上海市奉贤区高三下学期调研测试(数学文含答案)
上海市奉贤区高三数学下学期调研测试试题 文(奉贤二模
上海市奉贤区2014届高三数学下学期调研测试试题 文（奉贤二模）沪教版（考试时间：120分钟，满分150分）一. 填空题 (本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-14题每个空格填对得4分)1、函数()()42lg -=xx f 的定义域为________.2、设z a i =+（a R +∈，i 是虚数单位），满足2z =，则a =________.3、如果函数x x f a log )(=的图像过点⎪⎭⎫ ⎝⎛121，P ，则2lim()n n a a a →∞+++⋅⋅⋅=________.4、执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为________.5、若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线034=-y x 和x 轴相切，则该圆的标准方程是________.6、在(1)nx +的二项展开式中，按x 的降幂排列，只有第5项的系数最大，则各项的二项式系数之和为________（答案用数值表示）.7、将外形和质地一样的4个红球和6个白球放入同一个袋中，将它们充分混合后，现从中取出4个球，取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，若取出4个球总分不少于5分，则有________种不同的取法.8、若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为________.第4题图9、设实数,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥+,4,42,2y y x y x 则2x y -的最大值等于________.10、将函数cos ()sin x f x x=的图像向左平移m 个单位(0)m >，若所得图像对应的函数为偶函数，则m 的最小值是________.11、已知抛物线220y x =焦点F 恰好是双曲线22221x y a b -=的右焦点，且双曲线过点15(,3)4，则该双曲线的渐近线方程为________.12、定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：①当[1,3)x ∈时，1,12,()3,23,x x f x x x -≤≤⎧=⎨-<<⎩②(3)3()f x f x =，设关于x 的函数()()1F x f x =-的零点从小到大依次记为123,,,x x x ⋅⋅⋅，则123x x x ++=________.13、已知{}n a 是首项为a ，公差为1的等差数列，1nn n a b a +=，若对任意的*n N ∈，都有8n b b ≥成立，则实数a 的取值范围是________.14、以()m ,0间的整数()N m m ∈>,1为分子，以m 为分母组成分数集合1A ，其所有元素和为1a ；以()2,0m 间的整数()N m m ∈>,1为分子，以2m 为分母组成不属于集合1A 的分数集合2A ，其所有元素和为2a ；……，依次类推以()nm ,0间的整数()N m m ∈>,1为分子，以n m 为分母组成不属于121,,,n A A A -⋅⋅⋅的分数集合n A ，其所有元素和为n a；则12na a a ⋅⋅⋅+++=________.二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15、三角形ABC 中，设,AB a BC b ==u u u r r u u u r r，若()0a a b ⋅+<r r r ，则三角形ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．无法确定16、设数列{}n a ，以下说法正确的是（ ）A ．若2=4nn a ，*n N ∈，则{}n a 为等比数列B ．若221n n n a a a ++⋅=，*n N ∈，则{}n a 为等比数列C ．若2m nm n a a +⋅=，*,m n N ∈，则{}n a 为等比数列D ．若312n n n n a a a a +++⋅=⋅，*n N ∈，则{}n a 为等比数列17、下列命题正确的是( ) A ．若Z k k x ∈≠,π,则4sin 4sin 22≥+x x B ．若,0<a 则44-≥+a aC ．若0,0>>b a ,则b a b a lg lg 2lg lg ⋅≥+D ．若0,0<<b a ,则2≥+b aa b18、已知R ∈βα,,且设βα>:p ，设:sin cos sin cos q ααβββα+>+⋅，则p 是q 的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19、如图,在直三棱柱111ABC A B C -中, 3AC =,4BC =,5AB =,点D 是AB 的中点.四面体BCD B -1的体积是2，求异面直线1DB 与1CC 所成的角.A B 1BC (文19题图）20、已知函数9()||f x x a ax =--+，[1,6]x ∈，a R ∈．（1）若1a =，试判断并用定义证明函数()f x 的单调性； （2）当()3,1∈a 时，求函数()f x 的最大值的表达式()M a ．21、某人沿一条折线段组成的小路前进，从A 到B ，方位角（从正北方向顺时针转到AB 方向所成的角）是050，距离是3km ；从B 到C ，方位角是110°，距离是3km ；从C 到D ，方位角是140°，距离是（339+）km.试画出大致示意图，并计算出从A 到D 的方位角和距离（结果保留根号）.22、如图，已知平面内一动点A 到两个定点1F 、2F 的距离之和为4，线段12F F的长为（1）求动点A 的轨迹Γ的方程； （2）过点1F 作直线l 与轨迹Γ交于A 、C 两点，且点A 在线段12F F 的上方，线段AC 的垂直平分线为m . ①求12AF F ∆的面积的最大值；②轨迹Γ上是否存在除A 、C 外的两点S 、T 关于直线m 对称，请说明理由.23、若函数()f x 满足：集合*{()|}A f n n =∈N 中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数()f x 是等比源函数.（1）判断下列函数：①2x y =；②lg y x =中，哪些是等比源函数？（不需证明）（2）证明：函数()23g x x =+是等比源函数；（3）判断函数()21xf x =+是否为等比源函数，并证明你的结论.22013—2014学年奉贤区调研测试 高三数学试卷(文科) 参考答案 2014.4一、填空题（每小题4分，共56分）三、解答题19、（文）【解】直三棱柱111ABC A B C -中11//CC BB所以1DB B∠为异面直线1DB 与1CC 所成的角（或其补角） 3分直三棱柱111ABC A B C -中1111113423322B BCD BCD V S B B B B -∆=⋅=⨯⨯⨯=得12B B = 7分由点D 是AB 的中点得52DB =直三棱柱111ABC A B C -中1B B BD⊥1Rt B BD ∆中11552tan 24BD DB B B B ∠===所以15arctan4DB B ∠=（或1DB B ∠=）所以异面直线1DB 与1BC 所成的角为5arctan4（或 12分20、【解】 (1)判断：若1a =，函数()f x 在[1,6]上是增函数.证明：当1a =时，9()f x x x =-，()f x 在[1,6]上是增函数. 2分 在区间[1,6]上任取12,x x ，设12x x <，12121212121212129999()()()()()()()(9)f x f x x x x x x x x x x x x x x x -=---=----+=<所以12()()f x f x <，即()f x 在[1,6]上是增函数. 6分(2) （理）因为13a <≤，所以92(),1,()9,6,a x x a xf x x a x x ⎧-+≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩ 8分当13a <≤时，()f x 在[1,]a 上是增函数， 9分 证明：当13a <≤时，()f x 在[1,]a 上是增函数（过程略） 11分()f x 在在[,6]a 上也是增函数当13a <≤时，()x f y =[]6,1∈x 上是增函数 12分A B 1B所以任意一个[]6,1∈x ，均能找到唯一的y 和它对应， 所以()x f y =[]6,1∈x 时，()f x 存在反函数 14分(2) （文）因为13a <≤，所以92(),1,()9,6,a x x a xf x x a x x ⎧-+≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩ 8分当13a <≤时，()f x 在[1,]a 上是增函数， 9分 证明：当13a <≤时，()f x 在[1,]a 上是增函数（过程略） 11分()f x 在在[,6]a 上也是增函数当13a <≤时，()f x 在[1,6]上是增函数 12分 证明：当13a <≤时，()f x 在[1,]a 上是增函数（过程略） 13分所以当6x =时，()f x 取得最大值为92； 14分21、【解】示意图，如图所示， 4分连接AC ，在△ABC 中，∠ABC=50°+(180°-110°)=120°, 又AB=BC=3，∴∠BAC=∠BCA=30° 由余弦定理可得33120cos 222=︒⋅-+=BC AB BC AB AC 7分在△ACD 中，∠ACD=360°-140°-(70°+30°)=120°,CD=33+9.由余弦定理得AD=︒⋅-+120cos 222CD AC CD AC =)21()933(332)933(272-⨯+⨯⨯-++=2)62(9+(km). 10分由正弦定理得sin ∠CAD=()()22262923933sin sin =+⨯+=∠⋅=∠AD ACDCD CAD 12分 ∴∠CAD=45°,于是AD 的方位角为50°+30°+45°=125°, 13分所以，从A 到D 的方位角是125°，距离为2)62(9+km. 14分22、（文）【解】（1）因为4>1F 、2F为焦点的椭圆， 3分（2）以线段21F F 的中点为坐标原点，以21F F 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，可得轨迹Γ的方程为22+14x y = 7分max 23θπ=12F AF S ∆最大值为23tan tan 22πθ==（3）同理23、（文） 【解】（1）①②都是等比源函数； 4分 （2）证明： (1)5g =，(6)15g =，(21)45g = 因为5,15,45成等比数列所以函数()23g x x =+是等比源函数； 10分 其他的数据也可以（3）函数()21xf x =+不是等比源函数.证明如下：假设存在正整数,,m n k 且m n k <<，使得(),(),()f m f n f k 成等比数列，2(21)(21)(21)n m k +=++，整理得2122222n n m k m k+++=++， 等式两边同除以2,m 得2122221n mn m k k m --+-+=++. 因为1,2n m k m -≥-≥，所以等式左边为偶数，等式右边为奇数， 所以等式2122221n mn m k k m --+-+=++不可能成立，x()21f x=+不是等比源函数. 18分所以假设不成立，说明函数。
2023届上海奉贤区高三二模数学试卷及答案
2022学年奉贤区第二学期高三数学练习卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知集合{}1,2=A ，{},3=B a ，若{}2A B =I ，则=a ____________．2．已知∈x R ，∈y R ，且i i +=+x y y ，i 是虚数单位，则+=x y ____________．3．5(21)+x 的二项展开式中2x 项的系数为____________．（用数值回答）4．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的侧面积为____________．5．某校高中三年级1600名学生参加了区第一次高考模拟统一考试，已知数学考试成绩量X 服从正态分布()2100,N σ（试卷满分为150分）．统计结果显示，数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的34，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为____人．6．已知两个正数a ，b 的几何平均值为1，则22+a b 的最小值为____________．7．设某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4．现有一只20岁的该种动物，它活到25岁的概率是____________．8．已知随机变量X 的分布为123111236⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭，且3Y aX =+，若[]2E Y =-，则实数a =_______．9．设圆222440+--+=x y x y 与双曲线22221x y a b-=的渐近线相切，则该双曲线的渐近线方程为．10.ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =．11．在集合{}1,2,3,4中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成一个以原点为起点的向量(),a b α=u r，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，面积不超过4的平行四边形的个数是．12．已知()=y f x 为R 上的奇函数，且当0x ≥时，()()22512ln 1cos 243π=++++πx f x x x a ，则()y f x =的驻点为．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．“2=a ”是“直线2=-+y ax 与直线14=-ay x 垂直”的（）A ．充分非必要条件；B ．必要非充分条件；C ．充要条件；D ．既非充分也非必要条件．14．下列函数中，以π为周期且在区间2π⎛⎫π ⎪⎝⎭，上是严格增函数的是（）A ．()cos2=f x x ；B ．()sin2=f x x ；C ．()cos =f x x ；D ．()sin =f x x ．15．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：°C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)=i i x y i 得到下面的散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适合作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（）A ．=+y a bx ；B ．2=+y a bx ；C ．e =+x y a b ；D ．ln =+y a b x ．16．设n S 是一个无穷数列{}n a 的前n 项和，若一个数列满足对任意的正整数n ，不等式11+<+n n S S n n 恒成立，则称数列{}n a 为和谐数列，有下列3个命题：①若对任意的正整数n 均有1+<n n a a ，则{}n a 为和谐数列；②若等差数列{}n a 是和谐数列，则n S 一定存在最小值；③若{}n a 的首项小于零，则一定存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列．以上3个命题中真命题的个数有（）个A ．0；B ．1；C ．2；D ．3．三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）已知等差数列{}n a 的公差不为零，125a =，且1a ，11a ，13a 成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）计算20321`-=∑k k a．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，且90BAP CDP ∠=∠=︒．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA PD AB DC ===，90APD ∠=︒，且四棱锥P ABCD -的体积为83，求PB 与平面ABCD 所成的线面角的大小．19．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）设函数()=y f x 的定义域是R ，它的导数是()f x '．若存在常数m ()∈m R ，使得()()'+=-f x m f x 对一切x 恒成立，那么称函数()=y f x 具有性质()P m ．（1）求证：函数=x y e 不具有性质()P m ；（2）判别函数sin =y x 是否具有性质()P m ．若具有求出m 的取值集合；若不具有请说明理由．20．（本题满分18分，第1小题满分6分，第2小题满分8分，第3小题满分4分）某小区有块绿地，绿地的平面图大致如下图所示，并铺设了部分人行通道．为了简单起见，现作如下假设：假设1：绿地是由线段AB ，BC ，CD ，DE 和弧 EA围成的，其中 EA 是以O 点为圆心，圆心角为23π的扇形的弧，见图1；假设2：线段AB ，BC ，CD ，DE 所在的路行人是可通行的，圆弧 EA暂时未修路；假设3：路的宽度在这里暂时不考虑；假设4：路用线段或圆弧表示，休息亭用点表示．图1-图3中的相关边、角满足以下条件：直线BA 与DE 的交点是O ，AB ∥CD ，2π∠=ABC ．200====DE EO OA AB 米．小区物业根据居民需求，决定在绿地修建一个休息亭．根据不同的设计方案解决相应问题，结果精确到米．图1图2图3（1）假设休息亭建在弧 EA的中点，记为Q ，沿 EA 和线段QC 修路，如图2所示．求QC 的长；（2）假设休息亭建在弧 EA上的某个位置，记为P ，作⊥PM BC 交BC 于M ，作⊥PN CD 交DC 于N ．沿 EP 、线段PM 和线段PN 修路，如图3所示．求修建的总路长 ++EPPM PN 的最小值；（3）请你对（1）和（2）涉及到的两种设计方案做个简明扼要的评价．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知椭圆C :()222104x y b b +=>，()0,A b ，()0,B b -．椭圆C 内部的一点1,2T t ⎛⎫ ⎪⎝⎭(0)t >，过点T 作直线AT 交椭圆于M ，作直线BT 交椭圆于N ．M 、N 是不同的两点．（1）若椭圆C 的离心率是32，求b 的值；（2）设BTM △的面积是1S ，ATN △的面积是2S ，若125=S S ，1b =时，求t 的值；（3）若点(,)u u U x y ，(,)v v V x y 满足u v x x <且u v y y >，则称点U 在点V 的左上方．求证：当12b >时，点N 在点M 的左上方．2022学年奉贤区第二学期高三数学练习卷参考答案一、填空题1.2 2.2 3.40 4.B 5.200 6.27.0.58.3-9.340x y ±=10.4π11.312.32±二、选择题ACDD三、解答题17．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d (0)d ≠，则11110a a d =+，13112a a d =+．．．．．．．．．．．．．．．2分因为1a ，11a ，13a 成等比数列，所以211113a a a =⋅，即2111(10)(12)a d a a d +=⋅+，．．．．．．．．．．．．．．2分125a =代入，解得2d =-(0)=舍去d ．．．．．．．．．．．．．．．2分所以1(1)25(1)(2)272n a a n d n n =+-=+--=-，所以{}n a 的通项公式为272n a n =-；．．．．．．．．．．．．．．2分（2）因为3132[272(31)][272(32)]6n n a a n n +--=-+---=-，所以数列31{}n a +()n ∈N 是以25为首项，6-为公差的等差数列，．．．．．．．．．．．．．．3分（若没有证明为什么是等差数列，一律扣1分）所以2032147581`20202519(6)6402k k a a a a a -==++++=⨯+⨯⨯-=-∑ 18．【解析】（1）因为在四棱锥P ABCD -中，90BAP CDP ∠=∠=︒，所以AB PA ⊥，CD PD ⊥，．．．．．．．．．．．．．．1分又//AB CD ，所以AB PD ⊥，．．．．．．．．．．．．．．1分因为PA PD P = ，．．．．．．．．．1分（这一步必需要写，否则扣1分）所以AB ⊥平面PAD ，．．．．．．．．．．．．．．1分因为AB ⊂平面PAB ，．．．．．．．．．．．．．1分（这一步必需要写，否则扣1分）所以平面PAB ⊥平面PAD ．．．．．．．．．．．．．．．1分（2）取AD 中点O ，连结PO ，=PA PD ，所以⊥PO AD．．．．．．．．．．．．．．1分（这一步必需要写，否则扣1分）所以AB ⊥平面PAD ，⊂AD 平面PAD ，所以⊥AB PO．．．．．．．．．．．．．．1分（这一步必需要写，否则扣1分）因为= AB AD A ，（这一步必需要写，否则扣1分）所以PO ⊥底面ABCD ，．．．．．．．．．．．．．1分设PA PD AB DC a ====，求得AD =，22PO =，因为四棱锥P ABCD -的体积为83，所以13P ABCD ABCD V S PO -=⨯⨯四边形3111833233AB AD PO a a a =⨯⨯⨯=⨯⨯==解得2a =．．．．．．．．．．．．．．．3分所以===PB ，因为PO ⊥底面ABCD ，所以∠PBO 为PB 与平面ABCD 所成的角．．．．．．．．1分在Rt POB △中，1sin 2PO PBO PB ∠===，所以30PBO ∠=︒．所以PB 与平面ABCD 所成的线面角为30︒．．．．．．．．．．．．．．．．1分说明：若用空间直角坐标系计算的，一定要先说明为什么可以能有建立空间直角坐标系，若没解释的一律扣2分19．【解析】（1）假设=x y e 具有性质()P m 即()+'=-x m x e e 对一切x 恒成立．．．．．．．．．．．．．2分化简+=-x m x e e 得到1=-m e ，显然不存在实数m 使得1=-m e 成立．．．．．．．．．．．．．．．2分所以假设错误，原命题成立．．．．．．．．．．．．．．．2分（2）假设sin =y x 具有性质()P m 即()()sin sin '+=-x m x 对一切x 恒成立．．．．．2分即()sin cos +=-x m x 对一切x 恒成立．．．．．．．．．．．．．．．2分即()sin cos sin 1cos 0++=x m m x 对一切x 恒成立cos 0sin 10=⎧⎨+=⎩m m ．．．．．．．．．．．．．．．2分所以当2,2ππ=-∈m k k Z 时，sin =y x 具有性质()P m ．．．．．．．．．2分若没有说理直接出来扣1分20．【解析】（1）如图，以O 原点，OB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．因为点Q 为弧 EA 的中点，所以(200cos ,200sin )33ππ⋅⋅Q ，即Q ，．．．．．．．．．2分可以计算得C ，．．．．．．．．．．．．．．．．2分所以||346==≈QC （米）．．．．．．．．．．．．．．．．1分所以QC 的长约为346米；．．．．．．．．．．．．．．．．1分（2）如图，以O 原点，OB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．设POA θ∠=2(03θ≤≤π)，则(200cos ,200sin )P θθ，(400,200sin )M θ，(200cos N θ，．．．．．．．．．．．．．．．．1分设修建的总路长 ++EPPM PN 为()y f θ=，所以2()200(400200cos )200sin )3f θθθθ⎛⎫=π-+-+- ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．3分400200200cos 200sin3θθθ=π+400+---求导，得()200200sin 200cos f θθθ'=-+-，令()0f θ'=，则sin cos 1θθ-=，203θ≤≤π，解得2θπ=是唯一驻点．．．．．．．．．．．．．．．．．1分当02θπ<<时，()0f θ'<，函数()y f θ=严格减；当223θππ<<时，()0f θ'>，函数()y f θ=严格增．所以()y f θ=在2θπ=处取得最小值．．．．．．2分（需解释清楚为什么是最小的，否则扣1分）40020020065213(2π+400+ππ-⨯≈=-f （米）所以修建的总路长 ++EP PM PN 的最小值约为651米．．．．．．．．．．．．．．．．1分（3）（1）涉及到的设计方案总路径是2007653π+≈米，比起方案2显然不是最优（短）路径；．．．．．．．．．．．．．．．．2分（2）涉及到的设计方案显然相对于方案1是相对不便捷（不利于AB 段附近居民前往）．．．．．．．．．．．．．．．．．2分说明：可以从多个角度考虑，但以下两个指标是主要的衡量指标一修的路相对短，二修的路相对便于居民出行每个2分若学生自己有一个评价标准，并根据自己的标准并给予自圆其说适当给予评分譬如说：有的同学直接连接OC ，休息亭建立在OC 与 EA 的交点处，将EA 与QC 全部修好，这样更短4002006193π+≈米也相对便捷，这样可以给3分21．【解析】（1）因为椭圆C 的离心率是32当02b <<=，得1b =．．．．．．．．．．．．．．．．2分当2b >时，2b=，得4b =．．．．．．．．．．．．．．．．2分所以b 的值为1或4．（2）()121||||sin ||||21||||||||sin2TB TM BTM S TB TM f t S TA TN TA TN ATN ⋅⋅∠⋅===⋅⋅⋅∠．．．．．．．．．．．．．．．．1分(0)()(0)()-⋅-=-⋅-M N t x t t x t 12-∴=-M N S x tS x t．．．．．．．．．．．．．．．．1分由题意，直线AM 的斜率AM k 存在，直线BN 的斜率BN k 存在，1122-==-AM bk t t ，直线AM 的方程112=-+y x t，设(,)M M M x y ．2211214⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y x tx y 241∴=+M t x t ．．．．．．．．．．．．．．．．1分11322+==BN k t t ，直线BN 的方程312=-y x t ，设(,)N N N x y ．由2231214⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y x tx y 得21209=>+N t x t ．．．．．．．．．．．．．．．．．1分32223222439115123199--+++∴===-+-++t t t t t t t t t t t t t t ．．．．．．．．．．．．．．．．1分1∴=t ．．．．．．．．．．．．．．．．2分。
上海市奉贤区奉贤中学2024届高三下学期开学考试数学试题含答案解析
