【数学】上海市宝山区顾村中学2014-2015学年高二上学期期中考试
2014-2015学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案
高二上学期期中考试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．把命题“012,0200<+-∈∃x x R x ”的否定写在横线上__________． 2的倾斜角是 ．3．已知一个球的表面积为264cm π，则这个球的体积为4． “两条直线不相交”是“两条直线是异面直线”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中的一个）5．若直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与直线l 2：x ＋(a －1)y ＋(a 2－1)＝0平行，则实数a ＝________. 6．若圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，则当圆的面积最大时，圆心坐标为________． 7．已知圆锥的底面半径是3，高为4，这个圆锥的侧面积是________． 8．经过点(2,1)A 且到原点的距离等于2的直线方程是____________.9．设,αβ为使互不重合的平面，,m n 是互不重合的直线，给出下列四个命题： ①//,,//m n n m αα⊂若则 ②,,//////m n m n ααββαβ⊂⊂若，，则 ③//,,//m n m n αβαβ⊂⊂若，则 ④若,,,,m n n m n αβαβαβ⊥⋂=⊂⊥⊥则； 其中正确命题的序号为 ．10． 圆心在直线02=-y x 上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为32，则圆C 的标准方程为 .11． 在正三棱柱111C B A ABC -中，各棱长均相等，C B BC 11与的交点为D ，则AD 与平面C C BB11所成角的大小是_______．12．若圆C:222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是13．如图是一个正方体的表面展开图，A 、B 、C 均为棱的中点，D 是顶点，则在正方体中，异面直线AB 和CD 的夹角的余弦值为 。
2014-2015年上海市彭浦中学高二上学期期中数学试卷及答案
2014-2015学年上海市彭浦中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（每小题5分，总分40分）1．（5分）直线l1：ax+2y+3a=0的方向向量恰为l2：3x+（a﹣5）y﹣2=0的一个法向量，则实数a的值为．2．（5分）若行列式中第一行第一列元素3的代数余子式的值为2，则该行列式的值为．3．（5分）已知实数a满足，则a的取值范围为．4．（5分）已知向量与夹角为60°||=2，||=3，则（2﹣）•=．5．（5分）已知，若直线l的方向向量为，则直线l的倾斜角为（用反三角函数表示）．6．（5分）用数学归纳法证明恒等式++…+=1﹣+﹣+…+﹣，则从n=k到n=k+1时，左边要增加的表达式为．7．（5分）过点P（1，4）的直线l在两坐标轴上的截距均为正值，当两截距之和最小时，直线l的方程为．8．（5分）如图所示：在△AOB中，∠AOB=，OA=3，OB=2，BH⊥OA于H，M为线段BH上的点，且=，若，则x+y的值等于．二、解答题（共计4题，总共60分）9．（15分）已知数列ξ中，a1=0，a n+1=（n∈N*）．（1）计算a2，a3，a4；（2）猜想数列{a n}的通项公式并用数学归纳法证明．10．（15分）在坐标平面内，给定向量，对任意非零向量，其关于变换的向量为（1）若，求；（2）若，求．11．（15分）在平面直角坐标系中，已知三定点A（2，1），B（0，﹣1），C（﹣2，1）和两点D，E满足，．（1）求直线DE的斜率k的取值范围和倾斜角α的取值范围；（2）求线段DE的长度的最小值，并求出此时直线DE的方程．12．（15分）将模为的向量绕点O逆时针旋转且模变为原来的得到向量，讲向量绕点O逆时针旋转且模变为原来的得到向量，…，仿此无限进行下去，记△OA1A2的面积为a1，△OA2A3的面积为a2，…，△OA n A n+1的面积为a n，…（1）求所有这些三角形的面积和；（2）对于数列{a n}，能否从中取出无限项组成一个新的等比数列{b n}，使得数列{b n}的各项和为数列{a n}的各项和的？若存在，求出数列{b n}的通项公式；若不存在，写出理由．2014-2015学年上海市彭浦中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题5分，总分40分）1．（5分）直线l1：ax+2y+3a=0的方向向量恰为l2：3x+（a﹣5）y﹣2=0的一个法向量，则实数a的值为2．【解答】解：直线l1：ax+2y+3a=0的方向向量为（2，﹣a）；l2：3x+（a﹣5）y﹣2=0的一个法向量为（3，a﹣5），∴存在实数λ使得（3，a﹣5）=λ（2，﹣a），∴，解得a=2．故答案为：2．2．（5分）若行列式中第一行第一列元素3的代数余子式的值为2，则该行列式的值为6．【解答】解：∵行列式中第一行第一列元素3的代数余子式的值为2，∴x+2=2，∴x=0，∴行列式值为：3×1×0+2×（﹣2）×0+0×2×0﹣0×1×0﹣1×（﹣2）×3﹣0×2×2=6．故答案为：6．3．（5分）已知实数a满足，则a的取值范围为（﹣1，1] ．【解答】解：∵实数a满足，∴=0或1，∴|a|≤1，且a≠﹣1．解得﹣1＜a≤1．∴a的取值范围为（﹣1，1]．故答案为：（﹣1，1]．4．（5分）已知向量与夹角为60°||=2，||=3，则（2﹣）•=5．【解答】解：由向量与夹角为60°，，，则=||•||•cos60°=2×=3，则有=2=2×4﹣3=5．故答案为：55．（5分）已知，若直线l的方向向量为，则直线l的倾斜角为（用反三角函数表示）．【解答】解：∵==，，∴a+2b=0，=﹣1，解得b=﹣2，a=4．∴直线l的方向向量为=（4，﹣2），设直线l的倾斜角为θ．∴．∴θ=．故答案为：．6．（5分）用数学归纳法证明恒等式++…+=1﹣+﹣+…+﹣，则从n=k到n=k+1时，左边要增加的表达式为﹣．【解答】解：n=k时，左边=++…+，n=k+1时，左边=+…+++，∴从n=k到n=k+1时，左边要增加的表达式为+﹣=﹣，故答案为：﹣．7．（5分）过点P（1，4）的直线l在两坐标轴上的截距均为正值，当两截距之和最小时，直线l的方程为2x+y﹣6=0．【解答】解：设直线l的解析式为y﹣4=k（x﹣1），（k＜0），直线l在两轴上的截距分别为a，b，则a=1﹣，b=4﹣k，因为k＜0，﹣k＞0，＞0．∴a+b=5+（﹣k）+≥5+2=5+4=9．当且仅当﹣k=即k=﹣2时a+b 取得最小值9．则所求的直线方程为y﹣4=﹣2（x﹣1），即2x+y﹣6=0．故答案为：2x+y﹣6=08．（5分）如图所示：在△AOB中，∠AOB=，OA=3，OB=2，BH⊥OA于H，M为线段BH上的点，且=，若，则x+y的值等于2．【解答】解：∵=∵=，∴，∵，∴=x（﹣）+y[=（﹣x+y）﹣（x+y），∴x+y=2，故答案为：2．二、解答题（共计4题，总共60分）9．（15分）已知数列ξ中，a1=0，a n+1=（n∈N*）．（1）计算a2，a3，a4；（2）猜想数列{a n}的通项公式并用数学归纳法证明．【解答】解：（1）a2=，a3==，同理可得a4=…（3分）（2）猜想a n=（n=1，2，3，…）…（6分）证明：①当n=1时，结论显然成立…（8分）②假设n=k时，结论成立，即a k=，====，那么当n=k+1时，a k+1即当n=k+1时，等式成立．由①②知，a n=对一切自然数n都成立．…（13分）10．（15分）在坐标平面内，给定向量，对任意非零向量，其关于变换的向量为（1）若，求；（2）若，求．【解答】解：（1）由于，向量，则=（1，﹣1）﹣（1﹣2）•（1，2）=（2，1）；（2）由于，向量，设=（x，y），则，即有（1，﹣1）=（x，y）﹣（x+2y）•（1，2），即有1=x﹣x﹣2y，﹣1=y﹣2x﹣4y，解得，x=，y=﹣，则．11．（15分）在平面直角坐标系中，已知三定点A（2，1），B（0，﹣1），C（﹣2，1）和两点D，E满足，．（1）求直线DE的斜率k的取值范围和倾斜角α的取值范围；（2）求线段DE的长度的最小值，并求出此时直线DE的方程．【解答】解：（1）设D（a，b）；E（c，d），∵，，∴（a﹣2，b﹣1）=（﹣2t，﹣2t）；（c，d+1）=（﹣2t，2t）∴D（2﹣2t，1﹣2t），E（﹣2t，2t﹣1），k=+1，∵t∈[0，1]，∴k∈[﹣1，1]∵k=tanα，∴﹣1≤tanα≤1∵0≤α＜π∴（2）|DE|==，（t∈[0，1]，）当t=时有最小值为2，此时，D（1，0），E（﹣1，0）∴直线DE的方程y=0．12．（15分）将模为的向量绕点O逆时针旋转且模变为原来的得到向量，讲向量绕点O逆时针旋转且模变为原来的得到向量，…，仿此无限进行下去，记△OA 1A2的面积为a1，△OA2A3的面积为a2，…，△OA n A n+1的面积为a n，…（1）求所有这些三角形的面积和；（2）对于数列{a n}，能否从中取出无限项组成一个新的等比数列{b n}，使得数列{b n}的各项和为数列{a n}的各项和的？若存在，求出数列{b n}的通项公式；若不存在，写出理由．【解答】解：（1）a1=||•||==，a2=||==，a3=||•||==，…a n=||•||==．由于数列{a n}为无穷递缩等比数列，则所有这些三角形的面积和为S===1；（2）假设等比数列{b n}的公比为t，则由数列{b n}的各项和为数列{a n}的各项和的，即有=，可取t=，b1=，成立，故存在数列{b n}，且b n==（）2n﹣1，使得数列{b n}的各项和为数列{a n}的各项和的．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：运用举例：1.如图，若点B在x轴正半轴上，点A(4，4)、C(1，－1)，且AB＝BC，AB⊥BC，求点B的坐标；xyBCAO2.如图，在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S、2S、3S、4S，则14S S+=．ls4s3s2s13213. 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不与点B，C重合），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．B4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
2014年上海高二第一学期期中考试数学试卷
开始2a =,1n =输出a结束3a a =1n n =+ 2010n >是 否2014年高二第一学期期中考试数学试题 2014.11一、填空题：（本大题共14小题，每小题4分，满分56分）1. 若矩阵cos60sin60sin60cos60A ︒-︒⎛⎫= ⎪︒︒⎝⎭，⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21-2323-21-B ，则AB = . 2. 用火柴按照下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用的火柴数n a 与所搭三角形的个数n 之间的关系可以是________.3. 等差数列{}n a 的前9项的和等于前4项的和，若,0,141=+=a a a k 则._____=k4. 在等比数列{}n a 中，,4,2141-==a a 则.______21=+++n a a a 5. 设(22,4)a k →=+，(1,8)b k →=+，若→a //b →，则k 的值为 __．6. 已知数列{}n a 满足,3,111n nn a a a +==+则数列._______=n a7. 已知两点()(),3,2.9.4--Q P 则直线PQ 与y 轴的交点分有向线段PQ 的比为_______.8. 程序框图如图所示，将输出的a 的值依次记为1a ，2a ， n a ，那么数列{}n a 的通项公式为._______=n a 9. 行列式{}()2,1,1,,,-∈d c b a dc b a 的所有可能值中，最大的是_______.10. 设数列{}n a 的首项11a =且前n 项和为n S .已知向量(1,)n a a =，11(,)2n b a +=满足a b ⊥，则lim n n S →∞=________11. 用数学归纳法证明等式：aa a a a n n --=++++++111212（1≠a ，*N n ∈），验证1=n时，等式左边= ．12. 如图，1P 是一块半径为1的半圆形纸板，在1P 的左下端剪去一个半径为21的半圆得到图形2P ，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径是前一个被剪掉半圆的半径）可得图形 ,,,,43n P P P ，记纸板n P 的面积为n S ，则=∞→n n S lim _____________.13. 已知数列{}n a 满足(),,,02,11**+∈∈=+-=N n N t a a t a n n 记数列{}n a 的前n 项的和的最大值为()t f ，则().___________=t f14. 在数列{}n a 中，如果存在非零常数T ，使得m T m a a =+对于任意非零正整数m 均成立，那么就称数列{}n a 为周期数列，其中T 叫做数列{}n a 的周期．已知周期数列{}n x 满足11n n n x x x +-=-(*2,n n N ≥∈)且11x =，2x a =(),0a R a ∈≠，当{}n x 的周期最小时，该数列前2005项和是 ． 二、选择题：（本大题共4小题，每小题5分，每题有且只有一个正确答案，满分20分） 15. 向量()(),3,2,2,1-==b a 若b n a m -与b a 2+共线（其中0.≠∈n R n m 且）则=nmA ．21-B. 21C. -2D. 216. 已知无穷等比数列{}n a 的前n 项和*1()3n n S a n N =+∈，且a 是常数，则此无穷等比数列各项的和是 A ．13． B ．13-． C ．1． D ．1-． 17. 已知数列{}n a 的前n 项和5(nn S t t =+是实数)，下列结论正确的是A ．t 为任意实数，{}n a 均是等比数列B ．当且仅当1t =-时，{}n a 是等比数列C ．当且仅当0t =时，{}n a 是等比数列D ．当且仅当5t =-时，{}n a 是等比数列 18. 一条曲线是用以下方法画成：ABC ∆是边长为1的正三角形，曲线1CA 、1223A A A A 、分别以A B C 、、为圆心，12AC BA CA 、、为半径画的弧， 123CA A A 为曲线的第1圈，然后又以A 为圆心，3AA 为半径画弧，这样画到第n 圈，则所得曲线12332313n n n CA A A A A A --的总长度n S 为A. (31)n n π+B.(1)3n n π+ C. 2(31)n π- D. (1)n n π+三、解答题：（本大题共5小题，每小题必须写出必要的解题过程，满分74分） 19.（12分）用行列式讨论关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=++=+m my x m y mx 21解的情况并求解20.（14分） 已知向量(sin ,cos )a x x =, (sin ,sin )b x x =， (1,0)c =-. （1）若3x π=，求向量a 、c 的夹角θ；（2）若3,84x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，函数b a x f ⋅=λ)(的最大值为21，求实数λ的值.21. （14分）已知数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，且满足13n n a S +=，*N n ∈．数列{}n b 满足4log n n b a =. （1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 当*N n ∈时，试比较12n b b b +++与()2112n -的大小，并说明理由.22. （16分）已知数列{}n a 满足：16a =，)2)(1(21++++=+n n a nn a n n 。
【小初高学习】高二数学上学期期中试卷(含解析)2
2015-2016学年上海市华师大二附中高二（上）期中数学试卷一、填空题1．计算： = ．2．关于x，y的方程组的增广矩阵是．3．方程的解为．4．已知M（2，5），N（3，﹣2），点P在直线上，且满足=3．则点P的坐标为．5．已知数列{log2（a n﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a2=5，则= ．6．已知无穷等比数列{a n}的所有项的和为3，则a1的取值范围为．7．直线过（﹣1，3）且在x，y轴上的截距的绝对值相等，则直线方程为．8．在△ABC中，A（2，4），B（1，﹣3），C（﹣2，1），则边BC上的高AD所在的直线的点斜式方程为．9．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是．10．已知，α∈（0，π），β∈（π，2π），与的夹角为θ1，与的夹角为θ2，且= ．二、选择题11．如图给出了一个算法流程图，该算法流程图的功能是（）A．求三个数中最大的数B．求三个数中最小的数C．按从小到大排列D．按从大到小排列12．下列有关平面向量分解定理的四个命题中：①一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基；③平面向量的基向量可能互相垂直；④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合．正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．413．对于向量（i=1，2，…n），把能够使得||+||+…+||取到最小值的点P称为A i（i=1，2，…n）的“平衡点”．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，延长BC至E，使得BC=CE，联结AE，分别交BD、CD于F、G两点．下列结论中，正确的是（）A．A、C的“平衡点”必为OB．D、C、E的“平衡点”为D、E的中点C．A、F、G、E的“平衡点”存在且唯一D．A、B、E、D的“平衡点”必为F14．在平面直角坐标系中定义两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的交通距离为d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．若C（x，y）到点A（1，3），B（6，9）的交通距离相等，其中实数x，y 满足0≤x≤10，0≤y≤10，则所有满足条件的点C的轨迹的长之和为（）A．1 B． C．4 D．5（+1）三、解答题（共5题，满分44分）15．用在矩阵行列式中所学的知识和方法，解方程组：．16．已知命题P：，其中c为常数，命题Q：把三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式记为f（x），且函数f（x）在上单调递增．若命题P是真命题，而命题Q是假命题，求实数c的取值范围．17．已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线与两坐标轴围成一个四边形，求使这个四边形面积取最小时的k的值及最小面积的值．18．M为△ABC的中线AD的中点，过点M的直线分别交两边AB，AC于点P，Q，设，记y=f（x）．（1）求函数y=f（x）的表达式；（2）求的取值范围．19．对于任意的n∈N*，若数列{a n}同时满足下列两个条件，则称数列{a n}具有“性质m”：①；②存在实数M，使得a n≤M成立．（1）数列{a n}、{b n}中，a n=n（n∈N*）、（n∈N*），判断{a n}、{b n}是否具有“性质m”；（2）若各项为正数的等比数列{c n}的前n项和为S n，且，，证明：数列{S n}具有“性质m”，并指出M的取值范围；（3）若数列{d n}的通项公式（n∈N*）．对于任意的n≥3（n∈N*），数列{d n}具有“性质m”，且对满足条件的M的最小值M0=9，求整数t的值．2015-2016学年上海市华师大二附中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．计算： = ．【考点】极限及其运算．【专题】计算题．【分析】先分子分母同除以n2，再利用极限的运算性质可求．【解答】解：由题意，，故答案为．【点评】本题主要考查极限的运算及性质，属于基础题．2．关于x，y的方程组的增广矩阵是．【考点】矩阵的应用．【专题】计算题；规律型；矩阵和变换．【分析】先把方程组方程组改写为，再由增广矩阵的概念进行求解．【解答】解：二元一次方程组，即，∴二元一次方程组的增广矩阵是，故答案为：【点评】本题考查二元一次方程组的矩阵形式，是基础题，解题时要认真审题，注意熟练掌握增广矩阵的概念．3．方程的解为x1=2，x2=log25 ．【考点】三阶矩阵．【专题】计算题．【分析】可以用三阶矩阵的化简方法把方程左边化简，得到一个关于2x的一元二次方程，解出x即可【解答】解：由，化简得：方程﹣20×2x+4x+11×2x+20=0则方程同解于（2x）2﹣9×2x+20=0得2x=4或2x=5，x1=2，x2=log25故方程的解为x1=2，x2=log25．故答案为：x1=2，x2=log25【点评】考查学生转化三阶矩阵的方法，掌握三阶矩阵的计算方法．4．已知M（2，5），N（3，﹣2），点P在直线上，且满足=3．则点P的坐标为（，）．【考点】线段的定比分点．【专题】计算题．【分析】由题意可得点P分成的比为λ==3，由定比分点坐标公式求出点P的坐标．【解答】解：由题意可得点P分成的比为λ==3，由定比分点坐标公式可得x==，y==﹣，故点P的坐标为（，）．故答案为：（，）．【点评】本题主要考查线段的定比分点分有向线段成的比的定义，线段的定比分点坐标公式的应用，属于基础题．5．已知数列{log2（a n﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a2=5，则= 1 ．【考点】数列的极限；等差数列的通项公式．【专题】综合题；方程思想．【分析】由题意，可先由数列{log2（a n﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a2=5得出数列{log2（a n﹣1）}的首项为1，公差为1，由此解出log2（a n﹣1）=1+（n﹣1）×1=n，从而求出a n=1+2n，再研究a n+1﹣a n=2n+1+1﹣2n﹣1=2n即可得出=，结合等比数列的求和公式计算出所求的极限即可【解答】解：数列{log2（a n﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a2=5数列的公差为log24﹣log22=1，故log2（a n﹣1）=1+（n﹣1）×1=n，即a n﹣1=2n，a n=1+2n，∴a n+1﹣a n=2n+1+1﹣2n﹣1=2n∴=故答案为1【点评】本题考查数列与极限的综合，考查了等差数列的性质，通项公式，对数的运算，等比数列的求和等，涉及到的知识点多，综合性强，解题的关键是由题设条件求出a n=1+2n，难度较高6．已知无穷等比数列{a n}的所有项的和为3，则a1的取值范围为{x|0＜x＜6，且x≠3}．【考点】等比数列的通项公式．【专题】分类讨论；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由题意可得： =3，0＜|q|＜1，解出即可得出．【解答】解：由题意可得： =3，0＜|q|＜1，∴a1=3（1﹣q）∈（0，6），且a1≠3．∴a1的取值范围为{x|0＜x＜6，且x≠3}．故答案为：{x|0＜x＜6，且x≠3}．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式性质、极限的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．直线过（﹣1，3）且在x，y轴上的截距的绝对值相等，则直线方程为3x+y=0、x﹣y+4=0，或x+y﹣2=0 ．【考点】直线的截距式方程．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】当直线经过原点时，斜率为﹣3，可得要求的直线方程．当直线不经过原点时，设要求的直线方程为x±y=k，再把点（﹣1，3）代入求得k的值，可得要求的直线方程，综合可得结论．【解答】解：当直线经过原点时，斜率为=﹣3，要求的直线方程为y=﹣3x，即3x+y=0．当直线不经过原点时，设要求的直线方程为x±y=k，再把点（﹣1，3）代入可得﹣1﹣3=k，或﹣1+3=k，求得k=﹣4，或k=2，故要求的直线方程为x﹣y+4=0，或x+y﹣2=0．综上可得，要求的直线方程为 3x+y=0、x﹣y+4=0，或x+y﹣2=0，故答案为：3x+y=0、x﹣y+4=0，或x+y﹣2=0．【点评】本题主要考查求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．8．在△ABC中，A（2，4），B（1，﹣3），C（﹣2，1），则边BC上的高AD所在的直线的点斜式方程为y=x+．【考点】直线的点斜式方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】先求出BC所在直线的斜率，根据垂直得出BC边上的高所在直线的斜率，由点斜式写出直线方程，并化为一般式．