4.2一元二次方程的解法(2)配方法
4.2 一元二次方程的解法(2)
第3课时 一元二次方程的解法（2）班级_____ 学号_____姓名_______一、知识点：1、经历探究将一元二次方程的一般式转化为)0()(2≥=+n n m x 形式的过程，进一步理解配方法的意义.2、用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，体会转化的思想方法. 二、典例精析 例1、解方程：（1）2670x x ++= （2）462+=x x练习：用配方法解下列方程（1）0342=+-x x （2）0132=-+x x （3）211063x x --=例2、用配方法解下列方程（1）253x x -+=- （2）01322=--x x （3）2(2)2(2)10x x +-+-=例3、用配方法解关于x 的方程20x px q ++=，其中24p q ≥．三、随堂练习1、完成下列配方过程（1）28x x ++_____2(___)x =+ （2）22____(___)x x x -+=-（3）221____(___)3x x x ++=+ （4）229____(___)4x x -+=- 2、若22497()255x mx x -+=+，则m 的值为___________． 3、将方程2530x x --=化成2()x m n +=的形式为___________．4、①如果代数式226x x m -+是一个完全平方式，那么______m =．②如果代数式29x mx -+是一个完全平方式，那么______m =．5、用配方法解方程2670y y -+=，得2()y m n +=，则_______,______m n ==．6、如果矩形的长和宽为x 和y ，且052422=+--+y x y x ，则矩形的周长为______________7、用配方法解下列方程（1）26160x x --=（2）2320x x +-=（3）240x +-=（4）2640x x -+=（5）2(1)10(1)90x x +-++=（6）2226940x ax a b -+-=（7）22(10x x ++=（8）22224x x -=四、课后作业 1、填空 （1）2a ba ++（ ）2(___)a =+ （2）24y y -+（ ）2(___)y =-（3）25y y ++（ ）2(___)y =+ （4）252x x -+（ ）2(___)x =- （5）2x px ++（ ）2(___)x =+（6）2b x x a++（ ）2(___)x =+2、将方程210x --=化成2()x m n +=的形式，正确的是（ ）A．2(9x = B．2(3x = C．2(1x = D．2(1x -= 3、用配方法解关于x 的一元二次方程2222x mx n m -=-（,m n 是常数），解为（ ）A ．12,x m n x m n =+=-B ．12,x m n x n m =+=-C ．12,x m n x n m =-=-D ．12,x m n x m n =-=--4、用配方法解下列方程 （1）2680x x ++=（2）24120x x +-=（3）21024x x -=-（4）28150x x -+=（5）22990x x +-=（6）2520y y ++=（7）2317024x x ++=（8）220y ay a +-=（9）2(21)32(21)x x +-=+（10）2(34)2(43)80x x -+--=5、已知a 、b 、c 是直角三角形的三边，且两直角边a 、b 满足等式22222()2()150a b a b +-+-=，求斜边c 的值．6、将方程230x x P -+=配方后得到21()2x m +=（1）求常数P 与m 的值． （2）求此方程的解．★7、已知a 、b 、c 是△ABC 的三条边①当2222a ab c bc +=+，试判断△ABC 的形状； ②证明22220a b c ac -+-<．。
一元二次方程配方法解法
一元二次方程配方法解法一元二次方程是数学中非常常见的一种方程形式，它的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
解一元二次方程的方法有很多种，其中一种常用的方法是配方法。
配方法，顾名思义，就是通过对方程进行适当的配方，使得方程变得更容易解。
下面我们就来详细介绍一下一元二次方程配方法的解法。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们需要通过配方法将其转化为一个完全平方的形式。
具体步骤如下：1. 首先，我们可以通过移项将方程变为ax^2 + bx = -c。
2. 接下来，我们需要找到一个常数k，使得左边的二次项与k的平方的差为常数项。
也就是说，我们要找到一个k，使得ax^2 + bx + k^2 = (x + k)^2。
