信号与系统 课件 奥本海姆 第四章.
奥本海姆目录
《信号与系统》第1章信号与系统1.0 引言1.1 连续时间和离散时间信号1.1.1 举例与数学表示1.1.2 信号能量与功率1.2 自变数的变换1.2.1 自变数变换举例1.2.2 周期信号1.2.3 偶信号与奇信号1.3 指数信号与正弦信号1.3.1 连续时间复指数信号与正弦信号1.3.2 离散时间复指数信号与正弦信号1.3.3 离散时间复指数序列的周期性质1.4 单位冲激与单位阶跃函数1.4.1 离散时间单位脉冲和单位阶跃序列1.4.2 连续时间单位阶跃和单位冲激函数1.5 连续时间和离散时间系统1.5.1 简单系统举例1.5.2 系统的互联1.6 基本系统性质1.6.1 记忆系统与无记忆系统1.6.2 可逆性与可逆系统1.6.3 因果性1.6.4 稳定性1.6.5 时不变性1.6.6 线性1.7 小结习题第2章线性时不变系统2.0 引言2.1 离散时间LTI系统：卷积和2.1.1 用脉冲表示离散时间信号2.1.2 离散时间LTI系统的单位脉冲响应及卷积和表示2.2 连续时间LTI系统：卷积积分2.2.1 用冲激表示连续时间信号2.2.2 连续时间LTI系统的单位冲激响应及卷积积分表示2.3 线性时不变系统的性质2.3.1 交换律性质2.3.2 分配律性质2.3.3 结合律性质2.3.4 有记忆和无记忆LTI系统2.3.5 LTL系统的可逆性2.3.6 LTI系统的因果性2.3.7 LTI系统的稳定性2.3.8 LTI系统的单位阶跃响应2.4 用微分和差分方程描述的因果LTI系统2.4.1 线性常系数微分方程2.4.2 线性常系数差分方程2.4.3 用微分和差分方程描述的一阶系统的方框图表示2.5 奇异函数2.5.1 作为理想化短脉冲的单位冲激2.5.2 通过卷积定义单位冲激2.5.3 单位冲激偶和其它的奇异函数2.6 小结习题第3章周期信号的傅里叶级数表示3.0 引言3.1 历史回顾3.2 LTI系统对复指数信号的响应3.3 连续时间周期信号的傅里叶级数表示3.3.1 成谐波关系的复指数信号的线性组合3.3.2 连续时间周期信号傅里叶级数表示的确定3.4 傅里叶级数的收敛3.5 连续时间傅里叶级数性质3.5.1 线性3.5.2 时移性质3.5.3 时间反转3.5.4 时域尺度变换3.5.5 相乘3.5.6 共轭及共轭对称性3.5.7 连续时间周期信号的帕斯瓦尔定理3.5.8 连续时间傅里叶级数性质列表3.5.9 举例3.6 离散时间周期信号的傅里叶级数表示3.6.1 成谐波关系的复指数信号的线性组合3.6.2 周期信号傅里叶级数表示的确定3.7 离散时间傅里叶级数性质3.7.1 相乘3.7.2 一阶差分3.7.3 离散时间周期信号的帕斯瓦尔定理3.7.4 举例3.8 傅里叶级数与LTI系统3.9 滤波3.9.1 频率成形滤波器3.9.2 频率选择性滤波器3.10 用微分方程描述的连续时间滤波器举例3.10.1 简单RC低通滤波器3.10.2 简单RC高通滤波器3.11 用差分方程描述的离散时间滤波器举例3.11.1 一阶递归离散时间滤波器3.11.2 非递归离散时间滤波器3.12 小结习题第4章连续时间傅里叶变换4.0 引言4.1 非周期信号的表示：连续时间傅里叶变换4.1.1 非周期信号傅里叶变换表示的导出4.1.2 傅里叶变换的收敛4.1.3 连续时间傅里叶变换举例4.2 周期信号的傅里叶变换4.3 连续时间傅里叶变换性质4.3.1 线性4.3.2 时移性质4.3.3 共轭及共轭对称性4.3.4 微分与积分4.3.5 时间与频率的尺度变换4.3.6 对偶性4.3.7 帕斯瓦尔定理4.4 卷积性质4.4.1 举例4.5 相乘性质4.5.1 具有可变中心频率的频率选择性滤波4.6 傅里叶变换性质和基本傅里叶变换对列表4.7 由线性常系数微分方程表征的系统4.8 小结习题第5章离散时间傅里叶变换5.0 引言5.1 非周期信号的表示：离散时间傅里叶变换5.1.1 离散时间傅里叶变换的导出5.1.2 离散时间傅里叶变换举例5.1.3 关于离散时间傅里叶变换的收敛问题5.2 周期信号的傅里叶变换5.3 离散时间傅里叶变换性质5.3.1 离散时间傅里叶变换的周期性5.3.2 线性5.3.3 时移与频移性质5.3.4 共轭与共轭对称性5.3.5 差分与累加5.3.6 时间反转5.3.7 时域扩展5.3.8 频域微分5.3.9 帕斯瓦尔定理5.4 卷积性质5.4.1 举例5.5 相乘性质5.6 