九年级数学一元二次方程的根的判别式PPT优秀课件
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一元二次方程的根的判别式+课件+人教版数学九年级上册
第二十一章 一元二次方程
21.2.2 公式法
第1课时 一元二次方程根的判别式
学习目标
1.理解并会计算一元二次方程根的判别式. 2.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.
讲授新课
一元二次方程根的判别式
我们可以用配方法解一元二次方程 a x2＋b x＋c＝0 (a≠0)． 移项，得
ax2 bx c.
A.
26
B.
－2 6
C.
2 6
D.
3 6
4.若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不 相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能 是( B )
5.无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等 的实数根吗？给出你的答案并说明理由.
解：方程化简为x2-5x+6-p2=0 ∴b2-4ac=(-5)2-4×1×(6-p2)=4p2+1≥1, ∴Δ>0 ∴无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两
二次项系数化为1，得
x2 b x c . aa
配方，得
x 2＋
b a
x＋
b 2a
2
＝－
c a
＋
b 2a
,
即
x
b 2a
2
＝b2
4ac
a2
.
因为a≠0，所以4a2＞0. 式子b2－4ac的值有以下三
种情况:
(1) b2 4ac 0
(2) b2 4ac 0
(3) b2 4ac 0
4
4
∴△=b2-4ac=(-1)2-4×11× =0.
4
∴方程有两个相等的实数根．
(3) x2-x+1=0.
21.2.2 公式法
第1课时 一元二次方程根的判别式
学习目标
1.理解并会计算一元二次方程根的判别式. 2.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.
讲授新课
一元二次方程根的判别式
我们可以用配方法解一元二次方程 a x2＋b x＋c＝0 (a≠0)． 移项，得
ax2 bx c.
A.
26
B.
－2 6
C.
2 6
D.
3 6
4.若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不 相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能 是( B )
5.无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等 的实数根吗？给出你的答案并说明理由.
解：方程化简为x2-5x+6-p2=0 ∴b2-4ac=(-5)2-4×1×(6-p2)=4p2+1≥1, ∴Δ>0 ∴无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两
二次项系数化为1，得
x2 b x c . aa
配方，得
x 2＋
b a
x＋
b 2a
2
＝－
c a
＋
b 2a
,
即
x
b 2a
2
＝b2
4ac
a2
.
因为a≠0，所以4a2＞0. 式子b2－4ac的值有以下三
种情况:
(1) b2 4ac 0
(2) b2 4ac 0
(3) b2 4ac 0
4
4
∴△=b2-4ac=(-1)2-4×11× =0.
4
∴方程有两个相等的实数根．
(3) x2-x+1=0.
《一元二次方程的根的判别式》课件
2 2
2
b 4 ac ( m ) 4 1 ( m ) 5 m 0
2 2
原方程有两个实数根。
想一想 不解方程，判别下列关于x 的方程根的情况：
变式
2
x mx 2 0 .
2
分析： a 1, b m , c 2 b 4 ac ( m ) 4 1 ( 2 ) m 8 0
成果检测 不解方程，判别下列方程的根的情况：
(1) 5 x 4 x 3 0 ; ( 2 ) 3 x 2 2 x 1 0 ;
2
(3) 2 x 3 2 6 x.
2
不解方程，判别下列关于x 的方程根的情况：
x mx m 0 .
2 2
解： a
1, b m , c m
2
的根的情况呢？
方程有两个实数根
定义
我们把 b 4 ac 叫做一元二次方程 2 ax bx c 0 ( a 0 ) 的根的判别式.
2
用符号“Δ”来表示.
b 4 ac
2
比一比 不解方程，判别下列方程的根的情况：
(1) x x 1 0 ;
2
( 2 ) x 3 x 2 0;
( 3 ) x 2 x 1;
2
( 4 )3 x 2 x 5 0 .
