第25章 锐角的三角比 九年级数学上册单元复习(沪教版)解析版

第25章锐角的三角比【真题训练】考试时间90分钟满分150分考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．一、选择题（每小题4分，共24分）1.（2020杨浦区一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝3，AC＝4，则sin B的值为（）A. 45B. 35C. 34D. 43【答案】A【分析】根据三角函数的定义解决问题即可．【详解】解：如图，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，∴AB5==，∴sinB＝ACAB＝45故选：A．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2.（2020崇明区一模）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，如果 8AC =， 6BC =，那么B 的余切值为（ ）A.34B.43C.35D.45【答案】A【分析】根据余切函数的定义解答即可．【详解】如图，在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，∴cotB ＝6384BC AC ==， 故选：A ．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3.（虹口区）若cos α＝，则锐角α的度数是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【分析】根据cos α＝，求出锐角α的度数即可．【解答】解：∵cos α＝，∴α＝60°． 故选：C ．4.（松江区）在以O 为坐标原点的直角坐标平面内，有一点A （3，4），射线OA 与x 轴正半轴的夹角为α，那么cosα的值为A. 35B.43C.45D.34【答案】A【分析】利用锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识求解．【详解】解：∵在以O为坐标原点的直角坐标平面内有一点A（3，4）∴5OA==，∴35 cosα=故选：A.【点睛】本题考查了解直角三角形、锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识．5.（松江区）如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角为锐角α，它们重叠部分（阴影部分）的面积是1.5，那么sinα的值为（）A.34B.12C.23D.32【答案】C【分析】重叠部分为菱形，运用三角函数定义先求边长AE ，再根据面积求出sin α． 【详解】解：如图示：作BC CD ⊥交CD 于C 点，AD CD ⊥交CD 于D 点，由阴影部分是两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起可知，阴影部分是一个菱形， 则有AB AE =，1AD =， ∴1sin AB AE α==∴1=1 1.5sin S AB AD α=⨯=阴影 解之得：2sin 3α=， 故选：C【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，三角函数的应用，判断出阴影部分是一个菱形是解题的关键．6.（徐汇区）跳伞运动员小李在200米的空中测得地面上的着落点A 的俯角为60°，那么此时小李离着落点A的距离是（）A. 200米B. 400米C. 米D.【答案】D【分析】已知直角三角形的一个锐角和直角边求斜边，运用三角函数定义解答．【详解】根据题意，此时小李离着落点A的距离是200=sin30︒故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．二、填空题（每小题4分，共48分）7.（黄浦区）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，如果点G为重心，那么∠GCB的余切值为_____．【答案】4；【分析】根据等腰三角形的中线、角平分线和垂线三线合一，利用勾股定理求出AD的长，再利用重心的性质即可求出GA的长，进而得出DG的长，利用勾股定理和三角函数解答即可．【详解】设AG交BC于D∵AB＝AC＝5，BC＝8，点G为重心，∴AD⊥BC,BD＝CD＝12BC＝12×8＝4，∴AD2＝AC2−CD2，AD＝3，∴GA＝2，∴DG＝1，∴BG∴∠CBG的余切值＝BDDG＝4，故答案为4.【点睛】本题考查的是三角形的重心，熟练掌握三角形的重心是解题的关键.8.（黄浦区）如图，在△ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AB=AC=5，cos∠C=45，那么GE=_______．【分析】过点E作EF⊥BC交BC于点F，分别求得AD=3，BD=CD=4，EF=32，DF=2，BF=6，再结合△BGD∽△BEF即可.