2016年高考数学复习专题15解析几何直线的交点坐标与距离公式备考策略
第15讲 直线的交点坐标与距离公式6种常见考法归类(原卷版)高二数学暑假自学讲义人教A版2019)
第15讲直线的交点坐标与距离公式6种常见考法归类1.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．2.探索并掌握两点间的距离公式.3.探索并掌握点到直线的距离公式.4.会求两条平行直线间的距离.知识点1两直线的交点坐标1、已知两条直线的方程是l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，设这两条直线的交点为P ，则点P 既在直线l 1上，也在直线l 2上．所以点P 的坐标既满足直线l 1的方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，也满足直线l 2的方程A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，即点P1x ＋B 1y ＋C 1＝0，2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．2、直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的位置关系如表所示：注：(1)判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．1x ＋B 1y ＋C 1＝0，2x ＋B 2y ＋C 2＝0有唯一解的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0，即两条直线相交的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.(2)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用．知识点2两点间的距离公式1．公式：点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2.2．文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．注：（1）两点间的距离公式与两点的先后顺序无关．（2）①当直线P 1P 2平行于x 轴时，|P 1P 2|＝|x 2－x 1|.②当直线P 1P 2平行于y 轴时，|P 1P 2|＝|y 2－y 1|.③当点P 1，P 2中有一个是原点时，|P 1P 2|＝x 2＋y 2.④当P 1P 2与坐标轴不平行时，如图，在Rt △P 1QP 2中，|P 1P 2|2＝|P 1Q|2＋|QP 2|2，所以|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.即两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.⑤已知斜率为k 的直线上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，由两点间的距离公式可得|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝1＋k 2|x 2－x 1|，或|P 1P 2|＝1＋1k2|y 2－y 1|.知识点3点到直线的距离与两条平行线间的距离点到直线的距离两条平行直线间的距离定义点到直线的垂线段的长度夹在两条平行直线间公垂线段的长度公式点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)之间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2注：（1）应用点到直线距离公式的前提是直线方程为一般式．（2）在使用两平行线间距离公式时，两直线的方程为一般式且x ，y 的系数分别相同．（3）若直线方程为Ax ＋By ＋C ＝0，则当A ＝0或B ＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．（4）已知点P (x 0，y 0)及直线l 上任意一点M ，那么点P 到直线l 的距离|PQ |等于两点间距离|PM |的最小值．（5）点到直线距离的向量表示如图，设n 为过点P 且垂直于l 的单位向量，PQ ―→就是PM ―→在n 上的投影向量，点P 到直线l 的距离|PQ ―→|＝|PM ―→·n |.（6）点到直线距离公式的推导如图，平面直角坐标系中，已知点P (x 0，y 0)，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ≠0，B ≠0)，怎样求出点P 到直线l 的距离呢？方法一：根据定义，点P 到直线l 的距离是点P 到直线l 的垂线段的长，如图，设点P 到直线l 的垂线为l ′，垂足为Q ，由l ′⊥l 可知l ′的斜率为B A，∴l ′的方程为y －y 0＝BA (x －x 0)，与l 联立方程组，解得交点∴|PQ |＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2.方法二：向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，怎样用向量方法求点到直线的距离呢？提示PQ →可以看作PM →在直线l 的垂线上的投影向量，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(AB ≠0)的斜率为－A B，所以m ＝(B ，－A )是它的一个方向向量．(1)由向量的数量积运算可求得与直线l 垂直的一个单位向量n ＝1A 2＋B2(A ，B )．(2)在直线l 上任取点M (x ，y )，可得向量PM →＝(x －x 0，y －y 0)．(3)|PQ |＝|PQ →|＝|PM →·n |＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2.（7）怎样求两条平行直线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离？在直线Ax ＋By ＋C 1＝0上任取一点P (x 0，y 0)，点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C 2＝0的距离，就是这两条平行直线间的距离即d ＝|Ax 0＋By 0＋C 2|A 2＋B 2，因为点P (x 0，y 0)在直线Ax ＋By ＋C 1＝0上，所以Ax 0＋By 0＋C 1＝0，即Ax 0＋By 0＝－C 1，因此d＝|Ax0＋By0＋C2|A2＋B2＝|－C1＋C2|A2＋B2＝|C1－C2|A2＋B2.1．两条直线相交的判定方法方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交．方法二：两直线斜率都存在且斜率不等．2．过两条直线交点的直线方程的求法(1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．(2)特殊解法(直线系法)：运用过两直线交点的直线系方程：若两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为待定常数，不包括直线l2)，设出方程后再利用其他条件求解．3．计算两点间距离的方法(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．4．应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．5．求两条平行直线间距离的两种方法(1)转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求．(2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝|C1－C2| A2＋B2.注：利用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式解综合题时，需特别注意直线方程要化为一般式，同时要注意构造法、数形结合法的应用，本节中距离公式的形式为一些代数问题提供了几何背景，可构造几何图形，借助几何图形的直观性去解决问题．6．直线的对称问题关于中心对称问题的处理方法：①若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得＝2a－x1，＝2b－y1.②求直线关于点的对称直线的方程，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用两直线平行，由点斜式得到所求直线方程，当然，斜率必须存在.关于轴对称问题的处理方法：①点关于直线的对称.若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By＋C ＝0对称，则线段P 1P 2的中点在l 上，且连接P 1P 2的直线垂直于l ，C ＝0，1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2).②直线关于直线的对称.此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行.考点一：两条直线的交点问题例1．（2023秋·高二课时练习）分别判断下列直线1l 与2l 是否相交．如果相交，求出交点的坐标．(1)1:0l x y -=，2:33100l x y +-=；(2)1:340l x y -+=，2:6210l x y --=；(3)1:3450l x y +-=，2:68100l x y +-=．变式1．（2023秋·高二课时练习）已知ABC 的顶点(2,1),(6,3)B C -，其垂心为(3,2)H -，求顶点A 的坐标．变式2．（2023秋·高二课时练习）直线210x my ++=与直线1y x =+相交，则m 的取值范围为__________．变式3．（2023秋·高二课时练习）若直线5421x y m +=+与直线23x y m +=的交点在第四象限，则m 的取值范围是（）A ．(,2)-∞B ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．3,22⎛⎫- ⎪⎝⎭变式4．（2023秋·高二课时练习）若直线420mx y +-=与250x y n -+=互相垂直，垂足为(1,)p ，则m n p -+的值为（）A ．20B ．-4C ．12D ．4变式5．（2023秋·高二课时练习）已知直线l 过直线250x y +-=和直线240x y +-=的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l 的方程为（）A ．10x y --=B ．30x y +-=或20x y -=C ．10x y --=或20x y -=D ．30x y +-=或10x y --=变式6．（2023秋·高二课时练习）若点(23,)A -是直线1110a x b y ++=和2210a x b y ++=的公共点，则相异两点()11,a b 和()22,a b 所确定的直线方程是（）A ．2310x y -+=B ．3210x y -+=C ．2310x y --=D ．3210x y --=变式7．【多选】（2023秋·高二课时练习）已知平面上三条直线220x y -+=，20x -=，0x ky +=，若这三条直线将平面分为六部分，则k 的可能取值为（）A ．-2B ．-1C ．0D ．1变式8．（福建省连江第一中学2022-2023学年高二上学期11月期中联考数学试题）已知直线1l 的方程为2250x y +-=，若直线2l 在y 轴上的截距为12，且12l l ⊥．(1)求直线1l 和2l 的交点坐标；(2)已知直线3l 经过1l 与2l 的交点，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为258，求直线3l 的方程．考点二：两点间的距离公式（一）求两点间的距离例2．（2023秋·高二课时练习）已知ABC 三顶点坐标(3,1),(3,3),(1,7)A B C --，试求BC 边上的中线AM 的长．变式1．（2023秋·高二课时练习）点(3,1),(1,)A C y -关于点(1,3)B --对称，则AC =________．变式2．（2023秋·高二课时练习）直线1:320--=l ax y 和直线()2:21510l a x ay -+-=分别过定点A 和B ，则AB =|________．变式3．（2023秋·高二课时练习）设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是(2,1)P -，则A 与B 坐标分别为________，AB =________．变式4．（2023秋·高二课时练习）已知点(),4M x -与点()2,3N 间的距离为，则x =________．变式5．（2023秋·高二课时练习）在直线20x y -=上求一点P ，使它到点(5,8)M 的距离为5，并求直线PM 的方程.例3．（江西省八所重点中学2023届高三下学期3月联考数学（理）试题）在平面直角坐标系xOy中，已知点()0,2A -，点()1,0,B P 为直线2430x y -+=上一动点，则PA PB +的最小值是（）A 5B ．4C ．5D ．6变式1．（2023秋·高二课时练习）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：()()22x a y b -+-(),x y 到点(),a b 的22148x x x +-+）．A ．3B ．221C ．23D 13变式2．（四川省德阳市第五中学2022-2023学年高二下学期5月月考理科数学试题）设R m ∈，过定点A 的动直线20x my +-=与过定点B 的动直线40mx y -+=交于点(),P x y ，则PA PB ⋅的最大值是______．变式3．（山东省临沂市平邑县第一中学2022-2023学年高二10月月考数学试题）已知两点(3,0),(0,4)A B ，动点(,)P x y 在线段AB 上运动，则12y x +-的范围是________，22(1)x y -+的范围是________.（二）判断三角形、四边形的形状例4．（江苏省镇江市2022-2023学年高二下学期4月期中数学试题）已知()5,1A -，()1,1B ，()2,3C ，则ABC 是（）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形变式1．（2023秋·高二课时练习）已知点(1,2),(3,4),(5,0)A B C ，判断ABC 的类型.变式2．（2023秋·高二课时练习）已知四边形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A （-1，2），B （3，4），C （3，2），D （1，1），则四边形ABCD 是（）A ．梯形B ．平行四边形C ．矩形D ．正方形（三）求三角形、四边形的周长、面积例5．（重庆实验外国语学校2022-2023学年高二上学期期末数学试题）在平面直角坐标系xoy 中，()()()0,1,3,0,1,4A B C ．(1)求ABC 的面积；(2)判断,,,O A B C 四点是否在同一个圆上？并说明理由．变式1．（辽宁省协作校2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题）已知正方形ABCD 的中心为坐标原点，点A 的坐标为（2，1），点B 在第四象限.(1)求正方形ABCD 的面积;(2)求直线AB 和BC 的方程.变式2．（2023秋·高二课时练习）已知直线l 过点(1,2)M ，且分别与x ，y 轴正半轴交于A ，B 两点.O 为坐标原点.(1)当ABO 面积最小时，求直线l 的方程；(2)当MA MB⋅值最小时，求直线l 的方程.考点三：点到直线的距离例6．（上海市青浦区2022-2023学年高二下学期期末数学试题）点()2,1-到直线30x y -+=的距离为__________．变式1．（2023秋·高二课时练习）已知(,2)A a 到直线3420x y --=的距离等于4，则a 的值为__________．变式2．（2023秋·高二课时练习）过点()0,1P 且和()()3,3,5,1A B -的距离相等的直线方程是_________．例7．（2023秋·高二课时练习）若点(,)P x y 在直线40x y +-=上，O 为坐标原点，则OP 的最小值是（）A B ．C ．D ．2变式1．（福建省石狮市永宁中学2022-2023学年高二上学期第一次阶段考数学试题）已知51260x y +=，）A ．B ．20C ．34D ．6013变式2．（2023秋·高二课时练习）直线:20(R)l x my m m +-+=∈过定点___________，原点到直线l 的距离的最大值为___________.变式3．（2023秋·高二课时练习）已知点(0,1)A ，点B 在直线0x y +=上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为（）A ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(1,1)-D ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭变式4．（重庆市第十一中学校2022-2023学年高二下学期期中数学试题）已知直线1l ：10ax y ++=过定点P ，则点P 到直线2l ：()1y k x =+距离的最大值是（）A ．1B ．2CD考点四：两平行线间的距离例8．（2023秋·高二课时练习）已知直线3430x y -+-=与直线6140x my +-=平行，则它们之间的距离是（）．A ．1B ．2C ．12D ．4变式1．（2023秋·高二课时练习）已知直线123:2340,:102l x y l ax y -+=--=，且1l ∥2l ．(1)求a 的值；(2)求两平行线1l 与2l 之间的距离．变式2．（2023秋·高二课时练习）已知两条直线()()1:21250l x y λλλ++-+-=，()()2:11250l k x k y k ++-+-=，且12l l //，当两平行线距离最大时，k λ+=（）A ．3B ．4C ．5D ．6变式3．（2023秋·高二课时练习）已知直线l 到两条平行直线210x y ++=与230x y ++=的距离相等，则直线l 的方程为__________．变式4．（2023秋·高二课时练习）若两条平行直线()1:200l x y m m -+=>与2:260l x ny +-=之间的距离是则m n +=__________．变式5．【多选】（2023秋·高二课时练习）与直线:210l x y ++=平行且到l （）A ．20x y +=B ．220x y ++=C ．220x y +-=D ．210x y ++=变式6．（2023秋·高二课时练习）已知直线l 经过点()3,1P ，且被两平行直线1:10l x y ++=和2:60l x y ++=截得的线段之长为5．则直线l 的方程为_________．变式7．（上海财经大学附属中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题）若直线m 被两平行线110l y -+=与230l y -+=所截得的线段的长为2，则直线m 的倾斜角为______．变式8．（2023秋·高二课时练习）若动点A ，B 分别在直线1:70l x y +-=和直线2:50l x y +-=上移动，求线段AB 的中点M 到原点的距离的最小值为________．考点五：距离的综合应用例9．（上海市上海中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题）过点()3,0P 作一条直线l ，它夹在两条直线1l ：220x y --=和2l ：30x y ++=之间的线段恰被点P 平分，则直线l 的方程为（）A ．8240x y +-=B ．8240x y --=C ．8240x y ++=D ．8240x y ++=变式1．（上海师范大学附属中学2022-2023学年高二下学期3月第二次月考数学试题）已知点,P Q 分别在直线1:20l x y ++=与直线2:10l x y +-=上，且1PQ l ⊥，点()3,3A --，()3,0B ，则AP PQ QB ++的最小值为______.变式2．（山东省菏泽市郓城县郓城第一中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题）已知三条直线；1:l 20x y a -+=，2:l 4210x y --=，3l ：10x y +-=，且原点到直线1l 的距离是355．(1)求a 的值；(2)若0a >，能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件：①点P 在第一象限；②点P 到2l 的距离是点P 到1l 的距离的2倍；③点P 到1l 的距离与点P 到3l 25P 的坐标；若不能，说明理由．变式3．（上海市青浦区2023届高三上学期9月月考数学试题）在平面直角坐标系xOy 中，若动点(,)P a b 到两直线1:l y x =和2:2l y x =-+222a b +的最大值为___________.变式4．（河北省邢台市第二中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题）过定点A 的直线()120a x y +-+=与过定点B 的直线()1420x a y a ++--=交于点(P P 与A B ､不重合），则PAB 面积的最大值为（）A 2B ．22C ．2D ．4考点六：直线的对称问题例10．（2023秋·高二课时练习）设点()2,5P 关于直线1x y +=的对称点为Q ，则点Q 的坐标为_____________，过点Q 且与直线30x y +-=垂直的直线方程为_______________.变式1．（2023秋·高二课时练习）若点(2,2),(4,6)A a b B b a ++--关于直线43110x y +-=对称，则=a _________；b =__________．变式2．（上海财经大学附属中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题）直线230x y -+=关于点()3,2P 对称的直线的一般式方程为______．变式3．（2023秋·高二课时练习）试求直线1:20l x y --=关于直线2:330l x y -+=对称的直线l 的方程．变式4．（2023秋·高二课时练习）已知ABC 中，()1,2B ，BC 边上的高线AD 方程为210x y -+=，角A 平分线方程为0y =，求AC ，BC 边所在直线方程．变式5．（2023秋·高二课时练习）已知直线1l 的方程为240x y -+=.（1）若直线1l 和直线2l 关于点()0,0对称，求直线2l 的方程__________；（2）若直线1l 和直线2l 关于直线y x =对称，求直线2l 的方程__________.变式6．（2023秋·高二课时练习）一条光线从点()1,1A 发出，经过y 轴反射，反射光线经过点()4,5B .(1)求反射光线所在的直线方程；(2)求反射光线所在直线与坐标轴所围成的三角形面积的大小.变式7．（2023秋·高二课时练习）已知点()3,5M ，在直线:220l x y -+=和y 轴上各找一点P 和Q ，使MPQ 的周长最小，并求出P 和Q 两点的坐标．1．原点到直线250x y +-=的距离为（）A ．1BC ．2D 2．若直线m 被两平行线1:10l x y -+=与2:30l x y -+=所截得的线段的长为m 的倾斜角可以是①15°，②30°，③45°，④60°，⑤75°.其中正确答案的序号是_____(写出所有正确答案的序号)．3.直线2y x =关于x 轴对称的直线方程为（）A ．12y x=-B ．12y x =C ．2y x=-D ．2y x=4.如果直线2y ax =+与直线3y x b =-关于直线y x =对称，那么（）A ．1,63a b ==B ．1,63a b ==-C ．3,2a b ==-D ．3,6a b ==5.直线2360x y +-=关于点()1,2-对称的直线方程是（）A ．32100x y --=B ．32230x y --=C ．2340x y +-=D ．2320x y +-=1．（2023秋·高二课时练习）已知点()7,4A ，()4,8B ，则A ，B 两点的距离为（）A ．25B ．5C ．4D 72．（2023秋·高二课时练习）点（1，-1）到直线x -y +1=0的距离是（）A ．12B ．32C ．22D ．3223．（2023秋·高二课时练习）直线240x y +-=与直线220x y -+=的交点坐标是（）A ．(2,0)B ．(2,1)C ．(0,2)D ．(1,2)4．（2023秋·高二课时练习）若直线:3l y kx =2360x y +-=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（）A ．ππ,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．ππ,62⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．ππ,32⎡⎤⎢⎣⎦5．（广东省深圳市福田区红岭中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题）已知点(,2)(0)a a >到直线:30l x y -+=的距离为1，则a 等于（）A 2B ．22C 21D 216．（河南省南阳市六校2022-2023学年高二下学期第二次联考数学试题）若平面内两条平行线1l ：()120x a y +-+=，2l ：210ax y ++=间的距离为324，则实数=a （）A ．2B ．－2或1C ．－1D ．－1或27．（广西壮族自治区河池市2022-2023学年高二上学期2月期末数学试题）已知直线1:20l x ay ++=，2:2430l x y ++=相互平行，则1l 、2l 之间的距离为（）A ．510B 55C 255D 528．（2023秋·高二课时练习）已知(4,0)A 到直线430x y a -+=的距离等于3，则a 的值为（）A ．1-B ．13-或19-C ．1-或31-D ．13-9．（2023秋·高二课时练习）已知(1,2),(0,4)A B -，点C 在x 轴上，且AC BC =，则点C 的坐标为（）A ．11,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．110,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．110,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,02⎛⎫ ⎪⎝⎭10．（2023秋·高二课时练习）若直线40ax y +-=与直线20x y --=的交点位于第一象限，则实数a 的取值范围是（）A ．1a <-或2a >B ．1a >-C ．2a <D ．1a 2-<<11．（2023秋·高二课时练习）使三条直线440,0,2340x y mx y x my +-=+=--=不能围成三角形的实数m 的值最多有几个（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个12．（2022秋·高二单元测试）若直线21y x k =++与直线122y x =-+的交点在第一象限，则实数k 的取值范围是（）A ．51,22⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．21,52⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．51,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．21,52⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、多选题12．（安徽省池州市第一中学等2校2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题）已知直线250l x y -+=:，则下列说法正确的是（）A ．直线14250l x y -+=:与直线l 相互平行B ．直线2250l x y -+=:与直线l 相互垂直C ．直线30l x y -=:与直线l 相交D ．点(3,)4-到直线l 的距离为13．