微分流形上Laplace型算子的主特征值估计
黎曼流形上Laplace算子的高阶特征值下界估计
−2 −1
，
(1.4)
其中 ρ 是流形的内接半径。
对此，本文在第 2 节先完成建立 Harnack 不等式的预备工作，第 3 节将给出了在 Ricci 曲率具有负下
界 −K ( K ≥ 0) 的紧致黎曼流形上 Laplace 算子的高阶特征值的下界定量估计主要定理的证明，本文对定理 1.1，定理 1.2 和定理 1.3 的证明虽然在一些证明的策略上类似于[2]，但因为采用了得当的梯度函数 F ( x,t )
( ) F ( x,t ) = t ∇f 2 −α ft ，对此，Schoen-Yau [6]得到了如下梯度估计
∇f
2
−α
ft
≤
nα 2 2t
+
nα 2 K
2(α −1)
，t
>
0，α
>1。
(2.2)
在相同的条件下，Davies [7]将上述的结果改进为
∇f
2
−α
ft
≤
nα 2 2t
+
nα 2 K
4(α −1)
u
(
x1 ,
t1
)
≤
u
(
x2
, t2
)
t2 t1
nα
2
exp
αρ 2
4(t2 − t1
)
+
nα K (t2 − t1 4(α −1)
)
。
(2.4)
证明 在 M 中取连接 x1 和 x2 的极小测地线，γ : [0,1] M ，使得 γ (0) = x2 ，γ (1) = x1 ，在 M × (0, ∞) 上定义曲线η : [0,1] M × (0, ∞) ，η (= s) (γ (s),(1− s)t2 + st1 ) ，则η (0) = ( x2 ,t2 ) ，η (1) = ( x1,t1 ) 。
laplace-beltrami operator 本征函数 -回复
laplace-beltrami operator 本征函数-回复Laplace-Beltrami Operator 本征函数引言：Laplace-Beltrami Operator 本征函数是一种在微分几何学和谱几何学中经常使用的数学工具。
本征函数在表征流形的性质和形状以及解决部分微分方程等问题中具有重要的应用。
本文将详细介绍Laplace-Beltrami Operator 本征函数的概念、定义、性质、计算方法以及在实际问题中的应用。
第一部分：概念和定义1. Laplace-Beltrami Operator的引入Laplace-Beltrami Operator 是由法国数学家Pierre-Simon Laplace 和意大利物理学家Eugenio Beltrami 于19世纪提出的。
它是一种在流形上定义的二阶偏微分算子，用于刻画流形的局部性质。
2. 流形的概念在微分几何学中，流形是一个具有局部欧几里得空间结构的空间。
它可以是二维曲面、三维曲面，或者更一般的高维空间。
流形上的点可以通过局部坐标系来描述，从而使得我们可以进行微积分和解析几何的运算。
3. Laplace-Beltrami Operator的定义在流形上，Laplace-Beltrami Operator的定义如下：Δf = div(∇f)其中，Δ是Laplace-Beltrami Operator，f是定义在流形上的函数，∇是梯度算子，div是散度算子。
第二部分：本征函数的性质和计算方法1. 本征函数的定义本征函数是指满足如下方程的函数：Δψ= λψ其中，λ是常数，ψ是定义在流形上的函数。
2. 本征函数的性质- 本征函数在流形上是正交完备的，任意两个本征函数的内积为0。
- 本征函数的本征值可以用来度量流形的几何性质，比如曲率和流形的维度等。
- 本征函数的一组基可以用来展开流形上的函数，从而使得我们可以对流形上的函数进行分析和计算。
考研高数总复习Laplace变换性质(讲解)
0
sin t dt t
0
1 π d s arctan s |0 2 s 1 2
四、位移性质 若L [f (t)]=F (s), 则有 L [eat f (t)]=F (s-a) (Re (s-a)>c)
证明:
根据Laplace变换式, 有
at
求L [ea t t m].
m
( m 1) 利用位移性质， , 已知 L [ t ] m 1 s
可得:
( m 1) L [e t ] m 1 (s a)
at m
求L [e –at sin k t].
k 已知 L [sin kt ] 2 , 利用位移性质， 2 s k
t t L d t d t 0 0 n次 1 f (t ) d t n F ( s) s
t 0
三、积分性质
由Laplace变换存在定理, 可得象函数积分 性质: 若L [f (t)]=F (s), 则
f (t ) L t
L f (t k ) L [ f (t k )] k 0 k 0
F ( s )e ks
k 0
,有 0
1 F ( s) (Re( s ) c ) s 1 e
求如图所示的单个半正弦波 的Laplace变换. f t
由象函数的微分性质,有
d k L [t sin kt ] 2 ds s k 2
k L [sin kt ] 2 s k2
同理
s
2ks
2
k2
2
(Re( s ) 0)
拉普拉斯(Laplace)变换法解常微分方程的初值问题-精品文档
拉普拉斯（Laplace）变换法解常微分方程的初值问题
n 阶常系数线性微分方程y（n）+a1y（n-1）
+…+an-1y′+any=f（t）的通解结构与求解方法在高等数学中讲解得比较详细，但是在实际问题中往往要求满足初始条件y（0）=y0，y′（0）=y′ 0，…，y（n-1）（0）=y0（n-1）的特解，为此，当然可以先求出原方程的通解，然后再由已知的初始条件来确定其中的任意常数，但这种方法计算量大，过程冗长.本文介绍的拉普拉斯变换法求解初值问题，是直接求出常微分方程的特解，过程得到了很大的简化，其基本思想是：先通过拉普拉斯变换将已知方程化成代数方程，求出代数方程的解，再通过拉普拉斯变换便可得到所求初值问题的解.
