27.2.1相似三角形判定定理3
27.2.1_相似三角形的判定(复习)
b １ B
D
四、中考透视
1、如图正方形边长是2，BE=CE，MN=1。线段MN 的两端在CD、AD上滑动，当DM为多长时，△ABE 与以D、M、N为顶点的三角形相似。
A
N
D
M
A
N
D
M
B
E
C
B
E
C
2、已知在△ABC中，∠C=90o ,AC=8cm,BC=6cm, 点P从点A出发，沿AC以3厘米/秒的速度向点C移动， 点Q从点B出发，沿BA以4厘米/秒的速度向点A移动。 如果P、Q分别从A、B 同时出发，移动时间为t秒 (0<t<2.5)。 当t为何值时，以Q、A、P为顶点的三角 形与△ ABC相似？
1、已知如图，DC∥AB，AC、BD相交于点 O，AO＝BO，DF＝FB 求证：DE2＝EC· EO 证明： ∵OA＝OB ∴∠3＝∠2 ∵DF＝FB ∴∠1＝∠2 ∵DC∥AB ∴∠3＝∠4 ∴∠1＝∠4 又∵∠DEO＝∠DEC ∴△DEO∽ △CED ∴ DE/CE ＝ EO/DE ∴DE2＝EC· EO
B
E F C
O D
明理由。
A
巩固提高：
2.如图，在□ABCD中，已知E是 AB的中点，在AD上截取AF=FD， AG EF交AC于G，求 的值.
AC
A E B G
F
D
C
1 、 在△ ABC 与△ AB C 中，有下列条 件： BC AC AB BC ① AB B C ；② ； B C ③∠ AC A＝∠ C ④∠ A C ＝∠ 。如果从中任取两个条件 组 成 一 组 ， 那 么 能 判 断 △ ABC∽△ AB C 的共有（ ）组。 A、1 B 、2 C、3 D、4
27.2.1___相似三角形的判定____(第1课时)
“A”型
A D B
（图1）
“X”型
E A D
E C
B （图2） C
如图,DE//BC,写出图中所有的比例式.
“A”型
A
（图1）D
AD AE DE AB AC BC
AD AB DE BC AD AE BD EC BD CE AB AC AD BD AB AE EC AC
等等
A
E
C
当D不是边AB的中点时，如图,DE//BC, △ADE与△ABC还相似吗? 说明理由.
解：相似，理由如下： 在△ADE与△ABC中 ∠A= ∠A ∵ DE//BC AD AE ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C AB AC 过E作EF//AB交BC于F 则 AE BF AC BC ∵四边形DBFE是平行四边形 ∴DE=BF B
,等
平行线分线段成比例定理：三条 平行线截两条直线，所得的对应 线段的比相等。
推论：平行于三角形一边的直线截 其他两边（或两边的延长线），所 得的对应线段的比相等。
如图,DE//BC,且D是边AB的中点,DE交 AC于E, △ADE与△ABC有什么关系?说明理由. 解：△ADE∽△ABC，理由如下：
相似多边形的性质是什么？相似多边形的判定是什么？ 在相似多边形中最简单的是相似三角形,如图,△ABC 与△A’B’C’相似,它们的对应边和对应角有什么关系?
如何判断两个三角形相似呢?
相似三角形及其表示
在△ABC和△A’B’C’中,如果
∠A=∠A’, ∠B=∠B’, ∠C=∠C’, 我们就说△ABC与△A’B’C’相似, 记作:△ABC∽△A’B’C’ k就是它们的相似比.
A
D
D F
E
《27.2.1 相似三角形的判定(第3课时)》教学设计-人教九下优质课精品
27.2.1相似三角形的判定(第3课时)一、内容和内容解析1．内容判定定理“三边成比例的两个三角形相似”和“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”．2．内容解析全等是相似中放缩比例为1的特殊情形，这为我们提供了一个思路：类比判定两个三角形全等的“SSS”“SAS”方法，发现并提出判定两个三角形相似的简单方法．在探究“三边成比例的两个三角形相似”的过程中，学生通过度量，发现结论成立，再通过作与△A'B'C'相似的三角形，把证明相似的问题转化为证明所作三角形与△ABC全等的问题．“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的证法与前一个判定方法的证明方法类似，再次体现了定理“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”的基础性作用．基于以上分析，确定本节课的教学重点是：判定定理“三边成比例的两个三角形相似”和“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”．二、目标和目标解析1．目标(1)理解三角形相似的两个判定定理．(2)会运用三角形相似的两个判定定理解决简单的问题．2．目标解析达成目标(1)的标志是：理解两个判定定理的含义，能分清条件和结论，能用文字语言、图形语言和符号语言表示．达成目标(2)的标志是：会用两个判定定理判定两个三角形相似，从而解决简单的问题．三、教学问题诊断分析在两个判定定理的证明过程中，教科书作了一个中介三角形，使之与要证的三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例和已知条件证明“中介三角形”与原三角形全等，这种转化的方法学生往往难以想到．