【数学】北京市朝阳区2016届高三上学期期中考试(理)

北京市朝阳区2014届高三数学上学期期末考试试题理

北京市朝阳区2013-2014学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理工类） 2014.1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．函数1()1f x x =+- A ．[0,)+∞ B ．(1,)+∞ C ．[0,1)(1,)+∞ D ．[0,1)2．如果点()02,P y 在以点F 为焦点的抛物线24y x =上，则PF = A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．命题p ：22,0x x ax a ∀∈++≥R ；命题q ：x ∃∈R ，sin cos 2x x +=，则下列命题中为真命题的是A ．p q ∧B ．p q ∨C ．()p q ⌝∨D ．()()p q ⌝∧⌝4．在△ABC 中，︒=∠30A，AB =1BC =，则△ABC 的面积等于A ．23 B ．43 C ．23或3 D ．23或435．执行如图所示的程序框图，输出结果是4．若{}01,2,3a ∈，则0a 所有可能的取值为A ．1,2,3B ．1C ．2D ．1,26．已知正方形的四个顶点分别为(0,0)O ，(1,0)A ，(1,1)B ，(0,1)C ，点,D E 分别在线段,OC AB 上运动，且OD BE =，设AD 与OE 交于点G ，则点G 的轨迹方程是A ．(1)(01)y x x x =-≤≤B ．(1)(01)x y y y =-≤≤C ．2(01)y x x =≤≤D ．21(01)y x x =-≤≤7．已知平面向量a ，b 的夹角为120，且1⋅=-a b ，则||-a b 的最小值为 A ．． 1 8．已知数列{}n a 满足(,01)n n a n k n k *=⋅∈<<N 下面说法正确的是 ①当12k =时，数列{}n a 为递减数列； ②当112k <<时，数列{}n a 不一定有最大项； ③当102k <<时，数列{}n a 为递减数列；④当1k k-为正整数时，数列{}n a 必有两项相等的最大项.A. ①②B. ②④C. ③④D. ②③第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上． 9．某校为了解高一学生寒假期间的阅读情况，抽查并统计了100名同学的某一周阅读时间，绘制了频率分布直方图（如图所示），那么这100名学生中阅读时间在[4,8)小时内的人数为_____．10．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若2228log log 1a a +=，则37a a ⋅= ． 11．直线y kx =与圆22(2)4x y -+=相交于O ,A两点，若OA k 的值0.040.05 0.12是_____．12．一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是；表面积是．13．实数,x y 满足3,20,x y x y +≥⎧⎨-≤⎩若(2)y k x ≥+恒成立，则实数k 的最大值是．14．所有真约数（除本身之外的正约数）的和等于它本身的正整数叫做完全数．如：6=123++；28=124714++++；496=1248163162124248++++++++．已经证明：若21n-是质数，则12(21)n n--是完全数，n *∈N .请写出一个四位完全数；又623=⨯，所以6的所有正约数之和可表示为(12)(13)+⋅+；22827=⨯，所以28的所有正约数之和可表示为2(122)(17)++⋅+；按此规律，496的所有正约数之和可表示为．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本题满分13分）已知函数2()cos sin 1f x x x =--+．（Ⅰ）求函数)(x f 的最小值；（Ⅱ）若5()16f α=，求cos 2α的值．俯视图侧视图正视图16．（本题满分13分）甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）如下表：（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图. 你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；（Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为X ，求随机变量X 的分布列和期望EX ．17．（本题满分14分）如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥. （Ⅰ）求证：AC ⊥PB ；（Ⅱ）设,O D 分别为,AC AP 的中点，点G 为△OAB 内一点，且满足13OG OA OB =+（），求证：DG ∥面PBC ；（Ⅲ）若==2AB AC ，=4PA ，求二面角A PB C --的余弦值．18．（本题满分13分）已知函数()()ln f x x a x =-，a ∈R ．（Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 的极小值；（Ⅱ）若函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，求a 的取值范围．PDOACG19.已知椭圆C 两焦点坐标分别为1(F ,2F ，且经过点1)2P ．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知点(0,1)A -，直线l 与椭圆C 交于两点,M N ．若△AMN 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，试求直线l 的方程．20．（本题满分13分）已知,,a b c 是正数， 1lg a a =，2lg a b =，3lg a c =．（Ⅰ）若,,a b c 成等差数列，比较12a a -与23a a -的大小；（Ⅱ）若122331a a a a a a ->->-，则,,a b c 三个数中，哪个数最大，请说明理由；（Ⅲ）若a t =，2b t =，3c t =（t *∈N ），且1a ，2a ，3a 的整数部分分别是,m 21,m +221,m +求所有t 的值．北京市朝阳区2013-2014学年度高三年级第一学期期末统一考试数学答案（理工类） 2014.1一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C B D B A A C二、填空题题号 910 11121314答案542±182363238128234(12222)(131)++++⋅+三、解答题15．解：（Ⅰ）因为2()cos sin 1f x x x =--+ 2sin sin x x =- 211(sin )24x =--，又[]sin 1,1x ∈-，所以当1sin 2x =时，函数)(x f 的最小值为14-.…… 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得2115(sin )2416α--=，所以219(sin )216α-=．于是5sin 4α=（舍）或1sin 4α=-．又2217cos 212sin 12()48αα=-=--=． ……………… 13分16．解：（Ⅰ）茎叶图如右图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此应选派乙参赛更好． ……………… 6分（Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2．1144115516(0)25C C P X C C ===， 14115528(1)25C P X C C ===， 115511(2)25P X C C ===， 8 7 5 6 9826 甲乙5 57 2 58 5随机变量X 的分布列是：160122525255EX =⨯+⨯+⨯=． ……………… 13分17．证明：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以PA AC ⊥．又因为AB AC ⊥，且PA AB =A ，所以AC ⊥平面PAB ．又因为PB ⊂平面PAB ，所以AC ⊥PB ． ……………… 4分（Ⅱ）解法1:因为PA ⊥平面ABC ，所以PA AB ⊥，PA AC ⊥．又因为AB AC ⊥，所以建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．设=2AC a ，=AB b ，=2PA c ，则(0,0,0)A ，(0,,0)B b ，(2,0,0)C a ，(0,0,2),(0,0,)P c D c ，(,0,0)O a ．又因为13OG OA OB =+（），所以(,,0)33a bG ．于是(,,)33a bDG c =-，(2,,0)BC a b =-，(0,,2)PB b c =-．设平面PBC 的一个法向量000(,,)x y z =n ，则有0,0BC PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ．即000020,20.ax by by cz -=⎧⎨-=⎩不妨设01z =，则有002,c c y x b a ==，所以2(,,1)c ca b=n ．因为22(,,1)(,,)1()03333c c a b c a c bDG c c a b a b ⋅=⋅-=⋅+⋅+⋅-=n ，所以DG ⊥n ．又因为DG ⊄平面PBC ，所以DG ∥平面PBC ． ……………… 9分PD解法2：取AB 中点E ，连OE ，则1()2OE OA OB =+. 由已知13OG OA OB =+（）可得23OG OE =, 则点G 在OE 上.连结AG 并延长交CB 于F ，连PF .因为,O E 分别为,AC AB 的中点，所以OE ∥BC ,即G 为AF 的中点. 又因为D 为线段PA 的中点，所以DG ∥PF .又DG ⊄平面PBC ,PF ⊂平面PBC , 所以DG ∥平面PBC ．……………… 9分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知平面PBC 的一个法向量2(,,1)(2,2,1)c ca b==n ．又因为AC ⊥面PAB ，所以面PAB 的一个法向量是(2,0,0)AC =．又42cos ,323AC AC AC⋅===⨯⋅n n n ，由图可知，二面角A PB C --为锐角，所以二面角A PB C --的余弦值为23． ……………… 14分 18．解：（Ⅰ）定义域(0,)+∞．当0a =时，()ln f x x x =，()ln 1f x x '=+．令()0f x '=，得1ex =．当1(0,)ex ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数；当1(,)ex ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数.所以函数()f x 的极小值是11()e e f =-． ……………… 5分（Ⅱ）由已知得()ln x af x x x-'=+．因为函数()f x 在(0,)+∞是增函数，所以()0f x '≥，对(0,)x ∈+∞恒成立．由()0f x '≥得ln 0x ax x-+≥，即ln x x x a +≥对(0,)x ∈+∞恒成立．设()ln g x x x x =+，要使“ln x x x a +≥对(0,)x ∈+∞恒成立”，只要min ()a g x ≤．B因为()ln 2g x x '=+，令()0g x '=得21e x =．当21(0,)ex ∈时，()0g x '<，()g x 为减函数；当21(,)e x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 为增函数. 所以()g x 在()0,+∞上的最小值是2211()e eg =-．故函数()f x 在(0,)+∞是增函数时，实数a 的取值范围是21(,]e-∞-…… 13分 19．解：（Ⅰ）设椭圆标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>．依题意1224a PF PF =+==，所以2a =．又c =2221b a c =-=．于是椭圆C 的标准方程为2214x y +=． ……………… 5分（Ⅱ）依题意，显然直线l 斜率存在.设直线l 的方程为y kx m =+，则由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(41)8440k x kmx m +++-=．因为2222644(41)(44)0k m k m ∆=-+->,得22410k m -+>． ……………… ①设1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 中点为00(,)Q x y ，则12221228414441km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩于是000224,4141km mx y kx m k k =-=+=++．因为AM AN =，线段MN 中点为Q ，所以AQ MN ⊥．（1）当00x ≠，即0k ≠且0m ≠时，0011y k x +=-，整理得2341m k =+． ………………②因为AM AN ⊥，1122(,1),(,1)AM x y AN x y =+=+，所以2212121212(1)(1)(1)(1)()21AM AN x x y y k x x k m x x m m =+++=+++++++22222448(1)(1)()2104141m kmk k m m m k k -=+++-+++=++，整理得25230m m +-=，解得35m =或1m =-．当1m =-时，由②不合题意舍去.由①②知，35m =时，5k =±．（2）当00x =时，（ⅰ）若0k =时，直线l 的方程为y m =，代入椭圆方程中得x =±设()M m -，)N m ,依题意，若△AMN 为等腰直角三角形，则AQ QN =.即1m =+，解得1m =-或35m =.1m =-不合题意舍去，即此时直线l 的方程为35y =. （ⅱ）若0k ≠且0m =时，即直线l 过原点.依椭圆的对称性有(0,0)Q ,则依题意不能有AQ MN ⊥,即此时不满足△AMN 为等腰直角三角形.综上，直线l 的方程为35y =530y -+=530y +-=. ………………14分 20．解：（Ⅰ）由已知得1223()()a a a a ---=2lg lg lg a b acb c b-=．因为,,a b c 成等差数列，所以2a cb +=，则1223()()a a a a ---=24lg()aca c +，因为222a c ac +≥，所以2()4a c ac +≥，即241()aca c ≤+，则1223()()0a a a a ---≤，即12a a -≤23a a -，当且仅当a b c ==时等号成立．……………… 4分（Ⅱ）解法1：令12m a a =-，23n a a =-，31p a a =-，依题意，m n p >>且0m n p ++=，所以0m p >>．故120a a ->，即lg lg a b >；且130a a ->，即lg lg a c >．所以a b >且a c >．故,,a b c 三个数中，a 最大．解法2：依题意lg lg lg a b c b c a >>，即a b c b c a>>．因为0,0,0a b c >>>，所以2ac b >，2a bc >，2ab c >．于是，3abc b >，3a abc >，3abc c >，所以33a b >，33a c >．因为3y x =在R 上为增函数，所以a b >且a c >．故,,a b c 三个数中，a 最大． ……………… 8分（Ⅲ）依题意，lg t ，2lg t ，3lg t 的整数部分分别是,m 21,m +221m +，则l g 1m t m ≤<+，所以22lg 22m t m ≤<+．又2lg 2lg t t =，则2lg t 的整数部分是2m 或21m +．当212m m +=时，1m =；当2121m m +=+时，0,2m =．（1）当0m =时，lg t ，2lg t ，3lg t 的整数部分分别是0,1,1，所以0lg 1t ≤<，21lg 2t ≤<，31lg 2t ≤<．所以12lg 23t ≤<，解得21321010t ≤<．又因为()12103,4∈，()23104,5∈，所以此时4t =．（2）当1m =时，同理可得1lg 2t ≤<，22lg 3t ≤<，33lg 4t ≤<．所以41lg 3t ≤<，解得431010t ≤<．又()431021,22∈，此时10,11,12,...20,21t =．（3）当2m =时，同理可得2lg 3t ≤<，25lg 6t ≤<，39lg 10t ≤<，同时满足条件的t 不存在．t ．……………… 13分综上所述4,10,11,12,...20,21。

