第六章 多元函数积分学
04高数——多元函数积分学知识点速记
多元函数积分学1、不定积分1）原函数定义定义在某区间I 上的函数()f x ，若对I 的一切x ，均有()()F x f x '=，则称()F x 为()f x 在区间I 上的原函数。
若函数()f x 存在原函数，则()f x 就有无穷多个原函数，可表示为()F x C +。
2）不定积分定义函数()f x 的全体原函数称为()f x 的不定积分，记作()d f x x ⎰。
若()F x 是()f x 的一个原函数，则()()d f x x F x C =+⎰（C 为任意常数）3）不定积分计算：①第一类换元积分法：设()f u 具有原函数()F u ，而()u x ϕ=可导，则有()()()()d d f x x x f u u F x C ϕϕϕ'==+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰②第二类换元积分法：设()x t ϕ=在区间[],αβ上单调可导，且()0t ϕ'≠，又设()()f t t ϕϕ'⎡⎤⎣⎦具有原函数()F t ，则有()()()()()1d d f x x f t t t F t c F x Cϕϕϕ-'⎡⎤==+=+⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰式中，()1x ϕ-为()x t ϕ=的反函数。
高 数多元函数积分学知识点速记③分部积分法：设()u x ，()v x 可微，且()() d v x u x ⎰存在，由公式()d d d uv u v v u =+得到分部积分公式d d u v uv v u=-⎰⎰2、定积分1）两点规定：①当a b =时，()d 0b a f x x =⎰；②当a b >时，()()d d b a a b f x x f x x =-⎰⎰2）积分上限函数及其导数①()d xa f x x ⎰为积分上限函数，记作()()d x ax f x x Φ=⎰，经常写成如下形式()()()d xa f t t a x xb Φ=≤≤⎰②积分上限函数的导数()()()d x a x f t t f x '⎡⎤'Φ==⎢⎥⎣⎦⎰()a xb ≤≤③()()()()()()()d g x h x f t t f g x g x f h x h x '⎡⎤''==⋅-⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰3、定积分的应用旋转体的体积：设由曲线()y f x =，直线x a =，x b =以及x 轴围成的平面图形，绕x 轴旋转一周而生成的旋转体的体积，则()2πd b x aV f x x =⎡⎤⎣⎦⎰平行截面面积为已知的立体的体积：设立体由曲面S ，以及平面x a =、x b =所围成，且对于[],a b 上任一点x 作垂直截面，截得的面积()A A x =为x 的连续函数，则()d bc V A x x =⎰4、二重积分1）二元函数(),f x y 在闭区域D 上的二重积分，记作(),d D f x y σ⎰⎰2）(),d f x y σ⎰⎰表示以曲面(),z f x y =为顶，以区域D 为底，以D 的边D界为准线，母线平行于 Oz 轴的柱面围成的曲顶柱体的体积。
多元函数积分学总结
多元函数积分学总结引言多元函数积分学是微积分的一个重要分支，研究的是多个变量的函数在特定区域上的积分计算和性质。
在实际问题中，我们经常需要求解多元函数的积分，以求得面积、体积、质量等物理量。
本文将对多元函数积分学的基本概念、计算方法和应用进行总结和介绍。
一、多元函数积分的基本概念1. 二重积分二重积分是多元函数积分学中最基本的概念之一。
它表示在二维平面上的一个有界区域上对函数进行积分。
二重积分的计算可以通过投影到坐标轴上的两个一元积分来实现。
根据积分区域的形状和函数性质的不同，二重积分可以分为类型I和类型II两种。
•类型I：积分区域为矩形、正方形或一般的可由直线分割成有限个矩形的区域。
•类型II：积分区域不属于类型I的情况，一般需要进行变量替换或极坐标转化来简化计算。
2. 三重积分三重积分是对三维空间内的函数进行积分。
它可以用于计算体积、质量、重心等与物体形状和密度有关的物理量。
三重积分的计算方法较为复杂，一般需要采用适当的坐标变换或者使用球坐标、柱坐标等不同坐标系下的积分公式来进行计算。
二、多元函数积分的计算方法1. Fubini定理Fubini定理是多元函数积分计算的基础定理之一。
它建立了二重积分和三重积分之间的关系，使得计算复杂多元函数积分时可以拆分为若干个简单的积分。
Fubini定理主要有两种形式：对于矩形区域上的二重积分，可以通过交换积分次序将其转化为两次一元积分。
对于空间区域上的三重积分，也可以利用类似的方法进行计算。
2. 极坐标和球坐标对于具有相关几何特性的问题，使用极坐标和球坐标可以简化多元函数积分的计算过程。
极坐标常用于计算平面上的二重积分，而球坐标常用于计算空间中的三重积分。
通过引入极坐标或球坐标的坐标变换，我们可以将原积分区域变换为一个更简单的形式，从而简化积分计算。
在实际应用中，灵活运用极坐标和球坐标可以大大提高计算效率。
三、多元函数积分的应用多元函数积分在物理学、工程学、经济学等领域有广泛的应用。
(整理)第六章多元函数积分1
第六章 多元函数积分学一．重积分例1：将⎰⎰=Dd y x f I σ),(用两种积分次序表为二次积分。
（1）D ：由曲线1,21,0,8222====+y y x y y x 所围； （2）⎩⎨⎧≤≤-≤≤axy x ax ax D 2220:2例2：交换二次积分⎰⎰xdy y x f dxsin 020),(π的顺序。
例3：计算二次积分⎰⎰xxdy yxdx 2sin21π⎰⎰+2422sinxdy yxdx π例4：计算二次积分+⎰⎰--yxR y dx e dy e 0222⎰⎰---22222y R x RR ydx edy e例5：计算二重积分⎰⎰=Dydxdy I ，其中D 是由直线2,0,2==-=y y x 以及曲线22y y x --=所围成的平面区域。
