树与森林的遍历共36页文档
树与森林的遍历
第十七讲
∑p ×I
i =1 i
7
i
= 0.40 × 1 + 0.30 × 2 + 0.15 × 3 + 0.05 × 5 + 0.04 × 5 + 0.03 × 5 + 0.03 × 5 = 2.20
第十七讲
举例:数据传送中的二进制编码。 要传送数据 state, seat, act, tea, cat, set, a, eat, 如何使传 送的长度最短? 首先规定二叉树的构造为左走0,右走1 ,如图6.31所示。 为了保证长度最短, 先看字符出现的次数, 然后将出现 次数当作权, 如图6.32所示。
第十七讲
2. 森林的遍历 森林的遍历 森林的遍历方法主要有以下三种: 1) 先序遍历 若森林非空, 则遍历方法为: (1) 访问森林中第一棵树的根结点。 (2) 先序遍历第一棵树的根结点的子树森林。 (3) 先序遍历除去第一棵树之后剩余的树构成的森林。 例如, 图6.24(a)中森林的先序遍历序列为ABCDEFGHIJ。
第十七讲 作业:
1.二叉树的层次遍历算法(二叉链表存储); 2.求二叉树中最大结点值(二叉链表存储)。
第十七讲
哈夫曼树及其应用
第十七讲
1. 哈夫曼树
1. 路径和路径长度 路径和路径长度 路径是指从一个结点到另一个结点之间的分支序列, 路径 路径长度是指从一个结点到另一个结点所经过的分支数目。 路径长度 树的路径长度是从树根到每一结点的路径长度之和。 树的路径长度
图6.30 构造哈夫曼树示例
第十七讲
表 6 – 3 指令的哈夫曼编码
指令 I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7 使用频率(Pi) 0 10 110 11100 11101 11110 11111
二叉树,树,森林遍历之间的对应关系
二叉树,树,森林遍历之间的对应关系一、引言在计算机科学中,数据结构是非常重要的知识点之一。
而树这一数据结构,作为基础的数据结构之一,在软件开发中有着广泛的应用。
本文将重点探讨二叉树、树和森林遍历之间的对应关系,帮助读者更加全面地理解这些概念。
二、二叉树1. 二叉树的定义二叉树是一种特殊的树结构,每个节点最多有两个子节点,分别称为左子节点和右子节点。
二叉树可以为空,也可以是一棵空树。
2. 二叉树的遍历在二叉树中,有三种常见的遍历方式,分别是前序遍历、中序遍历和后序遍历。
在前序遍历中,节点的访问顺序是根节点、左子树、右子树;在中序遍历中,节点的访问顺序是左子树、根节点、右子树;在后序遍历中,节点的访问顺序是左子树、右子树、根节点。
3. 二叉树的应用二叉树在计算机科学领域有着广泛的应用,例如用于构建文件系统、在数据库中存储有序数据、实现算法中的搜索和排序等。
掌握二叉树的遍历方式对于理解这些应用场景非常重要。
三、树1. 树的定义树是一种抽象数据类型,由n(n>0)个节点组成一个具有层次关系的集合。
树的特点是每个节点都有零个或多个子节点,而这些子节点又构成了一颗子树。
树中最顶层的节点称为根节点。
2. 树的遍历树的遍历方式有先根遍历、后根遍历和层次遍历。
在先根遍历中,节点的访问顺序是根节点、子树1、子树2...;在后根遍历中,节点的访问顺序是子树1、子树2...,根节点;在层次遍历中,节点的访问顺序是从上到下、从左到右依次访问每个节点。
3. 树的应用树广泛用于分层数据的表示和操作,例如在计算机网络中的路由算法、在操作系统中的文件系统、在程序设计中的树形结构等。
树的遍历方式对于处理这些应用来说至关重要。
四、森林1. 森林的定义森林是n(n>=0)棵互不相交的树的集合。
每棵树都是一颗独立的树,不存在交集。
2. 森林的遍历森林的遍历方式是树的遍历方式的超集,对森林进行遍历就是对每棵树进行遍历的集合。
3. 森林的应用森林在实际编程中经常用于解决多个独立树结构的问题,例如在数据库中对多个表进行操作、在图像处理中对多个图形进行处理等。
数据结构-树和森林的表示和遍历
A B C D E F G
1 4
2 5
3
6
root=0 n=7
孩子链表表示法
C语言的类型描述: 孩子结点结构: child nextchild
typedef struct CTNode { int child; struct CTNode *nextchild; } *ChildPtr;
孩子链表表示法
A B C DE F GH I J K
E
G
H I
J J
K
树的遍历
A
A
树的二叉树表示:
B
B E F
C
D G
E
F
C
D
树先根遍历 ABEFCDG
G
因此,树的先根遍历结果与其对应二叉 树表示的先序遍历结果相同
树的遍历
A B E F C D G A
树的二叉树表示:
B C
E
F
G
D
树后根遍历 EFBCGDA 因此,树的后根遍历结果与其对应二叉 树表示的中序遍历结果相同
