3.8角平分线综合问题解决单
运用角平分线解决问题
运用角平分线解决问题角平分线是指从一个角的顶点开始的射线，将该角分成两个相等的角。
在几何学中，角平分线是一个非常重要的概念，它在解决一些几何问题时起到了关键作用。
本文将介绍角平分线的定义、性质及应用，并通过一些例题来说明角平分线的使用方法。
首先，让我们来了解角平分线的定义。
对于一个角ABC，角平分线就是从顶点B开始的射线BD，使得∠ABD和∠CBD的度数相等。
换句话说，BD将角ABC分成两个相等的角。
接下来，让我们研究一下角平分线的性质。
首先，对于一个角的任意一条角平分线，它将角分成两个相等的角。
其次，如果一条线段同时是一个角的平分线和边的垂直平分线，那么这条线段一定通过这个角的顶点，并且把这条边分成两段相等的线段。
最后，如果一个三角形有一个角的平分线，那么这条平分线将把对边分成两部分，并且对边的比等于与这条平分线相交的另外两边的比。
角平分线在解决几何问题中有广泛的应用。
例如，当我们需要找到一个圆上与一条给定的切线垂直的直径时，可以通过将切点和圆心连接起来构造出圆的半径，并将该半径作为给定切线的一个角平分线，从而找到一条与切线垂直的直径。
此外，角平分线还可以用来构造相等角、证明线段相等、证明三角形相似等。
下面通过一些例题来进一步说明角平分线的使用方法。
假设有一个三角形ABC，∠BAC的角平分线交BC边于点D，且AD=5 cm，BD=3 cm，求AC的长度。
首先，我们可以利用角平分线的性质，得到AB/BD = AC/CD。
根据已知条件，可以得到AB/3 = AC/(AC-5)。
通过化简方程，我们可以得到5AC = 3AC - 15，进而得到AC = 15 cm。
在另一个例题中，假设有一个四边形ABCD，AB=3 cm，AD=4 cm，且∠BAD的角平分线与∠BCD的角平分线相交于点E，求BE的长度。
利用角平分线的性质，我们可以推导出AE/ED = AB/CD。
根据已知条件，可以得到AE/ED = 3/4。
北京课改版数学七年级上册3.8《角平分线》说课稿
北京课改版数学七年级上册3.8《角平分线》说课稿一. 教材分析《角平分线》是北京课改版数学七年级上册第三章第八节的内容。
这部分内容是在学生已经掌握了角的概念、分类和性质的基础上进行学习的。
教材通过引入角平分线的概念，让学生了解角平分线的性质和作图方法，进一步拓展学生的几何知识。
在教材中，首先介绍了角平分线的定义，即从一个角的顶点出发，把这个角平分成两个相等角的线段。
然后，教材引导学生通过观察和动手操作，发现角平分线的性质，即角平分线上的点到角的两边的距离相等。
最后，教材介绍了如何利用角平分线的性质解决一些几何问题。
二. 学情分析学生在学习这部分内容时，已经具备了一定的几何知识基础，对角的概念和性质有一定的了解。
但是，学生可能对角平分线的性质和作图方法还不够熟悉，需要通过观察、操作和思考来进一步理解和掌握。
在学生的学习过程中，他们可能对角平分线的性质感到困惑，不容易理解和接受。
因此，教师需要通过生动的例子和实际操作，让学生直观地感受角平分线的性质，从而更好地理解和掌握。
三. 说教学目标1.知识与技能：学生能够理解角平分线的定义，掌握角平分线的性质，并能够运用角平分线的性质解决一些几何问题。
2.过程与方法：学生通过观察、操作和思考，培养直观想象和逻辑推理的能力。
3.情感态度与价值观：学生能够积极参与课堂活动，对数学产生兴趣，培养良好的学习习惯和合作意识。
四. 说教学重难点1.重点：学生能够理解角平分线的定义，掌握角平分线的性质。
2.难点：学生能够运用角平分线的性质解决一些几何问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法和探究式教学法，引导学生主动参与课堂，培养学生的动手操作和思维能力。
2.教学手段：利用多媒体课件、几何画板等教学辅助工具，直观展示角平分线的性质，帮助学生更好地理解和掌握。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考如何找到一个角的平分线，从而引入角平分线的概念。
几何必备知识：角平分线的综合应用,利用熟悉问题的思路解决问题
几何必备知识：角平分线的综合应用，利用熟悉问题的思路解决问题
角平分线的综合应用是几何学中一个基本的概念，也是解决几何问题的基础。
角平分线是指一个角的两条腰经过角的顶点，并被这个角的两条对边平分，从而形成的一条线段。
角平分线可以用来解决很多几何问题，比如给出一个三角形，如果想要求出它的面积，可以利用角平分线的思路来求解。
首先，在三角形的三个顶点上分别画出角平分线，假设三角形的三条边长分别为a，b，c，那么可以分别把三角形的三条边
平分为两段，第一条边a被分成a1和a2，第二条边b被分成
b1和b2，第三条边c被分成c1和c2。
接下来，可以构造四个小三角形，分别是由三条边a1，
b1，c1形成的三角形，以及由三条边a2，b2，c2形成的三角形。
这四个小三角形的面积之和就是原三角形的面积。
最后，可以利用海伦公式来求出这四个小三角形的面积，即√[s(s-a1)(s-b1)(s-c1)]以及√[s(s-a2)(s-b2)(s-c2)]，其中
s=(a1+b1+c1)/2。
将这四个小三角形的面积相加，就可以得到
原三角形的面积。
从上面的分析可以看出，角平分线的综合应用在解决几何问题中具有重要的作用。
它可以帮助我们轻松的求解几何问题，
比如求三角形的面积等。
因此，我们应该熟练掌握角平分线的综合应用，在解决几何问题时有所帮助。
北京版数学七年级上册《3.8 角平分线》说课稿
北京版数学七年级上册《3.8 角平分线》说课稿一. 教材分析《3.8 角平分线》这一节的内容是在学生已经掌握了角的概念、角的计算等基础知识之后进行讲解的。
本节内容主要介绍了角平分线的定义、性质和作法，以及角平分线在几何图形中的应用。
教材通过生动的实例和丰富的练习，使学生能够深刻理解角平分线的相关知识，提高他们的几何思维能力。
二. 学情分析面对七年级的学生，他们在之前的学习中已经掌握了基本的角的概念和计算方法，对于新的知识有较强的接受能力。
但是，由于他们还处于初中阶段，对于一些抽象的概念和证明过程可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，我将会注重引导学生从实际问题中抽象出角平分线的概念，并通过讲解和练习使他们对角平分线的性质和作法有深入的理解。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生了解角平分线的定义、性质和作法，能够正确地作一个角的平分线。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、推理等过程，培养学生的几何思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对几何学科的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：角平分线的定义、性质和作法。
2.教学难点：角平分线的性质证明和作法。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用讲授法、引导发现法、实践操作法等多种教学方法。
同时，利用多媒体课件和实物模型等教学手段，帮助学生直观地理解角平分线的相关知识。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引出角平分线的概念。
2.讲解角平分线的性质：通过讲解和示例，使学生理解角平分线的性质。
3.讲解角平分线的作法：引导学生通过实际操作，掌握角平分线的作法。
4.应用练习：通过一些练习题，使学生能够将角平分线的相关知识应用到实际问题中。
5.总结与反思：让学生回顾本节课所学的内容，进行总结和反思。
七. 说板书设计板书设计将包括角平分线的定义、性质和作法等内容，通过清晰的板书，使学生能够直观地理解和记忆相关知识。
【最新北京课改版精选】北京课改初中数学七上《3.8角平分线》word教案 (1).doc
4.12角平分线知识结构重点与难点分析：重点：角平分线的性质定理，逆定理及它们的应用。
性质定理和它的逆定理为证线段相等、角相等，开辟了新的途径，简化了证明过程。
难点：a、角平分线定理和逆定理的应用；b、这两个定理的区别；c、写命题的逆命题。
学生对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所以证题时，不习惯直接应用定理，仍然去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次定理。
对于原命题和逆命题，学生对条件和结论容易混淆，特别是没有明显的提示语言时，更易找不准条件和结论，这就成了教学的难点。
教法建议：整堂课围绕“以复习为基础，以过程为主线，以思维为中心，以训练为手段”开展教学。
注重学生的参与度，通过提问、板演、讨论等多种形式，让学生直接参加课堂活动，将教与学融为一体。
具体说明如下：（1）做好铺垫新课引入前，作一个具体画图的练习：已知角画出它的角平分线；然后在平分线上任取一点，作出这一点到角两边的距离。
这样做一是复习了角平分线的定义和点到直线距离的定义；二是为本节课的学习奠定了图形基础。
（2）主动获取利用上面的图形，观察这两个距离的关系，并证明自己的结论。
对基础条件比较好的同学会很容易得出结论并能用文字叙述出来。
对基础稍差一些的同学生得出结论并不难但让他们用文字叙述出来可能不是很准确，此时教师要做指导。
这一环节的教学注意让学生通过观察、分析、推理等活动，主动提出此定理。
（3）激荡思维在上面定理的基础上，让学找出此定理的条件与结论，并交换条件与结论得到一个新的命题，然后验证此命题的正确性如何?学生通过推理证明不难得到是一个真命题。
此时顺理成章地引出教材中的定理2。
最后注意强调：两个定理的区别与联系；原命题与逆命题、原定理与逆定理的关系及写出一个命题的逆命题的方法步骤。
这一环节完全是由学生给出定理的文字表述及证明过程。
（4）推向深入进行必要的例题讲解，然后进行有层次阶梯性训练，以达到熟练地运用定理证明有关问题。
教学时，要注意引导学生分析问题解决问题的思考方法。
八年级数学角平分线综合(综合)(含答案)
故选C．
试题难度：三颗星知识点：略
7.如图，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ADC=40°，∠AEC=35°，则∠ABC的度数为( )
A.30° B.35°
C.37.5° D.40°
答案：A
解题思路：
α=∠AEC+β，
∴∠BEC=90°- ∠BAC，
∴∠BAC+2∠BEC=180°，故④正确.
故选D
试题难度：三颗星知识点：略
∴∠E=∠ECD-∠EBC= ∠ACD- ∠ABC= (∠ACD-∠ABC)= ∠A
= 40°=20°
故选B．
试题难度：三颗星知识点：略
4.如图，在△ABC中，∠A=96°，延长BC到点D，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线相交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线相交于点A2，则∠A2的度数为( )
A.24° B.48°
C.12° D.69°
答案：A
解题思路：
如图，
设 ， ，
∠ACD看作是△ABC的一个外角，则 ，
∠A1CD看作是△A1BC的一个外角，则 ，
消去α，β，得到 ．
同理可以得到 ，即 ，
因为∠A=96°，所以 ．
故选A．
试题难度：三颗星知识点：略
5.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD与外角∠BCF的平分线CE的反向延长线相交于点D，若∠A=30°，则∠D的度数为( )
∵∠CBP是△ABC的一个外角，∠BCQ是△ABC的一个外角，
∴∠CBP=∠A+∠ACB，∠BCQ=∠A+∠ABC，
∴∠CBF+∠BCF= (∠A+∠ACB)+ (∠A+∠ABC)
部编数学八年级上册专题03与角平分线有关的辅助线的三种考法(解析版)(人教版)含答案
专题03 与角平分线有关的辅助线的三种考法类型一、角平分线上的点向两边作垂线例1．如图，已知30AOB Ð=°，P 是AOB Ð的平分线OC 上的任意一点，PD OA ∥交OB 于点D ，PE OA ^于点E ，如果8cm OD =，求PE 的长．【答案】4cm【详解】如图，过点P 作PF ⊥OB 于点F ，∵OC 平分∠AOB ，PE ⊥OA ，∴PF ＝PE ，∠EOP ＝∠DOP∵PD P OA ，∠AOB ＝30°，∴∠PDF ＝∠AOB ＝30°，∴∠DPO ＝∠EOP ＝∠DOP ，∴ PD ＝OD ＝8cm在Rt △PDF 中，∵∠DFP=90°,∠FDP=30°∴PF =12PD =4cm ，∴ PF ＝PE ＝4cm ．【变式训练1】如图，ABC D 中，90ACB Ð=°，点,D E 分别在边BC ，AC 上，DE DB =，DEC B Ð=Ð．求证： AD 平分BAC Ð．【答案】见解析【详解】证明：过点D 作DF AB ^于点F ． 90DFB \Ð=°90ACB Ð=°Q ,DFB ACB DC AC \Ð=Ð^．在DCE D 和DFB D 中，,,,DCE DFB DEC B DE DB Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î()DCE DFB AAS \D D ≌．DC DF \=．\点D 在BAC Ð的平分线上．\AD 平分BAC Ð．．【变式训练2】图，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ．AE ＝AB ，AF ＝AC ，BF 与CE 相交于点M ．(1)EC ＝BF ；(2)EC ⊥BF ；(3)连接AM ，求证：AM 平分∠EMF ．【答案】(1)见解析．(2)见解析．(3)见解析．【解析】(1)证明：∵AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，∴∠BAE ＝∠CAF ＝90°，∴∠BAE +∠BAC ＝∠CAF +∠BAC ，即∠EAC ＝∠BAF ，在△ABF 和△AEC 中，∵AE AB EAC BAF AF AC =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABF ≌△AEC （SAS ），∴EC ＝BF ；(2)根据（1），∵△ABF ≌△AEC ，∴∠AEC ＝∠ABF ，∵AE ⊥AB ，∴∠BAE ＝90°，∴∠AEC +∠ADE ＝90°，∵∠ADE ＝∠BDM （对顶角相等），∴∠ABF +∠BDM ＝90°，在△BDM中，∠BMD＝180°﹣∠ABF﹣∠BDM＝180°﹣90°＝90°，所以EC⊥BF．(3)作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．如图：∵△EAC≌△BAF，∴AP＝AQ（全等三角形对应边上的高相等）．∵AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，∴AM平分∠EMF．【变式训练3】已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E．（1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC；（2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系；（3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝1，DF＝2，求线段DB的长．【答案】（1）见解析；（2）AD﹣AB＝2BE，理由见解析；（3）3．【详解】（1）证明：如图1，过点C作CF⊥AD，垂足为F，∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF，∵∠CBE +∠ADC ＝180°，∠CDF +∠ADC ＝180°，∴∠CBE ＝∠CDF ，在△BCE 和△DCF 中，90CBE CDF CEB CFD CE CF °Ð=ÐìïÐ=Ð=íï=î，∴△BCE ≌△DCF （AAS ）∴BC ＝DC ；（2）解：AD ﹣AB ＝2BE ，理由如下：如图2，过点C 作CF ⊥AD ，垂足为F ，∵AC 平分∠MAN ，CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，∴CE ＝CF ，AE ＝AF ，∵∠ABC +∠ADC ＝180°，∠ABC +∠CBE ＝180°，∴∠CDF ＝∠CBE ，在△BCE 和△DCF 中，90CBE CDF CEB CFD CE CF °Ð=ÐìïÐ=Ð=íï=î，∴△BCE ≌△DCF （AAS ），∴DF ＝BE ，∴AD ＝AF +DF ＝AE +DF ＝AB +BE +DF ＝AB +2BE ，∴AD ﹣AB ＝2BE ；（3）解：如图3，在BD 上截取BH ＝BG ，连接OH ，∵BH ＝BG ，∠OBH ＝∠OBG ，OB ＝OB在△OBH 和△OBG 中，BH BG OBH OBG OB OB =ìïÐ=Ðíï=î，∴△OBH ≌△OBG （SAS ）∴∠OHB ＝∠OGB ，∵AO 是∠MAN 的平分线，BO 是∠ABD 的平分线，∴点O 到AD ，AB ，BD 的距离相等，∴∠ODH ＝∠ODF ，∵∠OHB ＝∠ODH +∠DOH ，∠OGB ＝∠ODF +∠DAB ，∴∠DOH ＝∠DAB ＝60°，∴∠GOH ＝120°，∴∠BOG ＝∠BOH ＝60°，∴∠DOF ＝∠BOG ＝60°，∴∠DOH ＝∠DOF ，在△ODH 和△ODF 中，DOH DOF OD OD ODH ODF Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴△ODH ≌△ODF （ASA ），∴DH ＝DF ，∴DB ＝DH +BH ＝DF +BG ＝2+1＝3．类型二、过边上的点向角平分线作垂线构造等腰三角形例1.如图，△ABC 的面积为9cm 2，BP 平分∠ABC ，AP ⊥BP 于P ，连接PC ，则△PBC 的面积为______cm 2．【答案】4.5【详解】解：延长AP 交BC 于E ，∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP=∠EBP，∵AP ⊥BP ，∴∠APB=∠EPB=90°，在△ABP 和△EBP 中，ABP EBP PB PB APB EPB Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴△ABP ≌△EBP （ASA ），∴AP=PE ，∴,APB EPB ACP ECP S S S S ==V V V V ∴119 4.522BPC ABC S S ==´=V V cm 2，故答案为4.5．【变式训练1】如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，CE ⊥BD ，交BD 的延长线于点E ，若BD ＝4，则CE ＝________．【答案】2【详解】解：如图，延长BA 、CE 相交于点F ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠CBD ，在△BCE 和△BFE 中，90ABD CBD BE BE BEF BEC ìïíïÐÐÐаî＝＝＝＝，∴△BCE ≌△BFE （ASA ），∴CE=EF，∵∠BAC=90°，CE ⊥BD ，∴∠ACF+∠F=90°，∠ABD+∠F=90°，∴∠ABD=∠ACF ，在△ABD 和△ACF 中，90ABD ACF AB AC BAC CAF ìïíïÐÐÐаî＝＝＝＝，∴△ABD ≌△ACF （ASA ），∴BD=CF ，∵CF=CE+EF=2CE ，∴BD=2CE=4，∴CE=2．故答案为：2．