【解答】解：BC边上的高所在直线过点A（2，4），斜率为=﹣=，由点斜式写出BC边上的高所在直线方程为y﹣4=（x﹣2），即y=x+故答案为：y=x+．【点评】本题考查两直线垂直时，斜率间的关系，用点斜式求直线方程的方法．9．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是 5 ．【考点】点到直线的距离公式．【专题】直线与圆．【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值．【解答】解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5【点评】本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．10．已知，α∈（0，π），β∈（π，2π），与的夹角为θ1，与的夹角为θ2，且= ﹣．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】转化思想；向量法；三角函数的求值；平面向量及应用．【分析】由α∈（0，π），可得的范围．利用向量的夹角公式化简可得θ1=，同理可得θ2=﹣，再利用θ1﹣θ2=，即可得出sin的值．【解答】解：α∈（0，π），∴∈（0，）．∵•=1+cosα，||==，||=1，∴cosθ1=====cos，∴θ1=．∵β∈（π，2π），∴∈（，π），∴∈（0，）．∵•=1﹣cosβ，||==，∴cosθ2====sin=cos（﹣），∴θ2=﹣，∵θ1﹣θ2=，∴﹣（﹣）=，化为=﹣，sin=sin（﹣）=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了向量的夹角公式、数量积运算、倍角公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．二、选择题11．如图给出了一个算法流程图，该算法流程图的功能是（）A．求三个数中最大的数B．求三个数中最小的数C．按从小到大排列D．按从大到小排列【考点】程序框图．【专题】图表型；分类讨论；分析法；算法和程序框图．【分析】本题主要考查了条件结构叠加，程序执行时需依次对“条件1”、“条件2”、“条件3”…都进行判断，只有遇到能满足的条件才执行该条件对应的操作，结合流程图进行判断即可．【解答】解：条件结构叠加，程序执行时需依次对“条件1”、“条件2”、“条件3”…都进行判断，只有遇到能满足的条件才执行该条件对应的操作．根据流程图可知当a＞b时取b，当b＞c时取c可知求三个数中最小的数故选：B．【点评】本题主要考查了选择结构，根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，算法和流程图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．12．下列有关平面向量分解定理的四个命题中：①一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基；③平面向量的基向量可能互相垂直；④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合．正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】向量的物理背景与概念．【专题】对应思想；定义法；平面向量及应用．【分析】根据平面向量的基本定理，作为平面内所有向量的一组基底是两个向量不共线，由此对四个选项作出判断即可．【解答】解：一个平面内有无数多对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基，∴①错误，②正确；平面向量的基向量可能互相垂直，如正交基，∴③正确；平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内两个互不平行向量的线性组合，如果是三个不共线的向量，表示法不唯一，∴④错误．综上，正确的命题是②③．故选：B．【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用问题，解题的关键是理解作为基底的两个向量不共线，是基础题目．13．对于向量（i=1，2，…n），把能够使得||+||+…+||取到最小值的点P称为A i（i=1，2，…n）的“平衡点”．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，延长BC至E，使得BC=CE，联结AE，分别交BD、CD于F、G两点．下列结论中，正确的是（）A．A、C的“平衡点”必为OB．D、C、E的“平衡点”为D、E的中点C．A、F、G、E的“平衡点”存在且唯一D．A、B、E、D的“平衡点”必为F【考点】向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】利用平面向量知识求解．【解答】解：A、C的“平衡点”为线段上的任意一点，故A错误；D、C、E的“平衡点”为三角形内部对3边张角均为120°的点，故B错误；A、F、G、E的“平衡点”是线段FG上的任意一点，故C错误；∵矩形ABCD的两条对角线相交于点O，延长BC至E，使得BC=CE，联结AE，分别交BD、CD于F、G两点，∴A、B、E、D的“平衡点”必为F，故D正确．故选：D．【点评】本题考查“平衡点”的求法，是中档题，解题时要注意平面向量知识的合理运用．14．在平面直角坐标系中定义两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的交通距离为d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．若C（x，y）到点A（1，3），B（6，9）的交通距离相等，其中实数x，y 满足0≤x≤10，0≤y≤10，则所有满足条件的点C的轨迹的长之和为（）A．1 B． C．4 D．5（+1）【考点】轨迹方程．【专题】新定义．【分析】根据已知条件可推断出|x﹣1|+|y﹣3|=|x﹣6|+|y﹣9|，对y≥9，y≤3和3≤y≤9时分类讨论求得x和y的关系式，进而根据x的范围确定线段的长度，最后相加即可．【解答】解：由题意得，C（x，y）到点A（1，3），B（6，9）的交通距离相等，所以|x﹣1|+|y﹣3|=|x﹣6|+|y﹣9| (1)当y≥9时，（1）化为|x﹣1|+6=|x﹣6|，无解；当y≤3时，（1）化为|x﹣1|=6+|x﹣6|，无解；当3≤y≤9时，（1）化为2y﹣12=|x﹣6|﹣|x﹣1|．若x≤1，则y=8.5，线段长度为1；若1≤x≤6，则x+y=9.5，则线段长度为5；若x≥6，则y=3.5，线段长度为4．综上可知，点C的轨迹构成的线段长度之和为1+5+4=5（1+），故选：D．【点评】本题主要考查了新定义，两点间的距离公式的应用，以及分类讨论思想化简绝对值方程，考查了学生分析问、解决问题的能力．三、解答题（共5题，满分44分）15．用在矩阵行列式中所学的知识和方法，解方程组：．【考点】二元一次方程组的矩阵形式．【专题】计算题；方程思想；综合法；矩阵和变换．【分析】先求出D==﹣m2﹣3m，当D≠0时，原方程组有唯一的解；当D=0时，原方程组无解或有无数个解．【解答】解：∵，∴D==﹣m2﹣3m，当D=﹣m2﹣3m≠0，即m≠0且m≠﹣3时，方程组有唯一的解=，y==﹣2．当D=﹣m2﹣3m=0，即m=0或m=﹣3时，原方程无解或有无数个解．【点评】本题考查二元一次方程组的矩阵形式的解法及应用，是基础题，解题时要注意系数矩阵的性质的合理运用．16．已知命题P：，其中c为常数，命题Q：把三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式记为f（x），且函数f（x）在上单调递增．若命题P是真命题，而命题Q是假命题，求实数c的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】综合题；转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】先由已知命题P是真命题，得：c为常数，根据三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式写出f（x）=﹣x2+cx﹣4，结合函数f（x）在上单调递增．求得c的取值范围，最后即可解决问题．【解答】解：由已知命题P：，其中c为常数，是真命题，得：c为常数三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式记为f（x），则f（x）=﹣x2+cx﹣4，且函数f（x）在上单调递增．∴函数f（x）在上单调递增，≥⇒c≥，∵命题Q是假命题，∴c＜．∴命题P是真命题，而命题Q是假命题，实数c的取值范围是﹣1＜c＜．【点评】本题主要考查了极限及其运算、三阶矩阵等，解答的关键是条件：“复合命题的真假判断”的应用．17．已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线与两坐标轴围成一个四边形，求使这个四边形面积取最小时的k的值及最小面积的值．【考点】直线的一般式方程．【专题】综合题；函数思想；数形结合法；直线与圆．【分析】求出两直线经过的定点坐标，再求出直线与x 轴的交点，与y 轴的交点，得到所求的四边形，求出四边形的面积表达式，应用二次函数的知识求面积最小时的k值与最小面积值．【解答】解：如图所示：直线L：kx﹣2y﹣2k+8=0 即k（x﹣2）﹣2y+8=0，过定点B（2，4），与y轴的交点C（0，4﹣k），直线M：2x+k2y﹣4k2﹣4=0，即 2x+k2（y﹣4）﹣4=0，过定点（2，4 ），与x轴的交点A（2k2+2，0），由题意，四边形的面积等于三角形ABD的面积和梯形 OCBD的面积之和，∴所求四边形的面积为×4×（2 k2+2﹣2）+×（4﹣k+4）×2=4k2﹣k+8，∴当k=时，所求四边形的面积最小，最小面积的值为．【点评】本题考查了直线过定点问题，以及二次函数的最值问题，考查了数形结合思想的应用问题，是基础题．18．M为△ABC的中线AD的中点，过点M的直线分别交两边AB，AC于点P，Q，设，记y=f（x）．（1）求函数y=f（x）的表达式；（2）求的取值范围．【考点】函数解析式的求解及常用方法；向量的线性运算性质及几何意义．【专题】转化思想；函数的性质及应用；导数的概念及应用；平面向量及应用．【分析】（1）由D为BC的中点，M为AD的中点，，结合平面向量的基本定理及三点共线的充要条件，可得关于xy的方程，进而可得函数y=f（x）的表达式；（2）设△ABC的面积为1，则△APQ的面积S=xy=，（≤x≤1），利用导数法，求出函数的值域，可得答案．【解答】解：（1）如图所示：∵D为BC的中点，M为AD的中点，∴==（）=，又∵PQM三点共线，故=λ+（1﹣λ）=，故，故=1，即y=f（x）=，（≤x≤1）（2）设△ABC的面积为1，则△APQ的面积S=xy=，（≤x≤1）故S′=，当≤x时，S′＜0，函数为减函数，当＜x≤1时，S′＞0，函数为增函数，故当x=时，S取最小值，当x=，或x=1时，S取最大值，故∈[，]．【点评】本题考查的知识点是函数的解析式的求解，向量的线性运算，向量共线的充要条件，三角形面积公式，难度中档．19．对于任意的n∈N*，若数列{a n}同时满足下列两个条件，则称数列{a n}具有“性质m”：①；②存在实数M，使得a n≤M成立．（1）数列{a n}、{b n}中，a n=n（n∈N*）、（n∈N*），判断{a n}、{b n}是否具有“性质m”；（2）若各项为正数的等比数列{c n}的前n项和为S n，且，，证明：数列{S n}具有“性质m”，并指出M的取值范围；（3）若数列{d n}的通项公式（n∈N*）．对于任意的n≥3（n∈N*），数列{d n}具有“性质m”，且对满足条件的M的最小值M0=9，求整数t的值．【考点】数列的求和；数列的应用．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（1）由于=a n+1，不满足条件①，因此 {a n}不具有“性质m”；由于=1﹣＜1﹣＜1﹣=b n+1，又＜1（n∈N*），即可判断出；（2）等比数列{c n}的公比为q＞0且q≠1，由，，可得，解得c1，q．可得S n=2．进而验证即可证明．（3）对于任意的n≥3（n∈N*），数列{d n}具有“性质m”，利用＜d n+1，化为：t＞，可得t＞1．另一方面：≤9，可得t≤3，即可得出．【解答】（1）解： ==n+1=a n+1，不满足条件①，因此 {a n}不具有“性质m”；==1﹣=1﹣＜1﹣＜1﹣=b n+1，因此{b n}满足条件①，又＜1（n∈N*），因此存在M=1，使得b n＜M，综上可得{b n}是否具有“性质m”．（2）证明：等比数列{c n}的公比为q＞0且q≠1，∵，，∴，解得c1=1，q=．∴S n==2．∵==2=2﹣＜2﹣=S n+1，∴数列{S n}满足条件①．又S n=2＜2，∴存在M=2，使得S n＜M，数列{S n}满足条件②．综上可得：数列{S n}具有“性质m”，M的取值范围是[2，+∞）．（3）对于任意的n≥3（n∈N*），数列{d n}具有“性质m”，∴＜d n+1，化为：t＞，∴t＞1．另一方面：≤9，∴=3+，∴t≤3，∴1＜t≤3，∴整数t=2，3．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、不等式的性质、新定义、有界数列，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2022-2023学年上海市顾村中学高二上学期期中考试化学试卷含详解
上海市顾村中学2022学年第一学期期中考试卷高二年级化学学科一、单选题(每题2分，共50分)1.金属在人类文明进步和社会发展中起着重要的作用，下列关于金属的叙述正确的是。
A.金属都是银白色的固体，都具有较高的硬度和密度B.金属元素的单质在常温下均为固体C.金属单质都可以和酸发生置换反应产生氢气D.金属在化合物中一定显正化合价2.化学反应中一定伴随着能量的变化，下列有关能量的说法错误的是A.原电池是把化学能转化成电能的装置B.中和反应都是放热反应C.冰融化是吸热反应D.任何化学反应都伴随着能量的变化3.下列关于金属的叙述不正确的是A.金属钠在空气中燃烧生成过氧化钠B.在点燃镁条之前应先用砂纸打磨，除去表面的氧化膜C.铁粉和硫粉混合加热，生成23Fe S D.铁在氧气中燃烧生成的氧化物，主要是34Fe O 4.下列各组物质反应时，没有氢气产生的是A.铜和浓硫酸B.铁与灼热的水蒸气C.钠和水D.锌与盐酸5.纯净铁的物理性质有①光亮的银白色②黑色③在潮湿的空气中易被腐蚀④有延展性⑤能导电导热⑥硬而脆⑦能被磁铁吸引，易被磁化A.①③④⑤⑦B.①④⑤⑦C.①③⑤⑦D.全部6.下列关于金属冶炼的说法中正确的是A.加热辰砂，使它分解可以冶炼得到汞B.热还原法常用的还原剂有2CO H C Al 、、、等C.金属Na Mg Al 、、均能通过电解熔融氯化物的方法获得D.人类历史上金属被发现的顺序与金属的活泼性无关7.下列关于金属Al 的说法不正确的是A.有显著导电性B.熔点高于Mg Al -合金C.硬度强于Mg Al -合金D.表面易被氧化成一层致密氧化膜8.维生素C 又称“抗坏血酸”，能帮助人体将食物中摄取的、不易吸收的Fe 3+转化为易吸收的Fe 2+，下列有关分析错误的是A.维生素C 具有还原性B.Fe 3+转化为Fe 2+发生了氧化反应C.维生素C 药片应隔绝空气保存D.向Fe 3+的溶液中加入Cu ，也能将Fe 3+转化为Fe 2+9.下列金属与水反应最剧烈的是A.LiB.NaC.AlD.Mg10.下列有关金属及其化合物的说法错误的是A.铁丝在氯气中剧烈燃烧，生成FeCl 2B.配制FeSO 4溶液时加入少量的铁粉C.Fe(OH)2在空气中易被氧化成红褐色的Fe(OH)3D.23Fe O 可用于制作红色油漆或涂料11.将少量Zn 片投入含Na +、2Mg +、2Cu +、Ag +的溶液中，最先得到的金属是A.NaB.MgC.AgD.Cu12.日常生活中，下列做法主要利用了物质化学性质的是A.无水酒精洗涤手机屏幕B.金刚石用来切割玻璃C.汽油洗涤衣物上的油渍D.小苏打治疗胃酸过多13.关于如图所示装置的叙述，正确的是A.该装置能将化学能转化为电能B.锌是正极，锌片质量逐渐减少C.电子由铜片经导线流向锌片D.原电池发生的反应为2442Zn+H SO ZnSO +H =↑14.下列说法正确的是A.还原铁粉可用作食品干燥剂B.用洁净的铂丝蘸取白色粉末在火焰上灼烧，火焰呈黄色，说明该白色粉末是钠盐C.钾、钠、镁等活泼金属着火时，不能用泡沫灭火器灭火D.氧化亚铁在空气中加热会被迅速氧化成三氧化二铁15.X 、Y 、Z 为三种金属，已知①2442X H SO XSO =H ++↑②()332Y 2ZNO Y NO =2Z ++③Y 与稀硫酸不反应，则下列符合要求的X、Y、Z分别是A.Fe Ag CuB.Cu Hg AgC.Mg Zn FeD.Fe Cu Ag16.有A、B两种金属放入等质量分数的稀硫酸中，生成氢气的质量与反应时间关系如图所示，下列结论合理的有A.金属活动性A>BB.生成氢气的质量A>BC.反应的硫酸质量A<BD.反应的金属质量A<B17.下列装置能构成原电池的是A. B. C. D.18.在西汉刘安编撰的《淮南万毕术》中，有“曾青得铁则化为铜”的记载。
上海市宝山区宝山中学2017-2018学年高二下期中数学试题(无答案)word
2017学年第二学期高二期中数学试卷一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1、若复数ii Z -+=13（i 为虚数单位），则其共轭复数在复数平面上对应的点位于______象限 2、若i 21+是关于x 的实系数方程022=+-c x x 的一个复数根，则c =_____3、若圆锥的母线长为10，底面半径为6，则侧面展开图扇形的圆心角为_____4、4名男3名女站一排照相，若3名女生在一起，则排法种数为______5、如右图，圆锥的轴截面为等腰直角三角形SAB ，若圆锥体积为π38，则圆锥的侧面积为_____6、球的表面积为264cm π，用一个平面截球，使截面圆的半径为cm 3，则截面与球心的距离是______7、一个正三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的全面积为_______8、在右图直三棱柱111C B A ABC -中，︒=∠90ABC ，1==BC AB ，21=AA ，则异面直线1BB 与AC 的距离为______9、一个圆柱形容器的轴截面尺寸如图所示，容器内有一个实心的球，球的直径恰等于圆柱的高。
现用水将该容器注满，然后取出该球（假设球的密度大于水且操作过程中水量损失不计），则球取出后，容器中水面的高度为______cm10、多瑙河三角洲的某地点A 位于北纬︒45东经︒30，大兴安岭地区的某地点B 位于北纬︒45东经︒120，设地球半径为R ，则B A 、两地之间的球面距离是______11、下列命题中，正确的序号是______①直线上有两个点到平面的距离相等，则这条直线和这个平面平行②过球面上任意两点的大圆有且只有一个③直四棱柱是直平行六面体④b a 、为异面直线，则过a 且与b 平行的平面有且仅有一个⑤两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥12、如图，在三棱锥ABC P -中PC PB PA 、、两两垂直，且1,2,3===PC PB PA ，设M 是底面三角形ABC 内一动点，定义：),,()(p n m M f =，其中p n m 、、分别是三棱锥PAB M -、三棱锥PBC M -、三棱锥PAC M -的体积。
2014-2015学年上海市宝山区行知中学高二(上)数学期中试卷带解析答案
2014-2015学年上海市宝山区行知中学高二（上）期中数学试卷一、填空题：（本题共14小题，每小题4分，满分56分）1．（4分）若=﹣，设=λ，则λ的值为．2．（4分）已知{a n}是等比数列，则方程组的解的个数是．3．（4分）已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（﹣3，），则行列式的值为．4．（4分）等边△ABC边长为1，则=．5．（4分）向量经矩阵变换后得到矩阵，则x﹣y=．6．（4分）执行如图所示的程序框图，若输入p的值是7，则输出S的值是．7．（4分）如果=，那么a的取值范围是．8．（4分）用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+m）=2n•1•3•…•（2n﹣1），从k到k+1，左边需要增乘的代数式为．9．（4分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若=a3+a2012，且A，B，C 三点共线（该直线不过点O），则S2014=．10．（4分）已知与均为非零向量，给出下列命题：①（•）2=（）2•（）2；②||•=（）2；③若•=•，则；④（•）•=•（•），上述命题中，真命题的个数是．11．（4分）在等差数列{a n}中，a1=13，前n项和为S n，且S3=S11，则使得S n最大的正整数n为．12．（4分）已知A，B，C，D四点的坐标分别为A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），D（2，0），P是线段CD上的任意一点，则的最小值是．13．（4分）记为数列{a n}的调和平均值，S n为自然数列{n}的前n项和，若H n为数列{S n}的调和平均值，则=．14．（4分）给出30行30列的数表A：，其特点是每行每列都构成等差数列，记数表主对角线上的数1，10，21，34， (1074)顺序构成数列{b n}，存在正整数s、t（1＜s＜t）使b1，b s，b t成等差数列，试写出一组（s，t）的值．二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，满分20分）15．（5分）如果（1﹣2x）n存在，那么x的取值范围是（）A．0≤x＜1 B．0＜x＜1 C．0≤x≤1 D．0＜x≤116．（5分）已知、是夹角为60°的两个单位向量，则=2+和b=﹣3+2的夹角是（）A．30°B．60°C．120° D．150°17．（5分）过△ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点D、E．若，，xy≠0，则的值为（）A．4 B．3 C．2 D．118．（5分）有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是（）A．4 B．5 C．6 D．7三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，每题解题过程写在该题的答题框内，否则不计分．19．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，且三阶行列式+2n，其中n∈N*，（1）求证：数列{}为等差数列；（2）求数列{a n}的通项．20．（14分）在一次人才招聘会上，有A、B两家公司分别开出它们的工资标准：A公司允诺第一年月工资为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B公司允诺第一年月工资为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%；设某人年初被A，B两家公司同时录取，试问：（1）若该人分别在A或B公司连续工作n年，则他在第n年的月工资收入分别是多少；（2）该人分别在A或B公司连续工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其他因素），该人应该选择哪家公司，为什么？21．（14分）已知向量，向量与向量的夹角为，且．（1）求向量；（2）若向量与共线，向量，其中A、C为△ABC 的内角，且A、B、C依次成等差数列，求的取值范围．22．（16分）已知非零向量列{}满足：=（x1，y1），=（x n，y n）=（x n﹣1﹣y n﹣1，x n+1+y n+1）（n≥2，n∈N*），（1）证明：数列{||}是等比数列；（2）向量与的夹角；（3）设=（1，2），将，，…，…中所有与共线的向量按原来的顺序排成一列，记作，，…，…，令=+++…+，O为坐标原点，求点B n的坐标．23．（18分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=a（a≠3），，设，n∈N*．（1）求证：数列{b n}是等比数列；（2）若a n+1≥a n，n∈N*，求实数a的最小值；（3）当a=4时，给出一个新数列{e n}，其中，设这个新数列的前n项和为C n，若C n可以写成t p（t，p∈N*且t＞1，p＞1）的形式，则称C n为“指数型和”．问{C n}中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由．2014-2015学年上海市宝山区行知中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本题共14小题，每小题4分，满分56分）1．（4分）若=﹣，设=λ，则λ的值为．【解答】解：∵=﹣，∴，化为，而=λ，∴．故答案为：．2．（4分）已知{a n}是等比数列，则方程组的解的个数是无数个．【解答】解：∵{a n}是等比数列，∴，∴直线a1x+a2y=a4与a5x+a6y=a8重合，∴方程组的解的个数是无数个．故答案为：无数个．3．（4分）已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（﹣3，），则行列式的值为．