根与系数的关系、韦达定理
根与系数关系之韦达定理
根与系数关系之韦达定理一、韦达定理：对于一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根x 1,x 2，则有x 1+x 2=−b a ，x 1x 2=ca说明：（1）韦达定理可以用求根公式推出，进而可以得到 x 1−x 2 = ∆a（2）定理成立的前提条件∆≥0（易忽略）（3）注意公式中的x 1+x 2=−ba中的负号与b 的负号的区别二、韦达定理的应用例1、 若x 1,x 2是方程x 2+2x −2016=0的两个根，试求下列各式的值。
（基础）（1）x 1+x 2（2）x 1x 2（3）x 1−2x 1x 2+x 2（变形）（4）x 12x 2+x 1x 22(5)( x 1−5)(x 2−6) (6)1x 1+1x 2(提升)（7）x 12+x 22（8）（x 1−x 2）2/ x 1−x 2算一算练一练1、（2015金华5题3分）一元二次方程x 2+4x −3=0的两根x 1,x 2，则1）x 1+x 2=（2）x 1x 2=2、设x 1,x 2是方程2x 2−6x +3=0的两根，求下列格式的值（1）x 12x 2+x 1x 22（2）1x 1+1x 23、设x 1,x 2是方程2x 2+4x −3=0的两根，求( x 1+1)(x 2+1)的值4、（2015怀化7题4分）设x 1,x 2是方程x 2+5x −3=0的两根，则x 1+x 2的值是（）A、19B、25C、31D、305、（提升）已知x1,x2是方程2x2−3x−1=0的两根，求1x1−1x2例2、已知方程x2−（k+1）x−3k=0的一个根是2，求它另一个根及K的值。
练（2015六盘水13题4分）已知x1=3是关于x的一元二次方程x2−4x+c=0的一个根，则方程的另一个根x2=例3、设x1,x2是方程x2−2k−1x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值。
练1、（2015荆州15题5分）已知关于x的一元二次方程x2−m+3x+m+1=0的两个实数根为x1,x2，x12+x22=4，则m的值为2、已知关于x的方程x2−k+1x+14k2+1=0的两个实数根x1x2=5，求k的值。
一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）例 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +；(2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=- (1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---= (2)121212112220072007x x x x x x +-+===- (3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-(4) 12||x x -====说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．（2）构造新方程理论：以两个数为根的一元二次方程是。
例 解方程组⎩⎨⎧ =+= 5y x 6xy（3）定性判断字母系数的取值范围例 一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求k 的取值范围。
【典型例题】例1 已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =． 例2 已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 一元二次方程根与系数的关系练习题A 组1．一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A ．2k >B ．2,1k k <≠且C ．2k <D ．2,1k k >≠且2．若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则1211x x +的值为( ) A ．2B ．2-C ．12D ．923．已知菱形ABCD 的边长为5，两条对角线交于O 点，且OA 、OB 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，则m 等于( )A ．3-B ．5C ．53-或D ．53-或4．若t 是一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根，则判别式24b ac ∆=-和完全平方式2(2)M at b =+的关系是( )A ．M ∆=B ．M ∆>C ．M ∆<D ．大小关系不能确定5．若实数a b ≠，且,a b 满足22850,850a a b b -+=-+=，则代数式1111b a a b --+--的值为( )A ．20-B ．2C ．220-或D ．220或6．如果方程2()()()0b c x c a x a b -+-+-=的两根相等，则,,a b c 之间的关系是 ______ 7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 _______ ．8．若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，则k 的值是 _____ ．9．设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x qx p ++=的两实根，则p = _____ ，q = _____ ．10．已知实数,,a b c 满足26,9a b c ab =-=-，则a = _____ ，b = _____ ，c = _____ ． 11．对于二次三项式21036x x -+，小明得出如下结论：无论x 取什么实数，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？请您说明理由．12．若0n >，关于x 的方程21(2)04x m n x mn --+=有两个相等的的正实数根，求m n的值．13．已知关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++-=． (1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两根为12,x x ，且满足121112x x +=-，求m 的值．14．已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=的两根是一个矩形两边的长． (1) k 取何值时，方程存在两个正实数根？ (2)k 的值．B 组1．已知关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根12,x x ． (1) 求k 的取值范围； (2) 是否存在实数k ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请您说明理由．2．已知关于x 的方程230x x m +-=的两个实数根的平方和等于11．求证：关于x 的方程22(3)640k x kmx m m -+-+-=有实数根．3．若12,x x 是关于x 的方程22(21)10x k x k -+++=的两个实数根，且12,x x 都大于1． (1) 求实数k 的取值范围；(2) 若1212x x =，求k 的值．。