（吉林省辽源市田家炳高级中学校2022-2023学年高二上学期期末数学试题）下列四个命题中真命题有（）A ．直线2y x =+在y 轴上的截距为2-B ．经过定点()0,2A 的直线都可以用方程2y kx =+表示C ．直线()260x my m ++=∈R 必过定点()3,0-D ．已知直线3490x y ++=与直线6240x my ++=平行，则平行线间的距离是3514．（安徽省滁州市实验中学等2校2022-2023学年高二上学期1月期末联考数学试题）已知直线1l ：4320x y +-=，2l ：()()21510m x m y m ++---=（m ∈R ），则（）A ．直线2l 过定点()23，B ．当10m =时，12l l ∥C ．当1m =-时，12l l ⊥D ．当12l l ∥时，两直线1l ，2l 之间的距离为315．（辽宁省丹东市2022-2023学年高二上学期期末数学试题）已知直线:2410l kx y k --+=，则下列表述正确的是（）A ．当2k =时，直线的倾斜角为45B ．当实数k 变化时，直线l 恒过点14,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．当直线l 与直线240x y +-=平行时，则两条直线的距离为1D ．直线l 与两坐标轴正半轴围成的三角形面积的最小值为4三、填空题16．（2023春·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期中）直线210ax y +-=与直线()120a x y -++=平行，则=a __________.17．（2023秋·高二课时练习）直线34y x =-关于点(1,1)P 对称的直线方程为__________．18．（2023秋·高二课时练习）与直线:51260l x y -+=平行且到l 的距离为2的直线的方程为__________．19．（2022秋·高二校考课时练习）已知ABC 的顶点()21A ，，AC 边上的高BC 所在的直线方程为210x y ++=，则顶点C 的坐标为______.20．（2023春·上海静安·高二上海市回民中学校考期中）直线230x y ++=与直线230x y +-=间的距离为__________四、解答题21．（2022秋·甘肃兰州·高二校考期末）已知直线l 经过两条直线250x y +-=和310x y --=的交点．(1)若直线l 与直线210x y --=平行，求直线l 的方程；(2)若直线l 与直线210x y --=垂直，求直线l 的方程．22．（2023春·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期中）已知ABC 的三个顶点()30A -,，()2,1B ，()2,3C -.(1)求直线BC 的方程；(2)求ABC 的面积.23．（2022秋·江苏常州·高二常州高级中学校考阶段练习）已知直线1l 的方程为240x y +-=，若直线2l 过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭，且12l l ⊥.(1)求直线1l 和直线2l 的交点坐标；(2)已知直线3l 经过直线1l 与直线2l 的交点，且在y 轴上截距是在x 轴上的截距的2倍，求直线3l 的方程.24．（2023·高二课时练习）已知点A （-3，5）和B （2，15），在直线:3440l x y -+=上找一点P ，使PA PB +最小，并求这个最小值．25．（2022秋·湖南怀化·高二校联考期末）已知直线()1270l m x my -+-=:和直线2:30l mx y +-=，其中m 为常数．(1)当1m =时，求直线1l 与2l 的距离；(2)若12l l ⊥，求m 的值．26．（2022·高二课时练习）已知直线)R (20,l kx y k k -++=∈：.(1)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(2)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值和此时直线l 的方程.27．（2023·全国·高三对口高考）已知三条直线()1:200l x y a a -+=>、2:4210l x y -++=和3:10l x y +-=且1l与2l (1)求a 的值；(2)已知P 点到直线1l 的距离与P 点到直线3l P 的轨迹方程．。
直线的交点坐标和距离公式
第二节直线的交点坐标与距离公式[备考方向要明了]考什么怎么考1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．2.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式、会求两条平行直线间的距离.1.两条直线的交点坐标一般是不单独命题的，常作为知识点出现在相关的位置关系中．2.两点间距离公式是解析几何的一个基本知识点，点到直线的距离公式是高考考查的重点，一般将这两个知识点结合直线与圆或圆锥曲线的问题中来考查.[归纳·知识整合]1．两条直线的交点设两条直线的方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则两条直线的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解，(1)若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；(2)若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行，反之，亦成立．[探究] 1.如何用两直线的交点判断两直线的位置关系？提示：当两条直线有一个交点时，两直线相交；没有交点时，两条直线平行，有无数个交点时，两条直线重合．2．距离点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝ x 2－x 12＋y 2－y 12点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2[探究] 2.使用点到直线的距离公式和两条平行线间的距离公式时应注意什么？ 提示：使用点到直线距离公式时要注意将直线方程化为一般式．使用两条平行线间距离公式时，要将两直线方程化为一般式且x 、y 的系数对应相等．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)原点到直线x ＋2y －5＝0的距离是( ) A ．1 B. 3 C ．2D.5解析：选D d ＝|－5|12＋22＝5.2．点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，线段AB 的中点M 的坐标是(3,4)，则AB 的长为( ) A ．10 B ．5 C ．8D ．6解析：选A 设A (a,0)，B (0，b )，则a ＝6，b ＝8，即A (6,0)，B (0,8)．所以|AB |＝6－02＋0－82＝36＋64＝10.3．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋by ＝0相交于一点，则b ＝( ) A ．－1B ．－12C ．2D.12解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，将其代入x ＋by ＝0，得b ＝－12.4．已知直线l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，且l 1与l 2的距离是2，则直线l 1的方程为________．解析：设直线l 1的方程为x ＋y ＋λ＝0，则2＝|－1－λ|12＋12＝|λ＋1|2，解得λ＝1或λ＝－3.即直线l 1的方程为x ＋y ＋1＝0或x＋y －3＝0.答案：x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝05．点(2,3)关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点是________． 解析：设对称点为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b －3a －2＝1，a ＋22＋b ＋32＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－3.答案：(－4，－3)两条直线的交点问题[例1] (1)经过直线l 1：x ＋y ＋1＝0与直线l 2：x －y ＋3＝0的交点P ，且与直线l 3：2x －y ＋2＝0垂直的直线l 的方程是________________．(2)已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0与l 2：2x ＋my －1＝0，若l 1与l 2相交，则实数m ，n 满足的条件是__________．[自主解答] (1)法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x －y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，即点P (－2,1)，∵l 3⊥l ，∴k ＝－12，∴直线l 的方程为y －1＝－12(x ＋2)，即x ＋2y ＝0.法二：∵直线l 过直线l 1和l 2的交点，∴可设直线l 的方程为x ＋y ＋1＋λ(x －y ＋3)＝0， 即(1＋λ)x ＋(1－λ)y ＋1＋3λ＝0.∵l 与l 3垂直，∴2(1＋λ)－(1－λ)＝0，解得λ＝－13.∴直线l 的方程为23x ＋43y ＝0，即x ＋2y ＝0.(2)因为两直线l 1与l 2相交，所以当m ＝0时，l 1的方程为y ＝－n8，l 2的方程为x ＝12，两直线相交，此时m ，n 满足条件m ＝0，n ∈R ；当m ≠0时，由两直线相交．所以m 2≠8m ，解得m ≠±4，此时，m ，n 满足条件m ≠±4，n ∈R .[答案] (1)x ＋2y ＝0 (2)m ≠±4，n ∈R若将本例(1)中条件“垂直”改为“平行”，试求l 的方程．解：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋1＝0，x －y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，即点P (－2，1)．又l ∥l 3，即k ＝2，故直线l 的方程为y －1＝2(x ＋2)， 即2x －y ＋5＝0. ——————————————————— 经过两条直线交点的直线方程的设法经过两相交直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(这个直线系方程中不包括直线A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0)或m (A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋n (A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0.1．设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0. (1)证明l 1与l 2相交；(2)证明l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．证明：(1)反证法：假设l 1与l 2不相交，则l 1与l 2平行，则有k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0得k 21＝k 22＝－2，显然不成立，与已知矛盾，从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋1，y ＝k 2x －1，解得交点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－k 1，k 2＋k 1k 2－k 1， 而2x 2＋y 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－k 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋k 1k 2－k 12＝8＋k 22＋k 21＋2k 1k 2k 22＋k 21－2k 1k 2＝k 21＋k 22＋4k 21＋k 22＋4＝1，即交点P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上．距离公式的应用[例2] 已知点P (2，－1)．(1)求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程；(2)求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过P 点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．[自主解答] (1)过P 点的直线l 与原点距离为2，而P 点坐标为(2，－1)，可见， 过P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件， 此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2. 若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)， 即kx －y －2k －1＝0.由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34.此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)作图可得过P 点与原点O 的距离最大的直线是过P 点且与PO 垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1，所以k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)， 即2x －y －5＝0.即直线2x －y －5＝0是过P 点且与原点O 距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝5.(3)由(2)可知，过P 点不存在到原点距离超过5的直线，因此不存在过P 点且到原点距离为6的直线． ——————————————————— 求两条平行线间距离的两种思路(1)利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．(2)利用两平行线间的距离公式．2．已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使|PA |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2.解：设点P 的坐标为(a ，b )．∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)．而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0. ∵点P (a ，b )在上述直线上， ∴a －b －5＝0.①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2，∴|4a ＋3b －2|5＝2，即4a ＋3b －2＝±10，②由①②联立可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫277，－87.对 称 问 题[例3] 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程． [自主解答] (1)设A ′(x ，y )，再由已知⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.(2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. ——————————————————— 求点关于直线对称问题的基本方法(1)已知点与对称点的连线与对称轴垂直； (2)已知点与对称点的中点在对称轴上．利用以上两点建立方程组可求点关于直线的对称问题．3．直线y ＝2x 是△ABC 的一个内角平分线所在的直线，若点A (－4,2)，B (3,1)，求点C 的坐标．解：把A ，B 两点的坐标代入y ＝2x 知，A ，B 不在直线y ＝2x 上，因此y ＝2x 为∠ACB 的平分线，设点A (－4,2)关于y ＝2x 的对称点为A ′(a ，b )，则k AA ′＝b －2a ＋4，线段AA ′的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a －42，b ＋22，∵⎩⎪⎨⎪⎧b －2a ＋4·2＝－1，b ＋22＝2·a －42，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－2，∴A ′(4，－2)．∵y ＝2x 是∠ACB 平分线所在直线的方程，∴A ′在直线BC 上，∴直线BC 的方程为y ＋21＋2＝x －43－4，即3x ＋y －10＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，3x ＋y －10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，∴C (2,4)．1条规律——与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直和平行的直线方程可设为： (1)垂直：Bx －Ay ＋m ＝0； (2)平行：Ax ＋By ＋n ＝0.1种思想——转化思想在对称问题中的应用一般地，对称问题包括点关于点的对称，点关于直线的对称，直线关于点的对称，直线关于直线的对称等情况，上述各种对称问题最终化归为点的对称问题来解决．2个注意点——判断直线位置关系及运用两平行直线间的距离公式的注意点 (1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑；(2)运用两平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2的前提是将两方程中的x ，y 的系数化为分别相等.创新交汇——新定义下的直线方程问题1．直线方程是高考的常考内容，但一般不单独考查，常与圆、圆锥曲线、函数与导数、三角函数等内容相结合，以交汇创新的形式出现在高考中．2．解决新定义下的直线方程的问题，难点是对新定义的理解和运用，关键是要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程中．[典例] (2013·上海模拟)在平面直角坐标系中，设点P (x ，y )，定义[OP ]＝|x |＋|y |，其中O 为坐标原点．对于以下结论：①符合[OP ]＝1的点P 的轨迹围成的图形的面积为2； ②设P 为直线5x ＋2y －2＝0上任意一点，则[OP ]的最小值为1；其中正确的结论有________(填上你认为正确的所有结论的序号)． [解析] ①由[OP ]＝1，根据新定义得，|x |＋|y |＝1，上式可化为y ＝－x ＋1(0≤x ≤1)，y ＝－x －1(－1≤x ≤0)，y ＝x ＋1(－1≤x ≤0)，y ＝x －1(0≤x ≤1)，画出图象如图所示．根据图形得到四边形ABCD 为边长是2的正方形，所以面积等于2，故①正确；②当点P 为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫25，0时，[OP ]＝|x |＋|y |＝25＋0<1，所以[OP ]的最小值不为1，故②错误；所以正确结论有①.[答案] ① [名师点评]1．本题有以下创新点(1)考查内容的创新，对解析几何问题与函数知识巧妙地结合创新．(2)考查新定义、新概念的理解和运用的同时考查思维的创新，本题考查了学生的发散思维，思维方向与思维习惯有所不同．2．解决本题的关键有以下两点(1)根据新定义，讨论x 的取值，得到y 与x 的分段函数关系式，画出分段函数的图象，即可求出该图形的面积；(2)认真观察直线方程，可举一个反例，得到[OP ]的最小值为1是假命题． 3．在解决新概念、新定义的创新问题时，要注意以下几点 (1)充分理解概念、定理的内涵与外延；(2)对于新概念、新结论要具体化，举几个具体的例子，代入几个特殊值；(3)注意新概念、新结论的正用会怎样，逆用会怎样，变形用又将会如何．[变式训练]四边形OABC 的四个顶点坐标分别为O (0,0)，A (6,2)，B (4,6)，C (2,6)，直线y ＝kx ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<k <3把四边形OABC 分成两部分，S 表示靠近x 轴一侧那部分的面积． (1)求S ＝f (k )的函数表达式；(2)当k 为何值时，直线y ＝kx 将四边形OABC 分为面积相等的两部分． 解：(1)如图所示，由题意得k OB ＝32.①当13<k <32时，直线y ＝kx 与线段AB ：2x ＋y ＝14相交，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，2x ＋y ＝14，解得交点为P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫14k ＋2，14k k ＋2.因为点P1到直线OA：x－3y＝0的距离为d ＝143k－1 10k＋2，所以S＝12|OA|·d＝143k－1k＋2；②当32≤k<3时，直线y＝kx与线段BC：y＝6相交于点P2⎝⎛⎭⎪⎫6k，6，所以S△OP2C＝12|P2C|·6＝63－kk.又因为S四边形OABC＝S△AOB＋S△OBC＝14＋6＝20，所以S＝S四边形OABC－S△OP2C＝26－18k.故S＝f(k)＝⎩⎪⎨⎪⎧143k－1k＋2⎝⎛⎭⎪⎫13<k<32，26－18k⎝⎛⎭⎪⎫32≤k<3.(2)若要直线y＝kx平分四边形OABC的面积，由(1)，知只需143k－1k＋2＝10，解得k＝1716.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是( )A.12B.32C.322D.22解析：选C d ＝|1－－1×1＋1|12＋－12＝322.2．(2013·海口模拟)直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1,1)且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为( )A ．(3,0)B ．(－3,0)C ．(0，－3)D ．(0,3)解析：选D 由题意知，直线l 2的方程为y －1＝2(x ＋1)， 令x ＝0，得y ＝3，即点P 的坐标为(0,3)．3．(2013·南昌模拟)P 点在直线3x ＋y －5＝0上，且P 到直线x －y －1＝0的距离为 2，则P 点坐标为( ) A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－1,2)解析：选C 设P (x,5－3x )， 则d ＝|x －5＋3x －1|12＋－12＝2，|4x －6|＝2,4x －6＝±2，即x ＝1或x ＝2，故P (1,2)或(2，－1)．4．(2013·南京调研)与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．3x ＋4y ＋5＝0 B ．3x ＋4y －5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝0解析：选A 与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程是3x －4(－y )＋5＝0，即3x ＋4y ＋5＝0.5.直线l 通过两直线7x ＋5y －24＝0和x －y ＝0的交点，且点(5,1)到l 的距离为10.则l 的方程是( )A ．3x ＋y ＋4＝0B ．3x －y ＋4＝0C ．3x －y －4＝0D ．x －3y －4＝0解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋5y －24＝0，x －y ＝0，得交点(2,2)，设l 的方程为y －2＝k (x －2)，即kx －y ＋2－2k ＝0， ∵|5k －1＋2－2k |k 2＋－12＝10，解得k ＝3.∴l 的方程为3x －y －4＝0.6．曲线|x |2－|y |3＝1与直线y ＝2x ＋m 有两个交点，则m 的取值范围是( )A ．m >4或m <－4B ．－4<m <4C ．m >3或m <－3D ．－3<m <3解析：选A 曲线|x |2－|y |3＝1的草图如图所示．与直线y ＝2x ＋m 有两个交点．则m >4或m <－4.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知坐标平面内两点A (x ，2－x )和B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，0，那么这两点之间距离的最小值是________．解析：d ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －222＋ 2－x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －3242＋14≥12. 即最小值为12.答案：128．与直线x －y －2＝0平行，且它们的距离为22的直线方程是________________．解析：设与直线x －y －2＝0平行的直线方程为x －y ＋c ＝0，则22＝|c ＋2|12＋－12，得c ＝2或c ＝－6，即所求直线方程为x －y ＋2＝0或x －y －6＝0.答案：x －y ＋2＝0或x －y －6＝09．平面上三条直线x ＋2y －1＝0，x ＋1＝0，x ＋ky ＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的所有取值为________(将你认为所有正确的序号都填上)．①0 ②12③1 ④2 ⑤3解析：三条直线将平面分为6部分，则这三条直线相交于一点或有且只有两条平行，经验证可知，当k ＝0,1,2时均符合题意．答案：①③④三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．解：设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上， 代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0， 解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上， 所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.11．光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．解：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为y －66＋4＝x －11＋2，即10x －3y ＋8＝0.12．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点P ， (1)点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值． 解：(1)∵经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0， ∴|10＋5λ－5|2＋λ2＋1－2λ2＝3，解得λ＝2或λ＝12. ∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d ≤|PA |(当l ⊥PA 时等号成立)． ∴d max ＝|PA |＝10.1．记直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直时m 的取值集合为M ，直线x ＋ny ＋3＝0与直线nx ＋4y ＋6＝0平行时n 的取值集合为N ，则M ∪N ＝________.