【数学】江西省上饶市2018届高三下学期第三次高考模拟考试数学(理)试题含解析

上饶市2018届第三次高考模拟考试试题卷数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析:先求,再求得解.详解：由题得=，所以=.故答案为：A点睛：本题主要考查补集和并集，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.2. 若，则“复数在复平面内对应的点在第三象限”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析：先化简复数z,再转化“复数在复平面内对应的点在第三象限”，最后利用充分必要条件判断得解.详解：由题得=-a-5i,由于复数在复平面内对应的点在第三象限，所以所以“复数在复平面内对应的点在第三象限”是“”的充要条件.故答案为：C点睛：（1）本题主要考查复数的计算、几何意义和充要条件，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)判断充要条件，首先必须分清谁是条件，谁是结论，然后利用定义法、集合法和转化法来判断.3. 某电视图夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8,0.6,0.5，只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立，一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为（）A. 0.48B. 0.4C. 0.32D. 0.24【答案】D【解析】分析：利用独立事件的概率公式求该选手只闯过前两关的概率.详解：由题得故该选手只闯过前两关的概率为0.24.故答案为：D点睛：（1）本题主要考查独立事件的概率等基础知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.（2）“该选手只闯过前两关”意思是：该选手第一关过了，第二关过了，第三关没有过. 理解事情的含义求概率就简单了.4. 若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先化简已知和结论，再求.详解：由题得故答案为：A点睛：（1）本题主要考查诱导公式、二倍角公式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2),二倍角的余弦是比较重要的公式，要在三个中间灵活选择，本题由于已知所以选择.5. 已知双曲线（，）的离心率为，则该双曲线的顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：过双曲线的顶点A、焦点F分别向其渐近线作垂线，垂足分别为B、C，运用离心率公式计算即可得到所求值．详解：过双曲线的顶点A、焦点F分别向其渐近线作垂线，垂足分别为B、C，∵e=，∴故答案为：C点睛：（1）本题主要考查双曲线的简单几何性质等基础知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)本题也可以利用其它方法做，可能利用本题解答的相似是比较快的.6. 已知函数为偶函数，且函数与的图象关于直线对称，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据f（x），g（x）的图象关于直线y=x对称及g（2）=3便可得到f（3）=2，这样再根据f（x）为偶函数即可求出f（﹣3）的值．详解：∵f（x）与g（x）的图象关于直线y=x对称，且g（2）=3, ∴f（3）=2, ∵f（x）为偶函数,∴f（﹣3）=f（3）=2．故答案为：B点睛：（1）本题主要考查函数的奇偶性、函数图像关于直线y=x的对称性等基础知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)注意这个结论：点A（x,y）关于直线y=x对称的B 坐标为（y,x）,知道这个结论解答再解答本题就简单了.7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先通过三视图找到几何体原图，再求组合体的体积.详解：由三视图得几何体是半个圆锥和一个三棱锥的组合体，圆锥的底面半径为1，高为2,三棱锥的底面是底边为2，底边高为1的等腰三角形，棱锥的高为2.所以几何体的体积为故答案为：D点睛：(1)本题主要考查三视图和几何体的体积，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力. (2)通过三视图找几何体原图，常用的有模型法和直接法,本题选择的是直接法.8. 展开式中项的系数是40，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：展开式中x2项是由的展开式中常数项，由的展开式中二次项与的常数项所组成的.求出的展开式的常数项以及x2项的系数即可．详解：展开式中x2项是由的展开式中常数项，由的展开式中二次项与的常数项所组成的.∵的展开式的通项公式为：T r+1=令3r﹣10=0，解得r=，不合题意，应舍去；令3r﹣10=2，解得r=4，∴的展开式中x2项的系数为2•（﹣m）4=40，即m4=4，解得m=±．