湖南省三湘名校联盟2020-2021学年高三上学期元月第五次联考数学试题

2020~2021学年高三第五次联考试卷数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2,[1,1]x A y y x ==∈-∣，01x B xx ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭∣，则A B ⋂=（ ）A ．[0,2]B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(0,2]2．某校一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩X 近似服从正态分布()289,N σ，且(8489)P X <≤0.3=．该校有600人参加此次统测估计该校数学成绩不低于94分的人数为（ ）A ．60B ．80C ．100D ．1203．2020年4月22日是第51个世界地球日，今年的活动主题是“珍爱地球，人与自然和谐共生”．某校5名大学生到A ，B ，C 三个社区做宣传，每个社区至少分配一人，每人只能去一个小区宣传．若甲、乙要求去同一个小区且不去A 小区，则不同的安排方案共有（ ） A ．20种B ．24种C ．30种D ．36种4．已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，当[0,2]x ∈时，()2xf x ax =+，则(99)f =（ ） A ．1B ．1-C ．12-D ．125．在菱形ABCD 中，点E 是线段CD 上的一点，且2EC DE =，若||35AB =||217AE =AE BE ⋅=（ ）A ．26B ．24C ．D ．6．在各项都为正数的等比数列{}n a 中，已知11a >，其前n 项积为n T ，且158T T =，则n T 取得最大值时，n 的值是（ ）A ．10B ．10或11C ．11或12D ．12或137．在等腰梯形ABCD 中，AB//CD ，且2AB AD =，AB CD >，若双曲线E 以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点，则双曲线E 的离心率的取值范围为（ ）A ．12⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭C ．11,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫++∞⎪ ⎪⎝⎭8．若直角坐标平面内A ，B 两点满足：①点A ，B 都在函数()f x 的图象上；②点A ，B 关于原点对称，则称点(,)A B 是函数()f x 的一个“姊妹点对”点对(,)A B 与(,)B A 可看作是同一个“姊妹点对”．已知函数1(0)()ln (0)ax x f x x x -≤⎧=⎨>⎩恰有两个“姊妹点对”，则实数a 的取值范围是（ ）A ．20e a -<<B ．20e a -<≤C ．10e a -<<D ．10e a -<≤二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．已知复数122i z =-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点为1P ，复数2z 满足2i 1z -=，则下列结论正确的是（ ） A ．1P 点的坐标为(2,2)- B ．122i z =+C ．21z z -1+D ．21z z -的最小值为10．在一个袋中装有质地大小一样的6黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为X ，则下列结论正确的是（ ） A ．3(2)7P X ==B ．随机变量X 服从二项分布C ．随机变量X 服从超几何分布D ．8()5E X =11．已知8(23)(2)x x --=2012(1)(1)a a x a x +-+-+3939(1)(1)a x a x -++-，则下列结论正确的是（ ） A ．1291a a a +++= B ．584a = C ．129291222a a a +++= D ．129290a a a +++=12．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点，P 为四边形11DCC D 内一点（包含边界），若1PA //平面AEC ，则下列结论正确的是（ ） A ．11PA PD ⊥B ．三棱锥11B PA B -的体积为定值C ．线段1PAD ．11A PD ∠的最小值是45︒三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若两个正实数x ，y 满足20x y xy +-=，且不等式227x y m m +≥-恒成立，则实数m 的取值范围为 ．14．在直三棱柱11ABC A B C -中，2AB AC BC ===，14AA =，则直三棱柱111ABC A B C -的外接球的体积为 ． 15．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 212πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ． 16．已知抛物线2:4C y x =，点P 为抛物线C 的准线上的任意一点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则点(0,1)M 到直线AB 的距离的最大值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在①2cos 2a C c b +=，②23coscos cos 24B C B C --=，③（22(sin sin )sin 3sin sin B C A B C +=+，这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且 ． （1）求角A 的大小；（2）若a =ABC △的面积为2，求ABC △的周长． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．如图，在等腰ABC △中，90ACB ∠=︒，4AB =，四边形DCBE 为矩形，1DC =，平面ABC ⊥平面DCBE ．（1）证明：平面ADE ⊥平面ACD ； （2）求二面角D AE B --的余弦值．19．在平面直角坐标系xOy 中，已知动圆C 过点(4,0)F ，且在y 轴上截得的弦长为8． （1）求动圆的圆心C 的轨迹M 的方程；（2）过点F 的直线l 与曲线M 交于A ，B 两点，若OAB △的面积为32，求直线l 的方程．20．为了解成年人的交通安全意识情况，某中学组织学生进行了一次全市成年人安全知识抽样调查．随机地抽取了200名成年人，然后对这200人进行问卷调查，其中拥有驾驶证的占25．这200人所得的分数都分布在[30,100]范围内，规定分数在80以上（含80）的为“具有很强安全意识”，所得分数的频率分布直方图如下．（1）补全下面的22⨯列联表，并判断能否有95%的把握认为“具有很强安全意识”与“拥有驾驶证”有关？（2）将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随机抽取3人，记“具有很强安全意识”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．附临界值表：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．21．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点，点P 为椭圆C 上异于左、右顶点的一点，12F PF △的周长为2+（1）求椭圆C 的方程；（2）若点Q 为椭圆上一点，直线OP ，OQ 的斜率分别记为1k ，2k ，若1212k k =-，试探究22OP OQ +是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 22．已知函数2()ln 2()1af x x a x =+-∈+R ． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当2a =时，求证：()0f x >在(1,)+∞上恒成立；（3）求证：当0x >时，2ln(1)e 1x x x +>-．2020~2021学年高三第五次联考试卷·数学参考答案、提示及评分细则1．B 由题意知{}12,[1,1],22xA y y x ⎡⎤==∈-=⎢⎥⎣⎦∣，0[0,1)1xB x x ⎧⎫=≤=⎨⎬-⎩⎭∣，所以1,12A B ⎡⎫⋂=⎪⎢⎣⎭．故选B ．2．D 由题意，成绩X 近似服从正态分布()289,N σ，则正态分布曲线的对称轴为89X =，又由(8489)0.3P X <≤=，根据正态分布曲线的对称性，可得1(94)[12(8489)]2P X P X ≥=⨯-⨯<≤1(10.6)0.22=⨯-=，所以该校有600人中，估计该校数学成绩不低于94分的人数为6000.2120⨯=人．故选D ．3．B 首先安排甲和乙，第一类将甲和乙都安排在B 社区，对其他的三名大学生，可以在三个小区各安排一个，这时有33A 种安排方法，或者将其他三名都安排在A ，C 两个社区，则有2232C ?A 种安排方法．第二类将甲和乙都安排在C 社区，对其他的三名大学生，可以在三个小区各安排一个，这时有33A 种安排方法，或者将其他三名都安排在A ，B 两个社区，则有2232C A 种安排方法，故共有()3223322A C A 24+=种安排方案．故选B ．4．D 由(2)()f x f x +=-，得(2)(0)f f =-，所以()202220a +=-+，解得52a =-，所以当[0,2]x ∈时，5()22xf x x =-．由(2)()f x f x +=-，得函数()f x 为周期函数且4T =，所以(99)(3244)f f =+⨯151(3)(12)(1)2122f f f ⎛⎫==+=-=--⨯= ⎪⎝⎭．故选D ．5．A 连接AC ，BD 交于点O ，以点O 为坐标原点，AC 为x 轴，BD 为y 轴，建立如图所示的直角坐标系．设(0)OC m m =>，(0)OD n n =>，则(,0)A m -、(,0)C m 、(0,)B n -、(0,)D n ，所以(,)AB m n =-，13AE AD DE AD DC =+=+=142(,)(,),333m n m n m n ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以==得63m n =⎧⎨=⎩，所以(8,2)AE =，(2,5)BE AE AB =-=，所以26AE BE ⋅=．故选A ．6．C 因为等比数列的前n 项积为n T ，且158T T =，所以91011121314151a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=，所以7121a =，所以121a =，又11a >，所以当11n ≤时，1n a >，当13n ≥时，01n a <<，所以11T ，12T 为前n 项积的最大值．故选C ．7．B 设2(0)AB m m =>，BAD θ∠=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，双曲线E 的离心率22c c e a a====，又0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1,2e ⎛⎫+∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭．故选B ． 8．A 由题意知函数1(0)()ln (0)ax x f x x x -≤⎧=⎨>⎩恰有两个“姊妹点对”等价于函数()ln f x x =，0x >与函数()1g x ax =+，0x ≥的图象恰好有两个交点，所以方程ln 1x ax =+，即ln 10x ax --=在(0,)+∞上有两个不同的解．构造函数()ln 1h x x ax =--，则1()h x a x'=-，当0a ≤时，()0h x '>，函数()h x 区间(0,)+∞上单调递增，不符合题意；当0a >时，令()0h x '>，解得10x a <<，所以函数()h x 在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，令()0h x '<，解得1x a >，所以函数()h x 在区间1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以10h a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，解得20e a -<<，又(e)ln e 1e 0h e a a =--=-<，所以函数()h x 在1e,a ⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一个零点．令()ln 1M x x =-，则12()2M x x x'=-=，令()0M x '>，解得04x <<，所以函数()M x 在区间(0,4)上单调递增，令()0M x '<，解得4x >，所以函数()M x 在区间(4,)+∞上单调递减，所以max ()(4)ln 430M x M ==-<，所以()ln 1(4)0M x x M =--≤<，即ln 1x <．又222222ln 11h a a a a ⎛⎫=-⨯-<+ ⎪⎝⎭2210a a -⨯-=-<，所以函数()h x 在212,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一个零点．综上：20e a -<<．故选A ．9．ABC 复数122i z =-在复平面内对应的点为1(2,2)P -，故A 正确；复数122i z =-，所以复数22i z =+，故B 正确；设2i(,)z x y x y =+∈R，所以2i |i i |1z x y -=+-==，所以22(1)1x y +-=，21z z -表示的是复数1z 和2z 在复平面内对应的点的距离，故21z z -的最大值为1+1-，故C 正确，D 错误．故选ABC ．10．ACD 由题意知随机变量X 服从超几何分布，故B 错误，C 正确；随机变量X 的所有可能为0，1，2，3，4，46410C 1(0)C 14P X ===，1346410C C 8(1)C 21P X ===，2246410C C 3(2)C 7P X ===，3146410C C (3)C P X ==435=，44410C 1(4)C 210P X ===，故183418()0123414217352105E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故A ，D 正确．故选ACD ．11．ACD 令1x =，得01a =-，令2x =，得01290a a a a ++++=，所以1291a a a +++=，故A 正确；由88(23)(2)[2(1)1][(1)1]x x x x --=----，所以44335882(1)(1)196a C C =⨯⨯--⨯-=，故B 错误；令32x =，得8013332321222a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯--=+- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭239239333111222a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1290290222a a a a ++++=，又01a =-，所以129291222a a a +++=，故C 正确；设()(23)f x x =-801(2)(1)x a a x -=+-239239(1)(1)(1)a x a x a x +-+-++-，则8()2(2)8(23)f x x x '=-+-7281239(2)2(1)3(1)9(1)x a a x a x a x -=+-+-++-，令2 x =，得129290a a a +++=，故D 正确．故选ACD ．12．BCD 取1DD 中点为G ，易得1AG //平面AEC ，又11AC //平面AEC ，又1111AC AG A ⋂=，11AC ，1AG ⊂平面11AC G ，所以平面11AC G//平面AEC ，P 为四边形11DCC D 内一点（包含边界），1PA //平面AEC ，所以点P 在线段1C G 上，当点P 在G 处时，显然1PA 与1BD 不垂直，故A 错误；11B PA B V -=三棱锥11P A BB V -=三棱锥111114222323C A BBV -=⨯⨯⨯⨯=三棱锥，故B 正确；线段1PA 长度的最小值为点1A 到线段1C G 的距离，在11A C G △中，易得1AG =1C G =，11C A =1PA 长度的最小值为5，故C 正确；设1D P x =，5x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，易得1A P =，所以11cos 2A PD ∠==≤，当且仅当2x =时等号成立，又[]110,180APD ∠∈︒︒，所以11A PD ∠的最小值是45︒，故D 正确．故选BCD ． 13．