解析：当直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直时，m 满足(m ＋2)(m －2)＋3m (m ＋2)＝0，解得m ＝12或m ＝－2，故M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，12；直线x ＋ny ＋3＝0与直线nx ＋4y ＋6＝0平行，当n ＝0时，显然两直线不平行；当n ≠0时，两直线平行的充要条件是1n ＝n 4≠36，即n ＝－2，所以N ＝{－2}．故M ∪N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，12.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，122．已知 A (3,1)、B (－1,2)，若∠ACB 的平分线在y ＝x ＋1上，则AC 所在直线方程是________________．解析：设点A 关于直线y ＝x ＋1对称的点A ′为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－1x 0－3＝－1，y 0＋12＝x 0＋32＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝4， 即A ′(0,4)．故直线A ′B 的方程为2x －y ＋4＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋4＝0，y ＝x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－2，即C (－3，－2)．故直线AC 的方程为x －2y －1＝0. 答案：x －2y －1＝03．已知直线l 过点P (3,1)且被两平行线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y ＋6＝0截得的线段长为5，求直线l 的方程．解：法一：若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝3， 此时与l 1，l 2的交点分别是A (3，－4)，B (3，－9)， 截得的线段长|AB |＝|－4＋9|＝5，符合题意． 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －3)＋1， 分别与直线l 1，l 2的方程联立，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －3＋1，x ＋y ＋1＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1，1－4k k ＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －3＋1，x ＋y ＋6＝0，解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －7k ＋1，1－9k k ＋1. 由两点间的距离公式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1－3k －7k ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4k k ＋1－1－9k k ＋12＝25，解得k ＝0，即所求直线方程为y ＝1. 综上可知，直线l 的方程为x ＝3或y ＝1.法二：设直线l 与l 1，l 2分别相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋y 1＋1＝0，x 2＋y 2＋6＝0. 两式相减，得(x 1－x 2)＋(y 1－y 2)＝5.① 又(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝25，②联立①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－x 2＝5，y 1－y 2＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x 2＝0，y 1－y 2＝5，由上可知，直线l 的倾斜角分别为0°和90°， 故所求的直线方程为x ＝3或y ＝1. 法三：因为两平行线间的距离d ＝|6－1|2＝522，如图，直线l 被两平行线截得的线段为5， 设直线l 与两平行线的夹为角θ，则sin θ＝22，所以θ＝45°.因为两平行线的斜率是－1， 故所求直线的斜率不存在或为零． 又因为直线l 过点D (3,1)， 所以直线l 的方程为x ＝3或y ＝1.4．已知直线l 在两坐标轴上的截距相等，且点A (1,3)到直线l 的距离为2，求直线l的方程．解：(1)当直线l 在两坐标轴上的截距不为零时，可设方程为x ＋y ＋m ＝0(m ≠0)， 由已知|1＋3＋m |12＋12＝2，解得m ＝－2或m ＝－6，故所求的直线方程为x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0.(2)当直线l 在两坐标轴上的截距为零时，可设方程为y ＝kx ， 由已知|k －3|k 2＋－12＝2，解得k ＝1或k ＝－7，故所求的直线方程为x －y ＝0或7x ＋y ＝0. 综上，所求的直线方程为x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0或x －y ＝0或7x ＋y ＝0.。
第7讲 直线的交点坐标与距离公式(解析版)
第7讲直线的交点坐标与距离公式新课标要求1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标。
2.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。
知识梳理一、直线的交点与直线的方程组解的关系1．两直线的交点(l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0)2.两直线的位置关系二、两点间的距离公式三、点到直线的距离1．概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离． 2．公式：点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2．四、两平行直线间的距离1．概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离． 2．公式：两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2．名师导学知识点1 两直线的交点问题【例1-1】（宜昌期末）已知两直线1:3420l x y +-=，2:220l x y ++=，则1l 与2l 的交点坐标为 ． 【分析】联立3420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩，解得即可．【解答】解：联立3420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩，解得22x y =-⎧⎨=⎩．1l ∴与2l 的交点坐标为(2,2)-．故答案为：(2,2)-．【例1-2】（雅安期末）过直线1:240l x y -+=与直线2:10l x y ++=的交点，且过原点的直线方程为( ) A ．20x y -=B ．20x y +=C ．20x y -=D ．20x y +=【分析】联立24010x y x y -+=⎧⎨++=⎩，求出两条直线1:240l x y -+=与直线2:10l x y ++=的交点(2,2)-．利用两点式方程能求出过点(2,1)P -且过原点(0,0)的直线方程． 【解答】解：联立24010x y x y -+=⎧⎨++=⎩，解得两条直线1:240l x y -+=与直线2:10l x y ++=的交点(2,1)-．∴过点(2,1)P -且过原点(0,0)的直线方程为：12y x =-，即20x y +=．【例1-3】（芜湖期末）若三条直线2380x y ++=，10x y --=和0x ky +=交于一点，则k 的值为( ) A ．2-B ．12-C ．2D ．12【分析】通过解方程组可求得其交点，将交点坐标代入0x ky +=，即可求得k 的值． 【解答】解：依题意，238010x y x y ++=⎧⎨--=⎩，解得12x y =-⎧⎨=-⎩，∴两直线2380x y ++=和10x y --=的交点坐标为(1,2)--．直线0x ky +=，2380x y ++=和10x y --=交于一点， 120k ∴--=，12k ∴=-．故选：B ．【变式训练1-1】（阎良区期末）直线5y x =-+与直线1y x =+的交点坐标是( ) A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,2)D ．(2,1)【分析】联立51y x y x =-+⎧⎨=+⎩，能求出直线5y x =-+与直线1y x =+的交点坐标．【解答】解：联立51y x y x =-+⎧⎨=+⎩，得23x y =⎧⎨=⎩，∴直线5y x =-+与直线1y x =+的交点坐标是(2,3)．故选：B ．【变式训练1-2】（安庆期末）直线210x y ++=与直线20x y -+=的交点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】联立21020x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得x ，y ．即可判断出结论．【解答】解：联立21020x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得1x =-，1y =．∴交点(1,1)-在第二象限．【变式训练1-3】（庐江县期中）直线230x y k +-=和直线120x ky -+=的交点在x 轴上，则k 的值为() A ．24-B ．24C ．6D ．6±【分析】联立230120x y k x ky +-=⎧⎨-+=⎩，由直线230x y k +-=和直线120x ky -+=的交点在x 轴上，得到24032k y k+==+，由此能求出k ． 【解答】解：联立230120x y k x ky +-=⎧⎨-+=⎩，解得236322432k x k k y k ⎧-=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， 直线230x y k +-=和直线120x ky -+=的交点在x 轴上， 24032k y k+∴==+， 解得24k =-． 故选：A ．知识点2 直线过定点问题【例2-1】（宿迁期末）设直线2(3)260x k y k +--+=过定点P ，则点P 的坐标为( ) A ．(3,0)B ．(0,2)C ．(0,3)D ．(2,0)【分析】对于任意实数k ，直线2(3)260x k y k +--+=恒过定点，则与k 的取值无关，则将方程转化为(2)(236)0y k x y -+-+=．让k 的系数和常数项为零即可．【解答】解：解：方程2(3)260x k y k +--+=可化为(2)(236)0y k x y -+-+=， 对于任意实数k ，当202360y x y -=⎧⎨-+=⎩时，直线2(3)260x k y k +--+=恒过定点，由当202360y x y -=⎧⎨-+=⎩，得0x =，2y =．故定点坐标是(0,2)． 故选：B ．【例2-2】（江阴市期中）直线:1(2)l y k x -=+必过定点( ) A ．(2,1)-B ．(0,0)C ．(1,2)-D ．(2,1)--【分析】由已知可得直线l 过两直线20x +=与10y -=的交点，联立求解得答案． 【解答】解：由直线:1(2)l y k x -=+， 得2010x y +=⎧⎨-=⎩，解得21x y =-⎧⎨=⎩．∴直线:1(2)l y k x -=+必过定点(2,1)-．故选：A ．【变式训练2-1】（黄浦区期末）已知a R ∈，若不论a 为何值时，直线:(12)(32)0l a x a y a -++-=总经过一个定点，则这个定点的坐标是( ) A ．(2,1)-B ．(1,0)-C ．21(,)77-D ．12(,)77-【分析】先变形解析式得到关于a 的不定方程(321)(2)0a y x x y --++=，由于a 有无数个解，则3210y x --=且20x y +=，然后求出x 和y 的值即可得到定点坐标．【解答】解：由直线:(12)(32)0l a x a y a -++-=，知(321)(2)0a y x x y --++=． 不论a 为何值时，直线:(12)(32)0l a x a y a -++-=总经过一个定点，即a 有无数个解， 3210y x ∴--=且20x y +=， 27x ∴=-，17y =，∴这个定点的坐标是21(,)77-．故选：C ．【变式训练2-2】（慈溪市期末）直线1(y kx k k =++为常数）经过定点( ) A ．(1,1)B ．(1,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1)--【分析】令参数k 的系数等于零，求得x 、y 的值，可得结论．【解答】解：对于直线1(1)1y kx k k x =++=++，令10x +=，可得1y =，可得它经过的定点坐标为(1,1)-， 故选：B ．知识点3 两点间距离公式的应用【例3-1】（南充期末）已知点(1A ，0，2)与点B (1，3-，1)，则||(AB = )A ．2B C ．3D 【分析】根据题意，由点的坐标结合空间两点间距离的计算公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，点(1A ，0，2)与点B (1，3-，1)，则||AB 故选：D ．【例3-2】（临川区校级一模）已知ABC ∆的三个顶点的坐标分别为(3,4)A ，(5,2)B ，(1,4)C --，则这个三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形【分析】由三角形的三个顶点的坐标分别求出三边长，再由勾股定理的逆定理能得到这个三角形是直角三角形．【解答】解：ABC ∆的三个顶点的坐标分别为(3,4)A ，(5,2)B ，(1,4)C --，||AB ∴=，||BC ，||AC =，222AC BC AB ∴=+， ABC ∴∆是直角三角形．故选：B ．【变式训练3-1】（琼山区校级期末）已知ABC ∆的顶点坐标为(7,8)A ，(10,4)B ，(2,4)C -，则BC 边上的中线AM 的长为( )A ．8B ．13C ．D 【分析】由中点坐标公式求得BC 中点的坐标，再由两点间的距离公式求得AM 的长． 【解答】解：由(10,4)B ，(2,4)C -，得10262M x +==，4402M y -==， 即M 坐标为(6,0)．又(7,8)A ，||AM ∴= 故选：D ．【变式训练3-2】（雁江区校级月考）如图，已知等腰梯形ABCD ，用坐标法证明：AC BD =．【分析】根据题意，建立坐标系，设出A、B的坐标，分析可得C、D的坐标，由两点间距离公式计算AC、BD的值，分析可得答案．【解答】证明：根据题意，如图以BC为x的轴建立坐标系，BC的中点为坐标原点建立坐标系，设(,0)B a-，A，(,)b c-，则(,0)C a，(,)D b c，则ACBD，则有AC BD=．知识点4 点到直线的距离【例4-1】（金凤区校级期末）已知点(2,1)P-．（1）若一条直线经过点P，且原点到直线的距离为2，求该直线的一般式方程；（2）求过点P且与原点距离最大的直线的一般式方程，并求出最大距离是多少？【分析】（1）当l的斜率k不存在时，直接写出直线方程；当l的斜率k存在时，设:1(2)l y k x+=-，即210kx y k---=．由点到直线的距离公式求得k值，则直线方程可求；（2）由题意可得过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，求出OP所在直线的斜率，进一步得到直线l的斜率，得到直线l的方程，再由点到直线的距离公式得最大距离．【解答】解：（1）①当l的斜率k不存在时，l的方程为2x=；②当l的斜率k存在时，设:1(2)l y k x+=-，即210kx y k---=．2=，34k⇒=；得:34100l x y--=．故所求l 的方程为：20x -= 或34100x y --=；（2）由题意可得过P 点与原点O 距离最大的直线是过P 点且与PO 垂直的直线， 由l OP ⊥，得1l OP k k =-，12l OPk k =-=， 由直线方程的点斜式得12(2)y x +=-，即250x y --=．即直线250x y --=是过P 点且与原点O．【例4-2】（韶关期末）已知点(1,3)A 和点(5,2)B 到直线l 的距离相等，且l 过点(3,1)-，则直线l 的方程为()A ．410x y ++=或3x =B ．410x y +-=或3x =C ．410x y ++=D ．410x y +-=【分析】先求出直线AB 的斜率，由点(1,3)A 和点(5,2)B 到直线l 的距离相等，且l 过点(3,1)-，得到直线l 与直线AB 平行，且直线l 过点(3,1)-，或直线l 的方程为3x =，由此能求出直线l 的方程． 【解答】解：点(1,3)A 和点(5,2)B ，231514AB k -∴==--， 点(1,3)A 和点(5,2)B 到直线l 的距离相等，且l 过点(3,1)-，∴直线l 与直线AB 平行，且直线l 过点(3,1)-，或直线l 的方程为3x =， ∴直线l 的方程为：11(3)4y x +=--，或3x =，整理得：410x y ++=或3x =． 故选：A ．【变式训练4-1】（保山期末）若直线l 过点，倾斜角为120︒，则点(1,到直线l 的距离为( )A B C D 【分析】先求出直线的斜率，再利用点斜式求直线的方程，点到直线的直线间的距离公式求得结果．【解答】解：直线l 过点，倾斜角为120︒，故直线的斜率为tan120︒=故直线l 的方程为2)y x -=-0y +-．则点(1,到直线l =， 故选：C ．【变式训练4-2】（新课标Ⅲ）点(0,1)-到直线(1)y k x =+距离的最大值为( )A ．1BCD ．2【分析】直接代入点到直线的距离公式，结合基本不等式即可求解结论．【解答】解：因为点(0,1)-到直线(1)y k x =+距离d == 要求距离的最大值，故需0k >；可得212kdk+=1k =时等号成立； 故选：B ．知识点5 两平行线间距离公式及其应用【例5-1】（张家界期末）直线3430x y +-=与直线690x my ++=平行，则它们的距离为( ) A ．65B ．32C ．125D ．2【分析】由题意利用两条直线平行的性质求得m ，再利用两条平行直线间的距离公式，求得它们的距离． 【解答】解：直线3430x y +-=，即6860x y +-=， 它与直线690x my ++=平行，∴66689m -=≠，求得8m =， 32=， 故选：B ．【例5-2】（广州期末）若两平行直线20(0)x y m m ++=>与30x ny --=，则(m n +=) A ．0B ．1C ．1-D ．2-【分析】两直线20(0)x y m m ++=>与30x ny --=平行，可得20n --=，解得n ，再利用平行线之间的距离公式即可得出．【解答】解：两直线20(0)x y m m ++=>与30x ny --=平行， 20n ∴--=，解得2n =-．又两平行直线20(0)x y m m ++=>与30x ny --=，∴=2m =．0m n ∴+=．故选：A ．【变式训练5-1】（靖远县期末）已知直线240x y +-=与直线230x my m +++=平行，则它们之间的距离为( ) ABCD【分析】根据题意，由直线平行的判断方法可得m 的值，进而由平行线间距离公式计算可得答案． 【解答】解：根据题意，直线240x y +-=与直线230x my m +++=平行，则有224m =⨯=， 则两直线的方程为240x y +-=与直线2470x y ++=，则它们之间的距离d ==； 故选：C ．【变式训练5-2】（连云港期末）两条平行直线6450x y -+=与32y x =的距离是( )ABCD【分析】把已知两直线方程变形，再由两平行线间的距离公式求解． 【解答】解：由6450x y -+=，得53202x y -+=， 由32y x =，得320x y -=，则两条平行直线6450x y -+=与32y x =5|0|-=． 故选：D ．【变式训练5-3】（广东期末）已知直线1:(1)2l x m y m ++=-与2:24160l mx y ++=，若12//l l ，则实数m 的值为( ) A ．2或1-B ．1C ．1或2-D ．2-【分析】由2(1)40m m +-=，解得m ．经过验证即可得出． 【解答】解：由2(1)40m m +-=，解得1m =或2-． 经过验证可得：2m =-时重合，舍去． 故选：B ．【变式训练5-4】（崇左期末）已知直线1:20l x y n ++=，2:440l x my +-=互相平行，且1l ，2l 之间的距离(m n += )A ．3-或3B ．2-或4C ．1-或5D ．2-或2【分析】由240m -=，解得m ．利用平行线之间的距离公式即可得出． 【解答】解：由240m -=，解得2m =．满足12//l l ．2l 的方程为220x y +-=，则|2|3n +=， 解得1n =或5-， 故3m n +=±． 故选：A ．知识点6 运用距离公式解决最值问题【例6-1】（北碚区校级期末）已知ABC ∆的三个顶点(1,2)A ，(2,1)B ，(3,3)C ，若ABC ∆夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线的距离的最小值是( )A B C D【分析】分别过A 、B 、C 三个点，作斜率为1的三条直线，再利用两条平行直线间的距离公式，求得结果．【解答】解：分别过A 、B 、C 三个点，作斜率为1的三条直线： 1:21l y x -=-，即10x y -+=． 2:12l y x -=-，即10x y --=． 3:33l y x -=-，即0x y -=．显然，ABC ∆夹在两条斜率为1的平行直线1l 和3l 之间，且直线1l 和3l 之间的距离为d =，故选：B ．【例6-2】（鼓楼区校级期中）已知直线1:4270l x y +-=和2:210l x y +-=，直线m 分别与1l ，2l 交于A ，B 两点，则线段AB 长度的最小值为 ．【分析】利用平行线之间的距离公式即可得出． 【解答】解：由题知，2:4220l x y +-=，两直线间的距离d ==．【变式训练6-1】（闵行区校级模拟）过点(1,2)-且与原点的距离最大的直线方程是 ． 【分析】过点(1,2)P -且与原点的距离最大的直线l 满足：l OP ⊥．则1l OP k k =-，即可得出． 【解答】解：过点(1,2)P -且与原点的距离最大的直线l 满足：l OP ⊥． 1l OP k k ∴=-，12l k ∴=． ∴直线l 的方程 为：12(1)2y x -=+，化为250x y -+=． 故答案为：250x y -+=．【变式训练6-2】（和平区校级期末）已知点(2,5)A 和点(4,7)B ，点P 在y 轴上，若||||PA PB +的值最小，则点P 的坐标为 ．【分析】点(2,5)A 关于y 轴的对称点为(2,5)A '-，直线A B '的方程为得755((2))4(2)y x --=----，令0x =，解得y 即可得出．【解答】解：点(2,5)A 关于y 轴对称的点(2,5)A '-， 连接A B '与y 轴交于点P ，此时||||PA PB +的值最小， 设直线A B '的解析式得755((2))4(2)y x --=----，即11733y x =+，令0x =，得173y =， 所以17(0,)3P ． 故答案为：17(0,)3． 名师导练A 组-[应知应会]1．（辽源期末）点(3,1)到直线3420x y -+=的距离是( ) A ．45B ．75C ．425D ．254【分析】根据题意，由点到直线的距离公式计算可得答案． 【解答】解：根据题意，点(3,1)到直线3420x y -+=的距离75d ==； 故选：B ．2．（宁波期末）直线6820x y +-=与6830x y +-=间的距离为( ) A ．1B ．3C ．110D ．25【分析】由题意利用两条平行直线直线间的距离公式，求得结果． 【解答】解：直线6820x y +-=与6830x y +-=110=， 故选：C ．3．（内江期末）已知点(1,3)M 到直线:10l mx y +-=的距离等于1，则实数m 等于( ) A ．34B ．43C ．43-D ．34-【分析】根据题意，由点到直线的距离公式可得1d ==，解可得m 的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，点(1,3)M 到直线:10l mx y +-=的距离等于1， 则有1d =，解可得34m =-；故选：D ．4．（兴庆区校级期末）设有直线(3)1y k x =-+，当k 变动时，所有直线都经过定点( ) A ．(0,0)B ．(0,1)C ．(3,1)D ．(2,1)【分析】根据直线恒过定点的求法，直接求出定点． 【解答】解：当3x =时，不论k 为何值，1y =，即过(3,1)， 故选：C ．5．（沙坪坝区校级期中）已知直线1:10l x ay +-=与2:210l x y -+=平行，则1l 与2l 的距离为( )A ．15B C ．35D 【分析】直线1:10l x ay +-=与2:210l x y -+=平行，即可得到a ，然后利用平行线之间的距离公式求解即可．【解答】解：直线1:10l x ay +-=与2:210l x y -+=平行，可得12a =-，则由两平行直线的距离公式可得d ，则1l 与2l ， 故选：D ．6．（包头期末）点(,)P x y 在直线20x y +-=上，O 是坐标原点，则||OP 的最小值是( )A ．1BC ．2D ．【分析】||OP ∴的最小值是点O 到直线20x y +-=的距离，利用点到直线的距离公式能求出||OP 的最小值． 【解答】解：点(,)P x y 在直线20x y +-=上，O 是坐标原点， ||OP ∴的最小值是点O 到直线20x y +-=的距离，∴则||OP 的最小值是d ==故选：B ．7．（河池期末）点2(2,)P m m 到直线70x y ++=的距离的最小值为( )A ．4B ．C ．D ．【分析】利用点到直线的距离公式可得：点2(2,)P m m 到直线70x y ++=的距离22d ==【解答】解：点2(2,)P m m 到直线70x y ++=的距离22632d ==故选：D ．8．（江阴市期中）直线l 过(1,2)P ，且(2,3)A ，(4,5)B -到l 的距离相等，则直线l 的方程是( ) A ．460x y +-=B ．460x y +-=C ．2370x y +-=或460x y +-=D ．3270x y +-=或460x y +-=【分析】由条件可知直线平行于直线AB 或过线段AB 的中点，当直线//l AB 时，利用点斜式求出直线方程；当直线经过线段AB 的中点(2,3)时，易得所求的直线方程．【解答】解：设所求直线为l ，由条件可知直线l 平行于直线AB 或过线段AB 的中点， （1）AB 的斜率为35424+=--，当直线//l AB 时，直线l 的方程是24(1)y x -=--，即460x y +-=， （2）当直线l 经过线段AB 的中点(3,1)-时，l 的斜率为213132+=--，直线l 的方程是32(1)2y x -=--，即3270x y +-=，故所求直线的方程为3270x y +-=，或460x y +-=． 故选：D ．9．（平顶山期末）已知(1,2)P -，(2,4)Q ，直线:3l y kx =+．若P 点到直线l 的距离等于Q 点到直线l 的距离，则(k = ) A ．2.3或6B ．23C ．.0D ．.0或23【分析】由已知结合点到直线的距离公式即可求解．=，解得0k=或23．故选：D．10．（昆山市期中）已知(2,3)M-，(6,2)N，点P在x轴上，且使得PM PN+取最小值，则点P的坐标为( )A．(2,0)-B．12(5，0)C．14(5，0)D．(6,0)【分析】根据点M、N在x轴的同侧，求出点M关于x轴的对称点M'，得出PM PN+的最小值是||M N'，再利用直线M N'求得点P的坐标．【解答】解：点(2,3)M-，(6,2)N在x轴的同侧，如图所示；则点M关于x轴的对称点M'的坐标为(2,3)--，此时||PM PN M N+='的值最小，此时直线M N'的方程为26 3226y x--=----，令0y=，解得145 x，所以PM PN+取最小值时，点14(5P，0)．故选：C．11．（宝安区校级模拟）已知0x<<，0y<<M M的最小值为( )A ．B ．C ．2D ．【分析】本题要根据M 表达式的特点联系两点间的距离公式，然后运用数形结合法可得到M 取最小的点(,)x y 的情况，即可计算出M 的最小值．