2017年北京市朝阳区高三第一学期期中数学(理)试题及答案

DCBA北京市朝阳区2016-2017学年度高三年级第一学期统一考试数学试卷（理工类）2016．11（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U=R，集合{}2|20A x x x=-<，{}|10B x x=-≥，则()UA B=A．{}|01x x<<B．{}|0x x<C．{}|2x x>D．{}|12x x<<2．下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在(0)+∞，上单调递减的是A．2y x=B．1y x=+C．lg||y x=-D．2xy=-3．若 2.1log0.6a=，0.62.1b=，0.5log0.6c=，则a，b，c的大小关系是A．a b c>>B．b c a>>C．c b a>>D．b a c>>4．已知函数2()f x ax x=-，若对任意12,[2,)x x∈+∞，且12x x≠，不等式1212()()f x f xx x->-恒成立，则实数a的取值范围是A．1(,)2+∞B．1[,)2+∞C．1(,)4+∞D．1[,)4+∞5．设Rm∈且0m≠，“不等式4+4mm>”成立的一个充分不必要条件是A．0m>B．1m>C．2m>D．2m≥6．已知三角形ABC外接圆O的半径为1（O为圆心），且2OA AB AC++=0，||2||OA AB=，则CA BC⋅等于A．154-B．2-C．154D．27．已知函数21,0,()log,0,x xf xx x+≤⎧=⎨>⎩则函数1()(())2g x f f x=-的零点个数是A．4 B．3 C．2D．18. 5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是A．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．已知平面向量(1,2),(2,)y==-a b.若a//b，则y=. 10．函数22()cos sinf x x x=-的单调递减区间为.11．各项均为正数的等比数列{}n a的前n项和为n S.若23=a，245SS=，则1a=，4S=．12．已知角A为三角形的一个内角，且3cos5A=，则tan A=，tan()4Aπ+=.13．已知函数221,0,()(1)2,0xmx xf xm x⎧+≥=⎨-<⎩在(,)-∞+∞上是具有单调性，则实数m的取值范围.14．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题:“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第天，两马相逢．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）已知数列{}()Nna n*∈是公差不为0的等差数列，11a=，且248111,,a a a成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a的通项公式；（Ⅱ）设数列11{}n na a+⋅的前n项和为nT，求证:1nT<.16．（本小题满分13分）已知函数()sinf x a x x=（a∈R）的图象经过点(,0)3π.（Ⅰ）求()f x的最小正周期；（Ⅱ）若3[,]22xππ∈，求()f x的取值范围.17．（本小题满分13分）如图，已知,,,A B C D 四点共面，=1CD ,2BC =,4AB =, 120ABC ∠=,cos BDC ∠=（Ⅰ）求sin DBC ∠的值；（Ⅱ）求AD 的长.18． （本小题满分13分）已知函数2()cos 4x f x ax x=-+()R a ∈，ππ[,]22x ∈-．（Ⅰ）若函数()f x 是偶函数，试求a 的值；（Ⅱ）当0a >时，求证：函数()f x 在π(0,)2上单调递减.19．（本小题满分14分）已知函数2()e ()x f x x a =-，a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）若函数()f x 在(3,0)-上单调递减，试求a 的取值范围；（Ⅲ）若函数()f x 的最小值为2e -，试求a 的值． 20．（本小题满分14分）设b a ,是正奇数，数列}{n c （n *∈N ）定义如下：b c a c ==21,，对任意3≥n ，n c 是21--+n n c c 的最大奇约数．数列}{n c 中的所有项构成集合A ．（Ⅰ）若15,9==b a ，写出集合A ； （Ⅱ）对1≥k ，令221=max {,}k k k d c c -(max{,}p q 表示,p q 中的较大值），求证：k k d d ≤+1；（Ⅲ）证明集合A 是有限集，并写出集合A 中的最小数．北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期高三年级统一考试数学答案（理工类） 2016．1115．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ．因为248111,,a a a 成等比数列，所以2428111()a a a =⋅．即2111111()37a d a d a d=⋅+++ ．化简得2111(3)()(7)a d a d a d +=+⋅+，即21d a d =．又11a =，且0d ≠，解得1d =．所以有1(1)n a a n d n =+-=．……7分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：11111(1)1n n a a n n n n +==-⋅⋅++．所以11111111122311n T n n n =-+-++-=-<++ ． 因此，1n T <． …………………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()sin f x a x x =的图象经过点(,0)3π，所以 ()0.3f π=-= 解得 1a =．……3分所以()sin 2sin()3f x x xx π==-．所以()f x 最小正周期为2π．