北京四中2014届九年级数学总复习专练：三角形的角及内角和(三)周练
(完整版)三角形内角和外角练习题
规律方法指导1．三角形内角和为180°，三角形三个外角的和是360°,这是在做题时题设不用加以说明的已知条件；在三个角中已知其中两个角的度数便能求第三个角的大小.2．在一个三角形中最多只能有一个钝角或者一个直角，最少有两个锐角.3．三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度数及有关的推理论证时经常使用的理论依据．外角的性质应用：①证明一个角等于另两个角的和；②作为中间关系式证明两角相等；③证明角的不等关系.4．利用作辅助线求解问题，会使问题变得简便.经典例题透析类型一：三角形内角和定理的应用1．已知一个三角形三个内角度数的比是1：5：6，则其最大内角的度数为（）A．60° B．75° C．90° D．120°举一反三：【变式1】在△ABC中，∠A=55°，∠B比∠C大25°，则∠B的度数为（）A．50° B．75°C．100° D．125°【变式2】三角形中至少有一个角不小于________度。
类型二：利用三角形外角性质证明角不等2．如图所示，已知CE是△ABC外角∠ACD的平分线，CE交BA延长线于点E。
求证：∠BAC ＞∠B。
举一反三：【变式】如图所示，用“＜”把∠1、∠2、∠A联系起来________。
类型三：三角形内角和定理与外角性质的综合应用3．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.举一反三：【变式】如图所示，五角星ABCDE中，试说明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。
类型四：与角平分线相关的综合问题4．如图9，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点Ｄ．（1）若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，则∠BDC＝________；（2）若∠ABC＋∠ACB＝120°，则∠BDC＝________；（3）若∠A＝60°，则∠BDC＝________；（4）若∠A＝100°，则∠BDC＝________；（5）若∠A＝n°，则∠BDC＝________．举一反三：【变式1】如图10，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF 交于G，若∠BDC= 140°，∠BGC=110°，求∠A的大小.80【变式2】如图11, △ABC的两个外角的平分线相交于点D，如果∠A＝50°，求∠D.【变式3】如图12，在△ABC中，AE是角平分线，且∠B=52°，∠C=78°，则∠AEB的度数是_____.【变式4】（2009北京四中期末）如图所示，△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线相交于点F，若∠A=68°，求∠F的度数。
北京四中中考数学专练总复习 同位角、内错角、同旁内角(不分层)知识讲解
同位角、内错角、同旁内角知识讲解【学习目标】1.了解“三线八角”模型特征；2．掌握同位角、内错角、同旁内角的概念，并能从图形中识别它们．【要点梳理】要点一、同位角、内错角、同旁内角的概念1. “三线八角”模型如图，直线AB、CD与直线EF相交(或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截)，构成八个角，简称为“三线八角”，如图1.图1要点诠释：⑴两条直线AB,CD与同一条直线EF相交．⑵“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成．2. 同位角、内错角、同旁内角的定义在“三线八角”中，如上图1，（1）同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角.（2）内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角.（3）同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角.要点诠释：(1)“三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，显然是没有公共顶点的两个角.(2)“三线八角”中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角．【高清课堂：平行线及其判定403102三线八角】要点二、同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征要点诠释：巧妙识别三线八角的两种方法：(1)巧记口诀来识别：一看三线，二找截线，三查位置来分辨.(2)借助方位来识别根据这三种角的位置关系，我们可以在图形中标出方位，判断时依方位来识别，如图2．【典型例题】类型一、“三线八角”模型1.(1)图3中，∠1、∠2由直线被直线所截而成．(2)图4中，AB为截线，∠D是否属于以AB为截线的三线八角图形中的角？【答案】(1) EF，CD； AB．（2）不是．【解析】（1）∠1、∠2两角共同的边所在的直线为截线，而另一边所在的直线为被截线．（2）因为∠D的两边都不在直线AB上，所以∠D不属于以AB为截线的三线八角图形中的角．【总结升华】判断“三线八角”的关键是找出哪两条直线是被截线，哪条直线是截线.类型二、同位角、内错角、同旁内角的辨别2.如图，(1)DE为截线,∠E与哪个角是同位角?(2)∠B与∠4是同旁内角，则截出这两个角的截线与被截线是哪两条直线？(3)∠B和∠E是同位角吗?为什么?【答案与解析】解：（1）DE为截线,∠E与∠3是同位角；（2）截出这两个角的截线是直线BC,被截线是直线BF、DE；（3）不是,因为∠B与∠E的两边中任一边没有落在同一直线上,所以∠B和∠E不是同位角. 【总结升华】确定角的关系的方法：（1）先找出截线，由截线与其它线相交得到的角有哪几个；（2）将这几个角抽出来，观察分析它们的位置关系；（3）再取其它的线为截线，再抽取与该截线相关的角来分析.举一反三：【变式】如图，下列判断错误的是（）．A. ∠1和∠2是同旁内角．B. ∠3和∠4是内错角．C. ∠5和∠6是同旁内角．D. ∠5和∠8是同位角．【答案】C3.如图，∠ABD与∠BDC，∠ADC与∠BCE，∠ABC与∠BCD，∠ADB与∠DBC分别是哪两条直线被哪一条直线所截而成的？它们分别是什么角？【答案与解析】解：∠ABD与∠BDC是由直线AB，DC被直线BD所截而成的，是内错角，∠ADC与∠BCE是由直线AD，BC被直线DE所截而成的，是同位角，∠ABC与∠BCD是由直线AB，DC被直线BC所截而成的，是同旁内角，∠ADB与∠DBC是由直线AD，BC被直线BD所截而成的，是内错角.【总结升华】要分析各对角是由哪两条直线被哪一条直线所截的，可以把复杂图形按题目要求分解成简单的图形后，结论便一目了然.举一反三：【变式】如图∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中，哪些是同位角？哪些是内错角？哪些是同旁内角？【答案】解：同位角：∠5与∠1，∠4与∠3；内错角：∠2与∠3，∠4与∠1；同旁内角：∠4与∠2，∠5与∠3，∠5与∠4.【高清课堂：平行线及其判定403102三线八角练习（2）】4. 分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角.【答案与解析】解：同位角：∠B与∠ACD，∠B与∠ECD；内错角：∠A与∠ACD，∠A与∠ACE；同旁内角：∠B与∠ACB，∠A与∠B，∠A与∠ACB，∠B与∠BCE．【总结升华】在复杂图形中，分析同位角、内错角、同旁内角，应把图形分解成几个“两条直线与同一条直线相交”的图形，并抽取交点处的角来分析．举一反三：【变式】请写出图中的同位角、内错角、同旁内角．【答案】解：∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8是同位角；∠2与∠8，∠3与∠5是内错角；∠2与∠5，∠3与∠8是同旁内角.类型三、同位角、内错角、同旁内角大小之间的关系5. 如图直线DE、BC被直线AB所截，(1)∠1和∠2、∠1和∠3、∠1和∠4各是什么角？每组中两角的大小关系如何？(2)如果∠1=∠4，那么∠1和∠2相等吗？∠1和∠3互补吗？为什么？【答案与解析】解：(1)∠1和∠2是内错角；∠1和∠3是同旁内角；∠1和∠4是同位角．每组中两角的大小均不确定．(2) ∠1与∠2相等，∠1和∠3互补. 理由如下：①∵∠1=∠4（已知）∠4＝∠2（对顶角相等）∴∠1＝∠2.②∵∠4＋∠3＝180°(邻补角定义)∠1＝∠4(已知)∴∠1＋∠3＝180°即∠1和∠3互补.综上，如果∠1=∠4，那么∠1与∠2相等，∠1和∠3互补．【总结升华】在“三线八角”中，如果有一对同位角相等，则其他对同位角也分别相等，并且所有的内错角相等，所有同旁内角互补．举一反三：【变式1】若∠1与∠2是内错角，则它们之间的关系是 ( ) ．A．∠1＝∠2 B．∠1＞∠2 C．∠1＜∠2 D．∠1＝∠2或∠1＞∠2或∠1＜∠2 【答案】D【变式2】下列命题：①两条直线相交，一角的两邻补角相等，则这两条直线垂直；②两条直线相交，一角与其邻补角相等，则这两条直线垂直；③内错角相等，则它们的角平分线互相垂直；④同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直，其中正确的个数为（）．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C （提示：②④正确）．。
北京四中重点中学2024届中考数学全真模拟试题含解析
北京四中重点中学2024年中考数学全真模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．2．下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）A ．平行四边形B ．圆C ．等边三角形D ．正六边形3．3-的倒数是（ ）A ．13-B ．3C ．13D ．13± 4．已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)是反比例函数y ＝(k≠0)图象上的两个点，当x 1＜x 2＜0时，y 1＞y 2，那么一次函数y ＝kx －k 的图象不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．如图，已知BD 是ABC △的角平分线，ED 是BC 的垂直平分线，90BAC ∠=︒，3AD =，则CE 的长为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．336．如图所示的几何体，它的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．7．小红上学要经过两个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是（ ）A ．12B ．13C ．14D ．348．一个不透明的布袋里装有5个红球，2个白球，3个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出1个球，是黄球的概率为（ ）A ．310B ．15C ．12D ．7109．若点A （2，1y ），B （-3，2y ），C （-1，3y ）三点在抛物线24y x x m =--的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（ ）A ．123y y y ＞＞B ．213y y y ＞＞C ．231y y y ＞＞D ．312y y y ＞＞10．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，有下面四个结论：0abc >①；0a b c ②-+>；230a b +>③；40c b ->④，其中正确的结论是( )A ．①②B ．①②③C ． ①③④D ． ①②④二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．八位女生的体重（单位：kg ）分别为36、42、38、40、42、35、45、38，则这八位女生的体重的中位数为_____kg ．12．因式分解：3a 2-6a+3=________．13．如图，在一次数学活动课上，小明用18个棱长为1的正方体积木搭成一个几何体，然后他请小亮用其他棱长为1小明所搭几何体的形状）．请从下面的A 、B 两题中任选一题作答，我选择__________．A 、按照小明的要求搭几何体，小亮至少需要__________个正方体积木．B 、按照小明的要求，小亮所搭几何体的表面积最小为__________．14．某种商品因换季准备打折出售，如果按定价的七五折出售将赔25元，而按定价的九折出售将赚20元，则商品的定价是______元.15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x =可通过平移变换向__________得到抛物线2122y x x =-，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分（如图所示）的面积是__________．