北京市高中数学 教材分析与教学参考 新人教B版必修3
高中数学第六章6.2.1导数与函数的单调性课件新人教B版选择性必修第三册
核心互动探究
探究点一 函数单调区间的判断及求解 【典例1】(1)设f(x)=x-sin x,则f(x) ( ) A.既是奇函数又是减函数 B.既是奇函数又是增函数 C.是有零点的减函数 D.是没有零点的奇函数 (2)求函数f(x)=3x2-2ln x的单调区间. 【思维导引】(1)利用奇偶性的定义判断f(x)=x-sin x的奇偶性,利用导数判断其 单调性. (2)先求导,令导函数值大于0,得到增区间,令导函数值小于0,得到减区间.
【解析】选D.从原函数y=f(x)的图像可以看出,其在区间(-∞,0)上是减函数, f′(x)<0;在区间(0,x1)上是增函数,f′(x)>0;在区间(x1,x2)上是减函数, f′(x)<0; 在区间(x2,+∞)上是增函数,f′(x)>0.结合选项可知,只有D项满足.
2.已知导函数y=f′(x)的图像如图所示,请根据图像写出原函数y=f(x)的单调 递增区间是________.
6.2 利用导数研究函数的性质 6.2.1 导数与函数的单调性
新课程标准
素养风向标
1.结合实例,借助几何 直观探索并了解函数的 单调性与导数的关系 2.能利用导数研究函数 的单调性 3.会求不超过三次的多 项式函数的单调区间
1.通过数与形的研究,探索导数与函数单调性 的关系(数学抽象) 2.通过新旧方法的比较,体会导数应用的优越 性(数学运算) 3.通过典型问题的解决,强化导数在函数单调 性中的应用意识(数学运算)
2.观察图像,完成下表:
人教版新课标B版高中数学所有目录和知识点
选修4-1 几何证明选修4-4 坐标系与参数方程选修4-5 不等式选讲每章节主要内容：必修1 集合1．如何区分φ、{φ}、0、{()；}？2．集合的运算有哪些常用性质与结论？3．对应、映射、函数有何关系？必修1 函数4．求函数解析式有哪些常用方法？5．判断函数单调性有哪些常用方法？6．函数的单调性有哪些应用？7．判断函数奇偶性要注意什么？判断函数奇偶性常用的方法有哪些？8．函数的奇偶性有哪些性质？9．函数一定存在反函数么？什么样的函数存在反函数？10．如何求二次函数在区间上的最值？11．函数的零点是函数的图像与x轴的交点吗？它与方程的根有何关系？12．分数指数幂与根式有何关系？13．指数式ab=N与对数式logoN中，a，6，N三者之间有何关系？14．指数函数、对数函数有哪些常见问题？必修2 直线和圆的方程20．直线的倾斜角和斜率有何关系？21．直线方程的五种形式有哪些限制条件？22．两直线平行、垂直的等价条件是什么？23．什么是直线系？常见的直线系有哪些？有何应用？24．平面解析几何中常用的对称公式有哪些？25．求圆的方程常用的方法有哪些？26．直线与圆有几种位置关系？如何判断？27．圆与圆有几种位置关系？如何判定？28．会写出过两圆交点的圆系方程吗？它有何应用？必修3 算法29．算法有哪些特征？它的描述方法有哪些？30．画程序框图有什么规则？31．算法有几种基本的逻辑结构？共同点是什么？如何用框图表示？32．基本的算法语句有哪几种？如何使用？必修3 统计——抽样33．简单随机抽样有什么特点？它有哪些具体的方法？34．系统抽样有什么特点？当总体容量不能被样本容量整除时怎么办？35．分层抽样、简单随机抽样、系统抽样有什么共同点和不同点？必修3 统计——样本分布36．样本频率分布直方图与总体密度曲线有何关系？37．什么是众数、中位数、平均数？这些数字特征在反映总体时有哪些优缺点？38．方差和标准差在反映总体时有什么意义？必修3 概率39．频率和概率有何关系？40．互斥事件与对立事件有何关系？如何判断互斥事件与对立事件？15．幂函数的图像有哪几种形式？有哪些性质？必修2 立体几何16．如何证明线线、线面、面面之间的平行和垂直？17．四面体中有哪些常见的数量关系和位置关系？18．立体几何中分割与补形有哪些常见技巧？19．经度、纬度分别指的是什么角？如何求两点间的球面距离？必修2 直线和圆的方程20．直线的倾斜角和斜率有何关系？21．直线方程的五种形式有哪些限制条件？22．两直线平行、垂直的等价条件是什么？23．什么是直线系？常见的直线系有哪些？有何应用？24．平面解析几何中常用的对称公式有哪些？25．求圆的方程常用的方法有哪些？26．直线与圆有几种位置关系？如何判断？27．圆与圆有几种位置关系？如何判定？28．会写出过两圆交点的圆系方程吗？它有何应用？必修3 算法29．算法有哪些特征？它的描述方法有哪些？30．画程序框图有什么规则？31．算法有几种基本的逻辑结构？共同点是什么？如何用框图表示？32．基本的算法语句有哪几种？如何使用？必修3统计——抽样33．简单随机抽样有什么特点？它有哪些具体的方法？34．系统抽样有什么特点？当总体容量不能被样本容量整除时怎么办？35．分层抽样、简单随机抽样、系统抽样有什么共同点和不同点？必修3统计——样本分布36．样本频率分布直方图与总体密度曲线有何关系？37．什么是众数、中位数、平均数？这些数字特征在反映总体时有哪些优缺点？38．方差和标准差在反映总体时有什么意义？必修3 概率39．频率和概率有何关系？40．互斥事件与对立事件有何关系？如何判断互斥事件与对立事件？……必修4 三角函数必修4 平面向量必修5 解三角形必修5 数列必修5 不等式选修2-1（选修1-1）简单逻辑选修2-1（选修1-1）圆锥曲线选修2-1 空间向量、角度及距离选修2-2 导数、微积分定理选修2-2（选修1-2）推理与证明复数选修2-3 排列组合、二项式定理、数据分布选修4-1 几何证明选修4-4 坐标系与参数方程选修4-5 不等式选讲。
高中数学新人教B版必修3 随机现象 事件与基本事件空间
判断是必然现象还是随机现象关键点是看给定条件 下的结果是否一定发生，若一定发生，则为必然现象，若 不确定，则其为随机现象，即随机现象事先难以预料，而 必然现象事先就能知道结果．
[活学活用] 判断下列现象是必然现象还是随机现象． (1)在一个装有 1 个白球，9 个黄球的不透明袋子中，任意摸出两 球，至少有一个黄球； (2)一个不透明的袋子中装有 5 个白球，2 个黑球，3 个红球，大 小形状完全相同，搅拌均匀后，从中任取一球为红球． 解：(1)袋中装有 1 个白球、9 个黄球，从中任取 2 个，一定至少 有一个黄球，故是必然现象． (2)袋中有 5 个白球，2 个黑球，3 个红球，从中任取一个，可能 是白球，可能是黑球，也可能是红球，故是随机现象.
事件与概率
3．1.1 & 3.1.2 随机现象 事件与基本事件空间
预习课本 P91～94，思考并完成以下问题 (1)必然现象和随机现象是如何定义的？
(2)事件分为哪三类？
(3)基本事件和基本事件空间是如何定义？
[新知初探]
1．随机现象与随机事件 (1)必然现象与随机现象：
现象
条件
特征
必然现里有 一个以上的球，这个结果一定发生，故为必然现象；
(2)射击运动员每次射击命中的环数可能为 1 环，2 环等，因 此是随机现象；
(3)三角形的内角和一定是 180°，是确定的，故为必然现； (4)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的开口方向与 a 的取值有 关，当 a>0 时，开口向上，当 a<0 时，开口向下，故在 a≠0 的 条件下开口可能向上也可能向下，故是随机现象．
必 __然__发__生__某种结果的现象
在一定 条件下
多次观察同一现象，每次观 察到的结果__不__一__定__相__同__， 事先很难预料哪一种结果会
高中数学 1.2.1赋值、输入和输出语句课件 新人教B版必修3
第二十九页，共42页。
(3)∵a＝2，b＝－5， ∴a＝a＋b＝－3，b＝a－b＝－3－(－5)＝2， ∴a＝a－2 b＝－32－2＝－2.5， b＝a＋2 b＝－2.25＋2＝－0.25. 故运行的结果为：a＝－2.5，b＝－0.25.
(2)计算机执行到输入语句时，等候用户输入“提示内容” 所提示的数据，输入后回车，则程序继续运行，“提示内容” 及其后的“；”可省略．
(3)输出(shūchū)语句可以输出(shūchū)常量、变量或表达式 的值(输出(shūchū)语句有计算功能)或字符，程序中引号内的部 分将原始呈现．
第二十一页，共42页。
第三十页，共42页。
赋值、输入(shūrù)、输出语句在现实生活中的应 用
甲、乙、丙三名同学语文、数学、英
甲
85
92
73
乙
88
75
84
丙
79
98
83
设计一个程序，计算每个学生的总分和平均分． [分析] 先输入某个学生每科的成绩，然后(ránhòu)将它们 求和即可得到总分，将总分除以3便可以得到平均分．
第三十一页，共42页。
[解析] 程序如下： chn＝input“请输入语文成绩”； math＝input“请输入数学成绩”； en＝input“请输入英语成绩” S＝chn＋math＋en； aver＝S/3； print%io2，S，aver；
第三十二页，共42页。
2019-2020学年高中数学人教B版必修3教学案：第三章 3.1 3.1.1 & 3.1.2 随机现象 事件与基本事件空
3．1.1 & 3.1.2随机现象事件与基本事件空间预习课本P91～94，思考并完成以下问题(1)必然现象和随机现象是如何定义的？(2)事件分为哪三类？(3)基本事件和基本事件空间是如何定义？[新知初探]1．随机现象与随机事件(1)必然现象与随机现象：(2)事件：①不可能事件：在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果．②必然事件：在同样的条件下重复进行试验时，每次试验中一定会发生的结果．③随机事件：在同样的条件下重复进行试验时，可能发生，也可能不发生的结果．2．基本事件与基本事件空间(1)基本事件：试验中不能再分的最简单的，且其他事件可以用它们来描绘的随机事件．(2)基本事件空间：①定义：所有基本事件构成的集合称为基本事件空间．②表示：基本事件空间常用大写希腊字母Ω表示．[小试身手]1．下列现象是必然现象的是( )A．一天中进入某超市的顾客人数B．一顾客在超市中购买的商品数C．一颗麦穗上长着的麦粒数D．早晨太阳从东方升起答案：D2．下列事件：①长度为3,4,5的三条线段可以构成一个直角三角形；②经过有信号灯的路口，遇上红灯；③下周六是晴天．其中，是随机事件的是( )A．①②B．②③C．③①D．②解析：选B①为必然事件；②③为随机事件．3．“李晓同学一次掷出3枚骰子，3枚全是6点”的事件是( )A．不可能事件B．必然事件C．可能性较大的随机事件D．可能性较小的随机事件解析：选D掷出的3枚骰子全是6点，可能发生，但发生的可能性较小．4．先后抛掷两枚质地均匀的硬币，所有可能的结果为________．答案：(正，正)、(正，反)、(反，正)、(反，反)必然现象、随机现象[典例](1)将三个小球全部放入两个盒子中，其中有一个盒子里有一个以上的球；(2)一个射击运动员每次射击命中的环数；(3)三角形的内角和为180°；(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的开口方向．[解](1)三个小球全部放入两个盒子，其中有一个盒子里有一个以上的球，这个结果一定发生，故为必然现象；(2)射击运动员每次射击命中的环数可能为1环，2环等，因此是随机现象；(3)三角形的内角和一定是180°，是确定的，故为必然现象；(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的开口方向与a的取值有关，当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下，故在a≠0的条件下开口可能向上也可能向下，故是随机现象．判断是必然现象还是随机现象关键点是看给定条件下的结果是否一定发生，若一定发生，则为必然现象，若不确定，则其为随机现象，即随机现象事先难以预料，而必然现象事先就能知道结果．[活学活用]判断下列现象是必然现象还是随机现象．(1)在一个装有1个白球，9个黄球的不透明袋子中，任意摸出两球，至少有一个黄球；(2)一个不透明的袋子中装有5个白球，2个黑球，3个红球，大小形状完全相同，搅拌均匀后，从中任取一球为红球．解：(1)袋中装有1个白球、9个黄球，从中任取2个，一定至少有一个黄球，故是必然现象．(2)袋中有5个白球，2个黑球，3个红球，从中任取一个，可能是白球，可能是黑球，也可能是红球，故是随机现象.事件类型的判断[典例](1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；(2)三角形的两边之和大于第三边；(3)没有空气和水，人类可以生存下去；(4)从分别标有1,2,3,4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；(5)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．[解](1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件．(2)所有三角形的两边之和都大于第三边，所以是必然事件．(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件．(4)任意抽取，可能得到1,2,3,4号标签中的任一张，所以是随机事件．(5)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件．对事件分类的两个关键点(1)条件：在条件S下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生；(2)结果发生与否：有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况．[活学活用]指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件．(1)我国东南沿海某地明年将受到3次冷空气的侵袭；(2)抛掷硬币10次，至少有一次正面向上；(3)同一门炮向同一目标发射多枚炮弹，其中50%的炮弹击中目标；(4)没有水分，种子发芽．解：(1)我国东南沿海某地明年可能受到3次冷空气侵袭，也可能不是3次，是随机事件．(2)抛掷硬币10次，也可能全是反面向上，也可能有正面向上，是随机事件．(3)同一门炮向同一目标发射，命中率可能是50%，也可能不是50%，是随机事件．(4)没有水分，种子不可能发芽，是不可能事件.基本事件与基本事件空间[典例] y，结果为(x，y)．(1)写出这个试验的基本事件空间；(2)求这个试验的基本事件的总数；(3)“x＋y＝5”这一事件包含哪几个基本事件？“x<3且y>1”呢？(4)“xy＝4”这一事件包含哪几个基本事件？“x＝y”呢？[解](1)Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1, 3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．(2)基本事件的总数为16.(3)“x＋y＝5”包含以下4个基本事件：(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)；“x<3且y>1”包含以下6个基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)．(4)“xy＝4”包含以下3个基本事件：(1,4)，(2,2)，(4,1)；“x＝y”包括以下4个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．确定基本事件空间的方法(1)必须明确事件发生的条件；(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．[活学活用]甲、乙两人做出拳游戏(锤、剪、布)．(1)写出基本事件空间；(2)写出事件“甲赢”；(3)写出事件“平局”．解：(1)Ω＝{(锤，剪)，(锤，布)，(锤，锤)，(剪，锤)(剪，剪)，(剪，布)，(布，锤)，(布，剪)，(布，布)}．(2)记“甲赢”为事件A，则A＝{(锤，剪)，(剪，布)，(布，锤)}．(3)记“平局”为事件B，则B＝{(锤，锤)，(剪，剪)，(布，布)}．[层级一学业水平达标]1．同时投掷两枚大小相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的基本事件的个数是( )A．3 B．4C．5 D．6解析：选D有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)共6个基本事件．2．在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不可能事件为( )A．3件都是正品B．至少有1件次品C．3件都是次品D．至少有1件正品解析：选C25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品．3．写出下列试验的基本事件空间：(1)甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果(包括平局)________；(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数________．