【详解】过点E作EF⊥BC交BC于点F.∵AB=AC，AD为BC的中线∴AD⊥BC ∴EF为△ADC的中位线.又∵cos∠C=45，AB=AC=5，∴AD=3，BD=CD=4，EF=32，DF=2 ∴BF=6∴在Rt △BEF 中2， 又∵△BGD ∽△BEF∴BG BD=BE BF，即GE=BE-BG=2. 【点睛】本题考查的知识点是三角形的相似，解题的关键是熟练的掌握三角形的相似. 9.（杨浦区）如图，在菱形ABCD 中，O 、E 分别是AC 、AD 的中点，联结OE ．如果AB =3，AC =4，那么cot ∠AOE =______．； 【分析】根据O 、E 分别是AC 、AD 的中点，知OE 是中位线得AOE ACD ∠=∠，连接BD ，根据菱形的性质知AC 与BD 垂直平分，在Rt OCD △中，根据勾股定理可求得OD ，继而求得答案.【详解】如图，连接BD ，在菱形ABCD 中，O 是AC 的中点，∴O 也是对角线的交点，且AC 与BD 垂直平分， ∵O 、E 分别是AC 、AD 的中点， ∴OE CD ， ∴AOE ACD ∠=∠ 在Rt OCD ∆中，114222OC AC ==⨯=，3CD AB ==,∴OD =∴cot ∠AOE = cot5OC ACD OD ∠===【点睛】本题考查了求角的正切余切函数，涉及的知识有：菱形的性质，中位线的性质以及勾股定理，利用中位线的性质证得AOE ACD ∠=∠是解题的关键.10.（杨浦区）如图，在四边形ABCD 中，∠B＝∠D＝90°，AB ＝3， BC ＝2，tanA ＝43，则CD ＝_____．【答案】6 5【分析】延长AD和BC交于点E，在直角△ABE中利用三角函数求得BE的长，则EC的长即可求得，然后在直角△CDE中利用三角函数的定义求解．【详解】如图，延长AD、BC相交于点E，∵∠B=90°，∴4 tan3BEAAB==，∴BE=44 3AB⋅=，∴CE=BE-BC=2，5=，∴3 sin5ABEAE==，又∵∠CDE=∠CDA=90°，∴在Rt△CDE中，sinCDECE =，∴CD=36sin255 CE E⋅=⨯=.11.（宝山区）如图，△ABC 中，DE 是BC 的垂直平分线，DE 交AC 于点E ，连接BE ．若BE ＝9，BC ＝12，则cosC ＝ ．【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得出CE ＝BE ，再根据等腰三角形的性质可得出CD ＝BD ，从而得出CD ：CE ，即为cosC ． 【解答】解：∵DE 是BC 的垂直平分线， ∴CE ＝BE ， ∴CD ＝BD ， ∵BE ＝9，BC ＝12， ∴CD ＝6，CE ＝9， ∴cosC ＝＝＝，故答案为．12.（奉贤区）已知ABC ∆中，90C =∠，3cos 4A =，6AC =，那么AB 的长是________. 【答案】8【分析】根据锐角三角函数的定义，即可求解. 【详解】∵ABC ∆中，90C =∠，3cos 4A =，6AC =，∴AB=683cos4ACA==，故答案是：8.【点睛】本题主要考查三角函数的定义，牢记余弦三角函数的定义，是解题的关键. 13．（虹口区）如图，点A（2，m）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，如果tanα＝．那么m＝．【分析】如图，作AE⊥x轴于E．根据正切函数的定义构建关系式即可解决问题．【解答】解：如图，作AE⊥x轴于E．∵A（2，m），∴OE＝2，AE＝m，∵tanα＝＝，∴＝，∴m＝3，故答案为3．14.（虹口区）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，点D为边AB上一动点，正方形DEFG的顶点E、F都在边BC上，联结BG，tan∠DGB＝．【分析】设DE与BG交于点O，根据题意可得△BDE∽△ABC，可得，由正方形的性质可得GF＝DE＝EF，进而得出，再证明△DOG∽△EOB∽△FGB，可得．【解答】解：如图，DE与BG交于点O，∵正方形DEFG，∴∠DEB＝∠EDG＝∠GFB＝90°，GF＝DE＝EF，∴△BDE∽△ABC，∴，∴，∵∠DOG＝∠EOB，∴△DOG∽△EOB∽△FGB，∴，∴tan∠DGB＝．故答案为：15.（嘉定区）如图，有一个斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的坡度i=1:2.5,那么该斜坡的水平距离AC的长____m【答案】75【分析】根据坡度的定义解题即可.【详解】坡度tanA=i=BCAC =301:2.5AC,解得AC=75故答案为75【点睛】本题主要考查坡度的概念，掌握坡度的概念是解题的关键.16（静安区）如图，在大楼AB的楼顶B处测得另一栋楼CD底部C的俯角为60度，已知A、C两点间的距离为15米，那么大楼AB的高度为_____米．（结果保留根号）【答案】【分析】由解直角三角形，得tan ABACBAC∠=，即可求出AB的值.【详解】解：根据题意，△ABC是直角三角形，∠A=90°，∴tanAB ACBAC∠=，∴tan15tan60AB AC ACB=•∠=⨯︒=∴大楼AB的高度为米.