南通市2014年中考数学试卷

南通市2014年中考数学试卷 (满分：150分 时间：120分钟)一、 选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1. －4的相反数是( ) A. 4B. －4C. 14D. －142. 如图，∠1＝40°，如果CD ∥BE ，那么∠B 的度数为( ) A. 160° B. 140° C. 60° D. 50°第2题 第3题3. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是( ) A. 圆柱 B. 圆锥 C. 球 D. 棱柱4. 若12x －1在实数范围内有意义，则x 的取值范围是( ) A. x ≥12 B. x ≥－12 C. x>12 D. x ≠125. 点P(2，－5)关于x 轴对称的点的坐标为( )A. (－2，5)B. (2，5)C. (－2，－5)D. (2，－5) 6. 化简x 2x －1＋x 1－x 的结果是( )A. x ＋1B. x －1C. －xD. x7. 已知一次函数y ＝kx －1，若y 随x 的增大而增大，则它的图象经过( ) A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限8. 若关于x 的一元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －1<0，x －a>0无解，则a 的取值范围是( )A. a ≥1B. a>1C. a ≤－1D. a<－19. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝18，BC ＝12.正方形DEFG 的顶点E 、F 在△ABC 内，顶点D 、G 分别在AB 、AC 上，AD ＝AG ，DG ＝6，则点F 到BC 的距离为( ) A. 1 B. 2 C. 122－6 D. 62－6第9题 第10题10. 如图，一个半径为r 的圆形纸片在边长为a(a>23r)的等边三角形内任意运动，则在 该等边三角形内，这个圆形纸片“接触不到的部分”的面积是( ) A. π3r 2 B. 33－π3r 2 C. ()33－πr 2 D. πr 2 二、 填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)11. 我国第一艘航母“辽宁舰”的最大排水量为67 500吨，这个数据用科学记数法可表 示为________吨．12. 因式分解：a 3b －ab ＝________．13. 若关于x 的方程x 2－6x ＋m ＝0有两个相等的实数根，则实数m ＝________．14. 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的公共点是(－4，0)、(2，0)，则这条抛物线的对 称轴是直线________．15. 如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，∠B ＝90°，连接AC ，∠DAC ＝∠BAC.若BC＝4 cm ，AD ＝5 cm ，则AB ＝________cm.第15题 第16题 第17题16. 在如图所示(A 、B 、C 三个区域)的图形中随机地撒一把豆子，豆子落在________区 域的可能性最大(填“A”或“B”或“C”)．17. 如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，点O 在∠D 的内部，四边形OABC 为平行四边形，则∠OAD ＋∠OCD ＝________°. 18. 已知实数m 、n 满足m －n 2＝1，则代数式m 2＋2n 2＋4m －1的最小值等于________．三、 解答题(本大题共10小题，共96分) 19. (本小题满分10分)计算： (1) (－2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－320－4－⎝⎛⎭⎫12－1；(2) []x （x 2y 2－xy ）－y （x 2－x 3y ）÷x 2y.20. (本小题满分8分)如图，正比例函数y ＝－2x 与反比例函数y ＝kx 的图象相交于A(m ，2)、B 两点．