数列极限的基本性质
数列极限的性质
如果 lim xn = a , ∃n0 , n > n0时有xn ≥ 0, 那么a ≥ 0.
4.保不等式性 (保序性 ) 保不等式性 保序 保序性 保不等式 命题4 命题 如果 lim xn = a , lim yn = b均存在,
n →∞ n →∞
且有a > b, 那么∃N , ∀n > N ,有xn > yn . 有
仿照上面命题 的推论 可得命题 的推论2. 仿照上面命题3的推论 可得命题 的推论 命题 的推论1可得命题4的推论
5. 极限的四则运算法则 定理 1 设limxn = a,limxn = b,
n→ ∞ n→ ∞
(1) lim xn ± yn ) = a ± b; ( 则 (2) lim( xn ⋅ yn ) = a⋅ b;
n→ ∞ n→ ∞
xn a (3) lim = , 其 b ≠ 0. 中 n→ y ∞ b n xn a 对 (3) lim = ( b ≠ 0) 的 明 以 于 证 予 n→ y ∞ b n
视 明 到 极 的 号 . 重 ,证 用 了 限 保 性
a0 nm + a1nm −1 + L + am 例1 求 lim n →∞ b n n + b n n −1 + L + b 0 1 n
n→∞
例3 求 lim ( n→ ∞
1 n +1
2
n +2 n +n 1 解 倘若我们由 lim = 0 ( k = 1, 2,L , n ) , n →∞ n2 + k 根据极限的四则运算法则得 1 1 1 + +L+ lim( ) n →∞ n2 + 1 n2 + 2 n2 + n 1 1 1 = lim + lim + L + lim =0 2 2 2 n →∞ n →∞ n + 1 n→∞ n + 2 n +n 那就错了.
数列的极限
二、数列的定义
定义: 按自然数1,2,3, 编号依次排列的一列数
x1 , x 2 , , x n ,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列的 项, x n 称为通项(一般项).数列(1)记为 { x n }.
例如
2,4,8,,2 n ,;
n 1
} 当 n 时的变化趋势.
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问题: 当 n 无限增大时, x n 是否无限接近于某 一确定的数值?如果是,如何确定? 通过上面演示实验的观察: ( 1)n1 当 n 无限增大时, xn 1 无限接近于1. n ( 1)n1 我们就称当n 时, xn 1 的极限为1. n 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.
推论： 数列{ xn } 收敛于 a 的充要条
-邻域U (a , ) ， 件是对a 的任意 只有有限
项 xn U ( a , ) 。
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注意：
数列极限的定义未给出求极限的方法.
例1
证
n ( 1)n1 证明 lim 1. n n
1 n ( 1) n 1 1 xn 1 n n
n
则当n N时,
就有 q n 0 ,
lim q n 0.
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例4
设xn 0, 且 lim xn a 0,
1 有 xn 1 , 10000
1 给定 0, 总存在正整数N , 只要 n N ( [ ]) 时,
1.2.2-1.2.4 数列极限的性质和运算法则
xn
a
，
lim
n
yn
b
，
且 a b ，则 N N ，当 n N xn yn 。
2
数列极限的性质和运算法则
性质 1（唯一性）若{ xn } 收敛，则其极限唯一。
证明：用反证法。
假设
lim
n
xn
a
，
lim
n
xn
b ，（ a b），取
ba 2
0，
∴收敛数列的极限是唯一的。
3
数列极限的性质和运算法则
性质 2（有界性） 若{ xn } 收敛，则{ xn } 必有界，
即 M 0， n N , 有 xn M 。
注证明：②①：收性设敛质ln数im2列的x必n等有价a界命，；题反是之:若有界xn数无列界未，必则收敛xn。发散。
lim
n
n3
lim
n
n(n
1)(2n 6n3
1)
1 3
11
数列极限的性质和运算法则
（2） lim[ 1 2 L n 1 2 L (n 1)] n
解： lim[ 1 2 L n 1 2 L (n 1)] n
lim[ n (n 1) n (n 1) ] lim 1 [ n2 n n2 n]
n yn lim yn b
n
说明：可以推广到有限多个数列的和差或乘积。
7
数列极限的性质和运算法则
思考：
① 若：{ xn } 收敛，{ yn } 发散， 它们的和、差、积、商 数列的敛散性如何？
② 若：{ xn } ， { yn } 都发散呢？
大学数列的极限知识点归纳总结
大学数列的极限知识点归纳总结数列是数学中常见且重要的概念之一，它含有很多有趣而具有挑战性的性质。
其中，数列的极限是数学分析中的重要内容之一，它在微积分、实变函数等领域中有广泛的应用。
本文将对大学数列的极限知识点进行归纳总结，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、数列的定义及性质1. 数列的定义：数列是按照一定顺序排列的一串数字。