【变式训练2】如图，在△ABC 中，∠C =90°，BC =AC ，D 是AC 上一点，AE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，AE =12BD ，且DF ⊥AB 于F ，求证：CD =DF 【答案】见解析【解析】证明：延长AE 、BC 交于点F. 如图所示：∵AE ⊥BE ，∴∠BEA=90°，又∠ACF=∠ACB=90°，∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°，∴∠DBC=∠FAC ，在△ACF 和△BCD 中,90ACF BCD AC BC FAC DBC Ð=Ð=°ìï=íïÐ=Ðî，∴△ACF ≌△BCD(ASA)，∴AF=BD.又AE=12BD ，∴AE=12AF ，即点E 是AF 的中点，∴AB=BF ，∴BD 是∠ABC 的角平分线，∵∠C=90°，DF ⊥AB 于F ，∴CD=DF.类型三、利用角平分线的性质，在角两边截长补短例1.已知：如图，//AC BD ，AE ，BE 分别平分CAB Ð和ABD Ð，点E 在CD 上．用等式表示线段AB 、AC 、BD三者之间的数量关系，并证明．【答案】AB=AC+BD，证明见详解．【详解】解：延长AE，交BD的延长线于点F，∵//AC BD，∴∠F=∠CAF，∵AE平分CABÐ，∴∠CAF=∠BAF，∴∠F=∠BAF，∴AB=BF，∵BE平分ABFÐ，∴AE=EF，∵∠F=∠CAF，∠AEC=∠FED，∴△ACE≌△FDE，∴AC=DF，∴AB=BF=BD+DF=BD+AC．【变式训练1】如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．(1)求证：∠AOC＝90°＋12∠ABC；(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．【答案】(1)见解析；(2)43AE+CD=AC，证明见解析【解析】(1)证明：∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，∵∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．∴∠OAC=12∠BAC，∠OCA=12∠BCA，∴∠OAC+∠OCA=12（∠BAC+∠BCA）=12（180°-∠ABC）=90°-12∠ABC，∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-（90°-12∠ABC），即∠AOC =90°+12∠ABC ；(2)解：43AE +CD =AC ，证明：如图2，∵∠AOC =90°+12∠ABC =135°，∴∠EOA =45°，在AC 上分别截取AM 、CN ，使AM =AE ，CN =CD ，连接OM ，ON ，则在△AEO 和△AMO 中，AE AM EAO MAO AO AO =ìïÐ=Ðíï=î，∴△AEO ≌△AMO ，同理△DCO ≌△NCO ，∴∠EOA =∠MOA ，∠CON =∠COD ，OD =ON ，∴∠EOA =∠MOA =∠CON =∠COD =45°，∴∠MON =∠MOA =45°，过M 作MK ⊥AD 于K ，ML ⊥ON 于L ，∴MK =ML ，S △AOM =12AO ×MK ，S △MON =12ON ×ML ，∴AOM MONS AO ON S D D =，∵AOM MON S AM S MN D D =，∴AO AM ON MN=，∵AO =3OD ，∴31AO OD =，∴31AO AM ON MN ==，∴AN =43AM =43AE ，∵AN +NC =AC ，∴43AE +CD =AC ．【变式训练2】如图，∠B =∠C =90°，E 是BC 的中点，DE 平分∠ADC ．求证：AE 是∠DAB 的平分线．（提示：过点E 作EF ⊥AD ，垂足为F ．）【答案】见解析【详解】证明：过点E作EF⊥DA于点F，∵∠C=90°，DE平分∠ADC，∴CE=EF，∵E是BC的中点，∴BE=CE，∴BE=EF，又∵∠B=90°，EF⊥AD，∴AE平分∠DAB．【变式训练3】如图所示，已知B（﹣2，0），C（2，0），A为y轴正半轴上的一点，点D为第二象限一动点，点E在BD的延长线上，CD交AB于点F，且∠BDC＝∠BAC．(1)求证：∠ABD＝∠ACD；(2)求证：AD平分∠CDE；(3)若在D点运动的过程中，始终有DC＝DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．【答案】(1)证明过程见解析；(2)证明过程见解析；(3)∠BAC =60°，理由见解析【解析】(1)证明：∵∠BDC =∠BAC ，∠DFB =∠AFC ，又∵∠ABD +∠BDC +∠DFB =∠BAC +∠ACD +∠AFC =180°，∴∠ABD =∠ACD ；(2)证明：过点A 作AM ⊥CD 于点M ，作AN ⊥BE 于点N ，如下图所示：则∠AMC =∠ANB =90°．∵OB =OC ，OA ⊥BC ，∴AB=AC ，由(1)可知：∠ABD =∠ACD ，∴△ACM ≌△ABN (AAS )，∴AM =AN ．∴DA 平分∠CDE ．(角的两边距离相等的点在角的平分线上)；(3)解：∠BAC 的度数为60°，理由如下：在CD 上截取CP=BD ，连接AP ，如下图所示：∵CD=AD+BD ，∴AD=PD ．∵AB=AC ，∠ABD =∠ACD ，BD=CP ，∴△ABD ≌△ACP (SAS ) ，∴AD=AP ，∠BAD =∠CAP ，∴AD=AP=PD ，即△ADP 是等边三角形，∴∠DAP =60°．∴∠BAC =∠BAP +∠CAP =∠BAP +∠BAD =60°．【变式训练4】已知：如图1，在ABC V 中，AD 是BAC Ð的平分线．E 是线段AD 上一点（点E 不与点A ，点D 重合），满足2Ð=ÐABE ACE ．（1）如图2，若18Ð=°ACE ，且EA EC =，则DEC Ð=________°，AEB Ð=_______°．（2）求证：AB BE AC +=．（3）如图3，若BD BE =，请直接写出ABE Ð和BAC Ð的数量关系．【答案】（1）36，126；（2）见解析；（3）3180Ð+Ð=°ABE BAC 【详解】（1）∵18Ð=°ACE ，且EA EC =，∴∠EAC =∠ACE =18°，∴∠DEC =∠EAC +∠ACE =36°，又∵AD 是BAC Ð的平分线，∴∠BAD =∠CAD =18°，∵2Ð=ÐABE ACE ，∴∠ABE =36°，∴1801836126Ð=°-°-°=°AEB ；故答案为：36，126（2）在AC 上截取AF AB =，连接FE ，又∵AE =AE ，EAF EAB Ð=Ð，∴()V V ≌AEF AEB SAS ，∴EF EB =，AFE ABEÐ=Ð∵∠AFE =∠ACE +∠FEC ，∠ABE =2∠ACE ，∴FEC FCE Ð=Ð，∴EF FC=∴=+=+AC AF FC AB BE ；（3）∵BD BE =，∴BED BDE Ð=Ð，∵BED ABE BAE Ð=Ð+Ð，Ð=Ð+ÐBDE DAC ACD ，∠CAD =∠BAE ，∴∠ACD =∠ABE ，∵∠ABE =2∠ACE ，∴∠ACD =2∠ACE ，∴CE 平分∠ACB ，∴点E 到CA 、CB 的距离相等，又∵AD 是BAC Ð的平分线，∴点E 到AC 、AB 的距离相等，∴点E 到BA 、BC 的距离相等，∴BE 是ABD Ð的平分线，∴∠ABE =∠CBE ，∴Ð=Ð=ÐABE ACD DBE ，又∵180ACB ABC BAC Ð+Ð+Ð=°，∴2180Ð+Ð+Ð=°ABE ABE BAC ，即3180Ð+Ð=°ABE BAC ．课后训练1．如图①，CDE Ð是四边形ABCD 的一个外角，AD //BC ，BC BD =，点F 在CD 的延长线上，FAB FBA Ð=Ð，FG AE ^，垂足为G ．(1)求证：①DC 平分BDE Ð；②BC DG AG +=．(2)如图②，若4AB =，3BC =，1DG =．求AFD Ð的度数．【答案】(1)①见解析；②见解析；(2)90°【解析】(1)解：①∵AD ∥BC ，∴∠C =∠CDE ，∵BC =BD ，∴∠C =∠CDB ，∴∠CDB =∠CDE ，∴DC 平分BDE Ð；②如图，过点F 作FH ⊥BD ，交BD 延长线于H ，∵∠FDG =∠CDE ，∠FDH =∠CDB ，∠EDC =∠CDB ，∴∠FDG =∠FDH ，∵FG ⊥AE ，FH ⊥BD ，∴FH =FG ，∠H =∠FGD =∠AGF =90°,∵FD =FD ，∴Rt △FHD ≌Rt △FGD （HL ），∴DH =DG ，∵FAB FBA Ð=Ð，∴FB =FA ，∴Rt △FHB ≌Rt △FGA （HL ）∴BH =AG ，∵BD =BC ，∴AG =BH =BD +DH =BC +DG ，即AG =BC +DG ；(2)解：∵AB =4，BC =3，DG =1，∴BD =BC =3，AG =BC +DG =3+1=4，∴AD =AG +DG =4+1=5，∵AB 2+BD 2=42+32=52=AD 2，∴∠ABD =90°，过点F 作FM ⊥AB 于M ，交AD 于N ，如图，则∠AMF =∠BMF =90°=∠ABD ，∴FM ∥BD ，∴∠BFM =∠FBD ，∵FAB FBA Ð=Ð，∴FB =FA ，∴AM =12AB =2，∠AFM =∠BFM ，∴∠AFM =∠FBD ，由（1）②知，Rt △FHB ≌Rt △FGA ，∴∠FAG =∠FBD ，∴∠FAG =∠AFN ，∵FM ∥BD ，∴∠MFD =∠BDC ，∵∠BDC =∠CDE =∠FDG ，∴∠MFD =∠FDG ，∴∠AFM +∠FAG +∠DFN +∠FDG =180°，∴2∠AFM +2∠DFN =180°，∴2∠AFD =180°，∴∠AFD =90°．2．已知：如图1，四边形ABCD 中，135ABC Ð=°，连接AC 、BD ，交于点E ，BD BC AD AC ^=，．(1)求证：90DAC Ð=°；(2)如图2，过点B 作BF AB ^，交DC 于点F ，交AC 于点G ，若2DBF CBF S S =V V ，求证：AG CG =；(3)如图3，在（2）的条件下，若3AB =，求线段GF 的长．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)52【解析】(1)解：如图，过点A 作AP ⊥BD 于点P ，AF ⊥BC ，交CB 的延长线于点F ，∵AP ⊥BD ，AF ⊥BC ，BD ⊥BC∴四边形APBF 是矩形∵∠ABC ＝135°，∠DBC ＝90°，∴∠ABP ＝45°，且∠APB ＝90°，∴AP ＝PB ，∴四边形APBF 是正方形，∴AP ＝AF ，且AD ＝AC ，∴ΔΔRt APD Rt AFC HL ≌（），∴∠DAP ＝∠FAC ，∵∠FAC +∠PAC ＝90°，∴∠DAP +∠PAC ＝90°，∴∠DAC ＝90°(2)如图，过点F 作FM ⊥BC 于点M ，FN ⊥BD 于点N ，过点C 作CP ⊥BF 于点P ，在BD 上截取DH ＝BC ，连接AH ，∵∠ABC ＝135°，∠ABF ＝90°，∴∠CBF ＝45°，且∠DBC ＝90°，∴∠DBF ＝∠CBF ，且FN ⊥BD ，FM ⊥BC ，∴FN ＝FM ，∵S △DBF ＝2S △CBF ，∴1122BD FN BC FM ´´=´´×2，∴BD ＝2BC ，∴BH ＝BD ﹣DH ＝BD ﹣BC ＝BC ，∵∠AED ＝∠BEC ，∠DAC ＝∠DBC ＝90°，∴∠ADH ＝∠ACB ，且AD ＝AC ，DH ＝BC ，∴△ADH ≌△ACB （SAS ），∴∠AHD ＝∠ABC ＝135°，AH ＝AB ，∴∠AHB ＝∠ABD ＝45°，∴∠HAB ＝90°，∵BC ＝BH ，∠HAB ＝∠BPC ，∠AHB ＝∠FBC ＝45°，∴△AHB ≌△PBC （AAS ），∴AB ＝PC ，∵AB ＝PC ，且∠ABP ＝∠BPC ，∠AGB ＝∠CGP ，∴△AGB ≌△CGP （AAS ），∴AG ＝GC(3)解：如图，∵AB ＝3＝PC ，∠PBC ＝45°，PC ⊥BF ，∴BP ＝PC=3，∵△AGB ≌△CGP ，∴BG ＝PG ＝32，在Rt PGC D 中，CG ，∴AG ＝GC ∴AC ＝AD ＝2AG ＝在Rt ADC D 中，CD ∵S △DBF ＝2S △CBF ，∴DF ＝2FC∵DF +FC ＝DC ，∴F C在Rt PFC D 中，PF 1，∴FG ＝PG +PF ＝1+32 ＝52．3．如图1，正方形ABCD 中，点E 是BC 延长线上一点，连接DE ，过点B 作BF ⊥DE 于点F ，交CD 于点G ．(1)求证：CG =CE ；(2)如图2，连接FC ，AC ．若BF 平分∠DBE ，求证：CF 平分∠ACE ；(3)如图3，若G 为DC 中点，AB =2，求EF【答案】(1)证明见详解；(2)证明见详解；【解析】(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝DC ，∠BCG ＝∠DCE ＝90°，∵BF ⊥DE ，∴∠DFG ＝∠BCG ＝90°，∵∠DGF ＝∠BGC ，∴∠GBC ＝∠EDC ，在△BCG 和△DCE 中，BCG DCE BC DC GBC EDC Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴△BCG ≌△DCE （ASA ），∴CG ＝CE ；(2)证明：∵BF 平分∠DBE ，BF ⊥DE ，∴DF ＝EF ，∴CF 是Rt △DCE 的中线，∴CF ＝EF ，∴∠E ＝∠FCE ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DBE ＝∠ACB ＝45°，∵BF 平分∠DBE ，∴∠FBE 12=∠DBE ＝22.5°，∴∠E ＝90°﹣∠FBE ＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠FCE ＝67.5°，∴∠ACF ＝180°﹣∠FCE ﹣∠ACB ＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，∴∠ACF ＝∠FEC ，∴CF 平分∠ACE ；(3)解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BCG ＝90°，AB ＝BC ＝CD＝2，BD =＝∵G 为DC 中点，∴CG ＝GD 12=CD＝1，在Rt△BCG 中，由勾股定理得：BG ==设GF ＝x ，在Rt △BDF 和Rt △DFG 中，由勾股定理得：BD 2﹣BF 2＝DF 2，DG 2﹣GF 2＝DF 2，∴2222-=1-x x （），解得：x =∴DF 2＝12﹣22025=，∴DF =，由（1）知：△BCG ≌△DCE ，∴BG ＝DE =，∴EF ＝DE ﹣DF ==．4．已知：在四边形ABCD 中，180,B CAD DE AC Ð+°Ð=^于E ，且2AD AE =．(1)如图1，求B Ð的度数；(2)如图2，BF 平分ABC Ð交AC 于F ，点G 在BC 上，连接FG ，且AF FG =．求证：AB BG =；(3)如图3，在（2）的条件下，AF AD =，过点F 作FH CD ^，且2CH CG =，若21,52CD AB ==，求线段BF 的长．【答案】(1)120°；(2)见解析；(3)3．【解析】(1)解：如图1，取AD 的中点F ，连接EF ，∵DE ⊥AC ，∴∠AED =90°，∴AD =2AF =2EF ，∵AD =2AE ，∴AE =EF =AF ，∴∠CAD =60°，∵∠B +∠CAD =180°，∴∠B =120°；(2)证明：如图2，作FM ⊥BC 于M ，FN ⊥AB 于点N ，∴∠BMF =∠BNF =90°，∠GMF =∠ANF =90°，∵BF 平分∠ABC ，∴FM =FN ，在Rt △BFM 和Rt △BFN 中，BF BF FM FN =ìí=î，∴Rt △BFM ≌Rt △BFN （HL ），∴BM =BN ，在Rt △FMG 和Rt △FNA 中，FG FA FM FN=ìí=î，∴Rt △FMG ≌Rt △FNA （HL ），∴MG =NA ，∴BN +NA =BM +MG ，∴AB =BG ．(3)如图3，连接AG ，DF ，DG ，作FM ⊥BC 于M ，延长GF 交AD 于N ，∵AF =AD ，∠DAE =60°，∴△ADF 是等边三角形，∴∠AFD =60°，AF =DF ，∵GF =AF ，∠DFC =180°-∠AFD =120°，∴AF =GF =DF ，∴∠FGD =∠FDG ，∠FAG =∠FGA ，∴∠AGD =12∠AFN +12∠DFN =12∠AFD =12×60°＝30°，∵∠ADC =120°，AD =DG ，∴∠DGA =∠DAG =1802ADC °-Ð=30°，∴∠DGC =180°-∠DGA -∠AGD =180°-30°-30°=120°，∴∠DGC =∠DFC ，∵∠1=∠2，∴180°-∠DGC -∠1=180°-∠DFC -∠2，∴∠GCF =∠FDG ，∠DCF =∠FGD ，∴∠GCF =∠DCF ，∵FH ⊥CD ，∴FM =FH ，∵∠FMG =∠FHD =90°，∴Rt △FMG ≌Rt △FHD （HL ），∴DH =MG ，同理可得：△MCF ≌△HCF （HL ），∴CM =CH =2CG ，∴GM =CG =DH ，∴3CG =CD =212，∴GM =CG =72，∴BM =BG -GM =AB -GM =5-72=32，在Rt △BFM 中，∠BFM =90°-∠FBM =90°-60°=30°，∴BF =2BM =3．5．如图1，ABC D 的ABC Ð和ACB Ð的平分线BE ，CF 相交于点G ，60BAC Ð=°．（1）求BGC Ð的度数；（2）如图2，连接AG ，求证：AG 平分BAC Ð；（3）如图3，在⑵的条件下，在AC 上取点H ，使得AGH BGC Ð=Ð，且8AH =，10BC =，求ABC D 的周长．【答案】（1）120°；（2）见解析；（3）28【详解】（1）证明：如图1，BE CF Q 、分别平分ABC ACB ÐÐ、，111 , 2 22ABC ACB \Ð=ÐÐ=Ð，()()11112 180 90 222ABC ACB A A \Ð+Ð=Ð+Ð=°-Ð=°-Ð，60BAC Ð=°Q ，() 1 180 ********BGC A \Ð=°-Ð+Ð=°+Ð=°；(2)如图2，过点G 分别作GM ⊥AB 于M ，GN ⊥BC 于N ， GQ ⊥AC 于Q ，BE Q 平分ABC Ð， GM ⊥AB 于M ，GN ⊥BC 于N ，GM GN \=，同理GN GQ =，GM GQ \=，∵GM ⊥AB 于M ， GQ ⊥AC 于Q ， AG \平分BAC Ð ；（3）解：∵GM ⊥AB 于M ， GQ ⊥AC 于Q ，GM =GQ ，∴AG 平分BAC Ð，∵又60BAC Ð=°， 30BAG CAG \Ð=Ð=°，在BC 上取点K ，使 BK BA =，BE Q 平分ABC Ð，ABG CBG \Ð=Ð，又BG BG =Q ，ABG KBG \D D ≌，BKG BAG \Ð=Ð，30BKG BAG \Ð=Ð= ，=18030150GKC \Ð-= ，120AGH BGC Ð=Ð=°Q ， 30CAG Ð=°，120 30 150GHC \Ð=°+°=°，GKC GHC \Ð=Ð，又CG CG =Q ，KCG HCG Ð=Ð，KCG HCG \D D ≌，CK CH \=，△ABC 的周长为：()()2210828AB BC CA AB BK KC AH CH BC AH ++=++++=+=´+=， ABC \D 的周长是28．6．如图所示，AD 是ABC V 的高，点H 为AC 的垂直平分线与BC 的交点，HC AB =．