北京市朝阳区2017届高三第一学期期中考试数学(理)试题(有答案)[精品]

北京市朝阳区2016-2017学年度高三年级第一学期统一考试数学试卷（理工类） 2016．11（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}2|20A x x x =-<，{}|10B x x =-≥，则()U AB =ðA ．{}|01x x <<B ．{}|0x x <C ．{}|2x x >D ．{}|12x x <<2．下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在(0)+∞，上单调递减的是 A ．2y x =B ．1y x =+C ．lg ||y x =-D ．2x y =-3．若 2.1log 0.6a =，0.62.1b =，0.5log 0.6c =，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．b a c >>4．已知函数2()f x ax x =-，若对任意12,[2,)x x ∈+∞，且12x x ≠，不等式1212()()f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是A ．1(,)2+∞ B ．1[,)2+∞ C ．1(,)4+∞ D ．1[,)4+∞ 5．设R m ∈且0m ≠，“不等式4+4m m>”成立的一个充分不必要条件是 A ．0m > B ．1m > C ．2m > D ．2m ≥6．已知三角形ABC 外接圆O 的半径为1（O 为圆心），且2OA AB AC ++=0， ||2||OA AB =，则CA BC ⋅等于A ．154-B．2- C ．154 D．2 7．已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1()(())2g x f f x =-的零点个数是A ．4B ．3C ．2D ．18. 5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是A ．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B ．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C ．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D ．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．已知平面向量(1,2),(2,)y ==-a b .若a //b ，则y = .10．函数22()cos sin f x x x =-的单调递减区间为 .11．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若23=a ，245S S =，则1a = ，4S = ．12．已知角A 为三角形的一个内角，且3cos 5A =，则tan A = ，tan()4A π+= . 13．已知函数221,0,()(1)2,0xmx x f x m x ⎧+≥=⎨-<⎩在(,)-∞+∞上是具有单调性，则实数m 的取值范围 .14．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第天，两马相逢．DCA三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知数列{}()N n a n *∈是公差不为0的等差数列，11a =，且248111,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列11{}n n a a +⋅的前n 项和为n T ，求证1n T <.16．（本小题满分13分）已知函数()sin f x a x x =（a ∈R ）的图象经过点(,0)3π. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若3[,]22x ππ∈，求()f x 的取值范围.17．（本小题满分13分）如图，已知,,,A B C D 四点共面，=1CD ,2BC =,4AB =,120ABC ∠=,cos BDC ∠=（Ⅰ）求sin DBC ∠的值；（Ⅱ）求AD 的长.18．（本小题满分13分）已知函数2()cos 4x f x ax x =-+()R a ∈，ππ[,]22x ∈-．（Ⅰ）若函数()f x 是偶函数，试求a 的值；（Ⅱ）当0a >时，求证：函数()f x 在π(0,)2上单调递减.19．（本小题满分14分）已知函数2()e ()xf x x a =-，a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）若函数()f x 在(3,0)-上单调递减，试求a 的取值范围；（Ⅲ）若函数()f x 的最小值为2e -，试求a 的值．20．（本小题满分14分）设b a ,是正奇数，数列}{n c （n *∈N ）定义如下：b c a c ==21,，对任意3≥n ，n c 是21--+n n c c 的最大奇约数．数列}{n c 中的所有项构成集合A ．（Ⅰ）若15,9==b a ，写出集合A ；（Ⅱ）对1≥k ，令221=max {,}k k k d c c -(max{,}p q 表示,p q 中的较大值），求证：k k d d ≤+1；（Ⅲ）证明集合A 是有限集，并写出集合A 中的最小数．北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期高三年级统一考试数学答案（理工类） 2016．11一、选择题：（满分40分）三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ．因为248111,,a a a 成等比数列，所以2428111()a a a =⋅．即2111111()37a d a d a d=⋅+++ ．化简得2111(3)()(7)a d a d a d +=+⋅+，即21d a d =．又11a =，且0d ≠，解得1d = ．所以有1(1)n a a n d n =+-=． …………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：11111(1)1n n a a n n n n +==-⋅⋅++．所以11111111122311n T n n n =-+-++-=-<++ ．因此，1n T <． …………………13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()sin f x a x x =的图象经过点(,0)3π，所以 ()0.322f π=-= 解得 1a = ． …………………3分所以()sin 2sin()3f x x x x π==-．所以()f x 最小正周期为2π． …………………6分（Ⅱ）因为322x ππ≤≤，所以7.636x πππ≤-≤所以当32x ππ-=，即56x π=时，()f x 取得最大值，最大值是2；当736x ππ-=，即32x π=时，()f x 取得最小值，最小值是 1.- 所以()f x 的取值范围是[1,2]-． …………………13分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△BDC 中，因为cos 7BDC ∠=，所以sin 7BDC ∠=．由正弦定理=sin sin DC BCDBC BDC∠∠得，sin sin =DC BDC DBC BC ⋅∠∠= …………5分（Ⅱ）在△BDC 中，由2222cos BC DC DB DC DB BDC =+-⋅⋅∠得，2412DB DB =+-⋅．所以2307DB DB --=．解得DB =7DB =-（舍）．又因为cos =cos 120ABD DBC （）∠-∠=cos120cos sin120sin DBC DBC ⋅∠+⋅∠1=2-=在△ABD 中，因为222=2cos AD AB BD AB BD ABD +-⋅⋅∠=16724(27+-⨯=，所以AD =． …………13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()f x 是偶函数，所以22()()()cos()cos 44x x f x a x x ax x --=--+-=++ 2()cos 4x f x ax x ==-+恒成立．所以0a =． …………………4分（Ⅱ）由题意可知()sin 2xf x x a '=--．设()sin 2x g x x a =--，则1()cos 2g x x '=-．注意到π(0,)2x ∈，0a >．由()0g x '<，即1cos 02x -<，解得π03x <<．由()0g x '>，即1cos 02x ->，解得ππ32x <<．所以()g x 在π(0,)3单调递减，ππ(,)32单调递增．所以当π(0,)3x ∈，()(0)00g x g a <=-<，所以()f x 在π(0,)3x ∈单调递减，当ππ(,)32x ∈，ππ()()1024g x g a <=--<，所以()f x 在ππ(,)32x ∈单调递减，所以当0a >时，函数()f x 在π(0,)2上单调递减. ……………………13分 19．（本小题满分14分）解：由题意可知2()e (2)xf x x x a '=+-．（Ⅰ）因为1a =，则(0)1f =-，(0)1f '=-，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为(1)(0)y x --=--．即10x y ++=． …………………3分（Ⅱ）因为函数()f x 在(3,0)-上单调递减，所以当(3,0)x ∈-时，2()e (2)0xf x x x a '=+-≤恒成立．即当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立．显然，当(3,1)x ∈--时，函数2()2g x x x a =+-单调递减，当(1,0)x ∈-时，函数2()2g x x x a =+-单调递增．所以要使得“当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立”，等价于(3)0,(0)0.g g -≤⎧⎨≤⎩即3,0.a a ≥⎧⎨≥⎩所以3a ≥． …………………8分（Ⅲ）设2()2g x x x a =+-，则44a ∆=+．①当440a ∆=+≤，即1a ≤-时，()0g x ≥，所以()0f x '≥．所以函数()f x 在(,)-∞+∞单增，所以函数()f x 没有最小值．②当440a ∆=+>，即1a >-时，令2()e (2)0xf x x x a '=+-=得220x x a +-=，解得1211x x =-=-随着x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：所以220x a -≥+. 所以2()e ()0xf x x a =->. 又因为函数()f x 的最小值为2e<0-，所以函数()f x 的最小值只能在21x =-处取得.所以121(1e 1]2e 2e f a ---=--==-.所以1e 1)e -=.11=.解得3a =． …………………………………14分以下证明解的唯一性，仅供参考：设1()e g a -=因为0a >，所以0->，10<．设0x =->，则1x -=-设()e xh x x =-，则()e (1)xh x x '=-+.当0x >时，()0h x '<，从而易知()g a 为减函数. 当(0,3)a ∈，()0g a >；当(3,)a ∈+∞，()0g a <．所以方程1e 1)e -=只有唯一解3a =．20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）数列}{n c 为：9，15，3，9，3，3，3，……．故集合}3,15,9{=A ． ……………3分（Ⅱ）证明：由题设，对3≥n ，2-n c ，1-n c 都是奇数，所以21--+n n c c 是偶数．从而21--+n n c c 的最大奇约数221--+≤n n n c c c ，所以},m ax {21--≤n n n c c c ，当且仅当21--=n n c c 时等号成立．所以，对1≥k 有k k k k d c c c =≤-+},m ax {12212，且k k k k k k d d d c c c =≤≤++},m ax {},m ax {21222．所以k k k k d c c d ≤=+++},m ax {12221，当且仅当122-=k k c c 时等号成立．………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当3≥n 时，有},m ax {21--≤n n n c c c ．所以对3≥n ，有12max max {,}{,}n c c c a b ≤=．又n c 是正奇数，且不超过max {,}a b 的正奇数是有限的，所以数列}{n c 中的不同项是有限的．所以集合A 是有限集．集合A 中的最小数是b a ,的最大公约数． ……………14分。

