人教A版高中数学必修五同步练测：23 等差数列的前n项和(含答案解析).doc
高中数学必修5(人教A版)第二章数列2.3知识点总结含同步练习及答案
{ a = 7, 或 { a = 7, d = 4, d = −4.
因为数列{an }为单调递增的数列，所以 d > 0．因此
{ a = 7, d = 4.
所以
an = 4n − 1.
在等差数列{an }中，前 n 项和为 S n ： （1）a2 = 1 ，a4 = 5 ，求数列{an }的前 5 项和 S 5 ； （2）S 5 = 25，a8 = 15 ，求 a21 ． 解：（1）因为 {an }为等差数列，所以 a2 + a4 = 2a3 = 6 ，即 a3 = 3 ．所以
S5 =
（2）设首项为 a1 ，公差为 d ，则
5(a1 + a5 ) 5 × 2a3 = = 15. 2 2
5×4 ⎧ d = 25, S 5 = 5a1 + ⎨ 2 ⎩ a8 = a1 + 7d = 15. { a1 = 1, d = 2.
解方程组，得
所以a21 = a1 + 20d = 41 ． 在等差数列 {an } 中，a1 = 25 ，S 17 = S 9 ，求前 n 项 和 S n 的最大值． 解：因为 a1 = 25 ，S 17 = S 9 ，所以
四、课后作业
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1. 在等差数列 {an } 中，已知 a5 + a7 = 10，S n 是数列 {an } 的前 n 项和，则 S 11 = ( A．45
答案： C 解析：
)
B．50
C．55
D．60
S 11 =
10 a1 + a11 a + a7 × 11 = 5 × 11 = × 11 = 55. 2 2 2 )
25 × 17 +
人教A版高中数学必修五2.3《等差数列前n项和》作业.docx
2.3《等差数列前n 项和》作业（第一课时）1、等差数列Λ,4,1,2-的前n 项和为 （ ） A. ()4321-n n B. ()7321-n n C. ()4321+n n D. ()7321+n n2、已知等差数列{}n a 满足099321=++++a a a a Λ，则 （ ）A. 0991>+a aB. 0991<+a aC. 0991=+a aD. 5050=a3、在等差数列{}n a 中，已知1254=+a a ，那么它的前8项之和8S 等于 （ ）A. 12B. 24C. 36D. 484、设{}n a 是公差为2的等差数列，若5097741=++++a a a a Λ，则99963a a a a ++++Λ的值为 （ ）A. 78B. 82C. 148D. 1825、在等差数列{}n a 中，35,2,11===n n S d a ，则1a 等于 （ ）A. 5或7B. 3或5C. 7或1-D. 3或1-6、设数列{}n a 是递增的等差数列，前三项之和为12，前三项的积为48，则它的首项是（）A. 1B. 2C. 4D. 87、一个三角形的三个内角C B A ,,的度数成等差数列，则B 的度数为 （ ）A. ο30B. ο45C. ο60D. ο908、等差数列{}n a 中，162,16,1041===n S a a ，则n 等于 （ ）A. 11B. 9C. 9或18D. 189、数列{}n a 是等差数列，它的前n 项和可以表示为 （ ）A. C Bn An S n ++=2B. Bn An S n +=2C. C Bn An S n ++=2()0≠aD. Bn An S n +=2()0≠a10、=+++++1008642Λ 。
11、等差数列{}n a 中，1011=a ，则=21S 。
12、等差数列{}n a 中，4,184==S S ，则=+++20191817a a a a 。
人教a版必修5学案：2.3等差数列的前n项和(含答案)
§2.3 等差数列的前n 项和材拓展1．等差数列的判定(1)a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)⇔{a n }是公差为d 的等差数列； (2)2a n ＝a n －1＋a n ＋1 (n ≥2)⇔{a n }是等差数列；(3)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数)⇔{a n }是公差为k 的等差数列(n ≥1)；(4)S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是公差为2A 的等差数列(n ≥1)．例如：已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝(n －1)2＋λ，则λ的值是________． 解析 S n ＝(n －1)2＋λ＝n 2－2n ＋(1＋λ)， ∵{a n }是等差数列， ∴1＋λ＝0，λ＝－1. 答案 －12．等差数列的通项公式将a n ＝a 1＋(n －1)d 可整理为a n ＝dn ＋(a 1－d )，它是关于n 的一次函数(d ≠0)或常函数(d ＝0)，它的图象是一条射线上的一群横坐标为正整数的孤立的点，公差d 是该射线所在直线的斜率．例如：等差数列{a n }中，若a n ＝m ，a m ＝n (m ≠n )，则a m ＋n ＝______. 解析 由点(n ，a n )，(m ，a m )，(m ＋n ，a m ＋n )三点共线， ∴a m ＋n －a n (m ＋n )－n ＝a m －a n m －n .即a m ＋n －m m ＝n －m m －n ＝－1， 易得a m ＋n ＝0. 答案 03．等差数列的前n 项和公式(1)将公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d 变形可得S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n .故当d ≠0时，等差数列前n 项和公式是关于n 的二次函数，它的图象是抛物线y ＝d 2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 上横坐标为正整数的一群孤立点．(2)S n n ＝d 2n ＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2是关于n 的一次函数(d ≠0)或常函数(d ＝0)． 当涉及等差数列前n 项和S n 的计算问题时，有时设S n ＝An 2＋Bn 的形式更简便快捷． 例如：等差数列{a n }中，若S p ＝q ，S q ＝p (p ≠q )，则S p ＋q ＝__________. 解析 设S n ＝An 2＋Bn ，则⎩⎪⎨⎪⎧S p ＝Ap 2＋Bp ＝q (1)S q ＝Aq 2＋Bq ＝p (2) 由(1)－(2)得Ap 2＋Bp －Aq 2－Bq ＝q －p ， ∴A (p 2－q 2)＋B (p －q )＝q －p ， ∵p ≠q ，∴A (p ＋q )＋B ＝－1.∵S p ＋q ＝A (p ＋q )2＋B (p ＋q ) ＝[A (p ＋q )＋B ]·(p ＋q ) ＝－(p ＋q )． 答案 －(p ＋q ) 4．等差数列的性质(1)若数列{a n }和{b n }均是等差数列，则{ma n ＋kb n }仍为等差数列，其中m 、k 均为常数． (2)若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .(3)等差数列中依次k 项的和成等差数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列，公差为k 2d (d 是原数列公差)．(4)若{a n }与{b n }均为等差数列，且前n 项和分别为S n 与S ′n ，则am b m ＝S 2m －1S ′2m －1.(5)等差数列{a n }中，奇数项的和记作S 奇，偶数项的和记作S 偶，则S n ＝S 奇＋S 偶．当n 为偶数时：S 偶－S 奇＝n2d ；当n 为奇数时：S 奇－S 偶＝a 中，S 奇＝n ＋12a 中，S 偶＝n －12a 中，S 奇S 偶＝n ＋1n －1.(其中a 中是等差数列的中间一项)例如：已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是________．解析 S 偶－S 奇＝n2d ＝5d ，∴5d ＝30－15＝15，∴d ＝3. 答案 35．等差数列前n 项和的最值求等差数列前n 项和的最值的常用方法： (1)通项法当a 1>0，d <0时，数列{a n }只有前面有限项为非负数，从某项开始所有项均为负数，因此，S n 有最大值，当n 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0a n ＋1<0时，S n 取到这个最大值；当a 1<0，d >0时，数列{a n }只有前面有限项为非正数，从某项开始所有项均为正数，因此，S n 有最小值，当n 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n ＋1>0时，S n 取到这一最小值．(2)二次函数法由于S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，n ∈N *是关于n 的二次函数式，故可转化为求二次函数的最值问题，但要注意数列的特殊性n ∈N *.例如：{a n }是等差数列，a 1>0，a 2 009＋a 2 010>0，a 2 009·a 2 010<0，则使前n 项和S n 最大时，n 的值是________；使前n 项和S n >0成立时，n 的最大值是________．答案 2 009 4 018法突破一、等差数列的判断方法方法链接：判定等差数列的常用方法： (1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)；(2)通项公式法：a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数) (n ∈N *)； (3)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)；(4)前n 项和法：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)，n ∈N *.例1 数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝n (a 1＋a n )2，判断{a n }是否为等差数列？并证明你的结论．解 {a n }是等差数列，证明如下： 因为a n ＝S n －S n －1＝n (a 1＋a n )2－(n －1)(a 1＋a n －1)2(n ≥2)，所以a n ＋1＝(n ＋1)(a 1＋a n ＋1)2－n (a 1＋a n )2，所以a n ＋1－a n ＝12[(n ＋1)(a 1＋a n ＋1)－2n (a 1＋a n )＋(n －1)(a 1＋a n －1)]＝12[(n ＋1)a n ＋1－2na n ＋(n －1)a n －1] (n ≥2)， 即(n －1)(a n ＋1－2a n ＋a n －1)＝0， 所以a n ＋1＋a n －1＝2a n (n ≥2)， 所以数列{a n }为等差数列． 二、等差数列中基本量的运算方法链接：在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中a 1和d 是两个基本量，利用通项公式与前n 项和公式，求出a 1和d ，等差数列就确定了．例2 在等差数列{a n }中，(1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8；(2)已知前3项和为12，前3项积为48，且d >0，求a 1； (3)已知前3项依次为a,4,3a ，前k 项和S k ＝2 550，求a 及k .解 (1)∵a 6＝10，S 5＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝105a 1＋10d ＝5.解方程组得a 1＝－5，d ＝3，∴a 8＝a 6＋2d ＝10＋2×3＝16，S 8＝8×(a 1＋a 8)2＝44.(2)设数列的前三项分别为a －d ，a ，a ＋d ，依题意有： ⎩⎪⎨⎪⎧(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝12(a －d )·a ·(a ＋d )＝48， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4a (a 2－d 2)＝48，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4d ＝±2. ∵d >0，∴d ＝2，a －d ＝2.∴a 1＝2. (3)设公差为d ，则由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3a ＝8，d ＝4－a ，ka ＋k (k －1)2d ＝2 550，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，d ＝2，k ＝50或k ＝－51(舍去).因此，a ＝2，k ＝50.三、等差数列的性质及运用方法链接：等差数列有一些重要的性质，例如： (1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； (2)若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p ；(3)若{a n }是等差数列，则S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 也成等差数列．(其S k 为前k 项和)(4)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等差数列{b n }的前n 项和为T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.熟练运用这些性质，可以提高解题速度，获得事半功倍的功效．例3 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝72，求a 2＋a 4＋a 9的值； (2)已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，求证：①a n b n ＝S 2n －1T 2n －1；②a n b m ＝2m －12n －1·S 2n －1T 2m －1.(1)解 由S 9＝9(a 1＋a 9)2＝72，∴a 1＋a 9＝16，∴a 1＋a 9＝2a 5＝16，∴a 5＝8，∴a 2＋a 4＋a 9＝a 1＋a 5＋a 9＝3a 5＝24.(2)证明 ①a n b n ＝2a n 2b n ＝a 1＋a 2n －1b 1＋b 2n －1＝(a 1＋a 2n －1)2n －12(b 1＋b 2n －1)2n －12＝S 2n －1T 2n －1.②a n b m ＝2a n 2b m ＝a 1＋a 2n －1b 1＋b 2m －1＝(a 1＋a 2n －1)2n －12·2m －12(b 1＋b 2m －1)2m －12·2n －12＝2m －12n －1·S 2n －1T 2m －1. 四、等差数列前n 项和的最值 方法链接：等差数列前n 项和最值问题除了用二次函数求解外，还可用下面的方法讨论：若d >0，a 1<0，S n 有最小值，需⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0；若a 1>0，d <0，S n 有最大值，需⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0.n 取正整数．例4 (1)首项为正数的等差数列，前n 项和为S n ，且S 3＝S 11，问n 为何值时，S n 最大？(2)等差数列{a n }中，a 1＝－60，a 17＝－12，求{|a n |}的前30项和及前n 项和．解 (1)设首项为a 1，公差为d ，则由题意知，d <0，点P (n ，S n )在抛物线y ＝d 2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 上，其对称轴方程为x ＝7(由S 11＝S 3知)，故(7，S 7)是抛物线的顶点，∴n ＝7时，S n 最大．(2)设公差为d ，则由a 1＋16d ＝a 17，得d ＝3>0，因此a n ＝3n －63.点Q (n ，a n )在增函数y ＝3x －63的图象上．令y ＝0则得x ＝21，故当n ≥22时，a n >0；当1≤n ≤21且n ∈N *时，a n ≤0， 于是|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 30|＝－a 1－a 2－…－a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 30 ＝a 1＋a 2＋…＋a 30－2(a 1＋a 2＋…＋a 21) ＝765.记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |， 则由上面的求解过程知：当1≤n ≤21，n ∈N *时， T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝－a 1－a 2－…－a n ＝(123－3n )n 2＝－32n 2＋1232n .当n >21，n ∈N *时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 20|＋|a 21|＋…＋|a n | ＝－(a 1＋a 2＋…＋a 21)＋a 22＋a 23＋…＋a n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )－2(a 1＋a 2＋…＋a 21) ＝32n 2－1232n ＋1 260. ∴数列{|a n |}的前n 项和T n ＝⎩⎨⎧－32n 2＋1232n (1≤n ≤21，n ∈N *)，32n 2－1232n ＋1 260 (n >21，n ∈N *).五、关于等差数列的探索性问题方法链接：对于与等差数列有关的探索性问题，先由前三项成等差数列确定参数后，再利用定义验证或证明所得结论．