（答案：24π-）例6：计算二重积分⎰⎰-=Ddxdy x y I 2，其中D 是由直线2,1,1=-==y x x 和x 轴所围成的平面区域。
（答案：352+π） 例7：设)(t f 在),0[+∞上连续，且 +=1)(t f ⎰⎰≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛+22242221t y x dxdy y x f 求)(t f （答案：24)(t e t f π=）例8：设闭区域D ：.0,22≥≤+x y y x ),(y x f 为D 上的连续函数，且 ---=221),(y x y x f ()⎰⎰Ddudv v u f ,8π求),(y x f （答案：---=221),(y x y x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32234ππ） 例9：计算二重积分⎰⎰+=Ddxdy y x I 22，其中D 由圆轴及直线x x y x y x ==+,222所围成的平面区域。
（答案：2910） 例10：设D 是xoy 平面上以)1,1(),1,1(),1,1(---为顶点的三角形区域，1D 是D 在第一象限部分，则⎰⎰+Ddxdy y x xy )sin cos (等于)(A ⎰⎰1sin cos 2D ydxdy x )(B ⎰⎰12D xydxdy)(C ⎰⎰+1)sin cos (4D dxdy y x xy 0)(D例11：计算⎰⎰++++++=Ddxdy y x x x y y I 22211ln 1）（ 其中}01{22≥≤+=y y x y x D ，），（。
高等数学 同济 教材
高等数学同济教材高等数学是大学本科数学专业的重要课程之一，对于培养学生的数学思维、提高逻辑推理能力和抽象思维能力起到了关键作用。
同济大学数学系编写的高等数学教材以其系统性、严谨性和实用性而备受广大学生的喜爱和好评。
该教材共分为十章，分别是数列与极限、一元函数微分学、一元函数积分学、微分方程、多元函数微分学、多元函数积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微分学的应用、曲线与曲面积分、常微分方程。
第一章数列与极限，从数列的概念入手，逐渐引入极限的概念和性质。
通过引入极限的概念，使学生能够更加深入地理解函数的连续性和可导性，为后续章节奠定了坚实的基础。
第二章一元函数微分学，介绍了单变量函数的微分概念、微分法、高阶导数等。
通过学习一元函数微分学，学生能够了解函数在点上的切线性质、函数极值的判定方法等重要内容。
第三章一元函数积分学，主要介绍了定积分、不定积分和定积分的应用。
学生通过学习这一章内容，不仅可以掌握积分的计算方法，还可以了解到积分在几何、物理等领域的重要意义。
第四章微分方程，介绍了一阶线性微分方程、可分离变量方程和齐次方程等。
通过学习微分方程，学生可以应用微分方程解决实际问题，比如描述物理过程、生态模型等方面的问题。
第五章多元函数微分学，引入了多元函数的概念和性质，包括偏导数、全微分和方向导数等内容。
通过学习多元函数微分学，学生可以掌握多元函数的微分计算方法，为理解多元函数的极值、梯度等概念打下基础。
第六章多元函数积分学，介绍了二重积分和三重积分的计算方法和性质。
学生通过学习多元函数积分学，可以了解到积分在空间几何、质心计算等领域的应用。
第七章向量代数与空间解析几何，引入了向量的概念和性质，并介绍了向量的内积、外积和混合积等内容。
通过学习向量代数与空间解析几何，学生可以了解到向量在几何和物理中的重要应用。
第八章多元函数微分学的应用，介绍了拉格朗日乘数法和泰勒展开等内容。
通过学习这一章，可以帮助学生掌握应用多元函数微分学解决最优化问题的方法。
多元函数积分学
多元函数积分学是数学的一个分支，它是对多元函数进行积分的理论。
与一元函数积分学相比，它更加复杂，但它为我们研究物理学、工程学和其他自然科学问题提供了更强大的工具。
在本文中，我将介绍的一些基本理论，包括重积分、极坐标变换、格林公式等。
一、重积分重积分是的基本概念，它是对多元函数在某一区域上的积分。
重积分可以表示为Riemann积分或Lebesgue积分两种形式，具体形式与多元函数的性质有关。
在Riemann积分中，我们将区域分成有限个小区域，对每个小区域内的多元函数进行积分，最后将积分结果相加。
而在Lebesgue积分中，我们采用测度的概念，将多元函数的定义域分成不可数个小区域，在每个小区域上定义一个测度，对多元函数在每个小区域内的值进行加权积分，最后求出所有小区域上的积分和即为整个区域上的积分。
重积分在物理学和工程学中有着广泛的应用，例如计算物体的体积、求解场的强度等。
同时，重积分也是进一步研究多元函数性质的基础。
二、极坐标变换极坐标变换是一种将平面直角坐标系上的点表示为极径和极角的变换。
它可以将一些复杂的函数转化为简单的极坐标函数，使得对多元函数进行积分更加方便。
在极坐标系中，被积函数可以表示为一个积分项和一个积分域，积分项为正态函数，积分域为从 $0$ 到 $2\pi$ 的一个闭区间和一个在某个圆内部的有界区域，在这个有界区域上的积分相当于在平面直角坐标系上的二重积分。
因此，我们可以使用积分转化公式将多元函数在极坐标系中的积分转化为在平面直角坐标系中的二重积分。
极坐标变换在数学中有着广泛的应用。
例如，对于一个椭球体积的计算，使用极坐标变换可以将三维积分转化为二维积分，更加方便计算。
三、格林公式格林公式是中的一个重要定理，它是关于多元函数的一个等式，用于计算曲面积分和线积分之间的关系。
在平面上，格林公式是一个计算平面上曲线积分和面积的公式，它表明二元函数在解析条件下，其在一个闭合路径内的曲线积分等于该函数在这个区域内的面积积分。
多元函数的积分