2. 数列的记法：一般用 {an} 表示数列，其中 an 表示数列的第n项。
3. 数列的性质：数列可以是有界的或无界的。
二、数列极限的概念1. 数列极限的定义：对于数列 {an}，如果存在一个常数A，使得对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当n>N时，|an-A|<ε，那么称数列的极限为A，记作lim (n→∞) an = A。
2. 数列极限的几何解释：数列的极限可以理解为当n趋向于无穷大时，数列的项趋向于某个常数。
三、数列极限的性质1. 数列极限的唯一性：对于一个数列，如果其极限存在，则该极限是唯一的。
2. 数列极限与数列项的关系：如果数列的极限存在，那么对于任意大于极限的数M，存在正整数N，使得当n>N时，an>M。
3. 数列极限与数列的有界性的关系：如果数列的极限存在，那么这个数列一定是有界的。
四、常见数列的极限1. 等差数列的极限：对于等差数列 {an} = a1, a1+d, a1+2d, ...，其中a1为首项，d为公差，其极限为lim (n→∞) an = a1。
2. 等比数列的极限：对于等比数列 {an} = a1, a1r, a1r^2, ...，其中a1为首项，r为公比（r≠0），其极限存在的条件是|r|<1，极限为lim(n→∞) an = 0。
3. 斐波那契数列的极限：斐波那契数列 {Fn} = 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...，其中每一项等于前两项之和。
斐波那契数列的极限不存在，即lim (n→∞) Fn 不存在。
数列的极限
1 (1 1 )(1 2 )(1 n ) ( n 1)! n1 n1 n1
正
比较可知
又
xn xn1 ( n 1, 2 , )
n xn (1 1 ) 11 n
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又
n 1 xn (1 n )
11
11
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xn 1 1 1 (1 1 ) 1 (1 1 ) (1 2 ) 3! n 2! n n
1 (1 1 ) (1 2 ) (1 n1) n ! n n n 1 (1 1 ) 1 (1 1 )(1 2 ) xn1 1 1 2 ! n1 3! n1 n1
n
1 a a 解： xn 1 (xn ) xn a 2 xn xn 1 a xn 1 1 a (1 2 ) ( 1 ) 1 2 a xn 2 xn
∴数列单调递减有下界， 设 lim xn A 故极限存在， n 1 a A a 则由递推公式有 A ( A ) 2 A x1 0 , xn 0 , 故 lim xn a
第二节 数列的极限
一、数列极限的定义
第一章
二 、收敛数列的性质
三 、极限存在准则
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一 、数列极限的定义
引例. 设有半径为 r 的圆, 用其内接正 n 边形的面积 逼近圆面积 S . 如图所示 , 可知
π n
r
无限逼近 S . (刘徽割圆术)
当 n 无限增大时,
数学语言描述: 0 , 正整数 N , 当 n > N 时, 总有
3 1 2
第二讲 极限的定义与基本性质
第二讲 极限的定义与基本性质一、数列极限及其性质1．数列极限的定义：{}n x 收敛于a⇔0ε∀>，N ∃∈N ，s.t. ,n x a n N ε-<∀>。
值得注意的是：1）N 依赖于ε，但不唯一，而ε事先给定；2）不等式n x a ε-<中的ε可以用K ε来代替，其中0K >不依赖于,N ε； 3）N 可以通过n x a ε-<得到，需要解不等式或作适当的放大。
例1 证明：0a ∀>，0!nan →。
分析：直接求解不等式0!nan ε-<是不现实的。
用放大法。
记[]m a =，则当n m >时!12(1)(1)(1)n mn m n m n m -=⋅⋅⋅+>+≥+ ，从而(1)!1nnmaa m n m ⎛⎫<⋅+ ⎪+⎝⎭， 注意到[]11a a m <+=+，因此011a m <<+，从而只要解(1)1nmam m ε⎛⎫⋅+< ⎪+⎝⎭即可。
证明：0ε∀>，不妨设1ε<。
记[]m a =，取ln(1)ln ln(1)ln m m N m a ε⎡⎤+-=⎢⎥+-⎣⎦，则当n N >时有0(1)!1nnmaa m n m ε⎛⎫-<⋅+< ⎪+⎝⎭， 因此由极限定义得0!nan →。
□2．用定义证明极限存在的方法1）放大法：如前。
2）分步法与拟合法 例2 设n x a →，证明1nx x a n++→ 。
分析：若把{}n x 中每项看成a ，则1nx x n++ 的值恰为a ，因此11111()nnnii i i x x a xa x a nnn==++-=-≤-∑∑ 。
其余要借助假设n x a →来证明。
给定0ε>，N ∃，当n N >时n x a ε-<，因此不能控制的项为12,,,N x a x a x a --- 。
但好在这种项只有N 项，从而可以调整n 来控制它们。
极限的基本性质
a 1
2
a
a 1
2
区间长度为1
于是推得
x2 N x2 N 1 1,
这与 x2 N x2 N 1 (1) 1 2
x x0 o
o
则
A 0 ( . A 0 ).