傅里叶变换性质和基本傅里叶变换对列表5.7 对偶性5.7.1 离散时间傅里叶级数的对偶性5.7.2 离散时间傅里叶变换和连续时间傅里叶级数之间的对偶性5.8 由线性常系数差分方程表征的系统5.9 小结习题第6章信号与系统的时域和频域特性6.0 引言6.1 傅里叶变换的模和相位表示6.2 LTI系统频率响应的模和相位表示6.2.1 线性与非线性相位6.2.2 群时延6.2.3 对数模和波特图6.3 理想频率选择性滤波器的时域特性6.4 非理想滤波器的时域和频域特性讨论6.5 一阶与二阶连续时间系统6.5.1 一阶连续时间系统6.5.2 二阶连续时间系统6.5.3 有理型频率响应的波特图6.6 一阶与二阶离散时间系统6.6.1 一阶离散时间系统6.6.2 二阶离散时间系统6.7 系统的时域分析与频域分析举例6.7.1 汽车减震系统的分析6.7.2 离散时间非递归滤波器举例6.8 小结习题第7章采样7.0 引言7.1 用信号样本表示连续时间信号：采样定理7.1.1 冲激串采样7.1.2 零阶保持采样7.2 利用内插由样本重建信号7.3 欠采样的效果：混迭现象7.4 连续时间信号的离散时间处理7.4.1 数字微分器7.4.2 半采样间隔延时7.5 离散时间信号采样7.5.1 脉冲串采样7.5.2 离散时间抽取与内插7.6 小结习题第8章通信系统8.0 引言8.1 复指数与正弦幅度调制8.1.1 复指数载波的幅度调制8.1.2 正弦载波的幅度调制8.2 正弦AM的解调8.2.1 同步解调8.2.2 异步解调8.3 频分多路复用8.4 单边带正弦幅度调制8.5 用脉冲串作载波的幅度调制8.5.1 脉冲串载波调制8.5.2 时分多路复用8.6 脉冲幅度调制8.6.1 脉冲幅度已调信号8.6.2 在PAM系统中的码间干扰8.6.3 数字脉冲幅度和脉冲编码调制8.7 正弦频率调制8.7.1 窄带频率调制8.7.2 宽带频率调制8.7.3 周期方波调制信号8.8 离散时间调制8.8.1 离散时间正弦幅度调制8.8.2 离散时间调制转换8.9 小结习题第9章拉普拉斯变换9.0 引言9.1 拉普拉斯变换9.3 拉普拉斯反变换9.4 由零极点图对傅里叶变换进行几何求值9.4.1 一阶系统9.4.2 二阶系统9.4.3 全通系统9.5 拉普拉斯变换的性质9.5.1 线性9.5.2 时移性质9.5.3 Ｓ域平移9.5.4 时域尺度变换9.5.5 共轭9.5.6 卷积性质9.5.7 时域微分9.5.8 Ｓ域微分9.5.9 时域积分9.5.10 初值与终值定理9.5.11 性质列表9.6 常用拉普拉斯变换对9.7 用拉普拉斯变换分析和表征LTI系统9.7.1 因果性9.7.2 稳定性9.7.3 由线性常系数微分方程表征的LTI系统9.7.4 系统特性与系统函数的关系举例9.7.5 巴特沃兹滤波器9.8 系统函数的代数属性与方框图表示9.8.1 LTI系统互联的系统函数9.8.2 由微分方程和有理系统函数描述的因果LTI系统的方框图表示9.9单边拉普拉斯变换9.9.1 单边拉普拉斯变换举例9.9.3 利用单边拉普拉斯变换求解微分方程9.10 小结习题第10章Z变换10.0 引言10.1 Ｚ变换10.2 Ｚ变换的收敛域10.3 Ｚ反变换10.4 由零极点图对傅里叶变换进行几何求值10.4.1 一阶系统10.4.2 二阶系统10.5 Ｚ变换的性质10.5.1 线性10.5.2 时移性质10.5.3 Ｚ域尺度变换10.5.4 时间反转10.5.5 时间扩展10.5.6 共轭10.5.7 卷积性质10.5.8 Ｚ域微分10.5.9 初值定理10.5.10 性质小结10.6 几个常用Ｚ变换对10.7 利用Ｚ变换分析与表征LTI系统10.7.1 因果性10.7.2 稳定性10.7.3 由线性常系数差分方程表征的LTI系统10.7.4 系统特性与系统函数的关系举例10.8 系统函数的代数属性与方框图表示10.8.1 LTI系统互联的系统函数10.8.2 由差分方程和有理系统函数描述的因果LTI系统的方框图表示10.9 单边Ｚ变换10.9.1 单边Ｚ变换和单边Ｚ反变换举例10.9.2 单边Ｚ变换性质10.9.3 利用单边Ｚ变换求解差分方程10.10 小结习题第11章线性反馈系统11.0 引言11.1 线性反馈系统11.2 反馈的某些应用及结果11.2.1 逆系统设计11.2.2 非理想组件的补偿11.2.3 不稳定系统的稳定11.2.4 采样数据反馈系统11.2.5 跟踪系统11.2.6 反馈引起的不稳定11.3 线性反馈系统的根轨迹分析法11.3.1 一个例子11.3.2 死循环极点方程11.3.3 根轨迹的端点：K＝0和｜K｜＝＋∞时的死循环极点11.3.4 角判据11.3.5 根轨迹的性质11.4 奈奎斯特稳定性判据11.4.1 围线性质11.4.2 连续时间LTI反馈系统的奈奎斯特判据11.4.3 离散时间LTI反馈系统的奈奎斯特判据11.5 增益和相位裕度11.6 小结。
