (n ≥2)．故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧3 n ＝12n n ≥2.∴4a n a n ＋1＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1(n ≥2) ,∴T n ＝13＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝56－1n ＋1. 答案：56－1n ＋18．(2021·安徽十大名校联考)在数列{a n }中 ,a 1＝－2 ,a 2＝3 ,a 3＝4 ,a n ＋3＋(－1)na n ＋1＝2(n ∈N *)．记S n 是数列{a n }的前n 项和 ,那么S 20的值为________．解析：由题意知 ,当n 为奇数时 ,a n ＋3－a n ＋1＝2 ,又a 2＝3 ,所以数列{a n }中的偶数项是以3为首||项 ,2为公差的等差数列 ,所以a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 20＝10×3＋10×92×2＝120.当n 为偶数时 ,a n ＋3＋a n ＋1＝2 ,又a 3＋a 1＝2 , 所以数列{a n }中的相邻的两个奇数项之和均等于2 ,所以a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 17＋a 19＝(a 1＋a 3)＋(a 5＋a 7)＋…＋(a 17＋a 19)＝2×5＝10 ,所以S 20＝120＋10＝130.答案：1309．(2021·益阳、湘潭调研)S n 为数列{a n }的前n 项和 ,假设a 1＝2且S n ＋1＝2S n ,设b n＝log 2a n ,那么1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 2 018b 2 019的值是________．解析：由S n ＋1＝2S n 可知 ,数列{S n }是首||项为S 1＝a 1＝2 ,公比为2的等比数列 ,所以S n ＝2n .当n ≥2时 ,a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －1＝2n －1,b n＝log 2a n＝⎩⎨⎧1n ＝1n －1n ≥2当n ≥2时 ,1b n b n ＋1＝1n －1n ＝1n －1－1n ,所以1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 2 018b 2 019＝1＋1－12＋12－13＋…＋12 017－12 018＝2－12 018＝4 0352 018. 答案：4 0352 01810．(2021·大连模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1＝1 ,a n ＋1＝3S n ＋1 ,n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记T n 为数列{n ＋a n }的前n 项和 ,求T n . 解：(1)由a n ＋1＝3S n ＋1 , 得当n ≥2时 ,a n ＝3S n －1＋1 , 两式相减 ,得a n ＋1＝4a n (n ≥2)． 又a 1＝1 ,a 2＝4 ,a 2a 1＝4 ,所以数列{a n }是首||项为1 ,公比为4的等比数列 , 所以数列{a n }的通项公式是a n ＝4n －1(n ∈N *)．(2)T n ＝(1＋a 1)＋(2＋a 2)＋(3＋a 3)＋…＋(n ＋a n )＝(1＋2＋…＋n )＋(1＋4＋42＋…＋4n －1)＝n 1＋n2＋1×1－4n1－4＝n ＋n 22＋4n －13.11．(2021·广州调研)数列{a n }满足a 1＋4a 2＋42a 3＋…＋4n －1a n ＝n4(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝4na n2n ＋1 ,求数列{b n b n ＋1}的前n 项和T n .解：(1)当n ＝1时 ,a 1＝14.因为a 1＋4a 2＋42a 3＋…＋4n －2a n －1＋4n －1a n ＝n4,①所以a 1＋4a 2＋42a 3＋…＋4n －2a n －1＝n －14(n ≥2 ,n ∈N *) ,②①－②得4n －1a n ＝14(n ≥2 ,n ∈N *) ,所以a n ＝14n (n ≥2 ,n ∈N *)．当n ＝1时也适合上式 ,故a n ＝14n (n ∈N *)．(2)由(1)得b n ＝4na n 2n ＋1＝12n ＋1 ,所以b n b n ＋1＝12n ＋12n ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3 ,故T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3 ＝n 6n ＋9. 12．{a n }为等差数列 ,前n 项和为S n (n ∈N *) ,{b n }是首||项为2的等比数列 ,且公比大于0 ,b 2＋b 3＝12 ,b 3＝a 4－2a 1 ,S 11＝11b 4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和(n ∈N *)．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ,等比数列{b n }的公比为q . 由b 2＋b 3＝12 ,得b 1(q ＋q 2)＝12 ,而b 1＝2 ,所以q 2＋q －6＝0. 又因为q ＞0 ,解得q ＝2. 所以b n ＝2n.由b 3＝a 4－2a 1 ,可得3d －a 1＝8.① 由S 11＝11b 4 ,可得a 1＋5d ＝16.②由①② ,解得a 1＝1 ,d ＝3 ,由此可得a n ＝3n －2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2 ,数列{b n }的通项公式为b n ＝2n. (2)设数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为T n , 由a 2n ＝6n －2 ,b 2n －1＝2×4n －1,得a 2n b 2n －1＝(3n －1)×4n,故T n ＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n －1)×4n,4T n ＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n －4)×4n ＋(3n －1)×4n ＋1,上述两式相减 ,得－3T n ＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n －(3n －1)×4n ＋1＝12×1－4n1－4－4－(3n －1)×4n ＋1＝－(3n －2)×4n ＋1－8.故T n ＝3n －23×4n ＋1＋83.所以数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为3n －23×4n ＋1＋83.。
