概率论课件5.3
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概率第五章_大数定律与中心极限定理090505
加法法则
P ( − Eξ ε ) = ξ ≥
P(ξ ≥ Eξ + ε ) + P (ξ ≤ Eξ − ε )
k
=
≤
k : xk ≥ E +
∑ξ ε p
k
+
k : xk ≤ E −
∑ξ ε p
pk +
k :xk ≥ E +
∑ξ ε
( x − Eξ ) 2
ε
2
k :xk ≤ E −
∑ξ ε
( x − Eξ ) 2
， 方差 Dξ n ( n = 1, 2,L)，且 Dξi < l (i = 1, 2,L) 其中 l 与 i 无关的
1 Eξ = (1 + 2 + 3 + L + 6) 6
35 7 故 Eξ = Dξ = 12 2
4 2 = P (ξ = 5) + P(ξ = 6) + P (ξ = 1) + P (ξ = 2) = = 6 3 7 1 P( − 2 ) = P(ξ ≥ 5.5) + P(ξ ≤ 1.5) = P (ξ = 6) + P (ξ = 1) = ξ ≥
即
lim P ( − p < ε ) = 1 n →∞ n
ξ
此定理表明：当试验在不变的条件下重复进行很多次时， 随机事件的频率 频率在它的概率 概率附近摆动。 频率 概率 由贝努里大数定律可知，若事件A的概率很小很小时，则 它的频率也很小很小，即事件A很少发生或几乎不发生， 这种事件叫小概率事件。反之，若随机事件的概率很接近1， 则可认为在个别试验中这事件几乎一定发生。 同分布的两个或多个随机变量: 同分布的两个或多个随机变量 离散型: 它们的概率分布律相同. 离散型 它们的概率分布律相同 连续型: 它们的概率密度函数相同. 连续型 它们的概率密度函数相同 所以它们的期望与方差一定相同. 所以它们的期望与方差一定相同
P ( − Eξ ε ) = ξ ≥
P(ξ ≥ Eξ + ε ) + P (ξ ≤ Eξ − ε )
k
=
≤
k : xk ≥ E +
∑ξ ε p
k
+
k : xk ≤ E −
∑ξ ε p
pk +
k :xk ≥ E +
∑ξ ε
( x − Eξ ) 2
ε
2
k :xk ≤ E −
∑ξ ε
( x − Eξ ) 2
， 方差 Dξ n ( n = 1, 2,L)，且 Dξi < l (i = 1, 2,L) 其中 l 与 i 无关的
1 Eξ = (1 + 2 + 3 + L + 6) 6
35 7 故 Eξ = Dξ = 12 2
4 2 = P (ξ = 5) + P(ξ = 6) + P (ξ = 1) + P (ξ = 2) = = 6 3 7 1 P( − 2 ) = P(ξ ≥ 5.5) + P(ξ ≤ 1.5) = P (ξ = 6) + P (ξ = 1) = ξ ≥
即
lim P ( − p < ε ) = 1 n →∞ n
ξ
此定理表明：当试验在不变的条件下重复进行很多次时， 随机事件的频率 频率在它的概率 概率附近摆动。 频率 概率 由贝努里大数定律可知，若事件A的概率很小很小时，则 它的频率也很小很小，即事件A很少发生或几乎不发生， 这种事件叫小概率事件。反之，若随机事件的概率很接近1， 则可认为在个别试验中这事件几乎一定发生。 同分布的两个或多个随机变量: 同分布的两个或多个随机变量 离散型: 它们的概率分布律相同. 离散型 它们的概率分布律相同 连续型: 它们的概率密度函数相同. 连续型 它们的概率密度函数相同 所以它们的期望与方差一定相同. 所以它们的期望与方差一定相同
概率论与数理统计 5.3 协方差与相关系数
存在，称它为X的k阶中心矩
概率论
均值 EX是X一阶原点矩，方差DX是X的二阶
中心矩。
四、课堂练习
概率论
1、设随机变量（X，Y）具有概率密度
f (x, y) 81(x y) 0 x 2,0 y 2
0
其它
求E(X ), E(Y ),Cov(X ,Y ), D(X Y )。
2、设X ~ N(, 2),Y ~ N(, 2)，且设X，Y相互独立 试求Z1 X Y和Z2 X Y的相关系数(其中，
Cov(aX b,cY d ) acCov( X ,Y ); Cov(aX bY ,cX dY ) acDX bdDY (ad bc)Cov( X ,Y ).
(6) D(XY) = DX+ D Y 2 Cov(X, Y) .
一般地， D(aXbY) =a 2DX + b2DY 2 abCov(X, Y).
1
1
dx
1 x 8xydy 8
0
x
15
EY
yf ( x, y)dxdy
o
1x
1
dx
1 y 8xydy 4
0
x
5
EXY
xyf ( x, y)dxdy
1
dx
0
1 xy 8xydy 4
x
9
Cov( X ,Y ) EXYEXEY 4
225
类似地，EX 2
1
X与Y不独立.
EX EY EXY 0, Cov( X ,Y ) 0, XY 0,
X与Y不相关.