问题若 f (x) < g(x),
x x0 x x0
据此，可由极限符 号推得函数在该点 邻域内的符号
能否推出 lim f ( x ) lim g( x ) ？
1 1 设 f ( x ) , g ( x ) , 例如: 2x x
n x
y sinx x
sin n sin x (1) lim lim 0. 例如: n n x x
sin x (2) 若已知 lim 1，则 x 0 x
1 1 sin x n lim n sin lim 1 ( xn 0) n n x n n
1 lim sin(2n ) 1 lim sin 2 n x n n
(n 1, 2 , L )
二者不 相等,
由定理1.5 ， 知
1 lim sin 不存在 . x 0 x
(2) 若 N N
且 lim x n a , 使当n > N 时，恒有 lim x n b ， 则 a b .
x n yn
n n
定理1.3' (函数极限的局部保号性) (1) 如果 lim f ( x ) A , 且 A > 0 , ( A < 0 ) 则存在
《数列极限的性质》课件
不存在的情况
如果极限不存在，例如 $lim_{n to infty} (frac{1}{n})$，则不能直接 应用四则运算性质。
03
单调有界定理
定理内容
定理
如果数列${ a_{n}}$是单调增加（或减少）的，并且存在一个正数$M$，使得 对于所有$n$，都有$a_{n} leq M$（或$a_{n} geq M$），则数列${ a_{n}}$ 收敛。
举例说明
解：根据极限的四则 运算性质，我们有
• $\lim_{n \to \infty} (a_n b_n) = 2 - 3 = 1$
• $\lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = 2 + 3 = 5$
举例说明
01
• $\lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = 2 \cdot 3 = 6$
04
柯西收敛准则
柯西收敛准则的内容
柯西收敛准则
如果对于任意给定的正数$varepsilon$，存在一个正整数$N$，使得对于所有的$n>N$，都有$|a_n a|<varepsilon$，则称数列${a_n}$收敛于$a$。
柯西收敛准则的数学表达
如果对于任意正数$varepsilon$，存在正整数$N$，使得当$n>N$时，有$|a_{n+1}-a_n|<varepsilon$，则数 列${a_n}$收敛。
极限的四则运算性质
极限的加法性质
若$lim_{n to infty} a_n = A$且$lim_{n to infty} b_n = B$，则$lim_{n to infty} (a_n + b_n) = A + B$。
极限运算法则总结
极限运算法则总结
1. 极限的唯一性：如果一个数列存在极限，则极限唯一。
2. 有界性原理：如果一个数列有极限，则它是有界数列。
3. 递推数列的极限性质：如果一个数列存在极限，那么这个数列的递推数列也存在极限，且极限相等。
4. 夹逼准则：如果一个数列在两个极限之间夹逼，那么这个数列也存在极限，且极限等于夹逼的两个极限。
5. 极限与函数连续性的关系：如果一个函数在某点处连续，那么在这个点处的极限就等于函数值。
6. 极限与函数单调性的关系：如果一个函数单调递增且有上界（或单调递减且有下界），那么这个函数存在极限，且极限等于上（或下）界。
7. 极限的四则运算法则：对于两个数列，若它们存在极限，则它们的和、差、积、商（分母不为0）也存在极限，且按照运算法则计算。
8. 乘积的极限性质：如果一个数列存在极限，那么它与另一个数列的乘积也存在极限，且极限等于原数列和另一个数列的极限的乘积。
9. 商的极限性质：如果两个数列都存在极限且分母数列的极限不为0，那么它们的商也存在极限，且极限等于分子和分母各自的极限的商。
10. 多项式函数与指数函数的极限：在正无穷大和负无穷大两个方向上，多项式函数的极限为正无穷或负无穷，而指数函数的极限为0（负指数）或正无穷（正指数）。
数列与数列极限的概念与性质
