高中数学新人教版必修2教案：第4章 4.2.2 圆与圆的位置关系 4.2.3 直线与圆的方程的应用(附答案)
高中数学人教A版必修2《4.2.2圆与圆的位置关系》教案5
必修二圆与圆的位置关系教学内容分析1、《圆》的地位与作用《课程标准》指出：在“解析几何初步”这个单元, “学生将在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，运用代数方法研究几何性质，体会数形结合的思想”。
第四章《圆》是在学生学习了第三章《直线方程》之后，对“解析法”的思想的进一步学习。
初中的教学中已经初步介绍了圆的基础知识，再次学习的时候，不仅要让学生能够使用“解析法“的工具，更要体会这种方法的优越性和必要性。
2、本节课的地位与作用“圆与圆的位置关系”位于“解析几何初步”这个单元的末尾，应该起到三个作用：（1）完善圆的知识体系；（2）升华数形结合思想；（3）为后续教学做准备。
教学目标设置1.学生掌握判断两个圆的位置关系的方法，能够根据给定的圆的方程判断圆与圆的位置关系2.学生理解两种判断方法的数学本质与不同的适用范围，从而进一步感受“几何问题代数化”得以实现的数学本质，也就是曲线与方程的关系。
其中教学的重点是：圆与圆的位置关系的两种判定方法的操作步骤；教学的难点是：两种判断方法的数学本质与适用范围学生学情分析此时的学生处于从初中到高中的转型期，常常感觉旧的学习方法不适于学习更加抽象的高中知识，所以，他们不仅需要透彻理解数学原理，而且，对学习方法也有渴求。
在本节课之前，学生已经学习了直线和圆的方程，直线与圆的位置关系，初步了解了“坐标法”的特征。
教学策略分析为了实现教学目标，我设计了“三层四段五问”教学模式。
1、准备阶段，包括预习、复习、目标展示等环节；2、探究阶段。
这是课堂的主体，解决是什么、怎么用、何时用的问题。
3、运用阶段，包括模仿练习、比较练习、巩固练习等。
我将它们穿插在问题解决的过程中。
4、建构阶段，包括为什么学和怎样发展两个问题，使得新知识融入旧的知识体系，并促进知识体系的再生长。
“是什么、怎么用、何时用、为什么学和怎样发展”等五个问题，对应着数学知识学习的三个层次：数学工具品质、认知品质和研究品质。
必修2 4.2.2 圆与圆的位置关系 教学设计
第四章 圆与方程4.2.2 圆与圆的位置关系高中数学必修2（人教A 版）第四章4.2.2圆与圆的位置关系一节，本节课是在前面已学习直线方程与圆的方程基础上，通过方程思想与几何法判定圆与圆的位置关系，培养学生方程思想和数形结合的思想方法。
重点：掌握用几何法和解析法判断圆与圆的位置关系。
难点：灵活地运用“数形结合”、解析法来解决直线与圆的相关问题。
【问题导思】对于圆与圆的位置关系，是在将两圆放在同一平面内运动状态下，通过观察、分析、比较、判断得到平面上两圆位置关系有五种.1．如何利用两圆的半径和圆心距的关系判定圆与圆的位置关系？2．已知两圆的方程，能否用方程组的观点来判断两圆的位置关系？如何判断？【知识讲解】圆与圆位置关系的判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r 1、r 2，两圆的圆心距为d ，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离 外切 相交 内切 内含 图示d 与r 1、r 2的关系 d >r 1＋r 2 d ＝r 1＋r 2 |r 1－r 2|<d <r 1＋r 2 d ＝|r 1－r 2| d <|r 1－r 2|(2) ⎭⎪⎬⎪⎫圆C 1方程圆C 2方程――→消元 一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0⇒相交Δ＝0⇒内切或外切Δ<0⇒外离或内含【知识运用】▶例1已知两圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋4y －2＝0，C 2：x 2＋y 2－2x －8y －8＝0，判断圆C 1与圆C 2的位置关系． ▶课堂练习两圆x 2＋y 2＝a 与x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0内切，求a 的值．▶例2 已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．▶课堂练习1. 两圆相交于点A (1,3)，B (m ，－1)，两圆的圆心均在直线l ：x －y ＋c ＝0上，则m ＋c ＝________.2. 已知两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0.(1)试用几何法证明两圆相交；(2)求公共弦所在的直线方程；(3)求公共弦的长度．▶例3已知P (－1,2)为圆x 2＋y 2＝8内一定点．(1)求过点P 且被圆所截得的弦最短的直线方程；(2)求过点P 且被圆所截得的弦最长的直线方程．▶课堂练习1. 求过直线2x ＋y ＋4＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的交点，且面积最小的圆的方程．2. 点P 在圆x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是________．【课堂小结】判断圆与圆位置关系的方式通常有代数法和几何法两种，其中几何法较为简便。
高中数学人教版必修圆与圆的位置关系教案(系列四)
程
及
方
法
教 （1）通过两个圆的位置关系的判断，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ学到了什么？
学 （2）判断两个圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？
小 （3）如何利用两个圆的相交弦来判断它们的位置关系？
难点 用坐标法判断圆与圆的位置关系．
问题与情境及教师活动
学生活动
过程与方法： 教
1． 初中学过的平面几何中，圆与圆的位置关系有几类？
学 教师：引导学生回忆、举例，并对学生活动进行评价； 学生：回顾知识点时，可互相交流．
过 2．判断两圆的位置关系，你有什么好的方法吗？
教师：引导学生阅读教科书中的相关内容，注意个别辅导，解答 程 学生疑难，并引导学生自己总结解题的方法．
4.2.2 圆与圆的位置关系
备课人
授间
课题
课标要求 利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；
知识目标
理解圆与圆的位置的种类
教
利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线
学
技能目标
长； 目
让学生通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养
标
情感态度价值观
学生数形结合的思想．
重点 用坐标法判断圆与圆的位置关系．
学生：观察图形并思考，发表自己的解题方法． 及
3．例 3
你能根据题目，在同一个直角坐标系中画出两个方程所表示的圆 方
吗？你从中发现了什么？
法
教师：应该关注并发现有多少学生利用“图形”求，对这些学生
应该给予表扬．同时强调，解析几何是一门数与形结合的学科．
高中数学：4.2.2《圆与圆的位置关系》教案(新人教A必修2)
4..2.2圆与圆的位置关系教学目的：让学生掌握用解方程组法或求圆心之间距离与两圆半径之和、两圆半径之 差之间的关系判断圆与圆的位置关系。
教学重点：圆与圆位置关系的判断。
教学难点：圆与圆位置关系的判断。
教学过程一、复习提问初中学过圆与圆有几种位置关系？怎样用数量关系表示圆与圆的位置关系？ 设两圆半径为r 1，r 2，圆心距为d ，关系如下表（用数轴也可以表示）。
外离 外切 相交 内切 内含d ＞r 1＋r 2 d ＞r 1＋r 2 r 1－r 2＜d ＜r 1＋r 2 d ＝r 1－r 2 d ＜r 1＋r 2二、新课例3、已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋8y －8＝0，圆C 2：x 2＋y 2－4x －4y －2＝0，试判 断圆C 1与圆C 2的关系。
解法一：圆C 1与圆C 2的方程联立，得到方程组： 22①－②，得：x ＋2y －1＝0，即y ＝21x 代入①，并整理，得： x 2－2x －3＝0此方程的判别式：△＝16＞0方程有两个不同的实数根，所以两圆有两个公共点，解上述方程，可求得两个交点坐标。
解法二：把圆C1化成标准方程：（x＋1）2＋（y＋4）2＝25，圆心为点（－1，－4），半径为5圆C2化成标准方程：（x－2）2＋（y－2）2＝10，圆心为点（2,2），半径为10两圆的连心线长（圆心距）为：22)2-+-＝35-(-41()2两圆半径之和：r1＋r2＝5＋10两圆半径之差：r1－r2＝5－10因为5－10＜35＜5＋10，即r1－r2＜35＜r1＋r2所以，两圆相交，有两个公共点解答此题之前，也可以根据圆心和半径画出两个圆的草图，看两圆有无交点，对解题有一定的帮助。
练习：P141作业：P1444、5、6、7。
高中数学人教版必修2 4.2.2圆与圆的位置关系 教案(系列二)
4.2.2 圆与圆的位置关系整体设计教学分析本节课研究圆与圆的位置关系,重点是研究两圆位置关系的判断方法,并应用这些方法解决有关的实际问题.教材是在初中平面几何对圆与圆的位置关系的初步分析的基础上结合前面学习的点与圆、直线与圆的位置关系,得到圆与圆的位置关系的几何方法,用代数的方法来解决几何问题是解析几何的精髓,是平面几何问题的深化,它将是以后处理圆锥曲线的常用方法.因此,增加了用代数方法来分析位置关系,这样有利于培养学生数形结合、经历几何问题代数化等解析几何思想方法及辩证思维能力,其基本思维方法和解决问题的技巧对今后整个圆锥曲线的学习有着非常重要的意义.根据学生的基础,学习的自觉性和主动性,自主学习和探究学习能力,平时的学习养成的善于观察、分析和思考的习惯,同时由于本节课从内容结构与思维方法上与直线与圆的位置关系相似,学生对上节课内容掌握较好,从而本节课从学生学习的角度来看不会存在太多的障碍,因而教学方法可以是引导学生从类比直线与圆位置关系来自主研究圆与圆的位置关系.三维目标使学生理解并掌握圆和圆的位置关系及其判定方法.培养学生自主探究的能力.通过用代数的方法分析圆与圆的位置关系,使学生体验几何问题代数化的思想,深入了解解析几何的本质,同时培养学生分析问题、解决问题的能力,并进一步体会数形结合的思想.重点难点教学重点：求弦长问题,判断圆和圆的位置关系.教学难点:判断圆和圆的位置关系.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.平面几何中,圆与圆的位置关系有哪几种呢？如何判断圆与圆之间的位置关系呢？判断两圆的位置关系的步骤及其判断方法如下:第一步：计算两圆的半径R,r；第二步：计算两圆的圆心距OO2,即d；第三步：根据d与R,r之间的关系,判断两圆的位置关系.1两圆的位置关系：在解析几何中,我们用代数的方法如何判断圆与圆之间的位置关系呢？这就是我们本堂课研究的课题,教师板书课题圆与圆的位置关系.思路2.前面我们学习了点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系,那么,圆与圆的位置关系有哪几种呢？如何判断圆与圆之间的位置关系呢？教师板书课题:圆与圆的位置关系.推进新课新知探究提出问题①初中学过的平面几何中,圆与圆的位置关系有几种？②判断两圆的位置关系,你有什么好的方法吗？③你能在同一个直角坐标系中画出两个方程所表示的圆吗？④根据你所画出的图形,可以直观判断两个圆的位置关系.如何把这些直观的事实转化为数学语言呢？⑤如何判断两个圆的位置关系呢？⑥若将两个圆的方程相减,你发现了什么？⑦两个圆的位置关系是否可以转化为一条直线与两个圆中的一个圆的关系的判定呢？活动：教师引导学生回顾学过的知识、举例,并对学生活动进行评价；学生回顾知识点时,可互相交流.教师引导学生阅读教科书中的相关内容,注意个别辅导,解答学生疑难,并引导学生自己总结解题的方法.学生观察图形并思考,发表自己的解题方法.教师应该关注并发现有多少学生利用“图形”求解,对这些学生应该给予表扬.同时强调,解析几何是一门数与形结合的学科.启发学生利用图形的特征,用代数的方法来解决几何问题.教师指导学生利用两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置.学生互相探讨、交流,寻找解决问题的方法,并能通过图形的直观性,利用平面直角坐标系的两点间距离公式寻求解题的途径.讨论结果：①初中学过的平面几何中,圆与圆的位置关系有五类,分别是外离、外切、相交、内切、内含.②判断两圆的位置关系,我们可以类比直线与圆的位置关系的判定,目前我们只有初中学过的几何法,利用圆心距与两圆半径的和与差之间的关系判断.③略.④根据所画出的图形,可以直观判断两个圆的位置关系.用几何的方法说就是圆心距(d)与两圆半径(r,R)的和与差之间的关系.⑤判断两个圆的位置关系.一是可以利用几何法,即两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置关系.设两圆的连心线长为l,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：1°当d＞R+r时,圆C1与圆C2外离；2°当d=R+r时,圆C1与圆C2外切；3°当|R-r|＜d＜R+r时,圆C1与圆C2相交；4°当d=|R-r|时,圆C1与圆C2内切；5°当d＜|R-r|时,圆C1与圆C2内含；二是看两圆的方程组成的方程组的实数解的情况,解两个圆的方程所组成的二元二次方程组.若方程组有两组不同的实数解,则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解,则两圆相切；若无实数解,两圆相离.总结比较两种方法的优缺点.几何方法：直观,容易理解,但不能求出交点坐标.代数方法：1°只能判断交点,并不能准确的判断位置关系(有一个交点时不能判断内切还是外切,无交点时不能判断内含还是外离).2°优点是可以求出公共点.⑥若将两个圆的方程相减,得到一个一元一次方程,既直线方程,由于它过两圆的交点,所以它是相交两圆的公共弦的方程.⑦两个圆的公共点的问题可以化归为这条公共直线与两个圆中的一个圆的公共点的判定问题.由点到直线的距离公式来判断.应用示例思路1例1 已知圆C1：x2+y2+2x+8y-8=0,圆C2：x2+y2-4x-4y-2=0,判断两圆的位置关系.活动:学生思考交流,教师引导提示,判断两圆的位置关系有两种基本的方法,要合理使用.方法一看两圆的方程组成的方程组的实数解的情况,方法二利用圆心距与两圆半径的和与差之间的关系判断.解:方法一:圆C 1与圆C 2的方程联立得到方程组⎪⎩⎪⎨⎧=---+=-+++)2(.0244)1(,08822222y x y x y x y x①-②得x+2y-1=0, ③ 由③得y=21x +,把上式代入①并整理得x 2-2x-3=0. ④ 方程④的判别式Δ=(-2)2-4×1×(-3)=16＞0,所以方程④有两个不等的实数根,即圆C 1与圆C 2相交.方法二:把圆C 1:x 2+y 2+2x+8y-8=0,圆C 2:x 2+y 2-4x-4y-2=0,化为标准方程,得(x+1)2+(y+4)2=25与(x-2)2+(y-2)2=10.圆C 1的圆心是点(-1,-4),半径长r 1=5;圆C 2的圆心是点(2,2),半径长r 2=10.圆C 1与圆C 2的连心线的长为22)24()21(--+--=35,圆C 1与圆C 2的半径长之和为r 1+r 2=5+10,半径长之差为r 1-r 2=5-10.而5-10＜35＜5+10,即r 1-r 2＜35＜r 1+r 2,所以圆C 1与圆C 2相交,它们有两个公共点A 、B.点评:判断两圆的位置关系,一般情况下,先化为标准方程,利用几何法判断较为准确直观. 变式训练判断下列两圆的位置关系,如果两圆相交,请求出公共弦的方程.(1)(x+2)2+(y-2)2=1与(x-2)2+(y-5)2=16,(2)x 2+y 2+6x-7=0与x 2+y 2+6y-27=0.解:(1)根据题意,得两圆的半径分别为r 1=1和r 2=4,两圆的圆心距d=22)25()2(2[-+--=5.因为d=r 1+r 2,所以两圆外切.(2)将两圆的方程化为标准方程,得(x+3)2+y 2=16,x 2+(y+3)2=36.故两圆的半径分别为r 1=4和r 2=6,两圆的圆心距d=23)03()30(22=-+-.因为|r 1-r 2|＜d ＜r 1+r 2,所以两圆相交.例2 已知圆C 1:x 2+y 2+2x-6y+1=0,圆C 2:x 2+y 2-4x+2y-11=0,求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.活动：学生审题,思考并交流,探讨解题的思路,教师及时提示引导,因两圆的交点坐标同时满足两个圆方程,联立方程组,消去x 2项、y 2项,即得两圆的两个交点所在的直线方程,利用勾股定理可求出两圆公共弦长.解:设两圆交点为A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2),则A 、B 两点坐标满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+=+-++)2(.01124)1(,01622222y x y x y x y x①-②,得3x-4y+6=0.因为A 、B 两点坐标都满足此方程,所以3x-4y+6=0即为两圆公共弦所在的直线方程. 易知圆C 1的圆心(-1,3),半径r=3.又点C 1到直线的距离为d=22)4(3|63431|-++⨯-⨯-=59. 所以AB=2524)59(322222=-=-d r ,即两圆的公共弦长为524. 点评:处理圆有关的问题,利用圆的几何性质往往比较简单,要注意体会和应用.思路2例1 求过点A(0,6)且与圆C:x 2+y 2+10x+10y=0切于原点的圆的方程.图1活动:学生思考交流,回顾圆的方程的求法,教师引导学生注意题目的条件,灵活处理,如图1.所求圆经过原点和A(0,6),且圆心应在已知圆的圆心与原点的连线上.根据这三个条件可确定圆的方程.解:将圆C 化为标准方程,得(x+5)2+(y+5)2=50,则圆心为C(-5,-5),半径为52.所以经过此圆心和原点的直线方程为x-y=0.设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2.由题意,知O(0,0),A(0,6)在此圆上,且圆心M(a,b)在直线x-y=0上,则有⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+-=-+-,0,)6()0(,)0()0(222222b a r b a r b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧===.23,3,3r b a于是所求圆的方程是(x-3)2+(y-3)2=18.点评:求圆的方程,一般可从圆的标准方程和一般方程入手,至于选择哪一种方程形式更恰当,要根据题目的条件而定,总之要让所选择的方程形式使解题过程简单.例2 已知⊙O 方程为x 2+y 2=4,定点A(4,0),求过点A 且和⊙O 相切的动圆圆心的轨迹方程. 活动：教师引导学生回顾学过的知识,两圆外切,连心线长等于两圆半径之和,两圆内切,连心线长等于两圆半径之差,由此可得到动圆圆心在运动中所应满足的几何条件,然后将这个几何条件坐标化,即得到它的轨迹方程.解法一：设动圆圆心为P(x,y),因为动圆过定点A,所以|PA|即为动圆半径.当动圆P 与⊙O 外切时,|PO|=|PA|+2；当动圆P 与⊙O 内切时,|PO|=|PA|－2.综合这两种情况,得||PO|－|PA||=2.将此关系式坐标化,得 |2222)4(y x y x +--+|=2.化简可得(x －2)2－32y =1. 解法二：由解法一可得动点P 满足几何关系||OP|－|PA||=2,即P 点到两定点O 、A 的距离差的绝对值为定值2,所以P 点轨迹是以O 、A 为焦点,2为实轴长的双曲线,中心在OA 中点(2,0),实半轴长a=1,半焦距c=2,虚半轴长b=322=-a c ,所以轨迹方程为(x －2)2－32y =1. 点评：解题的过程就是实现条件向结论转化的过程,对于圆与圆,要综合平面几何知识、解析几何、代数知识,将条件转化成我们熟悉的形式,利用常规思路去解,求点的轨迹更要注意平面几何的知识运用.知能训练课堂练习P练习题141课堂小结本节课主要学习了圆与圆的位置关系，判断方法：几何方法和代数方法. 作业习题4.2 A组8、9、10、11.。
人教版高中数学必修二 第四章 圆与方程4.2.2 圆与圆的位置关系 4.2.3 直线与圆的方程的应用
