3.5 傅里叶光学基础
傅里叶光学知识点总结
傅里叶光学知识点总结
傅里叶光学的发展历史可以追溯到19世纪，法国科学家傅里叶首先提出了傅里叶变换的理论，他认为任意函数可以用一组正弦和余弦函数的叠加来表示，这一理论为后来的光学研究提供了重要的理论基础。
在傅里叶的理论指导下，光学研究者开始研究光波的频谱分析，揭示了光波在传播中的各种特性。
傅里叶光学的主要研究内容包括傅里叶变换、频谱分析、光的衍射、光的干涉、光的传播等。
傅里叶变换是傅里叶光学中的重要方法，它将一个函数分解为一组正弦和余弦函数的叠加，可以有效地描述光波的传播和衍射现象。
频谱分析则是通过傅里叶变换将光波分解成不同频率的成分，揭示了光波的复杂振动特性。
光的衍射和干涉是傅里叶光学中的重要现象，它们描述了光波在传播过程中受到的各种干扰和相互作用，为光学器件的设计和优化提供了重要信息。
傅里叶光学在实际光学技术中有着广泛的应用，其中包括光学成像、光学通信、光学信息处理等领域。
在光学成像中，傅里叶光学可以用于解析成像系统的分辨率和光学畸变，提高成像质量。
在光学通信中，傅里叶光学可以用于信号的调制和解调，提高光信号传输的速度和精度。
在光学信息处理中，傅里叶光学可以用于光学信号的滤波和去噪，提高信息处理的效率和质量。
总之，傅里叶光学是光学中的重要分支，它以傅里叶变换和频谱分析为基础，研究光波在传播过程中的各种特性和现象，并在实际的光学技术中发挥着重要的作用。
随着光学技术的不断发展，傅里叶光学将继续为光学研究和应用提供重要的理论和方法。
傅立叶光学基本原理
傅立叶光学基本原理实验目的：在4f 系统中，观察不同的衍射物通过两个凸透镜后的傅立叶变换，计算栅格常数实验原理：傅立叶变换，惠更斯原理，多缝衍射，阿贝成像原理该实验使用当中，在进行相干光学处理时，采用了如下图所示的双透镜系统（即4f 系统）。
这时输入图像（物）被置于透镜L1的前焦面，若透镜足够大，在L1的后焦面上即得到图像准确的傅立叶变换（频谱）。
并且，因为输入图像在L1的前焦面，需要利用透镜L2使像形成在有限远处。
在4f 系统中，L1的后焦面正好是L2的前焦面，因此系统的像面位于L2的后焦面，并且像面的复振幅分布是图像频谱准确的傅立叶变换。
物面L1 频谱面 L2 像面从几何光学看，4f 系统是两个透镜成共焦组合且放大倍数为1的成像系统。
在单色平面波照明下（相干照明），当输入图像置于透镜L1的前焦面时，在L1的后焦面上得到图像函数E *（x,y ）准确的傅立叶变换：E *（x,y ）=⎰⎰∞+∞-+-∞+∞-⨯dadb e b a E f y x A b f y a f x B B B )(2),(),,(λλπ其中，x,y 是L1后焦面（频谱面）的坐标。
由于L1的后焦面与L2的前焦面重合，所以在L2的后焦面又得到频谱函数E *（x,y ）的傅立叶变换，略去常数因子：⨯=)ˆ,ˆ,ˆ(ˆ)ˆ,ˆ(ˆB f y x A y x E ⎰⎰∞+∞-+-∞+∞-dadb e b a E b f y a f x B B )ˆˆ(2),(λλπ通过两次傅立叶变换，像函数与物函数成正比，只是自变量改变符号，这意味着输出图像与输入图像相同，只是变成了一个倒像。
第一次傅立叶变换把物面光场的空间分布变为频谱面上的空间频率分布，第二次傅立叶变换又将其还原到空间分布。
相干光学信息处理在频谱面上进行，通过在频谱面上加入各种空间滤波器可以达到改变频谱而达到处理图像信息的目的。
通过在物面处加上光栅，通过光的多缝干涉，使得不同空间频率的图像信息叠加在一起（空间频率是在空间呈现周期性分布的几何图形或物理量在某个方向上单位长度内重复的次数）。
傅里叶光学简介25页PPT
46、பைடு நூலகம்律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
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傅里叶光学实验傅里叶光学原理的发明最早可以追溯到1893年阿贝（Abbe ）为了提高显微镜的分辨本领所做的努力。
他提出一种新的相干成象的原理，以波动光学衍射和干涉的原理来解释显微镜的成像的过程，解决了提高成像质量的理论问题。
1906年波特（Porter ）用实验验证了阿贝的理论。