数列与数列极限的概念与性质数列是数学中常见的一种数学对象，它由依次排列的数字组成。
数列极限是数列的一个重要概念，它描述了数列中的数字随着序号的增加逐渐趋近于某个值的特性。
本文将介绍数列与数列极限的概念与性质。
一、数列的概念数列是由一系列数字按照一定规律排列而成的序列。
数列可以用数学公式表示，通常用{an}或{a1, a2, a3, ...}表示，其中an表示数列的第n个元素。
例如，数列{1, 2, 3, 4, ...}表示自然数数列，数列{2, 4, 6, 8, ...}表示偶数数列。
二、数列的性质1. 有界性：数列可能是有界的，也可能是无界的。
如果数列的所有元素都小于或等于某个实数M，则称该数列是有上界的；如果数列的所有元素都大于或等于某个实数N，则称该数列是有下界的。
如果数列既有上界又有下界，则称其为有界数列；否则，称其为无界数列。
2. 单调性：数列可能是递增的，也可能是递减的，还可能是保持常数的。
如果数列的每个元素都大于其前一个元素，则称该数列是递增数列；如果数列的每个元素都小于其前一个元素，则称该数列是递减数列；如果数列的每个元素都等于其前一个元素，则称该数列是常数数列。
3. 有限和无限：数列可能是有限的，也可能是无限的。
如果数列只有有限个元素，则称其为有限数列；如果数列有无穷个元素，则称其为无限数列。
三、数列极限的概念数列极限是数列中的数字随着序号的增加逐渐趋近于某个值的特性。
一个数列{an}收敛到一个实数a，表示为lim(an) = a，如果对于任意给定的正数ε（ε > 0），存在正整数N，使得当n > N时，|an - a| < ε。
换句话说，就是无论怎样选择正数ε，总能找到一个正整数N，使得数列中的所有元素与实数a的差的绝对值都小于ε。
四、数列极限的性质1. 极限的唯一性：如果数列{an}收敛到一个实数a，那么a是唯一确定的，即数列只有一个极限值。
2. 有界性与收敛性的关系：如果数列{an}收敛到实数a，则数列必定是有界的，即数列的所有元素都小于或等于某个实数M。
高等数学数列的极限
高等数学：数列的极限一、引言在高等数学中，数列是极为重要的概念之一。
数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。
而数列的极限则是指在数列中的某种规律性趋势下，数列中的项逐渐接近一个确定的数。
本文将深入探讨高等数学中数列的极限这一概念。
二、数列的定义数列是由一系列有序的数按确定的规律排列而成的序列。
一般来说，数列可以表示为 $a_1, a_2, a_3, \\ldots$，其中a a表示数列的第a项。
数列可以有无穷多项，也可以有有限项。
三、数列极限的定义考虑一个数列 $a_1, a_2, a_3, \\ldots$，如果数列中的项a a随着a的增大趋近于一个常数a，那么我们称常数a是该数列的极限，记作 $\\lim_{n\\to\\infty} a_n = A$。
简单来说，数列的极限就是数列中的项在逐渐接近一个确定的值。
四、数列极限的性质在研究数列的极限时，我们可以利用一些性质来简化计算或判断。
以下是一些常用的数列极限性质：1.数列极限的唯一性：若数列的极限存在，那么极限是唯一的。
2.数列加减乘除的极限性质：若$\\lim_{n\\to\\infty}a_n = A$，$\\lim_{n\\to\\infty} b_n = B$，则$\\lim_{n\\to\\infty} (a_n \\pm b_n) = A \\pm B$，$\\lim_{n\\to\\infty} a_n b_n = A \\cdot B$，$\\lim_{n\\to\\infty} \\frac{a_n}{b_n} =\\frac{A}{B}$（当a aa0时）。
五、数列的极限计算方法计算数列的极限通常可以通过分析数列的规律性和使用一些极限运算法则来进行。
以下是一些常用的数列极限计算方法：1.利用等式化简：有时数列的极限可以通过等式化简来得到。
例如，将复杂的数列分解成更简单的形式，进而计算极限。
2.利用夹逼准则：对于某些比较复杂的数列，我们可以利用夹逼准则来证明数列的极限值。
04.数列的极限的性质汇总
.