解析：(1)对于甲队来说，有胜、平、负三种结果；(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，其次品的个数可能为0,1,2,3,4，不能再有其他结果．答案：(1)Ω＝{胜，平，负} (2)Ω＝{0,1,2,3,4}4．做试验“从0,1,2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，构成有序数对(x，y)，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字”．(1)写出这个试验的基本事件空间；(2)求这个试验基本事件的总数；(3)写出“第1次取出的数字是2”这一事件．解：(1)这个试验的基本事件空间Ω＝{(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,2)，(2,0)，(2,1)}．(2)易知这个试验的基本事件的总数是6.(3)记“第1次取出的数字是2”这一事件为A，则A＝{(2,0)，(2,1)}．[层级二应试能力达标]1．下面事件：①某项体育比赛出现平局；②抛掷一枚硬币，出现反面；③全球变暖会导致海平面上升；④一个三角形的三边长分别为1,2,3.其中是不可能事件的是( ) A．①B．②C．③D．④解析：选D三角形的三条边必须满足两边之和大于第三边．2．在1,2,3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么“这三个数字的和大于6”这一事件是( ) A．必然事件B．不可能事件C．随机事件D．以上选项均不正确解析：选C若取1,2,3，则和为6，否则和大于6，所以“这三个数字的和大于6”是随机事件．3．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合A中任取不相同的两个数作为点P的坐标，则事件“点P落在x轴上”包含的基本事件共有( )A．7个B．8个C．9个D．10个解析：选C“点P落在x轴上”包含的基本事件的特征是纵坐标为0，横坐标不为0，因A中有9个非零数，故选C.4．已知集合A是集合B的真子集，下列关于非空集合A，B的四个命题：①若任取x∈A，则x∈B是必然事件；②若任取x∉A，则x∈B是不可能事件；③若任取x∈B，则x∈A是随机事件；④若任取x∉B，则x∉A是必然事件．其中正确的命题有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C∵集合A是集合B的真子集，∴A中的任意一个元素都是B中的元素，而B中至少有一个元素不在A中，因此①正确，②错误，③正确，④正确．5．下列给出五个事件：①某地2月3日下雪；②函数y＝a x(a>0，且a≠1)在定义域上是增函数；③实数的绝对值不小于0；④在标准大气压下，水在1 ℃结冰；⑤a，b∈R，则ab＝ba.其中必然事件是________；不可能事件是________；随机事件是________．解析：由必然事件、不可能事件、随机事件的定义即可得到答案．答案：③⑤④①②6．从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数，则其和为奇数这一事件包含的基本事件数为________．解析：从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)共10种情况，其中(1,2,4)，(1,3,5)，(2,3,4)，(2,4,5)中三个数字之和为奇数．答案：47．设集合A＝{x|x2≤4，x∈Z}，a，b∈A，设直线3x＋4y＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝1相切为事件M，用(a，b)表示每一个基本事件，则事件M所包含的基本事件为___________．解析：A ＝{－2，－1,0,1,2}，由直线与圆相切知，|3a ＋4b|5＝1， 所以3a ＋4b ＝±5，依次取a ＝－2，－1,0,1,2，验证知，只有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－2满足等式． 答案：(－1,2)，(1，－2)8．将一枚质地均匀且四个面上分别标有1,2,3,4的正四面体先后抛掷两次，其底面落于桌面上，记第一次朝下面的数字为x ，第二次朝下面的数字为y .用(x ，y )表示一个基本事件．(1)请写出所有的基本事件．(2)满足条件“x y为整数”这一事件包含哪几个基本事件？ 解：(1)先后抛掷两次正四面体的基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．共16个基本事件．(2)用A 表示满足条件“x y为整数”的事件， 则A 包含的基本事件有：(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共8个基本事件．9．设有一列北上的火车，已知停靠的站由南至北分别为S 1，S 2，…，S 10站．若甲在S 3站买票，乙在S 6站买票，设基本事件空间Ω表示火车所有可能停靠的站，令A 表示甲可能到达的站的集合，B 表示乙可能到达的站的集合．(1)写出该事件的基本事件空间Ω；(2)写出事件A 、事件B 包含的基本事件；(3)铁路局需为该列车准备多少种北上的车票？解：(1)Ω＝{S 1，S 2，S 3，S 4，S 5，S 6，S 7，S 8，S 9，S 10}；(2)A ＝{S 4，S 5，S 6，S 7，S 8，S 9，S 10}；B ＝{S 7，S 8，S 9，S 10}．(3)铁路局需要准备从S 1站发车的车票共计9种，从S 2站发车的车票共计8种，……，从S 9站发车的车票1种，合计共9＋8＋…＋2＋1＝45(种)．。
新教材人教B版高中数学选择性必修第三册教案设计-导数与函数的单调性
6.2利用导数研究函数的性质6．2.1导数与函数的单调性学习目标核心素养1.理解导数与函数的单调性的关系．(易混点)2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．(重点)3．会用导数求函数的单调区间．(重点、难点)1.通过利用导数判断函数单调性法则的学习，提升数学抽象素养．2．借助判断函数单调性及求函数的单调区间，提升逻辑推理、数学运算素养.图(1)表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图像，图(2)表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)＝h′(t)＝－9.8t＋6.5的图像．问题：运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？(1)(2)导数与函数的单调性的关系(1)如果在区间(a，b)内，f′(x)>0，则曲线y＝f(x)在区间(a，b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都大于0，曲线呈上升状态，因此f(x)在(a，b)上是增函数，如图(1)所示；(2)如果在区间(a，b)内，f′(x)<0，则曲线y＝f(x)在区间(a，b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都小于0，曲线呈下降状态，因此f(x)在(a，b)上是减函数，如图(2)所示．(1)(2)思考1：如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)有什么特性？[提示]f(x)是常函数．思考2：在区间(a，b)内，f′(x)>0是f(x)在(a，b)上为单调增函数的什么条件？[提示]充分不必要条件，如f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)＝3x2≥0.1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．()(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．()(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．() [答案](1)×(2)×(3)√2.函数y＝f(x)的图像如图所示，则()A．f′(3)>0B．f′(3)<0C．f′(3)＝0D．f′(3)的正负不确定B[由图像可知，函数f(x)在(1,5)上单调递减，则在(1,5)上有f′(x)<0，故f′(3)<0.]3．已知函数f(x)＝12x2－x，则f(x)的单调递增区间为________．(1，＋∞)[∵f′(x)＝x－1，令f′(x)>0，解得x>1，故f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)．]4．(一题两空)若定义域为R的函数f(x)的导数f′(x)＝2x(x－1)，则f(x)在区间________内单调递增，在区间________内单调递减．(1，＋∞)(－∞，1)[由f′(x)>0得x>1，由f′(x)<0得x<1，故f(x)在区间(1，＋∞)内单调递增，在区间(－∞，1)内单调递减．]函数与导函数图像间的关系①函数y＝f(x)的定义域是[－1,5]；②函数y＝f(x)的值域是(－∞，0]∪[2,4]；③函数y＝f(x)在定义域内是增函数；④函数y＝f(x)在定义域内的导数f′(x)>0.其中正确的是()A．①②B．①③C．②③D．②④(2)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图像如图所示，则导函数y＝f′(x)的图像可能为()(1)A(2)D[(1)由图像可知，函数的定义域为[－1,5]，值域为(－∞，0]∪[2,4]，故①②正确，选A.(2)由函数的图像可知：当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.]研究一个函数的图像与其导函数图像之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图像在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.[跟进训练]1．(1)设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图像画在同一个直角坐标系中，不正确的是()A B C D(2)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像可能是()A B C D(1)D(2)A[(1)A，B，C均有可能；对于D，若C1为导函数，则y＝f(x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，则y＝f(x)应为减函数，也不符合．(2)因为y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则从左到右函数f(x)图像上的点的切线斜率是递增的．]利用导数求函数的单调区间【例2】 求下列函数的单调区间． (1)f (x )＝3x 2－2ln x ；(2)f (x )＝x 2·e －x ； (3)f (x )＝x ＋1x .[解] (1)函数的定义域为(0，＋∞)． ∵f ′(x )＝6x －2x ，令f ′(x )＝0，得x 1＝33，x 2＝－33(舍去)， 用x 1分割定义域，得下表：x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3333 ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞ f ′(x ) － 0 ＋ f (x )↘↗∴函数f (x )的单调递减区间为 ⎛⎪⎫0，3，单调递增区间为 ⎛⎪⎫3，＋∞.(2)函数的定义域为(－∞，＋∞)． ∵f ′(x )＝(x 2)′e －x ＋x 2(e －x )′ ＝2x e －x －x 2e －x ＝e －x (2x －x 2)，令f ′(x )＝0，由于e －x ＞0，∴x 1＝0，x 2＝2，用x 1，x 2分割定义域，得下表： x (－∞，0)0 (0,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ 0 － f (x )↘↗↘(3)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．∵f ′(x )＝1－1x 2，令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝1，用x 1，x 2分割定义域，得下表：x (－∞，－1)－1(－1,0)(0,1)1(1，＋∞) f′(x)＋0－－0＋f(x)↗↘↘↗＋∞)．角度二含参数的函数的单调区间【例3】讨论函数f(x)＝12ax2＋x－(a＋1)ln x(a≥0)的单调性．[思路点拨]求函数的定义域→求f′(x)――→分a>0，a＝0解不等式f′(x)>0或f′(x)<0→表述f(x)的单调性[解]函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ax＋1－a＋1x＝ax2＋x－(a＋1)x.(1)当a＝0时，f′(x)＝x－1 x，由f′(x)＞0，得x＞1，由f′(x)＜0，得0＜x＜1.∴f(x)在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．(2)当a＞0时，f′(x)＝a⎝⎛⎭⎪⎫x＋a＋1a(x－1)x，∵a＞0，∴－a＋1a＜0.由f′(x)＞0，得x＞1，由f′(x)＜0，得0＜x＜1.∴f(x)在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．综上所述，当a≥0时，f(x)在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．利用导数求函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域.(2)求导数f′(x).(3)由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x的范围.当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)<0时，f(x)在相应的区间上是减函数.(4)结合定义域写出单调区间.[跟进训练]2．设f(x)＝e x－ax－2，求f(x)的单调区间.[解]f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝e x－a.若a≤0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．若a＞0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)＜0；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)＞0.所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当a＞0时，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增.已知函数的单调性求参数的范围1．在区间(a，b)内，若f′(x)＞0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？[提示]不一定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零．也就是说f′(x)＞0是y＝f(x)在某个区间上单调递增的充分不必要条件．2．若函数f(x)为可导函数，且在区间(a，b)上是单调递增(或递减)函数，则f′(x)满足什么条件？[提示]f′(x)≥0(或f′(x)≤0)．【例4】已知函数f(x)＝x3－ax－1在(－∞，＋∞)上为单调递增函数，求实数a的取值范围．[思路点拨]f(x)单调递增→f′(x)≥0恒成立→分离参数求a的范围[解]由已知得f′(x)＝3x2－a，因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立， 因为3x 2≥0，所以只需a ≤0. 又因为a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，所以，f (x )＝x 3－1在R 上是增函数．综上，a ≤0.1．(变条件)若函数f (x )＝x 3－ax －1的单调减区间为(－1,1)，求a 的值． [解] f ′(x )＝3x 2－a ， ①当a ≤0时，f ′(x )≥0，∴f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数．不符题意． ②当a ＞0时，令3x 2－a ＝0，得x ＝±3a3， 当－3a 3＜x ＜3a3时，f ′(x )＜0. ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数， ∴f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3， ∴3a3＝1，即a ＝3.2．