(1) 求反比例函数的表达式及点B 的坐标； (2) 结合图象直接写出当－2x>kx时，x 的取值范围．第20题21. (本小题满分8分)如图，海上有一灯塔P ，它的周围8海里内有暗礁．海轮以18海里/时的速度由西向东航行，在A 处测得灯塔P 在北偏东60°方向上；航行40分钟到达B 处，测得灯塔P 在北偏东30°方向上．如果海轮不改变航线继续向东航行，那么有没有触礁的危险？第21题22. (本小题满分9分)九年级(1)班开展了为期一周的“敬老爱亲”社会活动，并根据学生做家务的时间来评价他们在活动中的表现．老师调查了全班50名学生在这次活动中做家务的时间，并将统计的时间(单位：小时)分成5组．A：0.5≤x<1，B：1≤x<1.5，C：1.5≤x<2，D：2≤x<2.5，E：2.5≤x<3，制作成两幅不完整的统计图(如图)．第22题请根据图中提供的信息，解答下列问题：(1) 这次活动中学生做家务时间的中位数所在的组是________；(2) 补全频数分布直方图；(3) 该班的小明同学这一周做家务2小时，他认为自己做家务的时间比班里一半以上的同学多，你认为小明的判断符合实际吗？请用适当的统计知识说明理由．23. (本小题满分8分)盒中有x 个黑球和y 个白球，这些球除颜色外无其他差别．若从盒中随机取一个球，它是黑球的概率是25；若往盒中再放进1个黑球，这时取得黑球的概率变为12.(1) 填空：x ＝________，y ＝________；(2) 小王和小林利用x 个黑球和y 个白球进行摸球游戏．约定：从盒中随机摸取一个， 接着从剩下的球中再随机摸取一个．若两球颜色相同则小王获胜，若颜色不同则小林获 胜．求两个人获胜的概率各是多少．24. (本小题满分8分)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E.点M 在⊙O 上，MD恰好经过圆心O ，连接MB.(1) 若CD ＝16，BE ＝4，求⊙O 的直径； (2) 若∠M ＝∠D ，求∠D 的度数．第24题25. (本小题满分9分)如图①，底面积为30 cm 2的空圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”．现向容器内匀速注水，注满为止．在注水过程中，水面高度 h(cm)与注水时间t(s)之间的关系如图②所示．请根据图中提供的信息，解答下面的问题：(1) 圆柱形容器的高为______cm，匀速注水的水流速度为______cm3/s；(2) 若“几何体”的下方圆柱的底面积为15 cm2，求“几何体”上方圆柱的高和底面积．第25题26. (本小题满分10分)如图，点E是菱形ABCD的对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB、GD.(1) 求证：EB＝GD；(2) 若∠DAB＝60°，AB＝2，AG＝3，求GD的长．第26题27. (本小题满分13分)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E为AB上一点，AE＝1.M为射线AD上一动点，AM＝a(a为大于0的常数)，直线EM与直线CD交于点F，过点M作MG⊥EM，交直线BC于点G.(1) 若M为边AD的中点，求证：△EFG是等腰三角形；(2) 若点G与点C重合，求线段MG的长；(3) 请用含a的代数式表示△EFG的面积S，并指出S的最小整数值．第27题28. (本小题满分13分)如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，顶点为D，抛物线的对称轴DF与BC相交于点E，与x轴相交于点F.(1) 求线段DE的长；(2) 设过点E的直线与抛物线相交于点M(x1，y1)、N(x2，y2)，试判断当|x1－x2|的值最小时，直线MN与x轴的位置关系，并说明理由；(3) 设点P为x轴上一点，∠DAO＋∠DPO＝∠α，当tan ∠α＝4时，求点P的坐标．第28题南通市2014年中考数学试卷1. A [解析]a 与－a 互为相反数．2. B [解析]设CD 、AB 交于点F ，由对顶角相等，得∠DFB ＝∠1＝40°.