即:依次从左至右对森林中的每一棵树进行先 根遍历。
森林的遍历-先序遍历
A B C D D E
F
G I K K
森林对应的二叉树:
H J J B C G A F
H
I
先根遍历序列为: AB C D EF G H I K J
E E
D
K
J
森林的遍历-中序遍历
森林不空,则 中序遍历森林中第一棵树的子树森林;
双亲表示法
树结构:
typedef struct { PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE]; int r, n; // 根结点的位置和结点个数 } PTree;
树的遍历和哈夫曼树
2021/4/18 北京化工大学信息学院 数据结构 33
求二叉树高度的递归算法
int Height ( BinTreeNode * T ) { if ( T == NULL ) return -1; else { int m = Height ( T->leftChild ); int n = Height ( T->rightChild ) ); return (m > n) ? m+1 : n+1;
中序遍历 (Inorder Traversal)
中序遍历二叉树算法的框架是:
若二叉树为空,则空操作;
-
否则 中序遍历左子树 (L);
+
/
访问根结点 (V);
a *e f
中序遍历右子树 (R)。
遍历结果
b-
a+b*c-d-e/f
cd
2021/4/18 北京化工大学信息学院 数据结构 20
二叉树递归的中序遍历算法
如果 n = 0,称为空树;如果 n > 0,则 ▪ 有一个特定的称之为根(root)的结点,
它只有直接后继,但没有直接前驱; ▪ 除根以外的其它结点划分为 m (m 0)
个 互不相交的有限集合T0, T1, …, Tm-1,每 个集合又是一棵树,并且称之为根的子树。
2021/4/18 北京化工大学信息学院 数据结构 3
typedef struct node { //树结点定义
TreeData data;
//结点数据域
struct node * leftChild, * rightchild;
//子女指针域
} BinTreeNode;
typedef BinTreeNode * BinTree; //树定义,代表树的根指针
数据结构-第6章 树和二叉树---4. 树和森林(V1)
6.4.1 树的存储结构
R AB C D EG F
R⋀
A
⋀D
⋀B
⋀E ⋀
C⋀
⋀G
⋀F ⋀
6.4.2 树、森林和二叉树的转换
1. 树转换为二叉树 将树转换成二叉树在“孩子兄弟表示法”中已 给出,其详细步骤是: ⑴ 加线。在树的所有相邻兄弟结点之间加一 条连线。 ⑵ 去连线。除最左的第一个子结点外,父结点 与所有其它子结点的连线都去掉。 ⑶ 旋转。将树以根结点为轴心,顺时针旋转 450,使之层次分明。
B C
D
A E
L HK
M
技巧:无左孩子 者即为叶子结点
6.4.3 树和森林的遍历
1. 树的遍历 由树结构的定义可知,树的遍历有二种方法。 ⑴ 先序遍历:先访问根结点,然后依次先序 遍历完每棵子树等。价于对应二叉树的先序遍历
⑵ 后序遍历:先依次后序遍历完每棵子树,然 后访问根结点。等价于对应二叉树的中序遍历
0 R -1 1A 0 2B 0 3C 0
}Ptree ; R
4D 1 5E 1
AB C
6F 3
7G 6
DE
F
8H 6
9I 6
G H I 10~MAX_Size-1 ... ...
6.4.1 树的存储结构
2. 孩子表示法
每个结点的孩子结点构成一个单链表,即有n 个结点就有n个孩子链表;
n个孩子的数据和n个孩子链表的头指针组成一 个顺序表; 结点结构定义: 顺序表定义:
typedef struct PTNode { ElemType data ;
数据结构第七章 树和森林
7.5 树的应用
➢判定树
在实际应用中,树可用于判定问题的描述和解决。
•设有八枚硬币,分别表示为a,b,c,d,e,f,g,h,其中有一枚且 仅有一枚硬币是伪造的,假硬币的重量与真硬币的重量不同,可能轻, 也可能重。现要求以天平为工具,用最少的比较次数挑选出假硬币, 并同时确定这枚硬币的重量比其它真硬币是轻还是重。
的第i棵子树。 ⑺Delete(t,x,i)在树t中删除结点x的第i棵子树。 ⑻Tranverse(t)是树的遍历操作,即按某种方式访问树t中的每个
结点,且使每个结点只被访问一次。
7.2.2 树的存储结构
顺序存储结构 链式存储结构 不管哪一种存储方式,都要求不但能存储结点本身的数据 信息,还要能够唯一的反映树中各结点之间的逻辑关系。 1.双亲表示法 2.孩子表示法 3.双亲孩子表示法 4.孩子兄弟表示法
21
将二叉树还原为树示意图
A BCD
EF
