2013届高考理科数学第一轮总复习课件向量的字符运算

• 设θ是a与b的夹角，则 _________称作a在b方 |a|cosθ 向上的投影. _______称作b在a方向上的投 |b|cosθ 影.b在a方向上的投影是一个数，而不是向量. 当 ______________时，它是正数；当 0°≤θ＜90° ___________________时,它是负数；当 90°＜θ≤180° θ=90°时,它是零. • 2.a· b的几何意义. • a· ___与b在a方向上的投影的乘积. b等 |a| • 3.a· b的性质. • 设a,b是两个非零向量,e是单位向量,于是有：
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(1)e· e=|a|cosθ; a=a· (2)a⊥b a· ________; b=0 (3)当a与b同向时，a· ___________； b= |a||b| 当a与b反向时，a· ____________； b= -|a||b| 特别地，a· 2=|a|2，或|a|= _____; a=a a2 (4)cosθ= _________; a b (5)|a· b|≤|a|· | a || b | |b|.
AB AC ( ) BC 0, 知 AM BC 0, | AB | | AC |
• 则∠BAC=60°，
| AB | | AC |
⊥ BC AM ，则△ABC是等腰三角形； 1 AB AC 1 所以 11 cos BAC , ,
• 1.已知向量a和b的夹角为120°,|a|=1,|b|=3， • 则|5a-b|=____. 7 • 解： 2 2 2 2 | 5a - b | (5a - b) 25a -10a b b 1 2 25 1 -10 1 3 (- ) 32 49, • 2 • 所以|5a-b|=7.
• 2.若a,b,c为任意向量，m∈R，则下列等式不 一定成立的是( D ) • A. (a+b)+c=a+(b+c) B. (a+b)· c+b· c=a· c • C. m(a+b)=m a+mb D. (a· c=a· c) b)· (b· • 解：A、B、C是运算律，而a· b=λ∈R, • b· c=μ∈R,所以(a· c=a· c)不一定成立. b)· (b· • 故选D.
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题型2
向量的模
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2. 已知向量a与b的夹角为120°, 且|a|=4，|b|=2.求： (1)|a+b|;(2)|3a-4b|;(3)(a-2b)· (a+b). 解：依题意得 a· b=|a||b|cosθ=4×2×cos120°=-4. (1)因为|a+b|2=(a+b)2=a2+2a· 2 b+b =|a|2+2a· b+|b|2=42+2×(-4)+22=12， 所以|a+b|= 2 3.


• 解法2：以直角顶点A为坐标原点，两直角边 所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐 标系.
• 设|AB|=c,|AC|=b，则A(0，0)，B(c，0)，C(0， b)，且|PQ|=2a,|BC|=a. • 设点P的坐标为(x,y),则Q(-x,-y). • 所以 x c, y , CQ x, y b , BP
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(2)因为|3a-4b|2=(3a-4b)2 =9a2-24a· b+16b2 =16×19， 所以|3a-4b|= 4 19. (3)(a-2b)· (a+b)=a2-2a· b-2b2 b+a· =42-(-4)-2×22=12. 点 评 ： 求 形 如 |a+b| 的 模 ， 一 般 是 通 过 |a+b|2=(a+b)2把求模转化为数量积来求解， 注意求得的是模的平方，最后求得其算术 平方根即可.


