8、一元一次和一元二次方程
解一元二次方程五种方法
解一元二次方程五种方法解一元二次方程五种方法解一元二次方程是初中数学中的基础知识，也是高中数学中的重要内容，掌握多种解法对于提高数学能力和解题能力有着重要作用。
下面介绍五种解一元二次方程的方法。
方法一：配方法（也称为配方根公式）配方法是一种常见的解一元二次方程的方法，它的步骤如下：1. 根据二次项系数、一次项系数和常数项分离出完全平方项；2. 将方程化为完全平方形式，即形如(x + a) = b；3. 对方程两边取平方根，得到x的两个解：x = -a ± b。
方法二：公式法公式法是解一元二次方程的常用方法之一，它的公式为：x = (-b ±√(b-4ac)) / 2a其中a、b、c分别为一次项系数、二次项系数和常数项。
方法三：图像法图像法是一种直观的解题方法，它的步骤如下：1. 将方程化为标准形式：ax+bx+c=0；2. 将方程左侧变形为y=ax+bx+c的二次函数的图像；3. 通过观察二次函数的图像，得到x的解。
方法四：因式分解法如果一元二次方程的左侧可以因式分解，那么可以使用因式分解法解题。
例如：x+5x+6=0，可以因式分解为(x+2)(x+3)=0。
因此，x的解为x=-2或x=-3。
方法五：完全平方公式完全平方公式是解一元二次方程的一种简便方法，它的步骤如下：1. 根据二次项系数、一次项系数和常数项计算出Δ=b-4ac；2. 如果Δ是完全平方数，那么方程的解为x=(-b±√Δ)/2a。
以上是解一元二次方程的五种方法，希望对大家有所帮助。
掌握多种解题方法可以提高数学思维和解题能力，也可以在考试中提高解题速度和准确性。
一元二次方程讲义全
一元二次方程讲义全一元二次方程讲义考点一、概念1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。
2)一般表达式：ax^2+bx+c=(a≠0)注：当b=0时可化为ax^2+c=0，这是一元二次方程的配方式。
3)四个特点：只含有一个未知数；且未知数次数最高次数是2；是整式方程。
要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。
如果能整理为ax^2+bx+c=(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
4)将方程化为一般形式：ax^2+bx+c=0时，应满足(a≠0)。
4)难点：如何理解“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为0；②未知数指数为2；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A。
(x+1)^3=2(x+1)B。
2√x+1-11=0C。
ax^2+bx+c=0D。
x^2+2x=x^2+1变式：当k≠0时，关于x的方程kx^2+2x=x^2+3是一元二次方程。
例2、方程(m+2)x^m+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为。
考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知2y^2+y-3的值为2，则4y^2+2y+1的值为。
例2、关于x的一元二次方程(a-2)x^2+x+(a^2-4)=0的一个根为-2，则a的值为。
说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制。
例3、已知关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的系数满足a+c=b，则此方程必有一根为-1.说明：本题的关键点在于对“代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。
例4、已知a,b是方程x^2-4x+m=0的两个根，b,c是方程y^2-8y+5m=0的两个根，则m的值为。
《一元二次方程》数学教案(优秀5篇)
《一元二次方程》数学教案（优秀5篇）元二次方程教案篇一教学设计思想解一元二次方程有四种方法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，这四种方法各有千秋。
直接开平方法很简单，在这里不做过多的介绍。
为保证学生掌握基本的运算技能，教学中进行了一定量的训练，但要避免学生简单的模仿。
我们在探究一元二次方程解法的过程中，要加强思想方法的渗透，发展学生的思维能力。
在解一元二次方程的几种方法中，均需要用到转化的思想方法。
如配方法需要将方程转化为能直接开平方的形式，公式法能根据一元二次方程转化为两个一元一次方程，所有这些均体现了转化的思想。
在教学时老师引导学生在主动进行观察、思考核探究的基础上，体会数学思想方法在其中的作用，充分发展学生的思维能力。
教学目标知识与技能：1.会用配方法、公式法、因式分解法解简单数字系数的一元二次方程。
2.能够根据一元二次方程的特点，灵活选用解方程的方法，体会解决问题策略的多样性。
过程与方法：1.参与对一元二次方程解法的探索，体验数学发现的过程，对结果比较、验证、归纳、理清几种解法之间的关系，并能根据方程的特点灵活选择适当的方法解一元二次方程。
2.在探究一元二次方程的过程中体会转化、降次的数学思想。
情感态度价值观：在解一元二次方程的实践中，交流、总结经验和规律，体验数学活动乐趣。
教学重难点重点：掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的步骤，并熟练运用上述方法解题。
难点：根据方程的特点灵活选择适当的方法解一元二次方程。
教学方法探索发现，讲练结合元二次方程教案篇二一、教学目标1．使学生会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间关系的应用题。
2．通过列方程解应用问题，进一步体会提高分析问题、解决问题的能力。
3．通过列方程解应用问题，进一步体会代数中方程的思想方法解应用问题的优越性。
二、重点·难点·疑点及解决办法1．教学重点：会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间的关系的应用题。
初中数学一元一次一元二次方程解法
一元一次方程与一元二次方程组方程的定义：是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，通常在两者之间有一等号“=”。
