2020年香港集训队选拔考数学试题(无答案)

港澳高考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题6分，共60分）1. 已知函数f(x) = 2x + 3，若f(x) + f(-x) = 10，则x的值为：A. 2B. -2C. 5D. -52. 在直角坐标系中，点A(2,3)关于直线y=x的对称点为：A. (3,2)B. (2,3)C. (-3,-2)D. (-2,-3)3. 下列哪个数是正数？A. -1/2B. -3C. 0D. 1/34. 若a^2 + b^2 = 25，且a + b = 5，则ab的最大值为：A. 12B. 15C. 18D. 205. 下列哪个不等式是错误的？A. 2x > xB. -3x < xC. 5x > 3xD. 2x < 5x6. 在三角形ABC中，∠A = 45°，∠B = 60°，则∠C的度数为：A. 75°B. 90°C. 105°D. 120°7. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a1 + a3 + a5 = 15，则a2 + a4 + a6的值为：A. 15B. 18C. 21D. 248. 下列哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = x^49. 若x^2 - 4x + 3 = 0，则x的值为：A. 1B. 2C. 3D. 410. 下列哪个数是无理数？A. √2B. √3C. √4D. √5二、填空题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）11. 若log2(3x - 2) = 3，则x的值为______。

12. 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，若a1 + a2 + a3 = 12，则a4的值为______。

13. 在直角坐标系中，点P(2, -3)到直线y = 2x的距离为______。

14. 若sinθ = 1/2，且θ在第二象限，则cosθ的值为______。

2020年中国香港数学奥林匹克12月(无答案)

2020年中国香港数学奥林匹克
2019年12月7号
决赛
1定义两个整数数列{a n}和{b n}如下:
a1=1,a2=10,a n+1=2a n+3a n−1对n=2,3,4,···,成立,
b1=1,b2=8,b n+1=3b n+4b n−1对n=2,3,4,···,成立.
求证:除了整数1以外,这两个数列中没有两个相同的数.
2设S={1,2,···,100}.考虑S的任意一个分割S1,S2,···,S n,当中n是任意的,即每个S i非空,
两两不相交,且S=
n
∪
i=1
S i,设a i是集合S i中元素的平均值,并定义
a1+a2+···+a n
n
为这个分割的得分.在所有n和所有S的分割当中,求得分的最小值.
3设△ABC是等腰三角形,其中AB=AC.△ABC的内切圆Γ的圆心为I,它与边AB和AC分别相切于F和E.设Ω是△AF E的外接圆.Γ和Ω的两条外公切线相交于点P,若其中一条外公切线与AC平行.求证:∠P BI=900.
4一个国家内有n⩾3个城市,对于每两个城市A和B,均有一条由A到B的单程路,或一条由B到A的单程路(但两者不能同时存在).假设我们由任意城市出发皆可沿这些路到达任何其他城市,并设d(A,B)是由城市A到B所需要经过的路的数量的最小值.考虑所有有序的不同城市对,得出d(A,B)的平均值,对于所有兴建道路方法,求这个平均值的最小值.。

初中数学香港竞赛试题及答案

初中数学香港竞赛试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个数不是质数？A. 2B. 3C. 4D. 52. 一个圆的半径是5厘米，它的周长是多少厘米？A. 10πB. 15πC. 20πD. 25π3. 如果一个数的平方是16，那么这个数是多少？A. 4B. ±4C. 8D. ±84. 一个三角形的三个内角之和是多少度？A. 90度B. 180度C. 270度D. 360度5. 一个数的立方根是2，那么这个数是多少？A. 2B. 4C. 8D. 166. 如果一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，那么斜边是多少？A. 5B. 6C. 7D. 87. 一个数的倒数是1/2，那么这个数是多少？A. 1/2B. 2C. 1D. 08. 一个数的绝对值是5，那么这个数可能是多少？A. 5B. -5C. 5或-5D. 都不是9. 一个数的平方根是4，那么这个数是多少？A. 16B. 8C. 4D. ±410. 一个正数的对数是2，那么这个数是多少？A. 10B. 100C. 1000D. 10000二、填空题（每题3分，共15分）11. 如果一个数的平方是25，那么这个数是_________。