（1）如图1，求证：2B C Ð=Ð；（2）如图2，若2DAF B C Ð=Ð-Ð，求证：AC BF BA =+；（3）在（2）的条件下，若12AC =，CF 10=，求DF 的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）1【详解】解：（1）连接AH ，∵H 为AC 的垂直平分线与BC 的交点，∴HA HC =，HAC C Ð=Ð，∵HC AB =，∴AB AH =，∴B AHB Ð=Ð，∵AHB C HAC Ð=Ð+Ð，∴2AHB C Ð=Ð，∴2B C Ð=Ð．（2）∵2DAF B C Ð=Ð-Ð，∴1122DAF B C Ð=Ð-Ð，在Rt ADF V 中，9090DAF AFD FAC C Ð=°-Ð=°-Ð-Ð，∴119022FAC C B C °-Ð-Ð=Ð-Ð∴[]111190180()2222FAC B C B C BAC Ð=°-Ð-Ð=°-Ð+Ð=Ð，即AF 平分BAC Ð， 在AC 上截取AG AB =，连接FG ，在BAF △和GAF V 中，AB AG BAF GAF AF AF =ìïÐ=Ðíï=î，∴()BAF GAF SAS V V ≌，∴BF FG =，AB =AG ，B AGF Ð=Ð，∵2B CÐ=Ð∴2AGF C Ð=Ð，∴GFC C Ð=Ð，∴FG GC BF ==，∴AC GC AG BE BA =+=+．（3）在DB 上截取DM DF =，连接AM ，在ADF V 和ADM △中，AD AD ADF ADM DF DM =ìïÐ=Ðíï=î，∴()ADF ADM SAS V V ≌，∴DAF DAM Ð=Ð，∴2MAC DAF FAC Ð=Ð+Ð，由（2）可知119022FAC B C Ð=°-Ð-Ð，又∵2DAF B C Ð=Ð-Ð，2B C Ð=Ð．∴11131909029022222MAC B C B C C C C Ð=Ð-Ð+°-Ð-Ð=+´Ð-Ð=-°Ð°．∵()11111180909022222AMC AFM C FAC C BAC C B C B C C °Ð=Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð+-Ð-Ð=-Ð+°Ð=-а∴MAC AMC Ð=Ð ，∴AC MC =∴2MC CF AC CF DF -=-=，∴12102DF-=∴1DF =．7．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．定理应用：（1）如图②．在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ．若AC =3，BC =4，求CD 的长；（2）如图③．在△ABC 中，∠ACB =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，点P 在AD 上，点M 在AC 上．若AC =6，BC =8，则PC +PM 的最小值为 ．【答案】教材呈现：证明见解析；定理应用：（1）32；（2）245．【详解】教材呈现：OC Q 是AOB Ð的平分线，POD POE \Ð=Ð，,PD OA PE OB ^^Q ，90PDO PEO \Ð=Ð=°，在POD V 和POE △中，POD POE PDO PEO OP OP Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()POD POE AAS \@V V ，PD PE \=；定理应用：（1）如图，过点D 作DE AB ^于点E ，Q 在ABC V 中，90,3,4C AC BC Ð=°==，5AB \==，Q AD 平分BAC Ð，且90C Ð=°，CD DE \=，在Rt ACD △和Rt AED △中，AD AD CD ED =ìí=î，()Rt ACD Rt AED HL \@V V ，3AC AE \==，532BE AB AE \=-=-=，设CD DE x ==，则4BD BC CD x =-=-，在Rt BDE V 中，222DE BE BD +=，即2222(4)x x +=-，解得32x =，即CD 的长为32；（2）如图，过点M 作MN AD ^，交AB 于点N ，连接PN，Q AD 平分BAC Ð，AD \垂直平分MN （等腰三角形的三线合一），PM PN \=，PC PM PC PN \+=+，由两点之间线段最短得：当点,,C P N 在同一条直线上时，PC PN +取得最小值，最小值为CN ，又由垂线段最短得：当CN AB ^时，CN 取得最小值，Q 在ABC V 中，90,6,8ACB AC BC Ð=°==，10AB \==，又1122Rt ABC S AC BC AB CN =×=×V Q ，11681022CN \´´=´，解得245CN =，即PC PM +的最小值为245，故答案为：245．。
北京版-数学-七年级上册-3.8《角平分线》教材分析
3.8《角平分线》教材分析一、教材分析教材的地位和作用本章是学生在小学学习角和初中学习第一章《走进数学世界》的生活中的图形的基础上，是在学习过角及其表示，角的分类，角的度量的继续，属于起步几何阶段，本节课以角平分线的定义为载体，训练学生能够进行角的计算，发展学生的初步简单推理论证能力。
为八年级进一步学习角平分线性质定理做铺垫，而角平分线性质定理和判定定理是证明两条线段相等和证明某点在某条直线上的重要工具.二、教学目标A、知识与技能目标1：能够理解角平分线的概念及其表示方法。
使学生会作已知角的平分线2：能够进行角的计算，通过书写过程初步体会推理的严谨性和结论的确定性，树立步步有据的推理意识，发展简单推理能力以及数学交流能力.B、过程与方法目标经历对角平分线的计算和应用问题的解决，注重对思路的启发，规范过程，体会归纳类比等数学的思想方法.C、情感态度与价值观目标1：让学生学会大胆猜想两角平分线的夹角与原角之间的关系，并积极探索，善于归纳、应用，培养学生的主动学习积极思考的个性，优化学生善于思索的数学思维品质.2：通过同伴间的合作交流，培养学生团结协作的精神.三、教学重点难点重点：角平分线的应用难点：从图形中观察角的和、差关系，培养逻辑思维的严谨性。
四、教法设计本着“尊重学生、尊重生命”的教育理念，这节课我从学生已有的知识背景出发，以动手操作为辅助手段，启发学生通过动手—观察—猜想—证明—应用的方式进行探索，以小组合作为形式进行交流，使学生数学知识的构建在主体参与、合作互动、交流升华中形成。
我注意充分利用学案导学，激发学生兴趣，让每一个学生动口、动眼、动脑，促使学生自得知识、自觅规律、自悟原理.五、教学方式与教学手段：（一）学情分析初一的学生学习数学的积极性比较高，但是由于小学对计算能力培养较多，对于几何知识的分析归纳问题的能力不足，对于几何的逻辑思维能力并不严谨.但针对这一客观实际，一方面运用操作的方式，引发学生的兴趣，激起探究欲望.另一方面，鼓励学生积极参与，多思考，多合作，多交流，在互动中获得知识，培养学生思维的广阔性和深刻性.（二）教学法设计“授人以鱼，不如授人以渔”，最有价值的知识是关于方法的知识.数学教学中的一项重要的任务就是培养学生的思维能力，而让学生学会思考是数学学习方法中的重中之重，所以我采取启发式探究法，把它贯穿于课堂教学的始终，充分发挥学生的主体作用，尽可能多的提问问题，鼓励学生发表见解，质疑问难，提供更多的思维和活动空间，提倡合作交流，相互启发，切实提高思维能力。
六年级数学复习巧用角平分线解决角平分线题
六年级数学复习巧用角平分线解决角平分线题角平分线作为数学中常见的概念，广泛应用于解决各类与角度相关的问题。
在六年级数学中，角平分线的运用不仅可以帮助我们解题，还能培养我们的推理思维和空间想象能力。
下面，我将介绍一些巧用角平分线解决角平分线题的方法和技巧。
一、角平分线的定义和性质在开始讲解具体应用之前，我们先来回顾一下角平分线的定义和一些重要性质。
在平面上，如果从角A的顶点引一条射线AD，使得角BAD和角DAC的度数相等，那么称射线AD为角A的角平分线，点D为角A的角平分点。
角平分线具有以下重要性质：1. 角平分线将一个角分成两个度数相等的小角。
2. 角平分线上的点到角的两边的距离相等。
3. 角的内部每一点都与角的两边形成两个度数相等的小角。
理解了这些基本性质后，我们就可以运用角平分线来解决各类与角平分线相关的数学题目。
二、利用角平分线解决角平分线的特殊题型1. 求角的度数当题目给出角的两条边的长度或者角的部分度数时，我们可以通过利用角平分线的性质来求解角的度数。
例如，如图1所示，已知AC=BC，AD为角A的角平分线，求角A 的度数。
解法：由题意可知，AD为角A的角平分线，所以角BAD=角DAC。
又AC=BC，所以三角形ABC是一个等腰三角形。
因此，角BAC=角BCA。
由于角BAC和角A的度数之和为180°，所以角A的度数为90°。
2. 判断角的性质当我们需要判断角的性质时，可以利用角平分线的性质来寻找关键线索。
例如，如图2所示，已知AD为角A的角平分线，角BAD=40°，角ADC=60°，判断角BCD的度数。
解法：由于AD为角A的角平分线，所以角BAD=角DAC=40°。
由于角ADC=60°，所以角CDA=180°-60°-40°=80°。
由角CDA=角BCD，所以角BCD的度数为80°。
角平分线中的几何综合(解析版)--八年级数学上册压轴题
角平分线中的几何综合正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。
逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。
一、角平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD 平分∠ADB ，点P 是CD 上一点，且PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，则PE =PF .二、角平分线的判定角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.用符号语言表示角的平分线的判定：若PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，PE =PF ，则PD 平分∠ADB【典例1】已知△ABC ，AD 是一条角平分线．【探究发现】如图1，若AD 是∠BAC 的角平分线．可得到结论：AB AC =BD DC ．小艳的解法如下：过点D 作DM ⊥AB 于点M ，DN ⊥AC 于点N ，过点A 作AP ⊥BC 于点P ，∵AD 是∠BAC 的角平分线，且DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，∴__________________∴S △ABDS △ADC =12AB ×DM 12AC ×DN=__________________又∵S △ABD S △ADC =12BD ×AP 12CD ×AP =BD CD ，∴__________________【类比探究】如图2，若CD 是∠ACB 的外角平分线，CD 与BA 的延长线交于点D ．求证：AC BC=AD BD ．【拓展应用】如图3，在△ABC 中，∠BAC =60°，BF 、CE 分别是∠ABC 、∠ACB 的角平分线且相交于点D ，若ED CD =47，直接写出BD DC的值是__________________．探究发现：根据题干中的解题思路求解即可；类比探究：过点D 作DN ⊥AC 交CA 延长线于N ，过点D 作DM ⊥BC 延长线于M ，过点C 作CP ⊥BD 于点P ．利用角平分线的性质及等面积法证明即可；拓展应用：在BC 上取点G ，使得BG =BE ，连接DG ，先利用全等三角形的判定得出△BDE ≌△BDG ，再由其性质及前面的结论求解即可．探究发现：解：过点D 作DM ⊥AB 于点M ，DN ⊥AC 于点N ，过点A 作AP ⊥BC 于点P ，∵AD 是∠BAC 的角平分线，且DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，∴DM =DN ，∴S △ABD S △ADC =12AB ×DM 12AC ×DN =AB AC ，又∵S △ABD S △ADC =12BD ×AP 12CD ×AP =BD CD ，∴AB AC=BD DC ；故答案为：DM =DN ，AB AC ，AB AC=BD DC ；类比探究：证明：过点D 作DN ⊥AC 交CA 延长线于N ，过点D 作DM ⊥BC 延长线于M ，过点C 作CP ⊥BD 于点P ．∵CD 平分∠MCN ，∴DN =DM ．∴S △ACD S △DBC =12AC ×DN12BC ×DM =AC BC ，S △ACD S △DBC =12AD ×CP 12BD ×CP =AD BD，∴AC BC =AD BD ；拓展应用：在BC 上取点G ，使得BG =BE ，连接DG ，∵∠BAC =60°，∴∠ABC +∠ACB =120°，∵BD ,CE 分别是∠ABC 、∠ACB 的角平分线，∴∠DBE =∠DBG ，∠DCG =∠DCF ，∠DBC +∠DCB =12∠ABC +∠ACB =60°，∴∠BDC =120°，∴∠BDE =60°，∵BD =BD ，∴△BDE ≌△BDG ，∴∠BDE =∠BDG =60°，∴∠BDG =∠CDG =60°∴DG 是∠BDC 的角平分线由(1)知，DE DC =BE BC =47，设BE =4x ，BC =7x ，则BG =4x ，CG =3x ，由(1)知BD DC =BG CG =43，即BD DC =43．1(22-23八年级下·广东深圳·期中)如图，点P 为定角∠AOB 的平分线上的一个定点，且∠MPN 与∠AOB 互补，若∠MPN 在绕点P 旋转的过程中，其两边分别与OA 、OB 相交于M 、N 两点，则以下结论：①PM =PN 恒成立；②OM +ON 的值不变；③四边形PMON 的面积不变；其中正确的个数为()A.3B.2C.1D.0【思路点拨】作PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ，根据OP 平分∠AOB 可知PE =PF ，结合OP =OP 即可证明△POE ≌△POF ．根据图中各角的数量关系可得∠MPE =∠NPF 、∠PEM =∠PFN ，进而还可证明△PEM ≌△PFN ；利用全等三角形的性质可以得到多组相等的边，由此判断①的正误．根据全等三角形的性质得到S △PEM =S △PNF ，据此可得S 四边形PMON =S 四边形PEOF =定值，还可判断③的正误；【解题过程】解：如图，作PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ．∵∠PEO =∠PFO =90°，∴∠EPF +∠AOB =180°，∵∠MPN +∠AOB =180°，∴∠EPF =∠MPN ，∴∠EPM =∠FPN ，∵OP 平分∠AOB ，PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ，∴PE =PF ．在△POE 和△POF 中PE =PF ，OP =OP ，∴Rt △POE ≌Rt △POF (HL )，∴OE =OF ．在△PEM 和△PFN 中∠MPE =∠NPF ，PE =PF ，∠PEM =∠PFN ，∴△PEM ≌△PFN (ASA )，∴EM =NF ，PM =PN ，S △PEM =S △PNF ，故①正确．∴S 四边形PMON =S 四边形PEOF =定值，故③正确．∴OM +ON =OE +ME +OF -NF =2OE =定值，故②正确．故选：A．2(23-24八年级下·山东青岛·期中)如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上一点，BE=BA，过点E作EF⊥AB于点F，则下列结论：①△EBC可由△ABD绕点B旋转而得到；②∠BCE+∠BCD=180°；③∠ABE=∠DAE；④BA+BC=2BF；正确的为()A.①②③B.①②③④C.①②④D.①③④【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质．可证△ABD≌△EBC，所以△EBC可由△ABD 绕点B旋转而得到；由△ABD≌△EBC可得∠BCE=∠BDA，∠BCD=∠ADE，因为∠BDA+∠ADE= 180°，等量代换∠BCE+∠BCD=180°；因为BE=BA，所以∠BAE=∠BEA=1(180°-∠ABE)，因为2(180°-∠DBC)，∠BDC=∠ADE，所以∠BAE=∠BEA=∠BDC ∠ABD=∠DBC，∠BDC=∠BCD=12(180°-∠ABE)，因为∠DAE=180°-2∠AED，可得∠ABE=∠DAE；=∠BCD，即∠ADE=∠AED=12过E作EM⊥BC，可证Rt△AEF≌Rt△CEM，Rt△BEF≌Rt△BEM，所以AF=CM，BF=BM，据此可证明BA+BC=2BF．【解题过程】解：∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBC，∵BD=BC，BE=BA，∴△ABD≌△EBC SAS，∴△EBC可由△ABD绕点B旋转而得到，故①符合题意，∴∠BCE=∠BDA，∵BD=BC，∴∠BDC=∠BCD，∵∠BDC=∠ADE，∴∠BCD=∠ADE，∵∠BDA+∠ADE=180°，∴∠BCE+∠BCD=180°，故②符合题意，∵BE=BA，∴∠BAE=∠BEA=1(180°-∠ABE)，2(180°-∠DBC)，∵∠ABD=∠DBC，∠BDC=∠BCD=12∴∠BAE=∠BEA=∠BDC=∠BCD，∵∠BDC=∠ADE，(180°-∠ABE)，∴∠ADE=∠AED=12∵∠DAE=180°-2∠AED，∴∠ABE=∠DAE，故③符合题意，过E作EM⊥BC，交BC延长线于点M，∵BD为△ABC的角平分线，∴EF=EM，∵△ABD≌△EBC，∴CE=DA，∵∠ADE=∠AED，∴AD=AE，∴CE=AE，∴Rt△AEF≌Rt△CEM HL，∴AF=CM，∵EF=EM，BE=BE，∴Rt△BEF≌Rt△BEM HL，∴BF=BM，∴BA+BC=BF+AF+BM-CM=BF+AF+BF-AF=2BF，故④符合题意，故选：B．3(22-23七年级下·辽宁沈阳·期中)如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，在下列结论中：①∠AOB=90°+∠C；②若AB=4，OD=1，则S△ABO=2；③当∠C=60°时，AF+BE=AB；④若OD=a，AB+BC+CA=2b，则S△ABC=ab．其中正确的结论为()A.②③B.②④C.②③④D.①②④【思路点拨】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；过O点作OP⊥AB 于P，由角平分线的性质可求解OP=1，再根据三角形的面积公式计算可判定②；在AB上取一点H，使BH=BE，证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH=∠BOE=60°，再证得△HAO≌△FAO，得到AF=AH，进而判定③正确；作ON⊥AC于N，OH⊥AB于H，根据三角形的面积可证得④正确．【解题过程】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，∴∠OBA=12∠CBA，∠OAB=12∠BAC，∴∠AOB=180°-∠OBA-∠OAB=180°-12∠ABC+∠BAC=180°-12180°-∠C=90°+12∠C，故①错误；过O点作OP⊥AB于P，∵BF平分∠ABC，OD⊥BC，∴OP=OD=1，∵AB=4，∴S△ABO=12×4×1=2，故②正确；∵∠C=60°，∴∠BAC+∠ABC=120°，∵AE，BF分别是∠BAC与∠ABC的平分线，∴∠OAB+∠OBA=12∠BAC+∠ABC=60°，∴∠AOB=120°，∴∠AOF=60°，∴∠BOE=60°， 如图，在AB上取一点H，使BH=BE，∵BF是∠ABC的角平分线，∴∠HBO=∠EBO，在△HBO和△EBO中，BH=BE∠HBO=∠EBO BO=BO，∴△HBO≌△EBO SAS，∴∠BOH=∠BOE=60°，∴∠AOH=180°-60°-60°=60°，∴∠AOH=∠AOF，在△HAO和△FAO中，∠HAO=∠FAO AO=AO∠AOH=∠AOF，∴△HAO ≌△FAO ASA ，∴AF =AH ，∴AB =BH +AH =BE +AF ，故③正确；作ON ⊥AC 于N ，OH ⊥AB 于H ，∵∠BAC 和∠ABC 的平分线相交于点O ，OD ⊥BC ，∴ON =OH =OD =a ，∵AB +AC +BC =2b ，∴S △ABC =12AB ⋅OH +12BC ⋅OD +12AC ⋅ON =12a ⋅2b =ab ，故④正确． 