2021版新高考数学(理科)一轮复习课后限时集训36 数列求和
数列求和 建议用时：45分钟一、选择题1．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 5＋a 7＝6，a 11＝8，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ＋3a n ＋4的前n项和S n ＝( )A.n ＋1n ＋2B.n n ＋1C.nn ＋2D.2nn ＋1B [设等差数列{a n }的公差为d ，由a 3＋a 5＋a 7＝6，a 11＝8，得a 5＝2，d ＝1，所以a n ＝n －3.则a n ＋3＝n ，a n ＋4＝n ＋1，所以1a n ＋3a n ＋4＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1.所以S n ＝1－1n ＋1＝nn ＋1.故选B.]2．数列{(－1)n (2n －1)}的前2 020项和S 2 020等于( ) A ．－2 018 B ．2 018 C ．－2 020D ．2 020D [S 2 020＝－1＋3－5＋7＋…－(2×2 019－1)＋(2×2 020－1)＝2×1 010＝2 020.故选D.]3．在数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝( )A ．(2n －1)2B.（2n －1）23C ．4n －1D.4n －13D [由题意得，当n ＝1时，a 1＝1，当n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝2n －1－1，则a n ＝2n －1－(2n －1－1)＝2n －1(n ≥2)，n ＝1时也成立，所以a n ＝2n －1，则a 2n ＝22n －2，所以数列{a 2n }的首项为1，公比为4的等比数列，所以a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1×（1－4n ）1－4＝4n －13，故选D.]4．数列{a n }中，a 1＝2，且a n ＋a n －1＝na n －a n －1＋2(n ≥2)，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1（a n －1）2前2 019项和为( )A.4 0362 019 B.2 0191 010 C.4 0372 019D.4 0392 020B [∵a n ＋a n －1＝na n －a n －1＋2(n ≥2)，∴a 2n －a 2n －1－2(a n －a n －1)＝n ，整理，得(a n －1)2－(a n －1－1)2＝n ， ∴(a n －1)2－(a 1－1)2＝n ＋(n －1)＋…＋2， 又a 1＝2，∴(a n －1)2＝n （n ＋1）2，即1（a n －1）2＝2n （n ＋1）＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. 则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1（a n －1）2前2 019项和为： 2(1－12＋12－13＋…＋12 019－12 020)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12 020＝2 0191 010.故选B.]5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a n ＋a n ＋1＝2n (n ∈N *)，则S 13＝( ) A.213－43 B.213＋23 C.214－43D.214＋23C [∵a 1＝2，∴n ＝2时，a 2＋a 3＝22，n ＝4时，a 4＋a 5＝24， n ＝6时，a 6＋a 7＝26，n ＝8时，a 8＋a 9＝28， n ＝10时，a 10＋a 11＝210，n ＝12时，a 12＋a 13＝212， ∴S 13＝2＋22＋24＋26＋28＋210＋212 ＝2＋22[1－（22）6]1－22＝214－43.故选C.] 二、填空题6．(2019·浙江台州期中)已知数列{a n }满足1a n ＝1a n ＋1－1，且a 1＝1，则a n ＝________，数列{b n }满足b n ＝2na n，则数列{b n }的前n 项和S n ＝________．1n (n －1)·2n ＋1＋2 [由1a n ＝1a n ＋1－1可得1a n ＋1－1a n ＝1， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，公差、首项都为1，由等差数列的通项公式可得 1a n ＝n ，a n ＝1n ，2n a n ＝n ×2n ， S n ＝1×2＋2×22＋…＋n ×2n ，2S n ＝1×22＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1，相减得S n ＝－(2＋22＋…＋2n )＋n ×2n ＋1＝－2（1－2n ）1－2＋n ×2n ＋1＝(n －1)×2n ＋1＋2.]7．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 018＝________． 3·21 009－3 [∵数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n ，① ∴n ＝1时，a 2＝2，n ≥2时，a n ·a n －1＝2n －1，②由①÷②得a n ＋1a n －1＝2，∴数列{a n }的奇数项、偶数项分别成等比数列， ∴S 2 018＝1－21 0091－2＋2（1－21 009）1－2＝3·21 009－3.]8．已知等差数列{a n }满足a 3＝7，a 5＋a 7＝26，b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________．25101 [因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以公差d ＝2， 所以a n ＝a 3＋2(n －3)＝2n ＋1.所以b n ＝1a 2n －1＝1（2n ＋1）2－1＝14n （n ＋1）＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1.