12. 一个数的立方是27，那么这个数是_________。

13. 一个数的对数是3，那么这个数是_________。

14. 一个三角形的三个内角分别是40度，70度，那么第三个角是_________度。

15. 如果一个数的平方根是3，那么这个数是_________。

三、解答题（每题5分，共25分）16. 证明勾股定理。

17. 解释什么是黄金分割比例，并给出其数值。

18. 说明如何使用代数方法解一元二次方程。

19. 给出一个例子，说明如何使用因式分解来简化一个复杂的数学表达式。

20. 解释什么是函数，并给出一个简单的函数表达式。

四、综合应用题（每题10分，共30分）21. 一个矩形的长是宽的两倍，如果它的周长是24厘米，求矩形的长和宽。

广东省东莞市南开实验学校2020届高三数学上学期期初试题(港澳台生)(无答案)新人教A版

2020年中华人民共和国普通高等学校联合招收华侨、港澳地区、台湾省学生入学模拟考试一．选择题（12题共60分）1. 若集合{}1,A x x x R =≤∈，{}2,B y y x x R ==∈，则A B =I A ．{}11x x -≤≤ B ．{}0x x ≥ C ．{}01x x ≤≤ D ．∅2. 若复数z1=1+i ，z2=3-i ，则z1·z2=A ．4+2 i B. 2+ i C. 2+2 i D.3+ i3.把1a a-的根号外的a 移入到根号内，得（） A a B a - C a - D a --4.设多项式322x x ax b -++除以(2)(1)x x --所得的余式为0,则a,b 的值（）A a=1,b=2B a=-1 b=2C a=1,b=-2D a=-1,b=-25. 设集合{}{}A x||x-a|<1,x R ,|15,.A B B x x x R =∈=<<∈⋂=∅若，则实数a 的取值范围是(A){}a |0a 6≤≤ (B){}|2,a a ≤≥或a 4 (C){}|0,6a a ≤≥或a (D){}|24a a ≤≤6.如果a<b<0,则一定有 ( ) A 22a b p B1a b p C 11a b p D 11a b f 7.设关于x 的不等式20x ax b ++p 的解集为(-2,3)，则a-b=( )A 7B 5C -5D -78.(23)(23)log -+的值（）A 1B -1C 12D -129. 已知函数3log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f =A.4B. 14 C.-4D-1410. 给定函数①12y x =，②12log (1)y x =+，③|1|y x =-，④12x y +=，在区间（0，1）上单调递增的函数序号是（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④11. 若函数1ax y x =+的图像关于直线y x =对称，则a 为（） A ．1 B ．1- C ．1± D ．任意实数12.设()f x 为定义在R 上的奇函数。

2020年香港集训队选拔考数学试题(无答案)

2020香港集训队选拔考试题
1:求所有满足下述条件的函数f:N*→N*：
对所有正整数n,若d 1,d 2,…ds,为n 的所有正因数,则:
f(d 1)f(d 2)…f(ds,)=n 。

2.设D 是△ABC 内部任意一点,T 为△BCD 的外接圆.∠ABC 的外角平分线与T 交于点E,∠ACB 的外角平分线与T 交于点F 直线EF 与AB 和AC 延长线分别交于点P 、Q.证明:△BFP 与△CEQ 的外接圆一点都经过某个与D 点位置无关的定点。

3. 小明从整数集合{}
12,,12,12,122019321++++ 中任选两个数,并计算他们的最大公因数。

求所有的小明可算出的最大公因数的值的和。

4. 求所有小于100,且满足［(2+√5)P ]-2p+1可以被P 整除的质数P 的个数.这里[x]表示不大于实数x 的最大整数.
5.△ABC 中,D 为BC 边上的一点.已知△ABD 的内切圆1ω分别于AB 、
AD 切于点E 、F.△ACD 的内切圆2ω分别于AD 、AC 切于点F 、G.设
线段EG 分别交圆1ω与2ω于P 、Q.
证明:过P 点作1ω的切线,过Q 点作2ω的切线,则这两条切线与直线AD
共点.
6.对任一由数字0和1构成的数列,我们将其中由连续的相同数字组
成的最大字符串称为“节”,将其“节”的个数称为他的“连续数”。

(例如,数列011001010由7个“节”0，11，00，1，0，1,0，组成,所以它的“连续数”为7,)求所有由2019个0和2019个1组成的数列的“连续数”之和。

港澳联考试卷数学真题

港澳联考试卷数学真题【港澳联考试卷数学真题】一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x) = 3x^2 + 2x - 5，求f(-1)的值。

A. -8B. -6C. -4D. 02. 已知等差数列的首项为3，公差为2，求第10项的值。

A. 23B. 25C. 27D. 293. 一个圆的半径为5，求其面积。

A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 若a = 2，b = 3，求a^2 + b^2的值。

A. 13B. 14C. 15D. 165. 已知三角形ABC的三边长分别为3, 4, 5，判断其形状。

A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 一般三角形6. 若cosθ = 0.6，求sinθ的值（θ在第一象限）。