一、拉普拉斯变换
定义设函数f（t）在区间 0，+∞ 上有定义，如果含参变量s的无穷积分。
Laplace方程边界元数值解法研究
目录目录1绪论 (1)1.1课题的研究背景和意义 (1)1.2边界元法研究现状和进展 (3)1.3本文的主要工作 (4)2二维Laplace方程的边界元解法 (7)2.1Laplace方程简介 (7)2.1.1基本概念 (7)2.1.2二维Laplace方程与解析函数的关系 (8)2.2边界元法 (9)2.3数值模拟 (11)2.4本章小结 (16)3基于位势理论的边界元法 (17)3.1边界积分方程的推导 (17)3.2单层位势和双层位势 (18)3.3本章小结 (22)4线性方程组求解的GMRES算法 (23)4.1线性方程组求解的Galerkin原理 (23)4.2Krylov子空间 (23)4.3GMRES算法 (27)4.4本章小结 (31)5数值模拟 (33)5.1边界积分方程的离散 (33)5.2数值算例 (36)5.3本章小结 (39)6结论与展望 (41)致谢 (43)参考文献 (45)附录 (49)I西安理工大学硕士学位论文II1绪论1绪论1.1课题的研究背景和意义如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，就把这个方程叫做常微分方程，简称为微分方程；如果多元函数的偏导数在一个微分方程中出现了，或者说如果未知的函数和若干个变量相关，并且方程中出现的未知函数对应多个变量的导数，我们把这样的微分方程称为偏微分方程。
在很多科学领域当中，都可以用偏微分方程[1]进行描述数学模型。
在微积分理论形成的初期，学者们对许多自然现象的描述、解释或预见就开始使用偏微分方程，并且将其得到的各种研究方法及优良结果运用到各个科学领域和工程技术中去，逐渐地取得了明显的成效，显示出了对于人们认识自然界基本规律的过程中，偏微分方程的重要地位。
椭圆型偏微分方程，也简称为椭圆型方程[2]，它是一类重要的偏微分方程。
希尔伯特于1900年提了著名的23个问题，在这些问题中有三个问题是关于椭圆型方程与变分法的。
自开始研究椭圆型方程至现在的八十多年来，其获得了丰硕研究的成果。
向量函数的laplace算子
向量函数的laplace算子向量函数的Laplace算子是一种常用的数学工具，它可以用来表示向量和标量场的某种数学特性。
它是一种类似于多元微积分学里的梯度、旋度算子，具有重要的数学物理意义，可以用来求解或分析重要的物理问题。
Laplace算子的定义是：对于任何给定的向量函数V(x, y, z),的Laplace算子ΔV是指：ΔV=2V/x2+2V/y2+2V/z2可以看出，Laplace算子是一个可以在多维空间内计算的数学表达式，它可以用来描述向量函数在空间上的变化情况，甚至可以用来分析不同向量函数之间的关系。
Laplace算子有很多用途，解决各种数学物理问题时经常会用到它。
以求解电动力场问题为例，它能够给出电势的分布形态，以及电场的强度分布。
此外，也可以用Laplace算子来研究各种形态的流体问题，计算体积内的流速分布等。
此外，Laplace算子还被用于构建称为Poisson方程的数学模型。
它是一种应用在各种工程领域中非常重要的数学模型，可以用来解决复杂的物理问题。
它是由Laplace算子及其相关概念构成的，可以解决流体动力学、电磁场、热学等领域的问题。
总之，Laplace算子是一种重要且灵活的数学表达式，它可以用来描述向量函数在空间上的变化情况，且可以广泛应用于与物理有关的各种问题的解决。
它的优点在于它的定义简单，具有较强的普遍性，可以提供一种新的深入理解和研究各种物理现象的思路。
此外，Laplace算子也可以用于构建一种名为Poisson方程的数学模型，可以应用于流体动力学、电磁场、热学等领域的问题，使用效果很好。
因此，可以说，Laplace算子是理解和研究复杂物理问题的有用工具，在科学研究中有着重要的地位，值得我们重视。
几类p-laplace算子型微分方程边值问题的解
ϕq(s) =| s |q−2 s,
1 p
+
1 q
=
1, η
∈
(0, ρ(T ))T.
Þ µ Û £Ù¬ Í¤Â Ä Î¨Ê¾ »Ù Avery-Peterson
[1] Hong [1]
µÒÖ¤º¦¨
Â Ä Î¡Ïº¦ ¹Æ¨ ¨ Ú ¡×
Ø©³¨¾ [1] À Ï£Í¤Â Ä Î¨Êß Â ´¡Ñ¤§Â¨Ð
ÁÔ . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 3
℄. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
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Á . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38
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微分流形上Laplace型算子的主特征值估计
1. 引言
特征值问题的主要目标之一是通过尽可能明确的几何量，例如等周常数、流形的体积、流形的直径 以及有关的曲率条件对特征值的上下界进行估计[1]。Laplace 算子为最重要的微分算子之一，其特征值估 计对几何、分析及物理等都有极其重要的作用。丘成桐(Yau)等著名数学家对微分算子的特征值估计问题 做出了许多重要的贡献，直到现在特征值估计依然是流形分析上的重要问题，在许多数学家的不懈努力 下，特征值估计问题迅速发展并拓展出许多新的更加精确的结果。本节将首先介绍微分流形上特征值估 计问题的研究背景与研究意义，然后介绍特征值估计问题的基本发展。
Modern Physics 现代物理, 2019, 9(1), 1-11 Published Online January 2019 in Hans. /journal/mp https:///10.12677/mp.2019.91001
The Principal Eigenvalue Estimations of Laplace Type Operators on Differential Manifold
李金楠，高翔
摘
要
以特征值估计的Li-猜想与Yang-猜想的提出与发展为基础， 分类研究总结典型的黎曼流形上Laplace算子 主特征值估计条件改变时估计值上下界的变化，得到最新的更加精确的估计结果。主要研究一般黎曼流 形上的p-Laplacian的主特征值估计；将黎曼度量推广到Finsler流形上的主特征值估计；以及引入势函 数后特征函数改变而得到新的Laplace型算子——Schrödinger算子的主特征值的估计。特征值估计的研 究体现出微分流形与广义相对论的紧密联系，能够促进量子力学中能谱等问题的解决，为量子力学、量 子光学和固体物理提erential Manifold, Laplace Operator, Schrödinger Operator, Principal Eigenvalue, P-Laplacian
基于laplace-beltrami算子特征向量的三维模型特征点检测与分析
摘 要: 针对三维模型的特征点检测问题, 提出一种基于 Laplace-Beltrami 算子的特征点检测算法. 对于给定的三维 网格模型, 首先构造离散 Laplace-Beltrami 算子矩阵, 求解特征值与特征向量, 随后在不同频率的特征向量上检测局 部极值点和鞍点, 最后通过基于特征值的加权公式把检测结果结合起来, 实现对特征点不同显著度的可视化. 实验 对选取自 SHREC2010 数据集的三维网格模型进行特征点检测, 在 VS2013 平台上使用 OpenGL 进行可视化. 结果表 明, 文中算法在三维网格模型上取得准确的检测结果, 在高噪声的模型上具有鲁棒性, 对等距模型能得到高度相似 的结果, 并且能通过分布式计算处理大尺寸的三维模型.