它具有多种形式，如一元一次方程、二元一次方程等。
即：还有未知数的等式叫做方程一元一次方程：ax+b=0二元一次方程:ax２+by+c=0一般解法1.去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数（不含分母的项也要乘）；2.去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号；(记住如括号外有减号的话一定要变号）3.移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边；移项要变号4.合并同类项：把方程化成ax=b(a≠0)的形式；5.系数化为1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=b/a.二元一次方程组的解法步骤：3.代入消元法①选取一个系数较简单的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数；②将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（在代入时，要注意不能代入原方程，只能代入另一个没有变形的方程中，以达到消元的目的. ）；③解这个一元一次方程，求出未知数的值；④将求得的未知数的值代入①中变形后的方程中，求出另一个未知数的值；⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解；⑥最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边）.4. 加减消元法①利用等式的基本性质，将原方程组中某个未知数的系数化成相等或相反数的形式；②再利用等式的基本性质将变形后的两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（一定要将方程的两边都乘以同一个数，切忌只乘以一边，然后若未知数系数相等则用减法，若未知数系数互为相反数，则用加法）；③解这个一元一次方程，求出未知数的值；④将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程中，求出另一个未知数的值；⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解；⑥最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边）.应用题结题方法1审题：弄清题意和题目中的已知数、未知数;2找等量关系：找出能够表示应用题全部含义的一个(或几个)相等关系;3设未知数：据找出的相等关系选择直接或间接设置未知数4列方程（组）：根据确立的等量关系列出方程5解方程(或方程组)，求出未知数的值;6检验：针对结果进行必要的检验；7作答：包括单位名称在内进行完整的答语。
一元二次方程的判定
一元二次方程的判定一元二次方程是数学中常见的一种形式，它由一个未知数的平方项、一次项和常数项组成。
一元二次方程的一般形式可以表示为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，且a ≠ 0。
判定一元二次方程的根的个数，可以根据方程的判别式来进行。
一元二次方程的判别式Δ可以通过以下公式计算：Δ = b^2 - 4ac。
根据判别式的值，可以得出以下三种情况：1. 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根。
当判别式大于0时，说明方程的根是实数且不相等的。
此时，方程的两个根可以通过求解公式x1 = (-b + √Δ) / (2a)和x2 = (-b - √Δ) / (2a)来得到。
这两个实数根分布在坐标轴的两侧，对称于抛物线的顶点。
2. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。
当判别式等于0时，说明方程的根是相等的实数。
此时，方程的两个根可以通过求解公式x = -b / (2a)来得到。
这两个实数根重合在坐标轴上的一个点，即抛物线的顶点。
3. 当Δ < 0时，方程没有实数根，但有两个共轭复数根。
当判别式小于0时，说明方程的根是共轭复数，即不是实数。
此时，方程的两个根可以通过求解公式x1 = (-b + i√|Δ|) / (2a)和x2 = (-b - i√|Δ|) / (2a)来得到。
这两个共轭复数根分布在复平面上的两侧，对称于实数轴。
通过判定一元二次方程的根的个数，我们可以对方程的解的情况有一个清晰的了解。
根据判别式的值，我们可以判断方程的解的类型，进而进行问题的求解和分析。
除了判定方程的根的个数，一元二次方程还有其他一些重要的性质和应用。
例如，方程的系数a、b、c与方程的根之间存在着一定的关系。
通过方程的根，我们可以进一步推导出顶点坐标、对称轴等重要的几何信息。
一元二次方程还有广泛的应用。
在物理学、经济学、工程学等领域，一元二次方程都被广泛地运用。
通过建立数学模型，我们可以利用一元二次方程对现实世界中的问题进行建模和求解，从而得到实际问题的解决方案。
一元二次方程(1)课件浙教版八年级下册数学
2、已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值。
解：把x=3代入方程x2+ax+a=0得： 32+3a+a=0
a 9 4
例题学习
一元二次方程
例2、已知一元二次方程
2x2
bx c 0
的两个根为
x1
5 2
和 x2 3 ，求这个方程.
解：将
x1
5和 2
x2
3代入方程
一种 思想
类比思想
后续还会学习什么呢？ 解
应
法
用
新知引入
2.1一元二次方程
下列方程中哪些是熟悉的方程？分别是什么方程？
什么是一元一次方程？ 只有一个未知数 未知数的最高次数是一次 方程的两边都是整式
什么是二元一次方程？ 有两个未知数 未知数的最高次数是一次 方程的两边都是整式
新知探究
2.1一元二次方程
列出下列问题中关于未知数x的方程：
(1)把面积为4m2的一张纸分割成如图的正方形和长方形 两部分，求正方形的边长.
(1) 9x2=5-4x.
(2) (2-x)(3x+4) = 3.
解：
(1)移项，整理，得9x2+4x-5 = 0.
这个方程的二次项系数是9 ，一次项系数是4 ，常数项是-5.
(2) 方程左边多项式相乘，得-3x2 +2x+8 = 3 ， 移项，整理，得-3x2 +2x+ 5 = 0. 这个方程的二次项系数是-3 ，一次项系数是2 ，常数项是5.
