1.复数的概念、复数的四则运算
复数的运算
回顾总结
1.复数的四则运算； 2.复数运算的乘方形式； 3.共轭复数的相关运算性质； 4.复数运算中的常用结论。
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复数的定义与四则运算法则
复数的定义与四则运算法则复数是数学中的一种特殊数形式，由实部和虚部组成。
实部通常用实数表示，而虚部通常以虚数单位 i 表示。
复数的一般表示形式为 a + bi，其中 a 表示实部，b 表示虚部。
一、复数的定义复数的定义是通过引入虚数单位 i 而获得的。
虚数单位 i 的定义是i^2 = -1。
根据这个定义，我们可以得出两个重要的结论：i 的平方等于-1，而 -1 的平方根是 i。
二、虚数与实数虚数是指虚部不为零的复数。
当虚部 b 不为零时，复数 a + bi 称为虚数。
实部为零，即虚部 b 不为零时，复数 a + bi 称为纯虚数。
与实数不同的是，虚数和纯虚数在实轴上没有对应的点。
三、四则运算法则1. 加法法则：复数的加法满足交换律和结合律。
对于两个复数 a + bi 和 c + di，它们的和为 (a + c) + (b + d)i。
2. 减法法则：复数的减法也满足交换律和结合律。
对于两个复数 a + bi 和 c + di，它们的差为 (a - c) + (b - d)i。
3. 乘法法则：复数的乘法满足交换律、结合律和分配律。
对于两个复数 a + bi 和 c + di，它们的乘积为 (ac - bd) + (ad + bc)i。
4. 除法法则：复数的除法也满足交换律、结合律和分配律。
对于两个复数 a + bi 和 c + di（其中 c + di 不等于 0），它们的商为 [(ac + bd)/(c^2 + d^2)] + [(bc - ad)/(c^2 + d^2)]i。
四、共轭复数对于复数 a + bi，其中 a 表示实部，b 表示虚部。
那么复数 a - bi 称为其共轭复数。
共轭复数的一个重要性质是，两个复数的乘积的虚部为零。
五、复数的绝对值复数 a + bi 的绝对值等于它的模长，记作 |a + bi|，定义为 |a + bi| = √(a^2 + b^2)。
复数的模长是一个非负实数。
复变函数第1章
于是
z1z2 r1 r2 z1 z2 ,
Arg(z1z2 ) Argz1 Argz2. 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两 个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.
应该注意的是 Arg(z1z2 ) Argz1 Argz2 中的 加法是集合的加法运算：即将两个集合中所有的
元素相加构成的集合
(3 4) (4 3)i 7 1 i.
2
22
z1 7 1 i. z2 2 2
例 1.2 i1 i, i2 1, i3 i i2 i, i4 i 2 i 2 1, ……
i 4n 1, i4n1 i, i4n2 1, i4n3 i, i4n4 1.
例1.3 设z1, z2是两个复数, 证明
z1 z1 , z2 z2
Arg
z1 z2
Argz1
Argz2
.
两个复数商的模等于它们模的商差.
对给定的复数z, 方程wn=z的解w称为z的n次
方根, 记做
n
z
或
1
zn.
如果
z r(cosq i sinq ), w (cos i sin ),
y .
x
利用直角坐标与极坐标之间的关系
x r cosq , y r sinq ,
复数z=x+yi 可表示为 z r(cosq i sinq ), 称为复
数z的三角表示式. 再利用Euler公式
eiq cosq i sinq ,
复数z=x+yi 又可表示为 z reiq , 称为复数的
指数表示式, 其中r=|z|, q=Argz.
z1 z2 z1z2 2 Re z1 z2 .
证明 因为
z1 z2 z1 z2 z1z2 , 所以由运算规律7，有
复变函数-复数的概念与定义
乘积的几何意义 :
y
z1 z2
1 2
z2
1
2Leabharlann z1x商:
z2 r2e i 2 r2 i ( 2 1 ) e i 1 z1 r1e r1
2. 乘幂与方根
n 个相同复数 z 的乘积 , 称为z 的 n 次幂, 记为z n
n z n z z ...z
2 i 2i ( 2 i )( i ) 2i (1 i ) 解: z i 1 i i (i ) (1 i )(1 i )
2i (1 i ) 2i 1 2 i 1 i 1 2 3 i 2
所以 Re z 2,
Im z 3
设 z1 , z2 , z3 , z C , 则有
(1) 交换律: z1 z2 z2 z1 , z1 z2 z2 z1
(2) 结合律: z1 z2 z3 z1 z2 z3 , ( z1 z2 )z3 z1 ( z2 z3 )
(3) 分配律: z1 z2 z3 z1 z2 z1 z3
5
3
z 的方根:
当 z 0 时， 若满足 wn z，则称 w 为 z 的 n 次方根， 记为 w n z
令 w e 有
i
ne in re i
于是 n r , n 2k (k 0,1,2,)
n r, 2k
n , ( k 0,1,2,)
x1 x2 y1 y2 i x1 y2 x2 y1
3. 商
z1 （x1 iy1 ) z z2 x2 iy2
( z2 0)
x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 i 2 2 2 2 x 2 y2 x 2 y2
复数的概念及运算-知识点+例题-全面分类
[例2] 设复数z 满足)1)(23(i i iz -+=-，则.______=z i 51+[巩固1] 复数i i a 212+-是纯虚数，则实数a 的值为________.4[巩固2] 如果)(112R m mi i ∈+=-，那么._____=m 1[例3] 已知i z 34+-=，则._______2=-z i 36+[巩固1] 已知复数i z 211+=，i z 322-=，则21z z +的共轭复数是___________.i +3[巩固2] 已知i 是虚数单位，R n m ∈，，且ni i m -=+22，则ni m ni m -+的共轭复数为_________.i[例4] 计算：（1）3)2)(1(ii i ++-（2）22)1(1)1(1i i i i -+++-[巩固] 计算：（1）)1()2()23(i i i +---++；（2）)2)(1(2013i i i -+⋅；（3）ii 4321-+1．复平面：我们把建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.2．复数的模：22b a bi a z +=+=3．bi a z +=1，di c z +=2，则2221)()(d b c a z z -+-=- 两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.[例1] 已知复数i i z -+=12，则._____=z 210[巩固1] 复数)0(21<+=a iai z ，其中i 为虚数单位， 5=z ，则a 的值为__________.-5[巩固2] 若2=z ，求i z 43-+取最大值时的.______=z i 5856-[例2] 复数)(23)1(2R a i a a i z ∈++--=（1）若z z =，求z ；（2）若在复平面内复数z 对应的点在第一象限，求a 的范围. 知识模块3复数的模精典例题透析[巩固] 已知z 为复数，i z 2+为实数，且z i )21(-为纯虚数，其中i 为虚数单位.（1）求复数z ；（2）若复数z 满足1=-z w ，求w 的最小值.