Key words: feature point detection; Laplace-Beltram征点检测是计算机图形学中一项基本的研 究课题. 特征点在图像和图形处理算法中具有广泛 的应用, 在二维图像处理中, 图像的显著性识别、 图像分割、图像分类与检索、人脸识别等算法都需
Abstract: Aiming at the feature point detection problem of 3D models, we propose a novel feature point detection algorithm based on the Laplace-Beltrami operator. For a given 3D mesh model, firstly the discrete Laplace-Beltrami operator is constructed, and its eigenvalues and eigenvectors are calculated. Then the local extremum and saddle points of the eigenvectors are detected and blended using the weighted formula based on the eigenvalues. Experimental models are selected from SHREC2010, and the feature points are visualized using OpenGL on VS2013. The experimental results demonstrate that our method gets ideal detection results, is applicable to models with noise, and obtains highly similar detection results on isometric models and can process large-scale data through the distributed computing.
Yamabe流上Laplace算子特征值的单调性和热方程的梯度估计的开题报告
Yamabe流上Laplace算子特征值的单调性和热方程的梯度估计的开题报告介绍本文将围绕Yamabe流上Laplace算子特征值的单调性及其在热方程梯度估计中的应用展开研究。
该问题是现代微分几何和数学物理的重要研究议题之一。
Laplace算子的特征值是微分几何和偏微分方程领域中的重要概念，而Yamabe流则是一种常用于研究流形几何和偏微分方程的流形演化模型。
研究意义Yamabe流在解决流形上的几何问题和偏微分方程中具有广泛的应用，如椭圆型偏微分方程的解的存在性和稳定性问题、流形曲率和拓扑的变化、拟共形几何和黎曼几何等。
而Laplace算子的特征值则与流形的几何性质紧密相关，许多重要的定理都依赖于Laplace算子的特征值。
因此，研究Yamabe流上Laplace算子特征值的单调性及其在热方程梯度估计中的应用对于解决这些几何和偏微分方程问题具有重要的意义。
主要研究内容本文首先介绍Yamabe流和Laplace算子的基本概念，然后阐述Yamabe流上Laplace 算子特征值的单调性定理及其证明思路。
接着，研究热方程的梯度估计问题及其在Yamabe流上的应用，讨论如何利用Laplace算子特征值的单调性来估计热方程的梯度，给出相应的定理以及证明思路。
最后，结合实际例子讨论这些研究成果的应用，探索未来在这个方向上的研究方向。
预期成果通过本文的研究，将得到以下预期成果：1. 对Yamabe流和Laplace算子的特征值有更加深入的理解，为进一步研究流形几何和偏微分方程问题奠定基础。
2. 阐述Yamabe流上Laplace算子特征值的单调性定理及其证明思路，为后续研究相关问题提供参考。
3. 研究热方程梯度估计的问题，并将Laplace算子特征值的单调性与其联系起来，展示了一种新的梯度估计方法。
4. 讨论这些研究成果在实际问题中的应用，为相关领域的研究工作者提供参考。
参考文献[1] Chen, X., Lu, P., & Zhu, X. (2006). A sharp lower bound for the first nonzero Neumann eigenvalue of a compact Riemannian manifold. Duke Mathematical Journal, 135(1), 65-80.[2] Wang, X. (2013). Gradient estimate for heat equation with inverse power potential. Journal of Differential Equations, 255(2), 245-271.[3] Aubin, T. (1976). Équations différentielles non linéaires et problème de Yamabe concernant la courbure scalaire. Journal of Mathematics and Physics, 55(4), 17-49.。
α-laplace算子的正则性
α-laplace算子的正则性
在微分几何中，laplace算子常被作为一种形式来表达对对象的正则性。
Laplace算子是
一个二阶偏微分算子，它可以捕捉函数f的曲率属性，是几何特征分析中最常用的正则化
工具之一。
由于其计算简便，而且便于应用在任何几何位置，它被广泛应用到图像处理、
数值分析和几何处理等领域中。
α-laplace算子是一种带有权重α的laplace算子。
它可以用简单的概率解释来建模边
界凹陷，以模拟不规则形状，并且可以进一步改善在图像分割中的轮廓提取效果。
α-laplace算子与传统的laplace算子相比，具有更强的正则性，能够更好地拟合轮廓，有
效提高边界提取准确性。
也就是说，α-laplace算子本身具有一定的正则性，它能够捕捉更多的几何特征，它的正则性可以有效的防止噪声的干扰，从而提高边缘提取的精度和可
靠性。
此外，α-laplace算子可以用来求解复杂的分割引力，可以将多个相互关联的层的曲率作为变量进行计算，从而精确地拟合几何形状，使分割结果更准确。
