江西省南昌市八一中学、桑海中学、麻丘高中等八校2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题含答案

江西省南昌市八一中学、桑海中学、麻丘高中等八校2017-2018学年高二下学期期中考试----数学（理）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符号题意） 1.已知b a ,是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b （ ） A.一定是异面直线 B. 一定是相交直线 C. 不可能是平行直线 D. 不可能是相交直线 2.下列命题正确的个数为（ ） ①经过三点确定一个平面； ②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面； ④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.A.0B. 1C. 2D. 3 3.下列命题中错误的是（ ）A. 平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行B. 平行于同一个平面的两个平面平行C. 若两个平面平行，则分别位于这两个平面的直线也互相平行D. 若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 4.如图，l =βα ，α∈B A ,，β∈c ，且l c ∉，直线M l AB = ， 过C B A ,,三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过（ ） A. 点A B. 点B C. 点C 但不过点M D. 点C 和点M5.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，N M ,分别是为11,CD BC 的中点，则下列判断错误的是（ ）A.MN 与1CC 垂直B.MN 与AC 垂直C.MN 与BD 平行D.MN 与11B A 平行6.正方体1111D C B A ABCD -中，R Q P ,,分别为11,,C B AD AB 的中点，那么正方体过R Q P ,,的截面图形是（ ）A. 三角形B. 四边形C. 五边形D. 六边形7.如右图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD 是正方形，F E ,分别是PD PA ,的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：B22①直线BE 与直线CF 是异面直线；②直线BE 与直线AF 异面 ③直线//EF 平面PBC ；④平面⊥BCE 平面PAD 其中正确的有（ ）A. ①②B. ②③C. ①④D. ②④ 8.侧棱长都相等的四棱锥P ABCD -中，下列结论正确的有（ ）个①P ABCD -为正四棱锥；②各侧棱与底面所成角都相等；③各侧面与底面夹角都相等； ④四边形ABCD 可能为直角梯形.A. 1B. 2C. 3D. 4 9.如图四边形ABCD 中，1===CD AD AB ，2=BD ，CD BD ⊥，将四边形ABCD 沿着对角线BD 折成四面体BCD A '，使平面⊥BD A '平面BCD ，则下列结论正确的是（ ） A. BD C A ⊥' B. ︒=∠90'C BAC. 'CA 与平面BD A '所成角为︒30D. 四面体BCD A -'的体积为3110. 在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，点,E F分别是棱1,BC CC 的中点，P 是侧面11BCC B 内一点，若1//A P 平面AEF ，则线段1A P 长度的取值范围是（ ）A.[1,2B. [2C. [42 D. 11.某几何体三视图如图所示，若这个几何体的各顶点都在同 一个球面上，则这个球的体积为 ( ) A.43π C. D. 36π12. 已知AB 是平面α的斜线段，A 为斜足，若AB 与平面α成60︒角，过定点B 的动直线l与斜线AB 成60︒角，且交α于点P ，则动点P 的轨迹是( ) A. 圆 B. 椭圆 C.双曲线 D.抛物线二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13. 在正方体1111ABCD A B C D -中，M N 、分别为棱111BB B C 、的中点，则异面直线1A B 与MN 所成角的余弦值为__________．A 114. ABC ∆的三个顶点分别是)2,1,1(-A ，)2,6,5(-B ，)1,3,1(-C ，则AC 边上的高BD 长为__________．15. 已知圆锥的母线长为2__________．16.如图在边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，动点P 在线段1A B 上运动， 则1AP D P +的最小值为 .三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(10分)如图，在空间四边形ABCD 中，E ，H 分别为BC ，AB 的中点，F 在CD上，G 在AD 上，且有::2:3DF FC DG GA ==，求证：EF 、GH 、点．18．(12分)如图，,E F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱11,AA CC求证：平面BDF ∥平面11B D EA19．(12分)如图，四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的菱形，3ABC π∠=， OA ABCD ⊥底面， 1OA =，M 为OA 的中点．(1)求异面直线AB 与MD 所成角的余弦值； (2)求点B 到平面OCD 的距离．20．(12分)如图所示，四棱锥ABCD P -的底面是边长为1的正方形，侧棱⊥PA 底面ABCD ，在侧面PBC 内，有PC BE ⊥于E ，且BE =，求直线BE 与平面ABCD 所成角的正弦值．21．