高中数学1.7.2 定积分在物理中的应用课件(新人教A版选修2-2)
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( 人教A版)2017-2018学年高中数学选修2-2：1.7.2定积分在物理中的应用课件 (共24张PPT)
[解析] (1)由 v(t)＝8t－2t2≥0，得 0≤t≤4，
即当 0≤t≤4 时，P 点向 x 轴正方向运动，
当 t>4 时，P 点向 x 轴负方向运动．
故当 t＝6 时，点 P 离开原点的路程
s1＝4(8t－2t2)dt－6(8t－2t2)dt
0
4
＝4t2－23t340 －4t2－23t364 ＝1238.
位移不但有大小，而且有方向，是一个矢量(或向量)；路程是物体运动轨迹即质点
运动时所经过的实际路径的长度，路程只有
大小，没有方向，是个标量(或数量)．
(2)用定积分计算做直线运动物体的路程，要先判断速度 v(t)在时间区间内是否为正
值，若 v(t)>0，则运动物体的路程为 s
＝bv(t)dt；若 v(t)<0，则运动物体的路程为 s＝b|v(t)|dt
时间内的位移为( )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A.167
B.134
C.163
D.161
解析：质点在[1,2]时间内的位移为2(t2－t＋2)dt＝(13t3－12t2＋2t)21 ＝167. 1
答案：A
3．一物体在力 F(x)＝2x＋4(单位：N)的作用下，沿着与力 F 相同的方向，从 x＝0 处运动到 x＝5 处(单位：m)，则力 F(x)所做的功为________． 解析：由变力做功的计算可得力 F(x)所做的功 W＝5(2x＋4)dx＝(x2＋4x)50 ＝45(J)．
W＝bF(x)dx
功为
a
[双基自测] 1．已知自由下落的物体运动的速度 v＝gt(g 为常数)，则当 t∈[1,2]时，物体下落的
距离为( )
A.12g
B．g
高中数学 1.7.2 定积分在物理中的应用课件 新人教A版 选修22
第二十五页，共29页。
解析： 设x表示弹簧伸长的量(单位：m)，F(x)表示加在 弹簧上的力(单位：N)．
由题意，得F(x)＝kx， 且当x＝0.05 m时，F(0.05)＝100 N， 即0.05k＝100，∴k＝2 000，∴F(x)＝2 000x. ∴将弹簧由25 cm伸长到40 cm时所做的功为 W＝∫00.152 000xdx＝1 000x2| 00.15＝22.5(J)．
＝
3 8 (1
250＋1
000)＋
2 8 (2
800＋800)＋20(120－90)
＝1
125 4
3＋450
2＋600(N·cm)．
第二十三页，共29页。
用定积分求变力做功：
(1)求变力做功，要根据物理学的实际意义，求出变力F的
表达式，这是求功的关键．
(2)由功的物理意义知，物体在变力F(x)的作用下，沿力
F(x)的方向做直线运动，使物体从x＝a移到x＝b(a<b)．因此，
求功之前还应求出位移起始位置与终止位置．
b
(3)根据变力做功公式W＝
a
f(x)dx即可求出变力F(x)所做的
功．
第二十四页，共29页。
2．设有一长25 cm的弹簧(tánhuáng)，若加以100 N的力， 则弹簧(tánhuáng)伸长到30 cm，又已知弹簧(tánhuáng)伸长所需 要 的 拉 力 与 弹 簧 (tánhuáng) 的 伸 长 量 成 正 比 ， 求 使 弹 簧 (tánhuáng)由25 cm伸长到40 cm所做的功．
解析： 在弹性限度内，拉伸(或压缩)弹簧所需的力 F(x)(单位：N)与弹簧拉伸(或压缩)的长度x(单位：m)成正比， 即F(x)＝kx(常数k是比例系数)．由题意知，当F(x)＝1时，x＝ 0.01，可得k＝100.由变力作功公式，得到将弹簧拉长6 cm耗费 的功W＝∫00.06100xdx＝50x2| 00.06＝0.18(J)．
解析： 设x表示弹簧伸长的量(单位：m)，F(x)表示加在 弹簧上的力(单位：N)．