【解答】解：角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（﹣3，），∴OP==2．∴sinα=，cosα=，tanα=．=sinαcosα﹣tanα==．故答案为：．4．（4分）等边△ABC边长为1，则=．【解答】解：如图，=cos120°+cos120°+cos120°=﹣．故答案为：．5．（4分）向量经矩阵变换后得到矩阵，则x﹣y=1．【解答】解：∵向量经矩阵变换后得到矩阵，∴==，∴x=3，y=2，∴x﹣y=1．故答案为：1．6．（4分）执行如图所示的程序框图，若输入p的值是7，则输出S的值是．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是：输出S=2﹣1+2﹣2+…+2﹣6的值．而S=2﹣1+2﹣2+…+2﹣6==最后输出的值为．故答案为：．7．（4分）如果=，那么a的取值范围是（﹣4，2）．【解答】解：=，可得=，可得，解得a∈（﹣4，2）．故答案为：（﹣4，2）．8．（4分）用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+m）=2n•1•3•…•（2n﹣1），从k到k+1，左边需要增乘的代数式为2（2k+1）．【解答】解：当n=k时，左边等于（k+1）（k+2）…（k+k）=（k+1）（k+2）…（2k），当n=k+1时，左边等于（k+2）（k+3）…（k+k）（2k+1）（2k+2），故从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是=2（2k+1），故答案为2（2k+1）．9．（4分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若=a3+a2012，且A，B，C 三点共线（该直线不过点O），则S2014=1007．【解答】解：∵A，B，C三点共线（该直线不过点O），=a 3+a2012，∴a3+a2012=1，∴S2014==1007．故答案为：1007．10．（4分）已知与均为非零向量，给出下列命题：①（•）2=（）2•（）2；②||•=（）2；③若•=•，则；④（•）•=•（•），上述命题中，真命题的个数是0个．【解答】解：①（•）2=（||•||cosθ）2=||2•||2•cos2θ=（）2•（）2•cos2θ，故①错误；②||•是一个向量，（）2是一个数量，故不可能相等，故②错误；③若•=•，则，在上的投影相同，但不一定有，故③错误；④（•）•表示一个与共线的向量，而•（•）表示一个与共线的向量，故④错误，故上述命题中，真命题的个数是0个，故答案为：0个11．（4分）在等差数列{a n}中，a1=13，前n项和为S n，且S3=S11，则使得S n最大的正整数n为7．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=13，且S3=S11，∴3×13+d=11×13+d，解得d=﹣2，∴a n=13﹣2（n﹣1）=15﹣2n，令15﹣2n≤0可解得n≥，∴等差数列{a n}的前7项均为正数，从第8项开始为负值，∴使得S n最大的正整数n为7，故答案为：712．（4分）已知A，B，C，D四点的坐标分别为A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），D（2，0），P是线段CD上的任意一点，则的最小值是．【解答】解：因为C（0，1），D（2，0），所以线段CD的方程为：x+2y﹣2=0，设点p（a，b），则b=1﹣a，并且a∈[0，2]，因为A（﹣1，0），B（1，0），所以=（a+1，b），=（a﹣1，b），所以=a2﹣1+b2==，a∈[0，2]所以由二次函数的性质可得：当a=时由最小值．故答案为：．13．（4分）记为数列{a n}的调和平均值，S n为自然数列{n}的前n项和，若H n为数列{S n}的调和平均值，则=．【解答】解：S n为自然数列{n}的前n项和，所以S n=，∵为数列{a n}的调和平均值，∴H n为数列{S n}的调和平均值，H n=====，∴==．故答案为：．14．（4分）给出30行30列的数表A：，其特点是每行每列都构成等差数列，记数表主对角线上的数1，10，21，34， (1074)顺序构成数列{b n}，存在正整数s、t（1＜s＜t）使b1，b s，b t成等差数列，试写出一组（s，t）的值（17，25）．【解答】解：由题意可得，b2﹣b1=9b3﹣b2=11…b n﹣b n﹣1=2n+5以上n﹣1个式子相加可得，b n﹣b1=9+11+…+2n+5=n2+6n﹣7∴b n=n2+6n﹣6∵b1，b s，b t成等差数列∴2b s=b1+b t∴2（s2+6s﹣6）=1+t2+6t﹣6整理可得，2（s+3）2=（t+3）2+16∵1＜s＜t≤30且s，t∈N*经检验当s=17，t=25时符合题意故答案为：（17，25）二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，满分20分）15．（5分）如果（1﹣2x）n存在，那么x的取值范围是（）A．0≤x＜1 B．0＜x＜1 C．0≤x≤1 D．0＜x≤1【解答】解：（1）若0＜1﹣2x＜1，即0＜x＜时，根据对数函数y=a x，在0＜a ＜1时，随着x的增大，函数图象无限接近0，所以对于（1﹣2x）n=0；（2）若1﹣2x=1，即x=0时，则（1﹣2x）n=1；（3）若1﹣2x=0，即x=时，则（1﹣2x）n=0；（4）若1﹣2x＞1，则根据对数函数y=a x，在a＞1时，随x的增大，函数图象向上无限延伸，函数值无限增大，所以，此时不存在极限；（5）若﹣1＜1﹣2x＜0，即＜x＜1时，若n无限增大趋向一个偶数，则（1﹣2x）n=0，n无限增大趋向一个奇数时，（1﹣2x）n=0；（6）若2x+1=﹣1，（2x+1）n是1和﹣1间隔出现的，所以不存在．（7）若2x+1＜﹣1，n趋于无穷大的偶数时，（2x+1）n趋于正无穷大，n趋于无穷大的奇数时，（2x+1）n趋于负无穷大，所以不存在极限．综上可得，x的取值范围是0≤x＜1．故选：A．16．（5分）已知、是夹角为60°的两个单位向量，则=2+和b=﹣3+2的夹角是（）A．30°B．60°C．120° D．150°【解答】解：由题意可得||=||=1，=1×1×cos60°=．设=2+和b=﹣3+2的夹角为θ，0°≤θ≤180°，可得=（2+）•（﹣3+2）=﹣6+2+=﹣．再由||===，||===，∴===﹣，∴θ=120°，故选：C．17．（5分）过△ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点D、E．若，，xy≠0，则的值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：∵G是△ABC的重心∴取过G平行BC的直线DE∵，，∴x=，y=则的值为==3故选：B．18．（5分）有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：底层正方体的表面积为24；第2层正方体的棱长，每个面的面积为；第3层正方体的棱长为，每个面的面积为；┉，第n层正方体的棱长为，每个面的面积为；若该塔形为n层，则它的表面积为24+4[++┉+]=40因为该塔形的表面积超过39，所以该塔形中正方体的个数至少是6．故选：C．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，每题解题过程写在该题的答题框内，否则不计分．19．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，且三阶行列式+2n，其中n∈N*，（1）求证：数列{}为等差数列；（2）求数列{a n}的通项．﹣（n+1）a n=2n（n+1），【解答】解：（1）由行列式的定义可知na n+1则=2，即{}是以1为首项，2为公差的等差数列．（2）由（1）得=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∴20．（14分）在一次人才招聘会上，有A、B两家公司分别开出它们的工资标准：A公司允诺第一年月工资为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B公司允诺第一年月工资为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%；设某人年初被A，B两家公司同时录取，试问：（1）若该人分别在A或B公司连续工作n年，则他在第n年的月工资收入分别是多少；（2）该人分别在A或B公司连续工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其他因素），该人应该选择哪家公司，为什么？【解答】解：（1）设该人在A或B公司连续工作n年，第n年的月收入分别为a n，b n，∵A公司允诺第一年月工资为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元，B公司允诺第一年月工资为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%，∴a n=230n+1270，b n=2000×1.05n﹣1．（2）设该人在A或B公司连续工作10年，工资总收入S，T，则S=（1500×10+）×12=304200，T=≈301869．∵S＞T，∴选择A公司．21．（14分）已知向量，向量与向量的夹角为，且．（1）求向量；（2）若向量与共线，向量，其中A、C为△ABC 的内角，且A、B、C依次成等差数列，求的取值范围．【解答】解：（1）设．由，得x+y=﹣1①又向量与向量的夹角为得=，即x2+y2=1②由①、②解得或，∴或．…（5分）（2）结合（1）由向量与共线知；由A、B、C依次成等差数列知．…（7分）∴，∴==．…（10分）∵，∴，∴，∴，∴．…（12分）22．（16分）已知非零向量列{}满足：=（x1，y1），=（x n，y n）=（x n﹣1﹣y n﹣1，x n+1+y n+1）（n≥2，n∈N*），（1）证明：数列{||}是等比数列；（2）向量与的夹角；（3）设=（1，2），将，，…，…中所有与共线的向量按原来的顺序排成一列，记作，，…，…，令=+++…+，O为坐标原点，求点B n的坐标．【解答】（1）证明：∵，∴||=，∵||=====||，∴=，∴{||}是以||为首项，为公比的等比数列．（2）解：设与的夹角为θ，∴=x n x n﹣1+y n y n﹣1=+==，∴cosθ==，∴θ=，即向量与的夹角为．（3）解：由（2）知相邻两向量夹角为，∴每相隔3个向量的两向量必共线并方向相反，即，设，由（1）知=﹣（）4=﹣．∴=（﹣）n﹣1=（﹣）n﹣1（1，2），∴=+++…+=．23．（18分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=a（a≠3），，设，n∈N*．（1）求证：数列{b n}是等比数列；≥a n，n∈N*，求实数a的最小值；（2）若a n+1（3）当a=4时，给出一个新数列{e n}，其中，设这个新数列的前n项和为C n，若C n可以写成t p（t，p∈N*且t＞1，p＞1）的形式，则称C n为“指数型和”．问{C n}中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）a n=S n+3n⇒S n+1=2S n+3n，b n=S n﹣3n，n∈N*，+1当a≠3时，===2，所以{b n}为等比数列．b1=S1﹣3=a﹣3，b n=（a﹣3）×2n﹣1．（2）由（1）可得S n﹣3n=（a﹣3）×2n﹣1，a n=S n﹣S n﹣1，n≥2，n∈N*，∴a n=，≥a n，∵a n+1∴a≥﹣9，又a≠3，所以a的最小值为﹣9；（3）由（1）当a=4时，b n=2n﹣1，当n≥2时，C n=3+2+4+…+2n=2n+1+1，C1=3，所以对正整数n都有C n=2n+1．由t p=2n+1，t p﹣1=2n，（t，p∈N*且t＞1，p＞1），t只能是不小于3的奇数．①当p为偶数时，t p﹣1=（+1）（﹣1）=2n，因为t p+1和t p﹣1都是大于1的正整数，所以存在正整数g，h，使得t p+1=2g，﹣1=2h，2g﹣2h=2，2h（2g﹣h﹣1）=2，所以2h=2且2g﹣h﹣1=1⇒h=1，g=2，相应的n=3，即有C3=32，C3为“指数型和”；②当p为奇数时，t p﹣1=（t﹣1）（1+t+t2+…+t p﹣1），由于1+t+t2+…+t p﹣1是p个奇数之和，仍为奇数，又t﹣1为正偶数，所以（t﹣1）（1+t+t2+…+t p﹣1）=2n不成立，此时没有“指数型和”．。
上海市宝山区宝山中学2017-2018学年高二上学期期中数
上海市宝山中学2017学年度第一学期中试卷高二数学（时间：120分钟，满分：150分）一、填空题（本题共12小题，第1-6题，每小题4分，第7-12题，每小题5分，满分54分）1、nn n n +-∞→22312lim =_____ 2、)0,1(-A ，)4,3(-B ，→--→--=BA AP 31，则P 点坐标_______ 3、矩阵等式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a 42201120，则行列式d c b a 的值为_____ 4、三阶行列式21145324---k第2行第1列元素的代数余子式为7-，则k =_____5、若直线03)2(:1=++-ay x a l 的法向量恰为直线03:2=--ay x l 的方向向量，则实数a 的值为_____6、已知两点)3,2(-P ，)3,4(Q ，直线1-=kx y 与线段PQ 相交，则实数k 的取值范围是________7、在ABC Rt ∆中，若斜边2||=AC ，顶点C A ,分别在x 轴、y 轴上滑动，则斜边AC 的中点M 的轨迹方程是__________8、过点⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21的直线l 满足原点到它的距离最大，则直线l 的一般式方程为___________ 9、无穷等比数列的前n 项和，若41lim =∞→n n S ，则首项1a 的取值范围是________ 10、如图，2||||==→--→--OB OA ，→--OA 与→--OB 的夹角为︒120，→--OC 与→--OA 的夹角为︒30，6||=→--OC ，用→--OA ，→--OB 表示→--OC =_________11、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点)3,1(),1,3(-B A ，若点C 满足→--→--→--+=OB OA OC βα，其中R ∈βα,，且1=+βα，则点C 的轨迹方程为___________12、在A B C ∆中，6=⋅→--→--AB AC ，三角形面积S 满足33<<S ，则→--AC 与→--AB 的夹角的范围________二、选择题（本题共4小题，每小题5分，满分20分） 13、关于y x 、的二元一次方程组⎩⎨⎧+=--=+3231m my mx y mx 系数行列式0=D 是该方程组有解的（ ） A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件 C 、充要条件 D 、非充分非必要条件14、有下面四个关系式：①000 =⋅；②)()(c b a c b a ⋅=⋅；③a b b a ⋅=⋅；④00=a ，其中正确的个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、415、如果曲线C 上的点的坐标满足方程0),(=y x F ，则以下说法正确的是（ ）A 、曲线C 的方程是0),(=y x FB 、方程0),(=y x F 的曲线是CC 、坐标满足方程0),(=y x F 的点在曲线C 上D 、坐标不满足方程0),(=y x F 的点不在曲线C 上16、设函数21)(+=x x f ，点0A 表示原点，点)))((,(*∈N n n f n A n ，n θ是向量a 与向量)0,1(=i 的夹角，→---→--→--→--++++=n n n A A A A A A A A a 1322110 ，设+++=321tan tan tan θθθn Sn θtan + ，则n n S ∞→lim 的值为（ ） A 、21 B 、32 C 、23 D 、43 三、解答题（本题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17、（本题满分14分）第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分8分 已知ABC ∆的三个顶点分别为)3,6()2,1()6,1(C B A 、、--，求（1）BC 边所在直线的点方向式方程（2）AB 边上的高CF 所在直线的点法向式方程（3）AB 边上的中线CM 所在直线的斜截式方程18、（本题满分14分）第1小题满分7分，第2小题满分7分已知c b a ,,是同一平面内的三个向量，)2,1(=a（1）若52||=c ，且a c //，求c的坐标 （2）若25||=b ，且b a 2+与b a -2垂直，求a 与b 的夹角θ19、（本题满分14分）第1小题满分8分，第2小题满分6分已知定点)0,4(A 和曲线121:2-=x y C 上的动点B （1）求线段AB 的中点P 的轨迹方程（2）求直线21+=x y 被曲线C 截得线段AB 的长20、（本题满分16分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分 已知倾斜角为︒45的直线l 过点)2,1(-A 和点B ，B 在第一象限，23||=AB（1）求点B 的坐标（2）若直线l 与两平行直线0843:1=+-y x l ，043:2=+-c y x l 相交于F E 、两点，且215||=EF ，求实数c 的值（3）对于平面上任一点P ，当点Q 在线段AB 上运动时，称||PQ 的最小值为P 与线段AB 的距离，试求点)0,(t P ，)1(-≥t 到线段AB 的距离h 关于t 的函数关系式21、（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 已知数列}{n a 满足：k a a a ===321，),3(211*--+∈≥+=N n n a a a k a n n n n ，其中0>k ，数列}{n b 满足：),4,3,2,1(12 =+=++n a a a b n n n n （1）当1=k 时，求4321,,,b b b b 的值（2）证明：2+=n n b b 对任意*∈N n 均成立，并求数列}{n b 的通项公式（3）是否存在正数k ，使得数列}{n a 的每一项均为整数，如果不存在，说明理由，如果存在，求出所有的k。
2014-2015学年上海市风华中学高二上学期期中数学试卷与解析
2014-2015学年上海市风华中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（每小题5分，共50分）1．（5分）设2a=3，2b=6，2c=12，则a，b，c成数列．2．（5分）已知为单位向量，，与的夹角为，则=．3．（5分）已知矩阵A=（a b），，则AB=，它的几何意义是向量（）经过矩阵B变换后得到的向量与原向量关于对称．4．（5分）数列{a n}的图象分布在直线y=3x﹣2上，则该数列的前n项和S n=．5．（5分）经过计算：1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1的值，可以猜测等式1+2+3+…+（n﹣1）+n+（n﹣1）+…+3+2+1=．6．（5分）在单调递减等差数列{a n}中，a4+a6=﹣4，a3•a7=﹣12，则a n=．7．（5分）已知，且与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围为．8．（5分）若数列{a n}满足（p为正常数，n∈N*），则称{a n}为“等方比数列”．则“数列{a n}是等方比数列”是“数列{a n}是等比数列”的条件．9．（5分）已知数列{a n}前n项和S n=2n，T n为的前n项和，则=．10．（5分）以下命题正确的个数为．①因为数列可以看出函数，所以每个数列均有通项公式；②引入向量坐标的理论依据是平面向量的分解定理；③由于矩阵与行列式都用行与列的形式呈现数据，因此两者本质上没区别；④确定一条直线的基本要素是点和方向，两者缺一不可；⑤过点P（x 0，y0）且与向量平行的直线方程是．二、解答题（共四大题，满分50分）11．（10分）用行列式讨论关于x，y的二元一次方程组的解的情况，并说明各自的几何意义．12．（10分）在△ABC中，已知AB、BC、CA的长分别为c、a、b，利用向量方法证明：b2=a2+c2﹣2accosB．13．（15分）已知△ABC中，，且此三角形的重心为G（3，1）（1）求与的和向量与差向量；（2）求BC边上中线及高所在的直线方程．14．（15分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n﹣5a n﹣85，n∈N*．（1）证明：{a n﹣1}是等比数列；（2）求数列{S n}的通项公式．请指出n为何值时，S n取得最小值，并说明理由．2014-2015学年上海市风华中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题5分，共50分）1．（5分）设2a=3，2b=6，2c=12，则a，b，c成等差数列．【解答】解：因为2a=3，2b=6，2c=12，62=3×12，所以22b=2a•2c=2a+c，即2b=a+c，所以a，b，c成等差数列，故答案为：等差．2．（5分）已知为单位向量，，与的夹角为，则=﹣2．【解答】解：为单位向量，，与的夹角为，∴．故答案为：﹣2．3．（5分）已知矩阵A=（a b），，则AB=，它的几何意义是向量（）经过矩阵B变换后得到的向量与原向量关于直线y=x对称．【解答】解：∵矩阵A=（a b），，∴AB=，它的几何意义是向量（）经过矩阵B变换后得到的向量与原向量关于直线y=x 对称．故答案为：，直线y=x．4．（5分）数列{a n}的图象分布在直线y=3x﹣2上，则该数列的前n项和S n=．【解答】解：∵数列{a n}的图象分布在直线y=3x﹣2上，∴a n=3n﹣2，则a1=1，a n+1﹣a n=3（n+1）﹣2﹣3n+2=3，∴{a n}为以1为首项，以3为公差的等差数列，则．故答案为：．5．（5分）经过计算：1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1的值，可以猜测等式1+2+3+…+（n﹣1）+n+（n﹣1）+…+3+2+1=n2．【解答】解：由已知中：1=12，1+2+1=4=22，1+2+3+2+1=9=32，1+2+3+4+3+2+1=16=42，…归纳猜想可得：1+2+3+…+（n﹣1）+n+（n﹣1）+…+3+2+1=n2，故答案为：n26．（5分）在单调递减等差数列{a n}中，a4+a6=﹣4，a3•a7=﹣12，则a n=﹣2n+8．【解答】解：由等差数列的性质得，a4+a6=a3+a7=﹣4，又a3•a7=﹣12，则a3和a7是方程x2+4x﹣12=0两个根，解得a3=2、a7=﹣6或a3=﹣6、a7=2，因为等差数列{a n}单调递减，所以a3=2，a7=﹣6，解得公差d==﹣2，所以a n=2+（n﹣3）×（﹣2）=﹣2n+8．故答案为：﹣2n+8．7．（5分）已知，且与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围为．【解答】解：与的夹角为钝角⇔且与不共线，可得：，解之故答案为：．8．（5分）若数列{a n}满足（p为正常数，n∈N*），则称{a n}为“等方比数列”．则“数列{a n}是等方比数列”是“数列{a n}是等比数列”的必要非充分条件．【解答】解：充分性：若数列{a n}为“等方比数列”，设可得数列{a n}的各项的绝对值相等，但符号不能确定．比如：1，1，﹣1，﹣1，1，1，﹣1，﹣1，…，就是一个等方比数列，而不是等比数列，故充分性不成立；必要性：若“数列{a n}是等比数列”，设它的公比是q（q≠0）则=q⇒（正常数），说明数列{a n}为“等方比数列”，故必要性成立．综上所述，“数列{a n}是等方比数列”是“数列{a n}是等比数列”的必要非充分条件故答案为：必要非充分9．（5分）已知数列{a n}前n项和S n=2n，T n为的前n项和，则=．【解答】解：由，可知，所以，所以=，故答案为：．10．（5分）以下命题正确的个数为1．①因为数列可以看出函数，所以每个数列均有通项公式；②引入向量坐标的理论依据是平面向量的分解定理；③由于矩阵与行列式都用行与列的形式呈现数据，因此两者本质上没区别；④确定一条直线的基本要素是点和方向，两者缺一不可；⑤过点P（x 0，y0）且与向量平行的直线方程是．【解答】解：对于①，每个数列不一定有通项公式，故错误；对于②，引入向量坐标的理论依据是平面向量的基本（分解）定理，故正确；对于③，矩阵与行列式在行列数关系，相等的定义等方面均不相同，故错误；对于④，两点也可以确定直线，故错误；对于⑤，过点P（x 0，y0）且与向量平行的直线方程是的前提是u≠0，v≠0，故错误；故答案为：1二、解答题（共四大题，满分50分）11．（10分）用行列式讨论关于x，y的二元一次方程组的解的情况，并说明各自的几何意义．【解答】解：，，（1）当m≠±2时，D≠0方程组有唯一解，此时，即；（2）当m=2时，D=D x=D y=0，方程组有无穷多组解，通解可表示为（t∈R），（3）当m=﹣2时，D=0，D x≠0，D y≠0，此时方程组无解．几何意义：设l1：mx+4y=m+2，l2：x+my=m当m≠±2时，方程组唯一解，则直线l1与l2相交；当m=﹣2时，方程组无解，则直线l1与l2平行；当m=2时，方程组无穷多解，则直线l1与l2重合．12．（10分）在△ABC中，已知AB、BC、CA的长分别为c、a、b，利用向量方法证明：b2=a2+c2﹣2accosB．【解答】解：∵，∴=+2cos（π﹣B）+，即b2=a2+c2﹣2accosB．13．（15分）已知△ABC中，，且此三角形的重心为G（3，1）（1）求与的和向量与差向量；（2）求BC边上中线及高所在的直线方程．【解答】解：（1），，（2）设中线为AD，高线为AH，，结合点方向式方程，∴；设A（x，y），∴，可得，结合点方向式方程，∴．14．（15分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n﹣5a n﹣85，n∈N*．（1）证明：{a n﹣1}是等比数列；（2）求数列{S n}的通项公式．请指出n为何值时，S n取得最小值，并说明理由．【解答】解：（1）∵S n=n﹣5a n﹣85，n∈N*．=n+1﹣5a n+1﹣85，n∈N*．∴S n+1=1﹣5a n+1+5a n，即6（a n+1﹣1）=5（a n﹣1），即（a n+1﹣1）=（a n 两式作差得a n+1﹣1），n∈N*．故{a n﹣1}是等比数列=n+1﹣5a n+1﹣85，n∈N*．得S n+1=n+1﹣5（S n+1﹣S n）﹣85，n∈（2）由（1）S n+1N*．=n+5S n﹣84，即6[S n+1﹣（n+1）]=5（S n﹣n）﹣90，得6S n+1﹣（n+1）=（S n﹣n）﹣15即S n+1整理得S n﹣（n+1）+90=（S n﹣n+90）+1故{S n﹣n+90}是一个等比数列，其公比为，由于a1=1﹣5a1﹣85，得a1=﹣14故{S n﹣n+90}的首项为﹣14﹣1+90=75故S n﹣n+90=75×，即S n=n﹣90+75×，﹣S n=1﹣×，令S n+1﹣S n＞0，对n赋值验证知n＞15时成立，由于S n+1即S n其最小值是S15。