北京市朝阳区2017届高三第一学期期中考试数学(理)试题(有答案)[精品]

北京市朝阳区2016-2017学年度高三年级第一学期统一考试数学试卷（理工类） 2016．11（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}2|20A x x x =-<，{}|10B x x =-≥，则()U AB =ðA ．{}|01x x <<B ．{}|0x x <C ．{}|2x x >D ．{}|12x x <<2．下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在(0)+∞，上单调递减的是 A ．2y x =B ．1y x =+C ．lg ||y x =-D ．2x y =-3．若 2.1log 0.6a =，0.62.1b =，0.5log 0.6c =，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．b a c >>4．已知函数2()f x ax x =-，若对任意12,[2,)x x ∈+∞，且12x x ≠，不等式1212()()f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是A ．1(,)2+∞ B ．1[,)2+∞ C ．1(,)4+∞ D ．1[,)4+∞ 5．设R m ∈且0m ≠，“不等式4+4m m>”成立的一个充分不必要条件是 A ．0m > B ．1m > C ．2m > D ．2m ≥6．已知三角形ABC 外接圆O 的半径为1（O 为圆心），且2OA AB AC ++=0， ||2||OA AB =，则CA BC ⋅等于A ．154-B．2- C ．154 D．2 7．已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1()(())2g x f f x =-的零点个数是A ．4B ．3C ．2D ．18. 5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是A ．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B ．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C ．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D ．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．已知平面向量(1,2),(2,)y ==-a b .若a //b ，则y = .10．函数22()cos sin f x x x =-的单调递减区间为 .11．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若23=a ，245S S =，则1a = ，4S = ．12．已知角A 为三角形的一个内角，且3cos 5A =，则tan A = ，tan()4A π+= . 13．已知函数221,0,()(1)2,0xmx x f x m x ⎧+≥=⎨-<⎩在(,)-∞+∞上是具有单调性，则实数m 的取值范围 .14．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第天，两马相逢．DCA三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知数列{}()N n a n *∈是公差不为0的等差数列，11a =，且248111,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列11{}n n a a +⋅的前n 项和为n T ，求证1n T <.16．（本小题满分13分）已知函数()sin f x a x x =（a ∈R ）的图象经过点(,0)3π. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若3[,]22x ππ∈，求()f x 的取值范围.17．（本小题满分13分）如图，已知,,,A B C D 四点共面，=1CD ,2BC =,4AB =,120ABC ∠=,cos BDC ∠=（Ⅰ）求sin DBC ∠的值；（Ⅱ）求AD 的长.18．（本小题满分13分）已知函数2()cos 4x f x ax x =-+()R a ∈，ππ[,]22x ∈-．（Ⅰ）若函数()f x 是偶函数，试求a 的值；（Ⅱ）当0a >时，求证：函数()f x 在π(0,)2上单调递减.19．（本小题满分14分）已知函数2()e ()xf x x a =-，a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）若函数()f x 在(3,0)-上单调递减，试求a 的取值范围；（Ⅲ）若函数()f x 的最小值为2e -，试求a 的值．20．（本小题满分14分）设b a ,是正奇数，数列}{n c （n *∈N ）定义如下：b c a c ==21,，对任意3≥n ，n c 是21--+n n c c 的最大奇约数．数列}{n c 中的所有项构成集合A ．（Ⅰ）若15,9==b a ，写出集合A ；（Ⅱ）对1≥k ，令221=max {,}k k k d c c -(max{,}p q 表示,p q 中的较大值），求证：k k d d ≤+1；（Ⅲ）证明集合A 是有限集，并写出集合A 中的最小数．北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期高三年级统一考试数学答案（理工类） 2016．11一、选择题：（满分40分）三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ．因为248111,,a a a 成等比数列，所以2428111()a a a =⋅．即2111111()37a d a d a d=⋅+++ ．化简得2111(3)()(7)a d a d a d +=+⋅+，即21d a d =．又11a =，且0d ≠，解得1d = ．所以有1(1)n a a n d n =+-=． …………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：11111(1)1n n a a n n n n +==-⋅⋅++．所以11111111122311n T n n n =-+-++-=-<++ ．因此，1n T <． …………………13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()sin f x a x x =的图象经过点(,0)3π，所以 ()0.322f π=-= 解得 1a = ． …………………3分所以()sin 2sin()3f x x x x π==-．所以()f x 最小正周期为2π． …………………6分（Ⅱ）因为322x ππ≤≤，所以7.636x πππ≤-≤所以当32x ππ-=，即56x π=时，()f x 取得最大值，最大值是2；当736x ππ-=，即32x π=时，()f x 取得最小值，最小值是 1.- 所以()f x 的取值范围是[1,2]-． …………………13分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△BDC 中，因为cos 7BDC ∠=，所以sin 7BDC ∠=．由正弦定理=sin sin DC BCDBC BDC∠∠得，sin sin =DC BDC DBC BC ⋅∠∠= …………5分（Ⅱ）在△BDC 中，由2222cos BC DC DB DC DB BDC =+-⋅⋅∠得，2412DB DB =+-⋅．所以2307DB DB --=．解得DB =7DB =-（舍）．又因为cos =cos 120ABD DBC （）∠-∠=cos120cos sin120sin DBC DBC ⋅∠+⋅∠1=2-=在△ABD 中，因为222=2cos AD AB BD AB BD ABD +-⋅⋅∠=16724(27+-⨯=，所以AD =． …………13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()f x 是偶函数，所以22()()()cos()cos 44x x f x a x x ax x --=--+-=++ 2()cos 4x f x ax x ==-+恒成立．所以0a =． …………………4分（Ⅱ）由题意可知()sin 2xf x x a '=--．设()sin 2x g x x a =--，则1()cos 2g x x '=-．注意到π(0,)2x ∈，0a >．由()0g x '<，即1cos 02x -<，解得π03x <<．由()0g x '>，即1cos 02x ->，解得ππ32x <<．所以()g x 在π(0,)3单调递减，ππ(,)32单调递增．所以当π(0,)3x ∈，()(0)00g x g a <=-<，所以()f x 在π(0,)3x ∈单调递减，当ππ(,)32x ∈，ππ()()1024g x g a <=--<，所以()f x 在ππ(,)32x ∈单调递减，所以当0a >时，函数()f x 在π(0,)2上单调递减. ……………………13分 19．（本小题满分14分）解：由题意可知2()e (2)xf x x x a '=+-．（Ⅰ）因为1a =，则(0)1f =-，(0)1f '=-，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为(1)(0)y x --=--．即10x y ++=． …………………3分（Ⅱ）因为函数()f x 在(3,0)-上单调递减，所以当(3,0)x ∈-时，2()e (2)0xf x x x a '=+-≤恒成立．即当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立．显然，当(3,1)x ∈--时，函数2()2g x x x a =+-单调递减，当(1,0)x ∈-时，函数2()2g x x x a =+-单调递增．所以要使得“当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立”，等价于(3)0,(0)0.g g -≤⎧⎨≤⎩即3,0.a a ≥⎧⎨≥⎩所以3a ≥． …………………8分（Ⅲ）设2()2g x x x a =+-，则44a ∆=+．①当440a ∆=+≤，即1a ≤-时，()0g x ≥，所以()0f x '≥．所以函数()f x 在(,)-∞+∞单增，所以函数()f x 没有最小值．②当440a ∆=+>，即1a >-时，令2()e (2)0xf x x x a '=+-=得220x x a +-=，解得1211x x =-=-随着x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：所以220x a -≥+. 所以2()e ()0xf x x a =->. 又因为函数()f x 的最小值为2e<0-，所以函数()f x 的最小值只能在21x =-处取得.所以121(1e 1]2e 2e f a ---=--==-.所以1e 1)e -=.11=.解得3a =． …………………………………14分以下证明解的唯一性，仅供参考：设1()e g a -=因为0a >，所以0->，10<．设0x =->，则1x -=-设()e xh x x =-，则()e (1)xh x x '=-+.当0x >时，()0h x '<，从而易知()g a 为减函数. 当(0,3)a ∈，()0g a >；当(3,)a ∈+∞，()0g a <．所以方程1e 1)e -=只有唯一解3a =．20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）数列}{n c 为：9，15，3，9，3，3，3，……．故集合}3,15,9{=A ． ……………3分（Ⅱ）证明：由题设，对3≥n ，2-n c ，1-n c 都是奇数，所以21--+n n c c 是偶数．从而21--+n n c c 的最大奇约数221--+≤n n n c c c ，所以},m ax {21--≤n n n c c c ，当且仅当21--=n n c c 时等号成立．所以，对1≥k 有k k k k d c c c =≤-+},m ax {12212，且k k k k k k d d d c c c =≤≤++},m ax {},m ax {21222．所以k k k k d c c d ≤=+++},m ax {12221，当且仅当122-=k k c c 时等号成立．………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当3≥n 时，有},m ax {21--≤n n n c c c ．所以对3≥n ，有12max max {,}{,}n c c c a b ≤=．又n c 是正奇数，且不超过max {,}a b 的正奇数是有限的，所以数列}{n c 中的不同项是有限的．所以集合A 是有限集．集合A 中的最小数是b a ,的最大公约数． ……………14分。