另外，α-laplace算子也可以扩展到多伦及其他spaces，比如多尺度空间，当我们需要在不同尺度上提取几何特征时，α-laplace算子能够有效处理。
总之，α-laplace算子具有优秀的正则性，它可以用来计算各种复杂分割，可以拟合轮廓，有效提升几何分析的精度，并且可以扩展到多种spaces中。
因此，α-laplace算子有着
重要的应用价值，可以用于许多图像处理的应用，广泛应用于各个领域。
laplace-beltrami operator 本征函数 -回复
laplace-beltrami operator 本征函数-回复【Laplace-Beltrami Operator本征函数】引言：拉普拉斯-贝尔特拉米算子（Laplace-Beltrami operator）是微分几何学和数学物理学中一个重要的概念。
它是拉普拉斯算子在流形上的推广，用于描述流形上的函数的性质。
本文将详细介绍拉普拉斯-贝尔特拉米算子的定义、性质以及与其关联的本征函数。
一、拉普拉斯-贝尔特拉米算子的定义：拉普拉斯-贝尔特拉米算子是由拉普拉斯算子在流形上的推广而来。
在欧几里德空间中，拉普拉斯算子定义为函数的二阶混合偏导数之和。
而在流形上，由于其局部性质的不同，无法直接定义拉普拉斯算子。
因此，人们提出了拉普拉斯-贝尔特拉米算子的概念。
拉普拉斯-贝尔特拉米算子的定义如下：设M是一个n维流形，g是其上的度量（metric），则在M上的标量函数f的拉普拉斯-贝尔特拉米算子定义为：f = ∇^2f = -1/√g ·(∂(√g ·g^(ij) ∂f/∂x^j)/∂x^i)其中，∇^2f表示算子的形式，f是f的拉普拉斯-贝尔特拉米算子的值，√g是度量g的行列式的开方，g^(ij)是度量g的逆矩阵。
二、拉普拉斯-贝尔特拉米算子的性质：1. 谱性质：拉普拉斯-贝尔特拉米算子是一个自伴算子，即它的本征值都是实数。
并且存在一个正交归一基，使得对应于不同本征值的本征函数相互正交。
2. 正定性：对于流形上的任意非零函数f，有∫fdV > 0，其中dV是流形上的体积元素。
3. 索伯托等式：对于流形上的光滑函数f，有(fg) = fg + 2g∇^2f。
4. 平均值性质：对于流形上的光滑函数f和其上的一个区域Ω，有∫ΩfdV = ∫∂Ω∂f/∂νds，其中∂Ω是Ω的边界，ν表示指向外侧的单位法向量。
三、拉普拉斯-贝尔特拉米算子的本征函数：本征函数（或特征函数）是指满足拉普拉斯-贝尔特拉米算子的特定本征值方程的函数。
球带上LAPLACE 算子第一特征值的一些性质
对称的时候最大( 但是这里并没有得到单调性); 实际上等价于
RAMM 和 SHIVAKUMAR[4] 考虑 赘 = D1(0) Dr( h) ,其 中 0<r<1,Dr(h)= {(x,y):(x-h)2 +y2 臆r2 },得到当
鄣u 鄣渍
渍=孜 -滓u = 0,鄣鄣渍u
渍=浊 +滓u = 0
(4)
1摇 主要结果和证明
(2)的最小特征值严格增加的结果,且当 赘 关于赤
假设 赘 的面积为 S = 2仔A,考虑当 A 固定,随着
道平面对称时达到最大;SHIEH[3] 得到当 赘 面积在 小于等于 2仔 时,第二特征值也在它关于赤道平面
孜 的增加,式(3) 的第一特征值 姿1 的变化趋势是怎 样的。 对于式(3) 中的 Robin 型边条件,不难得到它
Rayleigh 商表达出来,因此需要将式(6) 作变换,使
它呈经典的 Sturm-Liouville 方程形式。
引理 1摇 对于形如
y义+py忆+qy+姿y = 0,y(0)= y(1)
的方程,若 p沂L[0,1] ,则可以通过适当变换将其变
换为经 典 的 Sturm - Liouville 方 程 的 形 式, 即 形 如
摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇
摇 摇 收稿日期:2020-04-15;修回日期:2020-05-18. 摇* 基金项目:国家自然科学基金(11871031 / A010602) . 作者简介:吕康(1996—) ,男,安徽淮南人,硕士研究生,从事微分算子谱理论研究.
DpDy+qy+姿y = 0,y(0)= y( l) 的方程。
5 Laplace 算子的特征值
§5 Laplace 算子的特征值 5.1 概念 定义5.1 22222212nx ux u x u u ∂∂++∂∂+∂∂=∆ ,称∆为Laplace 算子.定义 5.2 如果存在实数λ,和非零函数()()Ω⋂Ω∈12C C u ，使得⎩⎨⎧Ω∂=Ω=∆-上在中在,0,u u u λ ，（5.1） 则称λ为算子∆-（或问题（5.1））的特征值,称u 为对应于特征值λ的特征函数. 例如 ),,0(l =Ω⎩⎨⎧==∈=''-.0)()0(),0(,l y y l x y y λ ，(5.2) xl n x y x y l n n n ππλλsin )()(,2==⎪⎭⎫⎝⎛==就是（5.2）的特征值和对应于特征值nλ的特征函数. 且有<<<<3210λλλ,+∞=∞→n n λlim ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧x l n πsin 在),0(2l L 中正交,任意函数],,0[)(2l L x f ∈)(x f 在],0[2l L 中可用⎭⎬⎫⎩⎨⎧x l n πsin 展开成Fourier 级数.1()~sin k k k f x a x l π∞=∑, （未必相等）⎰=l k x l k x f l a 0sin )(2π,令1()sin nn k k k S x a x l π==∑，则有())(,0212∞→→-=-⎰Ωn dxf S f S n n .系数的记法k k l k l a llk a dx x l k l k a xdx l k x f 2sinsin sin sin )(200===⎰⎰ππππ.定义5.3对实数λ,如果存在函数()0)(,)(1≠Ω∈x u H x u ,使得 (),,10Ω∈∀=∇∇⎰⎰ΩΩH dx u dx u ϕϕλϕ（5.3）则称为λ为算子∆-的（广义）特征值,称u 为对应于特征值λ的广义特征函数.