解：因为关于x的一元二次方程 (a－2)x2＋3x＋a2－4＝0的常数项为0，
a 2 0 a2 4 0
一元一次方程与一元二次方程的区别与联系
一元一次方程与一元二次方程的区别与联系一元一次方程与一元二次方程是数学中常见的代数方程，它们在形式和求解方法上有着本质的区别，但同时也存在着紧密的联系。
下面我们就来探讨一下这两种方程的区别与联系。
**一、区别**1.表达形式：- 一元一次方程：其标准形式为ax + b = 0，其中a 和b 是常数，且a ≠ 0。
这类方程的最高次数为一次。
- 一元二次方程：其标准形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b 和c 是常数，且a ≠ 0。
这类方程的最高次数为二次。
2.解的性质：- 一元一次方程：它有一个且仅有一个实数解。
- 一元二次方程：它可能有零个、一个或两个实数解，这取决于判别式b^2 - 4ac 的值。
3.解的求解方法：- 一元一次方程：通常通过移项、合并同类项、化简等方法直接求解。
- 一元二次方程：解的求解相对复杂，可以使用配方法、公式法（求根公式）或者图形法（如抛物线与x 轴的交点）。
**二、联系**1.解的概念：- 两种方程都旨在寻找能够使方程左右两边相等的未知数的值，即解。
2.方程的根：- 在一元一次方程中，解即为方程的根；一元二次方程的解同样被称为根，只是可能有两个。
3.代数结构：- 一元一次方程可以视为一元二次方程在二次项系数a = 0 时的特殊情况。
也就是说，一元一次方程是脱去二次项的一元二次方程。
4.图形表示：- 在直角坐标系中，一元一次方程表示为一条直线，而一元二次方程表示为一个抛物线。
在特定条件下（如一元二次方程的a 值相同），两者在图形上有相似之处。
通过以上分析，我们可以看到一元一次方程与一元二次方程既有明显的区别，又存在着紧密的联系。
人教版数学九年级上册第二十一章《一元二次方程》简介
第二十一章“一元二次方程”简介课程教材研究所章建跃一元二次方程是刻画数量关系的重要数学模型。
一元二次方程的解法和实际应用是初中阶段的核心内容。
前面已经学习了一元一次方程、二元一次方程组以及分式方程等，本章学习一元二次方程的解法，讨论与方程的根有关的几个基本问题（判别式与方程的根、根与系数的关系等），在此基础上学习利用一元二次方程模型解决简单的实际问题。
本章的学习将为后续的勾股定理、二次函数等打下学习基础，在学生的“四基”、“四能”的发展，特别是在运算能力、推理能力、模型思想和应用意识的培养上可以发挥较大作用。
本章教学时间约需13课时，具体分配如下（仅供参考）：21．1 一元二次方程1课时21．2 解一元二次方程 7课时21．3 实际问题与一元二次方程 3课时数学活动小结2课时一、教科书内容和本章学习目标1.本章知识结构现实生活中，许多问题中的数量关系可以抽象为一元二次方程。
因此，从深化数学模型思想、加强应用意识的角度看，从实际问题中抽象出数量关系，列出一元二次方程，求出它的根进而解决实际问题，是本章学习的一条主线。
学生已经学习一元一次方程的解法和实际应用，知道可以利用运算律、等式的基本性质，通过去括号、移项、合并同类项等求出它的解。
学生还学过二元一次方程组以及三元一次方程组的解法和实际应用，知道可以通过消元，将它们转化为一元一次方程。
从数学知识的内部发展看，二元、三元一次方程组可以看成是对一元一次方程在“元”上的推广。
自然地，如果在次数上做推广，首先就是一元二次方程。
类比二（三）元一次方程组的解法，可以想到：能否将一元二次方程转化为一元一次方程？如何转化？因此，利用什么方法将“二次”降为“一次”，这是本章学习的另一条主线。
与一元一次方程、二元一次方程组的解法相比，一元二次方程的解法涉及更多的知识，可以根据方程的具体特点，选择相关的知识和方法，对方程进行求解。
这是培养学生的思维品质，特别是思维的敏捷性、灵活性、深刻性的机会。
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法一、知识要点：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程,它是初中数学的一个重点内容,也是今后学习数学的基础,应引起同学们的重视.一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0, (a≠0),它是只含一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程.解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程.一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法.二、方法、例题精讲：1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法.用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程,其解为x=m± .例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做,（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2,右边=11>0,所以此方程也可用直接开平方法解.（1）(3x+1)2=7 3x+1=2次根下7, 3x=2次根下7-1, x=2次根下7-1/3∴(3x+1)2=5∴3x+1=±(注意不要丢解)∴x=∴原方程的解为x1=,x2=（2）9x2-24x+16=11∴(3x-4)2=11∴3x-4=±∴x=∴原方程的解为x1=,x2=2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c将二次项系数化为1：x2+x=-方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2=当b2-4ac≥0时,x+ =±∴x=(这就是求根公式)例2．用配方法解方程3x2-4x-2=0将常数项移到方程右边3x2-4x=2将二次项系数化为1：x2-x=方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2配方：(x-)2=直接开平方得：x-=±∴x=∴原方程的解为x1=,x2= .3．公式法：把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△=b2-4ac的值,当b2-4ac≥0时,把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根.例3．用公式法解方程2x2-8x=-5将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0∴a=2, b=-8, c=5b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0∴x= = =∴原方程的解为x1=,x2= .4．因式分解法：把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个根.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.例4．用因式分解法解下列方程：(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0(3) 6x2+5x-50=0 (选学）(4)x2-2( + )x+4=0 （选学）(1)(x+3)(x-6)=-8 化简整理得x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式,右边为零)(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)∴x1=5,x2=-2是原方程的解.(2)2x2+3x=0x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)∴x1=0,x2=-是原方程的解.注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解.