一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)
.一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）【学习目标】1、学会用韦达定理求代数式的值。
2、理解并掌握应用韦达定理求待定系数。
3、理解并掌握应用韦达定理构造方程，解方程组。
4、能应用韦达定理分解二次三项式。
知识框图求代数式的值求待定系数一元二次韦达定理应用构造方程方程的求解特殊的二元二次方程组根公式二次三项式的因式分解【内容分析】韦达定理：对于一元二次方程ax 2 bx c 0(a 0) ，如果方程有两个实数根x1 , x2，那么x1 x2b, x1 x2ca a说明：（ 1）定理成立的条件（2）注意公式重x1x2b的负号与 b 的符号的区别a根系关系的三大用处（1）计算对称式的值例若 x1 , x2是方程 x22x20070 的两个根，试求下列各式的值：(1)x12x22；(2)11；(3)(x15)( x25) ；(4)x1x2| x1 x2|．解：由题意，根据根与系数的关系得：x1x22, x1 x22007(1)x12x22( x1x2 )22x1 x2(2) 22(2007)4018(2)11x1x222 x1x2x1 x220072007(3)( x15)( x25)x1x25( x1x2 ) 2520075( 2)251972(4)| x x|( x x) 2(x x )24x x(2) 24( 2007) 2 200812121212说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：.22(x1 x2 )211x1x2， (x1x2 )2(x1 x2 )24x1 x2，x1x22x1x2，x2x1x2x1| x x |( x x ) 2 4 x x2，122122 1 212，12121x x x x x x (x x ) x13x23( x1 x2 )33x1 x2 ( x1x2 ) 等等．韦达定理体现了整体思想．【课堂练习】1．设 x1， x2是方程 2x 2－ 6x＋3＝ 0 的两根，则22的值为 _________x1＋ x22．已知 x ， x是方程2＋ 4＝0 的两根，则 x＋ x＝，x · x ＝，2x － 7x121212（x1－ x2）2＝213．已知方程2x － 3x+k=0 的两根之差为22，则 k=;4．若方程x2+(a 2－ 2)x －3=0 的两根是 1 和－ 3，则 a=;5．若关于x 的方程x2+2(m－ 1)x+4m2=0 有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值为;6．设 x1,x 2是方程 2x2－ 6x+3=0 的两个根，求下列各式的值：(1)x 12x2+x1x22(2) 1 －1x1x27．已知 x1和 x2是方程 2x2－ 3x－ 1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：11x12x 22（2）构造新方程理论：以两个数为根的一元二次方程是。
河南省郑州外国语学校初高中数学衔接知识分章节讲解21一元二次方程212根与系数的关系(韦达定理)
根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根12b x a -+=，22b x a-=， 则有122222b b b b x x a a a a-+--+=+==-；221222(4)444b b ac ac c x x a a a--====．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a-，x 1·x 2＝c a ．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即 p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2， 所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．因此有 以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．例2 已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k 的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k 的值．解法一：∵2是方程的一个根，∴5×22＋k ×2－6＝0，∴k ＝－7．所以，方程就为5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝2，x 2＝－35．所以，方程的另一个根为－35，k的值为－7．解法二：设方程的另一个根为x1，则2x1＝－65，∴x1＝－35．由（－35）＋2＝－5k，得k＝－7．所以，方程的另一个根为－35，k的值为－7．例3已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4．∵x12＋x22－x1·x2＝21，∴(x1＋x2)2－3 x1·x2＝21，即[－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，化简，得m2－16m－17＝0，解得m＝－1，或m＝17．当m＝－1时，方程为x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；当m＝17时，方程为x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．综上，m＝17．说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可．（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．分析：我们可以设出这两个数分别为x，y，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．解法一：设这两个数分别是x，y，则x＋y＝4，①xy＝－12．②由①，得y＝4－x，代入②，得x (4－x )＝－12，即 x 2－4x －12＝0，∴x 1＝－2，x 2＝6．∴112,6,x y =-⎧⎨=⎩ 或226,2.x y =⎧⎨=-⎩ 因此，这两个数是－2和6．解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程x 2－4x －12＝0的两个根．解这个方程，得x 1＝－2，x 2＝6．所以，这两个数是－2和6． 