【解答】解：根据题意，可知(,)x y 与点A 0)的距离；(,)x y 与点B 的距离；(,)x y 与点C 的距离；(,)x y 与点D 的距离．M 表示点(,)x y 到A 、B 、C 、D 四个点的距离的最小值．则可画图如下：(,)x y 在线段AC 上，(,)x y 在线段BD 上，∴点(,)x y 既在线段AC 上，又在线段BD 上， ∴点(,)x y 即为图中点P ．M ∴的最小值为||||AC BD +=故选：D ．12．（多选）（江阴市期中）若两条平行直线1:20l x y m -+=与2:260l x ny +-=之间的距离是则m n +的可能值为( ) A ．3B ．17-C ．3-D ．17【分析】利用两条直线平行的性质求出n ，再利用两条平行直线间的距离求出m ，可得m n +的值．【解答】解：直线1:20l x y m -+=与2:260l x ny +-=平行， 则122n-=，解得4n =-； 所以2:230l x y --=；所以直线1l 与2l 间的距离是d ==所以|3|10m +=， 解得13m =-或7m =；当13m =-时，13417m n +=--=-； 当7m =时，743m n +=-=； 所以m n +的可能值为3或17-． 故选：AB ．13．（多选）（山东模拟）若三条直线1:10l ax y ++=，2:10l x ay ++=，3:0l x y a ++=不能围成三角形，则a 的取值为( ) A ．1a =B ．1a =-C ．2a =-D ．2a =【分析】1l 和3l 平行，或2l 和3l 平行，1l 和2l 平行以及三线交于同一个点，分类讨论，利用两条直线平行的条件分别求得m 的值，综合可得结论．【解答】解：由于1l 的斜率a -，3l 的斜率为1-， 则由题意可得1l 和3l 平行，或2l 和3l 平行，1l 和2l 平行． 若1l 和3l 平行，则111a =，求得1a =； 若2l 和3l 平行，则111a=，求得1a =．若1l 和2l 平行，则11a a=，求得1a =±． 当三条直线1:10l ax y ++=，2:10l x ay ++=，3:0l x y a ++=交于同一个点时，2a =-； 综上可得，实数a 所有可能的值为1-，1，2-， 故选：ABC ．14．（田家庵区校级期末）原点(0,0)到直线:20l x y -+=的距离是 ． 【分析】由题意利用点到直线的距离公式，求得结果．【解答】解：原点(0,0)到直线:20l x y -+==15．（尖山区校级期末）两条平行直线110l y -+=与2:230l ax y +-=之间的距离为 ． 【分析】利用平行线，求解a ，然后利用平行线之间的距离公式求解即可．【解答】解：两条平行直线110l y -+=与2:230l ax y +-=，可得a =-所以2302l y -+=，所以两条平行直线110l y -+=与2:230l ax y +-=3|1|14-+=．故答案为：14． 16．（嘉兴期末）直线1:0l x y m --=与直线2:30l mx y -+=平行，则m = ；1l 与2l 之间的距离为 ． 【分析】由题意利用两条直线平行的性质求出m 的值，再利用两条平行直线间的距离公式，求得结果． 【解答】解：直线1:0l x y m --=与直线2:30l mx y -+=平行， 0m ∴≠，1311m m-=≠--，则1m =．=故答案为：1；17．（金华期末）已知直线:(1)2l x m y m ++=-，则当0m =时，直线l 的倾斜角为 ；当m 变化时，直线l 过定点 ．【分析】取0m =化简直线方程，求得直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求直线的倾斜角；利用直线系方程的逆用求直线所过定点．【解答】解：当0m =时，直线:(1)2l x m y m ++=-化为2x y +=， 直线的斜率1k =-，设倾斜角为(0)θθπ<， 由tan 1θ=-，得34πθ=； 化直线:(1)2l x m y m ++=-为2(1)0x y m y +-++=． 联立2010x y y +-=⎧⎨+=⎩，解得31x y =⎧⎨=-⎩．∴当m 变化时，直线l 过定点(3,1)-．故答案为：34π；(3,1)-． 18．（镇江期末）已知直线1:0l x y a ++=与直线2:0l x y +=a 的值为 ． 【分析】利用平行线之间的距离公式即可得出．2a =±．故答案为：2±．19．（珠海期末）已知平面直角坐标系xOy 中，点(4,1)A ，点(0,4)B ，直线:31l y x =-，则直线AB 与直线l 的交点坐标为 ．【分析】先利用两点式方程求出直线AB 的方程，再联立方程组能求出两直线的交点坐标． 【解答】解：平面直角坐标系xOy 中，点(4,1)A ，点(0,4)B ，直线:31l y x =-， 直线AB 的方程为：040414x y --=--，整理得：34160x y +-=， 联立3134160y x x y =-⎧⎨+-=⎩，得433x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩．∴直线AB 与直线l 的交点坐标为4(3，3)．故答案为：4(3，3)．20．（苏州期末）已知A ，B 两点分别在两条互相垂直的直线20x y -=和5x ay +=上，且线段AB 的中点为(0,5)P ，则||AB = ．【分析】由两直线互相垂直可得2a =，AB 为直角三角形AOB 的斜边，直角三角形斜边的中线PO 的长为斜边AB 的一半，且||5PO =，由此能求出||AB ．【解答】解：由已知两直线互相垂直可得：21(1)0a ⨯+-⨯=， 解得2a =，线段AB 中点为(0,5)P ，且AB 为直角三角形AOB 的斜边， 联立2025x y x y -=⎧⎨+=⎩，得(1,2)O ，||OP ∴直角三角形斜边的中线PO 的长为斜边AB的一半，且||PO =||2||AB PO ∴==，故答案为：21．（昆山市期中）在平面直角坐标xOy 中，已知(4,3)A ，(5,2)B ，(1,0)C ，平面内的点P 满足PA PB PC ==，则点P 的坐标为 ．【分析】设出点(,)P x y ，利用两点间的距离公式列方程求出x 、y 的值． 【解答】解：设点(,)P x y ，由PA PB PC ==， 得22222222(4)(3)(5)(2)(4)(3)(1)x y x y x y x y ⎧-+-=-+-⎨-+-=-+⎩， 化简得24x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩，所以点P 的坐标为(3,1)． 故答案为：(3,1)．22．（新余期末）已知直线:2(2)l y ax a =+-过一、三、四象限，其中a Z ∈，则点(1,3)A -到直线l 的距离为 ．【分析】由直线:2(2)l y ax a =+-过一、三、四象限得到02a <<，又a Z ∈，所以1a =，所以直线l 的方程为：21y x =-，即210x y --=，再利用点到直线距离公式即可求出结果． 【解答】解：直线:2(2)l y ax a =+-过一、三、四象限，∴2020a a >⎧⎨-<⎩，02a ∴<<，又a Z ∈，1a ∴=，∴直线l 的方程为：21y x =-，即210x y --=，∴点(1,3)A -到直线l==． 23．（乐山期末）已知两条直线1:420l mx y +-=和2:10l x my ++=． （1）当12//l l 时，求m 的值；（2）在（1）的条件下，求1l 、2l 间的距离．【分析】（1）根据题意，分析可得240m -=，解可得2m =±，分别验证2m =和2m =-时，两直线是否平行，即可得答案；（2）由（1）的结论，结合平行线间距离公式计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，直线1:420l mx y +-=和2:10l x my ++=．若12//l l ，必有240m -=，解可得2m =±，当2m =时，直线1:210l x y +-=，直线2:210l x y ++=，两直线平行，符合题意，当2m =-时，直线1:210l x y -+=，直线2:210l x y -+=，两直线重合，不符合题意，故2m =；（2）由（1）的结论，直线1:210l x y +-=，直线2:210l x y ++=，直线1l 、2l 间的距离d == 24．（宁德期末）已知直线:260l x y --=与x 轴的交点为A ，且点A 在直线m 上．（1）若m l ⊥，求直线m 的方程；（2）若点(1,1)B 到直线m 的距离等于2，求直线m 的方程．【分析】（1）求出A 的坐标，求出直线m 的斜率，从而求出直线m 的方程即可；（2）通过讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式，求出直线方程即可．【解答】解：（1）依题意得(3,0)A ，2l k =，若m l ⊥，则12m K =-， ∴直线AB 的方程为10(3)2y x -=--， 即230x y +-=（或13)22y x =-+ （2）当直线斜率不存在时，3x =符合题意，当直线斜率存在时，设其方程为(3)y k x =-，点(1,1)B 到直线m 的距离等于2， ∴2=，解得：34k =， 综上，所求直线方程为3490x y --=或3x =．25．（新都区期末）已知ABC ∆的三个顶点坐标为(3,1)A -，(3,3)B -，(1,7)C ．（1）求BC 边的中线所在直线方程的一般式方程；（2）求ABC ∆的面积．【分析】（1）利用中点坐标公式、两点式即可得出．（2）三角形的面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）设BC 的中点M 的坐标为(,)x y ， 所以3122x +==，3722y -+==，即点M 的坐标为(2,2)．由两点式得：580x y-+=．所以BC边的中线所在直线方程的一般式方程为：580x y-+=；（2）直线BC的方程为：5120x y+-=．A BCd-==||BC11||2622ABC A BCS BC d∆-==⨯．26．（沭阳县期中）已知直线:(12)(1)720l m x m y m++-++=．（1）求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；（2）过定点M作一条直线1l，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线1l的方程．【分析】（1）根据题意，将直线的方程整理得：(2)(27)0x y m x y-++++=，令20270x yx y-+=⎧⎨++=⎩，解可得x、y的值，即可得直线恒过定点的坐标，分析可得答案；（2）根据题意，设直线1l，与x轴的交点为(,0)a，与y轴的交点为(0,)b，分析可得M为AB的中点，由中点坐标公式分析AB的坐标，进而分析可得答案．【解答】解：（1）证明：直线l整理得：(2)(27)0x y m x y-++++=，令20270x yx y-+=⎧⎨++=⎩解得：31xy=-⎧⎨=-⎩，则无论m为何实数，直线l恒过定点(3,1)--，（2）根据题意，设直线1l，与x轴的交点为(,0)a，与y轴的交点为(0,)b，过定点(3,1)M--作一条直线1l，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，即M为AB的中点，则有3212ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解可得6a=-，2b=-，即直线1l过(6,0)-，(0,2)-，则直线1l的方程为123y x=--，即360x y++=．27．（宁城县期末）已知点ABC∆三顶点坐标分别是(1,0)A-，(1,0)B，(0,2)C，（1）求A到BC边的距离d；（2）求证AB边上任意一点P到直线AC，BC的距离之和等于d．【分析】（1）求出直线BC 的方程，利用点到直线的距离公式求出即可；（2）设(,0)P t ，11t -，求出直线AC 的方程，由点到直线的距离公式，证明即可．【解答】解：（1）直线BC 的方程为：12y x +=，即220x y +-=，A 到BC 边的距离d ==， （2）设(,0)P t ，11t -，直线AC 的方程是12y x -+=，即220x y -+=，∴则P 到直线AC 的距离为11)d t ==+，则P 到直线BC 的距离为2)d t -，∴12d d +=故原命题成立．B 组-[素养提升]1．（尖山区校级期末）已知在ABC ∆中，顶点(4,2)A ，点B 在直线:20l x y -+=上，点C 在x 轴上，则ABC ∆的周长的最小值 ．【分析】设点(4,2)，点A 关于直线:20l x y -+=对称的点为(,)D x y ，则点(,)D a b 与点(4,2)A 的中点在直线20x y -+=上，且直线AD 一定垂直于直线20x y -+=，列方程组求出(0,6)D 根据对称原理，ABC ∆的周长的最小值为：AC BA BC DC CD CA DB BA ++=++=+，即DB BA +的最小值，设点(0,6)D 关于x 轴的对称为点(0,6)E -，直线EA 与x 轴交于一点，当点B 处在这个点时，DB BA +取得最小值此时DB BA EA +=，由此能求出ABC ∆的周长的最小值．【解答】解：在ABC ∆中，顶点(4,2)A ，点B 在直线:20l x y -+=上，点C 在x 轴上， 设点(4,2)，点A 关于直线:20l x y -+=对称的点为(,)D x y则点(,)D a b 与点(4,2)A 的中点在直线20x y -+=上且直线AD 一定垂直于直线20x y -+=，∴422022214a bba++⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，解得0a=，6b=，D∴点坐标为(0,6)D根据对称原理，ABC∆的周长的最小值为：AC BA BC DC CD CA DB BA++=++=+，即DB BA+的最小值，设点(0,6)D关于x轴的对称为点(0,6)E-，直线EA与x轴交于一点，当点B处在这个点时，DB BA+取得最小值此时DB BA EA+=ABC ∴∆的周长的最小值为故答案为：2．（兰州期末）已知点(2,1)P-．（1）求过P点与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？（2）是否存在过P点与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．【分析】（1）过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由l OP⊥，得1l OPk k=-，即可得出．（2）只需比较“过P点与原点距离最大的直线l中最大距离”与6的大小，即可判断是否存在．【解答】解：（1）过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由l OP⊥，得11 OPk k=-，所以12 OPk k==．由直线方程的点斜式得12(2)y x+=-，即250x y--=．即直线250x y--=是过P点且与原点O．（2）过P的直线，因此不存在过点P点且到原点距离为6的直线．。
高中数学解析几何之直线的交点坐标与距离公式
直线的交点坐标与距离公式（讲义）知识点睛一、两条直线的交点坐标：二、对于方程A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0：当λ取不同值时，该方程表示直线，这些直线经过同一个点，这个点是__________________与__________________的交点． 三、距离公式1.如图1，两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式：12||PP =． 2. 如图2，点P 0(x 0，y 0)到直线Ax +By +C =0(A ，B 不同时为0)的距离：d =．图1 图23. 两条平行直线Ax +By +C 1=0与Ax +By +C 2=0间的距离为：d =．精讲精练1. 已知直线l 1：Ax +3y +C=0，l 2：2x -3y +4=0，若l 1，l 2的交点在y 轴上，则C的值为_____________．2. 已知点M (0，-1)，若点N 在直线x -y +1=0上，且直线MN 垂直于直线x +2y -3=0，则点N 的坐标为（ ）A ．(-2，-1)B ．(2，3)C ．(2，1)D ．(-2，1)3. 若直线ax +y +2=0与连接点A (-2，3)，B (3，2)的线段有交点，则a 的取值范围是（ ）A ．54(] [)23-∞-+∞，∪，B ．45[]32-， C ．45(] [)32-∞-+∞，∪，D ．54[]23-， 4. （1）直线(2k -1)x -(k +3)y -(k -11)=0(k ∈R )所经过的定点是____________．（2）不论m 取任何实数，直线(3m +2)x -(2m -1)y +5m +1=0必 过定点_____________．5. 已知△ABC 的顶点A (2，3)，B (-2，6)，C (1，2)，则△ABC 的周长是_____________．6. 已知点A (5，12)，若点P 在x 轴上，且|P A |=13，则点P 到原点的距离为_____________．7. 若点P (x ，y )到两点M (2，3)和N (4，5)的距离相等，则x +y =_____________．8. 光线从点A (-3，5)射到x 轴上，经反射以后经过点B (2，10)，则光线从A 到B 的路程为（ ） A．B．C．D．9. 如图，直线y =-x +4分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是（ ） A．B ．6C．D．10. 点(-3，6)到y =3x 的距离为_________，到直线4x -3y +2=0到直线134x y+=的距离为_________．11. x 轴上的一点(a ，0)到第一、三象限的平分线的距离为（ ）A ．2|a |B C ||a D ．|a |12. 若点(2，k )到直线5x -12y +6=0的距离为4，则k 的值为（ ）A．1 B．-3 C．513或D．1733-或13.到直线3x-4y+5=0与5x-12y+13=0的距离相等的点P(x，y)必定满足方程（）A．x-4y+4=0B．7x+4y=0C．x-4y+4=0或4x-8y+9=0 D．7x+4y=0或32x-56y+65=014.①两平行线y=kx+b1与y=kx+b2之间的距离是______________．②两条平行线3x-2y-1=0与3x-2y+1=0之间的距离为______．15.①到直线3x-4y+1=0的距离为3且与此直线平行的直线方程为__________________________．②已知两条平行线3x+2y-6=0与6x+4y-3=0，则与它们等距离的平行线的方程为___________________．16.求函数y17.直线1l过点A(0，1)，l2过点B(5，0)，如果l1∥l2，且l1与l2之间的距离为5，求l1，l2的方程．18.已知△ABC的顶点为A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x-y-5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0．求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程．19.已知正方形的中心为点M(-1，0)，一条边所在直线的方程为x+3y-5=0，求正方形其他三边所在的直线的方程．回顾与思考________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ 【参考答案】知识点睛二、A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0精讲精练1．-42．B3．C4．（1）(2，3)；（2）(-1，1)5．106．0或107．7 8．C 9．A10．28625511．B 12．D 13．D14；②1315．①3x -4y -14=0或3x -4y +16=0 ②156402x y +-=1617．l 1：x =0，l 2：x =5或l 1：12x -5y +5=0，l 2：12x -5y -60=0 18．（1）(4，3)；（2）6x -5y -9=0 19．x +3y +7=0，3x -y +9=0，3x -y -3=0直线的交点坐标与距离公式（随堂测试）1. 方程(1+4k )x -(2-3k )y +(2-14k )=0所确定的直线必经过点___________．2. 经过点(2，1)的直线l 到A (1，1)，B (3，5)两点的距离相等，则直线l 的方程为____________________．【参考答案】1．(2，2)2．2x-y-3=0或x=23．0直线的交点坐标与距离公式（作业）20.过两条直线1340l x y-+=：和2 250l x y++=：的交点，并且经过原点的直线方程是（）A．19x-9y=0B．9x+19y=0C．3x+19y=0D．19x-3y=021.直线x+ky=0，2x+3y+8=0和x-y-1=0交于一点，则k的值是（）A．12B．12-C．2D．-222.经过两条直线2x+y-8=0和x-2y+1=0的交点，且平行于直线4x-3y-7=0的直线方程为（）A．3x+4y+17=0B．4x-3y-6=0C．3x+4y-17=0D．4x-3y+18=023.两直线3ax-y-2=0和(2a-1)x+5ay-1=0分别过定点A，B，则|AB|=（）A B．175C．135D．11524.已知直线kx-y+3k-2=0与直线114y x=-+的交点在第一象限，则k的取值范围是______________．25.已知A(m，3)，B(3，3m+3)两点间的距离为5，则m的值为________．26.已知点P的纵坐标为2，Q(2，-3)，M(1，1)，且|PQ|=|PM|，则点P的坐标为________．27.已知点M(a，b)在直线3x+4y=15________．28.已知点(a，2)(a>0)到直线l：x-y+3=0的距离为1，则a=______．29.过点P(0，1)且和A(3，3)，B(5，-1)距离相等的直线的方程为_________________________．30.两条平行直线3x+4y-12=0与ax+8y+11=0间的距离为______．31.（1）与直线7x+24y=5平行，且与其距离等于3的直线方程为_______________________________．（2）与直线x-y+2=0平行，且与其距离等于的直线方程为_______________________________．32.已知A为直线l1：y=4x-1上一点，点A到直线l2：2x+y+5=0的距离等于原点到直线l2的距离，求点A的坐标．33.已知点A(1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求△ABC的面积．34.已知两条平行直线l1：3x+2y-6=0与l2：6x+4y-3=0，求与它们等距离的平行线的方程．35.直线l1过点A(0，1)，l2过点B(5，0)，如果l1∥l2，且l1与l2之间的距离为5，分别求出l1，l2的方程．36.证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．（提示：建立平面直角坐标系）37.已知直线l经过点A(2，4)，且被两平行直线l1：x-y+1=0与l2：x-y-1=0所截得的线段的中点M在直线x+y-3=0上，求直线l的方程．38.设a，b，c，d∈R．求证：对于任意p，q∈R，【参考答案】1．C2．B3．B4．C5．21 7k<<6．8 15 -或7．27 (2) 2，8．39110．y=1或y=-2x+111．7 212．（1）7x+24y+70=0或7x+24y-80=0；（2）x-y-4=0或x-y+8=013．113 ()(7) 632，或，---14．515．12x+8y-15=016．l1：x=0，l2：x=5或l1：12x-5y+5=0，l2：12x-5y-60=0 17．证明略18．5x-y-6=019．证明略。
高考数学复习点拨 直线的交点坐标与距离公式教材解读(人教课标A版必修2)
直线的交点坐标与距离公式——教材解读一、要点点拨 1．两条直线的交点坐标〔1〕根本知识——点与坐标的一一对应关系一般地，将两条直线的方程联立，得方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩。
假设方程组有唯一解，那么两直线相交，此解就是交点的坐标；假设方程组无解，那么两条直线无公共点，此时两直线平行。
说明：①判断两条直线的位置关系，除了用直线的斜率外，还可以利用直线的方程进行判断。
②当两条直线的方程组成的方程组无解时，两条直线无交点，所以两直线平行；当两条直线的方程组成的方程组有唯一解时，两条直线有一个交点，所以两直线相交；当两条直线的方程组成的方程组有无数个解时，两条直线有无数个交点，所以两直线重合。
③求两条直线的交点坐标，就是将直线的方程联立，解方程组即可，表达了用方程思想研究曲线，用代数研究几何的思想。
④1l 与2l 相交的条件是12210A B A B -≠或1122A B A B ≠。
2．两点间距离公式设111(,)P x y 、222(,)P x y ，那么两点间的距离公式为12PP =。
说明：〔1〕特别地，原点(0,0)O 与任一点(,)P x y 的距离OP =。
〔2〕公式中，1P 、2P 的位置没有先后之分。
〔3〕当12PP x ⊥轴时，1221PP y y =-；当12PP y ⊥轴时，1221PP x x =-。
假设能确定111(,)P x y 、222(,)P x y 的次序，可直接去掉绝对值。
3．点到直线的距离点000(,)P x y 到直线l ：0Ax By C ++=的距离为d =。
说明：〔1〕使用点到直线的距离公式的前提条件是把直线方程化为一般式方程。
〔2〕点到直线的距离是点与直线上点的最短距离。
〔3〕假设直线平行于x 轴，即0A =时，直线方程为Cy B=-，所以0C d y B ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；假设直线平行于y 轴，即0B =时，直线方程为C x A =-，所以0C d x A ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭。
直线的交点坐标与距离公式知识点总结
直线的交点坐标与距离公式知识点总结直线是数学中重要的几何概念之一，我们经常会遇到需要求两直线交点坐标或者计算直线间距离的问题。
为了解决这类问题，学习直线的交点坐标与距离公式是非常必要的。
本文将对这些知识点进行总结。
直线方程的表示形式在讨论直线的交点坐标与距离公式之前，我们首先需要了解直线可以用哪些形式表示。
1. 斜截式一条直线可以通过截距和斜率来表示。
斜截式一般形式为：y=kx+b，其中k是斜率，b是截距。
2. 一般式一条直线也可以用一般式表示，一般形式为：Ax+By+C=0，其中A、B、C是实数。
3. 点斜式直线还可以用点和斜率来表示。
点斜式的一般形式为：y−y1=k(x−x1)，其中(x1,y1)是直线上的一点，k是斜率。
直线交点坐标的计算当我们需要求两条直线的交点坐标时，可以利用直线的方程进行计算。
假设有两条直线L1和L2，它们分别由以下方程表示：L1:y=m1x+c1L2:y=m2x+c2交点的坐标可以通过以下步骤计算：1.将两条直线的方程联立，得到方程组。
m1x+c1=m2x+c22.将方程组中的未知数消去，求解出x的值。
3.将求得的x值代入任意一条直线方程中，求解出y的值。
4.得到交点的坐标(x,y)。
直线间距离的计算当我们需要求两条直线之间的距离时，可以使用以下公式计算。
假设有两条直线L1和L2，它们的方程分别为：L1:Ax+By+C1=0L2:Ax+By+C2=0直线L1和L2之间的距离可以通过以下公式计算：$d = \\frac{|C_2 - C_1|}{\\sqrt{A^2 + B^2}}$这个公式的推导过程比较复杂，在此不做详细说明。
只需记住这个公式，我们就可以计算两直线间的距离了。
举例说明为了更好地理解直线的交点坐标与距离公式，让我们通过一个具体的例子来说明。
假设有两条直线L1:y=2x+1和 $L_2: y = -\\frac{1}{2}x + 3$，我们想要求它们的交点坐标和距离。
高三数学总复习直线的交点坐标与距离公式PPT课件
法二：∵直线l过直线l1和l2的交点， ∴可设直线l的方程为x＋y＋1＋λ(x－y＋3)＝0， 即(1＋λ)x＋(1－λ)y＋1＋3λ＝0. ∵l与l3垂直， ∴2(1＋λ)－(1－λ)＝0，解得λ＝－13. ∴直线l的方程为23x＋43y＝0，即x＋2y＝0.
