【专题突破】人教版高中数学高中解析几何教学研究

二、高中解析几何教学思考
数学思想的学习要经历从感性到理性，从领会到形 成，从巩固到应用的发展过程．数形结合思想学习的心 理建构过程需要经历以下4 个阶段： （1）辨认（identifica-tion）：先通过曲线与方程的 概念学习，确认数形结合思想内在统一的两个方面—— 几何问题代数化和代数问题几何化； （2）分化（differential）：几何问题代数化和代数 问题几何化对心理产生不同的刺激反应； （3）交互（reciprocal）：几何问题代数化和代数问 题几何化以彼此对立的方式在心理上运行； （4）内化（intenalization）：此时的数形结合思想 ，以一种综合的心理图式转化为内部观念．
一、高中解析几何起源
笛卡尔
1637年，法国的哲学家和 数学家笛卡尔发表了他的著作 《方法论》，这本书的后面有 三篇附录，一篇叫《折光学》 ，一篇叫《流星学》，一篇叫 《几何学》。 笛卡尔的中心思想是建立 起一种“普遍”的数学，把算 术、代数、几何统一起来。
一、高中解析几何起源
笛卡尔及其著作
1637年迪卡尔写的《更好地指导推理和寻求科 学真理的方法论》（简称《方法论》），一书出 版，这是一本哲学的经典著作，包括三个著名的 附录：《几何》、《折光》和《陨星》。《几何 》是他写的唯一一本數学书，他关于坐标几何的 思想，就包括在这本《几何》中。其他著作有《 思想的指导法则》《世界体系》、《哲学原理》 和《音乐概要》等。
2 2 2 2 2


2
4 F 0 ；
x a y b a 2 b 2或x 2 y 2 Dx Ey 0； (4)过原点的圆系：
二、高中解析几何教学思考
在解析几何教学中，实施思想结构分拆教学 策略，有助于学生形成完整、清晰、稳定、持久 、良序的认知结构和认知层次，使学生全面掌握 和灵活应用解析几何基本思想．分拆是手段，通 过分拆，扩散信息，展示思想结构的逻辑意义， 使学生对信息的检索更加容易进行，便于知识的 提取，能够清晰识别和领会思想方法；分拆的目 的在于整合，整合是目标，在几何问题代数化和 代数问题几何化之间建立高强度的联系，使学生 牢固观念．所以，思想结构分拆教学策略，重在 分拆，旨在整合．


