第三章连续系统的频域分析习题解答8页

第 1 页第三章 连续系统的频域分析习题解答3-1 已知函数集}sin ,2sin ,{sin nt t t ，n 为正整数。

证明该函数集在区间(0, 2 )内为正交函数集；(2) 试问该函数集在区间(0, 2)内是否为正交函数集？解：(1)证：. , 0π; , 0]π2)sin[(]π2)sin[(21sin sin }{π20r i r i r i r i r i r i rtdt it 可见满足正交函数集的条件。

证毕。

(2) }{]2π)sin[(]2π)sin[(21sin sin ,2π0ri r i r i r i rtdt it r i/时不恒为0， 可见在此区间上不是正交函数集。

3-2 证明图示矩形脉冲信号f (t )在区间(0, 1)内与t n t t πcos , ,π2cos ,πcos 正交，n 为正整数。

证：.πcos ,,π2cos ,πcos )( )1 ,0(, ,0πsin ππcos πcos )( 10 1 0 正交与内在为正整数t n t t t f n n n A tdt n A tdt n t f 3-3 将图示周期信号展开为三角型傅立叶级数。

解：(a) ;πd sin π212π 0 0 m m U t t U a[sin 41212)(1, 0 1 ,2 sin sin 221 0t U t f n n U dt nt t U b n m mm n(b) f 2(t )求二阶导数如中图， 3-4 图题3-4解：3-5 (1) 求f 1关系求另三个波形的三角型傅立叶级数。

(a) (b)t位频谱图，并求该信号的占有频带B .解：方法一(按定义计算) 方法二(利用微分性质，通过右图计算，并注意到 =2 /3 ),0,60 055.0 ,021 069.0,0 ,60 138.0 ,120 276.0 ,,0 ,06 055.0,201 069.0 ,0 ,60 138.0 ,120 276.0 ,32:.)3π(Sa 31e 3πsin π1 )e -(e e π2j )1(π2j 1e e )]()1([1j 654321654321033333323222πj πj πj πj πj πj )1(jj F F F F F F F F F F F F F e n n n n e n F dt t t T F n n n n n n n n tn n T T n 作频谱如下// ΩΩ(a) (b) (c) (a)(b)(c)(d)第 3 页1 , 4 j 1, 4j ,3 , 0 ,0 ,)1(])1(e )1(e 2e )e e (2j 1 )a (2)1( j )1( j 0 j j j 02 [2n A n A n n n A Ωn Ωn T A dt A T F T t Ωn t Ωn t n Ωt Ωt Ωn T π//由于未知数太多，无法画出其幅度频谱。

3-8 已知周期函数f (t )前四分之一周期的波形如图题3-9列各情况的要求，画出f (t )在一个周期(0<t <T )的波形。

(1) f (t )是偶函数，只含有偶次谐波； (2) f (t )是偶函数，只含有奇次谐波；(3) f (t )是偶函数，含有偶次和奇次谐波； (4) f (t )是奇函数，只含有偶次谐波； (5) f (t )是奇函数，只含有奇次谐波； (6) f (t )是奇函数，含有偶次和奇次谐波； 解：分别如图f 1(t )至f 6(t ))e j 1()j ()e 1()j ()j ()j ()()()( )()()(:)e j 1( )e 1()(e j j )(')e 1(j j )(π e 1](j )('π[j ]j 1)(π[)j ()()()()()( )b (j j j j j 22 222222002 22 TT TTT TE F T E E F t T E t 'E t ''f t T E t E t 'f T T E E T T E T E E E T E E F T t T t T E t t T E t E t f ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω 方法二解： (b)222224 4j )(j )(j 2sin 2j 2)(Sa 2)(Sa 2j )j ()](j [2j)](j [2j sin )( , sin )2()( )d (}][][{TT T T e T E e T ET e T ET F F F t t f t T t EG t f ωωωωωΩΩΩωΩωωΩωΩωΩΩΩΩ 可以化简得且3-10 试求下列信号的频谱函数。

解：;j 1)(j 1)()j ( )1( 1ωωωωω F 3-11 利用傅里叶变换的对称性求下列信号的频谱函数。

(1))2(π)2(π2sin )(1 t t t f ；(2))0(2)(222 tt f ；(3)23)( π2π2sin )(t t t f .解：)Sa(2π π4)( )1(π4ω t Gπ4 || ,0π4 || ),π8(||5.0)(21π2π2sin π2π2sin 4π4 || ,0π4 || ),π4(||1)( )3(. π2π222 ,0 )2(;)()2(π)2(π2sin )(2π2π2sin π4 π422 π422222j )( )( π4π4ωωωωωωωωωωωω//三角脉冲时f t t t t t t f e e t e e G t t G t t t 3-12 已知信号f (t )的频谱函数F (j )如下，求信号f (t )的表达式。