例5 已知数列{a n }中，a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n －1 (n ≥2且n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值；(2)是否存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)∵a 1＝5，∴a 2＝2a 1＋22－1＝13， a 3＝2a 2＋23－1＝33.(2)假设存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列．则a 1＋λ2，a 2＋λ22，a 3＋λ23成等差数列，∴2×a 2＋λ22＝a 1＋λ2＋a 3＋λ23，∴13＋λ2＝5＋λ2＋33＋λ8.解得λ＝－1.当λ＝－1时，⎝⎛⎭⎫a n ＋1－12n ＋1－⎝⎛⎭⎫a n －12n＝12n ＋1[(a n ＋1－1)－2(a n －1)] ＝12n ＋1(a n ＋1－2a n ＋1) ＝12n ＋1[(2a n ＋2n ＋1－1)－2a n ＋1] ＝12n ＋1×2n ＋1＝1. 综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2为等差数列，且首项是2，公差是1. 六、关于等差数列的创新型问题方法链接：关于等差数列的创新型试题，常以图表、数阵、新定义等形式出现．解决此类问题时通过对图表的观察、分析、提炼，挖掘出题目蕴含的有用信息，利用所学等差数列的有关知识加以解决．例6 下表给出一个“等差数阵”： 4 7 ( ) ( ) ( ) … a 1j … 7 12 ( ) ( ) ( ) … a 2j … ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) … a 3j … ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) … a 4j …… … … … … … … …a i 1 a i 2 a i 3 a i 4 a i 5 … a ij… … … … … … … … … 其中每行、每列都是等差数列，a ij 表示位于第i 行第j 列的数． (1)写出a 45的值；(2)写出a ij 的计算公式．解 (1)通过观察“等差数阵”发现：第一行的首项为4，公差为3；第二行首项为7，公差为5.归纳总结出：第一列(每行的首项)是以4为首项，3为公差的等差数列，即3i ＋1，各行的公差是以3为首项，2为公差的等差数列，即2i ＋1.所以a 45在第4行，首项应为13，公差为9，进而得出a 45＝49.(2)该“等差数阵”的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a 1j ＝4＋3(j －1)； 第二行是首项为7，公差为5的等差数列： a 2j ＝7＋5(j －1)； ……第i 行是首项为4＋3(i －1)，公差为2i ＋1的等差数列，因此，a ij ＝4＋3(i －1)＋(2i ＋1)(j －1)＝2ij ＋i ＋j ＝i (2j ＋1)＋j .区突破1．审题不细心，忽略细节而致错例1 首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，求公差d 的取值范围．[错解] a 10＝a 1＋9d ＝－24＋9d >0，∴d >83.[点拨] 忽略了“开始”一词的含义，题目强调了第10项是该等差数列中的第一个正项，应有a 9≤0.[正解] 设a n ＝－24＋(n －1)d ， 由⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋(9－1)d ≤0a 10＝－24＋(10－1)d >0， 解不等式得：83<d ≤3.温馨点评 审题时要细心，包括问题的细节，有时细节决定解题的成败.2．忽略公式的基本特征而致错例2 已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且对一切正整数n 都有S n T n ＝5n ＋32n ＋7，试求a 9b 9的值． [错解] 设S n ＝(5n ＋3)k ，T n ＝(2n ＋7)k ，k ≠0， 则a 9＝S 9－S 8＝(5×9＋3)k －(5×8＋3)k ＝5k ， b 9＝T 9－T 8＝(2×9＋7)k －(2×8＋7)k ＝2k ，所以a 9b 9＝52.[点拨] 此解答错在根据条件S n T n ＝5n ＋32n ＋7，设S n ＝(5n ＋3)k ，T n ＝(2n ＋7)k ，这是把等差数列前n 项和误认为是关于n 的一次函数，没有准确把握前n 项和公式的特点．[正解] 因为{a n }和{b n }是公差不为0的等差数列， 故设S n ＝n (5n ＋3)k ，T n ＝n (2n ＋7)k ，k ≠0，则a 9＝S 9－S 8＝9×(5×9＋3)k －8×(5×8＋3)k ＝88k ，b 9＝T 9－T 8＝9×(2×9＋7)k －8×(2×8＋7)k ＝41k ，所以a 9b 9＝8841.温馨点评等差数列的前n 项和S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，当d ≠0时，是关于n 的二次函数式，且常数项为零，当d ＝0时，S n ＝na 1，但是本题不属于这种情况(否则S n T n ＝na 1nb 1＝a 1b 1与S n T n ＝5n ＋32n ＋7矛盾)．3．对数列的特点考虑不周全而致错例3 在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 有最大值，并求出它的最大值．[错解] 设公差为d ， ∵S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，得120d ＝－200，即d ＝－53，∴a n ＝20－(n －1)·53，当a n >0时，20－(n －1)·53>0，∴n <13.∴n ＝12时，S n 最大，S 12＝12×20＋12×112×⎝⎛⎭⎫－53＝130.∴当n ＝12时，S n 有最大值S 12＝130.[点拨] 解中仅解不等式a n >0是不正确的，事实上应解a n ≥0，a n ＋1≤0.[正解] 由a 1＝20，S 10＝S 15，解得公差d ＝－53.∵S 10＝S 15，∴S 15－S 10＝a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0， ∵a 11＋a 15＝a 12＋a 14＝2a 13＝0，∴a 13＝0. ∵公差d <0，a 1>0，∴a 1，a 2，…，a 11，a 12均为正数， 而a 14及以后各项均为负数．∴当n ＝12或13时，S n 有最大值为S 12＝S 13＝130.4．忽略题目中的隐含条件而致错例4 一个凸n 边形的各内角度数成等差数列，其最小角为120°，公差为5°，求凸n 边形的边数．[错解] 一方面凸n 边形的内角和为S n ，S n ＝120°n ＋n (n －1)2×5°.另一方面，凸n 边形内角和为(n －2)×180°.所以120n ＋n (n －1)2×5＝(n －2)×180.化简整理得：n 2－25n ＋144＝0. 所以n ＝9或n ＝16.即凸n 边形的边数为9或16.[点拨] 凸n 边形的每个内角都小于180°.当n ＝16时，最大内角为120°＋15°×5°＝195°>180°应该舍掉．[正解] 凸n 边形内角和为(n －2)×180°，所以120n ＋n (n －1)2×5＝(n －2)×180，解得：n ＝9或n ＝16.当n ＝9时，最大内角为120°＋8°×5°＝160°<180°； 当n ＝16时，最大内角为120°＋15×5°＝195°>180°舍去． 所以凸n 边形的边数为9.题多解例 一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和． 分析 本题可从基本方法入手，先求a 1，d ，再求前110项之和，为了简化计算，也可利用等差数列前n 项和的性质．解 方法一 设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由已知得⎩⎨⎧10a 1＋10×92d ＝100， ①100a 1＋100×992d ＝10. ②①×10－②整理得d ＝－1150，代入①，得a 1＝1 099100，∴S 110＝110a 1＋110×1092d＝110×1 099100＋110×1092×⎝⎛⎭⎫－1150＝110⎝⎛⎭⎫1 099－109×11100 ＝－110.故此数列的前110项之和为－110. 方法二 设S n ＝an 2＋bn . ∵S 10＝100，S 100＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧102a ＋10b ＝100，1002a ＋100b ＝10， 解得⎩⎨⎧a ＝－11100，b ＝11110.∴S n ＝－11100n 2＋11110n .∴S 110＝－11100×1102＋11110×110＝－110.方法三 设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎨⎧S p ＝pa 1＋p (p －1)2d ＝q ， ①(p ≠q )S q＝qa 1＋q (q －1)2d ＝p . ②①－②得(p －q )a 1＋(p －q )(p ＋q －1)2d＝－(p －q )． 又p ≠q ，∴a 1＋p ＋q －12d ＝－1，∴S p ＋q ＝(p ＋q )a 1＋(p ＋q )(p ＋q －1)2d＝(p ＋q )(－1)， ∴S 110＝－110.方法四 数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100 成等差数列，设其公差为D .前10项的和10S 10＋10×92·D ＝S 100＝10，解得D ＝－22，∴S 110－S 100＝S 10＋(11－1)D ＝100＋10×(－22)＝－120. ∴S 110＝－120＋S 100＝－110.方法五 ∵S 100－S 10＝a 11＋a 12＋…＋a 100 ＝90(a 11＋a 100)2＝90(a 1＋a 110)2.又S 100－S 10＝10－100＝－90， ∴a 1＋a 110＝－2.∴S 110＝110(a 1＋a 110)2＝－110.题赏析1．(2009·全国Ⅱ)已知等差数列{a n }中，a 3a 7＝－16，a 4＋a 6＝0，求{a n }的前n 项和S n . 解 设{a n }的公差为d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋2d )(a 1＋6d )＝－16，a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧a 21＋8da 1＋12d 2＝－16，a 1＝－4d ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－2.因此S n ＝－8n ＋n (n －1)＝n (n －9)， 或S n ＝8n －n (n －1)＝－n (n －9)．2．(2009·江苏)设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，满足a 22＋a 23＝a 24＋a 25，S 7＝7.(1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)试求所有的正整数m ，使得a m a m ＋1a m ＋2为数列{a n }中的项．解 (1)由题意，设等差数列{a n }的通项公式为 a n ＝a 1＋(n －1)d ，d ≠0.由a 22＋a 23＝a 24＋a 25得a 22－a 25＝a 24－a 23，由性质得－3d (a 4＋a 3)＝d (a 4＋a 3)，因为d ≠0 所以a 4＋a 3＝0，即2a 1＋5d ＝0.① 又因为S 7＝7，所以a 1＋3d ＝1.② 由①②可得a 1＝－5，d ＝2.所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n －7，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 2－6n .(2)因为a m a m ＋1a m ＋2＝(a m ＋2－4)(a m ＋2－2)a m ＋2＝a m ＋2－6＋8a m ＋2为数列{a n }中的项，故8a m ＋2为整数．又由(1)知a m ＋2为奇数， 所以a m ＋2＝2m －3＝±1，即m ＝1,2. 经检验，符合题意的正整数只有m ＝2. 赏析 试题考查了等差数列的有关知识，起点较低，落点较高，难度控制得恰到好处．第(2)问要求考生有一定的分析问题解决问题的能力．。
人教A版高中数学必修五2.3 等差数列的前n项和练习.docx
2.3 等差数列的前n 项和练习一.选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把它选出来填在题后的括号内.1.等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a +=（ ）A. 12B. 24C. 36D. 482.从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和，其差为（ ）A. 0B. 90C. 180D. 3603.已知等差数列{}n a ，219n a n =-，那么这个数列的前n 项和n s （ ）A.有最小值且是整数B. 有最小值且是分数C. 有最大值且是整数D. 有最大值且是分数4.等差数列{}n a 的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m 项的和为( )A. 130B. 170C. 210D. 2605.在等差数列{}n a 和{}n b 中，125a =，175b =，100100100a b +=，则数列{}n n a b +的前100项和为（ ）A. 0B. 100C. 1000D. 100006.若关于x 的方程20x x a -+=和20x x b -+=()a b ≠的四个根组成首项为14的等差数列，则a b +=（ ） A. 38 B. 1124 C. 1324 D. 3172二.填空题：本大题共4小题，每小题 4分，共16分，把正确答案写在题中横线上.7.等差数列{}n a 中，若638a a a =+，则9s = .8.等差数列{}n a 中，若232n S n n =+，则公差d = .9.在小于100的正整数中，被3除余2的数的和是 .10.若两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且满足733n n S n T n +=+，则88a b = . 【整合提高】三.解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤，11.在等差数列{}n a 中，40.8a =，11 2.2a =，求515280a a a +++L .12.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知312a =，12S >0，13S <0，①求公差d 的取值范围；②1212,,,S S S L 中哪一个值最大？并说明理由.参考答案：1.B2.C3.A4.C5.D6.D7.08.69.1650 10.611.∵40.8a =，11 2.2a =,∴由1147a a d =+得0.2d =,∴51114010.2a a d =+= ∴5152805130293029303010.20.239322a a a a d ⨯⨯+++=+=⨯+⨯=L g . 12.①∵121126767713113712()6()002130()1302S a a a a a a a S a a a ⎧=+=+>⎪+>⎧⎪⇔⎨⎨<⎩⎪=+=<⎪⎩g ,∴111211060212a d a d a d +>⎧⎪+<⎨⎪+=⎩解得,2437d -<<-,②由67700a a a +>⎧⎨<⎩6700a a >⎧⇒⎨<⎩,又∵2437d -<<-∴{}n a 是递减数列, ∴1212,,,S S S L 中6S 最大.。
人教新课标A版高中必修5数学2.3等差数列的前n项和同步检测(I)卷