说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷．例5 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根． （1）求| x 1－x 2|的值；（2）求221211x x +的值； （3）x 13＋x 23．解：∵x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根，∴1252x x +=-，1232x x =-． （1）∵| x 1－x 2|2＝x 12+ x 22－2 x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－4 x 1x 2＝253()4()22--⨯- ＝254＋6＝494， ∴| x 1－x 2|＝72． （2）22221212122222221212125325()2()3()2113722439()9()24x x x x x x x x x x x x --⨯-+++-+=====⋅-． （3）x 13＋x 23＝(x 1＋x 2)( x 12－x 1x 2＋x 22)＝(x 1＋x 2)[ ( x 1＋x 2) 2－3x 1x 2]＝(－52)×[(－52)2－3×(32-)]＝－2158． 说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则1x =，2x =，∴| x 1－x 2|=||a ==． 于是有下面的结论：若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则| x 1－x 2|＝||a （其中Δ＝b 2－4ac ）．今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．例6 若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．解：设x 1，x 2是方程的两根，则x 1x 2＝a －4＜0， ①且Δ＝(－1)2－4(a －4)＞0． ②由①得 a ＜4，由②得 a ＜174． ∴a 的取值范围是a ＜4．练 习1．选择题：（1）方程2230x k -+=的根的情况是 （ ）（A ）有一个实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）有两个相等的实数根 （D ）没有实数根（2）若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （ ）（A ）m ＜14 （B ）m ＞－14（C ）m ＜14，且m ≠0 （D ）m ＞－14，且m ≠0 2．填空: （1）若方程x 2－3x －1＝0的两根分别是x 1和x 2，则1211x x +＝ ． （2）方程mx 2＋x －2m ＝0（m ≠0）的根的情况是 ．（3）以－3和1为根的一元二次方程是 ．3|1|0b -=，当k 取何值时，方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根？4．已知方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1和x 2，求(x 1－3)( x 2－3)的值．2.1 一元二次方程练习1． （1）C （2）D2． （1）－3 （2）有两个不相等的实数根 （3）x 2＋2x －3＝03．k ＜4，且k ≠04．－1 提示：(x 1－3)( x 2－3)＝x 1 x 2－3(x 1＋x 2)＋9。
一元二次方程根与系数的关系
12.4一元二次方程的根与系数的关系中考考点1．理解一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）。
2．会运用根与系数的关系，由已知的一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数。
3．会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和。
考点讲解1．若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2，则x1+x2=-，x1·x2=。
2．以x1,x2为根的一元二次方程是(x-x1)(x-x2)=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程ax2+bx+c=0(a≠0)。
3．对二次项系数为1的方程x2+px+q=0的两根为x1,x2时，那么x1+x2=-p，x1·x2=q。
反之，以x1,x2为根的一元二次方程是：(x-x1)(x-x2)=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程：x2+px+q=0。
4．一元二次方程的根与系数关系的应用主要有以下几方面：（1）已知一元二次方程的一个根，求另一个根，可用两根和或两根积的关系求另一个根。
（2）已知含有字母系数的一元二次方程的一个根，求另一个根及字母系数的值。
可用根与系数关系式，一个关系式求得另一个根，再用另一个关系式求得字母系数的值。
（3）已知一元二次方程，不解方程，可求与所给方程两根和、两根积的某些代数式的值。
如，方程2x2-3x+1=0的两根为x1,x2，不解方程，求x12+x22的值。
[∵x1+x2=，x1·x2=，∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=()2-2×=]（4）验根、求根、确定根的符号。
（5）已知两根，求作一元二次方程（注意最后结果要化为整系数方程）。
（6）已知两数和与积，求这两个数。
（7）解特殊的方程或方程组。
考题评析1．(北京市东城区)如果一元二次方程x2+3x-2=0的两个根为x1，x2，那么x1+x2与x1·x2的值分别为（）（A）3，2（B）-3，-2（C）3，-2（D）-3，2考点：一元二次方程的根与系数关系。
一元二次方程根与系数的关系
1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。
解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1 ∵ (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2
k 1 由根与系数的关系得x1 2+x2=
∴(
解得k1=9,k2= -3
k 1 2 k 3 ) 4 1 2 2
解二： 设方程的另一个根为x1. x1 ＋2= k+1 由根与系数的关系，得 x1 ●2= 3k
解这方程组，得
x1 =－3 k =－2
答：方程的另#43;m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。
解：设方程的另一个根为x1, 19 16 则x1+1= 3 , ∴ x1= 3 , 又x1 1=
2 3
, x1 ·x2=-3
2 3 3
=
x1 x 2 x1 x 2
=
=
2 9
(2)∵ (x1＋x2)2＝ x12+x22 ＋2x1x2 ∴x12+x22
