第三章 连续转动群 2010 2

SO(3)群中转角相同的旋转属于同一个类。
（证明略）
也是一种旋转
α
β
由图
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在三维实空间对应一个算符：
，
θ α
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当
时，对应于无穷小转动，由上式有
SO(2)群中无穷小算符，
推广： SO(3)群有三个无穷小算符
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作用在三维实空间的基矢上可得到矩阵表示：
满足
满足循环对易关系，且为反厄米的。
28
9
反演：
， 由引理1， ∴ ⋇包含奇数个反演或镜面反射的操作对应的行列式为–1。 正当操作： 非正当操作： ； 。
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引理2
的正交矩阵A必对应一个定轴转动。
证明：
∴
可视为三元一次线性方程组的久期行列式：
11
由于 ，该齐次线性方程组必有非零解。 设 ， ， 构成非零解，定义
可见
是 A旋转操作的定轴。
定义： 为厄米算符，有 考查其对函数的作用性质： SO(2)群元
。
β
确定SO(3)群元的表达式：
其中
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（1）将 数
作用于任一函 为 则有
，简单记
可见，
(1)
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（2） 令 ，
记： 前式
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综合(1)、(2)两式，并考虑到
结论：SO(3)群的三个无穷小算符为角动量算符，且有 对易关系 。
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2
• 点操作(point operation)：空间中至少有一点不变 的对称操作，称为点对称操作，简称点操作。包括 旋转和镜面反射。该操作中至少有一点是不动的。 • 空间操作(space operation)：由平移实现，空间所 有点都发生变动。 例：1. C3v群是点操作
2. 花瓶
• 有对称中心轴线 • 旋转任何角度不变，有无限多 的操作。 • 绕轴旋转任何角度
由 并考虑到群阶g → ∞，ρ(α) = g/2π 则有 与有限群情况 相似。
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（1）在经典力学中，物体处于二维势场 果 具有绕 z 轴旋转对称性，
中，如 ，即
（利用 可见 =常数，即 是守恒量。
）
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（2）在量子力学中： 算符在 作用下不变，所以 为本征函数， 两边乘以 ： 是矩阵，也是本征值。
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例：不可约表示空间的基函数
:
可见
也是 的本征函数。
对于固定的 ，有 个线性独立的 函数， 所以有 ，即 个 作基矢，形成 的封闭子空间， 在子空间中，可产生 的群表示， 就是表示矩阵的矩阵元。
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特征标： 当前面的 取整数时，与此处一致，所以找 到了 为整数时的 SO(3)群的不可约表示的 基函数。 时涉及自旋问题。
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确定SO(3)群的不可约表示：
每个群元都可由
表示出来，
若找到三个无穷小算符的不变子空间 ， 就找到了群元的一种矩阵表示。最小不变子空间中的表 示就是不可约表示。（“最小”并不是“一个”。因此，问题变
为寻找无穷小算符的最小不变子空间。）
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设有某个 的最小不变子空间 （有限维）， 在该空间中对应一个矩阵，有本征值和本征函数。 设 是其中的一个本征函数， ， 定义 有关系 所以 仍是 的本征函数，本征值为 。 用 连续作用 ，则m每次增加1，得到一系列正交 的 ，它们彼此独立，构成的空间是无穷 维的。
4
α O
α
点操作的特点： 设不动的点为坐标原点，则点操作 不改变任意两矢量 ， 间的相对 位置(数学上称保长、保角变换)。
任何点操作在三维空间中对应着一个算符A： 内积： 满足此关系的变换一定满足保长、保角变换。
5
由 要求 即变换算符A 是幺正的。 三维实空间中，要求A变换不会将实矢量变成复矢量， ∴ A必须是实变换，结合幺正性，表明A是正交算符， 对应的矩阵为正交矩阵： 。 由正交变换组成的群称为O群（全正交群）。 三维实空间： O(3)群 SO(3)群是Special orthogonal group.