(12分)如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，将 AED DCF △，△分别沿DE ，DF 折起，使 A C ，两点重合于P . (1)求证：平面PBD BFDE ⊥平面； (2)求二面角P DE F --的余弦值.22. (12分)如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD DC CB ===，60ABC ∠=，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ， 1CF =. (1)求证：BC ⊥平面ACFE ；(2)点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 二面角的平面角为(90)θθ≤，试求cos θ的取值范围.EAB高二理科数学联考参考答案一、选择题：D二、填空题：13.12 14. 5 15. 163π三、解答题：17.连接AC ，易得HE ∥AC ，GF ∥AC ，所以HE ∥GF ………………………… 5’ 则,,,E F G H 四点共面，而HG 与EF 不平行，不妨设,EF HG 交于点P ，…………………………………… 7’P BCD P ABD ∴∈∈面，且面，而BCD ABD BD = 面面，P BD ∴∈，所以EF 、GH 、BD 交于一点． …………………………… 10’18.证略19.(1)由AB ∥CD 可知异面直线AB 与MD 所成角为MDC ∠或其补角，……………… 2’易知MC MD ==，1DC =，取CD 中点N ，MN CD ∴⊥，在Rt MND ∆中，1cos 2DN MDC DM ∠===5’ 所以异面直线AB 与MD所成角的余弦值为56’ (2) 由AB ∥CD ，点B 到平面OCD 的距离等于点A 到平面OCD 的距离，…………… 8’ 又DC AN DC OAN OAN OCD DC OA ⊥⎫⇒⊥⇒⊥⎬⊥⎭面面面，过A 作AH ON ⊥于H ，AH OCD ∴⊥面，…………………………………………… 10’AH ∴为A 到平面OCD 的距离，在Rt OAN ∆中，7AH ON AN OA AH ⋅=⋅⇒=… 12’20.解：以A 为坐标原点，AB 为x 轴正方向，AD 为y 轴正方向，AP 为Z 轴正方向建立空间直角坐标系，令PA=a ，则B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,0,a ) …………………………………………………………………………………… 1’(0,1,0),(1,1,)BC PC a ∴==-,||||||BC PC CE PC ⋅∴==,…………………… 6’222221||||||1132Rt BEC CE BE BC a a∆+=∴+=⇒=+在中，，…………………… 8’,3CE PC ∴== 1121(,,)3333BE BC CE BC CP ∴=+=+=- …………………10’显然(0,0,1)n =为平面ABCD的一个法向量，||sin |cos ,|||||BE n BE n BE n θ⋅∴=<>==⋅12’ 采用常规解法酌情给分.21. (1)证明：连接EF 交BD 于O ，连接OP .在正方形ABCD 中，点E 是AB 中点，点F 是BC 中点，所以 BE BF DE DF ==，，所以DEB DFB △≌△， 所以在等腰DEF △中，O 是EF 的中点，且EF OD ⊥，…………………………………………………………………………… 3’在等腰PEF △中，EF OP ⊥，从而EF OPD ⊥平面， 又EF BFDE ⊂平面，所以平面BFDE OPD ⊥平面，即平面PBD BFDE ⊥平面. …………………………………… 6’(2)由题意知PE,PF,PD 两两互相垂直，故以向量,,PF PE PD方向分别为x,y,z 轴正方向，建立如图空间直角坐标系，设正方形边长为2，则P (0,0,0),E (0,1,0),F (1,0,0),D (0,0,2)，所以(1,1,0)EF =- ，(0,1,2)ED =- ，设(,,)m x y z =为平面EFD 的一个法向量，…………………………… 8’由00200m EF x y y z m EF ⎧⋅=-=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩，令1x =，得1(1,1,)2m = ，……………………………………………………………… 10’又由题意知(1,0,0)n =是平面PED 的一个法向量，所以2cos ,3m n m n m n ⋅<>==⋅，二面角P DE F --的余弦值为23.…………………. 12’22.(1)证明：在梯形ABCD 中，∵//AB CD ，1AD DC CB ===，60ABC ∠=，∴2AB =，∴2222cos603AC AB BC AB BC =+-∙∙=，∴222AB AC BC =+，∴BC AC ⊥，∴平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE 平面ABCD AC =，BC ⊂平面ABCD ， ∴BC ⊥平面ACFE .……………………………………………………………… 6’ (2)由（1）分别以直线,,CA CB CF 为x 轴，y 轴，z 轴发建立如图所示空间直角坐标系，令(0FM λλ=≤≤，则(0,0,0),(0,1,0),(,0,1)C A B M λ，∴(,0),(,1,1)AB BM λ==-.设1(,,)n x y z = 为平面MAB 的一个法向量，由1100n AB n BM ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩，得0y x y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =，则1(1)n λ= ，……………………… 8’ ∵2(1,0,0)n =是平面FCB 的一个法向量，∴1212||cos ||||n n n n θ∙=== .…………………… 10’∵0λ≤0λ=时，cos θ有最小值7，当λ=cos θ有最大值12，∴1cos ]2θ∈.……………………………………………………………… 12’。