1948年全息术提出，1955年光学传递函数作为像质评价兴起，1960年由于激光器的出现使相干光学的实验得到重新装备，因此从上世纪四十年代起古老的光学进入了“现代光学”的阶段，而现代光学的蓬勃发展阶段是从上世纪六十年代起开始。
由于阿贝理论的启发，人们开始考虑到光学成像系统与电子通讯系统都是用来收集、传递或者处理信息的，因此上世纪三十年代后期起电子信息论的结果被大量应用于光学系统分析中。
两者一个为时间信号，一个是空间信号，但都具有线性性和不变性，所以数学上都可以用傅立叶变换的方法。
将光学衍射现象和傅立叶变换频谱分析对应起来，进而应用于光学成像系统的分析中，不仅是以新的概念来理解熟知的物理光学现象，而且使近代光学技术得到了许多重大的发展，例如泽尼克相衬显微镜，光学匹配滤波器等等，因此形成了现代光学中一门技术性很强的分支学科—傅里叶光学。
实验原理：我们知道一个复变函数f(x,y)的傅立叶变换为：( 1 )⎰⎰+-=ℑ=dxdy vy ux 2i y x f y x f v u F )](exp[),()},({),(πF (u,v)叫作f(x,y)的傅立叶变换函数或频谱函数。
它一般也为复变函数，f(x,y)叫做原函数，也可以通过求 F(u,v)逆傅立叶变换得到原函数f(x,y)：（2）⎰⎰+=ℑ=-dudv vy ux 2i v u F v u F y x f 1)](exp[),()},({),(π在光学系统中处理的是平面图形，当光波照明图形时从图形反射或透射出来的光波可用空间两维复变函数（简称空间函数）来表示。
在这些情况下一般都可以进行傅里叶变换或广义的傅里叶变换。
光学经典理论傅里叶变换
光学经典理论｜傅里叶光学基础2018-02-24 17:00今天的光学经典理论为大家带来的是傅里叶光学基础，傅里叶光学是现代光学的一个分支，将电信理论中使用的傅里叶分析方法移植到光学领域而形成的新学科。
光学人们可以看看！在电信理论中，要研究线性网络怎样收集和传输电信号，一般采用线性理论和傅里叶频谱分析方法。
在光学领域里，光学系统是一个线性系统，也可采用线性理论和傅里叶变换理论，研究光怎样在光学系统中的传播。
两者的区别在于，电信理论处理的是电信号，是时间的一维函数，频率是时间频率，只涉及时间的一维函数的傅里叶变换；在光学领域，处理的是光信号，它是空间的三维函数，不同方向传播的光用空间频率来表征，需用空间的三维函数的傅里叶变换。
包含内容60年代发明了激光器，使人们获得了新的相干光源后，傅里叶光学无论在理论和应用领域均得到了迅速发展。
傅里叶光学运用傅里叶频谱分析方法和线性系统理论对广泛的光学现象作了新的诠释。
其主要内容包括标量衍射理论、透镜成像规律以及用频谱分析方法分析光学系统性质等。
推导演示一个光学信息系统和一个电学信息系统有许多相同之处，它们都是收集信息和传递信息，它们都有共同的数学工具──线性系统理论和傅里叶分析。
从信息论角度,关心的是信息在系统中传递过程;同样，对一个光学系统来讲，物和像的关系，也可以根据标量衍射理论由系统中光场的传播来确定，因此光学系统可以看成一个通信信道。
这样，通信理论中已经成熟的线性系统理论可以用来描述大部分光学系统。
当物体用非相干光照射时，在系统像平面上强度分布与物体上强度分布成线性（正比）关系。
而用来描述电学系统的脉冲响应h(t，τ)概念，即系统对一窄脉冲δ(t)（狄喇克δ函数）的响应，也可以用来描述光学系统，即用光学系统对点光源δ(x，y)的响应(点光源的像)h(x,y；ξ，η)来描述系统的性质，两者的区别仅仅在于电学系统的脉冲响应是时间一维函数，光学系统的脉冲函数是空间二维函数，另外两者都具有位移不变性，前者分布不随时间位移而变，后者分布不随空间位移而变（即等晕条件）。
《傅里叶光学基础》课件
傅里叶光学是光学领域的重要基础知识，本课程将介绍傅里叶光学的基本原 理和应用领域，包括光通信、计算机技术和医疗影像。
傅里叶光学基础知识
1 传输函数
了解传输函数的概念以及在傅里叶光学中的作用。
2 光学变换
学习傅里叶变换和反变换，以及它们在光学领域的应用。
3 频谱分析
掌握频谱分析的方法和技巧，以及如何应用于光学系统的研究。
总结与展望
本课程回顾了傅里叶光学的基础知识和应用，介绍了其在光通信、计算机技 术和医疗影像中的重要性。希望通过本课程的学习，您能深入了解傅里叶光 学的原理和应用，并在相关领域取得更好的成就。