由题意，得F(x)＝kx， 且当x＝0.05 m时，F(0.05)＝100 N， 即0.05k＝100，∴k＝2 000，∴F(x)＝2 000x. ∴将弹簧由25 cm伸长到40 cm时所做的功为 W＝∫00.152 000xdx＝1 000x2| 00.15＝22.5(J)．
＝
3 8 (1
250＋1
000)＋
2 8 (2
800＋800)＋20(120－90)
＝1
125 4
3＋450
2＋600(N·cm)．
第二十三页，共29页。
用定积分求变力做功：
(1)求变力做功，要根据物理学的实际意义，求出变力F的
表达式，这是求功的关键．
(2)由功的物理意义知，物体在变力F(x)的作用下，沿力
F(x)的方向做直线运动，使物体从x＝a移到x＝b(a<b)．因此，
求功之前还应求出位移起始位置与终止位置．
b
(3)根据变力做功公式W＝
a
f(x)dx即可求出变力F(x)所做的
功．
第二十四页，共29页。
2．设有一长25 cm的弹簧(tánhuáng)，若加以100 N的力， 则弹簧(tánhuáng)伸长到30 cm，又已知弹簧(tánhuáng)伸长所需 要 的 拉 力 与 弹 簧 (tánhuáng) 的 伸 长 量 成 正 比 ， 求 使 弹 簧 (tánhuáng)由25 cm伸长到40 cm所做的功．
解析： 在弹性限度内，拉伸(或压缩)弹簧所需的力 F(x)(单位：N)与弹簧拉伸(或压缩)的长度x(单位：m)成正比， 即F(x)＝kx(常数k是比例系数)．由题意知，当F(x)＝1时，x＝ 0.01，可得k＝100.由变力作功公式，得到将弹簧拉长6 cm耗费 的功W＝∫00.06100xdx＝50x2| 00.06＝0.18(J)．
2019-2020数学人教A版选修2-2课件：1.7.2定积分在物理中的应用
0
4
＝ 4t2－23t340＋ 23t3－4t254＝26.
(4)依题意知t (8t－2t2)dt＝0， 0
即4t2－23t3＝0.解得t1＝0或t2＝6. t1＝0对应于P点刚开始从原点出发的情况， t2＝6是所求的t.
物体做变速直线运动经过的路程s＝
4t2－23t330＝18.
(2)s2＝5(8t－2t2)dt＝ 0
4t2－32t350＝530.
(3)当v(t)＝8t－2t2≥0时，即运动，因此，
所求路程应为
s3＝4(8t－2t2)dt＋5[－(8t－2t2)]dt
2
2
而43t32 ＋12t2＋2t′＝2 t＋t＋2，
所以s＝ 34t32 ＋21t2＋2t82＝536 2＋42.
所以汽车在2～8 s这段时间内走过的路程为536 2＋42 m.
求变力所做的功
【例2】 设有一长为25 cm的弹簧，若加以100 N的力，则 弹簧伸长到30 cm，求使弹簧伸长到40 cm所做的功．
C．e3＋2
D．e3＋1
【答案】B
4 ． (2017 年 湖 南 模 拟 ) 自 由 落 体 的 运 动 速 度 v ＝ gt(g 为 常 数)，则当t∈[1,2]时，物体下落的距离为________.
【答案】32g
点击进入WORD链接
＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即_____a _____．
2．变力做功 如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着
与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a<b)，那么变力F(x)所做 W＝bF(x)dx
的功为_______a _______．
高中数学第一章导数及其应用1.7.2定积分在物理中的应用课件新人教A版选修22
因此由 v(t)=0 可解得 t=4,
即汽车从刹车到停止共用 4 s.
该汽车在此期间所行驶的距离
s=
4
0
7-3t +
25
1+t
dt
3t2
= 7t+ 25ln(t + 1)
2
=(4+25ln 5)(m).