16．小刚家、公交车站、学校在一条笔直的公路旁（小刚家、学校到这条公路的距离忽略不计）．一天，小刚从家出发去上学，沿这条公路步行到公交站恰好乘上一辆公交车，公交车沿这条公路匀速行驶，小刚下车时发现还有4分钟上课，于是他沿着这条公路跑步赶到学校（上、下车时间忽略不计），小刚与学校的距离s （单位：米）与他所用的时间t （单位：分钟）之间的函数关系如图所示．已知小刚从家出发7分钟时与家的距离是1200米，从上公交车到他到达学校共用10分钟．下列说法：①公交车的速度为400米/分钟；②小刚从家出发5分钟时乘上公交车；③小刚下公交车后跑向学校的速度是100米/分钟；④小刚上课迟到了1分钟．其中正确的序号是_____．17．如图，点A 的坐标为（3，7），点B 的坐标为（6，0），将△AOB 绕点B 按顺时针方向旋转一定的角度后得到△A′O′B ，点A 的对应点A′在x 轴上，则点O′的坐标为_____．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度（图中线段MN 的长），直线MN 垂直于地面，垂足为点P ．在地面A 处测得点M 的仰角为58°、点N 的仰角为45°，在B 处测得点M 的仰角为31°，AB ＝5米，且A 、B 、P 三点在一直线上．请根据以上数据求广告牌的宽MN 的长．（参考数据：sin58°＝0.85，cos58°＝0.53，tan58°＝1.1，sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°＝0.1．）19．（5分）计算：（-13）-2 – 234）+ 112 20．（8分）如图，抛物线21y x bx 2c =-++与x 轴交于A ，B ，与y 轴交于点C （0，2），直线1x 22y =-+经过点A ，C .（1）求抛物线的解析式；（2）点P 为直线AC 上方抛物线上一动点；①连接PO ，交AC 于点E ，求PE EO的最大值； ②过点P 作PF ⊥AC ，垂足为点F ，连接PC ，是否存在点P ，使△PFC 中的一个角等于∠CAB 的2倍？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.21．（10分） (1)解方程组31021x y x y +=⎧⎨-=⎩(2)若点A 是平面直角坐标系中坐标轴上的点，( 1 )中的解 , x y 分别为点B 的横、纵坐标,求AB 的最小值及AB 取得最小值时点A 的坐标.22．（10分）如图，菱形ABCD 中，,E F 分别是,BC CD 边的中点．求证：AE AF =.23．（12分）先化简再求值：2()(2)x y y y x -++，其中2x =3y =24．（14分）学了统计知识后，小红就本班同学上学“喜欢的出行方式”进行了一次调查，图（1）和图（2）是她根据采集的数据绘制的两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答以下问题：（1）补全条形统计图，并计算出“骑车”部分所对应的圆心角的度数．（2）若由3名“喜欢乘车”的学生，1名“喜欢骑车”的学生组队参加一项活动，现欲从中选出2人担任组长（不分正副），求出2人都是“喜欢乘车”的学生的概率，（要求列表或画树状图）参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、B【解题分析】试题解析：A. 是轴对称图形但不是中心对称图形B.既是轴对称图形又是中心对称图形；C.是中心对称图形，但不是轴对称图形；D.是轴对称图形不是中心对称图形；故选B.2、C【解题分析】根据中心对称图形的定义依次判断各项即可解答.【题目详解】选项A、平行四边形是中心对称图形；选项B、圆是中心对称图形；选项C、等边三角形不是中心对称图形；选项D、正六边形是中心对称图形；故选C．【题目点拨】本题考查了中心对称图形的判定，熟知中心对称图形的定义是解决问题的关键.3、A解：3-的倒数是13-． 故选A ．【题目点拨】本题考查倒数，掌握概念正确计算是解题关键．4、B【解题分析】试题分析：当x 1＜x 2＜0时，y 1＞y 2，可判定k ＞0，所以﹣k ＜0，即可判定一次函数y=kx ﹣k 的图象经过第一、三、四象限，所以不经过第二象限，故答案选B ．考点：反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象与系数的关系．5、D【解题分析】根据ED 是BC 的垂直平分线、BD 是角平分线以及∠A=90°可求得∠C=∠DBC=∠ABD=30°，从而可得CD=BD=2AD=6，然后利用三角函数的知识进行解答即可得.【题目详解】∵ED 是BC 的垂直平分线，∴DB=DC ，∴∠C=∠DBC ，∵BD 是△ABC 的角平分线，∴∠ABD=∠DBC ，∵∠A=90°，∴∠C+∠ABD+∠DBC=90°，∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，∴BD=2AD=6，∴CD=6，∴故选D ．【题目点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，余弦等，结合图形熟练应用相关的性质及定理是解题的关键.6、D分析：根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．详解：从左边看是等长的上下两个矩形，上边的矩形小，下边的矩形大，两矩形的公共边是虚线，故选D ．点睛：本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．7、C【解题分析】列举出所有情况，看每个路口都是绿灯的情况数占总情况数的多少即可得.【题目详解】画树状图如下，共4种情况，有1种情况每个路口都是绿灯，所以概率为14． 故选C ．8、A【解题分析】让黄球的个数除以球的总个数即为所求的概率． 【题目详解】解：因为一共10个球，其中3个黄球，所以从袋中任意摸出1个球是黄球的概率是310． 故选：A ．【题目点拨】本题考查概率的基本计算，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．9、C【解题分析】首先求出二次函数24y x x m =--的图象的对称轴x=2b a-=2，且由a=1＞0，可知其开口向上，然后由A （2，1y ）中x=2，知1y 最小，再由B （-3，2y ），C （-1，3y ）都在对称轴的左侧，而在对称轴的左侧，y 随x 得增大而减小，所以23y y ＞．总结可得231y y y ＞＞．故选C ．20y ax bx c a =++≠（）的图象性质． 10、D【解题分析】根据抛物线开口方向得到a 0>，根据对称轴02b x a=->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >；1x =-时，由图像可知此时0y >，所以0a b c -+>；由对称轴123b x a =-=，可得230a b +=；当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将23a b =-代入可得40c b ->.【题目详解】①根据抛物线开口方向得到0a >，根据对称轴02b x a=->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >，故①正确.②1x =-时，由图像可知此时0y >，即0a b c -+>，故②正确. ③由对称轴123b x a =-=，可得230a b +=，所以230a b +>错误，故③错误； ④当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a bc ++>，将③中230a b +=变形为23a b =-，代入可得40c b ->，故④正确.故答案选D.【题目点拨】本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。
三角形内角和、外角练习题word版本
三角形内角和、外角练习题规律方法指导1．三角形内角和为180°，三角形三个外角的和是360°,这是在做题时题设不用加以说明的已知条件；在三个角中已知其中两个角的度数便能求第三个角的大小.2．在一个三角形中最多只能有一个钝角或者一个直角，最少有两个锐角.3．三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度数及有关的推理论证时经常使用的理论依据．外角的性质应用：①证明一个角等于另两个角的和；②作为中间关系式证明两角相等；③证明角的不等关系.4．利用作辅助线求解问题，会使问题变得简便.经典例题透析类型一：三角形内角和定理的应用1．已知一个三角形三个内角度数的比是1：5：6，则其最大内角的度数为（）A．60° B．75° C．90° D．120°举一反三：【变式1】在△ABC中，∠A=55°，∠B比∠C大25°，则∠B的度数为（）A．50° B．75°C．100° D．125°【变式2】三角形中至少有一个角不小于________度。
类型二：利用三角形外角性质证明角不等2．如图所示，已知CE是△ABC外角∠ACD的平分线，CE交BA延长线于点E。
求证：∠BAC ＞∠B。
举一反三：【变式】如图所示，用“＜”把∠1、∠2、∠A联系起来________。
类型三：三角形内角和定理与外角性质的综合应用3．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.举一反三：【变式】如图所示，五角星ABCDE中，试说明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。
类型四：与角平分线相关的综合问题4．如图9，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点Ｄ．（1）若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，则∠BDC＝________；（2）若∠ABC＋∠ACB＝120°，则∠BDC＝________；（3）若∠A＝60°，则∠BDC＝________；（4）若∠A＝100°，则∠BDC＝________；（5）若∠A＝n°，则∠BDC＝________．举一反三：【变式1】如图10，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE 与CF交于G，若∠BDC= 140°，∠BGC=110°，求∠A的大小.80【变式2】如图11, △ABC的两个外角的平分线相交于点D，如果∠A＝50°，求∠D.【变式3】如图12，在△ABC中，AE是角平分线，且∠B=52°，∠C=78°，则∠AEB的度数是_____.【变式4】（2009北京四中期末）如图所示，△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线相交于点F，若∠A=68°，求∠F的度数。
北京市北京四中数学三角形填空选择单元复习练习(Word版 含答案)
北京市北京四中数学三角形填空选择单元复习练习(Word版含答案)一、八年级数学三角形填空题（难）1．如图，△ABC中，点D、E、F分别在三边上，E是AC的中点，AD、BE、CF交于一点G，BD=2DC，S△GEC=3，S△GDC=4，则△ABC的面积是_____．【答案】30【解析】【分析】由于BD=2DC，那么结合三角形面积公式可得S△ABD=2S△ACD，而S△ABC=S△ABD+S△ACD，可得出S△ABC=3S△ACD，而E是AC中点，故有S△AGE=S△CGE，于是可求S△ACD，从而易求S△ABC．【详解】解：∵BD=2DC，∴S△ABD=2S△ACD，∴S△ABC=3S△ACD．∵E是AC的中点，∴S△AGE=S△CGE．又∵S△GEC=3，S△GDC=4，∴S△ACD=S△AGE+S△CGE+S△CGD=3+3+4=10，∴S△ABC=3S△ACD=3×10=30．故答案为30．【点睛】本题考查了三角形的面积公式、三角形之间的面积加减计算．注意同底等高的三角形面积相等，面积相等、同高的三角形底相等．∠=，边AB的垂直平分线交边BC于点D，边AC的垂直平分线2．在ABC中，BACα∠的度数为______.(用含α的代数式表示)交边BC于点E，连结AD，AE，则DAE【答案】2α﹣180°或180°﹣2α【解析】分两种情况进行讨论，先根据线段垂直平分线的性质，得到∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，进而得到∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°－a，再根据角的和差关系进行计算即可．解：有两种情况：①如图所示,当∠BAC⩾90°时，∵DM垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠B=∠BAD，同理可得，∠C=∠CAE，∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°−α，∴∠DAE=∠BAC−(∠BAD+∠CAE)=α−(180°−α)=2α−180°；②如图所示,当∠BAC<90°时，∵DM垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠B=∠BAD，同理可得，∠C=∠CAE，∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°−α，∴∠DAE=∠BAD+∠CAE−∠BAC=180°−α−α=180°−2α.故答案为2α−180°或180°−2α.点睛：本题主要考查垂直平分线的性质.根据题意准确画出符合题意的两种图形是解题的关键.3．如图，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，三角板XYZ的两条直角边XY、XZ改变位置，但始终满足经过B、C两点．如果△ABC中，∠A＝52°，则∠ABX＋∠ACX=_________________．【解析】∠A ＝52°，∴∠ABC +∠ACB =128°，∠XBC +∠XCB =90°，∴∠ABX ＋∠ACX =128°-90°=38°.4．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 、B 分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴上移动,点M 在第二象限，且MA 平分∠BAO ，做射线MB ，若∠1=∠2，则∠M 的度数是_______。