奥本海姆版信号与系统ppt
+
Energy : t1 t t2
2
1
shift
f (t )
2 1
1 t
2
2
0
Scaling
Scaling
2
reversal
t
f (t )
2 1
shift
2 1
f (1 t )
f (1 3t )
1
t
0 1
1 0
1
2
2
1
0 1
t
1
2
1 3
0 2
t
3
f (3t )
f (1 3t )
Scaling
1
1 3
2
shift
1.2 Transformation of the Independent Variable
1.2.1 Examples of Transformations 1. Time Shift x(t-t0), x[n-n0]
t0<0
Advance
Time Shift
n0>0
Delay
x(t) and x(t-t0), or x[n] and x[n-n0]:
2. Time Reversal x(-t), x[-n]
——Reflection of x(t) or x[n]
2. Time Reversal x(-t), x[-n]
信号与系统课件(奥本海姆+第二版)+中文课件.pdf
解：因为 x[n] = e jω0n = cos ω0n + j sin ω0n (欧拉公式)
则有 e jω0n = 1
∑ ∑ ∞
∞
E∞ = x[n] 2 = 1= ∞
n=−∞
n=−∞
∑ P∞
=
lim
N→∞
1N 2N +1n=−N
x[n] 2
= lim N→∞
1 ×(2N 2N +1
+1)
=1
所以是功率信号
控制
执行机构
网络
图 1 控制系统
R+
uc (t)
x (t)
C
uc (t)
-
t
图 2 RC电路
6 / 94
二、信号的分类 信号的分类方法很多。
1、确定性信号与随机信号 按信号与时间的函数关系来分，信号可分为确定性信号与随
机信号。 1）、确定性信号——指能够表示为确定的时间函数的信号。 当给定某一时间值时，信号有确定的数值。 例如：正弦信号、指数信号和各种周期信号等。 2）、随机信号——不是时间t的确定函数的信号。 它在每一个确定时刻的分布值是不确定的。 例如：电器元件中的热噪声等。
11 / 94
5、连续时间信号和离散时间信号——按自变量的取值是否连续来分。
1、连续时间信号——自变量是连续可变的，因此信号在自变量的连续值上 都有定义。我们用t表示连续时间变量，用圆括号（.)把自变量括在里面。例 如 图一的 x(t)。
x (t)
x [n]
X[1] X[-1]
0
t
图一 连续时间信号
1）、时间特性——波形、幅度、重复周期及信号变化的快慢等。 ω
2）、频率特性——振幅频谱和相位频谱。即从频域 来研究信号的变化情 况。
《信号与系统》奥本海姆4.1
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only.
x(t) t
T (t), t | | x(t) = x 2
-T1 0 T1
T
ake
jk w 0 t T /2
2、狄里赫利条件
(1)、x(t)绝对可积
绝对可积
| x ( t ) | dt
| x ( t ) | dt | X ( jw ) |=
| x ( t ) e jw t | dt
(2)、任意有限区间内，有有限个极大和极小值。 (3)、任意有限区间内， x(t)有有限个不连续点，且值 是有限的。 应该指出:这些条件只是傅立叶变换存在的充分条件。
1 x (t ) = 2 X ( jw ) =
X ( jw ) e x (t )e
jw t
jw t
dw
dt
连续时间FT
离散时间傅里叶变换对:
x[n ] = X (e
jw
1 2 ) =
2
X (e
jw
)e
jw n
dw
n =
x [ n ]e
jw n
离散时间FT
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only.