题型一：复数的概念[例]（1）已知a ∈R ，复数z 1＝2＋a i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2为纯虚数，则复数z 1z 2的虚部为_______. （2）若z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i(m ∈R )，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的_________条件.（填充分不必要，必要不充分，充要或既不充分也不必要）答案 (1) 1 (2) 充分不必要条件解析 (1)由z 1z 2＝2＋a i 1－2i ＝(2＋a i )(1＋2i )5＝2－2a 5＋4＋a 5i 是纯虚数，得a ＝1，此时z 1z 2＝i ，其虚部为1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＋1＝3，m 2＋m －4＝－2，解得m ＝－2或m ＝1， 所以“m ＝1”是“z 1＝z 2”的充分不必要条件．[巩固]（1）设i 是虚数单位．若复数a －103－i(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为__________. （2）已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的____________条件. （填充分不必要，知识模块4经典题型必要不充分，充要或既不充分也不必要）答案 (1) 3 (2) 既不充分也不必要条件解析 (1)a －103－i＝a －(3＋i)＝(a －3)－i ，由a ∈R ， 且a －103－i为纯虚数知a ＝3. (2)当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ；当(a ＋b i)2＝2i 时，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，ab ＝1， 解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的充分不必要条件．题型二：复数的运算[例] 计算：（1）3(1＋i )2i －1＝________； （2）(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i＝________. 答案 (1)3－3i (2)－1＋i解析 (1)3(1＋i )2i －1＝3×2i i －1＝6i i －1＝－6i (i ＋1)2＝－3i(i ＋1)＝3－3i. (2)原式＝[(1＋i )22]6＋(2＋3i )(3＋2i )(3)2＋(2)2＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i. [巩固]（1）已知复数z 满足(3＋4i)z ＝25，则z 等于_________.（2）复数⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2＝________. 答案 (1) 3－4i (2)－1解析 (1)方法一 由(3＋4i)z ＝25，得z ＝253＋4i ＝25(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝3－4i. 方法二 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(3＋4i)(a ＋b i)＝25，即3a －4b ＋(4a ＋3b )i ＝25，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －4b ＝25，4a ＋3b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－4，故z ＝3－4i. (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2＝1＋i 2＋2i 1＋i 2－2i ＝i －i＝－1.题型三：复数的几何意义[例] 如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：（1）AO →、BC →所表示的复数；（2）对角线CA →所表示的复数；（3）B 点对应的复数．解 (1)AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i.∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i.(2)CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，即B 点对应的复数为1＋6i.[巩固]（1）在复平面内复数Z ＝i(1－2i)对应的点位于第_____象限.答案 一解析 ∵复数Z ＝i(1－2i)＝2＋i ，∵复数Z 的实部2>0，虚部1>0，∴复数Z 在复平面内对应的点位于第一象限．（2）已知z 是复数，z ＋2i 、z 2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解 设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.∵z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ， 由题意得x ＝4.∴z ＝4－2i.∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0， 解得2<a <6，∴实数a 的取值范围是(2,6)．1．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为___________.答案 －1解析 由复数z 为纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，解得x ＝－1，故选A. 2．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数是__________.答案 －3－4i解析 因为CA →＝CB →＋BA →＝－1－3i ＋(－2－i)＝－3－4i.3．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z 1＋i的点是______点. 夯实基础训练。
复数的四则运算
(z1z2)n=z1nz2n.
【探究】 i 的指数变化规律
i i , i 1 , i i , i 1
1 2 3 4
i , i __ i __ __ __ i , i 1 , i 1
5 6 7 8
你能发现规律吗？有怎样的规律？ 4 n 1 4n i i , i 1,
例4、下列命题中的真命题 为： D ( A )若Z1 Z 2 0, 则Z1与Z 2互为共轭复数。 (B )若Z1 Z 2 0, 则Z1与Z 2互为共轭复数。 (C)若Z1 Z 2 0, 则Z1与Z 2互为共轭复数。 ( D)若Z1 Z 2 0, 则Z1与Z 2互为共轭复数。
四、例题应用：
例1.计算 (5 6i) (2 i) (3 4i)
解: (5 6 i ) ( 2 i ) (3 4 i )
(5 2 3) (6 1 4) i 11i
（ 1 ） (a bi)(a bi) 例2：计算
a abi abi b i
2
t 1， tan 1， 45 .
o
x1 1，x2 2 i.
五、课堂小结： 1、定义: 把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的 复 数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数 c+di 的商, 其中a,b,c,d,x,y都是实数,
目标: 分母实数化;
手段:
z z R.