故选：C ．4(23-24八年级上·山东济南·期末)如图，在△ABC 中，BE ，CE ，CD 分别平分∠ABC ，∠ACB ，∠ACF ，AB ∥CD ，下列结论：①∠BDC =∠BAC ；②∠BEC =90°+∠ABD ；③∠CAB =∠CBA ；④∠ADB +∠ABC =90°，其中正确的为()A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④【思路点拨】由角平分线的定义及三角形外角的性质可得∠BDC =12∠BAC ，进而判定①；由角平分线的定义及平角的定义可求∠ECD =90°，利用三角形外角的性质及平行线的性质可判定②；利用角平分线的定义可判定③；由角平分线的性质及判定可得AD 为△ABC 外角∠MAC 的平分线，结合角平分线的定义及三角形外角的性质即可证明∠ADB =∠BCE ，再利用平行线的性质可得结论④．【解题过程】解：∵AB ∥CD∴∠ACD =∠BAC ，∠ABC =∠DCF ，∵BE 平分∠ABC∴∠ABD =∠DBC =12∠ABC ∵CD 平分∠ACF ，∠ACF =∠ABC +∠BAC ，∴∠ACD =∠DCF =12∠ACF =12∠ABC +12∠BAC ．∵∠DCF =∠DBC +∠BDC =12∠ABC +∠BDC ，∴12∠ABC +∠BDC =12∠ABC +12∠BAC∴∠BDC=1∠BAC，故①错误；2∵CE平分∠ACB，∠ACB，∴∠ACE=12∵∠ACB+∠ACF=180°，∴∠ACE+∠ACD=90°，即∠ECD=90°，∴∠BEC=∠ECD+∠CDB=90°+∠CDB，∵AB∥CD∴∠CDB=∠ABD∴∠BEC=90°+∠ABD，故②正确；∵BD平分∠ABC，∴∠CBA=2∠ABD=2∠BDC∠BAC，∵∠BDC=12∴∠CAB=∠CBA，故③正确；过点D作DN⊥BF于N，DG⊥AC于 G ，DH⊥BM于H，如图，∵CD平分∠ACF，DN⊥BF，DG⊥AC ，∴DN=DG∵BD平分∠ABC，DG⊥AC ，DH⊥BM，∴DN=DH∴DG=DH∴AD为△ABC外角∠MAC的平分线，∴∠DAM=∠DAC=1∠MAC2∵∠MAC=∠ABC+∠ACB=2∠CBD+2∠BCE，∴∠DAC=∠CBD+∠BCE∵∠DAC+∠ADB=∠DEC+∠BCE∴∠ADB=∠BCE，∵AB∥CD，∴∠ABC=∠DCF，∵∠BCE=∠ACE，∠DCF=∠ACD∴∠ABC+∠ADB=∠ACD+∠ACE=∠DCE=90°即∠ADB+∠ABC=90°，故④正确．故选：C．5(23-24八年级上·福建福州·期中)如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB，且交于点F．则下列说法中①∠AFC=120°；②S△ABD=S△ADC；③若AE=EB，则CE⊥AB；④CD+AE=AC；⑤S△AEF:S△CDF=AE:CD．哪些是正确的()A.①③④B.①③⑤C.①②④⑤D.①③④⑤【思路点拨】由∠ABC=60°，得∠DAC+∠ECA=12∠BAC+∠ACB=60°，则∠AFC=120°，可判断①正确；作DG⊥AB于点G，DH⊥AC于点H，则DG=DH，因为AB与AC不一定相等，S△ABD与S△ADC不一定相等，可判断②错误；延长CE到点K，使KE=CE，连接BK，可证明△BKE≌△ACE，得∠K=∠ACE,BK= AC，而∠BCE=∠ACE，所以∠BCE=∠K，则BK=BC，所以AC=BC，则CE⊥AB，可判断③正确；在AC上截取AL=AE，连接FL，可证明△ALF≌△AEF，得∠AFL=∠AFE=60°，则∠CFL=∠CFD，再证明△FLC≌△FDC，得CL=CD，则CD+AE=CL+AL=AC，可判断④正确；由④可得△ALF≌△AEF，△FLC≌△FDC，由S△ALFS△FLC=ALLC=AECD即可推出S△AEF:S△CDF=AE:CD，可判断⑤正确．【解题过程】解：∵∠ABC=60°，∴∠BAC+∠ACB=180°-∠ABC=120°，∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴∠DAC=12∠BAC,∠ECA=12∠ACB，∴∠DAC+∠ECA=12∠BAC+∠ACB=60°，∴∠AFC=180°-∠DAC+∠ECA=120°，故①正确；如图1，作DG⊥AB于点G，DH⊥AC于点H，则DG=DH，∵AB与AC不一定相等，∴1 2AB⋅DG与12AC⋅DH不一定相等，即：S△ABD与S△ADC不一定相等，故②错误；如图1，延长CE到点K，使KE=CE，连接BK，在△BKE和△ACE中，KE=CE∠BEK=∠AEC BE=AE，∴△BKE≌△ACE SAS，∴∠K=∠ACE,BK=AC，∵∠BCE=∠ACE，∴∠BCE=∠K，∴BK=BC，∴AC=BC，∴CE⊥AB，故③正确；如图2，在AC上截取AL=AE，连接FL，∵∠AFC=120°，∴∠AFE=∠CFD=180°-∠AFC=60°，在△ALF和△AEF中，AL=AE∠AEF=∠EAF AF=AF，∴△ALF≌△AEF SAS，∴∠AFL=∠AFE=60°，∴∠CFL=∠AFC-∠AFL=60°，∴∠CFL=∠CFD，在△FLC和△FDC中，∠LCF=∠DCF CF=CF∠CFL=∠CFD，∴△FLC≌△FDC ASA，∴CL=CD，∴CD+AE=CL+AL=AC，故④正确；由④可得，△ALF≌△AEF，△FLC≌△FDC，∵S△ALFS△FLC=ALLC=AECD，∴S△AEFS△FDC=AECD，即S△AEF:S△CDF=AE:CD，故⑤正确，正确的结论为①③④⑤，故选：D．6(2024七年级下·全国·专题练习)如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，OD=4，若△ABC的面积为25，则△ABC的周长为．【思路点拨】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，过点O 作OE ⊥AB ，垂足为E ，过点O 作OF ⊥AC ，垂足为F ，连接AO ，根据角平分线的性质得OD =OE =OF =4，然后根据三角形的面积公式列式即可，熟记性质是解题的关键．【解题过程】解：过点O 作OE ⊥AB ，垂足为E ，过点O 作OF ⊥AC ，垂足为F ，连接AO ，∵BO 平分∠ABC ，OD ⊥BC ，OE ⊥AB ，∴OD =OE =4，∵CO 平分∠ACB ，OD ⊥BC ，OF ⊥AC ，∴OD =OF =4，∵△ABC 的面积为25，∴△AOB 的面积+△BOC 的面积+△AOC 的面积=25，∴12AB ·OE +12BC ·OD +12AC ·OF =25，∴AB ·OE +BC ·OD +AC ·OF =50，∴4AB +BC +AC =50，∴AB +BC +AC =12.5，∴△ABC 的周长为12.5，故答案为：12.5．7(23-24八年级上·四川德阳·期末)如图，在∠AOB 的边OA ，OB 上取点M ，N ，连接MN ，PM 平分∠AMN ，PN 平分∠MNB ，若MN =2，△PMN 的面积是2，△OMN 的面积是8，则△OMN 的周长是．【思路点拨】本题考查了角平分线的性质，过P 作PH ⊥MN 与H ， PK ⊥OB 于K ，PL ⊥AO 于L ，连接PO ，利用角平分线的性质和三角形的面积可得PK =PL =PH =2，根据△OMN 的面积+△PMN 的面积=△POM 的面积+△PON 的面积，进行计算即可求出OM +ON =10，进而得到△OMN 的周长，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【解题过程】解：过P 作PH ⊥MN 与H ， PK ⊥OB 于K ，PL ⊥AO 于L ，连接PO ，∵PM 平分∠AMN ， PN 平分∠MNB ，∴PL =PH ，PK =PH ，∴PL =PK ，∵MN =2，△PMN 的面积=12MN ·PH =2，∴PH =2，∴PK =PL =2，∵△POM 的面积=12OM ·PL ，△PON 的面积=12ON ·PK ，∴△OMN 的面积+△PMN 的面积=△POM 的面积+△PON 的面积=12OM ·PL +12ON ·PK =12OM +ON ·PK =8+2，∴12OM +ON ×2=10，∴OM +ON =10，∴△OMN 的周长=OM +ON +MN =10+2=12，故答案为：12．8(23-24七年级下·重庆·期中)如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AC ，BC 上的点，且AD =2CD ,BC =4EC ，连接BD 、AE 交于点F ,∠BAF 的平分线交BD 于点G ，且AB :AF =2:1，若△AGF 的面积为4，则图中阴影部分的面积为．【思路点拨】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积比，连接CF ，根据角平分线的性质，可得点G 到AB ,AF 的距离相等，则可得△ABG 的面积，再根据AD =2CD ，求得△CFB 的面积，根据BC =4EC 求得△BFE 和△CEF 的面积，即可求得△ABC 的面积，最后求得△CDF 的面积，即可求得四边形CDFE 的面积，即可解答，熟练根据底边之比进行三角形面积的转换是解题的关键．【解题过程】解：如图，连接CF ，∵∠BAF 的平分线交BD 于点G ，∴点G 到AB ,AF 的距离相等，∵AB :AF =2:1，∴S △ABG :S △AFG =2:1，∵△AGF 的面积为4，∴S △ABG =8,∴S △ABF =12，∵AD =2CD ，∴S △ABD =2S △BCD ，S △ADF =2S △CDF ，∴S △ABD -S △ADF =2S △BCD -2S △CDF ，即S △ABF =2S △CBF ，∴S △BFC =6，∵BC =4EC ，∴S △FEC =14S △FBC =32，S △BEF =34S △FBC =92，∴S △ABE =S △ABF +S △BEF =332，∵34S △ABC =S △ABE ，∴S △ABC =22，∴S △ACF =S △ABC -S △ABF -S △CBF =4，∴S △DCF =13S △AFC =43，∴阴影部分的面积为32+43=176，故答案为：176．9(22-23七年级下·福建福州·期末)如图，在△AOC 和△BOD 中，OA =OB ，OC =OD ，OA <OC ，∠AOB =∠COD =36°．连接AC ，BD 交于点M ，连接OM ．则在下列结论中：①∠AMB =36°，②AC =BD ，③若OB 平分∠AOM ，则△OEC ≌△OMD ，④AO ∥BD ．正确的结论有(填序号)【思路点拨】由题意易证△AOC ≌△BOD SAS ，即得出∠A =∠B ，AC =BD ，故②正确；结合∠OEA =∠MEB ，即可求出∠AMB =∠AOB =36°，故①正确；由角平分线的定义可知∠AOB =∠BOM ，从而可证∠COD =∠BOM，进而可证∠MOD=∠EOC．即可利用“ASA”证明△OEC≌△OMD故③正确；过点O作OG⊥AC于点G，OH⊥BD于点H，易证△AOG≌△BOH AAS，即得出OG=OH，说明OM平分∠AMD，即∠AMO=∠DMO．假设AO∥BD成立，得出∠MAO=∠AMB=∠AOB=∠MBO=36°，从而可求出∠AMD=144°，进而可证OB平分∠AOM．因为不确定OB平分∠AOM，AO∥BD不一定成立，故④错误．【解题过程】解：∵∠AOB=∠COD=36°，∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD．在△AOC和△BOD中，AO=BO∠AOC=∠BOD CO=DO，∴△AOC≌△BOD SAS，∴∠A=∠B，AC=BD，故②正确；∵∠OEA=∠MEB，∴∠AMB=180°-∠B-∠MEB=180°-∠A-∠OEA=∠AOB=36°，故①正确；∵若OB平分∠AOM，∴∠AOB=∠BOM．∵∠AOB=∠COD=36°，∴∠COD=∠BOM，∴∠COD+∠COM=∠BOM+∠COM，即∠MOD=∠EOC．∵△AOC≌△BOD，∴∠D=∠C．又∵OD=OC，∴△OEC≌△OMD ASA，故③正确；如图，过点O作OG⊥AC于点G，OH⊥BD于点H，在△AOG和△BOH中，∠OGA=∠OHB=90°∠OAG=∠OBHAO=BO，∴△AOG≌△BOH AAS，∴OG=OH，∴OM平分∠AMD，即∠AMO=∠DMO．假设AO∥BD成立，∴∠MAO=∠AMB=∠AOB=∠MBO=36°，∴∠AMD=180°-∠AMB=144°，∴∠AMO=∠DMO=12∠AMD=72°，∴∠AOM=180°-∠MAO-∠AMO=72°，∴∠EOM =∠AOM -∠AOB =36°，∴∠AOB =∠EOM ，即OB 平分∠AOM ．∵不确定OB 平分∠AOM ，∴AO ∥BD 不一定成立，故④错误．故答案为：①②③．10(22-23七年级下·福建福州·期末)如图，在△ABC 中，∠A =60°∠ABC >∠A ，角平分线BD 、CE 交于点O ，OF ⊥AB 于点F ．下列结论；①S △BOC :S △BOE =BC :BE ；②∠EOF =∠ABC -∠A ；③BE +CD =BC ；④S 四边形BEDC =2S △BOC +S △EDO ，其中正确结论是．【思路点拨】过点O 作OG ⊥BC 于点G ，由角平分线的性质定理可得OF =OG ，然后结合三角形面积公式即可判断结论①；首先求得∠BOE =60°，假设∠ABC =80°，则∠OBA =40°，可求得∠EOF =10°，再根据∠ABC -∠A =20°，即可判断结论②；在BC 上截取BM =BE ，连接OM ，分别证明△BOE ≌△BOM 和△COD ≌△COM ，由全等三角形的性质可得CD =CM ，即可判断结论③；由全等三角形的定义和性质易得S △BOE =S △BOM ，S △COD =S △COM ，可知S △BOE +S △COD =S △BOM +S △COM =S △BOC ，即可判断结论④．【解题过程】解：如下图，过点O 作OG ⊥BC 于点G ，∵BD 平分∠ABC ，OF ⊥AB ，OG ⊥BC ，∴OF =OG ，∴S △BOC :S △BOE =12BC ×OG :12BE ×OF =BC :BE ，故结论①正确；∵∠A =60°，∴∠ABC +∠ACB =180-∠A =120°，∵BD 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，∴∠OBA =∠OBC =12∠ABC ,∠OCA =∠OCB =12∠ACB ，∴∠BOE =∠OBC +∠OCB =12(∠ABC +∠ACB )=60°，设∠ABC =80°，则∠OBA =12∠ABC =40°，∵OF ⊥AB ，∴∠BOF =90°-∠OBA =50°，∴∠EOF =∠BOE -∠BOF =60°-50°=10°，又∵∠ABC -∠A =80°-60°=20°，∴∠EOF ≠∠ABC -∠A ，故结论②错误；在BC 上截取BM =BE ，连接OM ，在△BOE 和△BOM 中，BE =BM∠OBE =∠OBM OB =OB，∴△BOE ≌△BOM (SAS )，∴OE =OM ，∠BOM =∠BOE =60°，∵∠COD =∠BOE =60°，∠COM =180°-∠BOE -∠BOM =60°，∴∠COD =∠COM ，∴在△COD 和△COM 中，∠OCD =∠OCMOC =OC ∠COD =∠COM，∴△COD ≌△COM (ASA )，∴CD =CM ，∴BE +CD =BM +CM =BC ，故结论③正确；∵△BOE ≌△BOM ，△COD ≌△COM ，∴S △BOE =S △BOM ，S △COD =S △COM ，∴S △BOE +S △COD =S △BOM +S △COM =S △BOC ，∴S 四边形BEDC =S △BOE +S △COD +S △BOC +S △EDO =2S △BOC +S △EDO ，故结论④正确．综上所述，结论正确的为①③④．故答案为：①③④．11(23-24八年级上·山东临沂·期末)如图，在△ABC 和△ADE 中，AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE ，CE 的延长线交BD 于点F．(1)求证：△ACE ≌△ABD ；(2)若∠BAC =∠DAE =50°，请直接写出∠BFC 的度数；(3)连接AF ，过点A 作AH ⊥BD 于点H ，求证：FA 平分∠DFC ；(4)线段DH ，EF 与HF 之间的数量关系是：．【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．(1)根据“边角边”证明三角形全等即可；(2)根据△ACE ≌△ABD ，得到∠ACE =∠ABD ，再利用∠BFC =180°-(∠BCF +∠ABD +∠ABC )，将∠ACE =∠ABD 代入，即得答案；(3)过点A 作AG ⊥CF 于点G ，利用面积法证明AG =AH ，再根据角平分线的判定定理，即可证明结果；(4)先证明△AGE ≌△AHD ，得到GE =HD ，再证明△AGF ≌△AHF ，得到FG =FH ，即可证得答案．【解题过程】(1)∵∠BAC =∠DAE ，∴∠EAC =∠DAB ，又∵AB =AC ，AD =AE ，∴△ACE ≌△ABD (SAS )；(2)∠BFC =50°；理由如下：∵∠ABC +∠ACB +∠BAC =180°，∴∠ABC +∠ACB =180°-∠BAC =130°，∵△ACE ≌△ABD ，∴∠ACE =∠ABD ，∴∠BFC =180°-(∠BCF +∠ABD +∠ABC )=180°-(∠BCF +∠ACE +∠ABC )=180°-(∠ACB +∠ABC )=180°-130°=50°；(3)过点A 作AG ⊥CF 于点G ，∵△ACE ≌△ABD ，∴CF =BD ，S △ACE =S △ABD ，∵AH ⊥BD ，∴12CF ⋅AG =12BD ⋅AH ，∴AG =AH ，∴FA 平分∠DFC ；(4)EF+DH=FH；理由如下：∵△ACE≌△ABD，∴∠AEG=∠ADH，又∵∠AGE=∠AHD=90°，AG=AH，∴△AGE≌△AHD(AAS)，∴GE=HD，∴EF+DH=EF+GE=FG，∵∠AGF=∠AHF=90°，AG=AH，AF=AF，∴△AGF≌△AHF(HL)，∴FG=FH，∴EF+DH=FH．12(22-23八年级上·湖北随州·期中)如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB=100°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH=50°．(1)求证：AE平分∠CAF；(2)直接写出∠AEB的度数；(3)若AC+CD=14，AB=8.5，且S△ACD=21，求△ABE的面积．【思路点拨】(1)过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，根据角平分线的性质可证得EM=EN，进而可证明结论；(2)设∠ABE=x，分别表示出∠BAC=80°-2x，∠CAE=x+50°，求出∠BAE=130°-x，再利用三角形内角和定理计算；(3)利用三角形的面积公式可求得EM的长，再利用三角形的面积公式计算可求解．