2017-2018学年湖南省常德市第一中学高一下学期期中考试数学试题
2017-2018学年湖南省常德市第一中学高二下学期期中考试数学(文)试题 Word版缺答案
常德市一中2017-2018学年上学期高二年级期中考试试卷 数学（文科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知全集{}2,1,0,1,2U =--，集合{}2|20A x Z x x =∈+-<，则U C A =A.{}2,1,2-B. {}2,1-C. {}1,2D. {}1,0-2.设a 为实数，直线12:1,:2l ax y l x ay a +=+=，则“1a =-”是“12//l l ”的 A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3. 已知,,m n l 是三条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题正确的是 A.若//,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥ B.若,,m n n l αα⊂⊂⊥，则l α⊥ C. 若//,,m n αβαβ⊥⊥，则//m n D. 若,l l αβ⊥⊥，则//αβ4.学校高中部共有学生2100名，高中部各年级男、女生人数如下表，已知在高中部学生中随机抽取1名学生，抽到高三年级女生的概率是0.2，现用分层抽样的方法在高中部抽取60名，则应在高二年级抽取的学生人数为A. 24B. 18C. 16D. 125.若圆心为()2,1-的圆在直线10x y --=上截得的弦长为则这个圆的方程是A. ()()22210x y -++= B. ()()22214x y -++= C. ()()22218x y -++= D. ()()222116x y -++= 6.如图是一个算法的程序框图，若输出的结果是31，则判断框中整数M 的值是A. 3B. 4C. 5D. 67.在利用最小二乘法求回归方程是ˆ0.6754.9yx =+，用到了下表中的5组数据，则此表格中a 的值为A. 68B. 70C. 75D. 72 8.若()14f x x =，则不等式()()816f x f x >-的解集是A. 16,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B. (]0,2 C. [)2,+∞ D. 162,7⎡⎫⎪⎢⎣⎭9.如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为a ，在此几何体中，给出下面四个结论： ①异面直线1A D 与1AB 所成角为60；②直线1A D 与1BC 垂直；③直线1A D 与1BD 平行；④三棱锥1A ACD -的体积为316a ，其中正确的结论个数是 A.1 B.2 C. 3 D. 410.函数()2283,1log ,1a x ax x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩在R 内单调递减，则实数a 的取值范围是A. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ B. 15,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D.5,18⎡⎫⎪⎢⎣⎭11.如图，ABCD是边长为E,F 分别是边BC,CD 的中点，将,,ABE CEF ADF ∆∆∆分别沿,,AE EF FA 折起，使得B,C,D 三点重合于点P,若四面体PAEF 的四个顶点在同一个球的球面上，则该球的表面积是A.6πB. 12πC. 18πD.12.已知函数()y f x =是定义在R 上且以3为周期的奇函数，当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()2ln 1f x x x =-+，则函数()f x 在区间[]0,6上的零点的个数为A. 3B. 5C. 7D. 9第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.圆()()221:234O x y -++=和圆()()222:119O x y ++-=的公切线条数是 .14.某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为60的扇形，则该几何体的侧面积为 .15.已知P 是直线3480x y ++=上的动点，PA,PB 是圆222210x y x y +-++=的两条切线，A,B 为切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值为 .16.设函数()(),f x g x 的定义域分别是,J E D D ，且J E D D ⊆，若对于任意的J x D ∈都有()()f x g x =，则称函数()g x 为()f x 在E D 上的一个延拓函数.设()()()ln 0,f x x x x g x =>为()f x 在()(),00,-∞+∞上的一个延拓函数，且()g x 为奇函数，则()g x =；设()()210xf x x =-≤，()g x 为()f x 在R 上的一个延拓函数，且()g x 是偶函数，则()g x = . 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分10分）根据下列条件，求直线方程：（1）过直线12:2310,:20l x y l x y --=++=的交点，且垂直于直线270x y -+=；（2）过点，且在两坐标轴上的截距之和为-4的直线方程.18.（本题满分12分）如图所示，ABCD 为正方形，O 是正方形的中心,PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点.（1）求证：//PA 平面BDE ；（2）求证：平面PAC ⊥平面BDE .19.（本题满分12分） 某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：（1）求全班人数及分数在[)80,90之间的频数，并估计该班的平均分数；（2）若要从分数在[]80,100之间的试卷中任取两份分析学生的失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[]90,100之间的概率.20.（本题满分12分）已知圆心在x 轴上的圆C 与直线:4360l x y +-=切于点36,.55M ⎛⎫⎪⎝⎭（1）求圆C 的标准方程；（2）已知()2,1N ，经过原点，且斜率为正数的直线m 与圆C 交于()()1122,,,P x y Q x y 两点，若2224PN QN +=，求直线m 的方程.21.（本题满分12分）已知一家公司生茶某种品牌的服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为()R x 万元，且()2110.8,01030181000,10.3x x R x x x x ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩（1）写出年利润W （万元）关于年产量x （千件）的函数关系；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大（注：年利润=年销售收入-年总成本）.22.（本题满分12分）定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M ≥，都有成立()f x M ≤，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 为函数()f x 的一个上界.已知函数()()121111,log .241x xax f x a g x x -⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭（1）若函数()g x 为奇函数，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，求函数()g x 在区间5,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的所有上界构成的集合；（3）若函数()f x 在[)0,+∞上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.。
2017-2018学年高一下学期期中统一考试数学试题Word版含答案
2017-2018学年高一下学期期中统一考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项） 1、经过1小时，时针旋转的角是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 2、已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，3tan 4α=-，则sin()απ+=（ ）A ．35- B ．35 C ．45- D ．45 3、一段圆弧的长度等于其圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为（ ）A ．2π B ．3πC4 ）项. A.21 B.22 C.23 D.245、在四边形ABCD 中，)2,1(=，)2,4(-=，则该四边形的面积为（ ） A.5 B.52 C.5 D.106、在ABC ∆中1tan tan )tan (tan 3-=+C B C B ，则A 2sin =（ ）A ．23-B ．23C ．2D ．217、已知函数200f x sin x ωϕωϕπ=+（）（）（＞，＜＜），且函数 的图象如图所示，则点（ωϕ， ）的坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．8、函数y = ） A ．[2,2]()33k k k Z ππππ-+∈ B ．[2,2]()66k k k Z ππππ-+∈C ．2[2,2]()33k k k Z ππππ++∈ D ．22[2,2]()33k k k Z ππππ-+∈9、记0sin(cos 2016)a =，0sin(sin 2016)b =，0cos(sin 2016)c =，cos(cos 2016)d =︒，则（ ） A ．d c b a >>> B ．c d b a >>> C ．d c a b >>> D ．a b d c >>> 10、40sin 125cos 40cos -=( )A. 1B.3C.2D.211、已知函数)0)(cos 3(sin cos )(>+=ωωωωx x x x f ，如果存在实数0x ，使得对任意的实数x ，都有)2016()()(00π+≤≤x f x f x f 成立，则ω的最小值为（ ）A ．40321 B ．π40321 C ．20161 D ．π2016112、已知点O 是锐角ABC ∆的外心，3,12,8π===A AC AB .若y x +=，则=+y x 96( )A.6B.5C.4D.3 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、已知角)(παπα<≤-的终边过点)32cos ,32(sinππP ，则=α ．14、已知向量,a b 满足2,3a b == ，且2a b -=a 在向量b 方向上的投影为 ．15、已知x ，y 均为正数，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且满足sin cos x y θθ=，()222222cos sin 174x y x y θθ+=+，则x y 的值为 ．16、给出下列五个命题：①函数2sin(2)3y x π=-的一条对称轴是512x π=；②函数tan y x =的图象关于点（2π,0）对称； ③正弦函数在第一象限为增函数；④若12sin(2)sin(2)44x x ππ-=-，则12x x k π-=，其中k ∈Z ；⑤函数()sin 2sin [2]0f x x x x π=+∈，，的图像与直线y k =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围为()1,3.其中正确命题的序号为 ．三、解答题（本大题共6题，共70分，17题10分，其余5题各12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17、已知4π＜α＜4π3，0＜β＜4π，cos （4π+α）=－53，sin （4π3+β）=135，求sin （α+β）的值．18．已知12,e e 是平面内两个不共线的非零向量，122AB e e =+ ，12BE e e λ=-+ ，122EC e e =-+，且,,A E C 三点共线．(1)求实数λ的值；(2)已知12(2,1),(2,2)e e ==-,点(3,5)D ，若,,,A B C D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标．19、已知]43,4[,2)26sin(2)(πππ∈++-=x b a x a x f ． （1）若Q b Q a ∈∈,,)(x f 的值域为}133|{-≤≤-y y ，求出a 、b 的值 （2）在（1）的条件下，求函数)(x f 的单调区间．20、已知向量)cos 2cos ,sin 2(sin ),sin ,(cos ),sin ,(cos αααα++===x x x x ，其中0πx α<<<． （1）若π4α=，求函数x f ∙=)(的最小值及相应x 的值； （2）若a 与b 的夹角为π3，且a c ⊥ ，求tan2α的值．21、已知函数)22,0()sin()(πϕπωϕω<<->++=b x x f 相邻两对称轴间的距离为2π，若将)(x f 的图像先向左平移12π个单位，再向下平移1个单位，所得的函数)(x g 为奇函数。
湖南省常德一中2017-2018学年高一下学期期中数学试卷 Word版含解析
湖南省常德一中2017-2018学年高一下学期期中数学试卷一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分．每小题只有一个选项符合题意）1．sin（﹣60°）的值等于（）A．B．C．D．2．已知||=1，||=，且向量（﹣）和垂直，则•的值为（）A．0B．1C．D．﹣3．已知在等差数列{a n}中，a2与a6的等差中项为5，a3与a7的等差中项为7，则数列{a n}的通项公式a n=（）A．2n B．2n﹣1 C．2n+1 D．2n﹣34．已知=（1，2），=（2x，﹣3）且∥，则x=（）A．﹣3 B．C．0D．5．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（）A．5B．4C．3D．26．则与的夹角为120°，则的值为（）A．﹣5 B．5C．D．7．已知{a n}是等比数列，有a3•a11=4a7，{b n}是等差数列，且a7=b7，则b5+b9=（）A．4B．8C．0或8 D．168．已知数列{a n}的前n项和为S n=a n﹣1（a为不为零的实数），则此数列（）A．一定是等差数列B．一定是等比数列C．或是等差数列或是等比数列D．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列9．在△ABC中，若，则△ABC的形状（）A．直角三角形B．等腰或直角三角形C．不能确定D．等腰三角形10．函数y=sinxcosx+sinx+cosx取最大值时x的值为（）A．2kπ+B．2kπ﹣C．2kπ+D．2kπ﹣二、填空题（本题包括5小题，每空5分，共25分）11．函数y=cos（﹣x）的最小正周期是．12．已知tanα=2，则=．13．tan3°tan27°+tan3°tan60°+tan60°tan27°=．14．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A船到灯塔C的距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°处，A、B两船间的距离为km，则B船到灯塔C的距离为．15．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1=1，第2个五角形数记作a2=5，第3个五角形数记作a3=12，第4个五角形数记作a4=22，…，若按此规律继续下去，则a5=，若a n=145，则n=．三、计算题（本题包括6小题，第16、17、18题12分，第19、20、21题13分，共75分）16．已知=（1，2），=（﹣3，2）．（1）求及||；（2）若k与垂直，求实数k的值．17．已知=（sinθ，1），=（1，cosθ），θ∈（﹣，）（1）若⊥，求θ的值；（2）求|+|的最大值．18．已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，，求△ABC的面积．19．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2csinA．（Ⅰ）确定角C的大小；（Ⅱ）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．20．在等比数列{a n}中，a n＞0（n∈N*），公比q∈（0，1），且a1a5+2a3a5+a2a8=25，又a3和a5的等比中项为2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，数列{b n}的前n项和为S n，求数列{S n}的通项公式；（3）当+++…+最大时，求n的值．21．已知数列{a n}满足a1+2a2+4a3+…+2n﹣1a n=9﹣6n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，探求使恒成立的m的最大整数值．湖南省常德一中2017-2018学年高一下学期期中数学试卷一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分．每小题只有一个选项符合题意）1．sin（﹣60°）的值等于（）A．B．C．D．考点：三角函数的化简求值．专题：计算题．分析：由诱导公式可得sin（﹣60°）=﹣sin（60°），而sin60°的值易知，从而得到所求的结果．解答：解：由诱导公式可得sin（﹣60°）=﹣sin（60°）=﹣，故选D．点评：本题考查利用诱导公式进行化简求值，属于容易题．2．已知||=1，||=，且向量（﹣）和垂直，则•的值为（）A．0B．1C．D．﹣考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：由于向量（﹣）和垂直，可得=0．展开即可得出．解答：解：∵向量（﹣）和垂直，∴==0．∴=．故选：B．点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量的数量积运算，属于基础题．3．已知在等差数列{a n}中，a2与a6的等差中项为5，a3与a7的等差中项为7，则数列{a n}的通项公式a n=（）A．2n B．2n﹣1 C．2n+1 D．2n﹣3考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由等差中项的定义结合等差数列的性质可得a4=5，a5=7，进而可得数列的首项和公差，可得通项公式．解答：解：由题意可得a2+a6=5×2=10，a3+a7=7×2=14，由等差数列的性质可得2a4=a2+a6=10，2a5=a3+a7=14可解得a4=5，a5=7，进而可得数列的公差d=a5﹣a4=2所以a1=a4﹣3d=5﹣3×2=﹣1，故a n=﹣1+2（n﹣1）=2n﹣3．故选：D．点评：本题考查等差数列的通项公式和等差中项的定义，属基础题．4．已知=（1，2），=（2x，﹣3）且∥，则x=（）A．﹣3 B．C．0D．考点：平行向量与共线向量．专题：计算题．分析：根据平面向量的共线定理的坐标表示（x1y2﹣x2y1=0）代入即可求解．解答：解：∵，且∥∴1×（﹣3）﹣2×（2x）=0∴x=﹣故选B点评：本题主要考查了平面向量共线的坐标表示．解题的关键是要牢记平面向量共线的坐标表示x1y2﹣x2y1=0．5．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（）A．5B．4C．3D．2考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：写出数列的第一、三、五、七、九项的和即5a1+（2d+4d+6d+8d），写出数列的第二、四、六、八、十项的和即5a1+（d+3d+5d+7d+9d），都用首项和公差表示，两式相减，得到结果．解答：解：，故选C．点评：等差数列的奇数项和和偶数项和的问题也可以这样解，让每一个偶数项减去前一奇数项，有几对得到几个公差，让偶数项和减去奇数项和的差除以公差的系数．6．则与的夹角为120°，则的值为（）A．﹣5 B．5C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据题目条件得出=1×2×cos120°=﹣1，展开=2||22，即可求解．解答：解：∵，与的夹角为120°，∴=1×2×cos120°=﹣1，∴2×12+2×22+（﹣5）=5，故选：B．点评：本题考察了平面向量的运算，向量的混合运算，数量积的运用，属于基础题，准确化简计算即可．7．已知{a n}是等比数列，有a3•a11=4a7，{b n}是等差数列，且a7=b7，则b5+b9=（）A．4B．8C．0或8 D．16考点：等差数列的性质；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等差数列和等比数列的通项公式进行求解即可．解答：解：在等比数列中，有a3•a11=4a7，即a7•a7=4a7，则a7=4，在等差数列中，b7=a7=4，则b5+b9=2b7=8，故选：B．