故答案为：C点睛：（1）本题主要考查二项式定理、二项式的展开式指定项的系数，考查组合数的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和运算能力. (2)解答本题的关键是分析得到展开式中x2项是由的展开式中常数项，由的展开式中二次项与的常数项所组成的.9. 在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析: 模拟程序的运行过程，分析循环中变量值x的变化情况，解不等式组可得答案．详解: 模拟程序的运行，可得：当i=1时，3x-2≤55，解之得x≤19.当i=2时，3（3x﹣2）﹣2≤55，解之得x≤7.当i=3时，3（9x﹣8）﹣2＞55，解之得x>3.满足判断框内的条件，退出循环，输出i 的值为3．可得：3＜x≤7，则输入x的取值范围是（3，7]．故答案为：B点睛：（1）本题主要考查程序框图的应用，意在考查学生对程序框图等基础知识的掌握能力.(2)解答本题容易错选A，学生只考虑i=3时，x>3.这是程序理解错误，除了i=3时x的范围，还要考虑i=1和i=2时，x的范围,再求它们的交集.10. 如图所示的是函数（，）在区间上的图象，将该函数图象各点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移（）个单位长度后，所得到的图象关于直线对称，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由周期求出ω，由五点法作图求出的值，可得函数的f（x）的解析式．再根据函数g(x)的对称轴求出m的最小值，可得结论．详解：由函数（，）的图象可得T=再由五点法作图可得 2×（﹣）+=0，∴=．故函数f（x）的解析式为 f（x）=sin（2x+）．故把f（x）=sin（2x+）的图象各点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移m（m＞0）个单位长度后，得到g（x）=sin（4x﹣4m+）的图象，∵所得图象关于直线对称，∴4×﹣4m+=+kπ，解得：m=﹣kπ，k∈Z，∴由m＞0，可得当k=1时，m的最小值为．故答案为：C点睛：(1)本题主要考查三角函数图像的变换和三角函数的图像性质，意在考查学生掌握这些基础知识的能力和数形结合的能力.(2)正弦函数y=sinx的对称轴方程为，注意这里不是要结合三角函数图像理解，不要死记硬背.11. 已知函数，，若对任意给定的，关于的方程在区间上总存在唯一的一个解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【解析】分析：由题意可以把问题转化为求函数f（x）和函数g（x）的值域，并有题意转化为两个函数的值域的关系问题．详解：解f′（x）=6ax2﹣6ax=6ax（x﹣1），①当a=0时，f（x）=1，g（x）=，显然不可能满足题意；②当a＞0时，f'（x）=6ax2﹣6ax=6ax（x﹣1），x，f′（x），f（x）的变化如下：又因为当a＞0时，g（x）=﹣x+上是减函数，对任意m∈[0，2]，g（m）∈[﹣+，]，由题意，必有g（m）max≤f（x）max，且1﹣a＞0，故，解得：≤a＜1，③当a＜0时，g（x）=﹣x+上是增函数，不合题意；综上，a∈[，1），故选：B．点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．12. 在棱长为1的正方体内有两个球，相外切，球与面、面、面相切，球与面、面、面相切，则两球表面积之和的最大值与最小值的差为（）A. B. C. D.【解析】分析：先设球，的半径分别为再求出两球表面积之和S的函数表达式，再分析二次函数的最大值和最小值得解.详解：设球，的半径分别为由题得所以令表面积和为S,所以又最大时，球与正方体六个面相切，且所以又，所以当时，，当或时，所以所以两球表面积之和的最大值与最小值的差为.故答案为：A点睛：本题的难点在解题的思路，首先要求出的表达式再分析出函数的定义域的取值范围，再利用二次函数的图像和性质求出S的最大值和最小值的差.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量，，若，则__________．【答案】【解析】分析：先根据求出m的值，再求得解.详解：因为，所以-2+2m=0,所以m=1.所以=.故答案为：点睛：本题主要考查向量垂直的坐标运算和向量的模，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.14. 若，满足约束条件则的最小值为__________．【答案】【解析】分析：目标函数z=的几何意义为动点M（x，y）到定点Q（﹣2，﹣1）的斜率，利用数形结合即可得到z的最小值．详解：画出x，y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=的几何意义为动点P（x，y）到定点Q（﹣2，﹣1）的斜率，当P位于A（﹣1，1）时，此时QA的斜率最大，此时z max==2，当P位于B（1，1）时，此时直线的斜率最小，目标函数z=的最小值是．故答案为：点睛：（1）本题主要考查斜率和线性规划求最值，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和数形结合分析能力. (2)表示点和点两点所在直线的斜率,这个要理解记住并灵活运用.15. 