＝(x1＋x2)2
-2x x
4 2 2 1 2 ＝(- 3 ) -2×(-3)＝6 9
例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
一元二次方程根与系数关系的证明：
b b 2 4ac x1 2a
X1+x2=
b b 2 4ac x2 2a
b 2b = = 2a a
X 1 x 2=
b b 2 4ac 2a
+
b b 2 4ac 2a
b b 2 4ac 2a
●
一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系对于一元二次方程，当判别式△＝时，其求根公式为：；若两根为，当△≥0时，则两根的关系为：；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当，时，那么则是的两根。
一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。
学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程根的判别式存在的三种情况，以及应用求根公式求出方程的两个根，进而分解因式，即。
下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。
一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。
例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。
解：∵方程（1）有两个不相等的实数根，∴解得；∵方程（2）没有实数根，∴解得；于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是其中，的整数值有或当时，方程（1）为，无整数根；当时，方程（1）为，有整数根。
解得：所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。
说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出，这也正是解答本题的基本技巧。
二、判别一元二次方程两根的符号。
例1：不解方程，判别方程两根的符号。
分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定或的正负情况。
因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定或的正负情况。
解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0∴方程有两个不相等的实数根。
设方程的两个根为，∵＜0∴原方程有两个异号的实数根。
一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求代数式的值 求待定系数 一元二次 韦达定理 应用 构造方程方程的求 解特殊的二元二次方程组 根公式 二次三项式的因式分解【内容分析】韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么1212,b cx x x x a a+=-=说明：（1）定理成立的条件0∆≥ （2）注意公式重12bx x a+=-的负号与b 的符号的区别 根系关系的三大用处 （1）计算对称式的值例 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +；(2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-， 2121212||()4x x x x x x -=+-2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．【课堂练习】1．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值为_________2．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ，（x 1－x 2）2＝3．已知方程2x 2－3x+k=0的两根之差为212，则k= ;4．若方程x 2+(a 2－2)x －3=0的两根是1和－3，则a= ;5．若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为 ;6． 设x 1,x 2是方程2x 2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值： (1)x 12x 2+x 1x 22(2) 1x 1 －1x 27．已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：2221x 1x 1（2）构造新方程理论：以两个数为根的一元二次方程是。
初中数学解题方法｜根与系数的关系和完全平方公式
初中数学解题方法｜根与系数的关系和完全平方公式一、介绍在初中数学的学习中，根与系数的关系和完全平方公式是一个重要且基础的内容。
掌握了这两个概念和方法，可以帮助学生更好地解决代数题目，提高解题效率和准确率。
本文将分别介绍根与系数的关系和完全平方公式的相关知识，并共享解题方法，帮助学生更好地理解和运用这两个重要的数学概念。
二、根与系数的关系1. 什么是根与系数？在代数中，一个一元二次方程可以用一般形式表示为ax²+bx+c=0，其中a、b、c分别为二次项系数、一次项系数和常数项。
方程的根指的是能够使方程成立的未知数的值，不同的根可以使方程等式成立。
而系数则是指在方程中与未知数相关的常数。
2. 根与系数的关系根与系数之间存在着重要的关系，这一关系可以通过韦达定理来描述。
设一元二次方程ax²+bx+c=0的根为x₁和x₂，则有以下结论：（1）根的和与系数的关系x₁+x₂=-b/a根的和等于一次项系数b的相反数除以二次项系数a的负数。
（2）根的积与系数的关系x₁x₂=c/a根的积等于常数项c除以二次项系数a。
通过根与系数的关系，我们可以利用方程的系数来求解方程的根，或者根据已知的根来推导方程的系数，从而更好地理解方程的性质和特点。
三、完全平方公式1. 什么是完全平方公式？在代数运算中，完全平方公式是指一个代数式能够被一个一元二次不等式平方并展开成二次式的方法。
对于一元二次不等式(a+b)²，根据完全平方公式展开后得到a²+2ab+b²。
2. 完全平方公式的应用完全平方公式在代数运算中有着广泛的应用，尤其是在解决代数方程或不等式的过程中。
通过完全平方公式，我们可以将一个一元二次不等式进行因式分解，从而更好地理解并解决数学问题。
四、解题方法1. 根与系数的关系的解题方法（1）已知方程的系数求根当已知一元二次方程的系数时，我们可以通过根与系数的关系来求解方程的根。
根与系数的关系