3. 为了实现上述目标，我们可以将方程的左边同时加上k^2，并且在右边也加上k^2，即ax^2 + bx + k^2 = -c + k^2。
4. 现在，我们得到了一个完全平方的形式，即(ax + k)^2 = -c + k^2。
这个方程更容易解了。
5. 最后，我们可以对方程两边开平方根，得到ax + k = ±√(-c+ k^2)。
6. 继续移项，得到ax = -k ± √(-c + k^2)。
7. 最后，我们将x表示出来，即x = (-k ± √(-c + k^2)) / a，这就是一元二次方程的解。
通过配方法，我们将一元二次方程转化为了一个完全平方的形式，从而更容易求解。
需要注意的是，配方法并不是一种通用的解法，它只适用于某些特定的方程。
在实际应用中，我们需要根据具体情况选择最合适的解法。
除了配方法，解一元二次方程还有其他常用的方法，如因式分解法、求根公式法等。
这些方法各有特点，我们在实际应用中可以根据具体情况选择最合适的方法。
总结起来，一元二次方程配方法是解决一元二次方程的一种常用方法。
通过对方程进行适当的配方，将其转化为一个完全平方的形式，从而更容易求解。
4.2一元二次方程的解法——配方法2
配方法
我们通过配成完全平方式的方法, 我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方 完全平方式的方法 程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法 程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法 用配方法解一元二次方程的方法的 平方根的意义: 平方根的意义:
助手:
如果x2=a,那么 ± a . 那么x= 如果 那么
解:根 题 得 :根 据 意 10 =15t −5t2. 即 2 −3t = −2. t 2 2 3 3 2 t −3t + = −2+ . 2 2 2 1 , 球 到 ; 最 点 答: 在s时小 达 10m 至 高 3 1 t − = . 后 落在 s时其 度 为 m 下 , 2 , 高 又 10 . 2 4
2
8 x + x =1. 3 2
2
5.开方 根据平方根意义, 开方: 5.开方:根据平方根意义,方程两 边开平方; 边开平方; 求解: 6.求解 解一元一次方程; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解 写出原方程的解. 定解: 7.定解:写出原方程的解.
3
用配方法解方程-3x2+4x+1=0 用配方法解方程 分析： 分析：对于二次项系数是负数的一元 二次方程，用配方法解时，为了便于配方， 二次方程，用配方法解时，为了便于配方，可把二 次项系数化为1， 次项系数化为 ，再求解 4 1 2 x − x − = 0 系数化为 两边都除以-3， 解：两边都除以 ，得 系数化为1 3 3 4 1 2 移项 移项， 移项，得 x − x = 3 3 2 2
想一想
方程与 x 么关系？ 么关系？
2
5 1 − x + = 0 与方程 与方程2x2-5x+2=0有什 有什 2 2
§4.2(2) 配方法
§4.2（2）一元二次方程的解法—配方法备课时间：2007年月日主备人：孙祥教学目标(一)教学知识点1．会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程．2．了解用配方法解一元二次方程的基本步骤．(二)能力训练要求1．理解配方法；知道“配方”是一种常用的数学方法．2．会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程．3．能说出用配方法解一元二次方程的基本步骤．(三)情感与价值观要求通过用配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的思想方法，并增强他们的数学应用意识和能力．教学重点用配方法求解一元二次方程．教学难点理解配方法．教学方法讲练结合法．教学过程一、巧设现实情景，引入新课[师]上节课我们探讨了一元二次方程的解法：直接开平方法和配方法．现在来复习巩固一下．解下列方程：(1)x2＝2；(2)(x-2)2＝2；(3)x2-4x+4＝5；(4)x2+8x+3＝0；(5)x2+5x+2＝0．[生甲]方程(1)可以用开平方法来解．解：两边同时开方，得x＝±2，即x1＝2，x2＝-2．[生乙]只要把方程(2)中的(x-2)看作整体，就化归为方程(1)的形式．解：两边同时开平方，得x-2=±2，即：x-2=2或x-2＝-2∴x1＝2+2，x2＝2-2．[生丙]方程(3)的左边是完全平方式，所以就可以变形为(x-2)2，即化归为方程(2)的形式．