点评：本题主要考查等比数列和等差数列的性质，利用相应的通项公式进行求解是解决本题的关键．8．已知数列{a n}的前n项和为S n=a n﹣1（a为不为零的实数），则此数列（）A．一定是等差数列B．一定是等比数列C．或是等差数列或是等比数列D．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列考点：数列的应用．专题：计算题．分析：由题意可知，当a=1时，a n﹣a n﹣1=0；当a≠1时，，所以数列{a n}或是等差数列或是等比数列．解答：解：当a=1时，a1=a﹣1=0，a n=S n﹣S n﹣1=（a n﹣1）﹣（a n﹣1﹣1）=0，a n﹣1=S n﹣1﹣S n﹣2=（a n﹣1﹣1）﹣（a n﹣2﹣1）=0，∴a n﹣a n﹣1=0，∴数列{a n}是等差数列．当a≠1时，a1=a﹣1，a n=S n﹣S n﹣1=（a n﹣1）﹣（a n﹣1﹣1）=a n﹣a n﹣1，a n﹣1=S n﹣1﹣S n﹣2=（a n﹣1﹣1）﹣（a n﹣2﹣1）=a n﹣1﹣a n﹣2，，∴数列{a n}是等比数列．综上所述，数列{a n}或是等差数列或是等比数列．故选C．点评：本题考查数列的概念，解题时要注意a=0的情况，避免丢解．9．在△ABC中，若，则△ABC的形状（）A．直角三角形B．等腰或直角三角形C．不能确定D．等腰三角形考点：正弦定理；三角形的形状判断．专题：计算题．分析：由正弦定理==2R可得=，与已知条件结合即可判断△ABC的形状．解答：解：在△ABC中，由正弦定理==2R可得=，又，∴=，∴sin2A=sin2B，∴A=B或2A=π﹣2B，∴A=B或A+B=．∴△ABC为等腰或直角三角形．故选B．点评：本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理的应用及两角差的正弦公式的应用，属于中档题．10．函数y=sinxcosx+sinx+cosx取最大值时x的值为（）A．2kπ+B．2kπ﹣C．2kπ+D．2kπ﹣考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：设sinx+cosx=t，利用两角和与差的正弦函数公式化简，求出t的范围，表示出设sinxcosx，表示出y与t的关系式，利用二次函数的性质求出y最大值时t的值，即可确定出此时x的值．解答：解：设sinx+cosx=t，即sin（x+）=t，则t∈[﹣，]，sinxcosx=，∴y=+t=（t+1）2﹣1，易知当t=时，y取得最大值，即sin（x+）=，故x+=2kπ+（k∈Z），∴x=2kπ+（k∈Z）．故选：C．点评：此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．二、填空题（本题包括5小题，每空5分，共25分）11．函数y=cos（﹣x）的最小正周期是5π．考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用y=Acos（ωx+φ）的周期等于T=，可得结论．解答：解：函数y=cos（﹣x）=cos（x﹣）的最小正周期是=5π，故答案为：5π．点评：本题主要考查诱导公式、三角函数的周期性及其求法，利用y=Acos（ωx+φ）的周期等于T=，属于基础题．12．已知tanα=2，则=3．考点：同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：把tanα=2，代入=，运算求得结果．解答：解：===3，故答案为3．点评：本题考查同角三角函数的基本关系的应用，是一道基础题．13．tan3°tan27°+tan3°tan60°+tan60°tan27°=1．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用两角和的正切公式，花简求得结果．解答：解：tan3°tan27°+tan3°tan60°+tan60°tan27°=tan3°tan27°+（tan3°+tan27°）=tan3°tan27°+tan（3°+27°）（1﹣tan3°tan27°）=tan3°tan27°+（1﹣tan3°tan27°）=1，故答案为：1．点评：本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．14．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A船到灯塔C的距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°处，A、B两船间的距离为km，则B船到灯塔C的距离为1．考点：解三角形的实际应用．专题：解三角形．分析：先求出∠ACB的值，然后在△ABC中应用余弦定理可求得|BC|的值．解答：解：由题意可知|AC|=2，|AB|=，∠ACB=40°+80°=120°，设|BC|=x，x＞0在△ABC中由余弦定理可得|AB|2=|AC|2+|BC|2﹣2|AC||BC|cos∠ACB，∴7=4+x2﹣2×2x×（﹣），即x2+2x﹣3=0，解得x=1或x=﹣3（舍去）∴|BC|=1km故答案为：1．点评：本题主要考查余弦定理的应用，考查根据解三角形的有关定理来解决实际问题的能力．15．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1=1，第2个五角形数记作a2=5，第3个五角形数记作a3=12，第4个五角形数记作a4=22，…，若按此规律继续下去，则a5=35，若a n=145，则n=10．考点：归纳推理．专题：图表型；点列、递归数列与数学归纳法．分析：仔细观察法各个图形中实心点的个数，找到个数之间的通项公式，再求第5个五角星的中实心点的个数及a n=145时，n的值即可．解答：解：第一个有1个实心点，第二个有1+1×3+1=5个实心点，第三个有1+1×3+1+2×3+1=12个实心点，第四个有1+1×3+1+2×3+1+3×3+1=22个实心点，…第n个有1+1×3+1+2×3+1+3×3+1+…+3（n﹣1）+1=+n个实心点，故当n=5时，+n=+5=35个实心点．若a n=145，即+n=145，解得n=10故答案为：35，10．点评：本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察每个图形并从中找到通项公式．三、计算题（本题包括6小题，第16、17、18题12分，第19、20、21题13分，共75分）16．已知=（1，2），=（﹣3，2）．（1）求及||；（2）若k与垂直，求实数k的值．考点：平面向量数量积的运算；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：（1）利用向量的坐标运算法则和模的计算公式即可得出．（2）⇔=0，即可得出．解答：解：（1）∵=（1，2），=（﹣3，2），∴=（4，0）．∴==4．（2）=k（1，2）+（﹣3，2）=（k﹣3，2k+2），∵，∴=（k﹣3，2k+2）•（4，0）=4（k﹣3）=0，解得k=3．点评：本题考查了向量的坐标运算法则和模的计算公式、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．17．已知=（sinθ，1），=（1，cosθ），θ∈（﹣，）（1）若⊥，求θ的值；（2）求|+|的最大值．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（1）利用⇔，即可解得结论；（2）==，由，得，故的最大值为1，即可得出结论．解答：解：（1）由题意：，…∴，∴，…∴，…又∵，∴…（2）∴==…又∵，∴，∴的最大值为1，…∴的最大值为…点评：本题主要考查向量垂直的性质及向量求模的运算，考查三角函数求最值等知识，属于中档题．18．已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，，求△ABC的面积．考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用两角和差的正弦公化简函数的解析式为sin（2x+），令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可求得f（x）的单调递增区间．（Ⅱ）由已知，可得sin（2A+）=，求得A=，再利用正弦定理求得b的值，由三角形内角和公式求得C的值，再由S=ab•sinC，运算求得结果．解答：解：（Ⅰ）=sin2xcos+cos2xsin+cos2x=sin2x+cos2x=（sin2x+cos2x）=sin（2x+）．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z．（Ⅱ）由已知，可得sin（2A+）=，因为A为△ABC内角，由题意知0＜A＜π，所以＜2A+＜，因此，2A+=，解得A=．由正弦定理，得b=，…由A=，由B=，可得sinC=，…∴S=ab•sinC==．点评：本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，正弦函数的单调性，正弦定理以及根据三角函数的值求角，属于中档题．19．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2csinA．（Ⅰ）确定角C的大小；（Ⅱ）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．考点：余弦定理的应用；正弦定理．专题：计算题．分析：（1）通过正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，化简整理求得sinC的值，进而求得C．（2）先利用面积公式求得ab的值，进而利用余弦定理求得a2+b2﹣ab，最后联立变形求得a+b的值．解答：解：（1）由及正弦定理得：，∵sinA≠0，∴在锐角△ABC中，．（2）∵，，由面积公式得，即ab=6①由余弦定理得，即a2+b2﹣ab=7②由②变形得（a+b）2=25，故a+b=5．点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．对于这两个定理的基本公式和变形公式应熟练记忆，并能灵活运用．20．在等比数列{a n}中，a n＞0（n∈N*），公比q∈（0，1），且a1a5+2a3a5+a2a8=25，又a3和a5的等比中项为2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，数列{b n}的前n项和为S n，求数列{S n}的通项公式；（3）当+++…+最大时，求n的值．考点：数列与不等式的综合；数列的求和．专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）根据等比数列的性质可知a1a5=a32，a2a8=a52化简a1a5+2a3a5+a2a8=25得到a3+a5=5，又因为a3与a5的等比中项为2，联立求得a3与a5的值，求出公比和首项即可得到数列的通项公式；（2）把a n代入到b n=log2a n中得到b n的通项公式，即可得到前n项和的通项s n；（3）把s n代入得到，确定其正负，即可求n的值．解答：解：（1）∵a1a5+2a3a5+a2a8=25，∴a32+2a3a5+a52=25又a n＞0，∴a3+a5=5 …又a3与a5的等比中项为2，∴a3a5=4 …而q∈（0，1），∴a3＞a5，∴a3=4，a5=1，∴q=，a1=16，∴a n=16×（）n﹣1=25﹣n．（2）∵b n=log2a n=5﹣n，∴b n+1﹣b n=﹣1，b1=log2a1=log216=log224=4，∴{b n}是以b1=4为首项，﹣1为公差的等差数列，∴S n=．…（3）∵=，∴n≤8时，＞0，n=9时，=0，n＞9时，＜0，∴n=8或9时，+++…+最大…点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查前n项和的求法，解题时要认真审题，注意方法的合理运用．21．已知数列{a n}满足a1+2a2+4a3+…+2n﹣1a n=9﹣6n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，探求使恒成立的m的最大整数值．考点：数列递推式；数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（1）当n=1时，a1=9﹣6=3，当n≥2时，由a1+2a2+4a3+…+2n﹣1a n=9﹣6n可得2n﹣1an=﹣6，从而求数列{a n}的通项公式；（2）由可得=；n≥2时，=﹣；从而再化恒成立问题为最值问题即可．解答：解：（1）当n=1时，a1=9﹣6=3，当n≥2时，a1+2a2+4a3+…+2n﹣1a n=9﹣6n，①a1+2a2+4a3+…+2n﹣2a n﹣1=9﹣6（n﹣1），②①﹣②得，2n﹣1a n=﹣6，∴a n=﹣；∴a n=，（2）．∵，∴b1=1•（3﹣log2）=3，=；n≥2时，=n（3﹣log2）=n（3﹣（2﹣n））=n（n+1）；=﹣；∴可化为：+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）＞；即+﹣＞恒成立，即﹣＞恒成立，故＞成立，故m的最大整数值为2．点评：本题考查了数列的通项公式及求和方法的应用，同时考查了恒成立问题，属于中档题．。
2017-2018学年湖南省常德市一中高二下学期期中考试数学理试题 Word版
常德市一中2017-2018学年下学期高二期中考试数学(理科)（时量：120分钟 满分：150分 命题：高二理科数学备课组）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函数的定义域是（ ）A ．B ．C ．D ．2．若A (1,3，－2)、B (－2,3,2)，则A 、B 两点间的距离为( )A ．B ．25C ．5D ． 3．直线x ＋2y －5＋＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．4 4.已知函数，，若有两个不相等的实根，则实数的取值范围是 （ ）A.B.C. D.5.如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥平面ABC ,若AB=AC=AA 1=1，BC=,则异面直线A 1C 与B 1C 1 所成的角为（ ） A.30°B.45°C.60°D.90°6.如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是328π，则它的表面积是（ ） A.17π B.18π C.20π D.28π7.已知正四棱柱的正弦值等于（ ）（A ）（B ） （C ） （D ）8.函数的图像大致是( )9. 在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为（ A ）A. B. C. D.（）11.若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的斜率的取值范围是（）A． B．C. D．12.已知函数f（x）=（a>0,且a≠1）在R上单调递减，且关于x 的方程│f（x）│=2x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）（A）（0，] （B）[，] （C）[，]{}（D）[，）{}第II卷二．填空题:本大题共4小题,每小题5分.15.偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________．16.已知函数y＝f(x)(x∈R)，对函数y＝g(x)(x∈I)，定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y＝h(x)(x∈I)，y＝h(x)满足：对任意x∈I，两个点(x，h(x))，(x，g(x))关于点(x，f(x))对称．若h(x)是g(x)＝关于f(x)＝3x＋b的“对称函数”，且h(x)＞g(x)恒成立，则实数b的取值范围是________三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17(本题10分）已知集合A＝{x|2－a≤x≤2＋a}，B＝{x|x≤1，或x≥4}．(1)当a＝3时，求A∩B；(2)若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．18(本题12分）(1)；（2）-19.（本题12分）如图，在三棱锥中，，为线段的中点，为线段上一点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）当平面时，求三棱锥的体积．20（本题12分）.已知函数是定义在上的奇函数，当，. （1）求的解析式.（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围.21（本题12分）如图,在平面直角坐标系中,点,直线,设圆的半径为,圆心在上.(1)若圆心也在直线上,过点作圆的切线,求切线的方程;(2)若圆上存在点,使,求圆心的横坐标的取值范围.22．（本题12分）（1）若x0满足f（f（x0））= x0,但f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶周期点，证明函数有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2；（2）对于（2）中x1，x2，设A（x1,f（f（x1））），B（x2,f（f（x2）））,C(a2,0)，记△ABC的面积为s（a），求s（a）在区间[,]上的最大值和最小值。
湖南省常德芷兰实验学校2017-2018学年高一下学期期中考试数学(A)试卷
芷兰2018年上学期高一年级期中考试A 卷数 学 试 题时量：120分钟 满分：120分 命题教师：李先凯一、选择题 （每小题4分，共48分）1．如果0<<b a , 那么（ ）A. 0>-b aB. bc ac <C. 22b a <D. 11a b> 2．过点()1,3-且平行于直线230x y -+=的直线方程为（ ）A. 250x y +-=B. 210x y +-=C. 250x y --=D. 270x y -+=3．已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k =A ．9B ．8C ．7D ．64．两圆相交于点()()1,3,1A B m -、，两圆的圆心均在直线0x y c -+=上，则m c +的值为（ ）A. -1B. 2C. 3D. 05．已知直线ax ＋by ＝1经过点(1,2)，则2a ＋4b 的最小值为( )A. B. 2 C. 4 D. 46．等比数列{}n a 中，对任意*12,21n n n N a a a ∈++=- ，则22212n a a a +++ 等于（ ） A ．()221n - B ．()2213n - C ．41n- D ．413n - 7．如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. 24πB. 36πC. 40πD. 400π8.已知实数y x ,满足，则y x的最小值是（ ）A ．5B ．4C ．23-- D.23-+ 9．各项均为正数的等比数列{}n a 的前项和为，若，则等于（ ） A. 60 B. 45 C. 30 D. 1510.已知球O 半径为，设S A B C 、、、是球面上四个点，其中90,ABC AB BC ∠=== S ABC -的体积的最大值为（ ）A. B. C. D. 11．已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，满足1263a a S +=，给出下列结论:①70a =; ②130S =; ③7S 最小; ④58S S =, 其中正确结论的个数是（ ）A. 4B. 3C. 2D. 112．已知数列{}n a 满足134()n n a a n N +++=∈且19a =，其前n 项和为n S ，则满足1|6|125n S n --<的最小正整数n 为（ ） A. 6 B.7 C.8 D.9二、填空题（每小题4分，共16分）13．已知4x ≥，则()2452x x f x x -+=-的值域为 14．过直线23y x =+上的点作圆2246+120x y x y +-+=的切线，则切线长的最小值为_______.15．已知球面上有四个点A ， B ， C ， D ，球心为点O ， O 在CD 上，若三棱锥A BCD -的体积的最大值为83，则该球O 的表面积为__________． 16．已知两条直线1l ： y m =和2l ： 8(0)21y m m =>+， 1l 与函数2log y x =的图象从左到右相交于点,A B ， 2l 与函数2log y x =的图象从左到右相交于点,C D ，记线段AC 和BD 在x 轴的投影长度分别为,a b ，当m 变化时，b a 的最小值为__________． 三、解答题（共56分）。
湖南省常德市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
四、解答题 17．设实部为正数的复数 z，满足| z |= 2 5 ，且复数 (1+ 2i)z 为纯虚数． (1)求复数 z； (2)若复数 z 是关于 x 的方程 x2 + mx + n = 0 （m， n Î R 的根，求实数 m 和 n 的值．
18．如图所示，圆锥 SO 的底面半径为 2， P 为母线 SA 的中点，侧面展开图是一个中心角
A． 2
B． 3
C．2
D． 5
7．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在
西偏北 30 o 的方向上，行驶 600m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75 o 的方向上，仰角为
30 o ，则此山的高度 CD 为（ ） m .