A
B
C
E
D
F
A
B
C
E
D
F
22
练习:将下图所示二叉树转化为树
1 2
4
5
3
6
2 4
1 53
6
23
7.3.2 森林转换为二叉树
由森林的概念可知,森林是若干棵树的集合,只要将森林中各棵树 的根视为兄弟,森林同样可以用二叉树表示。 森林转换为二叉树的方法如下:
⑴将森林中的每棵树转换成相应的二叉树。 ⑵第一棵二叉树不动,从第二棵二叉树开始,依次把后一棵二叉树 的根结点作为前一棵二叉树根结点的右孩子,当所有二叉树连起来 后,此时所得到的二叉树就是由森林转换得到的二叉树。
相交的集合T1,T2,…,Tm,其中每一个集合Ti(1≤i≤m)本身又是 一棵树。树T1,T2,…,Tm称为这个根结点的子树。 • 可以看出,在树的定义中用了递归概念,即用树来定义树。因此, 树结构的算法类同于二叉树结构的算法,也可以使用递归方法。
数据结构习题及答案与实验指导(树和森林)7
第7章树和森林树形结构是一类重要的非线性结构。
树形结构的特点是结点之间具有层次关系。
本章介绍树的定义、存储结构、树的遍历方法、树和森林与二叉树之间的转换以及树的应用等内容。
重点提示:●树的存储结构●树的遍历●树和森林与二叉树之间的转换7-1 重点难点指导7-1-1 相关术语1.树的定义:树是n(n>=0)个结点的有限集T,T为空时称为空树,否则它满足如下两个条件:①有且仅有一个特定的称为根的结点;②其余的结点可分为m(m>=0)个互不相交的子集T1,T2,…,T m,其中每个子集本身又是一棵树,并称为根的子树。
要点:树是一种递归的数据结构。
2.结点的度:一个结点拥有的子树数称为该结点的度。
3.树的度:一棵树的度指该树中结点的最大度数。
如图7-1所示的树为3度树。
4.分支结点:度大于0的结点为分支结点或非终端结点。
如结点a、b、c、d。
5.叶子结点:度为0的结点为叶子结点或终端结点。
如e、f、g、h、i。
6.结点的层数:树是一种层次结构,根结点为第一层,根结点的孩子结点为第二层,…依次类推,可得到每一结点的层次。
7.兄弟结点:具有同一父亲的结点为兄弟结点。
如b、c、d;e、f;h、i。
8.树的深度:树中结点的最大层数称为树的深度或高度。
9.有序树:若将树中每个结点的子树看成从左到右有次序的(即不能互换),则称该树为有序树,否则称为无序树。
10.森林:是m棵互不相交的树的集合。
7-1-2 树的存储结构1.双亲链表表示法以图7-1所示的树为例。
(1)存储思想:因为树中每个元素的双亲是惟一的,因此对每个元素,将其值和一个指向双亲的指针parent构成一个元素的结点,再将这些结点存储在向量中。
(2)存储示意图:-1 data:parent:(3)注意: Parrent域存储其双亲结点的存储下标,而不是存放结点值。
下面的存储是不正确的:-1 data:parent:2.孩子链表表示法(1)存储思想:将每个数据元素的孩子拉成一个链表,链表的头指针与该元素的值存储为一个结点,树中各结点顺序存储起来,一般根结点的存储号为0。
数据结构入门-树的遍历以及二叉树的创建
数据结构⼊门-树的遍历以及⼆叉树的创建树定义:1. 有且只有⼀个称为根的节点2. 有若⼲个互不相交的⼦树,这些⼦树本⾝也是⼀个树通俗的讲:1. 树是有结点和边组成,2. 每个结点只有⼀个⽗结点,但可以有多个⼦节点3. 但有⼀个节点例外,该节点没有⽗结点,称为根节点⼀、专业术语结点、⽗结点、⼦结点、根结点深度:从根节点到最底层结点的层数称为深度,根节点第⼀层叶⼦结点:没有⼦结点的结点⾮终端节点:实际上是⾮叶⼦结点度:⼦结点的个数成为度⼆、树的分类⼀般树:任意⼀个结点的⼦结点的个数都不受限制⼆叉树:任意⼀个结点的⼦结点个数最多是两个,且⼦结点的位置不可更改⼆叉数分类:1. ⼀般⼆叉数2. 满⼆叉树:在不增加树层数的前提下,⽆法再多添加⼀个结点的⼆叉树3. 完全⼆叉树:如果只是删除了满⼆叉树最底层最右边的连续若⼲个结点,这样形成的⼆叉树就是完全⼆叉树森林:n个互不相交的树的集合三、树的存储⼆叉树存储连续存储(完全⼆叉树)优点:查找某个结点的⽗结点和⼦结点(也包括判断有没有⼦结点)速度很快缺点:耗⽤内存空间过⼤链式存储⼀般树存储1. 双亲表⽰法:求⽗结点⽅便2. 孩⼦表⽰法:求⼦结点⽅便3. 双亲孩⼦表⽰法:求⽗结点和⼦结点都很⽅便4. ⼆叉树表⽰法:把⼀个⼀般树转化成⼀个⼆叉树来存储,具体转换⽅法:设法保证任意⼀个结点的左指针域指向它的第⼀个孩⼦,右指针域指向它的兄弟,只要能满⾜此条件,就可以把⼀个⼀般树转化为⼆叉树⼀个普通树转换成的⼆叉树⼀定没有右⼦树森林的存储先把森林转化为⼆叉树,再存储⼆叉树四、树的遍历先序遍历:根左右先访问根结点,再先序访问左⼦树,再先序访问右⼦树中序遍历:左根右中序遍历左⼦树,再访问根结点,再中序遍历右⼦树后续遍历:左右根后续遍历左⼦树,后续遍历右⼦树,再访问根节点五、已知两种遍历求原始⼆叉树给定了⼆叉树的任何⼀种遍历序列,都⽆法唯⼀确定相应的⼆叉树,但是如果知道了⼆叉树的中序遍历序列和任意的另⼀种遍历序列,就可以唯⼀地确定⼆叉树已知先序和中序求后序先序:ABCDEFGH中序:BDCEAFHG求后序:这个⾃⼰画个图体会⼀下就可以了,⾮常简单,这⾥简单记录⼀下1. ⾸先根据先序确定根,上⾯的A就是根2. 