答案:C
第十页，共17页。
4
|
0
)
题型一
题型二
题型三
求变力所做的功
【例2】 设有一长25 cm的弹簧,若加以100 N的力,则弹簧伸长到30
清运动过程中的变化情况是解题的关键,做变速直线运动的物体所
经过的路程是位移的绝对值之和,从时刻 t=a 到时刻 t=b 所经过的路
程 s 和位移 s1 分别为
(1)若 v(t)≥0(a≤t≤b),则 s=
a
v(t)dt.
a
v(t)dt, s1 = a v(t)dt.
v(t)dt, s1 =
= 80ln 2(J).
0
故活塞克服气体压力做 80ln 2 J 的功.
第十四页，共17页。
题型一
题型二
题型三
利用定积分求解其他物理问题
【例3】 A,B两站相距7.2 km,一辆电车从A站开往B站,电车开出t s后到达
途中的点C处,这一段速度为1.2t(m/s),到C处的速度达24 m/s.从C处到B
(2)若 v(t)≤0(a≤t≤b),则 s=− a
(3)若在区间[a,c]上 v(t)≥0,在区间[c,b]上 v(t)<0,则 s=
c
a
v(t)dt − c v(t)dt, s1 = a v(t)dt.
即汽车从刹车到停止共用 4 s.
该汽车在此期间所行驶的距离
s=
4
0
7-3t +
25
1+t
dt
3t2
= 7t+ 25ln(t + 1)
2
=(4+25ln 5)(m).
答案:C
第十页，共17页。
4
|
0
)
题型一
题型二
题型三
求变力所做的功
【例2】 设有一长25 cm的弹簧,若加以100 N的力,则弹簧伸长到30
清运动过程中的变化情况是解题的关键,做变速直线运动的物体所
经过的路程是位移的绝对值之和,从时刻 t=a 到时刻 t=b 所经过的路
程 s 和位移 s1 分别为
(1)若 v(t)≥0(a≤t≤b),则 s=
a
v(t)dt.
a
v(t)dt, s1 = a v(t)dt.
v(t)dt, s1 =
= 80ln 2(J).
0
故活塞克服气体压力做 80ln 2 J 的功.
第十四页，共17页。
题型一
题型二
题型三
利用定积分求解其他物理问题
【例3】 A,B两站相距7.2 km,一辆电车从A站开往B站,电车开出t s后到达
途中的点C处,这一段速度为1.2t(m/s),到C处的速度达24 m/s.从C处到B
(2)若 v(t)≤0(a≤t≤b),则 s=− a
(3)若在区间[a,c]上 v(t)≥0,在区间[c,b]上 v(t)<0,则 s=
c
a
v(t)dt − c v(t)dt, s1 = a v(t)dt.
数学选修2-2人教新课标A版1-7-2定积分在物理中的应用课件(18张)
s = ò b v(t)dt a
四、课堂小结
原理2（求变力所作的功）： 如果物体在变力F(x)的作用下做直线 运动，则物体沿着与F(x)相同的方向 从x＝a移动到x＝b(a＜b)所作的功 为:
W = ò b F(x)dx a
四、课堂小结
2.利用定积分求变速直线运动的位 移，其积分变量是时间，被积函数 是速度对时间的函数；利用定积分 求变力所作的功，其积分变量是位 移，被积函数是力对位移的函数.
ò40
2
探究2：根据定积分计算，汽车在这1min内行驶的路程是多 少m？
v(m/s)
ò 10
3tdt＝150
30 A
B
0
ò 40 30dt＝900
C
10
O 10
40 60 t(s)
ò 60 (- 3 t + 90)dt ＝300
40
2
思考4：根据定积分的几何意义，如何计算汽车在这 1min内行驶的路程？
做的功为W 2 Fvdt = 2 5.6t6dt =102.4J
0
0
答: 在时刻 t 0 (s)到 t 2 (s)这段时间内阻力
做的功为 102.4J
四、课堂小结
1. .在物理中，定积分主要应用于求 变速直线运动的位移和变力所作的 功，其基本原理如下： 原理1（求变速直线运动的位移）： 若物体运动的速度函数为v(t)，则物 体在a≤t≤b时段内的位移是:
4.一物体以速度 v(t) 2t 2 (m/s)做直线运动,媒质的
阻力 F(N)与速度 v(m/s)的关系为 F 0.7v2 ,试求在 时刻 t 0 (s)到 t 2 (s)这段时间内阻力做的功.