4.2.2 圆与圆的位置关系 4.2.3 直线与圆的方程的应用[学习目标] 1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法.2.能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题.3.体会用代数方法处理几何问题的思想.知识点一 圆与圆的位置关系及判定 1.圆与圆的位置关系圆与圆有五种位置关系，分别是外离、外切、相交、内切、内含. 外离和内含统称为相离；外切和内切统称为相切. 如图：2.圆与圆位置关系的判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r 1、r 2，两圆的圆心距为d ，则两圆的位置关系的判断方法如下：的关系d >r ＋r d ＝r ＋r|r －r |<d <r ＋rd ＝|r －r |d <|r －r |(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断.⎭⎪⎬⎪⎫圆C 1方程圆C 2方程――→消元一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0⇒相交Δ＝0⇒内切或外切Δ<0⇒外离或内含思考 当两个圆仅有一个公共点时，这两个圆一定外切吗？ 答 不一定，也有可能是内切.知识点二 用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”题型一 两圆位置关系的应用例1 已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0，圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，问：m 为何值时，(1)圆C 1与圆C 2外切？(2)圆C 1与圆C 2内含？ 解 将圆C 1、圆C 2的方程配方，得C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4. (1)若圆C 1与圆C 2外切，则有(m ＋1)2＋(－2－m )2＝3＋2， 即(m ＋1)2＋(m ＋2)2＝25，m 2＋3m －10＝0， 解得m ＝－5或m ＝2. (2)若圆C 1与圆C 2内含，则有(m ＋1)2＋(－2－m )2＜3－2， 即(m ＋1)2＋(m ＋2)2＜1，m 2＋3m ＋2＜0， 解得－2＜m ＜－1.反思与感悟 判断两圆的位置关系一般用几何法，用几何法判断两圆的位置关系的步骤： (1)分别计算两圆的半径长r ，R ； (2)计算两圆的圆心距d ；(3)根据d 与r ，R 之间的关系得出结论.跟踪训练1 已知圆C 1的方程为x 2＋y 2＋2x ＋4y －20＝0，圆C 2的方程为x 2＋y 2－4x ＋4y －2＝0，试判断圆C 1与圆C 2的位置关系.解 方法一 将圆C 1与圆C 2的方程联立，得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x ＋4y －20＝0，①x 2＋y 2－4x ＋4y －2＝0.②两式相减，得6x －18＝0，即x ＝3. 将x ＝3代入①或②，解得y 1＝－5，y 2＝1.因此圆C 1与圆C 2有两个不同的公共点，故两圆相交.方法二 把圆C 1的方程化成标准方程，得(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝25， ∴圆C 1的圆心坐标为(－1，－2)，半径长为r 1＝5.把圆C 2的方程化成标准方程，得(x －2)2＋(y ＋2)2＝10， ∴圆C 2的圆心坐标为(2，－2)，半径长为r 2＝10. ∵圆C 1与圆C 2的圆心距为(－1－2)2＋(－2＋2)2＝3， |r 1－r 2|＝5－10，r 1＋r 2＝5＋10，且5－10＜3＜5＋10， ∴|r 1－r 2|＜3＜r 1＋r 2，∴两圆相交. 题型二 与两圆相切有关的问题例2 求与圆x 2＋y 2－2x ＝0外切且与直线x ＋3y ＝0相切于点M (3，－3)的圆的方程. 解 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)， 则(a －1)2＋b 2＝r ＋1，① b ＋3a －3＝3，② |a ＋3b |2＝r .③ 联立①②③解得a ＝4，b ＝0，r ＝2，或a ＝0，b ＝－43，r ＝6，即所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝4或x 2＋(y ＋43)2＝36.反思与感悟 两圆相切时常用的性质有：①设两圆的圆心分别为O 1、O 2，半径分别为r 1、r 2，则两圆相切⎩⎪⎨⎪⎧内切⇔|O 1O 2|＝|r 1－r 2|，外切⇔|O 1O 2|＝r 1＋r 2.②两圆相切时，两圆圆心的连线过切点(两圆若相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦). 跟踪训练2 求与圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4相切于点A (4，－1)且半径为1的圆的方程. 解 设所求圆的圆心为P (a ，b )，则 (a －4)2＋(b ＋1)2＝1.①(1)若两圆外切，则有(a －2)2＋(b ＋1)2＝1＋2＝3，② 联立①②，解得a ＝5，b ＝－1，所以，所求圆的方程为 (x －5)2＋(y ＋1)2＝1；(2)若两圆内切，则有(a －2)2＋(b ＋1)2＝|2－1|＝1，③ 联立①③，解得a ＝3，b ＝－1，所以，所求圆的方程为 (x －3)2＋(y ＋1)2＝1. 综上所述，所求圆的方程为(x －5)2＋(y ＋1)2＝1或(x －3)2＋(y ＋1)2＝1. 题型三 与两圆相交有关的问题例3 已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.解 设两圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0， ①x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0 ②的解，①－②得：3x －4y ＋6＝0. ∵A ，B 两点坐标都满足此方程，∴3x －4y ＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程. 易知圆C 1的圆心(－1,3)，半径r 1＝3.又C 1到直线AB 的距离为d ＝|－1×3－4×3＋6|32＋(－4)2＝95.∴|AB |＝2r 21－d 2＝232－⎝⎛⎭⎫952＝245.即两圆的公共弦长为245.反思与感悟 1.两圆相交时，公共弦所在的直线方程若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0. 2.公共弦长的求法(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.跟踪训练3 已知圆C 的圆心为(2,1)，若圆C 与圆x 2＋y 2－3x ＝0的公共弦所在直线过点(5，－2)，求圆C 的方程.解 设圆C 的半径长为r ，则圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 2， 即x 2＋y 2－4x －2y ＋5＝r 2， 两圆的方程相减，得公共弦所在的直线的方程为x ＋2y －5＋r 2＝0. 因为该直线过点(5，－2)，所以r 2＝4， 则圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4. 题型四 直线与圆的方程的实际应用例4 设有半径长为3 km 的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，甲向东前进而乙向北前进，甲离开村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落边界的方向前进，后来恰好与乙相遇.设甲、乙两人的速度都一定，且其速度比为3∶1，问：甲、乙两人在何处相遇？解 如图所示，以村落中心为坐标原点，以东西方向为x 轴，南北方向为y 轴建立平面直角坐标系. 设甲向东走到D 转向到C 恰好与乙相遇，CD 所在直线的方程为x a ＋yb＝1(a ＞3，b ＞3)，乙的速度为v ，则甲的速度为3v .依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧|ab |a 2＋b 2＝3，a 2＋b 2＋a 3v＝bv .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝3.75.所以乙向北前进3.75km 时甲、乙两人相遇.反思与感悟 坐标法是研究与平面图形有关的实际问题的有效手段，因此要建立适当的平面直角坐标系，用直线与圆的方程解决问题.建立平面直角坐标系时要尽可能有利于简化运算.跟踪训练4 已知一个圆形的公园，其半径为2 km ，有两个村庄A 和B ，其中村庄A 在公园的正东方向4 km 处，村庄B 在公园的西北方向22km 处(A ，B 相对于公园的位置都是指相对于公园的中心位置).现在要修一条连接村庄A 和村庄B 的公路，但公路不能穿过公园，现有两种方案可供选择：方案一：分别从A ，B 沿与公园相切的方向修路，直至两公路相交；方案二：分别从A ，B 沿与公园相切的方向修路，至切点处，再环绕公园修路，直至连接两个切点.两种方案哪种更好？解 如图所示，以公园中心O 为坐标原点，以连接公园中心与村庄A 的直线为x 轴建立平面直角坐标系.由已知得圆的方程为x 2＋y 2＝4，A (4,0)，B (－2,2)，由A 向圆作切线，切点为D ，过B 向圆作切线，切点为E ，两切线相交于C ，易知E (0,2)， 直线BC 的方程为y ＝2.连接OD ，则OD ⊥AC ，在Rt △OAD 中，OD ＝2，OA ＝4. ∴∠OAD ＝30°，∴直线AC 的斜率为k ＝tan 150°＝－33，直线AC 的方程为y ＝－33(x －4). 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，y ＝－33(x －4)，解得⎩⎨⎧x ＝4－23，y ＝2， 即C 点的坐标为(4－23，2)， ∴|BC |＝6－23，|AC |＝4.如果按方案一修路，那么公路的长度为l 1＝|BC |＋|AC |＝10－23(km).过D 作DF ⊥x 轴，垂足为F ，可求得|DF |＝3，|OF |＝1，即D (1，3)，∴|AD |＝2 3. 由题意知∠AOD ＝60°，∴∠DOE ＝30°， ∴DEl＝30180·π·2＝π3. 如果按方案二修路，那么公路的长度为l 2＝|AD |＋DEl ＋|BE |＝23＋π3＋2(km).∵l 1－l 2＞0，∴采用方案二更好.利用圆系方程求圆的方程例5 求过两圆x 2＋y 2－1＝0和x 2＋y 2－4x ＝0的交点，且与直线x －3y －6＝0相切的圆的方程.分析 过两圆x 2＋y 2－1＝0和x 2＋y 2－4x ＝0的交点的圆的方程可设为x 2＋y 2－1＋λ(x 2＋y 2－4x )＝0，通过整理，利用直线与此圆相切，则该圆的圆心到此直线的距离等于半径长，求得λ. 解 设所求圆的方程为x 2＋y 2－1＋λ(x 2＋y 2－4x )＝0(λ≠－1)， 整理，得x 2＋y 2－4λ1＋λx －11＋λ＝0，配方，得⎝⎛⎭⎫x －2λ1＋λ2＋y 2＝4λ2＋λ＋1(1＋λ)2，因为圆与直线x －3y －6＝0相切，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫⎪⎪⎪⎪2λ1＋λ－3×0－61＋32＝4λ2＋λ＋1(1＋λ)2.化简得11λ＋8＝0，λ＝－811.所以所求圆的方程为3x 2＋3y 2＋32x －11＝0. 经检验x 2＋y 2－4x ＝0也与直线x －3y －6＝0相切.所以所求圆的方程为3x 2＋3y 2＋32x －11＝0或x 2＋y 2－4x ＝0.解后反思 因为过两圆x 2＋y 2－1＝0和x 2＋y 2－4x ＝0的交点的圆系方程x 2＋y 2－1＋λ(x 2＋y 2－4x )＝0(λ≠－1)中不包含圆x 2＋y 2－4x ＝0，所以解答此题时容易漏掉圆x 2＋y 2－4x ＝0也适合的条件.因此，在解答完后，应专门对圆系之外的圆x 2＋y 2－4x ＝0进行检验.1.两圆x 2＋y 2＝9和x 2＋y 2－8x ＋6y ＋9＝0的位置关系是( ) A.相离 B.相交C.内切 D.外切 答案 B解析 圆C 1：x 2＋y 2＝9的圆心为C 1(0,0)，半径长为r 1＝3；圆C 2：x 2＋y 2－8x ＋6y ＋9＝0化为(x －4)2＋(y ＋3)2＝16，圆心为C 2(4，－3)，半径长为r 2＝4，圆心距|C 1C 2|＝42＋(－3)2＝5. 因为|r 1－r 2|＜|C 1C 2|＜3＋4＝r 1＋r 2，所以两圆相交.2.圆x 2＋y 2＝1与圆x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的交点坐标为( ) A.(1,0)和(0,1) B.(1,0)和(0，－1) C.(－1,0)和(0，－1) D.(－1,0)和(0,1)答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.3.若直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)的圆心位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案 B解析 因为直线通过第一、二、四象限，所以a ＜0，b ＞0，故圆心位于第二象限. 4.圆x 2＋y 2＝50与圆x 2＋y 2－12x －6y ＋40＝0的公共弦长为( ) A. 5 B.6C.2 5 D.2 6 答案 C解析 x 2＋y 2＝50与x 2＋y 2－12x －6y ＋40＝0作差，得两圆公共弦所在的直线方程为2x ＋y －15＝0.圆x 2＋y 2＝50的圆心(0,0)到2x ＋y －15＝0的距离d ＝|2×0＋0－15|22＋12＝35，因此，公共弦长为250－(35)2＝2 5.故选C.5.已知两圆x 2＋y 2＝10和(x －1)2＋(y －3)2＝20相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程是_____. 答案 x ＋3y ＝0解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝10，x 2＋y 2－2x －6y ＝10⇒2x ＋6y ＝0，即x ＋3y ＝0.1.判断圆与圆位置关系的方式通常有代数法和几何法两种，其中几何法较简便易行、便于操作.2.直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用，要善于利用其解决一些实际问题，关键是把实际问题转化为数学问题；要有意识用坐标法解决几何问题，用坐标法解决平面几何问题的思维过程：一、选择题1.圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A ，B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是( ) A.x ＋y ＋3＝0 B.2x －y －5＝0 C.3x －y －9＝0 D.4x －3y ＋7＝0答案 C解析 根据题意作出图形，由图可知两圆圆心所在直线即为所求.圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心的坐标是(2，－3)，圆x 2＋y 2－6x ＝0的圆心坐标是(3,0)，则所求直线方程为y －0－3－0＝x －32－3，即3x －y －9＝0.2.集合M＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2，r＞0}，且M∩N＝N，则r的取值范围是()A.(0，2－1)B.(0,1]C.(0,2－2]D.(0,2]答案 C解析由已知M∩N＝N，知N⊆M，∴圆x2＋y2＝4与圆(x－1)2＋(y－1)2＝r2内切或内含，∴2－r≥2，∴0＜r≤2－ 2.3.若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m等于()A.21B.19C.9D.－11答案 C解析圆C2的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.又圆C1：x2＋y2＝1，∴|C1C2|＝5.又∵两圆外切，∴5＝1＋25－m，解得m＝9.4.已知方程x2＋y2＋4x－2y－4＝0，则x2＋y2的最大值是()A.9B.14C.14－6 5D.14＋6 5答案 D解析方程化为(x＋2)2＋(y－1)2＝9，所以圆心为(－2,1)，r＝3，而x2＋y2＝((x－0)2＋(y－0)2)2.所以x2＋y2的最大值为((－2－0)2＋(1－0)2＋3)2＝14＋6 5.5.设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于()A.4B.4 2C.8D.8 2答案 C解析因为两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，所以两圆C1，C2的圆心都在y＝x上.设圆C1，C2的圆心坐标分别为(x1，x1)，(x2，x2)，则(4－x1)2＋(1－x1)2＝x21，(4－x2)2＋(1－x2)2＝x22，即x1，x2是方程(x－4)2＋(x－1)2＝x2的两根.即x2－10x＋17＝0.所以x1＋x2＝10，x1x2＝17.所以|C1C2|＝2|x1－x2|＝2(x1＋x2)2－4x1x2＝8.6.一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过()A.1.4米B.3.5米C.3.6米D.2米答案 B解析建立如图所示的平面直角坐标系.如图设蓬顶距地面高度为h，则A(0.8，h－3.6)，半圆所在圆的方程为：x2＋(y＋3.6)2＝3.62把A(0.8，h－3.6).代入得0.82＋h2＝3.62.∴h＝40.77≈3.5(米).7.已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是()A.(x －5)2＋(y －7)2＝25B.(x －5)2＋(y －7)2＝17或(x －5)2＋(y ＋7)2＝15C.(x －5)2＋(y －7)2＝9D.(x －5)2＋(y ＋7)2＝25或(x －5)2＋(y ＋7)2＝9 答案 D解析 设动圆圆心为(x ，y )，若动圆与已知圆外切，则(x －5)2＋(y ＋7)2＝4＋1，∴(x －5)2＋(y ＋7)2＝25；若动圆与已知圆内切，则(x －5)2＋(y ＋7)2＝4－1， ∴(x －5)2＋(y ＋7)2＝9. 二、填空题8.过两圆x 2＋y 2－x －y －2＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －8＝0的交点和点(3,1)的圆的方程是________. 答案 x 2＋y 2－133x ＋y ＋2＝0解析 设所求圆的方程为(x 2＋y 2－x －y －2)＋λ(x 2＋y 2＋4x －4y －8)＝0，将(3,1)代入，得λ＝－25，故所求圆的方程为x 2＋y 2－133x ＋y ＋2＝0.9.台风中心从A 地以每小时20 km 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险地区，城市B 在A 地正东40 km 处，B 城市处于危险区内的时间为________. 答案 1 h解析 如图，以A 为原点，正东和正北方向为x 轴、y 轴正方向，则B (40,0).台风中心在直线y ＝x 上移动.则问题转化成以点B 为圆心，30 km 为半径的圆与直线y ＝x 相交的弦长就是B 处在危险区内台风中心走过的距离.则圆B 的方程为(x －40)2＋y 2＝302，圆B 与直线y ＝x 截得弦长为CD ＝2·302－⎝⎛⎭⎫4022＝20(km).故B 城市处于危险区的时间为t ＝2020＝1(h).10.若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度为________. 答案 4解析 如图所示，在Rt △OO 1A 中，OA ＝5，O 1A ＝25，∴OO 1＝5，∴AC ＝5×255＝2，∴AB ＝4.11.与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是______________.答案 (x －2)2＋(y －2)2＝2解析 曲线化为(x －6)2＋(y －6)2＝18，其圆心C 1(6,6)到直线x ＋y －2＝0的距离为d ＝|6＋6－2|2＝5 2.过点C 1且垂直于x ＋y －2＝0的直线为y －6＝x －6，即y ＝x ，所以所求的最小圆的圆心C 2在直线y ＝x 上，如图所示，圆心C 2到直线x ＋y －2＝0的距离为52－322＝2，则圆C 2的半径长为 2.设C 2的坐标为(x 0，y 0)，则|x 0＋y 0－2|2＝2，解得x 0＝2(x 0＝0舍去)，所以圆心坐标为(2,2)， 所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2. 三、解答题12.已知圆C 1：x 2＋y 2＝4和圆C 2：x 2＋(y －8)2＝4，直线y ＝52x ＋b 在两圆之间穿过且与两圆无交点，求实数b 的取值范围.解 直线方程是5x －2y ＋2b ＝0. 当直线与圆C 1相切时，|2b |5＋4＝2， 解得b ＝±3.当直线与圆C 2相切时，|－16＋2b |5＋4＝2，解得b ＝5或b ＝11. 结合图，知3＜b ＜5.13.求圆心在直线x －y －4＝0上，且过两圆x 2＋y 2－4x －6＝0和x 2＋y 2－4y －6＝0的交点的圆的方程. 解 方法一 设经过两圆交点的圆系方程为 x 2＋y 2－4x －6＋λ(x 2＋y 2－4y －6)＝0(λ≠－1)，即x 2＋y 2－41＋λx －4λ1＋λy －6＝0，所以圆心坐标为(21＋λ，2λ1＋λ).又圆心在直线x －y －4＝0上，所以21＋λ－2λ1＋λ－4＝0，即λ＝－13.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－6x ＋2y －6＝0.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－4x －6＝0，x 2＋y 2－4y －6＝0得两圆公共弦所在直线的方程为y ＝x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x 2＋y 2－4y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝－1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3，y 2＝3. 所以两圆x 2＋y 2－4x －6＝0和x 2＋y 2－4y －6＝0的交点分别为A (－1，－1)、B (3,3)，线段AB 的垂直平分线所在直线的方程为y －1＝－(x －1).第11页 共11页 由⎩⎪⎨⎪⎧ y －1＝－(x －1)，x －y －4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1， 所以所求圆的圆心为(3，－1)，半径为(3－3)2＋[3－(－1)]2＝4. 所以所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝16.。