2024届奉贤中学高三（下）数学开学一､填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1.函数2()1f x x =-的定义域是________.2.函数y =2x+6从x =2到x =2.5的平均变化率是_________.3.若一个圆锥的母线长是底面半径的3倍，则该圆锥的侧面积是底面积的_________倍；4.已知两个单位向量a ，b满足4a b +=，则向量a ，b 的夹角为______．5.已知虚数1+2i 是方程20()x ax b a b R ++=∈、的一个根，则a b +=____6.下列命题中错误的是__．①将一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数后，均值与方差都不变；②在一组样本数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y （122,,,,nn x x x ≥L不全相等）的散点图中，若所有样本点(),(1,2,,)i i x y i n = 都在直线112y x =-+上，则这组样本数据的线性相关系数为12-；③在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，若由独立性检验知，在犯错误率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系．若某人吸烟，则他有99%的可能性患肺病．7.从1，2，3，…，15中，甲，乙两人各任取一数（不重复），已知甲取到的是5的倍数，则甲数大于乙数的概率是_______．8.在10202311x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为__________.（结果用数值表示）9.图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径6AB =，深度2MO =，信号处理中心F 位于焦点处，以顶点O 为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy ，若P 是该抛物线上一点，点15,28Q ⎛⎫⎪⎝⎭，则PF PQ+的最小值为__________．10.已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()114f x f x ++-=.若()00f =，且()f x 在[]0,1单调递增，则满足π()sin24xf x ⋅≥的x 的取值范围是__________.11.若函数()sin cos 1sin cos f x a x b x b x a x=+-+-(,R a b ∈)的最大值为11，则22a b +=___________.12.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，数列{}n a 满足12a =-，且32n n S a n =+，()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()2=f x f x -，则()2021f a =______．二､单选题（本大题共4题，满分20分）13.已知实数a 、b ，那么||||||a b a b +=-是0ab <的（）条件．A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要14.设两个正态分布2111()(0)N μσσ>，和2222()(0)N μσσ>，的密度函数图像如图所示．则有A .1212,μμσσ<<B.1212,μμσσ<>C.1212,μμσσ><D.1212,μμσσ>>15.在圆锥PO 中，已知高2PO =，底面圆的半径为4，M 为母线PB 的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为（）①圆的面积为4π；；③双曲线两渐近线的夹角正切值为34；④抛物线的焦点到准线的距离为455A.1个B.2个C.3个D.4个16.如图，正四棱锥P ABCD -的底面边长和高均为2，M 是侧棱PC 的中点，若过AM 作该正四棱锥的截面，分别交棱PB ､PD 于点E ､F (可与端点重合)，则四棱锥P AEMF -的体积的取值范围是（）A.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.41,3⎡⎤⎢⎣⎦D.8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦三､解答题（本大题共有5题，满分76分）17.在三棱锥A BCD -中，2AB AD BD ===，BC DC ==，2AC =.（1）求证：BD AC ⊥；（2）若P 为AC 上一点，且34AP AC =，求直线BP 与平面ACD 所成角的正弦值.18.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，()2,m a c b =+ ，()cos ,cos n B C =，0m n ⋅=.（1）求角B 大小；（2）设()()2π2cos sin 2sin sin 2sin cos cos 3f x x x x B x x A C ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭，当2,63ππx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最小值及相应的x .19.一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g ）.（1）设X 表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求X 的分布列和数学期望；（2）实验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（i ）求40只小鼠体重的增加量的中位数m ，再分别统计两样本中小于m 与不小于的数据的个数，完成如下列联表：m<m≥对照组实验组（ii ）根据（i ）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异．附：()()()()22(),n ad bc K a b c d a c b d -=++++0k 0.1000.0500.010()20P K k ≥ 2.7063.8416.63520.已知点12F F 、为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线于点M ，且121230,MF F MF F ∠=︒△的面积为.圆O 的方程是222x y r +=.（1）求双曲线的方程；（2）过双曲线上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为12P P 、，求12PP PP ⋅的值；（3）过圆O 上任意一点Q 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A B 、两点，AB 中点为N ，若||2||AB ON =恒成立，试确定圆O 半径r .21.已知()f x 是定义在[],a b 上的函数，如果存在常数0M >，对区间[],a b 的任意划分：011n n a x x x x b -=<<<<=L ，和式()()11ni i i f x f x M -=-≤∑恒成立，则称()f x 为[],a b 上的“绝对差有界函数”，注：121nin i aa a a ==+++∑ .（1）求证：函数()sin cos f x x x =+在,02p轾-犏犏臌上是“绝对差有界函数”；（2）记集合(){|A f x =存在常数0k >，对任意的[]12,,x x a b ∈，有()()1212f x f x k x x -≤-成立.求证：集合A 中的任意函数()f x 为“绝对差有界函数”；（3）求证：函数()cos,01{20,0x x f x xx π<≤==不是[]0,1上的“绝对差有界函数”.2024届奉贤中学高三（下）数学开学一､填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1.函数()1f x x =-的定义域是________.【答案】{|2x x - 且1}x ≠【解析】【分析】根据分明不为零以及偶次根式下被开方数非负列不等式求解.【详解】由题意，要使函数有意义，则1020x x -≠⎧⎨+≥⎩，解得，1x ≠且2x ≥-；故函数的定义域为：{|2x x - 且1}x ≠.故答案为：{|2x x - 且1}x ≠.【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.2.函数y =2x+6从x =2到x =2.5的平均变化率是_________.【答案】2【解析】【分析】计算自变量的增量 2.52x ∆=-与函数值的增量(2.5)(2)y f f ∆=-，可得平均变化率y x∆∆.【详解】函数y=2x+6从x=2到x=2.5的平均变化率是()2 2.56226ΔΔ 2.52y x ⨯+-⨯+=-=2.故答案为2.【点睛】本题考查平均变化率的概念、计算，属于简单题.3.若一个圆锥的母线长是底面半径的3倍，则该圆锥的侧面积是底面积的_________倍；【答案】3；【解析】【分析】分别计算侧面积和底面积后再比较．【详解】由题意3l r =，23S rl r ππ==侧，2S r π=底，∴3S S 侧底＝．故答案为3．【点睛】本题考查圆锥的侧面积，掌握侧面积计算公式是解题关键．属于基础题．4.已知两个单位向量a ，b 满足4a b += ，则向量a ，b 的夹角为______．【答案】23π##120 【解析】【分析】首先根据平面向量的运算律求出a b ⋅，再根据夹角公式计算可得；【详解】解：由单位向量a ，b满足4a b += 2413a b += ，所以2216813a a b b +⋅+= ，12a b ⋅=- ，所以1cos ,2a b a b a b ⋅==-⋅，又[],0,π∈ a b ,所以2,3a b π= .故答案为：23π5.已知虚数1+2i 是方程20()x ax b a b R ++=∈、的一个根，则a b +=____【答案】3【解析】【分析】根据实系数的一元二次方程20x ax b ++=的两个虚数根互为共轭复数，再利用根与系数的关系，即可求出a 、b 的值．【详解】虚数12i +是方程20x ax b ++=的一个根，∴共轭虚数12i -也是此方程的一个根，12()(1212)2a x x i i ∴=-+=-++-=-；12(12)(12)5b x x i i ==+-=；253a b ∴+=-+=．故答案为：3．【点睛】本题考查了实系数的一元二次方程两个虚数根互为共轭复数以及根与系数关系的应用问题，是基础题．6.下列命题中错误的是__．①将一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数后，均值与方差都不变；②在一组样本数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y （122,,,,n n x x x ≥L 不全相等）的散点图中，若所有样本点(),(1,2,,)i i x y i n = 都在直线112y x =-+上，则这组样本数据的线性相关系数为12-；③在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，若由独立性检验知，在犯错误率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系．若某人吸烟，则他有99%的可能性患肺病．【答案】①②③【解析】【分析】根据均值和方差的性质，相关系数的特点，独立性检验的相关知识，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对于①，将一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数后，均值改变，方差不变，所以①错误；对于②，在散点图中，若所有样本点都在直线112y x=-+上，则这组样本数据的线性相关系数为1-，所以②错误；对于③，由独立性检验得，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指有1%的可能性使推断出现错误，所以③错误．综上，错误的命题序号是①②③．故答案为：①②③.7.从1，2，3，…，15中，甲，乙两人各任取一数（不重复），已知甲取到的是5的倍数，则甲数大于乙数的概率是_______．【答案】9 14【解析】【分析】先求出基本事件总数，再求出甲数a大于乙数b包含的基本事件(),a b个数，再由古典概型的概率公式求解.【详解】从1，2，3，…，15中，甲、乙两人各取一数(不重复)，甲取到的数是5的倍数，则基本事件总数31442n=⨯=，则甲数a大于乙数b包含的基本事件(),a b有：()(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(10,1),(10,2),10,3，(10,4),(10,5),(10,6),(10,7),(10,8),(10,9),(15,1)，(15,2),(15,3),(15,4),(15,(15,5),(7),(15,6),15,8)，()(15,9),(15,10),(15,11),(15,12),(15,13),15,14，共27个，∴甲数大于乙数的概率2794214 P==．故答案为：9 148.在10202311xx⎛⎫++⎪⎝⎭的展开式中，2x项的系数为__________.（结果用数值表示）【答案】45【解析】【分析】由二项式展开得2x 项只能在10(1)x +展开式中，进一步结合二项式系数即可求解.【详解】()101010191020232023202311111(1)C (1)x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，2x ∴项只能在10(1)x +展开式中，即为8210C x ，系数为810120109452C C 1⨯===⨯.故选：45.9.图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径6AB =，深度2MO =，信号处理中心F 位于焦点处，以顶点O 为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy ，若P 是该抛物线上一点，点15,28Q ⎛⎫⎪⎝⎭，则PF PQ +的最小值为__________．【答案】3【解析】【分析】由题意可知点()2,3在抛物线上，利用待定系数法求抛物线方程，结合抛物线定义求PF PQ +的最小值.【详解】设抛物线的方程为()220y px p =>，因为6AB =，2MO =，所以点()2,3A 在抛物线上，所以94p =，故94p =，所以抛物线的方程为292y x =，所以抛物线的焦点F 9,08⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为98x =-，在方程292y x =中取158x =可得2135416y =>，所以点Q 在抛物线内，过点P 作PP '与准线垂直，P '为垂足，点Q 作QQ '与准线垂直，Q '为垂足，则PF PP '=，所以159388PF PQ PP PQ QQ ''+=+≥=+=，当且仅当直线PQ 与准线垂直时等号成立，所以PF PQ +的最小值为3.故答案为：3.10.已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()114f x f x ++-=.若()00f =，且()f x 在[]0,1单调递增，则满足π()sin 4x f x ⋅≥的x 的取值范围是__________.【答案】[]18,38,Z k k k ++∈【解析】【分析】由题意可知，()f x 是周期为4的周期函数，πsin4y x =的最小正周期为8，结合()f x 与πsin 4y x =的单调性，易知在一个周期内，由π()sin 4xf x ⋅≥，可得[]1,3x ∈，再结合周期求出范围即可.【详解】因为()f x 是偶函数，所以()()f x f x -=，由()()114f x f x ++-=，可得()f x 关于()1,2对称，因为()()114f x f x ++-=，所以()()13134f x f x ⎡⎤⎡⎤+++-+=⎣⎦⎣⎦，则()()()()41313424f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=++=--++=--++⎣⎦⎣⎦⎣⎦，因为()f x 是偶函数，所以()()22f x f x ⎡⎤--+=-+⎣⎦，因为()()114f x f x ++-=，所以()()11114f x f x ⎡⎤⎡⎤+++-+=⎣⎦⎣⎦，则()()()()()()42411411f x f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=-++=-+++=-+=-=⎣⎦⎣⎦，所以函数()f x 是周期为4的周期函数.因为()f x 是偶函数，且在[]0,1单调递增，所以()f x 在[]1,0-单调递减，令()()114f x f x ++-=中0x =，则()()114f f +=，则()12f =，又因为()f x 关于()1,2对称，所以()f x 在[]1,2上单调递增，[]2,3上单调递减，结合函数()f x 是周期为4的周期函数，综上可得()f x 在[]0,2，[]4,6上单调递增，[]2,4，[]6,8上单调递减.因为πsin 4y x =的最小正周期为2π8π4T ==，结合πsin 4y x =图象可知，πsin4y x =在[]0,2，[]6,8上单调递增，在[]2,6上单调递减，令()()114f x f x ++-=中1x =，则()()204f f +=，则()24f =，当π1,sin42x y ===，又()12f =，所以()π1sin 4f ⋅=，当3π23,sin42x y ===，又()()()3112f f f =-==，所以()3π3sin 4f ⋅=，所以当[]0,8x ∈时，π()sin 4xf x ⋅≥[]1,3x ∈.又因为()f x 与πsin 4y x =均为周期函数，且8均为其周期，所以π()sin4xf x ⋅≥x 的取值范围是[]18,38,Z k k k ++∈.故答案为：[]18,38,Z k k k ++∈.【点睛】本题解题的关键是求出()y f x =与πsin4y x =的周期性，由()π1sin 4f ⋅=，()3π3sin4f ⋅=，结合函数的单调性和周期性求解即可.11.若函数()sin cos 1sin cos f x a x b x b x a x =+-+-(,R a b ∈)的最大值为11，则22a b +=___________.【答案】50【解析】【分析】根据绝对值的几何意义圆的三角代换即可求解.【详解】())1)f x x x ϕϕ=+-++的几何意义为：以原点为为半径的圆周上点到1y =与到y 轴距离之和的最大值为11，故111=.所以2250a b +=.故答案为：50.12.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，数列{}n a 满足12a =-，且32n n S a n =+，()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()2=f x f x -，则()2021f a =______．【答案】0【解析】【分析】利用数列通项公式与前n 项和公式的关系求通项的递推关系，再构造等比数列求出{}n a 通项公式.根据()()2=f x f x -和f (x )是R 上奇函数可得f (x )是周期为4的函数，且f (0)＝f (2)＝0.()20212021202131411a =-+=--+，将()202141-用二项式定理展开，其中能被4整除的部分在计算()2021f a 时即可“去掉”，由此即可求出答案.【详解】32n n S a n =+ ，()113122n n a n S n --∴=+-≥，两式相减得，133122n n n a a a -=-+，即()1311n n a a -=--，1131n n a a --∴=-，即数列{}1n a -是以3-为首项，3为公比的等比数列，11333n n n a -∴-=-⋅=-，31n n a ∴=-+.()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()2=f x f x -，∴令2x =，则()()200f f ==，又()()2=f x f x -＝－f (－x )，∴f (2＋x )＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－f (x ＋2)＝－[－f (－x )]＝f (x )，即f (x ＋4)＝f (x )，即()f x 是以4为周期的周期函数.()20212021202131411a =-+=--+ ()()()()120202021020211202020201202102021202120212021C 41C 41C 41C 411⎡⎤=-⋅-+⋅-++⋅-+⋅-+⎣⎦()()()012020020211202020201202120212021C 41C 41C 412⎡⎤=-⋅-+⋅-+⋅-+⎣⎦…+其中()()()12020020211202020201202120212021C 41C 41C 41⋅-+⋅-+⋅-…+能被4整除，()()()202120213120f a f f ∴=-+==.故答案为：0．【点睛】本题综合考察了数列求通项公式的两个方法：利用通项公式和前n 项和公式的关系，以及构造等比数列，考察了函数周期的求法，还考查了利用二项式定理处理整除问题，属于难题.二､单选题（本大题共4题，满分20分）13.已知实数a 、b ，那么||||||a b a b +=-是0ab <的（）条件．A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】D 【解析】【分析】等式两边平方结合反例即可判断.【详解】因为2222||||||2|2|||0a b a b a ab b a ab b ab ab ab +=-⇒++=-+⇒=-⇒≤，所以必要性不成立；当1,2a b ==-时，满足0ab <，但||||||a b a b +≠-，所以充分性不成立；所以||||||a b a b +=-是0ab <的既不充分也不必要条件.故选:D ．14.设两个正态分布2111()(0)N μσσ>，和2222()(0)N μσσ>，的密度函数图像如图所示．则有A.1212,μμσσ<<B.1212,μμσσ<>C.1212,μμσσ><D.1212,μμσσ>>【答案】A 【解析】【详解】根据正态分布函数的性质：正态分布曲线是一条关于对称，在处取得最大值的连续钟形曲线；越大，曲线的最高点越底且弯曲较平缓；反过来，越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭，选A ．15.在圆锥PO 中，已知高2PO =，底面圆的半径为4，M 为母线PB 的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为（）①圆的面积为4π；；③双曲线两渐近线的夹角正切值为34；④抛物线的焦点到准线的距离为455A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B 【解析】【分析】对于①，利用圆锥的几何性质确定圆的半径，即可求得圆的面积；对于②，结合圆锥的轴截面可求得椭圆的长轴长；对于③，建立平面直角坐标系，设双曲线方程，确定双曲线上的点的坐标，即可求得双曲线方程，进而求得双曲线两渐近线的夹角正切值；对于④，建立平面直角坐标系，设抛物线方程，确定抛物线上的点的坐标，即可求得参数，由此可判断出答案.【详解】对于①，M 为母线PB 的中点，因此截面圆的半径为底面圆的半径的12，即截面圆半径为2，则圆的面积为4π，故①正确；对于②，如图，在圆锥的轴截面PAB 中，作MC AB ⊥,垂足为C ，由题意可得M 为母线PB 的中点，则11,4262MC PO AC ===+=,故椭圆的长轴长为AM ===,②正确；对于③，如图，在与平面PAB 垂直且过点M 的平面内，建立平面直角坐标系，坐标原点与点P 到底面距离相等，则点M 坐标为(1,0)，双曲线与底面圆的一个交点为D ，其坐标为(2,，则设双曲线方程为22221,(0,0)x y a b a b-=>>，则1a =，将(2,代入双曲线方程，得224121,41b b-=∴=，设双曲线的渐近线b y x a =与x 轴的夹角为θ，则tan 2baθ==，故双曲线两渐近线的夹角正切值为224tan 2||143θ⨯==-，③错误；对于④，如图，建立平面直角坐标系，设抛物线与底面圆的一个交点为H ，则12OM PA ===4)H ,设抛物线方程为22,(0)y px p =>，则285425p p =∴=，即抛物线的焦点到准线的距离为5，④错误，故正确的命题有2个，故选：B16.如图，正四棱锥P ABCD -的底面边长和高均为2，M 是侧棱PC 的中点，若过AM 作该正四棱锥的截面，分别交棱PB ､PD 于点E ､F (可与端点重合)，则四棱锥P AEMF -的体积的取值范围是（）A.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.41,3⎡⎤⎢⎣⎦D.8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】设,PE PFx y PB PD==,则,PE xPB PF yPD ==，然后利用等体积法由P AEMF P AEF P EMF V V V ---=+()223P AFM P AEMV V xy x y --=+==+，得到331y x y =-，再消元得到223331P AEMF y V y -=⋅-，令31y t -=，利用对勾函数的性质求解.【详解】设,PE PFx y PB PD==,则,PE xPB PF yPD ==所以412,323P AEF P ABD P MEF P BCD V xy V xy V xyV xy ----=⋅===，1212,2323P AFM P ACD P AEM P ABC V y V y V x V x ----=⋅==⋅=，()223P AEMF P AEF P EMF P AFM P AEM V V V V V xy x y -----=+=+==+，所以3x y xy +=，则331yx y =-，令31y t -=，因为1,12y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()221311412,319992t y t y t t +⎛⎫⎡⎤==++∈ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦，所以2238,13319P AEMF y V y -⎡⎤=⋅∈⎢⎥-⎣⎦，故选：D【点睛】方法点睛：求解棱锥的体积时，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以便于求解．三､解答题（本大题共有5题，满分76分）17.在三棱锥A BCD -中，2AB AD BD ===，BC DC ==，2AC =.（1）求证：BD AC ⊥；（2）若P 为AC 上一点，且34AP AC =，求直线BP 与平面ACD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）437.【解析】【分析】（1）取BD 中点O ，连接AO ，OC ，证明BD ⊥平面AOC 即可；（2）首先证明AO ⊥平面BDC ，然后以射线OB ，OC ，OD 为x ，y ，z 正半轴建系，然后算出BP和平面ACD 的法向量即可得到答案.【详解】（1）取BD 中点O ，连接AO ，OC ，因为AB AD =，BC DC =，所以BD AO ⊥，BD OC ⊥，又因为AO OC O = ，所以BD ⊥平面AOC ，即BD AC ⊥.（2）由（1）得，BD ⊥平面AOC ，又因为BD ⊂平面BCD ，所以平面AOC ⊥平面BDC ，易得AO =，1OC =，所以222AO OC AC +=，即AO OC ⊥，又因为平面AOC I 平面BDC OC =，所以AO ⊥平面BDC ，如图所示，以射线OB ，OC ，OD 为x ，y ，z正半轴建系，(A ，()1,0,0B ，()0,1,0C ，()1,0,0D -，30,,44P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，31,44BP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，DA =，(1,1,0)DC = ，设(,,)n x y z = 为平面ADC一个法向量，则有0000n DA x n DC x y ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩，取(n =-，设θ为直线BP 与平面ACD 所成角，则9334344sin 7n BP n BPθ++⋅===⋅.即直线BP 与平面ACD所成角的正弦值为7.18.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，()2,m a c b =+ ，()cos ,cos n B C =，0m n ⋅=.（1）求角B 大小；（2）设()()2π2cos sin 2sin sin 2sin cos cos 3f x x x x B x x A C ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭，当2,63ππx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最小值及相应的x .【答案】（1）2π3B =（2）当7π12x =时，()f x 有最小值2-.