根据“两直线平行，同旁内角互补”，得∠DFB ＋∠B ＝180°，因此∠B ＝180°－∠DFB ＝140°.3. A [解析]从主视图和左视图可以看出这个几何体是柱体，从俯视图可以看出这个几何体不是棱柱，是圆柱．4. C [解析]二次根式和分式有意义的条件分别是被开方数是非负数和分母不为0，因此⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，2x －1≠0，解得x>12.5. B [解析]点P(a ，b)关于x 轴、y 轴、原点对称的点的坐标分别为(a ，－b)、(－a ，b)、(－a ，－b)．6. D [解析]利用异分母分式加减法的法则计算：x 2x －1＋x 1－x＝x 2x －1－x x －1＝x （x －1）x －1＝x.7. C [解析]由一次函数y ＝kx －1中y 随x 的增大而增大，可得k>0.根据k>0，b ＝－1<0，画出一次函数的大致图象，易得该图象经过第一、三、四象限．8. A [解析]解不等式x －1<0，得x<1；解不等式x －a>0，得x>a.分类讨论数轴上数字1与字母a 的对应位置，满足原不等式组无解的a 的取值范围是a ≥1.9. D [解析]如图，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，交DG 于点I.∵ AB ＝AC ，根据等腰三角形“三线合一”的性质，得BH ＝12BC ＝6.在Rt △AHB 中，由勾股定理，得AH ＝182－62＝12 2.易得∠ADG ＝∠B ＝12(180°－∠BAC)，则DG ∥BC ，因此DG ⊥AH.证△ADG ∽△ABC ，得AI AH ＝DG BC ＝12，∴ AI ＝6 2.∴ 点F 到BC 的距离为122－62－6＝62－6.第9题 第10题10. C [解析]把⊙O 移至如图所示的位置，设AC 、AB 与⊙O 相切，连接OA 、OB 、OC ，则OB ⊥AB ，OC ⊥AC.由切线长定理，易证得△ACO ≌△ABO ，∴ ∠OAC ＝∠OAB ＝12×60°＝30°.又OB ＝OC ＝r ，则AB ＝AC ＝3r ，从而S 四边形ABOC ＝12AB ×OB ＋12AC ×OC ＝3r 2，S扇形OBC ＝120360πr 2＝13πr 2，因此圆形纸片“接触不到的部分”的面积是3⎝⎛⎭⎫3r 2－13πr 2＝()33－πr 2.11. 6.75×104 [解析]科学记数法的表示形式为a ×10n ，其中1≤|a|<10，n 为整数．当原数的绝对值大于10时，n 的值等于原数的整数位数减去1.12. ab(a －1)(a ＋1) [解析]先提取公因式“ab”，再利用公式法对“a 2－1”分解因式． 13. 9 [解析]一元二次方程有两个相等的实数根的条件是根的判别式等于0，由Δ＝b 2－4ac ＝(－6)2－4×1×m ＝0，得m ＝9.14. x ＝－1 [解析]∵ 抛物线与x 轴的两个公共点(－4，0)、(2，0)关于对称轴对称，∴ 对称轴是直线x ＝－4＋22，即x ＝－1.15. 8 [解析]过点C 作CE ∥AD 交AB 于点E ，可证得四边形AECD 是菱形，因此CE ＝AE ＝AD ＝5 cm.在Rt △CBE 中，由勾股定理可得BE ＝52－42＝3(cm)，因此AB ＝AE＋BE ＝8 cm.16. A [解析]由于SC ＝π×22＝4π(cm 2)，SB ＝π(42－22)＝12π(cm 2)，SA ＝π(62－42)＝20π(cm 2)，因此A 区域的面积最大，根据概率的大小与面积成正比的规律，可得豆子落入A 区域的可能性最大．17. 60 [解析]连接OD ，则OA ＝OD ，OD ＝OC.由“等边对等角”得∠OAD ＋∠OCD ＝∠ODA ＋∠ODC ＝∠ADC.利用平行四边形对角相等的性质，得∠B ＝∠AOC ，利用圆周角定理，得∠AOC ＝2∠ADC ，即∠B ＝2∠ADC.又∵ 圆的内接四边形对角互补，∴ ∠B ＋∠ADC ＝180°.∴ ∠ADC ＝60°，即∠OAD ＋∠OCD ＝60°.18. 4 [解析]由m －n 2＝1，可得n 2＝m －1.由n 2≥0，得m －1≥0，即m ≥1.∴ m 2＋2n 2＋4m －1＝m 2＋2(m －1)＋4m －1＝m 2＋6m －3＝(m ＋3)2－12.