三角形的内角和与外角和练习题
三角形的内角和与外角和练习题一、知识要点1、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于______，即：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=_____ 理解与延伸：①一个三角形中最多只有一个钝角或直角②一个三角形中最少有一个角不小于60° ③等边三角形每个角都是60°、直角三角形的性质与判定性质：直角三角形的两个锐角__________；判定：有两个角互余的三角形是_______________、三角形的外角：三角形的一边与另一边的______________组成的角特点：①三角形的一个外角和与它同顶点的内角互为_______________②三角形有____个外角，每个顶点处有____个外角，但算三角形外角和时，每个顶点处只算____个外角，外角和是指三个外角的和，三角形的外角和为________ 性质：三角形的外角等于与它______________的两个内角的和二、知识应用1、三角形内角和定理应用已知两角求第三角已知三角的比例关系求各角已知三角之间相互关系求未知角、三角形外角性质的应用已知外角和它不相邻两个内角中的一个可求“另一个” 可证一个角等于另两个角的_______经常利用它作为中间关系式证明两个角相等．三、例题分析1、如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠A = 150°，∠B = ∠D =0°则∠C=_______2、如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2=_______3、△ABC中，∠B = ∠A + 10°，∠C = ∠B + 10°.求△ABC的各内角的度数4. 将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，求∠β的度数5、如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数变式：如图①，五角形的顶点分别为A、B、C、D、E，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=_____如图②，∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E=_____ 如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=_____6、如图1，BO、CO分别是△ABC中∠ABC和∠ACB的平分线，则∠BOC与∠A的关系是____________________________如图2，BO、CO分别是△ABC两个外角∠CBD和∠BCE 的平分线，则∠BOC与∠A的关系是____________________________ 如图3，BO、CO分别是△ABC 一个内角和一个外角的平分线，则∠BOC与∠A的关系是____________________________ 请就图2及图2中的结论进行证明A组题1、如图，已知点B、C、D、E在同一直线上，△ABC是等边三角形，且CG=CD，DF=DE，则∠E=______2、如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=______3、把一副三角板按如图方式放置，则两条斜边所形成的钝角??_______度．、如图，∠1、∠2、∠3的大小关系为A．∠2＞∠1＞∠B．∠1＞∠3＞∠ C．∠3＞∠2＞∠1 D．∠1＞∠2＞∠35、如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180°,那么与这个外角相邻的内角的度数为A、30°B、60°C、90°D、120°、如图，已知∠1=60°，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=A、360°B、540°C、240°D、280°7、如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，点F在BC的延长线上，DE∥BC，∠A=46°，∠1=52°，求∠2的度数．8、一个零件的形状如图，按规定∠A=0°，∠B和∠C，应分别是32°，和21°，检验工人量得∠BDC = 148°，就断定这两个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由。
2014北师大九年级下第一章直角三角形的边角关系复习课课课练及答案(pdf版)
复㊀习㊀课㊀开心预习梳理,轻松搞定基础.直角三角形的边角关系锐角三角函数的意义正切:α的对边α的邻边正弦:㊀㊀㊀㊀余弦:α的邻边斜边三角函数值锐角三角函数计算３０ʎ,４５ʎ,６０ʎ角的函数值一般锐角的三角函数值由三角函数值求锐角 利用三角函数解决实际问题㊀重难疑点,一网打尽.１．在R tәA B C中,øC＝９０ʎ,a＝１０,øA＝３０ʎ,则b＝㊀㊀㊀㊀,c＝㊀㊀㊀㊀．２．在әA B C中,øC＝９０ʎ,a＝６,c＝１０,则b＝㊀㊀㊀㊀,s i n A＝㊀㊀㊀㊀,s i n B＝㊀．３．在әA B C中,øC＝９０ʎ,若øB＝α,c o sα＝１２,则α＝㊀㊀㊀㊀,s i nα＝㊀㊀㊀㊀,t a nα＝㊀㊀㊀㊀．４．直线y＝k x－４与y轴相交所成的锐角的正切值为１２,则k的值为㊀㊀㊀㊀．５．已知α为锐角,m＝s i nα＋c o sα,则下列选项正确的是(㊀㊀)．A．m＞１B．m＝１C．m＜１D．mȡ１６．在әA B C中,øC＝９０ʎ,øA＝６０ʎ,a＋b＝３＋３,则a等于(㊀㊀)．A．３B．２３C．３＋１D．３７．在әA B C中,øC＝９０ʎ,A C＝２５,øA的平分线交B C于D,且A D＝４３１５,则t a n B 的值等于(㊀㊀)．A．１３B．３３C．３D．８３３８．已知α是锐角,且s i n(α＋１５ʎ)＝３２．计算８－４c o sα－(π－３．１４)０＋t a nα＋１３æèçöø÷－１的值．㊀源于教材,宽于教材,举一反三显身手.９．如图,在әA B C 中,øA ＝３０ʎ,øB ＝４５ʎ,A C ＝２３,求A B 的长．(第９题)１０．如图,在一次实践活动中,小兵从A 地出发,沿北偏东４５ʎ方向行进了５３千米到达B 地,然后再沿北偏西４５ʎ方向行进了５千米到达目的地点C ．(１)求A ㊁C 两地之间的距离;(２)试确定目的地C 在点A 的什么方向?(第１０题)１１．新星小学门口有一直线马路,为方便学生过马路,交警在门口设有一定宽度的斑马线,斑马线的宽度为４米,为安全起见,规定车头距斑马线后端的水平距离不得低于２米．现有一旅游车在路口遇红灯刹车停下,汽车里司机与斑马线前后两端的视角分别为øF A E ＝１５ʎ和øF A D ＝３０ʎ．司机距车头的水平距离为０．８米,试问该旅游车停车是否符合上述安全标准?(E ㊁D ㊁C ㊁B 四点在平行于斑马线的同一直线上,参考数据:t a n １５ʎ＝２－３,s i n １５ʎ＝６－２４,c o s １５ʎ＝６＋２４,３ʈ１．７３２,２ʈ１．４１４)(第１１题)㊀㊀１２．如图,一艘轮船以２０海里/时的速度由西向东航行,途中接到台风警报,台风中心正以４０海里/时的速度由南向北移动,距台风中心２０１０海里的圆形区域(包括边界)都属台风区,当轮船到A处时,测得台风中心移到位于点A正南方向的B处,且A B＝１００海里．(１)若这艘轮船自A处按原速继续航行,在途中会不会遇到台风?若会,试求轮船最初遇到台风的时间;若不会,请说明理由;(２)现轮船自A处立即提高船速,向位于北偏东６０ʎ方向,相距６０海里的D港驶去,为在台风到来之前到达D港,问船速至少应提高多少?(提高的船速取整数)(第１２题)A B D B＝t a n ３０ʎ,则D B ＝３x ．在R t әA B E 中,øA E B ＝１５ʎ,A B B E ＝t a n １５ʎ,则B E ＝x ２－３＝(２＋３)x ．即E D ＝B E －D B ＝(２＋３)x －３x ＝４．解得x ＝２．则D B ＝２３．则D C ＝D B －B C ＝２３－０．８＞２．故该车路口停车符合规定的安全标准．１２．(１)设途中会遇到台风,且从船航行开始到最初遇到台风的时间为t 小时．此时,船位于C 处,台风中心移到E 处,连接C E ．ʑ㊀A C ＝２０t ,A E ＝A B －B E ＝１００－４０t ,E C ＝２０１０．在R t әA E C 中,A C ２＋A E ２＝E C２,ʑ㊀(２０t )２＋(１００－４０t )２＝(２０１０)２．ʑ㊀t ２－４t ＋３＝０,t １＝１,t ２＝３,ʑ㊀会遇到台风,且最初遇到台风的时间为１小时的时候,台风离开轮船的时间为航行３小时的时候．(２)设台风抵达港口的时间为t 小时．此时,台风中心移至点M ,过D 作D F ʅA B ,垂足为F ,连接DM ．在R t әA D F 中,A D ＝６０,øF A D ＝６０ʎ,ʑ㊀D F ＝３０３,F A ＝３０．又㊀F M ＝F A ＋A B －B M ＝１３０－４０t ,MD ＝２０１０,ʑ㊀(３０３)２＋(１３０－４０t )２＝(２０１０)２．解得t １＝１３＋１３４,t ２＝１３－１３４．ʑ㊀台风抵D 港的时间为航行１３－１３４小时的时候．ȵ㊀轮船从A 处用１３－１３４小时到D 港的速度为６０ː１３－１３４ʈ２５．５(海里/时)．ʑ㊀为使台风抵达D 港之前轮船到D 港,轮船至少要提速６海里/时．复㊀习㊀课１．１０３㊀２０㊀２．８㊀３５㊀４５３．６０ʎ㊀３㊀３㊀４．ʃ２５．A㊀６．D ㊀７．B ㊀８．３９．过点C 作C D ʅA B 于点D ,在R t әA C D 中,øA ＝３０ʎ,A C ＝２３,ʑ㊀C D ＝A C ˑs i n A ＝２３ˑ０．５＝３,A D ＝A C ˑc o s A ＝２３ˑ３２＝３．在R t әB C D 中,øB ＝４５ʎ,则B D ＝C D ＝３,ʑ㊀A B ＝A D ＋B D ＝３＋３．１０．(１)１０k m㊀(２)北偏东１５ʎ１１．设A B ＝x ．在R t әA B D 中,øA B D ＝９０ʎ,øA D B ＝３０ʎ,。
北京四中---初三数学周末练习12(解直角三角形应用)
北京四中撰稿：郭伦审稿：徐晓阳责编：张杨初三数学周末练习12(解直角三角形应用)周末练习：1.某人沿倾斜角为的斜坡前进100米，则他上升的最大高度为( )A.米B.米C.米D.米2.如图，AC是电杆AB的一根拉线，测得BC=6米，∠ACB=52°，则拉线AC的长为( )A.米B.米C.6·cos52°米D.米3.如图，为测一河岸相对两电线杆A，B间的距离，在距A点15米的C处(AC⊥AB)测得∠ACB=50°，则A，B间的距离为__________.4.如图，在离水面高度为5米的岸上有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子与水面的夹角为30°，此人以每秒0.5米收绳.8秒后船向岸边移动了__________米(结果精确到O.1米).5.如图，张华同学在学校某建筑物的C点处测得旗杆顶部A点的仰角为30°，旗杆底部B点的俯角为45°.若旗杆底部B点到建筑物的水平距离BE=9米，旗杆台阶高1米，则旗杆顶点A离地面的高度为多少米(结果保留根号).6.在我市迎接奥运圣火的活动中，某校教学楼上悬挂着宣传条幅DC，小丽同学在点A 处，测得条幅顶端D的仰角为30°，再向条幅方向前进10米后，又在点B处测得条幅顶端D的仰角为45°，已知测点A、B和C离地面高度都为1.44米，求条幅顶端D点距离地面的高度。
(计算结果精确到0.1米，参考数据:.)7.如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处.求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离(结果保留根号).8.如图，某中学九年级一班数学课外活动小组利用周末开展课外实践活动，他们要在某公园人工湖旁的小山AB上，测量湖中两个小岛C、D间的距离.从山顶A处测得湖中小岛C 的俯角为60°，测得湖中小岛D的俯角为45°.已知小山AB的高为180米，求小岛C、D 间的距离。