人教版高中数学必修二 4.2.2圆与圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用 学案+课时训练
人教版高中数学必修二第4章圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.2圆与圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用学案【学习目标】1．掌握圆与圆的位置关系及判定方法．(重点、易错点)2．能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题．(难点)【要点梳理夯实基础】知识点1圆与圆位置关系的判定阅读教材P129至P130“练习”以上部分，完成下列问题．1．几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1、r2的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|0≤d＜|r1－r2| ⎭⎬⎫圆C1方程圆C2方程――→消元一元二次方程⎩⎨⎧Δ>0⇒相交Δ＝0⇒内切或外切Δ<0⇒外离或内含[思考辨析学练结合]两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置关系是()A．外离B．相交C．内切D．外切[解析]两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的圆心分别为(0,0)和(4，－3)，半径分别为3和4.所以两圆的圆心距d＝42＋(－3)2＝5.又4－3<5<3＋4，故两圆相交．[答案] B知识点2 直线与圆的方程的应用阅读教材P130“练习”以下至P132“练习”以上部分，完成下列问题．用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”[思考辨析学练结合]一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过()A．1.4米B．3.5米C．3.6米D．2米[解析]建立如图所示的平面直角坐标系．如图，设蓬顶距地面高度为h，则A(0.8，h－3.6)．半圆所在圆的方程为：x2＋(y＋3.6)2＝3.62，把A(0.8，h－3.6)代入得0.82＋h2＝3.62，∴h＝40.77≈3.5(米)．[答案] B【合作探究析疑解难】考点1 圆与圆位置关系的判定[典例1] 当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？[分析]求圆C1的半径r1→求圆C2的半径r2→求|C1C2|→利用|C1C2|与|r1－r2|和r1＋r2的关系求k[解答]将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝50－k(k＜50)．从而|C1C2|＝(－2－1)2＋(3－7)2＝5.当1＋50－k＝5，k＝34时，两圆外切．当|50－k－1|＝5，50－k＝6，k＝14时，两圆内切．当|r2－r1|＜|C1C2|＜r2＋r1，即14＜k＜34时，两圆相交．当1＋50－k＜5或|50－k－1|＞5，即0≤k＜14或34＜k＜50时，两圆相离．1．判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径；(2)计算两圆圆心的距离d；(3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．2．应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．1．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．[解]圆C1，C2的方程，经配方后可得C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C 1(a,1)，C 2(2a,1)，半径r 1＝4，r 2＝1.∴|C 1C 2|＝(a －2a )2＋(1－1)2＝a .(1)当|C 1C 2|＝r 1＋r 2＝5，即a ＝5时，两圆外切；当|C 1C 2|＝r 1－r 2＝3，即a ＝3时，两圆内切．(2)当3＜|C 1C 2|＜5，即3＜a ＜5时，两圆相交．(3)当|C 1C 2|＞5，即a ＞5时，两圆外离．(4)当|C 1C 2|＜3，即a ＜3时，两圆内含．考点2 两圆相交有关问题[典例2] 求圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的公共弦所在直线被圆C 3：(x －1)2＋(y －1)2＝254所截得的弦长． [分析] 联立圆C 1、C 2的方程――→作差得公共弦所在的直线―→圆心C 3到公共弦的距离d ―→圆的半径r ―→弦长＝2r 2－d 2[解答] 设两圆的交点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 的坐标是方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的解， 两式相减得x ＋y －1＝0.因为A ，B 两点的坐标满足 x ＋y －1＝0，所以AB 所在直线方程为x ＋y －1＝0，即C 1，C 2的公共弦所在直线方程为x ＋y －1＝0，圆C 3的圆心为(1,1)，其到直线AB 的距离d ＝12，由条件知r 2－d 2＝254－12＝234，所以直线AB 被圆C 3截得弦长为2×232＝23.1．圆系方程一般地过圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x2．求两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长．[解] 联立两圆的方程得方程组⎩⎨⎧ x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，两式相减得x －2y ＋4＝0，此为两圆公共弦所在直线的方程．法一：设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点满足方程组⎩⎨⎧ x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝－4，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.所以|AB |＝(－4－0)2＋(0－2)2＝25，即公共弦长为2 5.法二：由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，得(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径长r ＝52，圆心到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|1－2×(－5)＋4|1＋(－2)2＝3 5. 设公共弦长为2l ，由勾股定理得r 2＝d 2＋l 2，即50＝(35)2＋l 2，解得l ＝5，故公共弦长2l ＝2 5.考点3 直线与圆的方程的应用探究1 设村庄外围所在曲线的方程可用(x －2)2＋(y ＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，你能求出从村庄外围到小路的最短距离吗？[分析]从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0的距离减去圆的半径2，即|2＋3＋2|12＋(－1)2－2＝722－2.探究2已知台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，请建立适当的坐标系，用坐标法求B城市处于危险区内的时间．[分析]如图，以A为原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．射线AC为∠xAy的平分线，则台风中心在射线AC上移动．则点B到AC的距离为202千米，则射线AC被以B为圆心，以30千米为半径的圆截得的弦长为2302－(202)2＝20(千米)．所以B城市处于危险区内的时间为t＝2020＝1(小时)．[典例3] 为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图4-2-1)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km 到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离．图4-2-1[分析]建立适当坐标系，求出圆O的方程和直线BC的方程，再利用直线与圆的位置关系求解．[解答]以O为坐标原点，过OB，OC的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2＋y2＝1，因为点B(8,0)，C(0,8)，所以直线BC的方程为x8＋y8＝1，即x＋y＝8.当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆的切点处时，DE为最短距离．此时DE长的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1) km.[方法总结]解决关于直线与圆方程实际应用问题的步骤[跟踪练习]3．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？[解] 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图)，其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝9，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l的方程为x7＋y4＝1，即4x＋7y－28＝0.圆心(0,0)到航线4x＋7y－28＝0的距离d＝|－28|42＋72＝2865，而半径r＝3，∴d＞r，∴直线与圆外离，所以轮船不会受到台风的影响．【学习检测巩固提高】1．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝25，圆C2与圆C1关于点(2,1)对称，则圆C2的方程是()A．(x－3)2＋(y－5)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋1)2＝25C．(x－1)2＋(y－4)2＝25 D．(x－3)2＋(y＋2)2＝25[解析]设⊙C2上任一点P(x，y)，它关于(2,1)的对称点(4－x,2－y)在⊙C1上，∴(x－5)2＋(y＋1)2＝25.[答案] B2．一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过()A．1.4 m B．3.5 m C．3.6 m D．2.0 m [解析]圆半径OA＝3.6，卡车宽1.6，所以AB＝0.8，所以弦心距OB＝ 3.62－0.82≈3.5(m)．[答案] B3．圆x2＋y2＋6x－7＝0和圆x2＋y2＋6y－27＝0的位置关系是__相交__.[解析]圆x2＋y2＋6x－7＝0的圆心为O1(－3,0)，半径r1＝4，圆x2＋y2＋6y－27＝0的圆心为O 2(0，－3)，半径为r 2＝6，∴|O 1O 2|＝(－3－0)2＋(0＋3)2＝32，∴r 2－r 1<|O 1O 2|<r 1＋r 2，故两圆相交．4．已知实数x 、y 满足x 2＋y 2＝1，则y ＋2x ＋1的取值范围为__ [34，＋∞) __. [解析] 如右图所示，设P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝1上的点，则y ＋2x ＋1表示过P (x ，y )和Q (－1，－2)两点的直线PQ 的斜率，过点Q 作圆的两条切线QA ，QB ，由图可知QB ⊥x 轴，k QB 不存在，且k QP ≥k QA .设切线QA 的斜率为k ，则它的方程为y ＋2＝k (x ＋1)，由圆心到QA 的距离为1，得|k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝34.所以y ＋2x ＋1的取值范围是[34，＋∞)． 5．求以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦为直径的圆C 的方程.[解析] 解法一：联立两圆方程⎩⎨⎧ x 2＋y 2－12x －2y －13＝0x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0， 相减得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.再由⎩⎨⎧4x ＋3y －2＝0x 2＋y 2－12x －2y －13＝0， 联立得两圆交点坐标(－1,2)、(5，－6)．∵所求圆以公共弦为直径，∴圆心C 是公共弦的中点(2，－2)，半径为12(5＋1)2＋(－6－2)2＝5. ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.解法二：由解法一可知公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.设所求圆的方程为x 2＋y 2－12x －2y －13＋λ(x 2＋y 2＋12x ＋16y －25)＝0(λ为参数)．可求得圆心C (－12λ－122(1＋λ)，－16λ－22(1＋λ))． ∵圆心C 在公共弦所在直线上，∴4·－(12λ－12)2(1＋λ)＋3·－(16λ－2)2(1＋λ)－2＝0， 解得λ＝12.∴圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝0.人教版高中数学必修二第4章 圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.2圆与圆的位置关系课时检测一、选择题1．圆x 2＋y 2－2x －5＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的交点为A 、B ，则线段AB 的垂直平分线方程为( )A ．x ＋y －1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．x －2y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0[解析] 解法一：线段AB 的中垂线即两圆的连心线所在直线l ，由圆心C 1(1,0)，C 2(－1,2)，得l 方程为x ＋y －1＝0.解法二：直线AB 的方程为：4x －4y ＋1＝0，因此线段AB 的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1,0)，方程为y ＝－(x －1)，故选A ．[答案] A2．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系为( )A ．外离B ．相交C ．外切D ．内切[解析] 圆O 1的圆心坐标为(1,0)，半径长r 1＝1；圆O 2的圆心坐标为(0,2)， 半径长r 2＝2；1＝r 2－r 1＜|O 1O 2|＝5＜r 1＋r 2＝3，即两圆相交．[答案] B3．若圆(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的周长，则a 、b应满足的关系式是()A．a2－2a－2b－3＝0 B．a2＋2a＋2b＋5＝0C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0 D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0[解析]利用公共弦始终经过圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心即可求得．两圆的公共弦所在直线方程为：(2a＋2)x＋(2b＋2)y－a2－1＝0，它过圆心(－1，－1)，代入得a2＋2a＋2b＋5＝0.[答案] B4．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程是()A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋7)2＝9C．(x－5)2＋(y＋7)2＝15 D．(x＋5)2＋(y－7)2＝25[解析]设动圆圆心为P(x，y)，则(x－5)2＋(y＋7)2＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25.[答案] A5．两圆x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)在交点处的切线互相垂直，则r ＝()A．5B．4C．3D．2 2 [解析]设一个交点P(x0，y0)，则x20＋y20＝16，(x0－4)2＋(y0＋3)2＝r2，∴r2＝41－8x0＋6y0，∵两切线互相垂直，∴y0x0·y0＋3x0－4＝－1，∴3y0－4x0＝－16.∴r2＝41＋2(3y0－4x0)＝9，∴r＝3.[答案] C6．半径长为6的圆与y轴相切，且与圆(x－3)2＋y2＝1内切，则此圆的方程为()A．(x－6)2＋(y－4)2＝6 B．(x－6)2＋(y±4)2＝6C．(x－6)2＋(y－4)2＝36 D．(x－6)2＋(y±4)2＝36[解析]半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则a＝6，再由b2＋32＝5可以解得b＝±4，故所求圆的方程为(x－6)2＋(y±4)2＝36.7．已知M 是圆C ：(x －1)2＋y 2＝1上的点，N 是圆C ′：(x －4)2＋(y －4)2＝82上的点，则|MN |的最小值为( )A ．4B ．42－1C ．22－2D ．2[解析] ∵|CC ′|＝5＜R －r ＝7，∴圆C 内含于圆C ′，则|MN |的最小值为R －|CC ′|－r ＝2.[答案] D8．过圆x 2＋y 2＝4外一点M (4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为( )A ．4x －y －4＝0B ．4x ＋y －4＝0C ．4x ＋y ＋4＝0D ．4x －y ＋4＝0[解析] 以线段OM 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋y ＝0，经过两切点的直线就是两圆的公共弦所在的直线，将两圆的方程相减得4x －y －4＝0，这就是经过两切点的直线方程．[答案] A9．已知两圆相交于两点A (1,3)，B (m ，－1)，两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值是( )A ．－1B ．2C ．3D ．0 [解析] 两点A ，B 关于直线x －y ＋c ＝0对称，k AB ＝－4m －1＝－1. ∴m ＝5，线段AB 的中点(3,1)在直线x －y ＋c ＝0上，∴c ＝－2，∴m ＋c ＝3.[答案] C10．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离[解析] 由题知圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a 2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2.圆M 、圆N 的圆心距|MN |＝2，两圆半径之差为1、半径之和为3，故两圆相交．