2014-2015-高一上期中-行知中学
2014-2015学年上海市宝山区行知中学高一（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）1．（3分）设全集U=R．若集合，则∁U A=．2．（3分）不等式的解集是．3．（3分）设全集为U，集合A⊆U、B⊆U，则下列关系中与A⊆B等价的是．（写出你认为正确的所有序号）（1）A∩B=A；（2）A∪B=B；（3）A∩C U B=∅；（4）B∩C U A=∅．4．（3分）命题“若x＞2且y＞3，则x+y＞5”的否命题是命题．（填入“真”或“假”）5．（3分）已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x）+1且g（1）=2，则g（﹣1）=．6．（3分）函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]是单调减函数时，a的取值范围．7．（3分）若函数f（2x+1）=x2﹣2x，则f（3）=．8．（3分）已知a，b（a，b∈N*）满足，则当a+b取最小值时，a、b的值分别是．9．（3分）函数f（x）=3ax﹣2a+1在[﹣1，1]上存在一个零点，则a的取值范围为．10．（3分）设集合A={0，1}，B={a2，2a}，定义：A×B={x|x=x1+x2，x1∈A，x2∈B}，若集合A×B中元素的最大值为2a+1，则实数a的取值范围是．11．（3分）若不等式x2﹣kx+k﹣1＞0对x∈（1，2）恒成立，则实数k的取值范围是．12．（3分）设函数f（x），g（x）的定义域分别为D f，D g，且D f⊂D g．若对于任意x∈D f，都有g（x）=f（x），则称函数g（x）为f（x）在D g上的一个延拓函数．设f（x）=x2+2x，x∈（﹣∞，0]，g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是偶函数，则g（x）=．二、选择题（本大题共4题，每题4分，满分16分）13．（4分）已知集合M={x|x2﹣2x≤0}，，U=R，则图中阴影部分表示的集合是（）A．（﹣∞，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣3]∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）D．（﹣∞，0]∪[2，+∞）14．（4分）设f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0）上为减函数，若x1＜0，x1+x2＞0，则（）A．f（x1）＞f（x2）B．f（x1）=f（x2）C．f（x1）＜f（x2）D．不能确定f（x1）与f（x2）的大小15．（4分）下列命题中，正确的是（）A．的最小值是4 B．的最小值是2C．如果a＞b，c＞d，那么a﹣c＜b﹣d D．如果ac2＞bc2，那么a＞b16．（4分）设函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）•g（x）的图象可能是下面的（）A．B．C．D．三.解答题（本大题共有5题，满分48分），17．（8分）已知集合A={x||x﹣a|≤1}，B={x|x2﹣5x+4＞0}，且A∩B=∅，求实数a的取值范围．18．（8分）已知关于x的不等式kx2﹣2x+6k＜0，（k＞0）（1）若不等式解集为∅，求实数k的取值范围；（2）若不等式的解集为集合{x|2＜x＜3}的子集，求实数k的取值范围．19．（8分）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（n∈N*）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10（a﹣）万元（a＞0），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．（1）若要保证剩余与员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余与员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？20．（12分）已知函数f（x）=x2+2mx+2m+3（m∈R），若关于x的方程f（x）=0有实数根，且两根分别为x1、x2，（1）求（x1+x2）•x1x2的最大值；（2）若函数f（x）为偶函数，证明：函数g（x）=在[2，3]上的单调性．21．（12分）已知定义在区间上的函数f（x）=（a＞0，c＞0）具有如下性质：f（x）在区间上单调递增，f（x）在区间上单调递减，且f（x）max=f（x0）（其中x0=）．现给定函数f（x）=，请你根据上述知识解决下列问题：（1）求出f（x）的定义域；（2）对于任意的，当x1＜x2时，比较f（x1）和f（x2）的大小；（3）若f（x）﹣m＜0的解集为非空集合，求整数m的最小值．2014-2015学年上海市宝山区行知中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）1．（3分）（2011•上海校级模拟）设全集U=R．若集合，则∁U A={x|x≤0，或x≥1} ．【解答】解：∵全集U=R．集合={x|0＜x＜1}，∴∁U A={x|x≤0，或x≥1}．故答案为：{x|x≤0，或x≥1}．2．（3分）（2012秋•浦东新区期末）不等式的解集是{x|1＜x＜2} ．【解答】解：不等式⇔（x﹣1）（x﹣2）＜0，∴不等式的解集为{x|1＜x＜2}．故答案为{x|1＜x＜2}．3．（3分）（2012秋•上海期中）设全集为U，集合A⊆U、B⊆U，则下列关系中与A⊆B等价的是（1）（2）（3）．（写出你认为正确的所有序号）（1）A∩B=A；（2）A∪B=B；（3）A∩C U B=∅；（4）B∩C U A=∅．【解答】解：对于（1），当A⊆B有A∩B=A；反之，若A∩B=A成立，A⊆B成立，所以（1）对；对于（2）当A⊆B有A∪B=B成立，反之，若A∪B=B成立，A⊆B成立，所以（2）对；对于（3），若A⊆B一定有A∩C U B=∅；反之若A∩C U B=∅成立，A⊆B成立，所以（3）对；对于（4），若A⊆B，例如U={0，1，2}，A={0}，B={0，1}，则B∩C U A≠∅，所以（4）不对故答案为（1）（2）（3）4．（3分）（2014秋•宝山区校级期中）命题“若x＞2且y＞3，则x+y＞5”的否命题是假命题．（填入“真”或“假”）【解答】解：若x＞2且y＞3，则x+y＞5”的逆命题为：若x+y＞5，则x＞2且y＞3，此命题为假命题，原因：若x=4，y=1，此时x+y＞5，但是x＞2且y＞3不成立而命题的逆命题与否命题的真假相同可知原命题的否命题为假命题故答案为：假5．（3分）（2012秋•浦东新区期末）已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x）+1且g（1）=2，则g（﹣1）=0．【解答】解：因为g（x）=f（x）+1，所以g（1）=f（1）+1=2，所以f（1）=1．因为y=f（x）是奇函数，所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1．所以g（﹣1）=f（﹣1）+1=﹣1+1=0．故答案为：06．（3分）（2008秋•杨浦区期末）函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]是单调减函数时，a的取值范围（﹣∞，﹣3] ．【解答】解：函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2=（x+a﹣1）2+2﹣（a﹣1）2∴其对称轴为：x=1﹣a又∵（﹣∞，4]是单调减函数∴1﹣a≥4，∴a≤﹣3故答案为：（﹣∞，﹣3]．7．（3分）（2012秋•盐津县期末）若函数f（2x+1）=x2﹣2x，则f（3）=﹣1．【解答】解法一：（换元法求解析式）令t=2x+1，则x=则f（t）=﹣2=∴∴f（3）=﹣1解法二：（凑配法求解析式）∵f（2x+1）=x2﹣2x=∴∴f（3）=﹣1解法三：（凑配法求解析式）∵f（2x+1）=x2﹣2x令2x+1=3则x=1此时x2﹣2x=﹣1∴f（3）=﹣1故答案为：﹣18．（3分）（2014秋•宝山区校级期中）已知a，b（a，b∈N*）满足，则当a+b取最小值时，a、b的值分别是4，12．【解答】解：∵a+b=（a+b）（+）=1+9++≥6+10=16；当且仅当=，且，即a=4，b=12时，等号成立；故答案为：4，12．9．（3分）（2014秋•宝山区校级期中）函数f（x）=3ax﹣2a+1在[﹣1，1]上存在一个零点，则a的取值范围为 a 或a≤﹣1．【解答】解：由题意可得f（﹣1）×f（1）≤0，解得∴（5a﹣1）（a+1）≥0∴a 或a≤﹣1故答案为：a 或a≤﹣1．10．（3分）（2014秋•宝山区校级期中）设集合A={0，1}，B={a2，2a}，定义：A×B={x|x=x1+x2，x1∈A，x2∈B}，若集合A×B中元素的最大值为2a+1，则实数a的取值范围是（0，2）．【解答】解：由题意，x=2a，a2，2a+1，a2+1，则由题意可得，a2+1≤2a+1，解得，a∈[0，2]；又∵B={a2，2a}，∴a2≠2a；故a∈（0，2）；故答案为：（0，2）．11．（3分）（2012•上海）若不等式x2﹣kx+k﹣1＞0对x∈（1，2）恒成立，则实数k的取值范围是（﹣∞，2] ．【解答】解：不等式x2﹣kx+k﹣1＞0可化为（1﹣x）k＞1﹣x2∵x∈（1，2）∴k＜=1+x∴y=1+x是一个增函数∴k≤1+1=2∴实数k取值范围是（﹣∞，2]故答案为：（﹣∞，2]12．（3分）（2009秋•普陀区校级期末）设函数f（x），g（x）的定义域分别为D f，D g，且D f⊂D g．若对于任意x∈D f，都有g（x）=f（x），则称函数g（x）为f（x）在D g上的一个延拓函数．设f（x）=x2+2x，x∈（﹣∞，0]，g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是偶函数，则g（x）=x2﹣2|x| ．【解答】解：由题意可得当x≤0时，g（x）=f（x）=x2+2x由函数g（x）为偶函数可得，g（﹣x）=g（x）当x＞0时，则﹣x＜0，g（﹣x）=x2﹣2x，则g（x）=x2﹣2x∴g（x）=x2﹣2|x|故答案为：x2﹣2|x|二、选择题（本大题共4题，每题4分，满分16分）13．（4分）（2014秋•宝山区校级期中）已知集合M={x|x2﹣2x≤0}，，U=R，则图中阴影部分表示的集合是（）A．（﹣∞，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣3]∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）D．（﹣∞，0]∪[2，+∞）【解答】解：M={x|x2﹣2x≤0}=[0，2]，=（﹣∞，﹣3]∪（1，+∞），图中阴影部分表示的集合是N∩（∁U M）=（﹣∞，﹣3]∪（2，+∞）；故选B．14．（4分）（2014秋•宝山区校级期中）设f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0）上为减函数，若x1＜0，x1+x2＞0，则（）A．f（x1）＞f（x2）B．f（x1）=f（x2）C．f（x1）＜f（x2）D．不能确定f（x1）与f（x2）的大小【解答】解：若x1＜0，x1+x2＞0，即x2＞﹣x1＞0，∵f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0）上为减函数，∴函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，则f（x2）＞f（﹣x1）=f（x1），故选：C．15．（4分）（2014秋•宝山区校级期中）下列命题中，正确的是（）A．的最小值是4 B．的最小值是2C．如果a＞b，c＞d，那么a﹣c＜b﹣d D．如果ac2＞bc2，那么a＞b【解答】解：A．x＜0时，不正确；B.＞2，最小值不为2，不正确；C．a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d即a﹣d＞b﹣c，因此不正确；D．∵ac2＞bc2，∴c2＞0，∴a＞b，正确．故选：D．16．（4分）（2015秋•佛山校级期中）设函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）•g（x）的图象可能是下面的（）A．B．C．D．【解答】解：由函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象可知：函数y=f（x）的图象关于y轴对称，函数y=g（x）的图象关于原点对称，∴函数y=f（x）是偶函数，函数y=g（x）是奇函数，∴函数y=f（x）•g（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除BD，当x取很小的正数时，f（x）＞0，g（x）＜0，∴f（x）g（x）＜0，故A符合，而C不符合，故选：A三.解答题（本大题共有5题，满分48分），17．（8分）（2014秋•宝山区校级期中）已知集合A={x||x﹣a|≤1}，B={x|x2﹣5x+4＞0}，且A∩B=∅，求实数a的取值范围．【解答】解：由集合A中的不等式|x﹣a|≤1，解得：a﹣1≤x≤a+1，∴A=[a﹣1，a+1]，由集合B中的不等式x2﹣5x+4＞0，变形得：（x﹣1）（x﹣4）＞0，解得：x＞4或x＜1，∴B=（﹣∞，1）∪（4，+∞），∵A∩B=∅，∴a﹣1≥1且a+1≤4，解得：2≤a≤3，则实数a的范围为[2，3]．18．（8分）（2014秋•宝山区校级期中）已知关于x的不等式kx2﹣2x+6k＜0，（k＞0）（1）若不等式解集为∅，求实数k的取值范围；（2）若不等式的解集为集合{x|2＜x＜3}的子集，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）∵不等式kx2﹣2x+6k＜0的解集为∅，得△≤0，即4﹣24k2≤0；解得k≤﹣或k≥，又∵k＞0，∴k≥；∴实数k的取值范围是k≥；…（4分）（2）∵不等式对应的方程kx2﹣2x+6k=0的判别式为△=4﹣24k2，设f（x）=kx2﹣2x+6k，则原问题等价于△≤0或；由△≤0，即4﹣24k2≤0，解得k≤﹣或k≥，又∵k＞0，∴k≥；由，即，解得≤k≤；综上，符合条件的k的取值范围是[，+∞）．…（12分）19．（8分）（2015•怀化一模）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（n∈N*）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10（a﹣）万元（a＞0），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．（1）若要保证剩余与员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余与员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？【解答】解：（1）由题意得：10（1000﹣x）（1+0.2x%）≥10×1000，即x2﹣500x≤0，又x＞0，所以0＜x≤500．即最多调整500名员工从事第三产业．（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，从事原来产业的员工的年总利润为万元，则（1+0.2x%）所以，所以ax≤，即a≤恒成立，因为，当且仅当，即x=500时等号成立．所以a≤5，又a＞0，所以0＜a≤5，即a的取值范围为（0，5]．20．（12分）（2014秋•宝山区校级期中）已知函数f（x）=x2+2mx+2m+3（m∈R），若关于x的方程f（x）=0有实数根，且两根分别为x1、x2，（1）求（x1+x2）•x1x2的最大值；（2）若函数f（x）为偶函数，证明：函数g（x）=在[2，3]上的单调性．【解答】解：（1）由题意，x1+x2=﹣2m；x1x2=2m+3；；又∵△=4m2﹣4（2m+3）≥0；∴m≤﹣1或m≥3，∵在m∈（﹣∞，﹣1]上单调递增，m=﹣1时最大值为2，在m∈[3，+∞）上单调递减，m=3时最大值为﹣54，∴（x1+x2）•x1x2的最大值为2．（2）证明：因为函数f（x）为偶函数，所以m=0，；任取2≤x1＜x2≤3，则f（x2）﹣f（x1）==；故g（x）在[2，3]上递增．21．（12分）（2014秋•宝山区校级期中）已知定义在区间上的函数f（x）=（a＞0，c＞0）具有如下性质：f（x）在区间上单调递增，f （x）在区间上单调递减，且f（x）max=f（x0）（其中x0=）．现给定函数f（x）=，请你根据上述知识解决下列问题：（1）求出f（x）的定义域；（2）对于任意的，当x1＜x2时，比较f（x1）和f（x2）的大小；（3）若f（x）﹣m＜0的解集为非空集合，求整数m的最小值．【解答】解：（1）由，解得，2≤x≤4，可得定义域为[2，4]；（2）由新定义可得，．由f（x）性质可知，f（x）在区间上是单调递增的，因为，且x1＜x2，所以f（x1）＜f（x2）；（3）由f（x）﹣m＜0可得，，由f（x）性质可知，f（x）在单调递增，f（x）在单调递减，因为，f（4）=4，所以f（x）在定义域[2，4]上的最小值为f（4）=4，由于f（x）﹣m＜0的解集为非空集合，所以m＞4，即整数m的最小值为5．参与本试卷答题和审题的老师有：zlzhan；沂蒙松；wdnah；吕静；maths；394782；豫汝王世崇；炫晨；ywg2058；刘长柏；智者乐水；sllwyn；742048；zhwsd；双曲线（排名不分先后）菁优网2016年10月28日。
上海市宝山区顾村中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含解析
上海宝山区顾村中学2014-2015学年第一学期期中考试试卷高二数学一、填空题（每题3分，共30分） 1、2和6的等差中项是_______. 【答案】4；【解析】依据等差中项定义，易知2642+=，即2和6的等差中项是4. 2、计算：2221lim 2n n n n→∞+=-_______.【答案】2；【解析】2221221lim lim 2221n n n n n n n→∞→∞++==--. 3、()()2131231223+=--_______.【答案】()13545--；【解析】依据矩阵的线性运算法则，可得()()()()()21314293135231223246945+=+=------ 4、数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+，则数列的通项公式为_______. 【答案】41n a n =-；【解析】依据{11,1,2n n n S n a S S n -==-≥，可得()1412n n n a S S n n -=-=-≥，又1n =时亦符合，所以()*41N n a n n =-∈.5、已知12a =，123n n a a +=+，则5a =_______. 【答案】77；【解析】可以直接带入求解.21237a a =+=，322317a a =+=，432337a a =+=，542377a a =+=6、不等式236031x x ->+的解集为_______.【答案】()7,3,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭； 【解析】()()223623118221031x x x x x x -=-+-=-->+，解之()7,3,2x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭7、已知2a =，3b =，a 与b 的夹角为60，则2a b -=_______.【解析】()222212244164239132a b a ba ab b -=-=-⋅+=-⨯⨯⨯+=，所以213a b -=8、已知向量(),2a x =，()3,5b =-- ，a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围为_______. 【答案】1066,,355⎛⎫⎛⎫---+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； 【解析】a 与b 的夹角为钝角0a b ⇔⋅<且a 与b 不共线，所以有{310056x x --<-≠-，解之1066,,355x ⎛⎫⎛⎫∈---+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 9、已知数列{}n a 为等比数列，且前n 项和5n n S t =+（t 为实数），则t =_______. 【答案】1-；【解析】由5n n S t =+，可得()11452n n n n a S S n --=-=⨯≥，又{}n a 为等比数列，所以有()1*45N n n a n -=⨯∈，结合1154a S t ==+=，可得1t =-.10、观察如图数表，根据表中的变化规律，2013为与数表中的第_______行，第_______列.12345678910111213141516【答案】第45行，第77列.【解析】数表问题关键在于找到里面的变化规律，通过观察不难发现，数表第n 行的最后一个数刚好为一个平方数2n ，第n 行的数据个数刚好为21n -个，结合2441936=，2452025=，可知2013位于第45行，再从45行最后一个数字2025（第45行，第89列）往前推，可以得到2013在第45行，第77列.二、选择题（每题4分，共16分）11、数列3,7,13,21,31,的一个通项公式是（ ） A. 41n a n =-B. 21n a n n =++C. 222n a n n =+-D. ()21n a n n =-【答案】B【解析】可以采用代入法逐一排除，易知选择B.12、向量()3,4a =-，()8,6b =--，则a ，b 关系为（ ） A.垂直 B.同向平行 C.反向平行D.共线【答案】A.【解析】快速排除B ，C ，D ，语义重复，选择A.另外结合0a b ⋅=，同样可得a b ⊥.13、已知数列{}n a 满足2111123n a n =++++，则1k k a a +-共有（ ）项. A.1B. kC. 2kD. 21k + 【答案】D.【解析】由于122221111111231221k a k k k k k +=++++++++++++，从而可得12221111221k k a a k k k k +-=+++++++，所以1k k a a +-共有21k +项. 14、在等比数列{}n a 中，11a >，且前n 项和n S 满足11lim n n S a →∞=，则首项1a 的取值范围为（ ） A.()1,+∞B. ()1,4C. ()1,2D. (【答案】D.【解析】结合无穷等比数列前n 项和n S 极限存在的条件01q <<，且1li m 1n n a S q→∞=-，所以有： 11111101a q a a q ⎧=⎪-⎪⎪>⎨⎪⎪<<⎪⎩，解之(1a ∈ 三、解答题（满分54分） 15、（本题满分8分）解关于x 、y 的方程组{12mx y m x my m+=++=，并对解的情况进行讨论.【答案】当1m ≠±时，解为1211m x m m y m ⎧=⎪+⎨+⎪=⎩=；当1m =时，解为{()R 2x t t y t =∈=-；当1m =-时，方程组无解.【解析】()()1111m D m m m ==-+，()1112x m D m m m m +==-，()()121112y m m D m m m +==+-（1）当1m ≠±时，0D ≠方程组有唯一解，此时xy D x DD y D⎧=⎪⎨⎪=⎩，即1211m x m m y m ⎧=⎪+⎨+⎪=⎩=； （2）当1m =时，0x y D D D ===，方程组有无穷多组解，通解可表示为{()R 2x t t y t =∈=-；（3）当1m =-时，0D =，0x D ≠，0y D ≠，此时方程组无解. 