2015届高考数学(理)一轮讲义：一轮复习综合验收题精讲(一) 精品讲义

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2015届高考数学(理)一轮讲义：一轮复习综合验收题精讲(二) 精品讲义

一轮复习综合验收题精讲(二)主讲教师：王春辉北京数学特级教师选择题注：本讲课程内容较多，故有些题目不在课堂中讲解，没讲到的题目请同学们课下自己练习并对照详解进行自测. 题一：计算120x dx =⎰（）． (A)2(B) 1(C)13(D)14题二：圆1cos (sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数）的极坐标方程是（）． (A)cos ρθ= (B) 2cos ρθ= (C)sin ρθ= (D) 2sin ρθ=题三：若双曲线221x ky +=的离心率是2，则实数k 的值是（）． (A)3- (B) 13- (C) 3 (D)13题四：下列四个正方体图形中，A B 、为正方体的两个顶点，M N P 、、分别为其所在棱的中点，能得出 //AB 平面MNP 的图形的序号是（）．(A) ①、③ (B) ①、④ (C) ②、③ (D) ②、④题五：已知向量a 1),=b (0,1),=-c (,k =．若a 2-b 与c 共线，则k =（）． (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4题六：在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（）．（A ）甲地：总体均值为3，中位数为4 （B ）乙地：总体均值为1，总体方差大于0（C ）丙地：中位数为2，众数为3 （D ）丁地：总体均值为2，总体方差为3题七：ABC ∆中，3||=→AB ，1||=→BC ， =→B AC cos ||A BC cos ||→，则=⋅→→BC AB （）．(A)23-或1- (B) 32或1 (C) 23-或2- (D)23或2题八：在ABC ∆中，3,2==AC AB ，D 是边BC 的中点，则=⋅→→BC AD ( )． (A) 5 (B) 25 (C) 23(D) 4题九：函数)(x f )(log 3ax x a -=)1,0(≠>a a 在区间)0,21(-内单调递增，则a 的取值范围是（）．(A))1,41[ (B))1,43[ (C)),49(+∞ (D))49,1(题十：设(0,0)A ，(4,0)B ，(4,3)C t +，(,3)D t ()t ∈R ．记()N t 为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数()N t 的值域为（）．（A ）}9,8,6{（B ）}9,8,7{（C ）}8,7,6{（D ）}9,8,7{填空题题一：设不等式组2220x y a x y -⎧⎪⎨⎪+-≥⎩≤≤≤≤0(0)a >确定的平面区域为U ．在区域U 内任取一个点(,)M s t ，已知s t +的最大值为4，则此点到坐标原点的距离不大于2的概率是 .题二：直线1:2)l y x =-关于直线:l y kx =对称的直线2l 与x 轴平行，则k = ．题三：中国象棋中规定：马每走一步只能按日字格（也可以是横日）的对角线走．例如马从方格中心点O 走一步，会有8种走法．则从图中点A 走到点B ，最少需______步，按最少的步数走，共有______种走法．题四：把函数:(1,2,,)k f k i k n →=称为1,2,,n 这n 个整数的一个“置换”，记作：⎪⎪⎭⎫⎝⎛n i i i n ,,,,2,121，其中},,2,1{n ={n i i i ,,,21 }．置换f 与g 的积（记作g f ）仍为置换，且)]([)(k g f k g f = ，n k ,,2,1 =．（1）1,2,,n 这n 个整数的不同“置换”共个；（2）求置换的积：⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4,5,1,2,35,4,3,2,13,1,2,4,55,4,3,2,1= ．解答题题一：(理)在直三棱柱111ABC A BC -中，AC BC ⊥，12AC BC AA ===.（1）求直线1AC 和11A B 所成角的大小；（2）求直线1AC 和平面11ABB A 所成角的大小.题二：(文)已知：点P 到定点)0,1(-M 、)0,1(N 的距离之比为2．(1)求动点P 的轨迹方程；(2)若点N 到直线PM 的距离为1，求直线PN 的方程．题三：某村子有1000人，因附近工厂有毒物质泄漏，现要对每个人的血液进行化验。