A．100 6
B． 200 6
且 AC 与 BD 所成角的大小为 90o ，则四边形 EFGH 是
A．平行四边形 B．菱形
C．矩形
D．正方形
rr 4．若向量 a ， b
的夹角为 π
，且
r a
=
2，
r b
rr
r
= 1，则向量 a + 2b 与向量 a 的夹角为（
）
3
A． π 6
B． π 3
C． 2π 3
D． 5π 6
5．设 m ， n 是两条不同的直线，a, b 是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
且满足 (2a
-
c) cosB
=
bcosC
，
求函数 f ( A) 的值域.
22．如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，VBCP 与VCDQ 均为正三角形，将△ABD ，
VBCP 与VCDQ 向上折起，使得 A, P,Q 三点重合于点 A1 ，得到三棱锥 A1 - BCD ．
2017-2018学年高一下学期期中数学试卷Word版含解析
2017-2018学年高一下学期期中数学试卷一、选择题（本答题共12个小题，每小题5分，共60分）1．设全集U={﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，0}，集合A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，A）∩B=（）则（∁UA．{0} B．{﹣3，﹣4} C．{﹣1，﹣2} D．∅2．已知命题p：点P在直线y=2x﹣3上；命题q：点P在直线y=﹣3x+2上，则使命题“p且q”为真命题的一个点P（x，y）是（）A．（0，﹣3）B．（1，2）C．（1，﹣1）D．（﹣1，1）3．设集合A={x|﹣x2﹣x+2＜0}，B={x|2x﹣5＞0}，则集合A与B的关系是（）A．B⊆A B．B⊇A C．B∈A D．A∈B4．下列命题：①“若a2＜b2，则a＜b”的否命题；②“全等三角形面积相等”的逆命题；③“若a＞1，则ax2﹣2ax+a+3＞0的解集为R”的逆否命题；④“若x（x≠0）为有理数，则x为无理数”的逆否命题．其中正确的命题是（）A．③④B．①③C．①②D．②④5．已知非空集合M和N，规定M﹣N={x|x∈M且x∉N}，那么M﹣（M﹣N）等于（）A．M∪N B．M∩N C．M D．N6．当x＞0，y＞0， +=1时，x+y的最小值为（）A．10 B．12 C．14 D．167．已知函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1=0，则f（1）+2f′（1）的值是（）A．B．1 C．D．28．已知A={x|x≥k}，B={x|x2﹣x﹣2＞0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则k 的取值范围是（）A．k＜﹣1 B．k≤﹣1 C．k＞2 D．k≥29．设f（x）是可导函数，且=（）A．B．﹣1 C．0 D．﹣210．已知函数f（x）的导函数f′（x）=a（x+b）2+c（a≠0）的图象如图所示，则函数f（x）的图象可能是（）A． B．C．D．11．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（）A．1 B．C． D．12．已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣2）=2021，对任意x∈（﹣∞，+∞），都有f'（x）＜2x成立，则不等式f（x）＞x2+2017的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（﹣2，2）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，+∞）二、填空题（本答题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知某物体的运动方程是S=t+t3，则当t=3s时的瞬时速度是m/s．14．已知y=f（x）为R上可导函数，则“f′（0）=0“是“x=0是y=f（x）极值点”的（填“充分不必要条件”或“必要不充分条件”或“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）．15．下列结论中，正确结论的序号为①已知M，N均为正数，则“M＞N”是“log2M＞log2N”的充要条件；②如果命题“p或q”是真命题，“非p”是真命题，则q一定是真命题；③若p为：∃x＞0，x2+2x﹣2≤0，则￢p为：∀x≤0，x2+2x﹣2＞0；④命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”．16．若实数a，b满足2a+2b=1，则a+b的最大值是．三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，其它每小题10分，共70分）17．（1）已知，求曲线g（x）在点（4，2）处的切线方程；（2）已知函数f（x）=x3﹣3x，过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程．18．设命题p：A={x|（4x﹣3）2≤1}；命题q：B={x|a≤x≤a+1}，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．19．已知函数f（x）=|x﹣m|﹣1．（1）若不等式f（x）≤2的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥t﹣2对一切实数x恒成立，求实数t的取值范围．20．已知函数f（x）=x2﹣（2﹣a）x﹣（2﹣a）lnx．．（1）若a=1，求函数f（x）的极值；（2）若f（x）在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围．21．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的定义域为实数集R．（Ⅰ）当a=5时，解关于x的不等式f（x）＞9；（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}，如果A∪B=A，求实数a的取值范围．22．已知函数，其中a＞0．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若直线x﹣y﹣1=0是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值；（Ⅲ）设g（x）=xlnx﹣x2f（x），求g（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e为自然对数的底数）2017-2018学年高一下学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本答题共12个小题，每小题5分，共60分）1．设全集U={﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，0}，集合A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，则（∁UA）∩B=（）A．{0} B．{﹣3，﹣4} C．{﹣1，﹣2} D．∅【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】先计算集合CU A，再计算（CUA）∩B．【解答】解：∵A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，∴CUA={﹣3，﹣4}，∴（CUA）∩B={﹣3，﹣4}．故答案选B．2．已知命题p：点P在直线y=2x﹣3上；命题q：点P在直线y=﹣3x+2上，则使命题“p且q”为真命题的一个点P（x，y）是（）A．（0，﹣3）B．（1，2）C．（1，﹣1）D．（﹣1，1）【考点】2E：复合命题的真假．【分析】根据已知条件便知P点是直线y=2x﹣3和直线y=﹣3x+2的交点，所以解方程组即得点P坐标．【解答】解：若“p且q”为真命题，则：P既在直线y=2x﹣3上，又在y=﹣3x+2上；所以点P是直线y=2x﹣3和y=﹣3x+2的交点；∴解得x=1，y=﹣1；∴P（1，﹣1）．故选C．3．设集合A={x|﹣x2﹣x+2＜0}，B={x|2x﹣5＞0}，则集合A与B的关系是（）A．B⊆A B．B⊇A C．B∈A D．A∈B【考点】18：集合的包含关系判断及应用．【分析】化解集合A，B，根据集合之间的关系判断即可．【解答】解：集合A={x|﹣x2﹣x+2＜0}={x|x＞1或x＜﹣2}，B={x|2x﹣5＞0}={x|x＞2.5}．∴B⊆A，故选A4．下列命题：①“若a2＜b2，则a＜b”的否命题；②“全等三角形面积相等”的逆命题；③“若a＞1，则ax2﹣2ax+a+3＞0的解集为R”的逆否命题；④“若x（x≠0）为有理数，则x为无理数”的逆否命题．其中正确的命题是（）A．③④B．①③C．①②D．②④【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】结合四种命题的定义，及互为逆否的两个命题，真假性相同，分别判断各个结论的真假，可得答案．【解答】解：①“若a2＜b2，则a＜b”的否命题为“若a2≥b2，则a≥b”为假命题，故错误；②“全等三角形面积相等”的逆命题“面积相等的三角形全等”为假命题，故错误；③若a＞1，则△=4a2﹣4a（a+3）=﹣12a＜0，此时ax2﹣2ax+a+3＞0恒成立，故“若a＞1，则ax2﹣2ax+a+3＞0的解集为R”为真命题，故其逆否命题为真命题，故正确；④“若x（x≠0）为有理数，则x为无理数”为真命题，故其的逆否命题，故正确．故选：A5．已知非空集合M和N，规定M﹣N={x|x∈M且x∉N}，那么M﹣（M﹣N）等于（）A．M∪N B．M∩N C．M D．N【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据题中的新定义判断即可得到结果．【解答】解：根据题意得：M﹣（M﹣N）=M∩N，故选：B．6．当x＞0，y＞0， +=1时，x+y的最小值为（）A．10 B．12 C．14 D．16【考点】7F：基本不等式．【分析】利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞0，y＞0， +=1，∴x+y=（x+y）=10+=16，当且仅当y=3x=12时取等号．∴x+y的最小值为16．故选：D．7．已知函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1=0，则f（1）+2f′（1）的值是（）A．B．1 C．D．2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；3T：函数的值．【分析】利用函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1=0，可求f（1）、f′（1）的值，从而可得结论．【解答】解：∵函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1=0，∴f（1）=1，f′（1）=∴f（1）+2f′（1）=2故选D．8．已知A={x|x≥k}，B={x|x2﹣x﹣2＞0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则k 的取值范围是（）A．k＜﹣1 B．k≤﹣1 C．k＞2 D．k≥2【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】解不等式可得x＜﹣1，或x＞2，由充要条件的定义可得{x|x≥k}是集合{x|x＜﹣1，或x＞2}的真子集，结合数轴可得答案．【解答】解：解不等式x2﹣x﹣2＞0可得x＜﹣1，或x＞2，要使“x≥k”是“x2﹣x﹣2＞0”的充分不必要条件，则需集合A={x|x≥k}是集合B={x|x＜﹣1，或x＞2}的真子集，故只需k＞2即可，故实数k的取值范围是（2，+∞），故选：C．9．设f（x）是可导函数，且=（）A．B．﹣1 C．0 D．﹣2【考点】6F：极限及其运算．），【分析】由题意可得=﹣2=﹣2f′（x结合已知可求）=2【解答】解：∵ =﹣2=﹣2f′（x0）=﹣1∴f′（x故选B10．已知函数f（x）的导函数f′（x）=a（x+b）2+c（a≠0）的图象如图所示，则函数f（x）的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【考点】63：导数的运算；3O ：函数的图象．【分析】根据导数和函数的单调性的关系即可判断．【解答】解：由f′（x ）图象可知，函数f （x ）先减，再增，再减，故选：D ．11．若点P 是曲线y=x 2﹣lnx 上任意一点，则点P 到直线y=x ﹣2的最小距离为（ ）A ．1B ．C ．D ．【考点】IT ：点到直线的距离公式．【分析】设出切点坐标，利用导数在切点处的函数值，就是切线的斜率，求出切点，然后再求点P 到直线y=x ﹣2的最小距离．【解答】解：过点P 作y=x ﹣2的平行直线，且与曲线y=x 2﹣lnx 相切，设P （x 0，x 02﹣lnx 0）则有k=y′|x=x 0=2x 0﹣．∴2x 0﹣=1，∴x 0=1或x 0=﹣（舍去）．∴P （1，1），∴d==．故选B ．12．已知函数f （x ）的定义域为R ，f （﹣2）=2021，对任意x ∈（﹣∞，+∞），都有f'（x ）＜2x 成立，则不等式f （x ）＞x 2+2017的解集为（ ）A ．（﹣2，+∞）B ．（﹣2，2）C ．（﹣∞，﹣2）D ．（﹣∞，+∞） 【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g （x ）=f （x ）﹣x 2﹣2017，利用对任意x ∈R ，都有f′（x ）＜2x 成立，即可得出函数g（x）在R上单调性，进而即可解出不等式．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣x2﹣2017，则g′（x）=f′（x）﹣2x＜0，∴函数g（x）在R上单调递减，而f（﹣2）=2021，∴g（﹣2）=f（﹣2）﹣（﹣2）2﹣2017=0，∴不等式f（x）＞x2+2017，可化为g（x）＞g（﹣2），∴x＜﹣2，即不等式f（x）＞x2+2017的解集为（﹣∞，﹣2），故选：C．二、填空题（本答题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知某物体的运动方程是S=t+t3，则当t=3s时的瞬时速度是 4 m/s．【考点】61：变化的快慢与变化率．【分析】求出位移的导数；将t=3代入；利用位移的导数值为瞬时速度；求出当t=3s时的瞬时速度．【解答】解：根据题意，S=t+t3，则s′=1+t2将t=3代入得s′（3）=4；故答案为：414．已知y=f（x）为R上可导函数，则“f′（0）=0“是“x=0是y=f（x）极值点”的必要不充分条件（填“充分不必要条件”或“必要不充分条件”或“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）．【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】x=0是y=f（x）极值点，可得f′（0）=0；反之不成立，例如函数f（x）=x3，虽然f′（0）=0，但是x=0不是函数f（x）的极值点．【解答】解：x=0是y=f（x）极值点，可得f′（0）=0；反之不成立，例如函数f（x）=x3，f′（x）=3x2，虽然f′（0）=0，但是x=0不是函数f（x）的极值点．∴f′（0）=0“是“x=0是y=f（x）极值点”的必要不充分条件．故答案为：必要不充分条件．15．下列结论中，正确结论的序号为①②④①已知M，N均为正数，则“M＞N”是“log2M＞log2N”的充要条件；②如果命题“p或q”是真命题，“非p”是真命题，则q一定是真命题；③若p为：∃x＞0，x2+2x﹣2≤0，则￢p为：∀x≤0，x2+2x﹣2＞0；④命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】根据充要条件的定义和对数函数的性质，可判断①；根据复合命题的真假，可判断②；根据特称命题的否定方法，可判断③；运用原命题的逆否命题，可判断④．【解答】解：对于①，由M，N＞0，函数y=log2x在（0，+∞）递增，可得“M＞N”⇔“log2M＞log2N”，故①正确；对于②，如果命题“p或q”是真命题，“非p”是真命题，可得P为假命题，q一定是真命题．故②正确；对于③，p为：∃x＞0，x2+2x﹣2≤0，则￢p为：∀x＞0，x2+2x﹣2＞0．故③不正确；对于④，命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”．故④正确．故答案为：①②④．16．若实数a，b满足2a+2b=1，则a+b的最大值是﹣2 ．【考点】7F：基本不等式．【分析】由2a+2b=1，得=，从而可求a+b的最大值，注意等号成立的条件．【解答】解：∵2a+2b=1，∴=，即，∴a+b≤﹣2，当且仅当，即a=b=﹣1时取等号，∴a=b=﹣1时，a+b取最大值﹣2．故答案为：﹣2．三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，其它每小题10分，共70分）17．（1）已知，求曲线g（x）在点（4，2）处的切线方程；（2）已知函数f（x）=x3﹣3x，过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算g′（4），求出切线方程即可；（2）设出切点为M（x0，y），表示出切线方程，求出切点坐标，从而求出切线方程即可．【解答】解：（1）∵g（x）=，∴g′（x）=，∴g′（4）=，∴曲线g（x）在点（4，2）处的切线方程为y﹣2=（x﹣4），即y=x+1；（2）曲线方程为y=x3﹣3x，点A（0，16）不在曲线上，设切点为M（x0，y），则点M的坐标满足y=x3﹣3x，因f′（x0）=3（x2﹣1），故切线的方程为y﹣y=3（x2﹣1）（x﹣x），将A（0，16）代入切线方程化简得x03=﹣8，解得x=﹣2．所以切点为M（﹣2，﹣2），切线方程为9x﹣y+16=0．18．设命题p：A={x|（4x﹣3）2≤1}；命题q：B={x|a≤x≤a+1}，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由（4x﹣3）2≤1，得≤x≤1，A={x|≤x≤1}．由¬p是¬q的必要不充分条件，得p是q的充分不必要条件，即A B，即可得出．【解答】解：由（4x﹣3）2≤1，得≤x≤1，A={x|≤x≤1}．由¬p是¬q的必要不充分条件，得p是q的充分不必要条件，即A B，∴，∴0≤a≤．∴实数a的取值范围是[0，]．19．已知函数f（x）=|x﹣m|﹣1．