数据压缩
了解傅里叶光学在数据压缩领域的应用，如JPEG图像压缩算法。
频谱分析
学习傅里叶光学在信号处理和频谱分析中的作用。
傅里叶光学在现代医疗影像中的应用
1
CT扫描
掌握傅里叶光学在CT扫描中的重建算法和图
磁共振成像
2
像重建技术。
了解傅里叶光学在磁共振成像中的采样技术
和图像重建方法。
3
超声成像
学习傅里叶光学在超声成像中的频域分析和
傅里叶光学在光通信中的应用
高速数据传输
了解傅里叶光学在光通信中的高 速数据传输方案和技术。
光纤通信系统
探索调制与解调
学习傅里叶光学在光调制和解调 中的原理和技术。
傅里叶光学在现代计算机技术中的应 用
图像处理
探索傅里叶光学在图像处理中的应用，如图像滤波和频域图像增强。
分子影像学
4
图像增强技术。
探索傅里叶光学在分子影像学中的应用，如 光学断层成像和荧光成像技术。
傅里叶光学的发展现状
傅里叶光学基础
(x0 ,y0 )是对称中心
一维情况 二维情况
rect(x/a) rect(x/a) 1 0 0 x0 x x x0
rect(x rect(x,y)
y0
a b
y
20
第一章 §1.1 常用函数
矩形函数
光学意义 一维矩形函数 单缝 二维矩形函数 矩孔
的 的
透过率函数
透过率函数
21
一维情况
x x0 rect a
附录
2
sinc2 函数
2 2
sin (πx) sinc ( x) = [sinc( x)] = (πx) 2
sinc (x) sinc2(x) 表示: 表示:
1
a =1
光 学 意 义
单缝衍射花样
的
0 -1 1
光强分布
x
34
第一章 数学基础 §1.1 常用函数
课堂练习 (二)
1, ∧(x / 2) , ) 2, ∧(2x) , )
Sgn(x Sgn(x) = 2 Step (x) - 1 (x 请加以证明
作业之一
15
第一章 §1.1 常用函数
符号函数的性质
符号函数
与函数相乘
f( x ) 0 - f( x ) x > x0 x = x0 x < x0
Sgn( x-x0 ) f(x)=
作用
代表 变号 x < x0 函数 f(x)变符号
四,三角形函数 Triangle Function tri(x/a)
x ≤ a 其它
x x 1 , ∧ = 定义: 定义: a a 一维) (一维) 0,
原型
a>0
特点: 特点:
《傅里叶光学》课件
光通信
利用傅里叶光学原理实现高速光信号的传输和处 理，提高通信容量和速度。
3
光学仪器设计
傅里叶光学在光学仪器设计中的应用，如干涉仪 、光谱仪等。
傅里叶光学的发展前景和挑战
发展前景
随着光子技术的不断发展，傅里叶光学在光通信、光学仪器、生物医学等领域的应用前 景广阔。
傅里叶光学在光学显微镜、光谱仪和 OCT等生物医学成像技术中被广泛应 用。
光电子器件
利用傅里叶光学原理设计的光电子器 件，如光调制器、光滤波器和光开关 等。
02
傅里叶变换
傅里叶变换的定义和性质
傅里叶变换的定义
将一个时域信号转换为频域信号的过 程，通过正弦和余弦函数的线性组合 来表示信号。
傅里叶变换的性质
傅里叶变换在信号处理中的应用
频域滤波
通过在频域对信号进行滤波，可以实现信号的降噪、增强等处理 。
信号压缩
利用傅里叶变换可以将信号从时域转换到频域，从而实现对信号的 压缩和编码。
图像处理
傅里叶变换在图像处理中也有广泛应用，如图像滤波、图像增强、 图像压缩等。
03
光学信号的傅里叶分析
光学信号的表示和测量
05
傅里叶光学的实践应用
傅里叶光学的实验技术
光学干涉实验
利用干涉现象研究光的波动性质，验证傅里叶光学的 基本原理。
光学衍射实验
通过衍射实验观察光的衍射现象，理解傅里叶光学中 的衍射理论。
光学频谱分析实验
利用傅里叶变换对光信号进行频谱分析，研究光波的 频率成分。
傅里叶光学的应用案例
1 2
图像处理
干涉和衍射在光学系统中的应用
傅里叶光学基础01
专题：傅里叶光学基础Fundamentals of Fourier Optics§1.1 数学基础知识和傅里叶变换的基本概念§1.2 光波的傅里叶分析§1.3 平面波角谱理论§1.4 透镜的傅里叶变换§1.5 光阿贝成像原理§1.6 光全息术傅里叶光学：研究以光作为载波，实现信息传递、变换、记录和再现的问题。