解:媒质的阻力为 F 0.7v2 = 2.8t4
四、课堂小结
原理2（求变力所作的功）： 如果物体在变力F(x)的作用下做直线 运动，则物体沿着与F(x)相同的方向 从x＝a移动到x＝b(a＜b)所作的功 为:
W = ò b F(x)dx a
四、课堂小结
2.利用定积分求变速直线运动的位 移，其积分变量是时间，被积函数 是速度对时间的函数；利用定积分 求变力所作的功，其积分变量是位 移，被积函数是力对位移的函数.
ò40
2
探究2：根据定积分计算，汽车在这1min内行驶的路程是多 少m？
v(m/s)
ò 10
3tdt＝150
30 A
B
0
ò 40 30dt＝900
C
10
O 10
40 60 t(s)
ò 60 (- 3 t + 90)dt ＝300
40
2
思考4：根据定积分的几何意义，如何计算汽车在这 1min内行驶的路程？
做的功为W 2 Fvdt = 2 5.6t6dt =102.4J
0
0
答: 在时刻 t 0 (s)到 t 2 (s)这段时间内阻力
做的功为 102.4J
四、课堂小结
1. .在物理中，定积分主要应用于求 变速直线运动的位移和变力所作的 功，其基本原理如下： 原理1（求变速直线运动的位移）： 若物体运动的速度函数为v(t)，则物 体在a≤t≤b时段内的位移是:
4.一物体以速度 v(t) 2t 2 (m/s)做直线运动,媒质的
阻力 F(N)与速度 v(m/s)的关系为 F 0.7v2 ,试求在 时刻 t 0 (s)到 t 2 (s)这段时间内阻力做的功.
解:媒质的阻力为 F 0.7v2 = 2.8t4
人教版高中数学选修(2-2)-1.7《定积分在物理中的应用》教学课件1
一样,可以用"四步曲" 解决变力作功问题.可以得
到
W
b
a
Fx
dx.
例4 如图1.7 4,在弹性限
度内, 将一弹簧从平衡位置
拉到离平衡位置 l m处,求弹
力所作的功.
Q
解 在弹性限度内,拉伸(或
l
压缩) 弹簧所需的力Fx与
弹簧 拉伸或压 缩 的长 度 x
图1.7 4 F
成正比,即Fx kx,其中常
图1.7 3
程是 :
S
10
3tdt
40
30dt
60
1.5t
90
dt
0
10
40
3 t2 10 20
30t 40 10
3 t2 4
60
90t 40
1350 m .
答 汽车在这1min行驶的路程是1350m.
2. 变力作功
一物体在恒力F 单位 : N的作用下做直线运动,如
果物体沿着与力F相同的方向移动了s(单位 : m),
则力F所作的功为W Fs.
探究 如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物 体沿着与F(x)相同方向从x=a移动到x=b(a＜b)，那么如 何计算变力F(x)所作的功呢？
与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程
20
10
C t/s o 10 20 30 40 50 60
图1.7 3
解 由速度 时间曲线可知: v/m/s
3t,
0 t 10 ; 30 A
B
vt 30,
10 t 40 t 60.
2020学年高中数学1.7.1定积分在几何中的应用1.7.2定积分在物理中的应用课件人教A版选修2_2
题型二 求变速直线运动物体的路程 【例2】 一质点A以速度v1(t)＝3t2＋1(m/s)在直线l 上运动，另一质点B以速度v2(t)＝10t(m/s)也在直线l上运 动，若两质点同时同地出发并同向运动，求经过多少时 间，质点A比质点B多运动5 m?