三.常用信号的傅里叶变换：
1
x (t )
1. x(t ) = e u (t ),
X ( jw) =
0
信号与系统奥本海姆第4章PPT课件
t
8
x
(
t
)
k
xke
jk 0t
0
2 T
x(t)
1
2
Txk e jk0t
k
0
T
xk
1 T
T
2 T
x(t)ejk0t
2
2 T
x
(t)
2
x(t)
Txk
x(t)ejk0tdt
Dx e(ftin)e X : (21 jk) X ( jx k(t0 ))eX ej(jk jt0d t)te 20jt|k0xXk(jT1)X面(k积j0) Xk(j0k30T1)XT(xjkk0)
2
4.0 引言 Introduction
在工程应用中有相当广泛的信号是非周期 信号，对非周期信号应该如何进行分解，什 么是非周期信号的频谱表示，就是这一章要 解决的问题。
3
在时域可以看到，如果一个周期信号的周期趋 于无穷大，则周期信号将演变成一个非周期信 号；反过来，任何非周期信号如果进行周期性 延拓，就一定能形成一个周期信号。我们把非 周期信号看成是周期信号在周期趋于无穷大时 的极限，从而考查连续时间傅立叶级数在 T趋 于无穷大时的变化，就应该能够得到对非周期 信号的频域表示方法。
2 0
0
4 0 a k
0
(a) T 4T1
4 0
(b) T 8T1
当 T 时，周期性矩形脉冲信号将演变成为非周 期的单个矩形脉冲信号。
7
Periodic signal
x (t)
(周期信号)
2T
T T 0 T T
2
2
x (t) Aperiodic signal
T （非周期信号）
课件信号与系统奥本海姆.ppt
4
Ch1. Signals and Systems
Signal：the carrier of information 信号：信息的载体
1
SIGNALS AND SYSTEMS
• 信号与系统
8
Main content ： Ch1. Signals and Systems
• Continuous-Time and Discrete-Time Signals 〔连续时间与离散时间信号〕
• Transformations of the Independent Variable〔自变量的变换〕
信号是信息的具体物理表现形式，包含了信息的 具体内容。总是1个或多个独立变量的函数。
同一信息可以有不同的物理表现形式，因此对应 有不同的信号，但这些不同的信号都包含同一个信息。 这些不同的信号之间可以相互转换。
例如语音信息用声压表示，可用电压或电流信号 作为载体；也可以用一组数据(01)信号作载体。对应 模拟信号和数字信号，可以AD转换。
2
Ch1. Signals and Systems
控制论创始人维纳认为: 信息是人或物体与外部世界交换内容的名称。内 容是事物的原形，交换是信息载体[信号]将事物原形 [内容]映射到人或物体的感觉器官，人们把这种映射 的结果认为获得了信息。通俗地说，信息指人们得到 的消息。
信息多种多样、丰富多彩，具体的物理形态也千 差万别。
• Basic System Properties (根本系统性质) 9
Ch1. Signals and Systems
奥本海默《信号与系统课件》
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only.
h(n) x(n) h(t) y(t) x(t) y(t) x(t) h(t) x(n) y(n) h(n) y(n)
4. 卷积运算其它性质： 卷积积分微分、积分特性：
若 x (t ) h(t ) y (t )，则
x(t ) h(t ) x(t ) h(t ) y(t ) [ x( ) d ] h(t ) x(t ) [ h( ) d ] [ y ( ) d ]
k
x ( k ) h( n k )
k
x ( n k ) h ( k ) h( n) x ( n)
y (t ) x(t ) h(t ) x( )h(t )d x(t )h( )d h(t ) x(t )
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only.
2 .3 Properties of Linear
Time-Invariant Systems
Wang Zhengyong College of Electronics and Information, Sichuan University
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only.