[1,8]- 由20x y xy +-=，得211x y +=，所以2142(2)48x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当4x =，2y =时等号成立，所以278m m -≤，解得18m ≤≤．14．27 设直三棱柱111ABC A B C -的外接球的半径为R ，由题意可知R ==所以直三棱柱111ABC A B C -的外接球的体积334433327V R ππ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭． 15．818- 因为22sin cos 166ππαα⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以sin 63πα⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,663πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以sin 22sin 66ππαα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos 69πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，27cos22cos 1669ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos 2cos12πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭2cos2cos 6464ππππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦8sin 2sin 6418ππα-⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 16设(1,)P m -，()11,A x y ，()22,B x y ．由题意知在点A 处切线的斜率存在且不为0，设在点A 处切线的斜率为k ，则切线方程为()11y y k x x -=-，所以()1124y y k x x y x⎧-=-⎨=⎩，整理得211444y y y x k k -+-0=，由0∆=，解得12k y =，所以在点A 处的切线方程为11220x y y x -+=．同理可得在点B 处的切线方程为22220x y y x -+=．又都过点P ，所以11220my x --+=，22220my x --+=，所以直线AB 的方程为220my x --+=，即220x my --=，直线AB 恒过定点(1,0)，所以点(0,1)M 直线AB 的距离的最大值为点(0,1)M 到定点(1,0)．17．解：（1）选①，由正弦定理得2sin cos sin 2sin 2sin()A C C B A C +==+2(sin cos cos sin )A C A C =+，即sin (2cos 1)0C A -=．因为(0,)C π∈，所以sin 0C ≠，所以1cos 2A =． 又(0,)A π∈，从而得3A π=．选②，因为21cos()coscos cos cos cos 22B C B C B C B C -+--=- 1cos cos sin sin 1cos()3224B C B C B C -+-+===，所以1cos()2B C +=-，1cos cos()2A B C =-+=．又因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3A π=． 选③，因为22(sin sin )sin 3sin sin B C A B C +=+， 所以222sin sin 2sin sin sin 3sin sin B C B C A B C ++=+， 即222sin sin sin sin sin B C A B C +-=， 所以222b c a bc +-=，2221cos 22b c a A bc +-==．因为(0,)A π∈，所以3A π=，（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得223b c bc +-=， 由1sin 2ABC S bc A =△，得2bc =， 所以3b c +=，故3a b c ++=+18．（1）证明：因为90ACB ∠=︒，所以AC BC ⊥，平面ABC ⊥平面DCBE ，平面ABC ⋂平面DCBE BC =，AC ⊂平面ABC ．所以AC ⊥平面DCBE ．又DE ⊂平面DCBE ，所以AC DE ⊥，四边形DCBE 为矩形，所以DC DE ⊥，又AC DC C ⋂=，,AC DE ⊂平面ADC ，所以DE ⊥平面ADC ，又DE ⊂平面ADE ，所以平面ADE ⊥平面ACD ．（2）解：以C 为原点，CA ，CB ，CD 所在的直线为坐标轴建立空间坐标系如图所示：则(0,0,1)D ，E ，A ，B ，所以(AB =-，(0,0,1)BE =，DE =，(21)DA =-． 设平面DAE 的法向量为()111,,m x y z =，平面ABE 的法向量为()222,,n x y z =，则00m DA m DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，00n AB n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11100z ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，22200z ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，令11x=，得(1,0.2m =；令21x =，得(1,1,0)n =，所以cos ,||||63m n m n m n ⋅〈〉===⨯． 