解：、、、、、、[生丁]方程(4)需要利用配方法，把它化为(x+m)2＝n的形式，然后利用开平方法即可求出其解．解：把常数项移到方程的右边，得x2+8x＝-3．两边都加上42(一次项系数8的一半的平方)，得x2+8x+42＝-3+42，即(x+4)2＝13．两边同时开平方，得x+4＝±13，即x+4＝13或x+4＝-13．∴x 1=-4+13，x 2＝-4-13[生戊]方程(5)的一次项系数5是奇数它的一半(即25 )是分数，如果利用配方法的话，那么，配的常数项是分数而不是整数．老师，这样是否也能求解呢?[师]噢，那大家想一想，做一做，看戊同学的问题能不能解决?[生]能，我的解答如下：、、、、、、[师]同学们能触类旁通，这很好．这节课我们继续来探讨利用配方法解一元二次方程．二、讲授新课[师]由刚才大家求解的方程可知：不论方程的一次项系数是奇数还是偶数，只要通过配方把方程的一边变形为完全平方式，另一边变形为非负数，就可以求解．下面同学们来用配方法解方程．1．用配方法解方程x 2+ 38x-1＝0． [生甲]解、、、、、、[师]很好．这个方程的一次项系数是分数，所以配方时一定要注意正确性．接下来，我们来看另一题：2．尝试将方程3x 2+8x-3＝0的左边配方，并求解这个方程．[师]观察一下，这个方程与前面解的方程一样吗?[生乙]不一样．这个方程的二次项系数是3，而前面解的那些方程的二次项系数是1．[师]噢，那二次项系数不为1的一元二次方程的左边如何配方呢?如何求解这个方程呢?[生丙]完全平方式是a 2±2ab+b 2．由此可知：配方法中方程的两边都加上一次项系数一半的平方的前提是方程的二次项系数为1，所以，这个方程应先利用等式的性质进行更形，使它的二次项系数为1，然后再利用配了法进行求解．[生丁]噢，我知道了，只要把方程3x 2+8-3＝0的两边都除以3，方程就变形为二次项系数为1的方程，而二次项系数为1的方程我们可以通过配方求解，所以方程3x 2-8x-3＝0也可求解．[师]对，这样我们就把新知识转化为旧知识，新知识便可理解、掌握了．现在我们共同来解方程3x 2+8x-3=0．[师生共析]解：两边都除以3，得x 2+x38-1＝0． 移项，得x 2+38x ＝1． 配方，得 x 2+38x+(34)2=1+(34)2 (x+34)2=925． 两边同时开平方，得 x+34=±35， 即x+34=35或x+34=-35． 所以x 1=31；x 2＝-3． [师]好，下面我们来总结用配方法解方程的一般步骤．(1)化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数．(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项．(3)要在方程两边各加上一次项系数一半的平方．(注：一次项系数是带符号的)(4)方程变形为(x+m)2=n 的形式．(5)如果右边是非负实数，就用直接开平方法解这个一元二次方程；如果右边是一个负数，则方程在实数范围内无解．[师]同学们做得很好，下面大家来看一实际问题，你能解答吗?做一做一小球以15 m ／s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系：h=15t-5t 2．小球何时能达到10 m 高?[生]要求小球何时能达到10m 高，而小球向上弹出时满足h=15t-5t 2，因此根据题意，可得15t-5t 2＝10．这样只需求出方程15t-5t 2=10的解，本题即可解答．[师]这位同学分析得对吗?[生齐声]对．[师]噢，那你能解这个方程吗?[生]能．解：-5t 2+15t ＝10，两边都除以-5，得t 2-3t ＝-2．配方，得t 2-3t+(-23)2=-2+(-23)2， (t-23)2=41， 即，t-23=21或t-23=21． 所以t 1＝2,t 2=1．[师]很好，这两个解是原方程的解。
4.2一元二次方程的解法(2)配方法1
主备人：刘景波 审核人：王海军
情境创设 因式分解的完全平方公式
a a
2
2ab b (a b) ;
2 2
2
2ab b (a b) .
2 2
完全平方式
1 ( x ___) 1 (1) x 2 x _____
2 2
2
2
2
2
4 ( x ___) (2) x 8 x _____ 4 5 5 2 2 ） ( y ___) (3) y 5 y （ _____ 2 2 2 2 1 （1） 1 (4) y y ____ ( y ___) 4 4 2
变成了(x+h)2=k 的形式
x3 5
x 3 5, x 3 5 得 : x1 3 5, x2 3 5
以上解法中,为什么在方程 x 6 x 4 两边加9?加其他数行吗? 像上面那样,通过配成完全平方形式来解一 元二次方程的方法, 叫做配方法.
2
2
它们之间有什么关系
探究交流
x 6x 4 0
2
2 想一想如何解方程 x 23 xx 4 6x 4 0 ?