【解题过程】(1)解：∵∠ACB=100°，∴∠ACD=180°-100°=80°，∵EH⊥BD，∴∠CHE=90°，∵∠CEH=50°，∴∠ECH=90°-50°=40°，∴∠ACE=80°-40°=40°；过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，∵BE平分∠ABC，∴EM=EH，∵∠ACE=∠ECH=40°，∴CE平分∠ACD，∴EN=EH，∴EM=EN，∴AE平分∠CAF；(2)设∠ABE=x，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABE=2x，∵∠ACH=∠ACE+∠ECD=80°，∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=80°-2x，∵∠CAF=∠ABC+∠ACB=2x+100°，AE平分∠CAF，∴∠CAE=12∠CAF=x+50°，∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=80°-2x+x+50°=130°-x，∴∠AEB=180°-∠BAE-∠ABE=180°-130°-x-x=50°；故答案为：50°； (3)∵AC+CD=14，S△ACD=21，EM=EN=EH，∴S△ACD=S△ACE+S△CED=12AC⋅EN+12CD⋅EH=12(AC+CD)⋅EM=21，即12×14⋅EM=21，解得EM=3，∵AB=8.5，∴S△ABE=12AB⋅EM=12×8.5×3=514．13(23-24八年级上·北京海淀·阶段练习)已知：在△ABC中，作∠ABC平分线BM，在BM上找一点D，使得DA=DC，过点D作DE⊥BC，交直线BC于点E．(1)依题意补全图形；(2)用等式写出AB、BC、BE之间的数量关系，并给出证明；(3)如果把作∠ABC的平分线BM，改为作∠ABC的外角∠PBA的平分线BM，其他条件不变，直接用等式写出AB、BC、BE之间的数量关系．【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．(1)由题意画出图形即可；(2)过点D作DF⊥AB于点F，根据角平分线上的点到两边的距离相等可得DE=DF；根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，全等三角形的对应边相等可得AF=CE，BF=BE，即可求解；(3)过点D作DF⊥AB于点F，根据角平分线上的点到两边的距离相等可得DE=DF；根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，全等三角形的对应边相等可得AF=CE，BF=BE，即可求解．【解题过程】(1)解：依题意补全图形如下：(2)解：AB=2BE-BC．证明：过点D作DF⊥AB于点F，如图：∵BM平分∠ABC，DF⊥AB，DE⊥BC，∴DE=DF，∵AD=CD，∴Rt△ADF≌Rt△CDE HL，∴AF=CE，∵DE=DF，BD=BD，∴Rt△BDF≌Rt△BDE HL，∴BF=BE，∴AB=BF+AF=BE+CE=BE+BE-BC=2BE-BC．(3)解：AB=BC+2BE．证明：过点D作DF⊥AB于点F，如图：∵BM是∠ABC外角的角平分线，DF⊥AB，DE⊥BC，∴DE =DF ，∵AD =CD ，∴Rt △ADF ≌Rt △CDE HL ，∴AF =CE ，∵DE =DF ，BD =BD ，∴Rt △BDF ≌Rt △BDE HL ，∴BF =BE ，∴AB =BF +AF =BE +CE =BE +BE +BC =2BE +BC ．14(23-24八年级上·湖北恩施·阶段练习)如图，∠CAB 和∠CBA 的角平分线AF ，BD 相交点P ，∠C =60°．(1)求∠APB ；(2)求证：PD =PF ；(3)若∠ABC =80°，求证：AP =BC ．【思路点拨】(1)根据角平分线的定义可得∠PAB =12∠CAB ，∠PBA =12∠CBA ，再根据三角形内角和定理即可求出∠APB 的度数．(2)过P 作PE ⊥AB ，PG ⊥AC ，PH ⊥BC ，根据角平分线的性质可得PH =PG ，再证∠PGD =∠PHF ，∠DPG =∠FPH ，根据ASA 证明△PDG ≌△PFH 即可得PD =PF ．(3)作∠CBD 的平分线交AC 于点N ，由AF 平分∠CAB ，BD 和平分∠CBA ，BN 平分∠CBD ，可得∠PAD =∠CBN =20°．易证∠DPA =∠C =60°，由等边对等角可得DA =DB ，BD =BN ，由此得DA =BN ，根据AAS 可证△APD ≌△CBN ，因此可得AP =BC ．【解题过程】(1)∵AF ，BD 分别平分∠CAB 和∠CBA ，∴∠PAB =12∠CAB ，∠PBA =12∠CBA ，∴∠APB =180°-(∠PAB +∠PBA )=180°-12∠CAB +12CBA =180°-180°-∠C=120°．(2) 如图，过P作PE⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，∵AF，BD分别平分∠CAB和∠CBA，∴PE=PG，PE=PH，∴PH=PG，∵PH⊥BC，PG⊥AC，∴∠PGC=∠PHC=90°，∴∠GPH=360°-90°-90°-60°=120°，∴∠GPH=∠APB=120°=∠DPF，∴∠DPG=∠FPH，在△PDG和△PFH中，∠PGD=∠PHF PG=PH∠DPG=∠FPH，∴△PDG≌△PFH(ASA)，∴PD=PF．(3) 如图，作∠CBD的平分线交AC于点N，则∠CBN=∠DBN=12∠CBD，∵∠ABC=80°，BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=12∠ABC=12×80°=40°．∵BN平分∠CBD，∴∠CBN=∠DBN=12∠CBD=12×40°=20°．∵△ABC中，∠ABC=80°，∠C=60°，∴∠CAB=180°-60°-80°=40°．∵AF平分∠CAB，∴∠DAP=∠PAB=12∠CAB=12×40°=20°，∴∠CBN=∠DAP，∴∠DPA=∠PAB+∠PBA=20°+40°=60°，∴∠DPA=∠C，∵∠CAB=∠ABD=40°，∴AD=BD，∵∠BDC=∠CAB+∠ABD=80°，∴∠ANB=∠C+∠CBN=60°+20°=80°，∴∠ANB=∠BDC，∴BD=BN，∴AD=BN，在△APD 和△BCN 中，∠PAD =∠CBN∠APD =∠C AD =BN，∴△APD ≌△CBN (AAS )，∴AP =BC ．15(22-23七年级下·四川成都·期末)如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的高，AE 是∠BAD 的角平分线，点F 为AE 上一点，连接BF ，∠BFE =45°．(1)求证：BF 平分∠ABE ；(2)连接CF 交AD 于点G ，若S ΔABF =S ΔCBF ，求证：∠AFC =90°；(3)在(2)的条件下，当BE =3，AG =4.5时，求线段AB 的长．【思路点拨】(1)根据AE 是∠BAD 的角平分线和∠BFE =45°得2∠FBA +2∠BAF =90°，再结合AD 为BC 边上的高得出∠EBF =∠FBA 即可证明；(2)过点F 作FM ⊥BC 于点M ，FN ⊥AB 于点N ，证明△ABF ≅△CBF ，得出∠AFB =∠CFB ，再根据∠BFE =45°，解出∠AFB =∠CFB =135°即可证明；(3)根据△ABF ≅△CBF 及AD 为BC 边上的高证明△AFG ≅△CFE ，得出AG =EC =4.5，再根据BE =3，解得BC =BE +EC =7.5，结合△ABF ≅△CBF 即可求出AB =BC =7.5；【解题过程】(1)证明： ∵AE 是∠BAD 的角平分线，∴∠BAD =2∠BAF .∵∠BFE =45°，∴∠FBA +∠BAF =45°.∴2∠FBA +2∠BAF =90°.∵AD 为BC 边上的高，∴∠EBF +∠FBA +2∠BAF =90°.∴∠EBF =∠FBA .∴BF 平分∠ABE.(2)过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥AB于点N，∵BF平分∠ABE，且FM⊥BC，FN⊥AB，∴FM=FN.∵SΔABF=SΔCBF，∴AB=BC，∵BF平分∠ABE，∴∠ABF=∠CBF，在△ABF和△CBF中，AB=BC∠ABF=∠CBF BF=BF∴△ABF≅△CBF(SAS)，∴∠AFB=∠CFB，∵∠BFE=45°，∴∠AFB=∠CFB=135°，∴∠AFC=90°，(3)∵△ABF≅△CBF，∴AF=FC，∠AFC=90°，∴∠AFC=∠EFC，∵AD为BC边上的高，∴∠ADE=90°，∴∠EAD+∠AEC=∠FCE+∠AEC，∴∠EAD=∠FCE.在△AFG和△CFE中，∠EAD=∠FCE AF=CF∠AFC=∠EFC∴△AFG≅△CFE(ASA).∴AG=EC=4.5，∵BE=3，∴BC=BE+EC=7.5，∵△ABF≅△CBF，∴AB=BC=7.5.16(23-24八年级上·陕西商洛·期末)【问题情境】在△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=90°．(1)【初步探究】如图1，当点A，C，D在同一条直线上时，连接BD、AE，延长AE交BD于点F，则AE与BD的数量关系是，位置关系是；(2)【类比探究】如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，连接AE交DC于点H，连接BD交AE于点F，(1)中结论是否仍然成立，为什么？(3)【衍生拓展】如图3，在(2)的条件下，连接CF并延长CF交AD于点G，∠AFG的大小固定吗？若固定，求出∠AFG的度数；若不固定，请说明理由．【思路点拨】(1)证明△ACE≌△BCD，得到∠1=∠2，由对顶角相等得到∠3=∠4，所以∠BFE=∠ACE=90°，即可解答；(2)证明△ACE≌△BCD，得到∠1=∠2，又由∠3=∠4，得到∠BFA=∠BCA=90°，即可解答；(3)∠AFG=45°，如图3，过点C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分别为M、N，由△ACE≌△BCD，得到S△ACE=S△BCD，AE=BD，证明得到CM=CN，得到CF平分∠BFE，由AF⊥BD，得到∠BFE=90°，所以∠EFC=45°，根据对顶角相等得到∠AFG=45°．【解题过程】(1)证明：如图1，在△ACE和△BCD中，AC=BC∠ACB=∠ECD=90°EC=DC，∴△ACE≌△BCD SAS，∴∠1=∠2，AE=BD，∵∠3=∠4，∴∠BFE=∠ACE=90°，∴AE⊥BD；故答案为：AE=BD,AE⊥BD；(2)解：成立，证明：如图2，∵∠ACB=∠ECD，∴∠ACB+∠ACD=∠ECD+∠ACD，∴∠BCD =∠ACE ，在△ACE 和△BCD 中，AC =BC∠ACE =∠BCD EC =DC，∴△ACE ≌△BCD SAS ，∴∠1=∠2，AE =BD ，∵∠3=∠4，∴∠BFA =∠BCA =90°，∴AF ⊥BD ；(3)∠AFG =45°，如图3，过点C 作CM ⊥BD ，CN ⊥AE ，垂足分别为M 、N ，∵△ACE ≌△BCD ，∴S △ACE =S △BCD ，AE =BD ，∵S △ACE =12AE ⋅CN ，S △BCD =12BD ⋅CM ，∴CM =CN ，∵CM ⊥BD ，CN ⊥AE ，∴CF 平分∠BFE ，∵AF ⊥BD ，∴∠BFE =90°，∴∠EFC =45°，∴∠AFG =45°．17(23-24八年级上·辽宁大连·阶段练习)如图1，在△ABC 中，BD 牛分∠ABC ,CE 平分∠ACB ,BD 与CE 交于点O ．图1 图2(1)如图1，若∠A =60°．①求∠BOC 的度数；②作OF ⊥AB 于点F ，探究AE 、AD 、AF 之间的数量关系并说明理由；(2)如图2，若∠A=90°,OE=kOC,ODOB =47，则k的值为．【思路点拨】①利用三角形内角和及角平分线的定义求出即可；②过点O作OM⊥AC于点M，ON⊥BC于点N，连接AO，证明△OEF≌△ODM AAS，得到EF= DM．再证明Rt△AFO≌Rt△MO HL，得到AF=AM，即可得到结论；(2)在BC取点G、F，使BF=BA，CG=CD，过F作FM⊥BD于M，FN⊥OG于N，先证明△OCD≌△OCG，得出S△OCD=S△OCG，∠COD=∠GOC，OD=OG，同理S△BOE=S△BOF，∠BOE=∠BOF，由ODOB=47，得出S△OCDS△OCB=47，设S△OCD=4x，则S△BOC=7x，仿照(1)①求出∠BOC=135°，进而求出∠COD=∠BOE=45°，∠GOF=45°=∠BOF，由角平分线的性质得出FM=FN，可求出S△OEB=S△OFB=74+7×3x=2111x，然后利用OEOC=S△BOES△BOC即可求解．【解题过程】(1)解：①在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-60°=120°．∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠OBC=12∠ABC,∠OCB=12∠ACB．∴∠OBC+∠OCB=12∠ABC+∠ACB=60°．在△OBC中，∠BOC=180°-∠OBC+∠OCB=180°-60°=120°；②过点O作OM⊥AC于点M，ON⊥BC于点N，连接AO．∵BD平分∠ABC，OF⊥AB，ON⊥BC，∴OF=ON，∠OFA=90°．∵CE平分∠ACB，OM⊥AC,ON⊥BC，∴ON=OM，∠OMA=∠OMD=90°．∴OF=OM，∠OFE=∠OMD．由(1)得：∠BOC=120°．∴∠EOD=∠BOC=120°．在四边形AEOD中，∠AEO+∠ADO=360°-∠EAD-∠EOD=360°-60°-120°=180°．∵∠AEO+∠FEO=180°，∴∠OEF=∠ODA．在△OEF和△ODM中，∠OEF=∠ODM,∠EFO=∠DMO, OF=OM,∴△OEF≌△ODM AAS．∴EF=DM．在Rt △AFO 和Rt △AMO 中，AO =AO ,OF =OM ,∴Rt △AFO ≌Rt △MO HL ．∴AF =AM ．∴AE +AD =AF -EF +AM +MD =2AF ．(2)解：在BC 取点G 、F ，使BF =BE ，CG =CD ，过F 作FM ⊥BD 于M ，FN ⊥OG 于N ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠OCD =∠OCG ，又CG =CD ，OC =OC ，∴△OCD ≌△OCG ，∴S△OCD =S △OCG ，∠COD =∠GOC ，OD =OG ，同理S △BOE =S △BOF ，∠BOE =∠BOF ，∵OD OB =47，∴S △OCDS △OCB =47，设S △OCD =4x ，则S △BOC =7x ，∴S △OCD =S △OCG =4x ，∴S △BOG =S △OCB -S △OCG =3x ，在△ABC 中，∠ABC +∠ACB =180°-∠A =180°-90°=90°．∵BD 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，∴∠OBC =12∠ABC ,∠OCB =12∠ACB ．∴∠OBC +∠OCB =12∠ABC +∠ACB =45°．在△OBC 中，∠BOC =180°-∠OBC +∠OCB =180°-45°=135°，∴∠COD =∠BOE =45°，∴∠GOC =∠BOF =45°，∴∠GOF =45°=∠BOF ，又FM ⊥BD ，FN ⊥OG ，∴FM =FN ，∴S △OFGS △OFB =OG OB =OD OB =47，∴S △OEB =S △OFB =74+7×3x =2111x ，∴OE OC =S △BOES △BOC =2111x7x =311，∵OE =kOC ，∴k =OE OC=311．18(22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期末)在△ABC 中，∠BAC =60°，线段BF 、CE 分别平分∠ABC 、∠ACB 交于点G ．(1)如图1，求∠BGC 的度数；(2)如图2，求证：EG =FG ；(3)如图3，过点C 作CD ⊥EC 交BF 延长线于点D ，连接AD ，点N 在BA 延长线上，连接NG 交AC 于点M ，使∠DAC =∠NGD ，若EB :FC =1:2，CG =10，求线段MN 的长．【思路点拨】(1)根据三角形内角和定理求出∠ABC +∠ACB =120°，根据BF 平分∠ABC 、CE 平分∠ACB ，得出∠GBC =∠GBE =12∠ABC ，∠GCB =∠GCF =12∠ACB ，求出∠GBC +∠GCB =60°，根据三角形内角和得出∠BGC +∠GBC +∠GCB =180°，即可求出结果；(2)作GH 平分∠BGC 交BC 于点H ，证明△BGE ≌△BGH ，得出EG =GH ，证明△CGF ≌△CGH ，得出FG =GH ，即可证明结论；(3)作DP ⊥BC 交BC 延长线于点P ，作DQ ⊥AB 交BA 延长线于点Q ，作DR ⊥AC 于点R ，证明CD 平分∠ACP ，根据DR ⊥AC ，DP ⊥BC ，得出DR =DP ，根据BF 平分∠ABC ，DR ⊥AC ，DQ ⊥AB ，得出DP =DQ ，证明DR =DQ ，证明△NEG ≌△CFG ，得出NG =CG =10，证明△BEG ≌△MFG ，得出BE =MF ，作FL ⊥NG 于点L ，FK ⊥CG 于点K ，GW ⊥MC 于点W ，根据S △MGF =12MG ⋅FL =12MF ⋅GW ，S △CGF =12GC ⋅FK =12FC ⋅GW ，得出MG GC =MF FC=12，求出MG =5即可得出答案．【解题过程】(1)解：在△ABC 中，∠BAC +∠ABC +∠ACB =180°，∵∠BAC =60°∴∠ABC +∠ACB =120°，∵BF 平分∠ABC 、CE 平分∠ACB ，∴∠GBC =∠GBE =12∠ABC ，∠GCB =∠GCF =12∠ACB ，∴∠GBC +∠GCB =60°，在△BGC 中，∠BGC +∠GBC +∠GCB =180°，∴∠BGC=120°．(2)解：作GH平分∠BGC交BC于点H，如图所示：∴∠BGH=∠CGH=60°，∵∠BGE=∠CGF=∠GBC+∠GCB=60°，∴∠BGH=∠CGH=∠BGE=∠CGF，∵∠GBC=∠GBE，BG=BG∴△BGE≌△BGH，∴EG=GH，∵∠GCH=∠GCF，CG=CG，∴△CGF≌△CGH，∴FG=GH，∴EG=FG；(3)解：作DP⊥BC交BC延长线于点P，作DQ⊥AB交BA延长线于点Q，作DR⊥AC于点R，如图所示：∵CE平分∠ACB，∴∠ACB=2∠ACE，∵CD⊥EC，∴∠ECD=90°，∴∠ACE+∠ACD=90°，∵∠ACB+∠ACP=180°，∴∠ACP=2∠ACD，∴CD平分∠ACP，∵DR⊥AC，DP⊥BC，∴DR=DP，∵BF平分∠ABC，DR⊥AC，DQ⊥AB，∴DP=DQ，∴DR=DQ，∴AD平分∠QAC，∵∠BAC=60°，∴∠DAQ=∠DAC=60°，∴∠NGD=∠DAC=60°，由(1)得∠BGC=120°，∴∠BEG=∠FGC=180°-∠BGC=60°，∵∠MGF=∠ABF+∠BNG=60°，∠FGC=∠FBC+∠ECB=60°，∠ABF=∠FBC，∴∠BNG=∠ECB，∵∠ECB=∠ACE，∴∠ACE=∠BNG，由(2)得EG=FG，∴△NEG≌△CFG，∴NG=CG=10，∠NEG=∠CFG，∵∠NEG+∠BEG=180°，∠CFG+∠MFG=180°，∴∠BEG=∠MFG，∴△BEG≌△MFG，∴BE=MF，∵BE:FC=1:2，∴MF:FC=1:2，作FL⊥NG于点L，FK⊥CG于点K，GW⊥MC于点W，∵∠MGF=∠CGF=60°，∴FK=FL，S△MGF=12MG⋅FL=12MF⋅GW，S△CGF=12GC⋅FK=12FC⋅GW，∴MG GC =MFFC=12，∴MG=5，∴MN=NG-MG=5．