根与系数的关系内容提要：1、根系关系（韦达定理）2、不解方程直接确定两根的和与积3、根系关系与关于两根的对称式4、由两根关系考察待定系数5、韦达定理逆定理及其应用问题：一元二次方程的求根公式是什么？问题：利用求根公式计算21x x +和21x x ∙的值一、根系关系（韦达定理）韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么 1212,b c x x x x a a+=-= 说明：（1）先化为一般形式（2）定理成立的条件0∆≥即方程先要有根（3）注意公式重12b x x a+=-的负号与b 的符号的区别 简化形式：如果02=++c px x 的两根为2,1x x ，那么p x x -=+21，q x x =∙21，对于二次项系数为 1 的一元二次方程，两根之和为一次项系数的相反数，两根之积为常数项。
二、不解方程直接确定两根的和与积例1若2,1x x ，是一元二次方程x x 322=+的两根，则21x x +的值是（ ）A.-2B.2C.3D.1例2若2,1x x ，是一元二次方程322=-x x 的两根，则21x x ∙的值是（ ）A.-2B.2C.-3D.1例3 两个不等的实数m 、n 满足462=-m m ，462=-n n 则mn 的值为（ ）A.6B.-6C.4D.-4例 4 a,b 是方程x x 342-=-的两根，),(b a P 是函数xk y =的图像上一点，则k 的值是（ ）A.-4B.4C.-3D.3三、根系关系与关于两根的对称式例5设2,1x x 是方程0332=-+x x 的两个实数根，则2112x x x x +的值为（ ）A. 0B.1C.-1D.-5222121212()2x x x x x x +=+-， 2212121212()x x x x x x x x +=+22121212()()4x x x x x x -=+-12121211x x x x x x ++= 2121212||()4x x x x x x -=+-， 2121212x x x x x x ++=+212122121222121122)(x x x x x x x x x x x x x x -+=+=+， 2212121)())((m x x m x x m x m x +++=++ 例 6 关于x 的方程0)32(22=+++m x m x 有两个相等的实数根α，β，若111-=+βα则m 的值为（ ） A. 3 B.1 C.-1或3 D.-3或1例 7 关于x 的方程02)6(2=++-a ax x a 有两个相等的实数根α，β，若)1)(1(++βα为负整数，则符合条件的整数a 有（ ）个A. 1B.2C. 3D.4四、由两根关系考察待定系数例 8 已知关于x 的方程02=++n mx x 的一根是另一根的2倍，那么m ，n 之间的关系是（ ）A.n m =22B.n m 922=C.n m 92=D.0=+n m例9 已知关于x 的方程012=+++k kx x 的两根2,1x x 满足k x x =+212则k 的值为（ ）A. 5B.-0.5C. 5或-0.5D.1五、韦达定理逆定理及其应用问题：已知一元二次方程如何求根？问题：已知一元二次方程的根如何构造方程？ 以两个数为根的一元二次方程是例 若一个一元二次方程的两根分别是Rt ABC ∆的两条直角边长，且3=∆ABC S 请写出一个符合题意的一元二次方程。
一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系【基础知识精讲】1．一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）： 设21x x 、是一元二次方程ax 2＋bx+c=0 (a ≠0)的两根，则12b x x a+=-，a c x x =∙212．设21x x 、是一元二次方程ax 2＋bx+c=0 (a ≠0)的两根，则：0,0)1(21>>x x 时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=∙>-=+002121a c x x a b x x,0)2(21<<x x 时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=∙<-=+002121a c x x a b x x,0)3(21<>x x 时，有21<=∙ac x x3．以两个数21x x 、为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：212120x (x x )x x x -++=【例题巧解点拨】 1．探索韦达定理例1：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根为21,x x ，求21x x +， 21x x ∙的值。
例2.（2010•毕节地区）已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m-1）x+m 2=0有两个实数根x1和x2．（1）求实数m 的取值范围； （2）当x 12-x 22=0时，求m 的值．2．已知一个根，求另一个根.例3.已知2+3是x 2－4x+k=0的一根，求另一根和k 的值。
3．求根的代数式的值例4：设x 1，x 2是方程x 2-3x ＋1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1) x 13 x 24+ x 14 x 23； 2112)2(x xx x +4．求作新的二次方程例4：1.以2，－3为根的一元二次方程是_________________________.2.已知方程2x 2－3x －3=0的两个根分别为a ，b ，利用根与系数的关系，求一个一元二次方程 ，使它的两个根分别是：a+1、b+15．由已知两根和与积的值或式子，求字母的值。
根及系数的关系
一元二次方程根与系数对于一元二次方程，当判别式△＝时，其求根公式为：；若两根为，当△≥0时，则两根的关系为：；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当，时，那么则是的两根。
一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。
学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程根的判别式存在的三种情况，以及应用求根公式求出方程的两个根，进而分解因式，即。
下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。
一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。
例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。
解：∵方程（1）有两个不相等的实数根，∴解得；∵方程（2）没有实数根，∴解得；于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是其中，的整数值有或当时，方程（1）为，无整数根；当时，方程（1）为，有整数根。
解得：所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。
说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出，这也正是解答本题的基本技巧。