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北京市朝阳区 2016 届高三上学期期中考试数学试卷（文科）（考试时间120 分钟满分150 分）本试卷分为选择题（共40 分）和非选择题（共110 分）两部分第一部分（选择题共40 分）一、选择题：本大题共8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 .1. 已知集合A{ x x2} ，B＝{ x (x1)(x3)0} ，则A∩B=（）A ． { x x 1}B．{ x 2 x 3}C．{ x 1 x 3}D． { x x 2 或x 1}2. 设平面向量a( x,1) ，b (4, x) , 且a b1,则实数x的值是（）A ．2B ．111 C． D ．353.下列函数在(,0)(0, ) 上既是偶函数，又在(0, ) 上单调递增的是（）A ．y x2B ．y x 1C．y log 2 x D． y2x4．已知tan 1，那么 tan(π3) 等于（）4A ．2B．2C．1D．1 225.要得到函数y sin(2 x) 的图象，只需将函数y sin 2x 的图象（）3A ．向左平移个单位B．向右平移个单位66 C．向左平移个单位D．向右平移个单位336.下列命题正确的是（）A.“x 1”是“x23x 2 0 ”的必要不充分条件1C. 若 p q 为假命题，则 p, q 均为假命题D. 命题 “若 x 23x 20 ，则 x2 ”的否命题为 “若 x 2 3x 20, 则 x 27.在 ABC 中，已知 AB AC4 ， BC3 ， M , N 分别是 BC 边上的三等分点，则AM AN的值是（）21 C ． 6D ． 8A ． 5B ．48. 已知函数 f (x)x 2, 0 x a,若存在实数 b ，使函数 g(x)f ( x) b 有两个零点，2x ,xa.则实数 a 的取值范围是（）A ． (0, 2)B ． (2, )C ． (2, 4)D ． (4, )第二部分（非选择题共110 分）二、填空题：本大题共6 小题，每小题 5 分，共 30 分 .把答案填在答题卡上 .1 9.若集合 { a,0,1} ={ c, , 1} ，则 a _____,b_______.b10.设等差数列a n 的前 n 项和为 S n ，若 a 3 a 6 12 ， S 4 8 ，则 a 9 的值是．11.给出四个命题：①平行于同一平面的两个不重合的平面平行；②平行于同一直线的两个不重合的平面平行；③垂直于同一平面的两个不重合的平面平行；④垂直于同一直线的两个不重合的平面平行；其中真命题的序号是 ________．12．已知函数 f (x) 2sinx (0 )的最小正周期为，则，在 0,( ) 内满足 f ( x 0 ) 0的 x 0＝．π π13. 若函数 f (x) a sin xcosx 在区间 ( ,) 上单调递增，则实数 a 的取值范围是 .6 414. 如图，在 ABC 中， A B A C 4 ，BAC 90 ， D 是 BC 的中点，若向量AM1AB mAC （ m R ），且点 M 在 ACD 的内部（不含边界），则 AM BM 的取值范4围是．三、解答题：本大题共 6 小题，共80 分 .解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题满分13 分）已知函数 f ( x) 2 3sin xcosx2cos 2x. 222（Ⅰ）求 f ( x) 的最小正周期；（Ⅱ）求 f ( x) 的单调递减区间.16.（本小题满分 13 分）设等差数列a n的前n项和为 S n，n N ，公差d0, S315, 已知a1, a4, a13成等比数列 .（Ⅰ）求数列a n的通项公式；（Ⅱ）设 b n a2n，求数列b n的前n项和T n.17.（本小题满分14 分）如图 , 在三棱柱ABC A1B1C1中，CC1底面ABC ,AC CB ,点 D 是 AB 的中点．（Ⅰ）求证：AC BC1；（Ⅱ）求证：AC1∥平面 CDB1.(Ⅲ )设AB2AA1, AC BC ,在线段A1 B1上是否存在点M ，使得 BM CB1?若存在,确定点 M 的位置;若不存在，说明理由.18.（本小题满分 13 分）在 ABC 中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知 cos B 1 ．2（Ⅰ）若 a 2, b 2 3 ，求 ABC 的面积；（Ⅱ）求 sin A sin C 的取值范围．19. （本小题满分13 分）已知函数 f ( x) a ln x x2( a 1) x ，a R．2（Ⅰ）若函数 f ( x) 在区间 (1,3) 上单调递减，求 a 的取值范围；（Ⅱ）当 a 1 时，证明1 f ( x).220.（本小题满分 14 分）已知函数 f ( x) e x (ax2bx 1) (其中 a ，b R ),函数f ( x)的导函数为f ( x)，且f ( 1)0．(Ⅰ )若b 1 ，求曲线 y f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程；(Ⅱ )若函数 f (x) 在区间 [ 1,1] 上的最小值为0 ，求 b 的值．参考答案一、：（分 40分）号12345678答案B D C A B B C C 二、填空：（分 30分）号91011121314答案1,115①④ 2 ,[1, )2,62（注：两空的填空，第一空 3 分，第二空 2 分）三、解答：（分 80 分）15.（本小分 13 分）（I ）由已知可得：f ( x)3sin x cosx 12sin( x)1 .6所以 f (x) 的最小正周期 2 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ..7 分（II ）由2k x2k， k Z ,22得 2k x2k, k Z .33因此函数 f (x) 的减区 [2 k,2 k] , k Z.33⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..13分16.（本小分 13 分）解：（ I）依意，3a32 d15,12( a13d)2a1 ( a1 12d ).a13,解得d2.因此 a n a1( n 1)d 3 2(n 1) 2n 1, 即a n2n 1 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..6分(Ⅱ )依意，b n a2n22n12n 11.T n b1 b2b n(221)(231)(2n 1 1)=2223...2n1n4(1 2 n )n122n2n 4.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ..13分17.（本小分14 分）（ I）在三棱柱ABC A1 B1 C1中，因 CC1底面ABC，AC底面ABC，所以 CC1AC .又 AC BC ，BC CC1 C ,所以 AC平面BCC1B1．而BC1平面BCC1B1，AC BC1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..4分(Ⅱ )CB1与 C1 B 的交点E，DE，因 D 是 AB 的中点， E 是BC1的中点，E 所以 DE ∥AC1.因 DE平面CDB1，AC1平面CDB1，所以AC1∥平面CDB1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ..9分(Ⅲ )在段A1B1上存在点M，使得BM CB1,且M段A1B1的中点 .明如下：因 AA1底面 ABC ， CD底面 ABC ,M 所以 AA1CD .E 由已知 AC BC ，D段AB的中点，所以 CD AB .又 AA 1 AB A ，所以 CD 平面 AAB B .1 1取段 A 1 B 1 的中点 M ，接 BM . 因 BM 平面 AA 1B 1 B ，所以 CD BM .由已知 AB 2AA 1 ，由平面几何知可得 BM B 1 D .又 CD B 1D D ,所以 BM 平面 B 1CD .又 11BC平面 B CD ，所以 BMCB 1 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..14分18. （本小分 13 分）（I ）在ABC 中，因 cos B1 ，2所以 B2π， sin B3 .32由正弦定理ab ,sin A sin B可得2 2 31 sin A, sin A.322又 A 角， A，所以 C .66所以 S ABC1ab sin C211 22 3223 .. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分（II ） sin A sinCsin( C) sinC3= sin C3cosC 1 ( sin C)22=3sin 2C1(1 cos2C )441sin(2C) 1 .264因 C(0,) ，3所以2C5( ,) .666 sin(2C)( 1 ,1].62所以 sin A sin C 的取范是1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分(0, ] .419.（本小分 13 分）解：（ I）函数的定域(0,) .因 f ( x)a(ax2(a 1)x a( x1)( x a) x1)x x. x又因函数 f ( x) 在(1,3)减，所以不等式( x1)(x a)0 在(1,3)上成立.g( x) ( x1)(x a) ， g (3)0 ，即 93(a1)a0 即可，解得 a 3.所以a的取范是[3,) .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分（Ⅱ）当 a 1 ， f ( x)ln x x2，2f (x)1xx21(x1)(x 1) x x x.令 f(x)0 ，得x1或 x 1 （舍）.当 x 化， f ( x), f ( x) 化情况如下表：x(0,1)1(1, )f ( x)0+f (x)极小所以 x 1,函数f ( x)的最小f (1)1 . 2所以 f (x)1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分成立 .220.（本小分 14 分）解：因 f (x)e x (ax2bx1) ，所以f( x)e x[ ax2(2a b) x b 1] ．因 f(1)0 ，所以 a(2 a b)b10 ．所以 a 1 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分( Ⅰ)当a1， b1，f (0)1, f (0) 2 ，所以曲 y f (x) 在点(0, f (0)) 的切方程y12( x0) ．即 2x y 10．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分(Ⅱ )由已知得f ( x)e x (x2bx 1)，所以f ( x) e x[ x2(2b) x b 1]e x ( x 1)(x b1)．（ 1）当b11，即 b0，令 f(x) e x (x1)(x b1) 0 得，x 1 或 x b1 ；(x1)(1)0 得，．令) e (f x x x b b 1 x1所以函数 f (x) 在 (1,) 和 (,b1)上增，在( b1, 1) 上减．所以函数 f (x) 在区 [1,1] 上增．所以函数 f ( x) 在区 [1,1] 上的最小 f ( 1) e 1 (2b)0 ．解得 b 2 ．然合意．（ 2）当b11，即 b0 ，f ( x)e x( x1)20 恒成立，所以函数 f ( x) 在 (,) 上增．所以函数 f (x) 在区 [ 1,1] 上增．所以函数 f ( x) 在区 [ 1,1]上的最小 f (1) e 1 (2b) 0 ．解得 b 2 ．然不符合意．（ 3）当b11，即 b0 ，令 f ( x) e x ( x1)(x b1) 0 得，x1或 x b 1 ；x1)(1) 0得，．令( ) e (f x x x b1x b 1所以函数 f (x) 在 (, 1) 和 ( b 1,) 上增，在 (1, b1) 上减．①若 b 11，即 b 2 ，函数 f ( x) 在区 [ 1,1] 上减．所以函数 f (x) 在区 [ 1,1] 上的最小 f (1)e(2b)0 ．解得 b 2 ．然合意．②若 b 11，即 2b0 ，函数 f ( x) 在在 (1,b1) 上减，在( b 1,1) 上增．此，函数 f ( x) 在区 [1,1] 上的最小 f ( b1) e b 1(b2)0 ．解得 b 2 ．然不合意．上所述， b 2 或b 2 所求．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分。

北京市朝阳区2017届高三第一学期期中考试数学(理)试题(有答案)[精品]

