九年级数学下册24.3.1圆周角定理及推论课件(新版)沪科版
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最新沪科版初中数学九年级下册24.3第1课时圆周角定理及推论优质课课件(2)
A
O
C
B
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的 圆周角所对的弦是直径.
例2 如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点P，
∠ACD
=解60：°连，接∠BACD，C=则7∠0°A.C求B=∠90A°PC，的度数.
∠DCB =∠ACB－∠ACD = 90°－60°=30°.
A 又 ∵ ∴∠∠BAAPCD==∠∠DBCABD=+3∠0°A，DC =30°+70°=100°.
A B
AB E
O
C
F
D
练一练
如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四
边形ABCD的对角线， 完成下列填空：
∠1= ∠4 .
D
∠2=∠8 .
78
∠3=∠6 . ∠5=∠7 .
A1 2 34
(
O
6 5
C
B
D 思考：如图，AC是圆O的直径，
则∠ADC = 90° ， ∠ABC= 9.0°
CD EF，COD EOF.
A 1 COD，B 1 EOF，
2
2
E O
A B.
C
F
D
想一想：反过来，若∠A=∠B，那么 CD EF 成立吗？
知识要点
圆周角定理推论1
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
相等的圆周角所对的弧也相等.
几何语言
CD EF
并且两边都与圆还有另一个公
共点的角叫做圆周角.
B
O C
判一判：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.
B O·
B
C
A
O·
A
C O·
九年级数学下册 24.3 圆周角(第1课时)课件 (新版)沪科版
·
·
·
·
·
第二页，共20页。
在射门游戏中,球员射中球门的难易与它所处的 位置(wèi zhi)B对球门AC的张角（ ∠ABC ）有 关.
A
B D
思考：图中的∠ABC的顶点各在圆的什么 (shén me)位置？∠ABC的两边和圆是什么 (shén me)关系？
第三页，共20页。
C E
A●
●O
●C
A
提示(tíshì):能否也转化为①的情况? A
C
过点B作直径(zhíjìng)BD.由①可得:
∠ABD = ∠1 AOD,∠CBD = ∠1 COD,
B
●O
D
∴
2
∠ABC
=
1∠AOC.
2
2
一条弧所对的圆周角等于
你能写出这个命题吗? 它所对的圆心角的一半.
第十二页，共20页。
圆周角定理(dìnglǐ)
(2)
4.如图(2),在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么(shén me)关 系?为什么(shén me)?
第十六页，共20页。
随堂练习 1.举出生活中含(l有iàn(hxáí)n yǒu)圆周角的例子.
2.如图.在⊙O中.∠BOC=50°，求∠BAC 的 大小(dàxiǎo).
1
解: ∠A= ∠BOC = 25°.
同一条(yī tiáo)弧所对的圆周角等 于它所对的圆心角的一半
即ABC= 1 AOC
A
A2
A
C
C
C
●O
●O
●O
B
B B
第十三页，共20页。
做一做
A
· 100°
C
B
沪科版九年级下册数学：24.3 圆周角定理及其推论 课件(共19张PPT)
24.3 圆周角 永康中学 李杰
一. 复习引入:
1.圆心角的定义?
O.
答:顶点在圆心的角叫圆心角
2.上节课我们学习了一个反映圆
心角、弧、弦、弦心距四个量之 B
C
间关系的一个结论，这个结论是
什么？
在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦、
弦心距有一组量相等，那么它们所对应的其余
三组量都分别相等。
探探索索1:
我们知道：顶点在圆心的角叫圆心角， 当圆心角的顶点发生变化时,我们得到 以下三种情况A:
A
A
.OΒιβλιοθήκη BC圆内角
.
O
B
C
圆外角
.
O
B
C
圆周角
考考你：你能仿照圆心角的定义，给下 图中象∠ACB 这样的角下个定义吗？
顶点在圆上，并且两边 都和圆还有另一个公共 点的角叫做圆周角
辩一辩 图中的∠CDE是圆周角吗C?
C
D
C
E
E D
E D
C D
E
如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面的示意图,人们可以通
过其中的圆弧形玻璃AB 观看窗内的海洋动物,同学甲站在 圆心的O 位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C， 他们的视角（∠AOB 和∠ACB）有什么关系？如果同学丙、 丁分别站在他靠墙的位置D和E，他们的视角（ ∠ADB 和 ∠AEB ）和同学乙的视角相同吗？
圆周角和圆心角的关系
3.考虑第三种情况
当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC 与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
能否也转化为1的情况?
过点B作直径BD.由1可得:
∠ABD = 1 ∠AOD,∠CBD = 1 ∠COD,
一. 复习引入:
1.圆心角的定义?
O.
答:顶点在圆心的角叫圆心角
2.上节课我们学习了一个反映圆
心角、弧、弦、弦心距四个量之 B
C
间关系的一个结论，这个结论是
什么？
在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦、
弦心距有一组量相等，那么它们所对应的其余
三组量都分别相等。
探探索索1:
我们知道：顶点在圆心的角叫圆心角， 当圆心角的顶点发生变化时,我们得到 以下三种情况A:
A
A
.OΒιβλιοθήκη BC圆内角
.