(变条件)若函数f (x )＝x 3－ax －1在(－1,1)上单调递减，求a 的取值范围． [解] 由题意可知f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立， ∴⎩⎨⎧ f ′(－1)≤0f ′(1)≤0，即⎩⎨⎧3－a ≤03－a ≤0，∴a ≥3. 即a 的取值范围是[3，＋∞)．3．(变条件)若函数f (x )＝x 3－ax －1在(－1,1)上不单调，求a 的取值范围． [解] ∵f (x )＝x 3－ax －1， ∴f ′(x )＝3x 2－a ，由f ′(x )＝0，得x ＝±3a3(a ≥0)， ∵f (x )在区间(－1,1)上不单调， ∴0＜3a3＜1，即0＜a ＜3.故a的取值范围为(0,3)．1．可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于0.2．已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题时，区间(a，b)应是相应单调区间的子集；(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题时，可转化为f′(x) ≥0(f′(x)≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立．判断函数单调性的方法如下：(1)定义法．在定义域内任取x1，x2，且x1<x2，通过判断f(x1)－f(x2)的符号来确定函数的单调性．(2)图像法．利用函数图像的变化趋势进行直观判断：图像在某个区间呈上升趋势，则函数在这个区间内是增函数；图像在某个区间呈下降趋势，则函数在这个区间内是减函数．(3)导数法．利用导数判断可导函数f(x)在区间(a，b)内的单调性，步骤是：①求f′(x)；②确定f′(x)在(a，b)内的符号；③确定单调性．函数y＝f(x)的单调增区间、减区间分别是解不等式f′(x)>0和f′(x)<0所得的x的取值集合．反过来，如果已知f(x)在区间D上单调递增，求f(x)中参数的值，这类问题往往转化为不等式的恒成立问题，即f′(x)≥0在D上恒成立且仅在有限个点上等号成立，求f(x)中参数的值．同样也可以解决已知f(x)在区间D上单调递减，求f(x)中参数的值的问题．1．函数y＝f(x)的图像如图所示，则导函数y＝f′(x)的图像可能是()D [∵函数f (x )在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，∴当x ＞0时，f ′(x )＜0，当x ＜0时，f ′(x )＜0.]2．函数f (x )＝ln x －x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，1) B ．(0,1) C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)B [函数的定义域为(0，＋∞)，又f ′(x )＝1x －1， 由f ′(x )＝1x －1>0，得0<x <1，所以函数f (x )＝ln x －x 的单调递增区间是(0,1)，故选B.] 3．函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋1的单调减区间是________．(1,2) [f ′(x )＝6x 2－18x ＋12，令f ′(x )＜0，即6x 2－18x ＋12＜0，解得1＜x ＜2.]4．若函数f (x )＝x 3－ax 2－x ＋6在(0,1)内单调递减，则实数a 的取值范围为________．[1，＋∞) [因为f ′(x )＝3x 2－2ax －1，由题意可知 f ′(x )≤0在(0,1)内恒成立． ∴⎩⎨⎧f ′(0)≤0，f ′(1)≤0，即a ≥1.] 5．试求函数f (x )＝kx －ln x 的单调区间． [解] 函数f (x )＝kx －ln x 的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝k －1x ＝kx －1x .当k ≤0时，kx －1＜0，∴f ′(x )＜0，则f (x )在(0，＋∞)上单调递减．当k ＞0时，由f ′(x )＜0，即kx －1x ＜0，解得0＜x ＜1k ；由f ′(x )＞0，即kx －1x ＞0，解得x ＞1k .∴当k ＞0时，f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1k ，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，＋∞. 综上所述，当k ≤0时，f (x )的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间；当k ＞0时，f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1k ，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，＋∞.。
最新人教版高中数学必修三电子课本名师优秀教案
人教版高中数学必修三电子课本篇一:人教版高一数学必修三课本教材word版第一章算法初步第一章算法初步第一节算法与程序框图 1.1.1 算法概念:实际上，算法对我们来说并不陌生(回顾二元一次方程组我们可以归纳出以下步骤: 第一步，???×2，第三步，?,?×2，得得?x?2y??1??2x?y?1? ?的求解过程，5x?1?第二步，解?，第四步，解?，得得x?y?115 355y?3 ??x?????y???1535第五步，得到方程组的解为思考,能写出求解一般的二元一次方程组的步骤吗, 对于一般的二元一次方程组?a1x?b1y?c1??a2x?b2y?c2? ?其中a1b2?a2b1?0，可以写出类似的求解步骤:得第一步，?×b2,?×b1，第二步，解?第三步，?×a1,?×a2 第四步，解?(a1b2?a2b1)x?b2c1?b1c2 ?得x?b2c1?b1c2a1b2?a2b1得(a1b2?a2b1)y?a1c2?a2c1 ?y?2a1c2?a2c1a1b2?a2b1得第五步，得到方程组的解为得??x????y???b2c1?b1c2a1b2?a2b1a1c2?a2c1a1b2?a2b1上述步骤构成了解二元一次方程组的一个算法，我们可以进一步根据这一算法编制计算机程序，让计算机来解二元一次方程组。
算法? (algorithm)一词出现于12 世纪，指的是用阿拉伯数字进行算术运算的过程。
在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤。
现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题( 例1 (1)设计一个算法，判断7 是否为质数(2)设计一个算法，判断35 是否为质数只能被1和自身整除的大于1的正是叫质数算法分析:(1)根据质数的定义，可以这样判断:依次用 26 除7 ,如果它们中有一个能整除7，则7 不是质数。
人教版数学高一B版必修3教案3.1.4概率的加法公式
示范教案 整体设计教学分析教材利用两个例题引入了互斥事件、对立事件的概念，并给出了概率的加法公式． 值得注意的是：举例引入和说明互斥事件的概念，可以用掷骰子出现不同点数的试验来解释，也可以用掷硬币出现正面或反面向上的试验来说明．关键是在同一试验中，事件A 和事件B 不可能同时发生，则事件A 和事件B 就是互斥事件．三维目标1．了解两个互斥事件的概率加法公式．2．通过学习概率加法公式，提高学生的归纳、推断能力．3．与集合知识联系，培养学生普遍联系的思想．重点难点教学重点：互斥事件和对立事件的概念以及互斥事件的加法公式．教学难点：互斥事件与对立事件的区别和联系．课时安排1课时．教学过程导入新课思路1.(1)集合有相等、包含关系，如{1,3}＝{3,1}，{2,4}{2,3,4,5}等；(2)在掷骰子试验中，可以定义许多事件如：C 1＝{出现1点}，C 2＝{出现2点}，C 3＝{出现1点或2点}，C 4＝{出现的点数为偶数}，….师生共同讨论：观察上例，类比集合与集合的关系、运算，你能发现事件的关系与运算吗？这就是本堂课要讲的知识——概率的基本性质．思路2.全运会中某省派两名女乒乓球运动员参加单打比赛，她们夺取冠军的概率分别是27和15，则该省夺取该次冠军的概率是27＋15，对吗？为什么？为解决这个问题，我们学习概率的基本性质．推进新课新知探究提出问题看下面例子：抛掷一颗骰子，观察掷出的点数.设事件A 为“出现奇数点”，B 为“出现2点”，已知P (A )＝12 ，P (B )＝16，求“出现奇数点或2点”的概率. (1)事件A 与B 能同时发生吗？(2)用文氏图表示A ∪B.(3)讨论：已知A ，B 是互斥事件，P (A ∪B )与P (A )＋P (B )相等吗？(4)设事件D 为“出现偶数点”，则事件A 与D 是互斥事件，那么A 与D 还有什么特点？讨论结果：(1)这里的事件A 和事件B 不可能同时发生．这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件(或称互不相容事件)．设事件C 为“出现奇数点或2点”，它也是一个随机事件．事件C 与事件A ，B 的关系是：若事件A 和事件B 中至少有一个发生，则C 发生；若C 发生，则A ，B 中至少有一个发生．我们称事件C 为A 与B 的并(或和)．一般地，由事件A 和B 至少有一个发生(即A 发生，或B 发生，或A ，B 都发生)所构成的事件C ，称为事件A 与B 的并(或和)，记作C ＝A ∪B.事件A ∪B 是由事件A 或B 所包含的基本事件组成的集合．(2)下图中阴影部分所表示的就是A ∪B.(3)在n 次试验中，事件A 出现的频数是n 1，事件B 出现的频数是n 2，则事件A ∪B 出现的频数正好是n 1＋n 2，所以事件A ∪B 的频率为n 1＋n 2n ＝n 1n ＋n 2n， 而n 1n 是事件A 出现的频率，n 2n是事件B 出现的频率．因此，如果用μn 表示在n 次试验中事件出现的频率，则总有μn (A ∪B)＝μn (A)＋μn (B)．由概率的统计定义，可知 P (A ∪B )＝P (A )＋P (B ). ①一般地，如果事件A 1，A 2，…，A n 两两互斥(彼此互斥)，那么事件“A 1∪A 2∪…∪A n ”发生(是指事件A 1，A 2，…，A n 中至少有一个发生)的概率，等于这n 个事件分别发生的概率和，即P(A 1∪A 2∪…∪A n )＝P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )．①′公式①或公式①′叫做互斥事件的概率加法公式．所给例中事件C ：“出现奇数点或2点”的概率是事件A ：“出现奇数点”的概率与事件B ：“出现2点”的概率之和，即P(C)＝P(A)＋P(B)＝12＋16＝23. (4)A 与D 不能同时发生，且必有一个发生，即A ∪D ＝Ω.像这样不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件．事件A 的对立事件记作A .下图中的阴影部分表示事件A 的对立事件．由于A 与A 是互斥事件，所以P(Ω)＝P(A ∪A )＝P(A)＋P(A )，又由Ω是必然事件得到P(Ω)＝1.所以，P(A)＋P(A )＝1，即P (A )＝1－P (A ). ②这个公式为我们求P(A)提供了一种方法．当我们直接求P(A)有困难时，常可以转化为求P(A)．应用示例思路1例在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09.计算小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率、小明考试及格的概率及小明考试不及格的概率．分析：根据互斥事件的概率加法公式来计算取得80分以上和及格的概率，利用对立事件的概率求不及格的概率．解：分别记小明的考试成绩在90分以上，在80～89分，在70～79分，在60～69分为事件B，C，D，E.这4个事件是彼此互斥的．根据公式①小明的考试成绩在80分以上的概率是P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69；小明考试及格的概率，即成绩在60分以上的概率．由公式①得P(B∪C∪D∪E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.小明考试不及格的概率为1－P(B∪C∪D∪E)＝1－0.93＝0.07.点评：由于P(A)＝1－P(A)，可以通过求P(A)的方法来求P(A)，这就是通常所说的间接法．思路2例 从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每组事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．(1)恰好有1件次品和恰好有2件次品；(2)至少有1件次品和全是次品；(3)至少有1件正品和至少有1件次品；(4)至少有1件次品和全是正品．解：依据互斥事件的定义，即事件A 与事件B 在一定试验中不会同时发生，知：(1)恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件，又因为它们并不是必然事件，所以它们不是对立事件．同理可以判断：(2)中的2个事件不是互斥事件，也不是对立事件．(3)中的2个事件既不是互斥事件也不是对立事件；(4)中的2个事件既互斥又知能训练1．下列说法中正确的是( )A ．事件A 、B 中至少有一个发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率大B ．事件A 、B 同时发生的概率一定比事件A 、B 恰有一个发生的概率小C ．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件D ．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件答案：D2．抛掷一骰子，观察掷出的点数，设事件A 为“出现奇数点”，B 为“出现偶数点”，已知P(A)＝12，P(B)＝12，求“出现奇数点或偶数点”的概率． 分析：事件“出现奇数点”和“出现偶数点”是彼此互斥的，并且是相互独立事件，可以运用概率的加法公式求解．解：记“出现奇数点或偶数点”为事件C ，则C ＝A ∪B ，因为A 、B 是互斥事件，所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝12＋12＝1.出现奇数点或偶数点的概率为1. 3．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？分析：利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解．解：从袋中任取一球，记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”为A 、B 、C 、D ，则有P(B ∪C)＝P(B)＋P(C)＝512；P(C ∪D)＝P(C)＋P(D)＝512；P(B ∪C ∪D)＝1－P(A)＝1－13＝23，解得P(B)＝14，P(C)＝16，P(D)＝14. 即得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是14、16、14. 4．从一箱产品中随机地抽取一件产品，设事件A ＝“抽到的是一等品”，事件B ＝“抽到的是二等品”，事件C ＝“抽到的是三等品”，且已知P(A)＝0.7，P(B)＝0.1，P(C)＝0.05.求下列事件的概率：(1)事件D ＝“抽到的是一等品或三等品”；(2)事件E ＝“抽到的是二等品或三等品”．解：(1)事件D 即事件A ＋C ，因为事件A ＝“抽到的是一等品”和事件C ＝“抽到的是三等品”是互斥事件，由互斥事件的概率加法公式，得P(D)＝P(A ＋C)＝P(A)＋P(C)＝0.7＋0.05＝0.75.(2)事件E 即事件B ＋C ，因为事件B ＝“抽到的是二等品”和事件C ＝“抽到的是三等品”是互斥事件，由互斥事件的概率加法公式，得P(E)＝P(B ＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.1＋0.05＝0.15.拓展提升某地政府准备对当地的农村产业结构进行调整，为此政府进行了一次民意调查.100个人接受了调查，他们被要求在赞成调整、反对调整、对这次调整不发表看法中任选一项．调查结果如下表所示：随机选取一个被调查者，他对这次调整表示反对或不发表看法的概率是多少？解：用A 表示事件“对这次调整表示反对”，B 表示事件“对这次调整不发表看法”，则A 和B 是互斥事件，并且A ＋B 就表示事件“对这次调整表示反对或不发表看法”，由互斥事件的概率加法公式，得P(A ＋B)＝P(A)＋P(B)＝37100＋36100＝73100＝0.73， 因此，随机选取的一个被调查者对这次调整表示反对或不发表看法的概率是0.73.课堂小结本节课学习了互斥事件、对立事件的概念，以及利用概率加法公式解决有关问题． 作业本节练习B 1、2.设计感想本堂课通过掷骰子试验，定义了许多事件，并根据集合的运算定义了事件的运算，给出了互斥事件和对立事件以及它们的概率运算公式，在运用时要切实注意它们的使用条件，不可模棱两可，搞清互斥事件和对立事件的关系，思路1和思路2都安排了不同层次的例题和变式训练，对刚学的知识是一个巩固和加强，同学们要反复训练，安排的题目既有层次性，又有趣味性，适合不同基础的学生，因此本节课授完后，同学们肯定受益匪浅．备课资料备选习题1．一口袋内装有大小一样的4只白球与4只黑球，从中一次任意摸出2只球．记摸出2只白球为事件A ，摸出1只白球和1只黑球为事件B.问事件A 和B 是否为互斥事件？是否为对立事件？解：事件A 和B 互斥，因为从中一次可以摸出2只黑球，所以事件A 和B 不是对立事件．2．回答下列问题：(1)甲、乙两射手同时射击一目标，甲的命中率为0.65，乙的命中率为0.60，那么能否得出结论：目标被命中的概率等于0.65＋0.60＝1.25，为什么？(2)一射手命中靶的内圈的概率是0.25，命中靶的其余部分的概率是0.50，那么能否得出结论：目标被命中的概率等于0.25＋0.50＝0.75，为什么？(3)两人各掷一枚硬币，“同时出现正面”的概率可以算得为122.由于“不出现正面”是上述事件的对立事件，所以它的概率等于1－122＝34，这样做对吗？说明道理． 解：(1)不能．因为甲命中目标与乙命中目标两事件不互斥．(2)能．因为命中靶的内圈和命中靶的其余部分是互斥事件．(3)不对．因为“不出现正面”与“同时出现正面”不是对立事件，故其概率和不为1.3．某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.24,0.28,0.19，计算这个射手在一次射击中：(1)射中10环或9环的概率；(2)小于8环的概率．分析：先分析有关事件是不是互斥事件或对立事件，然后应用公式计算．解：(1)P(射中10环或9环)＝P(射中10环)＋P(射中9环)＝0.24＋0.28＝0.52；(2)P(不小于8环)＝P(8环)＋P(9环)＋P(10环)＝0.19＋0.28＋0.24＝0.71，又因为“小于8环”与“不小于8环”是对立事件，所以，P(小于8环)＝1－P(不小于8环)＝1－(0.24＋0.28＋0.19)＝0.29.。