A
.
. . . . . . . . .... .... . .... . . . . . . .. .
n
.
o
§2.1 数列的极限
xn lim zn A, 定理5（夹逼性）设 xn yn zn (n 1,2,) ，且 nlim n yn A. 则nlim
思考题：
作业 P23: 7, 8(1), 9,10,12
lim f ( x) A 0, 0, 当 x x0 0 时, 有 f ( x) A .
f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A 定理1 xlim x x
定理2
x x0
lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A
un A
§2.2 函数的极限
定义1 设 f ( x)在 (a,) 内有定义,若存在常数 A ,使得对于 N 任意的正数 , 存在正数 ,N 当时 x ,恒有
f ( x) A
则称 f ( x) 在过程 x 中存在极限 A ,记为
x
lim f ( x) A
定义2 设 f ( x)在 x0 的某去心邻域内有定义,若存在常数 A , 使得 0 , 0 ,当时 0 x x0 ,恒有
f ( x) A
则称 f ( x)在过程中 x x0 存在极限 A ,记为
xx0
lim f ( x) A 或 f ( x) A ( x x0 ) .
x x0 x x0
总结与练习
本讲主要内容：
子数列的概念及其收敛性 函数极限的定义（6种情形） 各种极限之间的关系
数列极限的性质
数列极限的性质
数列极限的性质如下：
1、唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。
2、有界性：如果一个数列收敛（有极限），那么这个数列一定有界。
3、保不等式性：设数列{xn} 与{yn}均收敛。
若存在正数N ，使得当n>N时有 xn≥yn。
附：极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。
16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生产和技术中遇到大量的问题。
开始人们只用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破’只研
究常量‘的传统范围，而寻找能够提供能描述和研究运动、变化过程的新工具，是促进’极限‘思维发展、建立微积分的社会背景。
起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立了微积分，后来因遇到逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。
数列极限的定义与性质分析
数列极限的定义与性质分析数列极限是数学中重要的概念之一，它在微积分、实分析等领域中有着广泛的应用。
本文将对数列极限的定义与性质进行分析，并从理论和实际角度探讨其重要性。
首先，我们来介绍数列极限的定义。
给定一个数列{an}，如果存在一个实数a，对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，数列中的每一项an到a 的距离都小于ε，那么我们称数列的极限为a，记作lim(an)=a。
从定义可以看出，数列极限是关于数列中的数值与某一特定值的趋近性的刻画。
当数列的极限存在时，我们可以说这个数列是收敛的，反之，如果不存在极限或者极限为无穷大或无穷小，那么这个数列是发散的。
接下来，我们来分析数列极限的性质。
数列极限具有一些重要性质，包括唯一性、局部有界性和保序性。
首先，数列极限的唯一性是指一个数列只能有一个极限。
这个性质可以通过反证法证明。
假设数列{an}的两个极限分别为a和b，且a≠b。
那么对于任意给定的ε，使用定义，我们可以找到两个正整数N1和N2，当n>N1时，|an-a|<ε，当n>N2时，|an-b|<ε。
取N=max(N1,N2)，则当n>N时，同时满足|an-a|<ε和|an-b|<ε，但是这与a≠b矛盾，因此假设不成立，数列的极限是唯一的。
其次，数列极限的局部有界性是指一个收敛的数列在极限附近的有限区间内是有界的。
也就是说，对于有界数列{an}，如果lim(an)=a，那么对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当n>N时，数列的每一项an位于(a-ε,a+ε)之间。
这个性质可以通过定义和三角不等式进行推导。
最后，数列极限的保序性是指如果{an}和{bn}是两个数列，并且对于所有的n，都有an≤bn，那么如果lim(an)=a和lim(bn)=b，则有a≤b。
这个性质是显然的，可以通过使用定义和数学分析中的基本不等式进行证明。
数列极限在实际问题中有着广泛的应用。
数列极限的性质
并且 r ≤ s , ak , bk 都是与无关的数 , a0 , b0都不为 0
6.运算性质 运算性质
定理6 定理 设
Α
是非空有上界数集 ，且 且
c = supΑ
推论
设
Α
是非空有界集 ， = supΑ Α ，则 c
n →∞
存在互不相同的数列， 存在互不相同的数列，{a n }(a n ∈ A) 使得 lim a n = c
且
N
当n > N 时，有 x n
推论 对一切正整数
n→∞
lim xn = x ，则
n ，x n > 0 (或xn < 0) x ≥ 0 (或x < 0)
5.运算性质 运算性质
lim 定理5 定理 若 n →∞ a n = a ， lim bn = b ，则 n →∞
1） ） 2） ） 3） ）
lim (a n ± bn ) = lim a n ± lim bn = a ± b
3.有界性 有界性
定义 对数列 x n , 若存在正数 M , 使得一切自
然数 n, 恒有 x n ≤ M 成立, 则称数列 x n 有界, 否则, 称为无界.
