论述中国古代数学史存在互相矛盾的结论1
数学历史上：三次数学悖论,引发三次数学危机
数学历史上：三次数学悖论,引发三次数学危机1 什么是悖论日本波岩书店《数学百科辞典》关于悖论辞条是这样说的：能够导出与一般判断相反的结论，而要推翻它又很难给出正当的根据时，这种论证称为悖论。
特别是，如果一个命题及其否定均可用逻辑上等效的推理加以证明，而其推导又无法明确指出错误时，这种矛盾，便称为悖论。
即是说，所谓悖论，是指这样一个命题A，由A出发，可以推出一个命题B，但从这个命题B，却会出现如下自相矛盾的现象：若B为真，则推出B为假；若B为假，又会推出B为真。
2 悖论的三种主要形式（1）一个论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）；（2）一个论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）；（3）一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导出了逻辑上的自相矛盾。
3 悖论存在的意义悖论是一个涉及数学、哲学、逻辑学、语义学等非常广泛的论题，是一种现时的科学理论体系所解释不了的矛盾。
正因为如此，悖论在“荒诞”中蕴涵着哲理，可以给人以启迪，给人以奇异的美感，沿着它所指引的推理思路，可以使您走上一条繁花似锦的羊肠小道，而又使用您在不知不觉中陷入自相矛盾的泥潭。
但经过破译，将会使您感到回味无穷，并且能从中启发思维，提高能力。
逻辑学家赫兹贝格说：“悖论之所以具有重大意，是由于它能使我们看到对于某些根本概念的理解存在多大的局限，……事实证明，它是产生逻辑和语言中新概念的重要源泉。
”4 悖论举例1. 上帝全能悖论甲说：“上帝是全能的。
”乙说：“全能就是世界上任何事都能办到。
请问：上帝能创造出一个对手来击败他自己吗？”如果说能，则上帝可以被对手击败，并非全能的；如果说不能，则说明上帝并非是全能的。
2. 唐·吉诃德悖论著名小说《唐·吉诃德》里描写了一个残酷的国王，在他所能统治的国家里有一条法律：每个旅游者都要回答一个问题：“您来这里干什么？”如果回答对了，一切事情都好办；如果回答错了，立刻被绞死。
(整理)数学史上的三次危机.
数学史上的三次危机张清利第一次数学危机在古代的数学家看来与有理数对应的点充满了数轴，现在尚未深入了解数轴性质的人也会这样认为。
因此，当发现在数轴上存在不与任何有理数对应的一些点时，在人们的心理上引起了极大震惊，这个发现是早期希腊人的重大成就之一。
它是在公元前5世纪或6世纪的某一时期由毕达哥拉斯学派的成员首先获得的。
这是数学史上的一个里程碑。
毕达哥拉斯学派发现单位正方形的边与对角线不可公度，即对角线的长不能表为q p /的形式，也就是说不存在作为公共度量单位的线段。
后来，又发现数轴上还存在许多点也不对应于任何有理数。
因此，必须发明一些新的数，使之与这样的点对应，因为这些数不能是有理数，所以把它们称为无理数。
例如， ,22,8,6,2等都是无理数。
无理数的发现推翻了早期希腊人坚持的另一信念：给定任何两个线段，必定能找到第三线段，也许很短，使得给定的线段都是这个线段的整数倍。
事实上，即使现代人也会这样认为，如果他还不知道情况并非如此的话。
第一次数学危机表明，当时希腊的数学已经发展到这样的阶段：1． 数学已由经验科学变为演绎科学；2． 把证明引入了数学；3． 演绎的思考首先出现在几何中，而不是在代数中，使几何具有更加重要的地位。
这种状态一直保持到笛卡儿解析几何的诞生。
中国、埃及、巴比伦、印度等国的数学没有经历这样的危机，因而一直停留在实验科学。
即算术阶段。
希腊则走上了完全不同的道路，形成了欧几里得的《几何原本》与亚里士多得的逻辑体系， 而成为现代科学的始祖。
在当时的所有民族中为什么只有希腊人认为几何事实必须通过合乎逻辑的论证而不能通过实验来建立？这个原因被称为希腊的奥秘。
总之，第一次数学危机是人类文明史上的重大事件。
无理数与不可公度量的发现在毕达哥拉斯学派内部引起了极大的震动。
首先，这是对毕达哥拉斯哲学思想的核心，即“万物皆依赖于整数”的致命一击；既然像2这样的无理数不能写成两个整数之比，那么，它究竟怎样依赖于整数呢？其次，这与通常的直觉相矛盾，因为人们在直觉上总认为任何两个线段都是可以公度的。
中国古代数学发展解读
中国古代数学发展解读谈起古代数学，很多人都知道古希腊曾在几何学中获得了伟大成就，但我们对中国古代数学曾经的历史却没那么了解。
实际上，我国古代对于数学的研究也是非常深刻并且很辉煌的，对于中华民族乃至人类文明的发展都做出了很大贡献。
下面，我们就把中国古代数学的发展分为三部分，为大家简单介绍一下我们自己的数学发展历史。
一、起源我们国家源远流长、起源甚早，在祖先从蛮荒走向开化的路途中，少不了对于数字和形状的研究与琢磨。
早在殷商时期（公元前1400——公元前1100年）挖掘的甲骨文中，就已经出现了13种计数单字。
从'一'到'三万'，其中已经蕴含了十进制的规则。
而对于几何知识来说，根据当时的传说，伏羲创造了'规'用来画圆，'矩'用来画方形。