例6 设 X 的分布律为
X 1 0 1 P 13 13 13
Y X 2, 求 XY , 并讨论 X 与Y 的独立性. 解 EX 0, EY EX 2 2 3, E( XY ) EX 3 0,
概率论
均值 EX是X一阶原点矩，方差DX是X的二阶
中心矩。
四、课堂练习
概率论
1、设随机变量（X，Y）具有概率密度
f (x, y) 81(x y) 0 x 2,0 y 2
0
其它
求E(X ), E(Y ),Cov(X ,Y ), D(X Y )。
2、设X ~ N(, 2),Y ~ N(, 2)，且设X，Y相互独立 试求Z1 X Y和Z2 X Y的相关系数(其中，
Cov(aX b,cY d ) acCov( X ,Y ); Cov(aX bY ,cX dY ) acDX bdDY (ad bc)Cov( X ,Y ).
(6) D(XY) = DX+ D Y 2 Cov(X, Y) .
一般地， D(aXbY) =a 2DX + b2DY 2 abCov(X, Y).
1
1
dx
1 x 8xydy 8
0
x
15
EY
yf ( x, y)dxdy
o
1x
1
dx
1 y 8xydy 4
0
x
5
EXY
xyf ( x, y)dxdy
1
dx
0
1 xy 8xydy 4
x
9
Cov( X ,Y ) EXYEXEY 4
225
类似地，EX 2
1
X与Y不独立.
EX EY EXY 0, Cov( X ,Y ) 0, XY 0,
X与Y不相关.
例6 设 X 的分布律为
X 1 0 1 P 13 13 13
Y X 2, 求 XY , 并讨论 X 与Y 的独立性. 解 EX 0, EY EX 2 2 3, E( XY ) EX 3 0,
概率论高等院校概率论课件
应用场景
强大数定律在统计学中用于 估计极端事件发生的概率和 风险，在决策理论中用于评 估最优策略和期望收益，在 可靠性工程中用于分析系统 的可靠性和寿命。
注意事项
强大数定律的应用有一定的 限制条件，例如随机序列必 须是独立同分布的。此外， 强大数定律并不能保证每个 随机事件的绝对正确性，而 只是给出了最大值分布的稳 定性。
连续随机过程
如布朗运动，每一步都是连续 的，每一步的状态都是连续的
。
随机游走与布朗运动
随机游走
一个随机过程，其中每一步都是随机的，通 常用来描述粒子的无规则运动。
布朗运动
一种连续随机过程，由大量微小粒子在流体 中无规则运动产生，通常用来描述微观粒子 的运动。
马尔科夫链与马尔科夫过程
马尔科夫链
一个随机过程，其中下一个状态只依赖于当前状态，与过去状态 无关。
注意事项
大数定律的前提是试验次数必须足够多，并且随 机事件之间必须是独立的。此外，大数定律并不 能保证每个随机事件的绝对正确性，而只是给出 了频率趋于概率的稳定性。
强大数定律
总结词
强大数定律是概率论中的重 要定理之一，它描述了随机 序列中最大值的分布性质。
详细描述
强大数定律指出，对于任意 给定的正整数序列$a_n$和 $b_n$，有$lim_{n to infty} frac{a_n}{b_n} = 1$的概率 为1。这个定理说明了随机 序列中最大值的分布具有很 强的稳定性。
随机变量的性质
随机变量具有可测性、可加性和有限 可加性。
离散型随机变量及其分布
离散型随机变量的定义
离散型随机变量是在样本空间中取有 限个或可数个值的随机变量。
离散型随机变量的分布
概率论与数理统计ppt课件(完整版)
27
( 1)
n 1
例4. 设P(A)=p, P(B)=q, P(AB)=r, 用p, q, r表示下列 事件的概率:
(1) P ( A B ); (2) P ( A B); (3) P ( A B); (4)P( A B ).
28
§5. 条件概率
(一)条件概率: 设试验E的样本空间为S, A, B是事件, 要考虑 在A已经发生的条件下B发生的概率, 这就是条件概 率问题.
概率论与数理统计
第一章 概率论的基本概念 前 言
1. 确定性现象和不确定性现象.
2. 随机现象: 在个别试验中其结果呈现出不确定性, 在 大量重复试验中其结果又具有统计规律性. 3. 概率与数理统计的广泛应用.
2
§1.随机试验
我们将对自然现象的一次观察或进行一次科学试验 称为试验。
举例:
E1: 抛一枚硬币，观察正(H)反(T) 面 的情 况.
B A 类似地, 事件 S 为可列个事件A1, A2, ...的积事件.
k 1 K
(2) A B A B
S
(3)A B
9
4.差事件:
事件A-B={x|xA且xB} 称为A与B的差. 当且仅当 A发生, B不发生时事件A-B发生. 即:
A - B A AB
显然: A-A=, A- =A, A-S=
(一) 频率 1. 在相同的条件下, 共进行了n次试验,事件A发生的次 数nA, 称为A的频数, nA/n称为事件A发生的频率, 记为 fn(A).
2. 频率的基本性质： (1) 0 f（ 1； （非负性） n A） (2) f n ( S ) 1; （规范性） （3）若A1，A 2， , Ak 两两互不相容 ,则 f n ( A1 A2 Ak ) f n ( A1 ) f n ( A2 ) f n ( Ak ).(有限可加性）
( 1)
n 1
例4. 设P(A)=p, P(B)=q, P(AB)=r, 用p, q, r表示下列 事件的概率:
(1) P ( A B ); (2) P ( A B); (3) P ( A B); (4)P( A B ).