A. 0.8B. 0.5C. 0.3D. 0.27. 一个长方体的长、宽、高分别为2, 3, 4，求其体积。

A. 24B. 36C. 48D. 528. 已知一个二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，求其根。

A. 2, 3B. -2, 3C. 1, 6D. -1, 69. 一个正弦函数y = sin(2x + π/4)的周期是多少？A. πB. 2πC. 4πD. 8π10. 已知一个函数y = √x + 1的值域。

A. [1, +∞)B. [0, +∞)C. (-1, +∞)D. (-∞, +∞)二、填空题（每题4分，共20分）11. 若函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x)。

___________________________12. 一个等比数列的首项为2，公比为3，求其第5项的值。

___________________________13. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。

___________________________14. 已知一个圆的周长为44cm，求其半径。

___________________________15. 一个函数y = 2x^3 - 6x^2 + 3x + 1的极值点是x = ______。

2020年华侨、港澳、台联考高考数学试卷真题+参考答案+详细解析

2020年华侨、港澳、台联考高考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）若集合A 共有5个元素，则A 的真子集的个数为( ) A ．32B ．31C ．16D ．152．（5分）设函数()(3)f x ln x a =+，若(0)1f '=，则(a = ) A ．3 B ．eC ．3lnD ．13．（5分）设22(35)(1)i z i +=-，则(z = )A ．53i -B ．53i --C ．53i +D ．53i -+4．（5分）设函数2()f x x x c =++，若f （1），f （2），f （3）成等比数列，则(c = ) A ．6-B ．2-C ．2D ．65．（5分）离心率为12的椭圆的焦距为2，则该椭圆的短轴长为( )A ．1B C ．D ．6．（5分）设双曲线224x y -=的焦点为1F ，2F ，点P 在双曲线右支上，且1290F PF ∠=︒，则点P 的横坐标为( )A B ．2CD ．67．（5分）从写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任选2张，其上数字和为偶数的概率是( ) A ．15B ．310C ．25 D ．358．（5分）已知正三棱锥P ABC -，2AB =，PA =，D 为PC 中点，则三棱锥D ABC -的体积为( )A B ．13C D 9．（5分）若4a b c ++=，320a b c +-=，则ab 的最大值为( )A ．16B C ．13D 10．（5分）函数1()f x lnx x=+的单调递增区间是( ) A ．(0,1)B ．1(e，)+∞C ．(0,)eD ．(1,)+∞11．（5分）已知函数2()2sin 2f x x x =，则()f x 的最小值为( )A ．0B ．1-C ．D ．2-12．（5分）设点1P ，2P ，3P 在O 上，若1230OP OP OP ++=，则123(PP P ∠= ) A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

香港数学竞赛试题及答案

香港数学竞赛试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个数是质数？A. 4B. 9C. 13D. 162. 如果一个圆的半径是5厘米，那么它的周长是多少？A. 10π cmB. 15π cmC. 20π cmD. 25π cm3. 一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，斜边是多少？A. 5B. 6C. 7D. 84. 以下哪个表达式等于0？A. 2 - 2B. 3 + 3C. 4 × 0D. 5 ÷ 55. 如果一个数的平方是16，那么这个数是？A. 2B. 4C. ±4D. ±8二、填空题（每题3分，共15分）6. 一个数的立方根是2，那么这个数是______。

7. 一个数的平方是25，那么这个数是______。

8. 一个数的绝对值是5，那么这个数可以是______或______。

9. 如果一个数的倒数是1/4，那么这个数是______。

10. 一个数的平方根是4，那么这个数是______。

三、解答题（每题5分，共30分）11. 证明勾股定理：在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。

12. 解方程：2x + 5 = 17。

13. 一个长方形的长是20厘米，宽是10厘米，求它的面积。

14. 一个数列的前三项是1, 1, 2，如果每一项都是前两项的和，求第10项。

四、应用题（每题10分，共40分）15. 一个工厂每天生产200个零件，如果每个零件的利润是5元，那么工厂一个月（30天）的利润是多少？16. 一个班级有40名学生，其中1/4的学生是男生，班级中女生有多少人？17. 一个圆的直径是14厘米，求它的面积。

18. 一个三角形的底是10厘米，高是6厘米，求它的面积。

答案一、选择题1. C2. C3. A4. A5. C二、填空题6. 87. ±58. 5, -59. 410. 16三、解答题11. 证明：设直角三角形的直角边为a和b，斜边为c。

2019-2020年高三上学期港澳台入学考试数学试题

2019-2020年高三上学期港澳台入学考试数学试题一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请将答案填在题后括号内。

1.若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比为（）A ．B ．C ．D ．2. 若，则下列不等式不成立．．．的是（） A ． B ． C ． D ．3。

已知函数()()()246060x x x f x x x ⎧-+≥⎪=⎨+<⎪⎩，则满足的取值范围是（）A. B.C. D.4．圆0204222=-+-+y x y x 截直线所得弦长为8，则C 的值为（）A 10 B68 C 12 D 10或685．已知ΔABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5 6．如果方程x 2－4ax +3a 2=0的一根小于1，另一根大于1，那么实数a 的取值范围是（）A B C D7．将的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的一半，然后再将图象沿轴负方向平移个单位，则所得图象的解析式为（）（A ）（B ）（C ）（D ）8．数列a n ＝1n (n ＋1)，其前n 项之和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为 ( ) A ．－10 B ．－9 C ．10 D ．99.若==+θθθ2sin ,4tan 1tan 则( ) 10. 直线与两条直线，分别交于P 、Q 两点。

线段PQ 的中点坐标为，那么直线的斜率是（） A. B.C. D.11. 设函数f (x )＝x m -ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则的值为（）A.1B.2C.3D.-212. 已知点M 是抛物线y 2＝2px (p >0)上的一点，F 为抛物线的焦点，若以|MF |为直径作圆，则这个圆与y 轴的关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上三种情形都有可能二、填空题：本大题共6小题；每题5分。