专业整理分享二、判别一元二次方程两根的符号。
例1：不解方程，判别方程两根的符号。
分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定或的正负情况。
因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定或的正负情况。
解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0∴方程有两个不相等的实数根。
设方程的两个根为，∵＜0∴原方程有两个异号的实数根。
一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系一、课堂目标理解根与系数关系，会用根系关系求参数的值或快速求解含参方程二、知识讲解1. 根与系数的关系（韦达定理）在实数范围内，一元二次方程的根由其系数、、确定，它的根的情况（是否有实数根）由确定．设一元二次方程为，其根的判别式为：则①方程有两个不相等的实数根．②方程有两个相等的实数根．③方程没有实数根．一元二次方程的求根公式，不仅表示可以由方程的系数、、决定根的值，而且反应了根与系数间的关系．那么一元二次方程的根与系数之间的联系还有其他表现方式吗？探究1从因式分解法可知，方程（、为已知数）的两根为和，将方程化为一般式后，你能说一说两个根和系数之间的关系吗？探究2探究1是二次项系数为1时，根和系数的关系，现在扩展到一般式（）中，探究根和系数的关系．当，即方程有实数根，由可知，，．因此，方程的两个根，和系数，，有如下关系：，．韦达定理：任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比．例题1.若关于的一元二次方程的两根为，，则 ．练习2.方程的解为、，则 ； ．3.已知，是方程的两个实数根，则 ．2. 根与系数关系的应用．不解方程，求与方程的根有关的代数式的值；．已知方程的一个根，求方程的另一个根；．与根的判别式相结合，解决一些综合题．【总结】几个重要变形：①；②；③；④．例题4.已知方程的一个根是，则它的另一个根是 ．5.关于的方程有两个不相等的实数根，，且有，则的值是（ ）．A.B.C.或D.练习6.已知关于的一元二次方程的一根为，求的值以及方程的另一根．7.一元二次方程的两根为和，则的值是（ ）．A.B.C.D.8.设关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，若，则的值为 ．例题（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）9.已知、是方程的两个实数根．则：．．．．．．．．（9）．练习（1）（2）10.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．求的取值范围；若，求的值．11.己知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．（1）（2）12.已知方程的两根是，．不解方程，求：．．13.已知一元二次方程（其中为大于的常数）的两个实根为，，求的值．例题14.已知，且， ，那么．练习15.已知、是方程的两个根，那么．16.已知，是不相等的实数，且，，求的值．三、出门测17.已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．18.方程的所有实数根之和是 ．19.已知关于的方程的两根为和，则 ，．一元二次方程的根与系数的关系 题集【A】20.已知一元二次方程的两个实数根分别是、，则．21.如果，是方程的两个根，那么；．22.若关于的方程的一个根是．则另一根 ；．23.若方程的一根为另一根的倍，求，所满足的关系式．24.已知关于的方程，若方程的一个根为，求的值以及方程的另一根．25.已知关于的方程的两个根为、，若，则．26.求一个一元二次方程，使得它的两根，满足：，．27.若关于的一元二次方程的两个实根互为倒数，则．（1）（2）（3）（4）28.已知、是方程的两根，不解方程求下列代数式的值．（结果用、、表示）．．．．29.已知一元二次方程的两个根为、，则 ，， ，．30.已知，是方程的两个根，那么 ， ．31.已知、是方程的两根，求的值．32.已知，，求的值．33.若，且及，则，.34.设，是方程的两个实数根（），求的值．（1）（2）35.已知关于的一元二次方程．若方程有实数根，求实数的取值范围．若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值．（1）（2）36.已知关于的一元二次方程．求证：方程总有实数根．设这个方程的两个实数根分别为，，且，求的值．（1）（2）37.关于的一元二次方程的两个实数根分别为，．求的取值范围．若，求的值．一元二次方程的根与系数的关系 题集【B】38.已知一元二次方程的两根为、，则（ ）．A.B.C.D.39.一元二次方程的两根为和，则的值是（ ）．A.B.C.（1）（2）40.已知：关于 的方程．若方程总有两个实数根，求 的取值范围．若两实数根、满足，求的值．41.若关于的二次方程的两实根互为倒数，则．42.若方程的一个根是另一个根的倍，则、、的关系是（ ）．A.B.C.D.43.已知关于的方程的两根分别是，，且满足，则的值是 ．44.已知关于的方程有两个实数根，，那么的取值范围是 ，若，则的值 ．（1）（2）（3）（4）（5）（6）45.已知，是方程的两个实数根，求下列代数式的值：．．．．．．46.已知实数，且满足，，则的值为（ ）．A.C.D.（1）（2）47.已知关于的一元二次方程有两个实数根，．求实数的取值范围．是否存在实数使得成立？若存在，请求出的值．若不存在，请说明理由．48.已知，是方程的两个根，求的值为 ．49.设的两实数根为、，那么以、为两根的一元二次方程是 ．。
妙用韦达定理巧解根与系数的关系问题
次项 系数所 得的商的相 反数 ；两根 的积 等于它
的常数项除 以二次项 系数 所得的 商．我们称 这
个 结论 为韦达定 理 ，妙 用韦达定 理 ，常常可 以 避 开繁琐 的求解 ，找 到解题的捷径．
固固
例 １ 若 方 程 一 ＋１＝０的 两 根 是 ．， ，
则 。（１＋ｘ２）＋ ２的值 为
【答案 卜’一 元二次方程 －３ｘ－ｌ＝Ｏ的两根 分 另Ｕ是 ｌ， ２，．·．ｘ， －－３ｘＩ一１＝０， ２２—３ ２—１＝０， ｌ＋ ２＝３，． ．Ｘ２２－３ｘ２＝１，．－． ｌ＋ ２（ ２２—３ ２）＝ Ｉ＋ ２＝３，故 答案为 ：３．
【点评 】对于涉及两根 的代数式 问题 ，要 善 于观察代数式结构 ，综合考虑 韦达定理和方程 的解两个要点 ，构造相应整体求解．
寻，因此实数 ｋ的值为一２．
‘＋
【答 案 卜２． 【点 评 】已知两根关 系 ，用韦达定理求 出方 程 中的字 母系数后 ，一定要检 验 ：① 符合 根 的
判别式 ｂ２－４ａｃ－ ＇ ￣＂０；②字母 系数如 果在 二次项 系 数上 ，同时要保 证二次项 系数不 为０．
４．已知 两根 的符 号性质 ，求方程 字母 系数 的 取 值 范 围．
１＝０有 两 个 实数根 ２．若 ２满足 ｌ ＋ ２。＝ ຫໍສະໝຸດ ６＋ｘｍ ，求 实数 ｋ的 值 ．