最新人教版普通高中课程标准实验教科书必修3《算法案例——辗转相除法和更相减损术》说课稿
课题：算法案例——辗转相除法和更相减损术教材：人教版普通高中课程标准实验教科书必修3第一章第1.3节1、教材分析与传统教学内容相比，《算法初步》为新增内容，算法是计算机科学的重要基础，算法思想已经渗透到社会的方方面面，算法思想也逐渐成为每个现代人应具有的数学素养。
算法思想即体现了时代的特点，也是中国古代数学灿烂的历史和巨大的贡献在新层次上的复兴。
本节内容是探究古代算法案例――辗转相除法和更相减损术，经历设计算法解决问题的全过程，体会算法在解决问题中的重要作用，体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理的思考和数学表达能力，巩固算法三种描述性语言（自然语言、图形语言和程序语言），提高学生分析和解决问题的能力。
2、教学目标分析：（1）知识目标：①理解辗转相除法和更相减损术求两个正数的最大公约数的原理；②能用写算法步骤、画流程图和编程序表达辗转相除法；说明：在这里，理解案例中的新的知识是理解算法的必要的前提，但重要的是理解案例中的算法核心思想，而不是强调对案例中新知识的记忆和灵活运用。
（2）能力目标：①培养学生把具体问题抽象转化为算法语言的能力；②培养学生自主探索和合作学习的能力。
（3）情感目标：①使学生进一步了解从具体到一般思想方法。
②体会中国古代数学对世界数学的巨大贡献，培养爱国思想和学习数学的积极性。
3、教学重点与难点分析：（1）教学重点：能用写算法步骤、画流程图和编程序表达辗转相除法及更相减损术。
（体会算法解决问题的全过程）（2）教学难点：用不同逻辑结构的程序框图表达算法；4、教学方法与手段（1）、教法：阅读指导，以问题为载体，有引导的对话，让学生经历知识的形成过程和发展过程，有利于学生活动的充分展开。
（2）、学法：以观察、讨论、思考、分析、动手操作、自主探索、合作学习多种形式相结合，引导学生多角度、多层面认识事物，突破教学难点。
5、教学过程设计分析：辅助工具：ppt课件知识准备：带余除法6、评价分析：（1）、指导思想：①新知识与旧知识相结合的原则；②掌握知识与发展智力、能力相统一的原则；③教师的主导作用与学生的主体作用相结合的原则。
新教材 2019-2020新课程同步人教B版高中数学必修第三册新学案 教师用书
第七章三角函数7．1任意角的概念与弧度制7．1.1 角的推广1.了解角的概念的推广过程，理解任意角的概念.2.认识终边相同的角并会简单表示.3.通过学习，提高学生数学抽象、逻辑推理、直观想象的核心素养.知识点一角的概念的推广(一)教材梳理填空1．角的概念一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的始边和终边．2．角的分类名称定义图形正角一条射线绕其端点按照逆时针方向旋转而成的角负角一条射线绕其端点按照顺时针方向旋转而成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角(二)基本知能小试1．判断正误(1)小于90°的角都是锐角. ()(2)终边与始边重合的角为零角．()(3)大于90°的角都是钝角．()(4)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是120°.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．下列说法正确的是()A．最大的角是180°B．最大的角是360°C．角不可以是负的D．角可以是任意大小解析：选D由任意角的概念，知D正确．3．在图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度分别是________、________、________.解析：图(1)中的角是一个正角，α＝390°.图(2)中的角是一个负角、一个正角，β＝－150°，γ＝60°.答案：390°－150°60°知识点二象限角(一)教材梳理填空象限角及终边相同的角条件在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上象限角角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角终边相同的角所有与角α终边相同的角组成一个集合，这个集合可记为S＝{β|β＝α＋k·360°，k ∈Z}，即集合S的每一个元素的终边都与α的终边相同，k＝0时对应元素为α[微提醒]角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，可称为轴线角．(二)基本知能小试1．判断正误(1)终边相同的角一定相等．()(2)－30°是第四象限角．()(3)第二象限角是钝角．()(4)225°是第三象限角．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．与610°角终边相同的角可表示为(其中k∈Z)()A．k·360°＋230°B．k·360°＋250°C．k·360°＋70°D．k·180°＋270°解析：选B∵610°＝360°＋250°，∴610°与250°角的终边相同，故选B.3．与－1 560°角终边相同的角的集合中，最小正角是________，最大负角是________．解析：与－1 560°角终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋240°，k∈Z}，所以最小正角为240°，最大负角为－120°.答案：240°－120°题型一与任意角有关的概念辨析[学透用活]解读任意角的概念三个要素：顶点、始边、终边．(1)用旋转的观点来定义角，就可以把角的概念推广到任意角，包括任意大小的正角、负角和零角．(2)对角的概念的认识，关键是抓住“旋转”二字．[典例1](1)下列说法正确的是()A．第一象限的角一定是正角B．三角形的内角不是锐角就是钝角C．锐角小于90°D．第二象限的角一定大于第一象限的角(2)期末考试，数学科从上午8时30分开始，考了2小时．从考试开始到考试结束分针转过了()A．360°B．720°C．－360°D．－720°[解析](1)－355°是第一象限的角，但不是正角，所以A错误；三角形的内角可能是90°，所以B错误；锐角小于90°，C正确；45°是第一象限角，－200°是第二象限角，但45°>－200°，所以D错误．故选C.(2)因为分针转一圈(即1小时)是－360°，所以从考试开始到考试结束分针转过了－720°.故选D.[答案](1)C(2)D[方法技巧]判断角的概念问题的关键与技巧[对点练清]1．设集合A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是()A．A＝B B．B＝CC．A＝C D．A＝D解析：选D集合A中锐角θ满足0°＜θ＜90°；集合B中θ＜90°，可以为负角；集合C 中θ满足k·360°＜θ＜k·360°＋90°，k∈Z；集合D中θ满足0°＜θ＜90°.故A＝D.2．写出图(1)，(2)中的角α，β，γ的度数．解：题干图(1)中，α＝360°－30°＝330°；题干图(2)中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°，γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°＝570°.题型二象限角及终边相同的角[学透用活][典例2]在0°到360°的范围内，求出与下列各角终边相同的角，并判断是第几象限角．(1)－736°；(2)405°.[解](1)∵－736°＝－3×360°＋344°，344°是第四象限角．∴344°与－736°是终边相同的角，且－736°为第四象限角．(2)∵405°＝360°＋45°，45°是第一象限角．∴45°与405°是终边相同的角，且405°为第一象限角．[方法技巧](1)把任意角化为α＋k·360°(k∈Z且0°≤α<360°)的形式，关键是确定k.可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行；负角除以360°，商是负数，其绝对值比被除数为其相反数时的商大1，使余数为正值．(2)要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．[对点练清]1．已知α＝－1 845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)－360°～720°之间的角．解：因为－1 845°＝－45°＋(－5)×360°，即－1 845°角与－45°角的终边相同，所以与角α终边相同的角的集合是{β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}．(1)最小的正角为315°.(2)最大的负角为－45°.(3)－360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°.2．在直角坐标系中写出下列角的集合：(1)终边在x轴的非负半轴上；(2)终边在y＝x(x≥0)上．解：(1)在0°～360°范围内，终边在x轴的非负半轴上的角有一个：0°.故终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°，k∈Z}．(2)在0°～360°范围内，终边在y＝x(x≥0)上的角有一个：45°.故终边在y＝x(x≥0)上的角的集合为{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}．题型三区间角的表示[学透用活][典例3]已知，如图所示．(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．[解](1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．(2)由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于－30°～135°之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．[方法技巧]表示区间角的三个步骤第一步：先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α＜x＜β}，其中β－α＜360°.第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．[对点练清]1．[变条件]若将本例改为如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？解：在0°～360°范围内，阴影部分(包括边界)表示的范围可表示为：150°≤β≤225°，则所有满足条件的角β为{β|k·360°＋150°≤β≤k·360°＋225°，k∈Z}．2．[变条件]若将本例改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？解：由题干图可知满足题意的角的集合为{β|k·360°＋60°≤β≤k·360°＋105°，k∈Z}∪{k·360°＋240°≤β≤k·360°＋285°，k∈Z} ＝{β|2k·180°＋60°≤β≤2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β≤(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}，即所求的集合为{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}.[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．下列各角中，与60°角终边相同的角是()A．－300°B．－60°C．600°D．1 380°解析：选A与60°角终边相同的角α＝k·360°＋60°，k∈Z，令k＝－1，则α＝－300°.2．集合M＝{α|α＝k·90°，k∈Z}中，各角的终边都在()A．x轴正半轴上B．y轴正半轴上C．x轴或y轴上D．x轴正半轴或y轴正半轴上解析：选C令k＝1,2,3,4，终边分别落在y轴正半轴上，x轴负半轴上，y轴负半轴上，x轴正半轴上，又k∈Z，故选C.3．已知集合M＝{锐角}，N＝{小于90°的角}，P＝{第一象限的角}，下列说法：①P⊆N；②N∩M＝M；③M⊆P；④(M∪N)⊆P.其中正确的是________(填序号)．解析：因为锐角的范围为0°<θ<90°，小于90°的角为θ<90°，包含负角，第一象限角为k·360°<θ<k·360°＋90°，k∈Z，所以P N，①错误；N∩M＝M，②正确；M⊆P，③正确；(M∪N)P，④错误．答案：②③4．射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝________.解析：因为各角和的旋转量等于各角旋转量的和，所以∠AOC＝120°＋(－270°)＝－150°.答案：－150°二、创新应用题5．在与角1 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最小的正角；(2)最大的负角．解：因为1 030°＝2×360°＋310°，所以与角1 030°终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋310°，k∈Z}．(1)故所求的最小正角为310°.(2)取k＝－1，得所求的最大负角为－50°.三、易错防范题6．如图所示，阴影部分内的角的集合S＝______________.解析：因为阴影部分含x轴正半轴，所以终边为OA的角为β＝30°＋k·360°，k∈Z，终边为OB的角为γ＝－210°＋k·360°，k∈Z.所以终边在阴影部分内的角的集合为{α|－210°＋k·360°≤α≤30°＋k·360°，k∈Z}．答案：{α|－210°＋k·360°≤α≤30°＋k·360°，k∈Z}[易错矫正]用不等式表示区间角的范围时，要注意观察角的集合形成是否能够合并，能合并的一定要合并．另外对于区间角的书写，一定要看其区间是否跨越x轴的正方向．[课下双层级演练过关]A级——学考水平达标练1．(多选题)以下说法，其中正确的有()A．－75°是第四象限角B．265°是第三象限角C．475°是第二象限角D．－315°是第一象限角解析：选ABCD由终边相同角的概念知：A、B、C、D都正确．2．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是()A．－165°＋(－2)×360°B．195°＋(－3)×360°C．195°＋(－2)×360°D．165°＋(－3)×360°解析：选B－885°＝195°＋(－3)×360°，0°≤195°<360°，故选B.3．在0°≤α＜360°中，与－510°角的终边相同的角为()A．150°B．210°C．30°D．