北京四中---初三数学周末练习8(解直角三角形)
初三数学周末练习8(解直角三角形)撰稿教师：董嵩审稿教师：徐晓阳责编：张杨周末练习1.在△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=3，则sinA的长是___________.2.已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，，则cosA=___________.3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=2AC，则sinA=___________.4.已知为锐角，且，则=___________.5.若，则锐角的度数是____________.6.△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，则等于().A.cosBB.tanAC.tanBD.cosA7.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，若BC=8，AC=6，则sin∠ABD 的值为().A. B.C. D.8.在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠ABC的值为().A. B.C. D.9.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=2BC，则tanA的值是().A. B.2 C. D.10.如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE=，且cos=，AB=4则AD 的长为().A.3B.C. D.11.如图，AB是半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，若∠DPB=，那么等于().A.sinB.cosC.tanD.12.如图，∠1的正切值等于__________.13.在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，CD=2，AC=3，sinB的值().A. B. C. D.14.如图，已知AD为等腰三角形ABC底边上的高，且tan∠B=，AC上有一点E，满足AE∶EC=2∶3，那么，tan∠ADE是().A. B.C. D.15.直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是().A. B.C. D.16.如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AD是∠CAB的平分线，tanB=，则CD∶DB=__________.17.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点且AE：EB=4：1，EF⊥AC于F，连结FB，则tan∠CFB的值等于___________.18.如图所示，已知：在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8.求：△ABC的面积(结果可保留根号).19.如图，已知：△ABC中，D是AB中点，⊥，COS∠，求.20.如图，在梯形ABCD中，AB//DC，∠BCD=，且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2.(1)求证：DC=BC；(2)E是梯形内的一点，F是梯形外的一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，试判断△ECF 的形状，并证明你的结论；(3)在(2)的条件下，当，∠BEC=时，求sin∠BFE的值.参考答案1. 2. 3. 4. 5.20°6.D7.D8.B9.A10.B11.B12.13.C14.C15.C16.17.18.(提示：作，垂足为D)19.(提示：作交AC于E)20.(1)证明：作于O∴AO=BC=2，OC=AB=1∴DC=DO+OC=2∴DC=BC=2；(2)等腰直角三角形；(提示：证△BCF≌△DCE)(3).解：由(2)，∠CEF=45°，∴∠BEF=∠BEC-∠CEF=135°-45°=90°设BE=x，∴CE=CF=2x，∴∴。
北京四中2014届中考数学专练总复习 勾股定理(基础)巩固练习
41.勾股定理（基础）巩固练习【巩固练习】△ABC 中，AB ＝12，AC ＝9，BC ＝15，则△ABC 的面积等于（ ）A.108B.90C.180D.542．若直角三角形的三边长分别为2，4，x ，则x 的值可能有( )3. 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是( )A ．12米B ．10米C ．8米D ．6米4．Rt △ABC 中，斜边BC ＝2，则222AB AC BC ++的值为( )A.8B.4C.6 5．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BD 是AC 边上的高线，DC ＝2，则BD 等于( )A.4B.6C.8D.1026．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝15cm ，则正方形ADEC 和正方形BCFG 的面积和为( )2cm 2cm2cm7.在直角坐标系中，点P（－2，3）到原点的距离是_______．8．甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4km，乙往南走了3km，此时甲、乙两人相距______km．9．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了______m路，却踩伤了花草．10．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m．11．如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方形的边长是______．12. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2cm，点E在BC上，且AE＝EC.若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点'B重合，则AC＝cm.13. 如图四边形ABCD 的周长为42，AB ＝AD ＝12，∠A ＝60°，∠D ＝150°，求BC 的长．14. 已知在三角形ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，CD ＝3，BD ＝5，求AC 的长．15.如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点D 与点B 重合，已知AB ＝3，AD ＝9，求BE 的长．【答案与解析】1.【答案】D ；【解析】△ABC 为直角三角形，面积＝1129542⨯⨯=. 2.【答案】B ；【解析】x 可能是直角边，也可能是斜边.3.【答案】A ；【解析】设旗杆的高度为x 米，则()22215x x +=+，解得12x =米. 4.【答案】A ；【解析】222228AB AC BC BC ==＋＋.5.【答案】B ；【解析】AD ＝8，BD ＝221086-=.6.【答案】C ；【解析】面积和等于222225AC BC AB +==.7.【答案】13；【解析】()222313-+=.8.【答案】5；9.【答案】2；【解析】走捷径是22345+=米，少走了7－5＝2米.10.【答案】10；【解析】飞行距离为()2288210+-=. 11．【答案】5；【解析】可证两个三角形全等，正方形边长为22125+=.12.【答案】4；【解析】90AB E ABE '∠=∠=︒，又因为AE ＝CE ，所以BE '为△AEC 的垂直平分线，AC ＝2AB ＝4cm .13.【解析】解：连接BD ，因为AB ＝AD ＝12，∠A ＝60°所以△ABD 是等边三角形，又因为∠D ＝150°，所以△BCD 是直角三角形，于是BC ＋CD ＝42－12－12＝18，设BC ＝x ，从而CD ＝18－x ，利用勾股定理列方程得222(18)12x x -+=， 解得x ＝13，即BC 的长为13. 14.【解析】 解：过D 点作DE ⊥AB 于E ，∵AD 平分∠BAC ，∠C ＝90°，∴DE ＝CD ＝3，易证△ACD ≌△AED ，∴AE ＝AC ，在Rt △ DBE 中，∵BD ＝5 ，DE ＝3，∴BE ＝4 在Rt △ACB 中，∠C ＝90°设AE ＝AC ＝x ，则AB ＝4x +∵222AB AC BC =+∴()22248x x +=+解得6x =，∴AC ＝6.15．【解析】解：设BE ＝x ，则DE ＝BE ＝x ，AE ＝AD －DE ＝9－x ． 在Rt △ABE 中，222AB AE BE ＋＝，∴()22239x x +-=．解得5x =．。
（完整版）三角形内角和外角练习题
（完整版）三⾓形内⾓和外⾓练习题规律⽅法指导1．三⾓形内⾓和为180°，三⾓形三个外⾓的和是360°,这是在做题时题设不⽤加以说明的已知条件；在三个⾓中已知其中两个⾓的度数便能求第三个⾓的⼤⼩.2．在⼀个三⾓形中最多只能有⼀个钝⾓或者⼀个直⾓，最少有两个锐⾓.3．三⾓形内⾓和定理和三⾓形外⾓的性质是求⾓度数及有关的推理论证时经常使⽤的理论依据．外⾓的性质应⽤：①证明⼀个⾓等于另两个⾓的和；②作为中间关系式证明两⾓相等；③证明⾓的不等关系. 4．利⽤作辅助线求解问题，会使问题变得简便.经典例题透析类型⼀：三⾓形内⾓和定理的应⽤1．已知⼀个三⾓形三个内⾓度数的⽐是1：5：6，则其最⼤内⾓的度数为（）A．60° B．75° C．90° D．120°举⼀反三：【变式1】在△ABC中，∠A=55°，∠B⽐∠C⼤25°，则∠B的度数为（）A．50° B．75°C．100° D．125°【变式2】三⾓形中⾄少有⼀个⾓不⼩于________度。
类型⼆：利⽤三⾓形外⾓性质证明⾓不等2．如图所⽰，已知CE是△ABC外⾓∠ACD的平分线，CE交BA延长线于点E。
求证：∠BAC ＞∠B。
举⼀反三：【变式】如图所⽰，⽤“＜”把∠1、∠2、∠A联系起来________。
类型三：三⾓形内⾓和定理与外⾓性质的综合应⽤3．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.举⼀反三：【变式】如图所⽰，五⾓星ABCDE中，试说明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。
类型四：与⾓平分线相关的综合问题4．如图9，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点Ｄ．（1）若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，则∠BDC＝________；（2）若∠ABC＋∠ACB＝120°，则∠BDC＝________；（3）若∠A＝60°，则∠BDC＝________；（4）若∠A＝100°，则∠BDC＝________；（5）若∠A＝n°，则∠BDC＝________．举⼀反三：【变式1】如图10，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF 交于G，若∠BDC= 140°，∠BGC=110°，求∠A 的⼤⼩.80【变式2】如图11, △ABC的两个外⾓的平分线相交于点D，如果∠A＝50°，求∠D.【变式3】如图12，在△ABC中，AE是⾓平分线，且∠B=52°，∠C=78°，则∠AEB的度数是_____.【变式4】（2009北京四中期末）如图所⽰，△ABC的外⾓∠CBD、∠BCE的平分线相交于点F，若∠A=68°，求∠F的度数。
北京四中2014届九年级上10月月考数学试题及答案
12. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A1， A2， A3，…和 B1，B2，B3，…分别在直线 y=kx+b 和 x 轴上．△
OA1B1，△ B1A2B2，△ B2A3B3，…都是等腰直角三角形，如果
73 A1（ 1，1）， A2 ， ，那么点 A3 的纵坐
22
标是
，点 A 2013 的纵坐标是
19．如图，一枚运载火箭从地面 O 处发射，当火箭到达 A 点时，在观测点 C测得其仰角是 30 ，火 箭又上升了 10km 到达 B 点时， 测得其仰角为 60 ，求观测点 C到发射点 O B 的距离 . ( 结果精确到 0.1km . 参考数据： 2 1.41， 3 1.73 ， 5 2.24 ） .
在 DC 边上时，则点 P 的坐标为
；
（ 2）若 A 、 D 两点的坐标分别为 A(2,4) 、 D(6, 4) ，当四边形 ABCD 关于 A 、 B 的等角点 P
在 DC 边上时，求点 P 的坐标； （ 3）若 A 、 D 两点的坐标分别为 A(2,4) 、 D (10,4) ，点 P (x, y) 为四边形 ABCD 关于 A 、 B
C
．1:4
D
． 4:1
3．用配方法解一元二次方程 x 2 - 4x 5 时，此方程可变形为（
）
A（. x 2）2 1 B.
（x - 2）2 1
C.
（x
2
2）
9
D.