三、知识新授：
复数的除法应怎样进行呢? 注意到,实数的除法运算是乘法的逆运算,类 比思考,我们可定义复数的除法:
定义: 把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的 复 数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数 c+di 的商, 其中a,b,c,d,x,y都是实数,
第四节 复数的概念及其运算(知识梳理)
第四节复数的概念及其运算复习目标学法指导1.理解复数的基本概念,理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.掌握复数代数形式的四则运算.4.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 理解复数的有关概念是基础,解决复数问题的基本思路是把复数问题实数化.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项,乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化,因此要用类比的思想学习复数的运算问题.一、复数的有关概念1.复数的定义形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中实部是a,虚部是b(i是虚数单位).2.复数的分类复数z=a+bi(a,b∈R)()()()()=0=0baba⎧⎪⎪⎧⎨⎪≠⎨⎪≠⎪⎪⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数3.复数相等a+bi=c+di⇔a=c且b=d(a,b,c,d∈R).4.共轭复数a+bi与c+di互为共轭复数⇔a=c且b=-d(a,b,c,d∈R).5.复数的模向量OZ u u u r的模叫做复数z=a+bi的模,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=r=22a b+(r≥0,r,a,b∈R).二、复数的几何意义1.复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.2.实轴、虚轴在复平面内,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴,实轴上的点都表示实数;除原点以外,虚轴上的点都表示纯虚数.3.复数的几何表示复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)平面向量OZ u u u r.三、复数的运算1.复数的加、减、乘、除运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则(1)加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;(2)减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;(3)乘法:z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;(4)除法:12z z =i i a b c d ++=()()()()i i i i a b c d c d c d +-+-=22ac bd c d +++ 22bc adc d-+i(c+di ≠0). 2.复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z 1,z 2,z 3∈C,有z 1+z 2=z 2+z 1,(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3). 四、与复数运算有关的结论 1.(1±i)2=±2i.2.1i 1i +-=i,1i 1i-+=-i. 3.(a+bi)(a-bi)=a 2+b 2. 4.(a ±bi)2=a 2-b 2±2abi. 5.i i a b +=b-ai.概念理解(1)复数的代数形式z=a+bi(a,b ∈R),虚部是b 而不是bi,即实部和虚部都是实数.(2)一个复数若为纯虚数,则既要满足实数a=0,又要满足虚部b ≠0,两个条件缺一不可.(3)两个复数一般不能比较大小,只能说相等或不相等. (4)两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别相等. (5)虚轴上的点除原点外都表示纯虚数.(6)复平面内表示复数z=a+bi 的点Z 的坐标为(a,b),而不是(a,bi). 五、复数的模 1.复数的模的相关结论设z 1,z 2是任意两个复数, (1)|z 1·z 2|=|z 1|·|z 2|,|12z z |=12z z (|z 2|≠0).(2)|1n z |=|z 1|n (n ∈N *).(3)||z 1|-|z 2||≤|z 1+z 2|≤|z 1|+|z 2|,等号成立的条件是①当|z 1+z 2|=|z 1|+|z 2|时,即z 1,z 2所对应的向量同向共线;②当||z 1|-|z 2||=|z 1+z 2|时,即z 1,z 2所对应的向量反向共线.(4)||z 1|-|z 2||≤|z 1-z 2|≤|z 1|+|z 2|,等号成立的条件是①当|z 1-z 2|=|z 1|+|z 2|时,即z 1,z 2所对应的向量反向共线;②||z 1|-|z 2||=|z 1-z 2|时,即z 1,z 2所对应的向量同向共线. 2.复数的模的几何意义(1)复数z=a+bi,则|z|表示在复平面所对应的点Z(a,b)到原点的 距离.(2)若复数z=a+bi,z 0=a 0+b 0i,则|z-z 0|表示复平面内两点(a,b)与(a 0,b 0)间的距离,即两个复数差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.六、与复数概念有关的结论1.实数集R 与虚数集都是复数集的真子集且互为补集,即R ∪{虚数}=C,R ∩{虚数}= .2.z=a+bi=0⇔a=b=0.3.复数能比较大小的充要条件是复数为实数.4.i 2=-1.5.i 4n =1,i 4n+1=i,i 4n+2=-1,i 4n+3=-i,i 4n +i 4n+1+i 4n+2+i 4n+3=0.6.共轭复数的性质设z=a+bi,z=a-bi(a,b∈R),则(1)z+z=2a,z-z=2bi;(2)z=z;(3)|z|=|z|=22+,z·z=a2+b2=|z|2=|z|2;a b(4)z∈R⇔z=z;(5)z与z在复平面内所对应的点关于实轴对称.1.(2019·全国Ⅱ卷)设z=i(2+i),则z等于( D )(A)1+2i (B)-1+2i(C)1-2i (D)-1-2i解析:z=i(2+i)=2i+i2=-1+2i,所以z=-1-2i,故选D.2.已知i为虚数单位,复数z1=a+i,z2=2-i,且|z1|=|z2|,则实数a的值为( C )(A)2 (B)-2 (C)2或-2 (D)±2或0解析:21a+41+,则a=±2.故选C.3.(2018·杭州高级中学月考)已知方程x2+(4+i)x+4+ai=0(a∈R)有实根b,且z=a+bi,则复数z的共轭复数为( B )(A)2-2i (B)2+2i(C)-2+2i (D)-2-2i解析:方程x2+(4+i)x+4+ai=0(a∈R)可化为x2+4x+4+i(x+a)=0,由复数相等的意义得2440,0,x x x a ⎧++=⎨+=⎩解得x=-2,a=2,方程x 2+(4+i)x+4+ai=0(a ∈R)有实根b,故b=-2, 所以复数z=2-2i,所以复数z 的共轭复数为2+2i. 故选B.4.(2019·杭州市第二学期高三教学质量检测)已知复数z=1+i(i 是虚数单位),则211z z -+等于( A )(A)i (B)-i (C)1+i(D)1-i解析:211z z -+= 12i 2i -++=(12i)(2i)5-+-=5i5=i.