(江苏专用)2021高考数学二轮复习 填空题训练 综合仿真练(八).doc

综合仿真练(八)
1．(2021·通州中学)若复数z 满足z i
z －i
＝1，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为________．
解析：由
z i
z －i
＝1得z i ＝z －i ，即z ＝
i 1－i ，所以|z |＝|i||1－i|＝12＝22
. 答案：
2
2
2．已知集合M ＝{0,1,3}，N ＝{x |x ＝3a ，a ∈M }，则M ∩N ＝________.
解析：因为M ＝{0,1,3}，N ＝{x |x ＝3a ，a ∈M }，所以N ＝{0,3,9}，所以M ∩N ＝{0,3}． 答案：{0,3}
3．在区间(0,5)内任取一个实数m ，则满足3<m <4的概率为________． 解析：根据几何概型的概率计算公式得，满足3<m <4的概率为P ＝4－35－0＝15.
答案：15
4．已知一组数据x 1，x 2，…，x 100的方差是2，则数据3x 1,3x 2，…，3x 100 的标准差为________． 解析：由x 1，x 2，…，x 100的方差是2，则3x 1,3x 2，…，3x 100的方差是18，所以所求标准差为3 2.
答案：3 2
5．在如图所示的算法中，输出的i 的值是________．
解析：当i ＝1时，S ＝2；当i ＝3时，S ＝6；当i ＝5时，S ＝30；当i ＝7时，S ＝210>200.所以输出的i ＝7.
答案：7
6．双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离
心率e ＝________.
解析：由双曲线的性质“焦点到渐近线的距离等于b ”，则b ＝
a ＋c
2
，即a 2
＋⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋c 22＝
c 2.整理得3c 2－2ac －5a 2＝0，所以3e 2－2e －5＝0，解得e ＝53
.
答案：53
7．设正四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 的边长为1，其表面积为14，则AA 1＝________. 解析：正四棱柱的表面积为14，两个底面积之和为2，故侧面积为12，则AA 1＝3. 答案：3
8．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ln x 在x ＝e(e 为自然对数的底数)处的切线与直线ax －y ＋3＝0垂直，则实数a 的值为________．
解析：因为y ′＝1x ，所以曲线y ＝ln x 在x ＝e 处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝e ＝1
e .又该切
线与直线ax －y ＋3＝0垂直，所以a ·1
e
＝－1，所以a ＝－e.
答案：－e
9．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
y ≤x ＋2，y ≥x ，
0≤y ≤4，
x ≥0
表示的平面区域的面积为S ，则S
的值为________．
解析：作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，得面积S ＝12
(42－22
)＝6. 答案：6
10．已知函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx (ω>0)在(0，π)上有且只有两个零点，则实数ω的取值范围为________．
解析：易得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3，设t ＝ωx －π3，因为0<x <π，所以－π3<t <ωπ－
π3.因为函数f (x )在(0，π)上有且仅有两个零点，所以π<ωπ－π
3
≤2π， 解得43<ω≤7
3
.
答案：⎝ ⎛⎦
⎥⎤43，73 11．若两个非零向量a ，b 的夹角为60°，且(a ＋2b )⊥(a －2b )，则向量a ＋b 与a －b 的夹角的余弦值是________．
解析：由(a ＋2b )⊥(a －2b )，得(a ＋2b )·(a －2b )＝0，即|a |2
－4|b |2
＝0，则|a |＝2|b |，
cos 〈a ＋b ，a －b 〉＝a ＋b ·a －b
|a ＋b ||a －b |
＝
a 2
－b
2
a 2
＋2a ·b ＋b 2·a 2
－2a ·b ＋b 2
＝
3b
221b
2
＝
217
. 答案：
217
12．(2021·扬州中学模拟)已知等差数列{a n }前n 项和为S n ，且S 6＝－9，S 8＝4，若满足不等式n ·S n ≤λ的正整数n 有且仅有3个，则实数λ的取值范围为________．
解析：不妨设S n ＝An 2
＋Bn ，由S 6＝－9，S 8＝4，得⎩⎪⎨
⎪⎧
36A ＋6B ＝－9，64A ＋8B ＝4，
则⎩
⎪⎨⎪
⎧
A ＝1，
B ＝－15
2，
所以nS n ＝n 3－152n 2，令f (x )＝x 3
－152
x 2，
则f ′(x )＝3x 2
－15x ＝3x (x －5)，易得数列{nS n }在1≤n ≤5，n ∈N *
时单调递减； 在n >5，n ∈N *
时单调递增．令nS n ＝b n ，有b 3＝－812，b 4＝－56，b 5＝－1252
，b 6＝－54，
b 7＝－49
2
.若满足题意的正整数n 只有3个，则n 只能为4,5,6，故实数λ的取值范围为
⎣
⎢⎡⎭⎪⎫－54，－812. 答案：⎣
⎢⎡⎭⎪⎫－54，－812
13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2cos A ＝b 3cos B ＝c
6cos C ，则
cos A cos B cos C ＝________.
解析：由题意及正弦定理得
tan A 2＝tan B 3＝tan C
6
，可设tan A ＝2k ，tan B ＝3k ，tan C ＝6k ，k ＞0，而在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ，于是k ＝11
6
，从而cos A cos B cos C ＝
320
×
215
×
1
12＝110
. 答案：1
10
14．已知函数f (x )＝2x 3
＋7x 2
＋6x
x 2＋4x ＋3，x ∈[0,4]，则f (x )最大值是________．
解析：法一：当x ＝0时，原式值为0；
当x ≠0时，由f (x )＝2x 3＋7x 2
＋6x
x 2＋4x ＋3
＝
2x ＋7＋
6
x
x ＋4＋
3
x
，令t ＝
2x ＋7＋6
x
，由x ∈(0,4]，
得t ∈[2＋3，＋∞)，f (x )＝g (t )＝
2t t 2
＋1＝2
t ＋
1
t
. 而t ＋1t ≥4，当且仅当t ＝2＋3时，取得等号，此时x ＝3，所以f (x )≤1
2.即f (x )
的最大值为1
2
.
法二：f (x )＝
2x
x 2＋4x ＋3－x 2
x 2＋4x ＋3
＝
2x x 2
＋4x ＋3－⎝ ⎛⎭
⎪⎫x x 2＋4x ＋32，
于是令t ＝
x x 2
＋4x ＋3
，所求的代数式为y ＝2t －t 2
.
当x ＝0时，t ＝0；当x ≠0时，有t ＝
1
x ＋4＋3x
≤123＋4＝2－32，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
0，2－32，当t ＝2－32时， 2t －t 2
有最大值12
，此时x ＝ 3.
答案：12。