一. 卷积积分与卷积和的性质
1. 交换律(The commutative property )：
y ( n ) x ( n) h( n)
信号与系统第四章1
0<t<1 1< t < 2
1
2
4.5
思考题4.4 思考题4.4
20
4.5 周期信号的频谱与功率谱
一.频谱 频谱
辐频 Ak ~ kω 0 关系
相频 θ k ~ k ω 0 关系
x ( t ) = c 0 + 2 ∑ Ak cos( k ω 0 t + θ k )
k =1
∞
---三角函数形式 三角函数形式
2 2 Ak = Bk + Dk
tgθ k = Dk / Bk
− Dk = − I m {ck }, k > 0
11
复指数——> 正余弦的转换： 正余弦的转换： 复指数
B k = Re {ck }
4.4 波形对称性与傅里叶系数
1.偶对称：x(t)=x(-t) 偶对称： 偶对称
− 2 Dk = 0
4 2 Bk = T0
8
将这两者相加， 式中基波角频率 ω 0 = 2π / T0 。将这两者相加，即 为所求x(t)的傅里叶级数。所以 的傅里叶级数。 为所求 的傅里叶级数
x( t ) = Ev{ x( t )} + Od { x( t )}
4 8 = sinω0 t − 2 cosω0 t + sin3ω0 t − 2 cos3ω0 t π π 3π 9π
第 四 章
连续时间傅立叶变换 连续时间信号的谱分析和 --频分析 时--频分析
1
4.1引言 引言 4.2复指数函数的正交性 复指数函数的正交性 4.3周期信号的表示：连续时间傅里叶级数 周期信号的表示： 周期信号的表示 4.4波形对称性与傅立叶系数 波形对称性与傅立叶系数 4.5周期信号的频谱与功率谱 周期信号的频谱与功率谱 4.6傅里叶级数的收敛性 吉伯斯现象 傅里叶级数的收敛性 4.7非周期信号的表示：连续时间傅里叶变换 非周期信号的表示： 非周期信号的表示 4.8傅里叶级数与傅里叶变换的关系 傅里叶级数与傅里叶变换的关系 4.9连续时间傅里叶变换的性质与应用 连续时间傅里叶变换的性质与应用 4.10卷积定理及其应用 卷积定理及其应用 4.11相关 相关 4.12能量谱密度与功率谱密度 能量谱密度与功率谱密度 4.13信号的时 频分析和小波分析简介 信号的时---频分析和小波分析简介 信号的时
奥本海姆信号与系统课件
More details on sampling will be given in a later chapter.
11
Notes: To distinguish CT signals from DT signals: • Variable notations: t, x, y, · · · for CT signals, n, m, k, · · · for DT signals. • More importantly, parentheses (.) are used for CT signals, while brackets [.] for DT signals.
9
How DT signals are generated ? There are signals of independent variables which • are inherently discrete (ex., no. of students in a class):
P [n]
3000 2800
s(t)
10 5 0 −5 −10 0 0.05 0. 1 0.15 0. 2 (a) 0.25 0. 3 0.35 0. 4
t
s[n]
10 5 0 −5 −10 0 5 10 (b) 15 20
n
Figure 10: (a) s(t) = 10cos(20πt − 0.5), t ∈ [0 0.4]. (b) s[n] = s(tn ) with tn = n/50.
p(t)dt =
t2 t1
v 2(t)dt
• Average power over (t1, t2): 1 t2 − t1
t2 t1
p(t)dt =
信号与系统_奥本海姆_中文答案_chapter_4
Chapter 44.10 (a) 解：1sin ()sin tx t t tππ=⋅令：12sin ()sin ,()tx t t x t tπ==则：12()(1)(1)0,1()11X j jjX j ππωδωδωωωω=--+⎧>⎪=⎨<⎪⎩，所以：,202(),0220,jjX j ωπωωπω⎧-≤<⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪⎪⎩其他 （b ）2243sin 11()()22t A t dt X j d t ωωπππ+∞+∞-∞-∞===⎰⎰ 4.11 证明： 111()()()()3339j G j X j H Y j ωωωω=⋅= 因为1(3)()33j y t Y ω↔ 所以11(3)()()393j y t Y G j ωω↔= 即：11()(3),333g t y t A B =⇒==4.13 (a) 51()(1)()2j t j t x t e e x t ππ=++⇒非周期 (b) []()()()()F x t h t X j H j ωω*=⋅[]211()(2)(5)()(())j e j j ωδωδωδωπδωπδωωω-⎡⎤=+-+-⋅+-+⎢⎥⎣⎦则：[]11051()()()()(1)10j j t x t h t FX j H j e e jωωπ--*=⋅=- 因此：()()x t h t *是周期的，周期为25π。