故选A.考点一 复数的概念及分类 [例1] 复数z=(m 2+m-6)i+27123mm m -++为纯虚数,则实数m 的值为( )(A)2 (B)-3 (C)4 (D)3或4解析:由227120,30,60,m m m m m ⎧-+=⎪+≠⎨⎪+-≠⎩得m=3或m=4.故选D.处理有关复数的基本概念问题,关键找准复数的实部和虚部,把复数问题转化为实数问题来解决.1.若复数m(m-2)+(m 2-3m+2)i 是纯虚数,则实数m 的值为( C ) (A)0或2 (B)2 (C)0 (D)1或2 解析:因为m(m-2)+(m 2-3m+2)i 是纯虚数,则()220,320,m m m m ⎧-=⎪⎨-+≠⎪⎩解得m=0.故选C. 2.复数z=(3-2i)i 的共轭复数z 等于( C )(A)-2-3i (B)-2+3i (C)2-3i (D)2+3i 解析:因为z=(3-2i)i=2+3i, 所以z =2-3i.故选C. 考点二 复数的几何意义[例2] (1)(2019·全国Ⅱ卷)设z=-3+2i,则在复平面内z 对应的点位于( )(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 (2)若复数z 满足z=()2i2i -- (i 是虚数单位),则在复平面内,z 对应的点的坐标是( )(A)(425,325) (B)(-425,325) (C)(425,-325) (D)(-425,-325)解析:(1)由z=-3+2i,得z =-3-2i,对应点(-3,-2)位于第三象限.故 选C. 解析: (2)z=()2i2i --=i 44i 1+-=i 34i +=()i 34i 25-=425+325i, 所以在复平面内,z 对应的点的坐标是(425,325).故选A.判断复数所在平面内的点的位置的方法:首先将复数化成a+bi(a,b ∈R)的形式,其次根据实部a 和虚部b 的符号来确定点所在的象限及坐标.1.在复平面中,复数1-3i,(1+i)(2-i)对应的点分别为A,B,则线段AB 的中点C 对应的复数为( D )(A)-4+2i (B)4-2i (C)-2+i (D)2-i解析:(1+i)(2-i)=3+i,所以A,B 的坐标分别为(1,-3)和(3,1),所以线段AB 的中点C 的坐标为(2,-1),所以线段AB 的中点C 对应的复数为2-i,故选D.2.(2019·宁波高三上期末考试题)设i 为虚数单位,给定复数z=2(1i)1i-+,则z 的虚部为 ,模为 .解析:z=2(1i)1i-+=2i 1i -+=2i(1i)2--=-1-i, 故z 的虚部为-1,模为2.答案:-123.若复数z 满足|z-3i|=5,求|z+2|的最大值和最小值.解:由复数模的几何意义可知,|z-3i|=5表示以(0,3)为圆心,以5为半径的圆上的点.则|z+2|表示该圆上点到点(-2,0)的距离,由图可知,|z+2|的最大值为5+13,最小值为5-13.考点三 复数代数形式的运算[例3] (1)i 是虚数单位,复数7i34i ++等于( )(A)1-i (B)-1+i(C)1725+3125i (D)-177+257i (2)若复数z 满足(3-4i)z=|4+3i|,则z 的虚部为( )(A)-4 (B)-45 (C)4 (D)45解析:(1)复数7i 34i ++=()()()()7i 34i 34i 34i +-+-=2525i 25-=1-i.故选A.解析:(2)z=43i 34i +-=534i- =()()()534i 34i 34i +-+=()534i 25++=35+45i,所以复数z 的虚部是45,故选D.(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算;复数除法运算的关键是分子、分母同乘以分母的共轭复数转化为复数的乘法运算,注意要把i 的幂化成最简形式.(2)将所求复数z 分离出来,利用复数运算法则求解.1.已知z=1i 1i+-,其中i 是虚数单位,则z+z 2+z 3+…+z 2 017的值为( C ) (A)1+i (B)1-i (C)i (D)-i解析:由于z=1i 1i+-=i, 所以z+z 2+z 3+…+z 2 017=504(i+i 2+i 3+i 4)+i=i, 故选C.2.已知复数z 1满足(z 1-2)(1+i)=1-i(i 为虚数单位),复数z 2的虚部为2,z 1·z 2是实数,求z 2.解:由(z 1-2)(1+i)=1-i ⇒z 1=2-i, 设z 2=a+2i(a ∈R),则z 1·z 2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i, 因为z 1·z 2是实数,所以a=4⇒z 2=4+2i.。
【数学知识点】复数的定义和四则运算公式
【数学知识点】复数的定义和四则运算公式我们把形如z=a+bi(a,b均为实数)的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i 称为虚数单位。
接下来分享复数的定义和四则运算公式。
复数是形如a＋bi的数。
式中a，b为实数，i是一个满足i^2＝－1的数，因为任何实数的平方不等于－1，所以i不是实数，而是实数以外的新的数。
在复数a＋bi中，a称为复数的实部，b称为复数的虚部，i称为虚数单位。
当虚部等于零时，这个复数就是实数；当虚部不等于零时，这个复数称为虚数，虚数的实部如果等于零，则称为纯虚数。
由上可知，复数集包含了实数集，因而是实数集的扩张。
复数常用形式z＝a＋bi叫做代数式。
(1)加法运算设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和：(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i。
(2)乘法运算设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，则：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i。
其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i2=-1，把实部与虚部分别合并。
两个复数的积仍然是一个复数。
(3)除法运算复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商。
运算方法：可以把除法换算成乘法做，将分子分母同时乘上分母的共轭复数，再用乘法运算。
(1)共轭复数所对应的点关于实轴对称。
(2)两个复数：x+yi与x-yi称为共轭复数，它们的实部相等，虚部互为相反数。
(3)在复平面上，表示两个共轭复数的点关于X轴对称。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
复数的基本运算
练习2： 练习2 若 z ∈ C 且 | z + 2 − 2i |= 1，求 | z − 2 − 2i |
的最小值
复数代数形式的四则运算
1.复数加、减法的运算法则： 1.复数加、减法的运算法则： 复数加
已知两复数z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数） (1)加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; (2)减法法则：z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
解：因为 4 − 20i 的共轭复数是 4 + 20i 根据复数相等的定义， ，根据复数相等的定义， 可得 x 2 + x − 2 = 4, x = −3或x = 2 解得 2 x = −3或x = 6 x − 3 x + 2 = 20. 所以 x = −3 ．
课外练习: 课外练习:
思考： ),那么 思考：设z=a+bi (a,b∈R ),那么 z + z = ? 另外有等式: 另外有等式
z −z =?
