湖南省三湘名校联盟2020-2021学年高三上学期元月第五次联考数学试题

2020~2021学年高三第五次联考试卷

数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合{}

2,[1,1]x A y y x ==∈-∣，01x B x

x ⎧⎫

=≤⎨⎬-⎩⎭

∣，则A B ⋂=（ ）

A ．[0,2]

B ．1,12⎡⎫

⎪⎢⎣⎭

C ．1,12⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

D ．(0,2]

2．某校一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩X 近似服从正态分布()

289,N σ，且(8489)

P X <≤0.3=．该校有600人参加此次统测估计该校数学成绩不低于94分的人数为（ ）

A ．60

B ．80

C ．100

D ．120

3．2020年4月22日是第51个世界地球日，今年的活动主题是“珍爱地球，人与自然和谐共生”．某校5名大学生到A ，B ，C 三个社区做宣传，每个社区至少分配一人，每人只能去一个小区宣传．若甲、乙要求去同一个小区且不去A 小区，则不同的安排方案共有（ ） A ．20种

B ．24种

C ．30种

D ．36种

4．已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，当[0,2]x ∈时，()2x

f x ax =+，则(99)f =（ ） A ．1

B ．1-

C ．1

2

-

D ．

12

5．在菱形ABCD 中，点E 是线段CD 上的一点，且2EC DE =，若||35AB =||217AE =AE BE ⋅=（ ）

A ．26

B ．24

C ．

D ．6．在各项都为正数的等比数列{}n a 中，已知11a >，其前n 项积为n T ，且158T T =，则n T 取得最大值时，

n 的值是（ ）

A ．10

B ．10或11

C ．11或12

D ．12或13

7．在等腰梯形ABCD 中，AB//CD ，且2AB AD =，AB CD >，若双曲线E 以A ，B 为焦点，且过C ，

D 两点，则双曲线

E 的离心率的取值范围为（ ）

A ．12⎛⎫

+ ⎪ ⎪⎝⎭

B ．1,2⎛⎫

+∞

⎪ ⎪⎝⎭

C ．11,

2⎛

⎫

⎪ ⎪⎝⎭

D ．1,2⎛⎫

++∞

⎪ ⎪⎝⎭

8．若直角坐标平面内A ，B 两点满足：①点A ，B 都在函数()f x 的图象上；②点A ，B 关于原点对称，则称点(,)A B 是函数()f x 的一个“姊妹点对”点对(,)A B 与(,)B A 可看作是同一个“姊妹点对”．已知函数1(0)

()ln (0)ax x f x x x -≤⎧=⎨

>⎩

恰有两个“姊妹点对”，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．20e a -<<

B ．20e a -<≤

C ．10e a -<<

D ．10e a -<≤

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．

9．已知复数122i z =-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点为1P ，复数2z 满足2i 1z -=，则下列结论正确的是（ ） A ．1P 点的坐标为(2,2)- B ．122i z =+

C ．21z z -1+

D ．21z z -的最小值为10．在一个袋中装有质地大小一样的6黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为X ，则下列结论正确的是（ ） A ．3

(2)7

P X ==

B ．随机变量X 服从二项分布

C ．随机变量X 服从超几何分布

D ．8()5

E X =

11．已知8

(23)(2)x x --=2012(1)(1)a a x a x +-+-+3939(1)(1)a x a x -+

+-，则下列结论正确的是

（ ） A ．1291a a a +++= B ．584a = C ．

12

9

29122

2

a a a +++

= D ．129290a a a ++

+=

12．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点，P 为四边形11DCC D 内一点（包含边界），若1PA //平面AEC ，则下列结论正确的是（ ） A ．11PA PD ⊥

B ．三棱锥11B PA B -的体积为定值

C ．线段1PA

D ．11A PD ∠的最小值是45︒

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若两个正实数x ，y 满足20x y xy +-=，且不等式2

27x y m m +≥-恒成立，则实数m 的取值范围

为 ．

14．在直三棱柱11ABC A B C -中，2AB AC BC ===，14AA =，则直三棱柱111ABC A B C -的外接球的体积为 ． 15．已知0,

2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1cos 63πα⎛⎫+= ⎪

⎝⎭

，则cos 212πα⎛

⎫+= ⎪⎝⎭ ． 16．已知抛物线2

:4C y x =，点P 为抛物线C 的准线上的任意一点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则点(0,1)M 到直线AB 的距离的最大值为 ．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．在①2cos 2a C c b +=，②2

3cos

cos cos 24

B C B C --=，

③（22

(sin sin )sin 3sin sin B C A B C +=+，这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．

在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且 ． （1）求角A 的大小；

（2）若a =

ABC △的面积为

2

，求ABC △的周长． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

18．如图，在等腰ABC △中，90ACB ∠=︒，4AB =，四边形DCBE 为矩形，1DC =，平面ABC ⊥平面DCBE ．

（1）证明：平面ADE ⊥平面ACD ； （2）求二面角D AE B --的余弦值．

19．在平面直角坐标系xOy 中，已知动圆C 过点(4,0)F ，且在y 轴上截得的弦长为8． （1）求动圆的圆心C 的轨迹M 的方程；

（2）过点F 的直线l 与曲线M 交于A ，B 两点，若OAB △的面积为32，求直线l 的方程．

20．为了解成年人的交通安全意识情况，某中学组织学生进行了一次全市成年人安全知识抽样调查．随机地抽取了200名成年人，然后对这200人进行问卷调查，其中拥有驾驶证的占

2

5

．这200人所得的分数都