2
解：（1） a
1, b 1, c 1
2 2
b 4 ac ( 1) 4 1 ( 1) 5 0 原方程有两个不相等的 实数根。
（2） a 1, b 3 , c 2
新人教版九年级数学上册22.2.2
2
b 4 ac ( m ) 4 1 ( m ) 5 m 0
2 2
原方程有两个实数根。
想一想 不解方程，判别下列关于x 的方程根的情况：
变式
2
x mx 2 0 .
2
分析： a 1, b m , c 2 b 4 ac ( m ) 4 1 ( 2 ) m 8 0
成果检测 不解方程，判别下列方程的根的情况：
(1) 5 x 4 x 3 0 ; ( 2 ) 3 x 2 2 x 1 0 ;
2
(3) 2 x 3 2 6 x.
2
不解方程，判别下列关于x 的方程根的情况：
x mx m 0 .
2 2
解： a
1, b m , c m
2
的根的情况呢？
方程有两个实数根
定义
我们把 b 4 ac 叫做一元二次方程 2 ax bx c 0 ( a 0 ) 的根的判别式.
2
用符号“Δ”来表示.
b 4 ac
2
比一比 不解方程，判别下列方程的根的情况：
(1) x x 1 0 ;
2
( 2 ) x 3 x 2 0;
( 3 ) x 2 x 1;
2
( 4 )3 x 2 x 5 0 .
2
解：（1） a
1, b 1, c 1
2 2
b 4 ac ( 1) 4 1 ( 1) 5 0 原方程有两个不相等的 实数根。
（2） a 1, b 3 , c 2
新人教版九年级数学上册22.2.2
湘教九年级数学上册《一元二次方程根的判别式》课件(18张PPT)
（1） x2+3x-1=0； （2） x2-6x+9=0；
（3）2y2-3y+4=0；
（4） x2+5=25x.
（1） x2+3x-1=0
解 因为 Δ = b24ac= 32-4 × 1 ×（-1）
= 9 + 4 = 13＞0， 所以，原方程有两个不相等的实数根.
（2） x2-6x+9=0
解 因为 Δ= b24ac =（-6）2-4 ×1 ×9
例
不解方程，利用判别式判断下列方程根的 情况：
（1）3x2+4x-3=0 （2）4x2=12x-9 （3）7y=5(y2+1)
（1） 3x2+4x-3=0
解 因为 Δ= b24ac= 42-4 × 3 ×（-3）
=16 + 36 = 52 ＞0， 所以，原方程有两个不相等的实数根.
（2） 4x2=12x-9
因为 Δ= b24ac= （-7）2 -4×5×5 = 49-100 = -51＜0，
所以，原方程没有实数根.
练习
1.一元二次方程 x2x10的根的情况为 (D ) （A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根 （C）只有一个实数根 （D）没有实数根
2.不解方程，利用判别式判别下列方程的根的情况：
综上可知，我们不难发现一元二次方程 ax2+bx+c = 0(a≠0) 的根的情况可由Δ= b24ac 来判断：
当Δ > 0 时，原方程有两个不相等的实数根，其根为 x1b2 ba 24ac,x2b2 ba 24ac；
当Δ = 0 时，原方程有两个相等的实数根，其根为 x1x22ba；
当Δ < 0 时，原方程没有实数根.
（3）2y2-3y+4=0；
（4） x2+5=25x.
（1） x2+3x-1=0
解 因为 Δ = b24ac= 32-4 × 1 ×（-1）
= 9 + 4 = 13＞0， 所以，原方程有两个不相等的实数根.
（2） x2-6x+9=0
解 因为 Δ= b24ac =（-6）2-4 ×1 ×9
例
不解方程，利用判别式判断下列方程根的 情况：
（1）3x2+4x-3=0 （2）4x2=12x-9 （3）7y=5(y2+1)
（1） 3x2+4x-3=0
解 因为 Δ= b24ac= 42-4 × 3 ×（-3）
=16 + 36 = 52 ＞0， 所以，原方程有两个不相等的实数根.
（2） 4x2=12x-9
因为 Δ= b24ac= （-7）2 -4×5×5 = 49-100 = -51＜0，
所以，原方程没有实数根.