其中通过线段的比相等证明线段相等，不同于以往常用的证明线段相等的方法，也会给定理的证明带来一定难度．基于以上分析，确定本节课的教学难点是：判定定理“三边成比例的两个三角形相似”的证明．四、教学过程设计 1．问题引入，类比猜想问题1 (1)两个三角形全等有哪些简便的判定方法？(2)全等是相似比为1的特殊情形．如图1，类比三角形全等的判定，判定△ABC 与△A'B'C'相似，是否有简便的判定方法？你有什么猜想？师生活动：问题(1)由学生口答．问题(2)组织学生分小组讨论，然后全班交流．如果学生对“两角对应相等的两个三角形相似”是否正确存在疑问，可存疑，留在下一节课解决．对学生提出的判断三角形相似的方法进行归纳整理，指出本节课先研究“三边”和“两边及其夹角”的情形．设计意图：通过全等三角形与相似三角形之间特殊与一般的关系，运用类比的思维方式，让学生猜想出两三角形相似的简单判定方法，从而引出下一步要探究的问题．2．画图探究，初步感知问题2 在△ABC 与△A'B'C'中，如果满足B A AB ''＝C B BC ''＝C A AC''＝k ，那么能否判定这两个三角形相似？师生活动：(1)画图探究．教师引导学生任意画△ABC ，取一个便于操作的k 值(如21，2等)，得到△A'B'C'的三边长，再作出△A'B'C'．指导学生把画好的三角形剪下，比较它们的对应角是否相等，判断这两个三角形是否相似．(2)教师借助《几何画板》对k 取任意值的情况进行演示，让学生归纳发现的结论．并说明k ＝1时两个三角形全等，即全等是相似的特殊情况．设计意图：在教师的指导下，学生通过自己动手，探索新知，并与他人交流探讨，感受探索过程．k 取1时，两个三角形全等，取其他值时，两个三角形相似，进一步感受相似与全等的紧密联系．《几何画板》的动态演示，有利于学生更直观地发现结论．ABCA 'B 'C '图13．构造中介，证明定理问题3 怎样证明“三边成比例的两个三角形相似”呢？ 师生活动：(1)学生结合图形写出已知、求证并交流讨论．(2)当学生感到无处入手时，教师用学生剪出的△ABC 与△A'B'C'的纸片为模型，用较小的△ABC 放置于较大△A'B'C'的上(学生取的k 值不同，可能会出现两种图形，但证明的本质是相同的)，点A 与点A'重合，点B 在边A'B'上，记为点D ，将点C 在A'C'上的位置记为点E ．教师追问1：B'C'与DE 有什么位置关系？为什么？ 师生活动：学生直观发现B'C'∥DE ．教师追问2：由B'C'与DE 的位置关系可得到△A'DE 与△A'B'C'相似吗？为什么？ 师生活动：学生回答由“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，得到△A'DE 与△A'B'C'相似．教师追问3：我们先构造了一个与△ABC 全等的中介△A'DE ，得到△A'DE ∽△A'B'C'，然后可得△ABC ∽△A'B'C'．这为我们证明“三边成比例的两个三角形相似”提供了一个思路：能否在△A'B'C'上作一个与△A'B'C'相似的△A'DE ，再证明它与△ABC 全等呢？如何作？师生活动：(1)学生思考交流．教师展示学生的不同作法，并请学生说明△A'DE 与 △ABC 全等的原因．(2)由学生整理出证明思路，教师板书，从而得到三角形相似的判定定理．设计意图：让学生在操作中发现解决问题的方法：作DE ∥B'C'，证明△A'DE ∽△A'B'C'，从而把证明“△ABC 与△A'B'C'相似”的问题转化为证明△ABC ≌△A'DE 的问题．4．类比实验，自主探究问题4 全等三角形有“SAS ”的判定方法，类似地，△ABC 和△A'B'C'中，如果满足B A AB''＝C A AC''＝k ，且∠A ＝∠A'，那么能否判定这两个三角形相似？ 师生活动：(1)教师借助《几何画板》对k 取任意值的情况进行演示，看△ABC 和△A'B'C'的另一组对应边的比是否为k ，另两组对应角是否相等．问：图中的△ABC 与△A'B'C'相似吗？为什么？学生提出猜想的结论．(2)学生模仿上一个定理的证明，讨论问题4的证明思路，在课后完成证明过程． (3)师生小结判定定理二的内容．并追问：对于△ABC 和△A'B'C'，如果B A AB ''＝C B BC''，且∠B ＝∠B'，这两个三角形一定相似吗？如果将∠B ＝∠B'换成∠C ＝∠C'，这两个三角形一定相似吗？为什么？让学生试着画画看，找出反例即可．设计意图：学生有前面探究活动的经验，教师提出问题后，利用《几何画板》辅助，学生容易获取初步结论，而且仿照上一个定理的证明，容易得到这个命题的证明思路．最后，学生通过考虑“两边和其中一边的对角”的情形，加强对三角形相似条件的理解与记忆．5．运用结论，解决问题例 根据下列条件，判断△ABC 和△A'B'C'是否相似，并说明理由： (1)AB ＝4 cm ，BC ＝6 cm ，AC ＝8 cm ， A'B'＝12 cm ，B'C'＝18 cm ，A'C'＝24 cm ． (2)∠B ＝120°，AB ＝7 cm ，AC ＝14 cm ， ∠A'＝120°，A'B'＝3 cm ，A'C'＝6 cm ．师生活动：师生共同分析从题干的条件中是否可能得到两个三角形相似的条件，教师提醒学生注意第(2)题中的角是不是已知两边的夹角．