不妨令y ＝(m ＋3)2－12，画出此二次函数的大致图象，注意到自变量m ≥1，观察图象可得y 的最小值为4，即代数式m 2＋2n 2＋4m －1的最小值等于4.19. [解析](1) 先利用乘方运算法则、零次幂的意义、算术平方根的概念、负整数指数幂的意义分别化简每个式子，再进行实数的加减混合运算；(2) 按照整式混合运算的顺序与法则计算．解：(1) 原式＝4＋1－2－2＝1；(2) 原式＝(x 3y 2－x 2y －x 2y ＋x 3y 2)÷x 2y ＝(2x 3y 2－2x 2y)÷x 2y ＝2xy －2.20. [解析](1) 利用函数图象上的点的坐标特征依次确定m 、k 的值即可，另外根据点A 与点B 关于原点对称确定点B 的坐标；(2) 不等式－2x>kx 的解集是指直线y ＝－2x 在双曲线y ＝kx 上方部分对应的x 的取值范围．解：(1) 把A(m ，2)代入y ＝－2x ，得m ＝－1，∴ 点A 的坐标为(－1，2)．把A(－1，2)代入y ＝kx ，得k ＝－2，∴ 反比例函数的表达式为y ＝－2x .∵ 直线y ＝－2x 与双曲线y ＝－2x 均关于原点对称，∴ 点A 与点B 关于原点对称．∴ 点B 的坐标为(1，－2)；(2) x<－1或0<x<1.21. [解析]过点P 作PH ⊥AB 于点H ，可得两个含30°的直角三角形和一个等腰三角形，利用等腰三角形和直角三角形的边角关系求出PH 的长，与暗礁区域的半径比较大小即可．解：如图，过点P 作PH ⊥AB 于点H ，∴ ∠PHB ＝90°.∵ 海轮的速度是18海里/时，行驶了40分钟，∴ AB ＝18×4060＝12(海里)．由题意可得∠PAB ＝90°－60°＝30°，∠PBH ＝90°－30°＝60°，∴ ∠BPH ＝30°，∠APB ＝30°.∴ ∠PAB ＝∠APB.∴ BP ＝AB ＝12海里．在Rt△PBH 中，sin ∠PBH ＝PH PB ，∴ PH ＝12×32＝63(海里)．∵ 63>8，∴ 货轮继续前进没有触礁的危险.第21题22. [解析](1) 先根据C 组所占百分数求出C 组的频数，结合已知的A 、D 、E 组的频数求出B 组的频数，根据中位数的概念确定其所在的组；(2) 按照(1)中求出的B 、C 组的频数补全图形；(3) 利用中位数的意义，只要判断小明同学本周做家务的时间是否在中位数所在组即可说明．解：(1) C 组的频数是50×40%＝20，又∵ A 、D 、E 组的频数分别为3、10、2，∴ B 组的频数为50－3－20－10－2＝15.把这组数据按从小到大的顺序排列，由于共有50个数，第25、26个数据都落在1.5≤x<2范围内，即中位数落在C 组；(2) 根据(1)得出的数据补图，B 组：15，C 组：20，补图略；(3) 小明的判断符合实际．理由：这次活动中做家务的时间的中位数所在的范围是C 组：1.5≤x<2，小明这一周做家务2小时，所在的范围是D 组：2≤x<2.5，∴ 小明的判断符合实际．23. [解析](1) 利用概率的计算公式构造关于x 、y 的方程组求解；(2) 根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果数与两球颜色相同、颜色不同的结果数，代入概率公式即可求得答案．解：(1) 根据题意，得⎩⎨⎧xx ＋y ＝25，x ＋1x ＋1＋y ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3；(2) 画树状图如下：第23题由上述树状图看出，摸出球的颜色共有20种等可能的结果，其中，两球颜色相同的有8种，颜色不同的有12种，∴ P(小王获胜)＝820＝25，P(小林获胜)＝1220＝35.24. [解析](1) 利用垂径定理得DE ＝12CD ＝8，设⊙O 的直径为2x ，在Rt △OED 中由勾股定理构造关于x 的方程求解；(2) 根据圆周角定理得∠EOD ＝2∠M ，在Rt △OED 中结合条件∠M ＝∠D ，用直角三角形两个锐角互余求出∠D 的度数．解：(1) ∵ AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，CD ＝16，∴ DE ＝12CD ＝8.设⊙O 的直径为2x ，则OD ＝x ，OE ＝x －4.