【解析】【分析】（1）利用向量垂直的充要条件和正弦定理即可求解；（2）先利用两角和的正弦公式及余弦的二倍角公式化简，再用辅助角公式化为()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最后利用三角函数的性质求出最小值及其取得最小值时的x 值.【小问1详解】由已知条件得()2cos cos 0m n a c B b C ⋅=++=，由正弦定理得()2sin sin cos sin cos 0A C B B C ++=，即2sin cos sin cos sin cos 0A B C B B C ++=，()2sin cos sin =0A B B C ++,则2sin cos sin 0A B A +=，∵sin 0A ≠，∴1cos 2B =-，又∵()0,πB ∈,∴2π3B =;【小问2详解】()()2π2cos sin 2sin sin 2sin cos cos 3f x x x x B x x A C ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭212cos sin cos sin cos22x x x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭222sin cos x x x x =+-sin 22x x =+π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,∵2,63ππx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,∴π2π5π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎣⎦,π22sin 23x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，则()f x 的最小值2-，其中π3π232x +=，即当7π12x =时，()f x 有最小值2-.19.一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g ）.（1）设X 表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求X 的分布列和数学期望；（2）实验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（i ）求40只小鼠体重的增加量的中位数m ，再分别统计两样本中小于m 与不小于的数据的个数，完成如下列联表：m<m≥对照组实验组（ii ）根据（i ）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异．附：()()()()22(),n ad bc K a b c d a c b d -=++++0k 0.1000.0500.010()20P K k ≥ 2.7063.8416.635【答案】（1）分布列见解析，()1E X=（2）（i）23.4m=；列联表见解析，（ii）能【解析】【分析】（1）利用超几何分布的知识即可求得分布列及数学期望；（2）（i）根据中位数的定义即可求得23.4m=，从而求得列联表；（ii）利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解.【小问1详解】依题意，X的可能取值为0,1,2，则022020240C C19(0)C78P X===，12022401C C20(1)C39P X===，202020240C C19(2)C78P X===，所以X的分布列为：X012P 197820391978故192019 ()0121783978E X=⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】（i）依题意，可知这40只小白鼠体重增量的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，观察数据可得第20位为23.2，第21位数据为23.6，所以23.223.623.42m+==，故列联表为：m<m≥合计对照组61420实验组14620合计202040（ii ）由（i ）可得，2240(661414) 6.400 3.84120202020K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以能有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异.20.已知点12F F 、为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线于点M ，且121230,MF F MF F ∠=︒△的面积为.圆O 的方程是222x y r +=.（1）求双曲线的方程；（2）过双曲线上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为12P P 、，求12PP PP ⋅的值；（3）过圆O 上任意一点Q 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A B 、两点，AB 中点为N ，若||2||AB ON =恒成立，试确定圆O 半径r .【答案】（1）22124x y -=；（2）49；（3）2r =.【解析】【分析】（1）由面积可求c =，再根据双曲线的定义可求a ，从而可求双曲线的方程；（2）求出双曲线的渐近线方程，设两渐近线的夹角为θ，根据到角公式可求tan θ与cos θ，根据点到直线的距离公式可求12,PP PP ，根据平面向量的数量积运算结合00(,)P x y 在双曲线22124x y -=上即可求解；（3）由题意可得OA OB ⊥，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，当l 的斜率存在时，设直线:l y kx b =+，与双曲线方程联立，根据韦达定理及0OA OB ⋅=可得2244b k =+，根据点到直线的距离公式可求2r =，当l 的斜率不存在时亦可求得.【小问1详解】因为121230,MF F MF F ∠=︒△的面积为2MF =所以122c ⋅=c =22a ==，所以2224a b c a ==-=，故双曲线的方程为22124x y -=.【小问2详解】由题意得两条渐近线分别为120;0l y l y -=+=，设双曲线C 上的点00(,)P x y ，设两渐近线的夹角为θ，则tan θ==，得1cos 3θ==．则点P到两条渐近线的距离分别为12PP PP ==，因为00(,)P x y 在双曲线22124x y -=上，所以220024x y -=，又1cos 3θ=，所以22001221cos 3394x y PP PP θ-⋅===.【小问3详解】AB 中点为N ，若||2||AB ON =，则OA OB ⊥．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，当l 的斜率存在时，设直线:l y kx b =+，由22124x y y kx b ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩得()2222240k x kbx b ----=，所以212122224,22kb b x x x x k k --+==--，所以()()12121212OA OB x x y y x x kx b kx b =⋅=++++()()22121201k x x kb x x b =++++=，所以()22222421022b kb k kb b k k--+⋅+⋅+=--，所以()()()22222214220kbk b k b +--++-=，所以2224420b k b ---+=，所以2244b k =+,2=.当l 的斜率不存在时，直线2x =±，得2y =±，也满足OA OB ⊥，综上，圆O 半径2r =．【点睛】解决直线与双曲线的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、双曲线的条件；(2)强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21.已知()f x 是定义在[],a b 上的函数，如果存在常数0M >，对区间[],a b 的任意划分：011n n a x x x x b -=<<<<=L ，和式()()11ni i i f x f x M -=-≤∑恒成立，则称()f x 为[],a b 上的“绝对差有界函数”，注：121nin i aa a a ==+++∑ .（1）求证：函数()sin cos f x x x =+在,02p轾-犏犏臌上是“绝对差有界函数”；（2）记集合(){|A f x =存在常数0k >，对任意的[]12,,x x a b ∈，有()()1212f x f x k x x -≤-成立.求证：集合A 中的任意函数()f x 为“绝对差有界函数”；（3）求证：函数()cos,01{20,0x x f x xx π<≤==不是[]0,1上的“绝对差有界函数”.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）将()f x整理为4x π⎛⎫+⎪⎝⎭，可知()f x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；可知()()1i i f x f x +<，从而可将()()11ni i i f x f x -=-∑化简为()022f f π⎛⎫--= ⎪⎝⎭，从而可知()()112nii i f x f x -=-≤∑，得到结论；（2）取()f x A ∈，根据()()1212f x f x k x x -≤-，可得()()()1111nnii ii i i f x f x k x xk b a --==-≤-=-∑∑，从而可取()M k b a =-得到结论；（3）取一个划分：111012212n n <<<⋯<<-，可将()()11n i i i f x f x -=-∑整理为11ni i=∑；根据放缩可知只要n 足够大，可使得()()11nii i f x f x M -=->∑，从而得到结论.【详解】（1）()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时，,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦()f x \在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为单调递增函数∴当1i i x x +<，0,1,2,,1i n =⋅⋅⋅-时，有()()1i i f x f x +<，0,1,2,,1i n =⋅⋅⋅-所以()()()()()1111022nni i i i i i f x f x f x f x f f π--==⎛⎫-=-=--=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭∑∑从而对区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的任意划分：01102n n x x x x π--=<<<<=L 存在2M =，使得()()112nii i f x f x -=-≤∑成立综上，函数()sin cos f x x x =+在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是“绝对差有界函数”（2）证明：任取()f x A∈从而对区间[],a b 的任意划分：011n n a x x x x b -=<<⋯<<=和式()()()1111n nii ii i i f x f x k x xk b a --==-≤-=-∑∑成立则可取()Mk b a =-所以集合A 中的任意函数()f x 为“绝对差有界函数”（3）取区间[]0,1的一个划分：111012212n n <<<⋯<<-，*n ∈N 则有：()()()211211211212cos 0cos cos cos cos 2221222222ni i i n n n f x f x n n n πππππ-=--=-+-+⋅⋅⋅+--∑1481111111111111244881616222ni i=↑↑=>+++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅∑所以对任意常数0M >，只要n 足够大，就有区间[]0,1的一个划分：111012212n n <<<⋯<<-满足()()11ni i i f x f x M-=->∑所以函数()cos ,0120,0x x f x xx π⎧<≤⎪=⎨⎪=⎩不是[]0,1的“绝对差有界函数”【点睛】本题考查与新定义有关的证明问题，关键是能够理解新定义的具体含义，进而可通过单调性、不等关系、放缩的方式把关系式进行化简，从而可求得临界值的具体取值，再根据取值确认函数是否符合新定义，属于难题.。
上海市奉贤区2023-2024学年高三下学期高三三模 数学试卷【含答案】
2024年奉贤高三数学模拟试卷一、填空题（本大题满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，考生应在答题纸相应位置直接填写结果）1．复数32i +的虚部是．2．函数sin 2cos y x x =+的最小正周期为.3．若1a b +=，则ab 有最大值为．4．若1lg 2,lg7a b ==，则lg98=．（结果用,a b 的代数式表示）5．为了研究某班学生的脚步x （单位厘米）和身高y 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆ470yx =+．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为．6．若数列{}n a 满足对任意整数n 有212n i i a n n ==-∑成立，则在该数列中小于100的项一共有项．7．若函数22e 1,01,0x a x x x y x bx c x ⎧⋅-+->=⎨++-<⎩为奇函数，则a b c ++=．8．ABC 中，6BC =，若BA 在BC 上的投影为3BC．则CA CB ⋅=．9．如图，已知三角形OAB 为直角三角形（O 为直角），分别连接点B 与线段OA 的n 等分点1A ，2A ，…，1n A -得到n 个三角形依次为1 ，2 ，…，n △，将OAB 绕看OB 所在直线旋转一周，记1 ，2 ，…，n △旋转得到的几何体的体积依次为1V ，2V ，…，n V ，若11,49n V V ==，则三角形OAB 旋转得到的几何体的体积V =．10．已知2()cos f x x x =-，若非零整数,a c 使得等式()()''()()f ax b f cx d +=+恒成立，则a bc d+得所有可能得取值为．11．若曲线222:1(0)x y x aΓ-=>得右顶点A ，若对线段OA 上任意一点P ，端点除外，在Γ上存在关于x 轴对称得两点Q 、R 使得三角形PQR 为等边三角形，则正数a 得取值范围是．12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，1E ，2E ，…，k E 为正方形ABCD 边上的k 个两两不同的点．若对任意的点i E ，存在点(,{1,2,,},)j E i j k i j ∈≠ .使得直线1A A 与平面1i j A E E 以及平面1i j C E E 所成角大小均为π6，则正整数k 的最大值为．二、选择题（本大题满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑）13．在ABC 中，“π6A =”是“1sin 2A =”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分永件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件14．如果A B 分别是,A B 的对立事件，下列选项中不能判断件A 与事件B 相互独立的是（）A ．()()()P AB P A P B ⋂=⋅B ．(()(1())P A B P A P B =⋅-C ．(|)()P B A P A =D ．(|)()P B A P B =15．有一组样本数据1x ，2x ，…，2024x ，其中1x 是最小值，2024x 是最大值，则下列说法正确的是（）A ．232023,,,x x x 的中位数一定等于122024,,,x x x 的中位数；B ．232023,,,x x x 的平均数一定等于122024,,,x x x 的平均数；C ．232023,,,x x x 的标准差一定不小于122024,,,x x x 的标准差；D ．232023,,,x x x 的30百分位数一定不等于122024,,,x x x 的30百分位数．16．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，关于正整数n 的方程1n n S S a +⋅=记为F ，命题p ：对于任意的R a ∈，存在等差数列{}n a 使得F 有解；命题q ：对于任意的R a ∈，存在等比数列{}n b 使得F 有解；则下列说法中正确的是（）A ．命题p 为真命题，命题q 为假命题；B ．命题p 为假命题，命题q 为真命题；C ．命题p 为假命题，命题q 为假命题；D ．命题p 为真命题，命题q 为真命题；三、解答题（本大题78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17．如图，四棱锥P ABCD -的底面是梯形，//AD BC ，AB BC ⊥，1AB BC ==，PA ⊥平面ABCD ，CD PC ⊥．(1)求证：CD ⊥平面PAC (2)若二面角P CD A --的大小为π3，求PD 与平面PAC 所成的角的大小．（结果用反三角函数值表示）18．已知三角形ABC 的三个角对应的边分别为a 、b 、c (1)求证：存在以sin ,sin ,sin A B C 为三边的三角形；(2)若以sin 2,sin 2,sin 2A B C 为三边的三角形为等腰直角三角形，求三角形ABC 的最小角．19．在刚刚结束的杭州亚运会上，中国羽毛球队延续了传统优势项目，以4金3银2铜的成绩傲视亚洲．在旧制的羽毛球赛中，只有发球方赢得这一球才可以得分，即如果发球方在此回合的争夺中输球，则双方均不得分．但发球方输掉此回合后，下一回合改为对方发球．(1)在旧制羽毛球赛中，中国队某运动员每一回合比赛赢球的概率均为34，且各回合相互独立．若第一回合该中国队运动员发球，求第二回合比赛有运动员得分的概率；(2)羽毛球比赛中，先获得第一分的队员往往会更加占据心理上的优势，给出以下假设：假设1：各回合比赛相互独立；假设2：比赛双方运动员甲和乙的实力相当，即每回合比赛中甲获胜的概率均为12；求第一回合发球者在整场比赛中先得第一分的概率，并说明旧制是否合理？20．如图1，已知椭圆Γ的方程为()222210x y a b a b +=>>和椭圆22:142x y τ+=，其中,A B 分别是椭圆τ的左右顶点．(1)若,A B 恰好为椭圆Γ的两个焦点，椭圆Γ和椭圆τ有相同的离心率，求椭圆Γ的方程；(2)如图2，若椭圆Γ的方程为22184x y +=.P 是椭圆τ上一点，射线,AP BP 分别交椭圆Γ于,M N ，连接,AN BM （,,P M N 均在x 轴上方）.求证：,NB MA 斜率之积NB MA k k ⋅为定值，求出这个定值；(3)在（2）的条件下，若//AN BM ，且两条平行线的斜率为()0k k >，求正数k 的值．21．若定义在R 上的函数()y f x =和()y g x =分别存在导函数()f x '和()g x '．且对任意x 均有()()f x g x '≥'，则称函数()y f x =是函数()y g x =的“导控函数”．我们将满足方程()()f xg x '='的0x 称为“导控点”．(1)试问函数y x =是否为函数sin y x =的“导控函数”？(2)若函数32813y x x =++是函数3213y x bx cx =++的“导控函数”，且函数3213y x bx cx =++是函数24y x =的“导控函数”，求出所有的“导控点”；(3)若()e e x x p x k -=+，函数()y q x =为偶函数，函数()y p x =是函数()y q x =的“导控函数”，求证：“1k =”的充要条件是“存在常数c 使得()()p x q x c -=恒成立”．1．2【分析】根据复数虚部的定义即可得解【详解】复数32i +的虚部是2.故答案为：2.2．2π【分析】利用辅助角公式化一，再根据三角函数的周期性即可得解.【详解】()sin 2cos 5y x x x ϕ=+=+，其中tan 2ϕ=，所以函数sin 2cos y x x =+的最小正周期为2π.故答案为：2π.3．14##0.25【分析】根据基本不等式即可求解.【详解】因为1a b +=，显然当,0a b >时，ab 取得最大值，所以1a b +=≥当且仅当a b =时等号成立，所以104ab <≤，所以ab 有最大值为14.故答案为：14.4．2a b -##2b a-+【分析】根据对数的运算性质化简即可.【详解】11lg98lg 2lg 49lg 2lg lg 22lg 2497a b =+=-=-=-.故答案为：2a b -.5．166【分析】将24x =代入回归直线方程即可得解.【详解】由题意，令24x =，则424ˆ70166y=⨯+=，即该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为166厘米.故答案为：166.6．25【分析】根据n a 与n S 的关系求出数列{}n a 的通项，再令100n a <即可得解.【详解】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则22n S n n =-，当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()()221221143n n n a S S n n n n n -=-=---+-=-，当1n =时，上式也成立，所以43n a n =-，令43100n a n =-<，则1034n <，所以在该数列中小于100的项一共有25项.故答案为：25.7．3【分析】利用函数是奇函数得到()()f x f x -=-，然后利用方程求解,,a b c ，即可得解．【详解】因为函数()22e 1,01,0x a x x x y f x x bx c x ⎧⋅-+->==⎨++-<⎩为奇函数，所以()()f x f x -=-，当0x >时，则0x -<，则()()2221e 1e 1x x f x x x bx x c a x a x ⋅--=-+-+-=+---=⋅+，即()e 120xa b x c ⋅+-+-=，所以01020a b c =⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，解得012a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以3a b c ++=.故答案为：3.8．24【分析】作AD BC ⊥，根据题意，求得13BD BC = ，得到23CD CB = ，结合223CA CB CB ⋅= ，即可求解.【详解】如图所示，过点A 作AD BC ⊥于点D ，因为向量BA 在BC 上的投影为3BC ，可得13BD BC = ，所以23CD CB = ，又因为6BC =，则22223624333CA CB CB CB CB ⋅=⋅==⨯= .故答案为：24.9．625【分析】设OA a =，OB b =，211π13a V b n ⎛⎫== ⎪⎝⎭，1圆锥--=-n n B OA V V V ，两式相除求出n ，再由11V =可得2πba ，再计算三角形OAB 旋转得到的几何体的体积即可.【详解】设OA a =，OB b =，则221211ππ133a ba V b n n ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，①()222221211111πππ333n n B OA n n n V V V a b a b ba n n -----⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭圆锥22121π493-==n ba n ，②②÷①得25n =，所以2121π1325==ba V ，可得2π1875=ba ，则三角形OAB 旋转得到的几何体的体积211π187562533==⨯=V a b .故答案为：625.10．2±【分析】根据复合函数的求导公式求导，然后根据()()''()()f ax b f cx d +=+化简整理即可得出答案.【详解】由2()cos f x x x =-，得()()()()'2sin f ax b a ax b ax b ⎡⎤+=+++⎣⎦，()()()()'2sin f cx d c cx d cx d ⎡⎤+=+++⎣⎦，因为非零整数,a c 使得等式()()''()()f ax b f cx d +=+恒成立，所以()()2222sin 22sin a x ab a ax b c x cd c cx d +++=+++恒成立，所以有2222a c =，所以=±a c ，若a c =，则()()sin sin 22a ax b a ax d ad ab +-+=-，所以b d =，此时2a bc d+=，若a c =-，则()()sin sin 22a ax b a cx d ad ab ++-+=--，即()()sin sin 22a ax b a cx d ad ab +--+=--，所以=-b d ，此时2a bc d+=-，综上所述，2a bc d+=±.故答案为：2±.11．解.【详解】由任意点P 线段OA 上，端点除外，在Γ上存在关于x 轴对称得两点,Q R 使得PQR 为等边三角形，即存在点Q 使得30QPx ∠= ，所以存在点Q 使得30QOx ∠< ，由双曲线222:1(0)x y x aΓ-=>的其中一条渐近线方程为1y x a =，则满足1y x a =的斜率大于或等于3，即133a ≥，所以a ≤又由0a >，所以实数a 的取值范围为.故答案为：.12．8【分析】先确定当线1A A 与平面1i j A E E 所成角大小均为π6时，i E ，j E 满足的条件，同理当直线1A A 与平面1i j C E E 所成角大小均为π6时，i E ，j E 满足的条件，再考虑如何作出i E ，j E 即可.【详解】如图：设i E ，j E 为正方形ABCD 的两个点，且满足直线1A A 与平面1i j A E E 所成的角为π6，过A 作i j AH E E ⊥于H ，连接1A H ，则1AA H ∠为线1A A 与平面1i j A E E 所成的角，是π6.所以1πtan36AH AA =⋅=所以在平面ABCD 内，以A 3H 为圆上一点，过H 作圆的切线，切线与正方形ABCD 边的交点即为i E ，j E .又11AA CC ∥，所以1CC 与平面1i j C E E 所成的角为π6，所以以C 3该圆的切线，与正方形ABCD 边的交点即为i E ，j E .如图：因为3223AC =>A 与C 相离，两圆有4条公切线，与正方形ABCD 的边有8个交点.在这8个点中，任选一个点i E ，存在点{}(,1,2,,8,)j E i j i j ∈≠ .使得直线1A A 与平面1i j A E E 以及平面1i j C E E 所成角大小均为π6.故答案为：8【点睛】关键点点睛：本题的关键是弄清楚i E ，j E 点的作法.先根据直线与平面所成角的概念，判断i E ，j E 应满足的条件，以后的问题就好想多了.13．A【分析】由三角函数值及充分条件、必要条件的定义即可得出结论.【详解】在ABC 中，若π6A =，则1sin 2A =；反之，若1sin 2A =，且(0,π)A ∈，所以π6A =或5π6A =，故“π6A =”是“1sin 2A =”的充分不必要条件.故选：A.14．C【分析】根据相互独立事件的乘法公式和条件概率公式结合相互独立事件的定义逐一判断即可.【详解】对于A ，因为()()()P A B P A P B ⋂=⋅，所以,A B 相互独立，故A 正确；对于B ，因为()()()(1()),(()(1())P A P B P A P B P A B P A P B ⋅-==⋅- ，所以()()()P A B P A P B = ，所以,A B 相互独立，所以,A B 相互独立，故B 正确；对于C ，()()(|)()P AB P B A P A P A ==，所以()()()P AB P A P A =⋅，所以无法判断,A B 相互独立，故C 错误；对于D ，()()(|)()P AB P B A P B P A ==，因为()()()P A B P A P B ⋂=⋅，所以,A B 相互独立，故D 正确.故选：C.15．A【分析】根据中位数、百分位数、平均数及标准差的定义一一判断即可.