已知两定点和，动点在直线：上移动，椭圆以，为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为__________．【答案】【解析】分析：作出直线y=x+2，过A作直线y=x+2的对称点C，2a=|PA|+|PB|≥|CD|+|DB|=|BC|，即可得到a的最大值，由于c=1，由离心率公式即可得到．详解：由题意知c=1，离心率e=，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则c=1，∵P在直线l：y=x+2上移动，∴2a=|PA|+|PB|．过A作直线y=x+2的对称点C，设C（m，n），则由，解得，即有C（﹣2，1），则此时2a=|PA|+|PB|≥|CD|+|DB|=|BC|=，此时a有最小值，对应的离心率e有最大值．故答案为：点睛：（1）本题主要考查椭圆的几何性质和点线对称问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和数形结合的分析转化能力. (2)解答本题的关键是求a的最小值.本题求|PA|+|PB|的最小值，利用了对称的思想.求点P关于直线l的对称点时，直线l实际上是线段垂直平分线，根据垂直平分得到一个方程组，即可求出点的坐标...............................16. 在中，角、、所对的边分别为、、，，当角取最大值时，的周长为，则__________．【答案】3【解析】分析：根据题意由正弦定理得出cosA＜0，A为钝角，cosAcosC≠0，由两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式可得出tanA=﹣3tanC，且tanC＞0；由已知及基本不等式求出B取得最大值，可得C=B=，可求A，利用余弦定理可求a=b，结合已知求得b的值，进而可求a的值．详解：△ABC中，sinB=cos（B+C）sinC，∴b=cos（B+C）•c，即cosA=﹣＜0，∴A为钝角，∴cosAcosC≠0；由sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=﹣2cosAsinC，可得tanA=﹣3tanC，且tanC＞0，=当且仅当tanC=时取等号；∴B取得最大值时，c=b=1，此时C=B=．∴A=，由a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：a=b，∵三角形的周长为a+b+c= b +b+b=2．解得：b=，可得：a= b =3．故答案为：3点睛：解答本题的关键是解析思路，转化“当角取最大值时，的周长为”，研究角B的最大值，首先要求角B的某种三角函数（tanB）的最大值，求的最大值利用基本不等式求，当且仅当C=B=，后面的问题解答就容易了.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等比数列的前项和为，且（）．（1）求的值及数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）【解析】分析: (1)利用项和公式求a的值和数列的通项公式.(2)利用错位相减法求数列的前项和．详解：（1）∵（），∴当时，；当时，，即，∵为等比数列，∴，则，，∴的通项公式为．（2）由（1）得，∴，，∴，∴．点睛：（1）本题主要考查等比数列通项的求法和错位相减求和,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和基本的计算能力. (2) 若数列，其中是等差数列，是等比数列，则采用错位相减法.错位相减的结果一定要化成的形式，并把n=1代入检验.18. 目前共享单车基本覆盖饶城市区，根据统计，市区所有人骑行过共享单车的人数已占，骑行过共享单车的人数中，有是学生（含大中专、高职及中学生），若市区人口按40万计算，学生人数约为9.6万．（1）任选出一名学生，求他（她）骑行过共享单车的概率；（2）随着单车投放数量增加，乱停乱放成为城市管理的问题，如表是本市某组织累计投放单车数量与乱停乱放单车数量之间关系图表：累计投放单车数量乱停乱放单车数量计算关于的线性回归方程（其中精确到，值保留三位有效数字），并预测当时，单车乱停乱放的数量；（3）已知信州区、广丰区、上饶县、经开区四区中，其中有两个区的单车乱停乱放数量超过标准，在“大美上饶”活动中，检查组随机抽取两个区调查单车乱停乱放数量，表示“单车乱停乱放数量超过标准的区的个数”，求的分布列和数学期望．参考公式和数据：回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，，【答案】（1）；（2）162；（3）见解析【解析】分析：（1）利用古典概型的概率公式求任选一学生骑行过单车的概率.(2)利用最小二乘法原理求回归直线方程，并预测当时，单车乱停乱放的数量.(3)先写出的取值为0,1,2，再求每个值的概率,再求其分布列和期望.详解：（1）骑行单车的学生人数为，故任选一学生骑行过单车的概率为．（2）由题意得，，，，故所求回归方程为，当时，，即单车投放累计26000辆时，乱停乱放的单车数量为162．（3）的取值为0,1,2，；；，的分布列为：．点睛：（1）本题主要考查古典概型、回归分析、随机变量的分布列和期望，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和计算能力.