§1.1 数学基础知识和傅里叶变换的基本概念一、一些常用函数在现代光学中，常用各种非初等函数和特殊函数来描述光场的分布。
常用函数定义图形表示应用阶跃函数1 x0step(x )1step( ) 2 0x x1x0 x 0直边（或刀口）的透过率符号函数1 0xsgn(x) 0 x 01 x 0孔径的一半嵌有相位板的复振幅透过率矩形函数xrect( )ax1 1/ 2a0 else狭缝或矩孔的透过率常用函数定义图形表示应用三角形函数| x|x1 x 1( ) aa0 else光瞳为矩形的非相干成像系统的光学传递函数狭缝或矩孔的sinc函数x sin( x/ a )sinc( )a x/ a 夫琅禾费衍射图样高斯函数2x xGaus( ) expa a 激光器发出的高斯光束x y2 2circ( )r圆域函数圆孔的透过率2 21 x y r0 else二、傅里叶级数的定义一个周期性函数g(x) ，周期为T（频率f = 1/T ），在满足狄里赫利条件（函数在一个周期内只有有限个极值点和第一类不连续点），可以展开为三傅里叶系数角傅里叶级数:ag x a nfx b nfx()cos(2)sin(2)n n2n1在[-T/2, T/2]区间逐项积分：a aT2T2T2T2g x dx dx a nfx dx b nfx dx T()cos(2)sin(2)00(1) nn2 2T2T2T2T2n1因此有：2T2a g(x)dx 02TT将公式(1)两端同乘以cos(2πmfx)，并利用三角函数的正交性：0,for m n0, sin(mx)sin(nx)dx cos(mx)cos(nx)dx,for m n ,sin(mx)cos(nx)dx0,for any m and n for m n for m n逐项积分：aT2T2g(x)cos(2mfx)dx cos(2mfx)dxT2T2= 02= 0T2T2a cos(2nfx)cos(2mfx)dxb sin(2nfx)cos(2mfx)dxn T n T22 n1(m n)T2aa nfx dx Tcos(2)n2n T222T2a g(x)cos(2nfx)dxn TT2系数：2T/2直流分量a g(x)dx0/2TT2T/2余弦分量的幅度a g(x)cos2nfx dxn TT/22T/2正弦分量的幅度b g(x)s in2nfx dxn TT/2用傅里叶级数展开表示矩形周期函数ag x a nfx b nfx ()cos2sin2n n2n1f 周期信号可分解为直流，基波( )和f nf各次谐波( )的线性组合。
傅里叶光学
补充读物傅里叶光学和数字图象处理光学与电通讯和电信息理论相互结合，逐渐形成了傅里叶光学。
傅里叶光学的数学基础是傅里叶变换，它的物理基础是光的衍射理论。
一、空间频率和复振幅设一维简谐波以相速度u 沿x 轴正方向传播，)(cos ),(0ϕωξ+−=x k t A t x简谐振动的时间周期性：时间周期T ，时间频率ν，时间角频率ω .简谐波还具有空间周期性？波速u ：(单位时间内振动状态的传播距离称为波速，相速)πλωλνλ2===T u . 空间周期性：空间周期：波长λ (表示振动在一个周期T 内所传播的距离，两个相邻的振动相位相同的点之间距离。
)空间频率：1/λ空间角频率：波数2π/λ若两个单色波沿其传播方向有不同的空间频率，意味着它们有不同的波长。
时间周期性和空间周期性的联系(对单色光)：λ ＝ uT 沿空间任意k 方向传播的单色平面波，复振幅 )(i 00e )(~ϕ−⋅=r k r A E ])cos cos cos ([i 0e ϕγβα−++=z y x k A ,其中α , β 和γ 为传播矢量k 的方位角。
在多数情况下，若不考虑光波随时间的变化，可以只用复振幅表示光波以简化计算。
二、空间频率概念的推广（二维）通常，要处理一个二维的复振幅分布或光强分布，如分析平面上的衍射花样，这时要推广空间频率。
沿k 方向传播的单色平面波，0z z =平面的复振幅分布为 γcos i 000e ),(~z k A y x E =)cos cos (i e βαy x k +对于沿一定方向传播的平面波，γcos i 0e z k ＝常数，则A y x E =),(~0)cos cos (i e βαy x k +x, y 平面上各点复振幅的差别仅来源于不同的(x, y )处有不同的相位差。