【详解】对于A ：因为122024,,,x x x 的中位数为从小到大排列的第1013个数，设为0x ；又232023,,,x x x 的中位数从小到大排列的第1012个数恰为0x ，所以232023,,,x x x 的中位数一定等于122024,,,x x x 的中位数，故A 正确；对于B ：因为120242x x +与2320232022x x x +++ 不一定相等，故232023,,,x x x 的平均数与122024,,,x x x 的平均数不一定相等，故B 错误；对于C ：因为232023,,,x x x 的极差不大于122024,,,x x x 的极差，所以232023,,,x x x 的标准差不大于122024,,,x x x 的标准差，故C 错误；对于D ：因为202230%606.7⨯=，202430%607.2⨯=，则122024,,,x x x 的30百分位数为从小到大排列的第608个数，设为M ；232023,,,x x x 的30百分位数为从小到大排列的第607个数恰为M ，故232023,,,x x x 的30百分位数一定等于122024,,,x x x 的30百分位数，故D 正确.故选：A 16．D【分析】根据题意，利用等差数列与等比数列的性质，结合1n n S S a +⋅=有解，构造出满足条件的等差、等比数列，即可求解.【详解】当0a =时，可得0n a =且0n S =，显然满足1n n S S a +⋅=；当0a >时，设等差数列{}n a 的首项1a =d =可得123a a a ===-，此时1212S S a a ==+=满足12S S a ⋅=，即存在等差数列{}n a 使得F 有解，当a<0时，设等差数列{}n a 的首项1a =d =可得123a a a ===1212S S a a =+=满足12S S a ⋅=，即存在等差数列{}n a 使得F 有解，综上可得，对于任意的R a ∈，存在等差数列{}n a 使得F 有解，所以命题p 为真命题；当0a =时，取等比数列{}n b 的首项为11b =，公比为1q =-，可得1(1)n n b -=-，则1(1)2nn S --=，此时满足10n n S S +⋅=，即1n n S S a +⋅=成立；当0a >时，取等比数列{}n b 的首项为1b =，公比为1q =，可得n b =此时12S S ==12S S a ⋅=，即存在等比数列{}n b 使得F 有解；当0a <时，令(2)n n b -=-{}n b 为首项1b =2q =-的等比数列，此时1212S S b b ==+=12S S a ⋅=，即存在等比数列{}n b 使得F 有解；综上可得，对于任意的R a ∈，存在等比数列{}n b 使得F 有解，所以命题q 为真命题.故选：D.【点睛】方法点睛：与数列有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.3、若数列中涉及到三角函数有关问题时，常利用三角函数的周期性等特征，寻找计算规律求解；4、若数列与向量有关问题时，应根据条件将向量式转化为与数列有关的代数式进行求解；5、若数列与不等式有关问题时，一把采用放缩法进行判定证明，有时也可通过构造函数进行证明；6、若数列与二项式有关的问题时，可结合二项展开式的性质，进行变换求解.17．(1)证明见解析；(2)1arctan2.【分析】（1）利用线面垂直的性质、判定推理即得.（2）由已知及（1）确定二面角的平面角及线面角，再结合数量关系求出线面角的正切.【详解】（1）在四棱锥P ABCD -中，连接AC ，由PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，得CD PA ⊥，而CD PC ⊥，,,PA PC P PA PC =⊂ 平面PAC ，所以CD ⊥平面PAC .（2）在梯形ABCD 中，由AB BC ⊥，1AB BC ==，得2AC =//AD BC ，则π4CAD BCA ∠=∠=，由（1）知，CD ⊥平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，得CD AC ⊥，则2CD AC ==DPC ∠是PD 与平面PAC 所成的角，PCA ∠是二面角P CD A --的平面角，即π3PCA ∠=，在Rt PAC △中，PA AC ⊥，于是222PC AC ==因此1tan 2CD DPC PC ∠==，所以PD 与平面PAC 所成角的大小为1arctan 2.18．(1)证明见解析(2)π4【分析】（1）利用正弦定理和三角形任意两边之和大于第三边即可证明；（2）由题意可得,,A B C 均为锐角，不妨设sin 2sin 2A B =，则可得A B =或π2A B +=，然后分情况讨论即可.【详解】（1）证明：因为,,(0,π)A B C ∈，所以sin 0,sin 0,sin 0A B C >>>，因为三角形ABC 的三个角对应的边分别为a 、b 、c ，所以a b c +>，,b c a a c b +>+>，设三角形ABC 的外接圆半径为R ，则由正弦定理得2sin 2sin 2sin R A R B R C +>，2sin 2sin 2sin R B R C R A +>，2sin 2sin 2sin R A R C R B +>，所以sin sin sin A B C +>，sin sin sin B C A +>，sin sin sin A C B +>，所以存在以sin ,sin ,sin A B C 为三边的三角形；（2）因为以sin 2,sin 2,sin 2A B C 为三边的三角形为等腰直角三角形，所以sin 20,sin 20,sin 20A B C >>>，所以,,A B C 都为锐角，不妨设sin 2sin 2A B =，因为2,2(0,π)A B ∈，所以22A B =，或22πA B +=，所以A B =或π2A B +=，当π2A B +=时，π2C =，则sin 20C =，不合题意，舍去，当A B =时，π2C A =-，则sin 2sin 2(π2)sin 4C A A =-=-，因为sin 22C A =2sin 42sin 2cos 2A A A A =-=-,因为sin 20A >2cos 2A =-，所以2cos 22A =-，因为，所以3π24A =，所以3π8A =，所以3π8B A ==,所以3π3ππππ884C A B =--=--=,所以三角形ABC 的最小角为π4.19．(1)58(2)不合理,理由见详解【分析】（1）由全概率公式，即可求解；（2）由已知条件，求出第一回合发球者在整场比赛中先得第一分的概率，与12比较，即可得到答案.【详解】（1）设事件1A 表示第一回合该中国队运动员赢球，事件2A 表示第二回合该中国队运动员赢球，事件B 表示第二回合比赛有运动员得分，由已知，()()()()12123311,,,4444P A P A P A P A ====，()()()()1212,P B A P A P B A P A ==，则()()()()()()()()()11111212P B P A P B A P A P B A P A P A P A P A =+=+3311544448=⨯+⨯=，即第二回合比赛有运动员得分的概率为58.（2）设运动员甲先发球，记事件i A 表示第i 回合该运动员甲赢球，记事件A 表示运动员甲先得第一分，则()()112312345A A A A A A A A = ，则()35111222P A ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()12P A >，即则第一回合发球者在整场比赛中先得第一分的概率大于12，则比赛双方运动员实力相当的情况下，先发球者更大概率占据心理上的优势，所以旧制不合理.20．(1)22184x y +=(2)证明见解析，定值为12-6【分析】（1）根据椭圆顶点坐标、焦点坐标、离心率和,,a b c 的关系直接求解即可；（2）设()()000,0P x y y >，利用两点连线斜率公式表示出NB MA k k ⋅，结合P 在椭圆上直接化简整理即可；（3）设直线AN 与椭圆Γ交于另一点Q ，知,Q M 关于坐标原点对称，将直线AN 方程与椭圆方程联立可得韦达定理的结论，利用12NB MA k k ⋅=-可构造方程求得结果.【详解】（1）由22:142x y τ+=得：()2,0A -，()2,0B ，且τ的离心率为2；,A B 恰为Γ的两个焦点，即椭圆Γ的半焦距2c =，又椭圆Γ的离心率2c e a a ===，a ∴=2224b a c ∴=-=，∴椭圆Γ的方程为：22184x y +=.（2）设()()000,0P x y y >，则2200142x y +=，即220022x y =-，002NB PB y k k x ∴==-，002MA PA yk k x ==+，()202200222000241244224NB MA x y x k k x x x --∴⋅===----，NB MA k k ∴⋅为定值，定值为12-.（3）设直线AN 与椭圆Γ交于另一点Q ，由椭圆对称性可知：,Q M 关于坐标原点对称，设直线():2AN y k x =+，()11,N x y ，()22,Q x y ，则()22,M x y --，由()222184y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得：()2222128880k x k x k +++-=，则()()4222Δ6432321232320k k k k =--+=+>，2122812k x x k ∴+=-+，21228812k x x k-=+，()()()2221212121224222412k y y k x x k x x x x k ⎡⎤∴=++=+++=-⎣⎦+，由（2）知：12NB MA k k ⋅=-，()()()12121212121212222224NB MA y y y y y y k k x x x x x x x x -∴⋅=⋅==--+---++222222224112881681241212k k k k k k k k --+===---++++，解得：216k =，又0k >，6k ∴=.【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆中的定值、参数值的求解问题；本题第三问求解的关键是能够通过椭圆的对称性将问题转化为一条直线与椭圆的交点问题，进而根据已知等量关系，利用韦达定理来进行求解.21．(1)是(2)2(3)证明见解析【分析】（1）根据“导控函数”得定义求解即可；（2）由题意可得228228x x bx c x ≤++≤+，再根据“导控点”的定义可得2828x x =+，求出x ，进而可求出,b c ，进而可得出答案；（3）根据“导控函数”的定义结合充分条件和必要条件的定义求证即可.【详解】（1）由y x =，得1y '=，由sin y x =，得cos y x '=，因为1cos x ≥，所以函数y x =是函数sin y x =的“导控函数”；（2）由32813y x x =++，得228y x '=+，由3213y x bx cx =++，得22y x bx c '=++，由24y x =，得8y x '=，由题意可得228228x x bx c x ≤++≤+恒成立，令2828x x =+，解得2x =，故164416b c ≤++≤，从而有4416b c ++=，所以124c b =-，又22282x x bx c +≥++恒成立，即22282440x bx c x bx b -+-=-+-≥恒成立，所以()()22Δ4444420b b b =--=-≤，所以2b =，故2,4b c ==且“导控点”为2；（3）充分性：若存在常数c 使得()()p x q x c -=恒成立，则()()p x q x c =+为偶函数，因为函数()y q x =为偶函数，所以()()q x q x =-，则()()p x p x =-，即e e e e x x x x k k --+=+，所以()()1e e 0x xk ---=恒成立，所以1k =；必要性：若1k =，则()()e e x xp x p x -=+=-，所以函数()p x 为偶函数，函数()y p x =是函数()y q x =的“导控函数”，因此()()p x q x '≥'，又()()()(),q x q x p x p x -=-=，因此函数()y p x =-是函数()y q x =-的“导控函数”，所以()()p x q x --≥'--'，即()()p x q x -≤'-'恒成立，用x -代换x 有()()p x q x '≤'，综上可知()()p x q x '='，记()()()h x p x q x =-，则()()()0h x p x q x ''-'==，因此存在常数c 使得()()p x q x c -=恒成立，综上可得，“1k =”的充要条件是“存在常数c 使得()()p x q x c -=恒成立”．【点睛】关键点点睛：理解“导控函数”和“导控点”的定义是解决本题的关键.。
上海市奉贤区高三下学期调研测试(数学理含答案)
上海市奉贤区2009学年第二学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷（理科）（满分150分，时间120分钟） 2010.4考生注意：1． 在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题． 2． 可使用符合规定的计算器答题．一、填空题（本大题满分56分，本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分）1、已知集合A=}21|{<<-x x ，集合B=2{|2}x x <，则B A =_ 。
2、函数x x y cos sin =的最小正周期是_________。
3、函数2)1(log +-=x y a )1,0(≠>a a 的图像恒过一定点是_____。
4、若复数z 满足132i 2izz =--（i 是虚数单位），则z =_________。
5、直线13+-=x y 的方向向量与x 轴的正方向上的单位向量i 的夹角是_ __。
6、已知一个关于y x ,的二元线性方程组的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-210211，则y x +=_________。
7、若()12nx +的二项展开式中含4x 项的系数与含5x 项的系数之比是512，则n =_________。
8、某程序框图，该程序执行后输出的W =_________。
9、一质地均匀的小正方体，有三面标有0，两面标有1，另一面标有2，将这小正方体连续抛掷两次，若用随机变量ξ表示两次中出现向上面所标有的数字之积，则数学期望ξE = ________。
110、在正四面体ABCD 中，E 、F 分别是BC 、AD 中点，则异面直线AE 与CF 所成的角是________________。
（用反三角值表示）11、P 是函数xx y 1+=上的图像上任意一点，则P 到y 轴的距离与P 到x y =的距离之积是________。
12、不等式)1(||+≥x a x 对任意的实数x 都成立，则实数a 的取值范围是______。
上海市奉贤区2019-2020学年高考数学教学质量调研试卷含解析
上海市奉贤区2019-2020学年高考数学教学质量调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()cos(2)(0)f x A x ϕϕ=+>的图像向右平移8π个单位长度后，得到的图像关于y 轴对称，(0)1f =，当ϕ取得最小值时，函数()f x 的解析式为（ ）A ．()2cos(2)4f x x π=+B ．()cos(2)4f x x π=+ C ．()2cos(2)4f x x π=-D ．()cos(2)4f x x π=-【答案】A 【解析】 【分析】先求出平移后的函数解析式，结合图像的对称性和()01f =得到A 和ϕ. 【详解】因为()cos 2cos 284f x A x A x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦关于y 轴对称，所以()4k k Z πϕπ-+=∈，所以4k πϕπ=+，ϕ的最小值是4π.()0cos 14f A π==，则2A =，所以()2cos 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换及性质.平移图像时需注意x 的系数和平移量之间的关系. 2．如图所示的程序框图输出的S 是126，则①应为（ ）A ．5?n ≤B ．6?n ≤C ．7?n ≤D ．8?n ≤【答案】B 【解析】试题分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+22+…+2n 的值，并输出满足循环的条件． 解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是累加S=2+22+…+2n 的值， 并输出满足循环的条件． ∵S=2+22+…+21=121， 故①中应填n≤1． 故选B点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．3．已知函数21()log 1||f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭(lg )3f x >的解集为（ ）A ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,(10,)10⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．(1,10)D ．1,1(1,10)10⎛⎫⋃⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，得到1lg 1x -<<，且lg 0x ≠，解不等式得解. 【详解】由题得函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U . 因为()()f x f x -=，所以()f x 为(,0)(0,)-∞+∞U 上的偶函数，因为函数11||y y x =+=，都是在(0,)+∞上单调递减. 所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递减. 因为(1)3,(lg )3(1)f f x f =>=， 所以1lg 1x -<<，且lg 0x ≠，解得1,1(1,10)10x ⎛⎫∈⋃ ⎪⎝⎭.故选：D【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查函数的奇偶性和单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．已知F 为抛物线24y x =的焦点，点A 在抛物线上，且5AF =，过点F 的动直线l 与抛物线,B C 交于两点，O 为坐标原点，抛物线的准线与x 轴的交点为M .给出下列四个命题： ①在抛物线上满足条件的点A 仅有一个；②若P 是抛物线准线上一动点，则PA PO +的最小值为 ③无论过点F 的直线l 在什么位置，总有OMB OMC ∠=∠；④若点C 在抛物线准线上的射影为D ，则三点B O D 、、在同一条直线上. 其中所有正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】①：由抛物线的定义可知15AF a =+=，从而可求A 的坐标；②：做A 关于准线1x =-的对称点为'A ，通过分析可知当',,A P O 三点共线时PA PO +取最小值，由两点间的距离公式，可求此时最小值'A O ；③：设出直线l 方程，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，可知焦点坐标的关系，进而可求0MB MC k k +=，从而可判断出,OMB OMC ∠∠的关系；④：计算直线,OD OB 的斜率之差，可得两直线斜率相等，进而可判断三点B O D 、、在同一条直线上. 【详解】解：对于①，设(),A a b ，由抛物线的方程得()1,0F ，则15AF a =+=， 故4a =， 所以()4,4A 或()4,4-，所以满足条件的点A 有二个，故①不正确； 对于②，不妨设()4,4A ，则A 关于准线1x =-的对称点为()'6,4A -，故''PA OP PA OP A O +=+≥==， 当且仅当',,A P O 三点共线时等号成立，故②正确；对于③，由题意知，()1,0M - ，且l 的斜率不为0，则设l 方程为：()10x my m =+≠， 设l 与抛物线的交点坐标为()()1122,,,B x y C x y ，联立直线与抛物线的方程为，214x my y x=+⎧⎨=⎩ ，整理得2440y my --=，则12124,4y y m y y +==-，所以21242x x m +=+，()()221212114411x x my my m m =++=-++=则()()()()1221121212121212121122211111MB MCy x y x y y y y my y k k x x x x x x x x ++++++=+==+++++++ 2242404211m m m ⨯-⨯==+++.故,MB MC 的倾斜角互补，所以OMB OMC ∠=∠，故③正确. 对于④，由题意知()21,D y - ，由③知，12124,4y y m y y +==- 则12114,OB OD y k k y x y ===- ，由12211440OB OD y y k k y y y +-=+==， 知OB OD k k =，即三点B O D 、、在同一条直线上，故④正确. 故选:C. 【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，考查了直线方程，考查了两点的斜率公式.本题的难点在于第二个命题，结合初中的“饮马问题”分析出何时取最小值.5．已知函数()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图像上，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】可将问题转化，求直线 1y kx =-关于直线1y =-的对称直线，再分别讨论两函数的增减性，结合函数图像，分析临界点，进一步确定k 的取值范围即可 【详解】可求得直线 1y kx =-关于直线1y =-的对称直线为1y mx =-()m k =-，当0x >时，()ln 2f x x x x =-，()'ln 1f x x =-，当x e =时，()'0f x =，则当()0,x e ∈时，()'0f x <，()f x 单减，当(),x e ∈+∞时，()'0f x >，()f x 单增；当0x ≤时，()232f x x x =+，()3'22f x x =+，当34x =-，()'0f x =,当34x <-时，()f x 单减，当304x -<<时，()f x 单增； 根据题意画出函数大致图像，如图：当1y mx =-与()232f x x x =+（0x ≤）相切时，得0∆=，解得12m =-；当1y mx =-与()ln 2f x x x x =-（0x >）相切时，满足ln 21ln 1y x x xy mx m x =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，解得1,1x m ==-，结合图像可知11,2m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，即11,2k ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选：A 【点睛】本题考查数形结合思想求解函数交点问题，导数研究函数增减性，找准临界是解题的关键，属于中档题 6． “哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（ ） A ．15B ．13C ．35D ．23【答案】A 【解析】 【分析】列出所有可以表示成和为6的正整数式子，找到加数全部为质数的只有336+=，利用古典概型求解即可. 【详解】6拆成两个正整数的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3), (4,2),(5,1), 而加数全为质数的有(3,3), 根据古典概型知，所求概率为15P =. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了古典概型，基本事件，属于容易题. 7．要得到函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（ ）A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向左平移6π个单位 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据三角函数的图象平移规则得出正确的结论即可； 【详解】解：函数sin 2sin 236y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∴要得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象向左平移6π个单位． 故选：D ． 【点睛】本题考查三角函数图象平移的应用问题，属于基础题．8．已知函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩，若不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞ B ．[)1,+∞C ．[)0,1D ．(]1,0-【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数()f x 在(1,0)处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩和()g x x k =-的图象，利用数形结合进行求解即可.【详解】当1x ≥时，()''1ln ,()(1)1f x x f x f x=⇒=⇒=，所以函数()f x 在(1,0)处的切线方程为：1y x =-，令()g x x k =-，它与横轴的交点坐标为(,0)k .在同一直角坐标系内画出函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩和()g x x k =-的图象如下图的所示：利用数形结合思想可知：不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是1k ≤. 故选：A 【点睛】本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中档题.9．()6321x x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项为( ) A ．－60 B ．240 C ．－80 D ．180【答案】D 【解析】 【分析】求()6321x x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项，可转化为求62x x ⎫⎪⎭展开式中的常数项和31x 项，再求和即可得出答案. 【详解】由题意，62x x ⎫⎪⎭中常数项为2426260C x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，62x x ⎫⎪⎭中31x 项为4246321240C x x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()6321x x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项为：3x ⨯31240160180x-⨯=. 故选：D【点睛】本题主要考查二项式定理的应用和二项式展开式的通项公式，考查学生计算能力，属于基础题. 10．已知函数()5sin 12f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，要得到函数()cos g x x =的图象，只需将()y f x =的图象( ) A ．向左平移12π个单位长度B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移512π个单位长度 D ．向右平移512π个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图像平移原则，即可容易求得结果. 【详解】 因为sin cos 122f x x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故要得到()g x ，只需将()f x 向左平移12π个单位长度.故选：A. 【点睛】本题考查函数图像平移前后解析式的变化，属基础题. 11．5(12)(1)x x ++的展开式中2x 的系数为（ ） A ．5 B ．10 C ．20 D ．30【答案】C 【解析】 【分析】由5(12)(1)x x ++=5(1)x +52(1)x x ++知，展开式中2x 项有两项，一项是5(1)x +中的2x 项，另一项是2x与5(1)x +中含x 的项乘积构成. 【详解】由已知，5(12)(1)x x ++=5(1)x +52(1)x x ++，因为5(1)x +展开式的通项为5r rC x ，所以展开式中2x 的系数为2155220C C +=. 故选：C. 【点睛】本题考查求二项式定理展开式中的特定项，解决这类问题要注意通项公式应写准确，本题是一道基础题.12．若2332a b a b +=+，则下列关系式正确的个数是（ ） ①0b a << ②a b = ③01a b <<< ④1b a << A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D 【解析】 【分析】a ，b 可看成是y t =与()23=+x f x x 和()32x g x x =+交点的横坐标，画出图象，数形结合处理. 【详解】令()23=+xf x x ，()32xg x x =+， 作出图象如图，由()23=+x f x x ，()32xg x x =+的图象可知，()()001f g ==，()()115f g ==，②正确；(,0)x ∈-∞，()()f x g x <，有0b a <<，①正确；(0,1)x ∈，())(f x g x >，有01a b <<<，③正确； (1,)x ∈+∞，()()f x g x <，有1b a <<，④正确.故选：D. 【点睛】本题考查利用函数图象比较大小，考查学生数形结合的思想，是一道中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019上海奉贤区高三调研测试
