工程流体力学 第二章

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2.2.2 欧拉法
或以矢量形式简洁表示为：
v vxi vy j vzk v( x, y, z, t )
同样地，在欧拉法中，流体的其他运动参数 或物理量（无论矢量或标量）均可表示为：
( x, y , z , t )
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2.2.3 两种方法的关系
拉格朗日法和欧拉法两种不同表示方法在数 学上是可以互换的。两种方法之间的互换就 是拉格朗日变量和欧拉变量之间的数学变换。
( x , y , z , t ) t
只反映 在空间点（x,y,z) 处的时间变化特性 （即不同时刻经过该空间点的流体质点具有不 同的 ），不代表同一质点物理量的变化，所 以不是质点导数。
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2.2.4 质点导数
( x , y , z , t ) t
反映了物理量在空间点（x,y,z)处的时间变化 特性，故可用来判定流场是否是稳态流场， 若是稳态的，则
对于稳态流动，则有：
v vx v y vz 0或 0 t t t t
对于任意流体物理量 流动条件下均有： ，稳态
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2.1.2流动分类
流体流动的稳态或
非稳态与所选定的 参考系有关。
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2.1.2流动分类
（2）按空间变化特性分类： 一维流动、二维流动和三维流动
一维流动：流体速度只与一个坐 标自变量有关的流动；
或以速度分量表示为： dx vx v x ( a, b, c, t ) dt dy vy v y ( a, b, c, t ) dt dz vz v z ( a, b, c, t ) dt
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2.2.1 拉格朗日法
一般地，流体任意运动参数或物理量（无 论矢量或标量）都同样可表示成拉格朗日 变量函数：
向都与其所在点处曲线的切线方向一致。
t=t1的流线
Va
a
b
Va
c
Vb
b
Vc
c
t1+ 2Δt
Vc
a t1
Vb
流线
a t1+ Δt
a百度文库
质点a的轨迹
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2.3.2 流线
流线的性质：
除速度为零或无穷大的特殊点外，经过空
间一点只有一条流线，即流线不能相交， 因为每一时刻空间点只能被一个质点所占据， 只有一个速度方向。
稳态流动，流场内各空间点的流体运动参
数均与时间无关；或称为定常流动；反之， 则称为非稳态流动或非定常流动；
稳态流动，流场内的速度表达式
v x v x ( x, y , z , ) v y v y ( x, y , z , ) v z v z ( x, y , z , )
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2.1.2流动分类
的有限空间或微元空间作为研究对象，通过
研究该空间的流体运动及其受力，建立相应动
力学关系。
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2-1 流场及流动分类
流场的概念 流场所占据的空间。为描述流体在流场内各 点的运动状态，将流体的运动参数表示为流 场空间坐标（x,y,z)和时间t的函数。
v v( x, y, z, t ) vx i v y j vz k
(a, b, c, t )
( x, y , z , t )
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2.2.3欧拉表达式变换为拉格朗日
已知欧拉法描述的速度场：u=x,v=-y和 初始条件： x=a,y=b. 求速度和加速度的拉格朗日描述。
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2.2.3欧拉表达式变换为拉格朗日表达式
已知流场速度和压力分布为：
xy v vxi v y j vz k i yj ztk t 1 e At 2 p 2 x y2 z2
( x, y , z , t )
a a ( x, y , z , t ) b b( x, y, z, t ) c c( x, y , z , t )
( x, y , z , t )
(a, b, c, t )
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2.2.3 拉格朗日表达式转化为欧拉法
已知拉格朗日描述： x aet , y bet
x x(a, b, c, t ) y y (a, b, c, t ) z z (a, b, c, t )
从参数中消去t,就可以得到以x,y,z 表示的流 体质点（a,b,c)的迹线方程。
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2.3 迹线和流线-迹线
欧拉法中，可根据所给出的欧拉变量的速度 表达式得到迹线微分方程，即：
dx v x (a, b, c, t ) dt dy v y (a, b, c, t ) dt dz vz (a, b, c, t ) dt
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2.1.2流动分类
据流体流动的时间变化特性 稳态流动和非稳态流动， 据流体流动的空间变化特性 一维、二维和三维 流体的内部流动结构 层流流动和湍流流动 流体的物性变化 黏性流体流动和理想流体流动
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2.1.2 流动分类
流体的物性变化
可压缩流体和不可压缩流体
流体的运动特征
有旋流动和无旋流动
引发流动的力学因素
压差流动 重力流动 剪切流动
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2.1.2 流动分类
流场的边界特征
内部流动和外部流动（绕流流动、明渠流动）
流体速度的大小
亚声速流动和超声速流动
流体速度沿流动方向的变化
发展中流动 充分发展流动
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2.1.2流动分类
按时间变化特征：稳态流动和非稳态流动
x x(c1, c 2, c3, t ) y y (c1, c 2, c3, t ) z z (c1, c 2, c3, t )
t t0时，a x0
b y0 c z0
c1, c2 , c3
x x(a, b, c, t ) y y (a, b, c, t ) z z (a, b, c, t )
v x a x t a x (a, b, c, t ) v y a y (a, b, c, t ) a y t a v z a (a, b, c, t ) z z t
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2.2.4 质点导数
速度的质点导数（即加速度）用矢量形式表 示为：
x x(a, b, c, t ) y y (a, b, c, t ) z z (a, b, c, t )
其中，a, b ,c ,t 统称为拉格朗日变量。 流体质点的运动轨迹也可用流体质点任意时刻 的空间位置矢径r表示为：
r xi yj zk r (a, b, c, t )
工程流体力学
张娟霞
2014年8月7日