28
§5. 条件概率
(一)条件概率: 设试验E的样本空间为S, A, B是事件, 要考虑 在A已经发生的条件下B发生的概率, 这就是条件概 率问题.
概率论与数理统计
第一章 概率论的基本概念 前 言
1. 确定性现象和不确定性现象.
2. 随机现象: 在个别试验中其结果呈现出不确定性, 在 大量重复试验中其结果又具有统计规律性. 3. 概率与数理统计的广泛应用.
2
§1.随机试验
我们将对自然现象的一次观察或进行一次科学试验 称为试验。
举例:
E1: 抛一枚硬币，观察正(H)反(T) 面 的情 况.
B A 类似地, 事件 S 为可列个事件A1, A2, ...的积事件.
k 1 K
(2) A B A B
S
(3)A B
9
4.差事件:
事件A-B={x|xA且xB} 称为A与B的差. 当且仅当 A发生, B不发生时事件A-B发生. 即:
A - B A AB
显然: A-A=, A- =A, A-S=
(一) 频率 1. 在相同的条件下, 共进行了n次试验,事件A发生的次 数nA, 称为A的频数, nA/n称为事件A发生的频率, 记为 fn(A).
2. 频率的基本性质： (1) 0 f（ 1； （非负性） n A） (2) f n ( S ) 1; （规范性） （3）若A1，A 2， , Ak 两两互不相容 ,则 f n ( A1 A2 Ak ) f n ( A1 ) f n ( A2 ) f n ( Ak ).(有限可加性）
2019_2020学年新教材高中数学第五章统计与概率5.3.5随机事件的独立性课件新人教B版必修第二册
＝P( A )·P( B )＋P(A)·P( B )＋P( A )·P(B) ＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28. 若 A、B 相互独立，则 P(AB)＝P(A)·P(B)
方法归纳 解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义，若 A， B 相互独立，则 A 与 B，A 与 B ， A 与 B 也是相互独立的，代入相 互独立事件的概率公式求解．
跟踪训练 3 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮 活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为34，乙每轮 猜对的概率为23.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结 果也互不影响．求“星队”在两轮活动中猜对 3 个成语的概率．
解析：设 A1，A2 分别表示甲两轮猜对 1 个，2 个成语的事件， B1，B2 分别表示乙两轮猜对 1 个，2 个成语的事件．根据独立性假 定，得 P(A1)＝2×34×14＝38，P(A2)＝342＝196.
(3)“2 人至少有 1 人射中”包括“2 人都中”和“2 人有 1 人 射中”2 种情况，其概率为 P＝P(AB)十[P(A B )＋P( A B)]＝0.72＋ 0.26＝0.98.
(4)“2 人至多有 1 人射中目标”包括“有 1 人射中”和“2 人 都未射中”两种情况．
故所求概率为 P＝P(A] B )＋P(A B )＋P( A B)
解析：(1)对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不 影响的，所以事件 A 与 B 相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射 手可能同时击中目标，也就是说事件 A 与 B 可能同时发生，所以事 件 A 与 B 不是互斥事件．
甲、乙击中目标相互不影响，所以相互独立，甲击中目标、乙 击中目标，可以同时发生，所以不互斥．
题型一 相互独立事件的判断[经典例题] 例 1 从一副扑克牌(去掉大、小王)中任抽一张，设 A＝“抽到 K”，B＝“抽到红牌”，C＝“抽到 J”，那么下列每对事件是否 相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？ (1)A 与 B；(2)C 与 A.
方法归纳 解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义，若 A， B 相互独立，则 A 与 B，A 与 B ， A 与 B 也是相互独立的，代入相 互独立事件的概率公式求解．
跟踪训练 3 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮 活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为34，乙每轮 猜对的概率为23.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结 果也互不影响．求“星队”在两轮活动中猜对 3 个成语的概率．
解析：设 A1，A2 分别表示甲两轮猜对 1 个，2 个成语的事件， B1，B2 分别表示乙两轮猜对 1 个，2 个成语的事件．根据独立性假 定，得 P(A1)＝2×34×14＝38，P(A2)＝342＝196.
(3)“2 人至少有 1 人射中”包括“2 人都中”和“2 人有 1 人 射中”2 种情况，其概率为 P＝P(AB)十[P(A B )＋P( A B)]＝0.72＋ 0.26＝0.98.
(4)“2 人至多有 1 人射中目标”包括“有 1 人射中”和“2 人 都未射中”两种情况．
故所求概率为 P＝P(A] B )＋P(A B )＋P( A B)
解析：(1)对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不 影响的，所以事件 A 与 B 相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射 手可能同时击中目标，也就是说事件 A 与 B 可能同时发生，所以事 件 A 与 B 不是互斥事件．
甲、乙击中目标相互不影响，所以相互独立，甲击中目标、乙 击中目标，可以同时发生，所以不互斥．
题型一 相互独立事件的判断[经典例题] 例 1 从一副扑克牌(去掉大、小王)中任抽一张，设 A＝“抽到 K”，B＝“抽到红牌”，C＝“抽到 J”，那么下列每对事件是否 相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？ (1)A 与 B；(2)C 与 A.