2015届高考数学大一轮复习讲义(备考基础查清+热点命题悟通)第五章数列理苏教版

第五章数列第一节数列的概念与简单表示法对应学生用书P671．数列的定义、分类与通项公式(1)数列的定义：①数列：按照一定顺序排列的一列数．②数列的项：数列中的每一个数．(2)数列的分类：分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列a n＋1>a n其中n∈N*递减数列a n＋1<a n常数列a n＋1＝a n(3)数列的通项公式：如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．2．数列的递推公式如果数列{a n}的首项(或前几项)，且任一项a n与它的前一项a n－1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．1．数列是按一定“次序〞排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数〞有关，而且还与这些“数〞的排列顺序有关．2．易混项与项数两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．[试一试]1．数列{a n}的前4项为1,3,7,15，写出数列{a n}的一个通项公式为________．答案：a n＝2n－1(n∈N*)2．数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2·3n －1n 为偶数，2n －5n 为奇数，那么a 4·a 3＝________.解析：a 4·a 3＝2×33·(2×3－5)＝54. 答案：541．辨明数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．2．明确a n 与S n 的关系a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 n ＝1，S n －S n －1 n ≥2.[练一练]1．(2013·某某、某某二模)数列{a n }的通项为a n ＝7n ＋2，数列{b n }的通项为b n ＝n 2.假设将数列{a n }，{b n }中相同的项按从小到大的顺序排列后记作数列{}，那么c 9的值是________．解析：法一：由a n ＝7n ＋2，b n ＝n 2列出部分项得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，b 3＝9，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，b 4＝16，⎩⎪⎨⎪⎧a 14＝100，b 10＝100，⎩⎪⎨⎪⎧a 17＝121，b 11＝121，⎩⎪⎨⎪⎧a 41＝289，b 17＝289，⎩⎪⎨⎪⎧a 46＝324，b 18＝324，易发现在数列{b n }中符合条件的数呈周期变化，且周期为7.每个周期内第3,4个数符合题意，故c 9在第5个周期的第3个数，即c 9＝(4×7＋3)2＝312＝961.法二：令a n ＝b m ，那么7n ＋2＝m 2，即7(n －1)＝(m －3)(m ＋3)．易知m ＋3或m －3是7的整数倍，所以当m ＝3,4,10,11,17,18,24,25,31,32，…时满足等式，故c 9＝312＝961.答案：9612．(2014·苏锡常镇调研)设u (n )表示正整数n 的个位数，a n ＝u (n 2)－u (n )，那么数列{a n }的前2 014项和等于________．解析：因为n 与n ＋10的个位数字相同且周期为10，又a 1＝0，a 2＝4－2＝2，a 3＝9－3＝6，a 4＝6－4＝2，a 5＝5－5＝0，a 6＝6－6＝0，a 7＝9－7＝2，a 8＝4－8＝－4，a 9＝1－9＝－8，a 10＝0，所以a 1＋a 2＋…＋a 10＝0，即a 1＋a 2＋…＋a 2 014＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝10.答案：10 对应学生用书P67考点一由数列的前几项求数列的通项公式1.(2014·某某二模)将正偶数按如下所示的规律排列：2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 …那么第n (n ≥4)行从左向右的第4个数为________．解析：从数表可知，所有的数是由偶数组成的，第n 行有n 个偶数，从而前n －1行有1＋2＋…＋(n －1)＝n n －12个偶数，第(n ≥4)行从左向右的第4个数是第n n －12＋4个偶数，所以是n 2－n ＋8.答案：n 2－n ＋82．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式： (1)4,6,8,10，…；(2)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…；(3)a ，b ，a ，b ，a ，b ，…(其中a ，b 为实数)； (4)9,99,999,9 999，….解：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以通项公式a n ＝2(n ＋1)(n ∈N *)．(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式a n ＝(－1)n×1n n ＋1.(3)这是一个摆动数列，奇数项是a ，偶数项是b ，所以此数列的一个通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，b ，n 为偶数.(4)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1 000－1，10 000－1，所以它的一个通项公式a n ＝10n－1.[备课札记][类题通法]用观察法求数列的通项公式的技巧(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n ＋1来调整．(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般〞的思想．考点二由a n 与S n 的关系求通项a n[a n n S n a n (1)S n ＝2n 2－3n ； (2)S n ＝3n＋b .[解] (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. (2)a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(3n＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1.当b ＝－1时，a 1适合此等式．当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.[备课札记][类题通法]数列{a n }的前n 项和S n ，求数列的通项公式，其求解过程分为三步： (1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，那么可以把数列的通项公式合写；如果不符合，那么应该分n ＝1与n ≥2两段来写．[针对训练]各项均为正数的数列{a n }的前n 项和满足S n >1，且6S n ＝(a n ＋1)(a n ＋2)，n ∈N *，求{a n }的通项公式．解：由a 1＝S 1＝16(a 1＋1)(a 1＋2)，解得a 1＝1或a 1＝2，由a 1＝S 1>1，因此a 1＝2.又由a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝16(a n ＋1＋1)(a n ＋1＋2)－16(a n ＋1)·(a n ＋2)，得a n ＋1－a n －3＝0或a n ＋1＝－a n . 因为a n >0，故a n ＋1＝－a n 不成立，舍去．因此a n ＋1－a n －3＝0.即a n ＋1－a n ＝3，从而{a n }是以公差为3，首项为2的等差数列，故{a n }的通项公式为a n＝3n －1.考点三由递推关系式求数列的通项公式递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接，归纳起来常见的命题角度有：1形如a n ＋1＝a n f n ，求a n ； 2形如a n ＋1＝a n ＋f n ，求a n ； 3形如a n ＋1＝Aa n ＋BA ≠0且A ≠1，求a n .角度一形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n 1．数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．解：(1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3.由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1. 当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1. 即a n a n －1＝n ＋1n －1.∴a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a n －2a n －3·a n －1a n －2·a na n －1＝1·31·42·53·64·…·n －1n －3·n n －2·n ＋1n －1＝n n ＋12(n ≥2)当n ＝1时，a 1＝1.综上可知，{a n }的通项公式a n ＝n n ＋12.角度二形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n 2．a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2，求a n . 解：∵a n ＋1－a n ＝3n ＋2， ∴a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n 3n ＋12(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式，∴a n ＝32n 2＋n 2.角度三形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)，求a n 3．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，求a n . 解：∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3，∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3，又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2·3n －1，∴a n ＝2·3n －1－1.[备课札记][类题通法]由数列的递推公式求通项公式时，假设递推关系为a n ＋1＝a n ＋f (n )或a n ＋1＝f (n )·a n ，那么可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，(如角度二)，注意：有的问题也可利用构造法，即通过对递推式的等价变形，(如角度三)转化为特殊数列求通项．对应学生用书P69[课堂练通考点]1．(2014·苏北四市质检)在数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝3，当n ≥2时，a n ＋1是a n ·a n －1的个位数，那么a 2 014＝________.解析：由题意，该数列除前2项外，从第3项往后是周期为6的周期数列，故a 2 014＝a 4＝8.答案：82．(2013·某某三调)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－a x －3，x ≤7，a x －6， x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n∈N *，且数列{a n }是递增数列，那么实数a 的取值X 围是________．解析：由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，f 8>f 7，解得a ∈(2,3)．答案(2,3)3．数列{a n }满足a st ＝a s a t (s ，t ∈N *)，且a 2＝2，那么a 8＝________. 解析：令s ＝t ＝2，那么a 4＝a 2×a 2＝4，令s ＝2，t ＝4，那么a 8＝a 2×a 4＝8. 答案：84．数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n (a n ＋1)，记S n 为{a n }前n 项的和，那么S 2 013＝____________.解析：由a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n(a n ＋1)可得该数列是周期为4的数列，且a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝－1，a 4＝0.所以S 2 013＝503(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 2 013＝503×(－2)＋1＝－1 005.答案：－1 0055．数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n .求数列{a n }与{b n }的通项公式．解：∵当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋2n )－[2(n －1)2＋2(n －1)]＝4n ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝4也适合， ∴{a n }的通项公式是a n ＝4n (n ∈N *)． ∵T n ＝2－b n ，∴当n ＝1时，b 1＝2－b 1，b 1＝1.当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝(2－b n )－(2－b n －1)， ∴2b n ＝b n －1.∴数列{b n }是公比为12，首项为1的等比数列．∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.[课下提升考能] 第Ⅰ组：全员必做题1．(2013·某某二调)数列{a n }满足a n ＋a n －1＝12(n ∈N *)，a 1＝1，S n 是{a n }的前n 项和，那么S 21＝________.解析：这个数列为“等和数列〞，分别计算数列的前几项可以发现该数列为周期数列，周期为2.故S 21＝(1－12)×10＋1＝6.答案：62．数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，那么a 2等于________．解析：由题可知S n ＝2(a n －1)，所以S 1＝a 1＝2(a 1－1)，解得a 1＝2.