香港少年数学竞赛试题及答案

香港少年数学竞赛试题及答案试题一：计算题题目：计算下列表达式的值：\[ 3x^2 - 5x + 2 \]其中 \( x = -1 \)。

答案：将 \( x = -1 \) 代入表达式中，得到：\[ 3(-1)^2 - 5(-1) + 2 = 3 + 5 + 2 = 10 \]试题二：几何题题目：在一个直角三角形中，已知直角边长分别为 3 厘米和 4 厘米，求斜边的长度。

答案：根据勾股定理，直角三角形的斜边长度 \( c \) 可以通过以下公式计算：\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]其中 \( a \) 和 \( b \) 分别是直角边的长度。

代入题目中的数据，得到：\[ c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]所以斜边的长度是 5 厘米。

试题三：应用题题目：一家商店在促销期间，如果顾客购买超过 100 元的商品，可以享受 10% 的折扣。

小明购买了 150 元的商品，他应该支付多少元？答案：首先计算折扣金额，即 150 元的 10%：\[ 150 \times 10\% = 150 \times 0.1 = 15 \]然后从原价中减去折扣金额，得到小明需要支付的金额：\[ 150 - 15 = 135 \]所以小明应该支付 135 元。

试题四：逻辑推理题题目：在一个班级中，有 20 名学生。

如果至少有 3 名学生在同一天过生日，那么班级中至少有多少名学生的生日在同一个月份？答案：假设每个月至少有 2 名学生过生日，那么一年 12 个月就有至少 24 名学生过生日。

但班级中只有 20 名学生，所以至少有 4 名学生的生日在同一个月份，以满足至少有 3 名学生在同一天过生日的条件。

试题五：数列题题目：数列 \( a_n \) 定义为 \( a_1 = 1 \)，且对于 \( n \geq 2 \)，有 \( a_n = a_{n-1} + n \)。

港澳台侨2020届高三数学9月月考试题(无答案)

港澳台侨2020届高三数学9月月考试题（无答案）一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请将答案填在题后括号内。

1、设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,5U A B ===，则()U A C B =I ························（） A 、{}2 B 、{}2,3 C 、{}3 D 、{}1,32、下列四个图形中，不是．．以x 为自变量的函数的图象是··································· ( )A B C D3、“1>x ”是“x x >2”的····························································（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4、已知函数 f (x )＝x 2＋1，那么f (a ＋1)的值为··········································· ( )A ．a 2＋a ＋2B ．a 2＋1C ．a 2＋2a ＋2D ．a 2＋2a ＋15、已知函数f(x)在[-5，5]上是奇函数，且f(3) ＜f(1),则 ······························( )（A ）f(-1) ＜f(-3) （B ）f(0) ＞f(1)（C ）f(-1) ＜f(1) （D ）f(-3) ＞f(-5)6、下列等式成立的是 ··································································( )A ．log 2(8－4)＝log 2 8－log 2 4B ．4log 8log 22＝48log 2C ．log 2 23＝3log 2 2 D ．log 2(8＋4)＝log 2 8＋log 2 47、幂函数y ＝x α(α是常数)的图象 ························································( ) A 一定经过点(0，0) B 一定经过点(1，1) C 一定经过点(－1，1) D 一定经过点(1，－1)8、方程2x ＝2－x 的根所在区间是 ························································( )A ．(－1，0)B ．(2，3)C ．(1，2)D ．(0，1)9、函数y =1-x +1（x ≥1）的反函数是 ·············································（）A. )1(222<+-=x x x yB.)1(222≥+-=x x x yC.)1(22<-=x x x yD.)1(22≥-=x x x y 10、已知)(x f ＝⎩⎨⎧≤+>-10))2((101312x x f f x x ，　，则的值为)8(f ···································· ( ). A .13 B. -67 C. 1313 D .-676711、在R 上的奇函数()f x 在（0，+∞）上是增函数，又f （－3）=0，则不等式()0xf x <的解集···（ )A 、（－3，0）∪（0，3）B 、（－∞，－3）∪（3，+∞）C 、（－3，0）∪（3，+∞）D 、（－∞，－3）∪（0，3） 12、一次函数()g x 满足[]()98g g x x =+, 则()g x 的解析式是································· ( ).A.()98g x x =+B.()32g x x =+C.()34g x x =--D.()32g x x =+或()34g x x =--二、填空题 (共6小题，每小题5分 , 共30分)13、已知集合A ＝{－1，3，2m －1}，集合B ＝{3，2m }．若B ⊆A ，则实数m ＝______14．已知8)(35-++=bx ax x x f 且f(-2)=3，那么f(2)等于 15、化简求值1log 5log 941log )3(log 3525.02213-++= 16、已知函数323+⋅=x y 的定义域为[]2,1-，则值域为17、函数f (x )＝log a x －x ＋2(a >0且a ≠1)有且仅有两个零点的充要条件是________18、设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意()x M M D ∈⊆，有x l D +∈，且()()f x l f x +≥，则称()f x 为M 上的l 高调函数．如果定义域是[1,)-+∞的函数2()f x x =为[1,)-+∞上的m 高调函数，那么实数m 的取值范围是．三、解答题 (本大题共4小题，共15分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19已知集合A ＝{x |0232<+-x x }，B ＝{x |131+<<-a x a }．(1)当a ＝41时，求A ∩B ；(2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围20若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式； (2)若在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．21.已知)32(log 24x x y -+=(1) 求函数定义域 (2)求)(x f 的单调区间22函数()f x 的定义域为R ，且()f x 的值不恒为0，又对于任意的实数m 、n ，总有()()22n m f m f n mf nf ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立．（1）求(0)f 的值；（2）求证：()0t f t ⋅≥对任意的t ∈R 成立；（3）求所有满足条件的函数()f x ．。