(c) 由(b)可知，()x t 和()h t 都不是周期的，但卷积周期。
这说明两个非周期信号的卷积有可能是周期的。
4.14 解： 由条件2得：2()2tAF Ae u t j ω-⎡⎤=⎣⎦+所以：(1)()2Aj X j j ωωω+=+即：11()()(2)(1)12A X j A j j j j ωωωωω==-++++2()()()t t x t A e e u t --=-由条件3知：22220()1()1t t x t dt A e e dt +∞+∞---∞=⇒-=⎰⎰212A ⇒=，由()0x t A ≥⇒=从而有2())()t t x t e e u t --=-。
信号与系统4教学ppt
上两式称为双边拉普拉斯变换对，可以表示为
f (t) F (s)
拉氏变换扩大了信号的变换范围。
变换域的内在联系
时域函数 f (t)傅氏变换 频域函数 F ()
时域函数 f (t)拉氏变换 复频域函数 F (s)
4.1.2 单边拉普拉斯变换
考虑到：1. 实际信号都是有始信号，即 t 0时，f (t) 0
作业
连续信号与系统的复频域分析概述
傅里叶变换（频域）分析法
– 在信号分析和处理方面十分有效：分析谐波成分、系统的频 率响应、波形失真、取样、滤波等
– 要求信号满足狄里赫勒条件 – 只能求零状态响应 – 反变换有时不太容易
拉普拉斯变换（复频域）分析法
– 在连续、线性、时不变系统的分析方面十分有效 – 可以看作广义的傅里叶变换 – 变换式简单 – 扩大了变换的范围 – 为分析系统响应提供了规范的方法
但反变换的积分限并不改变。
以后只讨论单边拉氏变换：
（1）f (t) 和 f (t) (t) 的拉氏正变换 F(s) 是一样的。
（2）反之，当已知 F(s) ，求原函数时，也无法得 到 t < 0 时的 f (t) 表达式。
例如，常数 1 和 (t) 的（单边）拉普拉斯变换是一
样的。
单边拉氏变换的优点：
0
可见： L[tn (t)] n L[tn1 (t)]
s
依次类推：
L[tn (t)]
n s
n
1 s
n
s
22 s
1 s
1 s
n! sn1
特别是 n=1 时，有
L[t (t)]
1 s2
拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系
1. 0 0 ：只有拉氏变换而无傅氏变换
《信号与系统》第04章
, −∞ < t < ∞ −a t 解：它可以看作是双边指数函数 x ( t ) = e
x ( t ) = li m e
a→ 0 −a t
x(t ) = 1
不满足 绝对可积的条件 中
a → 0 的极限情况，即
T
T = 4T1
2π ω = k ω0 = k T
T = 8T1
ω0 = 2π / T ,当 T → ∞
时,
ω0 → 0 )。
是单位间隔
T = 16T1
这说明，可以把非周期 信号当作周期信号在周期 任意大时的极限来看待。
x 2、再看一个信号 x ( t ) ,它具有有限持续期，即满足： (t) =0
∧
1 x(t ) = 2π
∧
∫
+∞
−∞
X ( jω )e jωt d ω
1、若x ( t )能量有限，即x ( t )平方可积 1)
∫
+∞
−∞
x(t ) dt < ∞
2
∫
傅立叶级数时 2
T
x(t ) dt < ∞
则x ( t )的傅里叶变换存在。 2) 其中
∫
+∞
−∞
e(t ) dt = 0
2
∧
傅里叶变换时，周期为 无穷大。
T1 − jωt
πθ ωT1 sin( π) sin(ωT1 ) ωT1 π )] ∴ = = sin c( ωT1 ωT1 π π π
[Q sin c(θ ) =
sin πθ
sinc函数
例4.5 已知信号的傅里叶变换为
X ( jω )
(4.18) -W 1
⎧1 , ⎪ X ( jω ) = ⎨ ⎪0 , ⎩
《信号与系统》奥本海姆
a
a
/ 2
/ 4
a
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only.
• 如果 x(t ) x( t ) ,信号是实偶函数。则
X ( j ) x (t )e jt dt
x(t ) e u(t ), a 0
1 X ( j ) | X ( j ) | e j ≮X ( j ) a j
X ( j ) 1 a
X ( j )
1/ a
1 2a
0
2 2
at
,
≮
X ( j ) tg
-1
a
≮
X ( j )
/2
a
/4
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only.