n 例如, 例如 数列 x n = ; 有界 数列 x n = 2 n .无界 n+1 数轴上对应于有界数列的点 x n 都落在闭区间
[ M , M ]上.
n →∞ n →∞ n →∞
lim ( ka n ) = k lim a n = ka 其中k为常数
liman bn = liman limbn = a b
n→∞ n→∞ n→∞
n →∞
n →∞
n →∞
4） lim a n = a ）
数学分析课件之第二章数列极限
02
数列极限的运算性质
数列极限的四则运算性质
01
02
03
04
加法性质
若$lim x_n = a$且$lim y_n = b$，则$lim (x_n + y_n) =
a + b$。
减法性质
若$lim x_n = a$且$lim y_n = b$，则$lim (x_n - y_n) =
a - b$。
数列极限的性质
总结词
数列极限具有一些重要的性质，如唯一性、收敛性、保序性等。
详细描述
数列极限具有一些重要的性质。首先，极限具有唯一性，即一个数列只有一个极限值。其次，极限具有收敛性， 即当项数趋于无穷时，数列的项逐渐接近极限值。此外，极限还具有保序性，即如果一个数列的项小于另一个数 列的项，那么它们的极限也满足这个关系。
指数性质
若$lim x_n = a$且$0 < |a| < 1$ ，则$lim a^{x_n} = 1$。
幂运算性质
若$lim x_n = a$，则$lim x_n^k = a^k$（其中$k$为正整数）。
数列极限的运算性质在数学中的应用
解决极限问题
利用数列极限的运算性质，可以 推导和证明一系列数学定理和公 式，如泰勒级数、洛必达法则等
无穷小量是指在某个变化过程中，其 值无限趋近于0的变量。
性质
无穷小量具有可加性、可减性、可乘 性和可除性，但不可约性。
无穷大量的定义与性质
定义
无穷大量是指在某个变化过程中，其值无限增大的变量。
性质
无穷大量具有可加性、可减性、可乘性和可除性，但不可约性。
无穷小量与无穷大量的关系
1 2
无穷量是无穷大量的极限状态
数列函数的极限
contents
目录
• 数列函数极限的定义 • 数列函数极限的性质 • 数列函数极限的计算方法 • 数列函数极限的应用 • 数列函数极限的注意事项
01
数列函数极限的定义
定义
极限的定义
对于任意给定的正数$varepsilon$， 存在一个正整数$N$，使得当$n>N$ 时，有$|f(n) - L| < varepsilon$，其 中$L$是常数，称为数列函数的极限。
详细描述
极限的连续性是数列函数极限的一个重要性质。它表明，当n趋于无穷大时，数列函数 的极限值等于该函数在某一点的极限值。这一性质在研究函数的极限行为和性质时非常
重要，是函数连续性的基础。
03
数列函数极限的计算方 法
代数法
代数法是计算数列函数极限的一种基 本方法，通过将数列函数进行化简， 将其转化为更易于计算的形式，从而 求得极限。
极限的运算顺序
极限的运算顺序
在计算数列函数的极限时，需要注意运算的顺序。有些 复杂的数列函数包含多个变量和运算符，需要按照一定 的顺序进行运算，以确保结果的准确性。
举例
考虑数列函数$f(x,y) = frac{xy}{x+y}$，在计算该函数的 极限时，需要先对$x$和$y$分别取极限，然后再进行运算。 如果先进行除法运算，会导致结果不准确。因此，在计算 数列函数的极限时，需要遵循正确的运算顺序。
等。
05
数列函数极限的注意事 项
初始值问题
初始值问题
举例
在计算数列函数的极限时，需要注意初始值 的影响。有些数列函数在初始阶段呈现出较 大的波动，随着项数的增加会逐渐趋于稳定。 因此，在计算极限时，需要充分考虑初始值 对结果的影响。
极限的性质与运算
limx3 lim1
x2
lim(x2
x2
3x 5)
23 1 3
7. 3
x2
9
2019/8/29
例2 求xl im 1x24x2x13.