(3)6x2+5x-50=0(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)∴2x-5=0或3x+10=0∴x1=, x2=- 是原方程的解.(4)x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 •2 ,∴此题可用因式分解法）(x-2)(x-2 )=0∴x1=2 ,x2=2是原方程的解.小结：一般解一元二次方程,最常用的方法还是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般形式,同时应使二次项系数化为正数.直接开平方法是最基本的方法.公式法和配方法是最重要的方法.公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法）,在使用公式法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算判别式的值,以便判断方程是否有解.配方法是推导公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法解一元二次方程.但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一,一定要掌握好.（三种重要的数学方法：换元法,配方法,待定系数法）.例5．用适当的方法解下列方程.(选学）（1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 （2）x2+(2-)x+ -3=0（3）x2-2 x=- （4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0分析：（1）首先应观察题目有无特点,不要盲目地先做乘法运算.观察后发现,方程左边可用平方差公式分解因式,化成两个一次因式的乘积.（2）可用十字相乘法将方程左边因式分解.（3）化成一般形式后利用公式法解.（4）把方程变形为4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0,然后可利用十字相乘法因式分解.（1）4(x+2)2-9(x-3)2=0[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0(5x-5)(-x+13)=05x-5=0或-x+13=0∴x1=1,x2=13（2）x2+(2- )x+ -3=0[x-(-3)](x-1)=0x-(-3)=0或x-1=0∴x1=-3,x2=1（3）x2-2 x=-x2-2 x+ =0 (先化成一般形式)△=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0∴x=∴x1=,x2=（4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=04x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=02x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0∴x1= ,x2=例6．求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根. (选学）分析：此方程如果先做乘方,乘法,合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐,仔细观察题目,我们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体,则方程左边可用十字相乘法分解因式（实际上是运用换元的方法）[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0即(5x-5)(2x-3)=0∴5(x-1)(2x-3)=0(x-1)(2x-3)=0∴x-1=0或2x-3=0∴x1=1,x2=是原方程的解.例7．用配方法解关于x的一元二次方程x2+px+q=0x2+px+q=0可变形为x2+px=-q (常数项移到方程右边)x2+px+( )2=-q+()2 (方程两边都加上一次项系数一半的平方)(x+)2= (配方)当p2-4q≥0时,≥0（必须对p2-4q进行分类讨论）∴x=- ±=∴x1= ,x2=当p2-4q一般解法1.配方法（可解全部一元二次方程）如：解方程：x^2+2x－3=0把常数项移项得：x^2+2x=3等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x^2+2x+1=4因式分解得：（x+1)^2=4解得：x1=-3,x2=1用配方法解一元二次方程小口诀二次系数化为一常数要往右边移一次系数一半方两边加上最相当2.公式法（可解全部一元二次方程）首先要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根1.当Δ=b^2-4ac0时x有两个不相同的实数根当判断完成后,若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b^2－4ac）}/2a来求得方程的根3.因式分解法（可解部分一元二次方程）（因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”.如：解方程：x^2+2x+1=0利用完全平方公式因式分解得：（x+1﹚^2=0解得：x1=x2=-14.直接开平方法（可解部分一元二次方程）5.代数法（可解全部一元二次方程）ax^2+bx+c=0同时除以a,可变为x^2+bx/a+c/a=0设：x=y-b/2方程就变成：(y^2+b^2/4-by)+(by+b^2/2)+c=0 X错__应为(y^2+b^2/4-by)除以(by-b^2/2)+c=0再变成：y^2+(b^22*3)/4+c=0 X ___y^2-b^2/4+c=0y=±√[(b^2*3)/4+c] X ____y=±√[(b^2)/4+c]。
一元一次方程和一元二次方程的区别与联系
一元一次方程和一元二次方程是初中数学学习中的重要内容，它们在方程学习中占据着重要地位。
一元一次方程和一元二次方程都是代数方程，但它们有着明显的区别和通联。
一、一元一次方程和一元二次方程的定义及特点1. 一元一次方程的定义及特点一元一次方程是指一个未知数的一次方程，其一般形式为ax + b = 0，其中a和b是已知数且a不等于0。
例如：2x + 3 = 7就是一个一元一次方程。
一元一次方程的特点是未知数的最高次数为1，且方程中只含有一个未知数。
2. 一元二次方程的定义及特点一元二次方程是指一个未知数的二次方程，其一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是已知数且a不等于0。
例如：x^2 + 2x - 8 = 0就是一个一元二次方程。
一元二次方程的特点是未知数的最高次数为2，且方程中只含有一个未知数。
二、一元一次方程和一元二次方程的区别1. 方程形式的区别一元一次方程的一般形式是ax + b = 0，而一元二次方程的一般形式是ax^2 + bx + c = 0。
一元一次方程和一元二次方程在未知数的最高次数上有所不同。
2. 解的数量和性质的区别一元一次方程只有一个根（解），而一元二次方程可能有两个、一个或零个实根（解）。
3. 图像的形状和特点的区别一元一次方程的图像是一条直线，而一元二次方程的图像是抛物线。
一元一次方程和一元二次方程的图像形状不同。
三、一元一次方程和一元二次方程的通联1. 共同点一元一次方程和一元二次方程都是代数方程，都是用字母表示数，通过运算规则解方程，找出未知数的值。
它们都是数学中的基础知识，是后续学习的重要基础。
2. 求解方法的通联求解一元一次方程和一元二次方程都可以通过运用反方法进行求解，运用反方法可以得到唯一解、无解或者有无穷多解，这点是它们的共同之处。
3. 理论和应用的通联一元一次方程和一元二次方程都有着重要的理论意义和实际应用价值。
在数学和自然科学中，一元一次方程和一元二次方程都有广泛的应用，能够很好地描述和解决问题。
八年级数学一元二次方程
配方法
公式法
你能说出每一种解法的特点吗?