北京市朝阳区2016-2017学年度高三年级第一学期统一考试数学试卷（理工类） 2016．11（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}2|20A x x x =-<，{}|10B x x =-≥，则()U AB =ðA ．{}|01x x <<B ．{}|0x x <C ．{}|2x x >D ．{}|12x x <<2．下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在(0)+∞，上单调递减的是 A ．2y x =B ．1y x =+C ．lg ||y x =-D ．2x y =-3．若 2.1log 0.6a =，0.62.1b =，0.5log 0.6c =，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．b a c >>4．已知函数2()f x ax x =-，若对任意12,[2,)x x ∈+∞，且12x x ≠，不等式1212()()f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是A ．1(,)2+∞ B ．1[,)2+∞ C ．1(,)4+∞ D ．1[,)4+∞ 5．设R m ∈且0m ≠，“不等式4+4m m>”成立的一个充分不必要条件是 A ．0m > B ．1m > C ．2m > D ．2m ≥6．已知三角形ABC 外接圆O 的半径为1（O 为圆心），且2OA AB AC ++=0， ||2||OA AB =，则CA BC ⋅等于 A ．154-B．2- C ．154 D．27．已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1()(())2g x f f x =-的零点个数是A ．4B ．3C ．2D ．18. 5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是A ．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B ．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C ．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D ．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．已知平面向量(1,2),(2,)y ==-a b .若a //b ，则y = .10．函数22()cos sin f x x x =-的单调递减区间为 .11．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若23=a ，245S S =，则1a = ，4S = ．12．已知角A 为三角形的一个内角，且3cos 5A =，则tan A = ，tan()4A π+= . 13．已知函数221,0,()(1)2,0xmx x f x m x ⎧+≥=⎨-<⎩在(,)-∞+∞上是具有单调性，则实数m 的取值范围 .14．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第天，两马相逢．DCA三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知数列{}()N n a n *∈是公差不为0的等差数列，11a =，且248111,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列11{}n n a a +⋅的前n 项和为n T ，求证1n T <.16．（本小题满分13分）已知函数()sin f x a x x =-（a ∈R ）的图象经过点(,0)3π. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若3[,]22x ππ∈，求()f x 的取值范围.17．（本小题满分13分）如图，已知,,,A B C D 四点共面，=1CD ,2BC =,4AB =, 120ABC ∠=,cos 7BDC ∠=. （Ⅰ）求sin DBC ∠的值；（Ⅱ）求AD 的长.18．（本小题满分13分）已知函数2()cos 4x f x ax x =-+()R a ∈，ππ[,]22x ∈-．（Ⅰ）若函数()f x 是偶函数，试求a 的值；（Ⅱ）当0a >时，求证：函数()f x 在π(0,)2上单调递减.19．（本小题满分14分）已知函数2()e ()xf x x a =-，a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）若函数()f x 在(3,0)-上单调递减，试求a 的取值范围；（Ⅲ）若函数()f x 的最小值为2e -，试求a 的值．20．（本小题满分14分）设b a ,是正奇数，数列}{n c （n *∈N ）定义如下：b c a c ==21,，对任意3≥n ，n c 是21--+n n c c 的最大奇约数．数列}{n c 中的所有项构成集合A ．（Ⅰ）若15,9==b a ，写出集合A ；（Ⅱ）对1≥k ，令221=max {,}k k k d c c -(max{,}p q 表示,p q 中的较大值），求证：k k d d ≤+1；（Ⅲ）证明集合A 是有限集，并写出集合A 中的最小数．北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期高三年级统一考试数学答案（理工类） 2016．11一、选择题：（满分40分）三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ．因为248111,,a a a 成等比数列，所以2428111()a a a =⋅．即2111111()37a d a d a d=⋅+++ ．化简得2111(3)()(7)a d a d a d +=+⋅+，即21d a d =．又11a =，且0d ≠，解得1d = ．所以有1(1)n a a n d n =+-=． …………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：11111(1)1n n a a n n n n +==-⋅⋅++．所以11111111122311n T n n n =-+-++-=-<++ ．因此，1n T <． …………………13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()sin f x a x x =的图象经过点(,0)3π，所以 ()0.322f a π=-= 解得 1a = ． …………………3分所以()sin 2sin()3f x x x x π==-．所以()f x 最小正周期为2π． …………………6分（Ⅱ）因为322x ππ≤≤，所以7.636x πππ≤-≤所以当32x ππ-=，即56x π=时，()f x 取得最大值，最大值是2；当736x ππ-=，即32x π=时，()f x 取得最小值，最小值是 1.- 所以()f x 的取值范围是[1,2]-． …………………13分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△BDC 中，因为cos 7BDC ∠=sin 7BDC ∠=．由正弦定理=sin sin DC BCDBC BDC∠∠得，sin sin =DC BDC DBC BC ⋅∠∠=． …………5分（Ⅱ）在△BDC 中，由2222cos BC DC DB DC DB BDC =+-⋅⋅∠得，2412DB DB =+-⋅．所以2307DB DB -⋅-=．解得DB =7DB =-（舍）．又因为cos =cos 120ABD DBC （）∠-∠=cos120cos sin120sin DBC DBC ⋅∠+⋅∠1=2-=-在△ABD 中，因为222=2cos AD AB BD AB BD ABD +-⋅⋅∠=16724(27+-⨯=，所以AD = …………13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()f x 是偶函数，所以22()()()cos()cos 44x x f x a x x ax x --=--+-=++ 2()cos 4x f x ax x ==-+恒成立．所以0a =． …………………4分（Ⅱ）由题意可知()sin 2xf x x a '=--．设()sin 2x g x x a =--，则1()cos 2g x x '=-．注意到π(0,)2x ∈，0a >．由()0g x '<，即1cos 02x -<，解得π03x <<．由()0g x '>，即1cos 02x ->，解得ππ32x <<．所以()g x 在π(0,)3单调递减，ππ(,)32单调递增．所以当π(0,)3x ∈，()(0)00g x g a <=-<，所以()f x 在π(0,)3x ∈单调递减，当ππ(,)32x ∈，ππ()()1024g x g a <=--<，所以()f x 在ππ(,)32x ∈单调递减，所以当0a >时，函数()f x 在π(0,)2上单调递减. ……………………13分 19．（本小题满分14分）解：由题意可知2()e (2)xf x x x a '=+-．（Ⅰ）因为1a =，则(0)1f =-，(0)1f '=-，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为(1)(0)y x --=--．即10x y ++=． …………………3分（Ⅱ）因为函数()f x 在(3,0)-上单调递减，所以当(3,0)x ∈-时，2()e (2)0xf x x x a '=+-≤恒成立．即当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立．显然，当(3,1)x ∈--时，函数2()2g x x x a =+-单调递减，当(1,0)x ∈-时，函数2()2g x x x a =+-单调递增．所以要使得“当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立”，等价于(3)0,(0)0.g g -≤⎧⎨≤⎩即3,0.a a ≥⎧⎨≥⎩所以3a ≥． …………………8分（Ⅲ）设2()2g x x x a =+-，则44a ∆=+．①当440a ∆=+≤，即1a ≤-时，()0g x ≥，所以()0f x '≥．所以函数()f x 在(,)-∞+∞单增，所以函数()f x 没有最小值．②当440a ∆=+>，即1a >-时，令2()e (2)0xf x x x a '=+-=得220x x a +-=，解得1211x x =-=-随着x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：所以220x a -≥+>. 所以2()e ()0xf x x a =->. 又因为函数()f x 的最小值为2e<0-，所以函数()f x 的最小值只能在21x =-处取得.所以121(1e 1]2e 2e f a ---=--==-.所以1e 1)e -=.11=.解得3a =． …………………………………14分以下证明解的唯一性，仅供参考：设1()e g a -=因为0a >，所以0->，10-<．设0x =->，则1x -=. 设()e xh x x =-，则()e (1)xh x x '=-+.当0x >时，()0h x '<，从而易知()g a 为减函数. 当(0,3)a ∈，()0g a >；当(3,)a ∈+∞，()0g a <．所以方程1e 1)e -=只有唯一解3a =．20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）数列}{n c 为：9，15，3，9，3，3，3，……．故集合}3,15,9{=A ． ……………3分（Ⅱ）证明：由题设，对3≥n ，2-n c ，1-n c 都是奇数，所以21--+n n c c 是偶数．从而21--+n n c c 的最大奇约数221--+≤n n n c c c ，所以},m ax {21--≤n n n c c c ，当且仅当21--=n n c c 时等号成立．所以，对1≥k 有k k k k d c c c =≤-+},m ax {12212，且k k k k k k d d d c c c =≤≤++},m ax {},m ax {21222．所以k k k k d c c d ≤=+++},m ax {12221，当且仅当122-=k k c c 时等号成立．………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当3≥n 时，有},m ax {21--≤n n n c c c ．所以对3≥n ，有12max max {,}{,}n c c c a b ≤=．又n c 是正奇数，且不超过max {,}a b 的正奇数是有限的，所以数列}{n c 中的不同项是有限的．所以集合A 是有限集．集合A 中的最小数是b a ,的最大公约数． ……………14分。

2016-2017学年北京市朝阳区高三(上)期中数学试卷和答案(文科)

2016-2017学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知集合A={x|x（x﹣1）＜0，x∈R}，B={x|＜x＜2，x∈R}，那么集合A∩B=（）A．?B．C．{x|﹣2＜x＜2，x∈R}D．{x|﹣2＜x ＜1，x∈R}2．（5分）下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是（）A．y=x﹣1 B．y=tanx C．y=x3 D．3．（5分）已知sinx=，则sin2x的值为（）A．B．C．或D．或﹣4．（5分）设x∈R且x≠0，则“ｘ＞1”是“ｘ+＞2”成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题正确的是（）A．若m?α，n?β，m⊥n，则α⊥βB．若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n C．若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m∥n D．若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥β6．（5分）已知三角形ABC外接圆O的半径为1（O为圆心），且+=，||=2||，则?等于（）A．B．C．D．7．（5分）已知函数f（x）=则函数g（x）=f（f（x））﹣的零点个数是（）A．4 B．3 C．2 D．18．（5分）5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（）A．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9．（5分）设平面向量=（1，2），=（﹣2，y），若∥，则y=．10．（5分）已知角A为三角形的一个内角，且cosA=，sinA=．cos2A=．11．（5分）已知a=log2.10.6，b=2.10.6，c=log0.50.6，则a，b，c的大小关系是．12．（5分）各项均为正数的等比数列{{a n}的前n项和为S n，若a3=2，S4=5S2，则a1的值为，S4的值为．13．（5分）已知函数f（x）=在（﹣∞，+∞）上是具有单调性，则实数m的取值范围．14．（5分）《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第天，两马相逢．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知数列{a n}（n∈N*）是公差不为0的等差数列，若a1=1，且a2，a4，a8成等比数列．。