x y 平面上的相位分布？k 方向传播的平面波的波面如上图示，0z z =平面与任一波面的交线(虚线)上，各点的位相＝该波面的相位值；交线族 ＝ 等相位线族，其方程为 =+)cos cos (2βαλπy x 常数 故，0z z =平面上复振幅分布的特点：等位相线是一组平行线, 呈周期分布(周期为π2)。
《傅立叶变换光学》课件
光学设计：傅立叶光学在光学设计 领域也有着广泛的应用，如光学系 统设计、光学器件设计等。
傅立叶变换光学的发展历程
1807年，傅立叶提出傅立 叶变换理论
19世纪末，傅立叶变换在 光学领域得到应用
20世纪初，傅立叶光学理 论逐渐成熟
20世纪中叶，傅立叶光学 在成像、通信等领域得到 广泛应用
21世纪初，傅立叶光学在 生物医学、遥感等领域得 到进一步发展
傅立叶变换光学的应用领域
光学成像：傅立叶光学在光学成像 领域有着广泛的应用，如光学显微 镜、光学望远镜等。
光学测量：傅立叶光学在光学测量 领域也有着广泛的应用，如光学干 涉测量、光学衍射测量等。
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光学通信：傅立叶光学在光学通信 领域也有着广泛的应用，如光纤通 信、光波导通信等。
傅立叶变换在调制和解调中的应用
傅立叶变换在调制中的应用：将信 号从时域转换为频域，便于传输和 处理
傅立叶变换在信号处理中的应用： 通过傅立叶变换，可以对信号进行 滤波、压缩、加密等处理
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傅立叶变换在解调中的应用：将接 收到的信号从频域转换回时域，恢 复原始信号
傅立叶变换在通信系统中的应用： 傅立叶变换在通信系统中广泛应用， 如数字通信、无线通信、卫星通信 等
频谱分析：分析信 号的频率成分和能 量分布
滤波处理：通过傅 立叶变换进行滤波 处理，去除噪声或 提取特定频率成分
信号重构：将处理 后的频谱通过傅立 叶逆变换重构为时 域信号
图像的频谱分析和处理
傅立叶变换：将 图像从空间域转 换到频域
频谱分析：分析 图像的频率成分 和分布
频谱处理：对图 像的频率成分进 行修改和调整
傅里叶光学基础
光学信息处理
第1 节
第2节 第3节 第4节
1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换
4、函数comb(x)
设X为实数常数，则有
(1/X)g(x) comb(x/X) = (1/X) ∞- ∞g() comb[(x -)/X]d = (1/X) ∞- ∞g() ∞-∞[(x- )/X - n] d = ∞-∞ ∞- ∞g[X(/X)][x/X-/X-n]d(/X)
目 录
2018/11/7
光学信息处理
第1 节
第2节 第3节 第4节
第一章
傅里叶光学基础
第1章
1
目 录
2018/11/7
光学信息处理
第1 节
第2节 第3节 第4节
第一章 傅里叶光学基础
1．1 二维傅里叶分析 1．2 空间带宽积和测不准关系式 1．3 平面波的角谱和角谱的衍射 1．4 透镜系统的傅里叶变换性质
第1章
2
目 录
2018/11/7
光学信息处理
第1 节
第2节 第3节 第4节
1.1 二维傅里叶分析
1.1.1 定义及存在条件
复变函数器 g(x,y) 的傅里叶变换可表为
G(u,v) = F {g(x,y)} = ∞- ∞g(x,y)exp[-i2(ux+vy)]dxdy (1) 称g(x,y)为原函数，G(u,v)为变换函数或像函数。 (1)式的逆变换为
G(u) = ∞-∞ Cn (u - n fo)
4、函数comb(x)
(40)
comb(x) = ∞-∞(x - n)
= ∞-∞exp(i2nx) 函数的傅立叶级数表达式) 系数Cn =1．因此由(40)式可得 comb(x) comb(u)
《现代光学》课件第3章
15
第3章 傅里叶光学基础
2. 基尔霍夫衍射公式 现在讨论无限大不透明屏幕上透光孔所引起的衍射问 题。衍射装置如图3.1-3所示，从点源P0发出的单色光波， 传播并通过不透明屏S′上的一个小孔Σ，在屏后的P点观察。 假设开孔Σ的线度、P0点和P点到孔Σ的距离远大于波长λ， P0和P到Σ上任一点P1的矢径分别为r0和r。