所以S 100＝b 1＋b 2＋…＋b 100＝14(1－12＋12－13＋…＋1100－1101)＝25101.] 三、解答题9．已知等差数列{a n }满足a 6＝6＋a 3，且a 3－1是a 2－1，a 4的等比中项． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1(n ∈N *)，数列{b n }的前项和为T n ，求使T n ＜17成立的最大正整数n 的值[解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ， ∵a 6－a 3＝3d ＝6，即d ＝2，∴a 3－1＝a 1＋3，a 2－1＝a 1＋1，a 4＝a 1＋6， ∵a 3－1是a 2－1，a 4的等比中项， ∴(a 3－1)2＝(a 2－1)·a 4，即(a 1＋3)2＝(a 1＋1)(a 1＋6)，解得a 1＝3. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由(1)得b n ＝1a n a n ＋1＝1（2n ＋1）（2n ＋3）＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3. ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12(13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3＝n3（2n ＋3）， 由n 3（2n ＋3）＜17，得n ＜9.∴使T n ＜17成立的最大正整数n 的值为8.10．(2019·天津高考)设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，公比大于0，已知a 1＝b 1＝3，b 2＝a 3，b 3＝4a 2＋3.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }满足c n ＝⎩⎨⎧1，n 为奇数，b n 2，n 为偶数.求a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n (n ∈N *)．[解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3q ＝3＋2d ，3q 2＝15＋4d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝3，故a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，b n ＝3×3n －1＝3n . 所以{a n }的通项公式为a n ＝3n ，{b n }的通项公式为b n ＝3n . (2)a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)＋(a 2b 1＋a 4b 2＋a 6b 3＋…＋a 2n b n ) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ×3＋n （n －1）2×6＋(6×31＋12×32＋18×33＋…＋6n ×3n ) ＝3n 2＋6(1×31＋2×32＋…＋n ×3n )． 记T n ＝1×31＋2×32＋…＋n ×3n ，① 则3T n ＝1×32＋2×33＋…＋n ×3n ＋1，② ②－①得，2T n ＝－3－32－33－…－3n ＋n ×3n ＋1＝－3（1－3n ）1－3＋n ×3n ＋1＝（2n －1）3n ＋1＋32.所以a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n ＝3n 2＋6T n ＝3n 2＋3×（2n －1）3n ＋1＋32＝（2n －1）3n ＋2＋6n 2＋92(n ∈N *)．1．定义在[0，＋∞)上的函数f (x )满足：当0≤x ＜2时，f (x )＝2x －x 2；当x ≥2时，f (x )＝3f (x －2)．记函数f (x )的极大值点从小到大依次记为a 1，a 2，…，a n ，…，并记相应的极大值为b 1，b 2，…，b n ，…，则a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a 20b 20的值为( )A ．19×320＋1B ．19×319＋1C ．20×319＋1D ．20×320＋1A [由题意当0≤x ＜2时，f (x )＝2x －x 2＝－(x －1)2＋1极大值点为1，极大值为1，当x ≥2时，f (x )＝3f (x －2)．则极大值点形成首项为1，公差为2 的等差数列，极大值形成首项为1，公比为3的等比数列，故a n ＝2n －1，b n ＝3n －1，故a n b n ＝(2n －1)3n －1， 设S ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a 20b 20＝1×1＋3×31＋5×32＋…＋39×319， 3S ＝1×31＋3×32＋…＋39×320， 两式相减得－2S ＝1＋2(31＋32＋…＋319)－39×320 ＝1＋2×3（1－319）1－3－39×320，∴S ＝19×320＋1，故选A.]2．(2019·金山中学模拟)数列{a n }且a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1n 2＋2n ，n 为奇数，sin n π4，n 为偶数，若S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 2 018＝________．3 0282 019[数列{a n }且a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1n 2＋2n ，n 为奇数，sin n π4，n 为偶数，①当n 为奇数时，a n ＝1n 2＋2n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2， ②当n 为偶数时，a n ＝sin n π4，所以S 2 018＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 018)， ＝12(1－13＋13－15＋…＋12 017－12 019)＋(1＋0－1＋…＋0)， ＝1 0092 019＋1＝3 0282 019.]3．