安徽省合肥市巢湖市柘皋中学2016-2017学年高一(下)期中数学试卷(解析版)

2016-2017学年安徽省合肥市巢湖市柘皋中学高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1．在△ABC中，一定成立的等式是（）A．asinA=bsinB B．acosA=bcosB C．asinB=bsinA D．acosB=bcosA2．等差数列{a n}中，a4+a5+a6=36，则a1+a9=（）A．12 B．18 C．24 D．363．在△ABC中，a=3，b=3，A=，则C=（）A．B．C．D．4．已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3a9=2a52，a2=2，则a1=（）A．B．C．D．2=λa n﹣1（n∈N*，λ∈R且λ≠0），若数列{a n﹣1}是等比数5．数列{a n}满足：a n+1列，则λ的值等于（）A．1 B．﹣1 C．D．26．已知a＜0，﹣1＜b＜0，那么（）A．a＞ab＞ab2B．ab2＞ab＞a C．ab＞a＞ab2D．ab＞ab2＞a7．若a，b都是正数，则的最小值为（）A．7 B．8 C．9 D．108．在△ABC中，若a=7，b=3，c=8，则其面积等于（）A．12 B．C．28 D．9．已知变量x、y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值是（）A．﹣ B．4 C．﹣4 D．﹣810．若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（）A．B．2 C．2 D．411．设a＞1，b＞0，若a+b=2，则的最小值为（）A．3+2B．6 C．4 D．12．数列{a n}的前n项和为S n，若a n=，则S5等于（）A．1 B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=3：5：7，则此三角形的最大内角等于．14．S n为等差数列a n的前n项和，S2=S6，a4=1则a5=．15．不等式≥2的解集是．16．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S12=21，则a2+a5+a8+a11=．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17．已知不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为A，不等式x2+x﹣6＜0的解集为B．（1）求A∩B；（2）若不等式x2+ax+b＜0的解集为A∩B，求不等式ax2+x+b＜0的解集．18．三角形ABC中，BC=7，AB=3，且．（Ⅰ）求AC；（Ⅱ）求∠A．19．已知{a n}，是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣6x+8=0的根．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．20．△ABC中，A、B、C的对边分别为a，b，c，面积为S，满足S=（a2+b2﹣c2）．（1）求C的值；（2）若a+b=4，求周长的范围与面积S的最大值．21．设数列{a n}的前n项和S n满足：S n=n2，等比数列{b n}满足：b2=2，b5=16（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n b n}的前n项和T n．22．已知数列{a n}满足a1=1，a n=（n∈N*，n≥2），数列{b n}满足关系式b n=（n∈N*）．（1）求证：数列{b n}为等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式．2016-2017学年安徽省合肥市巢湖市柘皋中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1．在△ABC中，一定成立的等式是（）A．asinA=bsinB B．acosA=bcosB C．asinB=bsinA D．acosB=bcosA【考点】HP：正弦定理．【分析】根据正弦定理表示出a，b，sinA及sinB的关系式，变形后即可得到答案C一定正确．【解答】解：根据正弦定理得：=，即asinB=bsinA．故选C2．等差数列{a n}中，a4+a5+a6=36，则a1+a9=（）A．12 B．18 C．24 D．36【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．【分析】根据等差数列{a n}中，当p+q=2m时，a p+a q=2a m，即可算出正确的结论．【解答】解：在等差数列{a n}中，∵a4+a5+a6=3a5=36，∴a5=12；∴a1+a9=2a5=24．故选：C．3．在△ABC中，a=3，b=3，A=，则C=（）A．B．C．D．【考点】HP：正弦定理．【分析】由已知利用正弦定理可求sinB，结合大边对大角可得角B，利用三角形内角和定理可求C的值．【解答】解：在△ABC中，∵a=3，b=3，A=，∴sinB===，∵b＜a，可得：B=，∴C=π﹣A﹣B=．故选：C．4．已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3a9=2a52，a2=2，则a1=（）A．B．C．D．2【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】设公比为q＞0，由题意可得=2，a1q=2，由此求得a1的值．