330°解析：选B与－510°角终边相同的角可表示为β＝－510°＋k·360°，k∈Z.当k＝2时，β＝210°.4．若角α的终边在y轴的负半轴上，则角α－150°的终边在()A．第一象限B．第二象限C．y轴的正半轴上D．x轴的负半轴上解析：选B因为角α的终边在y轴的负半轴上，所以α＝k·360°＋270°(k∈Z)，所以α－150°＝k·360°＋270°－150°＝k·360°＋120°(k∈Z)，所以角α－150°的终边在第二象限．故选B.5．下列说法正确的是()A．三角形的内角一定是第一、二象限角B．钝角不一定是第二象限角C．终边相同的角之间相差180°的整数倍D．钟表的时针旋转而成的角是负角解析：选D A错，如90°既不是第一象限角，也不是第二象限角；B错，钝角在90°到180°之间，是第二象限角；C错，终边相同的角之间相差360°的整数倍；D正确，钟表的时针是顺时针旋转，故是负角．6．12点过14小时的时候，时钟分针与时针的夹角是________．解析：时钟上每个大刻度为30°，12点过14小时，分针转过－90°，时针转过－7.5°，故时针与分针的夹角为82.5°.答案：82.5°7．已知锐角α，它的10倍与它本身的终边相同，则角α＝________.解析：与角α终边相同的角连同角α在内可表示为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，因为锐角α的10倍角的终边与其终边相同，所以10α＝α＋k·360°，k∈Z，即α＝k·40°，k∈Z.又α为锐角，所以α＝40°或80°.答案：40°或80°8．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B＝______________________.解析：当k＝－1时，α＝－126°；当k＝0时，α＝－36°；当k＝1时，α＝54°；当k＝2时，α＝144°.∴A∩B＝{－126°，－36°，54°，144°}．答案：{－126°，－36°，54°，144°}9．已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，请作出下列各角，并指出它们是第几象限角．(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.解：作出各角，其对应的终边如图所示：(1)由图①可知：－75°是第四象限角．(2)由图②可知：855°是第二象限角．(3)由图③可知：－510°是第三象限角．10．写出图中阴影部分(不含边界)表示的角的集合．解：在－180°～180°内落在阴影部分的角的集合为大于－45°且小于45°，所以终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合为{α|－45°＋k·360°<α<45°＋k·360°，k∈Z}．B级——高考水平高分练1．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在()A．第一或第三象限B．第一或第二象限C．第二或第四象限D．第三或第四象限解析：选A当k＝2m＋1(m∈Z)时，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，故α为第三象限角；当k＝2m(m∈Z)时，α＝m·360°＋45°，故α为第一象限角．2．若α与β终边相同，则α－β的终边落在()A．x轴的非负半轴上B．x轴的非正半轴上C．y轴的非负半轴上D．y轴的非正半轴上解析：选A∵α＝β＋k·360°，k∈Z，∴α－β＝k·360°，k∈Z，∴其终边在x轴的非负半轴上．3．若角α和β的终边满足下列位置关系，试写出α和β的关系式：(1)重合：________________；(2)关于x轴对称：________________.解析：根据终边相同的角的概念，数形结合可得：(1)α＝k·360°＋β(k∈Z)，(2)α＝k·360°－β(k∈Z)．答案：(1)α＝k·360°＋β(k∈Z)(2)α＝k·360°－β(k∈Z)4.如图所示，写出终边落在直线y＝3x上的角的集合(用0°到360°间的角表示)．解：终边落在y ＝3x (x ≥0)上的角的集合是S 1＝{α|α＝60°＋k ·360°，k ∈Z }，终边落在y ＝3x (x ≤0)上的角的集合是S 2＝{α|α＝240°＋k ·360°，k ∈Z }，于是终边落在y ＝3x 上的角的集合是S ＝{α|α＝60°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝240°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝60°＋2k ·180°，k ∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z }＝{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z }．5.如图，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P 从点A⎝⎛⎭⎫22，22出发，依逆时针方向等速沿单位圆周旋转．已知P 在1秒钟内转过的角度为θ(0°＜θ＜180°)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟后又恰好回到出发点A .求θ，并判断θ所在象限．解：根据题意知，14秒钟后，点P 在角14θ＋45°的终边上， ∴45°＋k ·360°＝14θ＋45°，k ∈Z ， 即θ＝k ·180°7，k ∈Z . 又180°＜2θ＋45°＜270°， 即67.5°＜θ＜112.5°， ∴67.5°＜k ·180°7＜112.5°，k ∈Z ， ∴k ＝3或k ＝4，∴所求θ的值为540°7或720°7.∵0°＜540°7＜90°，90°＜720°7＜180°，∴θ在第一象限或第二象限．7．1.2 弧度制及其与角度制的换算1.了解角的另外一种度量方法——弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.3.掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式.4.通过学习，提高学生数学抽象、数学运算的核心素养.知识点一 弧度制 (一)教材梳理填空 1．度量角的两种制度(1)角度制：用度作单位来度量角的制度称为角度制． 规定1度等于60分，1分等于60秒．(2)弧度制：以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制．称弧长与半径比值的这个常数为圆心角的弧度数，长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1 rad.[微提醒] 今后在用弧度制表示角时，“弧度”二字或rad 可以略去不写，而只写这个角的弧度数．2．弧长公式在半径为r 的圆中，若弧长为l 的弧所对的圆心角为α rad ，则α＝lr .由此可得到l ＝αr ，即弧长等于其所对应的圆心角的弧度数与半径的积．[微提醒] 设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则(1)弧长公式：l ＝α·R .(2)扇形面积公式：S ＝12lR ＝12αR 2.(二)基本知能小试 判断正误(1)1弧度是1度的圆心角所对的弧．( ) (2)1弧度是长度为半径的弧．( ) (3)1弧度是1度的弧与1度的角之和．( ) 答案： (1)× (2)× (3)×知识点二 弧度制与角度制的换算 (一)教材梳理填空角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π_rad 2π rad ＝360° 180°＝π_radπ rad ＝180° 1°＝π180rad ≈0.017 45 rad 1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°≈57.30° 度数×π180＝弧度数 弧度数×⎝⎛⎭⎫180π°＝度数(二)基本知能小试 1．判断正误(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位. ( ) (2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．( ) (3)1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12π. ( ) (4)1 rad 的角比1°的角要大．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ 2．将下列角度与弧度进行互化．(1)20°＝______；(2)－15°＝______；(3)7π12＝________；(4)－115π＝________.解析：(1)20°＝20×π180＝π9； (2)－15°＝－15×π180＝－π12；(3)7π12＝7π12×⎝⎛⎭⎫180π°＝105°； (4)－115π＝－115π×⎝⎛⎭⎫180π°＝－396°. 答案：(1)π9 (2)－π12(3)105° (4)－396°题型一 角度制与弧度制的互化[学透用活](1)用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数．(2)度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度． [典例1] (1)①将112°30′化为弧度为________； ②将－5π12rad 化为度为________． (2)将下列各角化成0到2π的角加上2k π(k ∈Z )的形式． ①193π；②－315°. [解析] (1)①因为1°＝π180 rad ，所以112°30′＝π180×112.5 rad ＝5π8.②因为1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°， 所以－5π12rad ＝－⎝⎛⎭⎫5π12×180π°＝－75°. 答案：①5π8②－75°(2)①193π＝6π＋π3；②－315°＝－7π4＝－2π＋π4.[方法技巧]进行角度制与弧度制互化的原则和方法(1)原则：牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝π180rad 和1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝⎝⎛⎭⎫α·180π°；n °＝n ·π180. [对点练清]将下列角度与弧度进行互化： (1)5116π；(2)－7π12；(3)10°；(4)－855°.解：(1)5116π＝5116×180°＝15 330°.(2)－7π12＝－712×180°＝－105°. (3)10°＝10×π180＝π18. (4)－855°＝－855×π180＝－19π4.题型二 用弧度制表示终边相同的角[学透用活][典例2] 把下列各角化成2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角． (1)－1 500°；(2)23π6；(3)－4.[解] (1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°， ∴－1 500°可化成－10π＋5π3，是第四象限角．(2)∵23π6＝2π＋11π6，∴23π6与11π6终边相同，是第四象限角． (3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，π2＜2π－4＜π，∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．[方法技巧]用弧度制表示终边相同的角2k π＋α(k ∈Z )时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．[对点练清]1．把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α<2π. 解：∵－1 480°＝－1 480×π180＝－74π9， 而－74π9＝－10π＋16π9，且0≤α<2π，∴α＝16π9. ∴－1 480°＝16π9＋2×(－5)π.2．在[0°，720°]内找出与2π5角终边相同的角．解：∵2π5＝2π5×⎝⎛⎭⎫180π°＝72°， ∴终边与2π5角相同的角为θ＝72°＋k ·360°(k ∈Z)，当k ＝0时，θ＝72°；当k ＝1时，θ＝432°， ∴在[0°，720°]内与2π5角终边相同的角为72°，432°.题型三 扇形的面积与弧长的计算[学透用活][典例3] (1)已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，求扇形的圆心角的弧度数． (2)已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20 cm ，求扇形的面积． [解] (1)设扇形的半径为r cm, 弧长为l cm ，圆心角为θ， 则⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝6，12lr ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2.∴θ＝l r ＝1或4.(2)设扇形的弧长为l ，半径为R ，圆心角为α， ∵72°＝72×π180＝2π5， ∴l ＝αR ＝2π5×20＝8π(cm)，∴S ＝12lR ＝12×8π×20＝80π(cm 2)．[方法技巧]弧度制下解决扇形相关问题的步骤(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l ＝αr ，S ＝12αr 2和S ＝12lr .(这里α必须是弧度制下的角)(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式． (3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解．[对点练清]1．[圆心角的弧度数]已知扇形的周长为10 cm ，面积为4 cm 2，则扇形的圆心角α的弧度数为________．解析：设扇形的半径为r cm ，圆心角α所对的弧长为l cm.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝10，12lr ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧ l ＝8，r ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧l ＝2，r ＝4， ∴α＝8或12.又∵0＜α＜2π，∴α＝12.答案：122．[求扇形的半径]若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________． 解析：设半径为r ，∵216°＝216×π180＝6π5， ∴l ＝6π5r ＝30π，∴r ＝25.答案：253．[与最值有关的问题]已知扇形的周长为40 cm ，则当它的半径和圆心角各取何值时，能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r . ∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r＝(20－r )r ＝－(r －10)2＋100.∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大， 最大面积为100 cm 2，这时θ＝l r ＝40－2×1010＝2.[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．已知α＝6π7，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 因为π2<6π7<π，所以角α的终边在第二象限．2．下列各对角中，终边相同的是( ) A.3π2和2k π－3π2(k ∈Z ) B ．－π5和22π5C ．－7π9和11π9 D.20π3和122π9解析：选C 在弧度制下，终边相同的角相差2π的整数倍．故选C.3．某扇形的半径为1 cm ，它的周长为4 cm ，那么该扇形的圆心角为________． 解析：由题意可得扇形的弧长为4－2×1＝2(cm)，则扇形的圆心角为21＝2.答案：24．－135°化为弧度为________，11π3化为角度为________． 解析：－135°＝－135×π180＝－3π4；11π3＝113×180°＝660°.答案：－3π4 660°二、创新应用题5．已知集合A ＝{α|2k π<α<(2k ＋1)π，k ∈Z }，B ＝{α|－5≤α≤5}，求A ∩B .解：由题意知，A ＝…∪{α|－2π<α<－π}∪{α|0<α<π}∪{α|2π<α<3π}∪…，又B ＝{α|－5≤α≤5}，两集合在数轴上的表示如图所示．∴A ∩B ＝{α|－5≤α<－π或0<α<π}．三、易错防范题6．