解 lim (x22x3) 0, x 1
又 lim (4x1) 30,
x 1
limx22x3 0 0.
常数因子可以提到极限记号外面.
推论2 如l果 ifm i(x)存,而 在 ai为常 (i1,2 数 , ,n)则 , lim a1f1(x [)a2f2(x) anfn(x)]
lim a1f1(x)lia m 2f2(x) lia m nfn(x) 推论3 如果 lim fi(x)存(在 i1,2, ,n)则 ,
围确定。 2、此处只说有一个空心邻域，至于空心邻域有多大由
具体函数确定。
1
2019/8/29
性质3(局部保号性) 若 lim f(x)A0 ， 则 0 ， x x0
使 x U 0(x0)， f(x)0。
性质4 已 x l x i 0f 知 ( m x ) A ， 若 0 ， x 使 U 0 (x 0 ) ，
lim f1([x)f2(x) fn(x)] lim f1(x)lim f2(x)lim fn(x) 推论4 如果 lim f(x)存,在 而n是正,整 则数
lim f(x[)n ][lim f(x)n ].
推论5 如l果 im f(x)存在且 ,而 不 n是为 正,零 则 整数 lim f(x)[ ]n[lifm (x) ]n.
实际上 是我们 下一节 将要学 到的∞
消极大公因子法对分子、分母含指数形式也适用。
例 求 极l限 im (2)n 3n 。计算过程 n(2)n1 3n1
数列极限定义
数列极限定义数列极限定义是数学中一个基本的概念，它是很多抽象概念的基础，比如有限数列之和、级数之和、不动点定理等等等等。
本文将介绍数列极限定义的概念、性质、求解方法、应用，以及更深入地理解它。
一、数列极限定义数列极限定义是指将数列中的每一项定义为到一个特定的值的近似，例如$ a_{n} = L $其中L是一个常数，表示数列中每一项都接近L。
例如，令$a_{n} = frac{1}{n}$，则当n趋向无穷大的时候，$a_{n}$的极限值是0，即$lim_{n to infty} a_{n} = 0$。
二、性质数列极限定义具有若干特性：1.数列中的每一项都连续变化时，数列的极限值等于数列中最后一项的值。
例如，令$a_{n} = frac{1}{n}$，则当n趋向无穷大的时候，$lim_{n to infty} a_{n} = 0$，也就是说，数列的极限值等于最后一项的值。
2.果数列中的每一项都收敛到一个固定的值，则数列的极限值也是这个固定的值。
例如，令$a_{n} = 5$，即每一项都收敛到值5，则数列的极限值也是5，即$lim_{n to infty} a_{n} = 5$。
三、求解方法要求数列极限定义，可以使用三种方法：1.接法：这种方法比较简单，只要直接判断数列中最后一项的值，就可以确定数列的极限值。
2.推法：这种方法更为精确，即求解数列的每一项的值，然后通过这些值推出数列的极限值。
3.殊数列法：这种方法特别适用于某些特定的数列，比如几何数列、调和数列等，通过将数列中的一些特定项代入求解，可以更加准确地求解极限。
四、应用数列极限定义可以应用于众多领域，例如:1.以用来判断一个数列是否收敛或者是否存在极限值。
2.以用来求解微积分中的不定积分和定积分。
3.以用来求解概率论中的极限定理。
4.以用来判断某一类函数是否连续，以及连续函数的极限值。
五、更深入理解数学家们经常借助数列极限定义来分析函数的性质，这是因为函数的变化可以看作是某一数列的连续变化。
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三、 收敛数列的性质.
1. 唯一性 定理1.1 ( 收敛数列极限的唯一性)
若极限
lim
n
xn存在，
则极限唯一.
即若
lim
n
xn
a
且
lim
n
xn
b
则必有 a b.
证法1 ( 用反证法) 假设
lim
n
xn
a
及
lim
n
xn
b
且
a b.
因
lim
n
xn
a
取 ba,
2
使当 n > N1 时,
(<)
且
lim
n
xn
a,
则
a 0. ()
证 (1) 对 a > 0 , 取 a,
则 N N , 当n N 时,
xn a a
(2) 用反证法证明.
xn a a 0
注
由 xn 0 (n
N0 )，且
lim
n
xn
a
如：
xn
1 n
0,
但
lim
n
xn
lim 1 n n
0.
a 0.