设计意图：使学生学会从现有条件中得到判定三角形相似的条件． 6．变式训练，巩固提高判断图中的两个三角形是否相似，并求出x 和y ．师生活动：学生自主答题，写出相应的解答过程，然后互评． 设计意图：巩固本节课所学的相似三角形的判定定理． 7．回顾小结回顾本节课的学习，回答下列问题： (1)你学到了哪些判定三角形相似的方法？ (2)你认为证明两个三角形相似的思路是什么？设计意图：引导学生归纳本节课的知识点及判定定理的证明思路． 8．布置作业A BDE C y ° x 4530 54 36 46°20 图2152025402745图11．教科书第34页练习第1，3题． 2．教科书第42页习题27.2第2(1)，3题．3．证明判定定理“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”(画图，写出已知、求证，并进行证明)．六、目标检测设计1．下列条件中可以判定△ABC ∽△C B A '''的是( )． A ．AC AB ＝''''C A B A B ．AC AB ＝''''C A B A ，∠B ＝∠B' C ．B A AB ''＝''C A AC ＝C B BC''D ．''B A AB ＝''C A AC设计意图：考查对三角形相似的两个判定定理的条件特征的理解． 2．如图，已知△ABC ，则下列四个三角形中，与△ABC 相似的是( )．设计意图：考查判定定理“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的应用． 3．在△ABC 和△A'B'C'中，AB ＝6，BC ＝8，AC ＝5，A'B'＝3，B'C'＝4，则当A'Ｃ'＝______时，△ABC ∽△A'B'C'．设计意图：考查用“三边成比例的两个三角形相似”判定两个三角形相似．4．如图，在平面直角坐标系中，A (4，0)，B (0，2)，如果点C 在x 轴的正半轴上(点C 与点A 不重合)，当点C 的坐标为 时，△BOC 与△AOB 相似．设计意图：结合平面直角坐标系的知识，考查用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似．5．如图，在正方形ABCD 中，点P 是BC 上的一点，BP ＝3PC ，点Q 是CD 中点，求证：△ADQ ∽△QCP ．ABCDQP (第5题)A B C 555 555 55 56675° 75°30° 40° A B CD(第4题)设计意图：结合勾股定理，考查用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似．。
27.2.1相似三角形的判定
∵AB＝2，BC＝2 2，AC＝2 5，FE＝2，DE＝ 2，
DF＝ 10，
∴
DABE＝
2＝ 2
2，BECF＝2 2 2＝
2，DACF＝2
5＝ 10
2.
∴ DABE＝BECF＝DACF，∴△ABC∽△DEF.
感悟新知
知识点 5 边角关系判定三角形相似定理
知5－讲
1. 相似三角形的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个
感悟新知
知识点 1 相似三角形
知1－讲
1. 定义：如果在两个三角形中，三个角分别相等，三条边 成比例，那么这两个三角形相似.
感悟新知
如图27.2-1，在△ ABC 和△ A′B′C′中，
知1－讲
∠ A= ∠ A′，∠ B= ∠ B′，∠ C= ∠ C′， △ABC
AB BC AC k,
↔ ∽△A′B′C′.
感悟新知
知2－练
3-1. 如图，l1 ∥ l2 ∥ l3，AB=3，AD=2，DE=4，EF=9， 求BC，BF 的长.
感悟新知
解：∵ l1∥l2∥l3, ∴ ABBC＝ADDE.
∵
AB＝3，AD＝2，DE＝4,
∴
3 BC
＝24，
解得 BC＝6.
知2－练
∵ l1∥l2∥l3,
∴
BF EF
＝
AB AC
第27章 相似
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
学习目标
1 课时讲解
2 课时流程
逐点 导讲练
相似三角形 平行线分线段成比例 平行线截三角形相似的定理 三边关系判定三角形相似定理 边角关系判定三角形相似定理 角的关系判定三角形相似定理 直角三角形相似的判定
g27.2.1三角形的相似判定(3)AA_HL
已知：如图所示， Rt⊿ABC与 Rt⊿A′B′C′中， ∠C=∠C′=90°，
求证：
=
A
B
C A′
Rt⊿ABC∽Rt⊿A′B′C ′
B′ C′
A
证明∵
∴ ∴
=
=
=
B （左右两边 同时减去1）
（1）证明：连接EC ∵∠BAC，∠BEC都是劣弧BC所对的圆周角 ∴∠BAC=∠BEC ∵CD是△ABC的高
CDA 90
∵BE为圆O的直径 BCE 90 则∠CDA=∠BCE ∴△ACD∽△EBC
（2）解：在Rt△CBD中，CD=6，BD=8
AC CD ∴ AC•BC=BE•CD BE BC
PT2 =PA· PB
问题：如下图，点P是⊙o外一点，过P点向圆作两条 直线 与圆相交得四条线段 PA与PB及PC与PD 它们有等积关系 PA•PB=PC•PD 吗?
