教育最新K122019高考数学一轮复习第11章复数算法推理与证明章末总结分层演练文
近年高考数学一轮复习第11章算法、复数、推理与证明11.2数系的扩充与复数的引入课后作业文(202
2019版高考数学一轮复习第11章算法、复数、推理与证明11.2 数系的扩充与复数的引入课后作业文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019版高考数学一轮复习第11章算法、复数、推理与证明11.2 数系的扩充与复数的引入课后作业文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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11.2 数系的扩充与复数的引入［基础送分 提速狂刷练］一、选择题1．（2018·湖南长沙四县联考)i 是虚数单位，若复数z 满足z i ＝－1＋i ，则复数z 的实部与虚部的和是（ )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 复数z 满足z i ＝－1＋i,可得z ＝－1＋ii＝错误!＝1＋i 。
故复数z 的实部与虚部的和是1＋1＝2,故选C.2．(2018·湖北优质高中联考）已知复数z ＝1＋i （i 是虚数单位),则2z－z 2的共轭复数是（ ）A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．1－3iD ．－1－3i 答案 B解析 错误!－z 2＝错误!－(1＋i ）2＝错误!－2i ＝1－i －2i ＝1－3i,其共轭复数是1＋3i ，故选B 。
3．（2017·河南洛阳模拟)设复数z 满足错误!＝｜1－i|＋i （i 为虚数单位），则复数z ＝( ）A 。
错误!－i B.错误!＋i C ．1 D ．－1－2i 答案 A解析 复数z 满足错误!＝|1－i ｜＋i ＝错误!＋i,则复数z ＝错误!－i 。
高考数学一轮复习第11章复数算法推理与证明第4讲直接证明与间接证明分层演练文
【2019最新】精选高考数学一轮复习第11章复数算法推理与证明第4讲直接证明与间接证明分层演练文一、选择题1．用反证法证明某命题时，对结论“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设是( )A．自然数a，b，c中至少有两个偶数B．自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数C．自然数a，b，c都是奇数D．自然数a，b，c都是偶数解析：选B．“恰有一个偶数”反面应是“至少有两个偶数或都是奇数”．故选B．2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：<a”索的因应是( )B．a－c>0A．a－b>0D．(a－b)(a－c)<0C．(a－b)(a－c)>0解析：选C．<a⇔b2－ac<3a2⇔(a＋c)2－ac<3a2⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0⇔－2a2＋ac＋c2<0⇔2a2－ac－c2>0⇔(a－c)(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0．故选C．3．设a＝－，b＝－，c＝－，则a、b、c的大小顺序是( )B．b＞c＞aA．a＞b＞cD．a＞c＞bC．c＞a＞b解析：选A．因为a＝－＝，b＝－＝，c＝－＝，且＋＞＋＞＋＞0，所以a＞b＞c．4．设x，y，z>0，则三个数＋，＋，＋( )B．至少有一个大于2A．都大于2D．至少有一个不大于2C．至少有一个不小于2解析：选C．假设三个数都小于2，则＋＋＋＋＋<6，由于＋＋＋＋＋＝＋＋≥2＋2＋2＝6，所以假设不成立，所以＋，＋，＋中至少有一个不小于2．故选C．5．已知函数f(x)＝，a，b是正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系为( )B．A≤C≤BA．A≤B≤CD．C≤B≤AC．B≤C≤A 解析：选A．因为≥≥，又f(x)＝在R上是减函数，所以f≤f()≤f．6．设a>b>0，m＝－，n＝，则m，n的大小关系是( )B．m≥nA．m>nD．m≤nC．m<n 解析：选C．－<⇐＋>⇐a<b＋2·＋a－b⇐2·>0，显然成立，故m<n．选C．二、填空题7．已知点An(n，an)为函数y＝图象上的点，Bn(n，bn)的函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为________．解析：由条件得cn＝an－bn＝－n＝，所以cn随n的增大而减小，所以cn＋1<cn．答案：cn＋1<cn 8．关于x的方程ax＋a－1＝0在区间(0，1)内有实根，则实数a的取值范围是________．解析：①当a ＝0时，方程无解．②当a ≠0时，令f(x)＝ax ＋a －1，则f(x)在区间(0，1)上是单调函数，依题意，得f(0)f(1)<0，所以(a －1)(2a －1)<0，所以<a<1．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，19．设函数f(x)＝(a ∈R ，e 为自然对数的底数)．若存在b ∈[0，1]使f(f(b))＝b 成立，则a 的取值范围是________．解析：易知f(x)＝在定义域内是增函数，由f(f(b))＝b ，猜想f(b)＝b ．反证法：若f(b)>b ，则f(f(b))>f(b)>b ，与题意不符，若f(b)<b ，则f(f(b))<f(b)<b ，与题意也不符，故f(b)＝b ，即f(x)＝x 在[0，1]上有解．所以＝x ，a ＝ex －x2＋x ，令g(x)＝ex －x2＋x ，g′(x)＝ex －2x ＋1＝(ex ＋1)－2x ，当x∈[0，1]时，ex ＋1≥2，2x≤2，所以g′(x)≥0，所以g(x)在[0，1]上是增函数，所以g(0)≤g(x)≤g(1)⇒1≤g(x)≤e，即1≤a≤e． 答案：[1，e]10．若二次函数f(x)＝4x2－2(p －2)x －2p2－p ＋1，在区间[－1，1]内至少存在一点c ，使f(c)＞0，则实数p 的取值范围是________．解析：法一：(补集法) 令解得p≤－3或p≥，故满足条件的p 的取值范围为．法二：(直接法)依题意有f(－1)＞0或f(1)＞0，即2p2－p －1＜0或2p2＋3p －9＜0，得－＜p ＜1或－3＜p ＜，故满足条件的p 的取值范围是．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32 三、解答题11．在△ABC 中，设a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，且直线bx ＋ycosA ＋cosB ＝0与ax ＋ycos B ＋cos A ＝0平行，求证：△ABC 是直角三角形．证明：法一：由两直线平行可知bcos B －acos A ＝0，由正弦定理可知sin Bcos B －sin Acos A ＝0，即sin 2B －sin 2A ＝0，故2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝．若A ＝B ，则a ＝b ，cos A ＝cos B ，两直线重合，不符合题意，故A ＋B ＝，即△ABC 是直角三角形．法二：由两直线平行可知bcos B －acos A ＝0，由余弦定理，得a·＝b·，所以a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，所以c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)，所以(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，所以a ＝b 或a2＋b2＝c2．若a ＝b ，则两直线重合，不符合题意， 故a2＋b2＝c2，即△ABC 是直角三角形．12．已知数列{an}满足a1＝，且an ＋1＝(n ∈N*)．(1)证明：数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式；(2)设bn ＝anan ＋1(n∈N*)，数列{bn}的前n 项和记为Tn ，证明：Tn<．解：(1)由已知可得，当n∈N*时，an ＋1＝，两边取倒数得，＝＝＋3，即－＝3，所以数列是首项为＝2，公差为3的等差数列，其通项公式为＝2＋(n －1)×3＝3n －1，所以数列{an}的通项公式为an ＝．(2)证明：由(1)知an ＝，故bn ＝anan ＋1＝1（3n －1）（3n ＋2）＝，故Tn ＝b1＋b2＋…＋bn ＝×＋×＋…＋×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋2＝＝－·．因为>0，所以Tn<．。
2019高考数学文一轮复习第11章复数、算法、推理与证明第2讲含解析