(2)l1与l2的直线方程联立得kkxy－－yx＝＝k2－k，1， 解方程得xy＝＝k2k－k－k－11，1. 又∵0<k<0.5，所以x＝k－k 1<0，y＝2kk－－11>0，故l1与l2的交 点在第二象限． [答案] (1)x＋2y＝0 (2)二
(2)设 m∈R，过定点 A 的动直线 x＋my＝0 和过定点 B 的
动直线 mx－y－m＋3＝0 交于点 P(x，y)，则|PA|＋|PB|的取值
范围是( )
A．[ 5，2 5 ]
B．[ 10，2 5 ]
C．[ 10，4 5 ]
D．[2 5，4 5 ]
(3)l1，l2 是分别经过 A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线， 当 l1，l2 间的距离最大时，直线 l1 的方程是____________．
(2)(2014·温州模拟)当0<k<0.5时，直线l1：kx－y＝k －1与直线l2：ky－x＝2k的交点在第________象限．
[自主解答] (1)法一：由方程组xx－＋yy＋＋31＝＝00，，
解得yx＝＝1－，2， 即点P(－2,1)， 设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)， ∵l3⊥l，∴k＝－12， ∴直线l的方程为y－1＝－12(x＋2)，即x＋2y＝0.
设对称点M′(a，b)，则
2×a＋2 2－3×b＋2 0＋1＝0， ba－－02×23＝－1，
解得ab＝＝1316303，，
高中数学-直线的交点坐标与距离公式 (知识导学+例题解析+达标训练)
高中数学-直线的交点坐标与距离公式一、知识导学：1、理解求两条直线交点的方法思想，能正确地通过解方程组确定交点坐标并通过求交点坐标判断两条直线的位置关系；2、通过沟通方程组的解的情况与相应两条直线的交点个数（位置关系） 情况，进一步渗透数形结合、坐标法思想。
3、掌握直角坐标系中两点间、点到直线和两条平行线的距离公式的推导 及应用，会用坐标法证明简单的几何问题。
二、基础知识：1、点的坐标与直线方程的关系：已知两条直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=相交。
几何元素及关系代数表示 点A A （a ，b ）直线l l ：0=++C By Ax 点A 在直线l 上0Aa Bb C ++=直线1l 、2l 的交点是A 点A 的坐标是方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解2、判断两条直线1l 、2l 的位置关系：通过解方程组确定交点坐标。
已知两条直线1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A ， 将方程联立，得⎩⎨⎧=++=++0222111C y B x A C y B x A ，对于这个方程组解的情况有三种：（1）若方程组有唯一解⎩⎨⎧==00y y x x ，则1l 、2l 有___________的公共点，此解就是交点坐标),(00y x P ，即1l 与2l 相交。
1l 与2l 相交111221220A B A B A B A B ⇔≠⇔-≠ （2）若方程组无解，则1l 、2l _________公共点，即_________，1l 与2l 平行1221111122122200A B A B A B C B C B C A B C -=⎧⇔=≠⇔⎨-≠⎩ （3）若方程组有_________解，则1l 、2l 有_______公共点，即重合。
1l 与2l 重合1221111122122200A B A B A B C B C B C A B C -=⎧⇔==⇔⎨-=⎩ 例1、判断下列各对直线的位置关系。
知识讲解_直线的交点坐标与距离公式_提高
直线的交点坐标与距离公式【学习目标】1.掌握解方程组的方法，求两条相交直线的交点坐标.2.掌握两点间距离公式，点到直线距离公式，会求两条平行直线间的距离. 【要点梳理】【高清课堂：两直线的交点与点到直线的距离381525 知识要点1】 要点一、直线的交点求两直线1111110(0)A x B y C A B C ++=≠与2222220(0)A x B y C A B C ++=≠的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组11122200A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解即可.若有111222A B CA B C ==，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有111222A B C A B C =≠，则方程组无解，此时两直线平行；若有1122A BA B ≠，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标.要点诠释：求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数. 要点二、过两条直线交点的直线系方程一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有,x y 以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系．过两直线的交点的直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=交点的直线方程为111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=，其中λ是待定系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到2220A x B y C ++=，因此它不能表示直线2l ．要点三、两点间的距离公式两点111222()()P x y P x y ，，，间的距离公式为12PP =要点诠释：此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握.要点四、点到直线的距离公式点00()P x y ，到直线0Ax By C ++=的距离为d =要点诠释：（1）点00()P x y ，到直线0Ax By C ++=的距离为直线上所有的点到已知点P 的距离中最小距离； （2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程；（3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等. 要点五、两平行线间的距离本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线10Ax By C ++=与直线20Ax By C ++=的距离为d =要点诠释：(1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；(2)利用两条平行直线间的距离公式2221||BA C C d +-=时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中x ，y 的系数分别是相同的以后，才能使用此公式.【典型例题】类型一、判断两直线的位置关系例1．是否存在实数a ，使三条直线1:10l ax y ++=，2:10l x ay ++=，3:0l x y a ++=能围成一个三角形？请说明理由．【解析】 要使三条直线能围成一个三角形，则它们中任意两条都不平行，且三条直线不相交于同一点．（1）当12//l l 时，1a a-=-，即a=±1． （2）当13//l l 时，―a=―1，即a=1． （3）当23//l l 时，11a-=-，即a=1． （4）当1l 与2l 、3l 相交于同一点时，由10x ay x y a ++=⎧⎨++=⎩得交点（―1―a ，1），将其代入ax+y+1=0中，得a=―2或a=1．故当a ≠1且a ≠－1且a ≠―2时，这三条直线能围成一个三角形． 【总结升华】 本例分类讨论时容易疏忽某种情况，特别是三条直线相交于同一点这种情况更要注意． 举一反三：【变式1】直线5x+4y ―2m ―1=0与直线2x+3y ―m=0的交点在第四象限，求m 的取值范围．【答案】3,22⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】54210,230,x y m x y m +--=⎧⎨+-=⎩解得23727m x m y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩所以23727mm+⎧>⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩，解得3,22m⎛⎫∈-⎪⎝⎭．类型二、过两条直线交点的直线系方程例2．求经过两直线2x―3y―3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y―1=0平行的直线方程．【答案】15x+5y+16=0【解析】可先求出交点坐标，再根据点斜式求出所要求的直线方程；也可利用直线系（平行系或过定点系）求直线方程．解法一：设所求的直线为l，由方程组233020x yx y--=⎧⎨++=⎩得3575xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．∵直线l和直线3x+y―1=0平行，∴直线l的斜率k=―3．∴根据点斜式有73355y x⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=---⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即所求直线方程为15x+5y+16=0．解法二：∵直线l过两直线2x―3y―3=0和x+y+2=0的交点，∴设直线l的方程为2x―3y―3+λ(x+y+2)=0，即(λ+2)x+(λ―3)y+2λ―3=0．∵直线l与直线3x+y－1=0平行，∴2323311λλλ+--=≠-，解得112λ=．从而所求直线方程为15x+5y+16=0．【总结升华】直线系是直线和方程的理论发展，是数学符号语言中一种有用的工具，是一种很有用的解题技巧，应注意掌握和应用．举一反三：【变式1】求证：无论m取什么实数，直线(2m―1)x+(m+3)y―(m―11)=0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．证法一：对于方程(2m―1)x+(m+3)y―(m―11)=0，令m=0，得x―3y―11=0；令m=1，得x+4y+10=0．解方程组31104100x yx y---⎧⎨++=⎩，得两直线的交点为（2，―3）．将点（2，―3）代入已知直线方程左边，得(2m―1)×2+(m+3)×(―3)―(m―11)=4m―2―3m―9―m+11=0．这表明不论m取什么实数，所给直线均经过定点（2，―3）．证法二：将已知方程以m为未知数，整理为(2x+y―1)m+(―x+3 y+11)=0．由于m取值的任意性，有2103110x yx y+-=⎧⎨-++=⎩，解得23xy=⎧⎨=-⎩．所以所给的直线不论m取什么实数，都经过一个定点（2，―3）．类型三、对称问题例3．已知直线l1：2x+y―4=0，求l1关于直线l：3x+4y―1=0对称的直线l2的方程．【答案】2x+11y+16=0 【解析】 解法一：由2403410x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，得直线l 1与l 的交点为P （3，―2），显然P 也在直线l 2上．在直线l1上取一点A （2，0），又设点A 关于直线l 的对称点为B （x 0，y 0），则0000042320341022y x x y -⎧=⎪-⎪⎨++⎪⋅+⋅-=⎪⎩，解得48,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 故由两点式可求得直线l 2的方程为2x+11y+16=0．解法二：设直线l 2上一动点M （x ，y ）关于直线l 的对称点为'(',')M x y ，则'4'3''341022y y x x x x y y -⎧=⎪⎪-⎨++⎪⋅+⋅-=⎪⎩，解得7246'252478'25x y x x y y -+⎧=⎪⎪⎨--+⎪=⎪⎩． 显然'(',')M x y 在l 1上，故724624782402525x y x y -+--+⋅+-=，即2x+11y+16=0，这便是所求的直线l 2的方程．【总结升华】 求一条直线关于另一条直线的对称直线的基本途径是把它转化为点关于直线对称的问题，即在其上取一点（或两点），求出它们关于直线的对称点坐标，再由两点式即可求得所求的直线方程．一般地，当对称轴的斜率为±1时，求P （x 0，y 0）的对称点Q ，只需由对称轴方程解出x ，再用y 0代替y ，即得到对称点的横坐标，类似地，可得到纵坐标．举一反三： 【变式1】（1）求点P （x 0，y 0）关于直线x ―y+C=0的对称点坐标；（2）求直线l 1：Ax+By+C=0关于直线l 2：x+y ―3=0的对称直线l 3的方程． 【答案】（1）（y 0―C ，x 0+C ）；（2）Bx+Ay ―3A ―3B ―C=0． 例4．在直线l ：3x ―y ―1=0上求一点P ，使得： （1）P 到A （4，1）和B （0，4）的距离之差最大； （2）P 到A （4，1）和C （3，4）的距离之和最小．【答案】（1）（2，5）（2）1126,77⎛⎫⎪⎝⎭ 【解析】 设B 关于l 的对称点为B ＇，AB ＇与l 的交点P 满足（1）；设C 关于l 的对称点为C ＇，AC ＇与l 的交点P 满足（2）．事实上，对（1），若P ＇是l 上异于P 的点，则|'||'||'||''||'|P A P B P A P B AB -=-<||PA = |'|||||PB PA PB -=-；对于（2），若P ＇是l 上异于P的点，则|'||'||'||'||'|P A P C P A P C AC +=+>||PA = ||PC +．（1）如图1所示，设点B 关于l 的对称点B ＇的坐标为（a ，b ），'1BB l k k ⋅=-，即431b a-⋅=-， ∴a+3b －12=0． ①又由于BB ＇的中点坐标为4,22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭，且在直线l 上， ∴431022a b +⋅--=，即3a ―b ―6=0． ② 解①②得a=3，b=3，∴B ＇（3，3）． 于是直线AB ＇的方程为143134y x --=--，即2x+y －9=0． 解由l 的直线方程与AB ＇的直线方程组成的方程组得x=2，y=5，即l 与AB ＇的交点坐标为（2，5），所以P （2，5）．（2）如图2所示，设C 关于l 的对称点为C ＇，求出C ＇的坐标为324,55⎛⎫⎪⎝⎭．∴AC ＇所在直线的方程为19x+17y ―93=0． AC ＇和l 交点坐标为1126,77P ⎛⎫⎪⎝⎭． 故P 点坐标为1126,77⎛⎫⎪⎝⎭． 【总结升华】 由平面几何知识（三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值小于第三边）可知，要在直线l 上求一点，使这点到两定点A 、B 的距离之差最大的问题，若这两点A 、B 位于直线l 的同侧，则只需求出直线AB 的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A 、B 两点位于直线l 的异侧，则先求A 、B 两点中某一点（如A ）关于直线l 的对称点A ＇，再求直线A ＇B 的方程，再求它们与直线l 的交点即可．对于在直线l 上求一点P ，使P 到平面上两点A 、B 的距离之和最小的问题可用类似方法求解．举一反三：【变式1】已知点M （3，5），在直线l ：x ―2y+2=0和y 轴上各找一点P 和Q ，使△MPQ 周长最小．【答案】59,24P ⎛⎫⎪⎝⎭、70,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】由点(3,5)M 及直线l ，可求得点M 关于l 的对称点1(5,1)M ．同样容易求得点M 关于y 轴的对称点2(3,5)M -．据1M 及2M 两点可得到直线1M 2M 的方程为270x y +-=，解方程组270220x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，得交点59,24P ⎛⎫⎪⎝⎭，令0x =，得到1M 2M 与y 轴的交点7(0,)2Q ．类型四、两点间的距离例5．已知直线l 过点P （3，1），且被两平行直线l 1：x+y+1=0，l 2：x+y+6=0截得的线段长为5，求直线l 的方程．【答案】y=1或x=3【解析】 设直线l 与直线l 1、l 2分别交于点A （x 1，y 1）、B （x 2、y 2），则11221060x y x y ++=⎧⎨++=⎩，两方程相减，得(x 1―x 2)+(y 1―y 2)=5， ①由已知及两点间距离公式，得(x 1―x 2)2+(y 1―y 2)2=25， ② 由①②解得121250x x y y -=⎧⎨-=⎩或121205x x y y -=⎧⎨-=⎩，又点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在直线l 上，因此直线l 的斜率为0或不存在，又直线l 过点P （3，1），所以直线l 的方程为y=1或x=3．【总结升华】 从交点坐标入手，采用“设而不求”“整体代入”或“整体消元”的思想方法优化了解题过程．这种解题思想方法在解析几何中经常用到，是需要掌握的技能．另外，灵活运用图形中的几何性质，如对称，线段中垂线的性质等，同样是很重要的．举一反三：【变式1】如图，直线l 上有两点A 、B ，A 点和B 点的横坐标分别为x 1，x 2，直线l 方程为y=kx+b ，求A 、B 两点的距离．【答案】2222121||(1)()1||AB k x x k x x =+-=+- 例6．已知函数22()2248f x x x x x =-++-+，求()f x 的最小值，并求取得最小值时x 的值．【答案】43，10 【解析】 将函数表达式变形为：2222()(1)(01)(2)(02)f x x x =-+-+-+-，可以看作P （x ，0）到点A （1，1）与到点B （2，2）的距离之和，即在x 轴上求一点P ，使|PA|+|PB|最小．∵22()2248f x x x x x =-++-+2222(1)(01)(2)(02)x x =-+-+-+-．它表示点P （x ，0）到点A （1，1）的距离加上点P （x ，0）到点B （2，2）的距离之和，即在x 轴上求一点P （x ，0）与点A （1，1）、B （2，2）的距离之和的最小值．