z1 + z2 = z1 + z2 , z1 − z2 = z1 − z2
我们知道,两个向量的和满足平行四边形 我们知道 两个向量的和满足平行四边形 法则, 复数可以表示平面上的向量， 法则 复数可以表示平面上的向量，那么复数 的加法与向量的加法是否具有一致性呢？ 的加法与向量的加法是否具有一致性呢？ 设z1=a+bi z2=c+di,则z1+z2=(a+c)+(b+d)i 则
即:两个复数相加(减)就是 实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).
注:⑴复数的减法是加法的逆运算； ⑵易知复数的加法满足交换律、结合律, 即对任何 z1,z2,z3∈C, 有 z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). ⑶复数的加减法可类比多项式的加减法进行.
复数的四则运算 高一数学(北师大版2019必修第二册)
ac bd (bc ad )i ac bd bc ad
c2 d2
c2 d2 c2 d2 i
分母实数化
例 11.计算(1 2i) (3 4 i)
解: (1 2i) (3 4i)
复数加减法的运算法则：
(1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di,
那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i;
(1)
z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即: 两个复数相加(减)就是实部与实部，
虚部与虚部分别相加(减).
例1.计算(5 6i) (2 i) (3 4i)
解:
例2.设Z=a+bi(a,bϵR),求 Z Z 与 Z - Z
a(b c) ab ac
那么复数应怎样进行加、减、乘运算呢？你认为应
怎样定义复数的加、减、乘运算呢？运算律仍成立吗？
注意到 i2 1，虚数单位 i 可以和实数进行运 算且运算律仍成立，所以复数的加、减、乘运算我 们已经是自然而然地在进行着，只要把这些零散的 操作整理成法则即可了！
知识新授：
证明：设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，a1，b1，a2，b2∈R， 则z1＋z2＝(a1＋b1i)＋(a2＋b2i)
＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)i， z2＋z1＝(a2＋b2i)＋(a1＋b1i)
＝(a2＋a1)＋(b2＋b1)i， ∵a1＋a2＝a2＋a1，b1＋b2＝b2＋b1， ∴z1＋z2＝z2＋z1.
例9：求一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,cϵR
复习复数的概念及运算
3．复数的几何表示 复数的几何表示就是指用复平面内的点 Z(a，b)来表示复数 z ＝a＋bi，其中复数 z＝a＋bi 中的 z，书写时用小写，复平面内的点 Z(a，b)中的 Z，书写时要大写． 复数集与复平面内所有点所成集合一一对应关系应注意： (1)复数 z＝a＋bi 用复平面内的点 Z(a，b)表示，复平面内的点 Z 的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)，也就是说，复平面内纵坐标(或 虚轴)上的单位长度是 1，而不是 i.由于 i＝0＋1· i，所以用复平面内 的点(0,1)表示 i 时，这点与原点的距离为 1，等于纵轴(或虚轴)上的 单位长度． (2)当 a＝0 时，对任何 b≠0，a＋bi＝0＋bi 是纯虚数，所以纵 轴(或虚轴)上的点(0，b)(b≠0)都表示纯虚数．只有当 a＝b＝0 时， a＋bi 是实数，即纵轴(或虚轴)上的点只有原点表示实数 0. (3)共轭复数与共轭虚数。对于共轭复数，当虚部 b＝0 时，实 数 a 与实数 a 也是共轭复数；当虚部 b≠0 时，a＋bi 与 a－bi 也叫 做共轭虚数．可见，共轭虚数是共轭复数的特殊情形．两共轭复数 在复平面上对应的点关于实轴对称．
＋ ＋ ＋
6． 复数加减法的几何意义 ①复数加法的几何意义 → → → 复数 z1＋ z2 是以OZ1、 OZ2为两邻边的平行四边形对角线OZ所对 应的复数． ②复数减法的几何意义
复数 Z 1－Z2 是连接向量
→ → → OZ1、OZ2的终点，并指向被减数的向量Z2Z1所对应的复数．复 数的加减法与向量的加减法相类似． ③复平面内两点间的距离公式：d＝ |z1－ z2|.其中 z1、z2 是复平面 内的两点 Z1 和 Z2 所对应的复数， d 为点 Z1 和 Z2 之间的距离．
x＝－1－i， 或 y＝－1＋i.