移项 2
两边加上32,使左边配成 完全平方式
x 2 3 x 3 4 3
2 2
2
左边写成完全平方的形式
( x 3) 5
2
开平方
2 2
x 10x 20 0
x x 1
2 2
x 5x 5 0
x 2.5 x 1 0
2
4x 1 x
2
2、某种罐头的包装纸是长方形，它的长 比宽多10cm，面积是200cm3，求这张 包装纸的长与宽。
一元二次方程配方法解法
一元二次方程配方法解法一元二次方程是高中数学中的重要内容，也是数学竞赛中常见的题型。
在解一元二次方程时，我们可以采用配方法解法，这种方法可以将一元二次方程转化为完全平方形式，从而更容易求解。
一、什么是一元二次方程一元二次方程是指形如ax²+bx+c=0的方程，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
其中，a≠0，且a、b、c都是实数。
二、配方法解法1.将一元二次方程的左右两边同时乘以a，得到ax²+bx+c=0。
2.将方程的左右两边同时加上b²/4a²，得到ax²+bx+b²/4a²+c=b²/4a²。
3.将方程的左边化为完全平方形式，即(a·x+b/2a)²=b²/4a²-c。
4.对方程的左右两边同时开平方根，得到a·x+b/2a=±√(b²-4ac)/2a。
5.将方程的左右两边同时减去b/2a，得到x=(-b±√(b²-4ac))/2a。
三、例题解析1.解方程x²+6x+5=0。
将方程的左右两边同时乘以1，得到1·x²+6x+5=0。
然后，将方程的左右两边同时加上(6/2)²/1²=9，得到1·x²+6x+9+5=9。
接着，将方程的左边化为完全平方形式，即(x+3)²=4。
对方程的左右两边同时开平方根，得到x=-3±2。
因此，方程的解为x=-1或x=-5。
2.解方程2x²-5x+2=0。
将方程的左右两边同时乘以2，得到2·2x²-5x+2·2=0。
然后，将方程的左右两边同时加上(5/4)²/2²=25/16，得到2·2x²-5x+25/16+2·2=25/16。
一元二次方程的解法(配方)
如果k＜0，那么方程
就没有实数解。
想一想
一个小球竖直上抛的过程中，它离上抛 点的距离h（m）与抛出后小球运动的时间 t（s）有如下关系：
h=24t-5t2 经过多少时间后，小球在上抛点的距离是 16m？
练一练
1解下列方程 （1）2x2-8x+1=0
(2) 1 x2+2x-1=0
2
后一个方程中的二次项系数变为1，即方程 两边都除以2就得到前一个方程 ，这样就转 化为学过的方程的形式，用配方法即可求出
方程的解
如何用配方法解方程2x2-5x+2=0 呢？
试一试 用配方法解方程2x2-5x+2=0
解：两边都除以2，得 x2 5x10 2
移项，得 x2 5 x 1
系数化为1 移项
2.用配方法解一元二次方程的一般步骤：
（1）系数化为1 （2）移项 （3）配方 （4）开方 （5）求解 （6）定根
=
概念巩固
用配方法解下列方程，配方错误的是（C）
A.x2+2x-99=0化为(x+1)2=100
B.t2-7t-4=0化为(t-
7 2
)2=
65 4
C.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25
2 D.3x2-4x-2=0化为(x- )2= 10 39
典型例题 例 解下列方程
1）4x2-12x-1=0 (2)2x2-4x+5=0 (3)3-7x=-2x2
解：（1）系数化为1，得 x2
移项，得 x2 3x
3x1
1 4
0
4
配方，得 x2 3x32 19
2 4 4
即
4.2一元二次方程的解法因式分解
典型例题
例 1 用因式分解法解下列方程： （1）x2=-4x （2）（x+3）2-x（x+3）=0 （3）6x2-1=0 （4）9x2+6x+1=0 （5）x2-6x-16=0
典型例题
例 2 用因式分解法解下列方程 （1）（2x－1）2=x2 （2）（2x-5）2-2x+5=0
归纳：
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： （1）通过移项把一元二次方程右边化为0 （2）将方程左边分解为两个一次因式的积 （3）令每个因式分别为0，得到两个一元一次 方程 （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原 方程的解
2 2
9 . x 12 x 27 0 ;
2
10 . 2 ( x 3 ) x 9 .