第一章 概率论的基本概念PPT课件
（4） A BA BA AB
（5）
n
n
n
n
Ai Ai ,
Ai Ai ,
i 1
i 1
i 1
i 1
Ai Ai ,
Ai Ai .
i 1
i 1
i 1
i 1
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例2: 设A，B，C为三个事件，试用A，B，C表 示下列事件： （1）A发生且B与C至少有一个发生； （2）A与B都发生而C不发生； （3）A，B，C恰有一个发生； （4）A，B，C中不多于一个发生； （5）A，B，C不都发生； （6）A，B，C中至少有两个发生。
例1 : 从一批产品中任取8件，观察其中的正品件数， 则这一试验的样本空间为：
={0，1，2，3，4，5，6，7，8}
引入下列随机事件: A={正品件数不超过3}={0，1，2，3} B={取到2件至3件正品}={2，3} C={取到2件至5件正品}={2，3，4，5}
D={取到的正品数不少于2且不多于5}={2，3，4，5}
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样本空间：
随机试验E的全体基本事件组成的集合。记为。
随机事件中有两个极端情况：
•每次试验中都必然发生的事件，称为必然事件 。
•每次试验中都不发生的事件，称为不可能事件 。
基本事件是样本空间的单点集。 复合事件是由多个样本点组成
不可能事件不含任何样本点，它就是空集 。
或A1A2 … An ，也可简记为 n 。A i
i1
在可列无穷的场合，用
i1
A
i
表示事件“A1、A2
、
…诸
事件同时发生。”
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40 AB
事件A发生但事件B不发生,称为事件A与事件B的差 事件。显然有：
概率论英文课件：ch5_3 Binomial Distribution
1 2
3
1 2
4 3
4 1 P(X = 3) = 3 2
3
1 2
43
2
Binomial Distribution A Bernoulli trial can result in a “success” with probability p and a failure with probability q = 1 – p. Then the probability distribution of the binomial random variable X, the number of “successes” in n independent trials, is
8
= b( x;15,0.4)
x 3
5 4
b( x;15,0.4) b( x;15,0.4) P(X = 5) = P(X 5) – P( X 4)= x 0 x 0
Example
8
Example
It is known that the incidence of a disease is 13% in a city. We randomly selected 150 people from this city, estimate the probability of 10 person of them being infection.
of expanding of [p+(1-p)]n, So the distribution of X is called as the Binominal distribution. Obviously, ∑P(X=k)=1.
3
1 2
4 3
4 1 P(X = 3) = 3 2
3
1 2
43
2
Binomial Distribution A Bernoulli trial can result in a “success” with probability p and a failure with probability q = 1 – p. Then the probability distribution of the binomial random variable X, the number of “successes” in n independent trials, is
8
= b( x;15,0.4)
x 3
5 4
b( x;15,0.4) b( x;15,0.4) P(X = 5) = P(X 5) – P( X 4)= x 0 x 0
Example
8
Example
It is known that the incidence of a disease is 13% in a city. We randomly selected 150 people from this city, estimate the probability of 10 person of them being infection.
of expanding of [p+(1-p)]n, So the distribution of X is called as the Binominal distribution. Obviously, ∑P(X=k)=1.
概率论第五章统计量及其分布
1) = (Np1)/(N1) 而若第一次抽到的是合格品，则第二次抽到不合 格品的概率为
P(x2 = 1 | x1 = 0) = (Np)(N1)
21 October 2019
华东师范大学
第五章 统计量及其分布
第18页
显然，如此得到的样本不是简单随机样本。 但是，当N 很大时，我们可以看到上述两种 情形的概率都近似等于p 。所以当N 很大， 而n不大（一个经验法则是 n N 0.1）时可
21 October 2019
21 October 2019
华东师范大学
第五章 统计量及其分布
第6页
比如：两个生产同类产品的工厂的产品的总体 分布：
X
0
1
p
0.983
0.017
X
0
1
p
0.915
0.085
21 October 2019
华东师范大学
第五章 统计量及其分布
第7页
例5.1.2 在二十世纪七十年代后期，美国消费 者购买日产SONY彩电的热情高于购买美产 SONY彩电，原因何在？
以把该样本近似地看成简单随机样本。
思考：
若总体的密度函数为p(x)，则其样本的（联 合）密度函数是什么？
21 October 2019
华东师范大学
第五章 统计量及其分布
第19页
§5.2 样本数据的整理与显示
5.2.1 经验分布函数
设 x1, x2, …, xn 是取自总体分布函数为F(x)的样 本，若将样本观测值由小到大进行排列,为 x(1), x(2), …, x(n)，则称 x(1), x(2), …, x(n) 为有序样本，
用有序样本定义如下函数
0, Fn ( x) k / n, 1,
P(x2 = 1 | x1 = 0) = (Np)(N1)
21 October 2019
华东师范大学
第五章 统计量及其分布
第18页
显然，如此得到的样本不是简单随机样本。 但是，当N 很大时，我们可以看到上述两种 情形的概率都近似等于p 。所以当N 很大， 而n不大（一个经验法则是 n N 0.1）时可
21 October 2019
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华东师范大学
第五章 统计量及其分布
第6页
比如：两个生产同类产品的工厂的产品的总体 分布：
X
0
1
p
0.983
0.017
X
0
1
p
0.915
0.085
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第五章 统计量及其分布
第7页
例5.1.2 在二十世纪七十年代后期，美国消费 者购买日产SONY彩电的热情高于购买美产 SONY彩电，原因何在？
以把该样本近似地看成简单随机样本。
思考：
若总体的密度函数为p(x)，则其样本的（联 合）密度函数是什么？
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第五章 统计量及其分布
第19页
§5.2 样本数据的整理与显示
5.2.1 经验分布函数
设 x1, x2, …, xn 是取自总体分布函数为F(x)的样 本，若将样本观测值由小到大进行排列,为 x(1), x(2), …, x(n)，则称 x(1), x(2), …, x(n) 为有序样本，
用有序样本定义如下函数
0, Fn ( x) k / n, 1,
§5.3 中心极限定理
西南财经大学天府学院 18
90000 1 2 分布律为 P{ X k } k 3 3 k 1,,90000. 所求概率为
k
90000 k
90000 1 k 2 90000 k P{29500 X 30500} k 3 3 k 29501
§5.3 中心极限定理
一、问题的引入
二、基本定理
三、典型例题 四、小结
1
西南财经大学天府学院
中心极限定理的客观背景
在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机 因素的综合（或和)影响所形成的. 例如：炮弹射击的 落点与目标的偏差， 就受着许多随机因 素（如瞄准技术， 空气阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的.每个随 机因素对弹着点所起的作用都是很小的.那么弹着点 服从怎样分布呢 ？
1 ( 2.321) 0.01 .