1.用因式分解法的条件是:方程左边能够 分解,而右边等于零; 2.理论依据是:如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解;
的总面积为570平方米。则道路宽又为多少？
20 32
一元二次方程的应用
（3）若选取丙同学方案（如图），已知设计草坪
的总面积为570平方米。则道路宽又为多少？
20 32
一元二次方程的应用
（4）若把乙同学的道路由直路改为斜路，设计草坪 的总面积仍为540平方米，那么道路的宽又是多少？
20
20
32
32
若方程 (m 2) x
m =2 。
m2 2
(m 1) x 2 0
是关于x的一元二次方程，则
关于y的一元二次方程 2y(y-3)= -4的一般形式 是 2y2-6y+4=0 , 2 它的二次项系数是_____, -6y 。 一次项是_____
你学过一元二次方程的哪些解法?
因式分解法 开平方法
20
问：道路的宽为多少？
32
一元二次方程的应用
（2）若选取乙同学方案（如图），已知设计草坪 的总面积为540平方米。则道路的宽又为多少？
20 32
一元二次方程的应用
（2）若选取乙同学方案（如图），已知设计草坪 的总面积为540平方米。则道路的宽又为多少？
20 32
一元二次方程的应用
（3）若选取丙同学方案（如图），已知设计草坪
方程的左边是完全平方式,右边是非负数;
一元二次方程的基本概念与常见求解方法
一元二次方程的基本概念与常见求解方法知识点睛一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，最高次数的项系数不为 0 的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式2(0)0ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项．（1）要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下四个标准：一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式．一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．一元二次方程最高次数的项系数不为0．（2）任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式2(0)0ax bx c a ++=≠． 要特别注意对于关于 x 的方程2(0)0ax bx c a ++=≠．当0a ≠时，方程是一元二次方程；当00a b =≠且时，方程是一元一次方程． （3）关于x 的一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=≠的项与各项的系数．ax 2 为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项．一元二次方程的解法（1）直接开平方法：适用于解形如 (ax +b )2 = ()00a c ≠， 的一元二次方程． （2）配方法：解形如2 )00(ax bx c a ++=≠的一元二次方程，运用配方法解一元二次方程的一般步骤是：① 二次项系数化为1．② 常数项右移．③ 配方 (两边同时加上一次项系数一半的平方)．④ 化成 (x +m )2 = n 的形式．⑤ 若0n ≥，直接开平方得出方程的解。
（3）公式法：设一元二次方程为2 )00(ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：2124b ac x x ∆=-，， 是方程的两根，则：1. ∆ > 0 ⇔ 方程 2)00(ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根 x = 2. ∆ = 0 ⇔ 方程 2 )00(ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根 122b x x a==-； 3. ∆ < 0 ⇔ 方程2 )00(ax bx c a ++=≠ 没有实数根．运用公式法解一元二次方程的一般步骤是：① 把方程化为一般形式．② 确定 a 、b 、c 的值．③ 计算24b ac -的值．④ 若 240b ac -≥，则代入公式求方程的根．⑤ 若240b ac -<，则方程无实数根．（4）因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式．因式分解法的一般步骤：① 将方程化为一元二次方程的一般形式；② 把方程的左边分解为两个一次因式的积；③ 令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④ 解出这两个一元一次方程得到原方程的解． 一元二次方程解法的灵活运用直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法．在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法．（1）直接开平方法：用于缺少一次项以及形如 ax 2 = b 或 (x +a )2 = b (0)b ≥ 或 (ax +b )2 =(cx +d )2 的方程，能利用平方根的意义得到方程的解．（2）配方法：配方法是解一元二次方程的基本方法，而公式是由配方法演绎得到的．把一元二次方程的一般形式 ax 2 +bx +c = 0(a 、b 、c 为常数，0a ≠) 转化为它的简单形式 Ax 2 = B ，这种转化方法就是配方，之后再用直接开平方法就可得到方程的解．（3）公式法：适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算 24b ac -的值．（4）因式分解法：适用于右边为 0(或可化为 0)，而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法．【例 1】（1） 若 x 2a +b -3x a-b +1 = 0 是关于 x 的一元二次方程，求 a 、b 的值．（2） 若 n (n ≠0) 是关于 x 的方程 x 2 +mx +2n = 0 的根，则 m +n 的值为 ( )A. 1B. 2C. -1D. -2（3） 已知 43x =，则2421x x x ++的值是 .（4） 当 111552n n x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，(.n x = （ n 为自然数）【例 2】（1） 用直接开平方法解方程：2269(5) 2x x x -+=-． （2） 用配方法解方程：22310x x ++=．