(3.2-2)
(3.2-3)
52
第3章 傅里叶光学基础
式中: AΣ(ξ1,η1)和Az(ξ,η)分别为UΣ(x1,y1,z1)和U(x,y,z)的频谱 函数。所以衍射问题既可以看成是空域中复振幅UΣ(x1,y1,z1) 到U(x,y,z)的传播，也可以看成是频率域中频谱分布AΣ(ξ1,η1) 到Az(ξ,η)的传播。为了导出AΣ和Az之间的关系，令z1=0，即 衍射屏位于z=0的平面上。在无源点上U满足亥姆霍兹方程 ( +k2)U=0，应用到式(3.2-3)得到
46
第3章 傅里叶光学基础
同理有 因此式(3.1-37)可写成
47
(3.1-39) (3.1-40)
第3章 傅里叶光学基础
2. 准单色光波的衍射公式
实际光源都不是理想的单色光源，发出的光波都有一
定的线宽。如果光源的线宽比光波的平均频率小得多， 满
足
光源发出的光波称为准单色光。对于准单色
光，式(3.1-37)中的ν′、λ′可用
3.1.2 基尔霍夫衍射公式 1. 基尔霍夫积分定理 为了应用格林定理，取如图3.1-2所示的积分面S，S包
围的体积为V。令观察点P在封闭曲面S内，选择格林函数 G为以P点为中心，向外发散的单位振幅的球面波函数， 它在空间任一点P′处的复振幅为
(3.1-6)
傅里叶光学chap3-5 (2)
物面上的截止频率 fcuto=|M| fcut
§3.5衍射受限系统的相干传递函数 衍射受限系统的相干传递函数
相干传递函数等于光瞳函数 : 例
2. 出瞳为边长 的正方形 出瞳为边长a的正方形 x y P( x, y ) = rect rect a a
H ( f , f ) = rect
物平面： 物平面：x~y 与透镜距离： 与透镜距离：d0
xi 2 + yi 2 xi yi U ( xi , yi ) = c′ exp jk T λ (d − d ) , λ (d − d ) 2(di − d0 ) i 0 i 0
2 2 ∞
x + yi x x + yi y ) ∫∫ t ( x, y) exp(− jk i )dxdy U ( xi , yi ) = c′ exp( jk i 2di −∞ di
U i ( xi , y i ) =
∞
~ = Mx , ~ = My x0 y0 0 0
~ h ( xi −~ , y i −~ ) d x dy x0 y0 ~ 0 ~ 0
Kλ2 d i2 M2
x y ~0 ~ 0 , ∫∞ ∫U 0 M M −
∞
几何光学像 或理想像
~ ,~ ) ~ ( x −~ , y −~ ) d x dy = ∫∫U g ( x0 y 0 h i x0 i y 0 ~ 0 ~ 0
f 2+ f 2 x y H c ( f x , f y ) = P (λ d i f x , λ d i f y ) = circ D / 2λ d i
f cut
D = 2λ d i
= circ
傅里叶光学chap3-5 (1)
§3-8 相干与非相干成像系统的比较
二、对空间频率分量的传递作用
例：P80-81
有两个物体
例3.5/3.6题
x 分别通过衍射受限系统 A : t1 x cos 2 b 成像(1:1) 系统的出瞳是 x 半径为a的圆孔, 并且: B : t 2 x cos 2 ld i 2 ld i b a b b di:出瞳到像面的距离, λ :波长
讨论它们在相干照明和非相干照明下成像，哪一种光照为好？ 讨论：从像强度的频谱分析入手 物A:
x t1 x cos2 b
~ 2 b 基频: f 0 b 2
调制度 modulation , 又称为对比度、反衬度 是评价像质的定量方法之一。 像的调制度V的定义:
IM Im V IM Im
IM : 最大光强 Im : 最小光强
V=
0, 即IM= Im，像面光强无变化;
1, 即Im=0，对比度最高, 条纹结构最清晰。
一般情况下0<V<1
§3.6衍射受限系统的非相干传递函数
思路: 首先求出物(几何像)强度的频谱 确定系统的OTF与 截止频率在通频带内对于每个物频谱分量求出OTF的值 求出像频谱综合出像强度. 解: (1) M=1, 单位强度的平面波垂直照明.几何光学理想像分布 等于物体的强度透过率. Ig(x0)=∑ (x0-nd) (2) 输入的归一化频谱: (3) 系统的OTF:
非相干照明
像的频谱: 相干 Gc f x , f y Ggc f x , f y Hc f x , f y ☆ Ggc f x , f y Hc f x , f y 非相干 Gi f x , f y [Ggc ( f x , f y ) ☆ Ggc ( f x , f y )][Hc ( f x , f y ) ☆ Hc ( f x , f y )] 在两种情况下像强度的频谱可能很不相同. 成像结果不仅依赖于系统的结构与照明光的相干性， 而且也与物的空间结构有关。
衍射及傅里叶光学的数理基础
的分布图叫做 f（x）的振幅频谱，而 cn 的辐角 n 随 的分布图叫
做 f（x）的位相频谱。由上式可得出：
cn
cn cn
1 2
an2 bn2
n
arctan
bn an
6
锯齿波及其振幅频谱
锯齿波表示为: f x x f x 2 f x
求傅里叶系数
1
a0
2
xdx 2
2
g(r, ) 0 0 G(,)exp[ j2 rcos( )]dd
26
当二元函数具有圆对称性时，可表示为 g(r,) gR (r) ，可得：
2
G(,) 0 r gR (r) 0 exp[ j2 r cos( )]d dr
利用性质
2 0
exp(
j
xcos )d
2 J0 (x)
，并令
右图为矩形函数的频谱图。定义 F() 的主瓣宽度为矩形函数的频 带宽度，由图可知， rect(ax) 的频
带宽度 w=2a。
F() 1 a
3a 2a a
a
(b)
u
2a 3a
12
高斯函数的傅里叶变换：
f (x) exp( x2 )
F() exp( x2 )exp( j2 x)dx
exp(2 ) exp[ (x ju)2 ]dx
2
§2.3 傅里叶变换的 基本概念及运算
2.3.1 傅里叶级数及频谱的概念
3
1 傅里叶级数的定义
设 f（x）是周期为 T 的周期函数，满足狄里赫利条件，
于是 f（x）可展开为傅里叶级数：
f
(x)
a0 2
n 1
an
cos
2 nx
傅立叶光学基本原理
傅立叶光学基本原理实验目的：在4f 系统中，观察不同的衍射物通过两个凸透镜后的傅立叶变换，计算栅格常数实验原理：傅立叶变换，惠更斯原理，多缝衍射，阿贝成像原理该实验使用当中，在进行相干光学处理时，采用了如下图所示的双透镜系统（即4f 系统）。
这时输入图像（物）被置于透镜L1的前焦面，若透镜足够大，在L1的后焦面上即得到图像准确的傅立叶变换（频谱）。
并且，因为输入图像在L1的前焦面，需要利用透镜L2使像形成在有限远处。
在4f 系统中，L1的后焦面正好是L2的前焦面，因此系统的像面位于L2的后焦面，并且像面的复振幅分布是图像频谱准确的傅立叶变换。
物面L1 频谱面 L2 像面从几何光学看，4f 系统是两个透镜成共焦组合且放大倍数为1的成像系统。
在单色平面波照明下（相干照明），当输入图像置于透镜L1的前焦面时，在L1的后焦面上得到图像函数E *（x,y ）准确的傅立叶变换：E *（x,y ）=⎰⎰∞+∞-+-∞+∞-⨯dadb e b a E f y x A b f y a f x B B B )(2),(),,(λλπ其中，x,y 是L1后焦面（频谱面）的坐标。
由于L1的后焦面与L2的前焦面重合，所以在L2的后焦面又得到频谱函数E *（x,y ）的傅立叶变换，略去常数因子：⨯=)ˆ,ˆ,ˆ(ˆ)ˆ,ˆ(ˆB f y x A y x E ⎰⎰∞+∞-+-∞+∞-dadb e b a E b f y a f x B B )ˆˆ(2),(λλπ通过两次傅立叶变换，像函数与物函数成正比，只是自变量改变符号，这意味着输出图像与输入图像相同，只是变成了一个倒像。
第一次傅立叶变换把物面光场的空间分布变为频谱面上的空间频率分布，第二次傅立叶变换又将其还原到空间分布。
相干光学信息处理在频谱面上进行，通过在频谱面上加入各种空间滤波器可以达到改变频谱而达到处理图像信息的目的。
通过在物面处加上光栅，通过光的多缝干涉，使得不同空间频率的图像信息叠加在一起（空间频率是在空间呈现周期性分布的几何图形或物理量在某个方向上单位长度内重复的次数）。
傅里叶光学复习要点
1、 用宽度为a 的狭缝，对平面上光强分布)2cos(2)(0x f x f π+=扫描，在狭缝后用光电探测器，求输出强度分布。