(2019·济南模拟)如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上标签：原点处标数字0，记为a 0；点(1，0)处标数字1，记为a 1；点(1，－1)处标数字0，记为a 2；点(0，－1)处标数字－1，记为a 3；点(－1，－1)处标数字－2，记为a 4；点(－1，0)处标数字－1，记为a 5；点(－1，1)处标数字0，记为a 6；点(0，1)处标数字1，记为a 7；……；以此类推，格点坐标为(i ，j)的点处所标的数字为i ＋j(i ，j 均为整数)，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则S 2 018＝________．－249 [设a n 的坐标为(x ，y )，则a n ＝x ＋y .第一圈从点(1，0)到点(1，1)共8个点，由对称性可知a 1＋a 2＋…＋a 8＝0；第二圈从点(2，1)到点(2，2)共16个点，由对称性可知a 9＋a 10＋…＋a 24＝0，……；以此类推，可得第n 圈的8n 个点对应的这8n 项的和也为0.设a 2 018在第k 圈，则8＋16＋…＋8k ＝4k (k ＋1)，由此可知前22圈共有2 024个数，故S 2 024＝0，则S 2 018＝S 2 024－(a 2 024＋a 2 023＋…＋a 2019)，a 2 024所在点的坐标为(22，22)，a 2 024＝22＋22，a 2 023所在点的坐标为(21，22)，a 2 023＝21＋22，以此类推，可得a 2 022＝20＋22，a 2 021＝19＋22，a 2 020＝18＋22，a 2 019＝17＋22，所以a 2 024＋a 2 023＋…＋a 2 019＝249，故S 2 018＝－249.]4．已知各项均不相等的等差数列{a n }的前四项和S 4＝14，且a 1，a 3，a 7成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设T n 为数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和，若λT n ≤a n ＋1对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的最大值．[解] (1)设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝14，（a 1＋2d ）2＝a 1（a 1＋6d ），解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝1或⎩⎨⎧a 1＝72，d ＝0(舍去)，所以a n ＝n＋1.(2)由(1)知1a n a n ＋1＝1n ＋1－1n ＋2，所以T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2 ＝12－1n ＋2＝n2（n ＋2）.又λT n ≤a n ＋1恒成立，所以λ≤2（n ＋2）2n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋4n ＋8， 而2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋4n ＋8≥16，当且仅当n ＝2时等号成立． 所以λ≤16，即实数λ的最大值为16.1．(2017·全国卷Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的★答案★：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N ＞100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( )A ．440B ．330C ．220D ．110A [设首项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n 组的项数为n ，前n 组的项数和为n （1＋n ）2.由题意知，N >100，令n （1＋n ）2＞100⇒n ≥14且n ∈N *，即N 出现在第13组之后．第n 组的各项和为1－2n 1－2＝2n －1，前n 组所有项的和为2（1－2n ）1－2－n ＝2n ＋1－2－n .设N 是第n ＋1组的第k 项，若要使前N 项和为2的整数幂，则第n ＋1组的前k 项的和2k －1应与－2－n 互为相反数，即2k －1＝2＋n (k ∈N *，n ≥14)，k ＝log 2(n ＋3)⇒n 最小为29，此时k ＝5，则N ＝29×（1＋29）2＋5＝440.故选A.]2．已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1＋x 2＝3，x 3－x 2＝2. (1)求数列{x n }的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1，1)，P 2(x 2，2)，…，P n ＋1(x n ＋1，n ＋1)得到折线P 1P 2…P n ＋1，求由该折线与直线y ＝0，x ＝x 1，x ＝x n ＋1所围成的区域的面积T n .[解] (1)设数列{x n }的公比为q ，由已知知q ＞0. 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 1q ＝3，x 1q 2－x 1q ＝2.所以3q 2－5q －2＝0.因为q ＞0，所以q ＝2，x 1＝1. 因此数列{x n }的通项公式为x n ＝2n －1.(2)过P 1，P 2，…，P n ＋1向x 轴作垂线，垂足分别为Q 1，Q 2，…，Q n ＋1.由(1)得x n ＋1－x n ＝2n －2n －1＝2n －1，记梯形P n P n ＋1Q n ＋1Q n 的面积为b n ，由题意b n ＝（n ＋n ＋1）2×2n －1＝(2n ＋1)×2n －2， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n －1)×2n －3＋(2n ＋1)×2n －2，① 2T n ＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n －1)×2n －2＋(2n ＋1)×2n －1.② ①－②得－T n ＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n －1)－(2n ＋1)×2n －1＝32＋2（1－2n －1）1－2－(2n ＋1)×2n －1.所以T n ＝（2n －1）×2n ＋12.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。
高二数学高效课堂资料36圆锥曲线提升案
探究学习
1.通过探究T4,11，12，并总结离心率问题的规 律与方法； 2.通过探究14（1）（2），总结最值问题的规
律与方法。
要求：
1.学习小组各成员积极参与，对自己存在疑惑的问题，及 时主动找到帮扶对象讨论解决.