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香港（新版）2024高考数学统编版测试(培优卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知全集，集合，则（）A．B．C．D．第(2)题已知函数若对任意的，恒成立，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．第(3)题已知，是函数图像上不同的两点，若曲线在点，处的切线重合，则实数的最小值是（）A．B．C．D．1第(4)题设集合，，若，则a的取值范围是（）A．B．C．D．第(5)题已知全集，，，则（）A．B．C．D．第(6)题已知椭圆，直线l过坐标原点并交椭圆于两点（P在第一象限），点A是x轴正半轴上一点，其横坐标是点P横坐标的2倍，直线交椭圆于点B，若直线恰好是以为直径的圆的切线，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．第(7)题已知函数有两个极值点，若，则关于x的方程的不同实根个数为（）A．2B．3C．4D．5第(8)题已知的展开式中前3项的二项式系数之和为29，则的展开式中的系数为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知复数，，下列命题正确的是（）A．B．若，则C．D．第(2)题已知函数，，则下列说法正确的是（）A．在上是增函数B．，不等式恒成立，则正实数的最小值为C．若有两个零点，则D ．若，且，则的最大值为第(3)题抛物线C：，AB是C的焦点弦（）A．点P在C的准线上，则的最小值为0B．以AB为直径的所有圆中，圆面积的最小值为9πC．若AB的斜率，则△ABO的面积D．存在一个半径为的定圆与以AB为直径的圆都内切三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知是函数的极大值点，则的取值范围是____________．第(2)题平面内单位向量满足则=_____________.第(3)题已知函数，若，则的取值范围是__四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在中，内角的对边分别为，向量，且．(1)求；(2)若的外接圆半径为2，且，求的面积．第(2)题已知a，b，c均为正数，且，证明：(1)若，则；(2).第(3)题现有A，B两个广西旅行社，统计了这两个旅行社的游客去漓江、乐满地主题乐园、西街、龙脊梯田四个景点旅游的各240人次的数据，并分别绘制出这两个旅行社240人次分布的柱形图，如图所示．假设去漓江、乐满地主题乐园、西街、龙脊梯田旅游每人次的平均消费分别为1200元、1000元、600元、200元．(1)通过计算，比较这两个旅行社240人次的消费总额哪个更大；(2)若甲和乙分别去A旅行社、B旅行社，并都从这四个景点中选择一个去旅游，以这240人次去漓江的频率为概率，求甲、乙至少有一人去漓江的概率．第(4)题已知函数.(1)当时，求的最小值；(2)设，，证明：有且仅有个零点.（参考数据：，.）第(5)题已知函数．（1）若恒成立，求的取值范围；（2）记，若在区间上有两个零点，求的取值范围．。

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香港（新版）2024高考数学部编版真题(培优卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知函数的部分图象如图所示，则满足的正整数的最小值为（）A．B．C．D．第(2)题已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，其焦点到渐近线的距离为2，则的方程为（）A．B．C．D．第(3)题如图所示，当篮球放在桌面并被斜上方一个灯泡（当成质点）发出的光线照射后，在桌面上留下的影子是椭圆，且篮球与桌面的接触点是椭圆的右焦点．若篮球的半径为个单位长度，灯泡与桌面的距离为个单位长度，灯泡垂直照射在平面上的点为，椭圆的右顶点到点的距离为个单位长度，则此时椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．第(4)题复数的虚部是（）A．B．C．D．5第(5)题命题，的否定为（）．A．，B．，C．，D．，第(6)题双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．第(7)题已知直线与圆交于A，B两点，且为等边三角形，则m的值为（）A．B．C．D．第(8)题函数的部分图像是A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题在平面直角坐标系中，已知长为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，线段的中点的轨迹为曲线，则下列结论正确的是（）A．关于直线对称B．关于原点对称C．点在内D．所围成的图形的面积为第(2)题已知函数，的定义域均为，为的导函数，且，，若为奇函数，则（）A．B．C．D．第(3)题设集合，，若，则的值可以为（）A．1B．0C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题在中，角的对边分别为，，，若有最大值，则实数的取值范围是______.第(2)题甲、乙、丙、丁4名老师分到3所不同的乡村学校支教，若每名老师只去一所学校，每所学校都有老师去，且甲不和别的老师去同一所学校，则不同的支教分派方案有__________种．第(3)题我国古代认为构成宇宙万物的基本要素是金、木、水、火、土这五种物质，称为“五行”.古人构建了金生水、水生木、木生火、火生土、土生金的相生理论，随机任取“两行”，则取出的“两行”相生的概率是_______四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，在三棱柱中，，，顶点在底面上的射影为的中点，为的中点，是线段上除端点以外的一点.（1）证明：平面；（2）若三棱锥的体积是三棱柱的体积的，求的值.第(2)题已知函数.(1)当时，证明：；(2)若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.第(3)题如图，在直三棱柱中，，．(1)当时，求证：平面；(2)设二面角的大小为，求的取值范围．第(4)题已知数列中，，，．（1）求，的值；（2）求的前2021项和．第(5)题如图，几何体是圆柱的一半，四边形是圆柱的轴截面，为的中点，为半圆弧上异于的一点.(1)证明：；(2)若，，求平面与平面夹角的余弦值.。