人教新课标 A 版必修 5 数学 2.3 等差数列的前 n 项和同步检测（I）卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 15 题；共 30 分)1. （2 分） 已知等差数列{an}中，Sn 是它的前 n 项和．若 S16>0，且 S17<0，则当 Sn 最大时 n 的值为（ ）A.8B.9C . 10D . 162. （2 分） (2016 高二上·桃江期中) 等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 Sn 与 Tn ， 对一切自然数 n，都有 =，则 等于（ ）A.B.C.D.3. （2 分） (2018 高一下·三明期末) 已知等差数列 的公差为-2，前 项和为 ，为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为 120°，若对任意的恒成立，则实数（）A.7B.6C.5D.4第 1 页 共 10 页4. （2 分） (2019 高二上·开封期中) 已知等差数列 的前 项和为 ，若，则（）A.B.C.D.5. （2 分） (2019 高三上·深州月考) 已知等差数列 （）的前 项和为 ，若A.B.C.D.，，则6. （2 分） (2018·延安模拟) 已知等差数列比数列，则（ ）．的公差为 ，前 项和为 ，且 、 、 成等A.B.C.D.7. （2 分） 《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22 题为：今有女善织，日益功疾，且从第 2 天起，每天比前一天多织相同量的布，若第 1 天织 5 尺布，现在一月（按30 天计）共织 390 尺布，则每天比前一天多织尺布.(不作近似计算)第 2 页 共 10 页A.B.C.D.8. （2 分） 等差数列 的前 n 项和为 ,若的值为常数,则下列各数中也是常数的是（ ）.A.B.C.D.9. （2 分） (2015 高二上·宝安期末) 已知等差数列{an}的前 n 项和 Sn ， 且满足，则 a1=（ ）A.4B.2C.0D . ﹣210. （2 分） 已知数列{an}中 a1=16,an+1-an=-2 （）， 则数列{an}的前 n 项和 Sn 最大时，n 的值为A.8B . 7或8C . 8或9D.9第 3 页 共 10 页11. （2 分） 在等差数列 中， A . 104 B . 52 C . 39 D . 24 12. （2 分） 等差数列前 n 项和为 ， 若 A . 130 B . 65 C . 70 D . 75,则等差数列 的前 13 项的和为（ ） ， 则 的值是（ ）13. （2 分） 等差数列 共有 A. B. C. D.项，其中奇数项之和为 10，偶数项之和为 9，则 的值是（ ）14. （2 分） (2019 高一下·余姚月考) 已知两个等差数列 ， 的前 n 项和分别为 和 ，且，则使得 A.3为整数的正整数 n 的个数是（ ）B.4C.5D.6第 4 页 共 10 页15. （2 分） (2019 高二上·集宁月考) 设等差数列 的前 n 项和为 ，且满足，，则中最大项为（ ）A.B.C.D.二、 填空题 (共 5 题；共 5 分)16. （1 分） (2016 高一下·长春期中) 在等差数列{an}中，a5+a10+a15+a20=20，则 S24=________．17. （1 分） (2020 高二上·徐州期末) 已知等差数列 的公差为 也为公差为 d 的等差数列，则 ________．，前 n 项和为 ，且数列18. （1 分） 设数列 满足，，，则数列 的前 n 项和为________.19. （1 分） (2016 高一下·宁波期中) 若等差数列{an}满足 a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当 n=________时， 数列{an}的前 n 项和最大．20. （1 分） (2018 高二上·凌源期末) 观察下面的数阵，则第 40 行最左边的数是________．三、 解答题 (共 5 题；共 45 分)第 5 页 共 10 页21. （ 10 分 ） (2018· 朝 阳 模 拟 ) 已 知 数 列 .的前 项和为 ，且（1） 求数列 的通项公式；成等差数列，（2） 若数列 中去掉数列 的项后余下的项按原顺序组成数列 ，求的值.22. （10 分） (2018 高二下·泰州月考) 设，，在集合中,把每个子集的较大元素相加，和记为 ,较小元素之和记为 .（1） 当时,求 , 的值；（2） 求证:为任意的,， 为定值.23. （10 分） 数列 满足．的所有元素个数为 2 的子集（1） 证明：数列是等差数列；（2） 若，求 ．24. （5 分） 已知等差数列 的前 n 项和，求数列 的前 n 项和 ．25. （10 分） (2018·榆林模拟) 数列 满足.（1） 证明：数列是等差数列；（2） 若，求 .第 6 页 共 10 页一、 选择题 (共 15 题；共 30 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、 13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 7 页 共 10 页二、 填空题 (共 5 题；共 5 分)16-1、 17-1、 18-1、 19-1、 20-1、三、 解答题 (共 5 题；共 45 分)21-1、21-2、第 8 页 共 10 页22-1、22-2、 23-1、23-2、第 9 页 共 10 页24-1、 25-1、 25-2、第 10 页 共 10 页。
人教A版高中数学必修五同步检测第2章2.3第2课时等差数列的前n项和(习题课).docx
人教 A 版高中数学必修 5 同步检测第二章数列2.3等差数列的前n 项和第 2 课时等差数列的前n项和(习题课)A基巩固一、1．一个等差数列共有 2n＋1 ，其奇数的和512，偶数的和 480，中 ()A．30 B．31 C．32 D ．33解析：中 a n＋1.S 奇＝（a1＋a2n＋1）2·(n＋1)＝(n＋1)a n＋1＝512.S 偶＝a2＋a2n2· n＝n·a n＋1＝480.所以 a n＋1＝ S 奇－S 偶＝512－480＝32.答案： C12．等差数列 {a n}的公差 d＝2且 S100＝145， a1＋a3＋a5＋⋯＋a99的 ()A．52.5 B．72.5 C．60 D．85解析： a1＋a3＋a5＋⋯＋a99＝x，a2＋a4＋⋯＋a100＝y， x＋y＝S100＝145，y－x＝50d＝25.解得 x＝60，y＝85.答案： C．n 是等差数列{a n 的前n 和，若S3＝1，S6()3S}S63S12A.3B.1C.1D.1解析： S3，S6－ S3，S9－S6，S12－S9，构成一个新的等差数列，因 S3＝ 1，S6－S3＝3－1＝2，所以 S9－S6＝3，S12－S9＝4.所以 S12＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋(S12－S9)＝1＋2＋3＋ 4＝10.所以S6＝3.S1210答案： A4．若数列 {a n}的前 n和是 S n＝n2－4n＋2，|a1|＋|a2|＋⋯＋ |a10|等于 ()A．15 B．35 C．66 D ．100解析：易得 a n＝－1，n＝1，2n－5，n≥2.|a1|＝1，|a2|＝ 1，|a3|＝1，令a n>0 2n－ 5>0，所以 n≥3.所以 |a1|＋|a2|＋⋯＋|a10|＝－ (a1＋a2)＋ a3＋⋯＋a10＝2＋(S10－S2)＝2＋[(102－4×10＋2)－ (22－4×2＋2)]＝66.答案： C5．把正整数以下列方法分：(1)，(2，3)，(4，5，6)，⋯，其中每都比它的前一多一个数，S n表示第 n 中所有各数的和，那么 S21等于 ()A．1 113 B．4 641 C ．5 082 D．53 361解析：因第 n 有 n 个数，所以前20 一共有 1＋ 2＋3＋⋯＋20＝210 个数，于是第 21 的第一个数211，一共有 21 个21×20数， S 21＝21×211＋2×1＝4 641.答案： B二、填空6．已知数列 {a n } 足 a 1＋2a 2＋3a 3＋⋯＋ na n ＝n 2，数列 {a n }的通 公式 ________．解析： a 1＋2a 2＋3a 3＋⋯＋na n ＝n 2，当 n ≥2 ， a ＋2a ＋3a ＋⋯＋(n － 1) ·a － ＝ (n －1)2，123n 12n －1所以 na n ＝2n －1，所以 a n ＝n.当 n ＝1 ， a 1＝1，符合上式，2n －1所以数列 {a n }的通 公式 a n ＝ n .2n －1答案： a n＝n7． S n 等差数列 {a n }的前 n 和，若 a 4＝1，S 5＝10， 当S n 取得最大 ， n 的 ________．a 4＝a 1＋3d ＝1，解析：由d ＝10，S 5＝5a 1＋5×42a 1＝4，解得d ＝－ 1.所以 a 5＝ a 1＋4d ＝0，所以 S 4＝S 5 同 最大．所以 n ＝4 或 5.答案： 4 或 5．若等差数列 {a n }的前 n 和n∈*)，若a 2∶a 3＝5∶2，8S (n N人教 A 版高中数学必修 5 同步检测S 3 3（a 1＋a 3） 3a 2 3 5 3解析： S 5＝5（a 1＋a 5）＝5a 3＝5×2＝2.答案： 3∶2三、解答题 ．设等差数列 n 的前 n 项和为n ，已知 a 3＝ 12，且 S 12＞0， 9 {a } SS 13＜0.(1)求公差 d 的范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．解： (1)因为 a 3＝12，所以 a 1＝12－2d ，因为 S 12＞0，S 13＜0，12a 1＋66d ＞0， 24＋7d ＞ 0，所以即13a 1＋78d ＜0， 3＋d ＜0，24所以－ 7 ＜d ＜－ 3.(2)因为 S 12＞0，S 13＜0，a 1＋a 12＞0， a 6＋a 7＞ 0，所以所以a 1＋a 13＜0.a 7＜0.所以 a 6＞ 0，又由 (1)知 d ＜0.所以数列前 6 项为正，从第 7 项起为负．所以数列前 6 项和最大．2S 2n10．在数列 {a n }中， a 1＝ 1，a n ＝2S n －1(n ≥2)，求数列 {a n }的通项公式．解：因为 a n ＝ S n －S n － 1，2S 2n所以 S n －S n －1＝2S n － 1，即 (S n －S n － 1)(2S n －1)＝2S 2n ，即 S n －1－ S n ＝2S n S n －1， 即 1 － 1＝2，S n S n －11 11＝1，所以 S n 为等差数列，且 S 1＝a 1 11 .所以 S n＝1＋2(n －1)，即 S n＝－ 12n所以 a n ＝ S n － S n － 1 ＝ 11 －22n －1－2n －3＝（2n －1）（ 2n －3）(n ≥2)，－2又 a 1＝1≠（2×1－1）（ 2×1－3），1（n ＝1），所以 a n ＝－2（n ≥ 2）.（2n －1）（ 2n －3）B 级 能力提升1．设等差数列 {a n }的前 n 项和为 S n ，S m －1＝－ 2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则 m 等于 ()A ．3B ．4C ． 5D ．6解析： a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋ 1＝ S m ＋1－S m ＝3，所以公差 d ＝a m＋1－a m ＝1，由 S ＝ m （a 1＋a m ） ＝0，得 a ＝－ 2，所以 a ＝－ 2＋(m －1) ·1m 2 1 m＝ 2，解得 m ＝5.答案： C2．若数列 {a n }是等差数列，首项 a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2004＜0，则使前 n 项和 S n ＞0 成立的最大自然数n 是________．解析：由条件可知数列单调递减，故知a 2 003＞0，a 2 004＜0，故 S 4 006＝4 006（ a 1＋a 4 006）＝2 003 ·(a 2 003＋a 2 004 ) ＞ ，24 007（a 1＋a 4 007）＝4 007×a 2 004 ＜0， S 4 007＝2故使前 n 项和 S n ＞0 成立的最大自然数 n 是 4 006.答案： 4 0063．数列 {a n }的各项都为正数，且满足S n ＝（a n ＋1）24(n ∈ N *)，求数列的通项公式 a n .解：法一 (消 S n ) ：由 S n ＝（a n ＋1）24(n ∈N *)，得 4a n ＋1＝4(S n ＋1－S n )＝(a n ＋ 1＋1)2－(a n ＋1)2化简得 (a n ＋1＋a n )(a n ＋ 1－a n －2)＝ 0，因为 a n ＞0，所以 a n ＋ 1－a n ＝2，又 4S 1＝4a 1＝(a 1＋1)2 得 a 1＝ 1，故 {a n }是以 1 为首项， 2 为公差的等差数列，所以 a n ＝2n － 1.法二 (消 a n )：由上可知 2 S n ＝ a n ＋1，所以 2 S n ＝ S n －S n － 1＋1(n ≥2)，化简可得 ( S n －1)2＝S n －1，( S n ＋ S n － 1－1)( S n － S n －1－1)＝0，又 S 1＝1，{a n }的各项都为正数，所以 S n － S n － 1＝ 1.所以 S n ＝n ，从而 S n ＝n 2，所以 a n ＝S n － S n －1＝2n －1(n ≥2)，a 1＝1 也适合，故 a n ＝2n －1.。
人教新课标版数学高二人教A版必修5试题 2.3等差数列的前n项和
课时跟踪检测(九) 等差数列的前n 项和一、选择题1．设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和．若S 10＝S 11，则a 1＝( )A ．18B ．20C ．22D ．242．已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项的和S 10等于( )A ．138B ．135C ．95D ．233．等差数列{a n }中，d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，则a 1等于( )A ．5或7B ．3或5C ．7或－1D ．3或－14．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．63B ．45C ．36D ．275．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( )A ．5B ．4C ．3D ．2二、填空题6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则{a n }的通项a n ＝________.7． 已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *.若a 3＝16，S 20＝20，则S 10的值为________．8．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 4＝2a 3，则S 7S 5＝ ________.三、解答题9．设数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n n)(n ∈N *)均在函数y ＝3x －2的图象上．求数列{a n }的通项公式．10．在等差数列{a n }中，a 10＝18，前5项的和S 5＝－15，(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取得最小值．答 案课时跟踪检测(九)1．选B 由S 10＝S 11，得a 11＝S 11－S 10＝0，a 1＝a 11＋(1－11)d ＝0＋(－10)×(－2)＝20.2．选C 由a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，可知d ＝3，a 1＝－4.∴S 10＝－40＋10×92×3＝95. 3．选D 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝11，S n ＝35， 即⎩⎨⎧ a 1＋2(n －1)＝11，na 1＋n (n －1)2×2＝35.解得⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝5，a 1＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝7，a 1＝－1. 4．选B ∵a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，而由等差数列的性质可知，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6构成等差数列．所以S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3)，即S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝2×36－3×9＝45.5．选C 由题意得S 偶－S 奇＝5d ＝15，∴d ＝3.或由解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋20d ＝15，5a 1＋25d ＝30 求得d ＝3，故选C.6．解析：设{a n }的公差为d ， 则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋5d ＝12，3a 1＋3×22d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2， 于是a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .答案：2n7．解析：设{a n }的首项，公差分别是a 1，d ，则 ⎩⎨⎧ a 1＋2d ＝16，20a 1＋20×(20－1)2×d ＝20，解得a 1＝20，d ＝－2，∴S 10＝10×20＋10×92×(－2)＝110. 答案：1108．解析：由等差数列的性质知S 7S 5＝7a 45a 3＝75×a 4a 3＝75×2＝145. 答案：1459．解：依题意得，S n n＝3n －2， 即S n ＝3n 2－2n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5， 因a 1＝S 1＝1，满足a n ＝6n －5，所以a n ＝6n －5(n ∈N *)．10．解：(1)设{a n }的首项，公差分别为a 1，d .则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝18，5a 1＋52×4×d ＝－15，解得a 1＝－9，d ＝3，∴a n ＝3n －12.(2)S n ＝n (a 1＋a n )2＝12(3n 2－21n ) ＝32(n －72)2－1478， ∴当n ＝3或4时，前n 项的和取得最小值为－18.。
高中数学《2.3 等差数列的前n项和(1)》练习 新人教A版必修5