题型3
向量的夹角
→ → 3.平面内有向量OA ＝(1,7)，OB ＝ → (5,1)，OP＝(2,1)，点 X 为直线 OP 上的一 个动点． → XB → (1)当XA· 取最小值时， → 的坐标； 求OX (2)当点 X 满足(1)的条件和结论时，求 cos∠AXB 的值．
→ 解：(1)设OX＝(x，y)． → → 因为点 X 在直线 OP 上，所以向量OX与OP共线． → 又OP＝(2,1)，所以 x－2y＝0，即 x＝2y. → → → → → 所以OX＝(2y，y)．又XA＝OA－OX，OA＝(1,7)， → 所以XA＝(1－2y,7－y)． → → → 同样XB＝OB－OX＝(5－2y,1－y)．
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(2)解法1：因为|ka+b+c|>1， 即|ka+b+c|2>1， 即k2a2+b2+c2+2ka· b+2ka· c+2b· c>1, 因为a· c=a· b=b· c=- 1 ， 2 2-2k>0，所以k<0或k>2. 所以k 解法2：由已知a+b+c=0, 故|ka+b+c|=|ka-a|=|(k-1)a|=|k-1|, |ka+b+c|>1(k∈R) |k-1|>1 k<0或k>2.
) D • A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 • C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形 • 解：在△ABC中， • (M在∠BAC的平分线上)，
AB AC AM | AB | | AC |
• 由 • 所以 • 因为
第五章 平面向量
第 讲
考点 搜索
●平面向量的数量积 ●平面向量数量积的重要性质 ●两个向量垂直的充要条件 ●常用的模的等式和不等式 字符运算是向量的核心内容，是高考 的一个重要命题点.
高考 猜想
• 一、平面向量数量积的有关概念 • 1.已知两个非零向量a，b，过O点作OA=a， OB=b，则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b的夹角. • 很显然，当且仅当两非零向量a，b同方向时， θ= ___，当且仅当a、b反方向时，θ= ______， 0° 同时0与其他任何非零向量之间不谈夹角问题. 180°
• 3.在△ABC中，已知向量 AB AC 与 满足
•
• 则△ABC为(
AB AC AB AC 1 ) BC 0 且 , ( | AB | | AC | 2 | AB | | AC |
→ XB → 于是XA· ＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)(1－y) ＝5y2－20y＋12 ＝5(y－2)2－8. → XB → → 所以当 y＝2 时，XA· 有最小值－8，此时OX＝ (4,2)．
→ (2)当OX＝(4,2)，即 y＝2 时， → → 有XA＝(－3,5)，XB＝(1，－1)， → → 所以|XA|＝ 34，|XB|＝ 2， → XB → XA· 4 17 所以 cos∠AXB＝ ＝－ 17 . → |XB → |XA|· |
• 2.如果a，b的夹角为 ____，则称a与b垂直， 90° 记作 _______. a⊥b • 3.a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ，则 __________叫做a与b的数量积(或内积)，记 |a||b|·cosθ 作a· b，即 ______________. a· b=|a||b|cosθ • 规定0· ___. a= 0 • 当a⊥b时，θ= ____，这时a· ____. b= 90° 0 • 二、a· b的几何意义 • 1.一个向量在另一个向量方向上的投影.
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已知平面上三个向量a、b、c的模均为1， 它们相互之间的夹角均为120°. (1)求证：(a-b)⊥c； (2)若|ka+b+c|>1(k∈R)，求k的取值范围. 解：(1)证明：因为|a|=|b|=|c|=1,且a、b、c 之间的夹角均为120°， 所以(a-b)· c-b· c=a· c=|a||c|cos120°|b||c|· cos120°=0, 所以(a-b)· c=0，所以(a-b)⊥c.
• 点评：(1)中最值问题不少都转化为函 数最值问题解决，因此解题关键在于 寻找变量，以构造函数．而(2)中即为 数量积定义的应用．
• 已知三个单位向量a，b，c，两两之间的夹角 为120°，求a-2b与c的夹角. • 解：(a-2b)· c-2b· c=a· c=1×1×cos120°1 2×1×1×cos120°= ，
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• 所以△ABC是等边三角形. • 故. 如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为 2a的线段PQ以点A为中点，问 与 的夹 PQ BC 角θ取何值时 的值最大？并求出这个最 BP · CQ 大值. AB AC • 解法1：因为 ， AB· 0. AC • 所以 1 AP PQ , BP AP AB , • 因为 2 CQ AQ AC ,
BC c, b , PQ 2 x, 2 y , • 所以 BP · x c x y ( y b ) CQ
x 2 y 2 cx by .


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• 所以 BP · AP AB ·AQ AC ) CQ ( AP · AP · AB· AB· AQ AC AQ AC a 2 AP · AB· AC AP 2 a AP ·AB AC ) ( 1 2 a PQ · a 2 a 2 cos， BC 2 • 故当cosθ=1,即θ=0( 与 方向相同)时， PQ BC • 的值最大，其最大值为0. BP · CQ