贵州省遵义市2010年高三数学高考模拟试题二 理 人教版

遵义市2010年高考模拟试题数学（理工类）（考试时间120分钟 满分150分）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．2009201011ii +=-（ ） （A ）12i -- （B ）12i -+ （C ） 12i - （D ） 12i +2．设集合2{|2}A x y x x ==-，{|2,0}xB y y x ==>，则A B = （ ）（A ）(1,2] （B ）[0,)+∞ （C ）[0,1)(1,2] （D ）[0,2]3．函数24y x =-（20x -≤≤）的反函数为（ ）（A ）24y x =-（20x -≤≤） （B ）24y x =-（02x ≤≤）（C ）24y x =--（20x -≤≤） （D ）24y x =--（02x ≤≤）4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22009O OA OC B a a＝＋，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则2010S =（ ）（A ）2010 （B ）1005 （C ）20102 （D ）20102-5．若01a b <<<，则下列不等式成立的是()（A ）1log log bb ab a a << （B ）1log log bb ab a a <<（C ）1log log bb aa b a << （D ）1log log bb aa b a <<6．若直线1x y ab+=经过点(2cos sin )M αα,2，则( ) （A ）2214a b +≥ （B ）2214a b +≤（C ）221114ab+≥（D ）221114ab+≤7．将函数sin y x ω=（0ω>）的图象按向量(,0)a h = 平移后得到函数sin(2)3y x π=+，则h 的一个可能的值为（ ）（A ）6π- （B ）6π （C ）3π-（D ）3π8．设双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的渐近线与抛物线22y x =+相切，则该双曲线的离心率等于（ ）A ．5B ．3C ．10D ．49．将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成64个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取一个，其中恰有2个面涂有颜色的概率为( ) （A ）18（B ）14（C ）38（D ）5810．过点(2,2)P -且与曲线33y x x =-相切的直线方程是（ ）（A ）916y x =-+ （B ）920y x =- （C ）2y =- （D ）916y x =-+或2y =- 11．已知四棱柱1111ABC D A B C D -的底面为正方形，侧棱与底面边长相等，1A 在底面A B C D 内的射影为正方形A B C D 的中心，则1A B 与底面A B C D 所成角的正弦值等于（ ）（A ）12（B ）26（C ）63（D ）6612． 定义函数D x x f y ∈=)(（定义域），若存在常数C ，对于任意D x ∈1，存在唯一的D x ∈2，使得C x f x f =+2)()(21，则称函数)(x f 在D 上的“均值”为C ，已知x x f lg )(=，]100,10[∈x ，则函数)(x f 在]100,10[上的均值为（ ）（A ）101（B ）43 （C ）23 （D ）10第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题．每小题5分．共20分．把答案填在题中横线上．13．56(1)(1)x x -+展开式中32x 的系数为 ．14．已知点(,)P x y 满足0806612x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤+≤⎩，则22x y +的最小值是 ．15．函数11(0)()(0)xx f x xa x ⎧-+≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则实数a 的值为 ． 16．如图，A 、B 、C 是表面积为48π的球面上三点，2A B =，4B C =，60ABC ∠=，O 为球心，则直线O A 与截面ABC 所成角的余弦值是 ．三、解答题：本大题共6小题．共70分．解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）若函数332()sin cos cos sin 3sin f x x x x x x =++．（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）已知A B C ∆的三边a 、b 、c 对应角为A 、B 、C ，且三角形的面积为S ，若32A B B C S ⋅=，求()f A 的取值范围．18 ．（本小题满分12分）有编号为l ，2，3，……，n 的n 个学生，入坐编号为1，2，3，……，n 的n 个座位．每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为ξ，已知2ξ=时，共有6种坐法．（1）求n 的值；（2）求随机变量ξ的概率分布列和数学期望． 19 ．（本小题满分12分）如图，在底面是正方形的四棱锥P A B C D -中，P A ⊥面A B C D ，BD 交A C 于点E ，F 是P C 中点，G 为A C 上一点．（Ⅰ）求证：B D F G ⊥；（Ⅱ）确定点G 在线段A C 上的位置，使F G //平面P B D ，并说明理由；GFE DABC P(Ⅲ)当二面角B P C D --的大小为23π时，求P C 与底面A B C D 所成角的正切值．20．