切割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，从这一点到 每条割线与圆的交点的两条线段长的积 推 论 相等. 即 PA· = PC· =PT2 PB PD
B
C
B’DBiblioteka E C’∴△ ABC ∽△ A'B'C'
判定定理3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形
的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可以简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
用数学符号表示：
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B' ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
B C B' C' A A'
27.2相似三角形1相似三角形的判定用三边比例关系判定三角形相似(教案)
在总结回顾环节，学生们对今天所学的知识有了整体的认识，但仍有个别学生表示对某些部分理解不够透彻。这提醒我，在后续的教学中，要关注学生的个体差异，尽量让每个学生都能跟上教学进度。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调三边比例关系判定相似的两个重点：三组对应边的比例相等和两组对应边的比例相等且夹角相等。对于难点部分，我会通过具体的图形和例子来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与相似三角形判定相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示如何通过测量边长和角度来判断两个三角形是否相似。
b.如果两个三角形中有两组对应边的比例相等，并且夹角相等，即a/ b = c/ d，且∠A = ∠C或∠B = ∠D，则这两个三角形相似。
二、核心素养标
本节课的核心素养目标旨在培养学生的以下能力：
1.空间观念：通过探究相似三角形的判定，使学生能够理解和运用空间图形的性质，发展空间想象力和直觉思维能力。
2.抽象概括能力：引导学生从具体实例中抽象出相似三角形的判定方法，提高他们的逻辑推理和概括能力。
3.数据分析观念：培养学生通过观察、分析三角形边长数据，运用三边比例关系解决问题的能力，增强数据分析观念。
4.数学应用意识：将相似三角形的判定应用于解决实际问题，让学生体会数学与现实生活的联系，提高数学应用意识。
-重点知识点举例：
a.如果两个三角形的三组对应边的比例相等，即a/ b = c/ d = e/ f，则这两个三角形相似。
人教版相似三角形的判定
∠B=∠B'，求证: △ABC∽△A'B'C'
A'
几何语言：
∵ ∠A=∠A', ∠B=∠B'
∴ △ABC∽△A'B'C'
B'
C'
A
D
E
B
C
基础训练
1、下列图形中两个三角形是否相似？并说理由.
B
A
A
A’
C
B
C B’
C’ D
(1) 不相似
(2) 相似
E
2、判断题：
√ ⑴ 底角相等的两个等腰三角形相似． （ ）ຫໍສະໝຸດ ADCE F
图１
（2）图２∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
（3）图１∵
AB ACBC DE DF EF
∴△ABC∽△DEF
（4）图１∵ AB AC
DE DF
∠A=∠D
A
D
E
B 图２
C
∴△ABC∽△DEF
观察
猜想：两角分别相等的两个三角形相似．
探究
判猜定想定：理：两角分别相等的两个三角形相似．
如图，已知△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A',
AB AC BC
小结
本节课我收获了……
作业: 1.必做题 P42第2 题中(2) 2.选做题 P43第7题
给我最大的快乐，不是已有 知识，而是不断的学习，不是已 有的东西，而是不断的获取，不 是已达的高度，而是继续不断的 攀登。
——高斯
27.2.1 相似三角形的判定
知识回顾
判定三角形相似的方法
（1）图１∵∠A=∠D, ∠B= ∠E, ∠C= ∠F
27.2.1相似三角形的判定课件sss (3)
∵ A A, B B, C C C B′ C′
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∴ △ABC ∽ △A´B´C´
2、（平行线法）平行于三角形一边的直线和其他两（或两边的延 长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.
“A”型
D B A E C
E “X”型
D
A C
符号语言： ∵ DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∴ △ABC～ △A′B′C′
相似，因为三组对应边的比相等.
解一解 （2）在△ABC 和△A′B′C′中，已知：
AB=12cm BC=15cm AC＝24cm A′B′＝16cm B′C′＝20cm A′C′ ＝ 30cm△ABC 与 A′B′C′是否相似并说明理由． 试判定
解： ∵
∴
∴ △ABC与△A′B′C′不相似
27.2
三角形相似的判定SSS （2）
1、 你现在有哪些方法可判定两个三角形相似？ 定义法 平行线法
相似三角形的判定
1、（定义法）对应角相等, 对应边的比也相等的两个三角形 是
A
相 似
A′
三 角 形. 符号语言：
在△ABC和△A´B´C´中，
AB BC CA . AB BC CA
∴ A1DE≌ABC（SSS） ∵ A1DE∽A 1B 1C1 ∴ ABC∽A1B1C1
知识要点
三角形相似判定定理之一 如果两个三角形的三组对应边的比 相等，那么这两个三角形相似。简称：
三边对应成比例，两三角形相似。
A
A1 即：
C
B
B1
C1
AB BC AC 如果 A B B C A C , 1 1 1 1 1 1 那么 △ABC∽△A1B1C1.
27.2.1 第2课时 三边成比例的两个三角形相似
如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′
AB AC .