O
B
C
圆外角
.
O
B
C
圆周角
考考你：你能仿照圆心角的定义，给下 图中象∠ACB 这样的角下个定义吗？
顶点在圆上，并且两边 都和圆还有另一个公共 点的角叫做圆周角
辩一辩 图中的∠CDE是圆周角吗C?
C
D
C
E
E D
E D
C D
E
如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面的示意图,人们可以通
过其中的圆弧形玻璃AB 观看窗内的海洋动物,同学甲站在 圆心的O 位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C， 他们的视角（∠AOB 和∠ACB）有什么关系？如果同学丙、 丁分别站在他靠墙的位置D和E，他们的视角（ ∠ADB 和 ∠AEB ）和同学乙的视角相同吗？
圆周角和圆心角的关系
3.考虑第三种情况
当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC 与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
能否也转化为1的情况?
过点B作直径BD.由1可得:
∠ABD = 1 ∠AOD,∠CBD = 1 ∠COD,
九年级下册数学课件(沪科版)圆周角定理及推论
四边形ABCD的对角线，完成下列填空：
∠1= ∠4 .
D
∠2= ∠8 .
78
∠3= ∠6 . ∠5= ∠7 .
A1 2 34
(
O
6 5
C
B
D 思考：如图，AC是圆O的直径，
则∠ADC = 90°， ∠ABC= 90°.
A
O
C
B
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的 圆周角所对的弦是直径.
例2 如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点P，∠ACD = 60°，∠ADC=70°. 求∠APC的度数.
任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC相
等吗？请说明理由.
相等，∵ BAC 1 BOC，
D
2
BDC 1 BOC， 2
∴∠BAC=∠BDC.
问题2 如图，若 CD EF，∠A与∠B相等吗？
相等，
AB
CD EF，COD EOF.
A 1 COD，B 1 EOF，
证明：∵ ACB 1 AOB， 2
BAC 1 BOC， 2
∠AOB=2∠BOC，
A
O C
∴∠ACB=2∠BAC.
B
7. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交
BC于D，交AC于E.
(1) BD与CD的大小有什么关系?为什么?
解：BD=CD. 理由如下：连接AD，
A
∵AB是圆的直径，点D在圆上，
解：连接BC，则∠ACB=90°，
∠DCB =∠ACB－∠ACD = 90°－60°=30°.
A 又∵∠BAD=∠DCB=30°， ∴∠APC =∠BAD +∠ADC =30°+70°=100°.
沪科版九年级下册数学 课时1 圆周角定理及推论 教学PPT课件
∴⊙O的周长为2π×2＝4π(cm)．
拓展与延伸
1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，
∠1＝∠BCD.
D
(1)求证：CB∥PD； (2)若BC＝3，sinP＝ 3，求⊙O的直径．
5
拓展与延伸
(1)证明：∵同弧所对的圆周角相等，∴∠BCD＝∠P.
又∵∠1＝∠BCD，∴∠1＝∠P，∴CB∥PD.
(2)解：如图，连接AC.
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
又∵CD⊥AB，∴ BD BC,
∴∠P＝C 3 .
5
AB 5
又∵BC＝3，
∴AB＝5，∴⊙O的直径为5.
新课讲解
练一练
1 下列四个图中，∠x为圆周角的是( C )
2 如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB， 若∠C＝25°，则∠BOD的度数是( D ) A．25°B．30° C．40°D．50°
新课讲解
知识点2 圆周角定理的推论
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相 等的圆周角所对的弧也相等.
第24章 圆
24.3 圆周角
课时1 圆周角定理及推论
目 录
CONTENTS
1 学习目标 3 新课讲解 5 当堂小练 7 布置作业
2 新课导入 4 课堂小结 6 拓展与延伸
学习目标
1.识别圆周角，了解圆周角与圆心角的关系.（重点） 2.能够理解和掌握圆周角定理及推论，并进行简单的 计算与证明. （难点）
分析：(1)观察图形发现∠BAC与∠BDC为 同弧所对的圆周角，故∠BAC＝∠BDC＝60°；
(2)要求圆的周长，必须先求出半径，可利用垂径 定理，即连接OA，作OE⊥AC于点E，构造直 角三角形求出半径．
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BAC BAD DAC 1 (BOD DOC) 1 BOC
DAC 1 DOC 2
2
2
圆心O在∠BAC的外部
A
OO
D
D
C
B BAC DAC DAB
1 (DOC DOB) 1 BOC D
2
2
DAC 1 DOC
A
2
O
C
DAB 1 DOB
2
∴∠BAC=∠BDC
问题2 如图，若 CD EF，∠A与∠B相等吗？
相等
AB
CD EF，COD EOF.
A 1 COD，B 1 EOF，
2
2
E O
A B.