16、（本题满分8分）已知数列{}n a 为等差数列，满足：3716a a =-，460a a +=，求数列{}n a 的通项公式. 【答案】210n a n =-+或210n a n =-.【解析】根据等差数列的性质，易知370a a +=，又3716a a =-，所以{3744a a ==-或{3744a a =-=，当{3744a a ==-，此时数列的通项公式为210n a n =-+；当{3744a a =-=时，数列的通项公式为210n a n =-.17、（本题满分8分）已知()22a m i j =-+，()1b i m j =++（其中i 、j 分别为x 、y 轴正方向的单位向量） （1）若2m =，求a 、b 的夹角； （2）若()()a b a b +⊥-，求实数m 的值. 【答案】（1）θ=（2）1m =. 【解析】易知()2,2a m =-，()1,1b m =+（1）当2m =时，()0,2a =，()1,3b =，设a 、b 的夹角的夹角为θ，则0c o s210a b a bθ⋅==θ=；（2）由于()2,2a m =-，()1,1b m =+，所以()1,3a b m m +=-+，()3,1a b m m -=--，由()()a b a b +⊥-可得：()()0a b a b +⋅-=，即()()()()13310m m m m --++-=，解之1m =.18、（本题满分10分）已知数列{}n a 中，()*0N n a n >∈，它的前n 项和n S .如果{}n a 是一个首项为a ，公比为()0q q >的等比数列，且()2222*123N n n G a a a a n =++++∈，求limnn nS G →∞. 【答案】当1q =时，1limn n n S G a →∞=；当01q <<时，1lim n n n S qG a →∞+=；当1q >时，lim 0n n nS G →∞=. 【解析】易知数列{}2n a 亦为等比数列，且首项为21a ，公比为2q .（1）当1q =时，1n S na na ==，221n G na na ==，21limlim n n n nS na G na a →∞→∞==； （2）当1q ≠时，()()()222111111n n n n n a q S q qG a q a q q -+-==-+-；①当01q <<时，22lim 11lim lim 1nn n n n nn aS S q q a G G a q →∞→∞→∞+-===-； ②当1q >时，()11lim lim lim 0111n nn n n n n nn q S q q q G a q a q →∞→∞→∞++===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭19、（本题满分10分）已知1OA OB ==，OA 与OB 的夹角为120，OC 与OA 的夹角为30，5OC =且OC mOA nOB =+，求实数m 、n 的值.【答案】5,5m n == 【解析】如图所示建立直角坐标系，则()1,0OA =，12OB ⎛=- ⎝⎭，52OC ⎛= ⎝⎭，由于OC mOA nOB =+，所以有：522n m ⎧-=⎪⎪=，解之55m n =⎧⎨=⎩.20、（本题满分10分）已知数列()()13231n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-+⎪⎪⎩⎭的前n 项和n S .（1）计算1S 、2S 、3S 、4S ；（2）猜想n S 的表达式，并用数学归纳法证明；（3）对于任意的正整数n 都有n S m <，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）114S =，227S =，3310S =，4413S =；（2）()*N 31n nS n n =∈+，证明见解析；O ACB（3）13m ≥.【解析】（1）114S =，227S =，3310S =，4413S =； （2）由（1）可以猜想()*N 31n nS n n =∈+ ①当1n =时，显然成立； ②假设()*N n k k =∈，31k kS k =+，当1n k =+时， ()()()()()()()()()11341131113134313431343131k k k k k k k k k S S a k k k k k k k k +++++++=+=+===++++++++， 说明1n k =+时，猜想也成立；综合①②，猜想()*N 31n nS n n =∈+成立. （3）11131331n n S n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，随着n 增大，n S 增加，但13n S <，由于n S m <对*N n ∈均成立，所以13m ≥即可.。
高二第一学期数学-期中考2
上海市宝山区顾村中学2014学年第一学期期中考试试卷高二数学一、填空题（每题3分，共30分） 1、2和6的等差中项是_______.2、计算：2221lim 2n n n n →∞+=-_______.3、()()2131231223+=--_______. 4、数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+，则数列的通项公式为_______. 5、已知12a =，123n n a a +=+，则5a =_______. 6、不等式236031x x ->+的解集为_______. 7、已知2a =，3b =，a 与b 的夹角为60，则2a b -=_______.8、已知向量(),2a x =，()3,5b =-- ，a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围为_______. 9、已知数列{}n a 为等比数列，且前n 项和5n n S t =+（t 为实数），则t =_______.10、观察如图数表，根据表中的变化规律，2013为与数表中的第_______行，第_______列.12345678910111213141516二、选择题（每题4分，共16分）11、数列3,7,13,21,31,的一个通项公式是（ ） A. 41n a n =-B. 21n a n n =++C. 222n a n n =+-D. ()21n a n n =-12、向量()3,4a =-，()8,6b =--，则a ，b 关系为（ ） A.垂直B.同向平行C.反向平行D.共线13、已知数列{}n a 满足2111123n a n=++++，则1k k a a +-共有（ ）项. A.1 B. k C. 2k D. 21k +14、在等比数列{}n a 中，11a >，且前n 项和n S 满足11lim n n S a →∞=，则首项1a 的取值范围为（ ）A.()1,+∞B. ()1,4C. ()1,2D. (三、解答题（满分54分）15、（本题满分8分）解关于x 、y 的方程组{12mx y m x my m+=++=，并对解的情况进行讨论.16、（本题满分8分）已知数列{}n a 为等差数列，满足：3716a a =-，460a a +=，求数列{}n a 的通项公式.17、（本题满分8分）已知()22a m i j =-+，()1b i m j =++（其中i 、j 分别为x 、y 轴正方向的单位向量） （1）若2m =，求a 、b 的夹角； （2）若()()a b a b +⊥-，求实数m 的值. 18、（本题满分10分）已知数列{}n a 中，()*0N n a n >∈，它的前n 项和n S .如果{}n a 是一个首项为a ，公比为()0q q >的等比数列，且()2222*123N n n G a a a a n =++++∈，求limnn nS G →∞. 19、（本题满分10分）已知1OA OB ==，OA 与OB 的夹角为120，OC 与OA 的夹角为30，5OC =且OC mOA nOB =+，求实数m 、n 的值.20、（本题满分10分）已知数列()()13231n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-+⎪⎪⎩⎭的前n 项和n S .（1）计算1S 、2S 、3S 、4S ；（2）猜想n S 的表达式，并用数学归纳法证明；（3）对于任意的正整数n 都有n S m <，求实数m 的取值范围.OACB【答案】2； 【答案】()13545--； 【答案】41n a n =-；【解析】依据{11,1,2n n n S n a S S n -==-≥，可得()1412n n n a S S n n -=-=-≥，又1n =时亦符合，所 以()*41N n a n n =-∈. 【答案】77；【解析】可以直接带入求解.21237a a =+=，322317a a =+=，432337a a =+=，542377a a =+=【解析】()()223623118221031x x x x x x -=-+-=-->+，解之()7,3,2x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭【答案】()7,3,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭；【解析】()222212244164239132a b a ba ab b -=-=-⋅+=-⨯⨯⨯+=，所以213a b -=【答案】1066,,355⎛⎫⎛⎫---+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；【解析】a 与b 的夹角为钝角0a b ⇔⋅<且a 与b 不共线，所以有{310056x x --<-≠-，解之【答案】1-；1066,,355x ⎛⎫⎛⎫∈---+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】由5n n S t =+，可得()11452n n n n a S S n --=-=⨯≥，又{}n a 为等比数列，所以有 ()1*45N n n a n -=⨯∈，结合1154a S t ==+=，可得1t =-.【答案】第45行，第77列.【解析】数表问题关键在于找到里面的变化规律，通过观察不难发现，数表第n 行的最后一个数刚好为一个平方数2n ，第n 行的数据个数刚好为21n -个，结合2441936=，2452025=，可知2013位于第45行，再从45行最后一个数字2025（第45行，第89列）往前推，可以得到2013在第45行，第77列.【答案】B【解析】可以采用代入法逐一排除，易知选择B. 【答案】A.【解析】快速排除B ，C ，D ，语义重复，选择A.另外结合0a b ⋅=，同样可得a b ⊥.【解析】由于122221111111231221k a k k k k k +=++++++++++++，从而可得 12221111221k k a a k k k k +-=+++++++，所以1k k a a +-共有21k +项.【答案】D. 【解析】结合无穷等比数列前n 项和n S 极限存在的条件01q <<，且1lim 1n n a S q→∞=-，所以有： 11111101a q a a q ⎧=⎪-⎪⎪>⎨⎪⎪<<⎪⎩，解之(1a ∈ 【答案】当1m ≠±时，解为1211mx m m y m ⎧=⎪+⎨+⎪=⎩=；当1m =时，解为{()R 2x t t y t =∈=-；当1m =-时，方程组无解.【解析】()()1111m D m m m ==-+，()1112x m D m m m m +==-，()()121112y m m D m m m+==+- （1）当1m ≠±时，0D ≠方程组有唯一解，此时xy D x D D y D⎧=⎪⎨⎪=⎩，即1211m x m m y m ⎧=⎪+⎨+⎪=⎩=； （2）当1m =时，0x y D D D ===，方程组有无穷多组解，通解可表示为{()R 2x t t y t =∈=-； （3）当1m =-时，0D =，0x D ≠，0y D ≠，此时方程组无解. 【答案】210n a n =-+或210n a n =-.【解析】根据等差数列的性质，易知370a a +=，又3716a a =-，所以{3744a a ==-或{3744a a =-=，当{3744a a ==-，此时数列的通项公式为210n a n =-+；当{3744a a =-=时，数列的通项公式为210n a n =-.【答案】（1）θ=；（2）1m =. 【解析】易知()2,2a m =-，()1,1b m =+（1）当2m =时，()0,2a =，()1,3b =，设a 、b 的夹角的夹角为θ，则cos 210a b a bθ⋅===θ=；（2）由于()2,2a m =-，()1,1b m =+，所以()1,3a b m m +=-+，()3,1a b m m -=--，由()()a b a b +⊥-可得：()()0a b a b +⋅-=，即()()()()13310m m m m --++-=，解之1m =.【答案】当1q =时，1limn n n S G a →∞=；当01q <<时，1lim n n n S qG a →∞+=；当1q >时，lim 0n n nS G →∞=. 【解析】易知数列{}2n a 亦为等比数列，且首项为21a ，公比为2q .（1）当1q =时，1n S na na ==，221n G na na ==，21limlim n n n nS na G na a →∞→∞==； （2）当1q ≠时，()()()222111111n n n n n a q S q qG a q a q q -+-==-+-； ①当01q <<时，22lim 11lim lim 1nn n n n nn aS S q q a G G a q →∞→∞→∞+-===-； ②当1q >时，()11lim lim lim 0111n nn n n n n nn q S q q q G a q a q →∞→∞→∞++===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】5,5m n ==【解析】如图所示建立直角坐标系，则()1,0OA =，12OB⎛=- ⎝⎭，52OC ⎛= ⎝⎭，由于OCmOA nOB =+，所以有：522n m ⎧-=⎪⎪，解之55m n =⎧⎨=⎩.【答案】（1）114S =，227S =，3310S =，4413S =；（2）S （3）13m ≥.【解析】 （1）114S =，227S =，3310S =，4413S =；（2）由（1）可以猜想()*N 31n nS n n =∈+ ①当1n =时，显然成立； ②假设()*N n k k =∈，31k kS k =+，当1n k =+时， ()()()()()()()()()11341131113134313431343131k k k k k k k k k S S a k k k k k k k k +++++++=+=+===++++++++， 说明1n k =+时，猜想也成立；综合①②，猜想()*N 31n nS n n =∈+成立. （3）11131331n n S n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，随着n 增大，n S 增加，但13nS <，由于n S m <对*N n ∈均成立，所以13m ≥即可.。
宝山中学高二期中试卷
一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．设集合A={﹣1，1}，B={a }，若A ∪B={﹣1，0，1}，则实数a= ． 2．直线y=x +1与直线x=1的夹角大小为 ． 3．函数y=的定义域是 ．4．三阶行列式中，元素4的代数余子式的值为 ．5．设函数f （x ）=的反函数为f ﹣1（x ），若f ﹣1（2）=1，则实数m= ．6．在△ABC 中，若AB=5，B=60°，BC=8，则AC= ．7．设复数z=（a 2﹣1）+（a ﹣1）i （i 是虚数单位，a ∈R ），若z 是纯虚数，则实数a= ．8．从5件产品中任取2件，则不同取法的种数为 （结果用数值表示） 9．无穷等比数列{a n }的公比为，各项和为3，则数列{a n }的首项为 ． 10．复数z 2=4+3i （i 为虚数单位），则复数z 的模为 ．11．若抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线经过点（﹣1，1），则抛物线焦点坐标为 ． 12．某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：℃）满足函数关系y=e kx +b （e 为自然对数的底数，k 、b 为实常数），若该食品在0℃的保鲜时间为120小时，在22℃的保鲜时间是30小时，则该食品在33℃的保鲜时间是 小时．二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13．已知为实数，若复数是纯虚数，则的虚部为（ ）． ． ． ．θ)sin 211z iθθ=-+-z A 2B 0C 2-D 2i -14．已知条件α：“直线l在两条坐标轴上的截距相等”，条件β：“直线l的斜率等于1-”，则α是β的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件15．如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱的顶点A在x轴上，AB平行于y轴，侧棱1AA平行于z轴．当顶点C在y轴正半轴上运动时，以下关于此直三棱柱三视图的表述正确的是（）A ．该三棱柱主视图的投影不发生变化；B ．该三棱柱左视图的投影不发生变化；C．该三棱柱俯视图的投影不发生变化；D ．该三棱柱三个视图的投影都不发生变化．16．如图，两个椭圆192522=+yx，192522=+xy内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上任意一点，给出下列三个判断：①P到()0,41-F、()0,42F、()4,01-E、()20,4E四点的距离之和为定值；②曲线C关于直线xy=、xy-=均对称；③曲线C所围区域面积必小于36．上述判断中正确命题的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB=2，BC=3，AA1=1，E为CD中点，求异面直线BC1和D1E所成角的大小．AA1B1C1BCxyz18（14分）设椭圆C：mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），直线l：y=x+1与椭圆C交于P，Q两点（1）设坐标原点为O，当OP⊥OQ时，求m+n的值；（2）对（1）中的m和n，当|PQ|=时，求椭圆C的方程．19．（14分）如图，在直角坐标平面xOy内已知定点F（1，0），动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点M，使得•=0，延长MP到点N，使得| |=||（1）当||=1时，求•；（2）求点N的轨迹方程．20．（16分）已知函数f（x）=sinωx•cosωx﹣cos2ωx的周期为，其中ω＞0（1）求ω的值，并写出函数f（x）的解析式（2）设△ABC的三边a、b、c依次成等比数列，且函数f（x）的定义域等于b 边所对的角B的取值集合，求此时函数f（x）的值域．21．（18分）设等差数列{a n}的公差d＞0，前n项和为S n，且满足a2•a3=45，a1+a4=14（1）试寻找一个等差数列{b n}和一个非负常数p，使得等式（n+p）•b n=S n对于任意的正整数n恒成立，并说明你的理由；（2）对于（1）中的等差数列{b n}和非负常数p，试求f（n）=（n ∈N*）的最大值．参考答案一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．0 2．．3．（1，+∞）．4．4 5．3．6．7．7．﹣1．8．10．9．2．10．．11．（1，0）．12．1513——16C B B C17.解：如图所示，建立空间直角坐标系．D（0，0，0），B（3，2，0），C1（0，2，1），E（0，1，0），D1（0，0，1）．∴=（﹣3，0，1），=（0，1，﹣1）．∴cos===．∴异面直线BC1和D1E所成角的大小为arccos．18.【解答】解：（1）依题意，设点P（x1，y1）、Q（x2，y2），联立，化为（m+n）x2+2nx+n﹣1=0，∴x1+x2=，x1x2=．由OP⊥OQ，∴=x1x2+y1y2=0，∴x1x2+（x1+1）（x2+1）=0，即2x1x2+（x1+x2）+1=0，∴﹣+1=0，化为m+n=2．（2）|PQ|==，把m+n=2代入整理为4n2﹣8n+3=0，解得，m=，或m=，n=．∴椭圆C的标准方程为：=1，或=1．19.题意，M（﹣1，0），N（1，2），∴•=（﹣2，0）•（0，2）=0；（2）设动点N（x，y），则M（﹣x，0），P（0，）（x＞0）．∵•=0，∴（﹣x，﹣）•（1，﹣）=0，∴y2=4x（x＞0）即为所求．20.【解答】解：（1）f（x）=sinωx•cosωx﹣cos2ωx=sin2ωx﹣=sin（2ωx﹣）﹣；由T==，解得ω=2，所以函数f（x）的解析式为f（x）=sin（4x﹣）﹣；（2）因为b2=ac，所以cosB==﹣≥﹣=，当且仅当a=c时取“=”；又B为三角形内角，所以0＜B≤，即0＜x≤，所以﹣＜4x﹣≤，所以﹣≤sin（4x﹣）≤1，所以﹣1≤sin（4x﹣）﹣≤，即函数f（x）的值域是[﹣1，]．21.【解答】解：（1）∵a2•a3=45，a1+a4=14，∴，d＞0，解得d=4，a1=1．∴an=1+4（n﹣1）=4n﹣3．S n==2n2﹣n．2﹣n．∵（n+p）•bn=S n对于任意的正整数n恒成立，∴（n+p）b n=2n分别令n=1，2，3，则（1+p）b1=1，（2+p）b2=6，（3+p）b3=15．可得b1=，b2=，b3=．∵数列{bn}是等差数列，∴=+．化为：2p2+p=0，解得p=0或﹣．∵p≥0，∴p=0．（2）由（1）可得：p=0，b1=1，b2=3，公差=3﹣1=2．∴bn=1+2（n﹣1）=2n﹣1．∴f（n）===．令g（x）=x+1+，（x≥1），g′（x）=1﹣==，可得：x∈时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；x∈时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．又g（1）=3，g（2）=3+．因此当x∈N*时，n=1时，g（n）取得最小值3，故n=1时，f（n）取得最大值，f（1）=．。
上海市顾村中学2023-2024学年高三上学期期中考试化学试卷
上海市顾村中学2023-2024学年高三上学期期中考试化学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．按要求回答下列问题：(1)写出乙烯分子的结构式：。
(2)写出有机物2﹣甲基﹣1，3﹣丁二烯的结构简式。
(3)下列物质的沸点按由高到低的顺序排列正确的是_______。
①CH3(CH2)2CH3①CH3(CH2)3CH3①(CH3)3CH①(CH3)2CHCH2CH3A．①①①①B．①①①①C．①①①①D．①①①①(4)下列选项中互为同系物的是；互为同分异构体的是；①O2和O3①1H、2H、3H①与①与①与①戊烯和环戊烷①与(5)若分子式为C4H6的某烃中所有的碳原子都在同一条直线上，则该烃的结构简式为。
2．按要求完成下列各题：(1)碳原子数小于10的烷烃中一氯代物只有一种结构的物质有种，其中含有碳原子个数最少的物质的电子式为。
(2)有机物分子式为C4H10O，能与金属钠反应放出H2且能够氧化生成醛的物质有种。
(3)用系统命名法命名其名称为_______。
A．2-乙基-1-戊烯B．2-丙基-1-丁烯C．3-乙烯基己烷D．4-乙基-4-戊烯(4)发生加聚反应的产物是。
二、解答题3．某有机化合物X(C7H8O)与另一有机化合物Y发生如下反应，生成化合物Z(C11H14O2)：(1)X是下列有机化合物之一，已知X不能与FeCl3溶液发生显色反应，则X是(填字母)。
从结构上看，上述四种有机物中与互为同系物的是(填字母)。
写出A和银氨溶液发生反应的化学方程式为。
(2)Y的分子式是，可能的结构简式是和。
(3)Y有多种同分异构体，其中一种同分异构体E发生银镜反应后，其产物经酸化可得到F(C4H8O3)。
F可发生如下反应：该反应的类型是，E的结构简式是。
A．B．C．D．(4)若Y与E具有相同的碳链结构，则Z的结构简式为。
4．双酚A也被称为BPA，可用于生产塑料。
2022-2023学年上海市宝山中学高二上学期期中考试数学试卷含详解