2
我最棒
,用分解因式法解下列方 程
4. ( 4 x 2 ) x ( 2 x 1) 5 . 3 x ( x 2 ) 5 ( x 2 ); ;
2
6 .( 3 x 1) 5 0 ;
2
8 .( x 1) 3 x 1 2 0 ;
2
7 . 2 ( x 3 ) x x 3 ;
2
2
3x 7 x 4 ?.
2
观察下列各式,也许你能发现些什么
解方程 : x 7 x 6 0得x1 1, x2 6;
2
而x 7 x 6 ( x 1)( x 6);
2 2
解方程 : x 2 x 3 0得x1 3, x2 1; 而x 2 x 3 ( x 3)( x 1);
把下列各式分解因式 :
1.x 2 7; 2.3 y 2 解 : 1. 一元二次方程
4.2一元二次方程的解法(2)学案
2
集体备课
2
2
5 9 即x 4 16
2
开方，得 x ∴x1=
5 3 4 4
1 ，x2=2 2 问题 2:如何解方程-3x2+4x+1=0? ...
2．概括总结． 对于二次项系数不为 1 的一元二次方程，用配方法求解时要做什么？ 首先要把二次项系数化为 1,用配方法解一元二次方程的一般步骤为：系数化为 一，移项，配方，开方，求解，定根 3 概念巩固 用配方法解下列方程，配方错误的是（C ） 7 65 A.x2+2x-99=0 化为(x+1)2=100 B.t2-7t-4=0 化为(t- )2= 2 4 2 10 C.x2+8x+9=0 化为(x+4)2=25 D.3x2-4x-2=0 化为(x- )2= 3 9 4.典型例题： 解下列方程 （1）4x2-12x-1=0 (2)2x2-4x+5=0 (3)3-7x=-2x2 5.探究： 一个小球竖直上抛的过程中，它离上抛点的距离 h（m）与抛出后小球运动 的时间 t（s）有如下关系： h=24t-5t2 经过多少时间后，小球在上抛点的距离是 16m 6.巩固练习： 练习 1 解下列方程 1 （1）2x2-8x+1=0 (2) x2+2x-1=0 (3)2x2+3x=0 2 2 (4)3x -1=6x (5)-2x2+19x=20 (6)-2x2-x-1=0 练习 2 用配方法求 2x2-7x+2 的最小值 练习 3 用配方法证明-10x2+7x-4 的值恒小于 0 三、归纳总结： 运用配方法解二次项系数不为 1 的一元二次方程的方法和步骤是什么？ 【课后作业】 1、填空： 1 (1)x2- x+ =(x)2, 3 2 (2)2x -3x+ =2(x)2. 2、用配方法解一元二次方程 2x2-5x-8=0 的步骤中第一步是 。 3 用配方法将方程 2 x 2 x 1 变形为 ( x h)2 k 的形式是__________________. 4、用配方法解方程 2x2-4x+3=0，配方正确的是（ ） A.2x2-4x+4=3+4 B. 2x2-4x+4=-3+4 3 3 C.x2-2x+1= +1 D. x2-2x+1=- +1 2 2 5、用配方法解下列方程： （1） 2t 2 7t 4 0 ； （3) 0.1x 2 0.2 x 1 0 （2） 3x 2 1 6 x （4）6x2-4x+1=0
一元二次方程的解法配方法详解
一元二次方程的解法配方法详解一元二次方程是高中数学中重要的内容之一，掌握其解法方法对于学习数学和解决实际问题都具有重要意义。
本文将详细介绍一元二次方程的解法配方法，帮助读者更好地理解和应用这一知识点。
一、基本概念和性质在解一元二次方程之前，我们首先需要了解其基本概念和性质。
一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为已知系数，x为未知数。
方程中的二次项、一次项和常数项分别代表函数曲线的平移、伸缩和抬升等特征。
二、解法配方法之求根公式对于一元二次方程，我们可以通过求根公式来求解。
求根公式的形式为x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)，其中±表示两个解，分别对应方程的两个根。
在使用求根公式时，我们需要先计算出判别式D=b²-4ac的值，判别式的正负与方程的根的情况相关。
三、解法配方法之因式分解除了求根公式外，我们还可以运用因式分解的方法来解一元二次方程。
通过将方程进行因式分解，将其转化为简便形式，即可更容易找到解的值。
因式分解的关键在于将二次方程表示为两个一次因式相乘的形式，即(ax+b)(cx+d)=0。
然后，利用乘法公式，将方程展开求解。
四、解法配方法之配方法在解一元二次方程时，有时候无法直接使用求根公式或因式分解的方法。
此时，我们可以借助配方法来求解。
配方法的核心思想是将方程转化为平方差或完全平方的形式。