2019上海奉贤区高三调研测试高三数学试卷（文理合卷）2010.12.31一. 填空题 (本大题满分56分）1、已知全集U R =，集合{}240M x x =-≤，则U C M =2、函数x y 216-=的定义域3、已知b n n an n =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→13lim 2，=+b a 4、⊿ABC 的三内角的正弦值的比为4：5：6，则此三角形的最大角为 （用反余弦表示）5、（理）已知函数()xx f ⎪⎭⎫⎝⎛=31()1≤x 的反函数（文）已知函数()1,3≥=x x f x 的反函数6、用数学归纳法证明“nn 25-能被3整除”的第二步中，1+=k n 时，为了使用归纳假设，应将1125++-k k 变形为 从而可以用归纳假设去证明。
7、已知{n a }是等差数列,115a =, 393=S ,则过点()2,2a P ，4(4,)Q a 的直线的方向向量可以为8、（理）平面直角坐标系xOy 中，已知圆422=+y x 上有且仅有四个点到直线0512=+-c y x 的距离为1，则实数c 的取值范围是_________（文）直线250x y -+=与圆228x y +=相交于A 、B 两点，则AB ∣∣= 9、（理）已知α∈(0，π21)，则直线01tan =+⋅+αy x 的倾斜角 （用α的代数式表示） （文）已知α∈(0，π21)，则直线01tan =++⋅y x α的倾斜角 （用α的代数式表示）10、执行右边的程序框图，输出的W=11、设等比数列}{n a 的公比1≠q ，若}{c a n +也是等比数列,则=c12、斜率为1的直线与椭圆13422=+y x 相交于B ,A 两点,AB 的中点()1,M m ， 则=m13、 若{}n a 是等差数列，,,m n p 是互不相等的正整数，有正确的结论：()()()0p m n m n a n p a p m a -+-+-=，类比上述性质，相应地，若等比数列{}n b ，,,m n p 是互不相等的正整数，有14、（理）已知点(1,0),(0,1)A B 和互不相同的点1P ，2P ，3P ，…，n P ，…，满足*()n n n OP a OA b OBn N =+∈，O 为坐标原点，其中{}{}n n a b 、分别为等差数列和等比数列，1P 是线段AB 的中点，对于给定的公差不为零的{}n a ，都能找到唯一的一个{}n b ，使得1P ，2P ，3P ，…，n P ，…，都在一个指数函数（写出函数的解析式）的图像上. （文）已知点(1,0),(0,1)A B 和互不相同的点1P ，2P ，3P ，…，n P ，…，满足*()n n nOP a OA b OB n N =+∈，O 为坐标原点，其中{}{}n n a b 、分别为等差数列和等比数列，若1P 是线段AB 的中点，设等差数列公差为d ，等比数列公比为q ，当d 与q 满足条件 时，点1P ，2P ，3P ，…，n P ，…共线二、选择题（每题5分，共20分）15、在ABC ∆中，“cos sin cos sin A A B B +=+”是“90C =”的 （ ） （A ）．充分非必要条件 （B ）．必要非充分条件 （C ）．充要条件 （D ）．非充分非必要条件16、车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为 辆／分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F （t ）=50+4sin2t（其中R t ∈0≤t ≤20）给出，F （t ）的单位是辆／分，t 的单位是分，则在下列哪个时间段内车流量是增加的 （ ） （A ）．[0，5] （B ）．[5，10] （C ）．[10，15] （D ）．[15，20] 17、若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列四个函数：()x x f 21log 2=，()()2log 22+=x x f ，x f 223log =，()x f 2log 24=则“同形”函数是（ ） （A ）．()x f 1与()x f 2 （B ）．()x f 2与()x f 3 （C ）．()x f 2与()x f 4 （D ）．()x f 1与()x f 418、（理）设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=-=1,1),(222a x a y y x A ，{}1,2,),(≠>==t a t t y y x B x ，则A B ⋂的子集的个数是（ ）（A ）．4 （B ）．3 （C ）．2 （D ）．1（文）设集合()22{,|1}416x y A x y =+=，{}1,0,),(≠>==a a a y y x B x，则A B ⋂的子集的个数是（ ）（A ）．2 （B ）．3 （C ）．4 （D ）．1 三、解答题（13分+13分+14分+16分+18分）19、已知函数()x xx f xx -++-+=11log 21212（1）、判别函数的奇偶性，说明理由（7分）；（2）、解不等式()22121≤-+-xxx f （6分）20、在△ABC 中，已知角A 为锐角，且()212cos 2sin 2cos 2sin 12cos )(22++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=A A A AA A f . （1）、将()A f 化简成()()N wA M A f ++=φsin 的形式（6分）；（2）、若2,1)(,127===+BC A f B A π，求边AC 的长. （7分）；21、（理）已知,是x,y 轴正方向的单位向量，设()y x ++=2a=j y i x++)2(,()y x +-=2b=,2=-（1）、求点P(x,y)的轨迹E 的方程.（5分）（2）、若直线l 过点2F ()0,2且法向量为)1,(t n =→，直线与轨迹E 交于P Q 、两点．点()0,1-M ,无论直线l 绕点2F 怎样转动， ⋅是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．并求实数t 的取值范围；（9分）（文）已知()()0,3,0,321F F -，点P 4=+，记点P 的轨迹为E ，（1）、求轨迹E 的方程；（5分）（2）、如果过点Q(0，m)且方向向量为=(1,1) 的直线l 与点P 的轨迹交于A ，B 两点，当0=⋅时，求∆AOB 的面积。
2024届上海市奉贤区高三二模数学试题及答案
第10题图第11题图上海市奉贤区2024届高三二模数学试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.已知复数 34z i i （i 为虚数单位），则z ．2.不等式21x 的解集为．3.抛物线24y x 上一点到点 1,0的距离最小值为．4.5.6.7.，假设8.9.03a 10.中挖去4量为g ．11.点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D 棱上一点，则满足12PA PC 的点P 的个数为．第12题图第14题图第16题图12.函数 sin y x （0 ，π2）的图像记为曲线F ，如图所示．A 、B 、C 是曲线F 与坐标轴相交的三个点，直线BC 与曲线F 的图像交于点M ，若直线AM 的斜率为1k ，直线BM 的斜率为2k ，212k k ，则直线AB 的斜率为．（用1k 、2k 表示）二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13. ,i i x y （i （）.A y .B .C .D 14.（.Ay f xg x 1f x g x ．15.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（）.A 甲与乙相互独立；.B 乙与丙相互独立；.C 甲与丙相互独立；.D 乙与丁相互独立．16.如图，在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，1AD ，BC m （1m ），3ABC.点E 是线段AB 上的一点，点F 在线段DC 上，DFt DC．命题①：若12AE EB ，则EF AD随着t 的增大而减少．命题②：设AE x AB ，若存在线段EF 把梯形ABCD 的面积分成上下相等的两个部分，那么12m x m， t f x 随着x 的增大而减少．则下列选项正确的是（）.A 命题①不正确，命题②正确；.B 命题①、命题②都不正确；.C三、17.已知 a 11 ，426b b ．（1）（2）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：（1）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）3或4，则）0.05第19题图1第19题图2如左下图1是由两个三角形组成的图形，其中90APC ，30PAC ，2AC AB ，30BCA ．将三角形ABC 沿AC 折起，使得平面PAC 平面ABC ，如右下图2．设O 是AC 的中点，D 是AP 的中点．（1）求直线BD 与平面PAC 所成角的大小；（2）连接PB ，设平面DBO 与平面PBC 的交线为直线l ，判别l 与PC 的位置关系,并说明理由．第20题（2）图第20题（3）图已知曲线22:142x y C ，O 是坐标原点,过点 1,0T 的直线1l 与曲线C 交于P 、Q 两点．（1）当1l 与x 轴垂直时，求 OPQ 的面积；（2）过圆226x y 上任意一点M 作直线MA 、MB ，分别与曲线C 切于A 、B 两点，求证：MA MB （3）过点 ,0N n （2n ）的直线2l 与双曲线2214x y 交于R 、S 两点（1l 、2l 不与x 轴重合）．记直线TR 的斜率为TR k ，直线TS 斜率为TS k ，当ONP ONQ 时，求证：n 与TR TS k k 都是定值．；已知定义域为R 的函数 y f x ，其图像是连续的曲线，且存在定义域也为R 的导函数 'y f x ．（1）求函数 e exxf x 在点0,0f 的切线方程：（2）已知 cos sin f x a x b x ，当a 与b 满足什么条件时，存在非零实数k ，对任意的实数x 使得f x kf x 恒成立？（3）若函数 y f x 是奇函数，且满足 23f x f x ．试判断 22f x f x 对任意的实数x 是否恒成立，请说明理由．上海市奉贤区2024届高三二模数学试卷-简答参考答案一、填空题1、4+3i .2、 1,33、14、5、0.146、7、208、1122，9、110、132511、612、12122k k k k 二、选择题13、D 14、A 15、A 16、A三、解答题17、（1）因为2d ，且5154522S a，所以11a ，所以23n a n .4分因为11b ，且36q q ，所以2q ，所以12n n b .8分（2）由题可知，2321522=48n n nn c ，10分1nn i c 为等比数列求和，首项为152c ，公比4q ， 15145241146n nn ni c .14分18、（1）由题可知，1002003003550045350100，所以一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为350.6分（2）10分计算出9x 11分假设一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量无关.人次≤400人次>400总计空气质量好363975空气质量不好19625总计5545100221003661939 5.93935545257512分因为2 3.841 ，所以拒绝原假设，所以一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.14分19、（1）过B 作BHAC 于H ，连接DH ，因为平面PAC 平面ABC ，且平面PAC 平面ABCAC ，又因为BH AC ，所以BH 平面PAC ，所以BDH 为直线BD 与平面PAC 所成角.3分因为2AC AB ，不妨设,2AB a AC a ，在ABC 中，90sin 30sin AB AC B B.4分在RT BDH中，1,22BH a DH a，所以tan BH BDH DH7分所以直线BD 与平面PAC 所成角的大小为3.8分（2）因为O 是AC 的中点，D 是AP 的中点，所以//DO PC ；又因为PC PBC 平面，DO 不在平面PBC 上，所以//DO PBC 平面；11分又因为DBO PBC l 平面平面，所以//DO l ，13分所以//l PC .14分20、（1）由题可知，直线为1x ，1分代入椭圆方程22142x y，得2y ，3分所以1122S5分（2）设00(,)M x y ，当02x时，0y MA MB ，成立.6分当02x 时，设MA ，MB 的斜率分别为12,k k ，直线00:MA y y k x x 由 0022142y y k x x x y2220000(21)4()2()40k x k y kx x kx y ,7分因为直线MA 与椭圆相切，所以0 ，即2222000016()4(21)[2()4]0k kx y k kx y ，化简可得2200()2(21)0kx y k ，化为关于k 的一元二次方程为22200004220x k x y k y ，所以20122024y k k x .9分因为00(,)M x y 在圆上，所以22006x y ，代入上式可得，2012206214x k k x .所以MA MB .11分（3）设11(,)P x y 、22(,)Q x y 、34(,)R x y 、44(,)S x y ，直线PN 、QN 的斜率分别为PN k 、QNk 设直线1:1l x ky ，与椭圆联立得22(2)230k y ky ，0 ，12222ky y k，12232y y k ，由ONP ONQ 得0PN QN k k ，13分即1212211212(1)(1)(1)(1)y y y ky n y ky n x n x n ky n ky n ，计算分子部分：12211212(1)(1)2(1)()y ky n y ky n ky y n y y 22232822(1)0222k k kn k n k k k，所以4n ，16分设直线2:4l x py ，与双曲线联立得22(4)8120p y py ，240p ，0 ，34284p y y p ，342124y y p ，3344343434(1)(1)11(1)(1)TR TS y y x y x yk k x x x x ，计算分子部分344334433434(1)(1)(3)(3)23()y x y x y py y py py y y y 2212823044pp p p 0 ，因为4n ，所以0TR TS k k 18分21、（1）由题可知，'()x x f x e e ，1分所以切线的斜率为'(0)0f ，2分且(0)2f ，3分所以函数在点0,0f 的切线方程为 200y x ，即2y .4分（2）由题可知 'sin cos f x a x b x ，6分又因为定义域上对任意的实数x 满足 f x kf x ，所以cos sin sin cos a x b x ak x bk x ，即b ak a bk8分当k R 且1k 时，0a b .9分当1k 时，0a b ；10分当1k时，0a b .11分（3）因为函数 x f y 在定义域R 上是奇函数，所以()()f x f x ，所以'()()''()f x x f x ，所以'()'()f x f x ，所以 'y f x 是偶函数.13分因为 23f x f x ，所以 ''22'3'f x f x x ，即''20f x f x ，即''2f x f x 15分因为'()'()f x f x ，所以 ''2f x f x ，即 ''2f t f t ，所以 'y f x 是周期为2的函数.17分所以 ''2'2f x f x f x ，所以 '2'''2f x f x f x f x .18分。
奉贤二模高三数学试卷答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 答案：A解析：根据题意，函数f(x) = |x - 1| + |x + 1|，当x < -1时，f(x) = -2x；当-1 ≤ x ≤ 1时，f(x) = 2；当x > 1时，f(x) = 2x。
所以f(x)的最小值为2。
2. 答案：B解析：由题意得，a > 0，b < 0，c > 0，所以a + b + c > 0，故选B。
3. 答案：C解析：设复数z = x + yi，根据复数乘法得z^2 = (x + yi)^2 = x^2 - y^2 +2xyi。
由于z^2 = 1 + 2i，所以x^2 - y^2 = 1，2xy = 2，解得x = 1，y = 1。
故选C。
4. 答案：D解析：由题意得，a^2 + b^2 + c^2 = 2，所以(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc = 2 + 2(ab + ac + bc)。
因为a + b + c = 0，所以ab + ac + bc = -1/2，代入得(a + b + c)^2 = 2 - 1 = 1，所以a + b + c = ±1。
故选D。
5. 答案：B解析：由题意得，sinα = 1/2，cosα = √3/2，所以sin(2α) = 2sinαcosα= 1。
故选B。
二、填空题（每题10分，共40分）6. 答案：2解析：由题意得，a^2 + b^2 + c^2 = 2，所以(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc = 2 + 2(ab + ac + bc)。
因为a + b + c = 0，所以ab + ac + bc = -1/2，代入得(a + b + c)^2 = 2 - 1 = 1，所以a + b + c = ±1。
7. 答案：-2解析：由题意得，x^2 - 2x + 1 = 0，解得x = 1。
上海市奉贤区高三4月调研测试(二模)数学试题 Word版含答案
2016-2017学年第二学期奉贤区调研测试高三数学卷201704考试时间120分钟，满分150分一、填空题（第1题到第6题每题4分，第7题到第12题每题5分，满分54分）1．函数()⎪⎭⎫⎝⎛-=x x f 2cos π的最小正周期是________． 2．若关于,x y 的方程组⎩⎨⎧=+=+21y x y ax 无解，则=a ________．3．已知{}n a 为等差数列，若16a =，350a a +=，则数列{}n a 的通项公式为________．4． 设集合{}{}23A x x ,B x x t =-≤=<，若A B =∅，则实数t 的取值范围是______．5．设点()9,3在函数()()()log 10,1a f x x a a =->≠的图像上，则()f x 的反函数()1f x -=________．6．若,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-020y y x y x ，则目标函数2z x y =+的最大值是________．7．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为06=-+y x ，圆C 的参数方程为[)()πθθθ2,02sin 2cos 2∈⎩⎨⎧+==y x ，则圆心C 到直线l 的距离为________． 8． 双曲线2213y x -=的左右两焦点分别是12,F F ，若点P 在双曲线上，且21PF F ∠为锐角，则点P 的横坐标的取值范围是________．9． 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为________．10．已知数列{}n a 是无穷等比数列，它的前n 项的和为n S ，该数列的首项是二项式71x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的x 的系数，公比是复数iz 311+=的模，其中i 是虚数单位，则n n S ∞→lim =_____．11．已知实数x 、y 满足方程()()22111x a y -++-=，当0y b ≤≤（b R ∈）时，由此方程可以确定一个偶函数()y f x =，则抛物线212y x =-的焦点F 到点(,)a b 的轨迹上点的距离最大值为________．12．设1x 、2x 、3x 、4x 为自然数1、2、3、4的一个全排列，且满足 643214321=-+-+-+-x x x x ，则这样的排列有________个．二、选择题（单项选择题，每题5分，满分20分） 13． 已知x ，y R ∈，且0x y >>，则下列不等式中成立的是 （ ） A ．110xy -> B ．sin sin 0x y -> C ．11()()022x y -< D ．ln ln 0x y +>14．若()f x 为奇函数，且0x 是()xy f x e =-的一个零点，则0x -一定是下列哪个函数的零点 （ ）A ．()1xy f x e =+ B ．()1x y f x e-=--C ．()1x y f x e =-D ．()1xy f x e =-+15．矩形纸片ABCD 中，AB ＝10cm ，BC ＝8cm ．将其按图（1）的方法分割，并按图（2）的方法焊接成扇形；按图（3）的方法将宽BC 2等分，把图（3）中的每个小矩形按图（1）分割并把4个小扇形焊接成一个大扇形；按图（4）的方法将宽BC 3等分，把图（4）中的每个小矩形按图（1）分割并把6个小扇形焊接成一个大扇形；……；依次将宽BC n 等分，每个小矩形按图（1）分割并把n 2个小扇形焊接成一个大扇形．当n ∞→时，最后拼成的大扇形的圆心角的大小为 （ ）A ．小于2πB ．等于2πC ．大于2πD ．大于6.116．如图，在ABC ∆中，,,BC a AC b AB c ===．O 是ABC ∆的外心，OD BC ⊥于D ，OE AC ⊥于E ，OF AB ⊥于F ，则::OD OE OF 等于 （ ） A ．::a b c B．111::a b cC ．s :s :s inA inB inCD ．cos :cos :cos A B C三、解答题（第17-19题每题14分，第20题16分，第21题18分，满分76分）17．如图，圆锥的底面圆心为O ，直径为AB ，C 为半圆弧AB 的中点，E 为劣弧CB 的中点，且222AB PO ==．（1）求异面直线PC 与OE 所成的角的大小； （2）求二面角P AC E --的大小．18．已知美国苹果公司生产某款iphone 手机的年固定成本为40万美元，每生产1只还需另投入16美元．设苹果公司一年内共生产该款iphone 手机x 万只并全部销售完，每万只的销售收入为()x R 万美元，且()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-=40,400007400400,64002x x xx x x R（1）写出年利润W （万美元）关于年产量x （万只）的函数解析式；（2）当年产量为多少万只时，苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．19．如图，半径为1的半圆O 上有一动点B ，MN 为直径，A 为半径ON 延长线上的一点，且2OA =，AOB ∠的角平分线交半圆于点C ． （1）若3=⋅AB AC ，求cos AOC ∠的值； （2）若,,A B C 三点共线，求线段AC 的长．20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-（*n N ∈）．（1）求{}na 的通项公式；（2）设1122++-=n n n b b ，81=b ，n T 是数列{}nb 的前n 项和，求正整数k ，使得对任意*n N ∈均有k n T T ≥恒成立； （3）设11(1)(1)n n nn a c a a ++=++，n R 是数列{}n c 的前n 项和，若对任意*n N ∈均有n R λ< 恒成立，求λ的最小值．21．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>，左焦点是1F .（1）若左焦点1F 与椭圆E 的短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,3Q 在椭圆E 上.求椭圆E 的方程；（2）过原点且斜率为()0t t >的直线1l 与（1）中的椭圆E 交于不同的两点,G H ，设()()0,2,1,011A B ，求四边形11AGB H 的面积取得最大值时直线1l 的方程；（3）过左焦点1F 的直线2l 交椭圆E 于,M N 两点，直线2l 交直线()0x p p =->于点P ，其中p 是常数，设1MF PM λ=，1NF PN μ=，计算μλ+的值（用b a p ,,的代数式表示）.奉贤高三二模练习卷参考答案一、填空题（第1题到第6题每题4分，第7题到第12题每题5分，满分54分） 1、2π； 2、1；3、n a =82n -；4、1t ≤-；5、21x +；6、3；7、 8、,⎫⎛+∞-∞⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭U ；9、28π； 10、70； 11、2； 12、9；二、选择题（单项选择题，每题5分，满分20分）13、C; 14、A;15、C; 16、D;三、解答题（第17-19题每题14分，第20题16分，第21题18分，满分76分）17、【解答】（1）证明：方法（1）∵PO 是圆锥的高，∴PO ⊥底面圆O ，根据中点条件可以证明OE ∥AC ， 2分 PCA ∠或其补角是异面直线PC 与OE 所成的角； 1分2,2AC PC PA ======= 2分所以3PCA π∠= 1分异面直线PC 与OE 所成的角是3π1分（1）方法(2)如图,建立空间直角坐标系,(()()),,0,,P B A C, 3分()1,1,0E 1分()0,1,1=OE ,()2,0,2-=PC ,()0,2,2=AC ,设PC 与OE 夹角θ,z21222cos =⨯==θ 2分 异面直线PC 与OE 所成的角3π1分 （2）、方法（1）、设平面APC 的法向量()1111,,z y x n = ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅011n n111100==，()1,1,11-=∴n 3分 平面ACE 的法向量()1,0,02=n 1分设两平面的夹角α,则33131cos =⨯==α 2分 所以二面角P AC E --的大小是arccos1分 方法（2）、取AC 中点为D ，连接,PD OD ，又圆锥母线PA AC =，∴PD AC ⊥∵底面圆O 上OA OC =∴OD AC ⊥又E 为劣弧CB 的中点，即有E ∈底面圆O∴二面角P AC E --的平面角即为PDO ∠ 3分 ∵C 为半圆弧AB 的中点，∴090AOC ∠=又直径AB =∴112OD AC == ∵PO ⊥底面圆O 且OD ⊂底面圆O ，∴PO OD ⊥又PO =Rt PDO ∆中，PD = 3分∴OD cos PDO PD ∠== 所以二面角P AC E --的大小是arccos 1分18、【解答】（1）当040x <≤时，()()21640(4006)(1640)638440W xR x x x x x x x =-+=--+=-+-； 3分 当40x >时，()()()27400400004000016401640736016W xR x x x x x xx x ⎛⎫=-+=--+=-- ⎪⎝⎭ 3分 ∴⎪⎩⎪⎨⎧>--≤<-+-=40,40000167360400,4038462x x x x x x W ； （2）当040x <≤时，()226384406326104W x x x =-+-=--+；∴当32x =时，()max 326104W W ==； 3分当40x >时，400007360167360W x x =--≤- 当且仅当4000016x x=，即50x =时，()max 505670W W ==57603分 ∵61045760>∴当32x =时，W 的最大值为6104万美元． 2分 19、【解答】（1）以O 为原点，OA 为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设AOC θ∠=，()2,0A()cos ,sin C θθ，()cos2,sin 2B θθ， 2分 ()θθsin ,2cos -=AC ， ()θθ2sin ,22cos -=AB 2分 AB AC ⋅()()cos 2cos 22sin sin 2θθθθ=--+uu u r uu u rcos cos22cos22cos sin sin 24θθθθθθ=--++22cos 2cos 44cos cos 6θθθθ=--+=--+ 2分 24cos cos 63θθ∴--+=3cos ,cos 14θθ==-（舍去） （不舍扣1分） 3分（2）,,A B C 三点共线，所以cos 22sin 2cos 2sin θθθθ-=- 2分 3cos 4θ∴= 1分214212cos 2AC θ∴=+-⨯⨯⨯=AC ∴= 2分19（1）方法二、设AOC θ∠=，+=，+= 2分()()⋅+⋅+⋅+=+⋅+=⋅∴22分 ()()412cos 212cos cos 42cos 2cos πθπθθθθ=+⨯⨯-+⨯⨯-+=-- 2分24cos cos 63θθ∴--+=3cos ,cos 14θθ==-（舍去） 3 分20、【解答】（1） 由22n n S a =-，得1122n n S a ++=- 两式相减，得1122n n n a a a ++=-∴ 12n n a a += 2分 数列{}na 为等比数列，公比2q =又1122S a =-，得1122a a =-，12a =∴ 2nn a = 2分（2）1122++-=n n n b b 11122n nn nb b ++=- 1分 ()()111122n n b b n =+-⨯-，()25nn b n =- 2分 方法一当5n ≤时，()25nn b n =-0≥ 1分因此，1234T T T T <<< >>=65T T 1分 ∴ 对任意*n N ∈均有45n T T T =≥，故4k =或5。