练习
1.一元二次方程 x2x10的根的情况为 (D ) （A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根 （C）只有一个实数根 （D）没有实数根
2.不解方程，利用判别式判别下列方程的根的情况：
综上可知，我们不难发现一元二次方程 ax2+bx+c = 0(a≠0) 的根的情况可由Δ= b24ac 来判断：
当Δ > 0 时，原方程有两个不相等的实数根，其根为 x1b2 ba 24ac,x2b2 ba 24ac；
当Δ = 0 时，原方程有两个相等的实数根，其根为 x1x22ba；
当Δ < 0 时，原方程没有实数根.
湘教版九年级数学上：2.3《一元二次方程根的判别式》课件(共15张PPT)共17页
湘教版九年级数学上：2.3《一元二次 方程根的判别式》课件(共15张PPT)
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
END
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
END
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
1一元二次方程根的判别式课件
相等实数根,
（2） b-4ac=0, 一元二次方程ax+bx+c=0( a≠0） ，有两个相
等实数根,
（3） b-4ac<0, 一元二次方程ax+bx+c=0( a≠0） ， 没有相等
实数根。
反之，同样成立，即
（1） 一元二次方程有两个不相等实数根， b 2-4ac > 0，
（2） 一元二次方程有两个相等实数根, b 2-4ac = 0，
所以原方程没有实数根.
(3)x(x+1)=3； 解：原方程可变形为x2+x－3=0，
因为∆=12－4×1×(－3)=13＞0， 所以原方程有两个不相等的实数根.
(4)3y2+25=10 3 y. 解：原方程可变形为3y2－10 3y+25=0，
因为 ∆=(10 3 )2－4×3×25=0， 所以原方程有两个相等的实数根.
1、一元二次方程的一般情势是什么?
ax2 bx c （0 a 0）
2、解一元二次方程都有哪些方法？ 3、公式法解一元二次方程的具体步骤是
什么？
探究与发现 思考并总结
用公式法解下列一元二次方程，并结合你 以往解一元二次方程的经验完成以下探究
(1)x2 5x 6 0
(2)x2 4x 4 0
17.3一元二次方程根的判别式
复习回顾：
一元二次方程的根的情况：
1.当 b2 4ac 0时，方程有两个不相等的实数根 2.当 b2 4ac 0 时，方程有两个相等的实数根 3.当 b2 4ac 0 时，方程没有实数根
反过来： 1.当方程有两个不相等的实数根时， b2 4ac 0 2.当方程有两个相等的实数根时， b2 4ac 0 3.当方程没有实数根时， b2 4ac 0
《公式法—— 一元二次方程根的判别式》PPT课件
1. 说得太好了，老师佩服你，为你感到骄傲！ 2. 你的设计(方案、观点)富有想象力，极具创造性。 3. 我非常欣赏你的想法，请说具体点，好吗? 4. 某某同学的解题方法非常新颖，连老师都没想到，真厉害！ 5. 让我们一起为某某喝彩！同学们在学习过程中，也要敢于猜想，善于猜想，这样才能有所发现，有所创造! 三、表扬类
整合方法
14．【中考·衡阳】关于x的一元二次方程x2－3x＋k ＝0有实数根． (1)求k的取值范围；
解：根据题意得(－3)2－4k≥0，
解得
9 k≤4.
整合方法
(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程(m －1)x2＋x＋m－3＝0与方程x2－3x＋k＝0有一个相 同的根，求此时m的值．
1. 你真让人感动，老师喜欢你的敢想、敢说、敢问和敢辩，希望你继续保持下去。 2. 这么难的题你能回答得很完整，真是了不起！你是我们班的小爱因斯坦。 3. 你预习的可真全面，自主学习的能力很强，课下把你的学习方法介绍给同学们，好不好？ 4. 哎呀. 通过你的发言，老师觉得你不仅认真听，而且积极动脑思考了，加油哇！ 四、提醒类
【答案】A
夯实基础
※12.【中考·新疆】若关于 x 的一元二次方程(k－1)x2＋x
＋1＝0 有两个实数根，则 k 的取值范围是( D )
A．k≤54 C．k<54且 k≠1
B．k>54 D．k≤54且 k≠1
【点拨】本题忽视一元二次方程二次项系数不为 0
这一条件，而直接由根的判别式求得
5 k≤4.