A
A'
A'B' A'C '
B
CD
E
B'
C'
归纳
由此得到三角形的判定定理：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
典例精析
例1 在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=70°，AC=3.5cm,
BC=2.5 cm，DF=2.1 cm，EF=1.5 cm.求证：△DEF∽△ABC.
∴∠BAC=∠DAE.
∴∠BAC - ∠DAC =∠DAE-∠DAC.
A
即 ∠BAD=∠CAE.
B
∵∠BAD=20°， ∴∠CAE=20°.
C
D E
3.如图，△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA
的中点，求证：△ABC∽△EFD． 证明：∵△ABC中，点D、E、F分 别是AB、BC、CA的中点，
证明： ∵AC=3.5cm,BC=2.5cm,DF=2.1
C F
cm,EF=1.5cm,
A
D
E
B
又∵∠C=∠F=70°， ∴ △DEF∽△ABC（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）
练一练 如图，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AD=AE， AB=AC，∠DAB=∠CAE.求证：△ABC∽△ADE. 证明：
第二十七章 相 似
27.2.1 相似三角形的判定
第2课时 三边成比例的两个三角形相似
学习数学 享受数学
合作探究
探究2
猜想
已知： AB BC AC .
A1B1 B1C1 A1C1
数学课件-27.2.1 第3课时 相似三角形判定定理3
第三课时
探究1：两角相等的两个三角形是否相似？ 问题1： 请大家拿出你们的含30°角的直角三角板，观察是否与 老师手里拿的含30°角的直角三角板相似？
它们相似.
问题2：请观察老师在几何画板中的演示，你发现了什么？你能 得出什么结论？
A A
B
C B
C
两角分别相等的两个三角形相似.
问题3： 你能结合图形用符号语言表述上述结论吗？
谢谢观赏
You made my day!
（1）∠AED=∠B，或者 AD AE 等.
（2）
AC AB ∠A=∠C，或者∠B=∠D，或者
AE CE
BE DE
等.
课堂小结 ，能力提升
（1） 判定三角形相似的方法有哪些？判定直角三角形相似的 方法有哪些？它们是怎么探究出来的？主要运用了什么思想？ （2）利用相似主要能解决一些什么样的问题？ （3）本节课你还有什么收获与困惑？
A A
B
C B
C
如果 A A，B B，
那么 △ABC∽△ABC.
问题4：你能尝试证明上述结论吗？
A A
D
E
B
C B
C
分析：如图所示，作平行线，构造全等三角形.
我们一起写出证明过程.
探究2：如果是两个直角三角形，判定相似的方法是否会更简洁？ 问题1：你能想到哪些判定两个直角三角形相似的方法呢？
解：∵ED⊥AB，∴∠EDA=90°. 又∵∠C=90°, ∠A=∠A, ∴△AED∽△ABC.
∴ AE AD ， AB AC
∴ AD AC AE 8 5 4. AB 10
追问1：目前我们见到过哪些常见的相似基本图形？
DE ∥ BC
27.2.1相似三角形的判定定理(教案)
本章节的核心素养目标旨在培养学生以下能力：
1.掌握相似三角形判定定理，提高空间想象和几何直观能力，使学生能够运用几何知识分析并解决实际问题。
2.培养学生逻辑推理和数学论证能力，通过相似三角形的判定过程，学会运用严密的逻辑思维进行推理和证明。
3.增强学生合作交流意识，通过小组讨论和问题探究，提高团队合作能力和解决问题的能力。
我还注意到，在小组讨论环节，学生们对于相似三角形在实际生活中的应用提出了很多有趣的想法。这让我意识到，将数学知识与学生们的日常生活联系起来，可以极大地提高他们的学习兴趣和积极性。在未来的教学中，我会继续寻找更多实际案例，让数学变得更加生动和有趣。
此外，实践活动中的实验操作部分，学生们表现出很高的热情。他们通过亲手操作，直观地感受到了相似三角形的原理。这也让我认识到，动手操作对于抽象几何概念的理解是非常有帮助的。因此，我计划在后续的教学中，增加更多这样的实践活动。
-对于实际问题的解决，引导学生从问题中发现相似三角形的特征，如角度关系、边长关系等，并运用判定定理进行解答。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《相似三角形的判定定理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过形状相似但大小不同的物体？”（如照片的放大缩小、不同尺寸的三角形装饰等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索相似三角形的奥秘。
在学生小组讨论的过程中，我发现有些学生不太愿意主动参与讨论，可能是因为他们对自己的观点缺乏信心。为了鼓励这些学生，我会在接下来的课程中，更多地采用肯定和鼓励的语言，让他们感受到自己的观点是有价值的，从而增强他们的自信心。
27.2相似三角形的判定(3)
∵ DE∥BC ∴△ADE∽△ABC
∵ DE∥BC ∵ ∠EDC=∠DCB， 又∵ ∠1=∠B ∴△DEC∽△CDB
∵ ∠1=∠B ，∠A=∠A ∴△ACD∽△ABC ∴△ADE ∽△ACD
随堂训练
1.如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图， 点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反 射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD， CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米， 那么该古城墙的高度是（B ）
A、6米 C、18米
B、8米 D、24米
随堂训练
2.如图，要使△ABE∽△ACD，只需增加一个条件： A ∠B=∠C _________________.