上海市奉贤区高三数学二模考试试题 文(含解析)新人教A版
上海市奉贤区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）（•奉贤区二模）函数f（x）=2sin2x 的最小正周期是π．考点：三角函数的周期性及其求法；二倍角的余弦．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用二倍角公式吧函数的解析式化为1﹣cos2x，由此可得它的最小正周期为．解答：解：函数f（x）=2sin2x=1﹣cos2x，故它的最小正周期为=π，故答案为π．点评：本题主要考查二倍角公式的应用，余弦函数的最小正周期的求法，属于基础题．2．（4分）（•奉贤区二模）在的二项展开式中，常数项是70 ．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：先求得二项展开式的通项公式，再令x的幂指数等于零，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．解答：解：在的二项展开式中，通项公式为T r+1=•x8﹣r•（﹣1）r x﹣r=（﹣1）r••x8﹣2r．令8﹣2r=0，解得 r=4，故展开式中的常数项是=70，故答案为 70．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．3．（4分）（•奉贤区二模）已知正数x，y满足x+y=xy，则x+y的最小值是 4 ．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：依题意由基本不等式得x+y=xy≤，从而可求得x+y的最小值．解答：解：∵x＞0，y＞0，∴xy≤，又x+y=xy，∴x+y≤，∴（x+y）2≥4（x+y），∴x+y≥4．故答案为：4点评：本题考查基本不等式，利用基本不等式将已知条件转化为关于x+y的二次不等式是关键，属于基础题．4．（4分）（•奉贤区二模）执行如图所示的程序框图，输出的S值为30 ．考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=2+4+…+10的值．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=2+4+ (10)又∵2+4+…+10=30．故答案为：30．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．5．（4分）（•奉贤区二模）已知直线y=t与函数f（x）=3x及函数g（x）=4•3x的图象分别相交于A、B两点，则A、B两点之间的距离为log34 ．考点：两点间的距离公式；函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：先确定A，B两点的横坐标，再作差，即可求得A，B两点之间的距离．解答：解：令 3x =t，可得x=log3t 43x =t 可得x=，故A、B两点之间的距离为 log3t ﹣=log3t﹣（ log3t﹣log34）=log34，故答案为 log34．点评：本题考查两点之间的距离，考查学生的计算能力，属于中档题．6．（4分）（•奉贤区二模）用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，已知该圆锥的母线与底面所在的平面所成角为45°，容器的高为10cm ，制作该容器需要100cm2的铁皮．考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：计算题．分析：由题意可得圆锥的底面半径和母线长，代入侧面积公式S=πrl，计算可得．解答：解：由题意可得圆锥的底面半径r=10，由勾股定理可得：圆锥的母线长为l=10，故圆锥的侧面积S=πrl==100，故答案为：点评：本题考查圆锥的侧面积的求解，求出底面半径和母线长是解决问题的关键，属基础题．7．（4分）（•奉贤区二模）若函数f（x）=8x的图象经过点，则f﹣1（a+2）= ．考点：反函数；函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：通过函数的图象经过的点，求出a的值，利用反函数的定义域与值域的对应关系，求出f﹣1（a+2）的值即可．解答：解：因为函数f（x）=8x的图象经过点，所以a=2，所以f﹣1（a+2）=f﹣1（4），由函数与反函数的对应关系可得：4=8x，所以x=．故答案为：．点评：本题考查函数与反函数的对应关系的应用，函数值的求法，考查计算能力．8．（4分）（•奉贤区二模）关于x的方程x2+mx+2=0（m∈R）的一个根是1+ni（n∈R+），则m+n= ﹣1 ．考点：函数的零点．分析：把x=1+ni代入已知方程x2+mx+2=0，结合n＞0，根据复数相等的条件可得关于m，n的方程，可求m，n进而可求m+n解答：解：∵x2+mx+2=0（m∈R）的一个根是1+ni（n∈R+），∴（1+ni）2+m（1+ni）+2=0整理可得，（3﹣n2+m）+（m+2）ni=0∵n＞0根据复数相等的条件可得，m+2=0，3+m﹣n2=0∴m=﹣2，n=1则m+n=﹣1故答案为：﹣1点评：本题主要考查了复数相等条件的简单应用及基本运算，属于基础试题9．（4分）（•奉贤区二模）若点P（1，1）为圆x2+y2﹣6x=0的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为y=2x ﹣1 ．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：弦MN所在直线与CP垂直，先求出CP的斜率，即可求得MN的斜率，用点斜式求直线MN的方程．解答：解：圆C：x2+y2﹣6x=0 即（x﹣3）2+y2=9，表示以C（3，0）为圆心，半径等于3的圆．∵点P（1，1）为圆x2+y2﹣6x=0的弦MN的中点，则弦MN所在直线与CP垂直．由于CP的斜率为=﹣，故弦MN所在直线的斜率等于2，故弦MN所在直线方程为 y﹣1=2（x﹣1），即 y=2x﹣1，故答案为 y=2x﹣1．点评：本题主要考查圆的标准方程特征，直线和圆的位置关系，用点斜式求直线的方程，属于中档题．10．（4分）（•奉贤区二模）已知O是坐标原点，点A（﹣1，1）．若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的取值范围是[0，2] ．考点：简单线性规划；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．分析：先画出满足约束条件的平面区域，求出平面区域的角点后，逐一代入分析比较后，即可得到的取值范围．解答：解：满足约束条件的平面区域如下图所示：将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式当x=1，y=1时，=﹣1×1+1×1=0当x=1，y=2时，=﹣1×1+1×2=1当x=0，y=2时，=﹣1×0+1×2=2故和取值范围为[0，2]故答案为：[0，2]．点评：本题考查的知识点是线性规划的简单应用，其中画出满足条件的平面区域，并将三个角点的坐标分别代入平面向量数量积公式，进而判断出结果是解答本题的关键．11．（4分）（•奉贤区二模）设f（x）是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x∈（0，1），，则函数f（x）在（1，2）上的解析式是y=．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：设x∈（1，2），则x﹣2∈（﹣1，0），2﹣x∈（0，1），由已知表达式可求得f （2﹣x），再由f（x）为周期为2的偶函数，可得f （x ）=f（x ﹣2）=f（2﹣x），从而得到答案．解答：解：设x∈（1，2），则x﹣2∈（﹣1，0），2﹣x∈（0，1），所以f （2﹣x ）==，又f（x）为周期为2的偶函数，所以f（x）=f（x﹣2）=f（2﹣x）=，即y=，故答案为：y=．点评：本题考查函数解析式的求解及函数的周期性、奇偶性，考查学生灵活运用所学知识解决问题的能力，属中档题．12．（4分）（•奉贤区二模）设正项数列{a n}的前n项和是S n，若{a n}和{}都是等差数列，且公差相等，则a1+d= ．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题目给出的条件{an}和{}都是等差数列，且公差相等，把与都用a1和d表示，两边平方后求解a1和d，则答案可求．解答：解：由题意知数列{a n}的首项为a1，公差为d．因为数列{a n}的前n项和是S n，所以，，．又{}也是公差为d的等差数列，则，两边平方得：①，两边平方得：②②﹣①得：③，把③代入①得：d（2d﹣1）=0．所以d=0或d=．当d=0时，a1=0，不合题意，当d=时，代入③解得．所以．故答案为．点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了学生的计算能力，是基础的计算题．13．（4分）（•奉贤区二模）已知函数f（x）=6x﹣4（x=1，2，3，4，5，6）的值域为集合A，函数g（x）=2x ﹣1（x=1，2，3，4，5，6）的值域为集合B，任意a∈A∪B，则a∈A∩B的概率是0 ．考点：古典概型及其概率计算公式；函数的值域．专题：概率与统计．分析：由函数解析式可得到函数值域A，B．进而得到A∪B，A∩B，利用古典概型的概率计算公式即可得出．解答：解：∵f（1）=6×1﹣4=2，同理f（2）=8，f（3）=14，f（4）=20，f（5）=26，f（6）=32，∴A={2，8，14，20，26，32}．∵g（1）=2×1﹣1=1，同理g（2）=3，g（3）=5，g（4）=7，g（5）=9，g（6）=11．∴B={1，3，5，7，9，11}．∴A∪B={1，3，5，7，9，11，2，8，14，20，26，32}，而A∩B=∅．∴任意a∈A∪B，则a∈A∩B的概率P=0．点评：熟练掌握函数值的计算、值域、并集、交集是解题的关键．14．（4分）（•奉贤区二模）已知椭圆：，左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，则的最大值为 ．考点：直线与圆锥曲线的综合问题． 专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题． 分析：如图所示，利用椭圆的定义得到=12﹣．因此只有当取得最小值时，取得最大值，分AB⊥x 轴和AB 与x 轴不垂直两种情况讨论，当AB 与x 轴不垂直时，利用弦长公式即可得出，通过比较得到的最小值．解答： 解：如图所示， 由椭圆的定义可知：=，∴=12﹣．好当AB⊥x 轴时，把x=﹣c 代入椭圆的方程得，解得，此时，，则=12﹣=；当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y=k （x+c ），A （x 1，y 1）， B （x 2，y 2）．联立，消去y 得到（b 2+9k 2）x 2+18k 2cx+9k 2c 2﹣9b 2=0，∴，，∴==．综上可知：只有当AB⊥x 轴时，取得最小值，此时取得最大值．故答案为．点评： 熟练掌握椭圆的定义、分类讨论的思想方法、直线与圆锥曲线相交时的弦长公式的应用是解题的关键．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15．（5分）（•奉贤区二模）下列命题中正确的是（ ） A ． 函数y=sinx 与y=arcsinx 互为反函数 B ． 函数y=sinx 与y=arcsinx 都是增函数 C ． 函数y=sinx 与y=arcsinx 都是奇函数 D ． 函数y=sinx 与y=arcsinx 都是周期函数考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析：根据正弦函数y=sinx ，当x ∈[，]时存在反函数，逐个选项分析可得结论． 解答：解：对于正弦函数y=sinx ，当x ∈[，]时存在反函数y=arcsinx ，具有相同的奇偶性和单调性，故选项A 错误；选项B ，函数y=sinx 不单调，故错误；选项C 正确；选项D ，函数y=arcsinx 的定义为[﹣1，1]，故不是周期函数，故错误． 故选C点评： 本题考查命题真假的判断，涉及反正弦函数和函数的性质，属基础题．16．（5分）（•奉贤区二模）条件“abc＜0”是曲线“ax 2+by 2=c”为双曲线的（ ） A ． 充分而不必要条件 B ． 必要而不充分条件 C ． 充分必要条件 D ． 既不充分也不必要条件考点：双曲线的简单性质；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：当条件“abc＜0”成立时，取a=b=1，c=﹣1可得曲线为x2+y2=﹣1，不能表示双曲线，所以充分性不成立；当“曲线ax2+by2=c为双曲线”时，以x2﹣y2=﹣1为例可得abc＞0，不满足条件“abc＜0”，必要性也不成立．由此可得本题的答案．解答：解：先看充分性当“abc＜0”成立时，取a=b=1，c=﹣1此时曲线ax2+by2=c为x2+y2=﹣1，不能表示任何曲线∴“abc＜0”不是“曲线ax2+by2=c为双曲线”的充分条件；再看必要性当“曲线ax2+by2=c为双曲线”时，取a=1，b=c=﹣1，此时曲线为x2﹣y2=﹣1，表示焦点在y轴上的双曲线但abc＞0，不满足条件“abc＜0”∴“abc＜0”不是“曲线ax2+by2=c为双曲线”的必要条件因此，“abc＜0”是“曲线ax2+by2=c为双曲线”的既不充分也不必要条件．故选：D点评：本题给出方程ax2+by2=c，求它能表示双曲线的条件，着重考查了双曲线的标准方程和充分必要条件的概念等知识，属于基础题．17．（5分）（•奉贤区二模）已知各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n ，若，则公比q的取值范围是（）A．0＜q＜1 B．0＜q≤1C．q＞1 D．q≥1考点：数列的极限．专题：计算题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：根据等比数列的前n项和公式S n，S n+1列出关于q 的表达式，利用条件，分类讨论然后求解即可得到答案．解答：解：当q=1时，S n+1=（n+1）a1，S n=na1，所以==1成立，当q≠1时，Sn=，所以=，可以看出当0＜q＜1时，=1成立，故q的取值范围是（0，1]．故选B．点评：本题的考点是数列的极限，此主要考查极限及其运算，其中涉及到等比数列前n项和的求法，要分类讨论求解．属于综合题目有一定的计算量．18．（5分）（•奉贤区二模）直线x=2与双曲线的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线C上的任意一点，若（a，b∈R，O为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≥2B．C．a2+b2≤2D．考点：直线与圆锥曲线的关系；平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定A，B 的坐标，根据，确定坐标之间的关系，可得，利用基本不等式，即可得出结论．解答：解：由题意，A（2，1），B（2，﹣1），设P（x，y），则∵∴x=2a+2b，y=a﹣b∵P为双曲线C上的任意一点，∴∴4ab=1∴∴故选B．点评：本题考查向量知识的运用，考查基本不等式的运用，属于中档题．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）（•奉贤区二模）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，G分别为棱DD1和CC1的中点．（1）求异面直线AE与DG所成的角；（1）求三棱锥B﹣CC1E的体积．考点： 异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积． 专题： 空间角． 分析： （1）先通过作平行线的方法作出异面直线所成的角，再在三角形中求解即可；（2）先判断三棱锥的高与底面，再根据体积公式计算即可．解答： 解：（1）连接BG 、EG 、BD ，∵E、G 分别是中点，∴EG∥AB 且EG=AB ，∴四边形ABGE 为平行四边形，∴AE∥BG，∠DGB 是所求的异面直线所成的角正方体的棱长为1，，∴∴所求的异面直线的角大小．（2）∵正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，∴BC⊥面EGC∴BC 是三棱锥B ﹣C 1CE 的高， ∴=．点评： 本题考查异面直线所成的角及棱锥的体积． 20．（14分）（•奉贤区二模）位于A 处的雷达观测站，发现其北偏东45°，与A 相距20海里的B 处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船只位于观测站A 北偏东45°+θ（0°＜θ＜45°）的C 处，．在离观测站A 的正南方某处E ，cos∠EAC=﹣（1）求cosθ；（2）求该船的行驶速度v （海里/小时）．考点：余弦定理的应用． 专题： 解三角形．分析：（1）利用同角三角函数的基本关系求得sin∠EAC 的值，根据，利用两角差的余弦公式求得结果．（2）利用余弦定理求得BC 的值，而且BC 这段距离该船行驶了20分钟，由此求得该船的行驶速度． 解答：解：（1）∵，∴．（2分） ∴=．（6分）（2）利用余弦定理求得 BC 2=AB 2+AC 2﹣2AB•AC•cosθ=125，∴．（10分）又该船以匀速直线行驶了20分钟的路程为海里， 该船的行驶速度（海里/小时）．（14分）点评： 本题主要考查利用余弦定理求三角形的边长，同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，属于中档题．21．（14分）（•奉贤区二模）三阶行列式，元素b （b ∈R ）的代数余子式为H （x ），P={x|H（x ）≤0}，（1）求集合P ； （2）函数的定义域为Q ，若P ⊆Q ，求实数a 的取值范围．考点： 三阶矩阵；对数函数的定义域；一元二次不等式的解法． 专题： 计算题；函数的性质及应用． 分析：（1）三阶行列式，元素b （b ∈R ）的代数余子式为H （x ）小于等于0，可得关于x的二次不等式，解之即可；（2）P ⊆Q ，问题等价于说明不等式ax 2﹣2x+2＞0在上恒成立，采用变量分离法，可得实数a 的取值范围．解答： 解：（1）根据三阶矩阵代数余子式的定义，得=2x 2﹣5x+2（3分）解不等式2x 2﹣5x+2≤0，得，∴（7分）（2）若P ⊆Q ，则说明不等式ax 2﹣2x+2＞0在上恒成立，（8分）即不等式在上恒成立，（9分）令，则只需a ＞u max 即可． （11分）又．当时，，从而，（13分）∴．（14分）点评： 本题考查行列式，代数余子式的概念，考查解不等式、对数函数的定义域，属于中档题．22．（16分）（•奉贤区二模）已知数列{a n }对任意的n≥2，n ∈N *满足：a n+1+a n ﹣1＜2a n ，则称{a n }为“Z 数列”． （1）求证：任何的等差数列不可能是“Z 数列”；（2）若正数列{b n }，数列{lgb n }是“Z 数列”，数列{b n }是否可能是等比数列，说明理由，构造一个数列{c n }，使得{c n }是“Z 数列”；（3）若数列{a n }是“Z 数列”，设s ，t ，m ∈N *，且s ＜t ，求证求证a t+m ﹣a s+m ＜a t ﹣a s ．考点：数列递推式；数列与不等式的综合． 专题：新定义． 分析： （1）利用等差数列的通项公式和“Z 数列”的意义即可证明； （2）利用对数的运算法则、“Z 数列”的定义、等比数列的性质即可证明；由“Z 数列”的意义：若a n+1﹣a n ＜a n ﹣a n ﹣1，则，根据几何意义只要c n =f （n ）的一阶导函数单调递减就可以．（3）分别计算出a t ﹣a s ，a t+m ﹣a s+m ，设b s =a s+1﹣a s ，利用数列{b n }满足对任意的n ∈N *b n+1＜b n ，即可证明． 解答： 解：（1）设等差数列{a n }的首项a 1，公差d ， ∵a n =a 1+（n ﹣1）d ，a n+1+a n ﹣1﹣2a n =a 1+nd+a 1+（n ﹣2）d ﹣2a 1﹣2（n ﹣1）d=0，所以任何的等差数列不可能是“Z 数列”． 或者根据等差数列的性质：a n+1+a n ﹣1=2a n 所以任何的等差数列不可能是“Z 数列”．（2）∵a n 是“Z 数列”，∴lga n+1+lga n ﹣1＜2lga n ∴，所以{a n }不可能是等比数列．等比数列只要首项c 1＜0公比q≠1．[其他的也可以：（a ＜0）或]等比数列{c n }的首项c 1，公比q ，通项公式=恒成立，∴c 1＜0．（3）因为b s =a s+1﹣a s ，b s+1=a s+2﹣a s+1，b s+2=a s+3﹣a s+2，…，b t ﹣1=a t ﹣a t ﹣1∴同理：因为数列{b n }满足对任意的n ∈N *b n+1＜b n ，所以b t ﹣1＞b t+m ﹣1，b t ﹣2＞b t+m ﹣2，…，b s+m ＞b s ， ∴a t ﹣a s ＞a t+m ﹣a s+m ．点评： 正确理解“Z 数列”的定义，数列掌握等差数列与等比数列的通项公式、对数的运算法则是解题的关键．本题需要较强的逻辑推理能力和计算能力． 23．（18分）（•奉贤区二模）动圆C 过定点（1，0），且与直线x=﹣1相切．设圆心C 的轨迹Γ方程为F （x ，y ）=0（1）求F （x ，y ）=0；（2）曲线Γ上一定点P （1，2），方向向量的直线l （不过P 点）与曲线Γ交与A 、B 两点，设直线PA 、PB 斜率分别为k PA ，k PB ，计算k PA +k PB ； （3）曲线Γ上的一个定点P 0（x 0，y 0），过点P 0作倾斜角互补的两条直线P 0M ，P 0N 分别与曲线Γ交于M ，N 两点，求证直线MN 的斜率为定值．考点： 圆的标准方程；直线的斜率；直线与圆锥曲线的关系． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （1）过点C 作直线x=﹣1的垂线，垂足为N ，由题意知：|CF|=|CN|，由抛物线的定义知，点C 的轨迹为抛物线．（2）设 A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），由题得直线的斜率﹣1，过不过点P 的直线方程为y=﹣x+b ，代入抛物线方程得y 2+4y ﹣4b=0，利用根与系数的关系及斜率公式，计算 的值，从而得出结论．（3）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），计算的解析式．设MP 的直线方程为y ﹣y 0=k （x ﹣x 0），代入抛物线方程利用根与系数的关系求得 y 1+y 2的值，从而求得k MN 的值，从而得出结论．解答： 解：（1）过点C 作直线x=﹣1的垂线，垂足为N ，由题意知：|CF|=|CN|，即动点C 到定点F 与定直线x=﹣1的距离相等，由抛物线的定义知，点C 的轨迹为抛物线．其中（1，0）为焦点，x=﹣1为准线，所以轨迹方程为y 2=4x ．（2）证明：设 A（x1，y1）、B（x2，y2），由题得直线的斜率﹣1．过不过点P的直线方程为y=﹣x+b，由得 y2+4y﹣4b=0，则y1+y2=﹣4．由于P（1，2），====0．（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），则==（***）．设MP的直线方程为y﹣y0=k（x﹣x0），由，可得，则，∴．同理，得．代入（***）计算得：y1+y2=﹣2y0 ，∴（为定值）．点评：本题主要考查抛物线的定义，圆的标准方程，一元二次方程根与系数的关系，直线的斜率公式，属于中档题．。
2025届上海市奉贤中学高三3月份模拟考试数学试题含解析
2025届上海市奉贤中学高三3月份模拟考试数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线22221x y C a b -=：的一条渐近线与直线350x y -+=垂直，则双曲线C 的离心率等于( ) A ．2? B ．10 3 C ．10? D ．222．已知函数()1f x +是偶函数，当()1,x ∈+∞时，函数()f x 单调递减，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3b f =，()0c f =，则a b c 、、的大小关系为（）A ．b a c <<B ．c b d <<C ．b c a <<D ．a b c <<3．设i 为虚数单位，若复数(1)22z i i -=+，则复数z 等于( )A ．2i -B ．2iC ．1i -+D ．04．ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若CB a =，CA b =，2a =，1b =，则CD =（ ） A ．2133a b + B ．1233a b + C ．3455a b + D ．4355a b + 5．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离6．已知四棱锥S ABCD -的底面为矩形，SA ⊥底面ABCD ，点E 在线段BC 上，以AD 为直径的圆过点E .若33SA AB ==，则SED ∆的面积的最小值为（ ）A ．9B ．7C ．92D ．727．已知函数()2sin()(0,0)3f x x A ωωπ=->>，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的图象的一条对称轴是6x π=，则ω的最小值为 A ．16 B ．23 C ．53 D ．568．已知函数()(0)f x x x x =->，()x g x x e =+，()()ln 0h x x x x =+>的零点分别为1x ，2x ，3x ，则（ ） A ．123x x x <<B ．213x x x <<C ．231x x x <<D ．312x x x <<9．相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调．如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的x 的值为1，输出的x 的值为（ ）A ．6481 B ．3227 C ．89 D ．162710．已知函数2()sin 3cos 444f x x x x πππ=，则(1)(2)...(2020)f f f +++的值等于（） A ．2018 B ．1009 C ．1010 D ．202011．若实数x ，y 满足条件25024001x y x y x y +-≤⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数2z x y =-，则z的最大值为( )A ．52 B ．1 C ．2 D ．012．设m ∈R ，命题“存在0m >，使方程20x x m +-=有实根”的否定是( )A ．任意0m >，使方程20x x m +-=无实根B ．任意0m ≤，使方程20x x m +-=有实根C ．存在0m >，使方程20x x m +-=无实根D ．存在0m ≤，使方程20x x m +-=有实根二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市奉贤区20xx届高三12月调研测试(一模)数学试题(WORD版,含标准答案)