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香港（新版）2024高考数学部编版考试(培优卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知复数在复平面内所对应的点分别为，则（）A．B．1C．D．2第(2)题抛物线上一点到抛物线焦点的距离为，则点到轴的距离为（）A．1B．C．D．2第(3)题下列函数的最小正周期是的是（）A．B．C．D．第(4)题已知正方体的棱长为1，平面过正方体的一个顶点，且与正方体每条棱所在直线所成的角相等，则该正方体在平面内的正投影面积是（）A．B．C．D．第(5)题已知数列的前n项和为，若，，（）A．B．C．D．第(6)题已知平面向量，满足且，若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，的最大值为（）A．B．C．D．1第(7)题不等式组表示的平面区域为Ω，直线y＝kx－1与区域Ω有公共点，则实数k的取值范围为（）A．(0，3]B．[－1，1]C．(－∞，3]D．[3，＋∞)第(8)题已知变量x和y满足经验回归方程，且变量x和y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（）681012743A．变量x和y呈负相关B．当时，C．D．该经验回归直线必过点二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若，则实数a的值可为（）A．－3B．－1C．1D．3第(2)题已知的三个内角，，满足，则下列结论正确的是（）A．是钝角三角形B．C．角的最大值为D．角的最大值为第(3)题如图，已知正方体顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为，则下列说法正确的是（）A．B．C．点Q移动4次后恰好位于点的概率为0D．点Q移动10次后仍在底面ABCD上的概率为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若在前项和为的等比数列中，，，则数列的通项公式为__________________．第(2)题在的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，且所有项的系数和为0，则含的项系数为___________.第(3)题已知动点到的距离是到的距离的2倍，记动点的轨迹为，直线：与交于，两点，若（点为坐标原点，表示面积），则___________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知直线l：与函数．(1)记，求函数的单调区间；(2)若直线l与函数的图象相切，求实数k的值；(3)若时，直线l始终在函数图象的上方，求实数k的取值范围．第(2)题已知函数.(1)若成立，求实数的取值范围；(2)证明：有且只有一个零点，且.第(3)题已知函数的图象过原点，且在原点处的切线与直线垂直．（为自然对数的底数）．（1）讨论的单调性；（2）若对任意的，总有成立，求实数的取值范围．第(4)题如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，是的中心，底面，是的中点.(1)求证：平面；(2)若，求三棱锥的体积.第(5)题已知函数，（1）若，求函数的单调区间；（2）设，且有两个极值点，其中，求的最小值.（注：其中为自然对数的底数）。