又S 2＝a 1＋a 2＝2(a 2－1)，解得a 2＝a 1＋2＝4. 答案：43．设数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝1－1a n，记数列{a n }的前n 项之积为T r ，那么T 2 013的值为________．解析：由a 2＝12，a 3＝－1，a 4＝2可知，数列{a n }是周期为3的周期数列，从而T 2 013＝(－1)671＝－1.答案：－14．假设数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，那么数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为________．解析：∵a 1＝19，a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n . 设{a n }的前k 项和数值最大，那么有⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥0，a k ＋1≤0，k ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧22－3k ≥0，22－3k ＋1≤0，∴193≤k ≤223， ∵k ∈N *，∴k ＝7.∴满足条件的n 的值为7. 答案：75．数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，那么满足a n n≤2的正整数n 的集合为________．解析：因为S n ＝2a n －1，所以当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，整理得a n ＝2a n －1，所以{a n }是公比为2的等比数列，又因为a 1＝2a 1－1，解得a 1＝1，故{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.而a n n≤2，即2n －1≤2n ，所以有n ＝1,2,3,4. 答案：{1,2,3,4}6．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的第____________项．解析：令n －2n2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0，即(2n －5)(n －10)＝0.解得n ＝10或n ＝52(舍去)．∴a 10＝0.08.答案：107．数列{a n }的前n 项和S n ＝2n－3，那么数列{a n }的通项公式为________．解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥28．数列{a n }满足：a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋1＋3(n ∈N *)，那么数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋1＋3，把n 换成n－1得，a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＝(n －2)·3n＋3，两式相减得a n ＝3n.答案：3n9．数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，且a n ＝a n －1a n －2(n ≥3)，那么a 2 014＝________.解析：将a 1＝1，a 2＝2代入a n ＝a n －1a n －2得a 3＝a 2a 1＝2，同理可得a 4＝1，a 5＝12，a 6＝12，a 7＝1，a 8＝2，故数列{a n }是周期为6的周期数列，故a 2 014＝a 335×6＋4＝a 4＝1.答案：110．数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－21n ＋20. (1)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)n 为何值时，该数列的前n 项和最小？解：(1)因为a n ＝n 2－21n ＋20＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2122－3614，可知对称轴方程为n ＝212＝10.5.又因n∈N *，故n ＝10或n ＝11时，a n 有最小值，其最小值为112－21×11＋20＝－90.(2)设数列的前n 项和最小，那么有a n ≤0，由n 2－21n ＋20≤0，解得1≤n ≤20，故数列{a n }从第21项开始为正数，所以该数列的前19或20项和最小．第Ⅱ组：重点选做题1．(2014·某某期末)在数列{a n }中，a 1＝6且a n －a n －1＝a n －1n＋n ＋1(n ∈N *，n ≥2)，那么这个数列的通项公式a n ＝________.解析：法一：由题意得a 1＝6，a 2＝12，a 3＝20，a 4＝30，…由此猜想出a n ＝(n ＋1)(n ＋2)．法二：由题意得a n n ＋1＝a n －1n ＋1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1是以a 12＝3为首项，1为公差的等差数列，故a nn ＋1＝3＋1·(n －1)＝n ＋2，故a n ＝(n ＋1)(n ＋2)．答案：(n ＋1)(n ＋2)2.创新题数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2a n 为偶数，a n －2n a n 为奇数.假设a 3＝1，那么a 1的所有可能取值为________．解析：当a 2为奇数时，a 3＝a 2－4＝1，a 2＝5；当a 2为偶数时，a 3＝12a 2＝1，a 2＝2；当a 1为奇数时，a 2＝a 1－2＝5，a 1＝7 或a 2＝a 1－2＝2，a 1＝4(舍去)；当a 1为偶数时，a 2＝12a 1＝5，a 1＝10或a 2＝12a 1＝2，a 1＝4.综上，a 1的可能取值为4,7,10. 答案：4,7,103．(2013·某某一模)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝0，对任意正整数n ，m (n >m )满足a 2n －a 2m ＝a n －m a n ＋m ，那么a 119＝________.解析：法一：采用特殊值法求出a 3，a 4，a 5，a 6分别为－1,0,1,0，由不完全归纳法得出a n 的周期为4，所以a 119＝a 29×4＋3＝－1.法二：令m ＝2，得a 2n －a 22＝a n －2·a n ＋2，即a 2n ＝a n －2·a n ＋2，所以奇数项成等比数列，偶数项均为0.再令m ＝1，得a 2n －a 21＝a n －1·a n ＋1，当n 为奇数时，a 2n ＝a 21；当n 为偶数时，a n －1·a n ＋1＝－1，故a 1＝－a 3＝a 5＝－a 7＝…，因此a n 的周期为4，所以a 119＝a 29×4＋3＝－1.答案：－14．(2013·某某期末)假设数列{a n }满足a 1为大于1的常数，a n ＋1－1＝a n (a n －1)(n ∈N *)，且1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 012＝2，那么a 2 013－4a 1的最小值为________．解析：因为a 1>1，易知对所有的n ∈N *，a n >1，对a n ＋1－1＝a n (a n －1)两边取倒数得1a n ＋1－1＝1a na n －1＝1a n －1－1a n ，所以1a n ＝1a n －1－1a n ＋1－1，所以1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 012＝1a 1－1－1a 2 013－1＝2.整理得a 2 013＝2－a 13－2a 1(由a 2 013>1得1<a 1<32)，所以a 2 013－4a 1＝2(3－2a 1)＋123－2a 1－112≥223－2a 1·123－2a 1－112＝－72，当且仅当a 1＝54时取等号．故a 2 013－4a 1的最小值为－72.答案：－72第二节等差数列及其前n 项和对应学生用书P691．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n n －12d ＝a 1＋a n n2.1．要注意概念中的“从第2项起〞．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．2．注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别． [试一试]1．在等差数列{a n }中，a 4＋a 8＝16，那么该数列前11项和S 11＝________. 解析：∵a 4＋a 8＝16， ∴a 6＝8，∴S 11＝11a 6＝88. 答案：882．(2013·某某高考){a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n 为其前n 项和，假设a 1，a 2，a 5成等比数列，那么S 8＝________.解析：因为{a n }为等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列，所以a 1(a 1＋4d )＝(a 1＋d )2，解得d ＝2a 1＝2，所以S 8＝64.答案：641．等差数列的四种判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列． (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列． (4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)⇔{a n }是等差数列． 2．活用等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d ，(n ，m ∈N *)．(2)假设{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N *)，那么a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)假设{a n }是等差数列，公差为d ，那么a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列. 3．用方程思想和化归思想在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程(组)获得解． [练一练]1．(2014·某某摸底)等差数列{a n }满足a 3＋a 7＝10，那么该数列的前9项和S 9＝________.解析：由题知，S 9＝9a 1＋a 92＝9a 3＋a 72＝45.答案：452．(2014·某某、某某一模)在等差数列{a n }中，假设a 3＋a 5＋a 7＝9，那么其前9项和S 9的值为________．解析：由题知a 3＋a 5＋a 7＝3a 5＝9，那么a 5＝3，所以S 9＝9a 5＝27. 答案：27 对应学生用书P70考点一等差数列的基本运算1.(2013·新课标卷Ⅰ改编)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假设S m －1＝－2，S m ＝0，S m＋1＝3，那么m ＝________.解析：根据条件，得到a m 和a m ＋1，再根据等差数列的定义得到公差d ，最后建立关于a 1和m 的方程组求解．由S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，得a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，所以等差数列的公差为d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧a m ＝a 1＋m －1d ＝2，S m ＝a 1m ＋12m m －1d ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋m －1＝2，a 1m ＋12m m －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，m ＝5.答案：52．(2014·某某调研)在等差数列{a n }中，假设a 1＋a 2＝4，a 9＋a 10＝36，那么S 10＝________. 解析：法一：由于a 1＋a 2＋a 9＋a 10＝2(a 1＋a 10)＝40，故a 1＋a 10＝20，从而S 10＝10a 1＋a 102＝100.法二：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝4，2a 1＋17d ＝36，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，从而S 10＝10a 1＋10×9d2＝100.答案：1003．设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，且满足a 22＋a 23＝a 24＋a 25，S 7＝7. (1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ； (2)试求所有的正整数m ，使得a m a m ＋1a m ＋2为数列{a n }中的项．解：(1)由题意可设等差数列{a n }的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，d ≠0.由a 22＋a 23＝a 24＋a 25化简得2a 1＋5d ＝0.① 又因为S 7＝7，所以a 1＋3d ＝1.② 由①②可知a 1＝－5，d ＝2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －7，其前n 项和S n ＝n a 1＋a n2＝n 2－6n .(2)因为a m a m ＋1a m ＋2＝a m ＋2－4a m ＋2－2a m ＋2＝a m ＋2－6＋8a m ＋2为数列{a n }中的项，那么8a m ＋2为整数．又由(1)知a m ＋2＝2m －3为奇数，所以a m ＋2＝2m －3＝±1，解得m ＝1或2. 经检验，符合题意的正整数m ＝2. [备课札记][类题通法]1．等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，表达了用方程组解决问题的思想．2．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示和未知是常用方法．考点二等差数列的判断与证明[典例] 数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝2，a n ＝－2S n S n －1(n ≥2且n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列．(2)求S n 和a n .