二、填空题11．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为23，则a＝.[解析]两个圆的方程作差，可以得到公共弦的直线方程为y＝1a，圆心(0,0)到直线y＝1a的距离d＝|1a|，于是由(232)2＋|1a|2＝22，解得a＝1.[答案] 112．圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为________.[解析]C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1，m)，r2＝2，由题意得|C1C2|＝5，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，解得m＝2或m＝－5.[答案]2或－513．若点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，则圆(x－a)2＋y2＝1与圆x2＋(y－b)2＝1的位置关系是.[解析]∵点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，∴a2＋b2＝4.又圆x2＋(y－b)2＝1的圆心C1(0，b)，半径r1＝1，圆(x－a)2＋y2＝1的圆心C2(a,0)，半径r2＝1，则d＝|C1C2|＝a2＋b2＝4＝2，∴d＝r1＋r2.∴两圆外切．[答案]外切14．与直线x＋y－2＝0和圆x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是.[解析]已知圆的标准方程为(x－6)2＋(y－6)2＝18，则过圆心(6,6)且与直线x＋y －2＝0垂直的方程为x－y＝0.方程x－y＝0分别与直线x＋y－2＝0和已知圆联立得交点坐标分别为(1,1)和(3,3)或(－3，－3)．由题意知所求圆在已知直线和已知圆之间，故所求圆的圆心为(2,2)，半径为2，即圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.[答案](x－2)2＋(y－2)2＝215．判断下列两圆的位置关系.(1)C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0；(2)C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－23x－6＝0；(3)C1：x2＋y2－4x－6y＋9＝0，C2：x2＋y2＋12x＋6y－19＝0；(4)C1：x2＋y2＋2x－2y－2＝0，C2：x2＋y2－4x－6y－3＝0. [解析](1)∵C1：(x－1)2＋y2＝4，C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝2.∴圆C1的圆心坐标为(1,0)，半径r1＝2，圆C2的圆心坐标为(2，－1)，半径r2＝2，d＝|C1C2|＝(2－1)2＋(－1)2＝ 2.∵r1＋r2＝2＋2，r1－r2＝2－2，∴r1－r2<d<r1＋r2，两圆相交．(2)∵C1：x2＋(y－1)2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，∴圆C1的圆心坐标为(0,1)，r1＝1，圆C2的圆心坐标为(3，0)，r2＝3，d＝|C1C2|＝3＋1＝2.∵r2－r1＝2，∴d＝r2－r1，两圆内切．(3)∵C1：(x－2)2＋(y－3)2＝4，C2：(x＋6)2＋(y＋3)2＝64.∴圆C1的圆心坐标为(2,3)，半径r1＝2，圆C2的圆心坐标为(－6，－3)，半径r2＝8，∴|C1C2|＝(2＋6)2＋(3＋3)2＝10＝r1＋r2，∴两圆外切．(4)C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，C2：(x－2)2＋(y－3)2＝16，∴圆C1的圆心坐标为(－1,1)，半径r1＝2，圆C2的圆心坐标为(2,3)，半径r2＝4，∴|C1C2|＝(2＋1)2＋(3－1)2＝13.∵|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2，∴两圆相交．16．求经过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点且圆心在直线x －y －4＝0上的圆的方程．[解] 法一：解方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2＋6x －4＝0，x 2＋y 2＋6y －28＝0， 得两圆的交点A (－1,3)，B (－6，－2)．设所求圆的圆心为(a ，b )，因为圆心在直线x －y －4＝0上，故b ＝a －4. 则有(a ＋1)2＋(a －4－3)2 ＝(a ＋6)2＋(a －4＋2)2，解得a ＝12，故圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－72， 半径为⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－72－32＝892. 故圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋722＝892，即x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0. 法二：∵圆x 2＋y 2＋6y －28＝0的圆心(0，－3)不在直线x －y －4＝0上，故可设所求圆的方程为x 2＋y 2＋6x －4＋λ(x 2＋y 2＋6y －28)＝0(λ≠－1)，其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－31＋λ，－3λ1＋λ，代入x －y －4＝0，求得λ＝－7. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0.17．已知圆M ：x 2＋y 2－2mx －2ny ＋m 2－1＝0与圆N ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0交于A 、B 两点，且这两点平分圆N 的圆周，求圆心M 的轨迹方程.[解析] 两圆方程相减，得公共弦AB 所在的直线方程为2(m ＋1)x ＋2(n ＋1)y －m 2－1＝0，由于A 、B 两点平分圆N 的圆周，所以A 、B 为圆N 直径的两个端点，即直线AB 过圆N 的圆心N ，而N (－1，－1)，所以－2(m ＋1)－2(n ＋1)－m 2－1＝0，即m 2＋2m ＋2n ＋5＝0，即(m ＋1)2＝－2(n ＋2)(n ≤－2)，由于圆M 的圆心M (m ，n )，从而可知圆心M 的轨迹方程为(x ＋1)2＝－2(y ＋2)(y ≤－2)．18．已知圆O ：x 2＋y 2＝1和定点A (2,1)，由圆O 外一点P (a ，b )向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，|PQ |＝|P A |成立，如图.(1)求a，b间的关系；(2)求|PQ|的最小值．[解析](1)连接OQ，OP，则△OQP为直角三角形，又|PQ|＝|P A|，所以|OP|2＝|OQ|2＋|PQ|2＝1＋|P A|2，所以a2＋b2＝1＋(a－2)2＋(b－1)2，故2a＋b－3＝0.(2)由(1)知，P在直线l：2x＋y－3＝0上，所以|PQ|min＝|P A|min，为A到直线l的距离，所以|PQ|min＝|2×2＋1－3|22＋12＝255.人教版高中数学必修二第4章圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用课时检测一、选择题1．已知实数x、y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则x2＋y2的最小值是() A．30－105B．5－5C．5D．25[解析]x2＋y2为圆上一点到原点的距离．圆心到原点的距离d＝5，半径为5，所以最小值为(5－5)2＝30－10 5.[答案] A2．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB 的垂直平分线方程为()A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0 C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0[解析]所求直线即两圆圆心(1,0)、(－1,2)连线所在直线，故由y－02－0＝x－1－1－1，得x＋y－1＝0.[答案] A3．方程y＝－4－x2对应的曲线是()[解析]由方程y＝－4－x2得x2＋y2＝4(y≤0)，它表示的图形是圆x2＋y2＝4在x轴上和以下的部分．[答案] A4．y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4所围成的较小的面积是()A．π4B．3π4C．3π2D．π[解析]数形结合，所求面积是圆x2＋y2＝4面积的1 4.[答案] D5．方程1－x2＝x＋k有惟一解，则实数k的范围是()A．k＝－2B．k∈(－2，2)C．k∈[－1,1)D．k＝2或－1≤k<1[解析]由题意知，直线y＝x＋k与半圆x2＋y2＝1(y≥0只有一个交点．结合图形易得－1≤k<1或k＝ 2.[答案] D6．点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，直线P A、PB分别与圆x2＋y2＝4相切于A、B两点，则四边形P AOB(O为坐标原点)的面积的最小值等于()A ．24B ．16C ．8D ．4[解析] ∵四边形P AOB 的面积S ＝2×12|P A |×|OA |＝2OP 2－OA 2＝2OP 2－4，∴当直线OP 垂直直线2x ＋y ＋10＝0时，其面积S 最小．[答案] C7．已知圆C 的方程是x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值为( )A ．9B ．14C ．14－65D ．14＋6 5[解析] 圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝9，圆心为C (－2,1)，半径为3.|OC |＝5，圆上一点(x ，y )到原点的距离的最大值为3＋5，x 2＋y 2表示圆上的一点(x ，y )到原点的距离的平方，最大值为(3＋5)2＝14＋6 5.[答案] D8．对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”．已知直线l 1：ax ＋3y ＋6＝0，l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋6＝0与圆C ：x 2＋y 2＋2x ＝b 2－1(b >0)的位置关系是“平行相交”，则实数b 的取值范围为( )A ．(2，322)B ．(0，322)C ．(0，2)D ．(2，322)∪(322，＋∞)[解析] 圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝b 2.由两直线平行，可得a (a ＋1)－6＝0，解得a ＝2或a ＝－3.当a ＝2时，直线l 1与l 2重合，舍去；当a ＝－3时，l 1：x －y －2＝0，l 2：x －y ＋3＝0.由l 1与圆C 相切，得b ＝|－1－2|2＝322，由l 2与圆C 相切，得b ＝|－1＋3|2＝ 2.当l 1、l 2与圆C 都外离时，b < 2.所以，当l 1、l 2与圆C “平行相交”时，b 满足⎩⎨⎧ b ≥2b ≠2，b ≠322，故实数b 的取值范围是(2，322)∪(322，＋∞)．[答案] D9．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A．106B．206C．306D．40 6 [解析]圆心坐标是(3,4)，半径是5，圆心到点(3,5)的距离为1，根据题意最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直，故最短弦的长为252－12＝46，所以四边形ABCD的面积为12×AC×BD＝12×10×46＝20 6.[答案] B10．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为()A．4π5B．3π4C．(6－25)πD．5π4[解析]原点O到直线2x＋y－4＝0的距离为d，则d＝45，点C到直线2x＋y－4＝0的距离是圆的半径r，由题知C是AB的中点，又以斜边为直径的圆过直角顶点，则在直角△AOB中，圆C过原点O，即|OC|＝r，所以2r≥d，所以r最小为25，面积最小为4π5，故选A．[答案] A二、填空题11．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A、B两点，则直线AB 的方程是________．[解析] 过两圆交点的直线就是两圆公共弦所在直线，因此该直线方程为：x2＋y2－10－[(x－1)2＋(y－3)2－20]＝0，即x＋3y＝0.[答案]x＋3y＝012．已知M＝{(x，y)|y＝9－x2，y≠0}，N＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠∅，则实数b的取值范围是.[解析] 数形结合法，注意y ＝9－x 2，y ≠0等价于x 2＋y 2＝9(y ＞0)，它表示的图形是圆x 2＋y 2＝9在x 轴之上的部分(如图所示)．结合图形不难求得，当－3＜b ≤32时，直线y ＝x ＋b 与半圆x 2＋y 2＝9(y ＞0)有公共点．[答案] (－3,32]13．某公司有A 、B 两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路 2 km 和2 2 km ，且A 、B 景点间相距2 km ，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设于 .[解析] 所选观景点应使对两景点的视角最大．由平面几何知识，该点应是过A 、B 两点的圆与小路所在的直线相切时的切点，以小路所在直线为x 轴，过B 点与x 轴垂直的直线为y 轴上建立直角坐标系．由题意，得A (2，2)、B (0,22)，设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝b 2.由A 、B 在圆上，得⎩⎨⎧ a ＝0b ＝2，或⎩⎨⎧a ＝42b ＝52，由实际意义知⎩⎨⎧ a ＝0b ＝2.∴圆的方程为x 2＋(y －2)2＝2，切点为(0,0)，∴观景点应设在B 景点在小路的投影处．[答案] B 景点在小路的投影处14．设集合A ＝{(x ，y )|(x －4)2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|(x －t )2＋(y －at ＋2)2＝1}，若存在实数t ，使得A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是 .[解析] 首先集合A 、B 实际上是圆上的点的集合，即A 、B 表示两个圆，A ∩B ≠∅说明这两个圆相交或相切(有公共点)，由于两圆半径都是1，因此两圆圆心距不大于半径之和2，即(t －4)2＋(at －2)2≤2，整理成关于t 的不等式：(a 2＋1)t 2－4(a ＋2)t ＋16≤0，据题意此不等式有实解，因此其判别式不小于零，即Δ＝16(a ＋2)2－4(a 2＋1)×16≥0，解得0≤a ≤43. [答案] [0，43]三、解答题15．为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如右图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C .现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离.[解析] 以O 为坐标原点，过OB 、OC 的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1，因为点B (8,0)、C (0,8)，所以直线BC 的方程为x 8＋y 8＝1，即x ＋y ＝8.当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆相切所成切点处时，DE 为最短距离，此时DE 的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1)km. 16．某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB 是36 m ，拱高OP 是6 m ，在建造时，每隔3 m 需用一个支柱支撑，求支柱A 2P 2的长．(精确到0.01 m)[解析] 如图，以线段AB 所在的直线为x 轴，线段AB 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A 、B 、P 的坐标分别为(－18,0)、(18,0)、(0,6)．设圆拱所在的圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.因为A 、B 、P 在此圆上，故有⎩⎨⎧ 182－18D ＋F ＝0182＋18D ＋F ＝062＋6E ＋F ＝0，解得⎩⎨⎧ D ＝0E ＝48F ＝－324.故圆拱所在的圆的方程是x 2＋y 2＋48y －324＝0.将点P 2的横坐标x ＝6代入上式，解得y ＝－24＋12 6.答：支柱A 2P 2的长约为126－24 m.17．如图，已知一艘海监船O 上配有雷达，其监测范围是半径为25 km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)[解析]如图，以O为原点，东西方向为x轴建立直角坐标系，则A(40,0)，B(0,30)，圆O方程x2＋y2＝252.直线AB方程：x40＋y30＝1，即3x＋4y－120＝0.设O到AB距离为d，则d＝|－120|5＝24<25，所以外籍轮船能被海监船监测到．设监测时间为t，则t＝2252－24228＝12(h)答：外籍轮船能被海监船监测到，时间是0.5 h.18．已知隧道的截面是半径为4.0 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m、高为3 m的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的最大宽度为a m，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少？[解析]以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，那么半圆的方程为：x2＋y2＝16(y≥0)．将x＝2.7代入，得y＝16－2.72＝8.71<3，所以，在离中心线2.7 m处，隧道的高度低于货车的高度，因此，货车不能驶入这个隧道．将x＝a代入x2＋y2＝16(y≥0)得y＝16－a2.所以，货车要正常驶入这个隧道，最大高度(即限高)为16－a2m.。
高中数学新人教版必修2教案4.2.2 圆与圆的位置关系.doc
课 后 反 思
4
4
3
教师课时教案
问题与情境及教师活动
学生活动
10.教师总结：
设两圆的连心线长为 l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当 l r1 r2 时，圆 C1 与圆 C2 相离；
（2）当 l r1 r2 时，圆 C1 与圆 C2 外切；
教 （3）当 | r1 r2 | l r1 r2 时，圆 C1 与圆 C2 相交；
学 （4）当 l | r1 r2 | 时，圆 C1 与圆 C2 内切；
（5）当 l | r1 r2 | 时，圆 C1 与
（1）通过两个圆的位置关系的判断，你学到了什么？
学
（2）判断两个圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？
小
结
（3）如何利用两个圆的相交弦来判断它们的位置关系？
重点 用坐标法判断圆与圆的位置关系．
难点 用坐标法判断圆与圆的位置关系．
教
问题与情境及教师活动
学生活动
1
过程与方法： 学 1． 初中学过的平面几何中，圆与圆的位置关系有几类？
过
教师：引导学生回忆、举例，并对学生活动进行评价；
学生：回顾知识点时，可互相交流．
程 2．判断两圆的位置关系，你有什么好的方法吗？
4．根据你所画出的图形，可以直观判断两个圆的位置关系．如何
把这些直观的事实转化为数学语言呢？
教师课时教案
教
问题与情境及教师活动
学生活动
2
学 师：启发学生利用图形的特征，用代数的方法来解决几何问题． 过 生：观察图形，并通过思考，指出两圆的交点，可以转化为两个圆的方
程联立方程组后是否有实数根，进而利用判别式求解．
高中数学必修二教案：4.2.2+圆与圆的位置关系
格一课堂教学方案章节：4.2.2 1 课时：备课人：二次备课人：精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
高一必修2多媒体教案4.2.2_圆与圆的位置关系 (1)
4．圆x2+y2=1和圆(x－1)2+(y－1)2=1的公共弦长 为
2
.