根据你所增加条件，还可得到： △CEP _________∽_________。 △BDP 若CD⊥AB，BE⊥AC，则图中 6 共有_____对三角形相似。 B
D E P
F C
C
变形图
A
E
D
B
类型训练
如图，△ABC内接于⊙O，D是弧BC的中点,AD 交BC于E AB AD 求证：（1） AE AC （2）若AB=10,AC=6,AD=12,求DE的 长 A
E B D
C
回顾反思
•判定三角形相似的方法： 1.平行于三角形一边的直线与其它两边(或延长线)相交, 所构成的三角形与原三角形相似. 2.三边对应成比例，两三角形相似. 3.两边对应边成比例且夹角相等，两三角形相似. 4.两组角对应相等，两三角形相似 •射影定理： △CAD∽△BCD CD2=AD· DB AC2=AD· A AB BC2=BD· AB
B
C
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
新人教版八年级数学下册27.2.1 第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似(优秀教学设计)
27.2.1 相似三角形的判定第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似1．理解“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的含义，能分清条件和结论，并能用文字、图形和符号语言表示；(重点)2．会运用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并解决简单的问题．(难点)一、情境导入利用刻度尺和量角器画两个三角形，使它们的两条对应边成比例，并且夹角相等．量一量第三条对应边的长，计算它们的比与前两条对应边的比是否相等．另两个角是否对应相等？你能得出什么结论？二、合作探究探究点：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 【类型一】 直接利用判定定理判定两个三角形相似已知：如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 、E 分别是AB 、CB 延长线上的点，CE ＝9，AD ＝15，连接DE .若BC ＝6，AC ＝8，求证：△ABC ∽△DBE .解析：首先利用勾股定理可求出AB 的长，再由已知条件可求出DB ，进而可得到DB ∶AB 的值，再计算出EB ∶BC 的值，继而可判定△ABC ∽△DBE .证明：∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，AC ＝8，∴AB ＝BC 2＋AC 2＝10，∴DB ＝AD －AB ＝15－10＝5，∴DB ∶AB ＝1∶2.又∵EB ＝CE －BC ＝9－6＝3，∴EB ∶BC ＝1∶2，∴EB ∶BC ＝DB ∶AB ，又∵∠DBE ＝∠ABC ＝90°，∴△ABC ∽△DBE .方法总结：解本题时一定要注意必须是两边对应的夹角才行，还要注意一些隐含条件，如公共角、对顶角等．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第2题【类型二】 添加条件使三角形相似如图，已知△ABC 中，D 为边AC 上一点，P 为边AB 上一点，AB ＝12，AC ＝8，AD ＝6，当AP 的长度为________时，△ADP 和△ABC 相似．解析：当△ADP ∽△ACB 时，AP AB ＝AD AC ，∴AP 12＝68，解得AP ＝9.当△ADP ∽△ABC 时，AD AB ＝AP AC ，∴612＝AP 8，解得AP ＝4，∴当AP 的长度为4或9时，△ADP 和△ABC 相似．故答案为4或9.方法总结：添加条件时，先明确已知的条件，再根据判定定理寻找需要的条件，对应本题可先假设两个三角形相似，再利用倒推法以及分类讨论解答．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题【类型三】 利用三角形相似证明等积式如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，E 为BC 的中点，ED 的延长线交CA 的延长线于F .求证：AC ·CF ＝BC ·DF .解析：先证明△ADC ∽△CDB 可得AD CD ＝AC BC ，再结合条件证明△FDC ∽△F AD ，可得AD CD＝DF CF，则可证得结论． 证明：∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠DAC ＋∠B ＝∠B ＋∠DCB ＝90°，∴∠DAC ＝∠DCB ，且∠ADC ＝∠CDB ，∴△ADC ∽△CDB ，∴AD CD ＝AC BC.∵E 为BC 的中点，CD ⊥AB ，∴DE ＝CE ，∴∠EDC ＝∠DCE ，∵∠EDC ＋∠FDA ＝∠ECD ＋∠ACD ，∴∠FCD ＝∠FDA ，又∠F ＝∠F ，∴△FDC ∽△F AD ，∴DF CF ＝AD DC ，∴AC BC ＝DF CF，∴AC ·CF ＝BC ·DF . 方法总结：证明等积式或比例式的方法：把等积式或比例式中的四条线段分别看成两个三角形的对应边，然后证明两个三角形相似，得到要证明的等积式或比例式．【类型四】 利用相似三角形的判定进行计算如图所示，BC ⊥CD 于点C ，BE ⊥DE 于点E ，BE 与CD 相交于点A ，若AC ＝3，BC ＝4，AE ＝2，求CD 的长．解析：因为AC ＝3，所以只需求出AD 即可求出CD .可证明△ABC 与△ADE 相似，再利用相似三角形对应边成比例即可求出AD .解：在Rt △ABC 中，由勾股定理可得AB ＝BC 2＋AC 2＝42＋32＝5.∵BC ⊥CD ，BE⊥DE ，∴∠C ＝∠E ，又∵∠CAB ＝∠EAD ，∴△ABC ∽△ADE ，∴AB AD ＝AC AE ，即5AD ＝32，解得AD ＝103，∴CD ＝AD ＋AC ＝103＋3＝193. 