宽度对输出像有什么影响？用矩形函数表示狭缝的透过率h (x ), 并对光强的空间分布f(x)扫描，在狭缝后面用光电探测器记录光强分布g(x).这一扫描记录过程包含了平移、相乘、积分几个环节，由于h(x)是偶函数，折叠不发生变化。
因而这是一个卷积运算过程。
当狭缝很窄，g(x)越接近于f(x)；当狭缝越宽，平滑效应就越严重，g(x)中已失去f(x)的细节。
2、 菲涅耳衍射公式和夫琅和费衍射公式的应用。
z y z x y x z k j y x U F y x z k j jkz z j y x U ληλξλ==⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=,202000022)(2ex p ),()(2ex p )ex p(1),(菲涅耳衍射例子——泰伯效应。
用单色平面波垂直照射一周期性物体（比如，透射光栅）时，在物体后面周期性距离上出现物体的像。
这种自成像效应就称为泰伯效应。
如果在光栅所产生的泰伯自成像后面放一块周期相同的检测光栅，可以观察到清晰的莫尔条纹。
在两个光栅之间若存在相位物体，由莫尔条纹的变化可测量物体的相位的起伏。
这是泰伯效应的重要应用之一。
{}z y z x y x U F y x z k j jkz z j y x U ληλξλ==⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=,00022),()(2ex p )ex p(1),(夫琅和费衍射是实现傅里叶变换的物理手段,是我们对物体作频谱分析的基础。
3、 圆形和正方形出瞳的衍射受限系统的截止频率以及相干和非相干成像系统的输入和输出关系。
正方形出瞳：(),P rect rect l l ξηξη⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，截止频率02il f d λ= 圆形出瞳：(),P circ ξη=⎝⎭，截止频率02i l f d λ=4、 MTF 的物理意义，什么叫光学链？MTF （调制传递函数）综合反映了镜头的反差和分辨率特性， MTF 是用仪器测量的，是目前最为客观最为准确的镜头评价方法。
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第3章 光的衍射
3.6 近场光学
• 前面讨论了光通过孔隙产生的衍射现象，这些讨论都 是在孔隙线度大于光波长、远小于光源和观察点到孔 隙距离的条件下进行的。 • 在讨论中，特别指出了在通常所遇到的光学成像系统 中，衍射极限是一个基本的效应，它限制了光学成像 系统的空间分辨率。 •例如，光学显微镜由于衍射效 应造成的最小可分辨距离为
80年代后，随着科学和技术向小尺寸与低 维空 间推进，以及扫描探针显微技术的发展，出现 又一交叉学科- -近场光学。
制 作 人 周 杰
可将显微术的空间分辨率开拓到光波长的几十分之 一，可达1nm； 近场光学在材料科学、凝聚态物理、化学、生命科 学、地学等领域有重要应用。
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5/12/2016
3.5 傅里叶光学基础
制 作 人 周 杰
上世纪40年代末，将通迅理论中的一些观点、概 念和方法移植到光学中，二者的结合产生了傅里 叶光学。 数学基础是傅里叶积分变换，物理基础是光 的标量理论； 以与传统物理光学不同的描述和分析方法， 讨论光的衍射、成像、滤波和光学信息处理 等问题。 60年年代激光诞生傅里叶光学得到迅速发展，形 成现代光学一个更要分支- -信息光学 这部分内容将在信息光学中介绍。
制 作 人 周 杰
0.61 NA
• 当使用高数值孔径(NA=1.3～1.5)的光学镜头时，其空间 分辨率上限约为光波长的一半。 • 由于这个限制，使用常规显微镜不可能分辨比λ/2 更小 的物体。
5/12/2016
第3章 光的衍射
近场光学
不作介绍
近场探测技术提出
1928年，E.H.Synge提出：用一个小于半波长的微探 测器，在物体表面上扫描，就可以获得亚微米波长 的分辨率；由于工艺问题没有实现。 1972年，E.A.Ash等人，在微波波段(3cm)上实现了 /60的分辨率。
第3章 光的衍射