（本小题满分12分）已知n S 是数列{}n a 其前n 项和，且172(2)n n a S n -=+≥，12a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2211log log n n n b a a +=⋅，且n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m ．21．（本小题满分12分）已知椭圆22122:1x y C ab+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，其中2F 也是抛物线22:4C y x =的焦点，M 是1C 与2C 在第一象限的交点，且25||3M F =．（1）求椭圆1C 的方程；（2）已知菱形A B C D 的顶点A 、C 在椭圆1C 上，顶点B 、D 在直线7710x y -+=上，求直线A C 的方程．22．（本小题满分12分）已知函数()ln ,f x x a x =+其中a 为常数，且1a ≤-． （Ⅰ）当1a =-时，求()f x 在2[e,e ]（e=2．718 28…）上的值域； （Ⅱ）若()e 1f x ≤-对任意2[e,e ]x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．遵义市2010年高考模拟试题理科数学参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 DBDBACABCDDC二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．5- 14．32 15．12- 16．33三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（本小题满分10分）解：（1）222133()sin cos (sin cos )3sin sin 2cos 2222f x x x x x x x x =++=-+3sin 232x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭……………………2分由3222232k x k πππππ+≤-≤+()k Z ∈得511()1212k x kx k z πππ+≤≤+∈， (4)分()f x ∴的单调递减区间为511,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦．……………………5分（2）13||||sin ||||cos()22S AB BC B AB BC B π=⋅⋅=⋅-……………6分tan 3B ∴=-，即23B π=即……………7分3()sin(2)32f A A π∴=-+,0,233333A C A A πππππ+=∴<<-<-<……………9分0()3f A ∴<<．……………10分 18 ．（本小题满分12分） 解：（1）当2ξ=时，有2n C 种坐法， 26n C ∴=，即(1)62n n -=，……………2分2120,4n n n --==或3n =-舍去． 4n ∴=。

(4)分（2）ξ 的可能取值是0，2，3，4又24444411161(0),(2)24244C P P AAξξ⨯=======3444281(3),243C P A ξ⨯====1113(4)1(),24438P ξ==-++=……………4分ξ∴的概率分布列为 ξ234P124141318……………10分则11130234324438E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． (12)分19 ．（本小题满分12分）证明（Ⅰ）：∵P A ⊥面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，其对角线BD,AC 交于点E ，∴P A ⊥BD,AC ⊥BD, PA AC A =∴BD ⊥平面PAC, …………………………………………3分 ∵FG ⊂平面PAC,∴BD ⊥FG …………………………………………4分（Ⅱ）：当G 为EC 中点，即AG=34AC 时，FG //平面PBD, ……………………5分理由如下：连接PE ，由F 为PC 中点,G 为EC 中点，知FG//PE ， 而FG ⊄平面PBD, PE ⊂平面PBD,故FG //平面PBD 。

……………………………8分(Ⅲ)：作BH ⊥PC 于H,连结DH,∵P A ⊥面ABCD ，四边形ABCD 是正方形， ∴PB=PD,又∵BC=DC,PC=PC,GF E DABCPH GFE DABCP∴△PCB ≌△PCD, ∴DH ⊥PC,且DH=BH,∴∠BHD 就是二面角B-PC-D 的平面角， …………………………9分 即∠BHD=23π，∵P A ⊥面ABCD, ∴∠PCA 就是PC 与底面ABCD 所成的角………10分连结EH,则EH ⊥BD,∠BHE=3π,EH ⊥PC,∴tan ∠BHE=3B E E H=,而BE=EC,∴3E C E H=,∴sin ∠PCA=33EH EC=,∴tan ∠PCA=22,∴PC 与底面ABCD 所成角的正切值是22…………………………12分用向量方法：解：以A 为原点，AB,AD,AP 所在的直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系如图所示， 设正方形ABCD 的边长为1，则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0)， D(0,1,0),P(0,0,a)(a>0),E(11,,022),F(11,,222a),G(m,m,0)(0<m<2)…………………………2分 （Ⅰ）BD =（-1，1，0），F G =（11,,222am m ---），BD ⋅F G =-m+12+m-12+0=0,∴BD ⊥FG …………………………………………4分（Ⅱ）要使FG//平面PBD ，只需FG//EP ,而EP =(11,,22a -),由F G=λEP可得11222m a