复数的四则运算
复数的四则运算1. 复数简介复数是实数的扩展，由实数和虚数构成。
复数的通用形式为a + bi，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位。
2. 复数的表示在数学中，复数可以用不同的形式表示，包括：•直角坐标形式：用(a, b)表示复数a + bi，其中a是实部，b是虚部。
•极坐标形式：用r(cosθ + isinθ)表示复数a + bi，其中r是模长，θ是辐角。
•指数形式：用re^(iθ)表示复数a + bi，其中r 是模长，θ是辐角。
3. 复数的四则运算法则3.1 加法复数的加法遵循以下法则：•实部相加，虚部相加。
例如，对于复数a + bi和c + di的相加结果为(a + c) + (b + d)i。
3.2 减法复数的减法遵循以下法则：•实部相减，虚部相减。
例如，对于复数a + bi和c + di的相减结果为(a - c) + (b - d)i。
3.3 乘法复数的乘法遵循以下法则：•实部相乘，虚部相乘。
例如，对于复数a + bi和c + di的相乘结果为(ac - bd) + (ad + bc)i。
3.4 除法复数的除法遵循以下法则：1.将除数和被除数都乘以除数的共轭复数的倒数。
2.将乘法的结果进行化简，得到商的实部和虚部。
例如，对于复数a + bi和c + di的除法结果为：(a + bi) / (c + di) = [(ac + bd) + (bc - ad)i]/ (c^2 + d^2)其中，(c^2 + d^2)表示除数的模长的平方。
4. 复数的应用复数在数学和工程领域具有广泛的应用，包括：•信号处理：复数可以用于描述信号的频率和相位。
•电路分析：复数可以用于描述电路中的电流和电压。
•控制系统：复数可以用于描述控制系统的稳定性和动态响应。
5. 总结复数的四则运算是基本的复数运算法则，包括加法、减法、乘法和除法。
复数可以用不同的形式表示，包括直角坐标形式、极坐标形式和指数形式。
复数在数学和工程领域有广泛应用，在信号处理、电路分析和控制系统等方面起着重要的作用。
复数的四则运算
1＋ai 1＋ai 4.将 3 题中的条件“复数 为纯虚数”变为 ＝ 2－i 2－ i i ，求实数 a 的值． 1＋2i
处理有关复数的基本概念问题，关键律，即对任何z1、z2、z3∈C， 有z ＋z ＝ z2＋z1 ，(z ＋z )＋z ＝ z1＋(z2＋z3) ．
1 2 1 2 3
例一．(2011· 湖南高考)若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i ＝b＋i，则 ( )
A．a＝1，b＝1
C．a＝－1，b＝－1
1．复数的概念形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是
它的 实部 和 虚部 ．若 b＝0，则a＋bi为实数；若 b≠0 ，则a＋bi 为虚数；若 a＝0，b≠0 ，则a＋bi为纯虚数． 2．复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c ， b ＝d (a，b，c，d∈R)． 3．共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔ a＝c，b＋d＝0 (a，b，c， d∈R)．
2.[2014·福建] 复数 z＝(3－2i)i 的共轭复数 z 等于( A．－2－3i B．－2＋3i C．2－3i D．2＋3i
)
（1＋i）3 3.[2014·新课标全国卷Ⅰ] ＝( （1－i）2 A ． 1＋ i B．1－i C．－1＋i
)
D．－1－i
4.[2014·江苏卷] 已知复数 z＝(5－2i) (i 为虚数单位)， 则z 的实部为________． 5.[2014· 四 川 卷 ] 已 知 i 是 虚 数 单 位 ， 计 算 ________． 1－i 2＝ （1＋i）
2．(教材习题改编)复数 A. 2 5
高一学习必备知识点
高一学习必备知识点一、数学1. 复数及其运算：复数的概念、复数的表示形式、共轭复数、复数的四则运算等。
2. 二次函数：二次函数的标准式、顶点式和描点式、二次函数的图像、二次函数的性质及其应用等。
3. 线性方程组：线性方程组的解的概念、解的存在唯一性、高斯消元法解线性方程组等。
4. 平面向量：平面向量的概念、向量的加法和减法、数量积和向量积的计算方法及其性质等。
5. 数列与数列的极限：数列的概念、等差数列、等比数列、通项公式、数列的极限等。
二、物理1. 物理量的单位及换算：常用物理量的国际单位制、单位换算等。
2. 运动学与力学：速度、加速度、牛顿运动定律、摩擦力等概念及计算方法。
3. 电学基础：电荷、电流、电压、电阻的概念及其在电路中的运用。
4. 光学基础：光的反射、折射、光的色散等基本概念及定理。
5. 热学基础：温度、热量、热传递等基本概念及计算方法。
三、化学1. 元素周期表：元素周期表的构成及元素周期规律。
2. 化学方程式与化学计算：化学方程式的写法、化学计算方法及常见化学反应。
3. 金属与非金属元素：金属与非金属元素的性质、常见元素的应用等。
4. 酸、碱与盐：酸碱中和反应、常见酸碱盐的性质及应用。
5. 离子反应与电化学：离子反应的基本概念、电解池、电解质溶液等。
四、生物1. 细胞与生物膜：细胞的结构与功能、细胞器官的作用、生物膜的结构与运输过程。
2. 遗传与变异：基因的概念、遗传规律、基因突变的原因及影响。
3. 生物的分类与进化：生物分类的原则、常见生物进化理论。
4. 生态学基础：生态系统的结构、食物链、生物圈的特点及生态平衡的重要性。
5. 新陈代谢与能量转化：新陈代谢的定义、能量在生物体内的转化等。
五、英语1. 语法基础：常见句型、时态、语态、短语动词等。
2. 阅读与理解：阅读技巧、推断与归纳、词汇理解等。
3. 写作技巧：写作结构、句型转换、常用连接词等。
4. 听力训练：听力技巧、听力材料的理解与应用。
复数四则运算
复数四则运算复数是由实数和虚数相结合而成的数，它由实部和虚部构成，它可以表示出一个点在复平面上的位置，复数的书写形式有两种：一种是标准形式，即 a + bi（a 为实部 b 为虚部）；另一种是简写形式，即 z = a + bi。
实数：数就是我们所熟知的数，例如 0,1、2、3、4、5，以及无穷大或无穷小的正负数，它们的定义不仅受正数限制，也受负数制。
虚数：虚数是以“i”开头的单位，其中“i”代表负根号 -1。