写出终边在如图所示阴影部分(不包括边界)内的角的集合S ＝_____________.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π－π6<α<2k π＋π3，k ∈Z (也可写成{α|k ·360°－30°<α<k ·360°＋60°，k ∈Z })[易错矫正] (1)本题易错处有两点：一是直接写成{α|k ·360°＋330°<α<k ·360°＋60°，k ∈Z}，导致集合中不等式右边的角反而小于左边的角．二是同一不等式中混用了角度制与弧度制．(2)同一个问题(或题目)中使用的度量单位要统一，要么用角度制单位，要么用弧度制单位，不能将两者混用．[课下双层级演练过关] A 级——学考水平达标练1．1 920°转化为弧度数为( ) A.163 B.323 C.16π3D.32π3解析：选D 1 920°＝1 920×π180＝32π3. 2．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( ) A.403π B.203π C.2003π D.4003π 解析：选A ∵240°＝240×π180＝43π， ∴弧长l ＝α·r ＝43π×10＝403π，故选A.3．2弧度的角所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 因为π2<2<π，所以2弧度的角是第二象限角．4．(多选题)下列转化结果正确的是( ) A ．60°化成弧度是π3B ．－103π化成度是－600° C ．－150°化成弧度是－76πD.π12化成度是15° 解析：选ABD 对于A,60°＝60×π180＝π3；对于B ，－103π＝－103×180°＝－600°；对于C ，－150°＝－150×π180＝－56π；对于D ，π12＝112×180°＝15°.故A 、B 、D 正确． 5．自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮转过的弧度数是( )A.5π11 B.44π5 C.5π22D ．22π5解析：选B 由题意，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮逆时针转过8820周，小链轮转过的弧度是8820×2π＝44π5.6．在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，则角A ，B ，C 的弧度数分别为______________． 解析：因为A ＋B ＋C ＝π，又A ∶B ∶C ＝3∶5∶7， 所以A ＝3π3＋5＋7＝π5，B ＝5π3＋5＋7＝π3，C ＝7π15.答案：π5，π3，7π157．地球赤道的半径约是6 370 km ，赤道上1′所对的弧长为1海里，则1海里大约是________km(精确到0.01 km)．解析：因为1′＝⎝⎛⎭⎫160°＝160×π180，所以l ＝α·R ＝160×π180×6 370≈1.85(km)． 答案：1.858．若角α的终边与8π5角的终边相同，则在[0,2π]上，终边与α4角的终边相同的角是____________．解析：由题意，得α＝8π5＋2k π(k ∈Z )，∴α4＝2π5＋k π2(k ∈Z )．令k ＝0,1,2,3，得α4＝2π5，9π10，7π5，19π10. 答案：2π5，9π10，7π5，19π109．一个半径为r 的扇形，如果它的周长等于弧所在圆的周长的一半，那么这个扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的面积是多少？解：设扇形的圆心角为θ，则弧长l ＝rθ，∴2r ＋rθ＝πr ，∴θ＝π－2＝(π－2)·(180π)°＝(180－360π)°，扇形的面积S ＝12lr ＝12r 2(π－2)． 10．已知α＝1 690°.(1)把α写成2k π＋β(k ∈Z ，β∈[0,2π))的形式；(2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)． 解：(1)1 690°＝4×360°＋250°＝4×2π＋2518π.(2)∵θ与α终边相同，∴θ＝2k π＋2518π(k ∈Z )． 又θ∈(－4π，4π)，∴－4π<2k π＋2518π<4π(k ∈Z )．解得－9736<k <4736(k ∈Z )，∴k ＝－2，－1,0,1.∴θ的值是－4718π，－1118π，2518π，6118π.B 级——高考水平高分练1.已知某机械采用齿轮传动，由主动轮M 带着从动轮N 转动(如图所示)，设主动轮M 的直径为150 mm ，从动轮N 的直径为300 mm ，若主动轮M 顺时针旋转π2，则从动轮N 逆时针旋转( )A.π8B.π4C.π2D ．π解析：选B 设从动轮N 逆时针旋转θ，由题意，知主动轮M 与从动轮N 转动的弧长相等，所以1502×π2＝3002×θ，解得θ＝π4，故选B.2．若角α与角x ＋π4有相同的终边，角β与角x －π4有相同的终边，那么α与β间的关系为( )A ．α＋β＝0B ．α－β＝0C ．α＋β＝2k π(k ∈Z )D ．α－β＝π2＋2k π(k ∈Z )解析：选D ∵α＝2k 1π＋x ＋π4，β＝2k 2π＋x －π4(k 1，k 2∈Z )，∴α－β＝2(k 1－k 2)π＋π2，也即α－β＝π2＋2k π(k ∈Z )．3.如图，扇形AOB 的面积是1，它的弧长是2，则扇形的圆心角α的弧度数为________，弦AB 的长为________．解析：由扇形面积公式S ＝12lr ，又α＝l r ，可得S ＝l 22α，所以α＝2，易得r ＝1，结合图像知AB ＝2r sin α2＝2sin 1.答案：2 2sin 14．已知角α，β的终边关于x ＋y ＝0对称，且α＝－π3，则β＝________.解析：如图所示，－π3角的终边关于y ＝－x 对称的射线对应角为－π4＋⎣⎡⎦⎤－π4－⎝⎛⎭⎫－π3＝－π6， 所以β＝－π6＋2k π，k ∈Z .答案：2k π－π6，k ∈Z5．已知角α＝1 200°.(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在区间[－4π，π]上找出与α终边相同的角． 解：(1)∵α＝1 200°＝1 200×π180＝20π3＝3×2π＋2π3， 又π2<2π3<π， ∴角α与2π3的终边相同，∴角α是第二象限的角．(2)∵与角α终边相同的角(含角α在内)为2k π＋2π3，k ∈Z ， ∴由－4π≤2k π＋2π3≤π，得－73≤k ≤16.∵k ∈Z ，∴k ＝－2或k ＝－1或k ＝0. 故在区间[－4π，π]上与角α终边相同的角是 －10π3，－4π3，2π3.6．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就．其中《方田》一章中记载了计算弧田(弧田就是由圆弧和其所对弦所围成的弓形)的面积所用的经验公式：弧田面积＝12(弦×矢＋矢×矢)，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角为2π3，弦长为40 3 m 的弧田，其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为________．(其中π≈3，3≈1.73)解析：因为圆心角为2π3，弦长为40 3 m ，所以圆心到弦的距离为20 m ，半径为40 m ，因此根据经验公式计算出弧田的面积为12(403×20＋20×20)＝(4003＋200)m 2，实际面积等于扇形面积减去三角形面积，为12×2π3×402－12×20×403＝⎝⎛⎭⎫1 600π3－4003m 2，因此两者之差为1 600π3－4003－(4003＋200)≈16 m 2.答案：16 m 27.2任意角的三角函数7．2.1 三角函数的定义1.类比锐角三角函数定义，借助直角三角形定义任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)．2.通过学习，提高学生直观想象、数学抽象与数学建模的核心素养．知识点一任意角的正弦、余弦与正切的定义(一)教材梳理填空前提如图，设α是一个任意角，P(x，y)是α终边上异于原点的任意一点，r＝x2＋y2定义正弦yr称为α的正弦，记作sin α，即sin α＝yr余弦xr称为α的余弦，记作cos α，即cos α＝xr正切yx称为α的正切，记作tan α，即tan α＝yx三角函数对于每一个角α，都有唯一确定的正弦、余弦与之对应；当α≠π2＋kπ(k∈Z)时，有唯一的正切与之对应．角α的正弦、余弦与正切，都称为α的三角函数1．判断正误(1)同一个三角函数值只能有唯一的一个角与之对应．()(2)sin α，cos α，tan α的值与点P(x，y)在角α终边上的位置无关．()答案：(1)×(2)√2．若α的终边与x轴负半轴重合，则sin α＝__________，cos α＝________，tan α＝________.解析：当α的终边与x轴负半轴重合时，设角α的终边上一点P的坐标为(－1,0)，则sin α＝0，cos α＝－1，tan α＝0.答案：0－10知识点二 正弦、余弦与正切在各象限的符号 (一)教材梳理填空sin α、cos α、tan α在各个象限的符号如下：[微思考] 怎样快速记忆三角函数值在各象限的符号？提示：根据三角函数的定义可快速判断三角函数值在各象限的符号，也可用如下口诀记忆：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．(二)基本知能小试 1．判断正误(1)若α是三角形的内角，则必有sin α＞0.( )(2)若α是第二象限角，且P (x ，y )是其终边与单位圆的交点，则cos α＝－x .( ) (3)若sin α＞0，则α是第一或第二象限角．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×2．已知sin α＞0，cos α＜0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选B 由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角α是第二象限角．题型一 三角函数的定义及应用[学透用活][典例1] (1)如果角θ的终边经过点P ⎝⎛⎭⎫－32，12，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.(2)已知角θ的终边上有一点P (x,2x －3)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ的值． [解析] (1)由题意知r ＝|OP |＝ ⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫122＝1， 所以sin α＝y r ＝121＝12，cos α＝x r ＝－321＝－32，tan α＝y x ＝12－32＝－33.答案：12 －32 －33(2)由tan θ＝2x －3x＝－x ，解得x ＝－3或x ＝1. 当x ＝－3时，P (－3，－9)，r ＝310， ∴sin θ＋cos θ＝－9310－3310＝－2105；当x ＝1时，P (1，－1)，r ＝2， ∴sin θ＋cos θ＝－22＋22＝0. [方法技巧]利用三角函数的定义求值的策略已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种： (1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值．(2)注意到角的终边为射线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(a ，b )，则对应角的正弦值sin α＝b a 2＋b 2，余弦值cos α＝aa 2＋b 2. [提醒] 角α是一个任意角，其范围是使函数有意义的实数集．[对点练清]1．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x 的值为________． 解析：∵cos α＝x r ＝x x 2＋5＝24x ，∴x ＝0或2(x 2＋5)＝16，∴x ＝0或x 2＝3.∵α是第二象限角，∴x ＝0(舍去)或x ＝3(舍去)或x ＝－ 3. 答案：－ 32．已知点P (－4a,3a )(a ≠0)是角α终边上的一点，试求sin α，cos α，tan α的值． 解：由题意得r ＝(－4a )2＋(3a )2＝5|a |.当a >0时，r ＝5a ，角α在第二象限，sin α＝yr ＝3a 5a ＝35，cos α＝x r ＝－4a 5a ＝－45，tan α＝y x ＝3a －4a ＝－34.当a <0时，r ＝－5a ，角α在第四象限，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.题型二 正弦、余弦与正切在各象限的符号问题[学透用活](1)由三角函数的定义知sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (r ＞0)，可知角的三角函数值的符号是由角终边上任一点(除原点)P (x ，y )的坐标确定的，则准确确定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键．(2)为了便于记忆，我们把三角函数值在各象限内的符号规律概括为下面的口诀：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”，意思为：第一象限各三角函数值均为正；第二象限只有正弦值为正，其余均为负；第三象限只有正切值为正，其余均为负；第四象限只有余弦值为正，其余均为负．[典例2] (1)已知点P (tan α，cos α)在第四象限，则角α终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限(2)判断下列各式的符号：①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5.[解析] (1)选C 因为点P 在第四象限，所以有⎩⎪⎨⎪⎧tan α>0，cos α<0，由此可判断角α终边在第三象限．(2)①∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0. ∵－210°＝－360°＋150°， ∴－210°是第二象限角， ∴cos(－210°)＜0， ∴sin 145°cos(－210°)＜0.②∵π2＜3＜π，π＜4＜3π2，3π2＜5＜2π，∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0， ∴sin 3·cos 4·tan 5＞0. [方法技巧]判断三角函数值在各象限符号的策略(1)基础：准确确定三角函数值中各角所在象限； (2)关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；(3)注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误．[对点练清]1．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]解析：选A 由cos α≤0，sin α＞0可知，角α的终边落在第二象限内或y 轴的正半轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，解得－2＜a ≤3.2．设角α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则角α2是第________象限角． 解析：角α是第三象限角，则角α2是第二、四象限角，∵⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，∴角α2是第四象限角． 答案：四[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．若角α的终边经过P (－1，－1)，则( ) A ．tan α＝1 B ．sin α＝－1 C ．cos α＝22D ．sin α＝22解析：选A 依题意得r ＝x 2＋y 2＝(－1)2＋(－1)2＝2，因此sin α＝y r ＝－22，cos α＝x r ＝－22，tan α＝y x ＝1，故选A. 2．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是( )A ．1B ．0C ．2D ．－2解析：选C ∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0. ∴|sin α|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α－cos α－cos α＝2. 3．若cos α<0，且tan α>0，则α的终边在( ) A ．第一象限B ．第二象限。
新教材人教B版高中数学必修3精品课件：第七章 7.1.2 弧度制及其与角度制的换算
（2）（方法1）-750°＝-750×
180
＝-
25 6
.