高中数学必修五《2.3 等差数列的前n 项和（1）》练习1.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若241,5a a ==，则4S = （ ）A ．12 B.10 C.8 D.62.数列1、-2、3、-4、5、-6、…的第100项是 （ ）A ．-100 B.100 C.101 D.-1013.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31710,a a +=则19S = （ ）A ．190 B.170 C.95 D.854.等差数列{}n a 中，1815296a a a ++=，则8a =（ ）A ．24 B.22 C.20 D.-85.{n a }是首项为6，公差为3的等差数列，如果 n a =2013，则序号n 等于（ ）（A ）667 (B)668 (C)669 (D)6706.已知数列{n a }为等差数列，n S 为其前n 项和，且 2436a a =-则9S 等于（ ）（A ）25 (B)27 (C)50 (D)54二．填空题1.在等差数列{}n a 中，已知4512,a a +=则8S =2.在等差数列{}n a 中，247,15a a ==,则10S =3.等差数列10,6,2,1,---，前 项的和是54.4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若6312a S ==，则{}n a 的通项公式n a =_________5.在等差数列{}n a 中，10120S =，则38a a +=________6.设{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，且13578a a a a +++=，则7S =_______三.解答题：1.设等差数列{}n a 满足3a =5，10a =-9，求{}n a 的通项公式。
2.设数列 {n a } 是等差数列，且494,6a a =-=， 则数列的前 n 项和n S 等于3. 在等差数列{}n a 中，24354,10a a a a +=+=，则它的前10项和是4. 已知等差数列{}n a 中，（1）11,512,1022,n n a a S ==-=-求d ；（2）524,S =求24a a +5.已知在等差数列{}n a 中，26a =，515a =，若2n n b a =，求数列{}n b 的前5项和.。
2020年高中数学 人教A版 必修5 同步作业本《等差数列的前n项和》(含答案解析)
2020年高中数学 人教A 版 必修5 同步作业本《等差数列的前n 项和》一、选择题1.在等差数列{a n }中，S 10=120，那么a 1＋a 10的值是( )A ．12B ．24C ．36D ．482.在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )A ．765B ．665C ．763D ．6633.现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )A ．9B ．10C ．19D ．294.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4=40，S n =210，S n-4=130，则n=( )A ．12B ．14C ．16D ．185.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3=59，则S 9S 5等于( ) A ．1 B ．-1 C ．2 D.126.若数列{a n }满足：a 1=19，a n ＋1=a n -3(n∈N *), 则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9二、填空题7.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6=S 3=12，则{a n }的通项a n =________．8.一个等差数列前12项的和为354，其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为32∶27，则公差d=________．9.已知数列{a n }的通项公式为a n =2n-30，S n 是{|a n |}的前n 项和，则S 10=________．10.在等差数列{a n }中，a 10＜0，a 11＞0，且a 11＞|a 10|，则满足S n ＜0的n 的最大值为________．三、解答题11.等差数列{a n}中，a10=30，a20=50.(1)求数列的通项公式；(2)若S n=242，求n.12.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a5＋a13=34，S3=9.(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和公式．(2)设数列{b n}的通项公式为b n=a na n＋t，问：是否存在正整数t，使得b1，b2，b m(m≥3，m∈N)成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由．13.设数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n (n∈N *)均在函数y=3x-2的图象上． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =3a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .答案解析1.答案为：B ；解析：由S 10=10（a 1＋a 10）2，得a 1＋a 10=S 105=1205=24.2.答案为：B ；解析：因为a 1=2，d=7，2＋(n-1)×7<100，所以n<15，所以n=14，S 14=14×2＋12×14×13×7=665.3.答案为：B ；解析：钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．所以钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n=n （n ＋1）2. 当n=19时，S 19=190.当n=20时，S 20=210>200.所以n=19时，剩余钢管根数最少，为10根．4.答案为：B ；解析：因为S n -S n-4=a n ＋a n-1＋a n-2＋a n-3=80，S 4=a 1＋a 2＋a 3＋a 4=40，所以4(a 1＋a n )=120，a 1＋a n =30，由S n =n （a 1＋a n ）2=210，得n=14.5.答案为：A ；解析：S 9S 5=92（a 1＋a 9）52（a 1＋a 5）=9×2a 55×2a 3=9a 55a 3=95×59=1.6.答案为：B ；解析：因为a n ＋1-a n =-3，所以数列{a n }是以19为首项，-3为公差的等差数列，所以a n =19＋(n-1)×(-3)=22-3n.设前k 项和最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥0，a k＋1≤0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧22－3k≥0，22－3（k ＋1）≤0，所以193≤k ≤223，因为k∈N *，所以k=7.故满足条件的n 的值为7.7.答案为：2n ；解析：设等差数列首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝12，3a 1＋3×22d ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝12，a 1＋d ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2，所以a n =a 1＋(n-1)d=2n.8.答案为：5；解析：S 12=354，所以S 奇=354×2732＋27=162，S 偶=354×3232＋27=192， 所以S 偶-S 奇=30=6d ，所以d=5.9.答案为：190；解析：a n =2n-30，令a n ＜0，得n ＜15，即在数列{a n }中，前14项均为负数，所以S 10=-(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10)=-102(a 1＋a 10)=-5[(-28)＋(-10)]=190.10.答案为：19；解析：因为a 10＜0，a 11＞0，且a 11＞|a 10|，所以a 11＞-a 10，a 1＋a 20=a 10＋a 11＞0，所以S 20=20（a 1＋a 20）2＞0.又因为a 10＋a 10＜0，所以S 19=19×（a 10＋a 10）2=19a 10＜0， 故满足S n ＜0的n 的最大值为19.11.解：(1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d.则⎩⎪⎨⎪⎧a 10＝a 1＋9d ＝30，a 20＝a 1＋19d ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2. 所以a n =a 1＋(n-1)d=12＋(n-1)×2=10＋2n.(2)由S n =na 1＋n （n －1）2d 以及a 1=12，d=2，S n =242， 得方程242=12n ＋n （n －1）2·2，即n 2＋11n-242=0， 解得n=11或n=-22(舍去)．故n=11.12.解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 5＋a 13=34，S 3=9.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＋a 1＋12d ＝34，a 1＋a 1＋d ＋a 1＋2d ＝9，整理得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋8d ＝17，a 1＋d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2. 所以a n =1＋(n-1)×2=2n -1，S n =n×1＋n （n －1）2×2=n 2. (2)由(1)知b n =2n －12n －1＋t ，所以b 1=11＋t ，b 2=33＋t ，b m =2m －12m －1＋t， 若b 1，b 2，b m (m≥3，m ∈N)成等差数列，则2b 2=b 1＋b m ，所以63＋t =11＋t ＋2m －12m －1＋t， 即6(1＋t)(2m-1＋t)=(3＋t)(2m-1＋t)＋(2m-1)·(1＋t)(3＋t)，整理得(m-3)t 2-(m ＋1)t=0，因为t 是正整数，所以(m-3)t-(m ＋1)=0，m=3时显然不成立，所以t=m ＋1m －3=m －3＋4m －3=1＋4m －3， 又因为m≥3，m ∈N ，所以m=4或5或7，当m=4时，t=5；当m=5时，t=3；当m=7时，t=2.所以存在正整数t ，使得b 1，b 2，b m (m≥3，m ∈N)成等差数列． 即当t=5时，b 1，b 2，b 4成等差数列；当t=3时，b 1，b 2，b 5成等差数列；当t=2时，b 1，b 2，b 7成等差数列．13.解：(1)依题意，得S n n=3n-2，即S n =3n 2-2n. 当n≥2时，a n =S n -S n-1=(3n 2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5；当n=1时，a 1=1也适合．即a n =6n-5.(2)由(1)得b n =3a n a n ＋1=3（6n －5）[6（n ＋1）－5]=12⎝ ⎛⎭⎪⎫16n －5－16n ＋1， 故T n =b 1＋b 2＋…＋b n =12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－17＋⎝ ⎛⎭⎪⎫17－113＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16n －5－16n ＋1=12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16n ＋1.。
人教A版高中数学必修五同步练测：2.3等差数列的前n项和(含答案解析)
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作2.3 等差数列的前n 项和(人教A 版必修5)建议用时 实际用时满分 实际得分45分钟100分一、选择题（每小题3分，共27分）1.已知数列{}n a 为等差数列，公差2d ＝－，n S 为其前n 项和．若1011S S ＝，则1a ＝( )A.18B.20C.22D.242.若11a =，2d ＝，224k k S S ＋－＝，则k ＝( ) A.8 B.7 C.6 D.53.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1a =12，4S ＝20，则6S =( ) A.16 B.24 C.36 D.484.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11m m a a －＋＋－2ma ＝0，21m S －＝38，则m ＝( )A.38B.20C.10D.95.数列{}n a 是等差数列，12324a a a ＋＋＝－，1819a a ＋＋2078a ＝，则此数列的前20项和等于( )A.160B.180C.200D.2206.等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，当首项1a 和d 变化时，2811a a a ＋＋是一个定值，则下列各数中也为定值的是( )A.7SB.8SC.13SD.15S7.已知等差数列{}n a 满足244a a ＋＝，3510a a ＋＝，则它的前10项的和10S ＝( )A.138B.135C.95D.238.已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前n 项和为286，则项数n 为( ) A.24 B.26 C.27 D.289.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1OB a OA=200a OC +且,,A B C 三点共线(该直线不过点O )，则200S ＝( )A.100B.101C.200D.201二、填空题（每小题4分，共16分）10.在等差数列{}n a 中，10a ＞，d ＝12，n a ＝3，n S ＝152，则1a ＝ ，n ＝ . 11. 设等差数列的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++= ．12.已知等差数列{}n a 的前n 项和为18，若3S ＝1，n a 123n n a a －－＋＋＝，则n ＝ .13.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 ． 三、解答题（共57分）14.(8分)在等差数列{}n a 中：(1)已知51058a a ＋＝，4950a a ＋＝，求10S ； (2)已知742S ＝，510n S ＝，345n a －＝，求n .15.（8分) 已知}{n a 为等差数列，122,3a a ==，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的项构成一个新的等差数列，求：（1）原数列的第12项是新数列的第几项？（2）新数列的第29项是原数列的第几项？16.（8分）已知等差数列{}n a ， (1)若271221a a a ＋＋＝，求13S ； (2)若1575S ＝，求8a .17.（9分）已知在正整数数列{}n a 中，前n 项和n S 满足：n S ＝18(n a ＋2)2.(1)求证：{}n a 是等差数列；(2)若n b ＝12n a －30，求数列{}n b 前n 项和的最小值．18.（12分）设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,且4S =－62, 6S =－75,求：（1）}{n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）|1a |+|2a |+|3a |+…+|14a |.19.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和278n S n n ＝－－. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n a 的前n 项和n T .2.3 等差数列的前n和(人教A版必修5)答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9答案二、填空题10． 11． 12. 13.三、解答题14.15.16.17.18.19.2.3 等差数列的前n项和(人教A版必修5)答案1.B 解析：由1011S S ＝，得1111100a S S ＝－＝，111(111)0(10)(2)20a a d ⨯＝＋－＝＋－－＝.2.D 解析：∵ 212111(1)2(21)21(21)24424k k k k S S a a a kd a k d a k d k k ⨯⨯＋＋＋－＝＋＝＋＋＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝，∴ 5k ＝.3.D 解析：设等差数列{}n a 的公差为d ，∵ 1a ＝12，4S ＝4×12＋4×32d ＝2＋6d ＝20，∴ d ＝3，故6S ＝6×12＋6×52×3＝48，故选D.4.C 解析：由等差数列的性质，得112m m m a a a －＋＋＝，∴ 22m m a a ＝.由题意得0m a ≠，∴ 2m a ＝.又21m S －＝121(21)()2(21)22m m m a a a m --+-=＝2(21)m －＝38，∴ m ＝10.5.B 解析：∵ {}n a 是等差数列，∴ 120219318a a a a a a ＋＝＋＝＋.又12324a a a ＋＋＝－，18192078a a a ＋＋＝，∴ 12021931854a a a a a a ＋＋＋＋＋＝. ∴ 1203()54a a ＋＝.∴ 12018a a ＋＝.∴ 20S ＝12020()2a a +＝180. 6.C 解析：由已知28111173183(6)3a a a a d a d a ＋＋＝＋＝＋＝为定值，则13S ＝11313()2a a +＝137a 也为定值，故选C. 7.C 解析：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则24354,10.a a a a +=⎧⎪⎨+=⎪⎩①②②－①，得2d ＝6，∴ d ＝3.∴ 2411113242434a a a d a d a d a ⨯＋＝＋＋＋＝＋＝＋＝.∴ 14a ＝－.