后来大禹治水之时，便左准绳、右规矩的来规划方向和形状。
人们后来用这些工具丈量土地、测算山谷、计算产出、制定历法。
商朝之后的周朝，更是把数学作为了名门贵族必须学习的六艺之一。
但是在那个远古时期，普通百姓想要接触数学、学习数学知识还是非常困难的。
规矩镜到了有史可追的春秋时期，皇权衰弱、诸王兴起。
生产力的不断提高导致百姓必须要掌握一定的数学知识才能更好的为官、从商、务农。
这时，大量的私人学塾出现。
最晚在春秋末年人们就已经普遍的掌握了十进制的计数方法，并且可以轻易使用'算筹'这种工具进行运算。
甚至人们已经熟练运用起了九九乘法口诀、整数四则运算和分数。
这在世界史的同时期都是领先于人的。
二、《九章算术》春秋而后便到了战国和两汉，在这个时间段，诸侯国都基本完成了封建制度的完善。
此时是中国古代一次思想进步爆发时期，不论是哲学还是科学，都开始了百家争鸣的局面。
这为各种科学技术的发展都提供了肥沃的土壤，也就是在此不久以后，我国古代伟大的数学专著《九章算术》也初露雏形。
秦始皇结束了战国纷乱，一统华夏江山，按理说这时应该是数学家们集中起来，共同推动数学进步的一个时期，不过秦始皇的暴政加上他焚书坑儒的行动，给当时的文化产业造成了毁灭性的打击。
数学史上的三次数学危机
对数学的浅思数学是什么，就必须从数学的起源说起。
数学无所不在，人们从自然界获得经验进行严格地“数学加工”（高度抽象的思维加工，使之概念明确，推理严格，整体内容无矛盾），形成了数学。
数学不仅仅是纯粹的数学理论知识，而是一种文化。
正如著名数学家罗素说：“数学如果正确地看待它，则发现它只有至高无上的美，一种冷色而严肃的美，这种美没有音乐或绘画那般华丽的装饰，但它可以纯净到崇高的地步，只有伟大的艺术才能显示那种完美的境地；一种真实喜悦的精神，一种精神的亢奋，一种高于普通人的意识，这些至善至美的标准，能在诗里得到，也能在数学里得到。
数学具有一种至高无上的美，它是一种文化，也是一门自然科学。
”学习数学，不仅仅学习数学理论知识，还要理解数学的思想文化，更要去欣赏数学纯净崇高至真至善的美。
数学是科学家、经济学家和工程师的有用工具，也是至美的自然科学。
于2013年12 月数学史上的三次数学危机第一次数学危机时间：公元前4 世纪人物：毕达哥拉斯、希帕苏斯地点：古希腊毕达哥拉斯是泰勒斯的传人，生于希腊东部萨摩斯岛，曾求学于泰勒斯门下，游历过埃及和巴比伦。
毕达哥拉斯在意大利南部的克伦吞成立了一个秘密组织，该组织是一个集科学、宗教、哲学于一体的帮会性学术团体，后人称之为毕达哥拉斯学派。
该学派纪律严明，主要有两条：一是一切服从与毕达哥拉斯，二是一切发明都不得私自外出传。
毕达哥拉斯后来在政治斗争中被杀，但其组织团体却存在了两个世纪多久，但是其数学贡献是不朽的。
毕达哥拉斯学派在数学上的信条为“万物皆数”，他们所说的数为正整数和正分数。
认为10 是最完美的，因为10=1+2+3+4，称1、2、3、4 为“四象”。
约公元前470年毕达哥拉斯学派成员希帕苏斯考虑边长为1 的正方形对角线长度，根据勾股定理对角线长应满足=2,什么样的数它的平方是2 呢？显然不是整数，由此人们揭穿了毕达哥拉斯“万物皆数”的数只是整数和分数是不成立的。
毕达哥拉斯的绝对权威受到严重的挑战，一方面已证明单位正方形对角线的长不是整数和分数，按毕达哥拉斯学派的观点这条对角线的长度就不是数，这当然是不能接受的；另一方面，毕达哥拉斯学派对数的根深蒂的认识又不肯承认自己的观点有问题，于是一时间陷入了极大的矛盾之中，这就是第一次数学危机。
历史上的三次数学危机
历史上的三次数学危机自古以来，中国的历史文化认同就具有显著的传统特点。
这一传统经历了漫长的发展过程，并对中国的社会、经济、政治、文化等各个方面产生了深远的影响。
本文将从历史的角度，探讨中国历史上历史文化认同的传统。
中国历史文化认同的起源可以追溯到古代的华夏文明。
在春秋战国时期，周朝的诸侯国逐渐崛起，形成了“诸子百家，百家争鸣”的局面。
这一时期，各种思想流派纷纷涌现，如儒家、道家、墨家、法家等，它们提出了各自的思想主张，对中国历史文化认同的形成产生了重要影响。
随着时间的推移，中国历史文化认同逐渐发展壮大。
在汉朝时期，汉武帝实行“罢黜百家，独尊儒术”的政策，使得儒家思想成为了主导思想。
这一时期，儒家的“仁爱”、“忠诚”、“礼制”等思想观念深入人心，成为了中国历史文化认同的重要组成部分。
在唐朝时期，中国历史文化认同得到了进一步的丰富和发展。
唐朝的统治者实行了开放的文化政策，鼓励文化交流和创新，使得各种文化元素在中国大地上得以交融和共生。
这一时期，中国的诗词、音乐、舞蹈、绘画等艺术形式得到了空前的发展，对中国历史文化认同的传承和发展产生了积极的影响。
随着近代中国社会的变革和发展，中国历史文化认同也经历了一系列的转型和变革。
在20世纪初，中国的现代化进程逐渐加速，西方文化的影响也日益扩大。
这一时期，中国历史文化认同开始受到挑战和质疑，一些学者和政治家开始呼吁对中国传统文化进行反思和改革。
在新中国成立后，中国历史文化认同在社会主义思想的指导下得到了进一步的发展和壮大。