【解析】 设经过 x s，质点 A 比质点 B 多运动 5 m， 则
变式训练
1．计算由曲线y2＝x，y＝x3所围成图形的面积． 解析 首先画出草图，如图，
所求面积为图中阴影部分的面积．
解方程组yy2＝＝xx3， ，得交点的横坐标为 x＝0 或 x＝1.
因此，所求图形的面积 S＝1 xdx－1x3dx
0
0
| | ＝23x32
1 0
－14x4
1 0
＝23－14＝152.
做的功．
变式训练
3．一物体在力 F(x)＝130x（ ＋04≤ （xx≤ >22）），(单位：N)的
作用下沿与力 F 相同的方向，从 x＝0 处运动到 x＝4(单 位：m)处，则力 F(x)做的功为
A．44 J C．48 J
B．46 J D．50 J
解析 W＝4F(x)dx＝210dx＋4(3x＋4)dx
－1
0
＝0
(2＋2y)dy＋1(2－y－y2)dy
－1
0
| | 1
1
＝(2y＋y2) 1 ＋2y－12y2－13y3 0
＝－(－2＋1)＋2－12－13＝163.
●规律方法 求由曲线围成图形面积的一般步骤
(1)根据题意画出图形； (2)找出范围，确定积分上、下限； (3)确定被积函数； (4)将面积用定积分表示； (5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果．
【解析】 设以 x 表示弹簧伸长的厘米数，F(x)表示 加在弹簧上的力．
1.7.2《定积分在物理中的应用》课件(人教A版选修2-2)
课程目标设置
主题探究导学
1.当v（t）<0时,从时刻t=a到时刻t=b,所经过的路程怎样表
示?
提示：S=-
b
a
v(t).dt
2.当v（t）的方向有正,有负时,怎样表示t∈［a,b］时物体
经过的路程和|位dt 移S′=
.
b
v(t)dt
a
1.力、位移、功的相应单位各是什么? 提示：一般情况下力,位移,功的单位依次为N,m,J.因此解题时 要统一单位.
3.一物体在变力F（x）=5-x2（力单位：N，位移单位：m）作
用下，沿与F（x）成30°方向做直线运动，则由x=1 m运动到
x=2 m时F（x）作的功为（
（A） 3 J 【解析】
（B）2 3 J
3
）
（C）4 3 J
3
（D）2 3 J
二、填空题（每题5分，共10分） 4.一物体以v= 1+t（m/s）的速度沿直线运动，该物体从0 s到 10 s内所经过的路程是_______.
【解析】 答案：
5.有一质量非均匀分布的细棒，已知其密度ρ（x）=x2（取细 棒所在的直线为x轴，细棒的一端为原点），棒长为l，求细棒 的质量m=________.
【解题提示】要求细棒的质量可以求密度函数对细棒长的积 分. 【解析】 答案： 1l3
3
三、解答题（6题12分，7题13分，共25分）
6.做直线运动的质点在任意位置x（单位:m）处，所受变力F
（x）=1+ex（单位：N），求质点沿着与F（x）相同的方向，
从x1=0处运动到x2=1处时，变力F（x）所作的功.
【解析】W=1 0
(1+ex
)dx=(x+=exe)（10 J）.
主题探究导学
1.当v（t）<0时,从时刻t=a到时刻t=b,所经过的路程怎样表
示?
提示：S=-
b
a
v(t).dt
2.当v（t）的方向有正,有负时,怎样表示t∈［a,b］时物体
经过的路程和|位dt 移S′=
.
b
v(t)dt
a
1.力、位移、功的相应单位各是什么? 提示：一般情况下力,位移,功的单位依次为N,m,J.因此解题时 要统一单位.
3.一物体在变力F（x）=5-x2（力单位：N，位移单位：m）作
用下，沿与F（x）成30°方向做直线运动，则由x=1 m运动到
x=2 m时F（x）作的功为（
（A） 3 J 【解析】
（B）2 3 J
3
）
（C）4 3 J
3
（D）2 3 J
二、填空题（每题5分，共10分） 4.一物体以v= 1+t（m/s）的速度沿直线运动，该物体从0 s到 10 s内所经过的路程是_______.