北京市朝阳区高三上学期期中考试数学理试题含答案精编版

北京市朝阳区2016-2017学年度高三年级第一学期统一考试数学试卷（理工类） 2016．11（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}2|20A x x x =-<，{}|10B x x =-≥，则()U AB =ðA ．{}|01x x <<B ．{}|0x x <C ．{}|2x x >D ．{}|12x x <<2．下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在(0)+∞，上单调递减的是 A ．2y x =B ．1y x =+C ．lg ||y x =-D ．2x y =-3．若 2.1log 0.6a =，0.62.1b =，0.5log 0.6c =，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．b a c >>4．已知函数2()f x ax x =-，若对任意12,[2,)x x ∈+∞，且12x x ≠，不等式1212()()0f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是A ．1(,)2+∞B ．1[,)2+∞C ．1(,)4+∞D ．1[,)4+∞ 5．设R m ∈且0m ≠，“不等式4+4m m>”成立的一个充分不必要条件是 A ．0m > B ．1m > C ．2m > D ．2m ≥ 6．已知三角形ABC 外接圆O 的半径为1（O 为圆心），且2OA AB AC ++=0，||2||OA AB =，则CA BC ⋅等于A ．154-B．C ．154 D7．已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1()(())2g x f f x =-的零点个数是A ．4B ．3C ．2D ．18. 5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是A ．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B ．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C ．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D ．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．已知平面向量(1,2),(2,)y ==-a b .若a //b ，则y = .10．函数22()cos sin f x x x =-的单调递减区间为 .11．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若23=a ，245S S =，则1a = ，4S = ．12．已知角A 为三角形的一个内角，且3cos 5A =，则t a n A = ，tan()4A π+= .13．已知函数221,0,()(1)2,0xmx x f x m x ⎧+≥=⎨-<⎩在(,)-∞+∞上是具有单调性，则实数m 的取值范围 .14．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题:“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第天，两马相逢．DCA三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知数列{}()N n a n *∈是公差不为0的等差数列，11a =，且248111,,a a a 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列11{}n n a a +⋅的前n 项和为n T ，求证:1n T <.16．（本小题满分13分）已知函数()sin f x a x x =（a ∈R ）的图象经过点(,0)3π. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若3[,]22x ππ∈，求()f x 的取值范围.17．（本小题满分13分）如图，已知,,,A B C D 四点共面，=1CD ,2BC =,4AB =,120ABC ∠=,cos 7BDC ∠=. （Ⅰ）求sin DBC ∠的值；（Ⅱ）求AD 的长.18．（本小题满分13分）已知函数2()cos 4x f x ax x =-+()R a ∈，ππ[,]22x ∈-．（Ⅰ）若函数()f x 是偶函数，试求a 的值；（Ⅱ）当0a >时，求证：函数()f x 在π(0,)2上单调递减.19．（本小题满分14分）已知函数2()e ()xf x x a =-，a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）若函数()f x 在(3,0)-上单调递减，试求a 的取值范围；（Ⅲ）若函数()f x 的最小值为2e -，试求a 的值．20．（本小题满分14分）设b a ,是正奇数，数列}{n c （n *∈N ）定义如下：b c a c ==21,，对任意3≥n ，nc 是21--+n n c c 的最大奇约数．数列}{n c 中的所有项构成集合A ．（Ⅰ）若15,9==b a ，写出集合A ；（Ⅱ）对1≥k ，令221=max {,}k k k d c c -(max{,}p q 表示,p q 中的较大值），求证：k k d d ≤+1；（Ⅲ）证明集合A 是有限集，并写出集合A 中的最小数．北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期高三年级统一考试数学答案（理工类） 2016．11一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分）（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ．因为248111,,a a a 成等比数列，所以2428111()a a a =⋅．即2111111()37a d a d a d=⋅+++ ．化简得2111(3)()(7)a d a d a d +=+⋅+，即21d a d =．又11a =，且0d ≠，解得1d = ．所以有1(1)n a a n d n =+-=． …………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：11111(1)1nn a a n n n n +==-⋅⋅++．所以11111111122311n T n n n =-+-++-=-<++ ．因此，1n T <． …………………13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()sin f x a x x =的图象经过点(,0)3π，所以 ()0.3f π==解得 1a = ． …………………3分所以()sin 2sin()3f x x x x π==-．所以()f x 最小正周期为2π． …………………6分（Ⅱ）因为322x ππ≤≤，所以7.636x πππ≤-≤所以当32x ππ-=，即56x π=时，()f x 取得最大值，最大值是2；当736x ππ-=，即32x π=时，()f x 取得最小值，最小值是 1.-所以()f x 的取值范围是[1,2]-． …………………13分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△BDC 中，因为cos BDC ∠=sin BDC ∠=．由正弦定理=sin sin DC BCDBC BDC∠∠得，sin sin =DC BDC DBC BC ⋅∠∠= …………5分（Ⅱ）在△BDC 中，由2222cos BC DC DB DC DB BDC =+-⋅⋅∠得，2412DB DB =+-⋅．所以230DB DB --=．解得DB =DB =．又因为cos =cos 120ABD DBC （）∠-∠=cos120cos sin120sin DBC DBC ⋅∠+⋅∠1=2-+=-在△ABD 中，因为222=2cos AD AB BD AB BD ABD +-⋅⋅∠=16724(27+-⨯=，所以AD =． …………13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()f x 是偶函数，所以22()()()cos()cos 44x x f x a x x ax x --=--+-=++ 2()cos 4x f x ax x ==-+恒成立．所以0a =． …………………4分（Ⅱ）由题意可知()sin 2xf x x a '=--．设()sin 2xg x x a =--，则1()cos 2g x x '=-．注意到π(0,)2x ∈，0a >．由()0g x '<，即1cos 02x -<，解得π03x <<．由()0g x '>，即1cos 02x ->，解得ππ32x <<．所以()g x 在π(0,)3单调递减，ππ(,)32单调递增．所以当π(0,)3x ∈，()(0)00g x g a <=-<，所以()f x 在π(0,)3x ∈单调递减，当ππ(,)32x ∈，ππ()()1024g x g a <=--<，所以()f x 在ππ(,)32x ∈单调递减，所以当0a >时，函数()f x 在π(0,)2上单调递减. ……………………13分19．（本小题满分14分）解：由题意可知2()e (2)xf x x x a '=+-．（Ⅰ）因为1a =，则(0)1f =-，(0)1f '=-，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为(1)(0)y x --=--．即10x y ++=． …………………3分（Ⅱ）因为函数()f x 在(3,0)-上单调递减，所以当(3,0)x ∈-时，2()e (2)0x f x x x a '=+-≤恒成立．即当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立．显然，当(3,1)x ∈--时，函数2()2g x x x a =+-单调递减，当(1,0)x ∈-时，函数2()2g x x x a =+-单调递增．所以要使得“当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立”，等价于(3)0,(0)0.g g -≤⎧⎨≤⎩即3,0.a a ≥⎧⎨≥⎩所以3a ≥． …………………8分（Ⅲ）设2()2g x x x a =+-，则44a ∆=+．①当440a ∆=+≤，即1a ≤-时，()0g x ≥，所以()0f x '≥．所以函数()f x 在(,)-∞+∞单增，所以函数()f x 没有最小值．②当440a ∆=+>，即1a >-时，令2()e (2)0xf x x x a '=+-=得220x x a +-=，解得1211x x =-=-随着x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：当x ∈( , 1-∞-时，22( 12x a ≥-=++.所以220x a -≥+. 所以2()e ()0xf x x a =->. 又因为函数()f x 的最小值为2e<0-，所以函数()f x 的最小值只能在21x =-处取得.所以121(1e 1]2e 2e f a ---=--==-.所以1e 1)e -=.11=.解得3a =． …………………………………14分以下证明解的唯一性，仅供参考：设1()e g a -=因为0a >，所以0->，10<．设0x =->，则1x -= 设()e xh x x =-，则()e (1)xh x x '=-+.当0x >时，()0h x '<，从而易知()g a 为减函数. 当(0,3)a ∈，()0g a >；当(3,)a ∈+∞，()0g a <．所以方程1e 1)e -=只有唯一解3a =．20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）数列}{n c 为：9，15，3，9，3，3，3，……．故集合}3,15,9{=A ． ……………3分（Ⅱ）证明：由题设，对3≥n ，2-n c ，1-n c 都是奇数，所以21--+n n c c 是偶数．从而21--+n n c c 的最大奇约数221--+≤n n n c c c ，所以},m ax {21--≤n n n c c c ，当且仅当21--=n n c c 时等号成立．所以，对1≥k 有k k k k d c c c =≤-+},m ax {12212，且k k k k k k d d d c c c =≤≤++},m ax {},m ax {21222．所以k k k k d c c d ≤=+++},m ax {12221，当且仅当122-=k k c c 时等号成立．………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当3≥n 时，有},m ax {21--≤n n n c c c ．所以对3≥n ，有12max max {,}{,}n c c c a b ≤=．又n c 是正奇数，且不超过max {,}a b 的正奇数是有限的，所以数列}{n c 中的不同项是有限的．所以集合A 是有限集．集合A 中的最小数是b a ,的最大公约数． ……………14分。