[解] (1)证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2S n S n －1，① ∴S n (1＋2S n －1)＝S n －1.由上式知假设S n －1≠0，那么S n ≠0. ∵S 1＝a 1≠0，由递推关系知S n ≠0(n ∈N *)，由①式得1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列，其中首项为1S 1＝1a 1＝2，公差为2. (2)∵1S n ＝1S 1＋2(n －1)＝1a 1＋2(n －1)，∴S n ＝12n.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－12n n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝12不适合上式，∴a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n n －1，n ≥2.[备课札记]假设将条件改为“a 1＝2，S n ＝S n －12S n －1＋1(n ≥2)〞，如何求解.解：(1)∵S n ＝n －12S n －1＋1，∴1S n ＝2S n －1＋1S n －1＝1S n －1＋2.∴1S n －1S n －1＝2.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以12为首项，以2为公差的等差数列．(2)由(1)知1S n ＝12＋(n －1)×2＝2n －32，即S n ＝12n －32. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －32－12n －72 ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫2n －32⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －72；当n ＝1时，a 1＝2不适合a n ，故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＝1，－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －32⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －72n ≥2.[类题通法]1．解答题判断等差数列，常用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断．2．用定义证明等差数列时，常采用两个式子a n ＋1－a n ＝d 和a n －a n －1＝d ，但它们的意义不同，后者必须加上“n ≥2〞，否那么n ＝1时，a 0无定义．[针对训练]在数列{a n }中，a 1＝－3，a n ＝2a n －1＋2n＋3(n ≥2，且n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值； (2)设b n ＝a n ＋32n(n ∈N *)，证明：{b n }是等差数列．解：(1)∵a 1＝－3，a n ＝2a n －1＋2n＋3(n ≥2，且n ∈N *)， ∴a 2＝2a 1＋22＋3＝1，a 3＝2a 2＋23＋3＝13. (2)证明：对于任意n ∈N *， ∵b n ＋1－b n ＝a n ＋1＋32n ＋1－a n ＋32n＝12n ＋1[(a n ＋1－2a n )－3] ＝12n ＋1[(2n ＋1＋3)－3]＝1，∴数列{b n }是首项为a 1＋32＝－3＋32＝0，公差为1的等差数列．考点三等差数列的性质及最值[典例] n 1352＋a 4＋a 6＝99，{a n }的前n 项和为S n ，那么使得S n 达到最大时n ＝________.(2)设数列{a n }，{b n }都是等差数列，假设a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，那么a 5＋b 5＝________. [解析] (1)a 1＋a 3＋a 5＝105⇒a 3＝35，a 2＋a 4＋a 6＝99⇒a 4＝33，那么{a n }的公差d ＝33－35＝－2，a 1＝a 3－2d ＝39，S n ＝－n 2＋40n ，因此当S n 取得最大值时，n ＝20.(2)设两等差数列组成的和数列为{}，由题意知新数列仍为等差数列且c 1＝7，c 3＝21，那么c 5＝2c 3－c 1＝2×21－7＝35.[答案] (1)20 (2)35 [备课札记][类题通法] 1．等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，那么 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n .2．求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图像求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .[针对训练]1．设数列{a n }是公差d <0的等差数列，S n 为其前n 项和，假设S 6＝5a 1＋10d ，那么S n 取最大值时，n ＝________.解析：由题意得S 6＝6a 1＋15d ＝5a 1＋10d ，所以a 6＝0，故当n ＝5或6时，S n 最大．答案：5或62．(2013·某某高考)在等差数列{a n }中，a 3＋a 8＝10，那么3a 5＋a 7＝________.解析：因为a 3＋a 8＝10，所以3a 5＋a 7＝2(a 3＋a 8)＝20. 答案：20 对应学生用书P71[课堂练通考点]1．(2013·某某、某某二模)设数列{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和．假设a 21＋a 22＝a 23＋a 24，S 5＝5，那么a 7的值是________．解析：设数列{a n }的公差为d .由a 21＋a 22＝a 23＋a 24得a 21＋(a 1＋d )2＝(a 1＋2d )2＋(a 1＋3d )2，即8a 1d ＋12d 2＝0.因为d ≠0，所以a 1＝－32d .又由S 5＝5a 3＝5得a 3＝1，所以a 1＋2d ＝1，解得a 1＝－3，d ＝2，故－3＋(7－1)×2＝9.答案：92．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假设a 11－a 8＝3，S 11－S 8＝3，那么使a n >0的最小正整数n 的值是________．解析：∵a 11－a 8＝3d ＝3，∴d ＝1，∵S 11－S 8＝a 11＋a 10＋a 9＝3a 1＋27d ＝3， ∴a 1＝－8，∴a n ＝－8＋(n －1)>0，解得n >9，因此使a n >0的最小正整数n 的值是10. 答案：103．数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 7－a 5＝4，a 11＝21，S k ＝9，那么k ＝________. 解析：a 7－a 5＝2d ＝4，那么d ＝2.a 1＝a 11－10d ＝21－20＝1，S k ＝k ＋k k －12×2＝k 2＝9.又k ∈N *，故k ＝3.答案：34．一等差数列的前四项和为124，后四项和为156，各项和为210，那么此等差数列的项数是________．解析：设数列{a n }为该等差数列，依题意得a 1＋a n ＝124＋1564＝70.∵S n ＝210，S n ＝n a 1＋a n2，∴210＝70n2，∴n ＝6.答案：65．各项均为正数的数列{a n }满足a 2n ＝4S n －2a n －1(n ∈N *)，其中S n 为{a n }的前n 项和． (1)求a 1，a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)当n ＝1时，a 21＝4S 1－2a 1－1，即(a 1－1)2＝0，解得a 1＝1.当n ＝2时，a 22＝4S 2－2a 2－1＝4a 1＋2a 2－1＝3＋2a 2，解得a 2＝3或a 2＝－1(舍去)． (2)a 2n ＝4S n －2a n －1，①a 2n ＋1＝4S n ＋1－2a n ＋1－1.②②－①得：a 2n ＋1－a 2n ＝4a n ＋1－2a n ＋1＋2a n ＝2(a n ＋1＋a n )，即(a n ＋1－a n )(a n ＋1＋a n )＝2(a n ＋1＋a n )． ∵数列{a n }各项均为正数， ∴a n ＋1＋a n >0，a n ＋1－a n ＝2，∴数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列． ∴a n ＝2n －1. [课下提升考能] 第一卷：夯基保分卷1．(2014·某某模拟)在等差数列{a n }中，假设a 3＋a 9＋a 27＝12，那么a 13＝________. 解析：等差数列{a n }中，由a 3＋a 9＋a 27＝12得3a 13＝12，所以a 13＝4. 答案：42．等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n >3)，S n ＝100，那么n 的值为________．解析：由S n －S n －3＝51得，a n －2＋a n －1＋a n ＝51，所以a n －1＝17，又a 2＝3，S n ＝n a 2＋a n －12＝100，解得n ＝10. 答案：103．(2014·某某月考)等差数列{a n }中，a 4＋a 6＝10，前5项和S 5＝5，那么其公差为________．解析：由a 4＋a 6＝10，得2a 5＝10，所以a 5＝5.由S 5＝5a 3＝5，得a 3＝1，所以d ＝a 5－a 32＝5－12＝2. 答案：24．S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10>0并且S 11＝0，假设S n ≤S k 对n ∈N *恒成立，那么正整数k 构成的集合为________．解析：在等差数列{a n }中，由S 10>0，S 11＝0得，S 10＝10a 1＋a 102>0⇒a 1＋a 10>0⇒a 5＋a 6>0， S 11＝11a 1＋a 112＝0⇒a 1＋a 11＝2a 6＝0，故可知等差数列{a n }是递减数列且a 6＝0，所以S 5＝S 6≥S n ，其中n ∈N *，所以k ＝5或6. 答案：{5,6}5．(2013·某某二模)设等差数列{a n }的公差为正数，假设a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，那么a 11＋a 12＋a 13＝________.解析：由条件可知，a 2＝5，从而a 1＋a 3＝10，a 1a 3＝16，得a 1＝2，a 3＝8，公差为3，所以a 11＋a 12＋a 13＝2×3＋(10＋11＋12)×3＝105.答案：1056．(2013·某某质检)设s ，t 为正整数，两条直线l 1：t 2s x ＋y －t ＝0与l 2：t2s x －y ＝0的交点是(x 1，y 1)，对于正整数n (n ≥2)，过点(0，t )和(x n －1,0)的直线与直线l 2的交点记为(x n ，y n )，那么x n －y n ＝________(用s ，t ，n 表示)．解析：法一：点(x n ，y n )满足⎩⎪⎨⎪⎧tx ＋x n －1y ＝tx n －1，t2sx －y ＝0，得到x n ＝2sx n －12s ＋x n －1，y n ＝tx n －12s ＋x n －1，所以x n －y n ＝2s －t x n －12s ＋x n －1.点(x 1，y 1)满足⎩⎪⎨⎪⎧t2s x ＋y －t ＝0，t2s x －y ＝0，解得x 1＝s ，y 1＝t 2，所以x 2＝23s ，y 2＝t 3；x 3＝12s ，y 3＝14t ；x 4＝25s ，y 4＝15t ，…猜想：x n ＝2s n ＋1，y n ＝tn ＋1. 所以x n －y n ＝2s n ＋1－t n ＋1＝2s －tn ＋1. 法二：由法一知x 1＝s ，y 1＝t 2，x n ＝2sx n －12s ＋x n －1，y n ＝tx n －12s ＋x n －1由2sx n ＋x n x n －1＝2sx n －1可化为2s x n －2s x n －1＝1，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫2s x n 是以2sx 1＝2为首项，1为公差的等差数列．所以2s x n ＝2＋(n －1)，得x n ＝2s n ＋1，将其代入y n 得y n ＝t n ＋1，故x n －y n ＝2s －t n ＋1.答案：2s －t n ＋17．(2013·某某二模)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，假设S 3S 7＝13，那么S 6S 7＝________.解析：由S 3＝3a 2，S 7＝7a 4，S 3S 7＝13得9a 2＝7a 4＝7(a 2＋2d )，即a 2＝7d ，所以a 3＝8d ，a 4＝9d ，从而S 6＝3(a 3＋a 4)＝51d ，S 7＝7a 4＝63d ，故结果为1721.答案：17218．(2013·某某期末)数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－7n ，且满足16<a k ＋a k ＋1<22，那么正整数k ＝________.解析：由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1S n －S n －1，n ≥2，可得a n ＝2n －8,16<a k ＋a k ＋1<22，即16<(2k －8)＋(2k－6)<22，所以7.5<k <9，又k ∈N *，所以k ＝8.答案：89．(2013·苏锡常镇、某某、某某六市调研(二))等差数列{a n }的公差d 不为0，且a 3＝a 27，a 2＝a 4＋a 6.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，求满足S n －2a n －20>0的所有正整数n 的集合．解：(1)由a 3＝a 27得a 1＋2d ＝(a 1＋6d )2.① 由a 2＝a 4＋a 6得a 1＋d ＝2a 1＋8d ，即a 1＝－7d .② 将②代入①得－5d ＝d 2.所以d ＝－5或d ＝0(不符合题意．舍去)．那么a 1＝35.所以a n ＝35＋(n －1)(－5)＝－5n ＋40. (2)S n ＝35－5n ＋40n 2＝n75－5n2. 不等式S n －2a n －20>0，即n 75－5n2－2(－5n ＋40)－20>0，整理得n 2－19n ＋40<0.所以19－2012<n <19＋2012.因为n ∈N *，那么19－142≤n ≤19＋142，即52≤n ≤332. 所以所求n 的集合为{3,4，…，16}．10．(2014·某某学情调研)数列{a n }的首项a 1＝a ，S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S 2n ＝3n 2a n ＋S 2n －1，a n ≠0，n ≥2，n ∈N *.(1)假设数列{a n }是等差数列，求a 的值；(2)确定a 的取值集合M ，使a ∈M 时，数列{a n }是递增数列．