夯实基础
6．【中考·湘西州】一元二次方程x2＋2x＋3＝0根 的情况是( C ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断
整合方法
14．【中考·衡阳】关于x的一元二次方程x2－3x＋k ＝0有实数根． (1)求k的取值范围；
解：根据题意得(－3)2－4k≥0，
解得
9 k≤4.
整合方法
(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程(m －1)x2＋x＋m－3＝0与方程x2－3x＋k＝0有一个相 同的根，求此时m的值．
1. 你真让人感动，老师喜欢你的敢想、敢说、敢问和敢辩，希望你继续保持下去。 2. 这么难的题你能回答得很完整，真是了不起！你是我们班的小爱因斯坦。 3. 你预习的可真全面，自主学习的能力很强，课下把你的学习方法介绍给同学们，好不好？ 4. 哎呀. 通过你的发言，老师觉得你不仅认真听，而且积极动脑思考了，加油哇！ 四、提醒类
【答案】A
夯实基础
※12.【中考·新疆】若关于 x 的一元二次方程(k－1)x2＋x
＋1＝0 有两个实数根，则 k 的取值范围是( D )
A．k≤54 C．k<54且 k≠1
B．k>54 D．k≤54且 k≠1
【点拨】本题忽视一元二次方程二次项系数不为 0
这一条件，而直接由根的判别式求得
5 k≤4.
夯实基础
6．【中考·湘西州】一元二次方程x2＋2x＋3＝0根 的情况是( C ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断
一元二次方程的根的判别式 课件(共14张PPT)
2
可以根据b2-4ac的符号来判别 一元二次方程根的情况。
zxxkw
代数式b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）的根的判别式。
(1) 当b2-4ac ＞0时 方程有两个不相等的实数根.
ax2+bx+c=0(a≠0)
学科网
根的判别式
b2-4ac
b b 2 4ac x 2a (2) 当b2-4ac =0时 方程有两个相等的实数根.
号，一定有两个不相等的实数根。（ ）
根据b2-4ac的值的符号，可以确定一元二
次方程根的情况． 反过来，也可由一元二次方程根的情况来确定 b2-4ac的值的符号．
zxxkw
方程有两个不相等的实数根
方程有两个相等的实数根
一元二次方程没有实数根
b2-4ac ＞０ b2-4ac ＝０
b2-4ac ＜０
zxxkw
学科网
学.科.网
b b 4ac x 2a
2
科网
用公式法解一元二次方程的步骤:
1、把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值. 2、求出b2-4ac的值. 3、代入求根公式 :
b b 4ac x 2a
2
4、写出方程的解x1与x2.
例 7 用公式法 解下列方程：
(1) x x 1 0
b x1 x2 2a
(3) 当b2-4ac <0时 一元二次方程没有实数根
例题不解方程,判别方程 5 x 2 1 x 0
的根的情况______________
zxxkw 学科网
解 : 5x x 5 0 a 5, b 1, c 5
可以根据b2-4ac的符号来判别 一元二次方程根的情况。
zxxkw
代数式b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）的根的判别式。
(1) 当b2-4ac ＞0时 方程有两个不相等的实数根.
ax2+bx+c=0(a≠0)
学科网
根的判别式
b2-4ac
b b 2 4ac x 2a (2) 当b2-4ac =0时 方程有两个相等的实数根.