由下图可知，可转化为求两点A ＇（1，―1）和B （2，2）间的距离，其距离为函数()f x 的最小值．∴()f x 的最小值为22(12)(12)10-+--=．再由直线方程的两点式得'A B 的方程为3x ―y ―4=0．令y=0，得43x =．∴当43x =时，()f x 的最小值为10．【总结升华】本例中，由“22222(1)(01)x x x -+=-+-”与两点间距离公式结构相似，因而可得到“()f x ”的几何意义，利用图形的形象直观，使问题得到简捷的解决．举一反三：【变式1】试求22()(1)1(2)4f x x x =+++-+的最小值． 【答案】32【解析】2222()(1)(01)(2)(02)f x x x =++-+-+-，它表示点P （x ，0）到点A （―1，1）的距离加上点P （x ，0）到点B （2，2）的距离之和，即在x 轴上求一点P （x ，0）与点A （―1，1）、B（2，2）的距离之和的最小值．可转化为求两点A ＇（―1，―1）和B （2，2）间的距离，其距离为函数()f x 的最小值．∴()f x =．类型五、点到直线的距离例7．已知在△ABC 中，A （1，1），(B m ，C （4，2）（1＜m ＜4），求m 为何值时，△ABC 的面积S 最大？【答案】94【解析】 以AC 为底，则点B 到直线AC 的距离就是AC 边上的高，求出S 与m 之间的函数关系式． ∵A （1，1），C （4，2），∴||AC == 又直线AC 的方程为x ―3y+2=0，∴点(B m 到直线AC 的距离d =∴11|||2|22S AC d m =⋅=-2131224⎛⎫=- ⎪⎝⎭．∵1＜m ＜4，∴13112222<<⇒-<<，∴231024⎫≤<⎪⎭，∴2113242S ⎡⎤⎫=-⎢⎥⎪⎭⎢⎥⎣⎦，302=，94m =时，S 最大．故当94m =时，△ABC 的面积最大．【总结升华】 利用两点间距离公式求出三角形的一边长，再利用点到直线的距离公式求出这边上的高，从而求出三角形的面积，这是在解析几何中求三角形面积的常规方法，应熟练掌握，但应注意的是点到直线的距离公式中带有绝对值符号，因此在去掉绝对值符号时必须对它的正负性进行讨论．举一反三：【高清课堂：两直线的交点与点到直线的距离381525 知识点（二）中的例1】 【变式1】l 过点M(-2,1)，且与点A(-1,2)，B(3,0)的距离相等，求直线l 的方程．【答案】1y = 20x y += 【解析】法一：直线l 过AB 的中点（1，1），所以l 的方程为1y =． 直线//l AB ，则设l 的方程为1(2)y k x -=+则12k =-，所以l 的方程为：20x y += 法二：由题意知直线l 的斜率存在，设l 的方程为1(2)y k x -=+，则A 、B 两点到直线l 的距离2211kk=++解得：10,2k k ==-所以l 的方程为：1y =和20x y +=【变式2】若点P （a ，b ）在直线x+y+1=0上，求22222a b a b +--+的最小值． 【答案】322类型六、两平行直线间的距离例8．两条互相平行的直线分别过点A （6，2）和B （―3，―1），并且各自绕着A 、B 旋转，如果两条平行直线间的距离为d ．（1）求d 的变化范围；（2）当d 取最大值时，求两条直线的方程．【答案】（1）(0,310]；（2）3x+y ―20=0和3x+y+10=0【解析】 （1）①当两条直线的斜率不存在时，即两直线分别为x=6和x=－3，则它们之间的距离为9．②当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为l 1：y ―2=k(x ―6)，l 2：y+1=k(x+3)，即l 1：kx ―y ―6k+2=0，l 2：kx ―y+3k ―1=0．∴2211d k k ==++，即(81―d 2)k 2―54k+9―d 2=0．∵k ∈R ，且d ≠0，d ＞0，∴Δ=542―4(81―d 2)(9―d 2)≥0，即0310d <≤且d ≠9．综合①②可知，所求的d 的变化范围为(0,310]． （2）由右图可知，当d 取最大值时，两直线垂直于AB ． 而2(1)16(3)3AB k --==--，∴所求的直线的斜率为―3．故所求的直线方程分别为y ―2=―3(x ―6)和y+1=―3(x+3)，即3x+y ―20=0和3x+y+10=0．【总结升华】在寻求问题的解的过程中，作图是非常重要的，它既可以给人以直观的感觉，又是解题的方法的再现，这说明数形结合可优化思维过程．举一反三：【变式1】已知直线l 1：2x ―y+a=0（a ＞0），直线l 2：―4x+2y+1=0和直线l 3：x+y ―1=0，且l 1与l 2的距离是10． （1）求a 的值；（2）能否找到一点P ，使得P 点同时满足下列三个条件：①P 是第一象限的点；②P 点到l 1的距离是P 点到l 2的距离的12；③P 点到l 1的距离与P 点到l 2若能，求P 点坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）a=3 （2）137,918P ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】（1）直线l 2即1202x y --=， ∴l 1与l 2的距离1|()|10a d --== 解得3a =．（2）能找到点P ，使得P 点同时满足三个条件． 设点P 00(,)x y ，若P 点满足条件②，则P 点在l 1、l 2平行的直线':20l x y c -+=，1||c +=，即132c =或116c =∴0013202x y -+=或0011206x y -+=； 若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式，=，∴00240x y -+=或0320x +=由P 在第一象限，所以0320x +=不可能．联立方程000013202240x y x y ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩，解得0013,2x y =-=，应舍去． 由000011206240x y x y ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩，解之得00137,918x y ==137(,)918P 即为同时满足三个条件的点．。
2016年高考数学复习专题15解析几何直线的交点坐标与距离公式备考策略
直线的交点坐标与距离公式备考策略主标题：直线的交点坐标与距离公式备考策略副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道. 关键词：直线的交点坐标与距离公式，知识总结备考策略 难度：3 重要程度：2 内容：1．两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．2.几种距离1．两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝x 2－x 12y 2－y 12.2．点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.3．两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.思维规律解题：考点一、两直线的交点与距离例1.(1)求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程．(2)已知点P (2，－1)，①求过点P 且与原点距离为2的直线l 的方程；②求过点P 且与原点距离最大的直线l 的方程，并求最大距离．解答 (1)法一 先解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，得l 1、l 2的交点坐标为(－1,2)，再由l 3的斜率35求出l 的斜率为－53，于是由直线的点斜式方程求出l ：y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0.法二 由于l ⊥l 3，故l 是直线系5x ＋3y ＋C ＝0中的一条，而l 过l 1、l 2的交点(－1,2)， 故5×(－1)＋3×2＋C ＝0，由此求出C ＝－1， 故l 的方程为5x ＋3y －1＝0.法三 由于l 过l 1、l 2的交点，故l 是直线系3x ＋2y －1＋λ(5x ＋2y ＋1)＝0中的一条， 将其整理，得(3＋5λ)x ＋(2＋2λ)y ＋(－1＋λ)＝0， 其斜率－3＋5λ2＋2λ＝－53，解得λ＝15，代入直线系方程即得l 的方程为5x ＋3y －1＝0.(2)①若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝2满足条件． 若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0. 由已知，得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34.此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.②作图可得过P 点与原点O 距离最大的直线是过P 点且与PO 垂直的直线，如图． 由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1，所以k l ＝－1k OP＝2.由点斜式得y ＋1＝2(x －2)，2x －y －5＝0.∴直线2x －y －5＝0是过P 点且与原点O 距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.规律方法2 求点到直线距离的最值问题的方法：直接利用点到直线的距离公式建立距离关于斜率k 的代数关系式求解；从几何中位置关系的角度，利用几何关系求解.在解决解析几何问题时，要善于发现其中包含的几何关系，充分利用几何性质进行求解. 考点二、 对称问题例2 光线由点P (－1,3)射出，遇直线l ：x ＋y ＋1＝0反射，反射光线经过点Q (4，－2)，求入射光线与反射光线所在的直线方程．解答 设P (－1,3)关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点为P ′(x 1，y 1)，点Q (4，－2)关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点为Q ′(x 2，y 2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1－3x 1＋1－＝－1x 1－12＋y 1＋32＋1＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－4，y 1＝0，所以P ′(－4,0)．同理有Q ′(1，－5)．这样，反射光线所在直线为P ′Q ，斜率k 1＝－2－04－－＝－14.直线方程为x ＋4y ＋4＝0.入射光线所在直线为PQ ′，斜率k 2＝－5－31－－＝－4，直线方程为4x ＋y ＋1＝0.∴入射光线直线方程为4x＋y＋1＝0，反射光线直线方程为x＋4y＋4＝0.备考策略：1.求点到直线距离的最值问题的方法：直接利用点到直线的距离公式建立距离关于斜率k的代数关系式求解；从几何中位置关系的角度，利用几何关系求解.在解决解析几何问题时，要善于发现其中包含的几何关系，充分利用几何性质进行求解.2.（1）两点关于点对称，两点关于直线对称的常见结论有：点x，y关于x轴、y轴、直线x－y＝0、直线x＋y＝0及原点的对称点分别为x，－y、－x，y、y，x、－y，－x和－x，－y。
【全程复习方略】(文理通用)高三数学一轮复习 8.2直线的交点坐标与距离公式课件
考点1 直线的交点 【典例1】(1)(2014·滨州模拟)当 k-1与直线l2:ky-x=2k的交点在( A.第一象限 C.第三象限
1 0＜k＜ 时,直线l1:kx-y= 2
)
Байду номын сангаас
B.第二象限 D.第四象限
(2)求经过直线l1:3x+4y-5=0与直线l2:2x-3y+8=0的交点M,且满
足下列条件的直线方程l.
第二节
直线的交点坐标与距离公式
【知识梳理】 1.两条直线的交点
唯一解
无解
有无数组解
2.三种距离 点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间 的距离 点P0(x0,y0)到直线l: Ax+By+C=0的距离 两条平行线Ax+By+C1=0与 Ax+By+C2=0间的距离 |P1P2|=
2 2 (x x ) (y y ) 2 1 2 1 _________________
)
2 5 5
2 5 . 5
【解析】选D.因为直线x+2y=5可化为x+2y-5=0, 所以点(1,1)到直线x+2y=5的距离为
1 2－5 5
3.已知直线l1:3x-4y+4=0与l2:6x-8y-12=0,则直线l1与l2之间的
距离是(
A. 8 5
)
B． 2 C. 4 5 D. 2 5
【解析】选B.因为直线l1的方程可化为:6x-8y+8=0,且l2的方程
数值,即得直线方程.
【规范解答】(1)选B.解方程组
2k 1 标为 ( k ， ).
kx y k 1,
ky x 2k
直线的交点坐标与距离公式-高考数学复习
D.(2,1)
设点(1,2)关于直线 x+y-2=0 的对称点的坐标是(a,b),
则有
-2
= 1,
-1
+1
+2
+
-2
2
2
= 0,
解得
= 1.
= 0,
故点(1,2)关于直线 x+y-2=0 的对称点的坐标是(0,1).
5.直线2x+2y+1=0与x+y+2=0之间的距离是
2x+2y+1=0 可化为
例2 过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线
段被点P平分,则直线l的方程为
x+4y-4=0
.
设l1与l的交点为A(a,8-2a),则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2
上,则有-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即点A(4,0)在直线l上,故直线l的方程
直线的交点坐标与距离公式
课标要求
1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
2.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条
平行直线间的距离.
备考指导
直线的交点坐标与距离公式在高考中一般不单独命题,多与圆、圆锥曲线
的知识相融合,主要考查两条直线的交点坐标的求解,三种距离公式的应用.
x-2y+4=0
.
3 + 4 + 12 = 0,
= -4,
由
解得
即点 B(-4,0).
4-3 + 16 = 0,
= 0,
因为 BD⊥AC,所以
高三理科数学直线的交点坐标与距离公式复习
(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、 AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合(如图所示)．将矩形折叠， 使A点落在线段DC上． (1)若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程； (2)求折痕的长的最大值．
【答题模板】
解答：(1)设折叠后A在DC边上对应的点为A′，则折痕EF所在直线的斜率
【方法规律】
1．求两直线交点坐标就是解方程组．即把几何问题转化为代数问题． 2．要理解“点点距”、“点线距”、“线线距”之间的联系及各公式的特点．
特别提示：求两平行线间的距离时，一定化成l1：Ax＋By＋C1＝0， l2：Ax＋By＋C2＝0的形式． 3．注意归纳题目类型．体会题目所蕴含的数学思想方法．如数形结合的思想； 方程与函数的思想；分类讨论的思想.
2．方程(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0表示过l1与l2交点的直线，
但不能表示直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0.如y－y0＝k(x－x0)不表示直线x－x0＝0.
【例1】直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点 为P(－1,2)，求直线l的方程．
解答：解法一：设直线l与l1的交点为A(x0，y0)，由已知条件，则直线l与l2的 交点为B(－2－x0,4－y0)，并且满足 即
解得
因此直线l的方程为
，即3x＋y＋1＝0.
解法二：设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.
由
得x＝
由
得x＝
则
＝－2，解得k＝－3.
因此所求直线方程为y－2＝－3(x＋1)，即3x＋y＋1＝0. 解法三：两直线l1和l2的方程为(4x＋y＋3)(3x－5y－5)＝0，① 将上述方程中(x，y)换成(－2－x,4－y)整理可得l1与l2关于(－1,2) 对称图形的方程：(4x＋y＋1)(3x－5y＋31)＝0.② ①－②整理得3x＋y＋1＝0.
高三数学一轮复习教案：直线的交点坐标与距离 必修二
必修Ⅱ—09 直线的交点坐标与距离
１、直线系方程：即具有某一共同性质的直线
（１）平行直线系：
（２）垂直直线系：
垂直于已知直线00Ax By C ++=（,A B 是不全为0的常数）的直线系为： （ 为常数）.
（３）过定点的直线系：
（ⅰ）直线过定点00(,)P x y 的直线系方程为：000()(y y k x x k x x -=-=参数）或；
（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中.
２．两点111222(,)(,)P x y P x y 、的距离公式12PP =
两点111222(,)(,)P x y P x y 、的中点坐标公式(,)M
３．点00(,)P x y 到直线0,0Ax By C A B ++=（不同时为）的距离公式d =
４．两平行直线距离公式
（１）在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解. （２）平行直线120,0,0Ax By C Ax By C A B ++=++=（不同时为）的距离公式
d =
例１ 求经过两条直线x+３y —１0=0和x —２y=0的交点，且到原点的距离为４的直线方程.
例２ 求两平行线3210x y --=与6450x y -+=间的距离.
例３ 已知点(,)M a b 在直线1543=+y x 上，则22b a +的最小值为.