多元函数的积分在数学中，多元函数的积分是一个重要的概念和计算方法。
与一元函数的积分不同，多元函数的积分需要考虑多个自变量和相应的积分变量。
一、多元函数的积分定义对于二元函数f(x, y)，其在有界闭区域D上的积分可以定义为：∬f(x, y)dA = limΔx,Δy→0 Σf(xi, yj)ΔA其中，Δx和Δy分别表示x和y方向的分割长度，Σ表示对所有的(i, j)求和，xi和yj表示分割后的小区域的任意点，ΔA表示小区域的面积。
对于n元函数f(x1, x2, ..., xn)，其在有界闭区域D上的积分可以定义为：∭f(x1, x2, ..., xn)dV = limΔx1,Δx2,...,Δxn→0 Σf(x1i, x2j, ..., xnk)ΔV其中，Δx1, Δx2, ..., Δxn分别表示各个方向的分割长度，Σ表示对所有的(i1, i2, ..., in)求和，x1i, x2j, ..., xnk表示分割后小区域的任意点，ΔV表示小区域的体积。
二、多元函数的积分计算与一元函数的积分类似，对于多元函数的积分计算也需要借助于定积分的性质、微积分的基本定理和换元积分法等方法。
1. 球坐标和柱坐标对于具有某种对称性的多元函数，可以选择适当的坐标系来简化积分计算。
常用的坐标系有球坐标和柱坐标。
球坐标系适用于具有球对称性的问题，对于三元函数可以表示为：x = rsinθcosφ, y = rsinθsinφ, z = rcosθ其中，r代表点到坐标原点的距离，θ表示点与正z轴的夹角，φ表示点在xy平面上与正x轴的夹角。
柱坐标系适用于具有柱对称性的问题，对于三元函数可以表示为：x = rcosθ, y = rsinθ, z = z其中，r代表点到z轴的距离，θ表示点在xy平面上与正x轴的夹角，z表示点在z轴上的坐标。
2. 积分的性质多元函数的积分具有类似于一元函数积分的一些性质，如线性性质、可加性质、保号性质等。
高等数学基础教材上册目录
高等数学基础教材上册目录【高等数学基础教材上册目录】第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质1.2 极限的定义与性质1.3 函数的连续性与间断点第二章：导数与微分2.1 导数的定义与求导法则2.2 函数的微分与近似计算2.3 高阶导数与高阶微分第三章：一元函数的应用3.1 函数的单调性与极值3.2 函数的图像与曲线的凸凹性3.3 驻点与拐点的判定方法第四章：多元函数及其微分学4.1 多元函数的概念与性质4.2 偏导数与全微分4.3 隐函数与参数方程的偏导数第五章：一元函数积分学5.1 不定积分与不定积分法5.2 定积分的概念与性质5.3 定积分的计算方法第六章：多元函数积分学6.1 二重积分的概念与性质6.2 三重积分的概念与性质6.3 曲线积分与曲面积分第七章：常微分方程7.1 一阶常微分方程与初值问题7.2 二阶常系数线性齐次微分方程7.3 高阶线性齐次微分方程第八章：级数与幂级数8.1 数项级数的概念与性质8.2 幂级数的收敛半径与和函数8.3 函数的泰勒展开与幂级数展开第九章：常微分方程的级数解法9.1 二阶微分方程的级数解法9.2 非齐次线性微分方程的级数解法9.3 常微分方程组的级数解法第十章：线性代数基础10.1 向量与矩阵的基本概念与运算10.2 线性方程组的解法与矩阵的初等变换10.3 矩阵的特征值与特征向量第十一章：线性方程组与矩阵的应用11.1 矩阵的相似对角化与对角化的应用11.2 线性方程组稳定性分析11.3 矩阵的二次型与正定性判定第十二章：多元函数的泛函分析12.1 标架空间与线性空间的性质12.2 置换算子与对称变换的特征值问题12.3 点集拓扑与连续映射第十三章：傅里叶级数与傅里叶变换13.1 傅里叶级数的基本概念与性质13.2 傅里叶级数的收敛与满足条件的函数展开13.3 傅里叶变换的基本概念与性质第十四章：常微分方程的变分法14.1 非定常泛函与泛函极值问题14.2 欧拉方程与最小作用量原理14.3 约束条件下的变分问题第十五章：偏微分方程的基本理论15.1 偏微分方程基本概念与分类15.2 二阶线性偏微分方程的特征方程与性质15.3 分离变量法与定解问题的解法这是《高等数学基础教材上册》的目录，让我们逐步深入了解高等数学的各个领域与概念。
多元函数积分学
多元函数积分学多元函数积分学是一门研究多元函数及其应用的数学分支。
这门学科涉及多变量函数的积分、定积分、无穷积分以及分析在多变量函数上的积分问题。
在多元函数积分学中，多元函数的定义以及它们的性质是基本的。
它们可以在任何给定的多元函数空间中定义，是多元函数积分学的基本概念和研究的重要内容。
多元函数积分学的主要任务是研究多变量函数的积分问题。
在多元函数积分学中，多变量函数积分可以分为定积分和无穷积分两类。
定积分是指在给定积分问题的多变量函数中求解积分，它一般包括一元函数积分、二元函数积分、多变量函数的积分和曲线的积分等。
它可以使用多种方法求解，比如高斯积分、梯形积分、拉斯维加斯积分以及蒙特卡罗积分等。
而无穷积分则是指在多变量函数中对积分域上的数学函数进行积分，它可以使用泰勒级数展开、拉普拉斯变换、拉格朗日变换等进行求解。
多变量函数积分与一元函数积分也有不同之处。
一元函数积分是指积分域上的一元函数，这是一种非常直观的概念，我们可以使用经典的定积分方法来解决一元函数的积分问题。
而多变量函数积分则不同，因为它需要考虑多变量函数的复杂性，在求解多变量函数积分时，我们需要考虑几何图形及其各种变换，这为求解多变量函数积分提出了新的问题。
另外，多变量函数积分学还涉及空间几何的概念，它的主要任务是研究多变量函数的空间性质，比如曲面的概念、曲面的法线、曲线的曲率等。
这些涉及空间几何的概念，可以帮助我们更深入地理解多元函数的积分过程，从而更加深入地研究多元函数积分的性质和特性。
多元函数积分学的研究主要是为了理解多变量函数的性质和特征，从而使用多元函数更好地描述现实中的现象和事物。
它也为研究多变量函数的更复杂的应用如无限维空间函数提供基础，比如用多元函数积分来研究抽象代数结构，研究计算机图形学相关的概念等。