2019高考数学文一轮复习含答案解析：选C 依题意，结合题中的程序框图,注意到sinv 3,分层演练•直击高考1 •执行如图所示的程序框图，若输出i 的值为2,则输入x 的最大值是（）A • 5B • 6C . 11D • 22x>8,解得f 即8<x w 22,所以输入x 的最大值是22 •22,2・（2018新疆第二次适应性检测）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出 的n 的值为（）［学生用书P284（单独成册）］一、选择题 基础达标A • 3C . 5B • 4D • 6解析：选D •执行该程序可知S-0〔结東〕H=F>+1¥+ sin 瞥|+ 3>3,因此输出的n 的值为5，选C .3. （2018太原模拟）执行如图所示的程序框图， 已知输出的s € [0 ,4].若输入的t € [0 , m]，则实数m 的最大值为（）C . 3D . 43t , t V 1解析：选D .由程序框图得s =*2，图象如图所示.由图象得，若输入的t € [0 ,4t - t 2, t > 1m],输出的s € [0 , 4],贝U m 的最大值为4,故选D .4「…厂\3 2 1 • 1 !/NA.. -1 -2 Q 123 i 5由T)\4. （2017高考天津卷）阅读如图所示的程序框图,则输出N 的值为（n - 2 n - sin 6+sin 訂sin运行相应的程序，若输入N 的值为19,/输出S / 〔结虫〕B . 1C. 264,A . i>6 C . i>8解析：选D .要使输出的点恰有B . i>7 D . i>95次落在直线y = x 上，贝U i = 2, 3, 4,…，9都不满足判断框内的条件，i = 10满足判断框内的条件，则判断框内可填写的条件是 i>9,故选D .6. （2018郑州第一次质量预测）我们可以用随机模拟的方法估计 图表示其基本步骤（函数RAND 是产生随机数的函数，它能随机产生n 的值，下面的程序框（0, 1）内的任何一个数）.若输出的结果为781，则由此可估计n 的近似值为（ ）A . 3. 119B . 3. 124C . 3. 132151解析：选B .根据题意，本题可以转化为在平面直角坐标系中,在{(x, y)|0<x<1, 0<y<1}中随机产生1 000个点，其中满足｛（x , y ）|x 2 + y 2<1｝的点有781 个.根据几何概型概率计算1 24^ nX 12 公式可得卫81 =- ,由此可估计n 的近似值为3. 124 .故选B .1 000 17.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州 （现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法， 至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给解析：选C .由程序框图可知，N 的取值依次为19, 18, 6, 2,故输出N 的值为2. 5•运行如图所示的程序框图，若输出的点恰有 5次落在直线y =x 上，则判断框中可填写的条件是（）出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n, x的值分别为3, 2，则输出v的值为（）/输人d at /I已一】------- ； - 1i=i-l/ 输L B V/朿）A. 35B20C. 18D9解析：选C.根据程序框图有：n= 3,x= 2, v = 1, i=2> 0,所以v= 1 X 2+ 2= 4,=1》0,所以v= 4 X 2 + 1 = 9, i = 0》0,所以v = 9X 2 + 0 = 18, i = —1<0,不满足条件，跳出循环，输出v= 18.& （2018东北四市教研联合体模拟）庄子说：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”.这句话描述的是一个数列问题.现用程序框图描述，如图所示，若输入某个正整数n后，输出A. 7C. 5解析：选C .由程序框图，可知：S= + 2^2+召+…+的S€15，H，则输入的n的值为（金Qi隔出刃—I因为15 c6364,C . i >50, n = n +2D . i < 50, n = n + 2即4<n<6.又n € Z ,所以n = 5.故选C .9. （2018 •州综合质量检测）执行如图所示的程序框图，若输入的 m = 168, n = 112,则输出的k ，m 的值分别为（）解析：选C .对第一个当型循环结构，第一次循环：k = 1, m = 84, n = 56, m , n 均为 偶数；第二次循环：k = 2, m = 42, n = 28, m , n 均为偶数；第三次循环：k = 3, m = 21, n=14,因为m 不是偶数，所以结束第一个循环.又 m z n ,所以执行第二个当型循环结构 ， 第一次循环：d = |21 — 14|= 7, m = 14, n = 7, m z n ；第二次循环：d = |14— 7|= 7, m = 7, n =7,因为m = n ,所以结束循环，输出k = 3, m = 7,故选C .1 1 110.如图，给出的是计算+;+…+ 而的值的一个程序框图，则图中判断框内 ⑴处和执行框中的（2）处应填的语句是（A . 4，7 C . 3, 7D . 3, 56A . i > 100, n = n + 1B . i > 100, n = n + 2 所以挣1-rw4, 56据观察S中最后一项的分母与i的关系是分母—2（i - 1）,令2（i- 1）= 100,解得i= 51，即需要i —51时输出.故图中判断框内（1）处和执行框中的⑵处应填的语句分别是i> 50, n=n + 2.11. （2018福州五校联考）定义[x]为不超过x的最大整数，例如[1 . 3] —1.执行如图所示的程序框图，当输入的x为4. 7时，输出的y值为（）A . 7B . 8. 6C. 10. 2 D . 11. 8解析：选C.当输入的x为4. 7时，执行程序框图可知，4. 7- [4 . 7] —0. 7,即4. 7 -[4 . 7]不等于0,因而可得y= 7+ （[4 . 7 —3] + 1）X 1 . 6—10 . 2,输出的值为10 . 2,故选C .12 . （2018湖南五市十校联考）执行如图所示的程序框图，则输出的a值为（）解析：选C •经第一次循环得到的结果是经第二次循环得到的结果是s— 1+1S— 2 十n—6,i —经第三次循环得到的结果是s_ 1 +丄+1S—2十4十n= 8,i —4./输出丁/4A . —3B . ~31 C.—2 D ・21解析：选D •第1次循环，a=—3, i = 2;第2次循环，a=—勺，i = 3;第3次循环，a1 =3, i = 4;第4次循环，a = 2, i = 5;…所以周期为4,故最后输出的a的值为2.3二、填空题13 •执行如图所示的程序框图，则输出的s的值为_________ .解析：由程序框图可知k= 1, s= 2; k = 2, s= -; k= 3, s=5.此时k v3不成立，故2 3输出s= 5.答案：5314.下列程序执行后输出的结果是 ___________i = 11S= 1DOS= S*ii = i —1LOOP UNTIL i<9解析：程序反映出的算法过程i= 11? S= 11X 1, i = 10; i= 10? S= 11X 10, i = 9;i= 9? S= 11X 10X 9, i = 8;i= 8<9退出循环，执行“PRINT S”，故S= 990.答案：99015.下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A1, A?,…，A16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，则该算法流程图输出的结果是__________________ .解析：由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图可知：数学成绩大于等于90的人数为10,因此输出的结果为10.答案：1016•输入x= 5，运行如图所示的程序之后得到的y等于_________ .解析：由题意，得y= f(x) =* 2(x—1) , x> 0,所以f(5) = (5 —1)2= 16.答案：16。
【配套K12】2019高考数学一轮复习 第11章 复数、算法、推理与证明章末总结分层演练 文
第11章复数、算法、推理与证明章末总结B．2D．14(2017·高考全国卷Ⅱ，T8，5分)执行如图的程序框图，如果输入的＝－1，则输出的S＝(B．3D．519，12分)如图，四面体是直角三角形，AB＝BD．若E为棱，求四面体ABCE与四面体ACDE一、选择题1．(选修12 P 61A 组T 5(4)改编)i 为虚数单位，则5i （2＋i ）等于( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．－1＋2iD ．－1－2i解析：选D ．5i （2＋i ）＝5－1＋2i ＝5（－1－2i ）5＝－1－2i ．2．(选修12 P 33内文改编)有一个游戏：将标有数字1、2、3、4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4个人在看自己的卡片之前进行预测：甲说：乙或丙拿到标有3的卡片； 乙说：甲或丙拿到标有2的卡片； 丙说：标有1的卡片在甲手中； 丁说：甲拿到标有3的卡片．结果显示甲、乙、丙、丁4个人的预测都不正确，那么甲、乙、丙、丁4个人拿到卡片上的数字依次为( )A ．3、4、2、1B ．4、2、1、3C ．2、3、1、4D ．1、3、2、4 解析：选B ．由甲、丁的预测不正确可得丁拿到标有3的卡片，由乙的预测不正确可得乙拿到标有2的卡片，由丙的预测不正确可知甲拿到标有4的卡片，故丙拿到标有1的卡片，即甲、乙、丙、丁4个人拿到卡片上的数字依次为4、2、1、3．3．(选修12 P 30练习T 2改编)如图所示的数阵中，用A (m ，n )表示第m 行的第n 个数，则依此规律A (15，2)为( )13 16 16 110 13 110 115 1330 1330 115 121 12 1315 12 121…A ．2942B ．710C ．1724D ．73102解析：选C ．由数阵知A (3，2)＝16＋16＝16＋23×4，A (4，2)＝16＋16＋110＝16＋23×4＋24×5，A (5，2)＝16＋16＋110＋115＝16＋23×4＋24×5＋25×6，…，则A (15，2)＝16＋23×4＋24×5＋25×6＋…＋215×16＝16＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋14－15＋…＋115－116＝16＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫13－116＝16＋2×1348＝1724，选项C 正确． 4．(必修3 P 34－35案例1改编)如图所示的程序框图的算法思想源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图(图中“m MOD n ”表示m 除以n 的余数)，若输入的m ，n 分别为495，135，则输出的m ＝( )A ．0B ．5C ．45D ．90解析：选C ．该程序框图是求495与135的最大公约数，由495＝135×3＋90，135＝90×1＋45，90＝45×2，所以495与135的最大公约数是45，所以输出的m ＝45，故选C ．二、填空题5．(选修12 P 61A 组T 3改编)ABCD 是复平面内的平行四边形，A 、B 、C 三点对应的复数分别为1＋2i ，－i ，2＋i ，O 为复平面原点，则|OD |＝________．解析：设D 点对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )， 因为ABCD 是平行四边形， 所以AB →＝DC →，即－i －(1＋2i)＝(2＋i)－(x ＋y i)，即－1－3i ＝(2－x )＋(1－y )i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－x ＝－11－y ＝－3，解得x ＝3，y ＝4．