（1）若不等式f（x）≤2的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥t﹣2对一切实数x恒成立，求实数t的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）求得不等式f（x）≤2的解集，再根据不等式f（x）≤2的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求得实数m的值．（2）由题意可得g（x）=|x﹣2|+|x+3|的最小值大于或等于t﹣2，求得g（x）=|x﹣2|+|x+3|的最小值，可得t的范围．【解答】解：（1）由f（x）≤2得，|x﹣m|≤3，解得m﹣3≤x≤m+3，又已知不等式f（x）≤2的解集为{x|﹣1≤x≤5}，∴，解得m=2．（2）当m=2时，f（x）=|x﹣2|﹣1，由于f（x）+f（x+5）≥t﹣2对一切实数x恒成立，则|x﹣2|+|x+3|﹣2≥t﹣2对一切实数x恒成立，即|x﹣2|+|x+3|≥t对一切实数x恒成立，设g（x）=|x﹣2|+|x+3|，于是，所以当x＜﹣3时，g（x）＞5；当﹣3≤x≤2时，g（x）=5；当x＞2时，g（x）＞5．综上可得，g（x）的最小值为5，∴t≤5，即t的取值范围为（﹣∞，5]．20．已知函数f（x）=x2﹣（2﹣a）x﹣（2﹣a）lnx．．（1）若a=1，求函数f（x）的极值；（2）若f（x）在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，利用导数为0，求解极值点，然后判断求解极值即可．（2）利用导函数的符号，结合基本不等式或函数的导数求解函数的最值，推出结果即可．【解答】解：（1）∵f（x）=x2﹣（2﹣a）x﹣（2﹣a）lnx，x＞0∴，因为a=1，令=0得x=1或x=（舍去）…又因为，当0＜x＜1时，f'（x）＜0；x＞1时，f'（x）＞0所以x=1时，函数f（x）有极小值f（1）=0…（2）若f'（x）＞0，在x＞0上恒成立，则2x2﹣（2﹣a）x﹣（2﹣a）＞0恒成立，∴恒成立…而当x＞0时∵．检验知，a=2时也成立∴a≥2…[或：令，∴，∵x＞0，∴g'（x）＜0﹣﹣﹣﹣﹣所以，函数g（x）在定义域上为减函数所以g（x）＜g（0）=2检验知，a=2时也成立∴a≥2…．21．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的定义域为实数集R．（Ⅰ）当a=5时，解关于x的不等式f（x）＞9；（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}，如果A∪B=A，求实数a的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a=5，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由题意可得B⊆A，区间B的端点在集合A中，由此求得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=5时，关于x的不等式f（x）＞9，即|x+5|+|x﹣2|＞9，故有①；或②；或③．解①求得x＜﹣6；解②求得x∈∅，解③求得 x＞3．综上可得，原不等式的解集为{x|x＜﹣6，或 x＞3}．（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）=|x+a|+|x﹣2|≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}={x|﹣1≤x≤2 }，如果A∪B=A，则B⊆A，∴，即，求得﹣1≤a≤0，故实数a的范围为[﹣1，0]．22．已知函数，其中a＞0．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若直线x﹣y﹣1=0是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值；（Ⅲ）设g（x）=xlnx﹣x2f（x），求g（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e为自然对数的底数）【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）先求导函数，直接让导函数大于0求出增区间，导函数小于0求出减区间即可；（Ⅱ）直接利用切线的斜率即为切点处的导数值以及切点是直线与曲线的共同点联立方程即可求实数a的值；（Ⅲ）先求出g（x）的导函数，分情况讨论出函数在区间[1，e]上的单调性，进而求得其在区间[1，e]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为函数f（x）=，∴f′（x）==，f′（x）＞0⇒0＜x＜2，f′（x）＜0⇒x＜0，或x＞2，故函数f（x）的单调增区间为（0，2），单调减区间为（﹣∞，0）和（2，+∞），（Ⅱ）设切点为（x，y），由切线斜率k=1=，⇒x3=﹣ax+2a，①由x﹣y﹣1=x﹣﹣1=0⇒（x2﹣a）（x﹣1）=0⇒x=1，x=±．把x=1代入①得a=1，把x=代入①得a=1，把x=﹣代入①得a=﹣1（舍去），故所求实数a的值为1．（Ⅲ）∵g（x）=xlnx﹣x2f（x）=xlnx﹣a（x﹣1），∴g′（x）=lnx+1﹣a，解lnx+1﹣a=0得x=e a﹣1，故g（x）在区间（e a﹣1，+∞）上递增，在区间（0，e a﹣1）上递减，①当e a﹣1≤1时，即0＜a≤1时，g（x）在区间[1，e]上递增，其最小值为g（1）=0；②当1＜e a﹣1＜e时，即1＜a＜2时，g（x）的最小值为g（e a﹣1）=a﹣e a﹣1；③当e a﹣1≥e，即a≥2时，g（x）在区间[1，e]上递减，其最小值为g（e）=e+a﹣ae．。
(必修四)湖南省常德市2017-2018学年高一下学期期中联考数学试卷Word版含解析
湖南省常德市2017-2018学年高一下学期期中联考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．若sinα＜0且tanα＞0，则α是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角2．已知，，则m=（）A．B．C．2 D．﹣23．在△ABC中，a=2，b=2，B=45°，则A等于（）A．30°B．60°C．60°或120°D．30°或150°4．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2， =，则λ=（）A．B．C．﹣D．﹣5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P（4，y）是角θ终边上一点，且sinθ=﹣，则y=（）A．8 B．﹣8 C．±8 D．±46．在△ABC中，cosAcosB＞sinAsinB，则△ABC为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法判定7．已知函数f（x）=cos2x（x∈R），下面结论错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期为πB．函数f（x）是偶函数C．函数f（x）的图象关于直线对称D．函数f（x）在区间上是减函数8．若△ABC的内角A满足sin2A=，则sinA+cosA=（）A．B．C．D．9．化简=（）A．B．C．D．10．函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（其中A＞0，|ω|＜）的图象如图所示，为得到g（x）=sin3x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度11．如图，AB=2，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则（+）的最小值等于（）A．﹣B．﹣2 C．﹣1 D．﹣12．已知函数f（x）=的图象上关于y轴对称的点至少有3对，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）．13．已知扇形的圆心角为60°，其弧长为2π，则此扇形的面积为．14．若，则cos2θ= ．15．锐角α，β满足，则α+β= ．16．给出下列命题：其中正确命题的序号是（把你认为正确的序号都填上）①函数f（x）=4cos（2x+）的一个对称中心为（﹣，0）；②若α，β为第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ；③若|+|=||﹣||，则存在实数λ，使得=λ；④点O是三角形ABC所在平面内一点，且满足，则点O是三角形ABC的内心．三、解答题（本大题共6小题，满分52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．17．已知tanα=2，求（1）tan（α+）的值（2）的值．18．已知||=，||=1．（1）若的夹角θ为45°，求||；（2）若（）⊥，求与的夹角θ．19．已知函数f（x）=cos2x﹣2sinxcosx﹣sin2x．（1）求f（x）的最小正周期；（2）当x∈[0，]时，求f（x）的最小值及取得最小值时x的值．20．在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且=2csinA（1）确定角C 的大小；（2）若c=，且△ABC 的面积为，求a+b 的值．21．已知=（cos α，sin α），=（cos β，sin β）（﹣＜α＜0，0＜β＜）且．（1）求cos （α﹣β）的值； （2）若，求cos β的值．22．已知向量=（sin ωx ，cos ωx ），=（cos ωx ，﹣cos ωx ），（ω＞0），函数f （x ）=+，直线x=x 1，x=x 2是y=f （x ）图象的任意两条对称轴，且|x 1﹣x 2|的最小值为．（1）求函数y=f （x ）的单调增区间；（2）若cosx ≥，x ∈（0，π），且f （x ）﹣m=0有两个实根x 1，x 2，①求实数m 的取值范围； ②求sin （x 1+x 2）的值．湖南省常德市2017-2018学年高一下学期期中联考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．若sinα＜0且tanα＞0，则α是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【考点】三角函数值的符号．【分析】由正弦和正切的符号确定角的象限，当正弦值小于零时，角在第三四象限，当正切值大于零，角在第一三象限，要同时满足这两个条件，角的位置是第三象限，实际上我们解的是不等式组．【解答】解：sinα＜0，α在三、四象限；tanα＞0，α在一、三象限．故选：C．【点评】记住角在各象限的三角函数符号是解题的关键，可用口诀帮助记忆：一全部，二正弦，三切值，四余弦，它们在上面所述的象限为正2．已知，，则m=（）A．B．C．2 D．﹣2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据向量的坐标运算和向量的平行的条件计算即可．【解答】解：∵，，∴2×（﹣1）=1×m，∴m=﹣2，故选：D．【点评】本题考查了向量的坐标运算和向量平行的条件，属于基础题．3．在△ABC中，a=2，b=2，B=45°，则A等于（）A．30°B．60°C．60°或120°D．30°或150°【考点】正弦定理．【分析】由已知及正弦定理可得sinA==，又a=2＜b=2，即可解得A 的值．【解答】解：∵由正弦定理可得：sinA===，又∵a=2＜b=2，∴A ＜B ，∴可解得：A=30°， 故选：A ．【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，大边对大角等知识的应用，属于基础题．4．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若=2，=，则λ=（ ）A ．B ．C ．﹣D ．﹣ 【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】本题要求字母系数，办法是把表示出来，表示时所用的基底要和题目中所给的一致，即用和表示，画图观察，从要求向量的起点出发，沿着三角形的边走到终点，把求出的结果和给的条件比较，写出λ．【解答】解：在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点∵=2，=，∴=，∴λ=， 故选A ．【点评】经历平面向量分解定理的探求过程，培养观察能力、抽象概括能力、体会化归思想，基底给定时，分解形式唯一，字母系数是被基底唯一确定的数量．5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P （4，y ）是角θ终边上一点，且sin θ=﹣，则y=（ ） A ．8B ．﹣8C ．±8D ．±4 【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用任意角的三角函数的定义可得sinθ==﹣，由此求得y的值．【解答】解：角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P（4，y）是角θ终边上一点，∴x=4，r=，∵sinθ===﹣，∴y=﹣8，故选：B．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．6．在△ABC中，cosAcosB＞sinAsinB，则△ABC为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法判定【考点】三角形的形状判断．【分析】利用余弦的两角和公式整理题设不等式求得cos（A+B）＞0进而判断出cosC＜O，进而断定C为钝角．【解答】解：依题意可知cosAcosB﹣sinAsinB=cos（A+B）＞0，﹣cosC＞O，cosC＜O，∴C为钝角故选C【点评】本题主要考查了三角形形状的判断，两角和公式的化简求值．在判断三角形的形状的问题上，可利用边的关系或角的范围来判断．7．已知函数f（x）=cos2x（x∈R），下面结论错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期为πB．函数f（x）是偶函数C．函数f（x）的图象关于直线对称D．函数f（x）在区间上是减函数【考点】余弦函数的图象．【分析】利用余弦函数的图象和性质，注意判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：由函数f（x）=cos2x可得它的最小正周期为π，且f（x）是偶函数，故A、B正确；当x=时，f（x）=cos2x=0，故f（x）的图象不关于直线对称，故C错误；在区间上，2x∈[0，π]，函数f（x）是减函数，故D正确，故选：C．【点评】本题主要考查余弦函数的图象和性质，属于基础题．8．若△ABC的内角A满足sin2A=，则sinA+cosA=（）A．B．C．D．【考点】二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．【分析】根据（sinA+cosA）2=1+sin2A，即得答案．【解答】解：由sin2A=2sinAcosA＞0，可知A这锐角，所以sinA+cosA＞0，又，故选A．【点评】考查同角三角函数间的基本关系．9．化简=（）A．B．C．D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】直接利用二倍角公式以及同角三角函数的基本关系式化简求解即可．【解答】解： ===．故选：A．【点评】本题考查二倍角公式的应用，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力，是基础题．10．函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（其中A＞0，|ω|＜）的图象如图所示，为得到g（x）=sin3x的图象，则只要将f（x）的图象（）A ．向右平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C ．向左平移个单位长度D ．向左平移个单位长度【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．【分析】根据图象求出φ的值，再由“左加右减”法则判断出函数图象平移的方向和单位长度．【解答】解：∵选项只与平移有关，没有改变函数图象的形状，故ω=3，又函数的图象的第二个点是（，0）∴3×φ=π于是，∴函数的图形要向右平移个单位，故选B ．【点评】本题主要考查了三角函数的函数图象，根据函数图象求解析式时，注意应用正弦函数图象的关键点进行求解，考查了读图能力和图象变换法则11．如图，AB=2，O 为圆心，C 为半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则（+）的最小值等于（ ）A ．﹣B ．﹣2C ．﹣1D ．﹣ 【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得+=2，从而把要求的式子化为﹣2||||，再利用基本不等式求得||||≤，从而求得则（+）的最小值．【解答】解：∵+=2，∴（ +）=2=﹣2|||，∵||+||=||=1．再利用基本不等式可得1≥2，故有||||≤，﹣||||≥﹣，∴（+）=﹣2||||≥﹣，故选：A．【点评】本题主要考查向量在几何中的应用、以及基本不等式的应用问题，属于中档题目．12．已知函数f（x）=的图象上关于y轴对称的点至少有3对，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】分段函数的应用．【分析】求出函数f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）关于y轴对称的解析式，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：若x＞0，则﹣x＜0，∵x＜0时，f（x）=sin（）﹣1，∴f（﹣x）=sin（﹣）﹣1=﹣sin（）﹣1，则若f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）关于y轴对称，则f（﹣x）=﹣sin（）﹣1=f（x），即y=﹣sin（）﹣1，x＞0，设g（x）=﹣sin（）﹣1，x＞0作出函数g（x）的图象，要使y=﹣sin（）﹣1，x＞0与f（x）=logx，x＞0的图象至少有3个交点，a则0＜a＜1且满足g（5）＜f（5），即﹣2＜log5，a即log5＞，a则5，解得0＜a＜，故选：A【点评】本题主要考查分段函数的应用，作出函数关于y对称的图象，利用数形结合的思想是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）．13．已知扇形的圆心角为60°，其弧长为2π，则此扇形的面积为6π．