方法总结：利用相似三角形的判定进行边角计算时，应先利用条件证明三角形相似或通过作辅助线构造相似三角形，然后利用相似三角形对应角相等和对应边成比例进行求解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题【类型五】 利用相似三角形的判定解决动点问题如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，5AC－3AB＝0，点P从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，与此同时点Q从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动，经过多长时间△ABC和△PQC相似？解析：由AC与AB的关系，设出AC＝3x cm，AB＝5x cm，在直角三角形ABC中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，进而得到AB与AC的长．然后设出动点运动的时间为t s，根据相应的速度分别表示出PC与CQ的长，由△ABC和△PQC相似，根据对应顶点不同分两种情况列出比例式，把各边的长代入即可得到关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，从而得到所有满足题意的时间t的值．解：由5AC－3AB＝0，得到5AC＝3AB，设AB为5x cm，则AC＝3x cm，在Rt△ABC 中，由BC＝8cm，根据勾股定理得25x2＝9x2＋64，解得x＝2或x＝－2(舍去)，∴AB＝5x ＝10cm，AC＝3x＝6cm.设经过t秒△ABC和△PQC相似，则有BP＝2t cm，PC＝(8－2t)cm，CQ＝t cm，分两种情况：①当△ABC∽△PQC时，有BCQC＝ACPC，即8t＝68－2t，解得t＝3211；②当△ABC∽△QPC时，有ACQC＝BCPC，即6t＝88－2t，解得t＝125.综上可知，经过125或3211秒△ABC和△PQC相似．方法总结：本题的关键是根据三角形相似的对应顶点不同，分两种情况△ABC∽△PQC 与△ABC∽△QPC分别列出比例式来解决问题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题三、板书设计1．三角形相似的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；2．应用判定定理解决简单的问题．本节课采用探究发现式教学法和参与式教学法为主，利用多煤体引导学生始终参与到学习活动的全过程中，处于主动学习的状态．采用动手实践，自主探索与合作交流的学习方法，使学生积极参与教学过程．在教学过程中展开思维，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，进一步理解观察、类比、分析等数学思想.（赠品，不喜欢可以删除）数学这个家伙即是科学界的“段子手”，又是“心灵导师”一枚。
27.2.1 第4课时 相似三角形的判定定理3
利用两角判定三角形相似
直角三角形相似的判定
THANKS
则AB=kA'B'，AC=kA'C'
由勾股定理得
∴
∴
∴
Rt△ABC∽ Rt△A'B'C'.
1.在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90°，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似.(1) ∠A=35°，∠B′=55°： ；(2) AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8： ；(3) AB=10，AC=8，A′B′=25，B′C′=15： .
符号语言：
归纳：
例1 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8.E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB,垂足为D,求AD的长.
解：∵ ED⊥AB， ∴ ∠EDA=90°. 又∠C=90 °， ∠A=∠A， ∴△AED∽△ABC. ∴
在△ABC 与△A'B'C'中，如果满足∠B=∠B＇，∠C=∠C＇，那么能否判定这两个三角形相似？
猜想：△ABC∽△A'B'C'
问题1： 度量 AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′ 的长，并计算出它们的比值. 你有什么发现？
一、两角分别相等的两个三角形相似
探究
与同伴合作，一人画 △ABC，另一人画 △A′B′C′，使∠A=∠A′=40°，∠B=∠B′=55°，探究下列问题：
第二十七章 相 似
27.2.1 相似三角形的判定
第4课时 两角分别相等的两个三角形相似
27.2 相似三角形
1. 探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理.2. 掌握利用两角来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算. (重点、难点)3. 掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行相关计算.
27.2.1 第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
BC=2.5 cm，DF=2.1 cm，EF=1.5 cm.求证：△DEF∽△ABC.
证明： ∵AC=3.5cm,BC=2.5cm,DF=2.1
C F
cm,EF=1.5cm,
A
D
E
B
又∵∠C=∠F=70°， ∴ △DEF∽△ABC（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）
练一练 如图，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AD=AE， AB=AC，∠DAB=∠CAE.求证：△ABC∽△ADE. 证明：
BC
G
D
2
50°
1.6
E
F
如归果两个三角如果形两的个两三角边形成两比边对例应，成但比例相，等但的相等角的不角是不是这两两边的 夹纳角，那么两条对个应三边角的夹形角是，否那么相两似个呢三角？形画不一一定画相，似量. 一量.
当堂练习
1.判断图中△AEB 和△FEC是否相似？
解：∵ B
45
1 E 36 F
证明： ∵ CD是边AB上的高,
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∴ ∠ADC= ∠CDB=90°.
∴△ADC∽△CDB.
AD
B
∴ ∠ACD= ∠B.
∴ ∠ACB= ∠ACD+ ∠BCD= ∠B+ ∠BCD= 90°.