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香港（新版）2024高考数学统编版考试(培优卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值可以是（）A．B．1C．2D．3第(2)题如图，圆锥的高，底面直径是圆上一点，且，若与所成角为，则（）A．B．C．D．第(3)题已知双曲线的左、右焦点分别为为原点，以为直径的圆与双曲线交于点，且，则双曲线的离心率为（）A．2B．3C．4D．5第(4)题设、是拋物线上分别位于轴两侧的两个动点，且，过点作的垂线与拋物线交于、两点，则四边形的面积的最小值为A．B．C．D．第(5)题已知椭圆的上、下焦点分别为，点在椭圆上且位于第三象限，满足的角平分线与相交于点，若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．第(6)题若，则（）A．B．C．D．第(7)题如图，正方体的棱长为，点为棱上一点，点在底面上，且，点为线段的中点，则线段长度的最小值是（）A．B．C．2D．6第(8)题若，则（）A．1B．C．D．i二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)已知函数在上恰有三个零点，则（）A．的最小值为B．在上只有一个极小值点C ．在上恰有两个极大值点D．在上单调递增第(2)题已知正方体的棱长为2，，，，.点P是棱上的一个动点，则（）A ．当且仅当时，平面DMNB ．当，时，平面C ．当时，的最小值为D ．当时，过B，M，N三点的截面是五边形第(3)题在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（）A．边上的高为B．为定值C．的最小值为2D．若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若函数,则______．第(2)题已知正数，满足，则的最小值为______.第(3)题已知函数是上的奇函数，则实数______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在数列中，，的前项为．(1)求证：为等差数列，并求的通项公式；(2)当时，恒成立，求的取值范围．第(2)题我们把活跃网店数量较多的村庄称为淘宝村，随着电子商务在中国的发展，不少农村出现了一批专业的淘宝村，已知某乡镇有多个淘宝村，现从该乡镇淘宝村中随机抽取家商户，统计他们某一周的销售收入，结果统计如下：销售收入（收入）商户数（1）从这家商户中按该周销售收入超过万元与不超过万元分为组，按分层抽样从中抽取家参加经验交流会，并从这家中选家进行发言，求选出的家恰有家销售收入超过万元的概率；（2）若这家商户中有家商户入驻两家网购平台，其中家销售收入高于万元，完成下面的列联表，并判断能否有的把握认为“销售收入是否高于万元与入驻两家网购平台有关”？入驻两家网购平台仅入驻一家网购平台合计销售收入高于万元销售收入不高于万元合计附：.如图，在直三棱柱中，，.（1）下图给出了该直三棱柱三视图中的主视图，请据此画出它的左视图和俯视图.（2）若是的中点，求四棱锥的体积.第(4)题已知函数.（Ⅰ）若是第二象限角，且，求的值；（Ⅱ）求函数的定义域和值域.第(5)题如图，四棱锥中，平面平面，底面为梯形，，，交于点，且与均为正三角形，为的重心．（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积．。

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香港（新版）2024高考数学统编版模拟(培优卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题函数恒有，且在上单调递增，则的值为（）A．B．C．D．或第(2)题双曲线的实轴长是( )A．2B．C．4D．4第(3)题已知双曲线的一条渐近线的方程为，则的值为（）A．B．C．4D．6第(4)题设集合，，则（）A．B．C．D．第(5)题已知为抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点，若，则（）A．1B．2C．3D．4第(6)题对R，记{}=，函数的最小值是A．0B．C．D．3第(7)题已知将函数（）的图象仅向左平移个单位长度和仅向右平移个单位长度都能得到同一个函数的图象，则的最小值为（）A．B．C．D．第(8)题设，，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知随机变量的概率密度函数为，且的极大值点为，记，，则（）A．B．C．D．第(2)题已知函数的图象关于点中心对称，则（）A ．直线是曲线的对称轴B．在区间单调递减C ．在区间有1个极值点．D．直线是曲线的切线第(3)题已知，，，且，则（）A．若，则B．若，则C．，可能是方程的两根D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题、、，从小到大的顺序是________．第(2)题已知，，则______．第(3)题定义在实数集R上的奇函数f（x）满足f（x+2）+f（x）=0且当x∈（0，1]时f（x）=x，则下列四个命题正确的序号是______．①f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）=0；②方程f（x）=log5|x|有5个根；③；④函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题设集合，，若，求实数m的取值范围.第(2)题已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)设，若，，且，使得，求的最大值.第(3)题若集合，且，求m的取值范围.第(4)题为了调查高中生文理科偏向情况是否与性别有关，设计了“更擅长理科，理科文科无差异，更擅长文科三个选项的调在问卷”，并从我校随机选择了55名男生，45名女生进行问卷调查，问卷调查的统计情况为：男生选择更擅长理科的人数占，选择文科理科无显著差异的人数占，选择更擅长文科的人数占；女生选择更擅长理科的人数占，选择文科理科无显著差异的人数占，选择更擅长文科的人数占.根据调查结果制作了如下列联表.更擅长理科其他合计男生女生合计（1）请将的列联表补充完整，并判断能否有的把握认为文理科偏向与性别有关；（2）从55名男生中，根据问卷答题结果为标准，采取分层抽样的方法随机抽取5人，再从这5人中随机选取2人，求所选的2人中恰有1人更擅长理科的概率.附：，其中.第(5)题已知椭圆：的长轴长是短轴长的两倍，且过点.(1)求椭圆的方程.(2)设椭圆的下顶点为点，若不过点且不垂直于坐标轴的直线交椭圆于，两点，直线，分别与轴交于，两点.若，的横坐标之积是2，证明：直线过定点.。