解：(1)在S 2n ＝3n 2a n ＋S 2n －1中分别令n ＝2，n ＝3及a 1＝a 得(a ＋a 2)2＝12a 2＋a 2，(a ＋a 2＋a 3)2＝27a 3＋(a ＋a 2)2.因为a n ≠0，所以a 2＝12－2a ，a 3＝3＋2a . 因为数列{a n }是等差数列，所以a 1＋a 3＝2a 2，即2(12－2a )＝a ＋3＋2a ，解得a ＝3. 经检验a ＝3时，a n ＝3n ，S n ＝3n n ＋12，S n －1＝3nn －12满足S 2n ＝3n 2a n ＋S 2n －1.所以a ＝3.(2)由S 2n ＝3n 2a n ＋S 2n －1得S 2n －S 2n －1＝3n 2a n ，即(S n ＋S n －1)(S n －S n －1)＝3n 2a n ，故(S n ＋S n －1)a n ＝3n 2a n .因为a n ≠0，所以S n ＋S n －1＝3n 2(n ≥2)，① 所以S n ＋1＋S n ＝3(n ＋1)2②②－①得a n ＋1＋a n ＝6n ＋3(n ≥2)．③ 所以a n ＋2＋a n ＋1＝6n ＋9.④ ④－③得a n ＋2－a n ＝6(n ≥2)，即数列a 2，a 4，a 6，…及数列a 3，a 5，a 7，…都是公差为6的等差数列．因为a 2＝12－2a ，a 3＝3＋2a ，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ， n ＝13n ＋2a －6，n 为奇数且n ≥3，3n －2a ＋6，n 为偶数，要使数列{a n }是递增数列，须有a 1<a 2，且当n 为大于或等于3的奇数时，a n <a n ＋1，且当n 为偶数时，a n <a n ＋1，即⎩⎨⎧a <12－2a ，3n ＋2a －6<3n ＋1－2a ＋6n 为大于或等于3的奇数，3n －2a ＋6<3n ＋1＋2a －6n 为偶数，解得94<a <154.所以集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |94<a <154，当a ∈M 时，数列{a n }是递增数列．第二卷：提能增分卷1．(2013·苏锡常镇、某某、某某六市调研(二))设S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，S n T n ＝2n ＋14n －2，n ∈N *，那么a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝________.解析：因为{a n }，{b n }是等差数列，故b 3＋b 18＝b 6＋b 15，所以a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝a 10＋a 11b 3＋b 18＝a 1＋a 20b 1＋b 20＝S 20T 20＝2×20＋14×20－2＝4178. 答案：41782．(2014·某某二模)在等差数列{a n }中，a 2＝5，a 6＝21，记数列{1a n}的前n 项和为S n ，假设S 2n ＋1－S n ≤m15对n ∈N *恒成立，那么正整数m 的最小值为________．解析：由条件得公差d ＝21－54＝4，从而a 1＝1，所以a n ＝4n －3，数列{1a n}的前n 项和为S n ＝1＋15＋…＋14n －3.原不等式可化为14n ＋1＋14n ＋5＋…＋18n ＋1≤m 15，记f (n )＝14n ＋1＋14n ＋5＋…＋18n ＋1.因为f (n ＋1)－f (n )＝18n ＋9－14n ＋1<0，故f (n )为单调递减数列，从而f (n )max ＝f (1)＝15＋19＝1445.由条件得m 15≥1445，解得m ≥143，故正整数m 的最小值为5.答案：53．(2014·某某一模)数列{a n }中，a 2＝1，前n 项和为S n ，且S n ＝n a n －a 12.(1)求a 1；(2)求证：数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式； (3)设lg b n ＝a n ＋13n，试问是否存在正整数p ，q (其中1<p <q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列？假设存在，求出所有满足条件的数组(p ，q )；假设不存在，请说明理由．解：(1)令n ＝1，那么a 1＝S 1＝1a 1－a 12＝0. (2)证明：由S n ＝n a n －a 12，即S n ＝na n2，①得S n ＋1＝n ＋1a n ＋12.②②－①得(n －1)a n ＋1＝na n ，③ 于是na n ＋2＝(n ＋1)a n ＋1.④ ④－③得na n ＋2＋na n ＝2na n ＋1，即a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，又a 1＝0，a 2＝1，a 2－a 1＝1，所以数列{a n }是以0为首项，1为公差的等差数列．所以a n ＝n －1.(3)假设存在正整数数组(p ，q )使b 1，b p ，b q 成等比数列，那么lg b 1，lg b p ，lg b q 成等差数列，于是2p 3p ＝13＋q 3q .所以q ＝3q (2p 3p －13)．(*) 易知(p ，q )＝(2,3)为方程(*)的一组解．当p ≥3，且p ∈N *时，2p ＋13p ＋1－2p 3p ＝2－4p3p ＋1<0，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2p 3p (p ≥3)为递减数列，于是2p 3p －13≤2×333－13<0，所以此时方程(*)无正整数解．综上，存在唯一正整数数组(p ，q )＝(2,3)，使b 1，b p ，b q 成等比数列．4．(2013·某某、某某二模)数列{a n }的各项都为正数，且对任意n ∈N *，a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋k (k 为常数)．(1)假设k ＝(a 2－a 1)2，求证：a 1，a 2，a 3成等差数列； (2)假设k ＝0，且a 2，a 4，a 5成等差数列，求a 2a 1的值；(3)a 1＝a ，a 2＝b (a ，b 为常数)，是否存在常数λ，使得a n ＋a n ＋2＝λa n ＋1对任意n ∈N *都成立？假设存在，求λ的值；假设不存在，请说明理由．解：(1)证明：当k ＝(a 2－a 1)2时，在a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋k 中，令n ＝1，得a 22＝a 1a 3＋(a 2－a 1)2，即a 1a 3－2a 1a 2＋a 21＝0.因为a 1>0，所以a 3－2a 2＋a 1＝0，即a 2－a 1＝a 3－a 2.故a 1，a 2，a 3成等差数列． (2)当k ＝0时，a 2n ＋1＝a n a n ＋2，n ∈N *.因为数列{a n }的各项都为正数，所以数列{a n }是等比数列．设公比为q (q >0)．因为a 2，a 4，a 5成等差数列，所以a 2＋a 5＝2a 4，即a 1q ＋a 1q 4＝2a 1q 3.因为a 1>0，q >0，所以q 3－2q 2＋1＝0. 解得q ＝1或q ＝1＋52(负根舍去)．所以a 2a 1＝q ＝1或a 2a 1＝q ＝1＋52.(3)存在常数λ＝a 2＋b 2－k ab，使a n ＋a n ＋2＝λa n ＋1.证明如下：因为a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋k ，所以a 2n ＝a n －1a n ＋1＋k ，n ≥2，n ∈N *.所以a 2n ＋1－a 2n ＝a n a n ＋2－a n －1a n ＋1，即a n a n ＋2＋a 2n ＝a 2n ＋1＋a n －1a n ＋1.(*) 由于a n >0，(*)式两边同除以a n a n ＋1 得a n ＋a n ＋2a n ＋1＝a n －1＋a n ＋1a n. 所以a n ＋a n ＋2a n ＋1＝a n －1＋a n ＋1a n ＝…＝a 1＋a 3a 2，即当n ∈N *，都有a n ＋a n ＋2＝a 1＋a 3a 2a n ＋1. 因为a 1＝a ，a 2＝b ，a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋k ，所以a 3＝b 2－ka .所以a 1＋a 3a 2＝a ＋b 2－k a b ＝a 2＋b 2－kab.所以对任意n ∈N *，都有a n ＋a n ＋2＝λa n ＋1，此时λ＝a 2＋b 2－k ab.第三节等比数列及其前n 项和对应学生用书P711．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q .(2)等比中项：如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1qn －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n 1－q＝a 1－a n q1－q ，q ≠1.1．在等比数列中易忽视每项与公比都不为0.2．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形导致解题失误．[试一试]1．在1和9之间插入三个正数，使这五个数成等比数列，那么插入的三个数的和为________．解析：设5个正数的公比为q (q >0)，所以q 4＝91＝9，即q ＝3，那么中间3个数的和为q ＋q 2＋q 3＝3＋3＋33＝3＋4 3.答案：3＋4 32．(2014·某某摸底)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，假设a 3＝18，S 3＝26，那么{a n }的公比q ＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝18，a 1＋a 2＋a 3＝26，q >0得18q 2＋18q＝8，即4q 2－9q －9＝0.所以(4q ＋3)(q －3)＝0.因为q >0，所以q ＝3.答案：31．等比数列的三种判定方法 (1)定义：a n ＋1a n＝q (q 是不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． (2)通项公式：a n ＝cqn －1(c 、q 均是不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(3)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． 2．等比数列的常见性质(1)假设m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，那么a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k ；(2)假设数列{a n }、{b n }(项数相同)是等比数列，那么{λa n }、⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 、{a 2n }、{a n ·b n }、⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n (λ≠0)仍然是等比数列；(3)在等比数列{a n }中，等距离取出假设干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k ；(4)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，那么S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n，当公比为－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不一定构成等比数列．3．求解等比数列的基本量常用的思想方法(1)方程的思想：等比数列的通项公式、前n 项和的公式中联系着五个量：a 1，q ，n ，a n ，S n ，其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a 1与q ，在解题中根据条件建立关于a 1与q 的方程或者方程组，是解题的关键．(2)分类讨论思想：在应用等比数列前n 项和公式时，必须分类求和，当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 11－q n1－q；在判断等比数列单调性时，也必须对a 1与q 分类讨论．[练一练]1．(2010·某某高考)函数y ＝x 2(x >0)的图像在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *.假设a 1＝16，那么a 1＋a 3＋a 5的值是________．解析：切线斜率k ＝2a k ，切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )，即y ＝2a k x －a 2k ，令y ＝0，得x ＝a k2＝a k ＋1，所以{a n }是首项a 1＝16，公比q ＝12的等比数列，所以a n ＝(12)n －5，故a 1＋a 3＋a 5＝21.答案：212．数列{a n }是公比q ≠±1的等比数列，那么在{a n ＋a n ＋1}，{a n ＋1－a n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n a n ＋1，{na n }这四个数列中，是等比数列的有________个．答案：3 对应学生用书P72考点一等比数列的基本运算1.(2013·某某三调)在等比数列{a n }中，假设a 2＝－2，a 6＝－32，那么a 4＝________. 解析：由a 6a 2＝q 4＝16，那么q 2＝4，所以有a 4＝a 2q 2＝－8. 答案：－82．(2014·某某模拟)等比数列{a n }中，公比q >1，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，那么a 2 013＋a 2 014a 2 011＋a 2 012＝________.解析：因为{a n }为等比数列，故a 1a 4＝a 2a 3＝8，与a 1＋a 4＝9联立解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1.又q >1，故a 1＝1，a 4＝8，从而q ＝2，故a 2 013＋a 2 014a 2 011＋a 2 012＝q 2＝4.答案：43．设等比数列{a n }的公比q <1，前n 项和为S n ，a 3＝2，S 4＝5S 2，求{a n }的通项公式．解：由题设知a 1≠0，S n ＝a 11－q n1－q，所以错误!由②式得1－q 4＝5(1－q 2)，即(q －2)(q ＋2)(q －1)(q ＋1)＝0. 因为q <1，所以q ＝－1，或q ＝－2. 当q ＝－1时，代入①式得a 1＝2，通项公式a n ＝2×(－1)n －1；当q ＝－2时，代入①式得a 1＝12，通项公式a n ＝12×(－2)n －1.。