【考点】扇形面积公式．【分析】设扇形的半径为r，根据弧长公式可求出r的值，再由扇形的面积公式即可得出结论．【解答】解：设扇形的半径为r，∵扇形的圆心角为60°，它的弧长为2πcm，∴=2π，解得r=6（cm），∴S=×2π×6=6π．扇形故答案为：6π．【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键，属于基础题．14．若，则cos2θ= ．【考点】诱导公式的作用；二倍角的余弦．【分析】由sin（α+）=cosα及cos2α=2cos2α﹣1解之即可．【解答】解：由可知，，而．故答案为：﹣．【点评】本题考查诱导公式及二倍角公式的应用．15．锐角α，β满足，则α+β= ．【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系．【分析】由α和β都为锐角，以及sinα和tanβ的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα，cosβ以及sinβ的值，然后利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（α+β），将各自的值代入求出cos（α+β）的值，由α和β都为锐角，得出α+β的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出α+β的值．【解答】解：∵α为锐角，且sinα=，∴cosα==，又β为锐角，且tanβ=，∴cosβ==，∴sinβ==，∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=×﹣×=，又α+β∈（0，π），则α+β=．故答案为：【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．16．给出下列命题：其中正确命题的序号是①③（把你认为正确的序号都填上）①函数f（x）=4cos（2x+）的一个对称中心为（﹣，0）；②若α，β为第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ；③若|+|=||﹣||，则存在实数λ，使得=λ；④点O是三角形ABC所在平面内一点，且满足，则点O是三角形ABC的内心．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据余弦函数的对称中心在x轴上可判断；②若α，β为第一象限角，且α＞β，但不一定在同一个单调区间上，不一定tanα＞tanβ；③若|+|=||﹣||，可判断两向量共线且方向，根据共线定理可判断；④根据题意，可得﹣==0，可得OB⊥CA，可判断为垂心．【解答】解：①f（x）=4cos（2x+），∵f（﹣）=0，∴（﹣，0）是函数的对称中心；②若α，β为第一象限角，且α＞β，不一定tanα＞tanβ，比如2π，，故错误；③若|+|=||﹣||，则两向量共线且方向，故存在实数λ，使得=λ，故正确；④点O是三角形ABC所在平面内一点，且满足，∴﹣==0，∴OB⊥CA，同理可得OA⊥BC，则点O是三角形ABC的垂心，故错误．故答案为：①③．【点评】考查了余弦函数的中心对称，向量的共线和数量积等概念，属于基础题型，应熟练掌握．三、解答题（本大题共6小题，满分52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．17．已知tanα=2，求（1）tan（α+）的值（2）的值．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】（1）由条件利用两角和的正切公式，求得tan（α+）的值．（2）由条件利用同角三角函数的基本关系，求得的值．【解答】解：（1）∵tanα=2，∴tan（α+）===﹣3．（2）∵tanα=2，∴ ===．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的正切公式的应用，属于基础题．18．已知||=，||=1．（1）若的夹角θ为45°，求||；（2）若（）⊥，求与的夹角θ．【考点】平面向量的基本定理及其意义；数量积表示两个向量的夹角．【分析】（1）利用|﹣|2=（﹣）2，直接计算即可；（2）通过，可得（﹣）=0，化简得cosθ=1，结合0°≤θ≤180°即得结论．【解答】解：（1）∵，，的夹角θ为45°，∴=2﹣2||||cos45°+1=2﹣2+1=1；（2）∵，∴（﹣）=0，∴=，即||||cosθ=1，∴cosθ=1，又∵0°≤θ≤180°，∴θ=45°．【点评】本题考查平面向量的相关知识，注意解题方法的积累，属于基础题．19．已知函数f（x）=cos2x﹣2sinxcosx﹣sin2x．（1）求f（x）的最小正周期；（2）当x∈[0，]时，求f（x）的最小值及取得最小值时x的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）将函数进行化简，结合三角函数的图象和性质即可求函数y=f（x）图象的最小正周期；（2）根据x∈[0，]，求出f（x）的范围，结合三角函数的图象和性质即可求f（x）的最小值及取得最小值时x的值．【解答】解：f（x）=cos2x﹣2sinxcosx﹣sin2x=cos2x﹣sin2x=（1）最小正周期=（2）∵x∈[0，]即，∴；结合三角函数的图象和性质：时，由：，解得x=．∴当x∈[0，]时，f（x）的最小值为﹣1，取得最小值时x的值为．故：f（x）的最小正周期为π；x∈[0，]时，f（x）的最小值为﹣1，取得最小值时x的值为．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．20．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．【考点】解三角形．【分析】（1）利用正弦定理把已知条件转化成角的正弦，整理可求得sinC ，进而求得C ． （2）利用三角形面积求得ab 的值，利用余弦定理求得a 2+b 2的值，最后求得a+b 的值．【解答】解：（1）∵=2csinA∴正弦定理得，∵A 锐角， ∴sinA ＞0，∴，又∵C 锐角，∴（2）三角形ABC 中，由余弦定理得c 2=a 2+b 2﹣2abcosC即7=a 2+b 2﹣ab ，又由△ABC 的面积得．即ab=6，∴（a+b ）2=a 2+b 2+2ab=25 由于a+b 为正，所以a+b=5．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．21．已知=（cos α，sin α），=（cos β，sin β）（﹣＜α＜0，0＜β＜）且．（1）求cos （α﹣β）的值； （2）若，求cos β的值．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】（1）根据向量的坐标表示求得﹣，由模长公式可知=，即可求得cos（α﹣β）的值；（2）由﹣＜α＜0，0＜β＜，求得﹣π＜α﹣β＜0，由同角三角函数基本关系求得sin（α﹣β）及sinα的值，cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]，根据两角和的余弦公式即可即可求得cosβ的值．【解答】解：（1）﹣=（cosα﹣cosβ，sinα﹣sinβ），丨﹣丨=，=，=，2﹣2cos（α﹣β）=，∴cos（α﹣β）=；（2）∵﹣＜α＜0，0＜β＜，∴﹣π＜α﹣β＜0，∴sin（α﹣β）＜0，sin（α﹣β）=﹣=﹣，，sinα=﹣=﹣，cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β），=×+（﹣）×（﹣）=，∴cosβ=．【点评】本题考查两角和差余弦公式，向量的坐标表示、模长公式及同角三角函数基本关系，考查计算能力，属于中档题．22．已知向量=（sinωx，cosωx），=（cosωx，﹣cosωx），（ω＞0），函数f（x）=+，直线x=x1，x=x2是y=f（x）图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为．（1）求函数y=f（x）的单调增区间；（2）若cosx≥，x∈（0，π），且f（x）﹣m=0有两个实根x1，x2，①求实数m的取值范围；②求sin （x 1+x 2）的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．【分析】（1）由向量数量积的坐标运算得到f （x ），化简得到f （x ）=sin （2ωx ﹣），由题意求得，则ω可求，代入函数解析式，由复合函数的单调性求得函数的单调增区间；（2）由cosx ≥，x ∈（0，π），求得x ∈（0，]，画出图形．①数形结合求得m 的范围；②求出y 轴右侧第一个顶点的横坐标，得到x 1+x 2的值，则sin （x 1+x 2）的值可求．【解答】解：（1）∵=（sin ωx ，cos ωx ），=（cos ωx ，﹣cos ωx ），∴f （x ）=+=sin ωxcos ωx ﹣cos 2ωx=sin2ωx ﹣（1+cos2ωx ）=sin （2ωx ﹣）．由题意得，得，又∵ω＞0，∴2ω=，则ω=2．∴f （x ）=sin （4x ﹣）．由2k π﹣≤4x ﹣≤2k π+，解得≤x ≤，∴f （x ）单调递增区间为[，]，k ∈Z ；（2）由cosx ≥，x ∈（0，π），得x ∈（0，]，由f （x ）﹣m=0有两个实根x 1，x 2，如图，①由图可知，实数m 的取值范围为[，1）；②由4x ﹣=，得．∴，则sin （x 1+x 2）=．【点评】本题三角函数中的恒等变换应用，主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，是中档题．。
湖南省常德市高一下学期期中数学试卷
湖南省常德市高一下学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）某单位员工按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5：4：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，已知C组中甲、乙二人均被抽到的概率是则该单位员工总数为A . 110B . 100C . 90D . 802. （2分）下列给出的赋值语句中正确的是（）A . 4=MB . B=A=3C . x+y=0D . M=﹣M3. （2分） (2018高三上·重庆月考) 已知且，则（）A .B .C .D .4. （2分）下面程序的运行结果是（）A . 3B . 7C . 15D . 175. （2分）用系统抽样法(按等距离的规则)从160名学生中抽取容量为20的样本，将这160名学生从1到160编号．按编号顺序平均分成20段(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16段应抽出的号码为125，则第1段中用简单随机抽样确定的号码是（）A . 7B . 5C . 4D . 36. （2分） (2017高一下·郴州期中) 用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A . 3B . 9C . 17D . 517. （2分） (2017高一上·怀柔期末) 角90°化为弧度等于（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高一下·姚安期中) 1001101（2）与下列哪个值相等（）A . 115（8）B . 113（8）C . 116（8）D . 114（8）9. （2分）把11化为二进制数为（）A . 1 011（2）B . 11 011（2）C . 10 110（2）D . 0 110（2）10. （2分） (2019高二下·赤峰月考) 已知三棱锥，在该三棱锥内取一点P，使的概率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2017高二上·伊春月考) 数据，，…，平均数为6，标准差为2，则数据，，…，的方差为________.12. （1分） (2020高二下·长春期中) ①回归分析中，相关指数的值越大，说明残差平方和越大；②对于相关系数，越接近1，相关程度越大，越接近0，相关程度越小；③有一组样本数据得到的回归直线方程为，那么直线必经过点；④ 是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量，只对于两个分类变量适合；以上几种说法正确的序号是________．13. （1分） (2020高一下·大同月考) 已知扇形的半径为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数为________.14. （1分） (2017高二下·吉林期末) 一个袋子中有5个大小相同的球，其中3个白球与2个黑球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任意取出一个球，则第一次为白球、第二次为黑球的概率为________．15. （1分） (2016高三上·泰州期中) 已知角α的终边经过点P（﹣x，﹣6），且cosα= ，则x的值为________．三、解答题 (共5题；共50分)16. （10分）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？公式和临界值表参考第20题生产能手非生产能手合计25周岁以上组25周岁以下组合计17. （10分） (2019高一上·长沙月考) 已知，若，且是第三象限角.（1）求的值；（2）化简，并求的值.18. （15分） (2018高二下·赤峰期末) 如图是某市年月日至日的空气质量指数趋势图，某人随机选择年月日至月日中的某一天到达该市，并停留天.（1）求此人到达当日空气质量指数大于的概率；（2）设是此人停留期间空气质量指数小于的天数，求的分布列与数学期望；（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）19. （10分）(2019·桂林模拟) 某校为了调查高三男生和女生周日学习用时情况，随机抽取了高三男生和女生各40人，对他们的周日学习时间进行了统计，分别得到了高三男生的学习时间（单位：小时）的频数分布表和女生的学习时间的频率分布直方图.）（学习时间均在内）男生周日学习时间频数表学习时间频数8107942女生周日学习时间频率分布直方图（1）根据调查情况，该校高三年级周日学习用时较长的是男生还是女生？请说明理由；（2）从被抽到的80名高三学生中周日学习用时在内的学生中抽取2人，求恰巧抽到1男1女的概率.20. （5分） (2017高一下·姚安期中) 随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：年份20102011201220132014时间代号t12345储蓄存款y（千亿元）567810（Ⅰ）求y关于t的回归方程 = t+ ．（Ⅱ）用所求回归方程预测该地区2015年（t=6）的人民币储蓄存款．附：回归方程 = t+ 中．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共5题；共50分)16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、第11 页共11 页。
2017-2018学年高一数学下学期期中试题
湖南省常德市安乡县第五中学2017-2018学年高一数学下学期期中试题总分：150分考试时间：120分钟题量：共22小题考查内容：必修一全部内容，主要包括：集合、函数的概念、基本初等函数、函数的零点等一、选择题：（每小题5分，共60分）1.已知元素，且，则的值为( )A. 0B. 1 C. 2 D. 32．若函数，则等于（）A. 3B. ±3C. 9D.3．与为同一函数的是（）A. B. C. D.4.已知函数，，则函数的解析式是（）A. B. C. D.5.三个数，，的大小顺序是 ( )A. B.C. D.6.函数的图像不经过第二象限，则m的取值范围是（）A. B. C. D.7.设，则图像大致为（）y y y yA. B. C. D.8．下列函数中，既是偶函数又是幂函数的是()A．B．C．D．9.函数在区间(-∞,3］上递减，则的取值范围是（）A [3,+∞)B (-∞,-3)C (-∞,-2］D［2,+∞)10.函数是指数函数，则的取值范围是（）A. B. C. D.11．根据表格中的数据，可以断定方程的一个根所在的区间是（）A．（－1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）12．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是＝0（x∈R），其中正确命题的个数是（）A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题：（每小题5分，共20分）13.已知函数f(x)=则f(2)=.14.函数的定义域为.15．已知是偶函数，则的最大值是．16．奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为，最小值为，则__________.三、解答题17．（10分）设全集为R，，，求、18.(12分)计算（1）（2）19.(12分)已知集合，，若，求实数的取值范围.20.(12分)已知函数是定义域在上的偶函数，且在区间上单调递减，求满足的的集合．21．(12分)某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出；当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3600时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大收益为多少元？22．(12分)已知定义域为的函数是奇函数（1）求的值；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.安乡五中2018年下学期高一期中考试数学答题卡一、选择题（每小题5分，满分60分）二、填空题（每小题5分，满分20分）13、 14、15、 16、三、解答题17、（10分）18、（12分）19、（12分）20、（12分）。
一中学17—18年高一下学期期中检测数学试题(附答案)
桂林市第一中学2017～2018学年度下学期期中质量检测试卷高一数学（用时120分钟，满分150分）注意事项：1．试卷分为试题卷和答题卡两部分，在本试题卷上作答无效．．．．．．．．．．；2．考试结束后，只将答题卡交回，试题卷不用交．．．．．．．．．．．．．．，自己保管好以备讲评使用。
第I卷：选择题（共60分，请在答题卡上答题，否则答题无效）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确的答案填在答题卡上。