750
（方法2）设-750°角的弧度数为α，则 180 ＝ ，
所以α＝-
25 6
.即（方法1）-
7 9
＝-
7 9
×
180
＝-140°.
（方法2）设-
7 9
n
＝n°，则 180
7
1 2
������������2.
又因为������＝������������，所以
������＝
1 2
������������.
【注意】 （1）采用弧度制时，弧长公式和扇形面积公式简单明了， 但是要注意使用它们的前提是“弧度制”，若角是以“度” 为单位，则应先化为弧度，再利用公式. （2）由弧度制下的弧长公式及扇形面积公式可知，对于 ������，������，������，������四个量，可“知二求二”.这实质上是方程思想的 应用.
二、弧度制与角度制的换算
（1）正角的弧度数是一个正数； （2）负角的弧度数是一个负数； （3）零角的弧度数是0. 在角度制与弧度制互化时，应注意： 因为半径为r的圆周长为2πr，所以周角的弧度数是 2πr r＝2π，于是360°＝2π rad，因此
180°＝π rad.
由此容易得到弧度制与角度制的换算公式：
知识梳理 一、度量两种角的制度（弧度制与角度制）
角度制 弧度制
定义 1度角 定义 1弧度角
用度数作为单位来度量角的单位制
用周角的 1
360
作为一个单位，称为1度角，
记作1°
以弧度为单位来度量角的单位制
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角称为 1弧度的角.它的单位符号时rad，读作弧度.
北京市高中数学 教材分析与教学参考 新人教B版必修3
教材分析与教学参考一、关于必修三的三章内容的理解 1.数学文化与数学阅读 2.新课改与算法 3.概率统计不分家 4.概率的基本思想的重要性二、我们备课组针对每章教学的安排 1.算法：讲义、5节 2.统计：提纲、5节 3.概率： 4.关于计数原理三、各章的具体操作 《算法初步》 1.核心思想： 2.教学目标要求：1）了解算法的基本思想，了解程序框图的基本结构，了解三种逻辑结构； 2）能够根据框图写出算法的结果；3）能够根据要求填写缺失的语句（判断框的分界点） 4*）能够根据要求自己写出算法设计… 例题：题 1.某程序的框图如下图所示, 执行该程序，若输入的p 为24，则输出的,n S 的值分别为( )A.4,30n S ==B.5,30n S ==C.4,45n S ==D.5,45n S ==题2．运行如图所示的程序框图，若输入4n =，则输出S 的值为 .题3. 在数列{}n a 中，11a =，1n n a a n -=+，2n ≥．为计算这个数列前10项的和，现给出该问题算法的程序框图，则图中判断框（1）处合适的语句是( )A ．8i ≥B ．9i≥ C ．10i ≥ D ．11i ≥题4.如图，程序框图所进行的求和运算是（ ）A.111210+++L B.1112418+++L C.1112420+++LD.111319+++L题5. 在下列框图中,为了正确求数列 (){}n n 21⋅+的前n 项和,需要在空白处填写什么条件?图①:____________图②:____________图③:____________①②③3.中国古代算法案例 1）秦九韶算法2）割圆术——以直代曲的无限逼近的极限思想3）更相减损法与辗转相除法4*）二进制4.算法与其它《统计》与《概率》一、了解统计与概率从小学到初中在教材中的整体情况教材对统计与概率这部分内容的安排充分体现了螺旋式上升的特点，学生在小学和初中阶段已经学习了不少统计和概率的知识，对此我们应当有所了解。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修3 3.3.1 几何概型》1
1基本情况授课对象本节课教授的是绥中一高中学生，基础较弱，普遍比较惧怕数学，不喜欢呆板的运算和证明。
但思维比较灵活，经激发后也有一定的思辨能力。
教材分析本节课是在讲授了几何概型的基本概念以后，进一步对几何概型中D测度和d测度的确认方法进行讨论。
几何概型是新课改以后新加入的内容，是与以往教材安排上的最大的不同之处。
这充分体现了新课改强调的数学与实际生活的紧密关系，是学生思维从有限到无限的自然延伸。
同时它在概率论中有非常重要的作用本节课有利于学生动手试验、合作探究能力的提升，有助于提高学生发现问题、解决问题的能力，有助于增强学生数学知识在实际问题中的应用。
但是执教过几何概型这部分内容的教师，却有这样的感受：“几何概型”这一概念的教学比较抽象，学生理解起来困难，遇到具体问题时，时常出错，主要是对题目的理解上出现问题。
教学目标：（1）指导学生如何明辨题意，使学生能够较为清楚的辨认几何概型类型问题中的测度。
（2）培养学生数形结合的能力，能够较为熟练的掌握几何概型中的图像与具体数据之间的联系。
（3）培养学生的阅读能力，通过仔细辨析题目中间每句话，以至于每个字的含义，提升学生理解分析题目的能力。
（4）通过本节课数形结合，比较辨析的方法，希望能使学生认识到数学学习并不是完全呆板的，体会到学习数学的乐趣，提高学习数学的兴趣。
教学重点：通过对具体问题的讨论分析，增强学生理解几何概型问题的能力。
教学难点：在几何概型中把实验的基本事件组和随机事件与某一特定的几何区域及其子区域对应，并且从中理解如何利用几何概型的知识把实际问题转化为各种几何概率问题，并且通过具体事例比较学会对测度的确定。
2教学过程21 复习师：前面我们学习了古典概型的概念和特征，以及古典概型计算的公式，我们再来回忆一下。
几何概型中，事件A的计算公式为？（学生一起回答）师：好的，那么今天这节课我们就是接着上一课的内容，来一起看这么一个问题：在0到10这11个整数中任意取一个整数，则该整数小于5的概率是多少？如果问题改为：在0到10实数中任意取一个实数，则该数小于5的概率是多少？请对比题目前后差别活动意图：承前启后，开门见山。
高中数学 1.3进位制教案 新人教B版必修3
§1．3进位制教学目标：1了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换。
2学习各种进位制转换成十进制的计算方法，研究十进制转换为各种进位制的除k 去余法，并理解其中的数学规律。
教学重点：各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换教学难点：除k 取余法的理解以及各进位制之间转换的程序框图及其程序的设计学法：学习各种进位制特点的同时探讨进位制表示数与十进制表示数的区别与联系，熟悉各种进位制表示数的方法，从而理解十进制转换为各种进位制的除k 取余法。
教学过程引入：我们常见的数字都是十进制的,比如一般的数值计算，但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的.比如时间和角度的单位用六十进位制,电子计算机用的是二进制，旧式的称是十六进制的，计算一打数值时是12进制的......那么什么是进位制?不同的进位制之间又又什么联系呢?进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。
可使用数字符号的个数称为基数，基数为n ，即可称n 进位制，简称n 进制。
现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数。
对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。
比如：十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的。
一般地，若k 是一个大于一的整数，那么以k 为基数的k 进制可以表示为：110()110...(0,0,...,,)n n k n n a a a a a k a a a k --<<≤<，而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数如：把二进制数110011(2)化为十进制数. 110011=1*25+1*24+0*23+0*22+1*21+1*20=32+16+2+1=51把八进制数(8)7348化为十进制数. 3210(8)73487*83*84*88*83816=+++=例4、把二进制数110011(2)化为十进制数.解:110011=1*25+1*24+0*23+0*22+1*21+1*20=32+16+2+1=51例5 把89化为二进制数.解:根据二进制数满二进一的原则,可以用2连续去除89或所得商,然后去余数.具体的计算方法如下:89=2*44+1 44=2*22+0 22=2*11+0 11=2*5+1 5=2*2+1所以:89=2*(2*(2*(2*(2*2+1)+1)+0)+0)+1=1*26+0*25+1*24+1*23+0*22+0*21+1*20=1011001(2) 这种算法叫做除2取余法,还可以用下面的除法算式表示:把上式中的各步所得的余数从下到上排列即可得到89=1011001(2)上述方法也可以推广为把十进制化为k 进制数的算法,这种算法成为除k 取余法.例6 利用除k 取余法把89转换为5进制数具体的计算方法如把十进制数化为二进制数。
【新教材】8.2.3 倍角公式 教学设计(1)-人教B版高中数学必修第三册
8.2.3 倍角公式本节课是人教B 版必修3《三角恒等变换》的第三课时，是在学生学过三角函数时的诱导公式和两角和与差的正弦、余弦、正切公式之后的又一重要公式，它为今后研究三角函数图象和性质等问题提供了又一必备的要素。
因此它起着承上启下的作用，同时也是培养了学生逻辑思维能力和划归的数学思想方法。
本节课的知识目是倍角公式和两角和公式的内在联系，并熟练倍角公式结构，培养学生利用划归思想导出倍角公式，了解倍角公式与两角和公式的内在联系并熟练倍角公式的结构。
通过本节的学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神。
【教学重点】二倍角公式与两角和与差的正弦余弦正切公式的区别与联系、二倍角公式及其变形公式的应用【教学难点】二倍角公式及其变形公式的应用如若在两角和的正弦公式S αβ+中，令βα=，则可求出sin2α的公式，即sin2sin()sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=类似的，可得22cos 2cos()cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-22tan tan 2tan tan 2tan()1tan 1tan αααααααα+=+==-- 因此：这3个公式称为倍角公式。
需要注意的是，因为22sin cos 1αα+=，所以2C α也可以改写为：【对点快练】1．sin π12cos π12等于( ) A ．12B ．14C ．32D ．34答案：B sin π12cos π12＝12sin π6＝12×12＝14. 2．已知tan α＝12，则tan 2α＝____________. 答案：43 tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－14＝43. 例1.已知5sin ,(,),132πααπ=∈ 求sin 2,cos 2,tan 2ααα的值。
高中数学 第七章 三角函数 7.1.2 弧度制及其与角度制的换算学案(含解析)新人教B版必修第三册-
7．1.2 弧度制及其与角度制的换算[课程目标] 1.了解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算．2．熟记特殊角的弧度数．[填一填]1．度量角的单位制(1)角度制：用度作单位来度量角的制度称为角度制，规定周角的1360为1度的角．其中60分等于1度，60秒等于1分．(2)弧度制：以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制．长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1_rad.2．角度制与弧度制的换算3．特殊角的弧度数4.弧度制下的公式如图所示，l 、r 、α分别是弧长、半径、弧所对圆心角的弧度数．(1)弧度数公式：α＝lr ；(2)弧长公式：l ＝αr ；(3)扇形面积公式：S ＝12lr ＝12αr 2.[答一答]比较弧度制与角度制的异同．提示：(1)弧度制是以“弧度”为单位来度量角的制度，角度制是以“度”为单位来度量角的制度．(2)1弧度等于长度为半径长的圆弧所对的圆心角的大小，而1°等于圆的1360所对的圆心角的大小．(3)不管是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径的大小无关的定值．(4)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，这时弧度数在形式上虽是一个不名数，但我们应当把它理解为名数．如sin2是指sin(2弧度)，π＝180°是指π弧度＝180°；但如果以度(°)为单位表示角时，度(°)就不能省去．(5)用弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特殊要求，不必把π写成小数．(6)弧度制和角度制一样，只是一种度量角的方法．弧度制与角度制相比有一定的优点．其一是在进位上，角度制在度、分、秒上是60进位制，不便于计算，而弧度制是10进位制，给运算带来方便；其二是在弧长公式与扇形面积公式的表达上，弧度制下的公式远比角度制下的公式简单，运用起来方便．(7)角的概念推广以后，无论用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(角度数或弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角和它对应.类型一概念的理解[例1]下列说法不正确的是()A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．1度的角是圆周的1360所对的圆心角，1弧度的角是圆周的12π所对的圆心角C．根据弧度的定义，180°一定等于π radD．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆的半径长短有关[解析]根据角度、弧度的定义，可知无论角度制还是弧度制，角的大小都与圆的半径长短无关，而与弧长与半径的比值有关，所以D错误．