例４ 求函数()f x =。
高二数学复习考点知识与题型专题讲解10--- 直线的交点坐标与距离公式
高二数学复习考点知识与题型专题讲解2.3 直线的交点坐标与距离公式【考点梳理】考点一：两条直线的交点坐标 1．两直线的交点已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.点A (a ，b )． (1)若点A 在直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0上，则有A 1a ＋B 1b ＋C 1＝0 . (2)若点A 是直线l 1与l 2的交点，则有⎩⎨⎧A 1a ＋B 1b ＋C 1＝0，A 2a ＋B 2b ＋C 2＝0.2．两直线的位置关系考点二： 两点间的距离公式（1）点P1(x 1，y 1)，P2(x 2，y 2)(2) 原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2. 考点三：两条平行直线间的距离点到直线的距离 两条平行直线间的距离 定义 点到直线的垂线段的长度夹在两条平行直线间公垂线段的长图示公式(或求法)点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2【题型归纳】题型一：直线的交点坐标1．（2022·内蒙古赤峰·高二期末（理））已知直线1:10l x y -+=，2:20l x -=，则过1l 和2l 的交点且与直线3450x y +-=垂直的直线方程为（ ）A ．3410x y --=B ．3410x y -+=C ．4310x y --=D ．4310x y -+=2．（2022·江苏·高二单元测试）已知()111,P a b 与()222,P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ）A ．无论k ，1P ，2P 如何，方程组总有解B ．无论k ，1P ，2P 如何，方程组总有唯一解C ．存在k ，1P ，2P ，方程组无解D ．存在k ，1P ，2P ，方程组无穷多解3．（2022·山东滨州·高二期末）直线l 经过两条直线10x y -+=和2320x y ++=的交点，且平行于直线240x y -+=，则直线l 的方程为（ ） A ．210x y --=B ．210x y -+= C ．220x y -+=D ．220x y +-=题型二：由直线交点个数求参数4．（2020·安徽·合肥市第六中学高二期中（理））已知直线l 过定点()1,2P -，且与以()2,3A --，()4,5B -为端点的线段（包含端点）没有．．交点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．()(),15,-∞-+∞B ．(][),15,-∞-⋃+∞C ．()1,5-D ．[]1,5-5．（2020·重庆市暨华中学校高二阶段练习）已知两定点()2,3M -，()3,2N --，直线l 过()1,2P 且与线段MN 相交，则l 的斜率k 的取值范围是（ ）A ．1kB ．5k ≤-C ．51k -≤≤D ．1k 或5k ≤-6．（2022·全国·高二课时练习）已知点()1,3A ，()2,1B ，若直线():21l y k x =+-与线段AB 相交，则k 的取值范围是（ ）A ．1,+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭B ．4,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．4,1,23⎛⎤-⎡⎫+∞⎪∞ ⎝⎦⎢⎣⎥⎭D ．14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦题型三：直线交点系方程及其应用7．（2022·全国·高二）设m R ∈，过定点A 的动直线10x my +-=和过定点B 的动直线230mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB +的最大值为（ ）A ．．6C ．3D ．8．（2022·全国·高二课时练习）若P (2,3)既是()()1122A a bB a b ，、，的中点,又是直线111:130l a x b y +-=与直线222:130l a x b y +-=的交点,则线段AB 的中垂线方程是（ ） A ．320x y -=B ．32120x y --= C ．23130x y --=D ．2350x y -+=9．（2021·江苏·高二专题练习）经过两条直线2x ＋3y ＋1＝0和x －3y ＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x ＋4y －7＝0的直线方程为( ) A ．4x －3y ＋9＝0B ．4x ＋3y ＋9＝0 C ．3x －4y ＋9＝0D ．3x ＋4y ＋9＝0题型五：两点间的距离公式应用10．（2021·福建三明·高二期中）已知直线1l ：220x y --=与直线2l ：380x y +-=的交点为A ，则点A 与点()23B ，间的距离为（ ）A．．111．（2021·河北唐山·高二期中）已知ABC 三顶点为()1,4A --、()5,2B 、()3,4C ，则ABC是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形12．（2021·全国·高二）直线10x y +-=上与点(2,3)P -（ ）A ．()4,5-B ．()3,4-C ．()3,4-或(1,2)-D ．()4,5-或(0,1)题型六：两点间的距离公式求函数最值问题13．（2021·全国·高二专题练习）函数y （ ）A ．0B ．13D ．不存在14．（2022·全国·高二课时练习）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，可得()f x = ）A．．4D ．815．（2021·全国·高二期中）已知,x y R ∈，则()2211x y x y -++-⎛⎫ ⎪⎝⎭的最小值为（ ）A ．14B ．12D ．12题型七：点到直线的距离问题16．（2022·江苏·高二专题练习）点(,)P x y 到直线512130x y -+=和直线3450x y -+=的距离相等，则点P 的坐标应满足的是（ ）． A ．3256650x y -+=或740x y +=B ．440x y -+=或4890x y -+= C ．740x y +=D ．440x y -+=17．（2018·安徽·铜陵一中高二期中）设m ，n ∈R ，若直线l ：10mx ny +-=与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且坐标原点O 到直线lAOB 的面积S的最小值为A ．12B ．2C ．3D ．418．（2021·河北·张家口市第一中学高二阶段练习）已知在ABC 中，其中(1,4)B ，(6,3)C ，BAC ∠的平分线所在的直线方程为10x y -+=，则ABC 的面积为（）A ．．．8D ．题型七：点、直线的对称问题19．（2021·安徽省六安中学高二期中（理））直线2360x y +-=分别交x 轴和y 于点,A B ，P 为直线y x =上一点，则PA PB-的最大值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．420．（2021·江苏南京·高二期中）在平面直角坐标系xOy 中，点()3,1关于直线10x y -+=的对称点为（ ） A ．()4,0B ．()0,4C ．()2,1-D ．()1,2-21．（2022·广东·高二阶段练习）在平面直角坐标系内，一束光线从点A （1，2）出发，被直线y x =反射后到达点B （3，6），则这束光线从A 到B 所经过的距离为（ ）A ．C ．4D ．5题型八：两条平行直线间的距离22．（2022·广东·普宁市华侨中学高二阶段练习）已知直线330x y +-=和610x my ++=互相平行，则它们之间的距离是（ ）A ．4B23．（2022·全国·高二专题练习）已知两条平行直线1l ：3460x y -+=与2l ：30x By C -+=间的距离为3，则B C +=（ ） A ．25或－5B ．25C ．5D ．21或－924．（2022·全国·高二专题练习）已知梯形ABCD 中，AB CD ∥，2CD AB =，且对角线交于点E ，过点E 作与AB 所在直线的平行线l .若AB 和CD 所在直线的方程分别是3460x y +-=与3490x y ++=，则直线l 与CD 所在直线的距离为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4题型九：直线距离和平行的综合问题25．（2021·重庆市天星桥中学高二阶段练习）已知直线1:210l x y -+=和22:0x y l --=的交点为P ．（1）若直线l 经过点P 且与直线343:50x y l --=平行，求直线l 的方程；（2）若直线m 经过点P 且与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，P 为线段AB 的中点，求OAB 的面积（其中O 为坐标原点）．26．（2021·江苏·高二专题练习）已知ABC ∆的顶点()3,4B ，AB 边上的高所在的直线方程为30x y +-=，E 为BC 的中点，且AE 所在的直线方程为370x y +-=. (1)求顶点A 的坐标；(2)求过E 点且在x 轴、y 轴上的截距相等的直线l 的方程.27．（2022·全国·高二）已知直线方程为()()221340m x m y m -++++=. （1）证明：直线恒过定点；（2）m 为何值时，点()3,4Q 到直线的距离最大，最大值为多少?（3）若直线分别与x 轴，y 轴的负半轴交于,A B 两点，求AOB 面积的最小值及此时直线的方程.【双基达标】一、单选题28．（2022·江苏·连云港高中高二开学考试）若直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点在第一象限，则实数k 的取值范围是（ ）A ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,62⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭29．（2022·江苏·高二专题练习）直线y x =关于1x =对称直线l ，直线l 的方程是（ ）A 20y +-=B 20y ++=C ．20x -=D ．20x +=30．（2022·全国·高二课时练习）已知点(,)P x y 为直线0x y -=上的动点，m m 的最小值为（ ）A ．5B ．6C31．（2021·安徽省亳州市第一中学高二阶段练习）光线从点()3,5A -射到x 轴上，经x 轴反射以后过点()2,10B ，光线从A 到B 经过的路程为（ ）A ．．．．32．（2022·全国·高二课时练习）已知(2,4)A --，(1,5)B 两点到直线: 10l a x y ++=的距离相等，则实数a 的值为（ ） A ．－3B ．3C ．－1D ．－3或333．（2022·全国·高二单元测试）ABC 的顶点A ，B 的坐标分别为()()4,125-，，． (1)求线段AB 的中垂线在x 轴上的截距；(2)若点C 的坐标为()62，，求△ABC 垂心的坐标．34．（2022·全国·高二专题练习）已知两直线l 1与l 2，直线l 1经过点（0，3），直线l 2过点（4，0），且l 1∥l 2．(1)若l 1与l 2距离为4，求两直线的方程；(2)若l 1与l 2之间的距离最大，求最大距离，并求此时两直线的方程．【高分突破】35．（2022·江苏·高二专题练习）若直线230x y +-=与直线420++=x y a 之间的距离不a 的取值范围为（ ） A ．4a ≤B ．164a -≤≤ C ．416a -≤≤D ．16a ≤或4a ≥36．（2022·全国·高二课时练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为()2,0B -，若将军从山脚下的点1,03A ⎛⎫⎪⎝⎭处出发，河岸线所在直线方程为23x y +=，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）A ．5C ．16337．（2022·全国·高二课时练习）已知平面上一点()5,0M ，若直线上存在点P 这使4PM =，则称该直线为“切割型直线”.给出直线：①1y x =+；②2y =；③43y x =，其中是“切割型直线”的是（ ） A ．②③B．①C．①②D．①③38．（2022·陕西·武功县普集高级中学高二阶段练习（理））已知O 为坐标原点，直线():22l y kx k =+-上存在一点P ，使得OP =k 的取值范围为（ ）A ．2⎤⎦B ． ([,22)-∞⋃+∞C ．2⎡⎣D ． ](22,) -∞⋃+∞39．（2022·江西抚州·高二期末）已知点()4,3A -，()2,1B -和直线:4320l x y +-=，若在坐标平面内存在一点P ，使PA PB =，且点P 到直线l 的距离为2，则点P 的坐标为（ ）A ．21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭或()1,4-B ．()1,4-或61,5⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,4-或278,77⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．61,5⎛⎫ ⎪⎝⎭或278,77⎛⎫ ⎪⎝⎭40．（2022·江苏·高二专题练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为()1,1A ，若将军从山脚下的点()4,4B 处出发，河岸线所在直线l 的方程为10x y -+=，则“将军饮马”的最短总路程是（ ）A ．．41．（2022·青海海东·高二期末（理））数学家歌拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知ABC 的三个顶点分别为(1,1)A ，(7,1)B ，(5,5)C ，则ABC 的欧拉线方程是（ ）A ．60x y +-=B ．20x y --=C ．260x y --=D ．2110x y +-=42．（2022·山东淄博·高二期末）已知：()0,4A ，()0,4B -，()4,0C ，()0,2E ，()0,2F -，一束光线从F 点出发射到BC 上的D 点经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上（不含端点），则FD 斜率的取值范围是（ ）A ．1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．1,08⎛⎫- ⎪⎝⎭43．（2022·四川南充·高二期末（理））设22222222(,)(2)(2)(3)(4)f x y x y x y x y x y =+++-++++22,40x y -≤≤-≤≤.则(,)f x y 的最小值为（ ） A ．8B ．9C ．613D ．435+二、多选题44．（2022·江苏·高二阶段练习）下列说法错误的是（ ）A ．点(0,2)到直线1y x =+B ．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率C ．直线240x y -+=与两坐标轴围成的三角形的面积是8D ．经过点(2,2)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为40x y +-=45．（2022·江苏·高二单元测试）已知ABC 顶点坐标是(3,4),(0,0),(,0)A B C c ，则下列结论正确的是（ ） A ．若ABC 为直角三角形，则3c =或253c =B ．若ABC 为锐角三角形，则2533c << C ．若ABC 为钝角三角形，则03c <<或253c >D ．若ABC 为等腰三角形，则5c =±46．（2022·江苏·高二）下列说法中，正确的有（ ） A ．点斜式()11y y k x x -=-可以表示任何直线 B ．直线42y x =-在y 轴上的截距为2-C ．直线230x y -+=关于0x y -=对称的直线方程是230x y -+=D ．点()21P ，到直线的()130ax a y a +-++=的最大距离为 47．（2022·黑龙江双鸭山·高二期末）下列结论正确的有（ ） A ．已知点()1,1A ，()4,2B ，若直线():2l y k x =-与线段AB 相交，则k 的取值范围是[]1,1- B ．点()0,2关于1y x =+的对称点为()1,1C ．直线方向向量为(，则此直线倾斜角为30D ．若直线:210l x ay ++=与直线2:210l ax y ++=平行，则2a =-且两条直线间距离为248．（2022·江苏南京·高二期末）下列说法正确的是（ ）A ．点(0,2)到直线1y x =+的距离为2B ．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.C ．直线240x y -+=与两坐标轴围成的三角形的面积是8.D ．经过点(2,2)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为40x y +-=.49．（2021·重庆市两江中学校高二阶段练习）下列说法错误的有（ ）A ．直线x =B ．直线210x y -+=到直线4230x y -+=C ．方程32y k x -=-与方程()32y k x -=-可表示同一条直线 D ．直线y kx b =+与y 轴交于一点 (0,)B b ，其中截距 ||b OB =50．（2022·江苏·高二单元测试）已知直线()1:120l a x ay +++=，()2:110l ax a y +--=，则（ ）A ．若12l l ⊥，则21a =B ．若12l l //，则212a =C ．当1a =时，1l 与2l 相交，交点为()1,2-D ．当01a ≤≤时，2l 不经过第三象限三、填空题51．（2022·全国·高二课时练习）直线2450x y +-=关于直线2x =对称的直线的方程为______．52．（2022·全国·高二课时练习）过两直线280x y +-=与210x y -+=的交点，且与直线3480x y --=垂直的直线的方程为______．53．（2022·全国·高二课时练习）著名数学家华罗庚曾说过“数无形时少直觉，形少数时难人微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：()()22x a y b -+-可以转化为平面上点(),M x y 与点(),N a b 之间的距离，结合．上述观点，可得22420210x x x x -++-+的最小值为______．54．（2022·全国·高二课时练习）若直线m 经过直线10x y --=与直线220x y +-=的交点，且点(2,2)到直线m 的距离为1，则直线m 的方程为________．55．（2022·全国·高二专题练习）如图已知()()()400400A B O ，、，、，，若光线L 从点()20P ，射出，直线AB 反射后到直线OB 上，在经直线OB 反射回原点P ，则光线L 所在的直线方程为________．56．（2022·全国·高二课时练习）已知点 P Q ，分别在直线1l ：20x y ++=与直线2l ：10x y +-=上，且1PQ l ⊥，点()313,3? 22A B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，，则AP PQ QB ++的最小值为____．四、解答题57．（2022·江苏·连云港高中高二开学考试）已知△ABC 的顶点A （-1，5），B （-1，-1），C （3，7）.(1)求边BC 上的高AD 所在直线的方程； (2)求边BC 上的中线AM 所在直线的方程；(3)求△ABC 的面积.58．（2022·全国·高二专题练习）已知直线:210l x y -+=，点()3,0A ． (1)求点A 关于直线:210l x y -+=的对称点；(2)求直线:210l x y -+=，关于点A 的对称直线m 的方程．59．（2022·江苏·高二专题练习）直线l 经过两条直线1:40l x y +-=和2:20l x y -+=的交点，且_____．试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，完成解答，若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．①与直线210x y --=平行，②直线l 在x 轴上的截距为12-． (1)求直线l 的方程；(2)求直线l 与坐标轴围成的三角形面积．60．（2022·江苏·高二单元测试）直线1:1l y mx =+，2:1l x my =-+相交于点P ，其中1m ≤.(1)求证：1l 、2l 分别过定点A 、B ，并求点A 、B 的坐标； (2)当m 为何值时，ABP △的面积S 取得最大值，并求出最大值.【答案详解】1．D 【分析】由于所求出直线与直线3450x y +-=垂直，所以设所求直线为430x y m -+=，然后求出两直线的交点坐标，代入上式方程可求出m ，从而可求出直线方程 【详解】由于所求出直线与直线3450x y +-=垂直，所以设所求直线为430x y m -+=， 由1020x y x -+=⎧⎨-=⎩，得23x y =⎧⎨=⎩，即1l 和2l 的交点为(2,3)，因为直线430x y m -+=过点(2,3)， 所以890m -+=，得1m =， 所以所求直线方程为4310x y -+=， 故选：D2．B 【分析】通过()111,P a b 与()222,P a b 是直线1y kx =+上，推出1212,,,a a b b 的关系，然后解方程组即可.【详解】已知()111,P a b 与()222,P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点， 所以2112b b k a a -=-,即12a a ≠,并且11221,1b ka b ka =+=+，211212122121 a b a b ka a ka a a a a a -=-+-=-.所以112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩①②21b ⨯-⨯①②b 得：()122121a b a b x b b -=-即()1221a a x b b -=-,所以方程组有唯一解. 故选：B3．B 【分析】联立已知两条直线方程求出交点，再根据两直线平行则斜率相同求出斜率即可.【详解】由102320x y x y -+=⎧⎨++=⎩得两直线交点为(－1，0)，直线l 斜率与240x y -+=相同，为12，则直线l 方程为y －0＝12(x ＋1)，即x －2y ＋1＝0. 故选：B.4．A 【解析】根据图象以及斜率公式确定直线l 的斜率k 的取值范围.【详解】如图，要使直线l 以()2,3A --，()4,5B -为端点的线段（包含端点）没有．．交点，则PA k k >或PB k k <,因为23255,11214PA PB k k +-====--+-+，所以直线l 的斜率k 的取值范围是()(),15,-∞-+∞；故选：A【点睛】本题考查斜率公式以及直线交点，考查基本分析判断求解能力，属基础题. 5．D 【分析】根据题意，画出图形，求出PM ，PN 的斜率，再利用数形结合求解. 【详解】如图所示：()()()23225,11213PM PN k k ----==-==--- ，因为直线l 过()1,2P 且与线段MN 相交， 所以l 的斜率k 的取值范围是1k 或5k ≤-. 故选：D【点睛】本题主要考查直线的斜率和直线相交问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.6．D 【分析】确定直线过定点()2,1P --，只要求出直线,PA PB 的斜率，由图形可得结论． 【详解】直线():21l y k x =+-恒过点()2,1P --，直线PA 斜率()()314123PA k --==--，直线PB 斜率()()111222--=--，结合图象可得k 的取值范围是14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：D ．7．A 【分析】求得直线恒过的定点，判断两直线位置关系，找到PA 与PB 的关系，利用均值不等式求最值.【详解】直线10x my +-=可整理为()1my x =--，故恒过定点()1,0，即为A 的坐标； 直线230mx y m --+=整理为()32y m x -=-，故恒过定点()2,3，即为B 坐标； 又两条直线垂直，故可得()()22222120310PA PB AB +==-+-=， 即()2210PA PB PA PB +-= 整理得()()2211524PA PB PA PB PA PB =+-≤+ 解得25PA PB +≤PA PB =时取得最大值. 故选：A.8．A 【分析】直线111:130l a x b y +-=与直线222:130l a x b y +-=方程相减可得：1212()()0a a x b b y -+-=，把点P 代入可得：121223AB b b k aa -==--，进而得出线段AB 的中垂线方程． 【详解】解：直线111:130l a xb y +-=与直线222:130l a x b y +-=方程相减可得：1212()()0a a x b b y -+-=，把点P 代入可得：121223AB b b k a a -==--， ∴线段AB 的中垂线方程是33(2)2y x -=-，化为：320x y -=．故选A ．【点睛】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．A 【分析】联立直线方程求出交点坐标，利用两直线垂直的条件求出斜率，点斜式写出直线方程.【详解】2310340x y x y ⎧⎨⎩＋＋＝－＋＝解得5379x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因为所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直 所以所求直线方程：4x －3y ＋9＝0 故选A【点睛】本题考查直线方程，确定直线方程一般有两种途径：1.确定直线上不同的两点，通过直线方程的两点式确定；2.确定直线的斜率和直线上的一点，通过直线方程的点斜式确定.10．D 【分析】由题联立220380x y x y --=⎧⎨+-=⎩得()2,2A ，再根据距离公式求解即可.【详解】解：联立方程220380x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得2,2x y ==，所以()2,2A ，所以1AB ==故选：D11．B 【分析】由向量的坐标表示有(6,6)AB =，(2,2)BC =-，结合向量数量积的坐标运算，即可判断三角形的形状.【详解】由已知，(6,6)AB =，(2,2)BC =-， ∴6(2)620AB BC ⋅=⨯-+⨯=，即AB BC ⊥， ∴ABC 是直角三角形. 故选：B.12．C 【分析】设所求点坐标为()00,x y ，根据已知条件列方程，由此求得正确答案. 【详解】设所求点的坐标为()00,x y ，有0010x y +-=，且()()2200232x y ++-=，两式联立解得0034x y =-⎧⎨=⎩或0012x y =-⎧⎨=⎩.故选：C13．B 【分析】把函数表达式化简为2222(0)(01)(2)(02)y x x =-+-+-++，利用两点间的距离公式即可求得.