5．若圆：x2+y2－2ax+a2=2和x2+y2－2by +b2=1外离， a2+b2>3+2 2 则a、b满足的条件是__________________.
（1）通过两个圆的位置关系的判断，你学到了什么？
（2）判断两个圆的位置关系有几种方法？它们的特点
（1）平面几何法判断圆与圆的位置关系公式：
它们的位置关系有两种判断方法：
第一步：计算两圆的半径r1，r2； 第二步：计算两圆的圆心距d； 第三步：根据d与r1，r2之间的关系，判断两圆的位置 关系 两圆外离：r1+r2<d； 两圆内切：|r1－r2|=d； 两圆外切：r1+r2=d； 两圆内含：|r1－r2|>d.
所以AB=2|AD|= 2 C1 A2 C1 D 2 10
练习：求过两圆x2+y2+6x–4=0和x2+y2+6y–28=0 的交点，且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.
解：已知两圆的圆心分别为(-3，0)和(0，-3). 则连心线的方程是x+y+3=0.
1 x , x y 3 0, 解得 2 由 x y 4 0 x 7 2
确切的位置关系。
探究： 如图所示，
y Ａ
圆
C1 : x2 y2 2x 3 y 1 0
与圆 C2 : x2 y 2 4x 3 y 2 0 相交于A,B两点， 如何求公共弦的方程？
c2
O Ｂ
x
c1
方法一： 将两圆方程联立，求出两个交点的坐标，利用两 点间的距离公式求得弦长。 方法二： 先来探究一般情形．
新人教A版必修2高中数学学案教案： §4.2.2 圆与圆的位置关系教案
§4.2.2 圆与圆的位置关系一、教材分析本节课研究圆与圆的位置关系,重点是研究两圆位置关系的判断方法,并应用这些方法解决有关的实际问题.教材是在初中平面几何对圆与圆的位置关系的初步分析的基础上结合前面学习的点与圆、直线与圆的位置关系,得到圆与圆的位置关系的几何方法,用代数的方法来解决几何问题是解析几何的精髓,是平面几何问题的深化,它将是以后处理圆锥曲线的常用方法.因此,增加了用代数方法来分析位置关系,这样有利于培养学生数形结合、经历几何问题代数化等解析几何思想方法及辩证思维能力,其基本思维方法和解决问题的技巧对今后整个圆锥曲线的学习有着非常重要的意义.根据学生的基础,学习的自觉性和主动性,自主学习和探究学习能力,平时的学习养成的善于观察、分析和思考的习惯,同时由于本节课从内容结构与思维方法上与直线与圆的位置关系相似,学生对上节课内容掌握较好,从而本节课从学生学习的角度来看不会存在太多的障碍,因而教学方法可以是引导学生从类比直线与圆位置关系来自主研究圆与圆的位置关系.二、教学目标1．知识与技能（1）理解圆与圆的位置的种类；（2）利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；（3）会用连心线长判断两圆的位置关系.2．过程与方法设两圆的连心线长为l，则判断圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当l ＞r1+r2时，圆C1与圆C2相离；（2）当l = r1+r2时，圆C1与圆C2外切；（3）当|r1–r2|＜l＜r1+r2时，圆C1与圆C2相交；（4）当l = |r1–r2|时，圆C1与圆C2内切；（5）当l＜|r1 –r2|时，圆C1与圆C2内含.3．情态与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想.三、教学重点与难点教学重点：求弦长问题,判断圆和圆的位置关系.教学难点：判断圆和圆的位置关系.四、课时安排1课时五、教学设计（一）导入新课思路1.平面几何中,圆与圆的位置关系有哪几种呢？如何判断圆与圆之间的位置关系呢？判断两圆的位置关系的步骤及其判断方法如下:第一步：计算两圆的半径R,r；第二步：计算两圆的圆心距O1O2,即d；第三步：根据d与R,r之间的关系,判断两圆的位置关系.两圆的位置关系：外离外切相交内切内含d＞R+r d=R+r |R-r|＜d＜R+r d=|R-r| d＜|R-r|在解析几何中,我们用代数的方法如何判断圆与圆之间的位置关系呢？这就是我们本堂课研究的课题,教师板书课题圆与圆的位置关系.思路2.前面我们学习了点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系,那么,圆与圆的位置关系有哪几种呢？如何判断圆与圆之间的位置关系呢？教师板书课题:圆与圆的位置关系. （二）推进新课、新知探究、提出问题①初中学过的平面几何中,圆与圆的位置关系有几种？②判断两圆的位置关系,你有什么好的方法吗？③你能在同一个直角坐标系中画出两个方程所表示的圆吗？④根据你所画出的图形,可以直观判断两个圆的位置关系.如何把这些直观的事实转化为数学语言呢？⑤如何判断两个圆的位置关系呢？⑥若将两个圆的方程相减,你发现了什么？⑦两个圆的位置关系是否可以转化为一条直线与两个圆中的一个圆的关系的判定呢？活动：教师引导学生回顾学过的知识、举例,并对学生活动进行评价；学生回顾知识点时,可互相交流.教师引导学生阅读教科书中的相关内容,注意个别辅导,解答学生疑难,并引导学生自己总结解题的方法.学生观察图形并思考,发表自己的解题方法.教师应该关注并发现有多少学生利用“图形”求解,对这些学生应该给予表扬.同时强调,解析几何是一门数与形结合的学科.启发学生利用图形的特征,用代数的方法来解决几何问题.教师指导学生利用两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置.学生互相探讨、交流,寻找解决问题的方法,并能通过图形的直观性,利用平面直角坐标系的两点间距离公式寻求解题的途径.讨论结果：①初中学过的平面几何中,圆与圆的位置关系有五类,分别是外离、外切、相交、内切、内含.②判断两圆的位置关系,我们可以类比直线与圆的位置关系的判定,目前我们只有初中学过的几何法,利用圆心距与两圆半径的和与差之间的关系判断.③略.④根据所画出的图形,可以直观判断两个圆的位置关系.用几何的方法说就是圆心距(d)与两圆半径(r,R)的和与差之间的关系.⑤判断两个圆的位置关系.一是可以利用几何法,即两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置关系.设两圆的连心线长为l,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：1°当d＞R+r时,圆C1与圆C2外离；2°当d=R+r时,圆C1与圆C2外切；3°当|R-r|＜d＜R+r时,圆C1与圆C2相交；4°当d=|R-r|时,圆C1与圆C2内切；5°当d＜|R-r|时,圆C1与圆C2内含；二是看两圆的方程组成的方程组的实数解的情况,解两个圆的方程所组成的二元二次方程组.若方程组有两组不同的实数解,则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解,则两圆相切；若无实数解,两圆相离.总结比较两种方法的优缺点.几何方法：直观,容易理解,但不能求出交点坐标.代数方法：1°只能判断交点,并不能准确的判断位置关系(有一个交点时不能判断内切还是外切,无交点时不能判断内含还是外离).2°优点是可以求出公共点.⑥若将两个圆的方程相减,得到一个一元一次方程,既直线方程,由于它过两圆的交点,所以它是相交两圆的公共弦的方程.⑦两个圆的公共点的问题可以化归为这条公共直线与两个圆中的一个圆的公共点的判定问题.由点到直线的距离公式来判断.（三）应用示例思路1例1 已知圆C 1：x 2+y 2+2x+8y-8=0,圆C 2：x 2+y 2-4x-4y-2=0,判断两圆的位置关系.活动:学生思考交流,教师引导提示,判断两圆的位置关系有两种基本的方法,要合理使用.方法一看两圆的方程组成的方程组的实数解的情况,方法二利用圆心距与两圆半径的和与差之间的关系判断.解:方法一:圆C 1与圆C 2的方程联立得到方程组⎪⎩⎪⎨⎧=---+=-+++)2(.0244)1(,08822222y x y x y x y x①-②得x+2y-1=0,③由③得y=21x+,把上式代入①并整理得x 2-2x-3=0.④方程④的判别式Δ=(-2)2-4×1×(-3)=16＞0,所以方程④有两个不等的实数根,即圆C 1与圆C 2相交.方法二:把圆C 1:x 2+y 2+2x+8y-8=0,圆C 2:x 2+y 2-4x-4y-2=0,化为标准方程,得(x+1)2+(y+4)2=25与(x-2)2+(y-2)2=10.圆C 1的圆心是点(-1,-4),半径长r 1=5;圆C 2的圆心是点(2,2),半径长r 2=10.圆C 1与圆C 2的连心线的长为22)24()21(--+--=35,圆C 1与圆C 2的半径长之和为r 1+r 2=5+10,半径长之差为r 1-r 2=5-10.而5-10＜35＜5+10,即r 1-r 2＜35＜r 1+r 2,所以圆C 1与圆C 2相交,它们有两个公共点A 、B.点评:判断两圆的位置关系,一般情况下,先化为标准方程,利用几何法判断较为准确直观.变式训练判断下列两圆的位置关系,如果两圆相交,请求出公共弦的方程.(1)(x+2)2+(y-2)2=1与(x-2)2+(y-5)2=16,(2)x 2+y 2+6x-7=0与x 2+y 2+6y-27=0.解:(1)根据题意,得两圆的半径分别为r 1=1和r 2=4,两圆的圆心距d=22)25()2(2[-+--=5.因为d=r1+r 2,所以两圆外切.(2)将两圆的方程化为标准方程,得(x+3)2+y 2=16,x 2+(y+3)2=36. 故两圆的半径分别为r 1=4和r 2=6,两圆的圆心距d=23)03()30(22=-+-. 因为|r 1-r 2|＜d ＜r 1+r 2,所以两圆相交.例2 已知圆C 1:x 2+y 2+2x-6y+1=0,圆C 2:x 2+y 2-4x+2y-11=0,求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.活动：学生审题,思考并交流,探讨解题的思路,教师及时提示引导,因两圆的交点坐标同时满足两个圆方程,联立方程组,消去x 2项、y 2项,即得两圆的两个交点所在的直线方程,利用勾股定理可求出两圆公共弦长.解:设两圆交点为A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2),则A 、B 两点坐标满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+=+-++)2(.01124)1(,01622222y x y x y x y x①-②,得3x-4y+6=0.因为A 、B 两点坐标都满足此方程,所以3x-4y+6=0即为两圆公共弦所在的直线方程. 易知圆C 1的圆心(-1,3),半径r=3. 又点C 1到直线的距离为d=22)4(3|63431|-++⨯-⨯-=59.所以AB=2524)59(322222=-=-dr ,即两圆的公共弦长为524.点评:处理圆有关的问题,利用圆的几何性质往往比较简单,要注意体会和应用.思路2例1 求过点A(0,6)且与圆C:x 2+y 2+10x+10y=0切于原点的圆的方程.图1活动:学生思考交流,回顾圆的方程的求法,教师引导学生注意题目的条件,灵活处理,如图1.所求圆经过原点和A(0,6),且圆心应在已知圆的圆心与原点的连线上.根据这三个条件可确定圆的方程.解:将圆C 化为标准方程,得(x+5)2+(y+5)2=50,则圆心为C(-5,-5),半径为52.所以经过此圆心和原点的直线方程为x-y=0.设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2.由题意,知O(0,0),A(0,6)在此圆上,且圆心M(a,b)在直线x-y=0上,则有⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+-=-+-,0,)6()0(,)0()0(222222b a r b a r b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧===.23,3,3r b a 于是所求圆的方程是(x-3)2+(y-3)2=18.点评:求圆的方程,一般可从圆的标准方程和一般方程入手,至于选择哪一种方程形式更恰当,要根据题目的条件而定,总之要让所选择的方程形式使解题过程简单.例2 已知⊙O 方程为x 2+y 2=4,定点A(4,0),求过点A 且和⊙O 相切的动圆圆心的轨迹方程.活动：教师引导学生回顾学过的知识,两圆外切,连心线长等于两圆半径之和,两圆内切,连心线长等于两圆半径之差,由此可得到动圆圆心在运动中所应满足的几何条件,然后将这个几何条件坐标化,即得到它的轨迹方程.解法一：设动圆圆心为P(x,y),因为动圆过定点A,所以|PA|即为动圆半径. 当动圆P 与⊙O 外切时,|PO|=|PA|+2； 当动圆P 与⊙O 内切时,|PO|=|PA|－2. 综合这两种情况,得||PO|－|PA||=2. 将此关系式坐标化,得|2222)4(y x y x +--+|=2.化简可得(x －2)2－32y =1.解法二：由解法一可得动点P 满足几何关系||OP|－|PA||=2,即P 点到两定点O 、A 的距离差的绝对值为定值2,所以P 点轨迹是以O 、A 为焦点,2为实轴长的双曲线,中心在OA 中点(2,0),实半轴长a=1,半焦距c=2,虚半轴长b=322=-a c ,所以轨迹方程为(x －2)2－32y =1.点评：解题的过程就是实现条件向结论转化的过程,对于圆与圆,要综合平面几何知识、解析几何、代数知识,将条件转化成我们熟悉的形式,利用常规思路去解,求点的轨迹更要注意平面几何的知识运用.（四）知能训练课堂练习P 141练习题（五）课堂小结本节课主要学习了圆与圆的位置关系，判断方法：几何方法和代数方法.（六）作业习题4.2 A 组8、9、10、11.。
最新人教版高中数学必修2第四章《直线与圆、圆与圆的位置关系(二)》教案
2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系（二）圆与圆的位置关系整体设计教学分析本节课研究圆与圆的位置关系,重点是研究两圆位置关系的判断方法,并应用这些方法解决有关的实际问题.教材是在初中平面几何对圆与圆的位置关系的初步分析的基础上结合前面学习的点与圆、直线与圆的位置关系,得到圆与圆的位置关系的几何方法,用代数的方法来解决几何问题是解析几何的精髓,是平面几何问题的深化,它将是以后处理圆锥曲线的常用方法.因此,增加了用代数方法来分析位置关系,这样有利于培养学生数形结合、经历几何问题代数化等解析几何思想方法及辩证思维能力,其基本思维方法和解决问题的技巧对今后整个圆锥曲线的学习有着非常重要的意义.三维目标使学生理解并掌握圆和圆的位置关系及其判定方法.培养学生自主探究的能力.通过用代数的方法分析圆与圆的位置关系,使学生体验几何问题代数化的思想,深入了解解析几何的本质,同时培养学生分析问题、解决问题的能力,并进一步体会数形结合的思想.重点难点教学重点：求弦长问题,判断圆和圆的位置关系.教学难点:判断圆和圆的位置关系.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.平面几何中,圆与圆的位置关系有哪几种呢？如何判断圆与圆之间的位置关系呢？判断两圆的位置关系的步骤及其判断方法如下:第一步：计算两圆的半径R,r；第二步：计算两圆的圆心距O1O2,即d；第三步：根据d与R,r之间的关系,判断两圆的位置关系.在解析几何中,我们用代数的方法如何判断圆与圆之间的位置关系呢？这就是我们本堂课研究的课题,教师板书课题圆与圆的位置关系.思路2.前面我们学习了点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系,那么,圆与圆的位置关系有哪几种呢？如何判断圆与圆之间的位置关系呢？教师板书课题:圆与圆的位置关系.推进新课新知探究提出问题①初中学过的平面几何中,圆与圆的位置关系有几种？②判断两圆的位置关系,你有什么好的方法吗？③你能在同一个直角坐标系中画出两个方程所表示的圆吗？④根据你所画出的图形,可以直观判断两个圆的位置关系.如何把这些直观的事实转化为数学语言呢？⑤如何判断两个圆的位置关系呢？⑥若将两个圆的方程相减,你发现了什么？⑦两个圆的位置关系是否可以转化为一条直线与两个圆中的一个圆的关系的判定呢？活动：教师引导学生回顾学过的知识、举例,并对学生活动进行评价；学生回顾知识点时,可互相交流.教师引导学生阅读教科书中的相关内容,注意个别辅导,解答学生疑难,并引导学生自己总结解题的方法.学生观察图形并思考,发表自己的解题方法.教师应该关注并发现有多少学生利用“图形”求解,对这些学生应该给予表扬.同时强调,解析几何是一门数与形结合的学科.启发学生利用图形的特征,用代数的方法来解决几何问题.教师指导学生利用两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置.学生互相探讨、交流,寻找解决问题的方法,并能通过图形的直观性,利用平面直角坐标系的两点间距离公式寻求解题的途径. 讨论结果:①初中学过的平面几何中,圆与圆的位置关系有五类,分别是外离、外切、相交、内切、内含.②判断两圆的位置关系,我们可以类比直线与圆的位置关系的判定,目前我们只有初中学过的几何法,利用圆心距与两圆半径的和与差之间的关系判断.③略.④根据所画出的图形,可以直观判断两个圆的位置关系.用几何的方法说就是圆心距(d)与两圆半径(r,R)的和与差之间的关系.⑤判断两个圆的位置关系.一是可以利用几何法,即两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置关系.