在Rt △OED中，OE 2＋DE 2＝OD 2，即(x －4)2＋82＝x 2，解得x ＝10，∴ ⊙O 的直径为20；(2) ∵ 弦CD ⊥AB ，∴ ∠OED ＝90°.∴ ∠EOD ＋∠D ＝90°.∵ ∠M ＝∠D ，∠EOD ＝2∠M ，∴ 2∠D ＋∠D ＝90°.∴ ∠D ＝30°.25. [解析](1) 根据图象中第42 s 注满空圆柱形容器，可得该圆柱形容器的高，另外注水过程分三个部分：满过“几何体”下方圆柱需18 s ，满过“几何体”上方圆柱需24－18＝6(s)，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需42－24＝18(s)，而“几何体”上面的空圆柱形容器的体积为30×(14－11)＝90(cm 3)，由此可得匀速注水的水流速度；(2) 利用恰好满过“几何体”下方圆柱时的注水量构造关于a 的方程求a 的值，由“11－a ”可得“几何体”上方圆柱的高．设“几何体”上方圆柱的底面积为S cm 2，根据从满过“几何体”下方圆柱到恰好满过“几何体”上方圆柱时的注水量构造关于S 的方程求S 的值．解：(1) 圆柱形容器的高为第42 s 注满容器时的水面高度h ＝14 cm ，匀速注水的水流速度v ＝[30×(14－11)]÷(42－24)＝90÷18＝5(cm 3/s)；(2) 由题意可知，30a －15a ＝18×5，解得a ＝6，因此“几何体”上方圆柱的高为11－6＝5 (cm)．设“几何体”上方圆柱的底面积为S cm 2，则(30－S)×5＝5×(24－18)，解得S ＝24，因此“几何体”上方圆柱的底面积为24 cm 2.26. [解析](1) 利用相似多边形的对应角相等和菱形四边相等的性质证△AEB ≌△AGD ；(2) 连接BD 交AC 于点O ，根据菱形的性质在Rt △AOB 中求出OA 、OB 的长，再在Rt △EOB 中利用勾股定理求得EB 的长，由(1)即得线段GD 的长．解：(1) ∵ 菱形AEFG ∽菱形ABCD ，∴ ∠EAG ＝∠BAD.∴ ∠EAG ＋∠GAB ＝∠BAD ＋∠GAB ，即∠EAB ＝∠GAD.∵ 在菱形AEFG 、菱形ABCD 中，AE ＝AG ，AB ＝AD ，∴ △AEB ≌△AGD(SAS)．∴ EB ＝GD ；(2)连接BD 交AC 于点O.∵ 四边形ABCD 是菱形，∴ AC ⊥BD ，∠BAO ＝12∠DAB ＝30°.∴ 在Rt △AOB 中，OB ＝12AB ＝1，OA ＝3OB ＝ 3.又∵ 在菱形AEFG 中，AE ＝AG ＝3，∴ OE ＝2 3.∴ 在Rt △EOB 中，EB ＝OE 2＋OB 2＝13.∴ GD ＝EB ＝13.27. [解析](1) 证△MAE ≌△MDF ，得EM ＝FM ，结合MG ⊥EM ，利用垂直平分线的性质可说明△EFG 是等腰三角形；(2) 先说明基本图形“K 字形”△MAE ∽△CDM ，求出a 的值，再在Rt △EAM 、Rt △EBG 、Rt △EMG 中依次利用勾股定理可以求出MG 的长；(3) 分点M 在线段AD 上和点M 在线段AD 的延长线上两种情况讨论．过点M 作MH ⊥BC ，交BC 于点H ，在Rt △EAM 中由勾股定理可以用含a 的代数式来表示EM 的长，证△HMG ∽△AME ，用含a 的代数式来表示MG 的长，证△EAM ∽△FDM ，用含a 的代数式来表示FM 的长，然后利用三角形的面积公式可用含a 的代数式表示△EFG 的面积S ，结合a 的取值范围指出S 的最小整数值．解：(1) ∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ ∠A ＝∠MDF ＝90°.∵ M 为边AD 的中点，∴ MA ＝MD.又∵ ∠AME ＝∠DMF ，∴ △MAE ≌△MDF(ASA)．∴ EM ＝FM.又∵ MG ⊥EM ，∴ 直线MG 是EF 的垂直平分线．∴ EG ＝FG.∴ △EFG 是等腰三角形；(2) 若点G 与点C 重合，如图①.∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ ∠A ＝∠ADC ＝90°.∴ ∠AEM ＋∠AME ＝90°.∵ MG ⊥EF ，∴ ∠CME ＝90°.∴ ∠DMC ＋∠AME ＝90°.∴ ∠AEM ＝∠DMC.∴ △MAE ∽△CDM.