（3） 用分解因式法解方程：2()2136x x -=-． （4） 用公式法解方程：161432)2(2x x x x ⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭例 3】（1） 解关于 x 的方程： 21 213()()0m x m x m -+-+-=． （2） 解关于 x 的方程22656223200x xy y x y --++-=． 【例 4】（1）如果方程 22()2020x px q x qx p p q -+=-+=≠和 有公共根，则该公共根为 ．（2）若方程2222100ax ax x ax a +-=--=和有公共根，求a 的值例 5】（1） 解方程：22132(10)|2|x x ---+=．（2） 解方程：221|4|x x +-=．练习2 高次方程和无理方程知识点睛1.特殊高次方程的解法:一般的高次方程没有统一的求解方法. 对于一些特殊的高次方程, 可通过降次, 转化为一元二次方程或一元一次方程求解，转化的方法有因式分解法（因式定理）、换元法、变换主元法等.2. 特殊分式方程的解法:求解分式方程总的原则是通过去分母或换元, 使其转化为整式方程, 然后再求解. 在这个过程中离不开分式的恒等变形, 如通分、约分及降低分子的次数等等, 这就有可能使方程产生增根（或遗根）.3. 特殊无理方程的解法:解无理方程的基本思路是把根式转化为有理方程求解. 转化过程中常用的方法有: 乘方、配方、因式分解、等价变换、换元、增元、对偶、利用比例性质等. 如果变形过程是非等价变形（如方程两边平方）, 可能产生增根, 因此应注意验根.精讲精练【例 6】（1） 解方程：43225122560x x x x --++=．（2）解关于 x 的方程 ()()322212 0x t x tx t t +--+-=．（3）解方程 321010x x ++++=【例 7】（1）解方程：(8x + 7)2 (4x + 3)(x + 1)= 29 ；（2）解方程： x x x x x x +-=------2221120102910451069． （3）解方程：222234112283912x x x x x x x x ++-+=+-+．【例 8】（1）解方程：()()222323322x x x x x =+-++--． （2）解方程：22252x x x ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭． （3）方程()()3232232?47615180x x x x x x x x -+---++-+=全部实根是 ．【例 9】（12=．（2）解方程 266 0x x --+=．【例 10】（1）已知 2x =，求．（2）无理方程 221518x x -=-的解是 。
一元二次方程的解法规律总结
一元二次方程的解法规律总结1．一元二次方程的解法1直接开平方法：根据平方根的意义,用此法可解出形如a x 2=a ≥0,b )a x (2=-b ≥0类的一元二次方程．a x 2=,则a x ±=；b )a x (2=-,b a x ±=-,b a x +=．对有些一元二次方程,本身不是上述两种形式,但可以化为a x 2=或b )a x (2=-的形式,也可以用此法解．2因式分解法：当一元二次方程的一边为零,而另一边易分解成两个一次因式的积时,就可用此法来解．要清楚使乘积ab ＝0的条件是a ＝0或b ＝0,使方程xx －3＝0的条件是x ＝0或x －3＝0．x 的两个值都可以使方程成立,所以方程xx －3＝0有两个根,而不是一个根． 3配方法：任何一个形如bx x 2+的二次式,都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一个二项式的完全平方,把方程归结为能用直接开平方法来解的方程．如解07x 6x 2=++时,可把方程化为7x 6x 2-=+,22226726x 6x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++,即2)3x (2=+,从而得解． 注意：1“方程两边各加上一次项系数一半平方”的前提是方程的二次项系数是1．2解一元二次方程时,一般不用此法,掌握这种配方法是重点．3公式法：一元二次方程0c bx ax 2=++a ≠0的根是由方程的系数a 、b 、c 确定的．在0ac 4b 2≥-的前提下,a 2ac 4b b x 2-±-=．用公式法解一元二次方程的一般步骤：①先把方程化为一般形式,即0c bx ax 2=++a ≠0的形式；②正确地确定方程各项的系数a 、b 、c 的值要注意它们的符号；③计算0ac 4b 2<-时,方程没有实数根,就不必解了因负数开平方无意义；④将a 、b 、c 的值代入求根公式,求出方程的两个根．说明：象直接开平方法、因式分解法只是适宜于特殊形式的方程,而公式法则是最普遍,最适用的方法．解题时要根据方程的特征灵活选用方法．2．一元二次方程根的判别式一元二次方程的根有三种情况：①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③没有实数根．而根的情况,由ac 4b 2-的值来确定．因此ac 4b 2-=∆叫做一元二次方程0c bx ax 2=++的根的判别式．△>0⇔方程有两个不相等的实数根．△＝0⇔方程有两个相等的实数根． △<0⇔方程没有实数根．判别式的应用1不解方程判定方程根的情况；2根据参数系数的性质确定根的范围；3解与根有关的证明题．3．韦达定理及其应用定理：如果方程0c bx ax 2=++a ≠0的两个根是21x x ，,那么a c x x ab x x 2121=⋅-=+，． 当a ＝1时,c x x b x x 2121=⋅-=+，．应用：1已知方程的一根,不解方程求另一根及参数系数；2已知方程,求含有两根对称式的代数式的值及有关未知系数；3已知方程两根,求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程；4已知两数和与积求两数．4．一元二次方程的应用1面积问题；2数字问题；3平均增长率问题．步骤：①分析题意,找到题中未知数和题给条件的相等关系包括隐含的；②设未知数,并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；③找出相等关系,并用它列出方程；④解方程求出题中未知数的值；⑤检验所求的答数是否符合题意,并做答．这里关键性的步骤是②和③．注意：列一元二次方程应用题是一元一次方程解应用题的拓展,解题的方法是相同的,但因一元二次方程有两解,要检验方程的解是否符合题意及实际问题的意义．。
