圆中常见的辅助线

1．遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。

作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。

例：如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 二点.求证：AC = BD证明:过O 作OE ⊥AB 于E∵O 为圆心，OE ⊥AB∴AE = BE CE = DE∴AC = BD练习：1如图，AB 为⊙O 的弦，P 是AB 上的一点，AB = 10cm ，PA = 4cm.求⊙O 的半径. 练习2、如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠A=45°，BC=2，求⊙O 的面积。

【例2】如图，⊙O 的直径为10，弦AB ＝8，P 是弦AB 上一个动点，那么OP 的长的取值范围是_________．规律89.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角.例：如图，已知AB 是⊙O 的直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM ⊥AB,DN ⊥AB,求证： AC BD 证明：（一）连结OC 、OD∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点∴OM =12AO 、ON = 12BO ∵OA = OB∴OM = ON∵CM ⊥OA 、DN ⊥OB 、OC = OD ∴Rt △COM ≌Rt △DON∴∠COA = ∠DOB ∴AC BD =（二）连结AC 、OC 、OD 、BD∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点 ∴AC = OC BD = OD ∵OC = OD ∴AC = BD∴AC BD =规律90.有弦中点时常连弦心距例：如图，已知M 、N 分别是⊙O 的弦AB 、CD 的中点,AB = CD ，求证：∠AMN = ∠CNM证明：连结OM 、ON∵O 为圆心，M 、N 分别是弦AB 、CD 的中点 ∴OM ⊥AB ON ⊥CD ∵AB = CD ∴OM = ON∴∠OMN = ∠ONM ∵∠AMN = 90o －∠OMN∠CNM = 90o－∠ONM∴∠AMN =∠CNM规律91.证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距.例：如图，已知⊙O 1与⊙O 2为等圆，P 为O 1、O 2的中点，过P 的直线分别交⊙O 1、⊙O 2于A 、C 、D 、B.求证：AC = BD证明：过O 1作O 1M ⊥AB 于M,过O 2作O 2N ⊥AB 于N ，则O 1M ∥O 2N∴1122O M O PO N O P=∵O 1P = O 2P∴O 1M = O 2N ∴AC = BD 规律92.有弧中点（或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅助线的方法：⑴连结过弧中点的半径 ⑵连结等弧所对的弦 ⑶连结等弧所对的圆心角例：如图，已知D 、E 分别为半径OA 、OB 的中点，C 为弧AB 的中点，求证：CD = CE证明：连结OC∵C 为弧AB 的中点∴AB BC =∴∠AOC =∠BOC∵D 、E 分别为OA 、OB 的中点，且AO = BO∴OD = OE =12AO = 12BO 又∵OC = OC∴△ODC ≌△OEC ∴CD = CE规律95.有直径时常作直径所对的圆周角，再利用直径所对的圆周角为直角证题. 例：如图，AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，P 为AC 延长线上一点，且AC = PC,PB 的延长线交⊙O 于D ，求证：AC = DC 证明：连结AD∵AB 为⊙O 的直径 ∴∠ADP = 90o∵AC = PC∴AC = CD =12AP例（2005年自贡市）如图2，P 是⊙O 的弦CB 延长线上一点，点A 在⊙O 上，且∠=∠BAP C 。

求证：PA 是⊙O 的切线。

证明：作⊙O 的直径AD ，连BD ，则∠=∠∠=︒C D ABD ,90即∠+∠=︒D BAD 90 所以∠+∠=︒C BAD 90 因为∠=∠C PAB所以∠+∠=︒BAD PAB 90 即AP AD ⊥所以PA 为⊙O 的切线。