因此，多元函数积分学是一门重要的学科，它是理解多元函数的性质和特征的基础。
它不仅为许多应用提供了理论依据，而且还可以帮助我们更深入地理解多元函数的性质和特征，从而更加深入地研究多元函数的积分和抽象代数结构。
高等数学教材第五版目录
高等数学教材第五版目录第一章：极限与连续1.1 定义与性质1.2 重要极限1.3 极限运算法则1.4 函数的连续性第二章：导数与微分2.1 导数的定义与几何意义2.2 导数的计算方法2.3 高阶导数与导数的应用2.4 微分与微分近似第三章：不定积分3.1 不定积分的定义与基本性质3.2 基本积分公式与常见积分法3.3 分部积分与换元积分法3.4 有理函数的积分第四章：定积分4.1 定积分的定义与几何意义4.2 定积分的性质与定积分计算 4.3 定积分的应用4.4 反常积分第五章：多元函数微分学5.1 二元函数的极限与连续5.2 偏导数与全微分5.3 多元函数的极值与条件极值 5.4 隐函数与参数方程第六章：多元函数积分学6.1 二重积分的概念与性质6.2 二重积分的计算方法6.3 三重积分的概念与性质6.4 三重积分的计算方法第七章：向量代数与空间解析几何 7.1 向量的基本运算7.2 空间直线与平面的方程7.3 空间曲线与曲面第八章：无穷级数8.1 数项级数8.2 正项级数的审敛法8.3 幂级数与傅里叶级数第九章：常微分方程9.1 方程的解与解的存在唯一性9.2 一阶线性常微分方程9.3 二阶线性常微分方程9.4 常系数齐次线性常微分方程第十章：数学实验与建模10.1 数学实验的基本思想与方法10.2 常见数学实验10.3 数学建模的基本步骤这是高等数学教材第五版的目录，并按照适当的格式进行呈现。
每一章节的内容简要描述了主要内容，方便读者了解教材的内容结构和重点。
在整个目录中，标题与内容紧密相连，清晰明了。
高等数学6_1多元数量值函数积分的概念与性质
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n
1 k n
抽 象 其 共 性
如果不论
n
怎样划分，点
怎样选取，极限 上可积，且
()
目录
lim f ( M k )k 都存在，则称f 在
0
称此极限值为 f (M )在Ω上的积分,记作
k 1
f (M )d.
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即：
被积式或 积分微元 积分域
被积函数
注意：当积分域类型不同时，积分的具体表达式 和名称也不相同
0
k 1
n
d称为面积微元，在直角坐标系下常写作d x d y, 引例1中平面薄板的质量:
M ( x, y ) d ( x, y ) d x d y
D D
引例2中曲顶柱体体积:
V f ( x, y ) d f ( x, y ) d x d y
第六章 多元函数积分学及其应用
一元函数积分学 重积分 多元函数积分学 曲线积分 曲面积分
第一节 多元数量值函数积分的概念与性质
一、引例
第六章
二、多元数量值函数积分的概念
三、积分存在的条件和性质
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一、引例
1. 平面薄片的质量 有一个平面薄片, 在 xOy 平面上占有区域 D , 其面密 度为 计算该薄片的质量 M . 设D 的面积为 , 则
0 k 1
曲顶柱体体积:
V lim f ( k , k ) k
0 k 1
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n
一般说来，设有一质量非均匀分布在某一几何形体
上的物体，（这里几何形体可以是直线段、平面或
多元函数积分学总结
多元函数积分学总结引言多元函数积分学是微积分的重要分支，研究具有多个变量的函数的积分。
它在物理、工程、经济学等领域都有广泛的应用。
本文旨在总结多元函数积分学的基本概念、技巧和应用。
一、多重积分1.二重积分二重积分即对二元函数在一个有界区域上的积分。
它可以通过将区域分割成小的矩形，并在每个矩形中求函数值乘以该矩形的面积，再将所有矩形的面积相加而得到。
二重积分的计算可以使用极坐标、换元法等方法来简化计算过程。
2.三重积分三重积分即对三元函数在一个有界区域上的积分。
类似于二重积分，三重积分可以通过对区域进行分割，并在每个小的立体元中求函数值乘以立体元的体积，再将所有立体元的体积相加而得到。
三重积分的计算可以使用柱坐标、球坐标等方法来简化计算过程。
3.多重积分的性质–可加性：多重积分具有可加性，即对于函数的积分，可以将区域分割成多个子区域，分别在每个子区域上计算积分，再将这些积分相加。
–定积分的值与路径无关：对于连续函数，在一个闭合曲线上的积分与路径无关，只与路径所围成的区域有关。
二、重要定理1.Fubini定理Fubini定理是二重积分和三重积分的重要定理，它可以将多重积分转换为一重积分的形式，简化积分计算的过程。
2.Green公式和Stokes定理Green公式和Stokes定理是两个重要的向量积分定理。
它们描述了曲线积分和曲面积分与散度、旋度之间的关系。
3.Gauss公式Gauss公式是一个重要的体积积分定理，它表明了三维空间中的散度与体积分之间的关系。
这个定理在电磁学和流体力学中有广泛的应用。
三、应用实例1.质量和质心多重积分在质量和质心的计算中有广泛的应用。
通过将物体划分为无穷小的微元，可以通过多重积分计算物体的总质量和质心的位置。
2.引力和电场的计算在物理学中，多重积分可以用于计算引力和电场的作用。
通过计算物体上的质量或电荷在空间中的分布，可以使用多重积分来求解引力或电场的强度。
3.概率密度函数和统计分析在概率论和统计学中，概率密度函数描述了随机变量的概率分布。
高等数学中的多元函数的积分
高等数学中的多元函数的积分高等数学中的多元函数积分高等数学是一门抽象的学科，它以符号理论和逻辑推理为基础，利用数学结构和算法解决复杂的问题。