显然由定义5.2⇒定义5.3,反之,在一定条件下,定义 5.3⇒定义5.2.5.2 特征值的存在性若u ,λ是（5.3）的特征值与特征函数,则有⎰⎰ΩΩ=∇dx u dx u 22λ,2222uu dxu dxu ∇=∇=⎰⎰ΩΩλ,于是我们引入泛函()0)(,)(,)(122≠Ω∈∇=x u H x u uu u J .由Friedrichs 不等式u d u ∇≤2, 2224u d u∇≤,()0,,04110222≠Ω∈∀>≥∇u H u duu . 此式说明泛函)(u J 有正的下界,因此)(u J 有下确界.如果定义()()212211010inf infvuu v H v u H u ∇=∇==Ω∈≠Ω∈λ ,（5.4）则.04121>≥d λ今证明1λ是算子)(∆-的最小特征值. 由下确界()21110i n f uu H u ∇==Ω∈λ的定义,对任意正整数k,存在(),1,10=Ω∈k k u H u 满足,112ku k+≤∇λ（12λ≥∇ku ）于是得{}k u 在()Ω10H 中有界,由索伯列夫嵌入定理,存在{}k u 的子序列{}ik u 和函数()Ω∈10H u ,使得u u i k →（在()Ω2L 中）,u u i k ==1lim ，u u i k ∇→∇在()Ω2L 中弱收敛,22lim ii k k u u∇≤∇∞→再由,112ik k u i+≤∇λ得12λ≤∇u,又12λ≥∇u ,故1,12==∇u uλ,即存在()Ω∈10H u ,1=u ,使得()()2122121010i n f i n f v u u uv H v u H u ∇=∇==∇=Ω∈≠Ω∈λ（条件极值）下面证明u ,1λ就特征值与特征函数.())(inf )(0110v J u J v H v ≠Ω∈==λ,,)(22vv v J ∇=对任意()Ω∈10H v 根据上式得出)(inf )(tv u J u J Rt +=∈即)(tv u J +在0=t 处达到最小值.由此知0)(0=∂+∂=t ttv u J22)()(tvu tv u tv u J ++∇=+,),(2),(2222222vt v u t u v t v u t u ++∇+∇∇+∇=()()()(),)),(2(2),(2),(2),(22),(2)(222222222222v t v u t uv t v u vt v u t uvt v u t u v t v u ttv u J +++∇+∇∇+∇-++∇+∇∇=∂+∂得0),(2),(2422=∇-∇∇uv u u uv u ,0),(),(22=∇-∇∇v u u uv u()Ω∈∀=∇=∇∇1122),,(),(),(H v v u v u uu v u λ, 即()Ω∈∀=∇∇⎰⎰ΩΩ11,H v dx uv dx v u λ 因此,1λ是算子∆-的特征值,u 为对应于特征值λ的特征函数.再证1λ是最小的特征值,设λ是∆-的任意特征值,即存在()0,1≠Ω∈w H w , 使得()Ω∈∀=∇∇⎰⎰ΩΩ1,H v dx wv dx v w λ在此式中,取w v =, 得出22wdx w λ=∇⎰Ω,()1222210infλλ=∇≥∇=≠Ω∈vv ww v H v .这就证明1λ是∆-的最小特征值.5.3算子∆-的所有特征值 我们可以采用下列方法依次求出算子∆-的所有特征值.())(inf 0),(02110v J u v v H v =≠Ω∈=λ,显然210λλ≤<,可以证明,存在()1,2102=Ω∈u H u ,0),(12=u u , 使得())(inf )(0),(022110v J u J u v v H v =≠Ω∈==λ,同上面可证,22,u λ满足()Ω∈∀=∇∇⎰⎰ΩΩ1222,H v dx v u dx v u λ 即2λ是特征值,2u 为对应于特征值2λ的特征函数.假设我们已经得出算子∆-的1-m 个特征值,121,,,-m λλλ (1≥m ), 且121-≤≤≤m λλλ , （5.5） 对应于121,,,-m λλλ 的特征函数为121,,,-m u u u , （5.6）且()1,,2,1,1-==m k u k .函数组（5.6）的所有线性组合成为()Ω2L 的一个线性子空间,叫做组（5.6）在()Ω2L 中生成的子空间,记为{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=∈==∑-=--1112111,,2,1,|,,,m i i i i m m m i R c u c u u u span V以⊥-1m V表示1-m V 在()Ω2L 中的正交补空间,即(){}121,0),(|-⊥-∈∀=Ω∈=m m V v L v V ϕϕ. 根据泛函241)(d u J ≥有下界性,我们将证明())(inf 0110v J v V H v m m ≠⋂Ω∈⊥-=λ ,（5.7）就是算子∆-的第m 个特征值. 重复上面的讨论变分问题（5.4）的步骤可以证明,存在函数⊥-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋂Ω∈110m m V H u ,使得,1=m u ())(inf )(0110v J u J v V H v m m m ≠⋂Ω∈⊥-=λ ,（5.8）()Ω∈∀=∇∇⎰⎰ΩΩ1,H v dx v u dx v u m m m λ ,（5.9）m λ是算子∆-的第m 个特征值,m u 为对应于特征值m λ的特征函数.由（5.7）易知1-≥m m λλ.由于()Ω10H 是无限维空间,按（5.7）得出算子∆-的特征值的无限序列 ≤≤≤≤≤-m m λλλλ121 ,（5.10） 相应的的特征函数序列为,,,,,121m m u u u u - ,（5.11）5.3特征值序列{}m λ及对应的特征函数系{}m u 的性质性质1 最小特征值1λ对应的特征函数)(x u 可以取来满足21,1,,0)(u u x x u ∇==Ω∈∀>λ .性质2 对应于不同特征值的特征函数在()Ω2L 中是正交的.证明 设特征值k m λλ,对应的特征函数分别为k m u u ,,且k m λλ≠()Ω∈∀=∇∇⎰⎰ΩΩ1,H v dx v u dx v u m m m λ ()Ω∈∀=∇∇⎰⎰ΩΩ1,H v dx v u dx v u k k k λ ,dx u u dx uu m k k mk⎰⎰ΩΩ=∇∇λ,dx u u dx u um k m k m⎰⎰ΩΩ=∇∇λ(),0=-⎰Ωdx u u m k m k λλ 由此知道,当k m λλ≠时,(),0,==⎰Ωdx u u u u m k m k性质3 对应于同一特征值只有有限个线性无关的特征函数,或者说,对应于每一个特征值的特征函数空间是有限维的.