三、高中解析几何教学策略
标准方程： 圆的方程 （x-a）2+ （y -b）2=r2 一般方程： x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4 F>0)
2 点在圆内 d r x0 a y0 b r 2 2
以AB为直径圆方程：
x x1 x x2 y y1 y y2 0
一、高中解析几何起源
十六世纪以后，由于生产和科学技术的发 展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出 了新的需要。比如，德国天文学家开普勒发现 行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处 在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利 略发现投掷物体是沿着抛物线运动的。这些发 现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的 曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这 就导致了解析几何的出现。
解析几何的建立第一次真正实现了几何方 法与代数方法的结合，使形与数统一起来，这是 数学发展史上的一次重大突破。作为变量数学发 展的第一个决定性步骤，解析几何的建立对于微 积分的诞生有着不可估量的作用。
二、高中解析几何教学思考
平面解析几何课程： 高中解析几何课程是一门以解析几何学的基 本内容和思想为背景材料，用代数方法研究平面 几何问题的学科．课程内容主要包括空间坐标系 、直线与圆的方程、圆锥曲线、参数方程与极坐 标等．这些内容是初中平面几何学习的继续、内 容的扩充、方法的提升，是初等代数演绎的载体 、应用的平台，是学生升入大学继续学习空间解 析几何、线性代数和微积分的基础．高中解析几 何课程在整个初等数学中占据非常重要的地位．
二元二次方程 Ax2 Bxy Cy 2 Dx Ey F 0 表示圆的充要条件是： AC 0 B0 2 D E 2 4 F 0
点和圆的 位置关系
2 点在圆上 d r x0 a y0 b r 2 2 2 2 2 点在圆外 d r x0 a y0 b r
三、高中解析几何教学策略
倾斜角与斜率 倾斜角α ［00，1800） 和斜率k=tanα 的变化 点斜式：y y0 k x x0 斜截式：y 直线方程 两点式： 截距式：
kx b
y y1 x x1 x1 x2 , y1 y2 y 2 y1 x2 x1
2
x a y 2 r 2 a，r为参数或x 2 y 2 Dx F 0 D，F为参数，且D 2 4 F 0 ； (2)圆心在x轴上的圆系：
(3)圆心在x轴上的圆系： x y b r b，r为参数或x y Ey F 0 E，F为参数，且E
二、高中解析几何教学思考
解析几何核心概念统领 高中解析几何是以曲线与方程概念为核心， 总体统领解析几何知识结构，曲线与方程概念是 数形结合思想方法的内核，也是直线方程、圆方 程、椭圆方程、双曲线方程、抛物线方程的上位 概念，解析几何知识结构直接依曲线与方程概念 而展开．因此，曲线与方程概念在解析几何知识 结构中居统领地位．
x2 x1 2 y2 y1 2 .
A2 B2
C1 C2 A2 B 2
距离
d
d
Ax0 By0 C
两直线夹角
tan
0 900 k1 k2 AB A B 0 ， 1 2 2 1 . 1 k1k2 A1 A2 B1B2 A1 A2 B1B2 0
二、高中解析几何教学思考
解析几何思想结构： 数形结合思想的教学是高中解析几何教学的 核心．但数形结合思想在解析几何课程内容中的 体现往往并不是显性的，并且，由于几何问题代 数化和代数问题几何化本身是融为一体的，这直 接导致学生对数形结合思想的理解处于一种模糊 状态，不能形成牢固的几何问题代数化和代数问 题几何化观念．
二、高中解析几何教学思考
高中解析几何既是一种重要的数学思想，也 是一种重要的数学方法，其核心是数形结合的思 想方法，这一思想方法在初等数学的其它领域也 有广泛的应用．同时，在解决解析几何问题过程 中，还要用初等数学中许多其它的思想方法，如 映射、化归、方程、函数、分类、变换、参数等 思想方法，高中解析几何可谓数学思想的“战场 ”．
二、高中解析几何教学思考
解析几何核心概念的形成与课程知识结构教 学内容：
（1）曲线与方程概念形成过程——几何量算术化—构 造代数方程—求解轨迹方程—形成核心概念 （2）曲线与方程定义——存在性与完备性 （3）数形结合基本思想——几何问题代数化—代数问 题几何化—代数化与几何化统一 （4）解析几何基本原理——映射（化归） （5）解析几何知识结构——概念、思想、原理、研究 对象（曲线类型）及其关系教学方式：讲授，师生交流 、探索
一、高中解析几何起源
费马及其著作
1629年他写出了一本《平面和立体的轨迹论 》，书中说，他找到了一个研究有关曲线问题的 普方法。 费马把他的一般原理叙述为：“只在最后的 方程里出现两个末知量，我们就得到一个轨迹， 这两个量之一，其末端就描绘出一条直线或曲线 ”。
一、高中解析几何起源
解析几何的产生对数学发展的影响
圆 的 方 程
相离 直线和圆的 位置关系 相切 相交 相离 圆和圆的位 置关系 相切 相交 空间直角坐标系
0，或 d r 0，或 d r 0，或 d r
弦长公式：代数法： AB 1 k 2 x1 x2 1 k 2
x1 x2 2 4 x1x2
k1 k2，且b1 b2.或A1B2 A2 B1且A1C3 A2C1.
两直线垂直
k1 k2 1或A1 A2 B1B2 0. k1 k2或A1B2 A2 B1.
源自文库
k1 k2，且b1 b2.或A1B2 A2 B1且A1C3 A2C1.
P 1P 2
空间两点间距离、中点坐标公式
三、高中解析几何教学策略
几种常见的直线系：
(1)共点P x0，y0 直线系： y y0 k ( x x0 )；特殊地 y kx b表示过点(0，b)的直线系，不包括 y轴. (2)平行直线系： y kx b(k为参数 )表示斜率为 k的平行直线系； Ax By (为参数 )表示与已知 Ax By C 0平行的直线系； Bx Ay (为参数 )表示与已知 Ax By C 0垂直的直线系. A2 x By 2 C2 A1 x By1 C1 0不包括 l1 .
几何法： AB 2 r 2 d 2
(1)利用两圆方程组解的个 数是0， 1， 2； (2) r1 r2 d r1 r2 相交； d r1 r2 外切；d r1 r2 内切； d r1 r2 外离； 0 d r1 r2 内含.
一、高中解析几何起源
笛卡尔
笛卡儿曾计划写一本书《思想的指导法则》， 在书中他大胆的提出了一个解决切问题的方案： 把一切问题归结为数学问题； 把一切数学问题归结为代数问题； 把一切代数问题归结为方程； 最后得到关于一个末知数的方程。
一、高中解析几何起源
费马
虽是一位业余数学家， 在牛顿、莱布尼兹大体完成 微积分之前，他是为创立微 积分作出贡献最多的人． 对数论、解析几何、概率论 三个方面都有重要贡献。
二、高中解析几何教学思考
核心概念统领解析几何教学，可以让学生更 好地了解和理解解析几何中基本概念（曲线与方 程概念）、基本原理（映射原理）、基本思想方 法（数形结合思想方法）和研究对象（直线和各 种二次曲线）之间的逻辑关联，加深对解析几何 课程的深入理解和整体把握，使学生获得普遍的 认知迁移，使学科基本观念在记忆中得到巩固， 为学生深刻理解解析几何的基本思想搭建平台．
为参数 A1 x By1 C1 A2 x By2 C2 0不包括l2 ； (3)过两直线交点的直线系 ：
几种常见的圆系：
D，E为常数，F为参数， x a 2 y b 2 r 2 a，r为参数或x 2 y 2 Dx Ey F 0 (1)同心圆系： 且D 2 E 2 4 F 0
直 线 的 方 程
x y 1 a 0, b 0 a b Ax By C 0 AB 0 一般式：
两直线平行 平面内两条 位置关系 两直线相交 两直线斜交 两直线重合 点点距 点线距 线线距


注意（1）截距可 正，可负，也可 为0；（ 2）方程 各种形式的变化 和适用范围.
二、高中解析几何教学思考
高中解析几何课程具有培养学生数学综合能 力的功效．而且，解析几何学是17 世纪数学发 展的重大成果之一，对数学的发展产生了重要影 响，它的创立在数学发展史上具有划时代意义． 也蕴涵着笛卡尔独树一帜的数学精神、思想和方 法，个性品质以及发明创造的思维线索和心理历 程．因此，高中解析几何课程更具有丰富的文化 价值和教育价值，是提高学生数学学科核心素养 和整体文化认知水平的一个典型范例．
一、高中解析几何起源
几何学的起源也十分久远，它产生于早期 人类的社会实践，从人类对实物形状的认识开 始。而促进几何学产生的直接原因与土地测量 与天文活动有关。 今天的“几何”（Geometry）一词，源于 希腊语，本意是指测量术。 早期文明中的几何学内容基本都是与几何 形体的度量计算以及测量有关。