号，一定有两个不相等的实数根。（ ）
根据b2-4ac的值的符号，可以确定一元二
次方程根的情况． 反过来，也可由一元二次方程根的情况来确定 b2-4ac的值的符号．
zxxkw
方程有两个不相等的实数根
方程有两个相等的实数根
一元二次方程没有实数根
b2-4ac ＞０ b2-4ac ＝０
b2-4ac ＜０
zxxkw
学科网
学.科.网
b b 4ac x 2a
2
科网
用公式法解一元二次方程的步骤:
1、把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值. 2、求出b2-4ac的值. 3、代入求根公式 :
b b 4ac x 2a
2
4、写出方程的解x1与x2.
例 7 用公式法 解下列方程：
(1) x x 1 0
b x1 x2 2a
(3) 当b2-4ac <0时 一元二次方程没有实数根
例题不解方程,判别方程 5 x 2 1 x 0
的根的情况______________
zxxkw 学科网
解 : 5x x 5 0 a 5, b 1, c 5
人教版九年级数学上册《解一元二次方程——一元二次方程的根的判别式》教学课件
2
2 −2 + = 3 − 1；
2
解： 化方程为 2 + 2 − 1 = 0.
= 2， = 2， = −1.
2
2
= − 4 = 2 −4 × 2 × (−1)
= 4 + 8 = 12 > 0.
∴ 此一元二次方程有两个不相等的实数根.
归纳
归纳
不解方程，判断一元二次方程根的情况的一般步骤：
2
当 − 4 < 0 时，方程没有实数根.
例1 不求出一元二次方程的根，判断下列方程根的情况：
2
= − 4
2
1 2 − 5 + 1 = 0；
2
2 −2 + = 3 − 1；
3 + 2 = − 2 2 − 1 +
2
4 + 2 2 + 6 = 0.
9
；
2
2
= − 4 = − 2 + 1
= 2 + 1
2
2
−4××2
− 8
2
= 4 + 4 + 1 − 8
2
= 4 − 4 + 1
= 2 − 1
2
2
≥ 0.
所以 − 2 + 1 + 2 = 0 ≠ 0 有实数根.
例3 在不解方程的情况下，判断下列关于 的方程
2
变式2 如果关于 的一元二次方程 x − 4x + − 5 = 0,
没有实数根，求 的取值范围.
2
变式1 如果关于 的一元二次方程 x − 4x + − 5 = 0,
有两个不相等的实数根，求 的取值范围.
2 −2 + = 3 − 1；
2
解： 化方程为 2 + 2 − 1 = 0.
= 2， = 2， = −1.
2
2
= − 4 = 2 −4 × 2 × (−1)
= 4 + 8 = 12 > 0.
∴ 此一元二次方程有两个不相等的实数根.
归纳
归纳
不解方程，判断一元二次方程根的情况的一般步骤：
2
当 − 4 < 0 时，方程没有实数根.
例1 不求出一元二次方程的根，判断下列方程根的情况：
2
= − 4
2
1 2 − 5 + 1 = 0；
2
2 −2 + = 3 − 1；
3 + 2 = − 2 2 − 1 +
2
4 + 2 2 + 6 = 0.
9
；
2
2
= − 4 = − 2 + 1
= 2 + 1
2
2
−4××2
− 8
2
= 4 + 4 + 1 − 8
2
= 4 − 4 + 1
= 2 − 1
2
2
≥ 0.
所以 − 2 + 1 + 2 = 0 ≠ 0 有实数根.
例3 在不解方程的情况下，判断下列关于 的方程
2
变式2 如果关于 的一元二次方程 x − 4x + − 5 = 0,
没有实数根，求 的取值范围.
2
变式1 如果关于 的一元二次方程 x − 4x + − 5 = 0,
有两个不相等的实数根，求 的取值范围.