22
西南财经大学天府学院
【例4】对于一个学生而言, 来参加家长会的家长 人数是一个随机变量. 设一个学生无家长、1名 家长、 2名家长来参加会议的概率分别为0.05、 0.8、0.15. 若学校共有400名学生, 设各学生参加 会议的家长数相互独立, 且服从同一分布. (1) 求 参加会议的家长数X超过450的概率; (2) 求有1名 家长来参加会议的学生数不多于340的概率. 解 (1) 以 X k ( k 1, 2,, 400) 记
由德莫佛－拉普拉斯定理知,
西南财经大学天府学院
21
保险公司亏本的概率
P{10000 X 10000 200} P{ X 200}
X np 200 np P np(1 p) np(1 p) X np P 2.321 np(1 p)
90000 1 2 分布律为 P{ X k } k 3 3 k 1,,90000. 所求概率为
k
90000 k
90000 1 k 2 90000 k P{29500 X 30500} k 3 3 k 29501
§5.3 中心极限定理
一、问题的引入
二、基本定理
三、典型例题 四、小结
1
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中心极限定理的客观背景
在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机 因素的综合（或和)影响所形成的. 例如：炮弹射击的 落点与目标的偏差， 就受着许多随机因 素（如瞄准技术， 空气阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的.每个随 机因素对弹着点所起的作用都是很小的.那么弹着点 服从怎样分布呢 ？
1 ( 2.321) 0.01 .
22
西南财经大学天府学院
【例4】对于一个学生而言, 来参加家长会的家长 人数是一个随机变量. 设一个学生无家长、1名 家长、 2名家长来参加会议的概率分别为0.05、 0.8、0.15. 若学校共有400名学生, 设各学生参加 会议的家长数相互独立, 且服从同一分布. (1) 求 参加会议的家长数X超过450的概率; (2) 求有1名 家长来参加会议的学生数不多于340的概率. 解 (1) 以 X k ( k 1, 2,, 400) 记
由德莫佛－拉普拉斯定理知,
西南财经大学天府学院
21
保险公司亏本的概率
P{10000 X 10000 200} P{ X 200}
X np 200 np P np(1 p) np(1 p) X np P 2.321 np(1 p)
概率论数理统计基础知识第五章
C
]
（A）Y ~ 2 (n). （B）Y ~ 2 (n 1). （C）Y ~ F (n,1). （D）Y ~ F (1, n).
【例】设 随机变量X和Y都服从标准正态分布，则[ C ]
（A）X+Y服从正态分布.
2 2 2
（B）X2 +Y2服从 2分布. Y
2
2 X （C）X 和Y 都服从 分布. （D）
(X ) ~ t ( n 1) S n
客、考点 10，正态总体的抽样分布
33/33
34/33
35/33
【例】设总体 X ~ N (0,1)，X 1 , X 2 , X1 X 2
2 2 X3 X4
, X n 是简单随机
2 X i. i 4 n
样本 , 试问下列统计量服从什么分布？ （1 ） ; （2 ） n 1X1
记：F分布是两个卡方分布的商
2. F 分布的上侧分位数
设 F ~ F (k1 , k2 ) ，对于给定的 a (0,1) ，称满足条件
P{F Fa (k1 , k2 )}
Fa ( k1 ,k2 )
f F ( x)dx a
的数 Fa (k1 , k2 ) 为F 分布的上侧a 分位数。
服从F分布.