[答案] D根据弧度、角度的定义，可知无论角度制还是弧度制，角的大小都与圆的半径的长短无关，而与弧长与半径的比值有关.[变式训练1]下列命题中，真命题是(D)A．1弧度就是1度的圆心角所对的弧B．1弧度是长度为半径的弧C．1弧度是1度的弧与1度的角之和D ．1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位解析：弧度是度量角的大小的一种单位，1弧度是长度等于半径的圆弧所对圆心角的大小．类型二 角度制与弧度制的互化[例2] 将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.[解] (1)20°＝20π180＝π9.(2)－15°＝－15π180＝－π12.(3)7π12＝712×180°＝105°. (4)－11π5＝－115×180°＝－396°.(1)进行角度与弧度换算时，要抓住关系：π rad ＝180°.(2)熟记特殊角的度数与弧度数的对应值.[变式训练2] (1)把112°30′化成弧度； (2)把－5π12化成度．解：(1)112°30′＝⎝⎛⎭⎫2252°＝2252×π180＝5π8. (2)－5π12＝－⎝⎛⎭⎫5π12×180π°＝－75°. 类型三 弧度制和角度制的简单应用[例3] 设角α1＝－570°，α2＝750°，β1＝35π，β2＝－73π.(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们有相同终边的所有角． [分析] 由题目可获取以下主要信息：①用角度制给出的两个角－570°，750°，用弧度制给出的两个角35π，－73π；②与β角终边相同的角的表示．解答本题可先将－570°，750°化为弧度角再将其写成2k π＋α(k ∈Z,0≤α<2π)的形式． [解] (1)－570°＝－196π＝－4π＋56π，750°＝256π＝4π＋π6.∴α1在第二象限，α2在第一象限． (2)β1＝3π5＝108°，设θ＝k ·360°＋β1(k ∈Z )，由－720°<θ<0°，得－720°<k ·360°＋108°<0°， ∴k ＝－2或k ＝－1，∴在－720°～0°间与β1有相同终边的角是－612°和－252°.同理β2＝－73π＝－420°且在－720°～0°间与β2有相同终边的角是－60°和－420°.迅速进行角度与弧度的互化，准确判断角所在象限是学习三角函数知识的必备基本功.在某一指定范围内求具有某种特性的角，通常化为解不等式去求对应的k 值，也可使用赋值法，对k 在其本身取值范围内取特殊值.[变式训练3] 用弧度表示顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边在图中阴影部分(不包括边界)的角的集合．解：(1)题图(1)中，以OB 为终边的330°角与－30°角的终边相同， －30°＝－π6，而75°＝75×π180＝5π12，阴影部分(不包括边界)位于－π6与5π12之间且跨越x 轴的正半轴．所以，终边在阴影部分(不包括边界)的角的集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α－π6＋2k π<α<5π12＋2k π，k ∈Z ；(2)题图(2)中，以OB 为终边的225°角与－135°角的终边相同，－135°＝－135×π180＝－3π4，而135°＝3π4，阴影部分(不包括边界)位于－3π4与3π4之间且跨越x 轴的正半轴． 所以，终边在阴影部分(不包括边界)的角的集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α－3π4＋2k π<α<3π4＋2k π，k ∈Z .类型四 弧长公式与扇形面积公式的应用[例4] 求解下列各题．(1)若某扇形的圆心角为75°，半径为15 cm ，求扇形面积；(2)若一扇形的周长为60 cm ，那么当它的半径和圆心角各为多少时，扇形的面积达到最大，最大值是多少？[分析] 利用弧长公式及扇形面积公式，或应用公式建立方程组．求最值时可构造成面积关于r (或角θ)的二次函数．[解] (1)圆心角为75×π180＝5π12，扇形半径为15 cm.∴扇形面积S ＝12|α|r 2＝12×5π12×152＝3758π(cm 2)．(2)设扇形半径为r ，圆心角为θ，弧长为l ，面积为S . 则l ＋2r ＝60，∴l ＝60－2r .S ＝12lr ＝12(60－2r )r ＝－r 2＋30r ＝225－(r －15)2.当r ＝15时，面积S max ＝225(cm 2)． 此时θ＝l r ＝60－2r r ＝60－2×1515＝2.∴当半径为15 cm ，圆心角为2 rad 时，扇形面积最大，最大值为225 cm 2.(1)给出周长(即间接给出弧长)及面积，列方程组求弧长及半径，最后求得圆心角的弧度数.在以面积作等式时可以有弧度制和角度制下的两种方式.(2)求面积最值，本题可以以r 为变量建立面积关于半径r 的二次函数，也可以建立关于θ角的函数，求函数的最值方法较多，希望尽力把握.(3)使用弧度数公式|α|＝lr 时，应注意α是弧度数，且三个量l ，r ，α中知道其中任意两个可求另外一个；有些问题还要注意角α的方向和旋转的圈数.[变式训练4] (1)在半径为12 cm 的圆上，有一条弧的长是18 cm ，求该弧所对的圆心角的弧度数和该扇形的面积；(2)已知扇形OAB 的面积为1 cm 2，它的周长是4 cm ，求该扇形OAB 的圆心角AOB 的弧度数．解：(1)设该弧所对的圆心角为α，则α＝l r ＝1812＝32(rad)，该扇形面积为S ＝12lr ＝12×18×12＝108(cm 2)．(2)设该扇形的圆心角为α，半径为r ，周长为P ，依题意知：⎩⎪⎨⎪⎧S ＝12lr ＝1，P ＝l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2，∴α＝l r＝2 rad.所以该扇形OAB 的圆心角AOB 的弧度数为2 rad.类型五 弧度制的实际应用[例5] 视力正常的人，能读远处文字的视角不小于5′.试求： (1)离人10m 处，人所能阅读的最小文字的大小如何？(2)要看清长宽均为5m 的大字标语，人离标语最远距离为多少米？[分析] 解决实际问题的关键是构建数学模型，即如何将实际问题转化为数学问题．本题可转化为以眼睛为圆心，以视角为圆心角，距离为半径的弧长问题，第(1)问是已知半径、圆心角求弧长．第(2)问是已知弧长、圆心角求半径．[解] (1)设该文字的长宽均为l m ，则l ≈10α，其中视角α＝5′≈0.001 454弧度． ∴l ＝10×0.001 454＝0.014 54 m ≈1.45 cm.故视力正常的人，在10 m 远处能阅读最小为1.45 cm 见方的文字；(2)设人离标语x m 处，对5 m 见方的文字所张的视角是5′，约为0.001 454弧度，则x ≈lα≈50.001 454≈3 439 m.故视力正常的人，最远能在约3 439 m 远处看清5 m 见方的文字．本题包含两种意识：一是空间向平面转化的意识，因为人的眼睛看标语时是一个空间图形，我们把它抽象为平面图形；二是近似意识，当半径很大，圆心角较小时，圆心角所对的弧可近似看成一条线段(即文字的长度与宽度).[变式训练5] 如图，动点P 、Q 从点A (4,0)出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P 、Q 第一次相遇时所用的时间，相遇点的坐标及P 、Q 点各自走过的弧长．解：设P 、Q 第一次相遇时所用的时间是t ，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪－π6＝2π，所以t ＝4(s)，即P 、Q 第一次相遇所用的时间为4 s ．设第一次相遇点为C ，第一次相遇时已运动到终边在π3·4＝43π的位置，则x C ＝－4·cos π3＝－2，y C ＝－4·sin π3＝－23，所以C 点的坐标为(－2，－23)．P点走过的弧长为43π·4＝163π；Q 点走过的弧长为83π.1．下列各式中，正确的是( D ) A ．π＝180 B ．－15°＝π12C ．1 rad ＝πD ．90°＝π2rad解析：π＝180°，单位为弧度可以省略，单位为度不能省略，故A 错；－15°＝－π12，故B 错；1 rad ＝180°π，故C 错．2．若α＝－4，则α是( B ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：由－32π<－4<－π，知－4是第二象限角．3．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( C ) A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．2或4解析：设此扇形的半径为r ，弧长是l ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.4．已知半径为100 mm的圆上，有一条弧的长是150 mm，则该弧所对的圆心角的弧度数的绝对值为1.5.解析：|α|＝lr＝150100＝1.5，即该弧所对的圆心角的弧度数的绝对值为1.5.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
教材分析与教学参考
一、关于必修三的三章内容的理解 1.数学文化与数学阅读 2.新课改与算法 3.概率统计不分家 4.概率的基本思想的重要性
二、我们备课组针对每章教学的安排 1.算法：讲义、5节 2.统计：提纲、5节 3.概率： 4.关于计数原理
三、各章的具体操作 《算法初步》 1.核心思想： 2.教学目标要求：
1）了解算法的基本思想，了解程序框图的基本结构，了解三种逻辑结构； 2）能够根据框图写出算法的结果；
3）能够根据要求填写缺失的语句（判断框的分界点） 4*）能够根据要求自己写出算法设计… 例题：
题 1.某程序的框图如下图所示, 执行该程序，若输入的p 为24，则输出的,n S 的值分别为( )
A.4,30n S ==
B.5,30n S ==
C.4,45n S ==
D.5,45n S ==
题2．运行如图所示的程序框图，若输入4n =，则输出S 的值为 .
题3. 在数列{}n a 中，11a =，1n n a a n -=+，2n ≥．为计算这个数列前10项的和，现给出该问题算法的程序框图，则图中判断框（1）处合适的语句是( )
A ．8i ≥
B ．9i
≥ C ．10i ≥ D ．11i ≥
题4.如图，程序框图所进行的求和运算是（
A.111210+
++L B.1112418+++L C.1112420+++L
D.111319
+++L
题5. 在下列框图中,为了正确求数列 (){}
n n 21⋅+的前n 项和,需要在空白处填写什么条件?
图①:____________
图②:____________
图③:____________
①
②
③
3.中国古代算法案例 1）秦九韶算法
2）割圆术——以直代曲的无限逼近的极限思想 3）更相减损法与辗转相除法 4*）二进制
4.算法与其它
《统计》与《概率》
一、了解统计与概率从小学到初中在教材中的整体情况
教材对统计与概率这部分内容的安排充分体现了螺旋式上升的特点，学生在小学和初中阶段已经学习了不少统计和概率的知识，对此我们应当有所了解。
二、必修三统计与概率知识框架及课标要求
三、明确统计和概率在高考中的要求
1．统计与概率考试说明
2．了解北京高考题的考点分布
10年：直方图，三门考试成绩 11年：茎叶图，植树
12年：几何概型3，厨余垃圾17
22221[(200)(200)(200)]
3s a b c =-+-+-
化简：22221
(120000)3s a b c =++-
13年：空气质量16
本质：220，160，40与160，40，217的方差
14年：篮球主客场 15年：服用药物
本质： A 组：10，11，12，13，14，15，16
B 组：12，13，14，15，16，17，与 a 16年：体育锻炼抽样 由题：0111
(75978.258)8.3,(76988.259)8.222023
μμ=
⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯=比较大小 若不计算798.2523.2524.9++=<
例题1. 某次测试成绩满分为150分，设n 名学生的得分分别为12,,,n a a a L (i a ∈N ，1i n ≤≤)，k b (1150k ≤≤)为n 名学生中得分至少为k 分的人数．记M 为n 名学生的平均成绩．则( )A A ．12150
b b b M n +++=L
B ．12150
150b b b M +++=L
C ．12150
b b b M n
+++>
L
D ．12150
150b b b M +++>
L
例题2. 设412341010x x x x ≤<<<≤，5
510x =，设 12345、、、、x x x x x 的方差为D 1，
23344551
1222222
、、、、
x x x x x x x x x x +++++的方差为D 2，则( )A A. D 1>D 2 B. D 1=D 2
C. D 1<D 2
D. D 1与D 2的大小关系与1234、、、x x x x 的取值有关
例题3.（西城15年一模）（III ）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a b c ，，，且分别在[70,80)，[80,90)，[90,100]三组中，其中a b c ∈N ，，．当数据a b c ，，的方差2s 最小时，写出a b c ，，的值.（结论不要求证明）
（文科）当数据a b c ，，的方差2s 最大时，写出a b c ，，的值.（结论不要求证明）
四、加强对统计概率内容的理解与认识
1．认识统计与概率的教育价值
2．了解概率、统计的基本常识与简单应用 3．正确理解统计学思想方法 4．正确理解概率的意义
五、教学安排 《统计》
1）抽样
2）用样本的频率分布估计总体，制作频率分布直方图，了解正态分布；3）用样本的数字特征估计总体
4）相关关系与线性回归方程
《概率》
概率一——计数原理——概率二
1）随机现象，事件和基本事件空间，频率与概率
2）概率的加法公式
3）古典概型
4）几何概型
六、教学中几个注意的问题
1.实验
2.随机抽样的原则与概率
3.在计数中培养学生的能力与方法
4.提出案例问题，鼓励学生思考与交流
5. 贝特朗悖论
6.注重教学设计。