【解 析 】将 两根 关 系恒 等 变形成 含 有两根
和与 积 的形式 ： ， ＋ ２２Ｉ ￣（Ｘ。＋ ２） 一 。 ＝１６＋ｘ · 耽，根 据韦达 定理 用 ｋ表示 。＋ ：和 得 ，＋
．
【解 析 】方程 的根 是无理 数 ，若 直接 代 入 ，
计 算繁琐 ．因所 求涉 及两 根关 系 ，可根 据韦 达
一元二次方程根与系数的关系韦达定理
一元二次方程根与系数的关系——韦达定理一、观察与猜想 1、解方程：（1） 2y 2-y-1=0 （2）3x 2-4x=2 解：y=221⨯±--）（ 解：=y 1= ,y 2=则y 1+y 2= ，y 1y 2= 则x 1+x 2= ，x 1x 2= （3）3x 2+7x+2=0解：x= = ,则x 1+x 2= ，x 1x 2= （4）5x+2=3x 2解：x= = ,则x 1+x 2= ，x 1x 2= 想一想：方程的两根之和，两根之积与方程的系数之间存在什么关系？二、一般地，对于关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) 用求根公式求出它的两个根x 1、x 2 ，由一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的求根公式知x 1=a ac b b 242-+-,x 2=aac b b 242---能得出以下结果：x 1＋x 2= 即：两根之和等于x 1•x 2= 即：两根之积等于12x x +=a ac b b 242-+-+a acb b 242---=aacb b ac b b 24422----+-=12.x x =a ac b b 242-+-×a ac b b 242---=2224)4)(4(a ac b b ac b b ----+-=2224)()(a -=由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在得关系为x 1+x 2=a b -， x 1x 2=ac 3. 韦达定理已知12,x x 是一元二次方程的两根，则有12b x x a +=-12cx x a= 4.如果把方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的二次项系数化为1，则方程变形为x 2＋ x ＋ac＝0(a ≠0)， 则以x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：x 2-（ ）x ＋x 1x 2＝0(a ≠0)练习：1、如果x 1，x 2是方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根，求x 1+x 2和x 1x 2的值。
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环球雅思学科教师辅导教案 学员编号： 年 级：八年级 课 时 数：3学员姓名：朱俊宇 辅导科目：数学 学科教师：沈奕楠授课类型T(同步)一元二次方程 星 级★★★ 授课日期及时段教学内容1、一元二次方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）当240b ac -≥时，X 1,2 = 2、运用公式法解下例方程：（1）x 2 -4x+4=0 （2）2x 2 -3x -4=0 (3) x 2+3x+5=01、引导学生思考：不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？⑴ x 2＋2x －8 = 0 ⑵ x 2 = 4x －4 ⑶ x 2－3x = －32、探索活动一元二次方程根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？你还记得吗？知识梳理3、解下列方程： ⑴ x 2＋x －1 = 0 ⑵ x 2－23x ＋3 = 0 ⑶ 2x 2－2x ＋1 = 04、通过解上述方程你能得出什么结论？探索一元二次方程的根的情况与b 2－4ac 的符号有什么关系？总结：1、一元二次方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）有两个不相等的实数根时 ，b 2－4ac有两个相等的实数根时， b 2－4ac没有实数根时 b 2－4ac2、反过来呢？2200(0)040ax bx c a b ac ∆>⇔⎧++=≠⎪→∆=⇔⎨∆=-⎪∆<⇔⎩有两个不相等的实数根一元二次方程有两个相等的实数根的根的判别式没有实数根典型例题：例1、若关于x 的方程0122=-+x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 。
例2、关于x 的方程()0212=++-m mx x m 有实数根，则m 的取值范围是( ) A.10≠≥且m m B.0≥m C.1≠m D.1>m例3、已知关于x 的方程()0222=++-k x k x (1)求证：无论k 取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰∆ABC 的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求∆ABC 的周长。
例4、已知二次三项式2)6(92-++-m x m x 是一个完全平方式，试求m 的值.说明：若二次三项式为一个完全平方式，则其相应方程的判别式0=∆即：若042=-ac b ，则二次三项式c bx ax ++2)0(≠a 为完全平方式；反之，若 c bx ax ++2)0(≠a 为完全平方式，则042=-ac b .例5、m 为何值时，方程组⎩⎨⎧=+=+.3,6222y mx y x有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？我来试一试！1、不解方程，判断下列方程根的情况：（1）2260x x +-=； （2）242x x +=； （3）x x 3142-=+（4） 3x 2－x ＋1 = 3x （5）5（x 2＋1）= 7x （6）3x 2－43x =－42、方程3x 2+2=4x 的判别式b 2-4ac= ，所以方程的根的情况是 .3、一元二次方程x 2-4x+4=0的根的情况是（ ）A.有两个不等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能确定4、下列方程中，没有实数根的方程式（ ）A.x 2=9B.4x 2=3(4x-1)C.x(x+1)=1D.2y 2+6y+7=05、方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根，那么总成立的式子是（ ）A.b 2-4ac ＞0B. b 2-4ac ＜0C. b 2-4ac ≤0D. b 2-4ac ≥06、如果方程9x 2-(k+6)x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k= .7、关于x 的方程x 2+2k x+1=0有两个不相等的实数根，则k = . 8、已知方程x 2-mx+n=0有两个相等的实数根，那么符合条件的一组m ，n 的值可以是m= ,n= .9、若关于x 的一元二次方程2210mx x -+=有两个相等的实数根，则m 满足___________。