通过添加适当的常数项，并结合平方差公式或完全平方公式，从而将方程进行变形，进而求解。
五、实例演练为了更好地理解一元二次方程的解法配方法，我们将通过几个实例演练来加深对该知识点的理解。
根据具体的实例，我们将使用求根公式、因式分解以及配方法等不同的解法配方法，展示其在不同情境下的应用效果。
六、总结一元二次方程的解法配方法是高中数学中的重要内容，通过本文的介绍，我们可以了解到求根公式、因式分解和配方法等不同的解法，以及其在实际问题中的应用。
4.2一元二次方程的解法(2)
一元二次方程的解法（2）---( 教案)备课时间: 主备人:【学习目标】:1、掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程。
3、会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，体会转化的思想方法一、知识回顾：1、请写出完全平方公式。
（a ＋b ）2 = （a -b ）2 =2、用直接开平方法解下例方程：（1）5)3(2=+x （2）134)5(2=+-x3、将下列各进行配方：⑴2x ＋10x ＋_____＝（x ＋_____）2 ⑵2x －6x ＋_____＝（x －_____）2 ⑶2x －45x ＋_____＝（x －____）2 ⑷2x +b x ＋_____＝（x ＋___）23、思考：如何解下例方程（1）16442=+-x x （2）925102=+-x x【预习指导】如何解方程0462=++x x 呢？提示：能否将方程0462=++x x 转化为（n m x =+2)的形式呢？由此可见，只要先把一个一元二次方程变形为 的形式（其中m 、n 都是常数），如果n ≥0，再通过 求出方程的解，这种解一元二次方程的方法叫做 。
【典型例题】例1、解下例方程（1）2x －4x ＋3＝0. （2）x 2＋3x －1 = 0例2、解下列方程（1）2x －6x －7＝0； （2）2x ＋3x ＋1＝0.【知识梳理】用配方法解一元二次方程的一般步骤：1、把常数项移到方程右边；2、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；3、利用直接开平方法解之。
思考：为什么在配方过程中，方程的两边总是加上一次项系数一半的平方？【课堂练习】1、将下列各式进行配方：⑴2x ＋8x ＋_____＝ （ x + ____ ）2 ⑵2x －5x ＋_____＝（ x- ____ ）2（3）2x －62x ＋_____＝ （ x - _____ ）2 2、填空：（1）++x x 62（ ）＝（ ）2（2）2x －8x ＋（ ）＝（ ）2 （3）2x ＋x ＋（ ）＝（ ）2 （4）42x －6x ＋（ ）＝4（ ）23、用配方法解方程：（1）2x ＋2x ＝5；（2）2x －4x ＋3＝0； （3）2x ＋8x －2＝0；（4）2x －5 x －6＝0；（5）276x x +=-【课后练习】1、解下列方程：（1）2x +2x-3=0；（2）2x +10x+20=0；（3）2x -6x=4；（4）2x -x=1；（5）2x -7x+12=0；（6）2x +6x-16=0；（7）2x -4x=2；（8）2x +5x+5=0；2、某种罐头的包装纸是长方形，它的长比宽多10cm ，面积是2002cm ，求这张包装纸的长河宽。
一元二次方程的解法配方法
一元二次方程的解法配方法
一元二次方程的解法配方法是一种解决一元二次方程的有效方法。
一元二次方程是指一个未知数的二次多项式方程，它的解法配方法是把一元二次方程化简成一元一次方程，再用常见的一元一次方程的解法来求解。
一元二次方程的解法配方法的具体步骤如下：
1. 首先，把一元二次方程化简成一元一次方程，如果有常数项，则先把常数项移到另一边，再把系数移到另一边；
2. 然后，计算出一元一次方程的解，这里可以用因式分解法、求根公式法、分数分母法等解法；
3. 最后，将求得的解代入到原一元二次方程中，确定最终的解。
一元二次方程的解法配方法是一种有效的解决方案，它简单易懂，通过一步步的操作，可以快速求解一元二次方程的解。
一元二次方程的解法
4.2一元二次方程的解法（2）---配方法（1）一、学习目标：1. 理解一元二次方程的解法—配方法2.会利用配方法解一元二次方程。