【解析】 答案：
5.有一质量非均匀分布的细棒，已知其密度ρ（x）=x2（取细 棒所在的直线为x轴，细棒的一端为原点），棒长为l，求细棒 的质量m=________.
【解题提示】要求细棒的质量可以求密度函数对细棒长的积 分. 【解析】 答案： 1l3
3
三、解答题（6题12分，7题13分，共25分）
6.做直线运动的质点在任意位置x（单位:m）处，所受变力F
（x）=1+ex（单位：N），求质点沿着与F（x）相同的方向，
从x1=0处运动到x2=1处时，变力F（x）所作的功.
【解析】W=1 0
(1+ex
)dx=(x+=exe)（10 J）.
高二理科数学《1.7.2定积分在物理中的应用》名师课件人教版选修2-2
湖南省长沙市一中卫星远程学校
练习
1．教材 P59 面练习 2
湖南省长沙市一中卫星远程学校
练习
1．教材 P59 面练习 2
2．一物体在力 F (x) =
10(0 x 2) 3x 4( x 2)
（单位：N）的作用下沿与力 F(x)做功为
（）
A．44J B．46J
C．48J D．50J
25 3
湖南省长沙市一中卫星远程学校
例题分析
例 1．一辆汽车的速度-时间图如下图所示. 求汽车在这 1min 行驶的路程.
v /(m / s)
40 30
A
B
20
10
C t/s
O 102030405060
湖南省长沙市一中卫星远程学校
例题分析
例 1．一辆汽车的速度-时间图如下图所示. 求汽车在这 1min 行驶的路程.
主讲：陈震
湖南省长沙市一中卫星远程学校
练习
1．曲线 y = x2 + 2x 直线 x = – 1，x = 1 及 x
轴所围成图形的面积为
（）
A. 8 B. 2 C. 4 D. 2
3
33
湖南省长沙市一中卫星远程学校
练习
1．曲线 y = x2 + 2x 直线 x = – 1，x = 1 及 x
轴所围成图形的面积为
（ B）
A. 8 B. 2 C. 4 D. 2
3
33
湖南省长沙市一中卫星远程学校
练习
1．曲线 y = x2 + 2x 直线 x = – 1，x = 1 及 x
轴所围成图形的面积为
（ B）
A. 8 B. 2 C. 4 D. 2
3
练习
1．教材 P59 面练习 2
湖南省长沙市一中卫星远程学校
练习
1．教材 P59 面练习 2
2．一物体在力 F (x) =
10(0 x 2) 3x 4( x 2)
（单位：N）的作用下沿与力 F(x)做功为
（）
A．44J B．46J
C．48J D．50J
25 3
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例题分析
例 1．一辆汽车的速度-时间图如下图所示. 求汽车在这 1min 行驶的路程.
v /(m / s)
40 30
A
B
20
10
C t/s
O 102030405060
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例题分析
例 1．一辆汽车的速度-时间图如下图所示. 求汽车在这 1min 行驶的路程.