所以D 点对应的复数为3＋4i ． 所以|OD |＝|3＋4i|＝5， 答案：56．(选修12 P 44B 组T 1改编)已知sin α－cos αsin α＋2cos α＝－1，则tan 2α＝________．解析：由sin α－cos αsin α＋2cos α＝－1，可得2sin α＝－cos α，所以tan α＝－12，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－121－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝－43． 答案：－43三、解答题7．(选修12 P 35B 组T 1改编)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－23，且S n ＋1S n＋2＝a n (n ≥2)．计算S 1、S 2、S 3，并猜想S n ．解：n ＝1时，S 1＝a 1＝－23．n ＝2时，S 2＋1S 2＋2＝a 2＝S 2－S 1＝S 2＋23，所以S 2＝－34．n ＝3时，S 3＋1S 3＋2＝a 3＝S 3－S 2＝S 3＋34，所以S 3＝－45，所以猜想S n ＝－n ＋1n ＋2． 8．(必修2 P 45探究、P 52B 组T 1(1)改编)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示：(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论；(3)证明：直线DF⊥平面BEG．解：(1)点F，G，H的位置如图所示．(2)平面BEG∥平面ACH．证明如下：因为ABCDEFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，所以BCHE为平行四边形．所以BE∥CH．又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH．同理BG∥平面ACH．又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH．(3)证明：连接FH．因为ABCDEFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH，因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG．又EG⊥FH，DH∩FH＝H，所以EG⊥平面BFHD．又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG．同理DF⊥BG．又EG∩BG＝G，所以DF⊥平面BEG．。
2019届高考数学文科人教新课标版一轮复习课件：第11章 复数、算法、推理与证明 第3讲
1 1 1 3 * (2)已知 f(n)＝1＋ ＋ ＋…＋n(n∈N )， 经计算得 f(2)＝ ， f(4) 2 3 2 5 7 ＞2，f(8)＞ ，f(16)＞3，f(32)＞ ．据此猜想一个一般性的结 2 2 论为________(n∈N*)．
【解析】 (1)观察三角形数：1，3，6，10，…，记该数列为 {an}， 则 a1＝1， a2＝a1＋2， a3＝a2＋3， … an＝an－1＋n．
a3 a4＝ ＝ 1＋a3 …
1 猜想{an}的通项公式为 an＝n．故选 A．
(选修 12 P35A 组 T3 改编)凸多面体的面数 F、顶点数 V 和 棱数 E 之间的关系如下表． 凸多面体 三棱柱 五棱柱 三棱锥 四棱锥 面数(F) 5 7 4 5 顶点数(V) 6 10 4 5 棱数(E) 9 15 6 8
4 5 6 7 3 4 5 (2)因为 f(2 )＞ ，f(2 )＞ ，f(2 )＞ ，f(2 )＞ ，所以当 n≥2 2 2 2 2
2
n＋2 n＋2 n 时，有 f(2 )＞ ．故填 f(2 )≥ ． 2 2
n
【答案】
(1)C
n＋2 (2)f(2 )≥ 2
n
(1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的 结论超越了前提所包含的范围； (2)归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验 或试验的基础之上的； (3)归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学 结论和科学的发现很有用．
所以 a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a2＋…＋an－1)＋(1＋2＋3＋…＋ n（n＋1） n)⇒an＝1＋2＋3＋…＋n＝ ， 2 观察正方形数：1，4，9，16，…，记该数列为{bn}，则 bn＝ n2．把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知 使得 n 都为正整数的只有 1 225．
近年高考数学一轮复习第十一章复数、算法、推理与证明第一节数系的扩充与复数的引入夯基提能作业本文(2
（北京专用）2019版高考数学一轮复习第十一章复数、算法、推理与证明第一节数系的扩充与复数的引入夯基提能作业本文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（北京专用）2019版高考数学一轮复习第十一章复数、算法、推理与证明第一节数系的扩充与复数的引入夯基提能作业本文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第一节数系的扩充与复数的引入A组基础题组1。
(2017北京东城期末）在复平面内,复数z=i(1+i)（i为虚数单位),那么|z｜= （）A。
1 B。
C。
D。
22。
(2017北京海淀期末）复数i（2—i)（i为虚数单位)在复平面内对应的点的坐标为( ) A。
(-2，1）B。
（2，-1）C。
（1，2) D.（-1，2)3.已知复数z满足z(1+i)=1（其中i为虚数单位）,则z的共轭复数是( ）A. B. C。
D.4.已知i是虚数单位，则复数=（)A。
1—i B。
-1+i C。
1+i D.—1—i5。
已知复数z满足z（1-i）=4（i为虚数单位），则z=( ）A.1+B.-2-2iC.-1—iD.1—i6。
（2016北京朝阳二模）复数z=(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于（)C.第三象限D。
第四象限7.若复数z=+a（i为虚数单位)在复平面上对应的点在第二象限,则实数a可以是（) A。
-4 B。
—3C.1D.28。
若（1+i）+(2—3i)=a+bi（a，b∈R，i是虚数单位），则a,b的值分别为( ）A。
近年届高考数学一轮复习第十一章复数、算法、推理与证明第三节合情推理与演绎推理夯基提能作业本文(20
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第三节合情推理与演绎推理A组基础题组1.观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…，则a10+b10=（）A。
121 B.123 C。
231 D。
2112。
观察(x2)'=2x，(x4)’=4x3,(cos x）’=—sin x，由归纳推理可得:若定义在R上的函数f（x)满足f（-x）=f(x）,记g(x）为f（x）的导函数,则g（—x）=( )A。
f(x) B.-f（x) C。
g（x) D。
-g（x)3.某种树的分枝生长规律如图所示,第1年到第5年的分枝数分别为1,1，2，3,5，则预计第10年树的分枝数为（)A。
21 B。
34 C。
52 D.554。
设△ABC的三边长分别为a、b、c,△ABC的面积为S,内切圆半径为r，则r=,类比这个结论可知：四面体S—ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4,内切球的半径为R，四面体S—ABC的体积为V，则R=（)A。
B。
C. D.5。
学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好"。
全国通用近年高考数学大一轮复习第十一章推理与证明、算法、复数第1节合情推理与演绎推理学案文新人教A
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第1节合情推理与演绎推理最新考纲1。
了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用；2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理;3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.知识梳理1.合情推理类型定义特点归纳推理根据一类事物的部分对象具有某种性质,推出这类事物的全部对象都具有这种性质的推理由部分到整体、由个别到一般类比推理根据两类事物之间具有某些类似(一致）性，推测一类事物具有另一类事物类似(或相同)的性质的推理由特殊到特殊2.演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。
（2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括:①大前提-—已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况;③结论—-根据一般原理，对特殊情况作出的判断。
诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×"）(1）归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正确。
【配套K12】全国版2019版高考数学一轮复习第11章算法初步复数推理与证明第2讲数系的扩充与复数的