二、学习过程：1.如何解方程x 2+12x-15=0？你能将方程x 2+12x-15=0转化成(x+m)2=n 的形式吗?2. 填上适当的数，使下列等式成立．(1)x 2+12x+ ＝(x+6)2；(2)x 2-4x+ =(x- )2；(3)x 2+3x+ ＝(x+ )2．3. 解方程x 2+12x-15＝0，可以先把常数项移到方程的右边，得x 2+12x ＝两边都加上62(一次项系数12的一半的平方)，得x 2+12x+ =15+ ，即(x+6)2＝ ．方程两边开平方，得x+6＝ ，即x+6＝ 或x+6＝所以x 1＝ , x 2＝ ．我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程x 2+12x-15＝0的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法三、例题：解下列方程（1）x 2—4x+3＝0 （2）x 2+3x —1＝0 (3) x 2+61x —31＝0由此我们可以知道：1.由配方法解一元二次方程的基本思路是将方程转化为(x+m)2＝n 的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n ≥0时，两边开平方便可求出它的根．2.因为在实数范围内任何非负数都有平方根，所以当n ≥0时，方程有解；当n<0时，左边是一个完全平方式，右边是一个负数，因此方程在实数范围内无解．课堂练习一、填上适当的数，使下列等式成立．（1）222____(___)x x x -+=-；（2）228____(___)x x x ++=+（3）225____(___)x x x -+=-；（4）223____(___)2x x x ++=+（5）已知ｍ是方程ｘ2－ｘ－１＝０的一个根，则代数式ｍ2－ｍ的值等于（6）代数式2817x x ++有最_______值为_______。
二、用配方法解下列方程：（1）2230x x +-= （2）x 2+10x+20＝0（3）264x x -= （4）x 2—x ＝1三、已知等腰三角形的边长是方程0862=+-x x 的解，求这个三角形的周长。
配方法
主备人贺芳用案人授课时间2011年月总第课时课题 4.2 一元二次方程的解法（2）课型新授教学目标1.理解配方法2.会熟练、灵活地运用配方法解数字系数为1的一元二次方程3.通过解题过程的反思，获得解决新问题的经验，体会配方法的解题思想和方法重点用配方法解数字系数为1的方程难点熟练、灵活地用配方法解数字系数为1的一元二次方程教法及教具引导探索合作交流归纳总结教学过程教学内容个案调整教师主导活动学生主体活动一情境引入：如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一条互相垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得更低的面积为5000米²，道路的宽应为多少？教师出示问题并启发学生找到解决问题的方法；让学生观察思考：如何解方程二自主探究：1、知识铺垫填空：①完全平方式________项式，其中有___ 项是完全平方项，_______ 项是这两个数（式）乘积的2倍.②92++mxx是完全平方式，则m=__________③4axx++122是完全平方式，则a=__________解方程：①3112=x② (x-2)²=52.、探索：如何解方程0462=++xx？学生观察、分析、思考找出解决问题的途径小组合作交流寻找解题思路思考完全平方式的形式，完成所给试题求出m .a的值解方程思考并交流找方程的解法先把常数项移到方程的右边，得 x ²+6x=-4 即x ²+2⨯3x ⨯=-4在方程的两边都加上一次项系数6的一半的 平方，即3²后，得x ²+23⨯x ⨯+3²=-4+3² (x+3)²=5解这个方程，得 X+3=±5所以x1=-3+5 x2=-3-5 像这样，先把一个一元二次方程变形为(x+h)²=k 的形式，（其中h 、 k 都是常数） 如果k 0≥,再通过直接开平方法求出方程的解 这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
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例
解下列方程 (3)3-7x=-2x2
即
7 5 开方，得 x 4 4 1 ∴ x1 3, x 2 2
7 25 说明：对于二次项 x 4 16 系数不为1的一元二次
方程化为（x+h）2=k 的形式后，如果k是非 负数，即k≥0，那么 就可以用直接开平方 法求出方程的解； 如果k＜0，那么方程 就没有实数解。
2
即
3 x 1 2
2
开方，得
6 x 1 2
6 6 x1 1 , x2 1 2 2
∴
典型例题
7 3 (3)解 系数化为1，得 x x 0 2 2 2 7 3 49 7 2 移项、配方，得 x x 2 2 16 4
如果x2=a,那么x= a.