上海市宝山中学2022学年第一学期期中考试高二年级数学试卷（考试时长：120分钟满分：150分）命题教师：徐印审核教师：郭志峰一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.已知集合{}15A x x =-≤<，{}3B x x =<，则A B = _________.2.已知直线l ：10x y -+=，则此直线的倾斜角为_________.3.若直线1:350l ax y +-=与2:210l x y +-=互相垂直，则实数a 的值为________．4.方程2220x y ay a +-+=表示圆，则实数a 的取值范围是_________.5.若关于x 的实系数一元二次方程220x x q -+=有一个根为1i +，则q =_________.6.圆心为()1,2且与直线3430x y --=相切的圆的方程为_________.7.已知()1,1A 、()2,3B 、()2,4C ，则AB 在AC方向上的数量投影是_________.8.将某个圆锥体沿着母线和底面圆周剪开后展开，所得的平面图形是一个圆和扇形，已知该扇形的半径为3cm ，圆心角为2π3，则圆锥的体积是_________3cm .9.在菱形ABCD 中，1AB =，60DAB ︒∠=，E 为CD 的中点，则AB AE ⋅ 的值是_______；10.一个圆柱形容器的轴截面尺寸如图所示，容器内有一个实心的球，球的直径恰等于圆柱的高.现用水将该容器注满，然后取出该球（假设球的密度大于水且操作过程中水量损失不计），则球取出后，容器中水面的高度为_________cm.11.如图，在直角ABC 中，2C π=，20BC =，40AB =，现将其放置在平面α的上面，其中点A ，B 在平面α的同一侧，点C ∈平面α，BC 与平面α所成的角为6π，则点A 到平面α的最大距离是___________.12.关于曲线C ：22111x y +=，有如下结论：①曲线C 关于原点对称；②曲线C 关于直线0x y ±=对称；③曲线C 是封闭图形，且封闭图形的面积大于2π；④曲线C 不是封闭图形，且它与圆222x y +=无公共点；其中所有正确结论的序号为_________.二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.设a ∈R ，则“1a =”是“复数()()12i a a -++为纯虚数”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C .充要条件D.既非充分又非必要条件14.下列命题正确的是（）A.一条直线和一个平面平行，则它和这个平面内的任何直线平行.B.如果一条直线垂直于平面内无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直.C.垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边.D.两条直线与一个平面成角相等，则这两条直线平行.15.已知点(),M a b 在圆O ：224x y +=外，则直线4ax by +=与圆O 的位置关系是（）A .相交B.相切C.相离D.不确定16.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，F 为线段1BC 的中点，E 为线段11A C 上的动点，则下列四个结论正确的是（）A.存在点E ，使EF ∥BDB.存在点E ，使EF ⊥平面11AB C DC.EF 与1AD 所成的角不可能等于60°D.三棱锥1B ACE -的体积随动点E 变化而变化三、简答题（本大题共5题，共14＋14＋14＋16＋18＝76分）17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面是矩形，且4=AD ，2AB PA ==，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是线段AB 、BC 的中点.（1）证明：PE BC ⊥；（2）求直线PE 与平面PFD 所成角的大小.18.（1）已知平面向量()1,2a =r ，()2,b m = ，若a 与a b - 平行，求实数m 的值.（2）已知复数z 是方程2220x x ++=的解，若Im 0z >，且i az b z+=+（a 、b ∈R ，i 为虚数单位），求i a b +.19.已知直线l ：310x +=.（1）若直线l 与圆：()2224x y -+=交于A ，B 两点，求AB .（2）若直线1l 过点()1,2，且与直线l 的夹角为π3，求直线1l 的方程.20.直线l 过点()3,2P 且与x 轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点.（1）若直线l 与2320x y +-=法向量平行，写出直线l 的方程；（2）求AOB 面积的最小值；（3）如图，若点P 分向量AB 所成的比的值为2，过点P 作平行于x 轴的直线交y 轴于点M ，动点E 、F 分别在线段MP 和OA 上，若直线EF 平分直角梯形OAPM 的面积，求证：直线EF 必过一定点，并求出该定点坐标.21.已知非空集合A ⊆R ，函数()y f x =的定义域为D ，若对任意t A ∈且x D ∈，不等式()()f x f x t ≤+恒成立，则称函数()f x 具有A 性质.（1）当{}1A =-，判断()2f x x =-、()61g x x =+是否具有A 性质；（2）当()1,2A =，()22log f x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，[),x m ∈+∞，若函数具有A 性质，求正数m 的取值范围；（3）当{}2,A m =-，m ∈Z ，若D 为整数集且具有A 性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的m 的值.上海市宝山中学2022学年第一学期期中考试高二年级数学试卷（考试时长：120分钟满分：150分）命题教师：徐印审核教师：郭志峰一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.已知集合{}15A x x =-≤<，{}3B x x =<，则A B = _________.【答案】{}|13x x -≤<【分析】根据交集的知识求得正确答案.【详解】依题意，集合{}15A x x =-≤<，{}3B x x =<，所以{}|13A B x x ⋂=-≤<.故答案为：{}|13x x -≤<2.已知直线l ：10x y -+=，则此直线的倾斜角为_________.【答案】45︒##π4【分析】先求得直线l 的斜率，然后求得直线l 的倾斜角.【详解】直线l 的斜率为1，所以倾斜角为45︒.故答案为：45︒3.若直线1:350l ax y +-=与2:210l x y +-=互相垂直，则实数a 的值为________．【答案】6-【分析】由两直线互相垂直，建立关于实数a 的方程，解方程即可得到答案.【详解】两直线1:350l ax y +-=与2:210l x y +-=互相垂直.所以1320a ⨯+⨯=，解得6a =-故答案为：6-【点睛】本题考查两直线互相垂直求参数的值，注意两直线互相垂直的充要条件，属于基础题.4.方程2220x y ay a +-+=表示圆，则实数a 的取值范围是_________.【答案】1a >或a<0【分析】根据圆方程的判断方法：形如220x y Dx Ey F ++++=的方程表示圆的条件为2240D E F +->，列出不等式，解之即可.【详解】因为方程2220x y ay a +-+=表示圆，则2440a a ->，解得：1a >或a<0，故答案为：1a >或a<0.5.若关于x 的实系数一元二次方程220x x q -+=有一个根为1i +，则q =_________.【答案】2【分析】根据虚根成对的知识求得正确答案.【详解】依题意，关于x 的实系数一元二次方程220x x q -+=有一个根为1i +，则另一个根是1i -，()()1i 1i 2q =+-=.故答案为：26.圆心为()1,2且与直线3430x y --=相切的圆的方程为_________.【答案】2264(1)(2)25x y -+-=.【分析】利用点到直线的距离公式可求出半径，从而可求出圆的方程.【详解】由题意可得圆的半径为85r =，所以圆的方程为2264(1)(2)25x y -+-=.故答案为：2264(1)(2)25x y -+-=.7.已知()1,1A 、()2,3B 、()2,4C ，则AB 在AC方向上的数量投影是_________.【答案】71010【分析】分别求出,AB AC ，再根据AB 在AC 方向上的数量投影为AB AC AC⋅ 结合数量积的坐标表示即可得解.【详解】解：由()1,1A 、()2,3B 、()2,4C ，得()()1,2,1,3AB AC ==，设,AB AC的夹角为θ，所以AB 在AC方向上的数量投影为710cos 10AB AC AB ACθ⋅===.故答案为：71010.8.将某个圆锥体沿着母线和底面圆周剪开后展开，所得的平面图形是一个圆和扇形，已知该扇形的半径为3cm ，圆心角为2π3，则圆锥的体积是_________3cm .【答案】22π3【分析】求得圆锥的底面半径和高，从而求得圆锥的体积.【详解】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则2π2π3,13r r =⨯=，h ==，所以圆锥的体积为21π1π33⨯⨯⨯=3cm .故答案为：22π39.在菱形ABCD 中，1AB =，60DAB ︒∠=，E 为CD 的中点，则AB AE ⋅的值是_______；【答案】1【详解】如图所示：在菱形ABCD 中，160AB DAB =∠=︒，，12AE AD AB=+∴21111cos 601122AB AE AB AD AB ⎛⎫⋅=⋅+=⨯⨯︒+⨯= ⎪⎝⎭故答案为110.一个圆柱形容器的轴截面尺寸如图所示，容器内有一个实心的球，球的直径恰等于圆柱的高.现用水将该容器注满，然后取出该球（假设球的密度大于水且操作过程中水量损失不计），则球取出后，容器中水面的高度为_________cm.【答案】11425##4.56【分析】设容器中水的高度为cm h ，根据水的体积和球的体积等于图中圆柱的体积可得出关于h 的等式，即可得解.【详解】设容器中水的高度为cm h ，圆柱的底面半径为5cm ，由题意可得2324π5π3π563h ⨯⋅+⨯=⨯⨯，解得114cm 25h =.故答案为：11425.11.如图，在直角ABC 中，2C π=，20BC =，40AB =，现将其放置在平面α的上面，其中点A ，B 在平面α的同一侧，点C ∈平面α，BC 与平面α所成的角为6π，则点A 到平面α的最大距离是___________.【答案】30【分析】过B 作1BB α⊥,交α于1B ，过A 作1AA α⊥,交α于1A ，然后判断出当1,,,A B B C 四点共面时，点A 到α的距离最大，进而算出AC ，最后得到答案.【详解】如图，过B 作1BB α⊥,交α于1B ，过A 作1AA α⊥,交α于1A ，因为在Rt ABC 中，,20,402ACB BC AB π∠===，则22203AC AB BC =-=当1,,,A B B C 四点共面时，点A 到α的距离最大.因为1BB α⊥，所以1BCB ∠是BC 与平面α所成的角，则16BCB π∠=，则13ACA π∠=，于是，13sin 2033032AA AC π=⨯==，即A 到α的最大距离为30.故答案为：30.12.关于曲线C ：22111x y+=，有如下结论：①曲线C 关于原点对称；②曲线C 关于直线0x y ±=对称；③曲线C 是封闭图形，且封闭图形的面积大于2π；④曲线C 不是封闭图形，且它与圆222x y +=无公共点；其中所有正确结论的序号为_________.【答案】①②④【分析】利用曲线方程的性质，对称性的应用及曲线间的位置关系即可判断上述结论是否正确.【详解】对于①，将方程中的x 换为x -，y 换为y -，得()()222211111x y x y +=+=--，所以曲线C 关于原点对称，故①正确；对于②，将方程中的x 换为y 或y -，y 换为x 或x -，得()()2222221111111y x x y y x +=+=+=--，所以曲线C 关于直线0x y ±=对称，故②正确；对于③，由22111x y +=得221110y x =-≥，即21x ≥，同理21y ≥，显然曲线C 不是封闭图形，故③错误；对于④，由③知曲线C 不是封闭图形，联立22221112x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，消去2y ，得42220x x -+=，令2t x =，则上式转化为2220t t -+=，由()2Δ24240=--⨯=-<可知方程无解，因此曲线C 与圆222x y +=无公共点，故④正确.故答案为：①②④.二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.设a ∈R ，则“1a =”是“复数()()12i a a -++为纯虚数”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A【分析】根据复数为纯虚数的等价条件是实部为零，虚部不为零，再利用充分，必要条件的概念解题，即可得到结果.【详解】当1a =时，复数()()12i=i a a -++，为纯虚数；当复数()()12i a a -++为纯虚数时，有()()120a a -+=，得1a =或2a =-.所以“1a =”是“复数()()12i a a -++为纯虚数”的充分非必要条件.故选:A .14.下列命题正确的是（）A.一条直线和一个平面平行，则它和这个平面内的任何直线平行.B.如果一条直线垂直于平面内无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直.C.垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边.D.两条直线与一个平面成角相等，则这两条直线平行.【答案】C【分析】根据线面平行，线面垂直的定义，逐个选项进行判断，可得答案.【详解】对于A ，一条直线和一个平面平行，根据线面平行的定义，不能得出它和这个平面内的任何直线平行，故A 错；对于B ，根据线面垂直的定义，如果该直线垂直于平面内无数条平行直线，则该直线不一定和该平面垂直，故B 错；对于C ，根据线面垂直的定义，垂直于三角形两边的直线，必定垂直于三角形所成的面，则该直线必垂直于三角形的第三边，故C 正确；对于D ，两条直线与一个平面成角相等，则两条直线可以相互平行，也可以相互垂直，故D 错误；故选：C15.已知点(),M a b 在圆O ：224x y +=外，则直线4ax by +=与圆O 的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.不确定【答案】A【分析】根据点(,)M a b 在圆外，求出224a b +>，再根据圆心到直线的距离公式即可判断.【详解】因为点(,)M a b 在圆22:4O x y +=外，所以224a b +>，所以圆心到直线4ax by +=的距离2d =<，所以该直线与圆相交，故选：A.16.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，F 为线段1BC 的中点，E 为线段11A C 上的动点，则下列四个结论正确的是（）A.存在点E ，使EF ∥BDB.存在点E ，使EF ⊥平面11AB C DC.EF 与1AD 所成的角不可能等于60°D.三棱锥1B ACE -的体积随动点E 变化而变化【答案】B【分析】根据题意，结合线面平行的判定、线面垂直的判定、异面直线夹角的求法以及锥体的体积公式，一一判断即可.【详解】根据题意，如图所示，连接1A B.对于选项A ，∵EF ⊂平面11A BC ，BD ⊄平面11A BC ，∴若EF //BD ，一定有BD //平面11A BC ，又∵BD 与平面11A BC 相交，∴不存在点E ，使EF //BD ，故A 错；对于选项B ，当E 为中点时，易知EF //1A B ，∵在正方体1111ABCD A B C D -中，11AB AB ⊥，1AD A B ⊥，且1AD AB A = ，∴1A B ⊥平面11AB C D ，即EF ⊥平面11AB C D ，故B 正确；对于选项C ，当E 为中点时，易知EF //1A B ，1AD //1BC ，∵在正方体1111ABCD A B C D -中，1111AB BC A C ==，∴1A B 与1BC 所成的角为60 ，即EF 与1AD 所成的角为60 ，故C 错；对于选项D ，设正方体边长为2，因为AC //11A C ，1AA //1BB ，所以三棱锥1B ACE -的体积11111114323B ACE E ACB A ACB B A AC A AC BD V V V V S ----====⋅⋅= ，故D 错.故选：B.三、简答题（本大题共5题，共14＋14＋14＋16＋18＝76分）17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面是矩形，且4=AD ，2AB PA ==，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是线段AB 、BC 的中点.（1）证明：PE BC ⊥；（2）求直线PE 与平面PFD 所成角的大小.【答案】（1）证明见详解（2）arcsin10【分析】（1）根据线面垂直的性质定理和判定定理证明；（2）建系，求平面PFD 的法向量，利用空间向量求线面夹角.【小问1详解】∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PA BC ⊥，又∵ABCD 是矩形，则AB BC ⊥，PA AB A = ，,PA AB ⊂平面PAB ，∴BC ⊥平面PAB ，PE ⊂平面PAB ，则BC PE ⊥.【小问2详解】如图，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，则()()()()0,0,2,1,0,0,0,4,0,2,2,0P E D F ，∴()()()1,0,2,0,4,2,2,2,0PE PD DF =-=-=-，设平面PDF 的法向量(),,n x y z = ，则420220n PD y z n DF x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1x =，则1,2y z ==，即()1,1,2n = ，∵cos ,10PE n PE n PE n⋅===- ，∴直线PE 与平面PFD 所成角的正弦值为3010，故直线PE 与平面PFD所成角的大小为arcsin10.18.（1）已知平面向量()1,2a =r ，()2,b m = ，若a 与a b - 平行，求实数m 的值.（2）已知复数z 是方程2220x x ++=的解，若Im 0z >，且i a z b z +=+（a 、b ∈R ，i 为虚数单位），求i a b +.【答案】（1）4m =；（2）i a b +=.【分析】（1）求出向量a b - 的坐标，根据平面向量平行的坐标表示可得出关于实数m 的等式，即可求得实数m 的值；（2）求出方程2220x x ++=的虚根，结合Im 0z >可求得复数z 的值，利用复数的运算结合复数相等可求得a 、b 的值，再利用复数的模长公式可求得i a b +的值.【详解】解：（1）()1,2a b m -=-- ，因为a 与a b - 平行，则22m -=-，解得4m =；（2）由()2222110x x x ++=++=，即()211x +=-，可得1i x +=±，解得1i x =-±，即1i z =-±，因为Im 0z >，则1i z =-+，所以，()()()1i i 1i 1i 1i 11i 1i 1i 1i 222a a a a a a a z z --+⎛⎫⎛⎫+=--=--=---=-+-+ ⎪ ⎪-+-+--⎝⎭⎝⎭，所以，12112a b a ⎧--=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，解得41a b =-⎧⎨=⎩，所以，i 4i a b +=-+==.19.已知直线l ：10x +=.（1）若直线l 与圆：()2224x y -+=交于A ，B 两点，求AB .（2）若直线1l 过点()1,2，且与直线l 的夹角为π3，求直线1l 的方程.【答案】（1（2）1x =或10x +-=【分析】（1）求出圆心与半径，根据点到直线的距离公式求出圆心到直线l 的距离，再根据圆的弦长公式求解即可；（2）求出直线l 的倾斜角，再根据直线1l 与直线l 的夹角可求得直线1l 的倾斜角，再根据直线的点斜式方程即可得解.【小问1详解】解：圆：()2224x y -+=的圆心为()2,0，半径2r =，则圆心()2,0到直线l 的距离32d ==，所以AB ==【小问2详解】解：直线l ：10x +=的斜率为3，则倾斜角为π6，因为直线1l 与直线l 的夹角为π3，所以直线1l 的倾斜角为π2或5π6，当直线1l 的倾斜角为π2时，方程为1x =，当直线1l 的倾斜角为5π6时，其斜率为33-，所以方程为()213y x -=--，即10x -=，综上，直线1l 的方程为1x =或10x +--=.20.直线l 过点()3,2P 且与x 轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点.（1）若直线l 与2320x y +-=法向量平行，写出直线l 的方程；（2）求AOB 面积的最小值；（3）如图，若点P 分向量AB 所成的比的值为2，过点P 作平行于x 轴的直线交y 轴于点M ，动点E 、F 分别在线段MP 和OA 上，若直线EF 平分直角梯形OAPM 的面积，求证：直线EF 必过一定点，并求出该定点坐标.【答案】（1）3250x y --=；（2）12；（3）证明见解析，定点为()3,1.【分析】（1）利用两直线垂直设出一般式，代入点P 即可求出直线方程；（2）设直线截距式为()1,0x y a b a b +=>，代入点P 得到321a b+=，利用基本不定式即可求出面积最小值；（3）设(,0),(0,)A a B b ，利用定比分点公式得到9,6a b ==，再设(,2),(,0)E m F n ，根据四边形面积得到6m n +=，代回直线EF 方程，求出定点.【小问1详解】由题设直线320:x y C l -+=，将点()3,2代入得940C -+=，5C =-,故直线3250:x y l --=【小问2详解】设直线l 的方程为()1,0x y a b a b +=>，将点()3,2代入得321a b +=≥=，则24ab ≥，则11241222AOB S ab =≥⋅= ，当且仅当32a b =，结合321a b+=，即6,4a b ==时等号成立.故AOB 的面积最小值为12.【小问3详解】证明：点P 分向量AB 所成的比的值为2,即为2AP PB = ,设(,0),(0,)A a B b ,由(3,2)P ,()()3,2,3,2AP a PB b =-=-- 即有(3,2)2(3,2)a b -=--,可得9,3,(0,2),||2a b M OM ===,||3PM =,梯形AOMP 的面积为12(39)122⨯⨯+=,由题意可得梯形FOMP 的面积为6,设(,2),(,0)E m F n ,可得12()62m n ⨯+=,即6m n +=,由直线EF 的方程为2()y x n m n =--,将6n m =-代入上式可得()()2126120m y x y --+-=,由1062120y y x -=⎧⎨+-=⎩解得31x y =⎧⎨=⎩,则直线EF 经过定点(3,1).21.已知非空集合A ⊆R ，函数()y f x =的定义域为D ，若对任意t A ∈且x D ∈，不等式()()f x f x t ≤+恒成立，则称函数()f x 具有A 性质.（1）当{}1A =-，判断()2f x x =-、()61g x x =+是否具有A 性质；（2）当()1,2A =，()22log f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，[),x m ∈+∞，若函数具有A 性质，求正数m 的取值范围；（3）当{}2,A m =-，m ∈Z ，若D 为整数集且具有A 性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的m 的值.【答案】（1）()2f x x =-具有A 性质，()61g x x =+不具有A 性质（2）m ≥（3）m 为正奇数【分析】（1）利用函数的单调性结合新定义逐一判断即可；（2）由题意可得()22log f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[),x m ∈+∞为增函数，由复合函数的单调性可得函数2x xμ=+在[),x m ∈+∞为增函数，求出函数2x x μ=+的单调增区间即可得出答案；（3）由题意可得()()()()2Z ,21Z f k p k f n q n =∈-=∈，从而可得()()221f k f n =-，从而可得出答案.【小问1详解】解：因为函数()2f x x =-是R 上的减函数，又1x x >-，所以()()1f x f x <-，所以()2f x x =-具有A 性质，因为函数()61g x x =+是R 上的增函数，又1x x >-，所以()()1g x g x >-，所以函数()61g x x =+不具有A 性质；【小问2详解】解：依题意，对于任意的()1,2t ∈，()()f x f x t ≤+恒成立，由()1,2t ∈，得x x t <+，所以()22log f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[),x m ∈+∞为增函数（函数不可能为常数函数），令()2x x m xμ=+≥，因为函数2log y μ=是增函数，所以函数2x x μ=+在[),x m ∈+∞为增函数，令()2h x x x=+，任取120x x <<，则()()21212122h x h x x x x x -=+--()2121122x x x x x x -=--()()2121122x x x x x x --=，因为120x x <<，所以21120,0x x x x ->>，则要使()h x 为增函数，则()()210h x h x ->，即1220x x ->，由12x x ==时，1220x x -=，12x x ≤<时，1220x x ->，所以函数()2h x x x =+的单调递增区间为)+∞，所以m ≥【小问3详解】解：由（1）可得当0m ≤时，函数()f x 不是常值函数，所以0m >，因为D 为整数集且具有A 性质的函数均为常值函数，∴当2t =-时，()()2f x f x =-恒成立，即()()()()2Z ,21Z f k p k f n q n =∈-=∈，由题意得p q =，则()()221f k f n =-，当2x k =，()()221f x f x n k =+--，所以()221,Z m n k k n =--∈，当21x n =-时，()()221f x f x k n =+-+，所以()221,Z m k n k n =-+∈，综上所述，m 为正奇数.【点睛】本题以新定义为载体，考查了函数的单调性及运用，考查了逻辑推理能力及对新知识的快速把握，关键在于对新定义的理解.。