故答案为：【点睛】此题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．17（静安区）矩形的一条对角线长为26，这条对角线与矩形一边夹角的正弦值为513，那么该矩形的面积为___.【分析】由矩形的性质和三角函数求出AB，由勾股定理求出AD，即可得出矩形的面积．【详解】解：如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，AC=BD=26，∵5 sin13ABADBBD∠==，∴5261013AB=⨯=，∴24AD==，∴该矩形的面积为：2410240⨯=；故答案为：240.【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角函数；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理求出AB和AD是解决问题的关键．18.（闵行区）已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在BC的延长线上的点E处，那么tan BAE∠=______.【分析】根据旋转不变性，BD=BE ．根据三角函数的定义可得tan ∠BAE 的值．【详解】由题意，得BD=BE=tan 2BE BAE BA ===∠.【点睛】本题主要突破两点：一是三角函数的定义；二是旋转图形的性质． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.（杨浦区）计算：13tan 3045cos60︒︒︒-【答案】1． 【分析】将特殊角的三角函数值代入，根据实数的运算法则求值即可. 【详解】原式=131322⨯-1=1．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值以及实数的混合运算，熟记特殊角的三角函数值、熟练掌握实数的运算法则是解题的关键.20.（静安区）先化简，再求值：2222244x y x yx y x xy y--÷+++，其中x=sin45°，y=cos60°．【分析】利用分式乘法和除法进行化简，再把x、y的值代入计算，即可得到答案. 【详解】解：原式＝2(2)2()()x y x yx y x y x y-+⋅++-＝2x yx y++．当x=sin45°=2，y=cos60°=12时，12+⨯=【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，分式的化简求值，以及分式的混合运算，解题的关键是正确的进行化简，掌握特殊角的三角函数值. 的21.（静安区）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC=20，3sin5A=，CD⊥AB，垂足为D．（1）求BD的长；（2）设AC a=，BC b=，用a、b表示AD．【答案】（1）9；（2）1616 2525a b-【分析】（1）根据解直角三角形，先求出CD的长度，然后求出AD，由等角的三角函数值相等，有tan∠DCB=tan∠A，即可求出BD的长度；（2）由（1）可求AB的长度，根据三角形法则，求出AB，然后求出AD.【详解】解：（1）∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=90°，在Rt△ACD中，sin CDAAC=，∴3sin20125CD AC A=⋅=⨯=．∴16 AD==，∴3 tan4CDAAD==．∵∠ACB=90°，∴∠DCB+∠B =∠A+∠B=90°，∴∠DCB=∠A．∴3tan tan1294BD CD DCB CD A=⋅∠=⋅=⨯=；（2）∵16925AB AD DB=+=+=，∴1625 ADAB=，又∵AB AC BC a b=+=-，∴161616252525AD AB a b==-．【点睛】本题考查了解直角三角形，向量的运算，勾股定理，解题的关键是熟练掌握解直角三角形求三角形的各边长度.22.（黄浦区）如图，在某一路段，规定汽车限速行驶，交通警察在此限速路段的道路上设置了监测区，其中点C、D为监测点，已知点C、D、B在同一直线上，且AC⊥BC，CD＝400米，tan∠ADC＝2，∠ABC＝35°（1）求道路AB段的长（结果精确到1米）（2）如果道路AB的限速为60千米/时，一辆汽车通过AB段的时间为90秒，请你判断该车是否是超速，并说明理由；参考数据：sin35°≈0.5736，cos35°≈0.8192，tan35°≈0.7002【整体分析】（1）根据锐角三角函数的定义即可求出答案．（2）求出汽车的实际车速即可判断．【满分解答】解：（1）在Rt△ACD中，AC＝CD•tan∠ADC＝400×2＝800，在Rt△ABC中，AB＝ACsin ABC＝8000.5736≈1395(米)；（2）车速为：139590≈15.5m/s＝55.8km/h＜60km/h，∴该汽车没有超速．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．23.