解：(1) ∵ (t )←→1， ∴1←→2 (- ) = 2 ( )，3-13 利用傅里叶变换的微积分性质求图示信号的频谱。

解：(a))]()([1)(1t t t t f.2()]cos(2[cos 4)2()j ()(2)( )()2()2(')('[2)(")b (22 2j 2j j 22T T E T ee e e E j F T t t t T t T E tf j T T ωωωωωωωωω3-14 求下列函数的傅里叶反变换。

; 1)2( ; )j 2(1 )1(22ωω 解：(a))(e )j 2(12 2t t t ω；(b))(s 12t gn t ω；(3) 3-15 已知f (t )* f '(t ) (1 t )e -t (t )，求信号f (t )。

解：等式两边取傅里叶变换并利用时域微分性质与时域卷积性质得：(a)3-12题(2)=)42sin()42sin()2(82ωωωωω T T T E第 5 页3-16 图示余弦脉冲信号 1 , 0 1),cos 1(5.0)(t t t t f ，试用下列方法分别求频(1) 利用傅立叶变换的定义； (2) 利用微分特性；(3))cos 2121)(()(2 t t G t f ，利用线性和频域卷积性质。

解：(1) 11 )cos 1(21)()(dt e t dt et f j F t j tj ωωω3-17 利用频域卷积定理求下列信号的频谱函数。

解：22000000000 j )]()([2π ]11[j 21)]()([2π ]j 1)(π[)]()([ππ21)j ( )1(}{ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω *F3-18已知图示两门函数：2()( )( ),2(Sa )( )(2222211111 ωjωωjωE F t f E F t f (1) 画出)()()(21t f t f t f * 的图形； (2) 求)()()(21t f t f t f * 的频谱函数F ( j )，并与题3-13(b)的方法比较。

解： (1) 利用微分积分性质得：比较：其方法与题3-13(b)的方法相类同。

3-19 试求图示信号的频谱函数。

解：方法一：)2()1()(2)( t t t t f方法二：)5.1()5.0(2)(11 t G t G t f3-20 设f (t )为限带信号，频带宽度为 m ，其频谱F ( j )如图所示。

(1) 求f (2t )、f (0.5t )的奈奎斯特抽样频率f N 和奈奎斯特间隔T N ； (2) 用抽样序列n NT nT t t N )()( 对信号进行抽样，得抽样信号f s (t )，求f s (t )的频谱F s ( j )，画出频谱图；(3) 若用同一个 T N (t )对f (2t )、f (0.5t )分别进行抽样，试画出两个抽样信号f s (2t )、 f s (0.5t )谱函数F ( j )：的频谱图。

解：(1) f (2t )：f (2t ) 0.5F ( j 0.5 ) (频域被展宽一倍)m ' 2 m 16 f N 2 f m ' 16/ ，T N /16； f (0.5t )：f (0.5t ) 2F ( j 2 ) (频域被压缩一倍) m " 0.5 m 4 f N 2 f m " 4/ ，T N /4；(2) ,162m ωωsn n s Ns n F n F T F )]16(j [8)](j [1)j ( ωωωω(3) 见右图。

3-21解：)100(Sa )1(m t 3-22 对t t f t t f 2 1π700cos )( π100cos )( 和两个信号均按周期T S = (1/400)s 抽样。

试问哪个信号可不失真恢复成原信号？并画出均匀冲激抽样信号f S (t )的波形及其频谱图。

解：. )( , 700121 ; )( , 1001212211不可恢复而可恢复t f T f t f T f S S其波形及频谱图如下：3-24 求图示电路的频域系统函数：)j ()j ()j ( )j ()j ()j ( 2 1ωωωωωωF I H F U H C 、及相应的单位冲激响应h 1(t )与h 2(t )。

解：)(1j )(1j 11)]j (1[)j (1)j ( 1RC RC CR C R C H //// ωωωωω 3-25 求图示电路的频域系统函数)j ()j ()j ( 1 2 ωωωU U H。

C (t ) u 1(t )第 7 页解：RL LC RC R L RC RH ωωωωωωj 11j 1j j 1)j (23-26 图示电路，f (t )=10e -t (t ) + 2 (t )。

求关于i (t )的单位冲激响应h (t )和零状态响应i (t )。