(2)求随机变量的分布列时，关键是求随机变量的概率，这里考查了概率的计算，如果计算出的概率和不等于1，则一定是错误的,所以求出概率后，一定要检验.19. 如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，是等边三角形，，，，为线段中点．（1）求证：平面平面；（2）求二面角余弦值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）先证明平面，再证明平面平面. (2) 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求二面角余弦值．详解：（1）证明：在中，，，，∵，∴，∵是等边三角形，为线段中点，∴，又∵，∴平面，而平面，∴平面平面．（2）解：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，设为平面的法向量，则得令，可得．同理可得平面的法向量，∵，∴二面角余弦值为．点睛：（1）本题主要考查空间垂直关系的证明和二面角的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力计算能力. (2)求空间的角一般有两种方法：几何法和向量法,如果方便建立空间坐标系，就选择向量法，否则就用几何法.20. 已知抛物线：的焦点到直线：的距离为．（1）求抛物线的方程；（2）若直线是经过定点的一条直线，且与抛物线交于，两点，过定点作的垂心与抛物线交于，两点，求四边形面积的最小值．【答案】（1）；（2）20【解析】分析：（1）根据焦点到直线：的距离为求出p的值得到抛物线的方程.(2)先求出四边形面积的表达式，再换元求函数的最小值.详解：（1）由题意，，焦点坐标为，由点到直线的距离公式，得或（舍去），所以抛物线的标准方程是．（2）设直线的方程为（），设，，联立得，则，，∴，设，，同理得，则四边形的面积，令（），则，是关于的增函数，故，当且仅当时取得最小值20．点睛：解答本题的关键有二，其一是求出四边形面积的表达式，这里计算量比较大，所以要求计算准确,其二是怎么求的最小值，这里需要换元，利用复合函数和二次函数的图像和性质解答.21. 已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）设函数，若在上存在极值，求的取值范围，并判断极值的正负．【答案】（1）见解析；（2）当时，在上存在极值，且极值都为正数【解析】分析：（1）先求导，再对a分类讨论得到函数的单调性.(2)先求导，再构造函数研究函数在上的极值情况，求的取值范围，并判断极值的正负．详解：（1）定义域为，，①当时，在上恒成立，所以在上单调递增；②当时，令，得，∴当时，，单调递减，当时，，单调递增．综上所述，当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在上单调递增．（2），，∴，设，则，由，得，当时，；当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，且，，，显然，结合图象可知，若在上存在极值，则解得．①当即时，则必定，，使得，且，当变化时，，，的变化情况如表：∴当时，在上的极值为，，且，∵，设，其中，．∵，∴在上单调递增，，当且仅当时取等号．∵，∴，∴当时，在上的极值.②当即时，则必定，使得，易知在上单调递增，在上单调递减，此时，在上的极大值是，且，∴当时，在上存在极值，且极值都为正数，综上所述，当时，在上存在极值，且极值都为正数．点睛：解答本题关键有三，其一是求出后，由于不便求函数的单调区间，所以需要构造函数，再二次求导.其二是，又同理需要构造函数设，再求导研究.构造函数在导数里是比较常见的技巧，所以要灵活运用.22. 已知直线过点，且倾斜角为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，圆的极坐标方程为．（1）求圆的直角坐标系方程及直线的参数方程；（2）若直线与圆交于，两点，求的最大值和最小值．【答案】（1）（为参数）；（2）最大值为，最小值为【解析】分析：（1）直接代极坐标公式求出圆C的直角坐标方程，写出直线的参数方程.(2)利用直线的参数方程t的几何意义求的最大值和最小值.详解：（1）由，得，即，所以圆的直角坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）．（2）将代入，得，，设，两点对应的参数分别为，，则，因为，所以的最大值为，最小值为．点睛：(1)本题主要考查极坐标参数方程和直线的参数方程，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2) 直线参数方程中参数的几何意义是这样的：如果点在定点的上方，则点对应的参数就表示点到点的距离,即.如果点在定点的下方，则点对应的参数就表示点到点的距离的相反数，即.23. 已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若正数，满足，求证：．【答案】（1）；（2）见解析【解析】分析：（1）利用零点分类讨论法求不等式的解集.(2)先求出，再求，再证明．详解：（1）此不等式等价于或或，即不等式解集为．（2）∵，，，∴，即，当且仅当即时取等号，∴，当且仅当即时取等号，∴．点睛：（1）本题主要考查绝对值不等式的解法，考查基本不等式和不等式的证明.(2)第（2）问利用了基本不等式和绝对值三角不等式,注意这些重要不等式的灵活运用.。