∴ 10S ＝10×(－4)＋10×92×3＝－40＋135＝95.故选C.8.B 解析：设该等差数列为{}n a ，由题意得123421a a a a ＋＋＋＝，12367n n n n a a a a －－－＋＋＋＝. 又∵ 1213243n n n n a a a a a a a a －－－＋＝＋＝＋＝＋，∴ 14()216788n a a ＋＝＋＝，∴ 122n a a ＋＝， ∴ n S ＝1()2n n a a +11286n ＝＝，∴ 26n ＝. 9.A 解析：∵ 1200OB a OA a OC =+，且,,A B C 三点共线， ∴ 12002001a a S ＋＝，＝1200200()2a a +100＝.二、填空题10.23 解析：由题意，得1113(1)21511=(1),222a n na n n ⎧=+-⨯⎪⎪⎨⎪+⨯-⨯⎪⎩，解得12,3.a n =⎧⎨=⎩ 11.24 解析：∵ }{n a 是等差数列,972S =,599,S a ∴=58a =.∴2492945645()()324a a a a a a a a a a ++=++=++==. 12.27 解析：由题意得1()182n n n a a S +==. 由121233,1,n n n a a a a a a --++=⎧⎨++=⎩得13()4n a a ＋＝，即1n a a ＋＝43，故n ＝136362743na a ==+. 13.3 解析：1357915S a a a a a 奇＝＋＋＋＋＝，24681030S a a a a a 偶＝＋＋＋＋＝，∴ 515S S d 偶奇－＝＝，∴ 3d ＝.14.(1)解法一：由已知条件得510149121358,21150,a a a d a a a d +=+=⎧⎨+=+=⎩解得13,4.a d =⎧⎨=⎩∴ 10110S a ＝＋10(101)2d ⨯-⨯103⨯＝＋1092⨯4210⨯＝. 解法二：由已知条件得51011049110458,250,a a a a d a a a a d +=++=⎧⎨+=++=⎩∴ 11042a a ＋＝，∴ 10S ＝11010()2a a ⨯+542210⨯＝＝.解法三：由51049()()25850a a a a d ＋－＋＝＝－，得4d ＝； 由4950a a ＋＝，得121150a d ＋＝，∴ 13a ＝. 故10103S ⨯＝＋10942102⨯⨯=. (2)解：7S ＝177()2a a +4742a ＝＝，∴ 46a ＝. ∴ n S ＝()()()14345510222-+++===6n n n a a n a a n .∴ 20n ＝.15.解：设新数列为{},4,)1(,3,2,1512511d b b d n b b a b a b b n n +=-+=====有根据则即3=2+4d ，∴ 14d =，∴ 172(1)44n n b n +=+-⨯=. 1(43)7(1)114n n a a n n -+=+-⨯=+=又，∴ 43n n a b -=.即原数列的第n 项为新数列的第（4n －3）项．（1）当n =12时，4n －3=4×12－3=45，故原数列的第12项为新数列的第45项； （2）由4n －3=29,得n =8，故新数列的第29项是原数列的第8项. 16.解：(1)∵ 21211372a a a a a ＋＝＋＝，271221a a a ＋＋＝， ∴ 7321a ＝，即7a ＝7. ∴ 13S ＝11313()2a a +＝71322a ⨯＝91. (2)∵ 15S ＝11515()2a a +＝81522a ⨯＝75，∴ 8a ＝5. 17.（1）证明：由21(2)8n n S a ＝＋，得2111(2)8n n S a －－＝＋(n ≥2)．当n ≥2时，n a ＝n S －1n S －＝182(2)n a ＋－1821(2)n a －＋，整理，得11()(4)0n n n n a a a a －－＋－－＝.∵ 数列{}n a 为正整数数列，∴ 10,n n a a +≠－ ∴ 14n n a a －－＝，即{}n a 为等差数列．(2)解：∵ 1S ＝1821(2)a ＋，∴ 1a ＝1821(2)a ＋，解得1a ＝2.∴ n a ＝2＋4(n －1)＝4n －2.∴ n b ＝12n a －30＝12(4n －2)－30＝2n －31.令n b <0，得n <312. ∴ 15S 为前n 项和的最小值，即151215S b b b ＝＋＋＋＝2(1＋2＋…＋15)－15×31＝－225. 18.解：设等差数列的首项为1a ，公差为d ，依题意得⎩⎨⎧-=+-=+，，75156626411d a d a解得120,3.=⎧⎨=⎩－a d(1)2)23320(2)(,233)1(11-+-=+=-=-+=n n n a a S n d n a a n n n 234322n n =-.(2){}120,3,n a d a n =-=∴的项随着的增大而增大.1Z 202300,32303(1)230,(),7,337+≤≥-≤+-≥∴≤≤∈=k k a a k k k k k 设且得且数.即第项及之前均为负∴ 123141278914||||||||()()a a a a a a a a a a ++++=-+++++++1472147S S =-=.19.解：(1)当n ＝1时，11a S ＝＝－14； 当n ≥2时，1n n n a S S －＝－＝2n －8， 故n a ＝14(1),28(2).n n n -=⎧⎨-≥⎩(2)由n a ＝2n －8可知：当n ≤4时，n a ≤0；当n ≥5时，0n a >. ∴ 当1≤n ≤4时，278n n T S n n ＝－＝－＋＋；当n ≥5时，22444()2782(20)732n n n T S S S S S n n n n ⨯＝－＋－＝－＝－－－－＝－＋.∴ n T ＝2278(14),732(5).n n n n n n ⎧-++≤≤⎪⎨-+≥⎪⎩。
最新人教A版高中数学必修五2.3《等差数列前n项和》同步测试题(含解析)
2. 3《等差数列前n 项和》11、等差数列Λ,4,1,2-地前n 项和为 （ ） A. ()4321-n n B. ()7321-n n C. ()4321+n n D.()7321+n n2、已知等差数列{}n a 满足099321=++++a a a a Λ，则 （ ）A. 0991>+a aB. 0991<+a aC. 0991=+a aD. 5050=a3、在等差数列{}n a 中，已知1254=+a a，那么它地前8项之和8S 等于 （ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 484、设{}n a 是公差为2地等差数列，若5097741=++++a a a a Λ，则99963a a a a ++++Λ地值为 （ ） A. 78 B. 82 C. 148 D. 1825、在等差数列{}n a 中，35,2,11===n n S d a ，则1a 等于 （ ）A. 5或7B. 3或5C. 7或1-D. 3或1-6、设数列{}na 是递增地等差数列，前三项之和为12，前三项地积为48，则它地首项是（ ）A. 1B. 2C. 4D. 87、一个三角形地三个内角C B A ,,地度数成等差数列，则B 地度数为 （ ）A. ο30B. ο45C. ο60D. ο90 8、等差数列{}n a 中，162,16,1041===n S a a ，则n 等于 （ ）A. 11B. 9C. 9或18D. 189、数列{}na 是等差数列，它地前n 项和可以表示为 （ ）A. C Bn An S n ++=2B. Bn An Sn +=2 C. C Bn An S n ++=2()0≠a D. Bn An S n +=2()0≠a10、=+++++1008642Λ 。
11、等差数列{}na 中，1011=a ，则=21S 。
12、等差数列{}n a 中，4,184==S S，则=+++20191817a a a a。
新人教A版高中数学【必修5】 第二章 2.3等差数列的前n项和(二)课时作业练习含答案解析
§2.3 等差数列的前n 项和(二)课时目标1．熟练掌握等差数列前n 项和的性质，并能灵活运用． 2．掌握等差数列前n 项和的最值问题． 3．理解an 与Sn 的关系，能根据Sn 求an.1．前n 项和Sn 与an 之间的关系对任意数列{an}，Sn 是前n 项和，Sn 与an 的关系可以表示为an ＝⎩⎨⎧S1＝，Sn －Sn －2．等差数列前n 项和公式 Sn ＝＋2＝na1＋－2d.3．等差数列前n 项和的最值 (1)在等差数列{an}中当a1>0，d<0时，Sn 有最大值，使Sn 取到最值的n 可由不等式组⎩⎨⎧an≥0an ＋1≤0确定；当a1<0，d>0时，Sn 有最小值，使Sn 取到最值的n 可由不等式组⎩⎨⎧an≤0an ＋1≥0确定．(2)因为Sn ＝d 2n2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a1－d 2n ，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn 有最小值；当d<0时，Sn 有最大值；且n 取最接近对称轴的自然数时，Sn 取到最值． 一个有用的结论：若Sn ＝an2＋bn ，则数列{an}是等差数列．反之亦然．一、选择题1．已知数列{an}的前n 项和Sn ＝n2，则an 等于( ) A ．n B ．n2 C ．2n ＋1 D ．2n －1 答案 D2．数列{an}为等差数列，它的前n 项和为Sn ，若Sn ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．1 答案 B解析 等差数列前n 项和Sn 的形式为：Sn ＝an2＋bn ， ∴λ＝－1.3．已知数列{an}的前n 项和Sn ＝n2－9n ，第k 项满足5<ak<8，则k 为( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 答案 B解析 由an ＝⎩⎨⎧S1， n ＝1Sn －Sn －1， n≥2，∴an ＝2n －10.由5<2k －10<8，得7.5<k<9，∴k ＝8.4．设Sn 是等差数列{an}的前n 项和，若S3S6＝13，则S6S12等于( ) A.310 B.13 C.18 D.19 答案 A解析 方法一 S3S6＝3a1＋3d 6a1＋15d ＝13⇒a1＝2d ，S6S12＝6a1＋15d 12a1＋66d ＝12d ＋15d 24d ＋66d ＝310.方法二 由S3S6＝13，得S6＝3S3.S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9仍然是等差数列，公差为(S6－S3)－S3＝S3，从而S9－S6＝S3＋2S3＝3S3⇒S9＝6S3， S12－S9＝S3＋3S3＝4S3⇒S12＝10S3，所以S6S12＝310.5．设Sn 是等差数列{an}的前n 项和，若a5a3＝59，则S9S5等于( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D.12 答案 A解析 由等差数列的性质，a5a3＝2a52a3＝a1＋a9a1＋a5＝59，∴S9S5＝92＋52＋＝95×59＝1.6．设{an}是等差数列，Sn 是其前n 项和，且S5<S6，S6＝S7>S8，则下列结论错误的是( ) A ．d<0 B ．a7＝0C ．S9>S5D ．S6与S7均为Sn 的最大值 答案 C解析 由S5<S6，得a6＝S6－S5>0.又S6＝S7⇒a7＝0，所以d<0. 由S7>S8⇒a8<0，因此，S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9 ＝2(a7＋a8)<0即S9<S5. 二、填空题7．数列{an}的前n 项和为Sn ，且Sn ＝n2－n ，(n ∈N*)，则通项an ＝________. 答案 2n －28．在等差数列{an}中，a1＝25，S9＝S17，则前n 项和Sn 的最大值是________． 答案 169解析 方法一 利用前n 项和公式和二次函数性质．由S17＝S9，得25×17＋172×(17－1)d ＝25×9＋92×(9－1)d ，解得d ＝－2， 所以Sn ＝25n ＋n2(n －1)×(－2) ＝－(n －13)2＋169，由二次函数性质可知，当n ＝13时，Sn 有最大值169. 方法二 先求出d ＝－2，因为a1＝25>0，由⎩⎨⎧an ＝25－－，an ＋1＝25－2n≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧n≤1312，n≥1212.所以当n ＝13时，Sn 有最大值． S13＝25×13＋－2×(－2)＝169.因此Sn 的最大值为169.方法三 由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0， 而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14， 故a13＋a14＝0.由方法一知d ＝－2<0， 又因为a1>0，所以a13>0，a14<0，故当n ＝13时，Sn 有最大值． S13＝25×13＋－2×(－2)＝169.因此Sn 的最大值为169.9．在等差数列{an}中，已知前三项和为15，最后三项和为78，所有项和为155，则项数n ＝________. 答案 10解析 由已知，a1＋a2＋a3＝15，an ＋an －1＋an －2＝78，两式相加，得 (a1＋an)＋(a2＋an －1)＋(a3＋an －2)＝93，即a1＋an ＝31. 由Sn ＝＋2＝31n2＝155，得n ＝10.10．等差数列{an}中，a1<0，S9＝S12，该数列在n ＝k 时，前n 项和Sn 取到最小值，则k 的值是________． 答案 10或11解析 方法一 由S9＝S12，得d ＝－110a1，由⎩⎨⎧an ＝a1＋－an ＋1＝a1＋nd≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧1－110－1－110n≤0，解得10≤n≤11.∴当n 为10或11时，Sn 取最小值， ∴该数列前10项或前11项的和最小． 方法二 由S9＝S12，得d ＝－110a1，由Sn ＝na1＋－2d ＝d 2n2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a1－d 2n ， 得Sn ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－120a1·n2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2120a1·n ＝－a120⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2122＋44180a1 (a1<0)，由二次函数性质可知n ＝212＝10.5时，Sn 最小． 但n ∈N*，故n ＝10或11时Sn 取得最小值． 三、解答题11．设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9. (1)求{an}的通项公式；(2)求{an}的前n 项和Sn 及使得Sn 最大的序号n 的值． 解 (1)由an ＝a1＋(n －1)d 及a3＝5，a10＝－9得 ⎩⎨⎧ a1＋2d ＝5，a1＋9d ＝－9，可解得⎩⎨⎧a1＝9，d ＝－2， 所以数列{an}的通项公式为an ＝11－2n. (2)由(1)知，Sn ＝na1＋－2d ＝10n －n2.因为Sn ＝－(n －5)2＋25， 所以当n ＝5时，Sn 取得最大值．12．已知等差数列{an}中，记Sn 是它的前n 项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n 项和Tn.解由S2＝16，S4＝24，得⎩⎪⎨⎪⎧2a1＋2×12d ＝16，4a1＋4×32d ＝24.即⎩⎨⎧ 2a1＋d ＝16，2a1＋3d ＝12. 解得⎩⎨⎧a1＝9，d ＝－2.所以等差数列{an}的通项公式为an ＝11－2n (n ∈N*)．(1)当n≤5时，Tn ＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an ＝Sn ＝－n2＋10n.(2)当n≥6时，Tn ＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an ＝2S5－Sn ＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n)＝n2－10n ＋50， 故Tn ＝⎩⎨⎧－n2＋10n ，n2－10n ＋能力提升13．数列{an}的前n 项和Sn ＝3n －2n2 (n ∈N*)，则当n≥2时，下列不等式成立的是( ) A ．Sn>na1>nan B ．Sn>nan>na1 C ．na1>Sn>nan D ．nan>Sn>na1 答案 C解析 方法一 由an ＝⎩⎨⎧S1＝Sn －Sn －，解得an ＝5－4n.∴a1＝5－4×1＝1，∴na1＝n ， ∴nan ＝5n －4n2，∵na1－Sn ＝n －(3n －2n2)＝2n2－2n ＝2n(n －1)>0. Sn －nan ＝3n －2n2－(5n －4n2)＝2n2－2n>0. ∴na1>Sn>nan.方法二 ∵an ＝5－4n ， ∴当n ＝2时，Sn ＝－2， na1＝2，nan ＝－6， ∴na1>Sn>nan.14．设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，已知a3＝12，且S12>0，S13<0. (1)求公差d 的范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．解 (1)根据题意，有：⎩⎪⎨⎪⎧12a1＋12×112d>0，13a1＋13×122d<0，a1＋2d ＝12，整理得：⎩⎨⎧2a1＋11d>0，a1＋6d<0，a1＋2d ＝12.解之得：－247<d<－3. (2)∵d<0， 而S13＝＋2＝13a7<0，∴a7<0.又S12＝＋2＝6(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0，∴a6>0.∴数列{an}的前6项和S6最大．1．公式an ＝Sn －Sn －1并非对所有的n ∈N*都成立，而只对n≥2的正整数才成立．由Sn 求通项公式an ＝f(n)时，要分n ＝1和n≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示．2．求等差数列前n 项和的最值(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n 的值，更加直观．(2)通项法：当a1>0，d<0，⎩⎨⎧ an≥0，an ＋1≤0时，Sn 取得最大值；当a1<0，d>0，⎩⎨⎧an≤0，an ＋1≥0时，Sn取得最小值．3．求等差数列{an}前n 项的绝对值之和，关键是找到数列{an}的正负项的分界点．。