一元二次方程和一元一次方程的交点
一元二次方程和一元一次方程的交点一元二次方程和一元一次方程是数学中常见的两种方程类型。
一元二次方程是关于一个未知数的二次方程，一元一次方程是关于一个未知数的一次方程。
它们的交点指的是满足这两个方程的变量值。
下面将详细讨论这两种方程类型以及它们的交点。
一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是已知常数，一般a不等于0。
一元二次方程有两个解，可以是实数解或者复数解。
对于实数解，方程的解可以通过求解公式x = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / (2a)来得到。
根据解的一般形式，可以计算出一元二次方程的两个解。
一元一次方程是形如ax + b = 0的方程，其中a、b是已知常数，一般a不等于0。
一元一次方程只有一个解，可以是实数解或者无解。
对于实数解，方程的解可以通过求解公式x = -b/a来得到。
根据解的一般形式，可以计算出一元一次方程的解。
当一元二次方程和一元一次方程相交时，意味着此时两个方程的解相等。
也就是说，方程ax^2 + bx + c = 0和dx + e = 0存在相等的解。
我们可以代入一元一次方程的解x = -e/d到一元二次方程中，然后求解相等的情况。
假设一元二次方程的解为x1，x2，那么方程ax^2 + bx + c = 0可以写作a(x - x1)(x - x2) = 0。
将一元一次方程的解代入，得到a(-e/d - x1)(-e/d - x2) = 0。
将等式右边展开，并移项，得到a(dx1 + e)(dx2 + e) = 0。
通过分配律和合并同类项可以得到ad^2x^2 + aedx1x + aedx2x + ae^2 = 0。
再次移项，得到ad^2x^2 + aedx1x + aedx2x + ae^2 = 0。
将两个方程相交的情况带入二次方程的一般形式ax^2 + bx + c = 0中，得到ad^2x^2 + aedx1x + aedx2x + ae^2 = bx^2 + bx + c。
一元二次方程教案及反思
《一元二次方程》教案及反思(总5页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-《一元二次方程》教案及反思《一元二次方程》教案及反思教学目标：1、经历抽象一元二次方程概念的过程，进一步体会是刻画现实世界的有效数学模型2、理解什么是一元二次方程及一元二次方程的一般形式。
3、能将一元二次方程转化为一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项。
教学重点1、一元二次方程及其它有关的概念。
2、利用实际问题建立一元二次方程的数学模型。
教学难点1、建立一元二次方程实际问题的数学模型．2、把一元二次方程化为一般形式教学方法：指导自学，自主探究课时：第一课时教学过程：（学生通过导学提纲，了解本节课自己应该掌握的内容）一、自主探索：（学生通过自学，经历思考、讨论、分析的过程，最终形成一元二次方程及其有关概念）1、请认真完成课本P39—40议一议以上的内容；整理化简上述三个方程.。
2、你发现上述三个方程有什么共同特点？你能把这些特点用一个方程概括出来吗？3、请同学看课本40页，理解记忆一元二次方程的概念及有关概念你觉得理解这个概念要掌握哪几个要点你还掌握了什么二、学以致用：（通过练习，加深学生对一元二次方程及其有关概念的理解与把握）１、下列哪些是一元二次方程哪些不是①②③④x2+2x-3=1+x2⑤ax2+bx+c=02、判断下列方程是不是关于x的一元二次方程，如果是，写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
（1）3-6x2=0(2)3x(x+2)=4(x-1)+7(3)(2x+3)2=(x+1)(4x-1)3、若关于x的方程(k－3)x2＋2x－1＝0是一元二次方程，则k 的值是多少？4、关于x的方程(k2－1)x2＋2(k+1)x＋2k＋2＝0,在什么条件下它是一元二次方程在什么条件下它是一元一次方程5、以－2、3、0三个数作为一个一元二次方程的系数和常数项，请你写出满足条件的不同的一元二次方程？三、总结反思：（学生总结，进一步加深本节课所学内容）这节课你学到了什么？四、自查自省：（通过当堂小测，及时发现问题，及时应对）1、下列方程中是一元二次方程的有（）Ａ、1个B、2个C、3个D、4个（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、将方程－5x2+1=6x化为一般形式为____________________.其二次项是_________，系数为_______，一次项系数为______，常数项为______。
一元二次方程一次项系数
一元二次方程一次项系数一元二次方程是高中数学中的重要内容，其中一次项系数是方程的一个重要参数。
本文将围绕一次项系数展开讨论，介绍一元二次方程的基本概念、求解方法以及实际应用。
一、一元二次方程的基本概念一元二次方程是形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知常数，x是未知数。
在这个方程中，一次项的系数是b。
一元二次方程的解是使方程成立的x值。
二、一元二次方程的求解方法1. 因式分解法：当一元二次方程可以因式分解为两个一次因式相乘时，可以通过因式分解得到方程的解。
2. 完全平方式：当一元二次方程的解可以写成完全平方的形式时，可以通过完全平方公式求解。
3. 公式法：对于一般的一元二次方程，可以通过求根公式来求解。
求根公式是一个通用的公式，可以求解所有一元二次方程。
三、实际应用一元二次方程在现实生活中有许多应用，例如物体自由落体的运动方程、抛体运动的轨迹方程等。
这些问题可以通过建立一元二次方程来描述，并通过求解方程得到问题的解。
四、一次项系数对一元二次方程的影响一次项系数b对一元二次方程的解具有重要影响。
根据一次项系数的正负和大小，可以得到以下结论：1. 当b=0时，方程为纯二次方程，解为两个重根；2. 当b>0时，方程的两个根一个大于0，一个小于0，即方程的解一个大于0，一个小于0；3. 当b<0时，方程的两个根同号，即方程的解同号。
五、结论一元二次方程的一次项系数是方程的重要参数，它决定了方程的解的性质。
在求解一元二次方程时，我们可以根据一次项系数的正负和大小，来判断方程的解的情况。
同时，一元二次方程在实际应用中具有广泛的应用，通过建立方程模型，我们可以解决许多实际问题。
因此，掌握一元二次方程的求解方法和应用是非常重要的。