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，
但是
是有限维的，所以必有 使
，而
另一方面： 必有 使得 从而得到一组正交函数 组对于 是封闭的。 ，该函数
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定义： 与SO(3)群元对易（连续群都有这样一个算符，称为 Casimir算符）
两边用
作用：
ห้องสมุดไป่ตู้
得
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对于空间 求证 时， 与
，对 正交。
封闭。
证明： ， 两式左边相同，所以 因此 V 是否是最小空间？ 假设V不是最小的，则对 而言在某j和j-t位置被截断， 对 亦如此。所以V是最小的封闭线性空间。
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算符的另一种含义： 在一般的函数空间中， 基函数为 时： ，
θ
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群的不可约表示和特征标系： 群是Abel群，不可约表示都是1维的。
两边对
求导：
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（
）
即 而 ∴要求 不可约表示： 特征标：
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SO(2)群：不同m值对应不同的不可约表示，有无穷多个。 前面 ，这里 ， 但不能认为 ，算符 ≠ 数。 前者为算符、群元，后者为群表示、特征标。
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有
不可约表示的维度取决于j，等于2 j +1。
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所以， 取 为实数： ，构成2 j +1维不可约表示空间。
总之：
由上面三式可确定
的矩阵形式。
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特征标：
同类
在2j +1维不可约表示空间中，
在 元 。
空间中是对角矩阵，对角
特征标：
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以不同 j 的球谐函数为基函数的不可约表示，组 成SO(3)群的全部2j+1维的不可约表示。
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是反厄米算符： （∵ Cz(φ)是幺正算符、正交算符） 假设φ → 0，忽略φ2项，有 ∴
定义
，有
，
在具体线性空间中有特定的算符形式，对应一个 特定的矩阵。 例如：三维实空间中，无穷小 角：
φ
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∴ 由 取 ，∴ ， ， 做基矢，确定 ； 的矩阵：
该矩阵虽然是奇异的，但 对应于群元 的表示，不是奇异的。此时1对应单位阵 I0(3) 。
可见，旋转算符和哈密顿算符具有相同的本征函数。
所以
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可作为SO(2)群不可约表示的基矢， 同时也是 和 的本征函数。 对某力学系统，先分析其对称性，若关于某轴旋转 对称，则角动量守恒，且态函数中必有因子项 。
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第三节 SO(3)群
描述SO(3)群中任一群元需要3个参量， 旋转的矢量表示法：
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6
旋转、反射在实空间中对应着正交算符
，
正交矩阵的基本性质。
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引理1 三维空间中，纯旋转操作对应的正交矩阵的 行列式必等于1。
z
证明：
O
， φ连续变化，相应变换矩阵的元 素以及行列式也应连续变化。 ，
用反证法： 假设对于某一 φ 值， 则在 0 ~ φ 之间必有某φm值，其 这违反 之结论，
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A(φ) 1 0 –1 Cz(φ)
3
∴
构成Abel群，称为R(2)群或 SO(2) 群。 (二维旋转内的对称操作构成的二维旋转群) 3. 圆球 绕过球心的任意转轴旋转任意角度都是对称操作。 这些操作构成 R(3)群或 SO(3)群。 (三维旋转群) 过球心平面的镜面反射也是对称操作，与R(3)群 操作联合构成O(3)群。(全正交群)
第三章
连续转动群
第一节 基本概念和定理
对称操作： 使物质体系所占空间位置不变的空间变换。 对称操作需满足两个基本条件： ① 任意两点间距离不变； ② 任意两向量间夹角不变。 对称操作群： 对于一个物质体系，由该体系的所有对称操作构 成的集合。
1
对称操作的基本类型： ①旋转(rotation)：绕固定轴（有向线段）转某个角度 (0 ～ )。 ②镜面反射(也叫反映) (mirror reflection)：镜面记作 , 以 为法向量的平面，记作 。 ， 分别为垂直和 通过主轴的镜面. ③平移(translation)：空间中所有点沿同一方向移动相同 距离的操作，用向量 表示（其指向表方向， 表距离)。 ④反演(inversion)： 。反演与镜面反射两者是相 互关联的，其中只有一个是基本的。 (反演可由绕含反演中心的轴旋 再做 垂直于转轴的平面的镜面反射实现)
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第二节 定轴转动群SO(2)
二维量子力学问题：
轴对称势场，能量也就具有轴对称性。 Cz(φ)：φ是表征群元的一个连续参数。 与 ， 类似，有 =？
ρ(φ) 为φ~ φ+∆φ范围内的群元密度。
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若
（无限小的
值）
是一个算符，称为无穷小算符。 是群元算符， 其一阶导数仍然对应一个算符（该算符不一定是无穷 小量，起生成元作用）。 为有限值时， 可写为 n为正整数 当 时，