）1、某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户．为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本，记作①；某学校高一年级有12名女排运动员，要从中选出3名调查学习负担情况，记作②.那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是( )A. ①用简单随机抽样法；②用系统抽样法B. ①用分层抽样法；②用简单随机抽样法C. ①用系统抽样法；②用分层抽样法D. ①用分层抽样法；②用系统抽样法2、若已知A（1，1，1），B（－3，－3，－3），则线段AB的长为A. 4错误！未找到引用源。
B. 2错误！未找到引用源。
C. 4错误！未找到引用源。
D. 3错误！未找到引用源。
3、如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的中位数为17，乙组数据的平均数为17.4，则x、y的值分别为（）A. 7、8B. 5、7C. 8、5D. 7、74、甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（）A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D.甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差 5、执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（ ）A. 2B. 3C. 4D. 56、使cosθ•tanθ > 0有意义的θ角是（ ） A.第一象限角 B.第二象限角C.第一或第二象限角D.第一、二象限角或终边在y 轴上 7、若α是第一象限的角，则2α所在的象限是（ ）A.第一象限B.第一、二象限C.第一、三象限D.第一、四象限8、若过点M （1，1）的直线与圆（x ﹣2）2+y 2=4相较于 两点A ，B ，且M 为弦的中点AB ，则|AB|为（ ） A. 错误！未找到引用源。
湖南省常德市第一中学高一数学下学期期中试题(无答案)
常德市一中2015年上学期高一年级期中考试试卷数 学(时量：120分钟 满分：150分)一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分。
每小题只有一个选项符合题意）1.sin(60)︒-的值是（ ） A. 12-B. 12C.2-D. 2 2.已知||1,||a b ==r r ()a b -r r 和a r 垂直，则a b ⋅r r 的值为（ ） A. 0 B. 1C.D. 3. 已知在等差数列{}n a 中，2a 与6a 的等差中项为5，3a 与7a 的等差中项为7，则数列{}n a 的通项公式n a =（ ）A. 2nB. 21n -C. 21n +D. 23n -4. 已知(1,2),(23)a b x ==-r r ，且a r ∥b r ，则x =（ ）A. 3-B. 34-C. 0D. 345已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是（ ）A. 5B. 4C. 3D. 26||1,||2a b ==r r 则a r 与b r 的夹角为120︒，则(2)(2)a b a b +⋅+r r r r 的值为（ ）A. 5-B. 5C.D.7. 已知{}n a 是等比数列，有31174a a a ⋅=，{}n b 是等差数列，且77a b =，则59b b +=（ ）A. 4B. 8C. 0或8D. 168.已知数列{}n a 的前n 项和为1n n S a =-(a 为不为零的实数)，则此数列（ ）A. 一定是等差数列B. 一定是等比数列C. 或是等差数列或是等比数列D. 既不可能是等差数列，也不可能是等比数列9.在ABC ∆中，若cos cos A b B a =，则ABC ∆的形状（ ）A. 直角三角形B. 等腰或直角三角形C. 不能确定D. 等腰三角形10. 函数sin cos sin cosy x x x x=++取最大值时x的值为（）（以下的k Z∈）A. 22 kππ+B.22kππ-C.24kππ+D.24kππ-二、填空题（本题包括5小题，每空5分，共25分）11. 函数2cos()35y xπ=-的最小正周期是_________12. 已知tan2α=，则sin cossin cosαααα+=-_________13. tan3tan27tan3tan60tan60tan27︒︒︒︒︒︒++=____________14. 已知A船在灯塔C北偏东80︒处，且A船到灯塔C的距离为2km，B船在灯塔C北偏西处40︒，,A B两船间的距离为7km，则B船到灯塔C的距离为________15. 两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1,5,12,22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a=，第2个五角形数记作25a=，第3个五角形数记作312a=，第4个五角形数记作422a=，……，若按此规律继续下去，则5a=________，若145na=，则n=___________．三、计算题（本题包括6小题，第16、17、18题12分，第19、20、21题13分，共75分）16. 已知()()1,2,3,2a b→→==-(1)求a b→→-及||a b→→-；(2)若k a b→→+与a b→→-垂直，求实数k的值.17. 已知(sin ,1),(1,cos ),(,)22a b ππθθθ==∈-r r (1) 若a b ⊥r r ，求θ的值；(2) 求a b +r r 的最大值18. 已知函数()sin(2)cos 26f x x x π=++.(1)求函数()f x 的单调递增区间.(2)在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，已知()2,3f A a B π===，求ABC ∆的面积.19. 在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c2sin c A =． (1) 确定角C 的大小；(2)若c =ABC ∆的面积为，求a b +的值。
2016-2017学年湖南省常德市第一中学高一下学期期末考试数学试卷(文理分科)
湖南省常德市第一中学2016-2017学年高一下学期期末考试数学试卷（文理分科）一、选择题(本大题共5小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. sin 330°=( ) A.21 B. 23- C. 21D. 232.函数x x y 22sin cos -=的最小正周期是（）A. 2πB. πC.π2 D. π43.设平面向量a = (3,5)，b =(-2,1), 则a -2b =（） A. (-1,7)B. (7,7) C . (7,3) D. (1,3)4.不等式122--x x >0的解集是（） A. 1|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ B. 1|12x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或 C. 1|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ D. 1|-12x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或 5.已知非零向量a ，b 满足|a +b | =|a -b |，则（） A.⊥ B. ||=|| C. ∥ D. ||＞||6.已知数列{a n }的通项公式为a n =37-2n ,其前n 项和S n 达到最大值时，n 的值是（） A. 17B.18C.19D.207.设变量x 、y 满足约束条件，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-≥301y y x x ,则z = 2x +y 的最小值为（）A.7B.6C.5D.48.在△ABC 中，设 = (a ，cos A ), =(b ,cos B ),则∥,则△ABC 的形状是（） A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形9.已知{a n }为等差数列，{ b n }为正项等比数列,其公比q ≠1，若a 1=b 2，a 11=b 11,则（） A. a 6 <b 6 B. a 6 =b 6C.a 6 >b 6D. a 6 >b 6或a 6 <b 610.若数列{a n }的通项公式是a n =(一1)n .(3n -2),其前项和为S n ,则S 30+S 51=（） A.-31B.121C.-151D.27111.若—个三角形的三边是连续的三个正整数，且最大角是最小角的2倍.则这个三角形的最大的边长是（） A.- 3B.4C.5D.612.设平面区域Ω: ⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥+x y x y y x 3242,若对任意(x ，y )∈Ω,不等式224x axy y -≤恒成立.则实数a 的取值范围是（） A.[4,5] B. [5,6] C.[4,-∞)D. [217,+∞) 二、填空题（本大题每小题5分） 13.若π1tan()46α-=，则αtan = . 14.两个正数x 、y 满足:x +y = 1，则yx 91+的最小值是 . 15.数列{a n }满足a 1 =1，且a n +1 -a n =n +1]，则数列{a n }的前2017项的和为.16.在△ABC 中，∠A = 60，AB = 3, AC = 2,若)(,2R AB AC AE DC BD ∈-==λλ, 且4-=⋅AE AD ,则λ= .三、解答题（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骠）17.已知向量|| = 3, ||=2, 且(+2||)•（-3) = -18，向量与的夹角为θ. (1)求θ的值；（2)求-||的值.18.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b 2+c 2=a 2 + bc . (1)求角A 的大小； (2)若a = 6，b = 2，求角B 的大小和△ABC 的面积.19.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3,深为3m ，如果池底毎平方米的造价为150元，池壁毎平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？20.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n =2 a n -2.数列{b n }中，b 1 =3, b 4 =9, 且满足b n +2 + b 2 =2 b n +1 (n ∈N ＊). (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设nnn a b c ,求数列{c n }的前n 项和T n .21.已知函数2π1()sin()cos 22f x x x x =++-.(1)求函数)(x f 的单调递减区间； (2)求函数)(x f 在区间[0，π2]上的值域； (3)将函数)(x f 的图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变)，再将所得图象向左平移ϕ（ϕ>0）个单位，得到函数)(x g 的图象，若)(x g 为奇函数，求ϕ的最小值.22.已知数列{a n }的前n 项积为S n , a 1=8, a n +1=nn 2+S n (n ∈N ＊) (1)求证：数列{nS n}为等比数列并求数列{a n }的通项公式； (2)令b n =nna 2,记k n = -b 1b 1 + b 2b 3 - b 3b 4 +-…b 2n -1b 2n + b 2n b 2n +1,求k n ； (3) 在(2)的条件下，设n n n a n kc ⋅=28，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使得T n<22017-m 对一切n ∈N ＊都成立的最小正整数m .【参考答案】13．7514．16 15. 20171009 16．31117. 解：（1）2222(2)(3)6||6||18a b a b a a b b a a b b +⋅-=-⋅-=-⋅-=- 所以3a b ⋅=，得1cos 2||||a b a b θ⋅==⋅，故π3θ=，（2）2222(2)4413a b a b a a b b -=-=-⋅+=，18．解：（1）由已知得：2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，所以π3A =，（2）由正弦定理：sin sin a bA B=，∴sin sin 2b A B a ⋅== 又因为b a <，∴B A <，所以π4B =．又512C A B ππ=--=，所以13sin 22ABC S ab C ∆+==.19.解：设水池底面一边的长度为x m ，则另一边的长度为48003x m ，根据题意，得y =150×48003+120（2×3x +2×3×48003x ）=240000+720（x +1600x ） ∴所求的函数表达式为：y =720（x +1600x ）+240000（x ＞0）， 得y =720（x +1600x ）+240000≥720×2x ·1600x +240000 =720×2×40+240000=297600．当且仅当x =1600x ，即x =40时，y 有最小值297600． 此时另一边的长度为48003x =40m ，因此，当水池的底面是边长为40 m 的正方形时，水池的总造价最低， 最低总造价是297600元．20. 解：（1）数列{}n a 的通项公式为2nn a =()n ∈N*， 数列{}n b 的通项公式为21n b n =+()n ∈N*； （2）212n n n n b n c a +==，123357212222n nn T +=++++…………① 23135212122222nnn T n n +-+=++++ …………②①－②得2552n nn T +=-. 21．解：（1）22cos 11π()cos cos2sin(2)226x f x x x x x x -=+=+=+ 由ππ3π2π22π262k x k +≤+≤+，得π2πππ63k x k +≤≤+（k ∈Z ）， 故函数()f x 的单调递减区间是π2π[ππ]63k k ++，（k ∈Z ）．（2）因为π02x ≤≤，所以ππ7π2666x ≤+≤，得1πsin(2)126x -≤+≤所以()f x 在区间π[0,]2上的值域为1[,1]2-，（3）π()sin()6g x x ϕ=++为奇函数，所以ππππ66k k ϕϕ+=⇒=-，因为0ϕ>，k ∈Z ，所以ϕ的最小值为5π6. 22. 解：（1）1111222221n n n n n n n n n S S n n n a S S S S S S n n n n n+++++++=⇒-=⇒=⇒=⋅+ 所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为8，公比为2的等比数列，故182n n S n -=⨯所以212(1)2n n n n S n a n ++=⋅⇒=+⋅；（2）222nn na b n ==+ 12233445212221n n n n n K b b b b b b b b b b b b -+=-+-+--+23145322121()()()n n n b b b b b b b b b +-=-+-++-242(642)4()48(2)2n n n b b b n n ++=+++=⨯=+；（3）221118(2)21188(1)2(1)22(1)2n n n n n n n k n n n c n a n n n n n n +++++====-⋅⋅+⋅+⋅⋅+∴2231111111111122222322(1)22(1)2n n n n T n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ∵110(1)2n n +>+⋅，∴11112(1)22n n T n +=-<+⋅，要使20172n m T -<对一切n ∈*N 成立， 只需20171201822m m -≥⇒≥，即2018m =最小.。
湖南省常德市近年-近年学年高一数学下学期期中试题(最新整理)
（1）求函数 的最小正周期；
(2）若 的图像经过点 ,求函数 在区间 上的取值范围。
数学参考答案
一、选择题(共12个小题，满分60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
D
D
B
D
B
D
D
C
A
B
二、填空题(共4个小题，满分20分）
13. 14. 15. 16。②③
湖南省常德市2018-2019学年高一数学下学期期中试题
时量：120分钟 分值:150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．sin 150°的值等于( )．
A． B．－ C． D．－
2若角 的终边经过点 ，那么 的值等于（ )
A． B．－ C． D．－
三．解答题（共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17。（本小题满分10分）
解:
18。(本小题满分12分）
解：（1） （2）
19．(本小题满分12分）
解：(1) （2)
20.（本小题满分12分)
解:(1）
（2） 的单调增区间
21.(本小题满分12分）
解:（1） 。
(2）
22。(本小题满分12分）
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湖南省常德一中2016-2017学年高一下学期期中数学试卷Word版含解析