在高等数学中，多元函数积分是一个非常重要的概念。
多元函数积分是现代数学的基石之一，它与实际问题密切相关，具有广泛的应用范围。
1. 多元函数积分的概念多元函数积分是一种数学工具，它用于计算多元函数在闭合区域上的积分值。
多元函数是指有多个自变量的函数，积分是对多元函数在一个闭合区域上的求和操作。
多元函数积分的概念最早是由黎曼在19世纪中期提出的，现在已经成为现代数学的一部分。
2. 多元函数积分的性质多元函数积分具有以下性质：（1）线性性：若f和g是定义在闭合区域U上的两个多元函数，a和b是常数，则有∫[af(x,y)+bg(x,y)]dxdy＝a∫f(x,y)dxdy+b∫g(x,y)dxdy。
（2）可加性：若f是定义在闭合区域U上的多元函数，在它的范围内用一个曲面D把闭合区域分成两个部分U1和U2，则有∫f(x,y)dxdy＝∫f(x,y)dxdy＋∫f(x,y)dxdy。
3. 多元函数积分的计算方法多元函数积分的计算方法有以下几种：（1）直接计算：即按照定义式进行积分。
这种方法适合于计算简单的多元函数积分。
（2）使用改变变量法：改变变量法是通过变量代换的方式，将多元函数转化为标准形式，并重新计算积分。
这种方法适合于计算复杂的多元函数积分。
（3）使用重积分法：重积分法是把多元函数积分表示为两个一元函数积分的积分形式，再进行计算。
这种方法适合于计算连续多元函数积分。
4. 多元函数积分的应用多元函数积分是解决实际问题的有力工具，它在物理、工程、金融等领域都有广泛的应用。
（1）物理领域：例如，通过多元函数积分可以计算物体的体积、质心、转动惯量等参数。
（2）工程领域：例如，通过多元函数积分可以计算电场、磁场、热量传递等参数。
（3）金融领域：例如，通过多元函数积分可以计算期权和利率等金融指标。
高等数学同济第八版教材
高等数学同济第八版教材高等数学是大学数学的重要组成部分，它主要包含微积分和线性代数两个方面的内容。
而同济大学出版社的《高等数学同济第八版教材》是目前国内应用最广泛的高等数学教材之一。
本文将对该教材进行全面介绍，以帮助读者更好地理解和学习高等数学知识。
第一章微积分基础《高等数学同济第八版教材》的第一章主要介绍了微积分的基本概念、函数与极限、连续与间断等内容。
在这一章中，教材详细而全面地解释了微积分的起源和发展，为读者奠定了扎实的数学基础。
第二章一元函数微分学在第二章中，教材围绕一元函数的微分学展开讲解。
从导数的定义和性质开始，逐步引入微分的概念，并介绍了一元函数的凹凸性、单调性以及最值问题等重要内容。
此外，教材还给出了一些常见函数的导数和微分计算方法，为读者提供了丰富的例题和习题。
第三章一元函数积分学第三章主要介绍了一元函数的积分学。
教材从不定积分的定义和性质开始，讲解了反常积分和定积分的概念及其计算方法。
同时，教材还对定积分的应用进行了深入的讲解，如曲线长度、旋转体的体积等。
这些应用案例的介绍有助于读者理解积分在实际问题中的应用。
第四章微分方程本章主要介绍了微分方程的基本概念和解法。
教材首先介绍了一阶微分方程和高阶微分方程的概念，并详细讲解了可分离变量、齐次方程和一阶线性微分方程等常见的解法。
此外，教材还对二阶线性齐次微分方程的解法进行了详尽的介绍，并给出了一些典型的例题供读者练习。
第五章多元函数微分学在第五章中，教材引入了多元函数的微分学。
从偏导数和全微分的概念开始，教材展示了多元函数的极值、条件极值的判定方法，并详细介绍了隐函数的微分法和参数方程的微分法等内容。
本章的讲解重点在于培养读者对多元函数微分学的直观理解和应用能力。
第六章多元函数积分学多元函数积分学是本教材的第六章内容，它是微积分的重要组成部分。
教材从二重积分的概念和计算开始，讲解了二重积分的应用，如计算平面图形的面积、质量和重心等。
同济大学高等数学b1教材原书
同济大学高等数学b1教材原书高等数学B1教材是同济大学数学系编写的一本教材，用于教授高等数学B1课程。
本教材旨在帮助学生掌握高等数学B1的基础知识和核心概念，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
下面将对本教材的内容进行介绍。
第一章：数学归纳法数学归纳法是高等数学中重要的证明方法之一。
本章首先介绍了归纳法的基本原理和步骤，进而讲解了如何运用数学归纳法证明各类数学命题，例如等差数列的通项公式和等比数列的通项公式等。
第二章：极限与连续极限与连续是高等数学中的基础概念。
本章系统地介绍了数列的极限、函数的极限以及函数的连续性等内容。
通过具体的例子和图表，帮助学生理解极限和连续的概念，掌握相关的计算技巧。
第三章：一元函数微分学微分学是高等数学中的重要分支。
本章从导数的概念出发，介绍了一元函数的导数、导数的计算、高阶导数等内容。
同时，引入了微分中值定理和泰勒公式等重要的理论结果，为后续章节的学习打下坚实的基础。
第四章：一元函数积分学积分学是高等数学中与微分学相对应的概念。
本章介绍了不定积分和定积分的概念及其性质，讲解了积分的计算方法和积分的应用，如曲线长度、曲线面积和物理问题的求解等。
第五章：多元函数微分学在实际问题中，往往需要研究多变量函数的性质和行为。
本章从偏导数的概念出发，介绍了多元函数的偏导数、全微分、多元函数的极值等内容。
同时，讨论了多元函数的方向导数和梯度等重要概念，为进一步研究多变量函数奠定了基础。
第六章：多元函数积分学多元函数的积分是高等数学中的重要内容之一。
本章介绍了重积分和曲线积分的概念，讲解了重积分的计算方法和曲线积分的应用。
同时，引入了格林公式和斯托克斯公式等重要的定理，为后续章节的学习提供了更深入的理论基础。
第七章：无穷级数无穷级数是高等数学中的重要内容之一。
本章介绍了数项级数和函数项级数的概念，讨论了级数的敛散性以及级数的性质和判别法。
同时，讲解了常见的收敛级数和发散级数，并探讨了级数的应用。
多元函数分部积分法公式
多元函数分部积分法公式多元函数分部积分法公式是一种用于计算多元函数积分的方法。