a λλ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得λ=1，m=34, ………………………………………6分∴G （34，34，0），∴34A G A C =，故当AG=34AC 时，FG//平面PBD …………………………8分(Ⅲ)设平面PBC 的一个法向量为u =（x,y,z ），则00u P C u B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，而(1,1,)P C a =- ，(0,1,0)BC = ，∴00x y az y +-=⎧⎨=⎩，取z=1,得u=（a,0,1）,同理可得平面PDC 的一个法向量为v=（0，a,1）,设u ，v 所成的角为θ，则|cos θ|=|cos 23π|=12,即||||||u v u v ⋅=12，∴2211211a a =+⋅+，∴a=1 …………………………………………………11分∵P A ⊥面ABCD, ∴∠PCA 就是PC 与底面ABCD 所成的角, ∴tan ∠PCA=1222PA AC==………………………………12分20．（本小题满分12分）解：（1）2n ≥ 时，1172,72n n n n a S a S -+=+∴=+，17n n n a a a +∴-= 18(2)n n a a n +∴=≥………………………………3分又12a = ，21172168a a a ∴=+==，18()n n a a n N *+∴=∈{}n a ∴是一个以2为首项，8为公比的等比数列………………………………5分132282n n n a --∴=⋅=……………………………6分（2）22111111()log log (32)(31)33231n n n b a a n n n n +===-⋅-+-+ (8)分111111111(1)(1)344732313313n T n n n ∴=-+-+++=-<-++ (10)分 120,2033m m ∴≥∴≥，所以最小正整数7m =．………………………12分21．（本小题满分12分）（1）设11225(,),(1,0),||3M x y F M F =．由抛物线定义，21111521,,433x x y x +=∴== ，1263y ∴=．………………………2分226(,),33M M ∴ 在1C 上，2248193a b ∴+=，又221b a =- 4293740a a ∴-+=24a ∴=或2219a c =<舍去．224,3a b ∴==………………………5分∴椭圆1C 的方程为22143xy+=．………………………6分（2）∵直线BD 的方程为7710,x y ABCD -+=为菱形，A CB D ∴⊥，设直线AC 的方程为y x m =-+………………………7分2222784120,143y x mx m x m A x y=-+⎧⎪⇒-+-=⎨+=⎪⎩ 、C 在椭圆1C 上， 20,7,77m m ∴∆>∴<∴-<<．………………………8分设1122(,),(,)A x y C x y ，则1287m x x +=．12121286()()()2277m m y y x m x m x x m m +=-++-+=-++=-+=…………9分A C ∴的中点坐标为43(,)77m m ，由A B C D 为菱形可知，点43(,)77m m在直线:7710B D x y -+=上， 437710,177m m m ∴⋅-⋅+==-………………………11分 1(7,7)m =-∈-∴直线A C 的方程为1y x =--，即10x y ++=．………………………12分22．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）当1a =-时，()ln ,f x x x =-得1()1,f x x'=-………………………1分令()0f x '>，即110x->，解得1x >，所以函数()f x 在(1,)+∞上为增函数，据此，函数()f x 在2[e,e ]上为增函数，………………………3分而(e)e 1f =-，22(e )e 2f =-，所以函数()f x 在2[e,e ]上的值域为2[e 1,e 2]--………………………4分（Ⅱ）由()1,a f x x'=+令()0f x '=，得10,a x+=即,x a =-当(0,)x a ∈-时，()0f x '<，函数()f x 在(0,)a -上单调递减；当(,)x a ∈-+∞时，()0f x '>，函数()f x 在(,)a -+∞上单调递增；…………………5分 若1e a ≤-≤，即e 1a -≤≤-，易得函数()f x 在2[e,e ]上为增函数，此时，2max ()(e )f x f =，要使()e 1f x ≤-对2[e,e ]x ∈恒成立，只需2(e )e 1f ≤-即可， 所以有2e 2e 1a +≤-，即2e e 12a -+-≤而22e e 1(e 3e 1)(e)022-+---+--=<，即2e e 1e 2-+-<-，所以此时无解.………………………7分若2e e a <-<，即2e e a ->>-，易知函数()f x 在[e,]a -上为减函数，在2[,e ]a -上为增函数，要使()e 1f x ≤-对2[e,e ]x ∈恒成立，只需2(e)e 1(e )e 1f f ≤-⎧⎨≤-⎩，即21e e 12a a ≤-⎧⎪⎨-+-≤⎪⎩， 由22e e 1e e 1(1)022-+--++--=<和222e e 1e e 1(e )022-+-+---=>得22e e 1e 2a -+--<≤. ………………………9分若2e a -≥，即2e a ≤-，易得函数()f x 在2[e,e ]上为减函数，此时，max ()(e)f x f =，要使()e 1f x ≤-对2[e,e ]x ∈恒成立，只需(e)e 1f ≤-即可， 所以有e e 1a +≤-，即1a ≤-，又因为2e a ≤-，所以2e a ≤-. (11)分综合上述，实数a 的取值范围是2e e 1(,]2-+--∞. (12)分。