§5.5 正态总体统计量的分布
一、单个正态总体情形 总体
X ~ N ( , 2 ) ，样本 X1 , X 2 , , Xn ，
1 n 样本均值 X X i n i 1
n 1 2 样本方差 S 2 ( X X ) i n 1 i 1
1. 定理1 若设总体X~N(μ,σ2), 则统计量
有一约束条件
(X
i 1
概率论与数理统计5.3
α/ 2
2 χ1−α / 2 (2n)
α/ 2
2 χα / 2 (2n)
2n 2 2 P χ1−α / 2 (2n) < X < χ α / 2 ( 2n) = 1 − α θ
经不等式变形得
2 nX 2 nX P 2 <θ< 2 = 1− α χ1−α / 2 (2n) χ α / 2 ( 2 n)
均值μ 1. 均值μ的置信区间
(1) 方差 σ 2 已知的情形
由 例 5.12 可知，在 σ 2 己知时，µ 的 1 − α 置信区间为
σ σ X − u α / 2 ，X + uα / 2 n n
这样的置信区间可简写为
σ X ± uα / 2 n
P{ λ 1 < U < λ 2 } = 1 − α
(4) 利用不等式变形导出套住 θ 的置信区间( θ ，θ ) ,
那么(θ，θ )就是 θ 的一个置信水平为1 − α 的置信区间。
例 5.13
设 总体 X 服从指数分布，其概率 密度为
1 −x / θ e , x>0 f ( x; θ) = θ 0, 其它
例5.12 设总体 X ~ N(µ，σ ) ，σ 为已知，µ为未知。
2 2
( X 1 , L, X n )是来自总体 X 的样本，试求 µ 的1 − α 置
信区间。
解： 因为 X 为 µ 的最大似然估计，考虑 基于 X 的枢轴量
U=
X-µ σ/ n
~ N (0, 1)
对于事先给定的水平 (1 - α ) ，确定λ 1 和λ 2 ，使
2 χ1−α / 2 (n −1)
概率论与数理统计02-PPT5.3 依分布收敛的概念_49
数，二者有何关系？
进一步分析：
若X~B(n, p)进行标
准化处理后，其分布 函数有何趋势？
定义：设Xi，X2,…,Xn,…是随机变量序列，X为随机变量，和 F(x)分 别是％和X的分布函数，如果在F(x)的连续点x处均有
lim Fn (x )= F (x)
ns
则称随机变量序列Xi，X2,…,Xn,…依分布收敛于X。记为：
1500
[-----------------1------------------'------------------1-----------1--6-0--0-1 15UU [------------------------------------1------
----------------
A
故 Xn —X不成立
知识点名称：依分布收敛的概念 主讲人：杜鸿飞
§5.4依分布收敛的概念
引例1：
分别以各种分布为例, 模拟其和的分布
分析： 随着n的增大，和的分
布有何变化特点？
设X•独立同分
布
n
t Xi 〜？
i=1
n X，_-_ E
n
応
X
i=1
n
Xi
\ i=1
F〃 (X )= P 化 < 2〜
二項分 #B(10,0.5)
亠 Xn X
Xn —X n Xn —X 反之不然
例： "，我夜但不像榄卑权佻的反例 ]
设 Q = ｛仞,切2* P(d) = P(。2)=—
2
定义随机变量： X （仞）=一1, X （血）=1 X
P 令Xn（^） = - X伽），则彳与乂的分布律相同 Xn
从而今，备微相同
进一步分析：
若X~B(n, p)进行标
准化处理后，其分布 函数有何趋势？
定义：设Xi，X2,…,Xn,…是随机变量序列，X为随机变量，和 F(x)分 别是％和X的分布函数，如果在F(x)的连续点x处均有
lim Fn (x )= F (x)
ns
则称随机变量序列Xi，X2,…,Xn,…依分布收敛于X。记为：
1500
[-----------------1------------------'------------------1-----------1--6-0--0-1 15UU [------------------------------------1------
----------------
A
故 Xn —X不成立
知识点名称：依分布收敛的概念 主讲人：杜鸿飞
§5.4依分布收敛的概念
引例1：
分别以各种分布为例, 模拟其和的分布
分析： 随着n的增大，和的分
布有何变化特点？
设X•独立同分
布
n
t Xi 〜？
i=1
n X，_-_ E
n
応
X
i=1
n
Xi
\ i=1
F〃 (X )= P 化 < 2〜
二項分 #B(10,0.5)
亠 Xn X
Xn —X n Xn —X 反之不然
例： "，我夜但不像榄卑权佻的反例 ]
设 Q = ｛仞,切2* P(d) = P(。2)=—
2
定义随机变量： X （仞）=一1, X （血）=1 X
P 令Xn（^） = - X伽），则彳与乂的分布律相同 Xn
从而今，备微相同
高中数学 第5章 统计与概率 5.3 概率 5.3.4 频率与概率课件 b高一必修第二册数学课件
第二十页，共四十三页。
概率与频率的关系及求法
情
课
境 导
堂
【例 2】 下面的表中列出了 10 次抛掷硬币的试验结果，n 为 小
学
结
·
探 每次试验抛掷硬币的次数，m 为硬币正面向上的次数．计算每次试 提
新
素
知 验中正面向上的频率，并考察它的概率．
养
·
·
合
试验序号 抛掷次数(n) 正面向上次数(m) 正面向上的频率
素 养
·
·
合
则取到号码为奇数的频率是( )
课
作
探
A．0.53
究
B．0.5
时 分
层
释
C．0.47
D．0.37
作
疑
难
A [取到号码为奇数的频率是10＋8＋160＋0 18＋11＝0.53.]