性质4 特征值序列（5.10）满足lim n n λ→∞=+∞ .性质5 特征函数序列（5.11）是空间()Ω10H 的基底,即 （1） 对任意()Ω∈1H v ,∑∞==1),(k kk u u v v 在()Ω10H 中.（2） 若()Ω∈1H v ,,,2,1,0),( ==k u v k则0=v .众所周知,存在特征值序列{}j λ和相应的特征函数系{}j ϕ，满足,|0.j j j j ϕλϕϕ∂Ω-∆=⎧⎪⎨=⎪⎩ 这里210()()j H H ϕ∈ΩΩ ，||||1,1,2,j j ϕ== , 120λλ<≤≤,,j λ≤≤ 且lim j j λ→+∞=+∞．可以证明(,)0,i j i j ϕϕ=≠．即{}j ϕ在2()L Ω中是标准正交系.其中||||⋅表示2()L Ω上的范数，(,)⋅⋅表示2()L Ω上的内积.引理3.1.4 (特征函数的性质)特征值问题,|0.ϕλϕϕ∂Ω-∆=⎧⎨=⎩ 有如下结论：1){}j ϕ是10()H Ω中的一组正交完备基，对10()u H ∀∈Ω，(,)j j a u ϕ=，10()1lim ||||0Nj j H N j a u ϕΩ→+∞=-=∑．2){}j ϕ是2()L Ω中的一组标准正交基．对2(),(,)j j u L a u ϕ∀∈Ω=，1j j j a u ϕ∞==∑在2()L Ω成立．3){}j ϕ是210()()H H ΩΩ 中的一组正交基．对u ∀∈210()()H H ΩΩ ，成立21lim ||||0Nj j H N j a u ϕ→+∞=-=∑．证明 对2(),(,)j j u L a u ϕ∈Ω=，记1nn j j j S a ϕ==∑，显然n u S -与n S 在2()L Ω中正交，()n n u u S S =-+， 于是222||||||||||||n n u u S S =-+，由此2222||||||||,||||||||n n S u u S u ≤-≤，而221||||||nn j j S a==∑，所以221||||||j j a u ∞=≤∑ 。
关于积流形的P—形式上的Laplace算子谱
关于积流形的P—形式上的Laplace算子谱
瞿成勤
【期刊名称】《数学研究与评论》
【年(卷),期】1995(015)004
【摘要】本文讨论了积流形的Ｐ－形式上Ｌａｐｌａｃｅ算子谱的唯一性问题，在紧Ｋａｃｈｌｅｒ流形乘积和紧Ｓａｓａｋｉ流形乘积的两类积流形中，ＣＰ＾ｎ×ＣＰ＾ｎ和Ｓ＾２ｎ＋１（１）×Ｓ＾２ｎ＋１（１）是Ｐ－形式上Ｌａｐｌａｃｅ算子谱特征。
【总页数】9页(P549-557)
【作者】瞿成勤
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】O186.16
【相关文献】
1.Sasaki流形上的Laplace算子谱 [J], 瞿成勤
2.极小子流形上Laplace算子的谱 [J], 瞿成勤;欧阳崇珍
3.具朋一个极点的完备非负Ricci曲率流形上Laplace算子的谱 [J], 李嘉禹
4.微分流形上Laplace型算子的主特征值估计 [J], 李金楠;高翔;
5.复Finsler流形上的Laplace算子及其应用 [J], 邱春晖
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laplace算子使用一阶微分算子
laplace算子使用一阶微分算子Laplace算子是一种常用的微分算子，常用于描述物理现象中的梯度和散度。
它可以通过一阶微分算子来表示。
本文将围绕这个主题展开，介绍Laplace算子以及它与一阶微分算子的关系。
一、Laplace算子的定义Laplace算子是一个二阶偏微分算子，用符号△表示。
对于二维空间中的函数u(x, y)，Laplace算子的定义如下：△u = ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²对于三维空间中的函数u(x, y, z)，Laplace算子的定义如下：△u = ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z²Laplace算子描述了函数在空间中的曲率和变化率，它的值可以用于描述函数在某一点的平均曲率或变化率。
二、Laplace算子与一阶微分算子的关系Laplace算子可以使用一阶微分算子来表示。
通过对Laplace算子进行一阶微分运算，可以得到一阶导数的形式。
在二维空间中，Laplace算子的一阶导数可以表示为：∂(△u)/∂x = ∂³u/∂x³ + ∂³u/∂x²∂y + ∂³u/∂x∂y² + ∂³u/∂y³在三维空间中，Laplace算子的一阶导数可以表示为：∂(△u)/∂x = ∂⁴u/∂x⁴ + ∂⁴u/∂x³∂y + ∂⁴u/∂x²∂y² + ∂⁴u/∂x∂y³ +∂⁴u/∂y⁴∂(△u)/∂y = ∂⁴u/∂y⁴ + ∂⁴u/∂y³∂x + ∂⁴u/∂y²∂x² + ∂⁴u/∂y∂x³ + ∂⁴u/∂x⁴∂(△u)/∂z = ∂⁴u/∂z⁴ + ∂⁴u/∂z³∂x + ∂⁴u/∂z²∂x² + ∂⁴u/∂z∂x³ + ∂⁴u/∂x⁴这些一阶导数的形式可以通过Laplace算子的定义和一阶微分算子的定义推导得到。
laplace-beltrami operator 特征函数
laplace-beltrami operator 特征函数
Laplace-Beltrami算子（Laplace-Beltrami Operator，简称LBO）是定义在黎曼流形上的微分算子，是Laplace算子在流形区域的推广。
其在网格曲面上的离散形式在三维模型分析等应用中具有重要作用，本质上描述了空间中某点函数值与其邻域均值差异这一特征。
特征函数在数学和物理中是一个非常重要的概念，尤其在分析Laplace-Beltrami算子时。
特征函数是与某个线性算子相关联的特殊函数，它们满足一种特定的方程，即特征方程。
对于Laplace-Beltrami算子，其特征函数满足一个二阶偏微分方程，这个方程描述了函数在流形上的行为。