2.在交流学习中生成或无法解决的疑惑，写到前黑板疑问 区.
共同分享
【问题1】构建单元体系 【问题2】总结离心率问题的规律与方法； 【问题3】通过探究14（1）（2），总结最值问题的规律究问题
落实基础知识
高效课堂精品课件 高二数学
市实验中学 数学组
Network Optimization Expert Team
圆锥曲线提升案
----纠错 反思 总结 提升
1.梳理三类圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质， 构建圆锥曲线单元体系； 2.通过探究T4、11、12、14,总结求离心率与最值问 题的规律与方法； 3.与同学交流分享数形结合思想在解决圆锥曲线问题 的两点体会.
高考能力测试步步高数学基础训练36
高考能力测试步步高数学基础训练36基础训练36 棱柱、棱锥●训练指要理解棱柱、棱锥的概念、几何特征，掌握其基本性质，会判断其中的线面关系，会求几何量的大小.一、选择题1.(2002年北京高考题)设命题甲：“直四棱柱ABCD—A1BC1D1中，平面ACB1与对角面BB1D1D垂直”；命题乙：“直四棱柱ABCD—A1B1C1D1是正方体”.那么，甲是乙的A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件2.若四棱锥的各个侧面与底面所成的二面角的大小都相等，则这个棱锥的底面是A.圆内接四边形B.圆外切四边形C.菱形D.正方形3.棱锥被平行于底的平面所截，若截面面积与底面面积之比为1∶2，则此棱锥的高被分成两段(从顶点到截面和从截面到底面)之比为A.1∶2B.1∶４C.1∶(2＋1)D.(2＋1)∶1二、填空题4.(2003年上海春季高考题)若正三棱锥底面边长为4，体积为1，则侧面和底面所成二面角的大小等于_________.(结果用反三角函数值表示)5.长方体的一条对角线与过一个顶点的三个面所成的角为α、β、γ，则sin2α＋sin2β＋sin2γ＝_________.三、解答题6.平行六面体的各个面都是全等的菱形，菱形的锐角为60°，边长为a，求它的高.7.如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的九条棱长均为2a,D为BC中点，E为CC1的中点.(1)证明：AD⊥BE;(2)求平面AB1E与底面A1B1C1所成角的大小.8.(2002年京皖蒙春季高考题)在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°,AC=2,BC=13,SB=29.(1)证明：SC⊥BC；(2)求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；(3)求异面直线SC与AB所成的角的大小(用反三角函数表示).。
高考数学总复习 第三章 数列 36课后巩固提升(含解析)新人教A版
【创优导学案】2014届高考数学总复习 第三章 数列 3-6课后巩固提升（含解析）新人教A 版(对应学生用书P 335 解析为教师用书独有)(时间：45分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象( )A ．向左平移π4个长度单位B ．向右平移π4个长度单位C ．向左平移π2个长度单位D ．向右平移π2个长度单位解析 B 由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6――→x →x ＋φ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2()x ＋φ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，即2x ＋2φ＋π6＝2x －π3，解得φ＝－π4，即向右平移π4个长度单位，故选B. 2．将函数y ＝cos x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象，则φ等于( )A.π6 B.2π3 C.4π3D.11π6解析 C ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3，将y ＝cos x 的图象向右平移2π3可得到y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3的图象，故要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象应将y ＝cos x 的图象向左平移φ＝2π－2π3＝4π3个单位． 3.如图是半径为3米的水轮，水轮圆心O 距离水面2米．已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上一点P 到水面的距离y (米)与时间x (秒)满足函数关系式y ＝K sin(ωx ＋φ)＋2(ω>0，K >0，φ∈R )，则有( )A ．ω＝2π15，K ＝3B ．ω＝152π，K ＝3C ．ω＝2π15，K ＝5D ．ω＝152π，K ＝5解析 A 易知ω＝4×2π60＝2π15，又y max ＝5，y min ＝－1，所以K ＝3，故选A.4．(2013·西安模拟)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的部分图象如图所示，则函数表达式为( )A ．y ＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4B ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫π8x －π4C ．y ＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －π4 D ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4 解析 A 由图知A ＝－4，T ＝2×(6＋2)＝16，ω＝π8，且知(－2,0)是y ＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ的零点， ∴π8×(－2)＋φ＝0，∴φ＝π4. 5．函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ(φ>0)个单位得到的图象恰好关于x ＝π6对称，则φ的最小值为( )A.512π B.116π C.1112π D ．以上都不对解析 A y ＝sin 2x 的图象向右平移φ个单位得到y ＝sin 2(x －φ)的图象，又其关于x ＝π6对称，则2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－φ＝k π＋π2(k ∈Z )，2φ＝－k π－π6，取k ＝－1，得φ＝512π.6．