通常情况下，多元函数分部积分公式应用于数学和物理学等领域，可以帮助数学家和物理学家准确计算一个多元函数的积分值。
本文将介绍多元函数分部积分法公式的定义和公式，以及如何应用多元函数分部积分法公式计算多元函数的积分值。
一、什么是多元函数分部积分法公式多元函数分部积分法公式又被称为分部积分法，它是一种常见的积分计算方法。
它可以帮助我们准确无误地计算多元函数积分的值。
多元函数分部积分公式可以表示为：∫abf（x）dx=∑nk=1aib（f），其中，a是多元函数f（x）的下限，b是多元函数f（x）的上限，n是多元函数f（x）的积分步数，i是多元函数f（x）积分时，分割点的位置，介于a到b之间。
二、如何计算多元函数分部积分法公式？1、选择积分步数n：积分步数n是积分时的重要准备，它指的是将区间[a,b]等分为n个小段，对每一段区间取固定点代入公式进行计算。
n越大积分精度越高，而且计算量越大。
因此，根据需要结合准确度与计算量灵活选择n值，以保证积分的准确性与可行性。
2、计算每一段小区间的积分值：当选择完积分步数n后，就可以计算每一段小区间的积分值了。
此时，先在每一段小区间中选择一个点，分别代入已定义的f（x）函数，计算每一段小区间的积分值。
三种常用的中心点是：左点、中点和右点，其积分值分别为：ai(fL)、ai(fM)和ai(fR)。
3、利用多元函数分部积分法公式计算总积分值：将n段小区间的积分值相加，便可以得到该区间上多元函数的总积分值，即总分值=∑nk=1aib（f）。
三、总结多元函数分部积分法公式是一种计算多元函数积分的方法，它可以帮助我们准确计算一个多元函数的积分值。
多元函数分部积分公式可以表示为：∫abf（x）dx=∑nk=1aib（f）。
为了计算一个多元函数的总积分值，需要根据积分步数n联合计算每一段小区间的积分值，然后把所有的小区间的积分值加起来便可以求出总积分值。
高等数学集美大学教材
高等数学集美大学教材高等数学是大学中一门重要的基础数学课程，它为学生提供数学分析和应用的基础知识。
集美大学的高等数学教材致力于为学生提供清晰、全面且适用的学习资源，以促进他们对高等数学的理解和运用能力的提升。
第一章：数列与极限在高等数学的开篇，我们首先介绍数列与极限的概念。
数列是由一系列按照特定规律排列的数所组成，而极限则是数列中数值逐渐趋近于某个固定值的情况。
通过学习数列与极限的理论，学生可以了解数列的性质、极限的计算方法以及极限的存在与唯一性等基本原理。
第二章：函数与连续性在第二章中，我们讨论了函数与连续性的概念与性质。
函数是一种将一个变量映射到另一个变量的关系，而连续性则是函数在某一点上无间断、无突变的性质。
通过学习函数的定义、常见函数的性质以及连续函数的判定方法，学生可以建立起对函数与连续性的深入理解。
第三章：一元函数微分学在第三章中，我们介绍了一元函数微分学的基本概念和方法。
微分是描述函数局部变化率的工具，它可以帮助我们求解函数的极值、判断函数的凹凸性以及研究函数的变化趋势。
通过学习微分的定义、微分法则以及应用问题的解决方法，学生可以进一步提高对一元函数微分学的掌握能力。
第四章：一元函数积分学第四章主要介绍了一元函数积分学的原理和技巧。
积分是对变量积累变化量的过程，它可以帮助我们计算曲线下的面积、求解定积分以及解决应用问题。
通过学习不定积分、定积分以及积分与微分的关系，学生可以更好地掌握一元函数积分学的基本方法。
第五章：多元函数微分学第五章主要涉及多元函数微分学的理论和应用。
多元函数是指涉及多个自变量和一个因变量的函数，而多元函数微分学则是研究多元函数的导数、偏导数和全微分等概念。
通过学习多元函数的极值、隐函数及其导数以及多元函数的泰勒公式等内容，学生可以更好地理解和应用多元函数微分学的知识。
第六章：多元函数积分学在第六章中，我们介绍了多元函数积分学的基本概念和方法。
多元函数积分学是研究多元函数的积分、曲线积分和曲面积分等内容。
高等数学同济版教材详解
高等数学同济版教材详解【正文】本文将对《高等数学同济版教材》进行详解，以帮助读者更好地理解和掌握该教材中的知识内容。
第一章极限与连续高等数学是大学数学的重要组成部分，它的学习首先需要理解并掌握极限与连续的概念。
极限是数学中一个基本概念，它描述了函数在某一点附近的性质。
通过极限的研究，我们可以推导出导数、积分等重要概念，并应用于实际问题的求解。
第二章一元函数微分学一元函数微分学是高等数学中的重要内容，它主要研究函数的导数和微分。
导数是函数的变化率，它在物理、经济、生物等领域中有广泛的应用，比如求速度、加速度等问题。
微分是导数的几何意义，它可以用来近似计算函数在某一点的变化量。
第三章一元函数积分学一元函数积分学是高等数学中的另一个重要内容，它主要研究函数的不定积分和定积分。
不定积分是求解原函数的过程，通过求解不定积分可以得到函数的原函数，进而求解定积分。
定积分可以求解曲线下面的面积、曲线的弧长等问题，是高等数学中的重要工具。
第四章多元函数微分学多元函数微分学是高等数学中的扩展内容，它研究的对象是多元函数。
在多元函数微分学中，我们将学习到多元函数的偏导数、全微分以及多元函数的最值等概念。
多元函数微分学是高数的一个难点，但也是数学建模和工程等领域的重要基础。
第五章无穷级数与函数项级数无穷级数与函数项级数是数学分析中的经典内容。
无穷级数的研究是对无限多个数进行求和的过程，其收敛性与发散性是重要的研究对象。
函数项级数是函数的级数展开形式，对于很多函数可以通过函数项级数展开进行研究和计算。
第六章多元函数积分学多元函数积分学是一元函数积分学的拓展，研究多元函数的积分。
它包括重积分、曲线积分和曲面积分等内容。
多元函数积分学在物理、工程等领域有广泛的应用，可以用于求解物体的体积、质量等问题。
总结《高等数学同济版教材》是一本经典的高等数学教材，对于理工科学生的数学学习具有重要的意义。
通过对教材中的内容进行详解，读者可以更好地理解和掌握高等数学的知识，为将来的学习和应用打下坚实的基础。
谈多元函数积分学的教学
谈多元函数积分学的教学