3．遇到90度的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。

作用：利用圆周角的性质，可得到直径。

P练习：如图，在Rt △ABC 中，∠BCA = 90o,以BC 为直径的⊙O 交AB 于E ，D 为AC 中点，连结BD 交⊙O 于F.求证：BC CFBE EF= 规律97.有等弧时常作辅助线有以下几种：⑴作等弧所对的弦 ⑵作等弧所对的圆心角 ⑶作等弧所对的圆周角练习：1.如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，交点为E ，F 为DC 延长线上一点，连结AF 交⊙O 于M.求证：∠AMD =∠FMC(提示：连结BM)2.如图，△ABC 内接于⊙O ，D 、E 在BC 边上，且BD = CE ，∠1 =∠2，求证：AB = AC （提示如图）规律98.有弦中点时，常构造三角形中位线.例：已知，如图，在⊙O 中，AB ⊥CD ，OE ⊥BC 于E ，求证：OE =12AD 证明：作直径CF ，连结DF 、BF∵CF 为⊙O 的直径 ∴CD ⊥FD 又∵CD ⊥AB ∴AB ∥DF∴AD BF =∴AD = BF∵OE ⊥BC O 为圆心 CO = FO ∴CE = BE∴OE =12BF ∴OE =12AD规律99.圆上有四点时，常构造圆内接四边形.例：如图，△ABC 内接于⊙O ，直线AD 平分∠FAC ，交⊙O 于E ，交BC 的延长线于D ，求证：AB ·AC = AD ·AE 证明：连结BE∵∠1 =∠3 ∠2 =∠1∴∠3 =∠2∵四边形ACBE 为圆内接四边形 ∴∠ACD =∠E∴△ABE ∽△ADC2题图A 1题图B∴AE ABAC AD∴AB ·AC = AD ·AE规律100.两圆相交时，常连结两圆的公共弦例：如图，⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B ，过A 的直线分别交⊙O 1、⊙O 2于C 、D ，过B 的直线分别交⊙O 1、⊙O 2于E 、F.求证：CE ∥DF 证明：连结AB∵四边形为圆内接四边形∴∠ABF =∠C 同理可证：∠ABE =∠D∵∠ABF ＋∠ABE = 180o∴∠C ＋∠D = 180o∴CE ∥DF规律101.在证明直线和圆相切时，常有以下两种引辅助线方法：⑴当已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可.⑵如果不知直线与圆是否有交点时，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径的长即可.例1：如图，P 为⊙O 外一点，以OP 为直径作圆交⊙O 于A 、B 两点，连结PA 、PB.求证：PA 、PB 为⊙O 的切线 证明：连结OA∵PO 为直径∴∠PAO = 90o∴OA ⊥PA∵OA 为⊙O 的半径 ∴PA 为⊙O 的切线同理：PB 也为⊙O 的切线例2：如图，同心圆O ，大圆的弦AB = CD ，且AB 是小圆的切线，切点为E ，求证：CD 是小圆的切线证明：连结OE ，过O 作OF ⊥CD 于F∵OE 为半径，AB 为小圆的切线 ∴OE ⊥AB∵OF ⊥CD, AB = CD∴OF = OE∴CD 为小圆的切线练习：如图，等腰△ABC ，以腰AB 为直径作⊙O 交底边BC 于P ，PE ⊥AC 于E, 求证：PE 是⊙O 的切线P规律102.当已知条件中有切线时，常作过切点的半径，利用切线的性质定理证题.例：如图，在Rt △ABC 中，∠C = 90o，AC = 12，BC = 9，D 是AB 上一点，以BD 为直径的⊙O 切AC 于E ，求AD 长. 解：连结OE ，则OE ⊥AC∵BC ⊥AC ∴OE ∥BC∴OE AOBC AB= 在Rt △ABC 中，AB =15==∴15915OE AB OB OEAB --== ∴OE = OB = 458∴BD = 2OB = 454∴AD = AB －DB = 15－454= 154答：AD 的长为154.练习：如图，⊙O 的半径OA ⊥OB ，点P 在OB 的延长线上，连结AP 交⊙O 于D ，过D 作⊙O 的切线CE 交OP 于C ，求证：PC = CD7． 遇到两相交切线时（切线长）常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。

作用：据切线长及其它性质，可得到： ①角、线段的等量关系； ②垂直关系； ③全等、相似三角形。

8．遇到三角形的内切圆时C AE连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。

作用：利用内心的性质，可得：① 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线； ② 内心到三角形三条边的距离相等。

在处理内心的问题时，常需连结顶点与内心，以便利用内切圆的圆心是三角形内角平分线交点这一性质。

9．遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点 作用：外心到三角形各顶点的距离相等。

10．遇到两圆外离时（解决有关两圆的外、内公切线的问题） 常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线，或平移连心线。

作用：①利用切线的性质；② 利用解直角三角形的有关知识。

11．遇到两圆相交时 两个相交圆不离公共弦 常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等。

作用：①利用连心线的性质、解直角三角形有关知识； ②利用圆内接四边形的性质； ③利用两圆公共的圆周的性质；④ 垂径定理。

1. 作相交两圆的公共弦利用圆内接四边形的性质或公共圆周角，沟通两圆的角的关系。

例1. 如图1，⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点，过A 、B 分别作直线CD 、EF ，且CD//EF ，与两圆相交于C 、D 、E 、F 。

求证：CE ＝DF 。

图1分析：CE 和DF 分别是⊙O 1和⊙O 2的两条弦，难以直接证明它们相等，但通过连结AB ，则可得圆内接四边形ABEC 和ABFD ，利用圆内接四边形的性质，则易证明。

证明：连结AB因为∠=∠∠=∠DAB E CAB F ， 又∠+∠=DAB CAB 180所以∠+∠=E F 180即CE//DF 又CD//EF所以四边形CEFD 为平行四边形 即CE ＝DF⑤作两相交圆的连心线利用过交点的半径、公共弦、圆心距构造直角三角形，解决有关的计算问题。

例2. ⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点，两圆的半径分别为62和43，公共弦长为12。

求∠O AO 12的度数。

图2分析：公共弦AB 可位于圆心O 1、O 2同侧或异侧，要求∠O AO 12的度数，可利用角的和或差来求解。

解：当AB 位于O 1、O 2异侧时，如图2。

连结O 1、O 2，交AB 于C ，则O O AB 12⊥。

分别在Rt AO C ∆1和Rt AO C ∆2中，利用锐角三角函数可求得∠=∠=O AC O AC 124530， 故∠=∠+∠=O AO O AC O AC 121275当AB 位于O 1、O 2同侧时，如图3图3则∠=∠-∠=O AO O AC O AC 121215综上可知∠=O AO 1275或15例2：已知，⊙O 1与⊙O 2交于A 、B ，⊙O 1的弦AC 切⊙O 2于A ，过B 作直线交两圆于D 、E 。