Laplace-Beltrami算子的特征函数在流形上具有许多重要的性质和应用。
它们形成了算子的一组正交基，可以用来表示流形上的任何函数。
这些特征函数通常与流形的几何和拓扑性质密切相关，因此可以用于分析和理解流形的结构。
在实际应用中，例如在计算机图形学和计算几何中，Laplace-Beltrami算子的特征函数常用于形状分析、表面重建、数据压缩和模型匹配等任务。
它们提供了一种有效的方法来捕捉和理解三维形状的全局和局部特性。
拉普拉斯算子
拉普拉斯算子是n维欧几里德空间中的一个二阶微分算子，定义为梯度（▽f）的散度（▽·f）。
因此如果f是二阶可微的实函数，则f的拉普拉斯算子定义为：f的拉普拉斯算子也是笛卡儿坐标系xi中的所有非混合二阶偏导数：作为一个二阶微分算子，拉普拉斯算子把C函数映射到C函数，对于k≥ 2。
表达式(1)（或(2)）定义了一个算子Δ : C(R) → C(R)，或更一般地，定义了一个算子Δ : C(Ω) → C(Ω)，对于任何开集Ω。
函数的拉普拉斯算子也是该函数的黑塞矩阵的迹：坐标表示式二维空间其中x与y代表x-y 平面上的笛卡儿坐标：另外极坐标的表示法为：三维空间笛卡儿坐标系下的表示法圆柱坐标系下的表示法球坐标系下的表示法N 维空间在参数方程为（其中以及）的N维球坐标系中，拉普拉斯算子为：其中是N−1维球面上的拉普拉斯-贝尔特拉米算子。
恒等式如果f和g是两个函数，则它们的乘积的拉普拉斯算子为：f是径向函数f(r)且g是球谐函数Ylm(θ,φ)，是一个特殊情况。
这个情况在许多物理模型中有所出现。
f(r)的梯度是一个径向向量，而角函数的梯度与径向向量相切，因此：球谐函数还是球坐标系中的拉普拉斯算子的角部分的特征函数：因此：推广拉普拉斯算子可以用一定的方法推广到非欧几里德空间，这时它就有可能是椭圆型算子，双曲型算子，或超双曲型算子。
在闵可夫斯基空间中，拉普拉斯算子变为达朗贝尔算子：达朗贝尔算子通常用来表达克莱因-高登方程以及四维波动方程。
第四个项前面的符号是负号，而在欧几里德空间中则是正号。
因子c是需要的，这是因为时间和空间通常用不同的单位来衡量；如果x方向用寸来衡量，y方向用厘米来衡量，也需要一个类似的因子。
拉普拉斯-贝尔特拉米算子主条目：拉普拉斯-贝尔特拉米算子。
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1.2. 特征值估计问题的发展
对 Laplace 算子的特征值进行估计时，由于边界条件的不同主要分为 Dirichlet 边界问题与 Neumann 边界问题： Dirichlet 边界问题：
−λ u , ∆u = = u 0,
Neumann 边界问题：
on M on ∂M on M on ∂M
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1. 引言
特征值问题的主要目标之一是通过尽可能明确的几何量，例如等周常数、流形的体积、流形的直径 以及有关的曲率条件对特征值的上下界进行估计[1]。Laplace 算子为最重要的微分算子之一，其特征值估 计对几何、分析及物理等都有极其重要的作用。丘成桐(Yau)等著名数学家对微分算子的特征值估计问题 做出了许多重要的贡献，直到现在特征值估计依然是流形分析上的重要问题，在许多数学家的不懈努力 下，特征值估计问题迅速发展并拓展出许多新的更加精确的结果。本节将首先介绍微分流形上特征值估 计问题的研究背景与研究意义，然后介绍特征值估计问题的基本发展。
1.1. 微分流形上特征值估计问题的研究背景与意义
爱因斯坦广义相对论需要用弯曲空间来描述物理世界， 黎曼流形为描述解释广义相对论提供了工具， 因此研究黎曼流形上的特殊算子有助于解决广义相对论及爱因斯坦场方程等问题。 Laplace 算子为微分流 形上最重要的一类微分算子，是因为很多重要的非线性算子在线性化之后就是某个黎曼度量的 Laplace 算子，因此 Laplace 算子对微分流形的谱(即 Laplace 算子的特征值全体) [2]的研究具有重要的意义。丘成 桐在 2000 年发表的《几何与分析回顾》中提出了十个有待解决的问题，其中第二个问题就是：理解一个 完备流形的 Laplace 算子的谱。 微分流形上特征值问题的研究始于 20 世纪 60 年代， 经过多年的发展获得 了丰富有效的成果[1] [3] [4]，已经成为流形分析的重要研究课题之一，谱几何也成为大范围几何分析的 一个重要分支。 20 世纪，微分几何与物理学及数学中的分析数学、代数几何、拓扑学等相互影响相互促进，得到了 迅猛发展。分析方法的引入更是对微分几何的发展产生了深远的影响，促进了许多著名问题的解决。一 个微分流形的全体特征值能够反映出很多几何或拓扑信息？众所周知：一个等距的流形必然是等谱的。 但是等谱的流形是否必然等距呢？1911 年，Weyl 证明了平面区域的面积可以由谱来决定；1964 年，著 名数学家 Milnor 构造出等谱而不等距的 16 维平坦环面；1966 年，Kac 提出一个问题“你能听出鼓的形 状吗”化为数学问题即两个平面等谱区域是否等距同构？并证明答案是否定的，即等谱的流形不一定等
−λ u , ∆u = = ∇ n u 0,
其中 n 为 ∂M 上的外法向量。
DOI: 10.12677/mp.2019.91001 3
现代物理
李金楠，高翔
特征值问题的研究中有两个密切相关的方向：一是研究序列 {λi } 的渐近性质，著名的 Weyl 公式[2] 给出了 λi 渐近展开的第一项，Ivrii 在研究 λi 渐近展开的第二项的方向上做了重要的工作；另一方面是对 一般流形利用梯度估计、等周不等式、极大极小原理等估计开头几个特征值。鉴于大部分流形的谱尚无 法完全计算，而主特征值是谱的主项，故我们主要研究主特征值(即第一特征值)的尽可能精确的结果。 Cheng [5]给出了仅依赖于流形的直径及 Ricci 曲率的主特征值的经典的上界估计： 定理 1.1 设 M 为一个 m 维带边界的完备黎曼流形， Ricci 曲率满足 Ric ≥ − ( m − 1) K ， 则 M 上 Laplace 算子的第一非零特征值满足上界估计：
Abstract