虚数一般以 a + bi形式来表示，其中 a 为实部，b 为虚部，虚数的概念只在二元函数的图像中有意义，而不能在三元函数的图像中表示。
二、复数四则运算1、加法复数之间的加法运算，就是把两个复数实部和虚部分别相加，得到新的复数，例如：(3 + 5i) + (2 + 3i) = (3 + 2) + (5 + 3i) = 5 + 8i2、减法复数之间的减法运算，先把第二个复数的实部和虚部分别变成相反数，然后用加法计算出差值，例如：(3 + 5i) - (2 + 3i) = (3 -2) + (5 - 3i) = 1 + 2i3、乘法复数之间的乘法运算，是先将两个复数分别按照一定规则拆分开来，然后用公式乘出其积值，例如：(3 + 5i) (2 + 3i) = 3×2 + 3×3i + 5i×2 + 5i×3i = 6 + 15i - 10i - 15i = 6 - 15i4、除法复数之间的除法运算，首先将分母改写成乘法形式，然后将分子和分母分别按照一定规则拆分开来，最后用公式除出其商值，例如：(3 + 5i)÷ (2 + 3i) = (3 + 5i) (2 - 3i)÷ (2 + 3i) (2 - 3i) =(6 - 15i)÷ (4 - 9i) = (6 - 15i)÷ 13(2 - 3i) = 6/13 + (-15i)/13三、复数的性质1、复数可以与实数进行四则运算（加减乘除），但不能与实数求反元。
复数的计算方法
复数的计算方法摘要：一、复数的概念与分类1.复数的定义2.复数的分类二、复数的四则运算1.加法2.减法3.乘法4.除法三、复数的三角形式1.模2.幅角3.相位四、复数的应用1.复数在电路中的应用2.复数在信号处理中的应用3.复数在其他领域的应用正文：一、复数的概念与分类1.复数的定义复数是指由实数与虚数构成的数，通常表示为a+bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位。
2.复数的分类根据实部和虚部的符号，复数可以分为四类：（1）正实数：实部大于0，虚部大于0，如2+3i。
（2）负实数：实部小于0，虚部大于0，如-2+3i。
（3）正虚数：实部大于0，虚部小于0，如2-3i。
（4）负虚数：实部小于0，虚部小于0，如-2-3i。
二、复数的四则运算1.加法复数的加法遵循实部与实部相加，虚部与虚部相加的原则。
例如：(2+3i) + (1+2i) = (2+1) + (3i+2i) = 3 + 5i。
2.减法复数的减法也是遵循实部与实部相减，虚部与虚部相减的原则。
例如：(2+3i) - (1+2i) = (2-1) + (3i-2i) = 1 + i。
3.乘法复数的乘法运算稍微复杂一些，需要按照实部与实部相乘，虚部与虚部相乘，然后将结果相加。
例如：(2+3i) × (1+2i) = 2×1 + 2×3i + 3i×1 + 3i×2i = 2 + 7i + 3i - 6 = -4 + 10i。
4.除法复数的除法运算需要先将除数取共轭，然后用除数乘以被除数的共轭，最后将结果与被除数相加。
例如：(2+3i) ÷ (1+2i) = (2+3i) × (1-2i) ÷ (1+2i) ×(1-2i) = (2-4i+3i-6) ÷ (1-4i+2i-4) = (-4+i) ÷ (-3+i) = (-4+i)(-3-i) ÷ (-3+i)(-3-i) = (-4×-3 + (-4)×i + i×-3 + i×i) ÷ (9-i) = (12-4i) ÷ (9-(-1)) = (12-4i) ÷ 10 = 1.2 - 0.4i。
《复数的四则运算》复数(复数的乘、除运算)
05
复数乘除法在实数域的扩展
乘法运算的扩展
80%
定义
复数乘法运算可以通过多项式展 开和长除法进行定义。
100%
性质
复数乘法满足结合律、交换律和 分配律，可以应用于实数域的扩 展。
80%
公式
复数乘法可以通过多项式展开和 长除法进行计算，得到结果。
除法运算的扩展
定义
复数除法运算可以通过多项式 除法和求根公式进行定义。
复数乘法满足交换律和结合律，即 z1·z2=z2·z1，(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3) 。
复数乘法的运算规则
复数的乘法运算满足分配律，即对于任意实数r和复数z，有(r+z)×n=r×n+z×n 。
乘法运算还满足结合律，即对于任意复数z1、z2和z3，有((z1·z2)·z3=(z1·z2)·z3 。
除法运算的扩展
复数除法的定义
已知一个复数a，找到一个复 数b，使得a乘以b等于一个 已知的复数c，即a×b=c。
除法运算的规则
除法运算不满足交换律，但 满足结合律和分配律。
除法运算的几何意义
两个复数的商可以通过旋转 平面向量表示，具有几何意 义。
扩展的应用范围
数学领域
复数乘除法的扩展为解决复杂的数学问题提供了工具 和方法。
复数除法的运算规则
设 z1=r1(cosθ1+i·sinθ1)，z2=r2(cosθ2+i·sinθ2)
如果 z2≠0，那么 z1÷z2=(r1·r2−r2·sinθ1·sinθ2+r1·cosθ2+r2·cosθ1)÷(r2·r1+r1·sinθ2·sinθ1−r2·cosθ1·cosθ2)·(cos (θ1−θ2)+i·sin(θ1−θ2))
复数的概念及其运算
复数的概念及其运算北京 郎文敬高考复数题一般比较简单，主要考查复数的相关概念及其运算， 下面我们就典型例题展示这部分内容.一、复数的概念复数的概念是整个复数内容的基础，其中最重要的是复数的代数形式，经常考查的概念有：虚数（纯虚数）、复数相等的充要条件、共轭复数、几何意义等.例1已知复数()2262153m m z m m i m --=+--+，求满足下列条件的m 的值或取值范围：⑴z 是实数；⑵z 是纯虚数；⑶复数z 对应点在第二象限.解析：⑴由复数z 为实数，则22150m m --=且2603m m m --≠+，解得：5m =； ⑵由复数z 为纯虚数，则22150m m --≠且2603m m m --=+， 解得：3m =或2m =-；⑶由复数z 对应点在第二象限，则2260,32150,m m m m m ⎧--<⎪+⎨⎪-->⎩解得：3m <-，即(,3)m ∈-∞-.点评: 本题考查复数的概念，紧扣概念，建立方程（不等式）组，特别注意复数的实部与虚数的概念.变式：1.若222(32)i a a a a +-+-+为纯虚数，则实数a =______．1．-2.提示：220a a +-=得2a =-或1，2320a a -+≠得1a ≠且2a ≠，所以2a =-．二、复数的运算复数的运算是复数部分高考的重点内容，只要就是复数的四则运算，难度一般不大.