中序确定左右,A左边就是左树(BDCE),A右边就是右树(FHG)3. 再根据先序,A左下⾯就是B,然后根据中序,B左边没有,右边是DCE4. 再根据先序,B右下是C,根据中序,c左下边是D,右下边是E,所以整个左树就确定了5. 右树,根据先序,A右下是F,然后根据中序,F的左下没有,右下是HG,6. 根据先序,F右下为G,然后根据中序,H在G的左边,所以G的左下边是H再来⼀个例⼦,和上⾯的思路是⼀样的,这⾥就不详细的写了先序:ABDGHCEFI中序:GDHBAECIF已知中序和后序求先序中序:BDCEAFHG后序:DECBHGFA这个和上⾯的思路是⼀样的,只不过是反过来找,后序找根,中序找左右树简单应⽤树是数据库中数据组织⼀种重要形式操作系统⼦⽗进程的关系本⾝就是⼀棵树⾯向对象语⾔中类的继承关系哈夫曼树六、⼆叉树的创建#include <stdio.h>#include <stdlib.h>typedef struct Node{char data;struct Node * lchild;struct Node * rchild;}BTNode;/*⼆叉树建⽴*/void BuildBT(BTNode ** tree){char ch;scanf("%c" , &ch); // 输⼊数据if(ch == '#') // 如果这个节点的数据是#说明这个结点为空*tree = NULL;else{*tree = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));//申请⼀个结点的内存 (*tree)->data = ch; // 将数据写⼊到结点⾥⾯BuildBT(&(*tree)->lchild); // 递归建⽴左⼦树BuildBT(&(*tree)->rchild); // 递归建⽴右⼦树}}/*⼆叉树销毁*/void DestroyBT(BTNode *tree) // 传⼊根结点{if(tree != NULL){DestroyBT(tree->lchild);DestroyBT(tree->rchild);free(tree); // 释放内存空间}}/*⼆叉树的先序遍历*/void Preorder(BTNode * node){if(node == NULL)return;else{printf("%c ",node->data );Preorder(node->lchild);Preorder(node->rchild);}}/*⼆叉树的中序遍历*/void Inorder(BTNode * node){if(node == NULL)return;else{Inorder(node->lchild);printf("%c ",node->data );Inorder(node->rchild);}}/*⼆叉树的后序遍历*/void Postorder(BTNode * node){if(node == NULL)return;else{Postorder(node->lchild);Postorder(node->rchild);printf("%c ",node->data );}}/*⼆叉树的⾼度树的⾼度 = max(左⼦树⾼度,右⼦树⾼度) +1*/int getHeight(BTNode *node){int Height = 0;if (node == NULL)return 0;else{int L_height = getHeight(node->lchild);int R_height = getHeight(node->rchild);Height = L_height >= R_height ? L_height +1 : R_height +1; }return Height;}int main(int argc, char const *argv[]){BTNode * BTree; // 定义⼀个⼆叉树printf("请输⼊⼀颗⼆叉树先序序列以#表⽰空结点:");BuildBT(&BTree);printf("先序序列:");Preorder(BTree);printf("\n中序序列:");Inorder(BTree);printf("\n后序序列:");Postorder(BTree);printf("\n树的⾼度为:%d" , getHeight(BTree));return 0;}// ABC##DE##F##G##。