（杨浦区、崇明）如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm 的连杆BC、CD与AB始终在同一平面上．（1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE．（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，经试验后发现，如图3，当∠BCD＝150°时台灯光线最佳．求此时连杆端点D离桌面l的高度比原来降低了多少厘米？【整体分析】（1）作BO⊥DE于O，根据矩形的判定，可得四边形ABOE是矩形，先求出∠DBO，然后根据锐角三角函数即可求出OD，从而求出DE；（2）过C作CG⊥BH，CK⊥DE，根据锐角三角函数，即可求出CG，从而求出KH，再求出∠DCK，利用锐角三角函数即可求出DK，从而求出此时连杆端点D离桌面l的高度，即可求出结论.【满分解答】解：（1）如图2中，作BO⊥DE于O．∵∠OEA＝∠BOE＝∠BAE＝90°，∴四边形ABOE 是矩形，∴∠OBA ＝90°，∴∠DBO ＝150°﹣90°＝60°，∴OD ＝BD •sin60°＝cm ），∴DE ＝OD +OE ＝OD +AB ＝（+5）cm ；（2）过C 作CG ⊥BH ，CK ⊥DE ，由题意得，BC ＝CD ＝20m ，CG ＝KH ，∴在Rt △CGB 中，sin ∠CBH ＝202CG CG BC ==，∴CG ＝，∴KH ＝，∵∠BCG ＝90°﹣60°＝30°，∴∠DCK ＝150°﹣90°﹣30°＝30°，在Rt △DCK 中，sin ∠DCK ＝DK DC ＝DK 20＝12， ∴DK ＝10cm ，∴此时连杆端点D 离桌面l 的高度为10++5=（cm∴比原来降低了（+5）﹣（）＝10，答：比原来降低了（10）厘米．【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用，掌握构造直角三角形的方法和用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键.24.（杨浦，青浦）水城门位于淀浦河和漕港河三叉口，是环城水系公园淀浦河梦蝶岛区域重要的标志性景观．在课外实践活动中，某校九年级数学兴趣小组决定测量该水城门的高．他们的操作方法如下：如图，先在D处测得点A的仰角为20°，再往水城门的方向前进13米至C处，测得点A的仰角为31°（点D、C、B在一直线上），求该水城门AB的高．（精确到0.1米）（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）【整体分析】根据正切的概念表示出BD、BC，根据题意列出方程，解方程即可.【满分解答】由题意，得∠ABD =90°，∠D =20°，∠ACB =31°，CD =13．在Rt △ABD 中， ∵tan ∠=AB D BD， ∴tan 200.36==︒AB AB BD ． 在Rt △ABC 中， ∵tan ∠=AB ACB BC， ∴tan 310.6==︒AB AB BC ． ∵CD =BD -BC ， ∴130.360.6=-AB AB ． 解得11.7≈AB 米．答：水城门AB 的高约为11.7米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．25.（长宁、金山区）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线O ﹣A ﹣B ﹣C 表示支架，支架的一部分O ﹣A ﹣B 是固定的，另一部分BC 是可旋转的，线段CD 表示投影探头，OM 表示水平桌面，AO ⊥OM ，垂足为点O ，且AO ＝7cm ，∠BAO ＝160°，BC ∥OM ，CD ＝8cm ．将图2中的BC 绕点B 向下旋转45°，使得BCD 落在BC ′D ′的位置（如图3所示），此时C ′D ′⊥OM ，AD ′∥OM ，AD ′＝16cm ，求点B 到水平桌面OM 的距离，（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，cot70°≈0.36，结果精确到1cm ）【整体分析】过B 作BG ⊥OM 于G ，过C ′作C ′H ⊥BG 于H ，延长D ′A 交BG 于E ，则C ′H ＝D ′E ，HE ＝C ′D ′＝8，设AE ＝x ，解直角三角形即可得到结论．满分解答】解：过B 作BG ⊥OM 于G ， 过C ′作C ′H ⊥BG 于H ，延长D ′A 交BG 于E ，则C ′H ＝D ′E ，HE ＝C ′D ′＝8，设AE ＝x ，∴C ′H ＝D ′E ＝16+x ，∵∠BC ′H ＝45°，∴BH ＝C ′H ＝16+x ，∴BE ＝16+x +8＝24+x ，∵∠BAO ＝160°，∴∠BAE ＝70°，【∴tan70°＝2410.36 BE xAE x+==，解得：x＝13.5，∴BE＝37.5，∴BG＝BE+EG＝BE+AO＝37.5+7＝44.5cm，答：B到水平桌面OM的距离为44.5cm．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是构造直角三角形．。