C
F
D
想一想：(1)反过来，若∠A=∠B，那么CD EF 成立吗？
(2)若CD是直径，你能求出∠A的度数吗？
A
2
O
B
知识要点
圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 几何语言： 如图，点A，B，C是☉O 上的点， 连接AB，AC，OB，OC，则
BAC 1 BOC 2
典例精析
例1 如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=
2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC.
证明： ACB 1 AOB, 2
知识要点
圆周角定理推论
推论1 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
相等的圆周角所对的弧也相等. 几何语言
CD EF
A B
AB E
O
C
F
D
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所
对的弦是直径.
几何语言 ∵ AB是直径
C1
C2
C3
∴∠AC1B=90°
∵ ∠AC1B=90° ∴ AB是直径.
1.圆心角的定义? 答:顶点在圆心的角叫圆心角. 2.圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系? 答：相等. 3.下列命题是真命题的是( B ) ①在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等； ②相等的圆心角所对的弧相等 ③圆既是轴对称图形,又是中心对称图形 A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
情境引入 如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面示意图,人们可以通过其 中的圆弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物,同学甲站在圆心O的 位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角 (∠AOB和∠ACB)有什么关系?如果同学丙、丁分别站在其他 靠墙的位置D和E，他们的视角（ ∠ADB和∠AEB）和同学乙 的视角相同吗？
第24章 圆
24.3 圆周角
第1课时 圆周角定理及推论
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理. 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解 决简单的几何问题.（重点、难点） 3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用. （难点）
导入新课
复习引入
判一判：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.
B O·
B
C
A
O·
A C
O·
C A（1） √
A
顶点（不2）在圆上 B
B 边AC（没3有）和圆相交
CC
O·
A O·
·O
A B
B
C
顶点不在圆上
（5）√
√ （6）
二 圆周角定理
合作探究 问题1 如图，点A、B、C、D都是☉O 上的点，请问图中哪些
是圆周角？哪些是圆心角?
BAC 1 BOC, 2
∠AOB=2∠BOC，
O
A
C
B
∴∠ACB=2∠BAC
三 圆周角定理的推论
互动探究
问题1 如图，OB，OC都是⊙O的半径，点A ,D 是上任意
两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC相等吗？
请说明理由.
BAC 1 BOC,
D
2
相等
BDC 1 BOC,
当堂练习
1.判断 （1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ √ ） （2）相等的弦所对的圆周角也相等 （ × ） （3）900的角所对的弦是直径 （ × ） （4）同弦所对的圆周角相等 （ × ）
2.如图，AB是☉O的直径, C 、D是圆上的两点,∠ABD=40°,
50° 则∠BCD=＿＿＿_.
例3 如图，☉O直径AC为10cm，弦AD为6cm. （1）求DC的长；
（2）若∠ADC的平分线交☉O于B,
求AB、BC的长．
解：(1)∵AC是直径， ∴ ∠ADC=90°.
B
在Rt△ADC中，
DC AC2 AD2 102 62 （8 cm);
(2)∵ AC是直径,
∴ ∠ABC=90°.
∵BD平分∠ADC,
∴∠ADB=∠CDB.
又∵∠ACB=∠ADB , ∠BAC=∠BDC .
∴ ∠BAC=∠ACB,
B
∴AB=BC.
在Rt△ABC中，AB2+ 10 5 2(cm).
2
2
方法归纳
解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条 件，通常考虑构造直角三角形来求解.
观察图中∠ACB、∠ADB 和∠AEB与我们学过的圆
心角有什么区别？
讲授新课
一 圆周角的概念
互动探究 问题1 圆心角顶点发生变化时,我们得到几种情况 ?
思考：三个图中的∠BAC的顶点A各在圆的什么位置？ 角 的两边和圆是什么关系？
知识要点 定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
（两个条件必须同时具备，缺一不可）
D
一半.
推导验证
圆心O在∠BAC 的内部
圆心O在∠BAC 的一边上
圆心O在 ∠BAC 的外部
圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
OA=OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠ A+ ∠C
BAC 1 BOC 2
圆心O在∠BAC的内部
A
A
A
O
OO
O
B
B
C
C
D
BAD 1 BOD 2
D
D
A O
B
典例精析
例2 如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点P,∠ACD=60°,
∠ADC=70°.求∠APC的度数.
解:连接BC,则∠ACB=90°,
∠DCB＝∠ACB－∠ACD＝
A
90°－60°=30°.
又∵∠BAD=∠DCB=30°,
C
.O
P
B
D
∴∠APC=∠BAD＋∠ADC＝30°＋70°＝ 100°.
圆心角：∠BOC
圆周角：∠BAC，∠BDC
D
问题2 分别量出这些角的度数，你
有什么发现？
∠BAC=∠BDC
∠BOC=2∠BAC
问题3 变动点D的位置，看看弧BC所对的圆周角的度数有 没有变化？你能得出什么结论？
变动点D的位置，圆周角的度数
D
D
没有变化，并且圆周角的度数恰
好为同弧所对的圆心角的度数的