数据结构与算法
数据结构与算法第一节数据结构及算法概述一、数据结构图、四类基本结构的示意图【要点】 1 .数据元素是数据的基本单位。
2 .数据结构是相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。
3 .4类基本的规律结构:集合、线性结构、树形结构和网状结构。
4 .4种数据存储方式:挨次、链式、索引和散列。
【例题•单选题】(2022年义省信用社聘请考试真题)下列说法不正确的是()OA.数据元素是数据的基本单位B.数据项是数据中不行分割的最小标志单位 C.数据可由若干个数据元素构成D.数据项可由若干个数据元素构成『正确答案』D『答案解析』数据元素是数据的基本单位,在计算机程序中通常被作为一个整体进 行考虑和处理。
一个数据元素可由若干个数据项组成。
数据项是不行分割的、含有独立 意义的最小数据单位。
因此D 选项不正确。
二、算法O ——O ——O ——O ——O ⑹树型结构⑹线性结构 (d)图形结构算法是对特定问题求解步骤的一种描述,它是指令的有限序列,其中每条指令表示一个或多个操作。
算法的特性:有穷性、确定性、可行性、输入和输出。
【要点】评价算法优劣标准:正确性、可读性、健壮性、高效率与低存储量需求。
其次节线性表线性表是n (n≥0)个数据元素al, a2,…,an组成的有限序列,n=0时称为空表。
非空的线性表,有以下特征:L有且仅有一个开头结点al,没有直接前趋,有且仅有一个直接后继a2。
2.有且仅有一个终结结点an,没有直接后继,有且仅有一个直接前趋a-。
3.其余的内部结点ai (2WiWnT)都有且仅有一个直接前趋a-和一个直接后继3i+ι o线性表的链式存储包括单链表、循环链表和双链表。
head 头结点百结点尾结点【留意】与单链表的插入和删除操作不同的是,在双链表中插入和删除须同时修改两个方向上的指针。
第三节栈和队列一、栈栈是一种“特别的”线性表,这种线性表中的插入和删除运算限定在表的某一端进行。
不含任何数据元素的栈称为空栈。
树形结构——树和森林
TT
讨论的问题
1、树的概念 2、树的遍历 3、树的存储方式 4、二叉树
树的概念
树是一种常见的非线性的数据结构。 树是一种常见的非线性的数据结构 。 树的递归定义如 下: 树是n(n> 个结点的有限集, n(n>0 树是n(n>0)个结点的有限集,这个集合满足以下条 件: 有且仅有一个结点没有前件(父亲结点) ⑴有且仅有一个结点没有前件(父亲结点),该结 点称为树的根; 点称为树的根; 除根外,其余的每个结点都有且仅有一个前件; ⑵除根外,其余的每个结点都有且仅有一个前件; 除根外,每一个结点都通过唯一的路径连到根上。 ⑶除根外,每一个结点都通过唯一的路径连到根上。 这条路径由根开始,而未端就在该结点上, 这条路径由根开始 , 而未端就在该结点上 , 且除根以 路径上的每一个结点都是前一个结点的后件( 外 , 路径上的每一个结点都是前一个结点的后件 ( 儿 子结点) 子结点);
树的表示方法
树的表示方法一般有两种: 自然界的树形表示法:用结点和边表示树, ⑴自然界的树形表示法:用结点和边表示树,例如上图采用的就 是自然界的树形表示法。树形表示法一般用于分析问题。 是自然界的树形表示法。树形表示法一般用于分析问题。
⑵括号表示法:先将根结点放入一对圆括号中,然后把它的子树 括号表示法: 按由左而右的顺序放入括号中,而对子树也采用同样方法处理: 同层子树与它的根结点用圆括号括起来,同层子树之间用逗号隔 开,最后用闭括号括起来。例如图可写成如下形式 (r(a(w,x(d(h),e)),b(f),c(s,t(i(m,o, n),j),u)))
1、二叉树的递归定义和基本形态
二叉树是以结点为元素的有限集,它或者为空, 二叉树是以结点为元素的有限集,它或者为空,或者满足以 下条件: ⑴有一个特定的结点称为根; ⑵ 余下的结点分为互不相交的子集 L 和 R , 其中 R 是根的 余下的结点分为互不相交的子集L 其中R 左子树;L是根的右子树;L 左子树;L是根的右子树;L和R又是二叉树; 由上述定义可以看出, 由上述定义可以看出,二叉树和树是两个不同的概念 ⑴树的每一个结点可以有任意多个后件,而二叉树中每 树的每一个结点可以有任意多个后件, 个结点的后件不能超过2 个结点的后件不能超过2; ⑵树的子树可以不分次序(除有序树外);而二叉树的 树的子树可以不分次序(除有序树外) 子树有左右之分。我们称二叉树中结点的左后件为左儿子, 子树有左右之分。我们称二叉树中结点的左后件为左儿子, 右后件为右儿子。 右后件为右儿子。
森林的孩子兄弟表示
•{
•
int _max=0;
•
if(r->firstChild==NULL) return 1;