中国的社会主义文化建设强调继承和弘扬中华民族优秀传统文化，同时也注重吸收和借鉴世界各国优秀文化成果。
这一时期，中国历史文化认同在保护和传承中华优秀传统文化的基础上，逐渐形成了具有中国特色的社会主义文化认同。
当代中国历史文化认同对于维护国家统促进民族团结、推动文化创新等方面具有重要的意义。
中国历史文化认同是中华民族的根基和灵魂，是维系民族团结和国家统一的重要纽带。
数学的三次危机
数学的三次危机在数学史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。
当矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就会产生数学危机。
而危机的解决，往往能给数学带来新的内容、新的进展，甚至引起革命性的变革。
数学的进展就经历过三次关于基础理论的危机。
一、第一次数学危机从某种意义上来讲，现代意义下的数学，也就是作为演绎系统的纯粹数学，来源予古希腊毕达哥拉斯学派。
它是一个唯心主义学派，兴旺的时期为公元前500年左右。
他们认为，“万物皆数”(指整数)，数学的知识是可靠的、准确的，而且能够应用于现实的世界，数学的知识由于纯粹的思维而获得，不需要观察、直觉与日常经验。
整数是在关于对象的有限整合进行计算的过程中产生的抽象概念。
日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各类量，比如长度、重量与时间。
为了满足这些简单的度量需要，就要用到分数。
因此，假如定义有理数为两个整数的商，那么由于有理数系包含所有的整数与分数，因此关于进行实际量度是足够的。
有理数有一种简单的几何解释。
在一条水平直线上，标出一段线段作为单位长，假如令它的定端点与右端点分别表示数0与1，则可用这条直线上的间隔为单位长的点的集合来表示整数，正整数在0的右边，负整数在0的左边。
以q为分母的分数，能够用每一单位间隔分为q等分的点表示。
因此，每一个有理数都对应着直线上的一个点。
古代数学家认为，这样能把直线上所有的点用完。
但是，毕氏学派大约在公元前400年发现：直线上存在不对应任何有理数的点。
特别是，他们证明了：这条直线上存在点p不对应于有理数，这里距离op等于边长为单位长的正方形的对角线。
因此就务必发明新的数对应这样的点，同时由于这些数不可能是有理数，只好称它们为无理数。
无理数的发现，是毕氏学派的最伟大成就之一，也是数学史上的重要里程碑。
无理数的发现，引起了第一次数学危机。
首先，关于全部依靠整数的毕氏哲学，这是一次致命的打击。
其次，无理数看来与常识大概相矛盾。
在几何上的对应情况同样也是令人惊讶的，由于与直观相反，存在不可通约的线段，即没有公共的量度单位的线段。
中国古代数学的研究
2.关于中国古代数学理论构造的问题
按照西方数学的模式，一种数学著作若是按应用问题的类别编排，并且每一个题之后给出解法和答案，那么这个数学著作就是一个习题集的模式，也许正是由于这种客观原因，许多国外的学者都认为中国古代数学不存在什么理论构造，李约瑟先生就认为“从实践到纯知识领域的飞跃中，中国数学是未曾参与过的。”[4] 著名的数学家陈省身先生也有相同的看法，他认为“在中国几何中，我无法找到类似三角形内角和等于180°的推论，这是中国数学中没有的结果。因此， 得于国外数学的经验和有机会看中国数学的书，我觉得中国数学都偏应用，讲得过分一点，甚至可以说中国数学没有纯粹数学，都是应用数学。”[5]
【论文正文】
中国古代数学的研究，目前存在着一些彼此对立的研究结论；正确地分析存在着的矛盾结论，无疑会有助于人们深入地了解中国古代数学，同时也会使人们对数学史研究的方法和评价标准有新的认识。
一、几个有代表性的矛盾结论
如何评价中国古代数学，如何评价在中国古代文明中数学的盾的结论，这些矛盾的结论往往是围绕着认识、理解、评价中国古代数学的关键性理论问题展开的。
现在可以看出，中国古代数学史研究中出现的某些相互矛盾的结论，不仅仅是一个方法论方面的问题，它实际上涉及到用什么样的理论标准来评价筹算的发展、演变以及不同时期取得的成就。更进一步的问题可以成为，中国古代筹算是应当按照西方古代数学的模式来评价，还是放弃西方古代数学的模式重新建立一个中国文化中数学发展的模式，可以说这后一个问题是中国数学史面临的一个很值得讨论研究的理论问题。
中国的一些数学史学者对此持完全相反的观点，坚持强调中国古代数学理论构造的存在性。李继闵先生认为“中国传统数学具有自己独特的理论体系，它以理论的高度概括、精炼为特征，中算家善于从错综复杂的数学现象中抽象出深刻的数学概念，提炼出一般的数学原理，而从非常简单的基本原理出发解决重大的理论关键问题……中国传统数学理论，乃是为建立那些在实际中有直接应用的数学方法而构造的最为简单、精巧的理论建筑物。”[6]
论述中国古代数学史存在互相矛盾的结论
论述中国古代数学史存在互相矛盾的结论【内容提要】中国古代数学史的研究结论中，在数学的思维方式、理论构造、珠算评价等方面存在互相矛盾的结论，造成这些矛盾的原因既有方法论层次上的问题，也有中西古代数学比较标准方面的问题，中国古代数学应当在运演工具、建构模式、价值走向方面建立起自己的理论框架。