【详解】解析：原函数可化为2222(0)(01)(2)(02)y x x =-+-+-++ ，∴y 可看成点(,0)x 到点(0,1)和(2,2)-的距离之和，如图，则y ＝|PA |＋|PB |，∵P 是x 轴上的动点，A ，B 是两个定点，∴|PA |＋|PB |≥|AB |＝22(02)(12)13-++=， ∴当P ，A ，B 三点共线时，y min ＝13， 故选：B.【点晴】此题关键是整理函数表达式，找到它的几何意义，要注意距离公式的变形应用. 14．B 【解析】函数表示点(),0P x 到点()2,4A -和()1,3B -的距离之和，画出图像，根据对称得到最小值.【详解】()()()222242021021619f x x x x x x x =+++++=+++++ 表示点(),0P x 到点()2,4A -和()1,3B -的距离之和，如图所示： 点()2,4C --是()2,4A -关于x 轴的对称点，故最小值为5052BC == 此时:710BC y x =+，取107100,7y x x =+=∴=- 故选：B【点睛】本题考查了函数的最值问题，转化为两点间距离是解题的关键.15．C 【分析】问题转化为点(,1)x x -到点1(,)y y -的距离的平方，等价于在直线上找一点，使得它到图象1y x=-的距离的平方最小，利用函数图象的对称性即可得解.【详解】()2211x y x y -++-⎛⎫⎪⎝⎭可看成点(,1)x x -到点1(,)y y -的距离的平方，点(,1)x x -在直线1y x =-的图象上，点1(,)y y -在反比例函数1y x=-的图象上，问题转化为在图象1y x=-上找一点，使得它到直线1y x =-的距离的平方最小. 注意到反比例函数1y x=-的图象关于直线y x =-对称，直线1y x =-也关于y x =-对称，观察图象知点P 到直线1y x =-的距离最短，1(1,1)y P x y x⎧=-⎪⇒-⎨⎪=-⎩， 最短距离为11122d +-==()2211x y x y -++-⎛⎫ ⎪⎝⎭的最小值为12. 故选：C【点睛】本题考查两点之间的距离，利用化归与转化思想，将问题转化为在直线上找一点使得它到图象1y x=-的距离的平方最小，借助函数图象的对称性解决问题，属于中档题.16．A 【分析】利用点到直线的距离求解.【详解】解：因为点(,)P x y 到直线512130x y -+=和直线3450x y -+=的距离相等，所以5121313-+=x y 3455-+x y ，化简得：3256650x y -+=或740x y +=， 故选：A17．C 【解析】由距离公式可得2213m n +=，面积为1111||||22||S m n mn ==，由基本不等式可得答案．【详解】解：由坐标原点O 到直线l化简可得2213m n +=，令0x =，可得1y n=，令0y =，可得1x m=， 故AOB 的面积2211111||||322||S m n mn m n ===+，当且仅当||||m n = 故选：C ．【点睛】本题考查点到直线的距离公式，涉及基本不等式的应用和三角形的面积，属于中档题．18．C 【解析】首先求得直线10x y -+=与直线BC 的交点D 的坐标，利用D 到直线,AB AC 的距离相等列方程，解方程求得A 点的坐标.利用A 到直线BC 的距离以及BC 的长，求得三角形ABC 的面积.【详解】直线BC 的方程为()1415y x -=--，即5210x y +-=.由521010x y x y +-=⎧⎨-+=⎩解得811,33D ⎛⎫⎪⎝⎭.设()8,1,3A a a a +≠，直线,AB AC 的方程分别为()()3241,3616a a y x y x a a ---=--=--- ，即 ()()3131a x a y a ---+-，()()26360a x a y a -----=.根据角平分线的性质可知，D 到直线,AB AC 的距离相等，所以=，=由于83a ≠，所以上式可化为2=两边平方并化简得2803a a -=，解得0a =（83a ≠），所以()0,1A .所以()0,1A 到直线BC=，而BC ==182ABC S ∆==.故选：C【点睛】本小题主要考查直线方程的求法，考查直线与直线交点坐标，考查点到直线距离公式、两点间的距离公式，考查角平分线的性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.19．A 【分析】先求得,A B 两点的坐标，求得B 关于y x =对称点C 的坐标，根据,,A C P 三点共线求得PA PB -的最大值. 【详解】依题意可知()()3,0,0,2A B ，()0,2B 关于直线y x =的对称点为()2,0C ，PB PC =，即求PA PB PA PC -=-的最大值，PA PC AC -≤，当,,A C P 三点共线，即P 与原点重合时，PA PC -取得最大值为1， 也即PA PB -的最大值是1. 故选：A20．B 【分析】设对称点为(),m n ，由(),m n 与点()3,1所在的直线垂直于10x y -+=且中点在直线10x y -+=上列方程组即可求解. 【详解】设对称点为(),m n ，由题意可得1113311022n m m n -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪-+=⎪⎩，解得04m n =⎧⎨=⎩，即对称点为()0,4，故选：B.21．B 【分析】作出点A 关于直线y x =的对称点()2,1C ，连接CB ，利用光线关于直线对称得到CB 即为光线经过路程的最小值，再利用两点间的距离公式进行求解. 【详解】作出点A 关于直线y x =的对称点()2,1C ， 连接CB ，交直线y x =于点M ， 则CB 即为光线经过路程的最小值，且()()22326126CB =-+-= 此即光线从A 到B 26故选：B ．22．D 【分析】先由平行求出2m =，再由平行线间距离公式求解即可. 【详解】由直线平行可得360m -=，解得2m =，则直线方程为6210x y ++=，即1302x y ++==故选：D.23．A 【分析】根据平行直线的性质，结合平行线间距离公式进行求解即可. 【详解】因为直线1l ：3460x y -+=与2l ：30x By C -+=平行， 所以有3464,63B C B C-=≠⇒=≠-， 因为两条平行直线1l ：3460x y -+=与2l ：30x By C -+=间的距离为3，361521C C =⇒-=⇒=，或9C =-，当21C =时，42125B C +=+=； 当9C =-时，495B C +=-=-， 故选：A24．B 【分析】先求得直线AB 和CD 之间的距离，再求直线l 与CD 所在直线的距离即可解决.【详解】梯形ABCD 中，AB CD ∥，2CD AB =，且对角线交于点E ， 则有△ABE 与△CDE 相似，相似比为1:2，则:1:2AE EC =，点E 到CD 所在直线的距离为AB 和CD 所在直线距离的23 又AB 和CD3=，则直线l 与CD 所在直线的距离为2 故选：B25．（1）4330x y --=；（2）30【分析】（1）先求出交点P 的坐标和直线的斜率，再用点斜式求直线的方程；（2）先求出A 、B 两点的坐标，再利用三角形的面积公式，求得OAB 的面积． 【详解】解：（1）由21020x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得：35x y =-⎧⎨=-⎩，可得直线1:210l x y -+= 和22:0x y l --=的交点为()3,5P =--， 由于直线l 3的斜率为43，故过点P 且与直线343:50x y l --=平行的直线l 的方程为()4533y x +=⨯+，即4330x y --=； （2）由题意知：直线m 的斜率存在且不为零， 设直线m 的斜率为k ，则直线m 的方程为()53y k x +=+， 由于直线m 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点， 且()3,5P =--为线段AB 的中点，故：()53,0,0,35A B k k⎛⎫-- ⎪⎝⎭，53323552k k ⎧-⎪=-⎪∴⎨⎪-=-⎪⎩， 解得53k =-， 故()()6,0,0,10A B -- ，故OAB 的面积为116103022OA OB ⨯⋅=⨯⨯=.26．（1）()1,2（2）40x y -=或50x y +-=【分析】（1）首先确定直线AB 的斜率，从而得到直线AB 的方程；因为点A 是直线AB 与AE 的交点，联立两条直线可求得点A 坐标；（2）设()00,E x y ，利用中点坐标公式表示出()0023,24C x y --；根据E 在直线AE 上，C 在直线30x y +-=上，可构造方程组，求得E 点坐标；根据截距相等，可分为截距为0和不为0两种情况来分别求解出直线方程. 【详解】（1）由已知得：1AB k =∴直线AB 的方程为：43y x -=-，即：10x y -+=由10370x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得：12x y =⎧⎨=⎩A ∴的坐标为()1,2（2）设()00,E x y ，则()0023,24C x y --则()()0000232430370x y x y ⎧-+--=⎨+-=⎩，解得：0041x y =⎧⎨=⎩直线l 在x 轴、y 轴上的截距相等∴当直线l 经过原点时，设直线l 的方程为y kx =把点()4,1E 代入，得：14k =，解得：14k = 此时直线l 的方程为：40x y -=当直线l 不经过原点时，设直线l 的方程为1x yaa+= 把点()4,1E 代入，得：411aa+=，解得：5a = 此时直线l 的方程为50x y +-=∴直线l 的方程为：40x y -=或50x y +-=【点睛】本题考查直线交点、直线方程的求解问题，易错点是在已知截距相等的情况下，忽略截距为零的情况，造成丢根.27．（1）证明见解析；（2）47=m时，距离最大，最大值为（3）AOB 面积的最小值为4，此时直线方程为240x y ++=.【分析】（1）整理直线方程可得方程组，解方程组可求得定点坐标；（2）易知当定点P 与Q 连线垂直时，点Q 到直线距离最大；求出PQ 方程后，利用直线垂直关系可构造方程求得m ；利用两点间距离公式可求得最大值； （3）利用直线方程可,A B 坐标，并确定m 的取值范围，利用m 表示出AOBS，可得一个分式型的函数，通过换元法可表示出219502522AOBSt t=⨯-+-，由二次函数最值的求解方法可求得所求面积最小值，并求得m 的值，由此可得直线方程. 【详解】（1）由直线方程整理可得：()23240x y m x y -+++++=，由230240x y x y -++=⎧⎨++=⎩得：12x y =-⎧⎨=-⎩，∴直线恒过定点()1,2P --；（2）由（1）知：直线恒过定点()1,2P --， 则当PQ 与直线垂直时，点Q 到直线距离最大， 又PQ 所在直线方程为：214231y x ++=++，即3210x y --=， ∴当PQ 与直线垂直时，()()322210m m --+=，解得：47=m ；则最大值PQ = （3）由题意知：直线斜率存在且不为零， 令0x =得：3421m y m +=-+，即340,21m B m +⎛⎫- ⎪+⎝⎭；令0y =得：342m x m +=--，即34,02m A m +⎛⎫-⎪-⎝⎭； 又,A B 位于,x y 轴的负半轴，340213402m m m m+⎧-<⎪⎪+∴⎨+⎪-<⎪-⎩，解得：122m -<<；()223413434122212232AOBm m m Sm m m m +++=⨯⨯=⨯-+-++， 令34m t +=，则5102t <<，43t m -∴=， 222221191950252222550244223233AOBt t St t t t t t ∴=⨯=⨯=⨯-+---⎛⎫-+--+⨯+ ⎪⎝⎭， 5102t <<，112105t ∴<<， 则当114t =，即0m =时，2max5025928t t ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，()min4AOB S∴=，此时直线的方程为：240x y ++=.28．B 【分析】联立两直线方程，求出交点坐标，由已知条件列出不等式组，求解即可．【详解】将两直线方程组成方程组21122y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得24216121k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，因为直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点在第一象限，所以2402161021k k k k -⎧>⎪⎪+⎨+⎪>⎪+⎩解得1162k -<<故选：B29．C 【分析】根据题意可知直线y =与直线1x=交于点A ，求出原点关于直线1x =对称的对称点B ，利用两点坐标求直线斜率公式和直线的点斜式方程即可得出结果.【详解】如图，直线33y x =与直线1x =交于点3(1,)3A ，直线33y x =过原点(0,0)， 因为直线33y x =与直线l 关于直线1x =对称， 所以原点关于直线1x =的对称点为(2,0)B ，且直线l 过点A 、B ，则直线l 的斜率为3033123l k -==--， 所以直线l 的方程为30(2)3y x -=--， 即320x y +-=. 故选：C30．C 【分析】根据两点之间距离最小结合点关于直线的对称性即可根据两点间距离公式求解.【详解】2222(2)(4)(2)(1)m x y x y -+-++-(,)P x y 到点(2,4)B 和点(2,1)A -的距离之和．因为点(2,4)B 关于直线0x y -=的对称点为(4,2)B '，所以m 的最小值为点(4,2)B '与点(2,1)A -之间的距离，即22min (42)(21)37m AB '=+-=+P 为AB 与y x =的交点. 故选：C【点睛】31．C 【分析】先求出点()3,5A -关于x 轴的对称点为()3,5A '--，再计算A B '即为所求. 【详解】点()3,5A -关于x 轴的对称点为()3,5A '--，则光线从A 到B 经过的路程为A B '的长度，即()()223251010A B '=--+--故选：C.32．D 【分析】方法一：根据点到线的距离公式求解即可，方法二：数形结合分析可得直线AB l ∥或AB 的中点在直线l 上，再分别计算即可. 【详解】方法一 2211a a =++，即|23||6|a a +=+，所以236a a +=+或2360a a +++=，解得3a =或3-．方法二 因为A ，B 两点到直线l 的距离相等，则直线AB l ∥或AB 的中点在直线l 上，则5412a +=-+或111022a -++=，得3a =-或3．故选：D 33．(1)-3； (2)1919,39⎛⎫⎪⎝⎭ 【分析】（1）求出AB 的中点和直线AB 的斜率，再求出线段AB 中垂线的斜率，即可得到答案；（2）求出AB 边上的高所在直线的斜率，得到AB 边上的高所在直线的方程，同理可得AC 边上的高所在直线的方程，两条方程联立即可得到答案 （1）∵△ABC 的顶点A ，B 的坐标分别为()()4,125-，，， ∴AB 的中点是()32，，直线AB 的斜率是()51324AB k --==--， ∵线段AB 中垂线与线段AB 垂直， ∴线段AB 中垂线的斜率是13，∴线段AB 的中垂线方程是()1233y x -=-，即x －3y ＋3＝0， 令y ＝0，得x ＝－3，即线段AB 的中垂线在x 轴上的截距为-3； （2）∵3AB k =-，∴AB 边上的高所在直线的斜率为13，∵()62C ，，∴AB 边上的高所在直线的方程为()1263y x -=-，即x －3y =0， ∵()213642AC k --==-，∴AC 边上的高所在直线的斜率为23-，∵()2,5B ，∴AC 边上的高所在直线的方程为()2523y x -=--，即2x ＋3y -19=0， 联立x －3y =0和2x ＋3y -19=0，得193x =，199y =， ∴△ABC 垂心的坐标为1919,39⎛⎫⎪⎝⎭34．(1)l 1：7x ﹣24y +72＝0，l 2：7x ﹣24y ﹣28＝0或l 1：x ＝0，l 2：x ＝4 (2)最大距离为5；l 1：4x ﹣3y +9＝0，l 2：4x ﹣3y ﹣16＝0【分析】（1）分两类讨论：①若l1，l2的斜率都存在，设其斜率为k，写出两条直线的方程，由点到直线的距离公式求出斜率k即可，②若l1、l2的斜率都不存在，则l1：x ＝0，l2：x＝4，然后验证距离是否等于4即可．（2）当直线l1，l2均与两点的连线垂直时，l1与l2的距离最大，由两点间距离公式求出最大距离，由两条直线的垂直关系求出斜率，再根据点斜式或斜截式写直线的方程即可．（1）①若l1，l2的斜率都存在，设其斜率为k，由斜截式得l1的方程y＝kx+3，即kx﹣y+3＝0，由点斜式得l2的方程y＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k＝0，在直线l1上取点A（0，3），则点A到直线l2的距离为d==4，化简得16k2+24k+9＝16k2+16，解得k724 =，∴l1：7x﹣24y+72＝0，l2：7x﹣24y﹣28＝0．②若l1、l2的斜率都不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝4，它们之间的距离为4，满足条件，综上所述，两条直线的方程为l1：7x﹣24y+72＝0，l2：7x﹣24y﹣28＝0 或l1：x＝0，l2：x＝4．（2）当直线l1，l2均与两点的连线垂直时，l1与l2的距离最大，两点连线的直线的斜率为033 404-=--，。
高中数学必修二-直线的交点坐标与距离
直线的交点坐标与距离知识集结知识元直线的平行知识讲解一、两直线平行的条件设两条不重合的直线的斜率分别为.若，则与的倾斜角与相等.由，可得，即.因此，若，则.反之，若，则.注意：1.公式成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为；②不重合；2.当两条直线的斜率都不存在且不重合时，的倾斜角都是，则.例题精讲直线的平行例1.直线与直线2x+3y-1=0平行，且经过坐标原点，则直线l的方程是（）A．2x-3y-1=0B．x+3y-2=0C．2x+3y=0D．3x-2y-1=0例2.直线，则a=．例3.若直线2ay-1=0与直线(3a-1)x+y-1=0平行，则实数a等于.例4.'已知A（1，―1），B（2，2），C（3，0），求点D的坐标，使直线CD⊥AB，且CB∥AD．'直线的垂直知识讲解一、两直线垂直的条件设两条直线的斜率分别为.若，则.注意：1.公式成立的前提条件是两条直线的斜率都存在；2.当一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直.例题精讲直线的垂直例1.若直线经过点和且与经过点（-2，1），斜率为的直线垂直，则实数的值为________．例2.如果直线y=3x与直线y=-mx+1垂直，那么m的值为（）D．3A．-3B．C．例3.若直线：2x-ay-1=0过点(1,1)，：x+2y=0，则直线与（）A．平行B．相交但不垂直C．垂直D．相交于点(2,-1)例4.过点(3,1)且与直线x-2y-3=0垂直的直线方程是（）A．2x+y-7=0B．x+2y-5=0C．x-2y-1=0D．2x-y-5=0点到直线的距离公式知识讲解一、点到直线的距离公式点到直线的距离为.注意： 1.点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离2.使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程3.此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等.例题精讲点到直线的距离公式例1.点（2，1）到直线3x﹣4y+2=0的距离是（）A ．B ．C ．D ．例2.已知两点A（3，2）和B（﹣1，4）到直线mx+y+3=0距离相等，则m 值为（）A ．B ．C ．D ．例3.'已知直线l 1：3x +4ay ―2=0（a ＞0），l 2：2x +y +2=0．（1）当a =1时，直线l 过l 1与l 2的交点，且垂直于直线x ―2y ―1=0，求直线l 的方程；（2）求点到直线l 1的距离d 的最大值．'两点间距离公式知识讲解一、两点间的距离公式两点间的距离公式为.注意：1.此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决2.另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握.例题精讲两点间距离公式例1.若x轴的正半轴上的点M到原点与点（5，―3）到原点的距离相等，则M的坐标是（）A．（―2，0）B．（1，0）C．D．例2.点P（x，y）在直线x+y―4=0上，则x2+y2的最小值是（A．8B．C．D．16例3.'3.已知点A（2，2），直线l：y=2x+1．（1）求点A关于直线l的对称点A＇的坐标；（2）当点B，C分别在x轴和直线l上运动时，求△ABC周长的最小值．'例4.已知x,y为实数，代数式的最小值是.平行线间距离公式知识讲解一、两平行线间的距离本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离.注意：1.两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离2.利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中x，y的系数分别是相同的，才能使用此公式.例题精讲平行线间距离公式例1.两平行直线分别过点（1，0）与（0，5），且距离为5，它们的方程为．例2.两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为（）A．4B．C．D．例3.已知直线：3x＋4y－3＝0与直线：6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是（）A．2B．17C．D．例4.设直线:3x+4y-5=0与:3x+4y+5=0间的距离为d，则d=。
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直线的交点坐标与距离公式备考策略
主标题：直线的交点坐标与距离公式备考策略
副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道. 关键词：直线的交点坐标与距离公式，知识总结备考策略 难度：3 重要程度：2 内容：
1．两条直线的交点
直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组
⎩⎪⎨⎪⎧
A 1x ＋
B 1y ＋
C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0
的解．
2.几种距离
1．两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝x 2－x 1
2
y 2－y 1
2
.
2．点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离
d ＝
|Ax 0＋By 0＋C |
A 2＋
B 2
.
3．两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|
A 2＋
B 2.
思维规律解题：
考点一、两直线的交点与距离
例1.(1)求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程．
(2)已知点P (2，－1)，①求过点P 且与原点距离为2的直线l 的方程；②求过点P 且与原点距离最大的直线l 的方程，并求最大距离．
解答 (1)法一 先解方程组⎩⎪⎨
⎪
⎧
3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，
得l 1、l 2的交点坐标为(－1,2)，
再由l 3的斜率35求出l 的斜率为－5
3，
于是由直线的点斜式方程求出l ：
y －2＝－53
(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0.
法二 由于l ⊥l 3，故l 是直线系5x ＋3y ＋C ＝0中的一条，而l 过l 1、l 2的交点(－1,2)， 故5×(－1)＋3×2＋C ＝0，由此求出C ＝－1， 故l 的方程为5x ＋3y －1＝0.
法三 由于l 过l 1、l 2的交点，故l 是直线系3x ＋2y －1＋λ(5x ＋2y ＋1)＝0中的一条， 将其整理，得(3＋5λ)x ＋(2＋2λ)y ＋(－1＋λ)＝0， 其斜率－3＋5λ2＋2λ＝－53，解得λ＝15
，
代入直线系方程即得l 的方程为5x ＋3y －1＝0.
(2)①若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝2满足条件． 若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0. 由已知，得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝3
4.
此时l 的方程为3x －4y －10＝0.
综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.
②作图可得过P 点与原点O 距离最大的直线是过P 点且与PO 垂直的直线，如图． 由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1， 所以k l ＝－
1
k OP
＝2.
由点斜式得y ＋1＝2(x －2)，2x －y －5＝0.
∴直线2x －y －5＝0是过P 点且与原点O 距离最大的直线，最大距离为|－5|
5＝ 5.
规律方法2 求点到直线距离的最值问题的方法：直接利用点到直线的距离公式
建立距离关于斜率k 的代数关系式求解；
从几何中位置关系的角度，利用几何关系求
解.在解决解析几何问题时，要善于发现其中包含的几何关系，充分利用几何性质进行求解. 考点二、 对称问题
例2 光线由点P (－1,3)射出，遇直线l ：x ＋y ＋1＝0反射，反射光线经过点Q (4，－2)，求入射光线与反射光线所在的直线方程．
解答 设P (－1,3)关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点为P ′(x 1，y 1)，点Q (4，－2)关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点为Q ′(x 2，y 2)．
∴⎩⎪⎨⎪⎧
y 1－3
x 1＋1－＝－1x 1
－12＋y 1
＋32＋1＝0
⇒⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 1＝－4，
y 1＝0，
所以P ′(－4,0)．同理有Q ′(1，－5)．这样，反射光线所在直线为P ′Q ，斜率k 1＝－2－04－－＝－1
4
.
直线方程为x ＋4y ＋4＝0.
入射光线所在直线为PQ ′，斜率k 2＝－5－3
1－－
＝－4，直线方程为4x ＋y ＋1＝0.
∴入射光线直线方程为4x＋y＋1＝0，反射光线直线方程为x＋4y＋4＝0.
备考策略：1.求点到直线距离的最值问题的方法：直接利用点到直线的距离公式建立距离关于斜率k的代数关系式求解；从几何中位置关系的角度，利用几何关系求解.在解决解析几何问题时，要善于发现其中包含的几何关系，充分利用几何性质进行求解.
2.（1）
两点关于点对称，两点关于直线对称的常见结论有：
点x，y关于x轴、y轴、直线x－y＝0、直线x＋y＝0及原点的对称点分别为x，－y、－x，y、y，x、－y，－x和－x，－y。