19(22-23八年级下·广东梅州·阶段练习)已知△ABC中，BE平分∠ABC，BE交AC于点E，CD平分∠ACB，交AB于点D，BE与CD交于点O．(1)如图1，求证：∠BOC=90°+12∠BAC．(2)如图2，连接OA，求证：OA平分∠BAC．(3)如图3，若∠BAC =60°，BD =4，CE =2，求OD OC的值．【思路点拨】(1)由角平分线的性质得出∠OBC =12∠ABC ，∠OCB =12∠ACB ，由三角形的内角和定理得出∠ABC +∠ACB =180°-∠BAC ，∠BOC +∠OBC +∠OCB =180°，代入即可得出结论；(2)过点O 作ON ⊥BC 于N ，OM ⊥AB 于M ，OK ⊥AC 于K ，证明OM =OK ，则点O 在∠BAC 的平分线上，即可得出结论；(3)过点B 作BH ⊥CD 交CD 的延长线于点H ，过点O 作OF 平分∠BOC 交BC 于点F ，过点O 作ON ⊥BC 于N ，OM ⊥AB 于M ，证明∠BOF =∠BOD ，∠COF =∠COE ，由角平分线的性质得出∠OBF =∠OBD ，∠OCF =∠OCE ，由ASA 证得△BOF ≌△BOD ，BF =BD =4，由ASA 证得△COF ≌△COE ，CF =CE =2，求出BC =6，由S △BOD :S △BOC =12OD ⋅BH :12OC ⋅BH =OD :OC ，S △BOD :S △BOC =12BD ⋅OM :12BC ⋅ON =BD :BC ，进行计算即可得出结论．【解题过程】(1)证明：∵BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ，∴∠OBC =12∠ABC ，∠OCB =12∠ACB ，∵∠ABC +∠ACB +∠BAC =180°，∴∠ABC +∠ACB =180°-∠BAC ，∵∠BOC +∠OBC +∠OCB =180°，∴∠BOC =180°-∠OBC +∠OCB=180°-12∠ABC +12∠ACB=180°-12∠ABC +∠ACB =180°-12180°-∠BAC=180°-90°+12∠BAC=90°+12∠BAC；(2)证明：如图，过点O作ON⊥BC于N，OM⊥AB于M，OK⊥AC于K，∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴OM=ON，ON=OK，∴OM=OK，∴点O在∠BAC的平分线上，∴OA平分∠BAC；(3)解：如图，过点B作BH⊥CD交CD的延长线于点H，过点O作OF平分∠BOC交BC于点F，过点O 作ON⊥BC于N，OM⊥AB于M，∵∠BAC=60°，∴∠BOC=90°+12∠BAC=120°，∴∠BOD=∠COE=180°-∠BOC=180°-120°=60°，∵OF平分∠BOC，∴∠BOF=∠COF=12∠BOC=60°，∴∠BOF=∠BOD，∠COF=∠COE，∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠OBF=∠OBD，∠OCF=∠OCE，在△BOF和△BOD中，∠OBF=∠OBD BO=BO∠BOF=∠BOD，∴△BOF≌△BOD ASA，∴BF=BD=4，在△COF和△COE中，∠OCF=∠OCE CO=CO∠COF=∠COE，∴△COF≌△COE ASA，∴CF=CE=2，∴BC=BF+CF=4+2=6，∵S△BOD:S△BOC=12OD⋅BH:12OC⋅BH=OD:OC，S△BOD:S△BOC=12BD⋅OM:12BC⋅ON=BD:BC，∴OD OC =BDBC=46=23．20(22-23八年级上·广东珠海·阶段练习)已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC=180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E．。
角平分线专项练习30题(有答案)ok
角平分线专项练习30题（有答案）1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，AD平分∠BAC，求证：点D在AB的垂直平分线上．2．如图，在△ABC中，PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD=PE=PF，求证：∠BPC=90°+∠BAC．3．如图已知：BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别是D、E，BD、CE交于F，且CF=FB，求证：AF平分∠BAC．4．如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若AB=AC．求证：AD平分∠BAC．5．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BE平分∠ABC，DE⊥BC于D，DE=DC．求证：BC=AB+AE．6．已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠BAD；（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？（3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果．7．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F．（1）求证：△ACF∽△ABE；（2）若AC=6cm，AF=3cm，AB=10cm，求出AE的长度．8．如图，CD∥AB，∠ABC，∠BCD的角平分线交于E点，且E在AD上，CE交BA的延长线于F点．（1）BE与CF互相垂直吗？若垂直，请说明理由；（2）若CD=3，AB=4，求BC的长．9．如图，直线MN分别交直线AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠1=50°，∠2=65°，（1）求证：AB∥CD；（2）在（1）的条件下，求∠AEM的度数．10．如图，AD平分∠MAN，BD⊥AM，CD⊥AN，垂足分别为B、C，E为线段AB上一点，（1）用尺规在射线AN上找一点F，使△CDF与△BDE全等（保留作图痕迹）；（2）若BE=3，请写出此时线段AE与AF的数量关系，并说明理由．11．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，（1）分别作出D到BA、BC的距离DE、DF；（2）求证：∠A+∠C=180°．12．已知：如图，△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D，AE平分∠BAC，EF∥DC，交BC于F，求证：BE=FC．13．如图，四边形AOBC中，AC=BC，∠A+∠OBC=180°，CD⊥OA于D．（1）求证：OC平分∠AOB；（2）若OD=3DA=6，求OB的长．14．如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠DAB内一点，AB=AD，BC=CD，CE⊥AD于E，CF⊥AF于F，求证：CE=CF．15．如图，已知：在四边形ABCD中，过C作CE⊥AB于E，并且CD=CB，∠ABC+∠ADC=180°，（1）求证：AC平分∠BAD；（2）若AE=3BE=9，求AD的长；（3）△ABC和△ACD的面积分别为36和24，求△BCE的面积．16．如图，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=CG．17．如图，AE平分∠BAC，BD=DC，DE⊥BC，EM⊥AB，EN⊥AC．求证：BM=CN．18．如图，△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角的平分线交于P点，PD⊥AC于D，PH⊥BA于H，求证：AP平分∠HAD．19．如图，△ABC中，若AD平分∠BAC，过D点作DE⊥AB，DF⊥AC，分别交AB、AC于E、F两点．求证：AD⊥EF．（2）若∠MON=80°，求∠PAB的度数．21．如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC．（1）求证：∠PCB+∠BAP=180°；（2）若BC=12cm，AB=6cm，PA=5cm，求BP的长．22．如图，△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上的一点，PE∥AB交BC与E，PF∥AC交BC与F．求证：D 到PE的距离与D到PF的距离相等．23．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC于点G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．证明：BE=CF；（提示：连接线段BD、CD）25．如图，已知∠ABC=40°，∠ACB=60°，BO，CO平分∠ABC和∠ACB，DE过O点，且DE∥BC，求∠BOC的度数．26．四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠B=180°求证：2AE=AB+AD．27．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的长．（2）ED=BC+BD．29．如图，在△ABC中，∠C=90°，M为AB的中点，DM⊥AB，CD平分∠ACB，求证：MD=AM．30．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，M为OP上任一点，连接CM、DM，则有CM与DM相等，试说明你的理由．参考答案：1．证明：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴CD=DE，在△ADC和△ADE中，，∴△ADC≌△ADE（HL），∴AE=AC，∵AB=2AC，∴BE=AB﹣AE=2AC﹣AE=AE，∴点D在AB的垂直平分线上．2．证明：连接AP，且延长至G，∵PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD=PE=PF，∴点P是△ABC三角平分线的交点，∴AP平分∠BAC，∴∠CAG=∠BAG=∠BAC，∵CP平分∠ACB，BP平分∠ABC，∴∠ACP=∠ACB，∠ABP=∠ABC，∴∠CPG=∠BAG+∠ABP=（∠BAC+∠ACB），∠BPG=∠BAG+∠ABP=（∠BAC+∠BC），∴∠BPC=∠CPG+∠BPG=（∠BAC+∠ACB）+（∠BAC+∠ABC）=∠BAC+（180°﹣∠BAC）=90°+∠BAC．3．证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∠CDF=∠BEF=90°，在△CDF与△BEF中，，∴DF=EF，又∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴AF平分∠BAC（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）4．解：方法一：连接BC，∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∴∠CFB=∠BEC=90°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，在△BCF和△CBE中∵∴△BCF≌△CBE（AAS），∴BF=CE，在△BFD和△CED中∵，∴△BFD≌△CED（AAS），∴DF=DE，∴AD平分∠BAC．方法二：先证△AFC≌△AEB，得到AE=AF，再用（HL）证△AFD≌△三AED，得到∠FAD=∠EAD，所以AD平分∠BAC．5．解：∵∠BAC=90°，BE平分∠ABC，DE⊥BC于D，∴AE=DE，∵BE是公共边，∴△BDE≌△BAE（HL），∴BD=BA，AE=DE=DC，∴BC=BD+DC=AB+AE6．（1）证明：作ME⊥AD于E，∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，∴ME=MC，∵M为BC中点，∴MB=MC，又∵ME=MC，∴ME=MB，又∵ME⊥AD，MB⊥AB，∴AM平分∠DAB．（2）解：DM⊥AM，理由是：∵DM平分∠CDA，AM平分∠DAB，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠3=90°，∴∠DMA=180°﹣（∠1+∠3）=90°，即DM⊥AM．（3）解：CD+AB=AD，理由是：∵ME⊥AD，MC⊥CD，∴∠C=∠DEM=90°，在Rt△DCM和Rt△DEM中∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），∴CD=DE，同理AE=AB，∵AE+DE=AD，∴CD+AB=AD．7．（1）证明：∵∠ACB=90°，∠CDB=90°，∴∠ACD=90°﹣∠DCB，∠B=90°﹣∠DCB，∴∠ACD=∠B，（2分）∵AE平分∠CAB，∴∠CAE=∠EAB，（3分）∴△ACF∽△ABE；（7分）（2）解：∵△ACF∽△ABE，∴，（9分）∴AE===5cm8．解：（1）垂直．∵CD∥AB，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵∠ABC，∠BCD的角平分线交于E点，∴∠ABE=∠EBC，∠DCE=∠ECB，∴∠EBC+∠ECB=∠ABC+∠BCD=（∠ABC+∠BCD）=90°，∴∠CEB=90°，∴BE与CF互相垂直．（2）∵∠CEB=90°，∴∠FEB=90°，在△FBE和△CBE中，∵，∴△FBE≌△CBE（ASA），∴BF=BC，EF=EC，∵CD∥AB，∴∠DCE=∠AFE，∵∠FEA=∠CED，∴△DCE≌△AFE，∴DC=AF，∵CD=3，AB=4，BF=AF+AB，∴BF=BC=7．9．（1）证明：∵∠1+∠2+∠FEG=180°，∵∠1=50°，∠2=65°，∴∠FEG=65°，∵EG平分∠BEF，∴∠BEF=2∠FEG=130°，∴∠BEF+∠1=180°，∴AB∥CD．（2）∵∠AEM=∠BEF，∵∠BEF=130°，∴∠AEM=130°，答：∠AEM的度数是130°10．解：（1）以D为圆心，DE为半径交AN于F1或F2，如图，∵AD平分∠MAN，BD⊥AM，CD⊥AN，∴DB=DC，∵DE=DF，∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL）；（2）∵DB=DC，DA=DA，∴Rt△DBA≌Rt△DCA（HL）；∴AB=AC，∵Rt△CDF≌Rt△BDE，∴BE=CF，∴当F点在F1时，AF=AE；当F点在F2时，AF2=AC+CF2=AB+CF2=AE+BE+BE，∴AF﹣AE=2BE=6．11．解：（1）如图所示：．（2）证明：∵BD平分∠ABC，DE⊥BA，DF⊥BC，∴DE=DF，∠E=∠DFC=90°，∴在Rt△DEA和Rt△DFC中∴Rt△DEA≌Rt△DFC（HL），∴∠C=∠EAD，∵∠BAD+∠EAD=180°，∴∠BAD+∠C=180°12．证明：过点E作EG⊥AB于点G，过F点作FH⊥AC于点H，∵△ABC中，∠ABC=90°，∴∠C+∠BAC=90°，∵BD⊥AC于D，∴∠ADB=90°，∴∠BAC+∠ABD=90°，∴∠C=∠ABD，∵点E在∠BAC的平分线上，∴GE=DE，∵EF∥DC且BD⊥AC于D，FH⊥AC于D∴ED=FH，∴GE=FH，在△BEG与△CFH中，，∴△BEG≌△CFH（AAS），∴BE=CF．13．证：（1）作CE⊥OB于E，∵∠A+∠OBC=180°，∠OBC+∠CBE=180°∴∠A=∠CBE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（AAS），∴CD=CE，∴OC平分∠AOB．（2）∵OD=3DA=6，∴AD=BE=2，在Rt△ODC和Rt△OEC中∵∴Rt△ODC≌Rt△OEC（HL），∴OE=OD=6，∴OB=OE﹣BE=4．14．证明：在△ADC和△ABC中，，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠DAC=∠BAC，∵CE⊥AD于E，CF⊥AF于F，∴CE=CF15．解：（1）作CF⊥AD的延长线于F，∴∠F=90°．∵CE⊥AB，∴∠CEA=∠CEB=90°，∴∠F=∠CEA=∠CEB．∵∠ADC+∠CDF=180°，且∠ABC+∠ADC=180°∴∠CDF=∠B．在△CDF和△CEB中，∴△CDF≌△CEB（AAS），∴CF=CE．∵CF⊥AD，CE⊥AB，∴AC平分∠BAD；（2）在Rt△CAF和Rt△CAE中，∴Rt△CAF≌Rt△CAE（HL），∴AF=AE．∵△CDF≌△CEB，∴DF=EB．∵3BE=9，∴BE=3，∴DF=3．∵AD=AF﹣DF，∴AD=AE﹣DF．∵AE=9，∴AD=9﹣3=6；（3）∵△CAF≌△CAE，△CDF≌△CEB，∴S△CAF=S△CAE，S△CDF=S△CEB．．设△BCE的面积为x，则△CDF的面积为x，由题意，得24+x=36﹣x，∴x=6，答：△BCE的面积为6．16．证明：延长FE至Q，使EQ=EF，连接CQ，∵E为BC边的中点，∴BE=CE，∵在△BEF和CEQ中，∴△BEF≌△CEQ，∴BF=CQ，∠BFE=∠Q，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，∵EF∥AD，∴∠CAD=∠G，∠BAD=∠GFA，∴∠G=∠GFA，∴∠GFA=∠BFE，∵∠BFE=∠Q（已证），∴∠G=∠Q，∴CQ=CG，∵CQ=BF，∴BF=CG．17．证明：连接BE、EC，∵BD=DC，DE⊥BC∵BE=EC．∵AE平分∠BAC，EM⊥AB，EN⊥AC，EM=EN，∠EMB=∠ENC=90°．在Rt△BME和Rt△CNE中，∵BE=EC，EM=EN，∴Rt△BME≌Rt△CNE（HL）∴BM=CN．18．证明：过P作PF⊥BE于F，∵BP平分∠ABC，PH⊥BA于H，PF⊥BE于F，∴PH=PF（角平分线上的点到角的两边距离相等）．又∵CP平分∠ACE，PD⊥AC于D，PF⊥BE于F，∴PF=PD（角平分线上的点到角的两边距离相等）．∴PD=PH（等量代换）．∴AP平分∠HAD（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．19．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°，∵∠AED+∠EAD+∠EDA=180°，∠FAD+∠AFD+∠ADF=180°，∴∠EDA=∠FDA，∵DE=DF，∴AD⊥EF三线合一）20．（1）证明：∵∠PAB=∠PBA，∴PA=PB，∵PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，∴OP平分∠MON（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；（2）解：∵∠MON=80°，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，∴∠APB=360°﹣90°×2﹣80°=100°，∵∠PAB=∠PBA，∴∠PAB=（180°﹣100°）=40°21．