上海市顾村中学简介
作者： 无
作者机构： 不详
出版物刊名： 上海中学数学
页码： F0004-F0004页
年卷期： 2012年 第6期
主题词： 第三中学 上海市 实验性示范性高中 社会主义精神文明 简介 高级教师 文化底蕴高中学生
摘要：上海市顾村中学创办于1944年，至今已近七十年，具有深厚的文化底蕴。
1956年易名为宝山第三中学、1961年开始招收高中学生，成为完全中学。
1965年易名为上海市顾村中学。
2012年3月被评为宝山区实验性示范性高中。
目前，学校共有42个教学班，139名教师，其中高级教师32人。
近两年来，共有89名教师获得市区级荣誉，学校被评为区文明单位和区军民共建社会主义精神文明先进集体。
2024届上海市顾村中学高三数学上学期期中考试题卷附答案解析
2024届上海市顾村中学高三数学上学期期中考试题卷2023-11（本试卷满分150分，考试时间120分钟）一、填空题：（本大题满分54分）本大题有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-6题每题4分，7-12题每题5分.1．设全集{1,2,3}U =，{1,2}A =，则A =.2．28x=的解是.3．函数πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为.4．以(1,2)为圆心，1为半径的圆的标准方程为.5．已知向量()1,2a =，(),1b m =-，且a b ⊥，则实数m =.6．已知11x >，则x 的范围为.7．函数2log 1|1|2y x =+的值域为.8．已知ABC 的角A 、B 、C 对应边长分别为a 、b 、c ，4a =，5b =，6c =，则sin A =9．函数2()2sin 90f x x x ︒=-+在区间[0,]m 上的值域为[0,1]，则m 的范围是.10．tan α，cot α是x 的方程2230x kx k -+-=的两实根，锐角α=.11．当(0,1)x ∈时，1121x x +-的最小值是.12．已知函数2()(3)3(R)f x x a x a x =-++∈.若对于任意的实数a ，函数()f x 的图像都不经过点()22,p p，则实数p =.二、选择题：（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上填写答案，选对得5分，否则一律得零分.13．已知2:log 0p x <，1:2q x <，则p 是q 成立的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件14．若函数()1xf x x =-，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 的图像关于点(1,2)中心对称；B ．函数()f x 在(,1)-∞上是严格增函数；C ．函数()f x 的图像上至少存在两点A 、B ，使得直线AB ∥x 轴；D ．函数()f x 的图像关于直线y x =对称．15．若有平面α与β，且,,,l P P l αβαβα=⊥∈∉ ，则下列命题中的假命题为（）A ．过点P 且垂直于α的直线平行于βB ．过点P 且垂直于l 的平面垂直于βC ．过点P 且垂直于β的直线在α内D ．过点P 且垂直于l 的直线在α内16．已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是A ．22a b <B ．22ab a b <C ．2211ab a b <D ．b a a b <三．解答题（本大题满分76分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步㵵17．已知函数33()log f x x a x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的定义域为A ，值域为B ．(1)当4a =时，求集合A ；(2)当a =B ．18．已知函数()()22x af x x x +=∈+R ．（1）写出函数()y f x =的奇偶性；（2）当0x >时，是否存在实数a ，使()y f x =的图象在函数()2g x x =图象的下方，若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由．19．在一个水塘里，第一天有1朵荷花开，以后每天荷花的数量都是前一天的2倍，而到第30天的时候，整个荷塘都开满了荷花（这就是著名的荷花定律）.荷花引来百鸟鸣，鸟鸣声强级数y （单位:分贝）与声强度数x （瓦/平方米）的关系式为：1210lg ,0201020x x y x -⎧<<⎪=≥(1)这里面有一个有趣的问题，荷花究竟在第几天开满半个水塘呢?(2)如果声强度数是10瓦/平方米，求相应的声强级数20．已知()ln f x x x =.(1)求()f x 的导函数以及驻点.(2)求平行于5y x =-的切线方程；(3)求()f x 的单调性.21．己知1F 、2F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点，焦距为2c ，过点1F 的直线交椭圆于P 、Q 两点，22PF c=，1143PF QF =.(1)椭圆经过点(5,0),(0,4)，求椭圆方程:(2)求1PF ，1QF 的长度（用a ，c 表示）；(3)求该椭圆的离心率.1．{}3【分析】根据全集求补集即可.【详解】因为{}{}1,2,3,1,2U A ==，所以{}3A =，故答案为：{}32．3【分析】根据指数函数性质运算求解.【详解】因为3282x ==，且2xy =在R 上单调递增，可得3x =，所以28x=的解是3.故答案为：3.3．π【分析】根据正弦型函数的最小正周期公式运算求解.【详解】由题意可得：函数πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期2ππ2T ==-.故答案为：π.4．()()22121x y -+-=【分析】根据圆的标准方程直接可得结果.【详解】由题意可得：圆的标准方程为()()22121x y -+-=.故答案为：()()22121x y -+-=.5．2【分析】根据向量垂直的坐标表示可直接构造方程求得结果.【详解】由a b ⊥ 得：20a b m ⋅=-=，解得：2m =.故答案为：2.6．()0,1【分析】由分式不等式的解法求解即可.【详解】由11x >可得：110x ->，即10x x ->，则()10x x -<，解得：01x <<.故答案为：()0,17．[)4,+∞【分析】根据题意化简函数解析式，分类讨论求值域.【详解】因为2log 12,2121214,1222,1x x y x x x x x x ≥⎧⎪=+=++-+=-<<⎨⎪-≤-⎩，当2x ≥时，24=≥y x ；当12x -<<时，4y =；当1x ≤-时，224=-≥y x ；综上所述：该函数的值域为[)4,+∞.故答案为：[)4,+∞.8．【分析】由余弦定理求出cos A ，由平方关系求得结果.【详解】由余弦定理可得2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯，22237sin 1cos 1416A A ⎛⎫∴=-=-=⎪⎝⎭，又0πA <<，sin A ∴=故答案为：4.9．[]1,2【分析】根据题意结合二次函数性质分析求解.【详解】由题意可得：22()2sin 1902︒=-+-=+f x x x x x ，开口向上，对称轴为1x =，且()()()10,021===f f f，若函数()f x 在区间[0,]m 上的值域为[0,1]，则12m ≤≤，所以m 的范围是[]1,2.故答案为：[]1,2.10．π4【分析】利用正切和余切定义结合韦达定理即可直接求解.【详解】由题知，tan cot k αα+=，2tan cot 31k αα⋅=-=，则2k =±，解得tan cot 1αα==±，因为α是锐角，所以π4α=.故答案为：π411．32+【分析】根据题意，由原式可得2111121211x x x x x x +=⋅--++，然后结合基本不等式代入计算，即可得到结果.【详解】因为()0,1x ∈，()221112111121212211x x x x x x x x x x x x x -+++==⋅=⋅----++，其中()()()2212111111112111111x x x x x x x xx x x x +-+++--=-=--++-++++++()23132321x x ⎡⎤=-++≤--⎢⎥+⎣⎦，当且仅当()211x x +=+时，即1x =时，等号成立，此时2min 11132113222x x x x ⎪⋅+⎛⎫⎪+=+ ⎪ ⎝⎭-+ ⎪即1121x x +-的最小值是32.故答案为：3212．32【分析】把()22,p p 代入函数()f x ，整理可得()()236320pp p a -+-=，只需320p -=即可.【详解】把()22,p p 代入函数2()(3)3(R)f x xa x a x =-++∈，得224(3)23p p a p a =-+⋅+，整理可得：()()236320pp p a -+-=，因为对于任意的实数a ，函数()f x 的图像都不经过点()22,p p，所以320p -=，解得：32p =.故答案为：3213．D【分析】根据题意解不等式可得:01p x <<，11:22-<<q x ，结合充分、必要条件分析判断.【详解】对于22:log 0log 1<=p x ，等价于:01p x <<；对于1:2q x <，等价于11:22-<<q x ；例如23x =符合p ，但211,322⎛⎫∉- ⎪⎝⎭，即23x =不符合q ，可知充分性不成立；例如14x =-符合q ，但()10,14-∉，即14x =-不符合p ，可知必要性不成立；综上所述：p 是q 成立的既非充分又非必要条件.故选：D.14．D【分析】对于A ：根据中心对称的定义分析判断；对于B ：根据单调性的性质分析判断；对于D ：根据题意结合函数图象分析判断；对于D ：根据点关于直线y x =对称的性质，结合函数解析式分析判断.【详解】因为1()111x f x x x ==+--，可知其定义域为{}|1x x ≠，函数()f x 的图象是由1y x =向右平移1个单位，再向上平移一个单位而得，如图所示，对于选项A ：因为()1111(2)112221111⎛⎫⎛⎫-+=+++=-+= ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭f x x x x x x ，所以函数()f x 的图像关于点(1,1)中心对称，故A 错误；对于选项B ：因为1y x =-在(,1)-∞上是严格增函数，则11y x =-在(,1)-∞上是严格减函数，所以函数()f x 在(,1)-∞上是严格减函数，故B 错误；对于选项C ：由图象可知：当1x <，()f x 是严格减函数，且()1f x <，当1x >，()f x 是严格减函数，且()1f x >，即定义域内不存在12,x x ，使得()()12f x f x =成立，所以函数()f x 的图像上不存在两点A 、B ，使得直线AB ∥x 轴，故C 错误；对于选项D ：假设(),P x y 在函数()y f x =上，则1xy x =-，则(),P x y 关于y x =对称的点(),P y x '，由1x y x =-整理得1y x y =-，可知(),P y x '也在函数()y f x =上，所以函数()f x 的图像关于直线y x =对称，故D 正确；故选：D.15．D【分析】根据线面、面面垂直的性质定理与判定定理一一判断即可【详解】A 中：在平面β内作直线m l ⊥，则由面面垂直性质定理可知m α⊥，则过点P 且垂直于α的直线一定平行于直线m ，故A 正确；B 中：由题意和面面垂直的判定定理知，选项B 正确；C 中：由题意和面面垂直的性质定理知，选项C 正确；D 中：过点P 且垂直于l 的直线有可能在平面α内，也可能与平面α相交，D 不正确；故选：D ．16．C【详解】若a<b<0,则a2>b2，A 不成立；若220{,ab a b ab a b >⇒<<B 不成立；若a=1，b=2，则12,2b a b a a b a b ==⇒>,所以D 不成立,故选C.17．(1)()()0,13,A ∞=⋃+(2)1,2B ⎡⎫=+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据对数定义需满足真数大于0恒成立，求出对应的定义域；（2）先求出定义域，再应用对勾函数性质求出取值范围，最后求出值域即可.【详解】（1）当4a =时()33log 4f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以340x x +->，若0x <则不等式无解，所以0x >，即2430x x -+>，即()()130x x -->，解得3x >或1x <，所以()()0,13,A ∞=⋃+；（2）当a =()33log f x x x ⎛=+ ⎝，所以30x x +>，若0x <则不等式无解，所以0x >，即230x +>，解得此时不等式恒成立，所以定义域()0,A =+∞，又当()0,x ∈+∞时3x x +≥恒成立（当且仅当x =所以3x x +-所以331log log 2x x ⎛+≥ ⎝，所以1,2B ⎡⎫=+∞⎪⎢⎣⎭18．（1）见解析；（2）存在，4a <.【分析】（1）对a 分0a =和0a ≠两种情况分类讨论，结合奇偶性的定义可判断出函数()y f x =的奇偶性；（2）由题意得出222x a x x +<+，利用参变量分离法得出4a x x <+，然后利用基本不等式求出函数4y x x =+在()0,x ∈+∞时的最小值，即可得出实数a 的取值范围.【详解】（1）因为()y f x =的定义域为R ，关于原点对称.当0a =时，()22x f x x =+，则()()()2222x xf x f x x x --==-=-+-+，此时，函数()y f x =是奇函数；当0a ≠时，()22x a f x x +=+，()()2222x a a x f x x x -+--==+-+，则()()f x f x -≠，()()f x f x -≠-，此时，函数()y f x =是非奇非偶函数；（2）若()y f x =的图象在函数()2g x x =图象的下方，则222x a x x +<+，化简得4a x x <+恒成立，当0x >时，由基本不等式得44x x +≥=，当且仅当2x =时，等号成立.4a ∴<，因此，当4a <时，函数()y f x =的图象都在函数()2g x x =图象的下方．【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，同时也考查函数不等式恒成立问题的求解，在含单参数的不等式问题中，可以充分利用参变量分离法，转化为函数最值来求解，可简化分类讨论，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.19．(1)30天(2)130分贝【分析】（1）每天荷花的数量都是前一天的2倍，则荷花朵数为等比数列，设等比数列求出通项公式，开满荷塘以及开满半个荷塘都为等比数列求和，列出不等式求解即可.（2）找到10瓦/平方米所在范围，代入计算求出结果即可.【详解】（1）解：设第n 天水塘中的荷花朵数为n a ，则12n n a -=，到第30天的时候，整个荷塘都开满了荷花，则有302293012301212222112a a a -+++=++++==-- ，若荷花在第k 天开满半个水塘，则有()21301212112222121122k k k k a a a --+++=++++==-≥-- ，即291222k ≥+，解得：30k ≥，所以荷花在第30天开满半个水塘.（2）声强度数是10瓦/平方米，则1210lg10xy -=，020x <<，所以声强级数121010lg 13010y -==（分贝）.20．(1)()1ln f x x'=+，驻点为1e .(2)1y x =-(3)函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.【分析】（1）由导数公式及求导法则，驻点定义可得解；（2）由导数的几何意义可得解；（3）根据导数与单调性关系可求解.【详解】（1）()ln f x x x = ，()1ln f x x'∴=+，令()0f x '=即1ln 0x +=，解得1e x =，所以函数()f x 的驻点为1e .（2）由5y x =-，切线的斜率1k =，设切点坐标为()00,x y ，则()01f x '=，解得01x =，则000ln 0y x x ==，切点坐标为()1,0，所以切线方程为1y x =-.（3）由()1ln f x x'=+，()0,x ∈+∞，令()0f x ¢>，解得1e x >，令()0f x '<，解得10e x <<，所以函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.21．(1)2212516x y +=(2)22a c -；3()2a c -(3)57【分析】（1）根据题意，结合椭圆的几何性质，即可求解；（2）根据题意，结合椭圆的定义，即可求解；（3）根据题意，结合1212cos cos 0PF F QF F ∠+∠=，列出方程，得到离心率e 的方程，即可求解.【详解】（1）解：由椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，当椭圆经过(5,0),(0,4)时，可得5,4a b ==，所以椭圆的方程为2212516x y +=.（2）解：因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，且22PF c =，1143PF QF =由椭圆的定义，可得122PF PF a+=，所以12222PF a PF a c=-=-，11且1133()42a c QF PF -==.（3）解：由22PF c =，122PF a c =-且13()2a c QF -=，可得21322a cQF a QF +=-=，在等腰12PF F △中，可得1121212cos 2PF a cPF F F F c -∠==，在12QF F 中，由余弦定理可得：222221229(3)4()2344cos 33322()2a c c a c c ac a QF F ac c c a c ++---+∠==-⨯⨯-，因为1212cos cos 0PF F QF F ∠+∠=，可得22223cos 233a c c ac a c ac c --+=-，整理得227920c ac a -+=，即271250e e -+=，解得1e =或57e =，又因为01e <<，所以57e =，即椭圆的离心率为57.。
2022-2023学年上海市宝山中学高二上学期期中数学试题(解析版)
2022-2023学年上海市宝山中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．设a ∈R ，则“1a =”是“复数()()12i a a -++为纯虚数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件【答案】A【分析】根据复数为纯虚数的等价条件是实部为零，虚部不为零，再利用充分，必要条件的概念解题，即可得到结果.【详解】当1a =时，复数()()12i=i a a -++，为纯虚数； 当复数()()12i a a -++为纯虚数时，有()()120a a -+=，得1a =或2a =-.所以“1a =”是“复数()()12i a a -++为纯虚数”的充分非必要条件. 故选:A.2．下列命题正确的是（ ）A ．一条直线和一个平面平行，则它和这个平面内的任何直线平行.B ．如果一条直线垂直于平面内无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直.C ．垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边.D ．两条直线与一个平面成角相等，则这两条直线平行. 【答案】C【分析】根据线面平行，线面垂直的定义，逐个选项进行判断，可得答案.【详解】对于A ，一条直线和一个平面平行，根据线面平行的定义，不能得出它和这个平面内的任何直线平行，故A 错；对于B ，根据线面垂直的定义，如果该直线垂直于平面内无数条平行直线，则该直线不一定和该平面垂直，故B 错；对于C ，根据线面垂直的定义，垂直于三角形两边的直线，必定垂直于三角形所成的面，则该直线必垂直于三角形的第三边，故C 正确；对于D ，两条直线与一个平面成角相等，则两条直线可以相互平行，也可以相互垂直，故D 错误； 故选：C3．已知点(),M a b 在圆O ：224x y +=外，则直线4ax by +=与圆O 的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切C ．相离D ．不确定【答案】A【分析】根据点(,)M a b 在圆外，求出224a b +>，再根据圆心到直线的距离公式即可判断. 【详解】因为点(,)M a b 在圆22:4O x y +=外，所以224a b +>， 所以圆心到直线4ax by +=的距离2242d a b-=<+，所以该直线与圆相交，故选：A.4．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，F 为线段1BC 的中点，E 为线段11A C 上的动点，则下列四个结论正确的是（ ）A ．存在点E ，使EF ∥BDB ．存在点E ，使EF ⊥平面11ABCD C ．EF 与1AD 所成的角不可能等于60° D ．三棱锥1B ACE -的体积随动点E 变化而变化 【答案】B【分析】根据题意，结合线面平行的判定、线面垂直的判定、异面直线夹角的求法以及锥体的体积公式，一一判断即可.【详解】根据题意，如图所示，连接1A B .对于选项A ，∵EF ⊂平面11A BC ，BD ⊄平面11A BC ，∴若EF //BD ，一定有BD //平面11A BC ，又∵BD 与平面11A BC 相交， ∴不存在点E ，使EF //BD ，故A 错；对于选项B ，当E 为中点时，易知EF //1A B ，∵在正方体1111ABCD A B C D -中，11A B AB ⊥，1AD A B ⊥，且1ADAB A =，∴1A B ⊥平面11AB C D ，即EF ⊥平面11AB C D ，故B 正确；对于选项C ，当E 为中点时，易知EF //1A B ，1AD //1BC ， ∵在正方体1111ABCD A B C D -中，1111A B BC AC ==，∴1A B 与1BC 所成的角为60，即EF 与1AD 所成的角为60，故C 错；对于选项D ，设正方体边长为2，因为AC //11A C ，1AA //1BB ，所以三棱锥1B ACE -的体积11111114323B ACE E ACB A ACB B A AC A AC BD V V V V S----====⋅⋅=，故D 错. 故选：B.二、填空题5．已知集合{}15A x x =-≤<，{}3B x x =<，则A B =_________. 【答案】{}|13x x -≤<【分析】根据交集的知识求得正确答案.【详解】依题意，集合{}15A x x =-≤<，{}3B x x =<， 所以{}|13A B x x ⋂=-≤<. 故答案为：{}|13x x -≤<6．已知直线l ：10x y -+=，则此直线的倾斜角为_________. 【答案】45︒##π4【分析】先求得直线l 的斜率，然后求得直线l 的倾斜角. 【详解】直线l 的斜率为1，所以倾斜角为45︒. 故答案为：45︒7．若直线1:350l ax y +-=与2:210l x y +-=互相垂直，则实数a 的值为________． 【答案】6-【分析】由两直线互相垂直，建立关于实数a 的方程，解方程即可得到答案. 【详解】两直线1:350l ax y +-=与2:210l x y +-=互相垂直. 所以1320a ⨯+⨯=，解得6a =- 故答案为：6-【点睛】本题考查两直线互相垂直求参数的值，注意两直线互相垂直的充要条件，属于基础题. 8．方程2220x y ay a +-+=表示圆，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】1a >或a<0【分析】根据圆方程的判断方法：形如220x y Dx Ey F ++++=的方程表示圆的条件为2240D E F +->，列出不等式，解之即可.【详解】因为方程2220x y ay a +-+=表示圆，则2440a a ->， 解得：1a >或a<0， 故答案为：1a >或a<0.9．若关于x 的实系数一元二次方程220x x q -+=有一个根为1i +，则q =_________. 【答案】2【分析】根据虚根成对的知识求得正确答案.【详解】依题意，关于x 的实系数一元二次方程220x x q -+=有一个根为1i +， 则另一个根是1i -，()()1i 1i 2q =+-=.故答案为：210．圆心为()1,2且与直线3430x y --=相切的圆的方程为_________.【答案】2264(1)(2)25x y -+-=. 【分析】利用点到直线的距离公式可求出半径，从而可求出圆的方程. 【详解】由题意可得圆的半径为85r ==，所以圆的方程为 2264(1)(2)25x y -+-=. 故答案为：2264(1)(2)25x y -+-=. 11．