1. 线性: Linearity 连续时间信号:
FT FT
若 x(t) X ( j), y(t) Y ( j) 则 ax(t ) by(t ) aX ( j ) bY ( j ) FT
x (t ) X ( j )
x* (t ) X * ( j )
由 X ( j ) x (t )e j t dt
可得
X ( j )
所以 即
*
*
x * ( t ) e j t dt
X ( j ) x* (t )e jt dt
x*(t) X*( j)
2. 时移: Time Shifting
连续时间信号: 若 x(t ) X ( j ) 则 x(t t0 ) X ( j )e jt0 离散时间信号: 若 x ( n ) X ( e j ), 则
信号与系统奥海姆原版PPT第四章
Example 4.12
j
4 The continuous time Fourier transform
4.3.5 Time and Frequency Scaling If x(t) F X ( j) then x(at) F 1 X ( j )
|a| a
Pr oof : x(at) 1 X ( j )e jatd
Consider a LTI system:
x(t)
h(t)
X(j ) H(j)
y(t)=x(t)*h(t) Y(j)=X(j)H(j)
y(t) x(t)*h(t) FY ( j) X ( j)H ( j)
4.4.1 Examples
Example 4.15 4.16 4.17 4.19 4.20
4 The continuous time Fourier transform
4.3.3 Conjugation and Conjugate Symmetry
(1) If x(t)F X ( j)
then x*(t) F X *( j)
Pr oof : x* (t) 1 X * ( j )e jt d
4.1.1 Development of the Fourier transform representation of the continuous time Fourier transform
4 The continuous time Fourier transform
(1) Example ( From Fourier series to Fourier transform )
2
(2) If
x(t) F X ( j)
then x1(t) F 1 X ( j) X (0) ()
奥本海姆信号与系统总结精品PPT课件
而 yf (k –kd) = f (k –kd) f (k–kd –1) 显然 T[{0}，f(k –kd)] = yf (k –kd) 故该系统是时不变的。 (2) 令g (t) = f(t –td)
• 同时，通过习题和实验，学生应在分析问 题与解决问题的能力及实践技能方面有所 提高。
Teaching Request
• 概念第一、方法第二、技巧第三 • 根据个人定位按广度、深度分层次学习
– 重视基本概念的思考 – 注重物理概念与数学分析之间的对照，不要盲目计算 – 在掌握基本理论和基本方法上下功夫 – 记笔记、记重点、记思路、记方法 – 不强调复杂计算 – 比较学习方法 – 重视预习、复习、练习和章节小结这些学习环节 – 做好作业与一定的习题量，做到熟能生巧
（2）LTI连续系统的微分特性和积分特性
①微分特性： 若 f (t) → yzs(t) ， 则 f ’(t) → y ’ zs (t)
T[{0}, df (t)] dyzs (t)
dt
dt
②积分特性：
若 f (t) → yzs(t) ， f () 0, yzs () 0 则
t
t
f (x)d x yzs (x)d x
y(t) = 4x’(t)+ 3x(t) 根据前面，逆过程，得
y”(t) + 2y’(t) + 3y(t) = 4f’(t)+ 3建立差分方程
由n阶差分方程描述的系统称为n阶系统。 描述LTI离散系统的是线性常系数差分方程。
2. 差分方程的模拟框图
信号与系统 奥本·海姆 课件
4.1 Representation of Aperiodic Signals: The Continuous-Time Fourier Transform
(非周期信号的表示—连续时间傅立叶变换)
4.1.1 Development of the Fourier transform Representation of an Aperiodic signal
13
Inverse CTFT
ak
1 T
X
(
jk0 ),
x(t)
lim
T k
1 lim
2 0 0
ak e jk0t
X(
k
lim T k
jk0
)e
jk0t 0
X (Q
( jk0 ) e jk0t
T 0
2
T
)
T :0 d, k0 ,
Thus, we obtain
x(t) 1 X ( j )e jt d
19
Note 1: the two sets of conditions are sufficient to guarantee that a signal has a Fourier transform.
If impulse functions are permitted in the transform, some signals such as periodic signals, which are neither absolutely integrable nor square integrable over an infinite interval, can be considered to have Fourier transforms.
信号与系统第4章
T
2 T
2
f
(t) cos(nt) d t
j1 T
T
2 T
2
f (t) sin(nt) d t
1 T
T
2 T
f (t) e d jnt t
2
f (t) Fn e jnt n
Fn
1 T
T
2 T
f (t) e jntd t
2 n = 0, ±1, ±2，…
第4-13页
■
信号与系统
4.2 傅里叶级数
可从三角形式推出指数形式的傅里叶级数：利用 cosx=(ejx + e–jx)/2
f (t)
A0 2
n1
An
cos(nt
n)