上海市奉贤区20xx届高三12月调研测试（一模）数学试题（WORD版,含标准答案）20xx届奉贤区高三数学调研测试题（满分150分，完卷时间120分钟）一、填空题(本大题满分54分)(本大题1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分． 1．已知集合，____________.2．已知复数满足,其中是虚数单位，则____________.3．方程的解____________.4．已知，且，则____________.5．若对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是____________. 6．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则____________.7．中位数的一组数构成等差数列，其末项为，则该数列的首项为____________.主视图俯视图左视图8．如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长都为1，那么这个几何体的表面积主视图俯视图左视图9．互异复数，集合，则____________.10．已知等比数列的公比，前项的和，对任意的,恒成立，则公比的取值范围是___________.11．参数方程表示的曲线的普通方程是____________.12．已知函数，若函数在区间内单调递增，且函数的图像关于直线对称，则的值为____________.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．13．对于常数、，“”是“方程”表示的曲线是双曲线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件14．若方程在内有解，则的图像可能是（）15．已知函数是奇函数，则（）A． B． C． D．16．若正方体的棱长为1，则集合中元素的个数（）A．1 B．2 C．3 D．4三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．（第17-19每个满分14分，第20满分是16分，第21满分18分）17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分已知圆锥母线长为5，底面圆半径长为4，点是母线的中点，是底面圆的直径，点是弧的中点．（1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线与所成的角．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分9分，第2小题满分5分已知函数，且．（1）求和的单调区间；（2）解不等式．19．（本题满分14分）本题共有1个小题，满分14分一艘轮船在江中向正东方向航行，在点观测到灯塔在一直线上，并与航线成角．轮船沿航线前进米到达处，此时观测到灯塔在北偏西方向，灯塔在北偏东方向，．求．（结果用的表达式表示）．20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分6分过双曲线的右支上的一点作一直线与两渐近线交于、两点，其中是的中点.（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当，求直线的方程；（3）求证：是一个定值．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分设数列的前项和为.若，则称是“紧密数列”.（1）若是“紧密数列”，且，求的取值范围；（2）若为等差数列，首项，公差，公差，判断是否为“紧密数列”；（3）设数列是公比为的等比数列.若数列与都是“紧密数列”，求的取值范围.20xx高三数学调研参考答案填空题1（1-6，每个4分）1． 2．3． 4．5． 6．填空题2（7-12，每个5分）7． 8．9． 10．11． 12．选择题（每个5分）13．C 14．D15．D 16．A三、解答题（17-19每个满分14分，20满分是16分，21满分18分）17．（1）点是弧的中点，， 2分面 4分三棱锥的体积 7分（2）如图，建立空间直角坐标系，，，，9分10分13分所以异面直线所出的角是 14分也可以用平移法:连，过作交于点，连．又，．又．，等于异面直线与所成的角或其补角．可知,，异面直线与所成的角18．解：（1） 1分所以 2分所以或 3分所以函数又因为 4分得，，所以定义域 5分所以的单调递增区间为 6分设任取= 7分因为为增函数，， 9分所以的单调递增区间为 9分（2）得 11分所以， 12分13分所以不等式的解集为 14分19．环节分值答题表现建模（满分7分）0分没有体现建模意识1分画出大致示意图或有等价文字描述，如图12-5分画出大致示意图或有等价文字描述，将已知的4个数据标在图中，每个1分，如图26-7分画出大致示意图或有等价文字描述，已知的4个数据标在图中，在解题过程中将AC和角B正确地用相应的量表示，1个1分，如图3求解（满分7分）0分结果与求解均不正确2分求解过程正确，并且AC和角B不正确4分求解过程正确，并且AC和角B之一正确7分求解过程正确，并且AC和角B，BC正确图1 图2 图3解：在中，，所以= 2分解法2：作，设，，，， 2分（2）因为 4分又因为，所以在中所以= 7分若= 不扣分20．解(1)令得所以双曲线的渐近线方程为 3分(2)因为P在双曲线上，所以，，又因为P在双曲线右支，所以 5分设直线联立方程组消元得 6分又因为， 7分得 8分所以直线 9分当不存在时，与渐近线的交点的中点为不合题意 10分所以直线的方程为(3)设直线与渐近线与分别交于所以中点，即 12分在双曲线上， 13分得 14分又因为=为定值 16分解法2：当直线斜率不存在时，，， 11分当直线斜率存在时，设直线， 12分若是的中点. ， 13分 14分15分 16分21．解：(1) 2分? 4分(2)因为等差数列，所以 5分即证恒成立即证 6分①所以 8分②所以 10分所以是为“紧密数列”也可以作差法：因为等差数列，5分6分因为等差数列，所以7分8分 10分(3)解：(解法1)由数列是公比为的等比数列，，因为是“紧密数列”，所以 11分① 当时，，，所以eq \f(1,2)≤1＜≤2.故时，数列为“紧密数列”，故足题意． 12分 ② 当时，，则. 13分因为数列为“紧密数列”，所以eq \f(1,2)≤≤2对于任意恒成立．(ⅰ) 当时，，即对于任意恒成立． 14分因为，所以，，所以，当时，对于任意恒成立． 15分(ⅱ) 当时，即对于任意*恒成立． 16分因为，所以解得.又，此时不存在． 17分综上所述，的取值范围是. 18分。
上海市奉贤中学2023届高三三模数学试题(含答案解析)
上海市奉贤中学2023届高三三模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________12．设()()21f x x x =≥，()()()223g x x b x =-+≥，A 、D 为曲线()y f x =上两点，B ，C 为曲线()y g x =上两点，且四边形ABCD 为矩形，则实数b 的取值范围为________．二、单选题13．“1x >”是“1x ≥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．如图，直角坐标系中有4条圆锥曲线i C （i =1，2，3，4），其离心率分别为e i ．则4条圆锥曲线的离心率的大小关系是（）A ．2143e e e e <<<B ．1234e e e e <<<C ．2134e e e e <<<D ．1243e e e e <<<15．已知两组数据1210,,,a a a ⋅⋅⋅和1210,,,b b b ⋅⋅⋅，其中110i ≤≤且Z i ∈时，i a i =；19i ≤≤且Z i ∈时，i i b a =，10b a =，我们研究这两组数据的相关性，在集合{}8,11,12,13中取一个元素作为a 的值，使得相关性最强，则a =（）A ．8B ．11C ．12D ．1316．曲线T ：()24160ax y a a +=+>图象是类似椭圆的封闭曲线，T 上动点P （P 在第三、解答题(1)若12PM=，求PN的长；(2)设AOP x∠=，PM，18．已知三棱锥-P ABC段PB，PC上．(1)若PB与平面ABC所成角大小为(2)若PC⊥平面AMN，求证：19．某数学学习小组的二次考试．两次考试的成绩如下表所示（满分学生1学生第一次8289第二次8390(1)在5位学生中依次抽取二次成绩的条件下，求第三位学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率；(2)设i x（1i=，2，…，参考答案：8．233/233【详解】函数3y x =在区间因为23y x '=，则3y x =在则有2034x =，解得02x =±故答案为：233.因为//GF AB ，所以CGF 同理AGD ACH ∽，所以①+②得1GF GDAB CH+=，即因为4arcsin 5A ∠=，则AC 所以541x AB AC x x +=+=-()519154142x x -⋅+=-≥当且仅当()51141x x -=-，即故答案为：954+.12．(1,0)-【分析】对b 分0b =，b >【详解】因为两个函数图像大小相同当0b =时,取(1,1),(3,1)A B ,形，当0b >时,若能成为矩形必有因为1,2x y ==时，24ax y a +=过点A 作直线l 平行于直线y =-当符合条件的点P 在直线l 及左侧时，当符合条件的点P 在直线l 的右侧时，令点此时32()2M a >，因此()M a ≥所以当实数a 变化时，求()M a 故选：A.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．17．(1)12；(2)3(,1].因为圆O 与双曲线T 的四个交点恰好四等分圆周，则OA c =，45AOF ∠=︒则22,22A c c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，代入双曲线方程2222x y a b-可得22222b a a b-=，令()220b x x a=>，则x -即2221b a=+.因为直线l ：y =kx +m 与圆则圆心到直线l 距离为化简得221m k =+，①又π2AOB ∠=，设(11,A x y 则1OA OB k k ⋅=-，即11y y x x ⋅则()2121212k x x km x x m x x +++联立22221y kx m x y a b =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得(2b -则2122222a km x x b a k +=-，1x 联立①②③，得()(21k +则22220a a b b +-=，又222c a b =+，则2222222c c a b a=-+=+则2c e a=>，即离心率e 的取值范围为【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的性质，直线与双曲线和圆的位置关系，训练的应用，计算量较大，属于中档题21．(1)9；。
2022年上海市奉贤区高三下学期高考二模数学试卷含逐题详解
2021学年第二学期高三数学练习卷2022.6考生注意：1、本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分.2、所有答案务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.3、用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔答非选择题.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.已知11i z =+，223i z =+（其中i 为虚数单位），则__12z z +=________.2.已知集合{1A =，2，3}，B ={3，4，5}，则A B ⋃=________.3.在2()n x x+的二项展开式中，第四项是常数项，则该常数项为________.4.若关于x ，y 的方程组2436x y x ay +=⎧⎨+=⎩有唯一解，则实数a 满足的条件是________.5.抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p =_______．6.满足线性约束条件23230x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数z x y =+的最大值是________.7.若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3,3,2的三角形，则该圆锥的表面积是________.8.已知112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，若幂函数()f x x α=为奇函数，且在(0,)+∞上递减，则()f x 的反函数1()f x -=________.9.已知数列{}n a 的通项公式为3n n a =，则123lim n n na a a a a →∞++++=L __________10.已知三角形的三边分别是5，7，8，则该三角形的内切圆的半径是________.11.设项数为4的数列{}n a 满足：{}1,0,1i a ∈-，{1,2,3,4}i ∈且对任意14k l ≤<≤，N,N k l ∈∈，都有11k k l a a a ++++≤ ，则这样的数列{}n a 共有_____个.12.构造一个二元二次方程组()(),0,0f x yg x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，使得它的解恰好为1112x y =⎧⎨=⎩，2234x y =⎧⎨=-⎩，要求(),0f x y =与(),0g x y =的每个方程均要出现x ，y 两个未知数．答：________.二、选择题（本大题满分20分，共4题，每题5分）13.在ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对应的边分别是a 、b 、c ．已知α：sin sin A B >，β：a b >，则α是β的（）．A.充分非必要条件；B.必要非充分条件；C.充要条件；D.既非充分又非必要条件．14.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点E ，F 分别是棱11A C ，BC 的中点，则下列结论中不正确的是（）A.1CC ∥平面11A ABB B.AF ∥平面111A BC C.EF ∥平面11A ABB D.AE ∥平面11B BCC 15.若a ，b ，c ，d 成等比数列，则下列三个数列：①,,a b b c c d +++；②,,ab bc cd ；③,,a b b c c d ---，必成等比数列的个数为（）A.0 B.1 C.2 D.316.已知平面向量a ，m ，n ，满足4a = ，221010m a m n a n ⎧-⋅+=⎪⎨-⋅+=⎪⎩ ，则当m 与n 的夹角最大时，m n -u r r 的值为（）A.4 B.2C. D.1三、解答题（本大题满分76分）17.如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，1AB =，BC =P ABCD -的体积为3，M 为BC的中点．（1）求异面直线AM 与PB 所成的角；（2）求直线PM 与平面PBD 所成的角．18.已知数列{}n a 和{}n b ，其中2n a n b =，*N n ∈，数列{}n n a b +的前n 项和为n S ．（1）若2n a n =，求n S ；（2）若{}n b 是各项为正的等比数列，3n S n =，求数列{}n a 和{}n b 的通项公式．19.如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点A 、B 及CD 的中点P 处．20AB =km ，10BC =km ．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域内（含边界）且与A 、B 等距的一点O 处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO ，BO ，PO ．记铺设管道的总长度为y km．（1）设BAO θ∠=（弧度），将y 表示成θ的函数并求函数的定义域；（2）假设铺设的污水管道总长度是(10+km ，请确定污水处理厂的位置．20.椭圆22468x y +=上有两点()8,A A y 和(),4T T x -，0,0A T y x ><．点A 关于椭圆中心O 的对称点为点B ，点(),2P t t -()0t ≠在椭圆内部，1F 是椭圆的左焦点，2F 是椭圆的右焦点．（1）若点P 在直线AT 上，求点P 坐标；（2）是否存在一个点P，满足21PF PF -= ，若满足求出点P 坐标，若不存在请说明理由；（3）设AOP 的面积为1S ，BTP 的面积为2S ，求12S S 的取值范围．21.对于函数()y f x =，如果对于定义域D 中任意给定的实数x ，存在非负实数a ，使得()()()f x f a x f a +-≥恒成立，称函数()y f x =具有性质()P a ．（1）判别函数()3m x x =，()0,2x ∈和()n x x =，R x ∈是否具有性质(2)P ，请说明理由；（2）函数()22x x g x -=-，x ∈R ，若函数()y g x =具有性质()P a ，求a 满足的条件；（3）若函数()h x 的定义域为一切实数，()h x 的值域为[)2,+∞，存在常数0a 且()h x 具有性质()0P a ，判别()()lg x h x τ=是否具有性质()0P a ，请说明理由．2021学年第二学期高三数学练习卷2022.6考生注意：1、本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分.2、所有答案务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.3、用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔答非选择题.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.已知11i z =+，223i z =+（其中i 为虚数单位），则__12z z +=________.【答案】32i -##2i 3-+【分析】由共轭复数的概念及复数的加法求__12z z +即可.【详解】由题设，__121i 23i 32i z z +=-=-++.故答案为：32i-2.已知集合{1A =，2，3}，B ={3，4，5}，则A B ⋃=________.【答案】{}1,2,3,4,5【分析】利用并集的定义直接求解作答.【详解】因集合{1,2,3},{3,4,5}A B ==，所以{1,2,3,4,5}A B = .故答案为：{}1,2,3,4,53.在2()n x x +的二项展开式中，第四项是常数项，则该常数项为________.【答案】160【分析】根据二项式展开式及常数项可得6n =，进而写出常数项即可.【详解】由题设，二项展开式通项为212C ()2C r n r r r r n r r n n T x x x--+==，由第四项是常数项，即3r =时，60n -=，故6n =，所以常数项为33462C 160T ==.故答案为：1604.若关于x ，y 的方程组2436x y x ay +=⎧⎨+=⎩有唯一解，则实数a 满足的条件是________.【答案】6a ≠##60a -≠【分析】由题给方程组有唯一解，可得方程()660a y -+=有唯一解，进而得到实数a 满足的条件【详解】由2436x y x ay +=⎧⎨+=⎩，可得()660a y -+=，由关于x ，y 的方程组2436x y x ay +=⎧⎨+=⎩有唯一解，可得方程()660a y -+=有唯一解，则6a ≠故答案为：6a ≠5.抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p =_______．【答案】2【详解】因为抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离，因此抛物线上动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即1, 2.2p p ==6.满足线性约束条件23230x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数z x y =+的最大值是________.【答案】2【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线z x y =+，找出使得该直线在y 轴上的截距最大时对应的最优解，代入目标函数即可得解.【详解】作出不等式组232300x y x y x y ⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩所表示的可行域如下图所示：联立2323x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得1x y ==，即点()1,1A ，平移直线z x y =+，当该直线经过可行域的顶点A 时，直线z x y =+在y 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即max 112z =+=.故答案为：2.7.若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3,3,2的三角形，则该圆锥的表面积是________.【答案】4π【分析】根据给定的主视图求出圆锥底面圆半径，再利用圆锥表面积公式计算作答.【详解】依题意，如图，圆锥母线长3l =，底面圆半径1r =，所以圆锥表面积22πππ13π14πS rl r =+=⨯⨯+⨯=.故答案为：4π8.已知112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，若幂函数()f x x α=为奇函数，且在(0,)+∞上递减，则()f x 的反函数1()f x -=________.【答案】1x##1x -【分析】先求得幂函数()f x x α=的解析式，再去求()f x 的反函数1()f x -，即可解决.【详解】112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭若幂函数()f x x α=在(0,)+∞上递减，则12,1,2α⎧⎫∈---⎨⎩⎭，又幂函数()f x x α=为奇函数，则1α=-，则1()f x x =1()f x x =的反函数为1()f x -=1x 故答案为：1x9.已知数列{}n a 的通项公式为3n n a =，则123lim n n n a a a a a →∞++++=L __________【答案】32【分析】先对等比数列进行求和，再进行极限运算.【详解】因为3n n a =，所以21233(13)33313n nn a a a a ⋅-++++=+++=- ，所以123313lim lim (1232n n n n n a a a a a →∞→∞++++=-= .故答案为32.【点睛】本题考查等比数列前n 项和、数列极限计算，考查数列中的基本量法，考查基本的运算求解能力.10.已知三角形的三边分别是5，7，8，则该三角形的内切圆的半径是________.【分析】利用余弦定理求出cos C ，根据同角三角函数的基本关系即可求出sin C ，根据面积公式及等面积法求出内切圆的半径；【详解】解：设ABC 中5a =、7b =、8c =，由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，即222857257cos C =+-⨯⨯，所以1cos 7C =，则43sin 7C ==，所以1143sin 57227ABC S ab C ==⨯⨯⨯= ，设ABC 的内切圆的半径为r ，则()12ABC S r a b c =++△，即()15782r ++=解得r =；11.设项数为4的数列{}n a 满足：{}1,0,1i a ∈-，{1,2,3,4}i ∈且对任意14k l ≤<≤，N,N k l ∈∈，都有11k k l a a a ++++≤ ，则这样的数列{}n a 共有_____个.【答案】31【分析】根据12341a a a a +++≤列举出所有可能的{}n a 数列，再结合121a a +≤、1231a a a ++≤、231a a +≤、2341a a a ++≤、341a a +≤同时成立，排除不满足条件的{}n a ，即可得答案.【详解】当1k =，4l =时，12341a a a a +++≤，所以1234{,,,}a a a a 可能情况如下：1、{一个1，三个0}：{1,0,0,0}、{0,1,0,0}、{0,0,1,0}、{0,0,0,1}，4个；2、{两个1，一个1-和0}：{1,1,1,0}-、{1,1,0,1}-、{1,0,1,1}-、{1,1,1,0}-、{1,0,1,1}-、{1,1,0,1}-、{0,1,1,1}-、{1,0,1,1}-、{1,1,0,1}-、{0,1,1,1}-、{0,1,1,1}-、{1,1,1,0}-，12个；3、{一个1-，三个0}：{1,0,0,0}-、{0,1,0,0}-、{0,0,1,0}-、{0,0,0,1}-，4个；4、{两个1-，一个1和0}：{1,1,1,0}--、{1,1,0,1}--、{1,0,1,1}--、{1,1,1,0}--、{1,0,1,1}--、{1,1,0,1}--、{0,1,1,1}--、{1,0,1,1}--、{1,1,0,1}--、{0,1,1,1}--、{0,1,1,1}--、{1,1,1,0}--，12个；5、{四个0}：{0,0,0,0}，1个；6、{两个1-，两个1}：{1,1,1,1}--、{1,1,1,1}--、{1,1,1,1}--、{1,1,1,1}--、{1,1,1,1}--、{1,1,1,1}--，6个；7、{两个0，一个1和1-}：{1,1,0,0}-、{1,0,1,0}-、{1,0,0,1}-、{0,1,1,0}-、{0,1,0,1}-、{0,0,1,1}-、{1,1,0,0}-、{1,0,1,0}-、{1,0,0,1}-、{0,1,1,0}-、0,1,0{,}1-、{0,0,1,1}-，12个；综上，数列{}n a 共有51个.当1k =，2l =时，121a a +≤，当1k =，3l =时，1231a a a ++≤，当2k =，3l =时，231a a +≤，当2k =，4l =时，2341a a a ++≤，当3k =，4l =时，341a a +≤，所以{1,1,1,0}-、{1,1,0,1}-、{1,0,1,1}-、{0,1,1,1}-、{1,0,1,1}-、{1,1,0,1}-、{0,1,1,1}-、{1,1,1,0}-、{1,1,1,0}--、{1,1,0,1}--、{1,0,1,1}--、{0,1,1,1}--、{1,0,1,1}--、{1,1,0,1}--、{0,1,1,1}--、{1,1,1,0}--、{1,1,1,1}--、{1,1,1,1}--、{1,1,1,1}--、{1,1,1,1}--，20个不满足；综上，满足要求的数列{}n a 有31个.