2016-2017学年湖南省常德一中高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．sin390°的值为（）A．B．C．D．2．已知向量=（1，2），=（x，﹣4），若∥，则•等于（）A．﹣10 B．﹣6 C．0 D．63．设四边形ABCD中，有=且||=||，则这个四边形是（）A．平行四边形B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形4．已知tan（α+β）=3，tan（α﹣β）=5，则tan（2α）的值为（）A．B．C．D．5．将分针拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是（）A．B．﹣C．D．6．要得到函数y=cos2x的图象，只需将y=cos（2x+）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度7．向量=（﹣2，﹣1），=（λ，1），若与夹角为钝角，则λ取值范围是（）A．（，2）∪（2，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣，+∞） D．（﹣∞，﹣）8．函数的图象（）A．关于原点对称 B．关于点（﹣，0）对称C．关于y轴对称 D．关于直线x=对称9．已知O，N，P在所在△ABC的平面内，且=，且，则O，N，P分别是△ABC的（）A．重心外心垂心 B．重心外心内心C．外心重心垂心 D．外心重心内心10．函数y=的定义域是（）A．B．C．D．11．函数的部分图象如图所示，如果，且f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）=（）A．B．C．D．112．使函数y=sin（2x+θ）+cos（2x+θ）为奇函数，且在上是减函数的θ一个值为（）A．B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知sinα+cosβ=，sinβ﹣cosα=，则sin（α﹣β）= ．14．与向量=（3，4）垂直的单位向量为．15．已知函数f（x）=sin2x+kcos2x的一条对称轴方程为，则k= ．16．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°．如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动．若，其中x，y∈R，试求x+y的最大值．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．已知tanx=2，（1）求的值．（2）求2sin2x﹣sinxcosx+cos2x的值．18．已知||=4，||=3，（2﹣3）•（2+）=61，（1）求•的值；（2）求与的夹角θ；（3）求|+|．19．如图，以Ox为始边作角α与β（0＜β＜α＜π），它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，已知点P的坐标为．（1）求的值；（2）若，求sin（α+β）．20．已知=（sinωx，cosωx），=（sinωx+2cosωx，cosωx），x∈R，ω＞0，记f（x）=且该函数的最小正周期为．（1）求ω的值；（2）求函数f（x）的最大值，并且求使f（x）取得最大值的x的集合．21．已知角A，B，C为△ABC的三个内角，其对边分别为a，b，c，若=（﹣cos，sin），=（cos，sin），a=2，且•=．（1）若△ABC的面积S=，求b+c的值．（2）求b+c的取值范围．22．已知向量=（cosα，sinα），=（cosx，sinx），=（sinx+2sinα，cosx+2cosα），其中0＜α＜x＜π．（1）若，求函数f（x）=•的最小值及相应x的值；（2）若与的夹角为，且⊥，求tan2α的值．2016-2017学年湖南省常德一中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．sin390°的值为（）A．B．C．D．【考点】GO：运用诱导公式化简求值．【分析】390°=360°+30°，直接利用诱导公式转化为锐角的三角函数，即可得到结论【解答】解：利用诱导公式可得：sin390°=sin=sin30°=故选D．2．已知向量=（1，2），=（x，﹣4），若∥，则•等于（）A．﹣10 B．﹣6 C．0 D．6【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据∥，可得﹣4﹣2x=0，解得x=﹣2，则•=x﹣8，运算求得结果．【解答】解：∵向量=（1，2），=（x，﹣4），∥，∴﹣4﹣2x=0，∴x=﹣2．则•=x﹣8=﹣2﹣8=﹣10，故选 A．3．设四边形ABCD中，有=且||=||，则这个四边形是（）A．平行四边形B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形【考点】93：向量的模；96：平行向量与共线向量．【分析】根据向量平行（共线）的定义，若两个向量平行（共线）则表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合．两个向量的模相等则表示两个向量的有向线段长度相等．由此不难判断四边形ABCD的形状．【解答】解：∵ =，∴DC∥AB，且DC≠AB．又||=||，∴四边形为等腰梯形．故选C4．已知tan（α+β）=3，tan（α﹣β）=5，则tan（2α）的值为（）A．B．C．D．【考点】GR：两角和与差的正切函数．【分析】由关系式2α=（α+β）+（α﹣β）及两角和的正切公式代入已知即可求值．【解答】解：∵tan（α+β）=3，tan（α﹣β）=5，∴tan（2α）=tan== =﹣，故选：A．5．将分针拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是（）A．B．﹣ C．D．【考点】G6：弧度制的应用．【分析】利用分针转一周为60分钟，转过的角度为2π，得到10分针是一周的六分之一，进而可得答案．【解答】解：∵分针转一周为60分钟，转过的角度为2π将分针拨慢是逆时针旋转∴钟表拨慢分钟，则分针所转过的弧度数为×2π=故选：C．6．要得到函数y=cos2x的图象，只需将y=cos（2x+）的图象（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】我们可以选设出平移量为A，根据函数图象平移变换法则“左加右减”，我们可以根据平移前后函数的解析式，构造关于A的方程，解方程即可求出答案．【解答】解：设将y=cos（2x+）的图象，向右平移A个单位长度后，得到函数y=cos2x 的图象则cos=cos（2x）易得A=故选B7．向量=（﹣2，﹣1），=（λ，1），若与夹角为钝角，则λ取值范围是（）A．（，2）∪（2，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣，+∞）D．（﹣∞，﹣）【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由于与夹角为钝角，可知=﹣2λ﹣1＜0，且与夹角不为平角，解出即可．【解答】解：∵与夹角为钝角，∴ =﹣2λ﹣1＜0，解得λ，当λ=2时，与夹角为平角，不符合题意．因此（，2）∪（2，+∞）．故选：A．8．函数的图象（）A．关于原点对称 B．关于点（﹣，0）对称C．关于y轴对称 D．关于直线x=对称【考点】H6：正弦函数的对称性．【分析】将题中角：看成一个整体，利用正弦函数y=sinx的对称性解决问题．【解答】解：∵正弦函数y=sinx的图象如下：其对称中心必在与x轴的交点处，∴当x=﹣时，函数值为0．∴图象关于点（﹣，0）对称．故选B．9．已知O，N，P在所在△ABC的平面内，且=，且，则O，N，P分别是△ABC的（）A．重心外心垂心 B．重心外心内心C．外心重心垂心 D．外心重心内心【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】将条件分别化简，然后分别根据外心，重心，垂心和内心的定义，判断结论．将条件分别化简，然后分别根据外心，重心，垂心和内心的定义，判断结论．【解答】解：因为且|=||=||，所以0到顶点A，B，C的距离相等，所以O为△ABC的外心．由得（﹣）=0，即•，所以AC⊥PB．同理可证AB⊥PC，所以P为△ABC的垂心．若++=0，则+=﹣，取AB的中点E，则+=2=，所以2|NE|=|CN|，所以N是△ABC的重心．故选：C．10．函数y=的定义域是（）A．B．C．D．【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】直接求无理式的范围，解三角不等式即可．【解答】解：由2cosx+1≥0得，∴，k∈Z．故选D．11．函数的部分图象如图所示，如果，且f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）=（）A．B．C．D．1【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．再由条件利用正弦函数的图象的对称性，求得f（x1+x2）的值．【解答】解：根据函数的部分图象，可得A=1，==+，∴ω=2，结合五点法作图可得2•（﹣）+φ=0，∴φ=，f（x）=sin（2x+）．如果，且f（x1）=f（x2），结合2x+∈（0，π），可得=，∴x1+x2 =，∴f（x1+x2）=f（）=sin（+）=，故选：C．12．使函数y=sin（2x+θ）+cos（2x+θ）为奇函数，且在上是减函数的θ一个值为（）A．B． C． D．【考点】H3：正弦函数的奇偶性；H5：正弦函数的单调性．【分析】利用两角和正弦公式化简函数的解析式为2sin（2x+θ+），由于它是奇函数，故θ+=kπ，k∈z，由此排除C；再逐一检验其它3个选项，可得结论．【解答】解：∵函数=2sin（2x+θ+）是奇函数，故θ+=kπ，k∈Z，θ=kπ﹣，故排除C．若θ=，f（x）=2sin（2x+），不满足f（x）为奇函数，故排除A．若θ=，f（x）=2sin（2x+π）=﹣2sin2x是奇函数；在上，2x∈，满足f（x）在上是减函数，故B满足条件．若θ=，f（x）=2sin（2x+2π）=2sin2x是奇函数；在上，2x∈，f（x）在上是增函数，不满足在上是减函数，故排除D，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知sinα+cosβ=，sinβ﹣cosα=，则sin（α﹣β）= ﹣．【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；GG：同角三角函数间的基本关系．【分析】把已知的两等式左右两边平方，利用完全平方公式展开后，分别记作①和②，然后将①+②，左边利用同角三角函数间的基本关系及两角和与差的正弦函数公式化简，右边计算，整理后即可求出sin（α﹣β）的值．【解答】解：∵sinα+cosβ=，sinβ﹣cosα=，∴（sinα+cosβ）2=，（sinβ﹣cosα）2=，即sin2α+2sinαcosβ+cos2β=①，sin2β﹣2sinβcosα+cos2α=②，①+②得：sin2α+2sinαcosβ+cos2β+sin2β﹣2sinβcosα+cos2α=（sin2α+cos2α）+（cos2β+sin2β）+2（sinαcosβ﹣sinβcosα）=1+1+2sin（α﹣β）=2+2sin（α﹣β）=，则sin（α﹣β）=﹣．故答案为：﹣14．与向量=（3，4）垂直的单位向量为 =（，﹣）或（﹣，） ．【考点】95：单位向量；9T ：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】设向量的坐标为=（a ，b ），根据题意，是单位向量，且与向量=（3，4）垂直，则有，解可得a ，b 的值，进而可得答案．【解答】解：设这个向量为=（a ，b ），根据题意，有，解得：，或，故答案为： =（，﹣）或（﹣，）．15．已知函数f （x ）=sin2x+kcos2x 的一条对称轴方程为，则k= ．【考点】GL ：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】利用辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin （ωx+φ）的形式，根据对称轴方程即可求出k 的值．【解答】解：函数f （x ）=sin2x+kcos2x=，其中tan θ=k ．∵是其中对称轴，∴2×，∴θ=，k ∈Z ．那么：k=tan θ=tan （）=．故答案为：．16．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°．如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧上变动．若，其中x ，y ∈R ，试求x+y 的最大值．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】建立坐标系，得出点的坐标，进而可得向量的坐标，化已知问题为三角函数的最值求解，可得答案．【解答】解：由题意，以O为原点，OA为x轴的正向，建立如图所示的坐标系，设C（cosθ，sinθ），0≤θ≤，…可得A（1，0），B（﹣，），…由得，x﹣y=cosθ， y=sinθ，…∴y=sinθ，∴x+y=cosθ+sinθ=2sin（θ+），…∴x+y的最大值是2．…三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．已知tanx=2，（1）求的值．（2）求2sin2x﹣sinxcosx+cos2x的值．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【分析】（1）表达式的分子、分母同除cosx，得到tanx的表达式，即可求出结果．（2）利用sin2x+cos2x=1，在表达式的分母增加“1”，然后分子、分母同除cos2x，得到tanx 的表达式，即可求出结果．【解答】解：（1）（2）=18．已知||=4，||=3，（2﹣3）•（2+）=61，（1）求•的值；（2）求与的夹角θ；（3）求|+|．【考点】9Q：数量积的坐标表达式；93：向量的模；9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】（1）利用向量的运算律：平方差公式将等式展开求出（2）利用向量的数量积公式求出两向量的夹角余弦，进一步求出夹角．（3）利用向量模的平方等于向量的平方，再利用向量的完全平方公式展开求出模．【解答】解：（1）由得（2）设与的夹角为θ，则又0°≤θ≤180°∴θ=120°（3）19．如图，以Ox为始边作角α与β（0＜β＜α＜π），它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，已知点P的坐标为．（1）求的值；（2）若，求sin（α+β）．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）根据三角函数定义得到角的三角函数值，把要求的式子化简用二倍角公式，切化弦，约分整理代入数值求解．（2）以向量的数量积为0为条件，得到垂直关系，在角上表现为差是90°用诱导公式求解．【解答】解：（1）由三角函数定义得，，∴原式=；（2）∵，∴∴，∴∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=．20．已知=（sinωx，cosωx），=（sinωx+2cosωx，cosωx），x∈R，ω＞0，记f（x）=且该函数的最小正周期为．（1）求ω的值；（2）求函数f（x）的最大值，并且求使f（x）取得最大值的x的集合．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；9R：平面向量数量积的运算．【分析】（1）根据f（x）=，利用向量数量积的运算，可得f（x）的解析式，该函数f（x）的最小正周期为．可得ω的值．（2）根据三角函数的性质可得函数f（x）的最大值，以及f（x）取得最大值的x的集合．【解答】解：（1）由题意，f（x）=，即f（x）=sinωx•（sinωx+2cosωx）+cos2ωx=sin2ωx+1．∵函数f（x）的最小正周期为．即∴ω=4．∴f（x）=sin8x+1．（2）∵y=sin8x的最大值为1，此时8x=，k∈Z．可得：x=，k∈Z．∴函数f（x）的最大值为：1+1=2．f（x）取得最大值的x的集合为{x|x=，k∈Z}．21．已知角A，B，C为△ABC的三个内角，其对边分别为a，b，c，若=（﹣cos，sin），=（cos，sin），a=2，且•=．（1）若△ABC的面积S=，求b+c的值．（2）求b+c的取值范围．【考点】HX：解三角形．【分析】（1）利用两个向量的数量积公式求出﹣cosA=，又A∈（0，π），可得A的值，由三角形面积及余弦定理求得 b+c的值．（2）由正弦定理求得b+c=4sin（B+），根据B+的范围求出sin（B+）的范围，即可得到b+c的取值范围．【解答】解：（1）∵=（﹣cos，sin），=（cos，sin），且=（﹣cos，sin）•（cos，sin）=﹣cos2+sin2=﹣cosA=，即﹣cosA=，又A∈（0，π），∴A=…．又由S△ABC=bcsinA=，所以bc=4．由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cos=b2+c2+bc，∴16=（b+c）2，故 b+c=4．…（2）由正弦定理得： ====4，又B+C=π﹣A=，∴b+c=4sinB+4sinC=4sinB+4sin（﹣B）=4sin（B+），∵0＜B＜，则＜B+＜，则＜sin（B+）≤1，即b+c的取值范围是（2，4]．…22．已知向量=（cosα，sinα），=（cosx，sinx），=（sinx+2sinα，cosx+2cosα），其中0＜α＜x＜π．（1）若，求函数f（x）=•的最小值及相应x的值；（2）若与的夹角为，且⊥，求tan2α的值．【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】（1）根据向量点乘表示出函数f（x）的解析式后令t=sinx+cosx转化为二次函数解题．（2）根据向量a与b的夹角为确定，再由a⊥c可知向量a点乘向量c等于0整理可得sin（x+α）+2sin2α=0，再将代入即可得到答案．【解答】解：（1）∵=（cosx，sinx），=（sinx+2sinα，cosx+2cosα），，∴f（x）=•=cosxsinx+2cosxsinα+sinxcosx+2sinxcosα=．令t=sinx+cosx（0＜x＜π），则t=，则2sinxcosx=t2﹣1，且﹣1＜t＜．则，﹣1＜t＜．∴时，，此时．由于＜x＜π，故．所以函数f（x）的最小值为，相应x的值为；（2）∵与的夹角为，∴．∵0＜α＜x＜π，∴0＜x﹣α＜π，∴．∵⊥，∴cosα（sinx+2sinα）+sinα（cosx+2cosα）=0．∴sin（x+α）+2sin2α=0，．∴，∴．2017年6月13日。
湖南省常德市第一中学2018届高三第一次水平考试理科数学试题(解析版)