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋3π2(x ∈[0,2π])的图象和直线y ＝12的交点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析 C y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋3π2＝sin x 2，作出图象，如图，当x ∈[0,2π]时，y ＝12与y ＝sin x 2只有两个交点．二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分) 7.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝ .解析 由图象知32T ＝π，∴T ＝2π3＝2πω，∴ω＝3.【答案】 38．直线y ＝2与函数y ＝3sin 2x 在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内有两个交点A 、B ，则线段AB 中点的坐标为 ．解析 AB 中点的纵坐标为2，设横坐标为x 0，则根据正弦函数的对称性可知，x ＝x 0是函数y ＝3sin 2x 的一条对称轴，故x 0＝π4.所以AB 中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，2.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，2 9．关于函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，有下列命题：①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数；③y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π24，13π24上单调递减；④将函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π24个单位后，将与已知函数的图象重合．其中正确命题的序号是 (注：把你认为正确的命题的序号都填上)．解析 因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12，所以①②③均正确，④不正确．【答案】 ①②③三、解答题(本大题共3小题，共40分)10．(12分)已知函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6. (1)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(2)说明y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到． 解析 (1)列表如下：11．(12分)已知函数f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)． (1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．解析 (1)∵f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋sin x ＝3cos x ＋sin x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，∴f (x )的最小正周期为2π. (2)∵将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，∴g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1，g (x )取得最大值2. 当x ＋π6＝7π6，即x ＝π时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－12，g (x )取得最小值－1.12．(16分)(2013·南京模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象过点P ⎝⎛⎭⎪⎫π12，0，图象上与点P 最近的一个最高点是Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的递增区间．解析 (1)依题意，得A ＝5，周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，∴ω＝2ππ＝2.故f (x )＝5sin(2x ＋φ)，又图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，∴5sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0，∴π6＋φ＝k π，k ∈Z ，即φ＝k π－π6，又|φ|<π2， ∴φ＝－π6∴f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2)由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，故函数f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．。
近年高考数学一轮复习课时规范练36数学归纳法理新人教B版(2021学年)
2０1９高考数学一轮复习课时规范练３6 数学归纳法理新人教B版编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(2019高考数学一轮复习课时规范练3６数学归纳法理新人教B版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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课时规范练36 数学归纳法基础巩固组１.在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+２n=n(2n+１)时,当n=１时的左边等于（)A.1 B。
2 C.3ﻩD。
42。
如果用数学归纳法证明:对于足够大的正整数n，总有2n>ｎ3，那么验证不等式成立所取的第一个n的最小值应该是()A。
1ﻩB．9C．10ﻩ D.n>１0,且n∈N*3．用数学归纳法证明1＋+…+(ｎ∈N+)成立,其初始值至少应取（)A。
7 B.8ﻩ C.9 Ｄ。
1０4.某同学回答“用数学归纳法证明〈n+1（n∈N+)”的过程如下:证明：（１）当n=1时，显然命题是正确的。
(2)假设当n=k时,有〈k+1，则当ｎ=k＋1时,=（k＋1）+1,所以当n＝k+１时命题是正确的。