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有两个相等的根？并求出它的根 解；原方程可以整理成；2x2+（m-2）x+m-2=0 a=2, b=m-2, c=-2+m ，b2-4ac=（m-2）2 -4×2（-2+m）
据题意有m2-12m+20=0∴m1=2， m2 =10
当m=2时，x1=x2 =0；当m=10时x1=x2=-2
一元二次方程判别式
的根。 （1）证明：∵△=b 2-4ac=k 2-4（k 2+1）= -3k -24无论 k为何实数k ≥02∴△＜0故原方程没有实数根。
（2）证明：整理原方程得 x2 -3x+2 -a2 =0 ∵△=9-4×（2-a ）2 =1+a 2 无论a为何值a ≥20 ∴ △＞0,故原方程有两个不相等的根
b=-4，c=7，
b2-4ac
b=√6，c=-1
2
b -4ac =16-4×3×7 ＜0
1 =所1以-4×原方4×程1=有0，两
b2-4ac =6-4×2×（-1）
所以原方程没有实
个相等的实数根 =14＞0，所以原
数根
方程有两个不相 等的根
一元二次方程判别式
• 做练习：不解方程试判断下列方程的根的情况 • （1）3x 2-7x+2=0 （2）9x2+6x+1=0 • （3）2x 2-（2+√2）x+3+√2=0 • 例2：关于x的方程2x2+mx-2=2x-m，当m为何值时方程
一元二次方程判别式
课件作 主讲
一元二次方程判别式
• 一复习提问： • 1、一元二次方程的标准式是什么？ • 2、一元二次方程的求根公式是什么？ • 想一想：b2-4ac的符号与ax2+bx+c=0会有关系吗？ • 做一做：用求根公式法解下列方程 • （1）x2-x-2=0 （2）x2-6x+9=0 （3）x2-x+1=0 • 看一看：上列三个方程的根与b2-4ac的符号有关系吗？
以把它叫一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别 式。记作“△”读作“delta”
一元二次方程判别式
• 二、例1，不解下列方程判别下列方程的根的情况
• （1）3x 2-4x+7=0 解：a=3，
（解2）：14xa2=+x41+1，=b0=1（，3）解2：x2- a√=62x-1=0 c=1
有什么关系？
一元二次方程判别式
• 猜一猜：对于一般ax2+bx+c=0 （a≠0）的根与b -24ac的 符号有会么关系？
因为ax2 +bx+c=0（a≠0）的求根公式是 x= -b±√b -24ac 2a
故对于方程ax2 +bx+c=0 （a≠0）有下列关系：
当b2-4ac≥0时，方程有两个不相等的根
• 练习：当K为何值时方程（k-2）x2 +2kx-1=0有两个相 等的实数根，并求出方程的根。
• 例3：当K为何值时，方程kx2 +（2k+1）x+k=0（k≠0）
• （1）有两个不相等的根（2）有两个相等的根
• （3）没有实数根
解：∵b2 -4ac=（2k+1）2 -4k·k=4k+1，而方程有两个不
相等的根∴4k+1≥0，即k≥-
1 4
若有两个相等根4k+1=0即k= - 1 4
若没有实数根则4k+1＜0即k＜ - 1 4
一元二次方程判别式
• 例4：求证： • （1）关于x的方程x2 +kx+k2+1 =0没有实数根 • （2）关于x的方程（x+a)(x-a)-x=2(x-1)总有两个不相等
有相等的实数根
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2021/02/25
10
x = -b+√b -24ac
1
2a
x 2=
-b-√b -24ac 2a
当b-24ac=0时，方程有两个相等的根x1=x2=
-
b 2a
当2 b2- 4ac＜0时，方程没有实数根.