论文正文】一、几个有代表性的矛盾结论如何评价值得指出的是，我们目前的一些比较评价，实际上都是在第二层次上进行的，但是作为第二层次研究所特有的方法论意义上的要求，却常常不被严格遵守，尤其是第二层次的比较评判中应当特别强调的理论评价准则在先的原则，往往不被重视。
也就是说，如果我们要把某一个中国一些数学史学者在进行中国古代数学的比较评判时，往往把第一层次的工作与第二层次的工作混同起来，尤其是在没有指出应有的评价准则时就把自己的感悟、个人的理解换成一种客观的标准，进而就得出一种评判的结果。
这样的结论不仅会带来研究结果的矛盾，更为重要的是会使我们的研究成果具有很大的主观性、随意性特征。
例如，台湾的学者李国伟先生就曾对国内学者认为刘徽“求微数法”就是无理数的研究成果提出疑义，并且从五个层次论述了刘徽的结果与无理数理论的差异。
[10]显然，对于无理数问题的评判，国内一些学者缺乏理论标准在先的意识。
在自然科学史研究中，人们就是在正确地使用方法论的同时，也还有一个对史实论证过程中的潜在的理论模式影响的问题。
这个问题实际已经超越了方法论意义的讨论，它实质上涉及了用什么样的古代数学理论模式来评判筹算所具有的理论价值。
例如，对于中国筹算发展为珠算的评判以及对宋元数学和明代珠算的评价，虽然在数学史的研究中属于第一个层次的问题，但是它实际上已经涉及了用一种什么样的古代数学的模式来评判筹算取得的一些成果。
现在可以看出，中国古代数学史研究中出现的某些相互矛盾的结论，不仅仅是一个方法论方面的问题，它实际上涉及到用什么样的理论标准来评价筹算的发展、演变以及不同时期取得的成就。
数学中存在的矛盾 -回复
数学中存在的矛盾-回复数学作为一门自然科学，旨在研究数量、结构、空间以及变化等概念和其相互关系规律。
在数学的发展过程中，人们逐渐认识到其中存在一些看似矛盾的问题。
这些矛盾问题凸显了数学的复杂性和深刻性，激发了数学家们进一步思考和研究的动力。
本文将会逐步回答数学中存在的矛盾问题。
首先，我们来谈谈数学中的矛盾。
在数学的推导和证明过程中，存在一些看似相互冲突的概念和问题。
这些矛盾问题主要来源于数学的基础公理和定义的限制性。
例如，欧几里得几何中的平行公设和非欧几里得几何中的平行公设是矛盾的。
在欧几里得几何中，平行线永远不会相交，在非欧几里得几何中，平行线会相交。
这两种看似相互矛盾的定义导致了不同的几何规律和结论。
第二，我们需要认识到数学中的矛盾并不意味着数学是不可靠的。
事实上，数学家们正是通过发现和针对这些矛盾问题，推动了数学的发展。
对于每一个矛盾问题，数学家们会深入研究其根源，寻找解决方法，并通过修正公理或定义来解决矛盾。
这个过程正是数学的进步和演化。
接下来，让我们以一些具体例子来理解数学中存在的矛盾问题。
首先，我们回到欧几里得几何和非欧几里得几何的平行问题。
在欧几里得几何中，平行线是不相交的，这就导致了一些欧几里得几何的特性，例如三角形内角和为180度。
而在非欧几里得几何中，平行线互相相交，这就导致了一些非欧几里得几何的特性，例如三角形内角和大于180度。
这两种几何体系的存在和相互关系，进一步推动了对几何基础的深入研究。
另一个例子是悖论的问题。
悖论是指根据已有的定义、公理和推理所得到的结论与直觉和常识相悖。
著名的例子包括罗素悖论和巴塞尔问题。
罗素悖论是由逻辑学家罗素提出的，指的是一个集合包含自己的集合。
这个问题揭示了集合论的自指问题，并促使数学家们修正了集合论的公理系统。
巴塞尔问题则是一个数学级数的收敛问题，看似无法求解的级数最终被数学家柯西成功求解，进而完善了级数理论。
对于这些矛盾问题，数学家们通过修正公理、重新定义概念以及引入更高级的数学理论和工具等方法来处理。
“观阴阳之割裂，总算术之根源”
“观阴阳之割裂，总算术之根源”——记刘徽与《九章算术注》亲爱的青少年朋友，现在的玩具店里，正在卖一种很抢手的儿童玩具——幻方，又称魔方。
据说，它是一种风行于欧洲乃至世界的玩具。
它的数字妙趣横生，变化无穷。
您知道魔方的来历吗?它来源于中国古代的传说，并记入了中国古代哲学与数学的典籍。
古代传说伏羲氏时，有龙马从黄河中出现，马背上负着“河图”；有神龟从洛水中出现，背负着“洛书”。
伏羲氏根据“河图”与“洛书”，画成八卦，演成《周易》一书。
所谓“河图”是一至十的圆点组成的方阵图；所谓“洛书”是一至九的圆点组成的纵横图，又称九宫图。
宋代朱熹将这个传说写入《周易本义》，后人对“河图”与“洛书”做了今译。
这两个传说及其数字，说明了我国古代数学起源是很早的。
“洛书”的数字，纵、横、斜之和，都是15。
“洛书”后来演变成“幻方”，深受青少年朋友的热爱。
下面我们要向青少年朋友讲述的就是我国古代数学家刘徽及其主要贡献。
刘徽的生平与时代刘徽的生平，我们所知甚少。
只有3个古代文献提到他的生平。
第一是《隋书·律历志》说：“魏陈留王景元四年，刘徽注《九章算术》。
”据此，我们知道刘徽生活于曹魏与西晋时期，陈留王景元四年是公元263年。
第二是《九章算术注·刘徽序》，说幼习《九章》，长再阅读览。