香港(新版)2024高考数学部编版测试(培优卷)完整试卷

香港（新版）2024高考数学部编版测试(培优卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题设，为双曲线：的左、右焦点，点为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的渐近线于，两点，且点，分别在第一、三象限，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．第(2)题将向量绕坐标原点顺时针旋转得到，则（）A．B．C．D．第(3)题在矩形中，，，则矩形的面积为（）A．5B．10C．20D．25第(4)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(5)题下列各组向量中，可以作为基底的是（）．A．，B．，C．，D．，第(6)题已知正方形的边长为，点满足，则（）A．4B．5C．6D．8第(7)题将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在上单调递增，则实数t的取值范围是（）A．B．C．D．第(8)题对两组变量进行回归分析，得到不同的两组样本数据，第一组对应的相关系数，残差平方和，决定系数分别为，，，第二组对应的相关系数，残差平方和，决定系数分别为，，，则（）A．若，则第一组变量比第二组的线性相关关系强B．若，则第一组变量比第二组的线性相关关系强C．若，则第一组变量比第二组变量拟合的效果好D．若，则第二组变量比第一组变量拟合的效果好二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题现有甲、乙、丙三位篮球运动员连续5场篮球比赛得分情况的记录数据，已知三位球员得分情况的数据满足以下条件：甲球员：5个数据的中位数是26，众数是24；乙球员；5个数据的中位数是29，平均数是26；丙球员：5个数据有1个是32，平均数是26，方差是9.6；根据以上统计数据，下列统计结论一定正确的是（）A．甲球员连续5场比赛得分都不低于24分B．乙球员连续5场比赛得分都不低于24分C．丙球员连续5场比赛得分都不低于24分D．丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于24第(2)题下列说法正确的是（）A．直线与平行，则B．正项等比数列满足，，则C．在中，，，若三角形有两解，则边长的范围为D．函数为奇函数的充要条件是第(3)题如图，在棱长为a的正方体中，M，N分别是AB，AD的中点，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论中正确的是（）A．三棱锥的体积为定值B．异面直线BC与MP所成的最大角为45°C．不存在点P使得D．当点P为中点时，过M、N、P三点的平面截正方体所得截面面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知等比数列的公比为，前n项和为，若也是等比数列，则___________.第(2)题已知函数，当时，曲线在直线的上方，则实数的取值范围是______．第(3)题写出一个同时满足下列条件①②的圆的标准方程:________________①圆心在直线上，②与轴相切．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知抛物线的焦点为F，点M是抛物线的准线上的动点．(1)求p的值和抛物线的焦点坐标；(2)设直线l与抛物线相交于A、B两点，且，求直线l在x轴上截距b的取值范围．第(2)题已知复数在复平面内对应的点为，且满足，点的轨迹为曲线.（1）求的方程；（2）设，，若过的直线与交于，两点，且直线与交于点.证明：（i）点在定直线上；（ii）若直线与交于点，则.第(3)题设a，b，c均为正数，且，证明：(1)；(2)．第(4)题已知函数的两个相邻的对称中心的距离为．(1)求在上的单调递增区间；(2)当时，关于x的方程有两个不相等的实数根，求的值．第(5)题在中，角的对边分别为.已知.（1）求角；（2）若，求的值.。

香港数学竞赛试题精选

数学竞赛试题精选一1、如下图，圆周上有7个数字，按顺时针方向依次可以组成7个整数部分是一位数的小数，如：1.234123 ，2.341231……再在这些小数数字上加两个循环点组成循环节，那么这些循环小数中最大的一个数是（）。

2、参加小学生运动会团体操表演的同学，排与了一个正方形队列，如果要使正方形队列减少一行和一列，则要减少31人，那么参加运动会团体操表演的同学有（）人。

3、120名学生投票选举学生会主席，现有甲、乙、丙三名候选人，其中得票最多的当选学生会主席。

每名学生只能选他们当中的一人，不能弃权。

在计算前102票时，甲得了45票，乙得了35票，若甲要保证当选，至少还需要（）张选甲的选票。

4、一种玩具，有两个按钮（一个红色，一个黄色）和100个能站能坐的小木偶，按一次红色按钮就会有一个站着的木偶坐下，按一次黄色按钮就会使站着的小木偶增加1倍。

现在共有3个小木偶站着，要使站着的小木偶变成91个，至少需要按（）次按钮。

5、甲乙两人一起喝完一罐咖啡需要10天，甲独喝则12天喝完。

甲乙两人一起喝1包茶叶12天喝完，乙单独喝则需20天喝完。

假设甲在有茶叶的情况下绝不喝咖啡，而乙在有咖啡的情况下绝不喝茶。

两人一起喝完一罐咖啡和一包茶叶需要（）天。

6、二月份的某一天是星期日，这一天恰好有三批学生去探望王老师，这三批学生的人数都不相等，且没有单独一人去探望老师的。

这三批学生人数的积恰好是这一天的日期。

那么二月一日是星期（）。

7、某商店以每3盒16元的价格购进一批录音带，又从另一处以每4盒21元的价格购进是前一批数量2倍的录音带。

如果全部售出，可得投资额20%的利润。

则购回的全部录音带每3盒的售价是（）元。

8、学校统计9名参加数学竞赛同学的平均分,如果计算前五名的平均分,则比前四名的平均分下降1分,如果计算后五名的平均分,则比后四名的平均分上升2分。

前四名的平均分比后四名的平均分多（）分。

9、用红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种彩笔，在一张方格纸上自左上到右下的斜行里按顺序地填色（如下图），第2004行的自左向右的第2005格填的是（）色。