（ x - 2）2
9
4．如图，点 F 是平行四边形 ABCD的边 CD上一点，直线 BF 交 AD的延长线与点 E，则下列结论 错误
的是 （ ）
可以是
（注：只需写出一个正确答案即可）．
1
北京四中中考数学专练总复习 三角形的角及内角和周练
四中周练三角形的角及内角和（三）【本周练习】1．已知在中，，，则的度数是( )A． B．C．D．2．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为( )A．4 B．5 C．6 D．7.3．某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是( )A．5 B．6 C．7 D．84．若一个正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数是( )A．10 B．9 C．8 D．65．的内角、、满足，，则这个三角形是( )．A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定6．如图，将纸片沿着折叠压平，则( )．A．B．C．D．7．已知的三个内角的比是，其中是大于1的正整数，那么是( )A．锐角三角形．B．直角三角形． C．钝角三角形． D．等腰三角形．8．如图，的度数是_______9．如图，的度数是_______．10．如图，___________．11．如图，求___________．12．如图，求的值．13．在四边形中，，比大，是的倍，则，，的大小分别为__________________．14．已知多边形的一个内角的外角与其余各角的度数总和为，这个多边形的边数及相应的外角的度数分别为__________________．15．如果一个多边形共有条对角线，则这个多边形的边数是_________．16．一个凸多边形的内角中，最多有_________个锐角．17．已知从边形的一个顶点出发共有条对角线，其周长为，且各边长是连续的自然数，这个多边形的各边之长分别是________．18. 若一个多边形的每一个外角都是锐角，则这个多边形的边数一定不小于_________．19．已知一个五边形的外角度数之比为，它的内角大小分别是______．20．如图，已知，求证：．附加题1．已知三角形的三个内角分别为、、，且，，则的取值范围是________．2．在锐角三角形中，，且最大内角比最小内角大，则的取值范围是____．3．在中，三个内角的度数均为整数，且，，则的度数为______．4．中，是最小角，是最大角，且，若的最大值是，最小值是．则___________．【参考答案】1.D．【提示】根据三角形的内角和2.C3.D4.B【提示】可根据多边形的外角和来计算（360÷40=9），也可根据内角和来计算。
北京市第四中学中考数学总复习 专题训练 锐角三角函数 2 解直角三角形及其应用(无答案)
解直角三角形及其应用*思考：你认为怎样规定0°和90°角的三角函数值？DB在直角三角形中，由已知元素（直角除外）求出其余未知元素的过程， 叫做解直角三角形．1.在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下（如图所示）：（1）三边之间的等量关系：222a +b =c（2）两锐角之间的关系：∠A+∠B=90°．（3）边与角之间的关系：（4）直角三角形中成比例的线段： 在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ．CD 2=AD •BD ；AC 2=AD •AB ；BC 2=BD •BA ；AC •BC=AB •CD ． sin cos a A B c==cos sinbA B c ==1tan tan a A B b ==1tan tan b B A a ==（5）直角三角形中的主要线段： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，斜边的中点是外心． 若r 是Rt △ABC （ ∠C=90°）的内切圆半径，则（6）直角三角形的面积公式：在Rt △ABC 中，∠C=90°，2．关于直角三角形可解的条件：在直角三角形的六个元素中，除直角外，只要再知道两个（其中至少 有一个为边），这个三角形的形状、大小就可以确定下来．解直角三角形的基本类型可分为：（1）已知两条边（两条直角边或斜边和直角边）；（2）已知一边和一个锐角（直角边和一个锐角或斜边和一个锐角）．2a b c ab r a b c +-==++121 2 ABC cS ab c h ∆==⋅=例1．在Rt△ABC中，∠C=90°，（1）已知a=35，，求∠A、∠B和b；（2）已知，b=2 ，求∠A、∠B和c；（3）已知sinA=23, c=6 ，求a和b；（4）已知tanB=32，b=9，求a和c；（5）已知∠A=60°，△ABC的面积，求a、b、c及∠B．例2．如图，在△ABC中，AC=12cm，AB=16cm，sinA=13．（1）求AB边上的高CD；（2）求△ABC的面积S；（3）求tanB ．例3．如图，有一段斜坡BC 长为10m ，坡角∠CBD=12°，为方便残疾 人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5°．（1）求坡高CD ；（2）求斜坡新起点A 与原起点B 之间的距离（精确到0.1m ）．参考数据sin120.21cos120.98tan50.09︒≈︒≈︒≈。
北京四中2014届九年级数学总复习专练：圆(提高)
一、选择题1．如下图，AB 、AC 为⊙O 的切线，B 和C 是切点，延长OB 到D ，使BD ＝OB ，连接AD ．如 果∠DAC ＝78°， 那么∠ADO 等于()．A ．70°B ．64°C ．62°D ．51°2．在半径为27m 的圆形广场中心点O 的上空安装了一个照明光源S ，S 射向地面的光束 呈圆锥形，其轴截面SAB 的顶角为120°(如下图)，那么光源离地面的垂直高度SO 为()．A ．54mB ．mC ．mD ．m第1题图第2题图第3题图第4题图3．设计一个商标图案，如下图，在矩形ABCD 中，AB=2BC ，且AB=8cm ，以A 为圆心、 AD 的长为半径作半圆，那么商标图案(阴影局部)的面积等于().2 A.(4π+8)cm 2 B.(4π+16)cm 2C.(3π+8)cm2D.(3π+16)cm4．如图，的半径为5，弦的长为8，点在线段(包括端点)上移动， 那么的取值X 围 是().A.B.C.D.5.“圆材埋壁〞是我国古代著名的数学著作?九章算术?中的问题：“今有圆材，埋在壁 中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?〞用数学语言可表示为：如图所 示，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于E ，CE=1寸，AB=10寸，那么直径CD 的长为()A ．12.5寸B ．13寸C ．25寸D ．26寸第5题图第6题图第8题图6．在平面直角坐标系中如下图，两个圆的圆心坐标分别是(3，0)和(0，-4)，半径分别是和，那么这两个圆的公切线〔和两圆都相切的直线〕有()A.1条B.2条C.3条D.4条7．一条弦的两个端点把圆周分成4:5两局部，那么该弦所对的圆周角为()．A．80°B．100°C．80°或100°D．160°或200°8．如下图，AB、AC与⊙O分别相切于B、C两点，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C的一动点，那么∠BPC的度数是()．A．65°B．115°C．65°或115°D．130°或50°二、填空题9．如下左图，是的内接三角形，，点P在上移动(点P不与点A、C重合)，那么的变化X围是_________.第9题图第10题图10．如下图，EB、EC是⊙O是两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，那么∠A的度数是________________.11．⊙O 1与⊙O 2的半径、分别的两实⊙O 1与⊙O 2 的圆心距=5．那么⊙O 1与⊙O 2的位置关系是__________________.12．圆的直径为13c m ，圆心到直线的距离为6c m ，那么直线和这个圆点 的个数是______.13.两个圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，那么另一个圆的半径是 ______________________. 14.正方形ABCD 外接圆的直径为，截去四个角成一正八边形，那么这个正八边 形EFGHIJLK 的边 长为_______________为_______________． 15．如图(1)(2)⋯(m )是边于2的三角形、四边形、⋯⋯、凸n 边形，分们 的各顶点为圆心，以l 为半径画弧与两邻边相到3条弧，4条弧，⋯⋯ (1)图(1)中3条弧的弧长的和为_______________，图(2)中4条弧的弧长的和为 _______________； (2)求图(m)中n 条弧的弧长的和为_______________(用n 表示)． 16．如下图，蒙古包可以近似地看做由圆锥组成，如果想用毛毡搭建20个底面 9πm 2，高为3.5m ，外围高4m 的蒙古包，至少要_______________m 2的毛毡． 三、解答题 17.如图，⊙O 是△A B C 的外接于E ，∠A B C 的平分线B D 交A 〔1〕AF 平分∠BAC ；18.射线OF交⊙O于B，半径OA⊥OB，P是射线OF上的一个动点(不与O、B重合)，直线AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线交射线OF于E.(1)如下图是点P在圆内移动时符合条件的图形，请你在图中画出点P在圆外移动时符合条件的图形.(2)观察图形，点P在移动过程中，△DPE的边、角或形状存在某些规律，请你通过观察、测量、比拟写出一条与△DPE的边、角或形状有关的规律.(3)点P在移动过程中，设∠DEP的度数为x，∠OAP的度数为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值X围19．如图，相交两圆的公共弦长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边.求两圆相交弧间阴影局部的面积.20.问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：①如图(1)，在正△ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，假设∠BON ＝60°，那么BM＝CN；②如图(2)，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，假设∠BON ＝90°，那么BM＝CN．然后运用类似的思想提出了如下命题：18.射线OF交⊙O于B，半径OA⊥OB，P是射线OF上的一个动点(不与O、B重合)，直线AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线交射线OF于E.(1)如下图是点P在圆内移动时符合条件的图形，请你在图中画出点P在圆外移动时符合条件的图形.(2)观察图形，点P在移动过程中，△DPE的边、角或形状存在某些规律，请你通过观察、测量、比拟写出一条与△DPE的边、角或形状有关的规律.(3)点P在移动过程中，设∠DEP的度数为x，∠OAP的度数为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值X围19．如图，相交两圆的公共弦长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边.求两圆相交弧间阴影局部的面积.20.问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：①如图(1)，在正△ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，假设∠BON ＝60°，那么BM＝CN；②如图(2)，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，假设∠BON ＝90°，那么BM＝CN．然后运用类似的思想提出了如下命题：18.射线OF交⊙O于B，半径OA⊥OB，P是射线OF上的一个动点(不与O、B重合)，直线AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线交射线OF于E.(1)如下图是点P在圆内移动时符合条件的图形，请你在图中画出点P在圆外移动时符合条件的图形.(2)观察图形，点P在移动过程中，△DPE的边、角或形状存在某些规律，请你通过观察、测量、比拟写出一条与△DPE的边、角或形状有关的规律.(3)点P在移动过程中，设∠DEP的度数为x，∠OAP的度数为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值X围19．如图，相交两圆的公共弦长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边.求两圆相交弧间阴影局部的面积.20.问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：①如图(1)，在正△ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，假设∠BON ＝60°，那么BM＝CN；②如图(2)，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，假设∠BON ＝90°，那么BM＝CN．然后运用类似的思想提出了如下命题：18.射线OF交⊙O于B，半径OA⊥OB，P是射线OF上的一个动点(不与O、B重合)，直线AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线交射线OF于E.(1)如下图是点P在圆内移动时符合条件的图形，请你在图中画出点P在圆外移动时符合条件的图形.(2)观察图形，点P在移动过程中，△DPE的边、角或形状存在某些规律，请你通过观察、测量、比拟写出一条与△DPE的边、角或形状有关的规律.(3)点P在移动过程中，设∠DEP的度数为x，∠OAP的度数为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值X围19．如图，相交两圆的公共弦长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边.求两圆相交弧间阴影局部的面积.20.问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：①如图(1)，在正△ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，假设∠BON ＝60°，那么BM＝CN；②如图(2)，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，假设∠BON ＝90°，那么BM＝CN．然后运用类似的思想提出了如下命题：18.射线OF交⊙O于B，半径OA⊥OB，P是射线OF上的一个动点(不与O、B重合)，直线AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线交射线OF于E.(1)如下图是点P在圆内移动时符合条件的图形，请你在图中画出点P在圆外移动时符合条件的图形.(2)观察图形，点P在移动过程中，△DPE的边、角或形状存在某些规律，请你通过观察、测量、比拟写出一条与△DPE的边、角或形状有关的规律.(3)点P在移动过程中，设∠DEP的度数为x，∠OAP的度数为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值X围19．如图，相交两圆的公共弦长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边.求两圆相交弧间阴影局部的面积.20.问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：①如图(1)，在正△ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，假设∠BON ＝60°，那么BM＝CN；②如图(2)，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，假设∠BON ＝90°，那么BM＝CN．