观阴阳之割裂，总算术之根源泉，探赜之暇，遂悟其意。
是以敢竭顽愚，采其所见，为之作注。
可知，他对《九章算术》的研究与注释是十分用心的。
第三是《畴人传》说：“徽寻九数有重差之名，原其指趣，乃所以施于此也。
凡望极高，测绝深而兼知其远者，必用重差。
勾股则必以重差为率，故曰重差也。
立两表与洛阳之城，令高八尺。
南北各尽地平，同日度其正中之影。
”引文告诉我们，刘徽曾运用他的重差理论，参加了洛阳城的春、秋分与冬、夏至的影差测定工作。
《畴人传》不说：“旧术求圆，以周三径一为率。
徽以为疏，遂更张其率。
”可知，刘徽认为周三径一的圆周率不够精确，进行了进一步的推算工作，并取得了新的较为精密的数据。
数学中存在的矛盾 -回复
数学中存在的矛盾-回复数学是一门严密而精确的学科，它跟我们日常生活息息相关，无论是建筑、工程、计算机科学等各个领域，都离不开数学的应用和推理。
然而，有时候数学中也会出现一些看似矛盾的问题，下面我将逐步讨论一些在数学中存在的矛盾。
首先，让我们来谈谈数学的基础，即数学公理。
数学公理是数学的基石，它们被认为是不需要其他证明就能成立的真理。
但是，有时候这些公理之间却似乎出现了矛盾。
例如，欧几里德的几何学中有一个基本公理，即“通过一点可以作一条垂直于已知直线的直线”。
这个公理在平面几何中是合理和自然的。
然而，如果我们考虑到非欧几里德几何学，例如双曲几何学或椭圆几何学，就会发现这个公理不再成立。
在这些几何学中，没有办法通过给定点作出一条垂直于已知直线的直线。
因此，一个基本公理在不同几何学中可能出现矛盾。
除了几何学的公理，数学中的概念和定义也可能存在矛盾。
例如，当我们讨论无穷大和无穷小的时候，就会遇到一些看似矛盾的问题。
无穷大和无穷小是现代数学分析中常用的概念，它们描述了数列在极限趋向于正无穷或负无穷时的行为。
然而，当我们考虑到无穷大和无穷小的数学定义时，就会发现一些看似矛盾的情况。
例如，一个数列可以趋向于无穷大，但同时又可以趋向于无穷小。
这种情况下，无穷大和无穷小似乎变得模糊和矛盾。
但实际上，这种看似矛盾的情况是因为我们对于无穷大和无穷小的定义范围的不同理解。
在数学中，我们可以定义不同的无穷大和无穷小的概念，例如正无穷大、负无穷大、无穷小等。
每种定义都有其适用范围和数学上的讨论方法，只有在特定的场景下才能使用。
另一个常见的数学矛盾来自于集合论。
集合论是数学中的一个重要分支，它研究集合的性质、操作和推理。
然而，在集合论中也存在一些看似矛盾的问题，例如“罗素悖论”。
罗素悖论是由英国数学家罗素提出的一个经典矛盾。
他提出了一个问题：“是否存在一个集合，包含所有不包含自身的集合？”根据这个问题的设定，我们可以设想一个集合，它包含了所有不包含自身的集合。
中国古代数学史存在互相矛盾的结论
中国古代数学史存在互相矛盾的结论中国现代数学的研讨,目前存在着一些彼此统一的研讨结论;正确地剖析存在着的矛盾结论,无疑会有助于人们深化地了解中国现代数学,同时也会使人们对数学史研讨的方法和评价规范有新的看法。
一、几个有代表性的矛盾结论如何评价中国现代数学,如何评价在中国现代文明中数学的作用以及它取得的成就是每个数学史学者关心的效果。
但是目前的一些研讨却有着一些矛盾的结论,这些矛盾的结论往往是围绕着看法、了解、评价中国现代数学的关键性实际效果展开的。
1.关于现代数学运用的思想方式效果中国现代数学能否象古希腊那样明白地运用逻辑思想效果,目前已成为评价中国现代数学的一个重要要素,由于在人们的看法和了解中,数学假设没有严厉的逻辑思想方式,那就很难成为真正的数学实际,袁晓明先生的研讨结论与人们的良好愿望相反,他以为中国现代数学不存在象古希腊数学那样以逻辑为基础的思想方式,〝与古希腊数学严厉地采用逻辑归结的逻辑思想方式不同,中国数学那么是以非逻辑思想为主,即主要经过直觉、想象、类比、灵感等思想方式来构成概念、发现方法、完成推理的。
〞[1]郭书春先生经过对«九章算术»的研讨,得出相反的结论,他以为«九章算术»的注释中曾经具有并构成了归结的逻辑方法及归结的逻辑体系,〝刘徽注中主要运用了归结推理,他的论证主要是归结论证即真正的数学证明,从而把«九章算术»上百个普通公式、解法变成了树立在偶然性基础之上的真正的数学迷信。
〞[2]巫寿康先生与郭书春先生的观念相反,他以为:〝刘徽«九章算术注»中的每一个题,都可以分解成一些首尾相接的判别,假设细心剖析这些判别之间的联络,就会发现这些判别组成假定干个推理,然后由这些推理再组成一个证明,因此可以说,«九章算术注»中的论证曾经具有了证明的结构,就大少数注文来说,这其中的推理都是归结推理,大少数证明也都是归结证明。
历史上的三次数学危机
使 ab 1 3 。
2
26
另一件事是德国数学家黎曼（B.Riemann， 1826—1866）发现， 柯西把定积分限制于连续函数是没有必要 的。黎曼证明了，被积函数不连续，其定 积分也可能存在。
黎曼还造出一个函数，当自变量取无 理数时它是连续的，当自变量取有理数时 它是不连续的。
27
这些例子使数学家们越来越明 白，在为分析建立一个完善的基础方 面，还需要再深挖一步：即需要理解 实数系的更深刻的性质。