由（１）(2）可知对于n∈N*,命题都是正确的.以上证法是错误的,错误在于()Ａ。
从k到ｋ+1的推理过程没有使用归纳假设B.归纳假设的写法不正确Ｃ．从k到k＋1的推理不严密D.当ｎ=1时,验证过程不具体５。
用数学归纳法证明“当n为正奇数时,x n+ｙn能被x＋ｙ整除”的第二步是(）A。
假设n＝2k+1时正确，再推n=２ｋ＋3正确(k∈Ｎ＋)Ｂ。
假设n＝２k—１时正确,再推n＝２ｋ＋1正确(ｋ∈N+)C。
假设n=ｋ时正确,再推n=k+１正确（k∈N+)D。
辽宁省抚顺市高考数学一轮复习：36 数学归纳法(理科专用)
辽宁省抚顺市高考数学一轮复习：36 数学归纳法（理科专用）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共11题；共22分)1. （2分）用数学归纳法证明“ ”时，由n=k不等式成立，证明n=k+1时，左边应增加的项数是（）A . 2k﹣1B . 2k﹣1C . 2kD . 2k+12. （2分）用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开（）A . (k＋3)3B . (k＋2)3C . (k＋1)3D . (k＋1)3＋(k＋2)33. （2分）对于不等式，某学生的证明过程如下：⑴当时，，不等式成立．⑵假设时，不等式成立，即，则时，，∴当时，不等式成立，上述证法（）A . 过程全都正确B . 验证不正确C . 归纳假设不正确D . 从到的推理不正确4. （2分） (2017高二下·定西期中) 在数学归纳法的递推性证明中由假设n=k时成立推导n=k+1时成立时f （n）=1+ + +…+ 增加的项数是（）A . 1B . 2k+1C . 2k﹣1D . 2k5. （2分） (2018高二下·长春月考) 用数学归纳法证明假设时成立,当时,左端增加的项数是（）A . 1项B . 项C . 项D . 项6. （2分）如果命题 p(n) 对 n=k 成立，那么它对 n=k+2 也成立，又若 p(n) 对 n=2 成立，则下列结论正确的是（）A . p(n) 对所有自然数 n 成立B . p(n) 对所有正偶数 n 成立C . p(n) 对所有正奇数 n 成立D . p(n) 对所有大于1的自然数 n 成立7. （2分）在用数学归纳法证明时，在验证当n=1时，等式左边为（）A . 1B . 1+aC . 1+a+a2D . 1+a+a2+a38. （2分）用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·2 ·…·(2 n－1)(n∈N＋)”时，从“n ＝k到n＝k＋1”时，左边应增添的式子是（）A . 2k＋1B . 2k＋3C . 2(2k＋1)D . 2(2k＋3)9. （2分）用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是（）A . 假设n＝k(k∈N*)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立B . 假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立C . 假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋2时命题也成立D . 假设n＝2k＋1(k∈N)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立10. （2分）用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn+yn能被x+y整除”，第二步归纳假设应写成（）A . 假设n=2k+1（k∈N*）正确，再推n=2k+3正确B . 假设n=2k﹣1（k∈N*）正确，再推n=2k+1正确C . 假设n=k（k∈N*）正确，再推n=k+1正确D . 假设n=k（k≥1）正确，再推n=k+2正确11. （2分）用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A . 6n-2B . 8n-2C . 6n+2D . 8n+2二、填空题 (共4题；共4分)12. （1分） (2016高二上·上海期中) 用数学归纳法证明命题：1+2+3+…+（n﹣1）+n+（n﹣1）+…+3+2+1=n2 ，当从k到k+1时左边增加的式子是________．13. （1分） (2017高二下·徐州期中) 用数学归纳法说明：1+ ，在第二步证明从n=k到n=k+1成立时，左边增加的项数是________项．14. （1分）用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N ＋)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．15. （1分）已知数列{an}的通项公式(n∈N＋)，f(n)＝(1－a1)(1－a2)…(1－an)，试通过计算f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出f(n)的值是________三、解答题 (共5题；共35分)16. （5分）(2017·孝义模拟) 数列{an}满足an+5an+1=36n+18，n∈N* ，且a1=4．（1）写出{an}的前3项，并猜想其通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想．17. （5分）函数y=f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，f（1）=1（Ⅰ）分别求f（2），f（3），f（4）的值；（Ⅱ）猜想f（n）（n∈N*）的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．18. （10分） (2016高二下·三原期中) 已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an﹣2．（1）求a1，a2，a3并由此猜想an的通项公式；（2）用数学归纳法证明{an}的通项公式．19. （10分） (2017高二上·抚州期末) 已知数列{an}满足a1=2，an+1= （n∈N+）．（1）计算a2，a3，a4，并猜测出{an}的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中你的猜测．20. （5分）已知数列{an}的前n项和记为Sn ，若a2=a+2（a为常数），且Sn是nan与na的等差中项．（1）求a1，a3，a4；（2）猜想出an的表达式，并用数学归纳法进行证明．参考答案一、单选题 (共11题；共22分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、二、填空题 (共4题；共4分)12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共5题；共35分) 16-1、16-2、17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、。