人教新课标A版必修5数学2-3等差数列前n项和同步检测 含解析 精品
2.3等差数列前n 项和同步检测一、选择题1. 设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若21-=-m S ,0=m S ,31=+m S ，则=m （ ） A.3 B.4C.5D. 6答案：C解析：解答：由已知得，当m≥2时，21=-=-m m m S S a ,311=-=++m m m S S a ，因为数列}{n a 为等差数列，所以11=-=+m m a a d ，又因为02)(1=+=m m a a m S ，所以0)2(1=+a m ，因为0≠m ，所以21-=a ，又2)1(1=-+=d m a a m ，解得5=m .故选C.分析：利用当n ≥2时1--=n n n S S a ，求出m a 及1+m a 的值，从而确定等差数列}{n a 的公差，再利用前n 项和公式求出m 的值.2．已知{a n }是等差数列，a 1+a 2=4，a 7+a 8=28，则该数列前10项和S 10等于（ ） A 、64B 、100C 、110D 、120答案：B解析：解答：设公差为d ，由a 1+a 2=4，a 7+a 8=28得112421328a d a d +=⎧⎨+=⎩ 1101091,2,101+2=1002a d S ⨯===⨯⨯解得，故选B ． 分析：利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a 1，d 的方程组，求出a 1和d ，代入等差数列的前n 项和公式求解即可． 3．等差数列{a n }的前n 项为S n ，若a 2＋a 6＋a 7＝18，则S 9的值是( )A ．64B ．72C ．54D ．以上都不对答案：C 解析：解答：设公差为d ，由a 2＋a 6＋a 7＝3a 1＋12d ＝3a 5＝18，得a 5＝6.所以S 9＝()1992a a +＝9a 5＝54，故选C分析：根据等差数列的性质m +n =p +q ，a m +a n =a p +a q ，代入等差数列的前n 项和公式求解即可．4．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2=3，a 6=11，则S 7等于（ ） A 、13B 、35C 、49D 、63答案：C解析：解答：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 2=3，a 6=11，得114511a d a d +=⎧⎨+=⎩110979767,,7+=4944424a d S ⨯===⨯⨯解得，故选C ．分析：利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a 1，d 的方程组，求出a 1和d ，代入等差数列的前n 项和公式求解即可．5．已知数列{a n }的通项公式为a n =2n ﹣49，则当S n 取最小值时，项数n （ ） A 、1B 、23C 、24D 、25答案：C解析：解答：由a n =2n ﹣49,当n=1时，a 1=-47数列，则{a n }为等差数列()247249482nn S n n n -+-=⨯=-=（n ﹣24）2﹣242结合二次函数的性质可得当n =24时和有最小值 故选：C分析：由a n =2n ﹣49可得数列{a n }为等差数列，则可得()247249482n n S n n n -+-=⨯=-，()n N *∈结合二次函数的性质可求.6.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 7＞0，a 8＜0，则下列结论正确的是( )A ．S 7＜S 8B ．S 15＜S 16C ．S 13＞0D ．S 15＞0答案：C解析：解答：根据数列的增减性，由已知可知该等差数列{a n }是递减的，且S 7最大即S n ≤S 7对一切n ∈N *恒成立．可见选项A 错误；易知a 16＜a 15＜0，S 16＝S 15＋a 16＜S 15，选项B 错误；S 15＝152 (a 1＋a 15)＝15a 8＜0，选项D 错误； S 13＝132(a 1＋a 13)＝13a 7＞0.分析：因为公差非零的等差数列具有单调性(递增数列或递减数列)，根据数列的增减性，即可.7．在等差数列{a n}中，a9＝12a12＋6，则数列{a n}的前11项和S11＝( )A．24 B.48 C．66 D.132 答案：D解析：解答：由a9＝12a12＋6，得2a9－a12＝12.由等差数列的性质得，a6＋a12－a12＝12，a6＝12，S11＝()11161111222a a a+⨯=＝＝132，故选D.分析：根据等差数列的性质m+n=p+q，a m+a n=a p+a q，代入等差数列的前n项和公式求解即可．8、数列{a n}中，a1=﹣60，且a n+1=a n+3，则这个数列的前30项的绝对值之和为（）A、495B、765C、3105D、120答案：B解析：解答：∵a n+1﹣a n=3，∴a n=3n﹣63，知数列的前20项为负值，∴数列的前30项的绝对值之和为：﹣a1﹣a2﹣…﹣a20+a21+…+a30=﹣s20+（s30﹣s20）=765 故选B.分析：在理解概念的基础上，由学生将等差数列的文字语言转化为数学语言，归纳出数学表达式，对于绝对值的应用，若记不住它的前几项的绝对值和的表示，可以自己推导出来，但以后要记住．9、已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以S n表示{a n}的前n项和，则使得S n 达到最大值的n是（）A、21B、20C、19D、18答案：B解析：解答：设{a n}的公差为d，由题意得a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105，即a1+2d=35，①a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99，即a1+3d=33，②由①②联立得a1=39，d=﹣2，∴s n=39n+()12n n-×（﹣2）=﹣n2+40n=﹣（n﹣20）2+400，故当n=20时，S n达到最大值400．故选B．分析：求等差数列前n 项和的最值问题可以转化为利用二次函数的性质求最值问题，但注意n 取正整数这一条件．10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－3，a k ＋1＝32，S k ＝－12，则正整数k 的值为（ ）.A ．12 B.13 C.14 D.15 答案：B解析：解答： 根据数列前n 项和性质，可得S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝－12＋32＝212-， 又S k ＋1＝()()111+2k k a a -+＝()31322k ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭＝212-，解得k ＝13. 分析：本题考查等差数列的前n 项和公式的合理运用，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式的合理运用即可．11．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（ ） A 、5B 、4C 、3D 、2答案：C解析：解答：因为等差数列共有10项，奇数项之和为a 1+a 3+a 5+a 7+a 9=15①， 偶数项之和为a 2+a 4+a 6+a 8+a 10=30②，则②-①得5d=15，故d=3，故选C ．分析：等差数列的奇数项和和偶数项和的问题也可以这样解，让每一个偶数项减去前一奇数项，有几对得到几个公差，让偶数项和减去奇数项和的差除以公差的系数． 12．如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么S 7＝( )A ．14B ．21C ．28D ．35 答案：C解析：解答：由等差数列的性质知，a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝12⇒a 4＝4，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝(a 1＋a 7)＋(a 2＋a 6)＋(a 3＋a 5)＋a 4＝7a 4＝28. 分析：根据等差数列的性质m +n =p +q ，a m +a n =a p +a q ，代入等差数列的前n 项和公式求解即可．答案：C解析：解答：()()111212nn n na S d a n nn -+==+-，分析：本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，认真审题即可。
人教A版高中数学必修五同步练测：23 等差数列的前n项和(含答案解析).doc
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2.3 等差数列的前n 项和(人教A 版必修5)一、选择题（每小题3分，共27分）1.已知数列{}n a 为等差数列，公差2d ＝－，n S 为其前n 项和．若1011S S ＝，则1a ＝( )A.18B.20C.22D.242.若11a =，2d ＝，224k k S S ＋－＝，则k ＝( ) A.8 B.7 C.6 D.53.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1a =12，4S ＝20，则6S =( ) A.16 B.24 C.36 D.484.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11m m a a －＋＋－2ma ＝0，21m S －＝38，则m ＝( )A.38B.20C.10D.95.数列{}n a 是等差数列，12324a a a ＋＋＝－，1819a a ＋＋2078a ＝，则此数列的前20项和等于( )A.160B.180C.200D.2206.等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，当首项1a 和d 变化时，2811a a a ＋＋是一个定值，则下列各数中也为定值的是( )A.7SB.8SC.13SD.15S7.已知等差数列{}n a 满足244a a ＋＝，3510a a ＋＝，则它的前10项的和10S ＝( )A.138B.135C.95D.238.已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前n 项和为286，则项数n 为( ) A.24 B.26 C.27 D.289.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1OB a OA=200a OC +且,,A B C 三点共线(该直线不过点O )，则200S ＝( )A.100B.101C.200D.201二、填空题（每小题4分，共16分）10.在等差数列{}n a 中，10a ＞，d ＝12，n a ＝3，n S ＝152，则1a ＝ ，n ＝ . 11. 设等差数列的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++= ．12.已知等差数列{}n a 的前n 项和为18，若3S ＝1，n a 123n n a a －－＋＋＝，则n ＝ .13.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 ． 三、解答题（共57分）14.(8分)在等差数列{}n a 中：(1)已知51058a a ＋＝，4950a a ＋＝，求10S ； (2)已知742S ＝，510n S ＝，345n a －＝，求n .15.（8分) 已知}{n a 为等差数列，122,3a a ==，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的项构成一个新的等差数列，求：（1）原数列的第12项是新数列的第几项？（2）新数列的第29项是原数列的第几项？16.（8分）已知等差数列{}n a ， (1)若271221a a a ＋＋＝，求13S ； (2)若1575S ＝，求8a .17.（9分）已知在正整数数列{}n a 中，前n 项和n S 满足：n S ＝18(n a ＋2)2.(1)求证：{}n a 是等差数列；(2)若n b ＝12n a －30，求数列{}n b 前n 项和的最小值．18.（12分）设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,且4S =－62, 6S =－75,求：（1）}{n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）|1a |+|2a |+|3a |+…+|14a |.19.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和278n S n n ＝－－. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n a 的前n 项和n T .2.3 等差数列的前n和(人教A版必修5)答题纸得分：一、选择题二、填空题10． 11． 12. 13.三、解答题14.15.16.17.18.19.2.3 等差数列的前n项和(人教A版必修5)答案1.B 解析：由1011S S ＝，得1111100a S S ＝－＝，111(111)0(10)(2)20a a d ⨯＝＋－＝＋－－＝.2.D 解析：∵ 212111(1)2(21)21(21)24424k k k k S S a a a kd a k d a k d k k ⨯⨯＋＋＋－＝＋＝＋＋＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝，∴ 5k ＝.3.D 解析：设等差数列{}n a 的公差为d ，∵ 1a ＝12，4S ＝4×12＋4×32d ＝2＋6d ＝20，∴ d ＝3，故6S ＝6×12＋6×52×3＝48，故选D.4.C 解析：由等差数列的性质，得112m m m a a a －＋＋＝，∴ 22m m a a ＝.由题意得0m a ≠，∴ 2m a ＝.又21m S －＝121(21)()2(21)22m m m a a a m --+-=＝2(21)m －＝38，∴ m ＝10.5.B 解析：∵ {}n a 是等差数列，∴ 120219318a a a a a a ＋＝＋＝＋.又12324a a a ＋＋＝－，18192078a a a ＋＋＝，∴ 12021931854a a a a a a ＋＋＋＋＋＝. ∴ 1203()54a a ＋＝.∴ 12018a a ＋＝.∴ 20S ＝12020()2a a +＝180. 6.C 解析：由已知28111173183(6)3a a a a d a d a ＋＋＝＋＝＋＝为定值，则13S ＝11313()2a a +＝137a 也为定值，故选C. 7.C 解析：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则24354,10.a a a a +=⎧⎪⎨+=⎪⎩①②②－①，得2d ＝6，∴ d ＝3.∴ 2411113242434a a a d a d a d a ⨯＋＝＋＋＋＝＋＝＋＝.∴ 14a ＝－.∴ 10S ＝10×(－4)＋10×92×3＝－40＋135＝95.故选C.8.B 解析：设该等差数列为{}n a ，由题意得123421a a a a ＋＋＋＝，12367n n n n a a a a －－－＋＋＋＝. 又∵ 1213243n n n n a a a a a a a a －－－＋＝＋＝＋＝＋，∴ 14()216788n a a ＋＝＋＝，∴ 122n a a ＋＝， ∴ n S ＝1()2n n a a +11286n ＝＝，∴ 26n ＝. 9.A 解析：∵ 1200OB a OA a OC =+，且,,A B C 三点共线， ∴ 12002001a a S ＋＝，＝1200200()2a a +100＝.二、填空题10.23 解析：由题意，得1113(1)21511=(1),222a n na n n ⎧=+-⨯⎪⎪⎨⎪+⨯-⨯⎪⎩，解得12,3.a n =⎧⎨=⎩ 11.24 解析：∵ }{n a 是等差数列,972S =,599,S a ∴=58a =.∴2492945645()()324a a a a a a a a a a ++=++=++==. 12.27 解析：由题意得1()182n n n a a S +==. 由121233,1,n n n a a a a a a --++=⎧⎨++=⎩得13()4n a a ＋＝，即1n a a ＋＝43，故n ＝136362743n a a ==+. 13.3 解析：1357915S a a a a a 奇＝＋＋＋＋＝，24681030S a a a a a 偶＝＋＋＋＋＝，∴ 515S S d 偶奇－＝＝，∴ 3d ＝.14.(1)解法一：由已知条件得510149121358,21150,a a a d a a a d +=+=⎧⎨+=+=⎩解得13,4.a d =⎧⎨=⎩∴ 10110S a ＝＋10(101)2d ⨯-⨯103⨯＝＋1092⨯4210⨯＝. 解法二：由已知条件得51011049110458,250,a a a a d a a a a d +=++=⎧⎨+=++=⎩∴ 11042a a ＋＝，∴ 10S ＝11010()2a a ⨯+542210⨯＝＝.解法三：由51049()()25850a a a a d ＋－＋＝＝－，得4d ＝； 由4950a a ＋＝，得121150a d ＋＝，∴ 13a ＝. 