北京市朝阳区2016届高三上学期期中统一考试数学(理)试题含解析

第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{3,}A x x x =≤∈R ，{10,}B x x x =-≥∈N ，则AB =（）A ．{0,1}B ．{0,12},C ．{2,3}D ． {1,2,3} 【答案】.D 【解析】试题分析：{10,}{1,}B x x x x x x =-≥∈=≥∈N N 又{3,}A x x x =≤∈R所以{1,2,3}AB =故答案选.D考点：1.常见数集的表示；2.集合的运算.2．已知(0,)α∈π，且3cos 5α=-，则tan α=（） A ．34 B ．34- C ．43 D ．43-【答案】.D考点：同角三角函数关系.3. 已知等差数列{}n a 的公差为2，若124, , a a a 成等比数列，那么1a 等于（）A. 2B. 1C. 1-D. 2- 【答案】A 【解析】试题分析：因为数列{}n a 的公差为2的等差数列所以212a a =+，411(41)26a a a =+-⨯=+ 因为1a ，2a ，3a 成等比数列所以2214a a a =，即2111(2)(6)a a a +=+，解得12a = 故答案选A .考点：1.等差数列的通项公式；2.等比数列中项. 4. 给出下列命题：①若给定命题p ：x ∃∈R ，使得210x x +-<，则p ⌝：,x ∀∈R 均有012≥-+x x ； ②若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题；③命题“若0232=+-x x ，则2=x ”的否命题为“若 ,0232=+-x x 则2≠x其中正确的命题序号是（）A ．① B. ①② C. ①③ D. ②③ 【答案】A 【解析】试题分析：①若给定命题p ：x ∃∈R ，使得210x x +-<，则p ⌝：,x ∀∈R 均有012≥-+x x ；故①是正确的；②若q p ∧为假命题，则p 或q 为假命题，故②是错误的；③命题“若0232=+-x x ，则2=x ”的否命题为“若 2320,x x -+≠则2≠x ，故③是错误的. 故答案选A .考点：命题的真假判断.5. 已知函数()sin()(00)2f x A x x A ωϕωϕπ=+∈>><R ，，，的图象（部分）如图所示，则()f x 的解析式是（）A ．()2sin()6f x x π=π+B ．()2sin(2)6f x x π=π+C ．()2sin()3f x x π=π+D ．()2sin(2)3f x x π=π+【答案】A . 【解析】试题分析：由题图可知函数的周期514()263T =-=，2A = 由周期公式2T πω=，得ωπ=所以()2sin()f x x πϕ=+ 由题图知，当13x =时，()f x 取得最大值所以22326k k πππϕπϕπ+=+⇒=+，k Z ∈因为||2πϕ<，所以6πϕ=所以()2sin()6f x x ππ=+故答案选A .考点：三角函数的图像和性质. 6. 设p ：2101x x -≤-，q ：2(21)(1)0x a x a a -+++<，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（）A ．1(0,)2B ．1[0,)2C ．1(0,]2D ．1[,1)2【答案】B考点：1.解不等式；2.命题的充分必要性.7. 在ABC ∆中，已知4AB AC ⋅=3=，,M N 分别是BC 边上的三等分点，则⋅的值是（） A ．5 B ．421C ．6D ．8【答案】C 【解析】试题分析：因为M 、N 分别是BC 边上的三等分点所以2133AM AB AC =+,1233AM AB AC =+ 所以222112252()()3333999AM AN AB AC AB AC AB AB AC AC ⋅=+⋅+=+⋅+2225()99AB AC AB AC =++⋅又BC AC AB =-所以2222222()2324BC AC AB AC AB AC AB AC AB =-=+-⋅⇒=+-⨯ 得2217AC AB += 所以25174699AM AN ⋅=⨯+⨯= 故答案选C考点：1.向量的线性关系；2.向量的数量积.8. 已知定义在R 上的函数⎩⎨⎧-∈-∈+=),0 ,1[,2),1 ,0[,2)(22x x x x x f 且)()2(x f x f =+．若方程()2=0f x kx --有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（）A ．1(,1)3B ．11(,)34--C ．11(,1)(1,)33--D ．1111(,)(,)3443--【答案】C 【解析】试题分析：由(2)()f x f x +=，知函数()f x 的周期为2 作函数()f x 和函数()2g x kx =+的图像，如下图所示：函数()2g x kx =+恒过定点(0,2)321303l k -==---32110m k -==---32110n k -==-321303q k -==-结合图像可知，k 的取值范围为11(,1)(1,)33--故答案选C考点：1.方程根的存在性；2.函数零点个数；3.函数的周期性.第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 已知三个数π221(),log 3,log π2，其中最大的数是．【答案】2log π考点：指数函数的性质.10．已知平面向量2113()(-)，，，a =b =．若向量()λ⊥a a +b ，则实数λ的值是．【答案】5- 【解析】试题分析：因为平面向量21()，a =，13(-)，b = 所以(2,13)a b λλλ+=-+ 由()a a b λ⊥+所以()0a a b λ⋅+=，即(2,1)(2,13)02(2)1(13)0λλλλ⋅-+=⇒⨯-+⨯+= 解得5λ=-考点：向量的数量积.11．如图，在ABCD 中，E 是CD 中点，BE xAB yAD =+，则x y += ．【答案】12【解析】试题分析：连接BD ，又E 为CD 的中点所以1122BE BD BC =+ 又BD AD AB =-,BC AD = 所以111()222BE AD AB AD AD AB =-+=- 又BE xAB yAD =+ 所以1x =，12y =- 所以12x y +=考点：向量的线性运算.12. 若函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0ωϕ≠>)是偶函数，则ϕ的最小值为．【答案】2π考点：三角函数的性质. 13. 若函数sin ()cos a xf x x-=在区间ππ(,)63上单调递增，则实数a 的取值范围是 .【答案】[2,)+∞ 【解析】试题分析：因为函数sin ()cos a xf x x-=在区间ππ(,)63上单调递增所以()0f x '≥在区间ππ(,)63恒成立， 22cos sin (sin )(sin )sin 1()cos cos x x a x x a x f x x x-⋅--⋅--'== 因为2cos 0x >，所以sin 10a x -≥在区间ππ(,)63恒成立所以1sin a x≥因为(,)63x ππ∈，所以11sin 2223sin x x<<⇒<<所以a 的取值范围是[2,)+∞考点：1.恒成立问题；2.导函数的应用.14. 如图，已知边长为4的正方形ABCD ，E 是BC 边上一动点（与B 、C 不重合），连结AE ，作EF ⊥AE 交∠BCD 的外角平分线于F .设BE x =，记()f x EC CF =⋅，则函数()f x 的值域是；当ECF ∆面积最大时，EF = .F EDCBA【答案】(0,4]，【解析】试题分析：如图，作FG BC ⊥,交BC 延长线于G ，则CGFG =,易证得ABE EGF ∆∆∽，所以AB BEEG FG= 设FG CG m ==，则4EG EC CG x m =+=-+ 所以44xm x x m m=⇒=-+所以()(4)cos (4)4f x EC CF x x x π=⋅=-⋅=-由题知04x <<，所以0()4f x <≤ 故()f x 的值域是(0,4]2111(4)[(2)4]222ECF S EC FG x x x ∆=⨯=-=--+ 因为04x <<，所以当BCF ∆面积最大时，2x =，即2BE CG FG === 则4EG EC CG =+=在Rt EGF ∆中，222224220EF EG FG =+=+=所以EF =考点：1.向量的数量积；2.二次函数的最值.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）已知函数2()cos 2cos 222xx x f x =-. （Ⅰ）求π()3f 的值；（Ⅱ）求函数)(x f 的单调递减区间及对称轴方程. 【答案】（Ⅰ）0；（Ⅱ）25[2,2],33k k k Z ππππ++∈，2,3x k k Z ππ=+∈.试题解析：由2()cos 2cos 222x x x f x =-则()(cos 1)f x x x -+cos 1x x =--2sin()16x π=--（Ⅰ）()2sin()10336f πππ=--=（Ⅱ）令322,262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，得2522,33k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以函数()f x 的单调递减区间是25[2,2],33k k k Z ππππ++∈ 令,62x k k Z πππ-=+∈，得2,3x k k Z ππ=+∈ 即函数()f x 的对称轴方程2,3x k k Z ππ=+∈ 考点：1.三角函数的恒等变换；2.三角函数的性质. 16. （本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差1d =，前n 项和为n S ，且1n nb S =. （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求证：1232n b b b b ++++<.【答案】（Ⅰ）2(1)n b n n =+；（Ⅱ）证明略，详见解析.试题解析：（Ⅰ）因为数列{}n a 是首项11a =，公差1d =的等差数列所以由等差数列的前n 项和公式得，数列{}n a 前n 项和为21122n S n n =+ 由1n nb S =，得2(1)n b n n =+（Ⅱ）由（Ⅰ）知222(1)1n b n n n n ==-++所以123222222222212233411n b b b b n n n ++++=-+-+-++-=-++ 又201n >+，所以1232n b b b b ++++< 考点：1.等差数列的求和公式；2.数列的求和方法. 17．（本小题满分13分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,．且21cos -=B ．（Ⅰ）若322==b a ,，求角C ；（Ⅱ）求C A sin sin ⋅的取值范围．【答案】（Ⅰ）6C π=；（Ⅱ）1(0,]4.试题解析：（Ⅰ）因为1cos 02B =-<，且B 是ABC ∆的内角，所以23B π=，得sin 2B =，再由正弦定理sin sin abA B =，得1sin 2A =，所以6A π=又A B C π++= 所以6C π= （Ⅱ）因为1cos 02B =-<，且B 是ABC ∆的内角，所以23B π=，故3A C π+=，既得3C A π=-，所以21sin sin sin sin()cos cos 32A C A A A A A π⋅=⋅-=-11112cos 2sin(2)44264A A A π=+-=+- 因为3A C π+=，所以5102sin(2)1366626A A A πππππ<<⇒<+<⇒<+≤ 所以1110sin(2)2644A π<+-≤故sin sin A C ⋅的取值范围1(0,]4考点：1.正弦定理；2.三角函数的性质.18. （本小题满分13分）已知函数2()ln (1)2x f x a x a x =+-+．（Ⅰ）当0a >时，求函数()f x 的单调区间;（Ⅱ）当1a =-时，证明1()2f x ≥. 【答案】（Ⅰ）当1a =时，函数()f x 的单调递增区间是(0,)+∞，无单调递减区间，当1a >时，函数()f x 的单调递增区间是(,),(0,1)a +∞，单调递减区间为(1,)a ，当1a <时，函数()f x 的单调递增区间是(1,),(0,)a +∞，单调递减区间为(,1)a ；（Ⅱ）证明略.【解析】试题分析：（Ⅰ）易求得函数()f x 的定义域为(0,)+∞，由函数2()ln (1)2x f x a x a x =+-+，则2(1)()x a x a f x x-++'=，令()0f x '>或()0f x '<，即可求得函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1a =-时，2()ln 2x f x x =-+，要证1()2f x ≥，只需证min 1()2f x ≥，所以此问就是求函数()f x 在定义域区间的最小值.试题解析：（Ⅰ）易求得函数()f x 的定义域为(0,)+∞，已知函数2()ln (1)2x f x a x a x =+-+，所以2(1)()(1)a x a x a f x x a x x-++'=+-+=，令()0f x '>，即2(1)0(1)()0x a x a x x a -++>⇒-->当1a =时，()0f x '≥恒成立，所以函数()f x 的单调递增区间是(0,)+∞，无单调递减区间。

北京市朝阳区高三年级期中考试文科数学

北京市朝阳区2016-2017学年度高三年级第一学期统一考试数学试卷（文史类） 2016.11（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{|(1)0,}A x x x x =-<∈R ，1{|2,}2B x x x =<<∈R ，那么集合A B = A.∅B ．1{|1,}2x x x <<∈R C ．{|22,}x x x -<<∈R D ．{|21,}x x x -<<∈R2.下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是 A ．1y x =- B ．tan y x =C ．3y x =D ．2y x=-3. 已知3sin 5x =，则sin 2x 的值为 A ． 1225 B ．2425 C ．1225或1225- D ．2425或2425-4. 设x ∈R 且0x ≠，则“1x >”是“1+2x x>”成立的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5. 设m ,n 是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面.下列命题正确的是A ．若,,m n m n αβ⊂⊂⊥，则αβ⊥B ．若//,,//m n αβαβ⊥，则 m n ⊥C ．若,,//m n αβαβ⊥⊥，则//m nD ．若,,m n m αβαβ⊥=⊥，则n β⊥6. 已知三角形ABC 外接圆O 的半径为1（O 为圆心），且OB OC +=0， ||2||OA AB =，则CA BC ⋅等于（） A ．154-B ．34-C ．154D ．347. 已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数()1()()2g x f f x =-的零点个数是A ．4B ．3C ．2D ．18. 5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（）A ．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B ．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C ．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D ．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 设平面向量(1,2),(2,)y ==-a b ，若a //b ，则y = .10. 已知角A 为三角形的一个内角，且3cos 5A =，sin A = . cos2A = . 11. 已知 2.1log 0.6a =，0.62.1b =，0.5log 0.6c =，则a ，b ，c 的大小关系是 . 12. 设各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23=a ，245S S =，则1a 的值为，4S 的值为．13．已知函数221,0,()(1)2,0,xmx x f x m x ⎧+≥=⎨-<⎩在(,)-∞+∞上具有单调性，则实数m 的取值范围是 .14. 《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作.书中有如下问题:“今有良马与驽马发长安，至齐。

2016-2017年北京市朝阳区高三(上)期中数学试卷及参考答案(文科)

2016-2017学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知集合A={x|x（x﹣1）＜0，x∈R}，B={x|＜x＜2，x∈R}，那么集合A∩B=（）A．?B．C．{x|﹣2＜x＜2，x∈R}D．{x|﹣2＜x ＜1，x∈R}2．（5分）下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是（）A．y=x﹣1 B．y=tanx C．y=x3 D．3．（5分）已知sinx=，则sin2x的值为（）A．B．C．或D．或﹣4．（5分）设x∈R且x≠0，则“ｘ＞1”是“ｘ+＞2”成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题正确的是（）A．若m?α，n?β，m⊥n，则α⊥βB．若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n C．若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m∥n D．若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥β6．（5分）已知三角形ABC外接圆O的半径为1（O为圆心），且+=，||=2||，则?等于（）A．B．C．D．7．（5分）已知函数f（x）=则函数g（x）=f（f（x））﹣的零点个数是（）A．4 B．3 C．2 D．18．（5分）5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（）A．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9．（5分）设平面向量=（1，2），=（﹣2，y），若∥，则y=．10．（5分）已知角A为三角形的一个内角，且cosA=，sinA=．cos2A=．11．（5分）已知a=log2.10.6，b=2.10.6，c=log0.50.6，则a，b，c的大小关系是．12．（5分）各项均为正数的等比数列{{a n}的前n项和为S n，若a3=2，S4=5S2，则a1的值为，S4的值为．13．（5分）已知函数f（x）=在（﹣∞，+∞）上是具有单调性，则实数m的取值范围．14．（5分）《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第天，两马相逢．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知数列{a n}（n∈N*）是公差不为0的等差数列，若a1=1，且a2，a4，a8成等比数列．。

