数学建模集训讲义(7-7节)

§7 煤矸石堆积
（1999年全国大学生数学建模竞赛C题）煤矿采煤时，会产出无用废料煤矸石．在平原地区，煤矿不得不征用土地堆放矸石．通常矸石的堆积方法是：
β= 的直线形上升轨道（角度过大，架设一段与地面角度约为25
运矸车无法装满），用在轨道上行驶的运矸车将矸石运到轨道顶端后向两侧倾倒，待矸石堆高后，再借助矸石堆延长轨道，这样逐渐堆起如下图所示的一座矸石山来．
现给出下列数据：
矸石自然堆放安息角（矸石自然堆积稳定后，其坡面与地面形成的夹α< ；
角）55
矸石容重（碎矸石单位体积的重量）约2吨/米3；
运矸车所需电费为 0.50元/度（不变）；
运矸车机械效率（只考虑堆积坡道上的运输）初始值（在地平面上）约30%，坡道每延长10米，效率在原有基础上约下降2%；
土地征用费现值为8万元/亩，预计地价年涨幅约10%；
银行存、贷款利率均为5%；
煤矿设计原煤产量为300万吨/年；
煤矿设计寿命为20年；
采矿出矸率（矸石占全部采出的百分比）一般为7%～10%． 另外，为保护耕地，煤矿堆矸土地应比实际占地多征用10%． 现在煤矿设计中用于处理矸石的经费（只计征地费及堆积时运矸车用的电费）为100万元/年，这笔钱是否够用？试制订合理的年度征地计划，并对不同的出矸率预测处理矸石的最低费用．
模型假设
1．矸石山是棱锥和圆锥的嵌入体，棱锥和圆锥的侧面与地面形成的夹角均为55α= （安息角），运矸车道SA 与地面的夹角25β= ；
2．矸石容重33210/c kg m =⨯；
3．原煤年产量理解为去掉矸石的净煤产量；
4．年度征地方案理解为最多于每年初征地一次；
5．煤矿用于处理矸石的经费100万元/年理解为每年初一次拨出；
6．银行利息为复利，煤矿使用银行资金存贷自由；
7．征地费于当时付出，电费于当年内付出，不可拖欠；
8．20年只堆积一个矸石山（参看最后的附注）．
模型建立
1．矸石山的底面积和征地费
1.1 矸石山的底面积、体积与高度的关系
在题图中A —SBOD 是棱锥部分，A —BCD 是圆锥部分，ΔSOB 是直
角三角形(OBS ∠为直角)．记矸石山高h AO =，OSB γ=∠，可得 tan tan tan 25sin 19tan tan tan55OB h OS h αβγγβα====⇒=
, ΔSOB 面积=11cos 2sin cos 22tan tan 2tan tan h h OS OB SOB h γγβαβα
⋅=⋅⋅=， 扇形O —BCD 的半径tan h OB α
=，而扇形角2BOD πγ∠=+，所以， 扇形O —BCD 的面积=22222tan tan h h πγγπαα
++⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭． 矸石山的底面积为ΔSOB 、ΔSOD 与扇形O —BCD 面积之和，得
()cos 22222.35tan tan tan S h h m γγπβαα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭
． （1）
征地面积至少为 ()
22()1.1 2.587S h S
h m == ． （2） 矸石山的体积为 ()33()30.784V h Sh h m == ． （3）
1.2 征地面积与采煤出矸率的关系
设出矸率为p ，记()1q p p =-．1kg 原煤，折合成含矸煤为11p -kg ，其中矸石量为1p p
-kg =q kg ．由于原煤产量为300万吨/年，则年均出矸量为
710300q ⨯，按矸石容重33210c kg m =⨯换成体积为63101.5m q ⨯，于是t 年后矸石山的体积为
6310() 1.5m V t qt ⨯=． （4）
由（3）、（4）式可得矸石山高度与t 的关系 ()()13()124.1h t qt m =．
（5） 将（5）代入（2），并注意1亩=220003
m ，得t 年后占地面积为 ()23()59.77S t qt =（亩） （6）
由（5）、（6）式得20年后矸石山高与占地面积分别为
()13(20)337.1h q m =，23(20)440.4S q =（亩）
． 例如，当0.1p =时，()(20)162
h m =，(20)102S =（亩）． 1.3 征地面积计划
因为地价年涨幅10%高于贷款利率5%，所以应在开始时一次性将用地全部购入，所缺经费向银行贷款．
例如，当0.1p =时，征地费为8102816Q =⨯=（万元）．
2．堆积矸石的电费
2.1 运矸车机械效率
当运矸车坡道行程为l ，高度为x 时，sin l x β=，从而运矸车机械效率为
()()100.310.02l x η=- ()10sin 0.004780.30.98
0.3x x e β-=⨯=． （7） 2.2 运矸车机械功
现在我们求堆积到高度h 时运矸车所作的机械功．设想把区间[]0,h 分成若干个小区间，取其中任一小区间并记作[],x x dx +，在此小区间上体积增量为()V x ∆，此时需把重量为()V x c ∆的物体从地面拉到x 处，做功微元为()()
x V x c x η∆，从而堆积到高度h 的机械功为 ()0
()()h
xc J h dV x x η=⎰ （8） 以（3）、（7）和()
29.8g m s =代入得
()()30.00478501.53710h x J h x e dx =⨯⎰焦耳 （9） （9）式右端的积分可以用下式算出： ()33322403666h bx bh x e dx h b h b hb e b ⎡⎤=-+-+⎰⎣⎦
（10） 2.3 电费
按照1度（电）=63.610⨯焦耳和0.50元/度，可以由（9）、（10）、
（5）算出从开始到t 年的电费．当0.1p =时，1t =到20t =年的电费为
为了与所给经费比较，将它们都按利率5%折合成现值．
20年总电费K 和总经费S 分别为
20()40411.05
1K t K t t ==∑-=（万元），20100126911.051S t t ==∑-=（万元） （11） 总电费K 与征地费Q 之和为1220（万元），未超过总经费S ． 对于不同的出矸率，费用的计算结果如下：
3．结论
开始时按10%的出矸率为20年堆积矸石征地102亩，不足经费向银行贷款，以后每年用当年经费缴电费并还贷，20年经费刚好够用．
若出矸率高于10%，如11%时，上述结果表明，经费已不足． 附注：上面的计算是基于20年只堆积一个矸石山的假设，若堆积多个矸石山，显然征地费将增加，而电费将减少，那么总费用如何呢．
若堆积两个矸石山，每个10年，不难算出，征地费为513×2=1026（万元），电费为185×2=370（万元），总费用1396（万元），大于上面的1220（万元）．
所以堆积一个矸石山是正确的．。