28
② 魏尔斯特拉斯的贡献 德国数学家魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass，1815—1897）的努力，终 于使分析学从完全依靠运动学、直观理解 和几何概念中解放出来。他的成功产生了 深远的影响，主要表现在两方面，一方面 是建立了实数系，另一方面是创造了精确
所以，由“无穷小”引发的第二次数 学 危机，实质上是缺少严密的极限概念和极 限理论作为微积分学的基础。
17
3．危机的解决 1）必要性 微积分虽然在发展，但微积分逻辑基 础上存在的问题是那样明显，这毕竟是数 学家的一块心病。
18
而且，随着时间的推移，研究范围的 扩大，类似的悖论日益增多。数学家在研 究无穷级数的时候，做出许多错误的证 明，并由此得到许多错误的结论。由于没 有严格的极限理论作为基础。数学家们在 有限与无限之间任意通行（不考虑无穷级 数收敛的问题）。
无法解决的科技问题。但是逻辑上不严格，遭
到指责。
10
2）贝克莱的发难 英国的贝克莱大主教发表文章猛烈攻 击牛顿的理论。 贝克莱问道：“无穷小”作为一个量， 究竟是不是0？
11
① 如果是0，（*）式左端当 t 和 S 变
成无穷小后分母为0，就没有意义了。
从我国数学的发展看三次数学危机
从我国数学的发展看三次数学危机1 引言。
数学中有大大小小的许多矛盾，比如正与负、加法与减法、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。
但是整个数学发展过程中还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷，连续与离散，乃至存在与构造，逻辑与直观，具体对象与抽象对象，概念与计算等等。
在整个数学发展的历史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。
而在矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就产生数学危机。
整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史，斗争的结果就是数学领域的发展。
2 三次数学危机。
第一次数学危机发生在古希腊，源于毕达哥拉斯的以数为基础的宇宙模型和数是可公度的信条。
毕达哥拉斯认为，事物的本质是由数构成的，并以数为基础，构造了宇宙模型[1].在毕达哥拉斯看来，数就是整数或整数之比。
但这一信条后来遇到了困难。
因为有些数是不可公度的。
这一矛盾，导致了毕达哥拉斯关于数的信条的破产，并进一步导致了毕达哥拉斯以数为基础的宇宙模型的破产。
这在当时产生的震动太大了，因此历史上称之为第一次数学危机。
17、18世纪关于微积分发生的激烈的争论，被称为“第二次数学危机”[2].在17世纪晚期，形成了微积分学。
牛顿和莱布尼茨被公认为微积分的奠基者。
他们的功绩主要在于把各种有关问题的解法统一成微积分，有明确的计算步骤，微分法和积分法互为逆运算[3].由于新诞生的微积分方法中隐含着逻辑推理上的严重缺陷，导致了“无穷小悖论”[4].当时牛顿等人不能自圆其说，而且，其后一百年间的数学家也未能有力的回答贝克莱的质问，由此而引起数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，造成“第二次数学危机”.19世纪末分析严格化的最高成就--集合论，似乎给数学家们带来了一劳永逸摆脱基础危机的希望。
庞加莱甚至在1900年巴黎国际数学大会上宣称：“现在我们可以说，完全的严格性已经达到了！”[5]但就在第二年，一场摇撼整个数学大厦基础的暴风雨来临了，英国数学家罗素以一个简单明了的集合论“悖论”打破了人们的上述希望，引起了关于数学基础的新争论。
数学中存在的矛盾
数学中存在的矛盾有很多种，例如正与负、加与减、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。
这些矛盾反映了数学对象的对立统一关系，是数学发展的内在动力。
在整个数学发展过程中，还有许多更为深刻的矛盾，例如有穷与无穷、连续与离散、存在与构造、逻辑与直观、具体对象与抽象对象、概念与计算等等。
这些矛盾不仅体现在数学概念、理论和方法之间，也体现在数学与其他学科、数学与现实世界之间。
数学史上的三次危机都与这些矛盾有关。
第一次危机是有理数和无理数的矛盾，引发了对于数的性质的深入探讨；第二次危机是微积分工具使用的合理性问题，涉及到无穷小量的性质及其在数学中的地位；第三次危机则是罗素悖论引发的数学基础问题，涉及到自指命题、集合论等深层次的数学和哲学问题。
这些矛盾的存在和不断解决推动了数学的发展，使得数学不断从矛盾中汲取新的生命力，达到更高层次的统一。
同时，这些矛盾也揭示了数学作为一门科学的局限性，促使人们不断反思和探索数学的基础问题和哲学意义。
中国古代对矛盾命题的思考
中国古代对矛盾命题的思考一个理论系统中最忌讳出现如下的矛盾状态：在肯定A的同时又肯定非A（即“A且非A”）。