设两圆的连心线长为d,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：1°当d>R+r时,圆C1与圆C2外离；2°当d=R+r时,圆C1与圆C2外切；3°当|R-r|<d<R+r时,圆C1与圆C2相交；4°当d=|R-r|时,圆C1与圆C2内切；5°当d<|R-r|时,圆C1与圆C2内含；二是看两圆的方程组成的方程组的实数解的情况,解两个圆的方程所组成的二元二次方程组.若方程组有两组不同的实数解,则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解,则两圆相切；若无实数解,两圆相离.总结比较两种方法的优缺点.几何方法：直观,容易理解,但不能求出交点坐标.代数方法：1°只能判断交点,并不能准确的判断位置关系(有一个交点时不能判断内切还是外切,无交点时不能判断内含还是外离).2°优点是可以求出公共点.⑥若将两个圆的方程相减,得到一个一元一次方程,即直线方程,由于它过两圆的交点,所以它是相交两圆的公共弦的方程.⑦两个圆的公共点的问题可以化归为这条公共直线与两个圆中的一个圆的公共点的判定问题.由点到直线的距离公式来判断.应用示例思路1例1 在平面直角坐标系中分别作出圆心为C1（0，0），C2（1，1），半径分别为1,2的两圆，并判断两圆的位置关系.解:作出两圆，如图1.图1两圆半径分别记作r 1和r 2,则r 1=1,r 2=2，圆心距d=|C 1C 2|=21)10()10(-+-=2,于是，1=|r 1-r 2|<d<r 1+r 2=3，所以两圆相交.例2 判断圆C 1：x 2+y 2+2x-6y-26=0与圆C 2:x 2+y 2-4x+2y+4=0的位置关系，并画出图形. 解:由已知得圆C 1:(x+1)2+(y-3)2=36,其圆心C 1(-1,3)，半径r 1=6;圆C 2:(x-2)2+(y+1)2=1,其圆心C 2(2,-1)，半径r 2=1.于是|C 1C 2|=22)31()12(--++=5.又|r 1-r 2|=5,即|C 1C 2|=|r 1-r 2|,所以两圆内切.如图2.图2变式训练判断下列两圆的位置关系,如果两圆相交,请求出公共弦的方程.(1)(x+2)2+(y-2)2=1与(x-2)2+(y-5)2=16;(2)x 2+y 2+6x-7=0与x 2+y 2+6y-27=0.解:(1)根据题意,得两圆的半径分别为r 1=1和r 2=4,两圆的圆心距d=22)25()]2(2[-+--=5.因为d=r 1+r 2,所以两圆外切.(2)将两圆的方程化为标准方程,得(x+3)2+y 2=16,x 2+(y+3)2=36.故两圆的半径分别为r 1=4和r 2=6,两圆的圆心距d=22)03()30(--+-=32.因为|r 1-r 2|<d<r 1+r 2,所以两圆相交.例3 已知圆C 1:x 2+y 2+2x-6y+1=0,圆C 2:x 2+y 2-4x+2y-11=0,求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.活动：学生审题,思考并交流,探讨解题的思路,教师及时提示引导,因两圆的交点坐标同时满足两个圆方程,联立方程组,消去x 2项、y 2项,即得两圆的两个交点所在的直线方程,利用勾股定理可求出两圆公共弦长.解:设两圆交点为A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2),则A 、B 两点坐标满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+=+-++)2(.01124)1(,01622222y x y x y x y x①-②,得3x-4y+6=0.因为A 、B 两点坐标都满足此方程,所以3x-4y+6=0即为两圆公共弦所在的直线方程. 易知圆C 1的圆心(-1,3),半径r=3.又点C 1到直线的距离为d=59)4(3|63431|22=-++⨯-⨯-. 所以AB=222d r -=524)59(3222=-,即两圆的公共弦长为524. 点评:处理圆有关的问题,利用圆的几何性质往往比较简单,要注意体会和应用.思路2例1 求过点A(0,6)且与圆C:x 2+y 2+10x+10y=0切于原点的圆的方程.活动:学生思考交流,回顾圆的方程的求法,教师引导学生注意题目的条件,灵活处理,如图 3.所求圆经过原点和A(0,6),且圆心应在已知圆的圆心与原点的连线上.根据这三个条件可确定圆的方程.图3解:将圆C 化为标准方程,得(x+5)2+(y+5)2=50,则圆心为C(-5,-5),半径为25.所以经过此圆心和原点的直线方程为x-y=0.设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2.由题意,知O(0,0),A(0,6)在此圆上,且圆心M(a,b)在直线x-y=0上,则有⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+-=-+-,0,)6()0(,)0()0(222222b a r b a r b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧===.23,3,3r b a于是所求圆的方程是(x-3)2+(y-3)2=18.点评:求圆的方程,一般可从圆的标准方程和一般方程入手,至于选择哪一种方程形式更恰当,要根据题目的条件而定,总之要让所选择的方程形式使解题过程简单.例2 已知⊙O 方程为x 2+y 2=4,定点A(4,0),求过点A 且和⊙O 相切的动圆圆心的轨迹方程. 活动：教师引导学生回顾学过的知识,两圆外切,连心线长等于两圆半径之和,两圆内切,连心线长等于两圆半径之差,由此可得到动圆圆心在运动中所应满足的几何条件,然后将这个几何条件坐标化,即得到它的轨迹方程.解:设动圆圆心为P(x,y),因为动圆过定点A,所以|PA|即为动圆半径.当动圆P 与⊙O 外切时,|PO|=|PA|+2；当动圆P 与⊙O 内切时,|PO|=|PA|－2.综合这两种情况,得||PO|－|PA||=2.将此关系式坐标化,得|2222)4(y x y x +--+|=2.化简可得(x －2)232y -=1. 点评：解题的过程就是实现条件向结论转化的过程,对于圆与圆,要综合平面几何知识、解析几何、代数知识,将条件转化成我们熟悉的形式,利用常规思路去解,求点的轨迹更要注意平面几何的知识运用.知能训练1.已知圆C 1:x 2+y 2+2x+8y-8=0，圆C 2:x 2+y 2-4x-4y-2=0，判断两圆的位置关系.解法一：圆C 1与圆C 2的方程联立得到方程组⎪⎩⎪⎨⎧=---+=-+++)2(,0244)1(,08822222y x y x y x y x①-②得x+2y-1=0③,由③得y=21x -，把上式代入①并整理得x 2-2x-3=0④. 方程④的判别式Δ=(-2)2-4×1×(-3)=16>0,所以方程④有两个不相等的实数根，即圆C 1与圆C 2相交.解法二：把圆C 1：x 2+y 2+2x+8y-8=0,圆C 2:x 2+y 2-4x-4y-2=0,化为标准方程，得(x+1)2+(y+4)2=25与（x-2）2+(y-2)2=10，圆C 1的圆心是点（-1，-4），半径长r 1=5;圆C 2的圆心是点（2，2），半径长r 2=10.圆C 1圆C 2的连心线的长为22)24()21(--+--=35,圆C 1、圆C 2的半径长之和为r 1+r 2=5+10,半径长之差为r 1-r 2=510-.而510-<35<5+10,即r 1-r 2<35<r 1+r 2,所以圆C 1与圆C 2相交.点评：判断两圆的位置关系一般情况下，先化为标准方程，再利用几何法判断较为准确直观.2.求经过原点，且过圆x 2+y 2+8x-6y+21=0和直线x-y+5=0的两个交点的圆的方程. 解法一：由⎩⎨⎧=+-=+-++,05,0216822y x y x y x 求得交点(-2,3)或(-4,1). 设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0.因为（0,0），（-2 3），（-4，1）三点在圆上，所以⎪⎩⎪⎨⎧=++-+=++-+=,04116,03294,0F E D F E D F 解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==.519,59,0D E F 所以所求圆的方程为x 2+y 2+519x 59-y=0. 解法二：设过交点的圆系方程为:x 2+y 2+8x-6y+21+λ(x -y+5)=0(λ为参数).将原点（0，0）代入上述方程得λ=521-.则所求方程为：x 2+y 2+519x 59-=0. 拓展提升求以圆C 1：x 2+y 2-12x-2y-13=0和圆C 2：x 2+y 2+12x+16y-25=0的公共弦为直径的圆的方程.解法一：联立两圆方程⎪⎩⎪⎨⎧=-+++=---+,0251612,0132122222y x y x y x y x 相减得公共弦所在直线方程为4x+3y-2=0.解方程组⎩⎨⎧=---+=-+,013212,023422y x y x y x 得两圆交点坐标A （-1，2），B （5，-6），因为所求圆以AB 为直径，所以圆心是AB 的中点M （2，-2），圆的半径为r=21|AB|=5. 于是圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=25.解法二：设所求圆的方程为：x 2+y 2-12x-2y-13+λ(x 2+y 2+12x+16y-25)=0(λ为参数). 得圆心C()1(21212λλ+--,)1(2216λλ+--),即(λλ+-166,λλ+-181). 因为圆心C 应在公共弦AB 所在直线上，所以4·λλ+-166+3·λλ+-181-2=0，解得λ=21. 所以所求圆的方程为x 2+y 2-4x+4y-17=0.点评：解法一体现了求圆的相交弦所在直线方程的方法；解法二采取了圆系方程求待定系数，解法比较简练.课堂小结本节课主要学习了圆与圆的位置关系，判断方法：几何方法和代数方法.作业习题2-2 A 组5;B 组2、3.设计感想这堂课是建立在初中已经对圆与圆的位置关系有个粗略地了解的基础上,对这个位置关系的了解进一步深化,而且前一堂课学习过直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系的研究和直线与圆的位置关系的研究方法是类似的,所以可以用类比的思想来引导学生自主地探究圆与圆的位置关系.作为解析几何的一堂课,判断圆与圆的位置关系,体现的正是解析几何的思想：用代数方法处理几何问题,用几何方法处理代数问题.所以在教材处理上,对判断两圆位置关系用了代数和几何两种方法,两种方法贯穿始终,使学生对解析几何的本质有所了解.。
新人教A版高中数学(必修2)4.2.2《圆与圆的位置关系》word教案
§4.2.2圆与圆的位置关系教学目标1、知识技能目标：（1）理解圆与圆的位置的种类；（2）利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的圆心距；（3）会用圆心距判断两圆的位置关系．2、过程方法目标：通过一系列例题，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力．3、情感态度价值观目标：让学生通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想．教学重点 圆与圆的位置关系教学难点 圆与圆的位置关系的几何判定 教学过程 一、自学导航 1.问题情境：（1）初中学过的平面几何中，圆与圆的位置关系有几种？ （2）在初中，我们怎样判断圆与圆的位置关系呢？ 2.学生活动（1）你能说出判断圆与圆的位置关系的两种方法吗？方法一：利用圆与圆的交点个数；方法二：利用圆心距d 与半径之间的关系. （2）如何用圆与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？ （3）若将两个圆的方程相减，你发现了什么？ 二、探究新知1、两个圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含.2、判断两圆位置关系的方法：（1）几何方法：设两圆的圆心距d ，半径12,r r ，则： ①当12d r r >+时，圆1C 与圆2C 相离； ②当12d r r =+时，圆1C 与圆2C 外切；③当<-||21r r 12d r r <+时，圆1C 与圆2C 相交； ④当12||d r r =-时，圆1C 与圆2C 内切； ⑤当12||d r r <-时，圆1C 与圆2C 内含；步骤：①计算两圆半径12,r r ；②计算两圆圆心距d ；③根据d 与12,r r 的关系判断两圆的位置关系.（2）代数方法：方程组221112222200x y D x E y F x y D x E y F ⎧++++=⎪⎨++++=⎪⎩ 有两组不同实数解⇔相交；有两组相同实数解⇔相切（内切或外切）；无实数解⇔相离（外离或内含）.3.两圆相交时的公共弦方程及弦长计算设相交两圆的方程为：222211122200x y D x E y F x y D x E y F ++++=++++=与 则公共弦的方程为：121212(-)(-)(-)0D D x E E y F F ++= 三、例题精讲：例1（书P 104例1） 判断下列两圆的位置关系：2222(1)(2)(2)1(2)(5)16x y x y ++-=-+-=与 222226706270x y x x y y ++-=++-=（）与变式题1：已知圆1C ：2224x y mx y +-++250m -=，圆2C ： 2222x y x my +--+230m -=，m 为何值时，（1）圆1C 与圆2C 相 外切？（52m m =-=或）（2）圆1C 与圆2C 相内含？（21m -<<-） 变式题2：已知圆()22422010x y ax ay a +-++-=与圆224x y +=相切，求a 的值.（1a =） 例2 圆224410x y x y ++--=与圆222130x y x ++-=相交于,P Q 两点，求直线PQ 的方 程及公共弦PQ 的长． 答案：260x y -+=；6变式题：求以圆1C ：22122130x y x y +---=和圆2C ：221216250x y x y +++-=公共弦为直径的圆的方程.22221221301216250x y x y x y x y ⎧+---=⎪⎨+++-=⎪⎩相减得公共弦 所在直线方程为4320x y +-=，再由224320122130x y x y x y +-=⎧⎨+---=⎩联立得两交点坐标()1,2A -、()5,6B -.∵所求圆以AB为直径，∴圆心是AB 的中心点()2,2M -，圆的半径为152r AB ==.于是圆的方程为()()222225x y -++=.方法二：设所求圆2212x y x +--()222131216250y x y x y λ-++++-=()λ参数，得圆心()()1212162,2121λλλλ⎛⎫---- ⎪ ⎪++⎝⎭，∵圆心在公共弦AB 所在直线上，∴()()121216243202121λλλλ⎛⎫⎛⎫--⨯-+--= ⎪ ⎪⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，解得12λ=.故所求圆的方程2244170x y x y +-+-=. 点评：圆系方程经过220,0x y Dx Ey F Ax By C ++++=++=与交点的圆方程为22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=经过011122=+++++F y E x D y x与022222=++++F y E x D y x 交点的圆系方程为：0)(2222211122=++++++++++F y E x D y x F y E x D y x λ例3（书P 104例2）求过点(0,6)A 且与圆22:10100C x y x y +++=切于原点的圆的方程．变式题1：求过直线x + y + 4 = 0与圆x 2 + y 2 + 4x – 2y – 4 = 0的交点且与y = x 相切的圆的方程.解：设所求的圆的方程为x 2 + y 2 + 4x – 2y – 4 + λ(x + y + 4) = 0.联立方程组22424(4)0y xx y x y x y λ=⎧⎨++--+++=⎩得：2(1)2(1)0x x λλ+++-=. 因为圆与y = x 相切，所以∆=0. 即2(1)8(1)0,λλλ++-=则=3故所求圆的方程为x 2 + y 2 + 7x + y + 8 = 0. 变式题2： 求过两圆x 2 + y 2 + 6x – 4 = 0求x 2 + y 2 + 6y – 28 = 0的交点，且圆心在直线x – y – 4 = 0上的圆的方程.解：依题意所求的圆的圆心，在已知圆的圆心的连心线上，又两已知圆的圆心分别为(–3，0)和(0，–3).则连心线的方程是x + y + 3 = 0.由3040x y x y ++=⎧⎨--=⎩ 解得1272x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 所以所求圆的圆心坐标是17(,)22-. 设所求圆的方程是x 2 + y 2 – x + 7y + m = 0由三个圆有同一条公共弦得m = –32. 