然后运用类似的思想提出了如下命题：18.射线OF交⊙O于B，半径OA⊥OB，P是射线OF上的一个动点(不与O、B重合)，直线AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线交射线OF于E.(1)如下图是点P在圆内移动时符合条件的图形，请你在图中画出点P在圆外移动时符合条件的图形.(2)观察图形，点P在移动过程中，△DPE的边、角或形状存在某些规律，请你通过观察、测量、比拟写出一条与△DPE的边、角或形状有关的规律.(3)点P在移动过程中，设∠DEP的度数为x，∠OAP的度数为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值X围19．如图，相交两圆的公共弦长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边.求两圆相交弧间阴影局部的面积.20.问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：①如图(1)，在正△ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，假设∠BON ＝60°，那么BM＝CN；②如图(2)，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，假设∠BON ＝90°，那么BM＝CN．然后运用类似的思想提出了如下命题：18.射线OF交⊙O于B，半径OA⊥OB，P是射线OF上的一个动点(不与O、B重合)，直线AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线交射线OF于E.(1)如下图是点P在圆内移动时符合条件的图形，请你在图中画出点P在圆外移动时符合条件的图形.(2)观察图形，点P在移动过程中，△DPE的边、角或形状存在某些规律，请你通过观察、测量、比拟写出一条与△DPE的边、角或形状有关的规律.(3)点P在移动过程中，设∠DEP的度数为x，∠OAP的度数为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值X围19．如图，相交两圆的公共弦长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边.求两圆相交弧间阴影局部的面积.20.问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：①如图(1)，在正△ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，假设∠BON ＝60°，那么BM＝CN；②如图(2)，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，假设∠BON ＝90°，那么BM＝CN．然后运用类似的思想提出了如下命题：----〔2〕证明：BF＝FD.18.射线OF交⊙O于B，半径OA⊥OB，P是射线OF上的一个动点(不与O、B重合)，直线AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线交射线OF于E.(1)如下图是点P在圆内移动时符合条件的图形，请你在图中画出点P在圆外移动时符合条件的图形.(2)观察图形，点P在移动过程中，△DPE的边、角或形状存在某些规律，请你通过观察、测量、比拟写出一条与△DPE的边、角或形状有关的规律.(3)点P在移动过程中，设∠DEP的度数为x，∠OAP的度数为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值X围19．如图，相交两圆的公共弦长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边.求两圆相交弧间阴影局部的面积.20.问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：①如图(1)，在正△ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，假设∠BON ＝60°，那么BM＝CN；②如图(2)，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，假设∠BON ＝90°，那么BM＝CN．然后运用类似的思想提出了如下命题：----。
北京市第四中学中考数学冲刺复习三角形02与三角形有关的角(无答案)
与三角形有关的角三角形内角和定理:三角形的三个内角的和为180°．已知：△ABC ，求证: ．已知，Rt ABC ∆中，90C ∠=，则A B ∠+∠= ．定理：直角三角形的两个锐角互余．已知，ABC ∆中，A B ∠+∠=90°，则90C ∠=．练习：（1）在△ABC 中,∠A=50°,∠B=∠C,求∠B=?（2)在△ABC 中，∠C=50°，∠A=30°，求∠B=？(3）如图，AC ⊥BC ，CD ⊥AB,图中有几对互余的角?有几对相等的锐角?问:△ABC 中，∠A=70°,∠B=60°， 求∠ACD.三角形外角的性质(1) 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．(2） 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．练习：说出下列图中∠1和∠2的度数．180A B C ∠+∠+∠=例1、已知，如图 ,在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数。
练习：在△ABC中,∠A －∠C=25°，∠B－∠A＝10°，求∠B ．例2、（1）如图，AB和CD交于点O，求证：∠A＋∠C＝∠B＋∠D ．（2)如图，求证：∠D=∠A＋∠B +∠C．重要结论：（不作为定理,用时请给出证明）例3、如图，在锐角三角形ABC中,CD、BE分别是AB、AC边上的高，且CD、BE交于一点P，若∠A=50º，求∠BPC的度数．例4、如图,在△ABC中，AE⊥BC于E，AD为∠BAC的平分线，∠B=50º，∠C=70º，求∠DAE ．尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
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北京四中中考数学专练总复习 三角形周练(一)
四中周练三角形（一）1、已知一个三角形的三条边长为2、7、x，则x 的取值范围是_______________2、等腰三角形一边的长是4，另一边的长是8，则它的周长是_______________3、在△ABC中，与∠B相邻的外角等于140°，则∠A+∠C＝________度4、一副三角板如图所示叠放在一起，则图中的度数是_________5、如图，在△ABC中，两条角平分线BD和CE相交于点O，若∠BOC=116°，那么∠A的度数是_______6、三角形的三个内角中，锐角的个数不少于（）A．1 个B．2 个C．3个D．不确定7、适合条件∠A =∠B =∠C的三角形一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．任意三角形8、如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于( )A. 90°B. 135°C. 270°D. 315°9、在下图中，正确画出AC边上高的是（）（A）（B）（C）（D）10、给出下列命题：⑴三角形的一个外角小于它的一个内角．⑵若一个三角形的三个内角之比为1：3：4，它肯定是直角三角形⑶三角形的最小内角不能大于60°⑷三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和其中真命题的个数是 ( )A．1个．B．2个．C．3个．D．4个．11、△ABC中，AB=AC，AC上的中线BD把△ABC的周长分为24㎝和30㎝两部分，求三角形的三边长.12、如图，AF，AD分别是△ABC的高和角平分线，BE是△ABC的角平分线，AD、BE交于点O，且∠ABC=36°，∠C=76°，求∠DAF和∠DOE的度数.13、已知：如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，∠A与∠1+∠2之间有什么关系，请猜想并证明.附加题：已知：如图，P是△ABC内部的一点，满足．求证：．【参考答案】1、5＜x＜9；2、20；3、140；4、75°；5、52°；6、B；7、B；8、C；9、C；10、C；11、解：分两种情况当AB+AD=24㎝且BC+CD=30㎝∵BD是△ABC的中线∴AD=CD=AB=AC∴AB+AB=24㎝∴AB=16㎝∵BC+CD=30㎝∴BC+AC=BC+8=30㎝∴BC=22㎝∴三角形的三边长为：16㎝,16㎝,22㎝当AB+AD=30㎝且BC+CD=24㎝∵BD是△ABC的中线AD=CD=AB=AC∴AB+AB=30㎝∴AB=20㎝∵BC+CD=24㎝∴BC+AC=BC+10=24㎝∴BC=14㎝∴三角形的三边长为：20㎝,20㎝,14㎝答：三角形的三边长为16㎝,16㎝,12㎝或者20㎝,20㎝,14㎝12、∠DAF=20°，∠DOE=128°解：在△ABC中180°∵∠ABC=36°，∠C=76°∴180°180°-36°-76° =68°∵AD是△ABC的角平分线=34°∵AF是△ABC的高线90°90°90°-76°=14°20°=18°在△AOB中180°180°-18°-34°=128°128°答：∠DAF和∠DOE的度数分别为20°和128°13、证明：在△ADE中180°180°在折叠前△ABC中180°180°在四边形BCED中360°即360°∴180°180°360°∴猜想：∠A与∠1+∠2之间的关系为附加题：证明方法一延长BP交AC于Q，在△ABQ中则AB+AQ＞BP+PQ，在△PCQ中PQ+QC＞PC；两式相加可得AB+AQ+PQ+QC＞BP+PQ+PC，进而可得AB+AC＞PB+PC，因为，可得方法二连结AP，延长BP交AC于Q。
北京四中中考数学专练总复习 三角形的内角和(提高)知识讲解
三角形的内角和（提高）知识讲解【学习目标】1．理解三角形内角和定理的证明方法；2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质；3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.【要点梳理】要点一、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．要点二、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．【典型例题】类型一、三角形的内角和1．在△ABC中，若∠A＝12∠B＝13∠C，试判断该三角形的形状．【思路点拨】由∠A＝12∠B＝13∠C，以及∠A+∠B+∠C＝180°，可求出∠A、∠B和∠C的度数，从而判断三角形的形状．【答案与解析】解：设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x．由于∠A+∠B+∠C＝180°，即有x+2x+3x＝180°．解得x＝30°．故∠A＝30°．∠B＝60°，∠C＝90°．故△ABC是直角三角形．【总结升华】本题利用设未知数的方法求出三角形三个内角的度数，解法较为巧妙．举一反三：【变式1】三角形中至少有一个角不小于________度．【答案】60【高清课堂：与三角形有关的角练习（3）】【变式2】如图，AC⊥BC,CD⊥AB,图中有对互余的角？有对相等的锐角？【答案】3,2．2.在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，则∠C的度数是多少? 【思路点拨】按△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况，分类讨论．【答案与解析】解：分两种情况讨论：（1）当△ABC为锐角三角形时，如图所示，在△ABD中，∵ BD是AC边上的高(已知)，∴∠ADB＝90°(垂直定义)．又∵∠ABD＝30°(已知)，∴∠A＝180°-∠ADB-∠ABD＝180°-90°-30°＝60°．又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)，∴∠ABC+∠C＝120°，又∵∠ABC＝∠C，∴∠C＝60°．(2)当△ABC为钝角三角形时，如图所示．在直角△ABD中，∵ ∠ABD ＝30°(已知)，所以∠BAD ＝60°．∴ ∠BAC ＝120°．又∵ ∠BAC+∠ABC+∠C ＝180°(三角形内角和定理)，∴ ∠ABC+∠C ＝60°．∴ ∠C ＝30°．综上，∠C 的度数为60°或30°．【总结升华】在解决无图的几何题的过程中，只有正确作出图形才能解决问题．这就要求解答者必须具备根据条件作出图形的能力；要注意考虑图形的完整性和其他各种可能性，双解和多解问题也是我们在学习过程中应该注意的一个重要环节．类型二、三角形的外角【高清课堂：与三角形有关的角 例4、 】3.如图，在△ABC 中，AE ⊥BC 于E ，AD 为∠BAC 的平分线，∠B=50º，∠C=70º， 求∠DAE ．【答案与解析】解：∠A ＝180°－∠B －∠C ＝180°－50°－70°＝60°又AD 为∠BAC 的平分线所以∠BAD ＝12BAC ＝30°∠ADE ＝∠B ＋∠BAD ＝50º＋30°＝80°又 AE ⊥BC 于E所以∠DAE ＝90°－∠ADE ＝90°－80°＝10°举一反三：【变式】如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，AE ⊥BC 于E ，AD 为∠BAC 的平分线，则∠DAE 与∠C －∠B 的数量关系 .【答案】2C B DAE ∠-∠∠=4.如图所示，已知CE 是△ABC 外角∠ACD 的平分线，CE 交BA 延长线于点E.求证：∠BAC >∠B.【答案与解析】证明：在△ACE 中，∠BAC >∠1（三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角）.同理在△BCE 中，∠2 >∠B ，因为∠1=∠2，所以∠BAC >∠B.【总结升华】涉及角的不等关系的问题时，经常用到三角形外角性质：“三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角”.举一反三：【变式】如图所示，用“<”把∠1、∠2、∠A 联系起来________.【答案】∠A <∠2 <∠1类型三、三角形的内角外角综合5.如图所示，试求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数．【思路点拨】本题中∠A 、∠B 、∠C 、∠D 、∠E 不能单个地求出．因此，需进行整体求值．【答案与解析】解：连BC ，由三角形的内角和为180°不难得到∠E+∠D ＝∠1+∠2．∵∠A+∠ABD+∠ACE+∠1+∠2＝180°，∴∠A+∠ABD+∠ACE+∠D+∠E ＝180°．【总结升华】解多个角的度数和问题可以结合三角形的内角和与三角形的外角，将所求角转化到一个或几个三角形中，从而求得多个角的和．举一反三：【变式1】如图所示，五角星ABCDE中，试说明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.【答案】解：因为∠AGF是△GCE的外角，所以∠AGF=∠C+∠E.同理∠AFG=∠B+∠D.在△AFG中，∠A+∠AFG+∠AGF=180°.所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.【变式2】一个三角形的外角中，最多有锐角 ( )A．1个 B．2个 C．3个 D．不能确定【答案】A (提示：由于三角形最多有一个内角是钝角，故最多有一个外角是锐角．)。
北京市北京四中数学三角形解答题单元复习练习(Word版 含答案)