2015届高考数学第一轮知识点总复习配套教案80.doc

选修4－1 几何证明选讲第2课时圆的进一步认识(对应学生用书(理)182～185页)1. 如图，点P 在圆O 直径AB 的延长线上，且PB ＝OB ＝2，PC 切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于D 点，求PC 和CD 的长．解：由切割线定理得PC 2＝PB·PA ＝12，∴ PC ＝23，连结OC ，则OC ＝12OP ，∴ ∠P ＝30°， ∴ CD ＝12PC ＝ 3.2. 如图，AC 为圆O 的直径，弦BD ⊥AC 于点P ，PC ＝2，PA ＝8，求tan ∠ACD 的值．解：由相交弦定理和垂径定理得BP 2＝PC·PA ＝16，BP ＝4.∵ ∠ACD ＝∠ABP ，∴ tan ∠ACD ＝tan ∠ABP ＝AP BP ＝84＝2.3. 如图，点A ，B ，C 是圆O 上的点，且AB ＝4，∠ACB ＝45°，求圆O 的面积．解：(解法1)连结OA 、OB ，则∠AOB ＝90°. ∵ AB ＝4，OA ＝OB ，∴ OA ＝22，则S 圆＝π×(22)2＝8π.(解法2)2R ＝4sin45°＝42 R ＝22，则S 圆＝π×(22)2＝8π.4. 如图，点B 在圆O 上， M 为直径AC 上一点，BM 的延长线交圆O 于N ，∠BNA ＝45°，若圆O 的半径为2 3，OA ＝3OM ，求MN 的长．解：∵ ∠BNA ＝45°，∴ ∠BOA ＝90°.∵ OM ＝2，BO ＝23，∴ BM ＝4.∵ BM·MN ＝CM·MA ＝(23＋2)(23－2)＝8，∴ MN ＝2.5. 如图，已知P 是圆O 外一点，PD 为圆O 的切线，D 为切点，割线PEF 经过圆心O ，若PF ＝12，PD ＝4 3，求圆O 的半径长和∠EFD 的大小．解：由切割线定理，得PD 2＝PE·PF PE ＝PD 2PF ＝16×312＝4EF ＝8，OD ＝4.∵ OD ⊥PD ，OD ＝12PO ，∴ ∠P ＝30°，∠POD ＝60°，∴∠PDE ＝∠EFD ＝30°.1. 圆周角定理(1) 圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半．(2) 推论1：同弧(或等弧)上的圆周角相等．同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．(3) 半圆(或直径)上的圆周角等于90°.反之，90°的圆周角所对的弦为直径．2. 圆的切线(1) 圆的切线的性质与判定①切线的定义：当直线与圆有2个公共点时，直线与圆相交；当直线与圆有且只有1个公共点时，直线与圆相切，此时直线是圆的切线，公共点称为切点；当直线与圆没有公共点时，直线与圆相离．②切线的判定定理：过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线．③切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．④切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长相等．(2) 弦切角①弦切角的定义：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角称为弦切角．②弦切角定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半．③推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角相等．3. 相交弦定理相交弦定理：圆的两条相交弦，被交点分成的两段的积相等．4. 切割线定理(1) 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段的积相等．(2) 切割线定理：从圆外一点引圆的一条割线与一条切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段的等比中项．5. 圆内接四边形(1) 圆内接四边形性质定理：圆内接四边形对角互补．(2) 圆内接四边形判定定理：如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆．[备课札记]题型1探求角的关系例1如图，AB是圆O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.求证：∠DEA＝∠DFA.证明：连结AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB＝90°.又EF⊥AB，∠EFA＝90°，所以A、D、E、F四点共圆．所以∠DEA ＝∠DFA.备选变式（教师专享）(2011·南通三模)如图，圆O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为圆O上一点，AE＝AC，求证：∠PDE＝∠POC.证明：因为AE＝AC，AB为直径，故∠OAC＝∠OCA＝∠OAE.所以∠POC＝∠OAC＋∠OCA＝∠OAC＋∠OAE＝∠EAC.又∠EAC ＝∠PDE，所以∠PDE＝∠POC.题型2求线段长度例2如图所示，圆O的两弦AB和CD交于点E，EF∥CB，EF交AD的延长线于点F，FG切圆O于点G.(1) 求证：△DEF∽△EFA；(2) 如果FG＝1，求EF的长．(1) 证明：因为EF∥CB，所以∠BCE＝∠FED.又∠BAD＝∠BCD，所以∠BAD＝∠FED.又∠EFD＝∠EFD，所以△DEF∽△EFA.(2) 解：由(1)得EFFA＝FDEF，即EF2＝FA·FD.因为FG是切线，所以FG2＝FD·FA，所以EF＝FG＝1.变式训练如图，圆O是等腰三角形ABC的外接圆，AB＝AC，延长BC 到点D，使CD＝AC，连结AD交圆O于点E，连结BE与AC交于点F.(1) 判断BE是否平分∠ABC，并说明理由；(2) 若AE＝6，BE＝8，求EF的长．解：(1) BE平分∠ABC.∵CD＝AC，∴∠D＝∠CAD.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵∠EBC＝∠CAD，∴∠EBC＝∠D＝∠CAD.∵∠ABC＝∠ABE＋∠EBC，∠ACB＝∠D＋∠CAD，∴∠ABE＝∠EBC，即BE平分∠ABC.(2) 由(1)知∠CAD＝∠EBC＝∠ABE.∵∠AFE＝∠ABE，∴△AEF∽△BEA.∴AEBE＝EFAE.∵AE＝6，BE＝8，∴ EF ＝AE 2BE ＝368＝92. 题型3 证明线段相等例3 如图，在△ABC 中，已知CM 是∠ACB 的平分线，△AMC 的外接圆交BC 于点N.若AC ＝12AB ，求证：BN ＝2AM.证明：在△ABC 中，因为CM 是∠ACB 的角平分线，所以ACBC ＝AM BM .又已知AC ＝12AB ，所以AB BC ＝2AMBM .① 又BA 与BC 是圆O 过同一点B 的割线，所以BM·BA ＝BN·BC ，即BA BC ＝BNBM .② 由①②可知，2AM BM ＝BNBM ，所以BN ＝2AM. 备选变式（教师专享）如图，圆O 的直径AB ＝25，C 是圆O 外一点，AC 交圆O 于点E ，BC 交圆O 于点D ，已知AC ＝AB ，BC ＝4，求△ADE 的周长．解：∵ AB 是圆O 的直径，∴ AD ⊥BC.又AC ＝AB ，∴ AD 是△ABC 的中线．又BC ＝4，∴ BD ＝DC ＝2， ∴ AD ＝AB 2－BD 2＝4. 由CE·CA ＝CD·CB ，得CE ＝455. ∴ AE ＝25－455＝65 5.由∠DEC ＝∠B ＝∠C ，所以DE ＝DC ＝2. 则△ADE 的周长为6＋655. 题型4 证明线段成比例例4 如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，以AB 为直径的圆O 交AC 于D ，过点D 作圆O 的切线交BC 于E ，AE 交圆O 于点F.求证：(1) E 是BC 的中点； (2) AD·AC ＝AE·AF.证明：(1) 连结BD ，因为AB 为圆O 的直径，所以BD ⊥AC.又∠B ＝90°，所以CB 切圆O 于点B 且ED 切圆O 于点D ，因此EB ＝ED ，所以∠EBD ＝∠EDB ，∠CDE ＋∠EDB ＝90°＝∠EBD ＋∠C ，所以∠CDE ＝∠C ，得ED ＝EC ，因此EB ＝EC ，即E 是BC 的中点．(2) 连结BF ，显然BF 是Rt △ABE 斜边上的高，可得△ABE ∽△AFB ，于是有AB AF ＝AEAB ，即AB 2＝AE·AF ，同理可得AB 2＝AD·AC ，所以AD·AC ＝AE·AF. 备选变式（教师专享）如图，PA 切圆O 于点A ，割线PBC 交圆O 于点B 、C ，∠APC 的角平分线分别与AB 、AC 相交于点D 、E ，求证：(1) AD ＝AE ； (2) AD 2＝DB·EC.证明：(1) ∠AED ＝∠EPC ＋∠C ，∠ADE ＝∠APD ＋∠PAB.因为PE 是∠APC 的角平分线，所以∠EPC ＝∠APD.又PA 是圆O 的切线，故∠C ＝∠PAB.所以∠AED ＝∠ADE.所以AD ＝AE.(2)⎭⎪⎬⎪⎫∠PCE ＝∠PAD ，∠CPE ＝∠APDÞ△PCE ∽△PAD ÞECAD ＝PC PA .⎭⎪⎬⎪⎫∠PEA ＝PDB ，∠APE ＝∠BPD Þ△PAE ∽△PBD ÞAE DB ＝PA PB .又PA 是切线，PBC 是割线ÞPA 2＝PB·PC PA PB ＝PC PA .故EC AD ＝AE DB .又AD ＝AE ，所以AD 2＝DB·EC.1. (2013·广东)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E.若AB ＝6，ED ＝2，求BC 的值．解：依题意易知△ABC ∽△CDE ，所以AB CD ＝BC DE ，又BC ＝CD ，所以BC 2＝AB·DE ＝12，从而BC ＝2 3.2. (2013·重庆)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝20，过C 作△ABC 的外接圆的切线CD ，BD ⊥CD ，BD 与外接圆交于点E ，求DE 的长．解：延长BA 交切线CD 于M.因为∠C ＝90°，所以AB 为直径，所以半径为10.连结OC ，则OC ⊥CD ，且OC ∥BD.因为∠OAC ＝60°，所以∠AOC ＝60°，∠OBE ＝60°，即BE ＝OB ＝10且∠M ＝30°.所以OM ＝2OC ＝20，所以AM ＝10.所以BD ＝12(AM ＋AB)＝10＋202＝15，即DE ＝BD －BE ＝15－10＝5.3. (2013·江苏)如图，AB和BC分别与圆O相切于点D、C，AC 经过圆心O，且BC＝2OC.求证：AC＝2AD.证明：连结OD，∵AB、BC分别与圆O相切于点D、C，∴∠ADO＝∠ACB＝90°.∵∠A＝∠A，∴Rt△ADO∽Rt△ACB.∴BCOD＝ACAD.∵BC＝2OC＝2OD，∴AC＝2AD.4. (2013·新课标Ⅰ)如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C 在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D.(1) 证明：DB＝DC；(2) 设圆的半径为1，BC＝3，延长CE交AB于点F，求△BCF 外接圆的半径．(1) 证明：连结DE，交BC与点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE，∵∠ABE＝∠CBE，∴∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.∵DB⊥BE，∴DE是直径，∠DCE＝90°.由勾股定理可得DB＝DC.(2) 解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，BD＝DC，故DG是BC的中垂线，∴BG＝3 2.设DE中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°，∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，∴CF⊥BF，∴Rt△BCF的外接圆半径等于3 2.1. 如图，圆O 与圆O′内切于点T ，点P 为外圆O 上任意一点，PM 与内圆O′切于点M.求证：PM ∶PT 为定值．证明：设外圆半径为R ，内圆半径为r ，作两圆的公切线TQ. 设PT 交内圆于C ，连结OP ，O ′C ，则PM 2＝PC·PT ，所以PM 2PT 2＝PC·PT PT 2＝PC PT .由弦切角定理知∠POT ＝2∠PTQ ，∠CO ′T ＝2∠PTQ ，则∠POT ＝∠CO′T ，所以PO ∥CO′，所以PC PT ＝OO′OT ＝R －r R ，即PM PT ＝R －rR ，为定值．2. 如图，弦AB 与CD 相交于⊙O 内一点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P.已知PD ＝2DA ＝2, 求PE.解：∵ BC//PE ∴ ∠BCD ＝∠PED.且在圆中∠BCD ＝∠BAD∠PED ＝∠BAD. △EPD ∽△APE PE PA ＝PD PE PE 2＝PA·PD ＝3·2＝6.所以PE ＝ 6.3. 如图，正三角形ABC 外接圆的半径为1，点M 、N 分别是边AB 、AC 的中点，延长MN 与△ABC 的外接圆交于点P ，求线段NP 的长．解：设正三角形ABC 的边长为x ，由正弦定理，得x sin60°＝2，所以x ＝ 3.延长PN 交圆于Q ，则NA·NC ＝NP·NQ.设NP ＝t ，则t·⎝⎛⎭⎪⎫t ＋32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322.所以t ＝15－34，即NP ＝15－34.4. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BE 是角平分线，DE ⊥BE 交AB 于D ，圆O 是△BDE 的外接圆．(1) 求证：AC 是圆O 的切线；(2) 如果AD ＝6，AE ＝62，求BC 的长．(1) 证明：连OE ，∵BE ⊥DE ，∴O 点为BD 的中点．∵OB ＝OE ，∴∠OEB ＝∠OBE.∵∠OEC ＝∠OEB ＋∠CEB ＝∠OBE ＋∠CEB ＝∠CEB ＋∠CBE ＝90°，即OE ⊥AC.又E 是AC 与圆O 的公共点，∴AC 是圆O 的切线．(2) 解：∵AE 是圆的切线，∴∠AED ＝∠ABE.又∠A 共用，∴△ADE ∽△AEB ，∴AD AE ＝AE AB ，即662＝62AB，解得AB ＝12， ∴圆O 的半径为3.又∵OE∥BC，∴OEBC＝AOAB，即3BC＝912，解得BC＝4.几个重要定理的符号语言及图形(1) 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等．符号语言：∵在圆O中，弦AB、CD相交于点P，∴PA·PB＝PC·PD.(图①)图形语言：推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．符号语言：∵在圆O中，直径AB⊥CD，垂足为E，∴CE2＝AE·BE.(图②)(2) 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等．符号语言：∵在圆O中，PB、PE是割线，∴PC·PB＝PD·PE.(图③)(3) 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．符号语言：∵在圆O中，PA是切线，PB是割线，∴PA2＝PC·PB.(图③)请使用课时训练（B）第2课时（见活页）.[备课札记]。

2015届高考数学(理)一轮总复习课件 1.2命题及其关系

(1)根据否命题的定义改写．
A．若 a＞b，则 2a≤2b B．若 2a＞2b，则 a＞b C．若 a≤b，则 2 ≤2
a b
D．若 2 ≤2 ，则 a≤b
a
b
(2)利用逆否命题真假关系判定．
(2)(2012·高考浙江卷)设 a＞0，b＞0，e 是自然对数的底数( )
A．若 ea＋2a＝eb＋3b，则 a＞b B．若 ea＋2a＝eb＋3b，则 a＜b C．若 ea－2a＝eb－3b，则 a＞b D．若 ea－2a＝eb－3b，则 a＜b
A．若 ea＋2a＝eb＋3b，则 a＞b B．若 ea＋2a＝eb＋3b，则 a＜b C．若 ea－2a＝eb－3b，则 a＞b D．若 ea－2a＝eb－3b，则 a＜b
C
a b
聚焦考点典例精讲类题通法变式训练
例题精编
(1)(2014·潍坊市三模)命题“若 a＞b，则 2 ＞2 ”的否命题是( )
D ，命题“若 a＝－b，则|a|＝|b|”，其逆命题为______ 假 A ，________( 假真假)，其否命题为______ ______( 真假)， C 真其逆否命题为________ ，________( 真假)．
C
基础知识梳理
梳理二
四种命题及其关系
基础知识系统化2
3．四种命题的真假关系
条件．
C
聚焦考向透析
考向一
四种命题及其关系
审题视点典例精讲类题通法变式训练
例题精编
(1)(2014·潍坊市三模)命题“若 a＞b，则 2a＞2b”的否命题是( )
A．若 a＞b，则 2a≤2b B．若 2a＞2b，则 a＞b C．若 a≤b，则 2a≤2b D．若 2a≤2b，则 a≤b

2015届高考数学(理)一轮总复习讲义：1.1集合(人教A版)