故10103S ⨯＝＋10942102⨯⨯=. (2)解：7S ＝177()2a a +4742a ＝＝，∴ 46a ＝. ∴ n S ＝()()()14345510222-+++===6n n n a a n a a n .∴ 20n ＝.15.解：设新数列为{},4,)1(,3,2,1512511d b b d n b b a b a b b n n +=-+=====有根据则即3=2+4d ，∴ 14d =，∴ 172(1)44n n b n +=+-⨯=. 1(43)7(1)114n n a a n n -+=+-⨯=+=又，∴ 43n n a b -=.即原数列的第n 项为新数列的第（4n －3）项．（1）当n =12时，4n －3=4×12－3=45，故原数列的第12项为新数列的第45项； （2）由4n －3=29,得n =8，故新数列的第29项是原数列的第8项. 16.解：(1)∵ 21211372a a a a a ＋＝＋＝，271221a a a ＋＋＝， ∴ 7321a ＝，即7a ＝7. ∴ 13S ＝11313()2a a +＝71322a ⨯＝91. (2)∵ 15S ＝11515()2a a +＝81522a ⨯＝75，∴ 8a ＝5. 17.（1）证明：由21(2)8n n S a ＝＋，得2111(2)8n n S a －－＝＋(n ≥2)．当n ≥2时，n a ＝n S －1n S －＝182(2)n a ＋－1821(2)n a －＋，整理，得11()(4)0n n n n a a a a －－＋－－＝.∵ 数列{}n a 为正整数数列，∴ 10,n n a a +≠－ ∴ 14n n a a －－＝，即{}n a 为等差数列．(2)解：∵ 1S ＝1821(2)a ＋，∴ 1a ＝1821(2)a ＋，解得1a ＝2.∴ n a ＝2＋4(n －1)＝4n －2.∴ n b ＝12n a －30＝12(4n －2)－30＝2n －31.令n b <0，得n <312. ∴ 15S 为前n 项和的最小值，即151215S b b b ＝＋＋＋＝2(1＋2＋…＋15)－15×31＝－225. 18.解：设等差数列的首项为1a ，公差为d ，依题意得⎩⎨⎧-=+-=+，，75156626411d a d a解得120,3.=⎧⎨=⎩－a d(1)2)23320(2)(,233)1(11-+-=+=-=-+=n n n a a S n d n a a n n n 234322n n =-.(2){}120,3,n a d a n =-=∴的项随着的增大而增大.1Z 202300,32303(1)230,(),7,337+≤≥-≤+-≥∴≤≤∈=k k a a k k k k k 设且得且数.即第项及之前均为负∴ 123141278914||||||||()()a a a a a a a a a a ++++=-+++++++1472147S S =-=.19.解：(1)当n ＝1时，11a S ＝＝－14； 当n ≥2时，1n n n a S S －＝－＝2n －8， 故n a ＝14(1),28(2).n n n -=⎧⎨-≥⎩(2)由n a ＝2n －8可知：当n ≤4时，n a ≤0；当n ≥5时，0n a >. ∴ 当1≤n ≤4时，278n n T S n n ＝－＝－＋＋；当n ≥5时，22444()2782(20)732n n n T S S S S S n n n n ⨯＝－＋－＝－＝－－－－＝－＋.∴ n T ＝2278(14),732(5).n n n n n n ⎧-++≤≤⎪⎨-+≥⎪⎩。
人教A版高中数学必修五 2.3等差数列的前n项和 测试(教师版)
2.3 等差数列前n 项数和 （检测教师版）时间:40分钟 总分：60分班级： 姓名：一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分）1．等差数列{a n }中，a 3＋a 7－a 10＝8，a 11－a 4＝14.记S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则S 13＝ ( D )A ．168B ．156C ．152D ．286 【答案】D【解析】 ∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＋a 7－a 10＝8a 11－a 4＝14，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1－d ＝87d ＝14，∴⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2a 1＝10，∴S 13＝13a 1＋13×122d ＝286.2．在等差数列{a n }和{b n }中，a 1＝25，b 1＝15，a 100＋b 100＝139，则数列{a n ＋b n }的前100项的和为 ( C )A ．0B ．4475C ．8950D ．10 000 【答案】C【解析】设c n ＝a n ＋b n ，则c 1＝a 1＋b 1＝40，c 100＝a 100＋b 100＝139，{c n }是等差数列，∴前100项和S 100＝c 1＋c 1002＝＋2＝8950.3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 17＝170，则a 7＋a 9＋a 11的值为 ( D )A ．10B ．20C ．25D ．30 【答案】D【解析】∵S 17＝17a 9＝170，∴a 9＝10，∴a 7＋a 9＋a 11＝3a 9＝30.4．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是 ( C )A ．5B ．4C ．3D ．2 【答案】C【解析】设等差数列为{a n }，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝15a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝30，∴5d ＝15，∴d ＝3.5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 7a 5＝913，则S 13S 9＝ ( A )A ．1B ．－1C ．2D ．12【答案】A【解析】S 13S 9＝13a 79a 5＝139×913＝1.6．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝2，S 4＝10，则S 6等于 ( C )A ．12B ．18C ．24D ．42 【答案】C【解析】∵S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，∴2(S 4－S 2)＝S 2＋S 6－S 4，∴2(10－2)＝2＋S 6－10，∴S 6＝24. 二、填空题（共2小题，每题5分，共10分）7．已知数列{a n }的通项公式a n ＝－5n ＋2，则其前n 项和S n ＝－5n 2＋n2.【答案】－5n 2＋n2.【解析】 ∵a n ＝－5n ＋2，∴a n －1＝－5n ＋7(n ≥2)，∴a n －a n －1＝－5n ＋2－(－5n ＋7)＝－5(n ≥2)．∴数列{a n }是首项为－3，公差为－5的等差数列．∴S n ＝n a 1＋a n 2＝n－5n －2＝－5n 2＋n 2.8．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 200OC →，且A 、B 、C 三点共线(该直线不过原点O )，则S 200＝100. 【答案】100【解析】∵OB →＝a 1OA →＋a 200OC →，且A 、B 、C 三点共线，∴a 1＋a 200＝1，∴S 200＝a 1＋a 2002＝100.三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）9．设{a n }是等差数列，前n 项和记为S n ，已知a 10＝30，a 20＝50.(1)求通项a n ；(2)若S n ＝242，求n 的值． 【答案】见解析【解析】 (1)设公差为d ，则a 20－a 10＝10d ＝20，∴d ＝2.∴a 10＝a 1＋9d ＝a 1＋18＝30，∴a 1＝12.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝12＋2(n －1)＝2n ＋10. (2)S n ＝na 1＋a n 2＝nn ＋2＝n 2＋11n ＝242，∴n 2＋11n －242＝0，∴n ＝11.10．设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列{S nn }的前n 项和，求数列{S nn }的前n 项和T n .【答案】见解析【解析】 设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d .∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 1＋21d ＝715a 1＋105d ＝75，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝1a 1＋7d ＝5， 解得a 1＝－2，d ＝1.∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12(n －1)，∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列{S n n }是等差数列，其首项为－2，公差为12，∴T n ＝14n 2－94n .。
人教A版数学高二必修5检测 2.3等差数列的前n项和
课时跟踪检测（九） 等差数列的前n 项和层级一 学业水平达标1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2－3n ，则{a n }的前n 项和S n 等于( )A ．－32n 2＋n 2B ．－32n 2－n 2 C.32n 2＋n 2 D.32n 2－n 2解析：选A ∵a n ＝2－3n ，∴a 1＝2－3＝－1，∴S n ＝n (－1＋2－3n )2＝－32n 2＋n 2. 2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 7>0，a 8<0，则下列结论正确的是( )A ．S 7<S 8B ．S 15<S 16C ．S 13>0D ．S 15>0解析：选C 由等差数列的性质及求和公式得，S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7>0，S 15＝15(a 1＋a 15)2＝15a 8<0，故选C. 3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．63B ．45C ．36D ．27解析：选B ∵a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，而由等差数列的性质可知，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6构成等差数列，所以S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3)，即a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝2×36－3×9＝45.4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n,7a 5＋5a 9＝0，且a 9>a 5，则S n 取得最小值时n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B 由7a 5＋5a 9＝0，得a 1d ＝－173. 又a 9>a 5，所以d >0，a 1<0.因为函数y ＝d 2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 的图象的对称轴为x ＝12－a 1d ＝12＋173＝376，取最接近的整数6，故S n 取得最小值时n 的值为6.5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( ) A ．1B ．－1C ．2D.12解析：选A S 9S 5＝92(a 1＋a 9)52(a 1＋a 5)＝9×2a 55×2a 3 ＝9a 55a 3＝95×59＝1. 6．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，则该数列的公差为________． 解析：数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝An 2＋Bn －A (n －1)2－B (n －1)＝2An ＋B －A ，当n ＝1时满足，所以d ＝2A .答案：2A7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S m ＝－2，S m ＋1＝0，S m ＋2＝3，则m ＝________.解析：因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，所以S m m ＋S m ＋2m ＋2＝2S m ＋1m ＋1，即－2m ＋3m ＋2＝0，解得m ＝4. 答案：48．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．解析：设等差数列{a n }的项数为2n ＋1，S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝(n ＋1)a n ＋1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n )2＝na n ＋1， 所以S 奇S 偶＝n ＋1n ＝4433，解得n ＝3，所以项数2n ＋1＝7， S 奇－S 偶＝a n ＋1，即a 4＝44－33＝11为所求中间项．答案：11 79．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，求数列{a n }的通项公式． 解：由已知条件，可得S n ＋1＝2n ＋1，则S n ＝2n ＋1－1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1－1)－(2n －1)＝2n ，又当n ＝1时，3≠21，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2. 10．在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项的和，已知a 1＋a 3＝22，S 5＝45.(1)求a n ，S n ；(2)设数列{S n }中最大项为S k ，求k . 解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2＝22，5a 3＝45， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝11，a 3＝9，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13，d ＝－2，所以a n ＝－2n ＋15，S n ＝－n 2＋14n . (2)由a n ≥0可得n ≤7，所以S 7最大，k ＝7.层级二 应试能力达标1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝( )A ．12B ．14C ．16D ．18 解析：选B 因为S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30，由S n ＝n (a 1＋a n )2＝210，得n ＝14. 2．在等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S 2 011＝S 2 014，S k ＝S 2 009，则正整数k 为( )A ．2 014B ．2 015C ．2 016D ．2 017解析：选C 因为等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数，所以由二次函数的对称性及S2 011＝S2 014，S k＝S2 009，可得2 011＋2 0142＝2 009＋k2，解得k＝2 016.故选C.3．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，S1<0,2S21＋S25＝0，则S n取最小值时，n的值为()A．11 B．12C．13 D．14解析：选A设等差数列{a n}的公差为d，由2S21＋S25＝0得，67a1＋720d＝0，又d>0，∴67a11＝67(a1＋10d)＝67a1＋670d<0,67a12＝67(a1＋11d)＝67a1＋737d>0，即a11<0，a12>0.故选A.4．已知等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为A n和B n，且A nB n＝7n＋45n＋3，则使得a nb n为整数的正整数n的个数是()A．2 B．3 C．4 D．5解析：选D∵a nb n＝a1＋a2n－12b1＋b2n－12＝a1＋a2n－12(2n－1)b1＋b2n－12(2n－1)＝A2n－1B2n－1＝7(2n－1)＋452n－1＋3＝14n＋382n＋2＝7＋12n＋1，∴当n取1,2,3,5,11时，符合条件，∴符合条件的n的个数是5.5．若数列{a n}是等差数列，首项a1<0，a203＋a204>0，a203·a204<0，则使前n项和S n<0的最大自然数n是________．解析：由a203＋a204>0⇒a1＋a406>0⇒S406>0，又由a1<0且a203·a204<0，知a203<0，a204>0，所以公差d>0，则数列{a n}的前203项都是负数，那么2a203＝a1＋a405<0，所以S405<0，所以使前n项和S n<0的最大自然数n＝405.答案：4056．