【数学】北京市朝阳区2016届高三上学期期中考试(文)

北京市朝阳区2016届高三上学期期中考试数学试卷（文科）（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合}2{>=x x A ，B ＝{(1)(3)0}x x x --<，则A ∩B =（）A ．{1}x x >B ．{23}x x <<C ．{13}x x <<D ．{2x x >或1}x < 2. 设平面向量(,1)x =a ，(4,)x =b , 且⋅a b 1=-, 则实数x 的值是（） A ．2- B ．1- C ．13-D ．15- 3.下列函数在(,0)(0,)-∞+∞ 上既是偶函数，又在),0(+∞上单调递增的是（）A ．2y x =-B ．1y x -=C ．2log y x =D ．2x y =-4．已知1tan 3θ=，那么πtan ()4θ+等于（） A ．2 B ．2- C ．12D ．12-5.要得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（）A ．向左平移π6个单位 B ．向右平移π6个单位 C ．向左平移π3个单位 D ．向右平移π3个单位6. 下列命题正确的是（）A. “1<x ”是“0232>+-x x ”的必要不充分条件B. 若给定命题p ：x ∃∈R ，使得210x x +-<，则p ⌝：,x ∀∈R 均有012≥-+x xC. 若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题D. 命题“若0232=+-x x ，则2=x ”的否命题为“若,0232=+-x x 则2≠x7.在ABC ∆中，已知4AB AC ⋅=，3=BC ，,M N 分别是BC 边上的三等分点，则ANAM ⋅的值是（） A ．5 B ．421 C ．6 D ．88. 已知函数2,()2.x x x a f x x a ⎧≤<=⎨≥⎩, 0, 若存在实数，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则实数的取值范围是（）A ．(0,2)B ．(2,)+∞C ．(2,4)D ．(4,)+∞第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9.若集合{}1,0,a ={}1,1,-bc ，则_____,_______.a b ==10.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3612a a +=，48S =，则9a 的值是． 11.给出四个命题： ①平行于同一平面的两个不重合的平面平行； ②平行于同一直线的两个不重合的平面平行； ③垂直于同一平面的两个不重合的平面平行； ④垂直于同一直线的两个不重合的平面平行；其中真命题的序号是________．12．已知函数()2sin f x x ω=(0>ω)的最小正周期为π，则=ω，在(0,)π内满足0)(0=x f 的0x ＝．13. 若函数()sin cos f x a x x =+在区间ππ(,)64上单调递增，则实数a 的取值范围是.14.如图，在ABC ∆中，4A B A C==，90BAC ∠= ，D 是BC 的中点，若向量14AM AB mAC=+（m ∈R ），且点M 在ACD ∆的内部（不含边界），则AM BM ⋅ 的取值范围是．b a三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）已知函数2()23sin cos 2cos 222x x xf x =+.（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）求)(x f 的单调递减区间.16. （本小题满分13分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ，公差30,15,d S ≠=已知1341,,a a a 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .17.（本小题满分14分）如图, 在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ,CB AC ⊥,点D 是AB 的中点．（Ⅰ）求证：1AC BC ⊥；（Ⅱ）求证：1AC ∥平面1CDB .(Ⅲ)设12AB AA =,AC BC =,在线段11A B 上是否存在点M ，使得1BM CB ⊥?若存在,确定点M 的位置;若不存在，说明理由.18. （本小题满分13分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,．已知21cos -=B ．（Ⅰ）若322==b a ,，求ABC ∆的面积；（Ⅱ）求C A sin sin ⋅的取值范围．19. （本小题满分13分）已知函数，．（Ⅰ）若函数在区间上单调递减，求的取值范围；（Ⅱ）当时，证明1()2f x ≥.2()ln (1)2x f x a x a x =+-+a ∈R ()f x (1,3)a 1a =-20. （本小题满分14分）已知函数2()e (1)x f x ax bx =++(其中a ，b ∈R ),函数()f x 的导函数为()f x '，且(1)0f '-=．(Ⅰ)若1b =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (Ⅱ)若函数()f x 在区间[1,1]-上的最小值为0，求b 的值．参考答案一、选择题：（满分40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BDCABBCC二、填空题：（满分30分）题号 910 11 12 13 14答案1,1-15 ①④2,2π[1,)+∞()6,2-（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题：（满分80分） 15. （本小题满分13分）（I ）由已知可得：()3sin cos 1f x x x =++ 2sin()16x π=++.所以)(x f 的最小正周期为2π. …………………..7分（II ）由2222k x k ππ3ππ+≤+≤π+6，k ∈Z , 得2233k x k π4ππ+≤≤π+,k ∈Z .因此函数)(x f 的单调递减区间为[2,2]33k k π4ππ+π+,k ∈Z .…………………..13分 16. （本小题满分13分）解：（I ）依题意，1211132315,2(3)(12).a d a d a a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩ 解得13,2.a d =⎧⎨=⎩因此1(1)32(1)21,21n n a a n d n n a n =+-=+-=+=+即. …………………..6分(Ⅱ)依题意，1212212+=+⨯==+n n n n a b .12n n T b b b =+++ 231(21)(21)(21)n +=++++++=23122...2n n +++++4(12)12n n-=+-22 4.n n +=+- …………………..13分17.（本小题满分14分）（I ）在三棱柱111ABC A B C -中，因为1CC ⊥底面ABC ，AC ⊂底面ABC ，所以1CC AC ⊥.又AC BC ⊥，1BC CC C = , 所以11AC BCC B ⊥平面．而111BC BCC B ⊂平面，则1AC BC ⊥. …………………..4分 (Ⅱ)设1CB 与1C B 的交点为E ，连结DE ，因为D 是AB 的中点，E 是1BC 的中点，所以DE ∥1AC .因为1DE CDB ⊂平面，11AC CDB ⊄平面，所以1AC ∥1CDB 平面.…………………..9分(Ⅲ)在线段11A B 上存在点M ，使得1BM CB ⊥,且M 为线段11A B 的中点.证明如下：因为1AA ⊥底面ABC ，CD ⊂底面ABC ,所以1AA CD ⊥.由已知AC BC =，D 为线段AB 的中点，所以CD AB ⊥.EEM又1AA AB A = ，所以CD ⊥平面11AA B B .取线段11A B 的中点M ，连接BM . 因为BM ⊂平面11AA B B ，所以CD BM ⊥.由已知12AB AA =，由平面几何知识可得1BM B D ⊥. 又1CD B D D = ,所以BM ⊥平面1B CD . 又1B C ⊂平面1B CD ，所以1BM CB ⊥.…………………..14分18. （本小题满分13分）（I ）在ABC ∆中，因为1cos 2B =-，所以2π3B =，3sin .2B = 由正弦定理,sin sin a bA B = 可得223,sin 32A =则1sin 2A =.又A 为锐角，则6A π=，所以6C π=.所以1sin 2ABC S ab C ∆=1122322=⨯⨯⨯ 3=. .……………………………………………………………6分（II ）sin sin sin()sin 3A C C C π⋅=-⋅=31sin (cos sin )22C C C ⋅- =31sin 2(1cos 2)44C C --11sin(2)264C π=+-. 因为(0,)3C π∈，所以52(,)666C πππ+∈.则1sin(2)(,1]62C π+∈.所以C A sin sin ⋅的取值范围是1(0,]4. ………………………………………13分19. （本小题满分13分）解：（I ）函数的定义域为.因为2(1)(1)()()(1)a x a x a x x a f x x a x x x-++--'=+-+==.又因为函数在单调减，所以不等式(1)()0x x a --≤在上成立. 设()(1)()g x x x a =--，则(3)0g ≤，即93(1)0a a -++≤即可，解得. 所以的取值范围是. …………………………………7分（Ⅱ）当时，，.令()0f x '=，得1x =或1x =-（舍）. 当x 变化时，(),()f x f x '变化情况如下表：x(0,1)1 (1,)+∞()f x ' - 0 +()f x极小值所以时,函数的最小值为. 所以1()2f x ≥成立. ………………………………13分(0,)+∞()f x (1,3)(1,3)3a ≥a [3,)+∞1a =-2()ln 2x f x x =-+211(1)(1)()x x x f x x x x x-+-'=-+==1x =()f x 1(1)2f =20. （本小题满分14分）解：因为2()e (1)x f x ax bx =++，所以2()e [(2)1]x f x ax a b x b '=++++．因为(1)0f '-=，所以(2)10a a b b -+++=．所以1a =． ……………………2分 (Ⅰ)当1a =时，1b =时，(0)1,(0)2f f '==，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为12(0)y x -=-．即210x y -+=． ……………………4分 (Ⅱ)由已知得2()e (1)x f x x bx =++，所以2()e [(2)1]e (1)(1)x x f x x b x b x x b '=++++=+++．（1）当11b --<-，即0b >时，令()e (1)(1)0x f x x x b '=+++>得，1x >-或1x b <--；令()e (1)(1)0x f x x x b '=+++<得，11b x --<<-．所以函数()f x 在(1,)-+∞和(,1)b -∞--上单调递增，在(1,1)b ---上单调递减．所以函数()f x 在区间[1,1]-上单调递增．所以函数()f x 在区间[1,1]-上的最小值为1(1)e (2)0f b --=-=．解得2b =．显然合题意．（2）当11b --=-时，即0b =时，2()e (1)0x f x x '=+≥恒成立，所以函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增．所以函数()f x 在区间[1,1]-上单调递增．所以函数()f x 在区间[1,1]-上的最小值为1(1)e (2)0f b --=-=．解得2b =．显然不符合题意．（3）当11b -->-时，即0b <时，令()e (1)(1)0xf x x x b '=+++>得，1x <-或1x b >--；令()e (1)(1)0xf x x x b '=+++<得，11x b -<<--．11 所以函数()f x 在(,1)-∞-和(1,)b --+∞上单调递增，在(1,1)b ---上单调递减． ①若11b --≥，即2b ≤-时，函数()f x 在区间[1,1]-上单调递减．所以函数()f x 在区间[1,1]-上的最小值为(1)e(2)0f b =+=．解得2b =-．显然合题意．②若11b --<，即20b -<<时，函数()f x 在在(1,1)b ---上单调递减，在(1,1)b --上单调递增．此时，函数()f x 在区间[1,1]-上的最小值为1(1)e (2)0b f b b ----=+=．解得2b =-．显然不合题意．综上所述，2b =或2b =-为所求． ……………………14分。

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