第2讲 数系的扩充与复数的引入板块一 知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 复数的有关概念 1．复数的概念形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数，若b ≠0，则a ＋b i 为虚数，若a ＝0，b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．2．复数相等a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．3．共轭复数a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c 且b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．4．复数的模向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R )．考点2 复数的几何意义考点3 复数的运算设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则1．加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； 2．减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； 3．乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； 4．除法：z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i≠0)．[必会结论]1．(1±i)2＝±2i；1＋i 1－i ＝i ；1－i 1＋i ＝－i.2．－b ＋a i ＝i(a ＋b i)． 3．i 4n＝1，i 4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i(n ∈N *)．4．i 4n＋i4n ＋1＋i 4n ＋2＋i4n ＋3＝0(n ∈N *)．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程x 2＋1＝0没有解．( )(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(3)复数的模等于复数在复平面上对应的点到原点的距离，也等于复数对应的向量的模．( )(4)已知复数z 的共轭复数z －＝1＋2i ，则z 在复平面内对应的点位于第三象限．( ) (5)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×2．[2017·全国卷Ⅲ]复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 C解析 ∵z ＝i(－2＋i)＝－1－2i ，∴复数z ＝－1－2i 所对应的复平面内的点为Z (－1，－2)，位于第三象限．故选C.3．[2017·全国卷Ⅱ]3＋i 1＋i ＝( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i解析3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝3－3i ＋i ＋12＝2－i. 故选D.4．[2018·榆林模拟]设复数z ＝－2＋i(i 是虚数单位)，z 的共轭复数为z －，则|(1＋z )·z －|等于( )A. 5 B ．2 5 C ．5 2 D.10 答案 D解析 ∵z ＝－2＋i ，∴z －＝－2－i ，∴|(1＋z )·z －|＝|(1－2＋i)·(－2－i)|＝|3－i|＝1＋9＝10，故选D. 5．[2017·江苏高考]已知复数z ＝(1＋i)(1＋2i)，其中i 是虚数单位，则z 的模是________．答案10解析 解法一：∵z ＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i ＋i －2＝－1＋3i ， ∴|z |＝(－1)2＋32＝10.解法二：|z |＝|1＋i||1＋2i|＝2×5＝10.6．[2018·湖北高中联考]已知复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z－z 2的共轭复数是________．答案 1＋3i 解析 2z－z 2＝21＋i －(1＋i)2＝2(1－i )(1＋i )(1－i )－2i ＝1－i －2i ＝1－3i ，其共轭复数是1＋3i.板块二 典例探究·考向突破 考向复数的有关概念例 1 (1)[2017·全国卷Ⅰ]下列各式的运算结果为纯虚数的是( )A ．i(1＋i)2B ．i 2(1－i) C ．(1＋i)2 D ．i(1＋i) 答案 C解析 A 项，i(1＋i)2＝i(1＋2i ＋i 2)＝i×2i＝－2，不是纯虚数．B 项，i 2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i ，不是纯虚数．C 项，(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i ，是纯虚数．D 项，i(1＋i)＝i ＋i 2＝－1＋i ，不是纯虚数．故选C.(2)[2017·天津高考]已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i2＋i为实数，则a 的值为________．答案 －2解析 ∵a ∈R ，a －i 2＋i ＝(a －i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝2a －1－(a ＋2)i 5＝2a －15－a ＋25i 为实数，∴－a ＋25＝0，∴a ＝－2.求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数的相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部和虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再根据题意列方程(组)求解．【变式训练1】 (1)若复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，则1z ＋a的虚部为( ) A ．－25 B ．－25i C.25 D.25i答案 A解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，所以a ＝1，所以1z ＋a ＝11＋2i ＝1－2i (1＋2i )(1－2i )＝15－25i ，根据虚部的概念，可得1z ＋a 的虚部为－25.故选A. (2)[2018·福州调研]已知m ∈R ，i 为虚数单位，若1－2im －i>0，则m ＝( ) A ．1 B.12 C.13 D ．－2答案 B解析 由已知得1－2i m －i ＝(1－2i )(m ＋i )(m －i )(m ＋i )＝m ＋2＋(1－2m )i m 2＋1，由1－2i m －i >0，可得1－2m ＝0，则m ＝12，选B. 考向复数的几何意义例 2 (1)[2017·北京高考]若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)答案 B解析 ∵(1－i)(a ＋i)＝a ＋i －a i －i 2＝a ＋1＋(1－a )i ，又∵复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＜0，1－a ＞0，解得a ＜－1.故选B.(2)[2018·贵阳模拟]已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝a －3i1－i在复平面上对应的点在y 轴上，则a ＝________.答案 －3 解析 z ＝a －3i 1－i＝(a －3i )(1＋i )2＝a ＋3＋(a －3)i2，由a ＋3＝0，得a ＝－3.触类旁通复数几何意义的理解及应用复数集与复平面内所有的点构成的集合之间存在着一一对应关系，每一个复数都对应着一个点(有序实数对)．复数的实部对应着点的横坐标，而虚部则对应着点的纵坐标，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．【变式训练2】 (1)[2018·邯郸模考]已知i 是虚数单位，若复数z ＝2＋a i 2＋i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的值可以是( )A ．－2B ．1C ．2D ．3 答案 A解析 z ＝2＋a i 2＋i ＝(2＋a i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝4＋a ＋(2a －2)i 5，因为复数z ＝2＋a i2＋i在复平面内对应的点在第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＋a >0，2a －2<0，解得－4<a <1，选A.(2)已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，若OC →＝λOA →＋μOB →，(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是________．答案 1解析 由条件得OC →＝(3，－4)，OA →＝(－1,2)，OB →＝(1，－1)，由OC →＝λOA →＋μOB →，得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2.∴λ＋μ＝1.考向复数的代数运算命题角度1 复数的乘法运算例 3 [2017·山东高考]已知a ∈R ，i 是虚数单位．若z ＝a ＋3i ，z ·z ＝4，则a ＝( )A ．1或－1 B.7或－7 C ．－ 3 D. 3答案 A解析 依题意得(a ＋3i)(a －3i)＝4，即a 2＋3＝4，∴a ＝±1.故选A.命题角度2 复数的除法运算例 4 [2015·全国卷Ⅰ]设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2 答案 A解析 由题意知1＋z ＝i －z i ，所以z ＝i －1i ＋1＝(i －1)2(i ＋1)(i －1)＝i ，所以|z |＝1.命题角度3 复数的混合运算例 5 [2018·绍兴模拟]i 是虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2018＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 7＝________.