助手:
x就是a的平方根
3.什么是完全平方式？
式子a2±2ab+b2叫完全平方式, 且 a2±2ab+b2 =(a±b)2.
知识回顾
4.用配方法解下列方程：
2 (1)x -6x-16=0
(2)x2+3x-2=0
想一想：
请你思考方程x2方程2x2-5x+2=0有什么关系？ 后一个方程中的二次项系数变为1，即方程 两边都除以2就得到前一个方程 ，这样就转 化为学过的方程的形式，用配方法即可求出 方程的解
2
即
开方，得
3 10 x 2 4
2
3 10 x 2 2
3 10 3 10 x2 ∴ x1 2 2 2 2
例 解下列方程 (2)2x2-4x+5=0 (3)3-7x=-2x2 5 2 (2)解 系数化为1，得 x 2 x 0 2
典型例题
5 移项、配方，得 x 2 x 1 1 2
4 1 2 2 配方，得 x x 3 3 3 3 2
2
配方
2 7 即 x 3 9
2 7 开方，得 x 3 3
开方 定解
2 7 ∴ x1 3 3
2 7 x2 3 3
概括总结
1.对于二次项系数不为1的一元二次方程， 用配方法求解时首先要怎样做 ？
2
想一想
一个小球竖直上抛的过程中，它离上抛 点的距离h（m）与抛出后小球运动的时间 t（s）有如下关系： h=24t-5t2 经过多少时间后，小球在上抛点的距离是 16m？
练一练
1解下列方程 （1）2x2-8x+1=0
1 2 (2) x +2x-1=0 2 (3)2x2+3x=0 (4)3x2-1=6x (5)-2x2+19x=20 (6)-2x2-x-1=0
初中数学八年级下册 （苏科版）
4.2一元二次方程的解法 配方法2 （第3课时）
灌云县陡沟中学
知识回顾
1.什么是配方法？ 我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方 程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法 (solving by completing the square)
用配方法解一元二次方程的方法的 2.什么是平方根？
首先要把二次项系数化为1
2.用配方法解一元二次方程的一般步骤：
（1）系数化为1 （2）移项 （3）配方 （4）开方 （5）求解 （6）定根
=
用配方法解下列方程，配方错误的是（ C ）
概念巩固
A.x2+2x-99=0化为(x+1)2=100
65 7 )2= B.t2-7t-4=0化为(t4 2
C.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25 D.3x2-4x-2=0化为(x2
2
5 9 即 x 4 16
开方，得
，x2=2
5 3 x 4 4
∴ x1 2
开方
定解
1 x2 2
典型例题2.用配方法解方程-3x +4x+1=0
2
分析：对于二次项系数是负数的一元 二次方程，用配方法解时，为了便于配方，可把二 次项系数化为1，再求解 4 1 2 x x 0 系数化为1 解：两边都除以-3，得 3 3 4 1 2 移项 移项，得 x x 3 3 2 2
如何用配方法解方程2x2-5x+2=0 呢？
5 2
x+1=0与
试一试
5 解：两边都除以2，得 x x 1 0 2
2
用配方法解方程2x2-5x+2=0 系数化为1 移项
2
5 移项，得 x x 1 2
2
5 5 25 配方 配方，得 x x 1 2 2 4 16
试一试
2.用配方法求2x2-7x+2的最小值
3.用配方法证明-10x2+7x-4的值 恒小于0
归纳总结
1、解二次项系数不为1的一元二次方程的
方法是什么？
2、用配方法解形如ax2+bx+c=0一元二 次方程的一般步骤是什么？
系数化1，移项，配方，变形，开方，求解，定解
2 )= 3
10 9
1）4x2-12x-1=0 (2)2x2-4x+5=0 (3)3-7x=-2x2 1 2 解：（1）系数化为1，得 x 3 x 0 4
移项，得 配方，得
典型例题
例
解下列方程
1 x 3x 4
2
2
1 9 3 x 3x 4 4 2