北京市北京四中数学三角形解答题单元复习练习(Word版含答案)一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）1．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．(1)求证：∠A+∠C＝∠B+D；(2)如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD、AB分别相交于点M、N．①以线段AC为边的“8字型”有个，以点O为交点的“8字型”有个；②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数；③若角平分线中角的关系改为“∠CAP＝13∠CAB，∠CDP＝13∠CDB”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)①3， 4；②∠P＝110°；③3∠P＝∠B+2∠C，理由见解析.【解析】【分析】(1)由三角形内角和得到∠A+∠C=180°﹣∠AOC，∠B+∠D=180°﹣∠BOD，由对顶角相等，得到∠AOC=∠BOD，因而∠A+∠C=∠B+∠D；(2)①以线段AC为边的“8字形”有3个，以O为交点的“8字形”有4个；②根据(1)的结论，以M为交点“8字型”中，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，以N为交点“8字型”中，∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP，两等式相加得到2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，由AP和DP是角平分线，得到∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，从而∠P=12(∠B+∠C)，然后将∠B=100º，∠C=120º代入计算即可；③与②的证明方法一样得到3∠P=∠B+2∠C.【详解】解：(1)在图1中，有∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD，∵∠AOC＝∠BOD，∴∠A+∠C＝∠B+∠D；(2)解：①以线段AC为边的“8字型”有3个：以点O为交点的“8字型”有4个：②以M 为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP ＝∠C+∠CAP ， 以N 为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP ＝∠B+∠BDP ∴2∠P+∠BAP+∠CDP ＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP ， ∵AP 、DP 分别平分∠CAB 和∠BDC ， ∴∠BAP ＝∠CAP ，∠CDP ＝∠BDP ， ∴2∠P ＝∠B+∠C ， ∵∠B ＝100°，∠C ＝120°，∴∠P ＝12（∠B+∠C ）=12（100°+120°）＝110°； ③3∠P ＝∠B+2∠C ，其理由是：∵∠CAP ＝13∠CAB ，∠CDP ＝13∠CDB ， ∴∠BAP ＝23∠CAB ，∠BDP ＝23∠CDB ，以M 为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP ＝∠C+∠CAP ， 以N 为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP ＝∠B+∠BDP ∴∠C ﹣∠P ＝∠CDP ﹣∠CAP ＝13（∠CDB ﹣∠CAB ）， ∠P ﹣∠B ＝∠BDP ﹣∠BAP ＝23（∠CDB ﹣∠CAB ）． ∴2（∠C ﹣∠P ）＝∠P ﹣∠B ， ∴3∠P ＝∠B+2∠C ．故答案为：(1)证明见解析；(2)①3， 4；②∠P ＝110°；③3∠P ＝∠B+2∠C ，理由见解析. 【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了角平分线的定义．2．（1）在ABC ∆中，AD BC ⊥，BE AC ⊥，CF AB ⊥，16BC =，3AD =，4BE =，6CF =，则ABC ∆的周长为______.（2）如图①，在ABC ∆中，已知点D ，E ，F 分别为边BC ，BD ，CD 的中点，且4ABC S ∆=2cm ，则AEF S ∆等于______2cm .① ②（3）如②图，三角形ABC 的面积为1，点E 是AC 的中点，点O 是BE 的中点，连接AO 并延长交BC 于点D ，连接CO 并延长交AB 于点F ，则四边形BDOF 的面积为______.【答案】（1）36（2）2（3）16【解析】 【分析】(1)利用三角形面积公式，求出AB 、AC 的长，再计算三角形的周长即可；(2)设ABC ∆在BC 边上的高为h ，则12ABC S BC h ∆=⋅，根据线段中点的定义以及线段的和差得出12EF BC =，继而再根据三角形面积公式进行求解即可； (3)设BOF S x ∆=，BOD S y ∆=，根据三角形中线将三角形分成两个面积相等的三角形可得14AOE COE AOB COB S S S S ∆∆∆∆====，从而得14AOF S x ∆=-，34ACF S x ∆=-，14BCF S x ∆=+，14COD S y ∆=-，34ACD S y ∆=-，14ABD S y ∆=+，利用等高的两三角形面积之比等于底边之比分别列出关于x 、y 的方程，求出x 、y 的值即可求得答案. 【详解】(1)111222ABC S BC AD AC BE AB CF ∆=⋅=⋅=⋅， ∴BC AD AC BE AB CF ⋅=⋅=⋅， 即16346AC AB ⨯=⋅=⋅， ∴12AC =，8AB =， ∴△ABC 的周长=AB+BC+AC=36； (2)设ABC ∆在BC 边上的高为h ， 则12ABC S BC h ∆=⋅， ∵E 为BD 中点，∴12ED BD =， ∵F 为DC 中点，∴12DF DC =， ∴111222EF BD DC BC =+=， ∴211112cm 2222AEF ABC S EF h BC h S ∆∆=⋅=⋅⋅==； (3)设BOF S x ∆=，BOD S y ∆=，∵点E ，O 分别是AC ，BE 的中点，1ABC S ∆=， ∴14AOE COE AOB COB S S S S ∆∆∆∆====，∴14AOF S x ∆=-，34ACF S x ∆=-，14BCF S x ∆=+， ∴134414x xx x --=+，即2213164x x x -=-， 解得112x =，又14COD S y ∆=-，34ACD S y ∆=-，14ABD S y ∆=+，∴141344yy y y +=--，得112y =， 故11112126BDOF S x y =+=+=四边形. 【点睛】本题考查了三角形面积的应用，三角形的周长，解题关键在于找出等高的两三角形面积与底边的对应关系．3．已知：如图①，BP 、CP 分别平分△ABC 的外角∠CBD 、∠BCE ，BQ 、CQ 分别平分∠PBC 、∠PCB ，BM 、CN 分别是∠PBD 、∠PCE 的角平分线． （1）当∠BAC=40°时，∠BPC= ，∠BQC= ； （2）当BM ∥CN 时，求∠BAC 的度数；（3）如图②，当∠BAC=120°时，BM 、CN 所在直线交于点O ，直接写出∠BOC 的度数．【答案】(1) 70°，125°；(2) ∠BAC=60° (3) 45° 【解析】分析：（1）根据三角形的外角性质分别表示出∠DBC 与∠BCE，再根据角平分线的性质可求得∠CBP+∠BCP，最后根据三角形内角和定理即可求解；根据角平分线的定义得出∠QBC=12∠PBC，∠QCB=12∠PCB，求出∠QBC+∠QCB的度数，根据三角形内角和定理求出即可；（2）根据平行线的性质得到∠MBC+∠NCB=180°，依此求解即可；（3）根据题意得到∠MBC+∠NCB，再根据三角形外角的性质和三角形内角和定理得到∠BOC 的度数.详解：（1）∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，∴∠DBC+∠BCE=180°+∠A=220°，∵BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，∴∠CBP+∠BCP=12（∠DBC+∠BCE）=110°，∴∠BPC=180°﹣110°=70°，∵BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，∴∠QBC=12∠PBC，∠QCB=12∠PCB，∴∠QBC+∠QCB=55°，∴∠BQC=180°﹣55°=125°；（2）∵BM∥CN，∴∠MBC+∠NCB=180°，∵BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∴34（∠DBC+∠BCE）=180°，即34（180°+∠BAC）=180°，解得∠BAC=60°；（3）∵∠BAC=120°，∴∠MBC+∠NCB=34（∠DBC+∠BCE）=34（180°+α）=225°，∴∠BOC=225°﹣180°=45°．点睛：本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．4．操作示例：如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线，△ABD的面积记为S1，△ADC的面积记为S2．则S1=S2．解决问题：在图2中，点D、E分别是边AB、BC的中点，若△BDE的面积为2，则四边形ADEC的面积为 .拓展延伸：（1）如图3，在△ABC中，点D在边BC上，且BD=2CD，△ABD的面积记为S1，△ADC的面积记为S2．则S1与S2之间的数量关系为．（2）如图4，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接BE、CD交于点O，且BO=2EO，CO=DO，若△BOC的面积为3，则四边形ADOE的面积为 .【答案】解决问题：6；拓展延伸：（1）S1=2S2（2）10.5【解析】试题分析：解决问题：连接AE，根据操作示例得到S△ADE=S△BDE，S△ABE=S△AEC，从而得到结论；拓展延伸：（1）作△ABD的中线AE，则有BE=ED=DC，从而得到△ABE的面积=△AED的面积=△ADC的面积，由此即可得到结论；（2）连接AO．则可得到△BOD的面积=△BOC的面积，△AOC的面积=△AOD的面积，△EOC的面积=△BOC的面积的一半，△AOB的面积=2△AOE的面积．设△AOD的面积=a，△AOE的面积=b，则a+3=2b，a=b+1.5，求出a、b的值，即可得到结论．试题解析：解：解决问题连接AE．∵点D、E分别是边AB、BC的中点，∴S△ADE=S△BDE，S△ABE=S△AEC．∵S△BDE=2，∴S△ADE =2，∴S△ABE=S△AEC=4，∴四边形ADEC的面积=2+4=6．拓展延伸：解：（1）作△ABD的中线AE，则有BE=ED=DC，∴△ABE的面积=△AED的面积=△ADC的面积= S2，∴S1=2S2．（2）连接AO．∵CO=DO，∴△BOD的面积=△BOC的面积=3，△AOC的面积=△AOD的面积．∵BO=2EO，∴△EOC的面积=△BOC的面积的一半=1.5，△AOB的面积=2△AOE的面积．设△AOD的面积=a，△AOE的面积=b，则a+3=2b，a=b+1.5，解得：a=6，b=4.5，∴四边形ADOE的面积为=a+b=6+4.5=10.5．5．根据题意解答：（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D．（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，求∠P的度数．解：∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD∴∠1=∠2，∠3=∠4由（1）的结论得：∠P+∠3=∠1+∠B①，∠P+∠2=∠4+∠D②，①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D∴∠P= 12（∠B+∠D）=26°．①如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．②在图4中，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论，无需说明理由．③在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论，无需说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）①∠P=26゜；②∠P=180°﹣12（∠B+∠D）；③∠P=90°+ 12（∠B+∠D）．【解析】试题分析：（1）根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得证；（2）根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据（1）的结论列出整理即可得解；①表示出∠PAD和∠PCD，再根据（1）的结论列出等式并整理即可得解；②根据四边形的内角和等于360°，可得（180°﹣∠1）+∠P+∠4+∠B=360°，∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D=360°，然后整理即可得解；③根据（1）的结论∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠PAD+∠P=∠D+∠PCD，然后整理即可得解．试题解析：（1）∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180゜，∴∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD．∵∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D．（2）①∠P=26゜．∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4．由（1）的结论得：∠PAD+∠P=∠PCD+∠D①，∠PAB+∠P=∠PCB+∠B②，∵∠PAB=∠1，∠1=∠2，∴∠PAB=∠2，∴∠2+∠P=∠3+∠B③，①+③得∠2+∠P+∠PAD+∠P=∠3+∠B+∠PCD+∠D，即2∠P+180°=∠B+∠D+180°，∴∠P=12（∠B+∠D）=26°．②如图4，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴（180°﹣2∠1）+∠B=（180°﹣2∠4）+∠D，在四边形APCB中，（180°﹣∠1）+∠P+∠4+∠B=360°，在四边形APCD中，∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D=360°，∴2∠P+∠B+∠D=360°，∴∠P=180°﹣12（∠B+∠D）；③如图5，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵（∠1+∠2）+∠B=（180°﹣2∠3）+∠D，∠2+∠P=（180°﹣∠3）+∠D，∴2∠P=180°+∠D+∠B，∴∠P=90°+ 12（∠B+∠D）．点睛：本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图并运用好“8字形”的结论，然后列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．6．图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”.如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N.试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；（2）图2中，当∠D=50度，∠B=40度时，求∠P的度数.（3）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系.【答案】（1）∠A+∠D=∠C+∠B；（2）∠P=45°；（3）2∠P=∠D+∠B.【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠D=∠C+∠B；（2）由（1）得，∠DAP+∠D=∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B=∠PAB+∠P②，再根据角平分线的定义可得∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，将①+②整理可得2∠P=∠D+∠B，进而求得∠P的度数；（3）同（2）根据“8字形”中的角的规律和角平分线的定义，即可得出2∠P=∠D+∠B.