答案 0解析 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 21009＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2i 1009＋i 7＝i4×252＋1＋i 3＝i －i ＝0. 触类旁通复数的混合运算与实数的混合运算类似，需要注意i n的运算周期性．【变式训练3】 [2018·香坊模拟]已知复数z ＝5a 2＋i ＋1＋i1－i ，a ∈R ，若复数z 对应的点在复平面内位于第四象限，则实数a 的取值范围是( )A ．a >1B ．a <0C ．0<a <1D ．a <1 答案 A解析 z ＝5a (2－i )(2＋i )(2－i )＋(1＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2a ＋(1－a )i ，若复数z 对应的点在复平面内位于第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧2a >0，1－a <0，解得a >1.故选A.核心规律1．实轴上的点都表示实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法．3．在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，除法法则需分母实数化．满分策略1．判定复数是不是实数，仅注意虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义． 2．注意复数和虚数是包含关系，不能把复数等同为虚数，如虚数不能比较大小，但说两个复数不能比较大小就不对了．3．注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z 1，z 2∈C ，z 21＋z 22＝0，就不能推出z 1＝z 2＝0；z 2<0在复数范围内有可能成立.板块三 启智培优·破译高考数学思想系列12——解决复数问题的实数化思想[2018·金华模拟]已知z ∈C ，解方程z ·z －－3i z －＝1＋3i.解题视点 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，根据已知中恒等的条件，列出一组含a ，b 的方程，解方程组使问题获得解决．解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ，即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i.根据复数相等的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.∴z ＝－1或z ＝－1＋3i.答题启示 (1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法.(2)本题求解的关键是先把z 用复数的形式表示出来，再用待定系数法求解，这是常用的数学方法.(3)本题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解. 跟踪训练[2018·金版创新]设复数z 满足z ＋|z －|＝2＋i ，则z ＝( ) A ．－34＋i B.34＋i C ．－34－i D.34－i答案 B解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由已知得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋i ，由复数相等可得⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34，b ＝1，故z ＝34＋i ，故选B.板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．[2017·全国卷Ⅲ]设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( ) A.12 B.22 C. 2 D ．2 答案 C解析 解法一：由(1＋i)z ＝2i ，得z ＝2i 1＋i ＝1＋i ，∴|z |＝ 2.故选C. 解法二：∵2i ＝(1＋i)2，∴由(1＋i)z ＝2i ＝(1＋i)2，得z ＝1＋i ，∴|z |＝ 2.故选C.2．[2018·湖南模拟]已知(1－i )2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i 答案 D解析 由(1－i )2z ＝1＋i ，得z ＝(1－i )21＋i ＝－2i 1＋i ＝－2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝－1－i.3．[2018·江西模拟]已知复数z 1＝cos23°＋isin23°和复数z 2＝cos37°＋isin37°，则z 1·z 2为( )A.12＋32iB.32＋12iC.12－32iD.32－12i 答案 A解析 z 1·z 2＝(cos23°＋isin23°)·(cos37°＋isin37°)＝cos60°＋isin60°＝12＋32i.故选A. 4．设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( ) A ．1＋i B.35＋45i C ．1＋45iD ．1＋43i答案 B解析 因为复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，z 1＝2＋i ，所以z 2＝2－i ，所以z 1z 2＝2＋i 2－i ＝(2＋i )25＝35＋45i.故选B.5．[2018·天津模拟]已知复数z 满足(i －1)(z －i 3)＝2i(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为( )A ．i －1B ．1＋2iC ．1－iD ．1－2i 答案 B解析 依题意可得z ＝2i i －1＋i 3＝－2i (1＋i )(1－i )(1＋i )－i ＝－(i －1)－i ＝1－2i ，其共轭复数为1＋2i ，故选B.6．已知a 为实数，若复数z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，则a ＋i 20161＋i＝( )A ．1B ．0C ．1＋iD ．1－i 答案 D解析 z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，则有a 2－1＝0，a ＋1≠0，得a ＝1，则有1＋i20161＋i＝1＋11＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－i ，选D. 7．[2018·郴州模拟]设z ＝1－i(i 是虚数单位)，若复数2z＋z 2在复平面内对应的向量为OZ →，则向量OZ →的模是( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2 答案 B解析 z ＝1－i(i 是虚数单位)，复数2z ＋z 2＝21－i ＋(1－i)2＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )－2i ＝1－i.向量OZ →的模：12＋(－1)2＝ 2.故选B. 8．[2018·温州模拟]满足z ＋iz＝i(i 为虚数单位)的复数是________． 答案 12－i 2解析 由已知得z ＋i ＝z i ，则z (1－i)＝－i ， 即z ＝－i 1－i ＝－i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝1－i 2＝12－i 2.9．若a1－i ＝1－b i ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝________. 答案5解析 ∵a ，b ∈R ，且a1－i ＝1－b i ，则a ＝(1－b i)(1－i)＝(1－b )－(1＋b )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1－b ，0＝1＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1，∴|a ＋b i|＝|2－i|＝22＋(－1)2＝ 5.10．[2017·浙江高考]已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝________，ab ＝________.答案 5 2解析 (a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i.由(a ＋b i)2＝3＋4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，ab ＝2.解得a 2＝4，b 2＝1.所以a 2＋b 2＝5，ab ＝2.[B 级 知能提升]1．[2018·成都模拟]已知复数z 1＝2＋6i ，z 2＝－2i ，若z 1，z 2在复平面内对应的点分别为A ，B ，线段AB 的中点C 对应的复数为 z ，则|z |＝( )A. 5 B ．5 C ．2 5 D ．217 答案 A解析 复数z 1＝2＋6i ，z 2＝－2i ，若z 1，z 2在复平面内对应的点分别为A (2,6)，B (0，－2)，线段AB 的中点C (1，2)对应的复数为z ＝1＋2i ，则|z |＝12＋22＝ 5.故选A.2．[2017·全国卷Ⅰ]设有下面四个命题p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ； p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4 答案 B解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 1＝a 1＋b 1i(a 1，b 1∈R )，z 2＝a 2＋b 2i(a 2，b 2∈R )． 对于p 1，若1z ∈R ，即1a ＋b i ＝a －b ia 2＋b 2∈R ，则b ＝0⇒z ＝a ＋b i ＝a ∈R ，所以p 1为真命题．对于p 2，若z 2∈R ，即(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2∈R ，则ab ＝0.