【解答】解：设公比为q＞0，由题意可得=2，a1q=2，解得a1==q，故选C．=λa n﹣1（n∈N*，λ∈R且λ≠0），若数列{a n﹣1}是等比数5．数列{a n}满足：a n+1列，则λ的值等于（）A．1 B．﹣1 C．D．2【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】把已知数列递推式变形，由数列{a n﹣1}是等比数列求得λ的值．=λa n﹣1，得．【解答】解：由a n+1由于数列{a n﹣1}是等比数列，∴，得λ=2，故选：D．6．已知a＜0，﹣1＜b＜0，那么（）A．a＞ab＞ab2B．ab2＞ab＞a C．ab＞a＞ab2D．ab＞ab2＞a【考点】71：不等关系与不等式．【分析】根据题意，先确定最大的数ab＞0，再确定最小的数a，从而得出正确的结论．【解答】解：∵a＜0，﹣1＜b＜0时，∴ab＞0，1＞b2＞0，∴0＞ab2＞a，∴ab＞ab2＞a．故选：D．7．若a，b都是正数，则的最小值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【考点】7F：基本不等式．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a，b都是正数，则=5++≥5+2=9，当且仅当b=2a＞0时取等号．故选：C．8．在△ABC中，若a=7，b=3，c=8，则其面积等于（）A．12 B．C．28 D．【考点】HX：解三角形；HQ：正弦定理的应用；HR：余弦定理．【分析】已知三条边长利用余弦定理求得cosC=，再利用同角三角函数的基本关系求得sinC=，代入△ABC的面积公式进行运算．【解答】解：在△ABC中，若三边长分别为a=7，b=3，c=8，由余弦定理可得64=49+9﹣2×7×3 cosC，∴cosC=，∴sinC=，==，∴S△ABC故选D．9．已知变量x、y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值是（）A．﹣ B．4 C．﹣4 D．﹣8【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（﹣2，2），化目标函数z=x﹣3y为，由图可知，当直线过A（﹣2，2）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣2﹣3×2=﹣8．故选：D．10．若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（）A．B．2 C．2 D．4【考点】7F ：基本不等式．【分析】由+=，可判断a ＞0，b ＞0，然后利用基础不等式即可求解ab 的最小值【解答】解：∵ +=，∴a ＞0，b ＞0，∵（当且仅当b=2a 时取等号），∴，解可得，ab ，即ab 的最小值为2，故选：C ．11．设a ＞1，b ＞0，若a +b=2，则的最小值为（ ）A ．3+2B ．6C ．4D ．【考点】7F ：基本不等式．【分析】变形利用基本不等式即可得出． 【解答】解：∵a ＞1，b ＞0，a +b=2， ∴a ﹣1＞0，a ﹣1+b=1．∴==3+=3+2．当且仅当b=（a ﹣1），a +b=2，即a=，b=2﹣时取等号．∴的最小值为．故选：A ．12．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n =，则S 5等于（ ）A ．1B ．C ．D ．【考点】8E ：数列的求和．【分析】利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：∵，∴…+==．∴．故选B．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=3：5：7，则此三角形的最大内角等于．【考点】HR：余弦定理．【分析】根据正弦定理化简已知的比例式，得到三边之比，然后设出三角形的三边长，利用大边对大角找出最大角，根据余弦定理表示出最大角的余弦值，把三边长代入即可求出余弦值，由三角形内角的范围，根据特殊角的三角函数值即可求出最大角的度数．【解答】解：由sinA：sinB：sinC=3：5：7，根据正弦定理==得：a：b：c=3：5：7，设a=3k，b=5k，c=7k，显然C为最大角，根据余弦定理得：cosC===﹣，由C∈（0，π），得到C=．故答案为：14．S n为等差数列a n的前n项和，S2=S6，a4=1则a5=﹣1．【考点】8F：等差数列的性质．【分析】由S2=S6，a4=1，先求出首项和公差，然后再求a5的值．【解答】解：由题设知，∴a1=7，d=﹣2，a5=7+4×（﹣2）=﹣1．故答案为：﹣1．15．不等式≥2的解集是[，1）∪（1，3] ．【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】注意到分母恒大于或等于0，直接转化为整式不等式求解，注意x≠1【解答】解：⇔x+5≥2（x﹣1）2且x≠1⇔2x2﹣5x﹣3≤0且x≠1⇔[，1）∪（1，3]故答案为：[，1）∪（1，3]16．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S12=21，则a2+a5+a8+a11=7．【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】由s12解得a1+a12，再由等差数列的性质得出结果．【解答】解：由题意得，故答案是7三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17．