从而
使当 n >
N2 时, 有
xn
ab 2
取 N max N1 , N2 , 则当 n > N 时,
既有xn
a
2
b，又有xn
ab 2
矛盾！故假设不真 !
2. 有界性
定义 对数列xn , 若存在正数 M , 使得一切正整 数n, 恒有 xn M 成立, 则称数列 xn 有界； 否则, 称为{ xn }无界.
例如, 数列 {(1 )n1} 虽有界，但不收敛 . 推论 无界数列必发散.
3. 保号性、保序性
(1)
若
lim
n
xn
a,
lim
n
yn
b , 且 a b,
则 N N , 当n N 时, 有 xn yn.
(2) 若 N N ， 使当n > N 时，恒有
xn yn
且 lim xn a , lim yn b，则 a b.
例如: 数列 xn （ 1）n1 有界
数列 xn 2n
无界
数轴上对应于有界数列的点 xn 都落在闭区间 [ M , M ]上.
定理2.2 (收敛数列的有界性)
收敛的数列必定有界.
即若
lim
n
xn
a,
则常数 M 0,
使 xn M (n =1,2,…).
证
设
lim
n
xn
a,
取 1 ,则 N ,当n N 时, 有
4. 收敛数列与其子数列的关系
(1) 子数列的概念
在数列{ xn }中任意选取无穷多项，按原来在{ xn }
中的次序排列 xn1 , xn2 , ..., xnk , ... 其中 1 n1 n2 ... nk ... 则 {xnk }：称为数列 { xn }的一个子数列(或子列)。
例如, 从数列 { 1 } 中抽出所有的偶数项 n
xn a 1,
从而有
xn ( xn a) a xn a a 1 a
取 M max x1 , x2 , , xN ,1 a
则有 xn M ( n 1 , 2 , ) .
即收敛数列必有界.
注 有界性是数列收敛的必要条件， 但不是充分条件.
关系： { xn } 收敛
{ xn } 有界
yn
b
ba, 2
从而
yn
b
b
2
a
a
2
b
取 N max N1 , N2 , 则当 n > N 时, 便有
xn
a
2
b
yn ,
与已知矛盾, 于是定理得证.
推论：
(收敛数列的保号性)
(1)
若
lim
n
xn
a,
且 a 0,
(<)
则 N N ，使当n > N 时，
恒有 xn 0.
(<)
(2) 若 xn 0(n N0 ),
n
n
证（1）：a b.
取
a
2
b
,
因
lim
n
xn
a,
故存在 N1 , 使当 n > N1 时,
xn
a
ba, 2
即
b
2
a
xn
a
b
2
a
,
从而
xn
a
b
2
a
a
2
b
当 n > N1 时,
xn
ab 2
当 n > N1 时,
xn
a
2
b
同理,
因
lim
n
yn
b,
故存在 N2 ,
使当 n > N2 时, 有
xn a
ba, 2
N1 N+,
即当 n > N1 时,
b
2
a
xn
a
b
2
a
3a 2
b
xn
a
2
b
,
从而
使当
n
>
N1 时,
xn
a b, 2
从而
使当
n
>
N1
时,
xn
a
2
b,
同理,
因
lim
n
xn
b
故
N2 N+,
使当
n
>
N2
时,
有
xn
b
b
2
a
,
b
2
a
xn
b
b
2
a
a
2
b
xn
3b 2
a
注 1° 某{xnk }收敛
{xn} 收敛
例如，
数列 xn
（
1）n1，虽然
lim
k
x2k
1
但{xn} 发散.
2° 若数列有两个子数列收敛于不同的极限， 则原数列一定发散 .
定理
lim
n
xn
a
lim
k
x2k
lim
k
x2k 1
a.
例如， x n (1)n1 ( n 1, 2, ) 发散 !
lim
k
x2k
1
lim
k
x
1 2k
是其子数列. 它的第k 项是
xnk
x2k
1 2k
(k 1, 2, 3，)
(2) 收敛数列与其子数列的关系
结论：（1)：
若数列lim n
xn
a,
（2)：
则{xn}的任意子数列
{xnk }
也收敛，且
lim
k
xnk
a.
数列lim n
xn
a,
若数列{x2k } {x2k1}都收敛于a