故所求方程是x 2 + y 2 – x + 7y – 32 = 0. 四、课堂精练1.判断下列两个圆的位置关系：2222(1)(3)(2)1(7)(1)36x y x y -++=-+-=与； 2222(2)2232030x y x y x y x y +-+=+--=与3．2.已知以C （-4,3）为圆心的圆与圆221x y +=相切，求圆C 的方程. 答案：（1）内切；（2）相交3.若圆222x y m +=与圆2268x y x y ++-110-=相交，求实数m 的取值范围． 答案：(11,1)(1,11)--4. 已知圆1C ：222210x y kx k +-+-=和圆2C ：2222(1)20x y k y k k +-+++=，则当它们圆心之间的距离最短时，两圆的位置关系如何? 答案：两圆的位置关系为相交5.已知一个圆经过直线240x y ++=与圆222410x y x y ++-+=的两个交点，并且有最小面积，求此圆的方程． 答案：221364()()555x y ++-=6.已知圆221:2610C x y x y ++-+=，圆222:42110C x y x y +-+-=，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长． 答案：3x -4y +6=0；245五、回顾小结：提出下列问题让学思考：（1）通过两个圆的位置关系的判断，你学到了什么？（2）判断两个圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？ （3）如何求相交两圆的相交弦的方程及弦长？分层训练1.已知01r <<，则两圆222x y r +=与22(1)(1)2x y -++=的位置关系是 .相交 2. 两圆2220x y x +-=与2240x y y +-=的公共弦长.3.两圆2222440,2120x y x y x y x ++-=++-=相交于A ,B 两点，则直线AB 的方程是 . 答案：260x y --=4.已知两圆2260x y x +-=与224x y y m +-=,则m 时，两圆相切. 答案：18+18-5.求经过点M (2,-2)，及圆2260x y x +-=与224x y +=交点的圆的方程. 答案： 22320x y x +--=6.求过两圆221:420C x y x y +-+=和圆222:240C x y y +--=的交点,且圆心在直线:2410l x y +-=上的圆的方程. 答案：22310x y x y +-+-=六、拓展延伸1.已知点(5,4)P ，圆C ：2268110x y x y +---=，过P 作圆D ，使C 与D 相切，并且使D 的圆心坐标是正整数，求圆D 的标准方程.解：点P 在圆C 内部，所以圆D 与圆C 内切，设圆D ()()222x a y b r -+-=，由点在圆上和两圆内切得到133a r =-，14r ≤≤，讨论r 后只有2r =和4满足，圆D 方程为()()22744x y -+-=或()()221416x y -+-=）2.已知两圆1C ：2260x y y +-=， 2C ：(()2211x y -+-=.（1）求证两圆外切，且x 轴是它们的一条外公切线； （2）求出它的另一条外公切线方程.解：（1）略（2）解：如下图由条件可得12C C 的斜率为k ==12C C 的倾斜角为0150，由平面几何知识可知另一条外公切线AB 的倾斜角为0120，∵直线12C C 的方程为33y x -=-，令0y =得x =，∴两外公切线交点坐标为()，∴另一条外公切线AB 的方程为y x =-. 七、课后作业创新课时训练15课时 八、教学后记：。
人教版高中数学高一必修2课件4.2.24.2.3圆与圆的位置关系
解析答案
12345ห้องสมุดไป่ตู้
4.圆x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x－6y＋40＝0的公共弦长为( C )
A. 5
B. 6
C.2 5
D.2 6
解析 x2＋y2＝50与x2＋y2－12x－6y＋40＝0作差，得两圆公共弦所在的
直线方程为2x＋y－15＝0.
圆
x2＋y2＝50
的圆心(0，0)到
2x＋y－15＝0
位置关系 外离
外切
相交
内切
内含
图示
d与r1、r2 _d_>_r_1_＋__r2__ _d_＝__r_1＋__r_2_ _|r_1_－__r2_|<__d_<_r_1_＋__r2_ _d_＝__|r_1_－__r2_| _d_<_|_r1_－__r_2_| 的关系
答案
(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断. 圆圆CC21方方程程―消―元→一元二次方程ΔΔΔ>＝ <000⇒⇒⇒相外内交离切或或内外含切 思考 当两个圆仅有一个公共点时，这两个圆一定外切吗？ 答 不一定，也有可能是内切.
解析 由xx22＋＋yy22＋＝21x，＋2y＋1＝0，
解得xy＝ ＝－ 0 1， 或xy＝ ＝－ 0，1.
解析答案
12345
3.若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
的圆心位于( B )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析 因为直线通过第一、二、四象限， 所以a＜0，b＞0，故圆心位于第二象限.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 已知圆C1的方程为x2＋y2＋2x＋4y－20＝0，圆C2的方程为x2 ＋y2－4x＋4y－2＝0，试判断圆C1与圆C2的位置关系.
新人教A版必修2高中数学学案教案： 4.2.2圆与圆的位置关系
数学 4.2.2圆与圆的位置关系教案 新人教A 版必修2一、教学目标1、知识与技能：（1）能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系；（2）掌握求圆的切线方程的方法。
2、过程与方法：探索圆与圆的位置关系的判断方法；会求圆的切线的方程。
3、情感态度与价值观：通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想。
二、教学重点、难点：重点：圆与圆的位置关系的判断，圆的切线方程的求法。
难点：用坐标法判断圆与圆的位置关系，求圆的切线的方程。
三、教学过程（一）实例引入例1、已知圆C 1：088222=-+++y x y x ，圆C 2：024422=---+y x y x ，试判断圆C 1与圆C 2的关系。
思考：圆与圆的位置关系有哪几种？如何根据圆的方程，判断它们之间的位置关系？（二）解决问题圆与圆的位置关系：相离，外切，相交，内切，内含。
判断方法： 方法一：联立方程组，考察方程组有无实数解。
方法二：依据圆心距l = |C 1C 2|与两半径长的和21r r +或两半径的差的绝对值||21r r -的大小关系，判断两圆的位置关系：（1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离；（2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切； （3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交；（4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C 内切；（5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C 内含。
解法一：联立方程组，相减得：x + 2y – 1 = 0，代入圆的方程，并整理得： 0322=--x x ，因为△ > 0，所以两个圆有两个公共点。
解法二：因为10),2,2(;5),4,1(2211==--r C r C ，所以53||21=C C ， 得10553105+<<-，所以<-||21r r 21r r l +<，两个圆相交。
高中数学(4.2.2圆与圆的位置关系)示范教案新人教A版必修2
圆与圆的地点关系整体设计教课剖析本节课研究圆与圆的地点关系, 要点是研究两圆地点关系的判断方法, 并应用这些方法解决有关的实质问题. 教材是在初中平面几何对圆与圆的地点关系的初步剖析的基础上联合前方学习的点与圆、直线与圆的地点关系, 获得圆与圆的地点关系的几何方法, 用代数的方法来解决几何问题是分析几何的精华, 是平面几何问题的深入, 它将是此后办理圆锥曲线的常用方法 . 所以 , 增添了用代数方法来剖析地点关系, 这样有益于培育学生数形联合、经历几何问题代数化等分析几何思想方法及辩证思想能力, 其基本思想方法和解决问题的技巧对此后整个圆锥曲线的学习有着特别重要的意义. 依据学生的基础, 学习的自觉性和主动性, 自主学习和研究学习能力, 平常的学习养成的擅长察看、剖析和思虑的习惯, 同时因为本节课从内容构造与思想方法上与直线与圆的地点关系相像, 学生对上节课内容掌握较好, 进而本节课从学生学习的角度来看不会存在太多的阻碍, 因此教课方法能够是指引学生从类比直线与圆位置关系来自主研究圆与圆的地点关系.三维目标使学生理解并掌握圆和圆的地点关系及其判断方法. 培育学生自主研究的能力. 经过用代数的方法剖析圆与圆的地点关系, 使学生体验几何问题代数化的思想, 深入认识分析几何的实质 , 同时培育学生剖析问题、解决问题的能力, 并进一步领会数形联合的思想.要点难点教课要点：求弦长问题, 判断圆和圆的地点关系.教课难点 : 判断圆和圆的地点关系.课时安排1课时教课过程导入新课思路 1. 平面几何中 , 圆与圆的地点关系有哪几种呢？怎样判断圆与圆之间的地点关系呢？判断两圆的地点关系的步骤及其判断方法以下: 第一步：计算两圆的半径R,r ；第二步：计算两圆的圆心距O1O2, 即 d；第三步：依据 d 与 R,r 之间的关系 , 判断两圆的地点关系.两圆的地点关系：外离外切订交内切内含d＞ R+r d=R+r|R-r|＜d＜R+r d=|R-r|d＜ |R-r|在分析几何中 , 我们用代数的方法怎样判断圆与圆之间的地点关系呢？这就是我们本堂课研究的课题 , 教师板书课题圆与圆的地点关系 .思路 2. 前方我们学习了点与圆的地点关系、直线与圆的地点关系, 那么 , 圆与圆的地点关系有哪几种呢？怎样判断圆与圆之间的地点关系呢？教师板书课题: 圆与圆的地点关系.推动新课新知研究提出问题①初中学过的平面几何中, 圆与圆的地点关系有几种？②判断两圆的地点关系, 你有什么好的方法吗？③你能在同一个直角坐标系中画出两个方程所表示的圆吗？④依据你所画出的图形, 能够直观判断两个圆的地点关系. 怎样把这些直观的事实转变为数学语言呢？⑤怎样判断两个圆的地点关系呢？⑥若将两个圆的方程相减 , 你发现了什么？⑦两个圆的地点关系能否能够转变为一条直线与两个圆中的一个圆的关系的判断呢？活动：教师指引学生回首学过的知识、举例 , 并对学生活动进行评论；学生回首知识点时, 可互相沟通 . 教师指引学生阅读教科书中的有关内容 , 注意个别指导 , 解答学生疑难 , 并指引学生自己总结解题的方法 . 学生察看图形并思虑 , 发布自己的解题方法 . 教师应当关注并发现有多少学生利用“图形”求解 , 对这些学生应当赐予夸奖 . 同时重申 , 分析几何是一门数与形联合的学科 . 启迪学生利用图形的特点, 用代数的方法来解决几何问题. 教师指导学生利用两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来鉴别两个圆的地点. 学生相互商讨、沟通 , 找寻解决问题的方法 , 并能经过图形的直观性, 利用平面直角坐标系的两点间距离公式追求解题的途径.议论结果：①初中学过的平面几何中, 圆与圆的地点关系有五类, 分别是外离、外切、订交、内切、内含 .②判断两圆的地点关系, 我们能够类比直线与圆的地点关系的判断, 当前我们只有初中学过的几何法 , 利用圆心距与两圆半径的和与差之间的关系判断.③略 .④依据所画出的图形, 能够直观判断两个圆的地点关系. 用几何的方法说就是圆心距(d) 与两圆半径 (r,R)的和与差之间的关系.⑤判断两个圆的地点关系. 一是能够利用几何法, 即两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来鉴别两个圆的地点关系. 设两圆的连心线长为l, 则鉴别圆与圆的地点关系的依照有以下几点：1°当 d＞ R+r 时 , 圆 C1与圆 C2外离；2°当 d=R+r 时 , 圆 C1与圆 C2外切；3°当 |R-r|＜d＜R+r时,圆C1与圆C2订交；4°当 d=|R-r|时,圆C1与圆C2内切；5°当 d＜ |R-r|时,圆C1与圆C2内含；二是看两圆的方程构成的方程组的实数解的状况, 解两个圆的方程所构成的二元二次方程组 . 若方程组有两组不一样的实数解, 则两圆订交；若方程组有两组同样的实数解, 则两圆相切；若无实数解, 两圆相离 .总结比较两种方法的优弊端.几何方法：直观, 简单理解 , 但不可以求出交点坐标.代数方法：1°只好判绝交点, 其实不可以正确的判断地点关系( 有一个交点时不可以判断内切仍是外切, 无交点时不可以判断内含仍是外离).2°长处是能够求出公共点.⑥若将两个圆的方程相减, 获得一个一元一次方程, 既直线方程 , 因为它过两圆的交点, 所以它是订交两圆的公共弦的方程.⑦两个圆的公共点的问题能够化归为这条公共直线与两个圆中的一个圆的公共点的判断问题. 由点到直线的距离公式来判断.应用示例思路 1例 1已知圆 C 1： x 2+y 2+2x+8y-8=0, 圆 C 2： x 2+y 2-4x-4y-2=0,判断两圆的地点关系.活动 : 学生思虑沟通 , 教师指引提示 , 判断两圆的地点关系有两种基本的方法 , 要合理使用 . 方法一看两圆的方程构成的方程组的实数解的状况 , 方法二利用圆心距与两圆半径的和与差之间的关系判断 .x 2 y 22x 8 y 8 0,(1) 解: 方法一 : 圆 C 1 与圆 C 2 的方程联立获得方程组y 2x 24x 4 y 2 0.( 2)①- ②得 x+2y-1=0,③由③得 y=1 x, 把上式代入①并整理得x 2-2x-3=0.④2=(-2) 2-4 × 1×(-3)=16 ＞ 0, 所以方程④有两个不等的实数根, 即圆 C 1与圆方程④的鉴别式 C 2订交 .方法二 : 把圆 C 1:x 2+y 2+2x+8y-8=0, 圆 C 2:x 2+y 2-4x-4y-2=0, 化为标准方程 , 得(x+1) 2+(y+4) 2=25 与(x-2) 2+(y-2) 2=10.圆 C 1 的圆心是点 (-1,-4), 半径长 r 1=5;圆 C 2 的圆心是点 (2,2),半径长 r 2= 10 .12( 12)2( 4 2) 2 =3 5 , 圆 1 2圆 C 与圆 C 的连心线的长为C 与圆C 的半径长之和为r 1+r 2 =5+ 10 ,半径长之差为 r 1-r 2=5- 10 .而5- 10＜35 ＜5+ 10 , 即 r -r＜ 3 5 ＜ r +r ,121 2所以圆 C 1 与圆 C 2 订交 , 它们有两个公共点 A 、B.评论 : 判断两圆的地点关系 , 一般状况下 , 先化为标准方程 ,利用几何法判断较为正确直观 .变式训练判断以下两圆的地点关系, 假如两圆订交 , 恳求出公共弦的方程 .(1)(x+2) 2+(y-2)2=1 与 (x-2) 2+(y-5) 2=16,(2)x 2+y 2+6x-7=0 与 x 2+y 2+6y-27=0.解 :(1) 依据题意,得两圆的半径分别为 r 1=1 和r 2=4,两圆的圆心距d= [ 2( 2) 2(5 2)2 =5.因为 d=r +r , 所以两圆外切 .12(2) 将两圆的方程化为标准方程 , 得 (x+3) 2+y 2=16,x 2+(y+3) 2=36.故两圆的半径分别为 r 1 =4 和 r 2=6,两圆的圆心距 d=(0 3) 2(3 0)23 2 .因为 |r 1-r 2| ＜ d ＜ r 1+r 2, 所以两圆订交 .例 2 已知圆 C 1:x 2+y 2+2x-6y+1=0, 圆 C 2:x 2+y 2-4x+2y-11=0, 求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长 .活动：学生审题 , 思虑并沟通 , 商讨解题的思路, 教师实时提示指引 , 因两圆的交点坐标同时满足两个圆方程 , 联立方程组 , 消去 x 2 项、y 2 项 , 即得两圆的两个交点所在的直线方程, 利用勾股定理可求出两圆公共弦长 .解: 设两圆交点为 A(x 1,y1)、B(x 2,y 2),则A、B两点坐标知足方程组x 2y 22x 6 y10,(1)x 2y 24x 2 y11 0.(2)①- ② , 得 3x-4y+6=0.因为 A、 B两点坐标都知足此方程, 所以 3x-4y+6=0 即为两圆公共弦所在的直线方程.易知圆 C1的圆心 (-1,3),半径r=3.又点 C 到直线的距离为| 1 343 6 | 9d== .1324) 25(所以 AB=2 r2 d 2 2 32(9)224,即两圆的公共弦长为24 .555评论 : 办理圆有关的问题, 利用圆的几何性质常常比较简单, 要注意领会和应用 .思路 2例 1 求过点 A(0,6) 且与圆 C:x 2+y 2+10x+10y=0 切于原点的圆的方程 .图 1活动 : 学生思虑沟通, 回首圆的方程的求法,教师指引学生注意题目的条件, 灵巧办理 , 如图 1.所求圆经过原点和A(0,6),且圆心应在已知圆的圆心与原点的连线上. 依据这三个条件可确定圆的方程 .