主讲：陈震
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练习
1．曲线 y = x2 + 2x 直线 x = – 1，x = 1 及 x
轴所围成图形的面积为
（）
A. 8 B. 2 C. 4 D. 2
3
33
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练习
1．曲线 y = x2 + 2x 直线 x = – 1，x = 1 及 x
轴所围成图形的面积为
（ B）
A. 8 B. 2 C. 4 D. 2
3
33
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练习
1．曲线 y = x2 + 2x 直线 x = – 1，x = 1 及 x
轴所围成图形的面积为
（ B）
A. 8 B. 2 C. 4 D. 2
3
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28 W = (J ) 3
例3 某汽车在高速公路上直线行驶， 刹车后汽车的速度为v(t)＝12－0.6t （m/s），求刹车后汽车需前进多少m才 能停住？ 120m
小结作业
1.在物理中，定积分主要应用于求变速 直线运动的位移和变力所作的功，其基 本原理如下： 原理1（求变速直线运动的位移）： 若物体运动的速度函数为v(t)，则物体 在a≤t≤b时段内的位移是:
1350(m )
探究（二）：变力作功
思考1：一物体在恒力F（单位：N）的作 用下做直线运动，如果物体沿着与F相同 的方向移动了s（单位：m），则力F所作 的功W等于多少？ W＝Fs
思考2：如果物体在变力F(x)的作用下做 直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的 方向从x＝a移动到x＝b(a＜b)，那么如 何计算变力F(x)所作的功W？
v(m/s) 30
A
B
ò
ò
10
3tdt＝150
30dt＝900
0
40
O 10
C 10 40 60 t(s)
ò
60
40
3 (- t + 90)dt ＝300 2
思考4：根据定积分的几何意义，如何计 算汽车在这1min内行驶的路程？
v(m/s) 30 A B C 60 t(s)
O 10
40
30 + 60 s= ? 30 2
1.7
1.7.2
定积分的简单应用
定积分在物理中的应用
问题提出
1.以速度v＝v(t)作变速直线运动的物 体，在a≤t≤b时段内行驶的路程s等于什 么？
b- a s = lim å v( xi ) = n n i= 1
n
ò
b
v(t )dt
a
2.用定积分可以表示作变速直线运动的 物体在某时段内的路程，利用微积分基 本定理可以求定积分的值，因此，运用 定积分可以解决物理中的某些计算问题.
探究（一）：变速直线运动的路程
思考1：一辆汽车在1min内的速度－时间 曲线如图所示，那么汽车的速度v与时间 t的函数关系是什么？
v(m/s)
30 A B
O
10
40
C 60 t(s)
v(m/s) 30
A
B
ì ï ï ï 3t (0 ＃t 10) ï ï ï ï 30 v(t ) = í (10 < t < 40) ï ï ï 3 ï - t + 90(40 ＃t 60) ï ï 2 ï î
l
理论迁移
例1 一质点A以速度v1(t)＝3t2＋1 （m/s）在直线l上运动，另一质点B以速 度v2(t)＝10t（m/s）也在直线l上运动， 若两质点同时出发并同向运动，求经过 多少时间，质点A比质点B多运动5m？
5s
例2 在某介质内作变速直线运动的物 体，经过时间t(单位：s)所走过的路程 s＝4t2（单位：m），若介质阻力F与物 体的运动速度v成正比，且当v＝10 m/s 时，F＝5N，求物体在位移区间[1，4]内 克服介质阻力所作的功.
s=
ò
b
v(t )dt
a
原理2（求变力所作的功）： 如果物体在变力F(x)的作用下做直线运 动，则物体沿着与F(x)相同的方向从x＝ a移动到x＝b(a＜b)所作的功为:
W =
ò
b
F (x )dx
a
2.利用定积分求变速直线运动的位移，其 积分变量是时间，被积函数是速度对时间的 函数；利用定积分求变力所作的功，其积分 变量是位移，被积函数是力对位移的函数.
W =
ò
b
F (x )dx
a
思考3：如图，在弹性限度内，将一弹簧 从平衡位置拉到离平衡位置xm处，那么 拉伸弹簧所需的力F(x)与x的函数关系是 什么？ F(x)＝kx，
其中k为弹力系数.
x
思考4：如果将弹簧从平衡位置拉到离平 衡位置l m处，那么克服弹力所作的功为 多少？
l
1 2 l 1 2 W = ò kxdx = kx |0 = kl (J ) 0 2 2
作业： P59练习：1，2. P60习题1.7A组：2，3.
O
10
40
C 60 t(s)
思考2：汽车在[0，10]，[10，40]，[40， 60]（单位：s）三个时段内行驶的路程， 用定积分分别如何表示？
v(m/s) 30
A
B
C 60 t(s)
ò
ò
ò
60
10
3tdt
40
0
30dt
O 10
40
10
40
3 (- t + 90)dt 2
思考3：根据定积分计算，汽车在这1min 内行驶的路程是多少m？