证明：（1）如图，过点P作PE⊥AB于E，∵∠1=∠2，PF⊥BC，∴PE=PF，在△APE和△CPF中，，∴△APE≌△CPF（HL），∴∠PAE=∠PCB，∵∠PAE+∠PAB=180°，∴∠PCB+∠BAP=180°；（2）∵△APE≌△CPF，∴AE=FC，∵BC=12cm，AB=6cm，∴AE=×（12﹣6）=3cm，BE=AB+AE=6+3=9cm，在Rt△PAE中，PE==4cm，在Rt△PBE中，PB==cm．22．证明：∵PE∥AB，PF∥AC，∴∠EPD=∠BAD，∠DPF=∠CAD，∵△ABC中，AD是它的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，∴∠EPD=∠DPF，即DP平分∠EPF，∴D到PE的距离与D到PF的距离相等23．证明：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD=CD，在Rt△BED与Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE=CF．24．证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED=∠CFD，∴△BDE与△CDE是直角三角形，∵，∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE=DF，∴AD是∠BAC的平分线25．解：∵∠ABC=40°，∠ACB=60°，BO，CO平分∠ABC和∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=（∠ACB+∠ABC）=50°；∴∠BOC=180°﹣50°=130°26．证明：过C作CF⊥AD于F，∵AC平分∠BAD，∴∠FAC=∠EAC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠DFC=∠CEB=90°，∴△AFC≌△AEC，∴AF=AE，CF=CE，∵∠ADC+∠B=180°∴∠FDC=∠EBC，∴△FDC≌△EBC∴DF=EB，∴AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AF+AE=2AE∴2AE=AB+AD27．（1）证明：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD=CD，在Rt△BED与Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE=CF；（2）解：在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE=AF，设BE=x，则CF=x，∵AB=5，AC=3，AE=AB﹣BE，AF=AC+CF，∴5﹣x=3+x，解得：x=1，∴BE=1，AE=AB﹣BE=5﹣1=4．28．证明：（1）由三角形的外角性质，∠BAD+∠ABD=∠1+∠EDC，∵∠1=90°﹣∠EDC，∴∠BAD+90°=90°﹣∠EDC，∴∠BAD=∠EDC，延长DB至F，使BF=BD，则AB垂直平分DF，∴∠BAD=∠DAF，AD=AF，∴∠DAF=∠EDC，∠2=∠F，在△ADF中，∠F+∠DAF=∠1+∠EDC，∴∠1=∠F，∴∠1=∠2；（2）在△AED和△ACF中，，∴△AED≌△ACF（ASA），∴ED=CF，∵CF=BC+BF=BC+DB，∴ED=BC+BD．29．证明：如图，连接CM，设AB、CD相交于点E，则CM是斜边上的中线，MC=MB=AM，∴∠MCB=∠B，∵CD平分∠ACB，∠C=90°，∴∠BCD=×90°=45°，∴∠MCD=∠MCB﹣45°=∠B﹣45°，又∵∠DEM=∠BEC=180°﹣∠B﹣45°=135°﹣∠B，∴∠D=90°﹣∠DEM=∠B﹣45°，∴∠D=∠MCD，∴MD=MC，∴MD=AM．30．解：∵OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，∴PC=PD，∵OM是公共边，∴△POC≌△POD（HL），∴OC=OD，∴△COM≌△DOM（SAS），∴CM=DM。
七年级数学上册3.8角平分线课后零失误训练(新版)北京课改版
角平分线基础能力训练☆回归教材 注重基础◆角的和差运用1.观察图4—12—8，填空(1)∠BOD=∠BOC+_____，∠AOB=_____+_____+_____.(2)若∠AOC=90°，∠BOC=30°，则∠A OB=_____°，若∠AOD=20°，∠COD=50°， ∠BOC=30°，则∠AOC______°，∠AOB=______°(3)∠_____=∠BOD－∠BOC，∠COD=∠BOD+∠AOC－∠______.2. 如图4—12—9，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC，∠EOC=100°，则∠BOD 的度数是( )A.20°B.40°C.50°D.80°3.若∠AOB=10°且∠A O B=2∠BOC，求∠AOC 的度数.4.如图4—12—10，∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=10°，求图中所有角的度数和.◆用角平分线的定义进行计算5.如图4—12—11,∠AOB=31∠B OD ，OC 平分∠B OD ，∠AOC=75°,求∠BOD 的度数.综合创新训练☆登高望远 课外拓展◆创新实践6.如图4—12—12，点O 在直线AC 上，画出∠COB 的平分线OD.若∠AOB=55°，求∠AOD 的度数.7.如图4—12—13，O 为直线AB 上一点，OD 平分∠AOC，OE 平分∠BOC，求∠DOE 的度数.8.如图4—12—14，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠AOC，又∠AOD－∠DOB=30°，求∠EOD 的度数.参考答案1答案：(1)∠COD ∠BOC ∠COD ∠DOA (2)120 70 100(3)COD AOB2答案：C 解析：由题意知：∠BOD=∠AOC=21∠EOC=21×100°=50°. 3答案：解：本题分两种情况，射线OC 在∠AOB 内部时，∠AOC 为5°；射线OC 在∠AOB 外部时，∠AOC 为15°.4答案：解：该图中共有10个角，其中有4个10°的角，3个20°的角，2个30°的角，1个40°的角，所有角的和为：4×10°+3×20°+2×30°+1×40°=200°.5答案：解：可设∠AOB 的度数为x ，则∠BOD 的度数为3x ，由OC 平分∠BOD，可得∠COB 为1.5x ，即∠AOC 的度数为2.5x ，可得x=30°,所以∠BOD 为90°.6答案：解：在∠COB 的内部，以OB(或O C)为一边画∠BOD(或∠DOC)为62.5°.那么OD 就是所要作的角平分线，∠AOD=117.5°.7答案：解：由OD 平分∠AOC，OE 平分∠BOC，可得∠DOE=21∠AOB，又因为∠AO B 是一个平角，所以∠DOE=90°.8答案：解：设∠BOD 的度数为x ，则∠AOD 的度数为x+30°，可得x+x+30°=180°,解得x=75°，即∠AOD=105°，可得∠AOC=75°，因为OE 平分∠AOC，所以∠EOA=37.5°，即∠EOD=142.5°.。
七年级数学下册综合算式专项练习题角平分线的计算
七年级数学下册综合算式专项练习题角平分线的计算七年级数学下册综合算式专项练习题：角平分线的计算角平分线是指将一个角分成两个相等的角的线段。
在几何学中，角平分线是一个重要的概念，对于计算角度和解题非常有帮助。
本文将围绕角平分线的计算展开讨论。
1. 直角三角形中的角平分线在一个直角三角形中，角平分线有着特殊的性质。
考虑一个直角三角形ABC，其中∠C是直角。
设∠BAC的角平分线为BD，将∠BAC 分为∠BAD和∠DAC两个相等的角。
则根据角平分线的定义，我们可以得到一个重要的结论：∠BAD = ∠DAC。
2. 一般角的平分线计算方法对于一般的角，我们如何计算它的平分线呢？设角的两边为AB和AC，平分线为AD，我们需要找到满足∠BAD = ∠DAC的点D。
下面介绍两种计算角平分线的方法。
方法一：使用几何法在平面几何中，我们可以使用直尺和圆规来构造一个角的平分线。
步骤如下：1）以顶点A为圆心，任意半径绘制一圆，与两边AB和AC交于点E和F；2）以点E为圆心，以EF为半径绘制一圆，与第一圆交于点D；3）连接顶点A和点D，则AD就是角ABC的平分线。
方法二：使用三角函数在数学中，我们可以利用三角函数来计算角的平分线。
设∠BAC的角平分线为BD，我们可以通过以下步骤来计算BD的长度：1）利用三角函数的定义，计算∠BAD = (∠BAC) / 2的正弦值sin(∠BAD)；2）设∠BAD的对边为d（即线段BD的长度），BC的长度为c，则利用正弦定理得到：sin(∠BAD) = d / c；3）根据上述等式，我们可以解得线段BD的长度d。
通过以上两种方法，我们可以计算出任意角的平分线。
在解题过程中，可以根据具体问题选择使用几何法还是三角函数方法。
3. 角平分线的应用举例角平分线的概念在数学中有着广泛的应用。
下面介绍几个具体的应用例子。
例一：证明两条平行线之间的夹角相等设两条平行线为l₁和l₂，它们被一条交线l相交于点O。
初三数学下册综合算式专项练习题三角形中的角平分线
初三数学下册综合算式专项练习题三角形中的角平分线在初三数学下册的学习中，综合算式是一个重要的考点。
而在综合算式的题目中，三角形中的角平分线也是一个常见的问题。
本文将通过一些专项练习题来深入探讨三角形中的角平分线的相关概念和性质。
1. 角平分线的定义首先，我们来回顾一下角平分线的定义。
在一个三角形ABC中，如果有一条线段AD，使得∠BAD = ∠DAC，那么我们称AD为角BAC的角平分线。
2. 角平分线的性质接下来，我们来介绍一些角平分线的性质。
性质1：角平分线将对应顶点的边分成两个相等的线段。
图中的线段BD和DC相等，即BD = DC。
性质2：角平分线和对边的关系。
图中的线段AD是∠BAC的角平分线，AD与BC相交于点D。
性质3：角平分线的唯一性。
一个角的角平分线只有一条。
以上是角平分线的一些重要性质，接下来我们通过练习题来加深对这些性质的理解。
练习题1：已知∠A = 60°，∠B = 80°，在三角形ABC中，角BAD的角平分线与BC延长线相交于点D，求∠BDC的度数。
解析：根据角平分线的性质1，我们可以知道BD = DC。
又根据三角形内角和定理，∠B + ∠C + ∠A = 180°，代入已知角度，得到∠C = 40°。
由角平分线的性质2，我们知道∠BDC = ∠B + ∠C = 80°+ 40°= 120°。
练习题2：在三角形ABC中，角A的角平分线与边BC相交于点D，已知∠BAD = 30°，∠ADB = 100°，求∠BAC的度数。
解析：由题意，∠ADB = 100°，∠BAD = 30°，由角平分线的性质1，我们可以知道BD = DC。
又根据三角形内角和定理，∠A + ∠B + ∠C = 180°，代入已知角度，得到∠B + ∠C = 150°。
利用角平分线的性质2，我们可以知道∠BAC = ∠BAD + ∠DAC = 30° + 75° = 105°。
初中数学角平分线问题的六种方法(初中数学图形系列)
初中数学角平分线问题的六种方法（初中数学图形系列）在历年的中考中，有关图形问题中一般都会有与角平分线、中点有关的条件出现，那么，问题就来了，当出现这几个条件时，我们该如何去梳理思路，解决问题呢？接下来，我们就从角平分线与中点这两个类型进行总结一下。
类型一：角平分线的相关考点及做题思路。
对于角平分线，相信都不陌生，从初一就开始接触，慢慢地深入研究，我们对角平分线的利用通常有三种用法：一是利用角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等，作为解题依据，为自己做辅助线提供一个思路，具体做法是在角平分线上找到一点，分别边两边做垂直，从而可以得到两个三角形全等，在借助全等的一些知识解决问题；二是利用等腰三角形的“三线合一”构造等腰三角形，角平分线在所构造的等腰三角形的高线上，这样既出现了等腰三角形，又出现了直角三角形，在具体做题时，就可以把相关知识点加以应用；三是利用“两直线平行，内错角相等”构造等腰三角形，从而去求线段长或者角度。
对角平分线做了这三类总结以后，我们在平时做题时就要有意识地去积累做题方法，知道常用的思路有哪些，便于节省时间。
类型二:中点的几种考法。
对于中点，经常在题目中是一个比较不显眼的存在，如果你不知道它所涉及到的几种解题思路。
那么有哪些解题思路呢？思路一:条件中图形是三角形，既出现中点又出现平行，我们可以先找到中位线或者构造中位线，当出现中位线以后。
中位线的性质就是解决这道题的一个关键点；思路二:条件中出现直角三角形，出现斜边上的中点，那么我们借助的就是直角三角形斜边上的中线是斜边的一半这个性质，为求线段长或者找线段相等提供依据；思路三:条件中出现等腰三角形，出现底边的中点，我们利用等腰三角形的“三线合一”，找到线段之间的关系；思路四:条件中出现三角形，出现中点，这个具有普遍性，一般可以考虑周长与面积，很明显，在三角形中，中线是可以把三角形分成两个面积相等的三角形的，因为“等底同高的两个三角形面积是相等的”；思路五:条件中出现中点，出现求全等，我们可以借助倍长中线去构造全等三角形，这个思路往往在解答题出现，所以需要我们好好理解，掌握一些技巧。
高考数学冲刺专题3.8 双曲线的综合问题(新高考)(解析版)
专题3.8 双曲线的综合问题与双曲线有关的解答题的求解策略：（1）熟知双曲线的渐近线、双曲线的方程及双曲线的性质是求解此类问题的关键； （2）对于双曲线中的定值、定点问题，属于难题，一般解法是设直线、联立方程组、根与系数关系、结合已知条件化简即可得出答案．【预测题1】已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F （3，0），左、右顶点分别为M ，N ，点P 是E 在第一象限上的任意一点，且满足k PM •k PN ＝8． （1）求双曲线E 的方程；（2）若直线PN 与双曲线E 的渐近线在第四象限的交点为A ，且△P AF 的面积不小于，求直线PN 的斜率k 的取值范围．【答案】（1）x 228y-=1．（2）0＜k ≤ 【解析】（1）设P （x 0，y 0），则k PM 00y x a =+，k PN 00y x a=-，所以k PM •k PN 20220y x a==-8，即20y =8x 02﹣8a 2， 又P （x 0，y 0）是双曲线上的点，所以220022x y a b -=1，即y 0222b a =x 02﹣b 2，所以22b a=8，又双曲线的右焦点为（3，0），所以a 2+b 2＝9．所以a 2＝1，b 2＝8，所以双曲线的方程为x 228y -=1．（2）由（1）可知N （1，0），双曲线的过第四象限的渐近线方程为y ＝﹣x ，设直线PN 的方程为x ＝my +1，则直线PN 的斜率为k 1m=，显然m ＞0．联立方程组1x my y =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，可得yA =联立方程组22118x my y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，可得y P 21618m m =-， 所以S △P AF 122=⨯⨯（y P ﹣y A）21618m m=+=-令2818m m+≥-，解得m 24≥，所以01m≤＜0＜k ≤【名师点睛】本题考查了双曲线的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，属于中档题． 【预测题2】郑州中原福塔的外立面呈双曲抛物面状，造型优美，空中俯瞰犹如盛开的梅花绽放在中原大地，是现代建筑与艺术的完美结合．双曲抛物面又称马鞍面，其在笛卡儿坐标系中的方程与在平面直角坐标系中的双曲线方程类似．双曲线在物理学中具有很多应用，比如波的干涉图样为双曲线､反射式天文望远镜利用了其光学性质等等．（1）已知A ，B 是在直线l 两侧且到直线l 距离不相等的两点，P 为直线l 上一点．试探究当点P 的位置满足什么条件时，||PA PB -取最大值；（2）若光线在平滑曲线上发生反射时，入射光线与反射光线关于曲线在入射点处的切线在该点处的垂线对称．证明：由双曲线一个焦点射出的光线，在双曲线上发生反射后，反射光线的反向延长线交于双曲线的另一个焦点．【答案】（1）当P 的位置使得l 为APB ∠的平分线时，||PA PB -取最大值；（2）证明见解析．【解析】（1）不妨设A 点到直线l 的距离比B 点到直线l 的距离大，作点A 关于直线l 的对称点A '．当A '，B ，P 三点共线，即l 为APB ∠的平分线时， 有PA PB PA PB A B ''-=-=，当A '，B ，P 三点不共线，即l 不是APB ∠的平分线时，取这样的点P '， 则A '，B ，P '能构成一个三角形，故P A P B P A P B A B ''''''-=-＜(两边之差小于第三边)，因此，当且仅当P 的位置使得l 为APB ∠的平分线时，||PA PB -取最大值．（2）不妨设双曲线的焦点在x 轴上，实半轴长为a ，虚半轴长为b ，左右焦点分别为1F ，2F ，入射光线1l 从2F 出射，入射点Q ，反射光线2l ， 双曲线在Q 点处的切线3l ，3l 在Q 点处的垂线4l ，由光的反射定律，1l ，2l 关于4l 对称，故1l ，2l 关于3l 对称， 要证：反射光线2l 过点1F ，只要证：3l 是12FQF ∠的角平分线，定义双曲线焦点所在区域为双曲线的内部，渐近线所在区域为双曲线的外部，由双曲线的定义，12||2FQ F Q a -=，双曲线上任意一点满足方程为22221x y a b-=， 若12||2FQ F Q a ''->，Q '满足不等式22221x y a b->，即Q '与焦点同在双曲线内部； 若12||2FQ F Q a ''''-<，Q ''满足不等式22221x y a b-<，即Q ''在双曲线外部． 故：对于双曲线内部的任意一点Q '，有12||2FQ F Q a ''-＞， 对于双曲线外部的任意一点Q ''，有12||2FQ F Q a ''''-＜， 又3l 是双曲线在Q 点处的切线，故在3l 上有且仅有一点Q 使得12||2FQ F Q a -=， 3l 上其他点Q '''均有12||2FQ F Q a ''''''-＜， 故Q 是3l 上唯一使得12||FQ F Q -取最大值的点， 又1F ，2F 到直线3l 距离不相等，根据（1）中结论，可知3l 是12FQF ∠的角平分线， 故反射光线2l 过点1F ，命题得证．【名师点睛】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>左右焦点分别为1F ，2F ，则有：若(,)Q x y 为双曲线上任意一点，则12||2FQ F Q a -=，且22221x ya b-=；若(,)Q x y 为双曲线内部任意一点，则12||2FQ F Q a ->，且22221x ya b->； 若(,)Q x y 为双曲线外部任意一点，则12||2FQ F Q a -<，且22221x ya b-<．【预测题3】已知双曲线的中心在原点，1F 、2F 倍，双曲线过点(4,．（1）求双曲线的标准方程；（2）若点(3,)M m 在双曲线上，求证：点M 在以12F F 为直径的圆上；（3）在（2）的条件下，若直线2MF 交双曲线于另一点N ，求1F MN △的面积．【答案】（1）22166x y -=；（2）证明见解析；（3）12+． 