探究归纳
A
4
3.2
50° 3.2
BC
G
D
2
50°
1.6
E
F
如归果两个三角如果形两的个两三角边形成两比边对例应，成但比例相，等但的相等角的不角是不是这两两边的 夹纳角，那么两条对个应三边角的夹形角是，否那么相两似个呢三角？形画不一一定画相，似量. 一量.
第二十七章 相 似
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°，D ，B，C，E 四点在同一条直线上． (1) 判断图中有哪几对相似三角形； (2) 当∠E＝30°时，△ACE 与△ABD 有什么关系？为什么？
图 27 －2－50
第3课时
相似三角形判定定理3
[解析] 由△ABC是等边三角形，可得到其外角∠ACE与∠ABD
的度数，由此可得∠DAE＝∠ACE＝∠ABD.由这三个角中两个角的 对应相等，再寻找隐含的另一个公共角，可找出相似的三角形．
、差、倍、分中寻找相等的角．
第3课时
相似三角形判定定理3
探究问题二 例2
选用合适的方法证明两三角形相似
如图27－2－51，BD为⊙O的直径，AB＝AC，AD交BC于点
E ， AE ＝ 2 ， ED ＝ 4. 请你证明△ABE∽△ADB ，并求出线段 AB 的长
．
图27－2－51
第3课时
相似三角形判定定理3
[ 解析] 由“等腰三角形的两个底角相等”和圆周角定理可推 得∠ABE＝∠D，再加上公共角∠BAD，可证△ABE∽△ADB，进而可 AB AE 得 ＝ ，代入数据可求得线段 AB 的长． AD AB
第3课时
相似三角形判定定理3
解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C. ∵∠C ＝∠D，∴∠ABC＝∠D. 又∵∠BAE＝∠DAB，∴△ABE∽△ADB. AB AE ∴ ＝ ， AD AB ∴AB ＝AD·AE＝ (AE＋ED)·AE＝(2＋4)×2＝12， ∴AB ＝2 3.
数 学
新课标（RJ） 九年级下册
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
第3课时 相似三角形判定定理3
第3课时
相似三角形判定定理3
教材重难处理
教材的地 相似三角形判定定理3是相似三角形的重要内容之一，也是中 位和作用 考重要的考点之一 知识与技 能
掌握两角分别相等的两个三角形相似的判定定理
过程与方 经历探索相似三角形判定定理3的过程，进一步发 展学生的推理能力和运用能力 教学目标 法
情感、态 在探索过程中激发学生学习数学的兴趣与求知欲， 度与价值 发展学生的合作交流精神 观
第3课时
相似三角形判定定理3
教学重 点难点
重点 难点 易错点
相似三角形判定定理3的理解与运用
相似三角形判定定理3的综合运用
第3课时
相似三角形判定定理3
解：(1)∵△ABC是等边三角形，D，B，C，E在同一条直线上
，∴在△ACE与△DAE中，∠E为公共角，∠ACE＝∠DAE， ∴△ACE∽△DAE. 在△ABD与△EAD中，∠D为公共角，∠ABD＝∠EAD，
∴△ABD∽△EAD，∴△ABD∽△ECA.
(2)当∠E＝30°时，有∠EAC＝30°，
相似三角形的判定条件使用不当
第3课时
相似三角形判定定理3
探 究 新 知
► 活动1 知识准备
相似 1．如图27－2－47，△ABC和△DEF_______( 填“相似”或“
不相似”)．
图27－2－47
第3课时
相似三角形判定定理3
AD AE AC AB 2．如图 27－2－48，若_______ ＝_______ ，则△ADE∽△ACB.
相似 ． 由此可以得出：两角分别相等的两个三角形_______
第3课时
相似三角形判定定理3
新 知 梳 理
► 知识点 相似三角形判定定理3
判定定理3：两角分别相等的两个三角形相似．
第3课时
相似三角形判定定理3
重难互动探究
探究问题一
例 1
应用相似三角形的判定定理3证明两三角形相似
如图 27－2－50，△ABC 是等边三角形，且∠DAE＝120
第3课时
相似三角形判定定理3
►
活动2
教材导学
两角分别相等的两个三角形相似
如图 27 － 2 － 49 ，在△ ABC 与△ ADE 中，∠ A ＝∠ A ，∠ ABC ＝
∠D.
(1)∵∠ABC＝∠D，
∥ ； ∴BC_____DE ∥ ，∴△ABC____ ∽ △ADE. (2)∵BC_____DE 图27－2－49
2
第3课时
相似三角形判定定理3
[归纳总结]证明两三角形相似的常规思路：
(角相等 ，则判断相等的角的两夹边 是否对应成比例； (3) 若找不到角相等 ，就判断三边是否对应成比例 ， 否则可
考虑应用平行线证相似及相似三角形的“传递性”．
∴△ACE是顶角为120°的等腰三角形．
第3课时
相似三角形判定定理3
∵∠EAD＝120°，∠BAC＝60°，∠EAC＝30°，
∴△ABD也是顶角为120°的等腰三角形．
又∵AC＝AB，∴△ACE≌△ABD.
[归纳总结 ] 在运用两角对应相等判定两三角形相似的过程 中，要注意公共角、对顶角等隐含条件，同时也要注意从角的和