例2计算：)()24334i i +-. 解析：结合复数的运算法则，可知)()24334i i +=-()224334i i i +=- 161234i i -=-()()(1612)34(34)34i i i i -+-+ =4864364825i i ---=4-.点评：准确运用复数的加、减、乘、除运算法则进行计算，是复数计算的常规方法. 注意常见的公式，如 ()212i i ±=±，2340i i i i +++=等，解题时要适当对原题进行变形，为计算创造条件.变式：2. ()()()()3571357i i i i +++++++的值是（ ）. A. 316i - B. 316i + C.16i + D.16变式：3. 在复平面内，若A ，B 两点对应的复数分别是1-i ，2-2i ，则线段AB 的长度是 （ ）B.2C.D.18专题三 复数的概念及其运算1．-2.提示：220a a +-=得2a =-或1，2320a a -+≠得1a ≠且2a ≠，所以2a =-．2. D . 提示：原式=()()()()1357i i i i ++-+++-=16.3.A. 提示：(22)(1)1,AB i i i =---=- 所以AB 的长度为AB =。
数学知识点：复数四则运算
数学知识点：复数的四则运算
数学知识点：复数的四则运算复数的运算：
1、复数z1与z2的和的定义：z1+z2=（a+bi）+（c+di）=
a+c）+（b+d）i；
2、复数z1与z2的差的定义：z1-z2=（a+bi）-（c+di）=
a-c）+（b-d）i；
3、复数的乘法运算规则：设z1=a+bi，z2=c+di（a、b、c、
d∈R）是随意两个复数，那么它们的积（a+bi）（c+di）=
（ac-bd）+（bc+ad）i，其实就是把两个复数相乘,初中学
习方法，近似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成
-1，而且把实部与虚部分别归并，两个复数的积仍旧是一个
复数。
4、复数的除法运算规则：。
复数加法的几何意义：
设为邻边画平行四边形就是复数对应的向量。
复数减法的几何意义：
复数减法是加法的逆运算，设，则这两个复数的差对应，这
就是复数减法的几何意义。
共轭复数：
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。
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虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。
复数z=a+bi和=a-bi（a、b∈R）互为共轭复数。
复数的运算律：
1、复数的加法运算知足互换律：z1+z2=z2+z1；
联合律：（z1+z2）+z3=z1+（z2+z3）；2、减法同加法同样知足互换律、联合律。
3、乘法运算律：（1）z1（z2z3）=（z1z2）z3；（2）z1（z2+z3）=z1z2+z1z3；
（3）z1（z2+z3）=z1z2+z1z3
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z1 z2 z2 z1 ;
z1 z2 z2 z1 .
2. 结合律
( z1 z2 ) z3 z1 ( z2 z3 ); z1 ( z2 z3 ) ( z1 z2 ) z3 .
3. 分配律
z1 ( z2 z3 ) z1 z2 z1 z3 .
证明
因为
z1 z 2 z1 z 2 z1 z2 ,
所以由运算规律7，有
z1 z 2 z1 z2 z1 z 2 z1 z 2 2Re z1 z 2 .
本例也可以用乘法和共轭复数的定义证明.
x和y是任意两个实数. 把这里的x和y分别称为复 数 x+iy (或 x+yi )的实部和虚部 , 并记做
x Re z,
共轭复数
y 求复变量的实部和虚部可用命令 Im z .
和imag()来实现. 例如
>> syms x y real; 复数 x-iy 称为复数 x+iy 的共轭复数 (其中x, y >> z=x+y*i;
均为实数), 并记做 z .
>> Re=real(z) Re = x
复数的共轭可用conj()来 y real;
显然, z=x+iy 是 x-iy的共轭复数 , 即x >> syms
z z z.
z=x+y*i; >>>> Im=imag(z) >> = conj(z) Im
复数的四则运算
设z1=x1+iy1, z2=x2+iy2是两个复数, 如果x1=x2,
y1=y2, 则称z1和z2相等, 记为z1=z2.
注意 复数不能比较大小.
复数z1=x1+iy1和z2=x2+iy2的加、减、乘、除
运算定义如下： (1) 复数的和与差
z1 z2 ( x1 x2 ) i ( y1 y2 )
(2) 复数的积
z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 )
(3) 复数的商
z1 x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 z1 z2 2 2 i 2 2 z2 z2 z2 x 2 y2 x 2 y2
复数运算的性质 1. 交换律
4. z1 z2 z1 z2 ;
5. z z .
2
z1 z1 z1 z2 z1 z2 ; . z2 z2
2
6. z z Re( z ) Im( z ) .
7. z z 2Re( z ), z z 2i Im( z ).
z1 z1 z 3 4 i , z 1 i , 求 与 . 例1 设 1 2 z2 z2
解
z1 3 4i (3 4i )( 1 i ) z2 1 i ( 1 i )( 1 i )
7 1 ( 3 4) (4 3)i i. 2 2 2 7 1 z1 i . 2 2 z2
复数的概念
由于解代数方程的需要, 人们引进了复数.
例如，简单的代数方程
x2 1 0 在实数范围内无解. 为了建立代数方程的普遍
理论，引入等式
i 2 1.
虚数单位 由该等式所定义的数称为
i 1.
虚数单位为i=j=sqrt(-1), 其数
称形如 x+iy 或 x+yi 的表达式为复数，其中
例2
i i,
1
i 4 n 1, i
4 n 1
i 2 1,
i,
i i i i ,
3 2
i
4 n 2
1,
i i i 1,
4 2 2
i 4 n 3 i ,
i 4 n 4 1.源自……例3设z1, z2是两个复数, 证明
z1 z 2 z 1 z2 2Re z1 z 2 .