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4≤4，S5≥15，则a4的最小值为________．解析：S4＝2(a1＋a4)≤4⇒2a3－d≤2，S5＝5a3≥15⇒a3≥3.因为2a3－d≤2，所以d－2a3≥－2，又因为a3≥3，所以2a3≥6，所以d≥4，所以a4＝a3＋d≥7，所以a4的最小值为7.答案：77．已知等差数列{a n}的公差d>0，前n项和为S n，且a2a3＝45，S4＝28.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n ＝S n n ＋c(c 为非零常数)，且数列{b n }也是等差数列，求c 的值． 解：(1)∵S 4＝28，∴(a 1＋a 4)×42＝28，a 1＋a 4＝14，a 2＋a 3＝14， 又a 2a 3＝45，公差d >0，∴a 2<a 3，∴a 2＝5，a 3＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝5，a 1＋2d ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝4n －3. (2)由(1)，知S n ＝2n 2－n ，∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c ， ∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. 又{b n }也是等差数列，∴b 1＋b 3＝2b 2，即2×62＋c ＝11＋c ＋153＋c， 解得c ＝－12(c ＝0舍去)．8．在等差数列{a n }中，a 10＝23，a 25＝－22.(1)数列{a n }前多少项和最大？(2)求{|a n |}的前n 项和S n .解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＝23，a 1＋24d ＝－22，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝50，d ＝－3， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋53.令a n >0，得n <533， ∴当n ≤17，n ∈N *时，a n >0；当n ≥18，n ∈N *时，a n <0，∴{a n }的前17项和最大．(2)当n ≤17，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－32n 2＋1032n . 当n ≥18，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－a 18－a 19－…－a n ＝2(a 1＋a 2＋…＋a 17)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2⎝⎛⎭⎫－32×172＋1032×17－⎝⎛⎭⎫－32n 2＋1032n ＝32n 2－1032n ＋884. ∴S n＝⎩⎨⎧ －32n 2＋1032n ，n ≤17，n ∈N *，32n 2－1032n ＋884，n ≥18，n ∈N *.。
高中数学 2.3等差数列及前n项的和(1)同步练习新人教A版必修5 试题
心尺引州丑巴孔市中潭学校等差数列前n 项和公式1．等差数列的前n 项和的公式：=n S _________________________；或 =n S _________________________．2．等差数列的前n 项和的有关公式：〔1〕等差数列{}n a 中，232,,,.............m m m m m s s s s s --仍然为等差数列. 〔2〕由=n S d n n na 2)1(1-+可知：在数列{}n a 的前n 项和=n S C Bn An ++2中， 假设0=C ，那么{}n a 为等差数列．〔3〕等差数列{}n a 中，n s n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭仍然为等差数列.【课堂检测】1．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且164=a ，810=a ，那么13S 等于〔 〕 Ａ．168Ｂ．156 Ｃ．78 Ｄ．152 2．设等差数列的通项公式n a n 420-=．那么该数列的前多少项和最大 〔 〕Ａ．前三项 Ｂ．前四项或前五项 Ｃ．前五项Ｄ．前六项 3．等差数列{}n a 中，405=S ，1952=+a a ，那么=1a _____．4. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，假设==5935,95S S a a 则〔 〕 A 1 B 1- C 2 D 21 5．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，那么a 9＝( ) A ．－6 B ．－4C ．－2D ．2 6.等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，那么它的前10项的和10S =〔 〕A ．138B ．135C ．95D ．23 7.在数列{}n a 中，542n a n =-，212n a a a an bn ++⋅⋅⋅+=+，*n N ∈，其中a 、b 为常数，那么ab =〔 〕A ． -1 B. 0 C. -2 D. 18. 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设24S =，420S =，那么该数列的公差d =〔 〕 A ．2B ．3C ．6D ．7 9. 设数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++，那么通项n a = __________。
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高中数学学习材料唐玲出品2.3 等差数列的前n 项和(人教A 版必修5)一、选择题（每小题3分，共27分）1.已知数列{}n a 为等差数列，公差2d ＝－，n S 为其前n 项和．若1011S S ＝，则1a ＝( )A.18B.20C.22D.242.若11a =，2d ＝，224k k S S ＋－＝，则k ＝( ) A.8 B.7 C.6 D.53.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1a =12，4S ＝20，则6S =( ) A.16 B.24 C.36 D.484.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11m m a a －＋＋－2ma ＝0，21m S －＝38，则m ＝( )A.38B.20C.10D.95.数列{}n a 是等差数列，12324a a a ＋＋＝－，1819a a ＋＋2078a ＝，则此数列的前20项和等于( )A.160B.180C.200D.2206.等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，当首项1a 和d 变化时，2811a a a ＋＋是一个定值，则下列各数中也为定值的是( )A.7SB.8SC.13SD.15S7.已知等差数列{}n a 满足244a a ＋＝，3510a a ＋＝，则它的前10项的和10S ＝( )A.138B.135C.95D.238.已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前n 项和为286，则项数n 为( ) A.24 B.26 C.27 D.289.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1OB a OA=200a OC +且,,A B C 三点共线(该直线不过点O )，则200S ＝( )A.100B.101C.200D.201二、填空题（每小题4分，共16分）10.在等差数列{}n a 中，10a ＞，d ＝12，n a ＝3，n S ＝152，则1a ＝ ，n ＝ . 11. 设等差数列的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++= ．12.已知等差数列{}n a 的前n 项和为18，若3S ＝1，n a 123n n a a －－＋＋＝，则n ＝ .13.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 ． 三、解答题（共57分）14.(8分)在等差数列{}n a 中：(1)已知51058a a ＋＝，4950a a ＋＝，求10S ； (2)已知742S ＝，510n S ＝，345n a －＝，求n .15.（8分) 已知}{n a 为等差数列，122,3a a ==，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的项构成一个新的等差数列，求：（1）原数列的第12项是新数列的第几项？（2）新数列的第29项是原数列的第几项？16.（8分）已知等差数列{}n a ， (1)若271221a a a ＋＋＝，求13S ； (2)若1575S ＝，求8a .17.（9分）已知在正整数数列{}n a 中，前n 项和n S 满足：n S ＝18(n a ＋2)2.(1)求证：{}n a 是等差数列；(2)若n b ＝12n a －30，求数列{}n b 前n 项和的最小值．18.（12分）设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,且4S =－62, 6S =－75,求：（1）}{n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）|1a |+|2a |+|3a |+…+|14a |.19.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和278n S n n ＝－－. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n a 的前n 项和n T .2.3 等差数列的前n和(人教A版必修5)答题纸得分：一、选择题二、填空题10． 11． 12. 13.三、解答题14.15.16.17.18.19.2.3 等差数列的前n项和(人教A版必修5)答案1.B 解析：由1011S S ＝，得1111100a S S ＝－＝，111(111)0(10)(2)20a a d ⨯＝＋－＝＋－－＝.2.D 解析：∵ 212111(1)2(21)21(21)24424k k k k S S a a a kd a k d a k d k k ⨯⨯＋＋＋－＝＋＝＋＋＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝，∴ 5k ＝.3.D 解析：设等差数列{}n a 的公差为d ，∵ 1a ＝12，4S ＝4×12＋4×32d ＝2＋6d ＝20，∴ d ＝3，故6S ＝6×12＋6×52×3＝48，故选D.4.C 解析：由等差数列的性质，得112m m m a a a －＋＋＝，∴ 22m m a a ＝.由题意得0m a ≠，∴ 2m a ＝.又21m S －＝121(21)()2(21)22m m m a a a m --+-=＝2(21)m －＝38，∴ m ＝10.5.B 解析：∵ {}n a 是等差数列，∴ 120219318a a a a a a ＋＝＋＝＋.又12324a a a ＋＋＝－，18192078a a a ＋＋＝，∴ 12021931854a a a a a a ＋＋＋＋＋＝. ∴ 1203()54a a ＋＝.∴ 12018a a ＋＝.∴ 20S ＝12020()2a a +＝180. 6.C 解析：由已知28111173183(6)3a a a a d a d a ＋＋＝＋＝＋＝为定值，则13S ＝11313()2a a +＝137a 也为定值，故选C. 7.C 解析：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则24354,10.a a a a +=⎧⎪⎨+=⎪⎩①②②－①，得2d ＝6，∴ d ＝3.∴ 2411113242434a a a d a d a d a ⨯＋＝＋＋＋＝＋＝＋＝.∴ 14a ＝－.∴ 10S ＝10×(－4)＋10×92×3＝－40＋135＝95.故选C.8.B 解析：设该等差数列为{}n a ，由题意得123421a a a a ＋＋＋＝，12367n n n n a a a a －－－＋＋＋＝. 又∵ 1213243n n n n a a a a a a a a －－－＋＝＋＝＋＝＋，∴ 14()216788n a a ＋＝＋＝，∴ 122n a a ＋＝， ∴ n S ＝1()2n n a a +11286n ＝＝，∴ 26n ＝. 9.A 解析：∵ 1200OB a OA a OC =+，且,,A B C 三点共线， ∴ 12002001a a S ＋＝，＝1200200()2a a +100＝.二、填空题10.23 解析：由题意，得1113(1)21511=(1),222a n na n n ⎧=+-⨯⎪⎪⎨⎪+⨯-⨯⎪⎩，解得12,3.a n =⎧⎨=⎩ 11.24 解析：∵ }{n a 是等差数列,972S =,599,S a ∴=58a =.∴2492945645()()324a a a a a a a a a a ++=++=++==. 12.27 解析：由题意得1()182n n n a a S +==. 由121233,1,n n n a a a a a a --++=⎧⎨++=⎩得13()4n a a ＋＝，即1n a a ＋＝43，故n ＝136362743n a a ==+. 13.3 解析：1357915S a a a a a 奇＝＋＋＋＋＝，24681030S a a a a a 偶＝＋＋＋＋＝，∴ 515S S d 偶奇－＝＝，∴ 3d ＝.14.(1)解法一：由已知条件得510149121358,21150,a a a d a a a d +=+=⎧⎨+=+=⎩解得13,4.a d =⎧⎨=⎩∴ 10110S a ＝＋10(101)2d ⨯-⨯103⨯＝＋1092⨯4210⨯＝. 解法二：由已知条件得51011049110458,250,a a a a d a a a a d +=++=⎧⎨+=++=⎩∴ 11042a a ＋＝，∴ 10S ＝11010()2a a ⨯+542210⨯＝＝.解法三：由51049()()25850a a a a d ＋－＋＝＝－，得4d ＝； 由4950a a ＋＝，得121150a d ＋＝，∴ 13a ＝. 故10103S ⨯＝＋10942102⨯⨯=. (2)解：7S ＝177()2a a +4742a ＝＝，∴ 46a ＝. ∴ n S ＝()()()14345510222-+++===6n n n a a n a a n .∴ 20n ＝.15.解：设新数列为{},4,)1(,3,2,1512511d b b d n b b a b a b b n n +=-+=====有根据则即3=2+4d ，∴ 14d =，∴ 172(1)44n n b n +=+-⨯=. 1(43)7(1)114n n a a n n -+=+-⨯=+=又，∴ 43n n a b -=.即原数列的第n 项为新数列的第（4n －3）项．（1）当n =12时，4n －3=4×12－3=45，故原数列的第12项为新数列的第45项； （2）由4n －3=29,得n =8，故新数列的第29项是原数列的第8项. 16.解：(1)∵ 21211372a a a a a ＋＝＋＝，271221a a a ＋＋＝， ∴ 7321a ＝，即7a ＝7. ∴ 13S ＝11313()2a a +＝71322a ⨯＝91. (2)∵ 15S ＝11515()2a a +＝81522a ⨯＝75，∴ 8a ＝5. 17.（1）证明：由21(2)8n n S a ＝＋，得2111(2)8n n S a －－＝＋(n ≥2)．当n ≥2时，n a ＝n S －1n S －＝182(2)n a ＋－1821(2)n a －＋，整理，得11()(4)0n n n n a a a a －－＋－－＝.∵ 数列{}n a 为正整数数列，∴ 10,n n a a +≠－ ∴ 14n n a a －－＝，即{}n a 为等差数列．(2)解：∵ 1S ＝1821(2)a ＋，∴ 1a ＝1821(2)a ＋，解得1a ＝2.∴ n a ＝2＋4(n －1)＝4n －2.∴ n b ＝12n a －30＝12(4n －2)－30＝2n －31.令n b <0，得n <312. ∴ 15S 为前n 项和的最小值，即151215S b b b ＝＋＋＋＝2(1＋2＋…＋15)－15×31＝－225. 18.解：设等差数列的首项为1a ，公差为d ，依题意得⎩⎨⎧-=+-=+，，75156626411d a d a解得120,3.=⎧⎨=⎩－a d(1)2)23320(2)(,233)1(11-+-=+=-=-+=n n n a a S n d n a a n n n 234322n n =-.(2){}120,3,n a d a n =-=∴的项随着的增大而增大.1Z 202300,32303(1)230,(),7,337+≤≥-≤+-≥∴≤≤∈=k k a a k k k k k 设且得且数.即第项及之前均为负∴ 123141278914||||||||()()a a a a a a a a a a ++++=-+++++++1472147S S =-=.19.解：(1)当n ＝1时，11a S ＝＝－14； 当n ≥2时，1n n n a S S －＝－＝2n －8， 故n a ＝14(1),28(2).n n n -=⎧⎨-≥⎩(2)由n a ＝2n －8可知：当n ≤4时，n a ≤0；当n ≥5时，0n a >. ∴ 当1≤n ≤4时，278n n T S n n ＝－＝－＋＋；当n ≥5时，22444()2782(20)732n n n T S S S S S n n n n ⨯＝－＋－＝－＝－－－－＝－＋.∴ n T ＝2278(14),732(5).n n n n n n ⎧-++≤≤⎪⎨-+≥⎪⎩。