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当输出为 10 时，则输人的 x＝______
3. 三个连续奇数的和是 15，那么其中最大的奇数为（ ）
A．5
B．7 C．9 D．11
4. 如果在－1 是方程 x2+mx－1=0 的一个根，那么 m 的值为（ ）
A．－2 B．－3 C．1 D．2
5. 方程 2x(x 3) 5(x 3) 的解是（ ）
四：【课后小结】
本节课你有何收获？还有那些不明白的地方？
布置作业
三级跳练习九
教后记
（2） y2 2 y 399 0
（3） 2x2 1 2 5x ；
（4） (2x 1)2 3(2x 1) 2 0
分析：根据方程的不同特点，应采用不同的解法。（1）宜用直接开方法；（2）宜用配方法； （3）宜用公式法；（4）宜用因式分解法或换元法。
4. 解关于 x 的方程： (a 1)x2 2ax a 0
。
（3）因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做
．它的理论
根据是两个因式中至少要有一个等于 0，因式分解法的步骤是：①将方程右边化为 0；②
将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于 0，得到两个一元一次方程，
解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．
3．一元二次方程的注意事项：
系数化为 1
等式性质
5. 一元二次方程的解法．
（1）配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方
法．用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为 1，
即方程两边同除以二次项系数；②移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数
项；③配方，即方程两边都加上
的绝对值一半的平方；④化原方程为 (x+m)2 =n
的形式；⑤如果 n 0 就可以用两边开平方来求出方程的解；如果 n=＜0，则原方程无解．
（2）公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法。它是通过配方推导出来
的．一元二次方程的求根公式是
(b2 4ac 0)
注意：用求根公式解一元二次方程时，一定要将方程化为
第 周 星期 第 课时 总 课时 初三备课组
章节
第二章
课题 一元一次和一元二次方程
课型
复习课
教法 讲练结合
教学目标
1.了解一元一次方程及其相关概念，会解一元一次方程.能以一元一次方程为
工具解决一些简单的实际问题，求解方程和解释结果的实际意义及合理性，
提高分析问题、解决问题的能力．
2．能够利用一元二次方程解决有关实际问题并能根据问题的实际意义检验结
果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力．
3．了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、分解因式法解简
单的一元二次方程，并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想．
教学重点
会解一元一次方程和一元二次方程
教学难点
理解化“未知”为“已知”和化复杂问题为简单问题的化归思想
教学媒体
D. x1 3 2 3, x2 3 2 3
5. 方程 x2 (x 1) 0 的根是（ ）
A．0
B．1 C．0，－1 D．0，1
6. 设 (x 1)(x 2) 0 的两根为 x1、x2 ，且 x1 ＞ x2 ，则 x1 2x2 ＝
。
7. 已知关于 x 的方程 4x2 4kx k2 0 的一个根是－2，那么 k ＝
教学过程
一：【课前预习】
（一）：【知识梳理】
1.方程的有关概念
（1）方程：含有
的等式叫方程。
（2）方程的解：
叫做方程的解。
（3）解方程：
_叫做解方程。
（3）一元一次方程：___________________________________叫做一元一次方程。
（4）一元二次方程：___________________________________叫做一元二次方程
在一元二次方程的一般形式中要注意，强调 a≠0．因当 a=0 时，不含有二次项，即不
是一元二次方程．如关于 x 的方程（k2－1）x2+2kx+1=0 中，当 k=±1 时就是一元一次方
程了．
（二）：【课前练习】
1. 若 (3 2x) ∶2＝ (3 2x) ∶5，则 x ＝
。
2. 如果 2x 3 与 2 x 3 的值互为相反数，则 x ＝
。
53
3. 若单项式 a4b2m1 与 2 am2 bm7 是同类项，则 m ＝（
）
3
A.2
B.±2
C.－2
D.4
4. 用直接开平方法解方程 (x 3)2 8 ，得方程的根为（ ）
A. x 3 2 3
B. x1 3 2 2, x2 3 2 2
C. x 3 2 2
3．①解方程的理论根据是：_________________________
②解方程（组）的基本思想是：多元方程要_________,高次方程要__________.
4．解一元一次方程的一般步骤及注意事项：
步骤
具体做法
依据
注意事项
去分母
等式性质
去括号
乘法分配律、去括号法则
移项
移项法则
合并同类项
合并同类项法则
分析：学会分类讨论简单问题，首先要分清楚这是什么方程，当 a ＝1 时，是一元一次方 程；当 a ≠1 时，是一元二次方程；再根据不同方程的解法，对一元二次方程有无实数解
作进一步讨论。
三：【课后训练】
1. 若 2x+1= 7，则 x 的值为（ ）
A．4
B、3
C、2
D、－3
2. 有一个密码系统，其原理由下面的框图所示： 输入 x → x+6 →
。
二：【经典考题剖析】
1. 解方程： 2(x 1) x 3 7x 1 32
2. 若关于 x 的方程：10 k(x 3) 3x k(x 2) 与方程 5 2(x 1) 1 2x 的解相同，求 k 的
5
4
3
值。
3. 选择适当的方法解下列方程：
（1） 7(2x 3)2 28 ；
输出
Ax 3 Bx 5 2
C
x1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3, x2
5 2
D x 3
4. 解方程：（1）1 x 3 x 2 ；（2）1.8 0.8x 0.03 0.02x x 5
3
4
1.2
0.03
2
（3） x2 5x 2 0 （4） x2 5x 6 0 （5） 92x 32 42x 52 0