第一节集合考纲传真 1.了解集合的含义，元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn )图表达集合间的关系及运算．(见学生用书第1页)1．集合的基本概念(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系：属于或不属于，表示符号分别为∈和∉. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn 图法． 2．集合间的基本关系(1)子集：若对∀x∈A，都有x∈B，则A ⊆B 或B ⊇A. (2)真子集：若A ⊆B ，但∂x∈B，且x ∉A ，则或(3)相等：若A ⊆B ，且B ⊆A ，则A ＝B.(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．集合的基本运算及其性质1．(固基升华)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意实数x，集合{x2＋x,0}中都有两个元素( )(2)任何集合都有两个子集( )(3)集合{x|y＝x－1}与集合{y|y＝x－1}是同一个集合( )(4)若A∪B＝A∩B，则A＝B( )【解析】(1)集合中的元素具有互异性，故x2＋x≠0，即x≠－1，且x≠0.【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√2．(人教A版教材习题改编)若集合M＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下面结论中正确的是( )A．{a}⊆M B．a⊆MC．{a}∈M D．a∉M【解析】∵M＝{x∈N|x≤10}＝{0,1,2,3}，∴a∉M.【答案】 D3．(2013·课标全国卷Ⅰ)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B＝( )A．{1,4} B．{2,3}C．{9,16} D．{1,2}【解析】∵A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，∴B＝{1,4,9,16}，∴A∩B＝{1,4}．【答案】 A4．(2011·安徽高考)集合U＝{1,2,3,4,5,6}，S＝{1,4,5}，T＝{2,3,4}，则S∩(∁U T)等于( )A．{1,4,5,6} B．{1,5}C．{4} D．{1,2,3,4,5}【解析】∵∁U T＝{1,5,6}，∴S∩(∁U T)＝{1,5}．【答案】 B5．若集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|x≥a}，且A∩B＝∅，则实数a的取值范围为( )A．{a|a≤1} B．{a|a＜1}C．{a|a≥1} D．{a|a＞1}【解析】∵A∩B＝∅，∴a≥1，故选C.【答案】 C(见学生用书第1页)考向1 集合的基本概念【例1】(1)(2013·江西高考改编)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝( )A.92B.98C．0 D．0或98(2)(2013·山东高考)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )A．1 B．3C．5 D． 9【思路点拨】(1)分a＝0，a≠0两种情况讨论；(2)用列举法把集合B中的元素一一列举出来，注意元素的互异性．【尝试解答】(1)若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a＝0时，x＝23，符合题意；当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0得a＝9 8，所以a的值为0或9 8 .(2)当x＝0，y＝0,1,2时，x－y＝0，－1，－2；当x ＝1，y ＝0,1,2时，x －y ＝1,0，－1；当x ＝2，y ＝0,1,2时，x －y ＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知，B 的元素为－2，－1,0,1,2.共5个．【答案】 (1)D (2)C ,规律方法1 1.第(1)题集合A 中只有一个元素，要分a ＝0与a ≠0两种情况进行讨论，此题易忽视a ＝0的情形；第(2)题易忽视集合元素的互异性而误选D.2．用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其它的集合．变式训练1 (2014·黄山质检)已知集合A ＝{x ∈R|ax 2－3x ＋2＝0}，若A ＝∅，则实数a 的取值范围为________．【解析】 ∵A ＝∅，∴方程ax 2－3x ＋2＝0无实根，当a ＝0时，x ＝23不合题意，当a ≠0时，Δ＝9－8a ＜0，∴a ＞98.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫98，＋∞考向2 集合间的基本关系【例2】 (2014·淮南模拟)已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．【思路点拨】分B ＝∅和B ≠∅两种情况求解．【尝试解答】 A ＝{x |x 2－3x －10≤0}＝{x |－2≤x ≤5}， ∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则2m －1＜m ＋1，此时m ＜2.②若B ≠∅，则⎩⎨⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①、②可得，符合题意的实数m 的取值范围为m ≤3.,规律方法2 1.B ⊆A ，应分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论．2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常合理利用数轴、Venn 图化抽象为直观．变式训练2 若集合M ＝{x |x 2＋x －6＝0}，N ＝{x |ax ＋2＝0，a ∈R}，且M ∩N＝N ，求实数a 的取值集合．【解】 ∵M ∩N ＝N ，∴N ⊆M ，又M ＝{－3,2}，若N ＝∅，则a ＝0.若N ≠∅，则N ＝{－3}或N ＝{2}，所以－3a ＋2＝0或2a ＋2＝0，解得a ＝23或a ＝－1，所以a 的取值集合是{－1,0，23}．考向3 集合的基本运算【例3】 (1)(2013·浙江高考)设集合S ＝{x |x ＞－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝( )A ．(－2,1]B ．(－∞，－4]C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)(2)设U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}．若(∁UA )∩B ＝∅，则m 的值是________．【思路点拨】 (1)先求∁R S ，化简集合T ，再借助数轴求(∁R S )∪T . (2)由(∁U A )∩B ＝∅，得B ⊆A ，用判别式考查集合B ，再根据B ⊆A 分类求解．【尝试解答】 (1)∵S ＝{x |x ＞－2}，∴∁R S ＝{x |x ≤－2}，而T ＝{x |－4≤x ≤1}，∴(∁R S )∪T ＝{x |x ≤－2}∪{x |－4≤x ≤1}＝{x |x ≤1}． (2)A ＝{－2，－1}，由(∁U A )∩B ＝∅，得B ⊆A ，由方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0的判别式Δ＝(m ＋1)2－4m ＝(m －1)2≥0，知B ≠∅.①若Δ＝0，则m ＝1，B ＝{－1}，满足B ⊆A .②若Δ>0，B 中有两个元素，由B ⊆A 知，B ＝{－1，－2}， ∴⎩⎨⎧－m ＋＝－3，m ＝2，解得m ＝2.综合①②知m ＝1或m ＝2.【答案】 (1)C (2)1或2,规律方法3 1.在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2．在解决有关A ∩B ＝∅，A ⊆B 等集合问题时，往往忽视空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解．变式训练 3 (2014·皖北协作区高三联考)已知全集U ＝R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x x ＋1<0，B ＝{x |x 2<1}，则(∁R A )∩B ＝( ) A ．(－1,0) B ．[－1,0) C ．(0,1) D ．[0,1)【解析】因为x x ＋1<0，即x (x ＋1)<0，解得－1<x <0，所以A ＝{x |－1<x <0}，所以∁R A ＝{x |x ≤－1或x ≥0}．由x 2<1，解得－1<x <1，B ＝{x |－1<x <1}，所以(∁R A )∩B ＝{x |x ≤－1或x ≥0}∩{x |－1<x <1}＝{x |0≤x <1}．【答案】 D一种方法Venn 图是研究集合的工具，借助Venn 图和数轴即数形结合能使抽象问题直观化，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．两个防范1.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，应时刻关注对空集的讨论，防止漏解．2．在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误．两个结论1.集合A 中元素的个数记为n ，则它的子集的个数为2n ，真子集的个数为2n －1，非空真子集的个数为2n －2.2．要注意五个关系式A ⊆B 、A ∩B ＝A 、A ∪B ＝B 、∁U A ⊇∁U B 、A ∩(∁U B )＝∅的等价性.(见学生用书第2页)从近两年课标区高考试题看，集合间的关系与集合的运算是高考命题的重点，常与函数、方程、不等式等知识结合命题，而以集合为背景的新定义题，则是高考命题的热点．创新探究之一以集合为背景的新定义题(2013·广东高考)设整数n≥4，集合X＝{1,2,3，…，n}．令集合S ＝{(x，y，z)|x，y，z∈X，且三条件x<y<z，y<z<x，z<x<y恰有一个成立}．若(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，则下列选项正确的是( )A．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∉SB．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈SC．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∈SD．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S【解析】(特殊值法)因为(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，不妨令x＝2，y＝3，z＝4，w＝1，则(y，z，w)＝(3,4,1)∈S，(x，y，w)＝(2,3,1)∈S，故(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S的说法均错误，可以排除选项A、C、D，故选B.【答案】 B创新点拨：(1)本题以元素与集合的关系为载体，用附加条件“x，y，z∈X，且三条件x＜y＜z，y<z<x，z＜x＜y恰有一个成立”定义以三元实数组(x，y，z)为元素的集合S，通过对新定义的理解与应用来考查阅读理解能力和知识迁移能力．(2)考查集合的概念与表示，推理论证能力、数据处理能力和创新意识．应对措施：(1)准确理解集合S是解决本题的关键，由x，y，z∈X，x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立说明x，y，z是互不相等的三个正实数．(2)这是一道信息题，我们要充分利用题干与选择支提供的信息，用特殊值法求解，可化复杂为简单．1．(2013·广东高考)设集合M ＝{x |x 2＋2x ＝0，x ∈R}，N ＝{x |x 2－2x ＝0，x ∈R}，则M ∪N ＝( )A ．{0}B ．{0,2}C ．{－2,0}D ．{－2,0,2}【解析】集合M ＝{0，－2}，N ＝{0,2}，故M ∪N ＝{－2,0,2}，选D. 【答案】 D2．(2013·湖北高考)已知全集为R ，集合A ＝ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎭⎪⎫⎝⎛12x ≤1，B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}，则A ∩∁R B ＝( )A ．{x |x ≤0}B ．{x |2≤x ≤4}C ．{x |0≤x <2或x >4}D ．{x |0<x ≤2或x ≥4}【解析】 A ＝ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎭⎪⎫⎝⎛12x ≤1＝{x |x ≥0}，B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}＝{x |2≤x ≤4}，所以∁R B ＝{x |x <2或x >4}，于是A ∩∁R B ＝{x |0≤x <2或x >4}．【答案】 C。

2015高考数学一轮配套课件：专题一(第一篇)

第五页，编辑于星期五：十四点十一分。
1、(2013·广东卷)设整数 n≥4，集合 X＝{1,2,3，…， n}．令集合 S＝{(x，y，z)|x，y，z∈X，且三条件 x＜y＜z，y＜z ＜x，z＜x＜y 恰有一个成立}．若(x，y，z)和(z，w，x)都在 S 中，则下列选项正确的是( )． A．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∉S B．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S C．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∈S D．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S
倒计时
不含“好元素”，则这 3 个元素一定是
相连的 3 个数．
如果三个数都不相邻，如1、3、5
故这样的集合共有 6 个．则显然都是好元素；
答案 A
如果三个数有两个相邻，如2、4、5 则2是好元素。
所以必须都相邻，其实是：123、234
、345、456、567、678共六组。
第七页，编辑于星期五：十四点十一分。
第二页，编辑于星期五：十四点十一分。
典例1 已知集合 A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则 B 中所含元素的个数为( )．A．3 B．6 C．8 D．10
解法一(列表法) 因为 x∈A，y∈A，所以 x，y 的取值只能为 1,2,3,4,5，
故 x，y 及 x－y 的取值如下表所示：
题 p，q.若乛 p 是 q 的必要而不充＞0；命题 q：x＞a，且乛 q 的一
分条件，则 p 是乛 q 的( )．个充分不必要条件是乛 p，则 a
A．充分而不必要条件
的取值范围是( )．
B．必要而不充分条件
A．[1，＋∞) B．(－∞，1]
C．充分必要条件
C．[－1，＋∞)