西方哲人亚里士多德说：“对于同一事物形成的两个矛盾的命题（或判断）不可能都是真的。
”与之同时代的东方哲人墨子也说：“或谓之牛，或谓之非牛，是争彼也。
是不俱当。
”这种不允许有矛盾状态的逻辑法则，就是矛盾律。
遵守矛盾律的系统被称为“协调性”（或称一致性、相容性、无矛盾性）的系统；反之，违反矛盾律的就成了“非协调性”的系统。
哲学界一向认为“非协调性”的系统没有研究价值，是一种“不足道”的系统。
于是，矛盾律就成了鉴别系统是否“足道”的法宝。
科学哲学家波普甚至断言：“一旦承认了矛盾，全部科学也就崩溃。
”但是，一切法则都存在于特定条件中，超出特定条件，铁律也会化解。
20世纪三四十年代，波兰学者就首先提出一种理念，即某种逻辑系统在特定条件下也可以不遵守矛盾律。
到了六七十年代，巴西和秘鲁学者又提出，在特定条件下矛盾律不再普遍有效，A和非A同时成立，但不可漫无边际地推出其他任何命题。
这迅速得到国际学界的认可。
至八九十年代，中国学者张清宇率先向国内介绍了这一成果，并独立进行了拓展式和创造性研究。
令人惊异的是，我国早在两千多年前的《公孙龙子·指物论》中就隐含着某种“非协调性”系统的萌芽。
《指物论》有两个特点，一是专论“指”与“物”的关系，二是推理结构鲜明，足可引入现代的逻辑分析。
对于“指”，文中有个类似定义式的界说：“指与物，非指也。
”也就是说，理解“指”要从直观具体的“物”中来理解，比如有人问什么是“白”，你可指一匹“白马”或一块“坚白石”来具体例说，但这时所指的“白”已与具体的“马”或“坚石”结合，是“指与物”，因此它已成“非指”。
真正的“指”是单独言及的脱离具体物而孤立存在的理念或属性，这就是公孙龙用“离”的哲学思辨所指的“白”、“马”、“坚”、“石”之类，而“非指”或“物指”则是具体物中的属性。
中西古典数学思想的比较及哲学反思——兼论“李约瑟难题”数学问题
第一章中西古典数学思恕评述
第一章中西古典数学思想评述
中国古典数学，作为经验数学与实用数学的典范，深深地植根于中国古代社会的沃 土之中，它既是中国古代数学技术的一个重要门类又是折射中国古代社会文化的一面镜 子，作为中国传统文化的有机组成部分，中国古代社会文化有强烈的整体趋同性。
中国古代数学与社会文化之间存在着一种互动的关联机制。要想全面深刻的揭示中 国古代数学发展的整体特点与一般规律，并进而对中国古代文化有更深层的理解，就必 须站在整个社会历史文化的高度对古代数学进行透视。
三国两晋南北朝时期，中国古典数学不仅在数学理论上达到了前所未有的高度，而 且在数学方法方面也达到了历史的最高水平，尤其是代表数学方法脊梁与主体的自身逻 辑思路，到达了我国传统数学的最高水平，确立了“以类合类”的“推类”思想与方法 作为中国古典数学逻辑思路的主导推理类型。
宋元时期是中国古典数学发展的最后一次高潮，不仅在数学思想与数学理论上都有 重大突破，而且在数学方法和数学思维上也有重要创新。这样的创新集中表现为：在继 承中国古典数学“推类”思维模式中，开始向更具演绎性的程序思维模式或机器思维模 式转型。不论是从秦九韶的工作，还是从贾宪、朱世杰的工作都能看出这一点。
２
长安大学硕士学位论文
中国古典数学初以算筹为主要算具，从计算方法、研究方法到基本理论独具一格、 自成体系，因此也简称中国古典数学为“中算＂。李俨先生在《中算史论丛》、严敦杰先 生在《中学课程中的中算史材料》等著作中较早使用“中算”·词。不过，现今“中算＂ 一词还包括用中国古典数学的手段来处理从外国引进的数学新知识和新理论。这样，“中 算＂包括的范围要比中国古典数学广而大，明清时期的许多数学家所做的工作大多属于 这样情况。因此，中算不等于中国古典数学，中算家也不一定是中国古典数学家。 ２中国古典数学思想
矛盾的数学表达
矛盾的数学表达矛盾的数学表达邱嘉文矛盾，是一个很直白的概念，说它很直白，是因为其既哲学，又通俗。
而且哲学含义和通俗含义互通性很好。
最通俗的矛盾理解莫过于中国古代成语故事“自相矛盾”所讲的。
大多数人都能理解这个成语故事，因为矛和盾的对立统一关系是那么直观明了：矛就是要戳穿盾，盾就是不让矛戳穿，二者相斗，形成一个斗争的整体，这个整体失去矛和盾的任何一方，就会立即消失。
而成语“自相矛盾”中的矛盾，却不是指故事中的矛和盾，而是指卖矛又卖盾的人对自己产品的吹嘘表达所造成的不能自圆其说的囧境。
PA:“用我的矛可以戳穿任何的盾”PB:“用我的盾可以挡住任何的矛来戳”正因为有了“矛”和“盾”的对立统一关系。
所以，才会有这两种表达不能相容同时成立的约束。
所以，当有人问“用你的矛戳你的盾，结果会怎样？”时，不管结果如何，就必然让其中一个表达不能成立。
矛盾的数学表达矛，有其戳穿盾的功能，其戳穿能力可以用一个变量来表达，比如说是:a,也就是说，我们假设矛的戳穿能力大小是a.盾，有其挡戳穿的功能，其挡戳穿能力可以用一个变量来表达，比如说是:b,也就是说，我们假设盾的挡戳穿能力大小是b.于是，很容易想到，"用我的矛可以戳穿任何的盾"的表达可以是：对于任意的盾X,假设其挡戳穿能力为bx，都存在如下事实: PA := ai>bx.“用我的盾可以挡住任何的矛来戳”的表达可以是：对于任意的矛Y,假设其挡戳穿能力为ay，都存在如下事实: PB := ay<bi.:=符号，表示“定义为”的意思。