10、当k 为何值时，关于x 的方程k x 2－（2k ＋1）x ＋k ＋3 = 0有两个不相等的实数根？11、当k 时，关于x 的二次三项式92++kx x 是完全平方式。
12、当k 取何值时，多项式k x x 2432+-是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？ 13、已知方程022=+-mx mx 有两个不相等的实数根，则m 的值是 . 14、k 为何值时，方程组⎩⎨⎧=+--+=.0124,22y x y kx y（1）有两组相等的实数解，并求此解；（2）有两组不相等的实数解；（3）没有实数解.15、当k 取何值时，方程04234422=+-++-k m m x mx x 的根与m 均为有理数？专题提升：一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：221244,22b b ac b b ac x x a a-+----== 所以：22124422b b ac b b ac b x x a a a-+----+=+=-， 22222122244()(4)422(2)4b b ac b b ac b b ac ac c x x a a a a a-+-------⋅=⋅=== 定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠定的两个根为12,x x ，那么：1212,b c x x x x a a+=-= 常用变形：222121212()2x x x x x x +=+-， 12121211x x x x x x ++=， 22121212()()4x x x x x x -=+-， 2121212||()4x x x x x x -=+-， 2212121212()x x x x x x x x +=+，22111212121222212()4x x x x x x x x x x x x x x ++-+== 等 根系关系的三大用处1、计算对称式的值例题．若21,x x 是方程0201022=-+x x 的两个根，试求下列各式的值：（1）21x x +，21x x ⋅；（2）2111x x +；（3）2221x x +，21x x -；（4）)1()1(21+⋅+x x一元二次方程根与系数的关系：韦达定理我来试一试！1．已知21,x x 是方程025-2=-x x 的两个实数根。
求（1）21x x + （2）21x x ⋅； （3）2111x x +； （4）2221x x +（5）3231x x + （6）222111x x + （7）)1()1(21-⋅-x x2．已知：α、β是方程04722=+-m mx x 的两根，且（α-1）（β-1）=3，求m 的值3．已知关于x 的方程02=++n mx x 的根为2和-2，求02=++m nx x 的两根。
（2）构造新方程 理论：以两个数为根的一元二次方程是。
例 解方程组 ⎩⎨⎧==+65xy y x解：显然，x ，y 是方程z 2-5z+6＝0 ① 的两根由方程①解得 z 1=2,z 2=3∴原方程组的解为 x 1=2,y 1=3x 2=3,y 2=2显然，此法比代入法要简单得多。
（3）定性判断字母系数的取值范围例 一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求k 的取值范围。
解：设此三角形的三边长分别为a 、b 、c ，且a 、b 为的两根，则c=2由题意知△＝k 2-4×2×2≥0，k ≥4或k ≤-4∴为所求。
课堂练习： 【练习1】若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2) 1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．【练习2】已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值． (1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．【练习3】已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在， 请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．本节课主要学习了什么？你学到了什么？练习一：一．先判别下列方程是否有解，若有解用公式法解下列方程(1)x 2＋12x+2＝0 (2)x 2＋12x ＋15＝0 (3)x 2－7x ＋2＝0(4)9x 2＋6x －1＝0 (5)5x 2－2＝－x (6)3x 2－4x ＝2(7)x 2－2x ＋1＝0；(8)x(x ＋8)＝16； (9)x 2－35x ＝2；课堂小结课后练习二．用适当的方法解下列方程(1)4x 2－1＝0； (2)x 2＝7x ；(3)3x 2＋1＝23x ； (4)12x 2＋7x ＋1＝0．(5)x 2－4x ＋3＝0；(6)(x －2)2＝256； (7)x 2－3x ＋1＝0(8)x 2－2x －3＝0；(9)(2t ＋3)2＝3(2t ＋3)； (10)(3－y)2＋y 2＝9；3、设x 1、x 2是方程0222=--x x 的两个实数根，则x 1+x 2= ；x 1·x 2=4、如果关于x 的方程240x x a ++=有两个相等的实数根，那么a ＝5、若1x 、2x 为方程0122=--x x 的两根，则2121x x x x -+＝6、一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是7、若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则1211x x +的值为8、已知关于x 的方程x 2-3x+k=0,问k 取何值时，这个方程：（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？练习二：一、选择1、下列方程中,常数项为零的是 ( )A 、x 2+x=1B 、2x 2-x-12=12C 、2(x 2-1)=3(x-1)D 、2(x 2+1)=x+22、已知ｍ是方程ｘ2－ｘ－１＝０的一个根，则代数ｍ2－ｍ的值等于 （ ）A 、１B 、－１C 、0D 、2 3、下列方程:①x 2=0,② 21x -2=0,③22x +3x=(1+2x)(2+x),④32x -x =0,⑤32x x-8x+ 1=0中,一元二次方程的个数是 ( )A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个4、方程x （x+1）=3（x+1）的解的情况是 （ ）A 、x=-1B 、x=3C 、3,121=-=x xD 、以上答案都不对二、填空5、把方程4 —x 2 = 3x 化为ax 2 + bx + c = 0(a ≠0)形式为 ，则该方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别为 。