∴ AM DC ＝AE DM ，即a 3＝14－a，解得a ＝1或a ＝3.当a ＝1时，在Rt △EAM 中，ME 2＝12＋12＝2，在Rt △EBG 中，EG 2＝22＋42＝20，因此在Rt △EMG 中，MG ＝EG 2－ME 2＝18＝32；当a ＝3时，同理可求得MG ＝10；(3) ① 当点M 在线段AD 上时，如图②，过点M 作MH ⊥BC 于点H ，则∠MHG ＝∠A ＝∠AMH ＝90°.∴ ∠AME ＋∠EMH ＝∠HMG ＋∠EMH ＝90°.∴ ∠HMG ＝∠AME.∴△HMG ∽△AME.∴ MG ME ＝MH MA .∴ MG a 2＋1＝3a .∴ MG ＝3a 2＋1a .∵ 在矩形ABCD 中，AE ∥DF ，∴ △FDM ∽△EAM.∴ FM EM ＝DM AM .∴ FMa 2＋1＝4－a a .∴ FM ＝（4－a ）a 2＋1a .∴EF ＝EM ＋FM ＝4a 2＋1a .∴ S ＝12EF ·MG ＝12·4a 2＋1a ·3a 2＋1a ＝6（a 2＋1）a 2.② 当 点M 在线段AD 的延长线上时，如图③，过点M 作MH ⊥BC 于点H.同理可求得MG ＝3a 2＋1a ，FM ＝（a －4）a 2＋1a ，∴ EF ＝EM －FM ＝4a 2＋1a ，此时S ＝12EF ·MG ＝6（a 2＋1）a 2.综上所述，△EFG 的面积S ＝6（a 2＋1）a 2＝6＋6a 2，∵ a 为大于0的常数，∴ 当a ＝6时，S 的最小整数值为7.第27题28. [解析](1) 根据抛物线的表达式先求得抛物线与坐标轴交点的坐标及顶点坐标，进而求得直线BC 的表达式与点E 的坐标，由DE ＝y D －y E 可得线段DE 的长；(2) 设直线MN 的表达式为y ＝kx ＋b ，由于它过点E(1，2)，则y ＝kx ＋2－k ，代入抛物线的表达式，得关于x 的一元二次方程，利用求根公式可以用含k 的代数式表示|x 1－x 2|，当|x 1－x 2|的值最小时求出k 的值，从而确定直线MN 与x 轴的位置关系；(3) 当点P 在点A 的左侧时，由D(1，4)得tan ∠DOF ＝4，结合tan ∠α＝4，得出∠DOF ＝∠α，然后根据三角形外角的性质即可求得∠DAO ＝∠PDO ，进而证得△OAD ∽△ODP ，根据相似三角形的对应边成比例求出OP 的长，即可求得点P 的坐标．根据对称性直接写出点P 在点A 右侧时的坐标．解：(1) 在y ＝－x 2＋2x ＋3中，令x ＝0，得C(0，3)；令y ＝0，得A(－1，0)、B(3，0)．∵ y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴ 顶点D 的坐标为(1，4)．根据B(3，0)、C(0，3)，可得直线BC 的表达式为y ＝－x ＋3.易求得抛物线的对称轴与BC 相交于点E(1，2)，∴ DE ＝y D －y E ＝2；(2) 直线MN 与x 轴平行．理由：设直线MN 的表达式为y ＝kx ＋b.∵ 它过点E(1，2)，∴ b ＝2－k.∴ 直线MN 的表达式为y ＝kx ＋2－k.将y ＝kx ＋2－k 代入y ＝－x 2＋2x ＋3，整理得x 2＋(k －2)x －k －1＝0.解这个方程，得x ＝－k ＋2±k 2＋82.∴ |x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－k ＋2＋k 2＋82－－k ＋2－k 2＋82＝k 2＋8.∴ 当|x 1－x 2|的值最小时，k ＝0.此时直线MN 的表达式为y ＝2，直线MN 与x 轴平行；(3) 在Rt △OFD 中，由勾股定理易求得OD ＝17.① 当点P 在点A 的左侧时，如图，连接DP 、DA 、DO.∵ tan ∠α＝4，tan ∠DOF ＝DF OF ＝41＝4，∴ ∠DOF ＝∠α＝∠DAO ＋∠DPO.又∵ ∠DOF ＝∠DPO ＋∠PDO ，∴ ∠DAO ＝∠PDO.又∵ ∠AOD ＝∠DOP ，∴ △OAD ∽△ODP.∴OA OD ＝OD OP ，即117＝17OP ，解得OP＝17.∴点P的坐标为(－17，0)．②当点P在点A的右侧时，由轴对称性质，得点P 的坐标为(19，0)．综上所述，满足条件的点P的坐标为(－17，0)或(19，0)．第28题。