•
for(auto i=r->firstChild;i!=NULL;i=i->nextSibling)
•
{
14
森林的高度(森林中树的最大高度)
• template <class T>
• int ChildSiblingForest<T>::Height() const
• (2)求森林的规模(森林中树的数目)、森林的高度(森林中树的最大高度)、 森林的叶子数(森林中所有树的叶子之和)。
• (3)在森林的孩子兄弟链表示中,设计并实现相应函数,求相应二叉树的高度和 叶子数。
3
森林的孩子兄弟存储结构
•森林的结点类模板定义同树的结点类模板定义一致
•template<class T>
• template <class T>
• int ChildSiblingForest<T>::TreeNum() const
•{
•
ChildSiblingForestNode<T> *cur=root;
•
int num=0;
•
while(cur!=NULL) { num++; cur=cur->nextSibling; }
•template<class T>
•void ChildSiblingForest<T>::InRootOrderHelp(ChildSiblingForestNode<T> *r, void (*Visit)(const T &)) const
C++树与森林
二叉树的五种不同形态
二叉树的性质Βιβλιοθήκη 性质1 若二叉树的层次从0开始, 性质1 若二叉树的层次从0开始, 则在二叉树的 个结点。 第 i 层最多有 2i 个结点。(i ≥ 0) [证明用数学归纳法] 证明用数学归纳法]
k+1 个结点。 性质2 高度为k 性质2 高度为k的二叉树最多有 2k+1-1个结点。 (k ≥ -1) [证明用求等比级数前k项和的公式] 证明用求等比级数前k项和的公式]
树和森林的概念
树的定义 树是由n 0)个结点组成的有限集合 如果n 个结点组成的有限集合。 树是由n (n ≥ 0)个结点组成的有限集合。如果n = 0,称为空树;如果n > 0,则 0,称为空树;如果n 0, 有一个特定的称之为根(root)的结点 的结点, 有一个特定的称之为根(root)的结点,它只有 直接后继,但没有直接前驱; 直接后继,但没有直接前驱; 除根以外的其它结点划分为m 0)个互不 除根以外的其它结点划分为m (m ≥ 0)个互不 相交的有限集合T 相交的有限集合T0, T1, …, Tm-1,每个集合又是一 棵树,并且称之为根的子树 子树(subTree)。 棵树,并且称之为根的子树(subTree)。每棵子树 的根结点有且仅有一个直接前驱,但可以有0个 的根结点有且仅有一个直接前驱,但可以有0 或多个直接后继。 或多个直接后继。
BinTreeNode<Type> *GetLeft ( ) const { return leftChild; } BinTreeNode<Type> *GetRight ( ) const { return rightChild; } void SetData ( const Type & item ) { data = item; } void SetLeft ( BinTreeNode <Type> *L ) { leftChild = L; } void SetRight ( BinTreeNode <Type> *R ) { rightChild = R; } private: BinTreeNode<Type> *leftChild, *rightChild; Type data; };
7-树与森林的遍历
2.树和森林的遍历
AJ K LM
NO
先序遍历:A B E F I GC D HJ KL N OM 后序遍历:E I F G B C J K N O L M H D A 层次遍历:A B C D E F G H I J K L MN O
3
2. 树和森林的遍历
森林的遍历 1. 先序遍历 ① 访问森林中第一棵树的根结点 ② 先序遍历第一树中根结点的子树森林 ③ 先序遍历除去第一棵树之后剩余的森林 2. 中序遍历 ① 中序遍历森林中第一棵树的根结点的子树森林 ② 访问第一棵树的根结点 ③ 中序遍历除去第一棵树之后剩余的森林
3.3.3 树和森林的基本操作
2. 树和森林的遍历
树的遍历:按一定规律走遍树的各个顶点,且使每 一顶点仅被访问一次,即找一个完整而有规律的走 法,以得到树中所有顶点的一个线性排列
遍历方法 ① 先根(序)遍历:先访问树的根结点,然后依次 先根遍历根的每棵子树 ② 后根(序)遍历:先依次后根遍历每棵子树,然 后访问根结点 ③ 按层次遍历:先访问第一层上的结点,然后依次 遍历第二层,……第n层的结点
2. 树和森林的遍历
森林的遍历
A