【详解】解（1）∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，∠AOD=∠BOC，∴∠A+∠D=∠C+∠B；（2）由（1）得，∠DAP+∠D=∠P+∠DCP，①∠PCB+∠B=∠PAB+∠P，②∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，即2∠P=∠D+∠B=50°+40°，∴∠P=45°；（3）关系：2∠P=∠D+∠B；证明过程同（2）.7．（问题背景）（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D；（简单应用）（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD．∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，求∠P的度数；（问题探究）（3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．（拓展延伸）（4）在图4中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP=13∠CAB，∠CDP=13∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为： ______ （用α、β表示∠P,不必证明）【答案】（1）证明见解析；（2）26°；（3）26°；（4）∠P=23α+13β.【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明．（2）根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据（1）的结论列出整理即可得解；（3）表示出∠PAD和∠PCD，再根据（1）的结论列出等式并整理即可得解；（4）列出方程组即可解决问题．【详解】（1）证明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB=180°，在△COD中，∠C+∠D+∠COD=180°，∵∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D；(2) 如图2，∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠2+∠B=∠3+∠P，∠1+∠P=∠4+∠D，∴2∠P=∠B+∠D，∴∠P=12（∠B+∠D）=12×（36°+16°）=26°；(3)如图3，∵AP 平分∠BAD 的外角∠FAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠PAD =180°-∠2，∠PCD =180°-∠3，∵∠P +（180°-∠1）=∠D +（180°-∠3），∠P +∠1=∠B +∠4，∴2∠P =∠B +∠D ，∴∠P =12（∠B +∠D ）=12×（36°+16°）=26°； (4)∠P =23α+13β.8．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ．(1)若∠B ＝72°，∠C ＝30°，①求∠BAE 的度数；②求∠DAE 的度数；(2)探究：如果只知道∠B ＝∠C ＋42°，也能求出∠DAE 的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．【答案】（1）①39°；②21°；（2）21°.【解析】【分析】()1①先根据三角形内角和定理计算出BAC 78∠=，然后根据角平分线定义得到1BAE BAC 392∠∠==；②根据垂直定义得到ADB 90∠=，则利用互余可计算出BAD 90B 18∠∠=-=，然后利用DAE BAE BAD ∠∠∠=-进行计算即可； ()2由B C BAC 180∠∠∠++=，B C 42∠∠=+可消去C ∠得到BAC 2222B ∠∠=-，则根据角平分线定义得到BAE 111B ∠∠=-，接着在ABD 中利用互余得BAD 90B ∠∠=-，然后利用DAE BAE BAD ∠∠∠=-进行计算即可得到DAE 21∠=．【详解】解：()1B C BAC 180∠∠∠++=①，BAC 180723078∠∴=--=，AE 平分BAC ∠，1BAE BAC 392∠∠∴==； AD BC ⊥②，ADB 90∠∴=，BAD 90B 18∠∠∴=-=，DAE BAE BAD 391821∠∠∠∴=-=-=；()2能．B C BAC 180∠∠∠++=，B C 42∠∠=+，C B 42∠∠∴=-，2B BAC 222∠∠∴+=，BAC 2222B ∠∠∴=-，AE 平分BAC ∠，BAE 111B ∠∠∴=-，在ABD 中，BAD 90B ∠∠=-，()()DAE BAE BAD 111B 90B 21∠∠∠∠∠∴=-=---=．【点睛】本题考查三角形内角和定理：三角形内角和是180.掌握角平分线和高的定义，熟练进行角度的运算．9．动手操作，探究：探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系．已知：如图（1），在△ADC 中，DP 、CP 分别平分∠ADC 和∠ACD ，试探究∠P 与∠A 的数量关系．并说明理由．探究二：若将△ADC 改为任意四边形ABCD 呢？已知：如图（2），在四边形ABCD 中，DP 、CP 分别平分∠ADC 和∠BCD ，请你利用上述结论探究∠P 与∠A +∠B 的数量关系，并说明理由．探究三：若将上题中的四边形ABCD 改为六边形ABCDEF 如图（3）所示，请你直接写出∠P 与∠A +∠B +∠E +∠F 的数量关系．【答案】探究一： 90°+12∠A ；探究二：12（∠A +∠B ）；探究三：∠P=12（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°．【解析】试题分析：探究一：根据角平分线的定义可得∠PDC=12∠ADC，∠PCD=12∠ACD，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解.探究二：根据四边形的内角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究一解答即可.探究三：根据六边形的内角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理探究一解答即可.试题解析：探究一：∵DP、CP分别平分∠AD C和∠ACD，∴∠PDC=12∠ADC，∠PCD=12∠ACD，∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD，=180°-12∠ADC-12∠ACD，= 180°-12（∠ADC+∠ACD），=180°-12（180°-∠A），=90°+12∠A；探究二：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，∴∠PDC=12∠ADC，∠PCD=12∠BCD，∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD，=180°-12∠ADC-12∠BCD，=180°-12（∠ADC+∠BCD），=180°-12（360°-∠A-∠B），=12（∠A+∠B）；探究三：六边形ABCDEF的内角和为：（6-2）×180°=720°，∵DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，∴∠PDC=12∠EDC，∠PCD=12∠BCD，∴∠P=180°-∠PDC-∠PCD，=180°-12∠EDC -12∠BCD ， =180°-12（∠EDC +∠BCD ）， =180°-12（720°-∠A -∠B -∠E -∠F ）， =12（∠A +∠B +∠E +∠F ）-180°， 即∠P =12（∠A +∠B +∠E +∠F ）-180°． 点睛：本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，在此类题目中根据同一个解答思路求解是解题的关键.10．已知：如图，等边三角形ABD 与等边三角形ACE 具有公共顶点A ，连接CD ，BE ，交于点P .（1）观察度量，BPC ∠的度数为＿＿＿＿.（直接写出结果）（2）若绕点A 将△ACE 旋转，使得180BAC ∠=︒，请你画出变化后的图形.（示意图）（3）在（2）的条件下，求出BPC ∠的度数.【答案】（1）120°;（2）作图见解析；（3）∠BPC =120°．【解析】分析：（1）∠BPC 的度数为120°，理由为：由△ABD 与△ACE 都是等边三角形，利用等边三角形的性质得到∠DAB=∠ABD=∠CAE=60°，AD=AB ，AC=AE ，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS 得出三角形DAC 与三角形BAE 全等，由全等三角形的对应角相等得到∠ADC=∠ABE ，利用外角性质，等量代换即可得到所求；（2）作出相应的图形，如图所示；（3）解法同（1），求出∠BPC 的度数即可．本题解析：（1）∠BPC 的度数为120°，理由为：证明：∵△ABD 与△ACE 都是等边三角形，∴∠DAB=∠ABD=∠CAE=60°，AD=AB ，AC=AE ，∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，在△DAC与△BAE中，{AD ABDAC BAE AC AE=∠=∠=，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴∠ADC=∠ABE，∵∠ADC+∠CDB=60°，∴∠ABE+∠CDB=60°，∴∠BPC=∠DBP+∠PDB=∠ABE+∠CDB+∠ABC=120°；（2）作出相应的图形，如图所示；（3）∵△ABD与△ACE都是等边三角形，∴∠ADB=∠BAD=∠ABD=∠CAE=60°，AD=AB，AC=AE，∴∠DAB+∠DAE=∠CAE+∠DAE，即∠DAC=∠BAE，在△DAC与△BAE中，{AD ABDAC BAC AC AE=∠=∠=，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴∠ADC=∠ABE，∵∠ABE+∠DBP=60°，∴∠ADC+∠DBP=60°，∴∠BPC=∠BDP+∠PBD=∠ADC+∠DBP+∠ADB=120°．点睛：本题考查了等边三角形的性质，外角性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键.。
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四中周练三角形的角及内角和（三）
【本周练习】
1．已知在中，，，则的度数是( )
A．B．C．D．
2．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为( )
A．4B．5C．6D．7.
3．某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
4．若一个正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数是( )
A．10 B．9 C．8 D．6
5．的内角、、满足，，则这个三角形是( )．A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
6．如图，将纸片沿着折叠压平，则( )．
A．B．
C．D．
7．已知的三个内角的比是，其中是大于1的正整数，那么
是( )
A．锐角三角形．B．直角三角形．C．钝角三角形．D．等腰三
角形．
8．如图，的度数是_______
9．如图，的度数是_______．
10．如图，___________．
11．如图，求___________．
12．如图，求的值．
13．在四边形中，，比大，是的倍，则，，
的大小分
别为__________________．
14．已知多边形的一个内角的外角与其余各角的度数总和为，这个多边形的边数
及相应的外角的
度数分别为__________________．
15．如果一个多边形共有条对角线，则这个多边形的边数是_________．
16．一个凸多边形的内角中，最多有_________个锐角．
17．已知从边形的一个顶点出发共有条对角线，其周长为，且各边长是连续的
自然数，这个多边
形的各边之长分别是________．
18. 若一个多边形的每一个外角都是锐角，则这个多边形的边数一定不小于_________．19．已知一个五边形的外角度数之比为，它的内角大小分别是______．20．如图，已知，求证：．
附加题
1．已知三角形的三个内角分别为、、，且，，则的取值范
围是________．
2．在锐角三角形中，，且最大内角比最小内角大，则的
取值范围是____．
3．在中，三个内角的度数均为整数，且，，则的
度数为______．
4．中，是最小角，是最大角，且，若的最大值是，
最小值是．则
___________．
【参考答案】
1.D．【提示】根据三角形的内角和
2.C
3.D
4.B【提示】可根据多边形的外角和来计算（360÷40=9），也可根据内角和来计算。
5.C【提示】∵3∠A＞5∠B，2∠B≥3∠C，∴3∠A +2∠B＞5∠B +3∠C，
即∠A＞∠B+∠C，不等式两边同时加∠A，∴2∠A＞∠A+∠B+∠C，而∠A+
∠B+∠C=180°，
∴2∠A＞180°，即∠A＞90°，∴这个三角形是钝角三角形．
6.B【提示】根据三角形的内角和推导可得
7.A【提示】可采用特殊值法设3个内角分别为m、m+1、m+2，根据三角形的内角和为
180°即可推得。
8.100°；
9.180°；【提示】连结BC
10.180°；【提示】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及三角形
的内角和等于
180°
11.220°；【提示】连结AD,BC,根据四边形的内角和360°和三角形的内角和180°即可
求得。
12.540°；【提示】延长BC交EF于点M,延长IH交EF于点N,
根据四边形的内角和360°和三角形的内角和180°即可求得。
13.70°,90°,140°；
14.5, 120°或6, 30°；
【提示】设这个内角为x,则其对应的外角为180-x,其余各内角之和为180(n-2)-x
所以(180-x)+[180(n-2)-x]=600 ，x=90n-390
x<180 ，，n=5或6
n=5时，x=90n-390=60 ,外角=180-x=120
n=6时，x=90n-390=150,外角=180-x=30
15.9；【提示】n（n-3）÷2=27，n=9
16.3；【提示】根据任意凸多边形的外角和是360°．可知它的外角中，最多有3个钝角，
则内角中，
最多有3个锐角．
17.．【提示】因为从n边形的一个顶点出发共有条对角线，即n-3=4，
n=7
18.5；
19.60°,84°,108°,132°,156°；
20．方法一：
证明：过G作KH∥EB，
∴∠1=∠EGK
∵∠3=∠1+∠2=∠EGK+∠FGK，
∴∠2=∠FGK，
∴KH∥CF，
∴EB∥CF，
∵∠A+∠B=∠BMD，∠C+∠D=∠CNM，
∴∠A+∠B+∠C+∠D=∠BMD+∠CNM，
∵EB∥CF，∴∠BMD+∠CNM=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠A+∠B+∠C+∠D=∠BMD+∠CNM=180°．
方法二：
证明：延长FG交BE于点H,则有
∠3=∠GHE+∠1
∵∠3=∠1+∠2
∴∠GHE=∠2
∴BE∥CF,（以下做法同方法一）
附加题
1．；
解：∵，
∴，
∴，
∴即，
∴．
2．52°＜∠A＜68°；
解：∵，∴∠C＞∠A＞∠B
∵最大内角比最小内角大，即∠C=∠B+24°∴∠A=180°-24°-2∠B =156°-2∠B，
∴44°＜∠B＜52°，
∴52°＜∠A＜68°．
3．59°；
解：设∠C为x°，
∴∠A=x，∠B=180-∠A-∠C=180-x，
∵∠A＜∠B＜∠C，
∴x＜180-x＜x，
∴70＜x＜84，
∵三个内角均为整数，
∴x=77，
∠B=180-x =59°，
4．175.
解：∵2∠B=5∠A，即∠B=∠A，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-∠A，
又∵是最小角，是最大角，即∠A≤∠C≤∠B，
∴∠A≤180°-∠A，
∴∠A≤40°；
又∵180°-∠A≤∠A，
∴∠A≥30°，
∴30°≤∠A≤40°，即30°≤∠B≤40°，
∴75°≤∠B≤100°
∴m+n=175．。