由图可知二面角D AE B --是钝角， 所以二面角D AE B --19．解：（1）设动圆圆心(,)C x y ，由题意知当0x ≠=．化简得28(0)y x x =≠，当0x =时，此时(0,0)C 也满足方程， 所以圆心的轨迹M 的方程为28y x =．（2）由题意知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为4x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ， 由248x my y x=+⎧⎨=⎩，整理得28320y my --=，且2641280m ∆=+>，则128y y m +=，1232y y =-， 所以1211||422OAB S OF y y =⨯⨯-=⨯⨯△32==，解得m =所以直线l的方程为40x --=或40x +-=．20．解：（1）200人中拥有驾驶证的占25，有80人，没有驾驶证的有120人，由题意知(0.0040.008++0.0280.0200.004)01010.02a +⨯+++=，解得0.016a =．所以具有很强安全意识的人有200(0.016⨯0.004)1040+⨯=人，不具有很强安全意识的有160人．补全22⨯列联表如下：计算得22200(221021858)75 4.688 3.841408016012016K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯， ∴有95%的把握认为“具有很强安全意识”与“拥有驾驶证”有关．（2）由频率分布直方图中数据可知，抽到的每个成年人“具有很强安全意识”的概率为15， 所以X 的所有可能取值为0，1，2，3．则3464(0)5125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，2131448(1)55125P X C ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭， 2231412(2)55125P X C ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭， 311(3)5125P X ⎛⎫===⎪⎝⎭． 所以X 的分布列为：故13()01231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．21．解：（1）由题意可知2222222c a a c c a b ⎧=⎪⎪⎪+=+⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩．所以椭圆C 的方程为2212x y +=． （2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，则1111100y y k x x -==-，2222200y y k x x -==-， 由1212k k =-，所以121212y y x x ⨯=-，即2222121214y y x x =，因为()11,P x y ，()22,Q x y 在椭圆C 上，所以222222121212111224x x y y x x ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得22122x x +=，所以22121y y +=，则2222OP OQ +=+222211223x y x y =+++=为定值．22．（1）解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，222122(1)1()(1)(1)a x a x f x x x x x --+'=-=++， 令()0f x '=，即22(1)10x a x --+=，24(1)40a ∆=--=，解得2a =或0a =，若02a ≤≤，此时0∆≤，()0f x '≥在(0,)+∞恒成立， 所以()f x 在(0,)+∞单调递增．若2a >，此时0∆>，方程22(1)10x a x --+=的两根为1(1)x a =-+2(1)x a =--10x >，20x >，所以()f x在(0,1a --上单调递增，在(11a a --+上单调递减，在()1a -+∞上单调递增．若0a <，此时0∆>，方程22(1)10x a x --+=的两根为1(1)x a =-+2(1)x a =--10x <，20x <，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增．综上所述：若2a ≤，()f x 在(0,)+∞单调递增；若2a >，()f x 在(0,1a -，()1a -++∞上单调递增，在(11a a --+上单调递减．（2）证明：由（1）可知当2a =时，函数()f x 在(1,)+∞上单调递增．所以()(1)0f x f >=，所以()0f x >在(1,)+∞上恒成立．（3）证明：由（2）可知4ln 201x x +->+在(1,)+∞恒成立，所以2ln(1)2xx x +>+在(0,)+∞恒成立， 下面证222e 1x x x x >+-，即证22e 220x x x --->， 设2()2e 22xx x x ϕ=---，()2e 22xx x ϕ'=--，设()2e 22x x x μ=--，()2e 2xx μ'=-， 易知()2e 20xx μ'=->在(0,)+∞恒成立， 所以()2e 22x x x μ=--在(0,)+∞单调递增， 所以()2e 22(0)0x x x μμ=-->=，所以2()2e 22xx x x ϕ=---在(0,)+∞单调递增， 所以2()2e 22(0)0xx x x ϕϕ=--->=，所以222e 1x x x x >+-，即当0x >时，2ln(1)e 1x x x +>-．。