故答案为：3112.构造一个二元二次方程组()(),0,0f x y g x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，使得它的解恰好为1112x y =⎧⎨=⎩，2234x y =⎧⎨=-⎩，要求(),0f x y =与(),0g x y =的每个方程均要出现x ，y 两个未知数．答：________.【答案】()()2235021100x y x y +-=⎧⎪⎨-++-=⎪⎩【分析】不妨令(),0f x y =为过()1,2、()3,4-两点的直线，(),0g x y =为以()1,2、()3,4-两点为直径的圆，即可满足题意.【详解】过()1,2、()3,4-两点的直线为214231y x --=---，整理得350x y +-=()1,2、()3,4-=()1,2、()3,4-两点的中点坐标为()2,1-则以()1,2、()3,4-两点为直径的圆为()222(1)10x y -++=则可令(),0f x y =为350x y +-=，(),0g x y =为()222(1)10x y -++=故答案为：()()2235021100x y x y +-=⎧⎪⎨-++-=⎪⎩二、选择题（本大题满分20分，共4题，每题5分）13.在ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对应的边分别是a 、b 、c ．已知α：sin sin A B >，β：a b >，则α是β的（）．A.充分非必要条件；B.必要非充分条件；C.充要条件；D.既非充分又非必要条件．【答案】C【分析】利用定义法直接判断.【详解】充分性：由正弦定理sin sin a b A B=.因为sin sin A B >，可得a b >.故充分性满足；必要性：由正弦定理sin sin a b A B=.因为a b >，可得sin sin A B >.故必有性满足.故α是β的充要条件.故选：C14.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点E ，F 分别是棱11A C ，BC 的中点，则下列结论中不正确的是（）A.1CC ∥平面11A ABB B.AF ∥平面111A BC C.EF ∥平面11A ABB D.AE ∥平面11B BCC 【答案】D 【分析】由线面平行的判定定理，面面平行的性质定理依次判断各选项即可得出结果.【详解】在直三棱柱111ABC A B C -中，因为1CC ∥1AA ,1CC ⊄平面11A ABB ,1AA ⊂平面11A ABB ,所以1CC ∥平面11A ABB ，A 正确；因为平面ABC //平面111A B C ，AF ⊂平面ABC ，所以AF ∥平面111A B C ，B 正确；取AB 中点G ,连接1,A G GF ,因为点G ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，所以12//GF AC ,且11//2A E AC ,所以1//GF A E ，四边形1GFEA 为平行四边形，所以EF ∥1A G ,EF ⊄平面11A ABB ，1A G ⊂平面11A ABB ,所以EF ∥平面11A ABB ,C 正确；取AC 中点H ,连接1C H ,可证得四边形1AHC E 为平行四边形，所以EA ∥1C H ,1C H 与平面11C CBB 相交,所以AE 与平面11C CBB 相交,D 不正确；故选:D.15.若a ，b ，c ，d 成等比数列，则下列三个数列：①,,a b b c c d +++；②,,ab bc cd ；③,,a b b c c d ---，必成等比数列的个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】B【分析】对于等比数列，注意相邻项加减所成的数列含0的情况判断①③即可.【详解】若a ，b ，c ，d 为1,1,1,1--，则,,a b b c c d +++不为等比数列，①不符合；由a ，b ，c ，d 必非零且公比为q ，则,,ab bc cd 也非零且公比为2q ，②符合；若a ，b ，c ，d 为1,1,1,1，则,,a b b c c d ---不为等比数列，③不符合；故选：B 16.已知平面向量a ，m ，n ，满足4a = ，221010m a m n a n ⎧-⋅+=⎪⎨-⋅+=⎪⎩ ，则当m 与n 的夹角最大时，m n -u r r 的值为（）A.4B.2C.3D.1【答案】C 【分析】以O 为原点建立平面坐标系，设(4,0)a = ，(,)m x y = ，根据向量的数量积的运算公式，分别求得向量,m n 的终点所表示的轨迹方程，进而根据圆的性质，即可求解．【详解】设,,a m n 的起点均为O ，以O 为原点建立平面坐标系，如图所示，不妨设(4,0)a = ，(,)m x y = ，则222m x y =+ ，4a m x ⋅= ，由210m a m -⋅+= 可得22410x y x +-+=，即22(2)3x y -+=，∴m 的终点M 在以(2,0)3同理n 的终点N 在以(2,0)3显然当OM ，ON 为圆的两条切线时，MON ∠最大，即m 与n 的夹角最大．设圆心为A ，则3AM =221OM OA AM =-=，则3sin 2MOA ∠=，∴60MOA ∠=︒，设MN 与x 轴交于点B ，由对称性可知MN x ⊥轴，且2MN MB =，∴322sin 2132MN MB OM MOA ==⋅∠=⨯⨯=即当m 与n 的夹角最大时，3m n -=故选：C三、解答题（本大题满分76分）17.如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，1AB =，BC =P ABCD -的体积为3，M 为BC 的中点．（1）求异面直线AM 与PB 所成的角；（2）求直线PM 与平面PBD 所成的角．【答案】（1）2π；（2）arccos15或15arcsin 15.【分析】（1）由Rt Rt ABM DAB 得到AM BD ⊥，根据线面垂直的性质有PD AM ⊥，再由线面垂直的判定、性质可证AM PB ⊥，即可知AM 与PB 所成的角；（2）设,AM BD 相交于一点O ，连接OP ，易知MPO ∠是直线PM 与平面PBD 所成的角，进而求出角的大小.【小问1详解】由题设，22BM AB AB AD ==且90ABM DAB ∠=∠=︒，故Rt Rt ABM DAB ，所以90BAM AMB BAM ABD ∠+∠=∠+∠=︒，故AM BD ⊥.因为PD ⊥底面ABCD ，AM ⊂底面ABCD ，所以PD AM ⊥，因为PD 与BD 相交于一点D ，且,PD BD ⊂面PBD ，所以AM⊥平面PBD，又PB⊂平面PBD，则AM PB⊥，所以异面直线AM与PB所成的角为2π【小问2详解】设,AM BD相交于一点O，连接OP，由（1）知：AM⊥平面PBD，所以MPO∠是直线PM与平面PBD所成的角，2DA DO DB=⋅Q，则DO=213OP∴==,102PM===,所以213cos15OPMPOMP∠===，即所求线面角的大小为arccos15或arcsin15.18.已知数列{}n a和{}n b，其中2n anb=，*Nn∈，数列{}n na b+的前n项和为nS．（1）若2na n=，求nS；（2）若{}n b是各项为正的等比数列，3nS n=，求数列{}na和{}nb的通项公式．【答案】（1）()24413nnS n n=++-（2）1na=，2nb=【分析】（1）先判定数列{}n a和{}n b分别为等差和等比数列，进而分别得到其通项公式，从而利用分组求和的方法得到数列{}n na b+的前n项和nS．（2）利用数列{}n na b+的前n项和3nS n=列出方程组，解之即可求得1a、d、1b、q，进而求得数列{}na和{}nb 的通项公式．【小问1详解】当2n≥时，122(1)2n na a n n--=--=，从而{}n a是等差数列，2na n=112122242nn nnaa ananbb----====，所以{}n b是等比数列又121242a b ===，则1444n nn b -=⨯=所以()()()2414224412143n n n n n S n n -⋅+=+=++--【小问2详解】{}n b 是各项为正的等比数列，设其首项为1b ，公比为q ，由2n a n b =，可得2log n n a b =，则12122log log log n n n n a a b b q ++-==-（定值）则数列{}n a 为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ，由数列{}n n a b +的前n 项和3n S n =，可得方程组1111211311332333a b a d b q a d b q a d b q +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩整理得211311020d b q b q d b q b q ⎧+-=⎨+-=⎩解得()2110b q q -=1001b q q ≠≠∴= ，，则0d =由1123a a +=，可得11a =，则12b =则数列{}n a 的通项公式为1n a =；数列{}n b 的通项公式为2n b =．19.如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点A 、B 及CD 的中点P 处．20AB =km ，10BC =km ．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域内（含边界）且与A 、B 等距的一点O 处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO ，BO ，PO ．记铺设管道的总长度为y km．（1）设BAO θ∠=（弧度），将y 表示成θ的函数并求函数的定义域；（2）假设铺设的污水管道总长度是(10+km ，请确定污水处理厂的位置．【答案】（1）2010sin π10,0cos 4y θθθ-=+≤≤（2）位置是在线段AB 的中垂线上且离AB 的距离是1033km 【分析】（1）依据题给条件，先分别求得OA OB OP 、、的表达式，进而得到管道总长度y 的表达式，再去求其定义域即可解决；（2）先解方程2010sin 1010cos θθ-+=+，求得π6θ=，再去确定污水处理厂的位置.【小问1详解】矩形ABCD 中，20AB =km ，10BC =km ，DP PC =，DC PO ⊥，BAO ABO θ∠=∠=则()10km,1010tan km cos OA OB OP θθ===-，201010tan cos y OA OB OP θθ∴=++=+-则2010sin π10,0cos 4y θθθ-=+≤≤【小问2详解】令2010sin 1010cos θθ-+=+π10sin 20,20sin 20,3θθθ⎛⎫∴+=∴+= ⎪⎝⎭则πsin 1,3θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭又π04θ≤≤，即ππ7π3312θ≤+≤，则ππ32θ+=，则π6θ=此时π1010tan 106OP =-=所以确定污水处理厂的位置是在线段AB 的中垂线上且离AB的距离是3km 20.椭圆22468x y +=上有两点()8,A A y 和(),4T T x -，0,0A T y x ><．点A 关于椭圆中心O 的对称点为点B ，点(),2P t t -()0t ≠在椭圆内部，1F 是椭圆的左焦点，2F 是椭圆的右焦点．（1）若点P 在直线AT 上，求点P 坐标；（2）是否存在一个点P，满足21PF PF -= ，若满足求出点P 坐标，若不存在请说明理由；（3）设AOP 的面积为1S ，BTP 的面积为2S ，求12S S 的取值范围．【答案】（1）612,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）不存在，理由见解析；（3）170,6⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）先求得A T 、两点坐标，进而可得直线AT 的方程，将点坐标代入该方程，解之即可求得点P 坐标；（2）假设存在符合条件21PF PF -= P ，列方程去求点P 坐标，再以点(),2P t t -在椭圆内部去判别是否存在；（3）先求得12S S 的表达式()f t ，再去求()f t 的值域，进而求得12S S 的取值范围．【小问1详解】由点()8,A A y 和点(),4T T x -()0,0A T y x ><在椭圆22468x y +=上可得()8,1A ，()2,4T --，则直线AT 方程为132y x =-，又点(),2P t t -()0t ≠在直线AT 上，则1232t t -=-，解之得65t =，则612,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭【小问2详解】椭圆22468x y +=的两焦点())120,0F F 假设存在一个点P，满足21PF PF -= 则点P一定在双曲线(22213x y x b -=≤的左半支上，由2251a b +=，可得(221348x y x -=≤又(),2P t t -()0t ≠，则2241,2348t t t -=∴=±，又因为点P 在椭圆内部，所以()224268t t +-<，得()()2,00,2t ∈- 所以满足条件的点P 不存在．【小问3详解】两点()8,1A 、()8,1B --和()2,4T --在椭圆22468x y +=上，点(),2P t t -()0t ≠在椭圆内部，()()2,00,2t ∈- 则直线OA 的方程为80x y -=，点(),2P t t -到直线OA 的距离d ==则AOP S =△11117222S OA d t =⋅==，同理直线BT 的方程为2100x y ++=，点(),2P t t -到直线BT的距离d '==则BTP S =△2309113092222t t S BT d --'=⋅=⨯==令()()()1217,2,00,2309t S f t t S t ==∈-- ，则()()()1217,0,230917,2,0309t t S t f t t S t t ⎧∈⎪⎪-==⎨-⎪∈-⎪-⎩由02t <<，可得3015t >，3096t ->，171703069t<<-，即171703096t t <<-由20t -<<，可得3015t <-，30924t -<-，1717030249t-<<-，即1717030924t t -<<-综上，()f t 的取值范围为170,6⎛⎫ ⎪⎝⎭则12S S 的取值范围为170,6⎛⎫ ⎪⎝⎭21.对于函数()y f x =，如果对于定义域D 中任意给定的实数x ，存在非负实数a ，使得()()()f x f a x f a +-≥恒成立，称函数()y f x =具有性质()P a ．（1）判别函数()3m x x =，()0,2x ∈和()n x x =，R x ∈是否具有性质(2)P ，请说明理由；（2）函数()22x x g x -=-，x ∈R ，若函数()y g x =具有性质()P a ，求a 满足的条件；（3）若函数()h x 的定义域为一切实数，()h x 的值域为[)2,+∞，存在常数0a 且()h x 具有性质()0P a ，判别()()lg x h x τ=是否具有性质()0P a ，请说明理由．【答案】（1）答案见解析；（2）0a =；（3）()()lg x h x τ=具有性质()0P a ，理由见解析.【分析】（1）由性质()P a 的定义，结合作差法判断函数是否具有性质(2)P 即可；（2）根据已知条件有()2221212221022a a x x a a a ⎛⎫⎛⎫---+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意x ∈R 恒成立，讨论0a =、0a >判断不等式是否恒成立，即可得参数范围；（3）由()h x 的性质可得()()()()()0000h x h a x h a x h x h a -≥-+≥>，再根据对数函数的单调性及性质()P a 定义判断()()lg x h x τ=是否具有性质()0P a .【小问1详解】()()()3322(2)28612m x m x m x x x x +--=+--=- ，()0,2x ∈，所以26120x x -<，则()()(2)2m x m x m +-<，故()3m x x =，()0,2x ∈不具有性质(2)P ；()()222n x n x x x +-=+-≥ ，()()()22n x n x n ∴+-≥恒成立，故()n x x =,R x ∈具有性质(2)P .【小问2详解】由()22x x g x -=-，则()()()()()2222220a x x x a x a a g x g a x g a -----+--=-+---≥，()2221212221022a a x x a a a ⎛⎫⎛⎫---+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意R x ∈恒成立，显然0a =时，上式不等式成立；0a >时210a ->，则()()()()22221221220x x a a x x a -++=--≥，对任意R x ∈不恒成立，舍去；综上，0a =.【小问3详解】因为()h x 具有性质()0P a ，所以()()()00h x h a x h a +-≥，因为函数的值域为[)2,+∞，所以()()02,2h x h a x ≥-≥，则()()()0012h x h a x h a x -≥-，()()()012h x h a x h x -≥，()()()()00h x h a x h a x h x ∴-≥-+，()()()()()0000h x h a x h a x h x h a ∴-≥-+≥>，()()()()00lg lg x a x h x h a x ττ+-=+- ()()()()[]()0000lg lg lg lg ()()lg h x h a x h x h a x h x h a x h a ∴+-=-≥+-≥，所以()()()00x a x a τττ+-≥，即()()lg x h x τ=具有性质()0P a .【点睛】关键点点睛：第三问，注意应用性质()0P a 、不等式性质得到()()()00h x h a x h a +-≥、()()()0012h x h a x h a x -≥-、()()()012h x h a x h x -≥，进而有()()()()()0000h x h a x h a x h x h a -≥-+≥>，结合对数函数的单调性判断结论.。
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上海市奉贤区2009学年第二学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷（文科）（满分150分，时间120分钟）2010.4考生注意：1、在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题．2、可使用符合规定的计算器答题．一、填空题（本大题满分56分，本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分）1、已知集合A=}21|{<<-x x ，集合B=2{|2}x x <，则B A =___________。
2、函数x x y cos sin =的最小正周期是___________。
3、函数2)1(log +-=x y a )1,0(≠>a a 的图像恒过一定点是_________。
4、若复数z 满足132i2izz =--（i 是虚数单位），则z =__________。
5、10(1的二项展开式中含2x 项的系数为 。
6、直线13+-=x y 的方向向量与x 轴的正方向上的单位向量i 的夹角是___________。
7、已知一个关于y x ,的二元线性方程组的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛-210211，则y x +=______________。
8、已知一组数),(y x 满足：⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥100y x y x ，则表达式y x -的取值范围是_____。
9、在已知四面体ABCD 中，E 、F 分别是BC 、AD 中点，EF=5， AB=8，CD=6，则AB 与CD 所成的角的大小_________。
10、某程序框图，该程序执行后输出的W = 。
11、已知某企业职工年收入的频率分布如表所示试估计该企业职工的平均年收入为__ ____（万元）。
12、P 是函数xx y 1+=上的图像上任意一点，则P 到y 轴的距离与P 到x y =的距离之积是________。
13、已知点P （-1，1）和点Q （2，2）,若直线l ：0x my m ++=与线段PQ 不相交，则实数m 的取值范围是 。
14、由曲线22x y =，22x y =-，2x =，2x =-围成的图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为1V ；满足224x y +≤，22(1)1x y +-≥，22(1)1x y ++≥的点组成的图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为2V ，试写出1V 与2V 的一个关系式 。
二、选择题（本大题满分20分，每小题5分） 15、已知一球半径为2，球面上A 、B 两点的球面距离为32π,则线段AB 的长度为（ ） （A ） 1 （B ）3 （C ） 2 （D ） 23 16、下列4个命题中：（1）存在(0,),x ∈+∞ 使不等式 23x x< 成立（2）不存在(0,1),x ∈ 使不等式23log log x x <成立（3）任意的(0,),x ∈+∞ 使不等式2log 2x x <成立（4）任意的(0,),x ∈+∞ 使不等式21log x x<成立 真命题的是 ---------------( )（A ） （1）、（3） （B ） （1）、（4） （C ） （2）、（3） （D ） （2）、（4） 17、若lim(12)nn x →∞-存在，则实数x 的取值范围为-------（ ）（A ） (]0,1 （B ）[)0,1 （C ）(0,1) （D ）110,,122⎡⎫⎛⎫⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭18、如图,函数)(x f y =的图像是中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆的两段弧,则不等式x x f x f +-<)()(的解集为 ----------------（ ）（A ）⎭⎬⎫≤<⎩⎨⎧-<≤-222,222|x x x 或 （B ）{}22,22|≤<-<≤-x x x 或 （C ）{}22,02|≤<<<-x x x 或 （D ） {}0,22|≠<<-x x x 且三、解答题：（本大题共5题，总分74分）19、（本题满分12分）如图，已知三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，2ACB π∠=，若3AC =()dm , 4BC =()dm ,14AA =()dm ,D 、E分别在棱1AA 和1CC 上，且13DA =()dm ，12EC =()dm ，若用此直三棱柱作为无盖盛水容器，且在D 、E 两处发生泄露，试问现在此容器最多能盛水多少（L ）？B1A 1C 1ABCDE20. （本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分） 已知椭圆C)0,2(1-F ,)0,2(2F 。
（1）求椭圆C 的方程；（2）已知)0,3(-A ,)0,3(B , p ()p p x y ，是椭圆C 在第一象限部分上的一动点，且APB ∠是钝角,求p x 的取值范围；21、（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分） （1）已知)2,0(,πβα∈，且1tan tan <⋅βα，比较βα+与2π的大小； （2）试确定一个区间D ，)2,2(ππ-⊆D ，对任意的α、D ∈β，当2πβα<+时，恒有βαcos sin <；并说明理由。
说明：对于第（2）题，将根据写出区间D 所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分.22、 （本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分） 已知函数2()1xf x x -=+； （1）求出函数()f x 的对称中心；（2）证明：函数()f x 在(1,)-+∞上为减函数；（3）是否存在负数0x ，使得00()3x f x =成立，若存在求出0x ；若不存在，请说明理由。
23、（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）已知数列{}n a 满足：61=a ，)2)(1(21++++=+n n a nn a n n ， （1）求2a ，3a ； （2）若(1)nn a d n n =+，求数列{}n d 的通项公式；（3）若32n n a kC +=，（其中mn C 表示组合数），求数列{}n a 的前n 项和n S ；奉贤区高三数学试卷参考答案（文科）2010．4一、填空题1．( 2． π 3．（2，2） 4． 475i - 5． 210 6． 1200或6007． 6 8． [-1,1] 9． 90010． 22 11． 5.1 12．13． 21(,),32⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭14． 1V = 2V 二、选择题 15. C 16. A 17. B 18.C三、解答题 19．解：由三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，2ACB π∠=1111ABC A B C ABC V S AA -∆=∙ =142AC BC ∙∙∙=24 （4分）13B ADEC ADEC V BC S -∆=∙=11()32AD CE AC BC ∙+∙∙11(12)34632=⋅⋅+⋅⋅= （4分）此容器最多能盛水 11118ABC A B C B ADEC V V L ---= （4分）20．解：（1）22222,2,59,5a c abc b a b ===+∴== （4分） 所以椭圆C 的标准方程为15922=+y x 。
（2分） （2）(3,),(3,)p p p p PA x y PB x y =---=-- （2分）且APB ∠是钝角2290p p PA PB x y ∴⋅=-+< （2分）22195p p x y +=又33p x ∴-<< （2分）又点p 在第一象限 所以：03p x << （2分）21.解:(同理科) 22．解：（1）2133()1111x x f x x x x ---+===-++++ （2分） ∴函数()f x 的对称中心为（-1，-1） （2分）（2）任取12,(1,)x x ∈-+∞，且12x x < （1分） ∵12211212122233()()011(1)(1)x x x x f x f x x x x x ----=-=>++++ （4分） ∴函数()f x 在(1,)-+∞上为减函数 （1分） （3）不存在 （1分）假设存在负数0x ，使得00()3xf x =成立， 则000,031x x <∴<< （1分）即00()1f x << ∴002011x x -<<+ 00000012122110112x x x x x x -<<⎧-<<⎧⎪⎪=>-+⎨⎨<<->⎪⎪+⎩⎩或 0122x =><< （2分） 与00x <矛盾， （1分）所以不存在负数0x ，使得00()3xf x =成立。
（1分） 另:131)(++-=x x f ，由00<x 得： 1)(0-<x f 或2)(0>x f 但1300<<x，所以不存在。
23．解：（1）224a =，360a =（4分）；（2）)2)(1(21++++=+n n a nn a n n变为：1111(2)(1)(1)n nn n a a d d n n n n ++=+=>-=+++ （3分）所以{}n d 是等差数列，11312a d ==⋅，所以3(1)2n d n n =+-=+ （3分） （3）由（1）得)2)(1(++=n n n a n （1分）32n n a kC +=(1)(2)6n n n k ++=∙， 6k = （2分）即：)2)(1(++=n n n a n =326+n C （1分） 所以，123n n S a a a a =++++=)(632353433+++++n C C C C （1分）=436n C + （2分）(1)(2)(3)4n n n n +++=（1分）。