当a ＝0，b ≠0时，z ＝a ＋b i ＝b i ∈/ R ，所以p 2为假命题．对于p 3，若z 1z 2∈R ，即(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ∈R ，则a 1b 2＋a 2b 1＝0.而z 1＝z 2，即a 1＋b 1i ＝a 2－b 2i ⇔a 1＝a 2，b 1＝－b 2.因为a 1b 2＋a 2b 1＝0⇒/ a 1＝a 2，b 1＝－b 2，所以p 3为假命题．对于p 4，若z ∈R ，即a ＋b i ∈R ，则b ＝0⇒z ＝a －b i ＝a ∈R ，所以p 4为真命题．故选B.3．[2018·厦门模拟]已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则yx的最大值为________．答案3解析 ∵|z －2|＝(x －2)2＋y 2＝3， ∴(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3. 4．已知复数z ＝b i(b ∈R )，z －21＋i是实数，i 是虚数单位． (1)求复数z ；(2)若复数(m ＋z )2所表示的点在第一象限，求实数m 的取值范围． 解 (1)因为z ＝b i(b ∈R )，所以z －21＋i ＝b i －21＋i ＝(b i －2)(1－i )(1＋i )(1－i )＝(b －2)＋(b ＋2)i 2＝b －22＋b ＋22i.又因为z －21＋i 是实数，所以b ＋22＝0，所以b ＝－2，即z ＝－2i.(2)因为z ＝－2i ，m ∈R ，所以(m ＋z )2＝(m －2i)2＝m 2－4m i ＋4i 2＝(m 2－4)－4m i ，又因小初高试卷教案类K12小学初中高中 为复数(m ＋z )2所表示的点在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－4>0，－4m >0.解得m <－2，即m ∈(－∞，－2)．5．若虚数z 同时满足下列两个条件：①z ＋5z是实数；②z ＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z ；若不存在，请说明理由．解 存在．设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b ≠0)，则z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋5a 2＋b 2＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－5a 2＋b 2i.又z ＋3＝a ＋3＋b i 实部与虚部互为相反数，z ＋5z 是实数，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－5a 2＋b 2＝0，a ＋3＝－b ，因为b ≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝5，a ＝－b －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝－1.所以z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.。
配套K12全国版2019版高考数学一轮复习第11章算法初步复数推理与证明第1讲算法初步学案
第1讲算法初步板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 算法的框图及结构1．算法算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确程序或有限的步骤．这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成．2．程序框图程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．通常，程序框图由程序框和流程线组成，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；流程线带有方向箭头，按照算法进行的顺序将程序框连接起来．3．三种基本逻辑结构考点2 算法语句的格式及框图1．输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能2．条件语句的格式及框图(1)IF－THEN格式(2)IF－THEN－ELSE格式3．循环语句的格式及框图(1)UNTIL语句(2)WHILE语句[必会结论]1．注意区分处理框与输入框，处理框主要是赋值、计算，而输入框只是表示一个算法输入的信息．2．循环结构中必有条件结构，其作用是控制循环进程，避免进入“死循环”，是循环结构必不可少的一部分．3．注意区分当型循环与直到型循环．直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环”，而当型循环则是“先判断，后循环，条件满足时执行循环”．两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)算法只能解决一个问题，不能重复使用．( )(2)一个程序框图一定包含顺序结构，但不一定包含条件结构和循环结构．( ) (3)算法可以无限操作下去. ( )(4)条件结构的出口有两个，但在执行时，只有一个出口是有效的. ( ) (5)▱是赋值框，有计算功能．( )(6)当型循环是给定条件不成立时执行循环体，反复进行，直到条件成立为止. ( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)× (6)×2．[2017·北京高考]执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A ．2 B.32 C.53 D.85答案 C解析 开始：k ＝0，s ＝1； 第一次循环：k ＝1，s ＝2； 第二次循环：k ＝2，s ＝32；第三次循环：k ＝3，s ＝53，此时不满足循环条件，输出s ，故输出的s 值为53.故选C.3．[2016·全国卷Ⅱ]中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x ＝2，n ＝2，依次输入的a 为2,2,5，则输出的s ＝( )A ．7B ．12C ．17D ．34答案 C解析 k ＝0，s ＝0，输入a ＝2，s ＝0×2＋2＝2，k ＝1；输入a ＝2，s ＝2×2＋2＝6，k ＝2；输入a ＝5，s ＝6×2＋5＝17，k ＝3>2，输出s ＝17.故选C.4．[2017·山东高考]执行如图所示的程序框图，当输入的x 的值为4时，输出的y 的值为2，则空白判断框中的条件可能为( )A ．x >3?B ．x >4?C ．x ≤4?D ．x ≤5? 答案 B解析 输入x ＝4，若满足条件，则y ＝4＋2＝6，不符合题意；若不满足条件，则y ＝log 24＝2，符合题意，结合选项可知应填x >4？.故选B.5．[2018·乐山模拟]一算法的程序框图如图所示，若输出的y ＝12，则输入的x 可能为( )A ．－1B ．1C ．1或5D ．－1或1 答案 B解析 这是一个用条件分支结构设计的算法，该程序框图所表示的算法的作用是求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx 6，x ≤22x ，x >2的函数值，输出的结果为12，当x ≤2时，sin πx 6＝12，解得x ＝1＋12k ，或x ＝5＋12k ，k ∈Z ，即x ＝1，－7，－11，…当x >2时，2x＝12，解得x ＝－1(不符，舍去)，则输入的x 可能为1.故选B.板块二 典例探究·考向突破 考向算法的基本结构例 1 [2017·全国卷Ⅲ]执行如图所示的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2 答案 D解析 假设N ＝2，程序执行过程如下：t ＝1，M ＝100，S ＝0，1≤2，S ＝0＋100＝100，M ＝－10010＝－10，t ＝2，2≤2，S ＝100－10＝90，M ＝－－1010＝1，t ＝3，3＞2，输出S ＝90＜91.符合题意． ∴N ＝2成立．显然2是最小值．故选D. 触类旁通利用循环结构表示算法应注意的问题(1)注意是利用当型循环结构，还是直到型循环结构； (2)注意选择准确地表示累计的变量；(3)注意在哪一步开始循环，满足什么条件不再执行循环体．【变式训练1】 [2018·河南百校联盟]《九章算术》是中国古代数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出的m 的值为35，则输入的a 的值为( )A．4 B．5C．7 D．11答案 A解析起始阶段有m＝2a－3，i＝1，第一次循环，m＝2(2a－3)－3＝4a－9，i＝2；第二次循环，m＝2(4a－9)－3＝8a－21，i＝3；第三次循环，m＝2(8a－21)－3＝16a－45，i＝4；接着计算m＝2(16a－45)－3＝32a－93，跳出循环，输出m＝32a－93，令32a－93＝35，得a＝4.考向算法的交汇性问题例 2 [2018·郑州模拟]执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于( )A．[－3,4] B．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5] 答案 A解析 当－1≤t ＜1时，s ＝3t ，则s ∈[－3,3)．当1≤t ≤3时，s ＝4t －t 2.函数在[1,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减．∴s ∈[3,4]．综上知s ∈[－3,4]．故选A.命题角度2 与数列求和的交汇问题例 3 执行如图所示的程序框图，则输出的k ＝( )A ．7B ．8C ．9D ．10 答案 C解析 由程序框图可知，当k ＝1时，s ＝11×2，当k ＝2时，s ＝11×2＋12×3，当k ＝n时，s ＝11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1，由1－1n ＋1≥910⇒n ≥9，即当k ＝9时，s ＝910.故选C.