谈多元函数积分学的教学
多元函数的积分学是计算数学中的一个重要分支，它可以为常见的几何问题和微积分问题提供最有效的解决方案。
掌握了多元函数的积分学，可以使学生更好地理解各种概念，从而更加深入地探索计算数学的具体应用。
因此，掌握多元函数的积分学是计算数学教学中不可或缺的一个内容。
多元函数积分学的教学应以认知和技能的结合为目标，引导学生从理论知识的学习以及实践的实践过程中，达到系统深入理解和把握多元函数的积分学知识的能力。
首先，教师应该与学生建立合作学习的策略，首先让学生了解积分学的基本概念，然后通过练习和边讲边练的形式让学生掌握多元函数的积分学具体内容。
同时，可以利用教材中的典型例题，实施个性思维训练，加强学生的自主学习能力，帮助学生形成正确的解决问题的思维模式。
其次，将多元函数的积分学运用到实际问题中更具有实效性和实用性。
教师可以使用一些实际应用的例子，比如工程的偏微分方程的解决，激发学生的学习兴趣，使学生更加容易去掌握多元函数的积分学课程的知识点。
再次，多元函数的积分学教学中应该强调联系性，将多元函数的积分学与其他课程的知识相合并，使学生容易理解多元函数的积分学的特点，帮助学生更好地掌握多元函数的积分学知识，提高多元函数
的积分学的教学效果。
最后，多元函数的积分学教学中，应该重视实施考评，为学生设计考试题，检验学生学习能力，及时发现学生的不足，调整教学策略，促进学生的学习进步。
总之，多元函数的积分学是一门理论性较强、应用性较强的课程，在教学过程中，应多借助实际例子，加强知识的联系性，及时针对学生的特点，重视实施考评，让学生通过技能和认知的结合，熟练掌握多元函数的积分学的知识。
多元函数求积分
多元函数求积分积分是微积分的重要概念之一，用于求解函数的面积、体积、质量、重心等许多物理和几何问题。
在计算积分时，我们常常会遇到多元函数的积分问题，即在多维空间中对多个变量的函数进行积分。
本文将从基本概念、计算方法和相关参考内容三个方面介绍多元函数的积分。
一、基本概念多元函数的积分是在多维空间中对函数的求和过程，可以用于计算函数在某个区域内的总量。
对于二元函数而言，积分可以表示为∮f(x,y)dA，其中∮表示积分，f(x,y)为要积分的函数，dA表示面积元素。
对于三元函数而言，积分可以表示为∭f(x,y,z)dV，其中∭表示积分，f(x,y,z)为要积分的函数，dV表示体积元素。
多元函数的积分可以从二维空间扩展到任意多维空间。
二、计算方法1.直接计算对于简单的多元函数，可以直接计算积分。
首先需要确定积分的边界，即确定积分的区域。
然后按照积分的定义进行计算，将积分区域划分为许多小的面积元素或体积元素，并对每个元素进行积分。
最后将所有小元素的积分结果相加，即得到整个区域内函数的积分结果。
2.变量替换对于复杂的多元函数，可以通过变量替换的方法简化积分计算。
通过合适的变量替换可以将原函数化简为更简单的形式，从而方便求解积分。
通过变量替换，可以将积分区域变换到更加简单的坐标系中，使得计算变得更加容易。
3.极坐标、球坐标、柱坐标等对于涉及到圆、球、柱等几何形状的函数，可以使用极坐标、球坐标、柱坐标等坐标系进行积分计算。
这些坐标系有助于简化函数表达式和积分区域，从而提高计算效率。
三、相关参考内容1.《高等数学》（同济大学数学系编著）：该教材是国内高等院校普遍采用的教材，对多元函数的积分有详细的介绍，并提供了许多例题和习题供读者练习。
2.《数学分析教程》（李修文编著）：该教材对多元函数的积分理论和计算方法进行了深入的讲解，包括直接计算、变量替换和不同坐标系下的积分计算方法。
3.《多元函数积分学》（孔祥兴编著）：该教材从多元函数积分的基本概念入手，详细介绍了多元函数的积分理论和计算方法，并提供了大量例题和习题供读者练习。
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− r2 − y2
f ( x, y )dx
(3) ∫ dx ∫ 2 f ( x, y )dy 3.(1) ∫ dy ∫
0 1 1− y 2 − 1− y 2
f ( x, y )dx
(2) ∫ dx ∫
0
1
x+2 1− x 2
f ( x, y )dy
(3) ∫ dy ∫
0 1 0
1
2y
0 x2
f ( x, y )dx + ∫ dy ∫
f ( x, y )dy f ( x, y )dx + ∫ dy ∫
2 3 1 2− y
(2) ∫ dy ∫
0 2 0
f ( x, y )dx
(3) ∫ dx ∫x (4) ∫ dy ∫
0 4 0 1
f ( x, y )dy f ( x, y )dx
2
1+ 1− y 2 y
(5) ∫ dy ∫ (1) ∫∫
1 1− y
2.(1)3
1 0
7 13 (3) ln 2 (4) 3 6
2 1 3 1 1 0 2 y−2
3.(1) ∫ dy ∫
1
f ( x, y) dx + ∫ dy ∫ f ( x, y) dx + ∫ dy ∫ f ( x , y) dy f ( x, y) dx
f ( x, y) dx
(2) ∫ dx ∫
提示 : ∫ dx ∫1
x
x2 dy y2 (3x + 2 y )dy
提示 : ∫ dx ∫
0 2 0
2
2− x
0 y
提示 : ∫ dy ∫y ( x 2 + y 2 − x)dx
2
(4)1 − sin 1 (5)π 2 − 5.(1) 40 9
提示 : ∫ dy ∫ 2
0 y
1
y
sin y dx y
中积分区域D是 : x (1)由抛物线y 2 = x及直线y = 围成. 2 2 2 (2)圆域x + y ≤ 2 y. (3)由曲线y = ln x及直线x = e, y = 0围成. 1 (4)由直线y = x, x = 2及双曲线 y = ( x > 0)所围成的闭区域. x 2.化二重积分I = ∫∫ f ( x, y ) dσ为累次积分, 积分区域D分别为 :
D
(1)由y = 0, y = x ( x > 0)及x + y = 2围成.