A0 An [e j(ntn ) e j(ntn ) ]
2 n1 2
第4-8页
Ki
t2 t1
i2
(t
)
d
t
■
信号与系统
4.2 傅里叶级数
4.2 傅里叶级数
一、傅里叶级数的三角形式
设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，当满足
狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级
数—— 称为f(t)的傅里叶级数
f (t)
a0 2
1 T
2
e
jnt
dt
2
1 e jnt
T jn
2
2
2
sin( n
2
)
T n
T
sin n
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
t
0
-1
X ( j )
1
a2 2
X ( j ) tg
a
1/ a
X ( j )
1 2a
0
X ( j )
/4
/2
a
a
a
/ 2
/ 4
a
2. x(t ) e
a t
, a0
at jt
x(t )
at jt 0
X ( j ) e e
第四章 连续时间傅立叶变换
第4章 连续时间傅立叶变换
The Continuous time Fourier Transform
本章的主要内容:
1. 连续时间傅立叶变换;
2. 傅立叶级数与傅立叶变换之间的关系;
3. 傅立叶变换的性质; 4. 系统的频率响应及系统的频域分析；
4.0 引言 Introduction
非周期的单个矩形脉冲信号。
2 d , k0 , 当 T0 时, 0 T0
2T1 sin k0T1 由于 ak 也随 T0 增大而减小，并最 T0 k0T1
终趋于0，考查 T0 ak 的变化，它在 T0 时应该
是有限的。
于是，我们推断出:当 T0 时，离散的频谱将
2 0 d , T0
于是有： 傅立叶反变换
X ( j )e jt d
此式表明，非周期信号可以分解成无数多个频率 连续分布、振幅为 1 X ( j )d 的复指数信号之和。 2 ak 由于X ( j ) lim T0 ak lim 具有频谱随频率分 T0 T0 , f0 0 f 0 布的物理含义，因而称 X ( j )为频谱密度函数。
0
0
增大时，频谱的幅度随 T 的增大而下降；谱线 间隔随 T 的增大而减小；但频谱的包络不变。 0 再次考察周期性矩形脉冲的频谱图：
20
ak
0
20
（a）
41
ak
0
41
0＝21
（b）
(a) T0 4T1
(b) T0 8T1
当T0 时，周期性矩形脉冲信号将演变成为
2
x(t ) dt
b. 在任何有限区间内， x(t )只有有限个极值点，
且极值有限。 c. 在任何有限区间内，x(t ) 只有有限个第一类间
断点。
应该指出:这些条件只是傅立叶变换存在的充分 条件。
sin t 这两组条件并不等价。例如： 是平方可积 t 的，但是并不绝对可积。
和周期信号的情况一样，当 x(t ) 的傅立叶变换存
在工程应用中有相当广泛的信号是非周期 信号，对非周期信号应该如何进行分解，什 么是非周期信号的频谱表示，线性时不变系 统对非周期信号的响应如何求得，就是这一 章要解决的问题。
在时域可以看到，如果一个周期信号的周期
趋于无穷大，则周期信号将演变成一个非周期
信号；反过来，如果将任何非周期信号进行周
期性延拓，就一定能形成一个周期信号。
(t )
X ( j )
1
0
这表明 (t ) 中包括了所有的频率成分，且所有频 率分量的幅度、相位都相同。因此，系统的单位冲 激响应 h(t )才能完全描述一个LTI系统的特性， (t ) 才在信号与系统分析中具有如此重要的意义。
0
X ( j ) (t )e jt dt 1
于是，我们得到了对非周期信号的频域描述方法
X ( j ) x(t )e
jt
dt
jt
1 x(t ) 2
Biblioteka X ( j )e d
这一对关系被称为连续时间傅立叶变换对。
可见，周期信号的频谱是对应的非周期信号频 谱的样本；而非周期信号的频谱是对应的周期信 号频谱的包络。
我们把非周期信号看成是周期信号在周期趋
于无穷大时的极限，从而考查连续时间傅立叶
级数在 T趋于无穷大时的变化，就应该能够得
到对非周期信号的频域表示方法。
4.1 非周期信号的表示—连续时间傅立叶变换
Representation of Aperiodic Signals: The Continuous-Time Fourier Transform 一.从傅立叶级数到傅立叶变换 我们已经看到，周期性矩形脉冲，当周期 T
演变为连续的频谱。
由
T0 ak
T0 / 2
T0 / 2
x(t )e
jk0t
dt
T0 ak X ( j ) 则有 如果令 Tlim
0
X ( j ) x(t )e jt dt
连续时间傅立叶变换
1 与周期信号傅立叶级数对比有：ak X ( jk0 ) T0 这表明:周期信号的频谱就是与它相对应的非周期
在时，其傅立叶变换在 x(t ) 的连续处收敛于信号本
身，在间断点处收敛于左右极限的平均值，在间断
点附近会产生Gibbs 现象。
三.常用信号的傅立叶变换： 1. x(t ) e u(t ),
at
x(t )
1
a0
1 dt a j
X ( j ) e e
0
at j t
信号频谱的样本。
根据傅立叶级数表示：
x(t )
k
ak e
jk0t
1 T0
k
X ( jk0 )e
jk0t
1 2
k
X ( jk0 )e jk0t0
当 T0 时，x(t ) x(t ),
k0
1 x(t ) 2
二. 傅立叶变换的收敛
既然傅立叶变换的引出是从周期信号的傅立叶 级数表示出发，讨论周期趋于无穷大时的极限得 来的，傅立叶变换的收敛问题就应该和傅立叶级 数的收敛相一致。
也有相应的两组条件： 1. 若 x(t ) dt 则 X ( j ) 存在。 这表明能量有限的信号其傅立叶变换一定存在。 2. Dirichlet 条件 a. 绝对可积条件
0
dt e e
dt
1
1 1 2a 2 a j a j a 2
对此例有 X ( j ) X ( j ) 结论：实偶信号的傅立叶 变换是实偶函数。此时可以 用一幅图表示信号的频谱。
1 a
t
0
X ( j ) 0
2 a
a
X ( j )
a
3. x(t ) (t )