业 返
首
页
12/8/2021
第十二页，共四十三页。
·
情
课
境
堂
导
4．(一题两空)在一次掷硬币试验中，掷 30 000 次，其中有 14 984 小
情
课
境
[跟进训练]
导
堂 小
学
结
探
1．某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图
·
提
新
素
知 所示)，并规定：顾客购物 10 元以上就能获得一次转
养
·
合 动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就
课
作
探 可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计
究
时 分
层
释 数据．
作
疑
业
难
·
返 首 页
概率与频率的关系及求法
情
课
境 导
堂
【例 2】 下面的表中列出了 10 次抛掷硬币的试验结果，n 为 小
学
结
·
探 每次试验抛掷硬币的次数，m 为硬币正面向上的次数．计算每次试 提
新
素
知 验中正面向上的频率，并考察它的概率．
养
·
·
合
试验序号 抛掷次数(n) 正面向上次数(m) 正面向上的频率
素 养
·
·
合
则取到号码为奇数的频率是( )
课
作
探
A．0.53
究
B．0.5
时 分
层
释
C．0.47
D．0.37
作
疑
难
A [取到号码为奇数的频率是10＋8＋160＋0 18＋11＝0.53.]
业 返
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第十二页，共四十三页。
·
情
课
境
堂
导
4．(一题两空)在一次掷硬币试验中，掷 30 000 次，其中有 14 984 小
情
课
境
[跟进训练]
导
堂 小
学
结
探
1．某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图
·
提
新
素
知 所示)，并规定：顾客购物 10 元以上就能获得一次转
养
·
合 动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就
课
作
探 可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计
究
时 分
层
释 数据．
作
疑
业
难
·
返 首 页
概率论与数理统计-第五章
【数理统计简史】
1. 近代统计学时期
18 世纪末到 19 世纪，是近代统计学时期．这一 时期的重大成就是大数定律和概率论被引入统计 学．之后最小二乘法、误差理论和正态分布理论 等相继成为统计学的重要内容．这一时期有两大 学派：数理统计学派和社会统计学派．
【数理统计简史】 数理统计学派始于19世纪中叶，代表人物是比 利时的凯特莱（ A.Quetelet ， 1796-1874 ），著有 《概率论书简》《社会物理学》等，他主张用研 究自然科学的方法研究社会现象，正式把概率论 引入统计学，并最先用大数定律证明了社会生活 中随机现象的规律性，提出了误差理论．凯特莱 的贡献，使统计学的发展进入个了一个新的阶 段．
i =1 36
1 2 2 3 2 2 2 2 D( X ) = E ( X ) − E ( X ) = ( 0 + 1 + 2 + 3 ) − 4 2 5 = 4
2
二、样本与抽样 由于X1，X2，...，X36均与总体X同分布，且相互独 立，所以，Y的均值和方差分别为
E (Y ) = E ( ∑ X i ) = 36 E ( X ) = 54,
【数理统计简史】 18世纪到 19世纪初期，高斯从描述天文观测的 误差而引进正态分布，并使用最小二乘法作为估 计方法，是近代数理统计学发展初期的重大事件， 对社会发展有很大的影响．
【数理统计简史】 用正态分布描述观测数据的应用是如此普遍，以 至 在 19 世 纪 相 当 长 的 时 期 内 ， 包 括 高 尔 顿 （ Galton ）在内的一些学者，认为这个分布可用 于描述几乎是一切常见的数据．直到现在，有关 正态分布的统计方法，仍占据着常用统计方法中 很重要的一部分．最小二乘法方面的工作，在 20 世纪初以来，经过一些学者的发展，如今成了数 理统计学中的主要方法．
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2
0 0 1 0 0 2 0 1 0 1 1 2 0 2 0 1 2 0 2 1 1 2 1 2 1 2 2
3
0 1 0 0 2 0 0 0 1 1 2 1 2 0 1 0 2 2 0 1 2 1 1 2 2 1 2
1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 2
19 27 7 27 1 27
0 1 2
0
0
7 27
0
13 27
9 19 13 P 1 0 P 2 1 27 27 27 所以，一般来说，次序统计量(1) , (2) ,, (n) 之间不是两 P 1 0, 2 1
7 27
例1 设 1 , 2 , 3为取自母体 的一个容量为3的子
的分布列为 样，
0
1 3
1
1 3
2
1 3
p
现在把子样1 , 2 , 3 与它们所构成的次序统计
量 (1) , (2) , (3) 的一切可能观测值列于下表中．
1
0 0 0 1 0 0 2 1 1 0 0 0 1 1 2 2 0 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2
推论2 最小次序统计量的密度函数为
n 1 n 1 F ( y ) f ( y ), a y b, g1 ( y ) 其它. 0,
定理2 设母体 有密度函数 f ( x) 0, a x b （这里 可设 a , b ），并且1, 2 ,, n为取自母体的一个
4! 2 2 2 4 3 y 1 y 2 y, 0 y 1, 2!1! 0, 其它,
5 2 24 y 1 y , 0 y 1, 0, 其它.
分布函数为
0 , y 0, 6 G3 ( y ) y (4 3 y 2 ), 0 y 1, 1 , y 1.
2
0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2
3
0 1
1
1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2
从而 （1）次序统计量 (1) , (2) , (3) 的分布列分别为
1 ) 2
（3 ）
2 4 1 y 2 y, 0 y 1, 4 g4 ( y) 0, 其它.