解: 将圆 C化为标准方程 , 得 (x+5) 2+(y+5) 2=50,则圆心为C(-5,-5),半径为52.所以经过此圆心和原点的直线方程为x-y=0.设所求圆的方程为(x-a) 2+(y-b) 2=r 2.由题意 , 知 O(0,0),A(0,6)在此圆上,且圆心M(a,b)在直线x-y=0上,则有(0a) 2(0b)2r2,a3,(0a) 2(6b)2r2, 解得b3,a b 0,r 3 2.于是所求圆的方程是(x-3)2+(y-3)2=18.评论 : 求圆的方程 , 一般可从圆的标准方程和一般方程下手, 至于选择哪一种方程形式更适合,要依据题目的条件而定, 总之要让所选择的方程形式使解题过程简单.例 2已知⊙ O方程为x2+y2=4,定点A(4,0),求过点A且和⊙ O相切的动圆圆心的轨迹方程.活动：教师指引学生回首学过的知识, 两圆外切 , 连心线长等于两圆半径之和, 两圆内切 , 连心线长等于两圆半径之差, 由此可获得动圆圆心在运动中所应知足的几何条件, 而后将这个几何条件坐标化 , 即获得它的轨迹方程.解法一：设动圆圆心为P(x,y),因为动圆过定点A, 所以 |PA| 即为动圆半径 .当动圆 P 与⊙ O外切时 ,|PO|=|PA|+2 ；当动圆 P 与⊙ O内切时 ,|PO|=|PA|－ 2.综合这两种状况 , 得 ||PO| － |PA||=2.将此关系式坐标化, 得| x2y2( x4) 2y2|=2.化简可得 (x － 2)2－y2=1.3解法二：由解法一可得动点P 知足几何关系 ||OP| －|PA||=2,即 P 点到两定点 O、 A 的距离差的绝对值为定值2, 所以 P 点轨迹是以 O、 A为焦点 ,2 为实轴长的双曲线 , 中心在 OA中点 (2,0),实半轴长 a=1, 半焦距 c=2, 虚半轴长 b= c2 a 2 3 ,所以轨迹方程为 (x －2)2－y2=1.3评论：解题的过程就是实现条件向结论转变的过程, 关于圆与圆 , 要综合平面几何知识、分析几何、代数知识, 将条件转变成我们熟习的形式, 利用惯例思路去解, 求点的轨迹更要注意平面几何的知识运用.知能训练讲堂练习P141练习题讲堂小结本节课主要学习了圆与圆的地点关系，判断方法：几何方法和代数方法.作业习题 4.2 A 组 8、 9、 10、 11.设计感想本节课研究圆与圆的地点关系, 要点是研究两圆地点关系的判断方法, 并应用这些方法解决有关的实质问题 . 《圆与圆的地点关系》这个课题在新课标中, 被作为一个独立的章节,说明新课标对这一章节的要求已经有所提升, 可见有其重要性 . 教材是在初中平面几何对圆与圆的地点关系的初步剖析的基础上获得圆与圆的地点关系的几何方法, 但用代数的方法来解决几何问题是分析几何的精华, 是平面几何问题的深入, 它将是此后办理圆锥曲线的基本方法 . 所以 , 用代数方法来剖析地点关系, 这样有益于培育学生数形联合、几何问题代数化等分析几何思想方法及辩证思想能力, 其基本思想方法和解决问题的技巧对此后整个圆锥曲线的学习有着特别重要的意义. 这堂课是成立在初中已经对圆与圆的地点关系有个大略地认识的基础上 , 对这个地点关系的认识进一步深入, 并且前一堂课学习过直线与圆的地点关系, 圆与圆的地点关系的研究和直线与圆的地点关系的研究方法是近似的, 所以能够用类比的思想来指引学生自主地研究圆与圆的地点关系. 作为分析几何的一堂课, 判断圆与圆的地点关系,表现的正是分析几何的思想：用代数方法办理几何问题, 用几何方法办理代数问题 . 所以在教材办理上 , 对判断两圆地点关系用了代数和几何两种方法, 两种方法贯串一直 , 使学生对分析几何的实质有所认识 .。
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4.2.2 圆与圆的位置关系 4.2.3 直线与圆的方程的应用1．掌握圆与圆的位置关系及判定方法．(重点、易错点) 2．能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题．(难点)[基础·初探]教材整理1 圆与圆位置关系的判定阅读教材P 129至P 130“练习”以上部分，完成下列问题．1．几何法：若两圆的半径分别为r 1、r 2，两圆的圆心距为d ，则两圆的位置关系的判断方法如下：⎭⎬⎫圆C 1方程圆C 2方程――→消元一元二次方程⎩⎨⎧Δ>0⇒相交Δ＝0⇒内切或外切Δ<0⇒外离或内含两圆x 2＋y 2＝9和x 2＋y 2－8x ＋6y ＋9＝0的位置关系是( ) A ．外离 B ．相交 C ．内切D ．外切【解析】 两圆x 2＋y 2＝9和x 2＋y 2－8x ＋6y ＋9＝0的圆心分别为(0,0)和(4，－3)，半径分别为3和4.所以两圆的圆心距d＝42＋(－3)2＝5.又4－3<5<3＋4，故两圆相交．【答案】 B教材整理2直线与圆的方程的应用阅读教材P130“练习”以下至P132“练习”以上部分，完成下列问题．用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过()A．1.4米B．3.5米C．3.6米D．2米【解析】建立如图所示的平面直角坐标系．如图，设蓬顶距地面高度为h，则A(0.8，h－3.6)．半圆所在圆的方程为：x2＋(y＋3.6)2＝3.62，把A(0.8，h－3.6)代入得0.82＋h2＝3.62，∴h＝40.77≈3.5(米)．【答案】 B[小组合作型]：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2当实数k为何值时，两圆C－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？【精彩点拨】求圆C1的半径r1→求圆C2的半径r2→求|C1C2|→利用|C1C2|与|r1－r2和r1＋r2的关系求k【自主解答】将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝50－k(k＜50)．从而|C1C2|＝(－2－1)2＋(3－7)2＝5.当1＋50－k＝5，k＝34时，两圆外切．当|50－k－1|＝5，50－k＝6，k＝14时，两圆内切．当|r2－r1|＜|C1C2|＜r2＋r1，即14＜k＜34时，两圆相交．当1＋50－k＜5或|50－k－1|＞5，即0≤k＜14或34＜k＜50时，两圆相离．1．判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径；(2)计算两圆圆心的距离d；(3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．2．应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．[再练一题]1．已知圆C 1：x 2＋y 2－2ax －2y ＋a 2－15＝0，圆C 2：x 2＋y 2－4ax －2y ＋4a 2＝0(a ＞0)．试求a 为何值时，两圆C 1，C 2的位置关系为：(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含． 【解】 圆C 1，C 2的方程，经配方后可得 C 1：(x －a )2＋(y －1)2＝16， C 2：(x －2a )2＋(y －1)2＝1，∴圆心C 1(a,1)，C 2(2a,1)，半径r 1＝4，r 2＝1. ∴|C 1C 2|＝(a －2a )2＋(1－1)2＝a .(1)当|C 1C 2|＝r 1＋r 2＝5，即a ＝5时，两圆外切； 当|C 1C 2|＝r 1－r 2＝3，即a ＝3时，两圆内切． (2)当3＜|C 1C 2|＜5，即3＜a ＜5时，两圆相交． (3)当|C 1C 2|＞5，即a ＞5时，两圆外离． (4)当|C 1C 2|＜3，即a ＜3时，两圆内含．求圆12的公共弦所在直线被圆C 3：(x －1)2＋(y －1)2＝254所截得的弦长．【精彩点拨】 联立圆C 1、C 2的方程――→作差得公共弦所在的直线―→圆心C 3到公共弦的距离d ―→圆的半径r ―→弦长＝2r 2－d 2【自主解答】 设两圆的交点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则A ，B 的坐标是方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的解， 两式相减得x ＋y －1＝0.因为A ，B 两点的坐标满足 x ＋y －1＝0，所以AB 所在直线方程为x ＋y －1＝0，即C 1，C 2的公共弦所在直线方程为x ＋y －1＝0， 圆C 3的圆心为(1,1)，其到直线AB 的距离d ＝12，由条件知r 2－d 2＝254－12＝234，所以直线AB 被圆C 3截得弦长为2×232＝23.1．圆系方程一般地过圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0交点的圆的方程可设为：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0(λ≠－1)，然后再由其他条件求出λ，即可得圆的方程．2．两圆相交时，公共弦所在的直线方程若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0.3．公共弦长的求法(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．[再练一题]2．求两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长．【解】 联立两圆的方程得方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，两式相减得x －2y ＋4＝0，此为两圆公共弦所在直线的方程．法一：设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点满足方程组⎩⎨⎧ x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝－4，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.所以|AB |＝(－4－0)2＋(0－2)2＝25，即公共弦长为2 5.法二：由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，得(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径长r ＝52，圆心到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|1－2×(－5)＋4|1＋(－2)2＝3 5.设公共弦长为2l ，由勾股定理得r 2＝d 2＋l 2，即50＝(35)2＋l 2，解得l ＝5，故公共弦长2l ＝2 5.[探究共研型]探究1 表示，村外一小路方程可用x －y ＋2＝0表示，你能求出从村庄外围到小路的最短距离吗？【提示】 从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，－3)到直线x －y ＋2＝0的距离减去圆的半径2，即|2＋3＋2|12＋(－1)2－2＝722－2. 探究2 已知台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，请建立适当的坐标系，用坐标法求B 城市处于危险区内的时间．【提示】 如图，以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系． 射线AC 为∠xAy 的平分线，则台风中心在射线AC 上移动．则点B 到AC 的距离为202千米，则射线AC 被以B 为圆心，以30千米为半径的圆截得的弦长为2302－(202)2＝20(千米)．所以B 城市处于危险区内的时间为t ＝2020＝1(小时)．为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图4-2-1)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC 的专用线DE，求DE的最短距离．图4-2-1【精彩点拨】建立适当坐标系，求出圆O的方程和直线BC的方程，再利用直线与圆的位置关系求解．【自主解答】以O为坐标原点，过OB，OC的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2＋y2＝1，因为点B(8,0)，C(0,8)，所以直线BC的方程为x8＋y8＝1，即x＋y＝8.当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆的切点处时，DE为最短距离．此时DE长的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1) km.解决关于直线与圆方程实际应用问题的步骤[再练一题]3．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km 处，受影响的范围是半径为30 km 的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？【解】 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x 轴建立直角坐标系(如图)，其中取10 km 为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x 2＋y 2＝9， 港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)， 则轮船航线所在直线l 的方程为x 7＋y4＝1， 即4x ＋7y －28＝0.圆心(0,0)到航线4x ＋7y －28＝0的距离d ＝|－28|42＋72＝2865，而半径r ＝3，∴d ＞r ，∴直线与圆外离，所以轮船不会受到台风的影响．1．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系为()A．外离B．相交C．外切D．内切【解析】圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径长r1＝1；圆O2的圆心坐标为(0,2)，半径长r2＝2；1＝r2－r1＜|O1O2|＝5＜r1＋r2＝3，即两圆相交．【答案】 B2．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB的垂直平分线方程为()A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0【解析】所求直线即两圆圆心(1,0)、(－1,2)连线所在直线，故由y－0 2－0＝x－1－1－1，得x＋y－1＝0.【答案】 A3．圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为________.【解析】C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1，m)，r2＝2，由题意得|C1C2|＝5，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，解得m＝2或m＝－5.【答案】2或－54．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A、B两点，则直线AB的方程是________．【解析】过两圆交点的直线就是两圆公共弦所在直线，因此该直线方程为：x2＋y2－10－[(x－1)2＋(y－3)2－20]＝0，即x＋3y＝0.【答案】x＋3y＝05．求经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．【解】 法一：解方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2＋6x －4＝0，x 2＋y 2＋6y －28＝0，得两圆的交点A (－1,3)，B (－6，－2)．设所求圆的圆心为(a ，b )，因为圆心在直线x －y －4＝0上，故b ＝a －4. 则有(a ＋1)2＋(a －4－3)2 ＝(a ＋6)2＋(a －4＋2)2， 解得a ＝12，故圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－72， 半径为⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－72－32＝892.故圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋722＝892，即x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0.法二：∵圆x 2＋y 2＋6y －28＝0的圆心(0，－3)不在直线x －y －4＝0上，故可设所求圆的方程为x 2＋y 2＋6x －4＋λ(x 2＋y 2＋6y －28)＝0(λ≠－1)，其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－31＋λ，－3λ1＋λ，代入x －y －4＝0，求得λ＝－7. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0.。