E
G
B
C
D
H F
I
J
先序遍历:A B C D E F G H I J 中序遍历:B C D A F E H J I G
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森林、树、二叉树的性质与关系
森林、树、⼆叉树的性质与关系森林、树、⼆叉树的性质与关系这篇博客写的太累了。
本⽂中对于这部分的讲解没有提到的部分:对于⼆叉树的遍历:重点讲了⾮递归遍历的实现⽅式和代码(递归⽅法使⽤的相对较多,请直接参考博客代码)对于哈夫曼编码和线索⼆叉树的代码实现没有列出。
树我们对于树和⼆叉树这⼀部分的内容主要研究树的逻辑结构和存储结构,由于计算机的特殊性存储结构及⼆叉树的简单性,我们更主要讨论⼆叉树的逻辑结构和存储结构并对其进⾏实现(其中包含⼆叉树的⼀些重要性质),另外我们在研究这⼀类问题时,⾸先要考虑到树与森林之间的转换,以及树与⼆叉树之间的转换。
从⽽简化为最简单的⼆叉树问题。
知识体系结构图:树的定义:(采⽤递归⽅法去定义树)树:n(n≥0)个结点的有限集合。
当n=0时,称为空树;任意⼀棵⾮空树满⾜以下条件:(1)有且仅有⼀个特定的称为根的结点;(2)当n>1时,除根结点之外的其余结点被分成m(m>0)个互不相交的有限集合T1,T2,… ,Tm,其中每个集合⼜是⼀棵树,并称为这个根结点的⼦树。
(⽤图的定义法去描述树:连通⽽不含回路的⽆向图称为⽆向树,简称树,常⽤T表⽰树)树的基本术语:结点的度:结点所拥有的⼦树的个数。
树的度:树中各结点度的最⼤值。
叶⼦结点:度为0的结点,也称为终端结点。
分⽀结点:度不为0的结点,也称为⾮终端结点。
孩⼦、双亲:树中某结点⼦树的根结点称为这个结点的孩⼦结点,这个结点称为它孩⼦结点的双亲结点;兄弟:具有同⼀个双亲的孩⼦结点互称为兄弟。
祖先、⼦孙:在树中,如果有⼀条路径从结点x到结点y,那么x就称为y的祖先,⽽y称为x的⼦孙。
路径:如果树的结点序列n1, n2, …, nk有如下关系:结点ni是ni+1的双亲(1<=i<k),则把n1, n2, …, nk称为⼀条由n1⾄nk的路径;路径上经过的边的个数称为路径长度。
结点所在层数:根结点的层数为1;对其余任何结点,若某结点在第k层,则其孩⼦结点在第k+1层。
树的前序遍历、中序遍历、后序遍历详解
树的前序遍历、中序遍历、后序遍历详解1.前序遍历图1对于当前节点,先输出该节点,然后输出他的左孩⼦,最后输出他的右孩⼦。
以上图为例,递归的过程如下:(1):输出 1,接着左孩⼦;(2):输出 2,接着左孩⼦;(3):输出 4,左孩⼦为空,再接着右孩⼦;(4):输出 6,左孩⼦为空,再接着右孩⼦;(5):输出 7,左右孩⼦都为空,此时 2 的左⼦树全部输出,2 的右⼦树为空,此时 1 的左⼦树全部输出,接着 1 的右⼦树;(6):输出 3,接着左孩⼦;(7):输出 5,左右孩⼦为空,此时 3 的左⼦树全部输出,3 的右⼦树为空,⾄此 1 的右⼦树全部输出,结束。
2.中序遍历对于当前结点,先输出它的左孩⼦,然后输出该结点,最后输出它的右孩⼦。
以上图为例:(1):1-->2-->4,4 的左孩⼦为空,输出 4,接着右孩⼦;(2):6 的左孩⼦为空,输出 6,接着右孩⼦;(3):7 的左孩⼦为空,输出 7,右孩⼦也为空,此时 2 的左⼦树全部输出,输出 2,2 的右孩⼦为空,此时 1 的左⼦树全部输出,输出1,接着 1 的右孩⼦;(4):3-->5,5 左孩⼦为空,输出 5,右孩⼦也为空,此时 3 的左⼦树全部输出,⽽ 3 的右孩⼦为空,⾄此 1 的右⼦树全部输出,结束。
3.后序遍历对于当前结点,先输出它的左孩⼦,然后输出它的右孩⼦,最后输出该结点。
依旧以上图为例:(1):1->2->4->6->7,7 ⽆左孩⼦,也⽆右孩⼦,输出 7,此时 6 ⽆左孩⼦,⽽ 6 的右⼦树也全部输出,输出 6,此时 4 ⽆左⼦树,⽽ 4的右⼦树全部输出,输出 4,此时 2 的左⼦树全部输出,且 2 ⽆右⼦树,输出 2,此时 1 的左⼦树全部输出,接着转向右⼦树;(2):3->5,5 ⽆左孩⼦,也⽆右孩⼦,输出 5,此时 3 的左⼦树全部输出,且 3 ⽆右孩⼦,输出 3,此时 1 的右⼦树全部输出,输出 1,结束。
第六章 树与二叉树
森林的遍历
(4) 广度优先遍历(层次序 遍历) :
数据结构
若森林F为空,返回; 否则 依次遍历各棵树的根 结点; 依次遍历各棵树根结 点的所有子女; 依次遍历这些子女结 森林的二叉树表示 点的子女结点。
45
二叉树的计数 由二叉树的前序序列和中序序列可唯 一地确定一棵二叉树。例, 前序序列 { ABHFDECKG } 和中序序列 { HBDFAEKCG }, 构造二叉树过程如 下:
三个结点构成的不同的二叉树
8
用二 叉 树 表达实际问题
例2 双人比赛的所有可能的结局