假设天下所有的矛放在一起，组成集合A；天下所有的盾放在一起，组成集合B.再假设天下所有的矛的个数有限，只有m个；设天下所有的盾的个数有限，只有n个；也就是说:bx中的x，满足条件（1<=x<=n）ay中的y，满足条件（1<=y<=n）这样，对矛盾问题的完整的数学表达就出来了：存在有限实数集，A,B,分别由m和n个不同的实数组成。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
论述中国古代数学史存在互相矛盾的结论
一、几个有代表性的矛盾结论
如何评价中国古代数学，如何评价在中国古代文明中数学的作用以及它取得的成就是每个数学史学者关心的问题。
但是目前的一些研究却有着一些矛盾的结论，这些矛盾的结论往往是围绕着认识、理解、评价中国古代数学的关键性理论问题展开的。
1.关于古代数学运用的思维方式问题
中国古代数学是否象古希腊那样明确地运用逻辑思维问题，目前已成为评价中国古代数学的一个重要因素，因为在人们的认识和理解中，数学如果没有严格的逻辑思维形式，那就很难成为真正的数学理论，袁晓明先生的研究结论与人们的良好愿望相反，他认为中国古代数学不存在象古希腊数学那样以逻辑为基础的思维方式，“与古希腊数学严格地采用逻辑演绎的逻辑思维方式不同，中国数学则是以非逻辑思维为主，即主要通过直觉、想象、类比、灵感等思维形式来形成概念、发现方法、实
现推理的。
”[1]
郭书春先生通过对《九章算术》的研究，得出相反的结论，他认为《九章算术》的注释中已经具有并形成了演绎的逻辑方法及演绎的逻辑体系，“刘徽注中主要使用了演绎推理，他的论证主要是演绎论证即真正的数学证明，从而把《九章算术》上百个一般公式、解法变成了建立在必然性基础之上的真正的数学科学。
”[2]巫寿康先生与郭书春先生的观点相同，他认为：“刘徽《九章算术注》中的每一个题，都可以分解成一些首尾相接的判断，如果仔细分析这些判断之间的联系，就会发现
这些判断组成若干个推理，然后由这些推理再组成一个证明，因此可以说，《九章算术注》中的论证已经具备了证明的结构，就大多数注文来说，这其中的推理都是演绎推理，大多数证明也都是演绎证明。
”[3]中国古代数学到底“是以非逻辑思维为主”，还是“主要是演绎证明”，这是中国古代数学研究中一个矛盾的结论，还没有得到统一认识的问
题。
2.关于中国古代数学理论构造的问题
按照西方数学的模式，一种数学著作若是按应用问题的类别编排，并且每一个题之后给出解法和答案，那么这个数学著作就是一个习题集的模式，也许正是由于这种客观原因，许多国外的学者都认为中国古代数学不存在什么理论构造，李约瑟先生就认为“从实践到纯知识领域的飞跃中，中国数学是未曾参与过的。
”[4] 著名的数学家陈省身先生也有相同的看法，他认为“在中国几何中，我无法找到类似三角形内角和等于180°的推论，这是中国数学中没有的结果。
因此，得于国外数学的经验和有机会看中国数学的书，我觉得中国数学都偏应用，讲得过分一点，甚至可以说中国数学没有纯粹数学，都是应用数学。
”[5]
中国的一些数学史学者对此持完全相反的观点，坚持强调中国古代数学理论构造的存在性。
李继闵先生认为“中国传统数学具有自己独特的理论体系，它以理论的高度概括、精炼为特征，中算家善于从错综复杂的数学现象中抽象出深刻的数学概念，提炼出一般的数学原理，而从非常简单的基本原理出发解决重大的理论关键问题……中国传统数学理论，乃是为建立那些在实际中有直接应用的数学方法而构造的最为简单、精
巧的理论建筑物。
”[6]中国古代数学是否有一个理论意义上的构造体系，这大概是目前中外数学史专家们对中国古代数学研究中的一个最大的分歧点。
如何正确地评价中国古代数学的体系构造已成为中国数学史
研究中应当回答的理论问题之一。
3.关于珠算在中国数学史中的地位问题。
在中国数学史的研究中，人们一直认为宋元数学是中国古代数学的高峰。
宋元之后的明代珠算无法与宋元数学的成就相比，明代珠算一般被认为是“民用”或“商用”数学。
言外之意，珠算是不能登中国古代数学理论构造的大雅之堂。
许多学者认为宋元数学的衰退、被人遗忘是很值得研究的理论问题，而明代珠算却没有什么值得在理论层面给予研究的意义。
笔者的观点与当前评价宋元数学和明代珠算的观点都相悖。
笔者认为珠算是中国古代数学在宋元之后取得的又一里程碑式的成就，它是中国筹算在运演工具上的重大创新，是筹算运演发展的重大突破，是中国古代数学技艺型发展的必然结果。
[7]如何评价珠算在中国数学史中的地位，实际也带来了如何评价宋元数学的一系列问题，在这个问题上笔者也提出了与目前传统观点相悖的论点，即宋元数学的成就，是中国筹算在特定的社会动荡、传统儒家观念发生紊乱、仕大夫仕途无望的文化氛围中奇异性发展的结果，当社会是进入稳定发展、仕大夫按照儒家传统观念走向仕途时，宋元数学就必然会被整个民族文化所淡忘。
[8] 对珠算与宋元数学的评价，实际上涉及了如何看待中国古代筹算体系的发展及其内在规律的问题，这一问题也是正确认识中国古代数学的一个
理论性的问题。