命题角度3 与统计的交汇问题例 4 在2017～2018赛季NBA 季后赛中，当一个球队进行完7场比赛被淘汰后，某个篮球爱好者对该队的7场比赛得分情况进行统计，如下表：为了对这个队的情况进行分析，此人设计计算σ的算法流程图如图所示(其中x 是这7场比赛的平均得分)，求输出的σ的值．解由题知x＝17(100＋104＋98＋105＋97＋96＋100)＝100，由算法流程图可知s＝(100－100)2＋(104－100)2＋(98－100)2＋(105－100)2＋(97－100)2＋(96－100)2＋(100－100)2＝70.故σ＝s7＝10.触类旁通解决算法的交汇性问题的方法循环结构的程序框图与数列、不等式、统计等知识综合是高考命题的一个热点，解决此类问题时应把握三点：一是初始值，即计数变量与累加变量的初始值；二是两个语句，即循环结构中关于计数变量与累加变量的赋值语句；三是一个条件，即循环结束的条件，注意条件与流程线的对应关系．考向基本算法语句例 5 [2018·南京模拟]执行下边的程序，输出的结果是________．S＝1i＝3WHILE S<＝200S＝S*ii＝i＋2WENDPRINT iEND答案11解析根据循环结构可得：第一次：S＝1×3＝3，i＝3＋2＝5，由3≤200，则循环；第二次：S＝3×5＝15，i＝5＋2＝7，由15≤200，则循环；第三次：S＝15×7＝105，i＝7＋2＝9，由105≤200，则循环；第四次：S＝105×9＝945，i＝9＋2＝11，由945>200，则循环结束，故此时i＝11.触类旁通基本算法语句应用中需注意的问题(1)赋值号“＝”的左、右两边不能对调，A ＝B 和B ＝A 的含义及运行结果是不同的； (2)不能利用赋值语句进行代数式的演算(如化简、因式分解等)，在赋值语句中的赋值号右边的表达式中每一个“变量”都必须事先赋给确定的值；(3)赋值号与数学中的等号意义不同，比如在数学中式子N ＝N ＋1一般是错误的，但在赋值语句中它的作用是将原有的N 的值加上1再赋给变量N ，这样原来的值被“冲”掉．【变式训练2】 [2018·龙岩质检]如图所示的程序，若最终输出的结果为6364，则在程序中横线____？____处应填入的语句为( )A ．i >＝8B ．i >＝7C ．i <7D ．i <8 答案 B解析 S ＝0，n ＝2，i ＝1，执行S ＝12，n ＝4，i ＝2；S ＝12＋14＝34，n ＝8，i ＝3；S ＝34＋18＝78，n ＝16，i ＝4；S ＝78＋116＝1516，n ＝32，i ＝5；S ＝1516＋132＝3132，n ＝64，i ＝6；S ＝3132＋164＝6364，n ＝128，i ＝7.此时满足条件输出的S ＝6364，∴“？”处应填上i >＝7.故选B.核心规律1．在画程序框图时首先要进行结构的选择．若所要解决的问题不需要分情况讨论，则只用顺序结构就能解决；若所要解决的问题要分若干种情况讨论，则必须引入条件结构；若所要解决的问题要进行多次重复的步骤，且这些步骤之间又有相同的规律，则必须引入变量，应用循环结构．2．利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断．两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反．满分策略1．注意起止框与处理框、判断框与循环框的不同．2．注意条件结构与循环结构的联系：对于循环结构有重复性，条件结构具有选择性没有重复性，并且循环结构中必定包含一个条件结构，用于确定何时终止循环体．3．赋值号左右不能对换，赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量，例如Y＝x，表示用x的值替代变量Y的原先的取值，不能改写为x＝Y.因为后者表示用Y的值替代变量x的值.板块三启智培优·破译高考规范答题系列5——解决程序框图问题的答题模板[2017·全国卷Ⅱ]执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝－1，则输出的S＝( )A．2 B．3 C．4 D．5解题视点按部就班法是按照所给程序框图流程线的指向，逐个程序框运行，逐步进行运算，逐步检验，直至满足输出的条件，即可求得输出结果的方法．此种方法适用于处理运算次数不是很多的条件分支结构以及循环结构的程序框图．解析当K＝1时，S＝0＋(－1)×1＝－1，a＝1，执行K＝K＋1后，K＝2；当K＝2时，S＝－1＋1×2＝1，a＝－1，执行K＝K＋1后，K＝3；当K＝3时，S＝1＋(－1)×3＝－2，a＝1，执行K＝K＋1后，K＝4；当K＝4时，S＝－2＋1×4＝2，a＝－1，执行K＝K＋1后，K＝5；当K＝5时，S＝2＋(－1)×5＝－3，a＝1，执行K＝K＋1后，K＝6；当K＝6时，S＝－3＋1×6＝3，执行K＝K＋1后，K＝7>6，输出S＝3.结束循环．故选B.答案 B[答题模板]跟踪训练[2017·天津高考]阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为( )A．0 B．1 C．2 D．3答案 C解析第一次循环执行条件语句，此时N＝24,24能被3整除，则N＝24÷3＝8.∵8≤3不成立，∴进入第二次循环执行条件语句，此时N＝8,8不能被3整除，则N＝8－1＝7.∵7≤3不成立，∴进入第三次循环执行条件语句，此时N ＝7,7不能被3整除，则N ＝7－1＝6.∵6≤3不成立，∴进入第四次循环执行条件语句，此时N ＝6,6能被3整除，则N ＝6÷3＝2.∵2≤3成立，∴此时输出N ＝2.故选C.板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．[2018·沈阳调研]要计算1＋12＋13＋…＋12018的结果，下面程序框图中的判断框内可以填( )A ．n <2018?B ．n ≤2018?C ．n >2018?D ．n ≥2018?答案 B解析 题中所给的程序框图中的循环结构为当型循环，累加变量初始值为0，计数变量初始值为1，要求S ＝0＋1＋12＋13＋…＋12018的值，共需要计算2018次．故选B.2．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为N ≡n (mod m )，例如11≡2(mod 3)．现将该问题以程序框图给出，执行该程序框图，则输出的n 等于( )A．21 B．22 C．23 D．24答案 C解析当n＝21时，21被3整除，执行否．当n＝22时，22除以3余1，执行否；当n＝23时，23除以3余2，执行是；又23除以5余3，执行是，输出的n＝23.故选C.3．[2017·全国卷Ⅰ]如图所示的程序框图是为了求出满足3n－2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入( )A．A>1000？和n＝n＋1 B．A>1000？和n＝n＋2C．A≤1000？和n＝n＋1 D．A≤1000？和n＝n＋2答案 D解析因为题目要求的是“满足3n－2n＞1000的最小偶数n”，所以n的叠加值为2，所以内填入“n＝n＋2”．由程序框图知，当内的条件不满足时，输出n，所以内填入“A≤1000？”．故选D.4．[2018·汕头模拟]若执行如图所示的程序框图，输出S的值为3，则判断框中应填入的条件是( )A．k<6? B．k<7? C．k<8? D．k<9?答案 C解析根据程序框图，运行结果如下：第一次循环：S＝log23，k＝3；第二次循环：S＝log23·log34，k＝4；第三次循环：S＝log23·log34·log45，k＝5；第四次循环：S＝log23·log34·log45·log56，k＝6；第五次循环：S＝log23·log34·log45·log56·log67，k＝7；第六次循环：S＝log23·log34·log45·log56·lo g67·log78＝log28＝3，k＝8，故如果输出S＝3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k<8.故选C.5．[2018·汉中模拟]给出一个如图所示的程序框图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则x的可能值的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案 C解析 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤2，2x －3，2<x ≤5，1x ，x >5的值，又∵输入的x 值与输出的y 值相等， 当x ≤2时，x ＝x 2，解得x ＝0，或x ＝1， 当2<x ≤5时，x ＝2x －3，解得x ＝3， 当x >5时，x ＝1x，解得x ＝±1(舍去)，故满足条件的x 值共有3个．故选C.6．已知[x ]表示不超过x 的最大整数，比如：[0.4]＝0，[－0.6]＝－1.执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为2.4，则输出z 的值为( )A ．1.2B ．0.6C ．0.4D ．－0.4 答案 D解析 输入x ＝2.4，则y ＝2.4，x ＝[2.4]－1＝1>0，∴x ＝y 2＝1.2；y ＝1.2，x ＝[1.2]－1＝0，∴x ＝y2＝0.6；y ＝0.6，x ＝[0.6]－1＝－1<0，则z ＝x ＋y ＝－1＋0.6＝－0.4.故选D.7．[2018·湖南模拟]给出30个数：1,2,4,7,11，…，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入( )A ．i ≤30？；p ＝p ＋i －1B ．i ≤31？；p ＝p ＋i ＋1C ．i ≤31？；p ＝p ＋iD ．i ≤30？；p ＝p ＋i 答案 D解析 由于要计算30个数的和，故循环要执行30次，由于循环变量的初值为1，步长为1，故终值应为30，即①中应填写i ≤30；又由第1个数是1，第2个数比第1个数大1，即1＋1＝2； 第3个数比第2个数大2，即2＋2＝4； 第4个数比第3个数大3，即4＋3＝7； ……故②中应填写p ＝p ＋i .故选D.8．[2017·江苏高考]下图是一个算法流程图．若输入x 的值为116，则输出y 的值是________．答案 －2解析 输入x ＝116，116≥1不成立，执行y ＝2＋log 2116＝2－4＝－2.输出y 的值为－2.9．[2018·黄冈模拟]随机抽取某中学甲、乙两个班各10名同学，测量他们的身高获得身高数据的茎叶图如图，在样本的20人中，记身高在[150,160)，[160,170)，[170,180)，[180,190]的人数依次为A 1，A 2，A 3，A 4.如图是统计样本中身高在一定范围内的人数的算法框图．