开始
甲
开局连赢两局 或五局三胜
乙
甲
甲 甲 乙
乙
乙 甲 乙 甲 甲 乙
甲
乙 甲
乙
乙
甲
乙甲
乙
甲
乙 甲 乙
二叉树的性质
数据结构
性质1 若二叉树的层次从1开始, 则在二叉树的 第 i 层最多有 2i -1个结点。(i 1) [证明用数学归纳法] 性质2 高度为k的二叉树最多有 2k-1个结点。 (k 0) [证明用求等比级数前k项和的公式]
前序遍历二叉树算法的框架是 若二叉树为空,则空操作; 否则 – 访问根结点 (V); – 前序遍历左子树 (L); – 前序遍历右子树 (R)。
遍历结果 -+a*b-cd/ef
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数据结构
后序遍历 (Postorder Traversal)
后序遍历二叉树算法的框架是 若二叉树为空,则空操作; 否则 – 后序遍历左子树 (L); – 后序遍历右子树 (R); – 访问根结点 (V)。
数据结构
36
左子女-右兄弟表示法 第一种解决方案
树,二叉树,森林
二叉树
二叉树性质(续) ② 高度为k的二叉树最多有2k-1个结点(k≥1) 证明:
高度为k的二叉树只有在每一层都达到最大结点数时,整个二叉树的结点数 才能达到最大。即当每层的结点数目都达到该层的最大结点数2i-1时(性质 2),对应的二叉树的结点数目取得最大值(等比数列求和) a1(1-qn)/(1-q)
因此如果把完全二叉树的各个结点按编号顺序依次存放到一个一维数组, 对于完全二叉树中任意结点i的双亲结点序号、左孩子结点序号和右孩子 结点序号都可由公式计算得到,具体做法是将n个结点存放到一维数组 a[n+1]中。这便是完全二叉树的顺序存储。
二叉树
带有结点编号的完全二叉树
二叉树
对于非完全二叉树是构造虚结点完成顺序存储
树的基本概念
A B E K L F C G H M D I J
back
树的基本概念
3、树的表示方法 (4种)
树形表示 文氏图表示 凹入表示
嵌套括号表示
A(B,C(D,E))
二叉树
二叉树是树型结构的一个重要类型,许多实际问题抽象 出来的数据结构都是二叉树的形式,此外一般的树也可以 简单的转换为二叉树,因此二叉树是特别重要的一种树结 构。 1、二叉树的定义: 二叉树(Binary Tree)是n(n≥0)个有限结点构成、 每个结点最多有两个孩子且有左右区分的有序树合。 n=0的树称为空二叉树;n>0的二叉树由一个根结点 和两个互不相交的、分别称作左子树和右子树的子二叉树 构成。
树、森林和二叉树的关系
树、森林和二叉树的关系
孩子兄弟表示法(二叉链表表示法): 链表中每个结点设有两个链域,分别指向该结点的第一个孩 子结点和下一个兄弟(右兄弟)结点。
树、森林和二叉树的关系
数据结构 第六章-树
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A B C D
E
F
G H
I J
A
E F H
G
B C
D A
I J
A
B C F
E H
G
B C D F
E G H I J
21
I
D
J
5. 二叉树转换成树和森林
二叉树转换成树 1. 加线:若p结点是双亲结点的左孩子,则将p的右孩 子,右孩子的右孩子,……沿分支找到的所有右孩 子,都与p的双亲用线连起来 2. 抹线:抹掉原二叉树中双亲与右孩子之间的连线 3. 调整:将结点按层次排列,形成树结构7Fra bibliotek6.3.2
树和森林的存储结构
树的存储结构有很多,既可以采用顺序存储结构, 也可以采用链式存储结构。但无论采用哪种存储方式, 都要求存储结构不仅能存储各结点本身的数据信息,还 要能惟一地反映树中各结点之间的逻辑关系。 双亲表示法 孩子链表表示法 孩子兄弟表示法
8
1.双亲表示法 除根外,树中的每个结点都有惟一的一个双亲结点,所以可以用一 组连续的存储空间存储树中的各结点。一个元素表示树中一个结点, 包含树结点本身的信息及结点的双亲结点的位臵。 A B E F C G H D I
}CTBox;
//树结构 typedef struct {CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE]; int n, r; }Ctree
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3. 孩子-兄弟表示法(树的二叉链表)
孩子兄弟表示法用二叉链表作为树的存储结构。将树中的多支关系用 二叉链表的双支关系体现。 ※ 结点的左指针指向它的第一个孩子结点
//孩子结点结构 typedef struct CTNode
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