常德市一中2018届高三第一次月考（试题卷）理科数学(时量：120分钟满分：150分)一、选择题（本题包括12个小题，每小题5分，共60分）1.已知集合，,则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先化简集合B,根据集合的交并运算即可解决.【详解】由可得，故，所以，选D.【点睛】本题主要考查了指数不等式及集合的交并运算，属于容易题.2.设，则等于( )A. B. C. D. 0【答案】C【解析】【分析】由定积分性质知，即可计算其值.【详解】,故选C.【点睛】本题主要考查了定积分及定积分的性质，属于中档题.3.已知，且是函数的零点，则对于函数，下列说法正确的是（）A. ；B. ；C. ；D.【答案】C【解析】【分析】因为是函数的零点，所以，又图象开口向下，所以是最大值.【详解】因为是函数的零点，所以，又图象开口向下，且对称轴，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了函数零点，二次函数的最值，属于中档题.解题关键是一次函数的零点恰好是二次函数对称轴的横坐标，从而是最大值.4.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于（）A. 10B. 30C. 24D. 60【答案】C【解析】【分析】由三视图可知，几何体为底面是直角三角形的直三棱柱去掉了一个三棱锥，故可求其体积. 【详解】由三视图可知，几何体为底面是直角三角形的直三棱柱去掉了一个三棱锥,如图所示【点睛】本题主要考查了三视图及棱柱与棱锥的体积，属于中档题.5.函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，且是R上的奇函数，则函数在上的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】因为的图象向左平移个单位后得到函数的图象，且为奇函数，所以是奇函数，故，故，从而可求解.【详解】因为的图象向左平移个单位后得到函数的图象，且为奇函数，所以是奇函数，且，故，所以，当时，，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移，三角函数的奇偶性以及三角函数值域的求法，属于中档题.解决此类平移问题，需要特别注意，平移的量是变化在自变量x上的，左移变为而不是.6.已知命题p：不等式的解集为，命题q：是减函数，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数m的取值范围是（）A. 1≤m≤2B. 1≤m<2C. 1<m≤2D. 1<m<2【答案】B【解析】【分析】若p∨q为真命题，p∧q为假命题,可知p真q假或p假q真，化简p,q为真时，对应m的取值范围，然后按p 真q假或p假q真求解即可.【详解】若p为真时，，即，若q为真时，，即，若p∨q为真命题，p∧q为假命题,可知p真q假或p假q真，当p真q假时，，无解，若p假q真时，，即，故选B. 【点睛】本题主要考查了含且、或命题的真假，及含绝对值不等式恒成立，指数型函数的增减性，属于中档题.7.已知，若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）.A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】D【解析】【分析】对函数求导，，由函数在上单调递减，可知在区间上恒成立即可求解. 【详解】因为，函数在区间上单调递减，所以在区间上恒成立，只需，即解得或，故选D.【点睛】本题主要考查了导数、函数的单调性，二次函数的性质及不等式的恒成立问题，属于难题.解决三次函数的单调性问题，一般要考虑求导数，利用导数研究函数的单调区间或者是求参数的取值范围，若函数在某区间单调，则转化为函数的导数在区间上大于等于零（或小于等于零）恒成立.8.若函数满足且时，，函数，则函数在区间内的零点的个数为（）A. 7B. 8C. 9D. 10【解析】【分析】由知函数是周期为2的函数，进而根据与函数的图象得到交点为8个.【详解】因为，所以函数是周期为2的函数，作出时，的图象，并根据周期扩展到上，再作出函数的图象，如图所示：从图中易看出有8个交点，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的周期性，函数的图象及利用图象判断函数零点个数，属于中档题.处理函数零点个数问题，可以转化为判断两个函数图象交点个数问题，在同一坐标系内分别画出图象，容易看出交点个数. 9.设函数的两个极值点分别为，若，，若恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【分析】求导函数，利用的两个极值点分别为，，，建立不等式，利用平面区域，即可求出的取值范围.【详解】由题意，，因为的两个极值点分别为，，，所以，对应可行域如下图：三个顶点坐标，当过时，，所以，故即可，故选C.【点睛】本题主要考查了含且、或命题的真假，及含绝对值不等式恒成立，指数型函数的增减性，属于中档题.10.如图，四边形ABCD是半径为1的圆O的外切正方形，是圆O的内接正三角形，当绕着圆心O旋转时，的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意利用两个向量的数量积求得，再求得的范围.【详解】由题意，，又，所以，故选D.【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义，余弦函数的值域，属于中档题.11.设集合,对的任意非空子集A，定义为集合A中的最大元素，当A取遍的所有非空子集时，对应的的和为，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意，的任意非空子集A共有个，在所有非空子集中每个元素出现次，可知含有n的子集有个，不含n含有个，不含，含的有个以此类推有个子集不含n,n-1,n-2,…k-1,而含有k.利用错位相减法求出其和.【详解】由题意，的任意非空子集A共有个，在所有非空子集中每个元素出现次，可知含有n的子集有个，不含n含有个，不含，含的有个以此类推有个子集不含n,n-1,n-2,…k-1,而含有k,因为为集合A中的最大元素所以，错位相减可得，所以=，故选A. 【点睛】解决此类问题的关键是读懂并弄通题意，找出规律是关键，然后结合数列求和，采用错位相减法即可求出.12.已知函数（其中为实数）的图象在处的切线与轴平行，.且对任意，存在，使得，则实数的最小值（其中为自然对数的底数）为（）A. B. C. 1 D. 2【答案】A【解析】【分析】问题等价于，通过讨论b的范围，求出的最小值，从而求出的最小值即可.【详解】因为（其中为实数）的图象在处的切线与轴平行，所以，因为在是增函数，在上是减函数，而，所以时，，，因为原不等式可转化为，所以应存在，使得即可，当时，不合题意，当时是上的减函数，，故，当，，故，综上，故选A.【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查分类讨论的思想以及导数的应用，属于难题.熟练掌握导数的综合应用是解答此类问题的关键.二、填空题（本题包括4小题，每空5分，共20分）13.由曲线，围成的封闭图形面积为________．【答案】【解析】试题分析：考点：曲边图形的面积与定积分的计算．14.函数图象上点处的切线与直线：平行，则=__________．【答案】【解析】【分析】根据导数的几何意义，可以求出切线的斜率，又切线与平行，即可求出k.【详解】, 所以，，故填.【点睛】本题主要考查了函数导数的几何意义，利用导数求切线的斜率，属于中档题.15.设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足，,若为数列中的项，则所有的正整数的取值集合为_________．【答案】【解析】【分析】设等差数列首项和公差，联立方程组，求出通项公式，化简，令其等于，令，化简得，所以为偶数且且为奇数，可得出b的取值，利用b值求出m的值.【详解】由得：，由得：，联立解得，所以，，令，得到，所以为偶数且且为奇数，故或，进而得到或，当时，n不为整数，舍去，故.【点睛】本题主要考查了学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和公式化简求值，等差数列的性质，属于中档题.16.定义域为的函数的图象的两个端点为A,B,且M是图象上任意一点，其中，为实数，为坐标原点，向量，若不等式恒成立，则称函数在上“阶相近”．若已知函数在上“阶相近”，则实数的最小值为____________．【答案】【解析】【分析】先根据条件得出M,N的横坐标，再将恒成立问题转化为函数最值问题.【详解】由已知，,,，点M的横坐标，，纵坐标，令，故而，，且，故，而不等式，即恒成立，故k的最小值为【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，基本不等式，属于难题.解答的关键是将已知条件进行转化，同时应注意恒成立问题的处理策略.三、解答题（本大题共6小题，满分70分）（答案写在答题卷上）17.某校高三数学竞赛考试后，对90分以上的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若130～140分数段的人数为2人.（1）请估计这组数据的平均数；（2）现根据初赛成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组）所有人中任意选出两人，形成帮扶小组. 若选出的两人成绩差大于20，则称这两人为“黄金搭档组”，试求选出的两人为“黄金搭档组”的概率.【答案】（1）113分；（2）.【解析】试题分析：(1)由条件易得总人数为40，平均数等于各小矩形底边中点横坐标与小矩形面积的乘积之和求得M＝113.(2)依题意第一组共有4人，第五组共有2人，从第一组和第五组中任意选出两人共有15种选法,选出的两人为“黄金搭档组”,若两人成绩之差大于20，则两人分别来自第一组和第五组，共有8种选法，故概率为.试题解析：设90～140分之间的人数为n，由130～140分数段的人数为2，可知0.005×10×n＝2，得n＝40.(1)平均数M＝95×0.1＋105×0.25＋115×0.45＋125×0.15＋135×0.05＝113.(2)依题意第一组共有40×0.01×10＝4人，记作A1，A2，A3，A4；第五组共有2人，记作B1，B2. 从第一组和第五组中任意选出两人共有下列15种选法：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，A4}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A4，B1}，{A4，B2}，{B1，B2}．设事件A：选出的两人为“黄金搭档组”．若两人成绩之差大于20，则两人分别来自第一组和第五组，共有8种选法：{A1，B1}，{A2，B1}，{A3，B1}，{A4，B1}，{A1，B2}，{A2，B2}，{A3，B2}，{A4，B2}，故P(A)＝.考点：1.频率分布直方图;2.古典概型的概率计算18.在中,分别是角的对边，且.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，,求的面积.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）利用同角三角函数之间的关系，整理求出的值，进而求出的值，利用两角和与差的正弦函数公式化简即可；（Ⅱ）利用余弦定理表示出,利用完全平方公式变形后，求出，代入三角形面积公式即可.【详解】（Ⅰ）由得：，又（Ⅱ）由余弦定理得：.又，，【点睛】此题考查了余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，属于中档题.19.如图，、分别是正三棱柱的棱、的中点，且棱，.（1）求证：平面；（2）若二面角的大小为，试求.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】在线段上取中点，连结、，可证明四边形是平行四边形,从而得证（2）易知,过点E作于,连接,则为二面角的平面角，即【详解】（1）在线段上取中点，连结、.则，且，∴是平行四边形∴，又平面，平面，∴平面.(2)易知,过点E作于,连接,则为二面角的平面角，即,求其正切即可.在中，由等面积法可知斜边上的高为,则,又,在中，.故为所求. (法二：坐标法，利用空间向量)【点睛】本题主要考查了线面平行，线面垂直，二面角，涉及中位线，三角函数的计算等，属于中档题.20.已知圆C： .(1)若直线在y轴上的截距为0且不与x轴重合，与圆C交于，试求直线:在x轴上的截距;（2）若斜率为1的直线与圆C交于D,E两点，求使面积的最大值及此时直线的方程.【答案】（1）；（2）的最大值为2，直线的方程为或.【解析】【分析】（1）根据题意设直线：，联立消元可得，，化简，即可写出直线m（2）设直线的方程：，利用圆心距，半径，半弦长构成直角三角形求出弦长，写出三角形面积求最值即可.【详解】（1）圆C：，设直线：，联立，则有：，故，则，故直线:，令，得为直线在x轴上的截距.(2) 设直线的方程：，则圆心C到直线的距离为.弦长，则面积的为：，（当且仅当，即或时取“=”）.故的最大值为2，此时直线的方程为或.【点睛】本题主要考查了圆、圆与直线的位置关系，均值不等式，属于难题.解决面积最值问题，一般要先表示出三角形的面积，然后根据表达式选择合适的求最值方法，本题采用了均值不等式求最值的方法.21.已知函数满足，且当时，，时，的最大值为. （1）求实数的值；（2）是否存在实数使得不等式对于时恒成立？若存在，求出实数的取值集合；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用函数性质可得，求导分析函数单调性，求其最大值即可（2）由原不等式可转化为，构造函数，利用导数求其最大值，当时，，令可求其最小值，，所以可求出b=1.【详解】（1）由已知得：∴∴∴∴当，当，∴，∴（2）由（1）可得：时，不等式，即为恒成立，当时，，令则令，则当时，，递增∴，∴，递增∴，故此时只需即可；当时，，令则令，则当时，∴，∴，递增∴，故此时只需即可.综上所述：，因此满足题中的取值集合为：【点睛】本题主要考查了函数的性质，利用导数求函数的单调性，构造函数利用单调性证明不等式，属于难题.22.已知函数与（为常数）的图象在它们与坐标轴交点处的切线互相平行.（1）若关于的不等式有解，求实数的取值范围；（2）对于函数和公共定义域内的任意实数，我们把的值称为两函数在处的“瞬间距离”.则函数与的所有“瞬间距离”是否都大于2？请加以证明.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据函数的切线平行，利用导数相等可求出c，则原不等式可转化为，只需求的最大值即可（2）由题意=，只需分析其值大于2即可，构造函数可证，构造并证明，利用不等式传递性即可证出.【详解】（1）函数只与轴交于点，只与轴交于点.而，，由得，又由已知显然，故，，.那么，不等式可化为（）令，则，，又，，故，，则在递减，，要使（）有解，则应有.（2）与的公共定义域为，且=令，则，在递增，，即①同理，令，则，当时，，递减；当时，，递增. 故，即②由①②知，，故.故函数与的所有“瞬间距离”都大于2.【点睛】点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.。
湖南省常德市第一中学2016-2017学年高一下学期期末考试(文理分科)数学试题图片版含答案
常德市一中2017年上学期高一年级期末考试试卷——数 学（答案）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ABCBABDCCADD13．7514．16 15.2017100916．31117。
解:（1）2222(2)(3)6||6||18a b a b a a b b a a b b +⋅-=-⋅-=-⋅-=-所以3a b ⋅=，得1cos 2||||a b a b θ⋅==⋅，故3πθ= ………… 5分（2）2222(2)4413a b a b a a b b -=-=-⋅+=…………10分18． 解:（1)由已知得：2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，所以3A π= (4)分(2）由正弦定理：sin sin a bA B =, ∴sin 2sin 2b A B a⋅==又因为b a <，∴B A <,所以4B π=．……………8分又512C A B ππ=--=，所以133sin 22ABCSab C ∆+==……………12分19。
解：设水池底面一边的长度为x m ，则另一边的长度为16xm ，又设水池总造价为y 元。
根据题意，得1615016120(2323)y x x=⨯+⨯⨯+⨯⨯16162400720()240072028160x x x x=++≥+⨯⋅= 当16x x=，即4x =时,y 有最小值8160. ……………12分20。
解：（1）数列{}na 的通项公式为2n na=(*)n N ∈ …………3分数列{}nb 的通项公式为21nbn =+(*)n N ∈ …………6分（2）212n n n n b n c a +==， 123357212222n n n T +=++++ …………①23135212122222n n n T n n +-+=++++ …………② ①－②得2552n nn T +=- ……………12分21．解：(1)22cos 131()3sin cos sin 2cos 2sin(2)2226x f x x x x x x π-=+=+=+由3222262k x k πππππ+≤+≤+，得263k x k ππππ+≤≤+（k ∈Z ),故函数()f x 的单调递减区间是2[]63k k ππππ++，（k ∈Z )．……………4分（2）因为02x π≤≤，所以72666x πππ≤+≤,得1sin(2)126x π-≤+≤ 所以()f x 在区间[0,]2π上的值域为1[,1]2- ……………8分（3)()sin()6g x x πϕ=++为奇函数,所以66k k ππϕπϕπ+=⇒=-因为0ϕ>，k Z ∈，所以ϕ的最小值为56π …………12分22. 解：（1）1111222221n n n n n n n n n S S n n n aS S S S S S n n n n n+++++++=⇒-=⇒=⇒=⋅+ 所以数列nS n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为8，公比为2的等比数列，故182n nS n-=⨯［来所以212(1)2n n nn S n a n ++=⋅⇒=+⋅ (4)分（2）222nnna bn ==+ 12233445212221n n n n n K bb b b b b b b b b b b -+=-+-+--+ 23145322121()()()n n n b b b b b b b b b +-=-+-++-242(642)4()48(2)2n n n b b b n n ++=+++=⨯=+………………8分（3）221118(2)21188(1)2(1)22(1)2n nn n n n n k n n n c n a n n n n n n +++++====-⋅⋅+⋅+⋅⋅+ ∴2231111111111122222322(1)22(1)2n n n n Tn n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭∵110(1)2n n +>+⋅,∴11112(1)22n n T n +=-<+⋅，要使20172n m T -<对一切*n N ∈成立,只需20171201822m m -≥⇒≥，即2018m=最小………12分。