【解析】（1）设双曲线标准方程为()222210,0x y a b a b-=>>双曲线焦距为2c ，实轴长为2a ，则2c =，即c =2222b c a a ∴=-= ∴双曲线方程为222x y a -=代入(得216106a =-= ∴双曲线的标准方程为22166x y-=（2）由（1）知()1F -，()2F()3,M m 在双曲线上 296m ∴-=，即23m =()13,MF m ∴=--，()223,MF m =-()()2123391230MF MF m ∴⋅=-⨯+=-+= 12MF MF ∴⊥M ∴在以12F F 为直径的圆上（3）由（2）知(M或(3,当(M 时，直线2MF方程为)(()323y x x =-=--即((26y x =-++代入双曲线方程整理可得(26260y y --+=MN ∴)2==-1F MN ∴∆的面积为)(12122122S F F =⋅=+=+由双曲线对称性可知，当(3,M 时，1F MN ∆面积与(M 时一致1F MN ∴∆的面积12S =+【名师点睛】本题考查双曲线几何性质、直线与双曲线知识的综合应用问题，涉及到双曲线方程的求解、与双曲线焦点弦有关的三角形面积的求解问题，属于常考题型．【预测题4】已知坐标原点为O ，双曲线()2222C :10,0x y a b a b-=>>的焦点到其渐近线的． （1）求双曲线的方程；（2）设过双曲线上动点()00,P x y 的直线0012y yx x -=分别交双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，求AOB 的外心M 的轨迹方程．【答案】（1）2212y x -=；（2）22924x y -=． 【解析】（1）由已知可得2c e a ====b == 即21a =，22b =，所以双曲线的方程为2212y x -=；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，且由已知得22012y x -=，渐近线方程为y =，联立0012y y x x y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得1002x =11y =；联立0012y y x x y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得2002x =，所以22y =；法一：设AOB 的外心(),M x y ，则由MA MO MB ==得()()()()2222221122x x y x y x x y -+=+=-++即211113322xx x x x =⇒+=——①，同理222223322xx x x x =⇒=——②，①②两式相乘得2212924x y x x -=，因为12220112x x yx ===-所以AOB 的外心M 的轨迹方程为22924x y -=； 法二：设AOB 的外心(),M x y ，线段OA的中垂线方程为11222y x y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 线段OB的中垂线方程为22222y x y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，联立1122222222y x y x y x y x ⎧⎛⎫-=--⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎫⎪-=-⎪⎪⎝⎭⎩，解得())121234x x x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩因为12022000022222x x x x y x +===-，1202200000222x xyx-===-即())120012033242343384x x x x x xy yy x x y⎧⎧=+==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==-=⎪⎪⎩⎩，代入22012yx-=得2248199x y-=，所以AOB的外心M的轨迹方程为22924x y-=.【名师点睛】解答本题第二问的关键是通过三角形的外心对应的几何特点即外心到三角形的三个顶点的距离相等，由此通过坐标的化简运算得到对应的轨迹方程．此外，三角形任意两边中垂线的交点也是三角形的外心，也可借由此结论完成解答．【预测题5】过双曲线2222:1(0,0)x ya ba bΓ-=>>左焦点1F的动直线l与Γ的左支交于A，B两点，设Γ的右焦点为2F．（1）若三角形2ABF可以是边长为4的正三角形，求此时Γ的标准方程；（2）若存在直线l，使得22AF BF⊥，求Γ离心率的取值范围．【答案】（1）2212yx-=；（2e1<≤+．【解析】（1）依题意得12AF=，24AF=，12F F=2122a AF AF=-=，1a=122==c F Fc=2222b c a=-=此时Γ的方程为2212yx-=；（2）设l的方程为x my c=-，与22221x ya b-=联立，得()22222420b m a y b cmy b--+=设()11,A x y，()22,B x y，则2122222b cmy yb m a+=-，412222by yb m a=-，由22AF BF⊥220F A F B ⋅=，()()12120x c x c y y --+=，()()()()24222222212122201440my c my c y y m b m c b c b m a --+=⇒+-+-=()()()2222422222224414114a c m b a c m a c c a b⇒+=⇒+=≥⇒≥- 所以44224260e 6e 10c a a c +-≤⇒-+≤， 因为e 1>，所以21e 322<≤+ 所以1e 12<≤+又A 、B 在左支且l 过1F ，所以120y y <，42222222222424011b a a c a m m b m a b b b<⇒<⇒+=<+- 所以222224e 5a b c a <=-⇒> 5e 12<≤+．【名师点睛】本题考查求双曲线的标准方程，考查直线与双曲线相交问题．解题方法是设()11,A x y ，()22,B x y ，设l 的方程为x my c =-，直线方程代入双曲线方程应用根与系数关系得1212,y y y y +，条件22AF BF ⊥转化为220F A F B ⋅=，化简后代入根与系数关系的结论可得,,a c m 关系式，然后结合不等式的性质得出离心率的不等式，求得其范围．【预测题6】已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为32，过双曲线C 的右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为N ，且FON (O 为坐标原点)5 （1）求双曲线C 的标准方程；（2）若P ，Q 是双曲线C 上的两点，且P ，Q 关于原点对称，M 是双曲线上异于P ，Q 的点．若直线MP 和直线MQ 的斜率均存在，则MP MQ k k ⋅是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）22145x y -=；（2）是定值，定值为54．【解析】（1）双曲线C 的渐近线方程为by x a=±，即0bx ay ±=， 所以点(),0F cbcb c==． 所以FON的面积为111||||222NF ON ba ⋅=⋅=⋅=即ab =因为双曲线C的离心率为32c a ====，所以2254b a =，即2b a =．代人ab =，解得2a =，所以b =故双曲线C 的标准方程为22145x y -=．（2）MP MQ k k ⋅是定值，理由如下：设()11,P x y ，()00,M x y ，则()11,Q x y --，2201x x ≠，所以22002211145145x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 两式相减并整理得2201220154y y x x -=- 所以220101012201010154MP MQy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅==-+-． 所以MP MQ k k ⋅是定值，且该定值为54． 【名师点睛】求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．【预测题7】已知双曲线C 过点(，且渐近线方程为12y x =±，直线l 与曲线C 交于点M 、N 两点． （1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l 过原点，点P 是曲线C 上任一点，直线PM ，PN 的斜率都存在，记为PM k 、PN k ，试探究PM PN k k ⋅的值是否与点P 及直线l 有关，并证明你的结论；（3）若直线l 过点()1,0，问在x 轴上是否存在定点Q ，使得QM QN ⋅为常数？若存在，求出点Q 坐标及此常数的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）2214x y -=；（2）14PM PN k k ⋅=，PM PN k k ⋅的值与点P 及直线l 无关，证明见解析；（3）存在，23,08Q ⎛⎫⎪⎝⎭， 3164QM QN ⋅=-，理由见解析【解析】（1）因为渐近线方程为12y x =±． 所以可设双曲线为224x y λ-=，将点(代入2244λ-=，解得=1λ所以双曲线C 的方程为2214x y -=（2）直线l 过原点，由双曲线的对称性知道，点M 、N 关于原点对称． 设点(),M m n ，(,)P x y ，则点(),N m n --代入2214x y -=，有2244m n =+，2244x y =+所以PM y n k x m -=-，PN y nk x m+=+． 2222=PM PNy n y n y n k k x m x m x m-+-⋅=⋅-+- 将2244m n =+，2244x y =+代入得22221444PM PNy n k k y n -⋅==-．所以14PM PN k k ⋅=，PM PN k k ⋅的值与点P 及直线l 无关． （3）由题意知直线l 斜率存在，故设直线为()1y k x =- ， 点()11,M x y 、()22,N x y 、(),0Q t ，由()22114x y y k x ⎧⎪⎨-==-⎪⎩，得 ()2222148440k x k x k -+--= ，2140k ->且>0∆ ， 22121222844=,=4141k k x x x x k k ++--， 又()11,QM x t y =-，()22,QN x t y =-，所以()()()()()()1212121211QM QN x t x t y y x t x t k x k x ⋅=--+=--+--()()()()22221212=1k x x t k x x t k +-++++ ()()()22222222448=14141k k k t k t k k k ++-+++--()22227844=41t t k t k -++-- ，令227844=41t t t -+--解得238t =，此时3164QM QN ⋅=-. 【预测题8】已知A 、B 是双曲线1C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的两个顶点，点P 是双曲线上异于A 、B 的一点，O 为坐标原点，射线OP 交椭圆2C ：22221x y a b+=于点Q ，设直线PA 、PB 、QA 、QB 的斜率分别为1k 、2k 、3k 、4k ．（1）若双曲线1C 的渐近线方程是12y x =±，且过点1)2，求1C 的方程； （2）在（1）的条件下，如果12158k k +=，求△ABQ 的面积；（3）试问：1234k k k k +++是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由．【答案】（1）2214x y -=；（2）1617；（3）定值为0．【解析】（1）双曲线1C 的渐近线方程是12y x =±设双曲线方程为224x y λ-=，将点1)2代入方程，解得1λ=1C 的方程为2214x y -=．（2）设00(,)P x y ，00001220002152248y y x y k k x x x +=+==+-- ， 220014x y -=，化简得到：00415x y = 根据对称性不妨设11(,)Q x y 在第一象限，Q 在OP 上，则11415x y =，代入方程2214x y +=得到1817y = ，1816421717ABQ S ∆=⨯⨯= ； （3）设00(,)P x y ，11(,)Q x y ，000011111234222200110122y y x y y y x y k k k k x a x a x a x a x a x a+++=+++=++-+---， 2200221x y a b -=，2211221x y a b+=， 22200001111222222201010122222()x y b x x x y b x x b x a x a a y a y a y y +=-=---，,,O P Q 三点共线20011201012()0y x y x b x x a y y ⇒=⇒-= ，12340k k k k +++=，【名师点睛】本题考查了双曲线和椭圆的知识，计算量大，意在考查学生的计算能力和解决问题的能力．【预测题9】已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上一动点P ，左、右焦点分别为12,F F ，且2(2,0)F ，定直线3:,2l x PM l =⊥，点M 在直线l上，且满足2||||PM PF = （1）求双曲线的标准方程；（2）若直线0l 的斜率1k =，且0l 过双曲线右焦点与双曲线右支交于,A B 两点，求1ABF 的外接圆方程．【答案】（1）2213x y -=；（2）221316258832x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【解析】（1）由题意，知2||PF PM =，设点(,)P x y3=，所以22243(2)32x y x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，得222444433x x y x x -++=-+，整理得2213x y +=， 即双曲线的标准方程为2213x y -=．（2）由题意，知直线0:2l y x =-，设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程，得22213y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得2212150x x -+=， 故126x x +=， 12152x x =，而12124y y x x +=+-， 所以AB 中点为(3,1)M ，而1ABF 外接圆圆心在AB 的垂直平分线1l 上，则1:4l y x =-+，又由焦点弦长公式，可知12|||AB x x =-==设圆心00,x y 满足()()()002222200004312y x x y x y =-+⎧⎪⎨-+-+=++⎪⎩，解得001831.8x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以半径R ==故外接圆方程为221316258832x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【名师点睛】（1）设动点坐标，根据线段的比例关系，结合两点距离公式列方程，整理即可得双曲线的标准方程；（2）由直线与双曲线的位置关系，应用弦长公式求弦长；由三角形外接圆圆心的性质，结合弦长、弦心距、半径间的几何关系，求圆心坐标及半径，进而写出圆的方程．【预测题10】已知等轴双曲线C ：22221x y a b-=(a >0，b >0)经过点，12)．（1）求双曲线C 的标准方程； （2）已知点B (0，1)．①过原点且斜率为k 的直线与双曲线C 交于E ，F 两点，求∠EBF 最小时k 的值； ②点A 是C 上一定点，过点B 的动直线与双曲线C 交于P ，Q 两点，AP AQ k k +为定值λ，求点A 的坐标及实数λ的值．【答案】（1）221x y -=；（2）①0k =；②),Aλ=或者(),A λ=．【解析】（1）由题意a b =，且2251441a b -=解得1a b ==， 所以双曲线C 的标准方程为221.x y -= （2）①由对称性可设()(),,,E x y F x y --，且1≥x ，则()()22,1,11BE BF x y x y x y ⋅=-⋅---=--+，因为E 点在双曲线C 上，所以221x y -=，所以221y x =-，所以()2210BE BF x⋅=-≤，当1x =时，0,BE BF EBF ∠⋅=为直角， 当1x >吋，0,BE BF EBF ∠⋅<为钝角． 因此，EBF ∠最小时，1,0x k ==． ②设(),,A m n 过点B 的动直线为 1.y tx =+设()()1122,,,,P x y Q x y 联立2211x y y tx ⎧-=⎨=+⎩得()221220t x tx ---=，所以()22212212210Δ48102 121t t t t x x t x x t ⎧-≠⎪=+->⎪⎪-⎨+=-⎪-⎪⎪=--⎩，由210t -≠且Δ0>，解得22t <且21t ≠，AP AQ k k λ+=，即1212,y n y n x m x m λ--+=--即121211tx n tx nx m x mλ+-+-+=--， 化简得()()()2121221220t x x mt n m x x m mn m λλλ-+-+-++-+-=， 所以()()222222122011t t mt n m m mn m t tλλλ--+-+-+-+-=--， 化简得()()2222212220m mn t m n t m mn m λλλλ-+--+-+-=，由于上式对无穷多个不同的实数t 都成立，所以2220102220m mn m n m mn m λλλλ⎧-=⎪--=⎨⎪-+-=⎩如果0,m =那么1,n =-此时()0,1A -不在双曲线C 上，舍去．因此0,m ≠从而22,m n =代入21m n =+解得1,n m ==此时()A 在双曲线C 上．综上，),A λ=或者(),A λ=．【名师点睛】本题考查直线与双曲线位置关系之定值问题，属于较难题，关键在于将直线与双曲线的方程联立，得出根与系数的关系，继而将目标条件转化到曲线上的点的坐标上去．。
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3.8角平分线综合问题解决单
班级 姓名 第 组
【复习回顾】
1. 我们之前学习了线段中点，知道线段中点有三种表示方法，完成下面的填空回忆线段
【学习新知】
2. 用什么方法可以把∠AOB 分成相等两份？
3. 角平分线的定义：
4. 请你观察下面两个图形中的射线OC ，哪条可以看作是∠AOB 的角平分线？为什么？
图1 图2
5. 我们在研究线段中点时有三种表示方法，类似的角平分线也有三种表示方法，请你类
比复习回顾中线段中点的三种表示方法总结角平分线的三种表示方法.
【课堂练习】
6. 如图，OC 平分∠AOB
①∠AOC= , ∠BOC=
2
1 , ∠AOB=
2 , ②若∠AOB=50°，则∠AOC=1/2∠ = ；
③若∠AOC=24°，则∠BOC=∠ = 。
④若∠BOC=12°，则∠AOB=2∠ = ；
7. 你能把④的推理过程写出来吗？做题的时候选择了哪个表达式，为什么选择这个表达
式？
8. 如图，OC 平分∠AOB ，∠AOC=12°，∠AOD=140°，求：∠BOD 的度数。
【课堂检测】
9. 如图所示，已知：OC 平分∠AOB ，
①∠BOC= ，∠AOC=2
1 ， ∠AOB=
2 =2 ， ② 若∠AOB=60°，则∠AOC = ，
③若∠AOC=27°，则∠AOB= ，
④若∠BOC=21°，则∠AOC = ，
10. 如图，已知∠AOB=120°，OC 平分∠AOB ，OD 平分∠BOC.求∠AOD 的大小？
11.已知：∠AOC=60°，∠BOC=40°，OE,OF分别平分∠AOC，∠BOC，求∠EOF的度数？。