（3）求 （） 1 , （） 4 的密度
n 1 n F ( y ) f ( y), a y b, gn ( y) 其它. 0,
子样，则其任意两个次序统计量 ( (i ) , ( j ) ) 的联合密度
函数为
n! i 1 j i 1 n j F ( y ) F ( z ) F ( y ) 1 F ( z ) f ( y) f ( z ), a y z b, gij ( y, z ) (i 1)!( j i 1)!(n j)! 0, 其它.
1
0
7 27
1
9 27 4 27
2
3 27 3 27
1 27
3
1
0
1 27
1
6 27 1 27
2
12 27 6 27
1 27
0
1
0
1
0
0 0
2
0
0
2
0
结论：任意两个次序统计量的联合分布也是不相同的．
（3 ）
1
2
0
7 27
1
9 27 4 27
2
3 27 3 27 1 27
第
五
章
数理统计的基本概念
§5.3 次序统计量
主要内容
一、次序统计量的定义 二、次序统计量的分布
一、次序统计量的定义
设 1 , 2 ,, n 为取自母体 ~ F ( x) 的一个子样， 且 x1 , x2 ,, xn表示这子样的一组观测值，这些值由小 到大排列用 x(1) , x(2) ,, x(n)表示，即 x(1) x(2) x(n) ， 若其中有两个分量 xi , x j 相等，它们先后次序的安排 是可以任意的． 定义 第i个次序统计量 ( i )是上述子样1 , 2 ,, n这 样的一个函数，不论子样 1 , 2 ,, n 取得怎样一组观 测值 x1 , x2 xn ，它总是取其中的 x(i ) 为观测值．
两独立的，更不相互独立．
结论：任意两个次序统计量之间不独立．
二、次序统计量的分布
当总体分布类型已知时，各种次序统计量的 分布原则上都可以写出，下面就总体分布是连续 型的情形，写出次序统计量的密度函数和联合密
度函数。
定理1 设母体 b（这里 可设 a , b )，并且 1, 2 ,, n 为取自母体的一个 子样，则第i个次序统计量 (i ) 的密度函数为
1 （2 ） P( 3 ) ；
（3） 的密度函数； , （ 1） （4）
（4 ） ( , ) 的联合密度函数. （ 1） （4）
2
解 （1）母体 的分布函数为
0, x 0, F ( x) x 2 , 0 x 1, 1, x 1.
2 x, 0 x 1, f ( x) 0, 其它.
由公式得 （3） 的密度函数：
2 4 3 4! 2! 4 3 ! F y 1 F y f y , 0 y 1, g3 ( y ) 0, 其它.
n! i 1 n i F ( y ) 1 F ( y ) f ( y), a y b g i ( y) (i 1)!(n i)! 0 , 其他
n! i 1 n i F ( y) 1 F ( y) f ( y), a y b, gi ( y) (i 1)!(n i )! 0, 其他.
证 （略）.
推论1 最大次序统计量的密度函数为
n 1 n F ( y ) f ( y ), a y b, gn ( y) 其它. 0,
n 1 n 1 F ( y ) f ( y), a y b, g1 ( y) 其它. 0,
2 2 4 2 4 3 z y 2 y 2 z, 0 y z 1, g14 ( y, z ) 0, 其它, 2 2 2 48 yz z y , 0 y z 1, 0, 其它.
(1)
0
19 27
1
7 27
2
1 27
p
( 2)
0
7 27
1
13 27
2
7 27
p
(3)
0
1 27
1
7 27
2
19 27
p
结论：次序统计量 (1) , (2) , (3)各自的分布是不相同的．
（2）（(1) ,(2) ）与（(1) ,(3) ）的联合分布分别为
2
证 （略）.
例2 设母体 的密度函数
2 x, 0 x 1, f ( x) 0, 其它.
并且 （ 1） （2） （3） （4）为从 中取出的容量为4的
子样的次序统计量.求：
（1） 的密度函数为g 3 ( x) 和分布函数 G3 ( x) ； （3）
（2）求：P (
（2）概率
1 1 1 1 243 P ( (3) ) 1 G3 ( ) 1 ( )6 4 3( ) 2 . 2 2 2 2 256
0 , y 0, 3 G3 ( y ) y 6 (4 3 y 2 ), 0 y 1, 1 , y 1.
显然对于容量为n的子样可以得到n个次序统计 量，其中 (1)称做最小次序统计量， ( n )称做最大次序 统计量． 说明 由于每个( k )都是样本(1 , 2 , , n )的函数,
所以, (1) , (2) ,, ( n )也都是随机变量.
如果 1, 2 ,, n 来自同一母体的n个相互独 立随机变量，那么次序统计量(1) , (2) ,, (n) 是 否也相互独立呢？
n! i 1 j i 1 n j F ( y ) F ( z ) F ( y ) 1 F ( z ) f ( y) f ( z ), a y z b, gij ( y, z) (i 1)!( j i 1)!(n j)! 0, 其它.
8 y 7 , 0 y 1, 其它. 0,
2 4 1 4 1 y 2 y, 0 y 1 g1 ( y ) 0 其它 2 3 8 y 1 y , 0 y 1 0 其它 ( , ) 的联合密度函数为 （ 1） （4） （4 ）