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第2章 流体流动的基本概念 2-1 流场及流动分类
2-2 描述流体运动的两种方法 2-3 迹线和流线 2-4 流体的运动与变形 2-5流体的流动与阻力
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第2章 流体流动的基本概念
流体运动的特点：
流体无确切形状，在流动过程中除了平动和转 动外，还有连续不断的变形，故运动的描述要 考虑变形速率问题（其变形与时间的关系）； 流体流动的研究，通常中流场中选择相对固定
二维流动或三维流动：与两个或 三个坐标自变量有关的流动。
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2.2 描述流体运动的两种方法
拉格朗日法：通过研究流场中单个流体质点
的运动规律，进而研究流体的整体运动规律； （沿流体质点的轨迹进行跟踪研究；）
欧拉法：通过研究流场中某一空间点的流体 运动规律，进而研究流体的整体运动规律。
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2.2.1 拉格朗日法
以上两式是分量形式和矢量形式的流体质点运 动轨迹方程（迹线方程）
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2.2.1 拉格朗日法
以迹线方程为基础，流体质点的速度可用拉格朗 日变量表示为：
dr dx dy dz v i j k v xi v y j v z k v (a , b, c, t ) dt dt dt dt
v y v z v v x a i j k a x i a y j a z k a(a, b, c, t ) t t t t
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2.2.4 质点导数
以欧拉变量表示的物理量的质点导数：
物理量反映的是流场中某确定 在欧拉法中， 空间点（x,y,z)处的物理量，其随时间t的变化：
求以拉格朗日变量表示的质点速度和压力 （t=0时的质点的x=a,y=b,z=c。
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例2-1
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2.2.4 质点导数
质点导数：流体质点的物理量对于时间的变 化率称为该物理量的质点导数。 以拉格朗日变量表示的物理量的质点导数
( a, b, c, t ) t
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2.2.4 质点导数
速度的质点导数（即加速度）为：
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2.3.2 流线
流线的性质：
流场中每一点都有流线通过，所有流线形成
流线谱；
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2.3.2 流线
流线的形状和位置随时间而变化，但稳态
流动时流线的形状和位置不随时间变化；
拉格朗日法： 特点: 跟着所选定的流体质点,观察它的位移. 要想跟踪某个确定的流体质点的运动,就必须找到 一个表征这个质点的办法,以使它和其他质点区分 开来.通常用流体质点在初始时刻t=t0的空间位置 坐标(a,b,c)作为区分不同流体质点的标记。
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2.2.1 拉格朗日法
拉格朗日法： （迹线方程）
从拉格朗日表达式变换为欧拉表达式：着手点 是流体质点的迹线方程。
(a, b, c, t )
( x, y , z , t )
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2.2.3 拉格朗日表达式转化为欧拉法
从拉格朗日表达式变换为欧拉表达式：着手点 是流体质点的迹线方程。
(a, b, c, t )
x x(a, b, c, t ) y y (a, b, c, t ) z z (a, b, c, t )
(a, b, c, t )
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2.2.2 欧拉法
欧拉法的着眼点是在确定的空间点上来考察流体
的流动，将流体的运动或物理参数直接表示为空
间坐标（ x,y,z) 和时间 t 的函数，其中坐标变量
（ x,y,z) 称为欧拉变量，欧拉法表示的流体速度 表示为：
v x v x ( x, y , z , t ) v y v y ( x, y , z , t ) v z v z ( x, y , z , t )
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2-1 流场及流动分类
或用分量形式表示为： v x v x ( x, y , z , t )
v y v y ( x, y , z , t ) v z v z ( x, y , z , t )
意义： 流体速度v随流场空间点（x,y,z)不同而变化; 流场空间各点（x,y,z)处的流体速度v又随时间而 变化； 据连续介质概念，流场空间各点总被流体质点所 占据，所以t时刻空间点（x,y,z)处的速度v就是该时 刻流经该点的流体质点的速度。
解微分方程，可得迹线参数方程；消去t,可
得到以x,y,z 表示的迹线方程。
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2.3 迹线和流线-迹线
例：流体质点的迹线
已知用欧拉法表示的速度场，v=Axi-Ayj,其 中A为常数，求流体质点的迹线方程。
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2.3.2 流线
流线的定义：流线是任意时刻流场中存在的 一条曲线，该曲线上各流体质点的速度方
1、水头不变情况下：时间变化时的局部加速度情况
2、水头变化情况下，局部加速度和传输加速度
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2.2.4 质点导数
欧拉法中任意物理量的质点导数可以写成：
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例2-3
流体质点的速度和加速度 给定欧拉速度场
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2.3 迹线和流线-迹线
迹线：流体质点的运动轨迹曲线。
拉格朗日法中，以（a,b,c)为质点身份标记 的时间参数方程，即：
( x, y, z, t ) 0 t
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2.2.4 质点导数
欧拉法表示的速度质点导数-加速度为：
v v v v v v a lim v v vx vy vz t 0 t t t x y z
局部加速度
传输加速度 对流加速度
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欧拉法的局部加速度和传输加速度
求速度和加速度的欧拉法描述。
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2.2.3欧拉表达式变换为拉格朗日
从欧拉表达式变换为拉格朗日表达式：着手点 是流体质点的迹线微分方程。
( x, y , z , t )
(a, b, c, t )
dx v x v x ( x, y , z, t ) dt dy v y v y ( x, y , z , t ) dt dz v z v z ( x, y , z, t ) dt