北师大版高中数学必修2课时练习-空间图形的公理及等角定理

课时练习(五)空间图形的公理4及等角定
理
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若直线a∥b，b∩c＝A，则a与c的位置关系是()
A．异面B．相交
C．平行D．异面或相交
D[a与c不可能平行，若a∥c，又因为a∥b，所以b∥c，这与b∩c＝A矛盾，而a与c异面、相交都有可能．]
2．已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，则∠PQR等于()
A．30°B．30°或150°
C．150°D．以上结论都不对
B[∠ABC的两边与∠PQR的两边分别平行，但方向不能确定是否相同，∴∠PQR＝30°或150°.]
3．如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有()
A．3条B．4条
C．5条D．6条
B[由于E、F分别是B1O、C1O的中点，故EF∥B1C1，因为和棱B1C1平行的棱还有3条：AD、BC、A1D1，所以共有4条．]
4．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c()
A．一定平行
B．一定相交
C ．一定是异面直线
D ．平行、相交或异面都有可能
D [当a ，b ，c 共面时，a ∥c ；当a ，b ，c 不共面时，a 与c 可能异面也可能相交．]
5．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是( ) A ．平行或异面 B ．相交或异面 C ．异面
D ．相交
B [假设a 与b 是异面直线，而c ∥a ，则c 显然与b 不平行(否则c ∥b ，则有a ∥b ，矛盾)．c 与b 可能相交或异面．]
二、填空题
6．若AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，则下列结论： ①∠BAC ＝∠B ′A ′C ′； ②∠ABC ＋∠A ′B ′C ′＝180°；
③∠ACB ＝∠A ′C ′B ′或∠ACB ＋∠A ′C ′B ′＝180°. 一定成立的是________．
③ [∵AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，
∴∠ACB ＝∠A ′C ′B ′或∠ACB ＋∠A ′C ′B ′＝180°.]
7．在空间四边形ABCD 中，如图所示，AE AB ＝AH AD ，CF CB ＝CG
CD ，则EH 与FG 的位置关系是________．
平行 [如图，连接BD ，在△ABD 中，AE AB ＝AH
AD ，则EH ∥BD ， 同理可得FG ∥BD . ∴EH ∥FG .]
8．如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥AB ，底面ABCD 是平行四边形，则P A 与CD 所成的角是______．
90°[∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠P AB是异面直线P A与CD所成的角．
又∵P A⊥AB，∴∠P AB＝90°.]
三、解答题
9．如图所示，正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．
[解]如图所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，
取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G，
则OG∥B1D，EF∥A1C1，
∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．
∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，
∴GO⊥A1C1，
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
10．长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点．
(1)求证：D1E∥BF；
(2)求证：∠B1BF＝∠A1ED1.
[证明](1)取BB1的中点M，连接EM，C1M.
在矩形ABB1A1中，易得EM綊A1B1，
∵A 1B1綊C1D1，
∴EM綊C1D1，
∴四边形EMC1D1为平行四边形，
∴D1E∥C1M.
在矩形BCC1B1中，易得MB綊C1F，
∴BF∥C1M，∴D1E∥BF.
(2)∵ED1∥BF，BB1∥EA1，
又∠B1BF与∠A1ED1的对应边方向相同，
∴∠B1BF＝∠A1ED1.
1．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为()
A．相交B．平行
C．异面而且垂直D．异面但不垂直
D[将展开图还原为正方体，如图所示，故AB与CD为不垂直的异面直线．] 2．如图所示，在三棱柱ABC-A 1B1C1中，AA1⊥底面ABC，
AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中
点，则直线EF和BC1所成的角是()
A．45°B．60°C．90°D．120°
B[连接AB1，易知AB1∥EF，连接B1C，B1C与BC1交
于点G，取AC的中点H，连接GH，则GH∥AB1∥EF.设AB
＝BC＝AA1＝a，连接HB，在△GHB中，易知GH＝HB＝GB
＝
2
2a，故所求的两直线所成的角即为∠HGB＝60°.]
3．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则
直线PQ与RS是平行直线的图是________(填序号)．
①②[结合公理4可知，①②均是平行直线，④中RS和PQ相交，只有③是异面直线．]
4．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中．
(1)AA1与C1D1所成的角的度数为________；
(2)AA1与B1C所成的角的度数为________．
(1)90°(2)45°[(1)∵AA1∥DD1，
∴∠DD1C1即为所求的角．
∵∠DD1C1＝90°，
∴AA1与C1D1所成的角为90°.
(2)∵AA1∥BB1，
∴∠BB1C即为所求的角．
∵∠BB1C＝45°，
∴AA1与B1C所成的角为45°.]
5．如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．
[解]取AC的中点F，连接EF，BF，
在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，∴EF∥CD，∴∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角)．
在Rt△ABC中，BC＝2，AB＝AC，∴AB＝AC＝1，
在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝1
2AD＝
1
2，∴BE＝
5
2.
在Rt△AEF中，AF＝1
2AC＝
1
2，AE＝
1
2，∴EF＝
2
2.
在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝1
2，∴BF＝
5
2.
在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝1
2EF
BE＝
2
4
5
2
＝
10
10，
∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为
10 10.。