………………6分 （Ⅱ）因为322x ππ≤≤，所以7.636x πππ≤-≤ 所以当32x ππ-=，即56x π=时，()f x 取得最大值，最大值是2；当736x ππ-=，即32x π=时，()f x取得最小值，最小值是 1.- 所以()f x 的取值范围是[1,2]-．…………………13分17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△BDC中，因为cos BDC ∠=，所以sin BDC ∠==sin sin DC BC DBC BDC ∠∠得，sin sin =DC BDC DBC BC ⋅∠∠=．…………5分 （Ⅱ）在△BDC 中，由2222cos BC DC DB DC DB BDC =+-⋅⋅∠得，2412DB DB =+-⋅． 所以230DB DB -=． 解得DB =DB =（舍）．又因为cos =cos 120ABD DBC （）∠-∠1=cos120cos sin120sin =2DBC DBC ⋅∠+⋅∠-+-．在△ABD 中，因为222=2cos =16724(27AD AB BD AB BD ABD +-⋅⋅∠+-⨯=，所以AD =13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()f x 是偶函数，所以22()()()cos()cos 44x x f x a x x ax x --=--+-=++2()cos 4x f x ax x ==-+恒成立．所以0a =．………………4分（Ⅱ）由题意可知()sin 2x f x x a '=--．设()sin 2x g x x a =--，则1()cos 2g x x '=-．注意到π(0,)2x ∈，0a >．由()0g x '<，即1cos 02x -<，解得π03x <<．由()0g x '>，即1cos 02x ->，解得ππ32x <<．所以()g x 在π(0,)3单调递减，ππ(,)32单调递增．所以当π(0,)3x ∈，()(0)00g x g a <=-<，所以()f x 在π(0,)3x ∈单调递减，当ππ(,)32x ∈，ππ()()1024g x g a <=--<，所以()f x 在ππ(,)32x ∈单调递减，所以当0a >时，函数()f x 在π(0,)2上单调递减.……………………13分19．（本小题满分14分）解：由题意可知2()e (2)x f x x x a '=+-．（Ⅰ）因为1a =，则(0)1f =-，(0)1f '=-，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为(1)(0)y x --=--． 即10x y ++=．…………………3分（Ⅱ）因为函数()f x 在(3,0)-上单调递减，所以当(3,0)x ∈-时，2()e (2)0x f x x x a '=+-≤恒成立．即当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立．显然，当(3,1)x ∈--时，函数2()2g x x x a =+-单调递减，当(1,0)x ∈-时，函数2()2g x x x a =+-单调递增．所以要使得“当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立”，等价于(3)0,(0)0.g g -≤⎧⎨≤⎩即3,0.a a ≥⎧⎨≥⎩所以3a ≥．…………………8分（Ⅲ）设2()2g x x x a =+-，则44a ∆=+．①当440a ∆=+≤，即1a ≤-时，()0g x ≥，所以()0f x '≥．所以函数()f x 在(,)-∞+∞单增，所以函数()f x 没有最小值．②当440a ∆=+>，即1a >-时，令2()e (2)0x f x x x a '=+-=得220x x a +-=，解得11x x =-=-x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：当x所以2()e ()0x f x x a =->.又因为函数()f x 的最小值为2e<0-，所以函数()f x 的最小值只能在21x =-处取得.所以121(1e 1]2e 2e f a ---=--==-.所以1e 1)e -=.11=.解得3a =．…………………………………14分以下证明解的唯一性，仅供参考： 设1()e g a -=因为0a >，所以0->，10<．设0x =->，则1x -=-设()e x h x x =-，则()e (1)xh x x '=-+.当0x >时，()0h x '<，从而易知()g a 为减函数.当(0,3)a ∈，()0g a >；当(3,)a ∈+∞，()0g a <．所以方程1e 1)e -=只有唯一解3a =．20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）数列}{n c 为：9，15，3，9，3，3，3，……． 故集合}3,15,9{=A ．……………3分 （Ⅱ）证明：由题设，对3≥n ，2-n c ，1-n c 都是奇数，所以21--+n n c c 是偶数．从而21--+n n c c 的最大奇约数221--+≤n n n c c c ，所以},m ax {21--≤n n n c c c ，当且仅当21--=n n c c 时等号成立．所以，对1≥k 有k k k k d c c c =≤-+},m ax {12212，且k k k k k k d d d c c c =≤≤++},m ax {},m ax {21222．所以k k k k d c c d ≤=+++},m ax {12221，当且仅当122-=k k c c 时等号成立．…9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当3≥n 时，有},m ax {21--≤n n n c c c ．所以对3≥n ，有{}{}12max max n c c c a b ,,≤=． 又n c 是正奇数，且不超过max {,}a b 的正奇数是有限的，所以数列}{n c 中的不同项是有限的．所以集合A 是有限集．集合A 中的最小数是b a ,的最大公约数．……………14分。