2023届高考数学二轮复习提升微专题几何篇第36讲怎样解立体几何中的最值问题含解析
第36讲怎样解立体几何中的最值问题一、知识与方法解答立体几何中的有关最值或范围问题,通常用函数思想方法.通过设出适当的变量、建立函数关系,转化为求函数的最值(或值域)的问题,解题时要弄清哪些是定值,哪些是变量,变量的取值范围是什么,如何根据题意建立函数关系,如何求函数的最值等.要重视立体几何中通过构造函数模型或几何模型解题的训练,重视空间想象能力以及计算能力的培养.二、典型例题【例1】()1如图3106-,在正三棱柱111ABC A B C -中,各棱的长均为2,M 是1AA 的中点,N 是BC 的中点,点M 在棱柱表面上运动到点N ,应如何运动,才能使点M 运动的路程最短,并求出最短路程;(2) 在正三棱锥P ABC -中,,2AB a PA a ==,过A 作平面分别交平面PBC 于DE .当截面ADE 的周长最小时,ADES=_______,P 到截面ADE 的距离为_______.【分析】求解点在几何体表面上运动路程最短的问题,通常将几何体表面展开成平面图形,化归为平面图形内两点间的距离,有时侯对如何将几何体展开成平面图形可以有不同的展开角度,所以还要分类讨论获得正确的结果.第()2问又把问题引向深入,解决面积和点到截面的距离问题. 【解析】(1)观察图3106-,从点M 运动到点N 的路程最短可能情况有两种:(1)经面1A B 和面1BC 到N ,其最短路程是侧面展开图(图3107-)中的线段MN 的长,由已知条件可求得1,3,AM AN MN ===.(2)经面1A C 和下底面到点N ,其最短路程如展开图(图3-108)中的线段MN 的长.1,120MA NA MAN ∠===.2222cos1204MN AM AN AM AN ∴=+-⋅⋅=+即MN =4 310,+<∴点M 在棱柱表面上运动到点N (2) 将三棱锥的侧棱PA 剪开,当ADE 的周长最小时,其展开图如图3109-所示,ADE 的周长即是展开图中线段AA '的长,易证ABDO PAB .又22PA AB a ==,故2AD AB BD a ===.33,24PD PD PB BD a DE BC a PB =-==⋅=.在ADE 中,DE 上的高AH ==.于是21;2ADESAH DE a =⋅= 从P 向底面作高PO ,则PO ===.于是231312P ABC V a -==. 又22916PDE PBCSPD SPB ==得，3399 .1616A PDE A PBC V V --=== 则313A PDE P ADE ADEV V d S --==⋅=,解得d =. 【例2】(1)如图3110-所示,在圆锥中,母线长为2,底面半径为12.一只虫子从底面圆周上一点A 出发沿圆锥表面爬行一周后又回到A 点,则这只虫子爬行的最短路程是多少?(2) 如图3111-所示.圆台的上底面半径为2?cm ,下底面半径为4?cm ,母线长为6?cm .求轴截面相对顶点,A C 在圆台侧面上的最短距离.【分析】空间图形→平面图形，第（1)问，将圆锥侧面沿母线SA 展开得到扇形，弧所对的弦长即为所求的最短距离．第（2)问，展开圆台侧面，A ,C 两点所成线段长即为所求的最短距离。
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综合提升36
满分：78分时间：60分钟
一、填空题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．将答案填在答题卡上．
1．已知扇形的面积为3
8
π
，半径是
1，是扇形的圆心角是________．
2．在平面直角坐标系，抛物线2
1
8
y x
=-的焦点坐标是________．
3．设集合{}
51,
A x x k k
==+∈N，{}
6,
B x x x
=≤∈Q，则A B=________．
4．为了了解商场某日旅游鞋的销售情况，抽取了部分顾客购鞋的尺寸，将所得的数据整理后，画出频率分布直方图（如图）．已知图中从左至右前3个小组的频率之比为1:2:3，第4小组与第5小组的频率分别为0.175和0.075，第二小组的频数为10，则抽取的顾客人数是________．
5．经统计，某银行一个营业窗口每天上午9时排除等候的人数及相应概率如下表：
排除人数012345
≥
概率0.10.160.30.30.10.04
6．已知过点()
4,0
P-的直线l与圆C：()22
15
x y
-+=相交于A，B两点，若点A恰好是线段PB的中点，则直线l的方程为________．
7．已知函数()1
2
ax
f x
x
+
=
+
在区间()
2,
-+∞上为增函数，则实数a的取值范围是________．
8．函数2cos
y x x
=+在区间0,
2
π
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
上的最大值是________．
9．在平面直角坐标系中，若不等式组
10,
10,
10
x y
x
ax y
+-≥
⎧
⎪
-≤
⎨
⎪-+≥
⎩
（a为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为________．
10．设函数()()()sin 3cos f x x x ωϕωϕ=+++（0ω>，2
ϕπ<
）的最小正周期为π，且满足()()f x f x -=，则函数()f x 的单调增区间为________． 二、解答题：本大题共2小题，每小题14分，共28分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
11．如图，某广场中间有一块扇形状绿地OAB ，其中O 为扇形所在圆的圆心，60AOB ∠=︒．广场管理部门欲在绿地上修建观光小路：在AB 上选一点C ，过点C 修建与OB 平行的小路CD ，与OA 平行的小路CE ．问：点C 应选在何处，才能使得修建的道路CD 与CE 的总长最大？并说明理由．
12．如图，已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率2e =，一条准线方程为2x =．过椭圆的上顶点A 作一条与x 轴，y 轴都不垂直的直线交椭圆于另一点P ，P 关于x 轴的对称点为Q ．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线AP ，AQ 与x 轴交点的横坐标分别为m ，n ，求证：mn 为常数，并求出此常数．。