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一轮复习综合验收题精讲(一)主讲教师：王春辉北京数学特级教师选择题注：本讲课程内容较多，故有些题目不在课堂中讲解，没讲到的题目请同学们课下自己练习并对照详解进行自测.题一：函数的定义域是（）．A . [)4,0- ∪(]0,4B . [-4，4]C . (],4-∞- ∪[)4,+∞D . [)4,0- ∪[)4,+∞题二：设I 为全集，321S S S 、、是I 的三个非空子集，且I S S S =321 ，则下面论断正确的是（）．A ．Φ=)(321S S S C IB ．)(321SC S C S I I ⊆ C ． 1S C I Φ=32S C S C I ID ．)(321S C S C S I I ⊆题三：设,p q 是两个命题，在下列四个命题中：○1p q ∨； ○2 p q ∧； ○3 p ⌝； ○4q ⌝，随机抽取一个，恰取到真命题的概率是（）． A .14 B . 13 C . 12 D . 23题四：函数()sin (cos sin )f x x x x =⋅-的最小正周期是（）． A ．4π B ．2πC ．πD ．2π 题五题面：一高为H 的鱼缸，满缸时水量为V ，今不小心将鱼缸底部碰了一个洞，满缸水从洞中流出。

设鱼缸中剩余水的体积为．．．．．．．．．．v ，剩余水的深度为．．．．．．．h ，则v 用h 表达的函数)(h f v =的图象可能是（）．hA B C D题六：将函数x y 2sin =按向量(, 1)6π=-a 平移后的函数解析式是（）．A ．1)32sin(++=πx y B ．1)32sin(+-=πx yC ．1)62sin(++=πx yD ．1)62sin(+-=πx y题七：若集合2{|540}A x x x =-+<，{|||1}B x x a =-<，则“(23)a ∈，”是“B A ⊆”的（）．A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件题八：已知实数1234,,,a a a a 依次成等比数列，则下面叙述中错误．．的是（）． A ．若12a a ≠，则2132a a a ≠+ B ．2340a a a ++≠C ．若12a a <，则34a a <D ．1223,,a a a a ++34a a +也成等比数列题九：某老师要把四个学生分派到不同的两个班，每班至少一人，则所有不同的分派方法共（）种．A ．14B ．24C ．40D ．48题十：设不等式组123350x a y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，，表示的平面区域是W ，若W 中的整点（即横、纵坐标均为整数的点）共有91个，则实数a 的取值范围是（）．A ．(21]--，B ．[10)-，C ．(01]，D ．[12)，填空题题一：已知|a |=4，|b |=5，a 与b 的夹角为60，则|3a -b |= .题二：数列}{n a 的前n 项和为2230n S n n =-+，若对*n N ∀∈，有t n S S ≥，则整数t 的取值是．题三：函数)1ln(41)(2x x x f --=的单调增区间为．题四：已知函数()()()22sin 122xf x x x x π=+-+.（1）那么方程()0f x =在区间[100,100]-上的根的个数是__________．（2）对于下列命题：①函数()f x 是周期函数； ②函数()f x 既有最大值又有最小值； ③函数()f x 的定义域是R ，且其图象有对称轴；④对于任意)0,1(-∈x ，()'0f x <（()'f x 是函数()f x 的导函数）.其中真命题的序号是．（填写出所有真命题的序号）解答题题一：已知函数()4cos sin ()16f x x x π=+-.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间[,]64ππ-上的最大值和最小值.题二：设不等式组2202x y ≤≤≤≤-⎧⎨⎩确定的平面区域为U ，20200x y x y y ⎧≥⎪⎪≤⎨⎪≥⎪⎩-++-确定的平面区域为V ．（I ）定义坐标为整数的点为“整点”．在区域U 内任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域V 的概率；（II ）在区域U 内任取3个点，记此3个点在区域V 的个数为X ，求X 的概率分布列及其数学期望．题三：已知)(22)(2R x x ax x f ∈+-=在区间]1,1[-上是增函数。

（1）求实数a 的值所组成的集合A ；（2）设关于x 的方程xx f 1)(=的两个根为21x x 、，试问：是否存在实数m ，使得不等式||1212x x tm m -≥++对任意A a ∈及]1,1[-∈t 恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．题四：数列{}n a 中，11a =，2112n n n a a a c +=-+ (1c >为常数，1,2,3,n =) ，且321.8a a -=（Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）证明：1n n a a +<2<；（Ⅲ）比较11nk ka =∑与14039n a +的大小，并加以证明．选择题题一：A 题二：C 题三：C 题四：C 题五：A 题六：A提示：依题意，即为把函数x y 2sin =向左平移6π个单位再向上平移一个单位，得到的函数解析式为1)32sin(++=πx y ；选A ．题七：A 题八：D 题九：A题十：C提示：把整点一个一个找出来：横坐标为16的整点1个，横坐标为15的整点1个，横坐标为14的整点2个，横坐标为13的整点3个，横坐标为12的整点3个，横坐标为11的整点4个，……，横坐标为2的整点10个，横坐标为1的整点11个，共计91个，所以a 的取值范围是(01]，．选C ．填空题略解：因为(3a -b )2= 9a -6 a ·b + b 2 =109⇒|3a -b题二：7或8．略解：432na n =-+，整数t 的取值是7或8．题三：)1,1(-．略解：01121)(/>-+=xx x f 21<<-⇒x ，注意定义域1<x ．题四：（1）201；（2）②③．提示：画出函数的草图。

对于③，考察)21(x f -与)21(x f +是否相等．解答题题一：（Ⅰ）()f x 的最小正周期为π；（Ⅱ）当π6x =时，()f x 取得最大值2；当π6x =-时，()f x 取得最小值1-详解：（Ⅰ）因为 π()4cos sin ()16f x x x =+-14cos cos )12x x x =+-222cos 1x x +-2cos2x x =+π2sin (2)6x =+，所以()f x 的最小正周期为π．（Ⅱ）因为ππ64x -≤≤，所以ππ2π2663x -+≤≤．于是，当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值2；当ππ266x +=-，即π6x =-时，()f x 取得最小值1-．题二：（Ⅰ）216455；（Ⅱ）E (X )=32详解：（Ⅰ）由题意，区域Ｕ内共有15个整点，区域Ｖ内共有9个整点，设所取3个整点中恰有2个整点在区域Ｖ的概率为()V P ，则()4552163151629=⋅=C C C VP ．（Ⅱ）区域U 的面积为8，区域V 的面积为4， ∴在区域U 内任取一点，该点在区域V 内的概率为2184=． X 的取值为0，1，2，3．)21,3(~B X∴Ｘ的分布列为()23813832831810=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ．题三：（Ⅰ）A={a |－1≤a ≤1}；（Ⅱ）{m|m≥2或m≤－2}．详解：（Ⅰ）f ＇(x)=222)2(224+-+x x ax =222)2()2(2+---x ax x ，由f(x)在[－1，1]上是增函数，知道f ＇(x )≥0对x ∈[－1，1]恒成立，即x 2－ax －2≤0对x ∈[－1，1]恒成立． ① 构造新函数设ϕ(x )=x 2－ax －2，ϕ(1)=1－a －2≤0，①⇔ ⇔－1≤a ≤1，ϕ(－1)=1+a －2≤0．∵对x ∈[－1，1]，f (x )是连续函数，且只有当a =1时，f ＇(-1)=0以及当a =－1时，f ＇(1)=0 ∴A={a |－1≤a ≤1}．（Ⅱ）由222+-x a x =x1，得x 2－ax －2=0， ∵△=a 2+8>0∴x 1，x 2是方程x 2－ax －2=0的两非零实根，x 1+x 2=a ，x 1x 2=－2，从而|x 1－x 2|=212214)(x x x x -+=82+a ．∵－1≤a ≤1，∴|x 1-x 2|=82+a ≤3．要使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立，当且仅当m 2+tm+1≥3对任意t ∈[－1，1]恒成立，即m 2+tm －2≥0对任意t ∈[－1，1]恒成立． ② 设g(t)=m 2+tm －2=mt+(m 2－2)，g(－1)=m 2－m －2≥0， ②⇔ ⇔m≥2或m≤－2．g(1)=m 2+m －2≥0，所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2或m≤－2}．题四：（Ⅰ）2c=；（Ⅲ）1114039nn k ka a +=>∑详解：（Ⅰ）依题意，222211322111111.222222a a a c c a a a c c ⎛⎫=-+=-=-+=-+ ⎪⎝⎭，由3218a a -=，得21111122228c c ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2c =，或1c =（舍去）．（Ⅱ）证明：因为2211122(2)022n n n n n a a a a a +-=-+=-≥，当且仅当2n a =时，1n n a a +=．因为11a =，所以10n n a a +->，即1n n a a +< (1,2,3,n =) ．下面证明：对于任意*n ∈N ，有2n a <成立．当1n=时，由11a =，显然结论成立． (1)假设结论对 (1)n k k =≥时成立，即 2.k a <因为2211132(1)222n n n n a a a a +=-+=-+，且函数213(1)22y x =-+在1x ≥时单调递增，所以2113(21)222k a +<-+=．即当1nk =+时，结论也成立．于是，当*n ∈N 时，有2n a <成立． (2)根据(1)(2)、得 12n a ≤<．（Ⅲ）由21122n n n a a a +=-+，可得11()(2)(2)n n n n n a a a a a ++-=--，从而111122n n n a a a +=---．因为11a =，所以111111111111 1.22222nnk k k k k n n a a a a a a ==+++⎛⎫=-=-=- ⎪-----⎝⎭∑∑ 所以21111111111404139(53)(813)1401401.3923939(2)39(2)nn n n n n n k k n n n a a a a a a a a a a ++++++=+++--+--=--==-⋅-⋅-∑ 由11a = 及21122n n n a a a +=-+，经计算可得23313.28a a ==，所以，当1n=时，2114039a a <；当2n =时，312114039a a a +=；当3n≥时，由11328n a +<<，得1111111(53)(813)1401400 3939(2)39nnn n n n k k k n ka a a a a a a ++++==++--=>⇒>⋅-∑∑．。