Based on the eigenvalue estimations of Li-Conjecture’s and Yang-Conjecture’s proposed and developed ideas, this paper summarized the variation of the upper and lower bounds of the estimated value when the Laplace operator principal eigenvalue estimation conditions were changed on a typical Riemannian manifold, and yielded some precise estimation results. The principal eigenvalue estimation of p-Laplacian on general Riemannian manifolds is studied. The estimation of principal eigenvalues of Finsler manifolds is studied. Since the potential function is introduced, the eigenfunction is changed, then the estimation of the principal eigenvalue of the new Laplace type operator-Schrödinger operator is studied. It shows the close connection between Riemannian manifold and general relativity. It also can simplify the solution of energy spectrum and other problems in quantum mechanics, and provide some new methods for quantum mechanics, quantum optics and solid physics.
DOI: 10.12677place 算子的谱与流形的几何性质及拓扑性质有着密切的联系，谱理论对数学与物理具有重要的作 用，但是已经求出谱的只有等腰直角三角形、标准单位球面、平坦球面、Klein 瓶、复射影空间、酉群等 很少的流形。鉴于大部分的流形的谱尚无法完全计算，而主特征值是谱的主项，故近几十年来数学家们 主要研究主特征值(第一特征值)的尽可能精确的结果。主要有三类研究方法：一是 Cheeger 引入的等周常 数的方法；二是 Li-Yau 发展的梯度估计方法；三是概率中的耦合方法。 特征值问题也促进了数学其他分支中相关问题的研究与应用，如非线性科学，计算数学中的反散射 理论，谱方法的数值分析，湍流等。Laplace 方程在数学物理中起着十分重要的作用，求解热传导问题或 薄膜振动问题实际就是求解 Laplace 方程的特征值问题， 在薄膜情况下特征值对应于薄膜振动的固有频率。 Laplace 算子推广到黎曼流形上后成为现代微分几何中一个极其重要的微分算子， 其特征值问题促进了许 多物理问题的解决。将黎曼度量进行推广得到新的 Finsler 流形是比黎曼流形更广泛的流形，在特殊的 Finsler-Berwald 空间上建立引力场方程有利于解决推广的狭义相对论(例如 Sitter 狭义相对论、Doubly 狭 义相对论和 Very 狭义相对论)问题。并可以在此基础上研究超高能粒子在宇宙空间的运动特征，对于解 释星系旋转曲线观测实验的暗物质假设替代模型修改的牛顿力学和宇宙加速膨胀的现象也具有重要作用。 在 Finsler 几何的框架下研究 Berwald 空间上的引力场方程在弱场近似下的行为，会发现一特殊的 Finsler 结构所导出的动力学方程与 MOND 给出的方程一致。 微分算子的谱理论在工程和物理领域有着广泛的应 用，兴起于 20 世纪的量子力学理论是研究微观粒子状态的主要工具，大大促进了现代科学技术的发展， 使人们掌握了先进的科学技术如激光、光纤等，量子力学已经成为现代物理的重要支柱，而量子力学研 究中的一个重要问题就是考虑微分算子的谱理论。例如，量子跃迁是量子力学中一个非常重要的问题(即 在某种外界作用下体系在定态之间的跃迁几率问题)，这个问题主要考虑本征态即特征函数空间。另外， 一个量子体系能级分布在理论与观测上都有重要的性质，厄米算符可以用来表示量子力学体系的哈密顿 量， 而厄米算符的本征值对应该量子力学体系的能级。 在量子力学中求解系统能谱是基础而重要的问题， 处理此类问题时，通常使用的是 Schrodinger 方程，但是由于涉及到微分方程很多时候不容易求解。另一 方面，与 Schrodinger 方程同样重要的 Heisenberg 方程却很少被直接用于求解能谱。其实由 Heisenberg 的 思想出发并结合 Schrodinger 算子可以得出一种求解系统能谱的新方法，称为“不变本征算符方法”。此 方法主要从 Heisenberg 创建矩阵力学的思想出发， 关注能级的间隙同时结合 Schrodinger 算符的物理意义， 把本征态的思想推广到 “不变本征算符” 的概念对算符进行操作， 无须涉及系统的具体量子态或波函数， 从而回避了复杂的微分方程，更方便对很多系统进行求解，为量子力学、量子光学和固体物理提供了新 方法，也为经典力学的简正坐标理论提供了新思路。
Modern Physics 现代物理, 2019, 9(1), 1-11 Published Online January 2019 in Hans. /journal/mp https:///10.12677/mp.2019.91001
The Principal Eigenvalue Estimations of Laplace Type Operators on Differential Manifold
Jinnan Li, Xiang Gao*
School of Mathematical Sciences, Ocean University of China, Qingdao Shandong
th st th
Received: Dec. 7 , 2018; accepted: Dec. 21 , 2018; published: Dec. 28 , 2018