若图中输出的S ＝18，则判断框应填________．答案 i <5？(或i ≤4？)解析 由于i 从2开始，也就是统计大于或等于160的所有人数，于是就要计算A 2＋A 3＋A 4，因此，判断框应填i <5？或i ≤4？.10．已知a ，b ，c 为集合A ＝{1,2,3,4,5}中三个不同的数，通过如图所示的算法框图给出一个算法，输出一个整数a ，则输出的数a ＝5的概率是________．答案 35解析 由算法知输出的a 是a ，b ，c 中最大的一个，若输出的数为5，则这三个数中必须要有5，从集合A ＝{1,2,3,4,5}中选三个不同的数共有10种取法：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,4,5}，{3,4,5}，满足条件的有6种，所求概率为35.[B 级 知能提升]1．[2017·山东高考]执行两次下图所示的程序框图，若第一次输入的x 的值为7，第二次输入的x 的值为9，则第一次、第二次输出的a 的值分别为( )A ．0,0B ．1,1C ．0,1D ．1,0 答案 D解析 当x ＝7时，∵b ＝2，∴b 2＝4＜7＝x . 又7不能被2整除，∴b ＝2＋1＝3.此时b 2＝9＞7＝x ，∴退出循环，a ＝1，∴输出a ＝1. 当x ＝9时，∵b ＝2，∴b 2＝4＜9＝x . 又9不能被2整除，∴b ＝2＋1＝3.此时b 2＝9＝x ，又9能被3整除，∴退出循环，a ＝0. ∴输出a ＝0.故选D.2．[2018·湖南模拟]执行如图所示的程序框图，输出S 的值为12时，k 是( )A ．5B ．3C ．4D ．2 答案 A解析 模拟执行程序，可得每次循环的结果依次为：k ＝2，k ＝3，k ＝4，k ＝5，大于4，可得S ＝sin5π6＝12，输出S 的值为12.故选A.3．[2018·西城期末]如图所示的程序框图运行后输出结果为12，则输入的x 值为()A ．－1 B.22 C.12 D ．－1或22答案 D解析 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是计算并输出分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，log 12x ，0<x <14，x 2，x ≥14的函数值．当x ≤0时，若y ＝2x＝12，则x ＝－1，当0<x <14时，若y ＝log 12 x ＝12，则x ＝22∉⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，舍去，当x ≥14时，若y ＝x 2＝12，则x ＝－22(舍)或x ＝22，输入的x 值为－1或22.故选D. 4．执行如图所示的程序框图，则输出的S ＝________.答案32解析 由程序框图得S ＝sin π3＋sin 2π3＋sin 3π3＋sin 4π3＋sin 5π3＋sin 6π3＋sin7π3＋…＋sin 2017π3.由正弦函数的周期性，得S ＝sin π3＝32.5．[2018·陕西模拟]执行如图的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，求输出的S 的最大值．解 由程序框图可知，若输入的x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1，则输出目标函数S＝2x ＋y 的值，否则，输出S ＝1.如图，作出满足条件的可行域．当x ＝1，y ＝0时，目标函数S ＝2x ＋y 取得最大值2,2>1，故输出的S 的最大值为2.。
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第11章复数、算法、推理与证明
章末总结
B．2
D．14
(2017·高考全国卷Ⅱ，T8，5分)执行如图的程序框图，如果输入的
＝－1，则输出的S＝(
B．3
D．5
19，12分)如图，四面体
是直角三角形，AB＝BD．若E为棱
，求四面体ABCE与四面体ACDE
一、选择题
1．(选修12 P 61A 组T 5(4)改编)i 为虚数单位，则5
i （2＋i ）等于( )
A ．－2－i
B ．－2＋i
C ．－1＋2i
D ．－1－2i
解析：选D ．5i （2＋i ）＝5－1＋2i ＝5（－1－2i ）
5
＝－1－2i ．
2．(选修12 P 33内文改编)有一个游戏：将标有数字1、2、3、4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4个人在看自己的卡片之前进行预测：
甲说：乙或丙拿到标有3的卡片； 乙说：甲或丙拿到标有2的卡片； 丙说：标有1的卡片在甲手中； 丁说：甲拿到标有3的卡片．
结果显示甲、乙、丙、丁4个人的预测都不正确，那么甲、乙、丙、丁4个人拿到卡片上的数字依次为( )
A ．3、4、2、1
B ．4、2、1、3
C ．2、3、1、4
D ．1、3、2、4 解析：选B ．由甲、丁的预测不正确可得丁拿到标有3的卡片，由乙的预测不正确可得乙拿到标有2的卡片，由丙的预测不正确可知甲拿到标有4的卡片，故丙拿到标有1的卡片，即甲、乙、丙、丁4个人拿到卡片上的数字依次为4、2、1、3．
3．(选修12 P 30练习T 2改编)如图所示的数阵中，用A (m ，n )表示第m 行的第n 个数，则依此规律A (15，2)为( )
1
3 16 16 110 13 110 115 1330 1330 115 121 12 1315 12 121
…
A ．2942
B ．710
C ．1724
D ．73102
解析：选C ．由数阵知A (3，2)＝16＋16＝16＋2
3×4
，
A (4，2)＝16＋16＋
110＝16＋23×4＋24×5，A (5，2)＝16＋16＋110＋115＝16＋23×4＋24×5
＋25×6，…，则A (15，2)＝16＋23×4＋24×5＋25×6＋…＋215×16＝1
6＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋14－1
5
＋…＋115－116＝16＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫13－116
＝16＋2×1348＝17
24
，选项C 正确． 4．(必修3 P 34－35案例1改编)如图所示的程序框图的算法思想源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图(图中“m MOD n ”表示m 除以n 的余数)，若输入的
m ，n 分别为495，135，则输出的m ＝( )
A ．0
B ．5
C ．45
D ．90
解析：选C ．该程序框图是求495与135的最大公约数，由495＝135×3＋90，135＝90×1＋45，90＝45×2，所以495与135的最大公约数是45，所以输出的m ＝45，故选C ．
二、填空题
5．(选修12 P 61A 组T 3改编)ABCD 是复平面内的平行四边形，A 、B 、C 三点对应的复数分别为1＋2i ，－i ，2＋i ，O 为复平面原点，则|OD |＝________．
解析：设D 点对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )， 因为ABCD 是平行四边形， 所以AB →＝DC →，
即－i －(1＋2i)＝(2＋i)－(x ＋y i)，
即－1－3i ＝(2－x )＋(1－y )i ，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧2－x ＝－11－y ＝－3，解得x ＝3，y ＝4．
所以D 点对应的复数为3＋4i ． 所以|OD |＝|3＋4i|＝5， 答案：5
6．(选修12 P 44B 组T 1改编)已知sin α－cos αsin α＋2cos α＝－1，则tan 2α＝________．
解析：由sin α－cos α
sin α＋2cos α＝－1，可得2sin α＝－cos α，
所以tan α＝－1
2
，
所以tan 2α＝2tan α1－tan 2
α＝2×⎝ ⎛⎭
⎪
⎫－121－⎝ ⎛⎭
⎪
⎫－122＝－43． 答案：－4
3
三、解答题
7．(选修12 P 35B 组T 1改编)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－23，且S n ＋1
S n
＋2＝
a n (n ≥2)．计算S 1、S 2、S 3，并猜想S n ．
解：n ＝1时，S 1＝a 1＝－2
3
．
n ＝2时，S 2＋1S 2＋2＝a 2＝S 2－S 1＝S 2＋2
3
，
所以S 2＝－3
4
．
n ＝3时，S 3＋1S 3＋2＝a 3＝S 3－S 2＝S 3＋3
4
，
所以S 3＝－4
5，
所以猜想S n ＝－
n ＋1
n ＋2
． 8．(必修2 P 45探究、P 52B 组T 1(1)改编)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示：
(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；
(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论；
(3)证明：直线DF⊥平面BEG．
解：(1)点F，G，H的位置如图所示．
(2)平面BEG∥平面ACH．证明如下：
因为ABCDEFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，
又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，
所以BCHE为平行四边形．
所以BE∥CH．
又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，
所以BE∥平面ACH．
同理BG∥平面ACH．
又BE∩BG＝B，
所以平面BEG∥平面ACH．
(3)证明：连接FH．
因为ABCDEFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH，
因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG．
又EG⊥FH，DH∩FH＝H，
所以EG⊥平面BFHD．
又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG．
同理DF⊥BG．
又EG∩BG＝G，
所以DF⊥平面BEG．。