一元二次方程判别式
• 反过来方程ax2 +bx+c=0有两个实数根时b2-4ac＞0 • 有两个相等的根时b2-4ac=0 • 没有实数根时b2-4ac＜0 • 由此可见b2-4ac的值决定一元二次方程的根的情况，所
一元二次方程判别式
• 课堂练习; • 1、对于方程4(m+1)x2 +2(2m-1)x=1-m (m≠-1）
• （1）方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围 • （2）方程有两个相等的实数根，求m的取值范围 • （3）方程没有实数根，求m的取值范围 • 2、已知a+c≠0，a +2b =2 c 2求证（a+c）x +2 2bx+c-a=0总
据题意有m2-12m+20=0∴m1=2， m2 =10
当m=2时，x1=x2 =0；当m=10时x1=x2=-2
一元二次方程判别式
的根。 （1）证明：∵△=b 2-4ac=k 2-4（k 2+1）= -3k -24无论 k为何实数k ≥02∴△＜0故原方程没有实数根。
（2）证明：整理原方程得 x2 -3x+2 -a2 =0 ∵△=9-4×（2-a ）2 =1+a 2 无论a为何值a ≥20 ∴ △＞0,故原方程有两个不相等的根
b=-4，c=7，
b2-4ac
b=√6，c=-1
2
b -4ac =16-4×3×7 ＜0
1 =所1以-4×原方4×程1=有0，两
b2-4ac =6-4×2×（-1）
所以原方程没有实
个相等的实数根 =14＞0，所以原
数根
方程有两个不相 等的根
一元二次方程判别式
• 做练习：不解方程试判断下列方程的根的情况 • （1）3x 2-7x+2=0 （2）9x2+6x+1=0 • （3）2x 2-（2+√2）x+3+√2=0 • 例2：关于x的方程2x2+mx-2=2x-m，当m为何值时方程
一元二次方程判别式
课件作 主讲
一元二次方程判别式
• 一复习提问： • 1、一元二次方程的标准式是什么？ • 2、一元二次方程的求根公式是什么？ • 想一想：b2-4ac的符号与ax2+bx+c=0会有关系吗？ • 做一做：用求根公式法解下列方程 • （1）x2-x-2=0 （2）x2-6x+9=0 （3）x2-x+1=0 • 看一看：上列三个方程的根与b2-4ac的符号有关系吗？
以把它叫一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别 式。记作“△”读作“delta”
一元二次方程判别式
• 二、例1，不解下列方程判别下列方程的根的情况
• （1）3x 2-4x+7=0 解：a=3，
（解2）：14xa2=+x41+1，=b0=1（，3）解2：x2- a√=62x-1=0 c=1
有什么关系？
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• 猜一猜：对于一般ax2+bx+c=0 （a≠0）的根与b -24ac的 符号有会么关系？
因为ax2 +bx+c=0（a≠0）的求根公式是 x= -b±√b -24ac 2a
故对于方程ax2 +bx+c=0 （a≠0）有下列关系：
当b2-4ac≥0时，方程有两个不相等的根
• 练习：当K为何值时方程（k-2）x2 +2kx-1=0有两个相 等的实数根，并求出方程的根。
• 例3：当K为何值时，方程kx2 +（2k+1）x+k=0（k≠0）
• （1）有两个不相等的根（2）有两个相等的根
• （3）没有实数根
解：∵b2 -4ac=（2k+1）2 -4k·k=4k+1，而方程有两个不
相等的根∴4k+1≥0，即k≥-
1 4
若有两个相等根4k+1=0即k= - 1 4
若没有实数根则4k+1＜0即k＜ - 1 4
一元二次方程判别式
• 例4：求证： • （1）关于x的方程x2 +kx+k2+1 =0没有实数根 • （2）关于x的方程（x+a)(x-a)-x=2(x-1)总有两个不相等
有相等的实数根
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10
x = -b+√b -24ac
1
2a
x 2=
-b-√b -24ac 2a
当b-24ac=0时，方程有两个相等的根x1=x2=
-
b 2a
当2 b2- 4ac＜0时，方程没有实数根.
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• 反过来方程ax2 +bx+c=0有两个实数根时b2-4ac＞0 • 有两个相等的根时b2-4ac=0 • 没有实数根时b2-4ac＜0 • 由此可见b2-4ac的值决定一元二次方程的根的情况，所
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• 课堂练习; • 1、对于方程4(m+1)x2 +2(2m-1)x=1-m (m≠-1）
• （1）方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围 • （2）方程有两个相等的实数根，求m的取值范围 • （3）方程没有实数根，求m的取值范围 • 2、已知a+c≠0，a +2b =2 c 2求证（a+c）x +2 2bx+c-a=0总