已知不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为A，不等式x2+x﹣6＜0的解集为B．（1）求A∩B；（2）若不等式x2+ax+b＜0的解集为A∩B，求不等式ax2+x+b＜0的解集．【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】（1）由一元二次不等式的解法分别求出集合A，B，再利用集合的交集即可求出；（2）由一元二次方程的实数根与不等式的解集的关系及判别式与解集的关系即可求出．【解答】解：（1）由不等式x2﹣2x﹣3＜0，解得﹣1＜x＜3，∴A=（﹣1，3）；由不等式x2+x﹣6＜0，解得﹣3＜x＜2，∴B=（﹣3，2）．∴A∩B=（﹣1，2）．（2）由不等式x2+ax+b＜0的解集为A∩B=（﹣1，2），∴解得∴不等式﹣x2+x﹣2＜0可化为x2﹣x+2＞0，∵△=1﹣4×2=﹣7＜0，∴x2﹣x+2＞0的解集为R．18．三角形ABC中，BC=7，AB=3，且．（Ⅰ）求AC；（Ⅱ）求∠A．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理，根据正弦值之比得到对应的边之比，把AB的值代入比例式即可求出AC的值；（Ⅱ）利用余弦定理表示出cosA，把BC，AB及求出的AC的值代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．【解答】解：（Ⅰ）由AB=3，根据正弦定理得：（Ⅱ）由余弦定理得：，所以∠A=120°．19．已知{a n}，是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣6x+8=0的根．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．【考点】8E：数列的求和．【分析】（Ⅰ）由题意列式求出a2，a4，代入等差数列的通项公式求得公差，再代入等差数列的通项公式得答案；（Ⅱ）把等差数列的通项公式代入数列{}，然后由错位相减法求其和．【解答】解：（Ⅰ）在递增等差数列{a n}中，∵a2，a4是方程x2﹣6x+8=0的根，则，解得．∴d=．∴a n=a2+（n﹣2）×d=2+n﹣2=n；（Ⅱ）∵=，∴{}的前n项和：①，②，①﹣②得：=1+．∴．20．△ABC中，A、B、C的对边分别为a，b，c，面积为S，满足S=（a2+b2﹣c2）．（1）求C的值；（2）若a+b=4，求周长的范围与面积S的最大值．【考点】HS：余弦定理的应用．【分析】（1）运用三角形的面积公式和余弦定理，结合同角的商数关系，特殊角的三角函数值，可得角C；（2）运用余弦定理和基本不等式，以及三角形的面积公式，可得最大值．【解答】解：（1）∵S=absinC，cosC=，即a2+b2﹣c2=2abcosC，∴S=（a2+b2﹣c2）变形得：absinC=×2abcosC，整理得：tanC=，又0＜C＜π，则C=；（2）a2+b2﹣c2=2abcosC，可得c2=（a+b）2﹣3ab=16﹣3ab，由a+b=4≥2（当且仅当a=b取等号），即有0＜ab≤4，则c∈[2，4），则周长的范围是[6，8）；△ABC的面积为S=absinC=ab≤，当且仅当a=b=2，取得最大值．21．设数列{a n}的前n项和S n满足：S n=n2，等比数列{b n}满足：b2=2，b5=16（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n b n}的前n项和T n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）由数列的通项和前n项和的关系，可得an的通项，由等比数列的通项可得；（2）由错位相减法，可得数列{a n b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）{a n}的前n项和S n满足：S n=n2，=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1，n=1时，a1=S1=1，n＞1时，a n=S n﹣S n﹣1n=1也成立．故a n=2n﹣1，等比数列{b n}满足：b2=2，b5=16，q3==8，解得q=2．则有b n=b2q n﹣2=2n﹣1；（2）前n项和T n=1•1+3•2+5•4+7•8+…+（2n﹣1）•2n﹣1，2T n=1•2+3•4+5•8+7•16+…+（2n﹣1）•2n，两式相减．得﹣T n=1+2•2+2•4+2•8+2•16+…+2•2n﹣1﹣（2n﹣1）•2n，即有﹣T n=1+﹣（2n﹣1）•2n，则有．22．已知数列{a n}满足a1=1，a n=（n∈N*，n≥2），数列{b n}满足关系式b n=（n∈N*）．（1）求证：数列{b n}为等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式．【考点】8H：数列递推式；8C：等差关系的确定．【分析】（1）通过对a n=（n∈N*，n≥2）两边同时取倒数、整理得=2+，进而可知数列{b n}是以1为首项、2为公差的等差数列；（2）通过（1）可知b n=2n﹣1，进而求倒数可得结论．【解答】（1）证明：∵a n=（n∈N*，n≥2），∴==2+，即b n=2+b n﹣1（n≥2），又∵a1=1，∴b1=1，∴数列{b n}是以1为首项、2为公差的等差数列；（2）解：由（1）可知b n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∴数列{a n}的通项公式a n=．2017年6月28日。