已知()1,1A 、()2,3B 、()2,4C ，则AB 在AC 方向上的数量投影是_________.【分析】分别求出,AB AC ，再根据AB 在AC 方向上的数量投影为AB AC AC⋅结合数量积的坐标表示即可得解.【详解】解：由()1,1A 、()2,3B 、()2,4C ， 得()()1,2,1,3AB AC ==， 设,AB AC 的夹角为θ，所以AB 在AC 方向上的数量投影为1cosAB AC AB ACθ⋅+===.. 12．将某个圆锥体沿着母线和底面圆周剪开后展开，所得的平面图形是一个圆和扇形，已知该扇形的半径为3cm ，圆心角为2π3，则圆锥的体积是_________3cm .【分析】求得圆锥的底面半径和高，从而求得圆锥的体积. 【详解】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则2π2π3,13r r =⨯=，h所以圆锥的体积为21π13⨯⨯⨯3cm .故答案为：22π313．在菱形ABCD 中，1AB =，60DAB ︒∠=，E 为CD 的中点，则AB AE ⋅的值是_______； 【答案】1【详解】如图所示：在菱形ABCD 中，160AB DAB =∠=︒，，12AE AD AB =+ ∴21111cos 601122AB AE AB AD AB ⎛⎫⋅=⋅+=⨯⨯︒+⨯= ⎪⎝⎭故答案为114．一个圆柱形容器的轴截面尺寸如图所示，容器内有一个实心的球，球的直径恰等于圆柱的高.现用水将该容器注满，然后取出该球（假设球的密度大于水且操作过程中水量损失不计），则球取出后，容器中水面的高度为_________cm .【答案】11425##4.56 【分析】设容器中水的高度为cm h ，根据水的体积和球的体积等于图中圆柱的体积可得出关于h 的等式，即可得解.【详解】设容器中水的高度为cm h ，圆柱的底面半径为5cm ， 由题意可得2324π5π3π563h ⨯⋅+⨯=⨯⨯，解得114cm 25h =. 故答案为：11425. 15．如图，在直角ABC 中，2C π=，20BC =，40AB =，现将其放置在平面α的上面，其中点A ，B 在平面α的同一侧，点C ∈平面α，BC 与平面α所成的角为6π，则点A 到平面α的最大距离是___________.【答案】30【分析】过B 作1BB α⊥,交α于1B ，过A 作1AA α⊥,交α于1A ，然后判断出当1,,,A B B C 四点共面时，点A 到α的距离最大，进而算出AC ，最后得到答案. 【详解】如图，过B 作1BB α⊥,交α于1B ，过A 作1AA α⊥,交α于1A ， 因为在Rt ABC 中，,20,402ACB BC AB π∠===，则22203AC AB BC -=1,,,A B B C 四点共面时，点A 到α的距离最大.因为1BB α⊥，所以1BCB ∠是BC 与平面α所成的角，则16BCB π∠=，则13ACA π∠=，于是，13sin 3303AA AC π=⨯==，即A 到α的最大距离为30. 故答案为：30. 16．关于曲线C ：22111x y +=，有如下结论： ①曲线C 关于原点对称； ②曲线C 关于直线0x y ±=对称； ③曲线C 是封闭图形，且封闭图形的面积大于2π； ④曲线C 不是封闭图形，且它与圆222x y +=无公共点； 其中所有正确结论的序号为_________. 【答案】①②④【分析】利用曲线方程的性质，对称性的应用及曲线间的位置关系即可判断上述结论是否正确.【详解】对于①，将方程中的x 换为x -，y 换为y -，得()()222211111x y x y +=+=--，所以曲线C 关于原点对称，故①正确；对于②，将方程中的x 换为y 或y -，y 换为x 或x -，得()()2222221111111y x x y y x +=+=+=--，所以曲线C 关于直线0x y ±=对称，故②正确； 对于③，由22111x y +=得221110y x=-≥，即21x ≥，同理21y ≥，显然曲线C 不是封闭图形，故③错误；对于④，由③知曲线C 不是封闭图形，联立22221112x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，消去2y ，得42220x x -+=，令2t x =，则上式转化为2220t t -+=，由()2Δ24240=--⨯=-<可知方程无解，因此曲线C 与圆222x y +=无公共点，故④正确. 故答案为：①②④.三、解答题17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面是矩形，且4=AD ，2AB PA ==，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是线段AB 、BC 的中点.(1)证明：PE BC ⊥；(2)求直线PE 与平面PFD 所成角的大小. 【答案】(1)证明见详解 (2)30【分析】（1）根据线面垂直的性质定理和判定定理证明；（2）建系，求平面PFD 的法向量，利用空间向量求线面夹角.【详解】（1）∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴PA BC ⊥，又∵ABCD 是矩形，则AB BC ⊥，PA AB A =，,PA AB ⊂平面PAB ， ∴BC ⊥平面PAB ，PE ⊂平面PAB ，则BC PE ⊥.（2）如图，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，则()()()()0,0,2,1,0,0,0,4,0,2,2,0P E D F ， ∴()()()1,0,2,0,4,2,2,2,0PE PD DF =-=-=-，设平面PDF 的法向量(),,n x y z =，则420220n PD y z n DF x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1x =，则1,2y z ==，即()1,1,2n =， ∵330cos ,1056PE n PE n PE n⋅-===-⨯，∴直线PE 与平面PFD 所成角的正弦值为3010， 故直线PE 与平面PFD 所成角的大小为30arcsin10.18．（1）已知平面向量()1,2a =，()2,b m =，若a 与a b -平行，求实数m 的值.（2）已知复数z 是方程2220x x ++=的解，若Im 0z >，且i az b z+=+（a 、b ∈R ，i 为虚数单位），求i a b +.【答案】（1）4m =；（2）i 17a b +.【分析】（1）求出向量a b -的坐标，根据平面向量平行的坐标表示可得出关于实数m 的等式，即可求得实数m 的值；（2）求出方程2220x x ++=的虚根，结合Im 0z >可求得复数z 的值，利用复数的运算结合复数相等可求得a 、b 的值，再利用复数的模长公式可求得i a b +的值.【详解】解：（1）()1,2a b m -=--，因为a 与a b -平行，则22m -=-，解得4m =； （2）由()2222110x x x ++=++=，即()211x +=-，可得1i x +=±，解得1i x =-±， 即1i z =-±，因为Im 0z >，则1i z =-+，所以，()()()1i i 1i 1i 1i 11i 1i 1i 1i 222a a a a a a a z z --+⎛⎫⎛⎫+=--=--=---=-+-+ ⎪ ⎪-+-+--⎝⎭⎝⎭， 所以，12112ab a ⎧--=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，解得41a b =-⎧⎨=⎩，所以，i 4i a b +=-+=19．已知直线l ：10x +=.(1)若直线l 与圆：()2224x y -+=交于A ，B 两点，求AB . (2)若直线1l 过点()1,2，且与直线l 的夹角为π3，求直线1l 的方程.【答案】(2)1x=或10x -=【分析】（1）求出圆心与半径，根据点到直线的距离公式求出圆心到直线l 的距离，再根据圆的弦长公式求解即可；（2）求出直线l 的倾斜角，再根据直线1l 与直线l 的夹角可求得直线1l 的倾斜角，再根据直线的点斜式方程即可得解.【详解】（1）解：圆：()2224x y -+=的圆心为()2,0，半径2r =，则圆心()2,0到直线l的距离32d ==，所以AB =（2）解：直线l ：10x +=π6，因为直线1l 与直线l 的夹角为π3，所以直线1l 的倾斜角为π2或5π6，当直线1l 的倾斜角为π2时，方程为1x =，当直线1l 的倾斜角为5π6时，其斜率为所以方程为()3213y x -=--，即32310x y +--=， 综上，直线1l 的方程为1x =或32310x y +--=.20．直线l 过点()3,2P 且与x 轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点.(1)若直线l 与2320x y +-=法向量平行，写出直线l 的方程；(2)求AOB 面积的最小值； (3)如图，若点P 分向量AB 所成的比的值为2，过点P 作平行于x 轴的直线交y 轴于点M ，动点E 、F 分别在线段MP 和OA 上，若直线EF 平分直角梯形OAPM 的面积，求证：直线EF 必过一定点，并求出该定点坐标.【答案】(1)3250x y --=；(2)12；(3)证明见解析，定点为()3,1.【分析】（1）利用两直线垂直设出一般式，代入点P 即可求出直线方程；（2）设直线截距式为()1,0x y a b a b +=>，代入点P 得到321a b+=，利用基本不定式即可求出面积最小值；（3）设(,0),(0,)A a B b ，利用定比分点公式得到9,6a b ==，再设(,2),(,0)E m F n ，根据四边形面积得到6m n +=，代回直线EF 方程，求出定点.【详解】（1）由题设直线320:x y C l -+=，将点()3,2代入得940C -+=，5C =-,故直线3250:x y l --=（2）设直线l 的方程为()1,0x y a b a b+=>， 将点()3,2代入得32326122a b a b ab+=≥⋅24ab ≥， 则11241222AOB S ab =≥⋅=，当且仅当32a b=，结合321a b +=，即6,4a b ==时等号成立. 故AOB 的面积最小值为12.（3）证明：点P 分向量AB 所成的比的值为2,即为2AP PB =,设(,0),(0,)A a B b ,由(3,2)P ,()()3,2,3,2AP a PB b =-=--即有(3,2)2(3,2)a b -=--,可得9,3,(0,2),||2a b M OM ===,||3PM =,梯形AOMP 的面积为12(39)122⨯⨯+=,由题意可得梯形FOMP 的面积为6, 设(,2),(,0)E m F n ,可得12()62m n ⨯+=,即6m n +=, 由直线EF 的方程为2()y x n m n=--, 将6n m =-代入上式可得()()2126120m y x y --+-=,由1062120y y x -=⎧⎨+-=⎩解得31x y =⎧⎨=⎩, 则直线EF 经过定点(3,1).21．已知非空集合A ⊆R ，函数()y f x =的定义域为D ，若对任意t A ∈且x D ∈，不等式()()f x f x t ≤+恒成立，则称函数()f x 具有A 性质.(1)当{}1A =-，判断()2f x x =-、()61g x x =+是否具有A 性质；(2)当()1,2A =，()22log f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，[),x m ∈+∞，若函数具有A 性质，求正数m 的取值范围； (3)当{}2,A m =-，m ∈Z ，若D 为整数集且具有A 性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的m 的值.【答案】(1)()2f x x =-具有A 性质，()61g x x =+不具有A 性质 (2)2m ≥(3)m 为正奇数【分析】（1）利用函数的单调性结合新定义逐一判断即可；（2）由题意可得()22log f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[),x m ∈+∞为增函数，由复合函数的单调性可得函数2x x μ=+在[),x m ∈+∞为增函数，求出函数2x xμ=+的单调增区间即可得出答案； （3）由题意可得()()()()2Z ,21Z f k p k f n q n =∈-=∈，从而可得()()221f k f n =-，从而可得出答案.【详解】（1）解：因为函数()2f x x =-是R 上的减函数，又1x x >-，所以()()1f x f x <-，所以()2f x x =-具有A 性质，因为函数()61g x x =+是R 上的增函数，又1x x >-，所以()()1g x g x >-，所以函数()61g x x =+不具有A 性质；（2）解：依题意，对于任意的()1,2t ∈，()()f x f x t ≤+恒成立，由()1,2t ∈，得x x t <+，所以()22log f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[),x m ∈+∞为增函数（函数不可能为常数函数）， 令()2x x m xμ=+≥， 因为函数2log y μ=是增函数， 所以函数2x x μ=+在[),x m ∈+∞为增函数， 令()2h x x x=+， 任取120x x <<，则()()21212122h x h x x x x x -=+-- ()2121122x x x x x x -=-- ()()2121122x x x x x x --=， 因为120x x <<，所以21120,0x x x x ->>，则要使()h x 为增函数，则()()210h x h x ->，即1220x x ->，由12x x =1220x x -=，12x x ≤<时，1220x x ->，所以函数()2h x x x =+的单调递增区间为)+∞，所以m ≥（3）解：由（1）可得当0m ≤时，函数()f x 不是常值函数，所以0m >，因为D 为整数集且具有A 性质的函数均为常值函数，∴当2t =-时，()()2f x f x =-恒成立，即()()()()2Z ,21Z f k p k f n q n =∈-=∈，由题意得p q =，则()()221f k f n =-，当2x k =，()()221f x f x n k =+--，所以()221,Z m n k k n =--∈，当21x n =-时，()()221f x f x k n =+-+，所以()221,Z m k n k n =-+∈，综上所述，m 为正奇数.【点睛】本题以新定义为载体，考查了函数的单调性及运用，考查了逻辑推理能力及对新知识的快速把握，关键在于对新定义的理解.。
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上海宝山区顾村中学2014-2015学年第一学期期中考试试卷高二数学一、填空题（每题3分，共30分） 1、2和6的等差中项是_______. 【答案】4；【解析】依据等差中项定义，易知2642+=，即2和6的等差中项是4. 2、计算：2221lim 2n n n n→∞+=-_______.【答案】2；【解析】2221221lim lim 2221n n n n n n n→∞→∞++==--. 3、()()2131231223+=--_______.【答案】()13545--；【解析】依据矩阵的线性运算法则，可得()()()()()21314293135231223246945+=+=------ 4、数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+，则数列的通项公式为_______. 【答案】41n a n =-；【解析】依据{11,1,2n n n S n a S S n -==-≥，可得()1412n n n a S S n n -=-=-≥，又1n =时亦符合，所以()*41N n a n n =-∈.5、已知12a =，123n n a a +=+，则5a =_______. 【答案】77；【解析】可以直接带入求解.21237a a =+=，322317a a =+=，432337a a =+=，542377a a =+=6、不等式236031x x ->+的解集为_______.【答案】()7,3,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭； 【解析】()()223623118221031x x x x x x -=-+-=-->+，解之()7,3,2x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭7、已知2a =，3b =，a 与b 的夹角为60，则2a b -=_______.【解析】()222212244164239132a b a ba ab b -=-=-⋅+=-⨯⨯⨯+=，所以213a b -=8、已知向量(),2a x =，()3,5b =-- ，a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围为_______. 【答案】1066,,355⎛⎫⎛⎫---+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； 【解析】a 与b 的夹角为钝角0a b ⇔⋅<且a 与b 不共线，所以有{310056x x --<-≠-，解之1066,,355x ⎛⎫⎛⎫∈---+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 9、已知数列{}n a 为等比数列，且前n 项和5n n S t =+（t 为实数），则t =_______. 【答案】1-；【解析】由5n n S t =+，可得()11452n n n n a S S n --=-=⨯≥，又{}n a 为等比数列，所以有()1*45N n n a n -=⨯∈，结合1154a S t ==+=，可得1t =-.10、观察如图数表，根据表中的变化规律，2013为与数表中的第_______行，第_______列.12345678910111213141516【答案】第45行，第77列.【解析】数表问题关键在于找到里面的变化规律，通过观察不难发现，数表第n 行的最后一个数刚好为一个平方数2n ，第n 行的数据个数刚好为21n -个，结合2441936=，2452025=，可知2013位于第45行，再从45行最后一个数字2025（第45行，第89列）往前推，可以得到2013在第45行，第77列.二、选择题（每题4分，共16分）11、数列3,7,13,21,31,的一个通项公式是（ ） A. 41n a n =-B. 21n a n n =++C. 222n a n n =+-D. ()21n a n n =-【答案】B【解析】可以采用代入法逐一排除，易知选择B.12、向量()3,4a =-，()8,6b =--，则a ，b 关系为（ ） A.垂直 B.同向平行 C.反向平行D.共线【答案】A.【解析】快速排除B ，C ，D ，语义重复，选择A.另外结合0a b ⋅=，同样可得a b ⊥.13、已知数列{}n a 满足2111123n a n =++++，则1k k a a +-共有（ ）项. A.1B. kC. 2kD. 21k + 【答案】D.【解析】由于122221111111231221k a k k k k k +=++++++++++++，从而可得12221111221k k a a k k k k +-=+++++++，所以1k k a a +-共有21k +项. 14、在等比数列{}n a 中，11a >，且前n 项和n S 满足11lim n n Sa →∞=，则首项1a 的取值范围为（ ） A.()1,+∞B. ()1,4C. ()1,2D. (【答案】D.【解析】结合无穷等比数列前n 项和n S 极限存在的条件01q <<，且1li m 1n n a S q→∞=-，所以有： 11111101a q a a q ⎧=⎪-⎪⎪>⎨⎪⎪<<⎪⎩，解之(1a ∈ 三、解答题（满分54分） 15、（本题满分8分）解关于x 、y 的方程组{12mx y m x my m+=++=，并对解的情况进行讨论.【答案】当1m ≠±时，解为1211m x m m y m ⎧=⎪+⎨+⎪=⎩=；当1m =时，解为{()R 2x t t y t =∈=-；当1m =-时，方程组无解.【解析】()()1111m D m m m ==-+，()1112x m D m m m m +==-，()()121112y m m D m m m +==+-（1）当1m ≠±时，0D ≠方程组有唯一解，此时xy D x DD y D⎧=⎪⎨⎪=⎩，即1211m x m m y m ⎧=⎪+⎨+⎪=⎩=； （2）当1m =时，0x y D D D ===，方程组有无穷多组解，通解可表示为{()R 2x t t y t =∈=-；（3）当1m =-时，0D =，0x D ≠，0y D ≠，此时方程组无解. 16、（本题满分8分）已知数列{}n a 为等差数列，满足：3716a a =-，460a a +=，求数列{}n a 的通项公式. 【答案】210n a n =-+或210n a n =-.【解析】根据等差数列的性质，易知370a a +=，又3716a a =-，所以{3744a a ==-或{3744a a =-=，当{3744a a ==-，此时数列的通项公式为210n a n =-+；当{3744a a =-=时，数列的通项公式为210n a n =-.17、（本题满分8分）已知()22a m i j =-+，()1b i m j =++（其中i 、j 分别为x 、y 轴正方向的单位向量） （1）若2m =，求a 、b 的夹角； （2）若()()a b a b +⊥-，求实数m 的值. 【答案】（1）θ=（2）1m =. 【解析】易知()2,2a m =-，()1,1b m =+（1）当2m =时，()0,2a =，()1,3b =，设a 、b 的夹角的夹角为θ，则0c o s210a b a bθ⋅==θ=；（2）由于()2,2a m =-，()1,1b m =+，所以()1,3a b m m +=-+，()3,1a b m m -=--，由()()a b a b +⊥-可得：()()0a b a b +⋅-=，即()()()()13310m m m m --++-=，解之1m =.18、（本题满分10分）已知数列{}n a 中，()*0N n a n >∈，它的前n 项和n S .如果{}n a 是一个首项为a ，公比为()0q q >的等比数列，且()2222*123N n n G a a a a n =++++∈，求limnn nS G →∞. 【答案】当1q =时，1limn n n S G a →∞=；当01q <<时，1lim n n n S qG a →∞+=；当1q >时，lim 0n n nS G →∞=. 【解析】易知数列{}2n a 亦为等比数列，且首项为21a ，公比为2q .（1）当1q =时，1n S na na ==，221n G na na ==，21limlim n n n nS na G na a →∞→∞==； （2）当1q ≠时，()()()222111111n n n n n a q S q qG a q a q q -+-==-+-；①当01q <<时，22lim 11lim lim 1nn n n n nn aS S q q a G G a q →∞→∞→∞+-===-； ②当1q >时，()11lim lim lim 0111n nn n n n n nn q S q q q G a q a q →∞→∞→∞++===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭19、（本题满分10分）已知1OA OB ==，OA 与OB 的夹角为120，OC 与OA 的夹角为30，5OC =且OC mOA nOB =+，求实数m 、n 的值.【答案】5,5m n == 【解析】如图所示建立直角坐标系，则()1,0OA =，12OB ⎛=- ⎝⎭，52OC ⎛= ⎝⎭，由于OC mOA nOB =+，所以有：522n m ⎧-=⎪⎪=，解之55m n =⎧⎨=⎩. 20、（本题满分10分）已知数列()()13231n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-+⎪⎪⎩⎭的前n 项和n S .（1）计算1S 、2S 、3S 、4S ；（2）猜想n S 的表达式，并用数学归纳法证明；（3）对于任意的正整数n 都有n S m <，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）114S =，227S =，3310S =，4413S =；（2）()*N 31n nSnn =∈+，证明见解析；（3）13m ≥.【解析】（1）114S =，227S =，3310S =，4413S =； （2）由（1）可以猜想()*N 31n nS n n =∈+ ①当1n =时，显然成立； ②假设()*N n k k =∈，31k kS k =+，当1n k =+时， ()()()()()()()()()11341131113134313431343131k k k k k k k k k S S a k k k k k k k k +++++++=+=+===++++++++， 说明1n k =+时，猜想也成立；综合①②，猜想()*N 31n nS n n =∈+成立. （3）11131331n n S n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，随着n 增大，n S 增加，但13n S <，由于n S m <对*N n ∈均成立，所以13m ≥即可.。