2
(2)由x轴与x 2 + y 2 = r 2 ( y ≥ 0)围成. (3)由两条抛物线y = x , y = x 2围成. 3.改变下列累次积分的次序 (1) ∫ dx ∫
−1 1 1 1− x 2 0 1 1− y 2 3− x
x
2.(1) ∫ dx ∫ f ( x, y )dy + ∫ dx ∫
0 0 1
1
x3
2
2− x
0
f ( x, y )dy, ∫ dy ∫3
0 r2 − y2
1
2− y y
f ( x, y )dx
(2) ∫ dx ∫
−r 1 0 x
r
r 2 − x2
0 x
f ( x, y )dy, ∫ dy ∫
0
r
D
3．改变下列累次积分的次序
(1) ∫ dx ∫
0 1 0
1
x +2 1− x − ( x −1) 2 1 0
(2) ∫ dy ∫
0
1
1− y 2
− 1− y 2
f ( x, y)dx f ( x , y)dy
(3) ∫ dx ∫
2a
0
f ( x, y)dy + ∫ dx ∫
1− 1− x 2 ln x
f ( x, y )dy, ∫ dy ∫
0 1 e 0 e
2
2 y− y2
− 2 y− y2
f ( x, y )dx
(3) ∫ dx ∫
1 2 1
0 x
f ( x, y )dy, ∫ dy ∫ y f ( x, y )dx
1 2 2 2 2 y 1 y
(4) ∫ dx ∫1 f ( x, y )dy, ∫1 dy ∫1 f ( x, y )dx + ∫ dy ∫ f ( x, y )d
0 a a 2 −x2 0
f ( x , y)dy
y dxdy, 其中D为x 2 + y 2 = 9, x 2 + y 2 = 1和直线y = x , y = 0 x
5. 计算二重积分 ∫∫ arctan
D
所围成的第一象限部分的区域.
同步练习参考答案
一. 解答题
1. (1)
7π 12
(2)2 (2)4a
0
π
a
1
f (r cos θ, r sin θ) r dr
π
5.
3 π2 y . 提示 : ∫∫ arctan dxdy = ∫ 4 dθ∫ θ ⋅ r dr 0 1 8 x D
本章总复习题
1.化二重积分I = ∫∫ f ( x, y ) dσ (分别列出对两个变量先后次序不同的二次积分), 其
D
2 ay − y 2
f ( x , y)dy
(4) ∫ dx ∫
1
e
ln x
0
1．把下列积分化成极坐标累次积分形式
(1) ∫ dy ∫
0 D 0
f ( x 2 + y 2 )dx
(2) ∫∫ f ( x , y) dxdy, 其中D为圆环 : 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 (3) ∫ dx ∫
1 2 1
3
3− y
0
f ( x, y )dx f ( x, y )dy
(4) ∫ dx ∫ f ( x, y )dy + ∫ dx ∫
0
1− ( x −1) 2
0
(5) ∫ dx ∫
−2
0
− x2 +4
2 x+4
f ( x, y )dy
2 x 1
9 4.(1) 4 20 (2) 3 13 (3) 6
sin x
提示 : ∫ dx ∫
0
2
π
0
( x 2 − y 2 )dy
a
2
π
4 4 R3 (2) (π − ) 3 3 6.(1) ∫ 2π dθ ∫
− 2
(1 − e − a )
提示 : ∫ 2 dθ ∫ e −r ⋅ rdr
0 0
π
提示 : 2∫ 2 dθ ∫
0
π
R cos θ
0
R 2 − r 2 dr
D D
y −4 2 − 4− y
f ( x, y )dx
4.计算下列二重积分 x2 dxdy, D由x = 2, y = x, xy = 1围成 y2
(2) ∫∫ (3x + 2 y )dxdy, D由x, y轴及x + y = 2围成. (3) ∫∫ ( x 2 + y 2 − x)dxdy, D由y = x, y = 2 x, y = 2围成.
π
2 a cos θ
0
f (r cos θ , r sin θ )rdr
(2) ∫ 2 dθ ∫
0
π
R
0
f (r cos θ , r sin θ )rdr f (r 2 )rdr
(3) ∫ 2 dθ ∫
0
π
2 a sin θ
0
−1
1
1− x 2
0
(3) ∫ dy ∫
0 1 0
1+ 1− y 2 y e
(4) ∫ dy ∫ y f ( x, y) dx
e
4.(1) ∫ dθ∫ (2) ∫
2π 0
π 2 0
2 a sin θ
0 2
f (r 2 ) r dr
dθ∫ f (r cos θ, r sin θ) r dr
1
(3) ∫ 2 dθ∫
D
(4) ∫∫
D D
sin y dxdy, D由y = x, y 2 = x围成. y
(5) ∫∫ ( x 2 − y 2 )dxdy, D是闭区域 : 0 ≤ y ≤ sin x,0 ≤ x ≤ π . 5.利用极坐标计算下列二重积分 (1) ∫∫ e −( x
D
2
+ y2 )
dxdy, D由x 2 + y 2 ≤ a 2 , x ≥ 0, y ≥ 0围成.
(1) ∫∫ 2xy dxdy, D由直线y = 2, y = x及y = 2x围成.
D
(2) ∫∫
D
1 ax − x
2
dxdy, D由y轴及曲线y 2 = a 2 − ax围成.
(3) ∫∫ x 2 y 2 dxdy, D由曲线xy = 1, xy = 2及直线y = x, y = 4x围成.
D
(4) ∫∫ ( x 2 + y 2 − x ) dxdy, D由直线y = 2, y = x及y = 2x所围成.
0
f ( x, y )dy. f ( x 2 + y 2 )dy.
(3) ∫ dy ∫
2 ay − y 2
0
本章总复习题参考答案
1.(1) ∫ dx ∫x f ( x, y )dy, ∫ dy ∫ 2 f ( x, y )dx
0 2 0 y 4 x 2 2y
(2) ∫ dx ∫
−1 e
1
1+ 1− x 2
第六章
多元函数积分学
同步练习
一、解答题 1．计算下列二重积分 (1) ∫∫